Rok / Year: 2011
Svazek / Volume: 13
Číslo / Number: 3
Střídavá magnetická pole pro biomedicínské experimenty Oscilate magnetic field for biomedical experiments Miroslav Patočka, Radoslav Cipín, Jan Otýpka
[email protected],
[email protected],
[email protected] Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně.
Abstrakt: V článku je popsáno modifikované geometrické uspořádání Helmholtzových cívek, které vytvářejí prostorově homogenní střídavé magnetické pole o maximální amplitudě 1mTna kmitočtu 110kHz. Cívky jsou určeny pro biomedicínské experimenty na buněčných kulturách. Cívky jsou součástí paralelního rezonančního obvodu pracujícího v rezonanci při proudu a napětí o amplitudách 170Aa 120V. Obvod je napájen z tranzistorového výkonového měniče.
Abstract: The device described in this article was developed for needs of biomedical research. Principle of experiments is the examination of an impact of the oscillating magnetic field on the cell culture in nutrient solution. The device must generate an oscillating magnetic field with amplitude 1mT and frequency 100kHz moreover in space with free volume 1 liter. If is possible, the magnetic field must be homogenous in the full volume of the space.
2011/17 – 9. 5. 2011
VOL.13, NO.3, JUNE 2011
STŘÍDAVÁ MAGNETICKÁ POLE PRO BIOMEDICÍNSKÉ EXPERIMENTY Miroslav Patočka, Radoslav Cipín, Jan Otýpka Ústav výkonové elektrotechniky a elektroniky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Email:
[email protected] Email:
[email protected] Email:
[email protected]
Abstrakt – V článku je popsáno modifikované geometrické uspořádání Helmholtzových cívek, které vytvářejí prostorově homogenní střídavé magnetické pole o maximální amplitudě 1mT na kmitočtu 110kHz. Cívky jsou určeny pro biomedicínské experimenty na buněčných kulturách. Cívky jsou součástí paralelního rezonančního obvodu pracujícího v rezonanci při proudu a napětí o amplitudách 170A a 120V. Obvod je napájen z tranzistorového výkonového měniče.
2.1 Základní uspořádaní Helmholtzových cívek Helmholtzovy cívky v základním uspořádání jsou naznačeny na Obrázku 1. Každá z cívek může být tvořena N závity těsně přiléhajícími na sebe.
1 ÚVOD Zařízení popsané v tomto článku bylo vyvinuto pro potřeby biomedicínského výzkumu. Podstatou experimentů je zkoumání vlivu střídavého magnetického pole na buněčné kultury pěstované v živném roztoku. Z požadavků biologického experimentu plyne, že zařízení musí být schopno generovat střídavé magnetické pole s amplitudou řádově 1mT, o kmitočtu asi 100 až 150 kHz (přesněji nespecifikováno) a navíc ve volném prostoru o objemu alespoň 1 litr. Velikost objemu je určena rozměry kultivačních nádobek. Pokud možno, magnetické pole by mělo být v daném objemu prostorově homogenní (s ohledem na snadné vyhodnocení výsledků - nikoli z důvodů principiálních). Těmto požadavkům nejlépe vyhovují Helmholtzovy cívky. Proto budou nejdříve popsány jejich vlastnosti, a to jak v základním Helmholtzově geometrickém uspořádání, tak i v novém modifikovaném tvaru, jehož výhodou je dosažení homogenity pole ve větším objemu. Dále budou diskutovány problémy, týkající se velikosti napětí a proudu tekoucího cívkami. Ukazuje se totiž, že dosažení amplitudy magnetické indukce 1mT, při kmitočtu 100kHz a v objemu 1 litr je značně obtížné: buď je potřeba příliš velikého napětí na cívce, nebo proudu tekoucího cívkou. To vede na velké napěťové nebo proudové namáhání tranzistoru v měniči. V dalších kapitolách bude popsán výkonový měnič, ze kterého jsou cívky napájeny.
2 HELMHOLTZOVY CÍVKY
Obrázek 1: K určení výsledné magnetické indukce Bc. Při výpočtu magnetické indukce Bc v podélné ose x cívky se vychází z Biotova-Savartova zákona. Výpočet je přesný při splnění následujících podmínek: • Průřez vinutí (všech N závitů) je zanedbatelný oproti rozměrům R, a. • Vodiče se nacházejí v magneticky homogenním, izotropním a lineárním prostředí. Pak má Biotův-Savartův zákon tvar křivkového integrálu, v němž je křivka l určena tvarem vodiče:
dBr =
µ0 I d l × r 4π r 3
µ 0 I dl × r . 4π ∫l r 3
(2-1)
Diferenciální přírůstky d B r vektoru magnetické indukce vybuzené jednou cívkou lze rozložit podle Obrázku 1 na složky kolmé k ose x, které se díky kruhové symetrii navzájem zruší, a na složky ležící v ose cívky, které se sčítají, a jejichž celková velikost ve vzdálenosti x od středu 0 bude: Bc ( x) = Br
Helmholtzovy cívky slouží k vytvoření homogenního magnetického pole v poměrně velkém prostoru. Nevýhodou je, že pole je relativně slabé, protože cívky jsou vzduchové, neobsahují feromagnetický obvod.
⇒ Br =
R µ 0 NIR 2 = = 2r 3 r
µ 0 NIR 2
(
2
2 R +x
3 2 2
)
.
(2-2)
Výsledné pole v ose cívek bude superpozicí polí generovaných oběma cívkami 1 a 2:
B( x) = Bc1 ( x) + Bc 2 ( x).
17 – 1
(2-3)
2011/17 – 9. 5. 2011
VOL.13, NO.3, JUNE 2011
Pokud jsou cívky posunuty proti středu o vzdálenost ±a/2 vpravo nebo vlevo, pak z rovnic (2-2) a (2-3) plyne, že osová magnetická indukce ve vzdálenosti x od středu má velikost:
µ 0 NIR 2
B( x) =
2 a 2 R 2 + x − 2
3 2
µ 0 NIR 2
+
2 a 2R 2 + x + 2
3 2
.
(2-4)
chladit. Pro účely výpočtu je každá z obou válcových proudových vrstev nahrazena pěticí diskrétních kruhových závitů s rozestupy R/8, takže pro každou k-tou pravou dílčí cívku platí, že je vůči středu posunuta o hodnotu (+a/2+kR/8). Podobně každá k-tá levá cívka je posunuta o (−a/2−kR/8), kde k = 0, 1, 2, 3, 4.
Ve zvláštním případě, pro a = R, získá funkce B(x) typický tvar, jehož vrchol je podle Obrázku 2 plochý přibližně v oblasti x ∈ (−0,15R ; +0,15R), dovolíme-li relativní nehomogenitu Bmax/Bmin = 1,0015. Naproti tomu, velikost pole v radiálním směru již nelze řešit analyticky v uzavřeném tvaru. To však není na závadu, protože při uvažování rotační symetrie plyne z třetí Maxwellovy rovnice div B = 0 následující jednoduché pravidlo: Pokud je pole homogenní v axiálním směru na intervalu ±0,15R, pak musí být přibližně homogenní na stejném intervalu i v radiálním směru. -4
2.2
x 10
Obrázek 3: Modifikované provedení Helmholtzových cívek.
2 1.8
Pak lze odvodit výraz pro magnetickou indukci v ose cívek:
1.6
B ( x) = ∑
B [T]
k =0
1.4 1.2
-0.15
-0.1
-0.05
0 x1[m]
0.05
0.1
0.15
2 a kR 2 R 2 + x − − 2 8
3 2
4
µ0 NIR 2
k =0
2 a kR 2 2 R 2 + x + + 2 8
+∑
3
.
(2-5)
Tímto uspořádáním lze dosáhnout asi 1,9-krát širšího intervalu, ve kterém je magnetické pole homogenní, viz Obrázek 4. To je ale podmíněno volbou vhodného poměru a/R. Jako nejvýhodnější se jeví poměr a/R = 0,65. Pole je pak homogenní přibližně v oblasti x ∈ (−0,28R ; +0,28R), dovolíme-li relativní nehomogenitu Bmax/Bmin = 1,0015. (S ohledem na zadání by vyhověla nehomogenita i mnohem větší, až 1,01.)
1
0.8 -0.2
µ0 NIR 2
4
0.2
Obrázek 2: Průběh axiální magnetické indukce pro základní upořádání Helmholtzových cívek; a = R, N = 2, I = 170A.
-4
Základní uspořádání Helmholtzových cívek má v případě velkých proudů (amplituda 170A) následující nevýhody: • Vodiče mají velký průřez, jejich průměr tudíž nelze zanedbat vůči rozměrům cívky, proto přestává platit rovnice (2-4). • Závity musí být umístěny těsně na sobě, proto se špatně chladí, což vede na další zvětšování průřezu. • Na kmitočtu 100kHz se výrazně projevuje skinefekt.
10
x 10
9
B1 [T]
8
Proto bylo navrženo nové geometrické uspořádání cívek, které je popsáno v následující kapitole.
7
6
5
2.2 Modifikované uspořádaní Helmholtzových cívek Tato modifikace odstraňuje nevýhody předešlého uspořádání a je znázorněna na Obrázku 3. Úprava spočívá v tom, že každé vinutí o poloměru R je rozprostřeno ve směru osy x na pevně zvolenou šířku R/2. Vinutí má tedy tvar dvou válcových proudových vrstev s mezerou a uprostřed. Pak i při velkém počtu závitů může být vinutí jednovrstvé, proto se bude dobře
4 -0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0 x[m]
0.05
0.1
0.15
0.2
Obrázek 4: Průběh axiální magnetické indukce pro modifikované provedení Helmholtzových cívek; a = 0,65R, N = 2, I = 183A.
17 – 2
2011/17 – 9. 5. 2011
VOL.13, NO.3, JUNE 2011
Poznámka: Analytický výraz, podobný rovnici (2-5), lze odvodit pro libovolný počet diskrétních závitů. Zvyšováním počtu závitů je tedy možno nahradit proudovou vrstvu přesněji. Avšak přímým výpočtem se lze přesvědčit, že zvyšování nad hodnotu 5 nemá již měřitelný vliv na velikost osového pole v čárkovaně vyznačeném pracovním prostoru. Ze stejných důvodů je zanedbatelný vliv spirálového stoupání vodičů i vliv případného skinefektu, viz Obrázek 6. Skinefekt ale navíc ve vodičích téměř nevzniká. Vodiče totiž mají tvar tenkých pásů o průřezu 35mm×1mm. Je známo, že při velikém poměru šířky a tloušťky (35:1) nemůže skinefekt vzniknout nejen ve směru tloušťky, ale ani ve směru šířky.
Ba = 0,656
µ 0 NI a 2R
,
kde N je počet závitů jedné cívky (levé nebo pravé), Ia je amplituda celkového proudu (jednou cívkou teče Ia/2). Indukčnost válcové cívky lze vypočítat podle Wheelerova vztahu uvedeného v [6]. Vztah má po převodu na základní jednotky tvar:
L = 4,1 ⋅ 10 − 6
N 2R2 . 0,9 R + l
(3-2)
Pro a = 0,65R lze určit z geometrie na Obrázku 3 celkovou délku cívek: (3-3)
l = 1,65 R.
Pro kontrolu bylo pole modifikovaných Helmholtzových cívek řešeno i numericky metodou konečných prvků. Výsledek je znázorněn na Obrázku 5. Z obrázku je zřejmá platnost pravidla, které bylo uvedeno v kapitole 2.1: Pokud je v určité oblasti pole homogenní v axiálním směru, pak je v této oblasti přibližně homogenní i ve směru radiálním.
(3-1)
Jsou-li zapojeny obě cívky paralelně, pak z rovnic (3-3) a (3-2) vyplývá, že celková indukčnost Helmholtzových cívek činí:
L = 1,61 ⋅ 10 −6 N 2 R .
(3-4)
Při harmonickém napájení platí mezi amplitudami napětí a proudu vztah: Ua = ωL . Ia
(3-5)
Vyloučíme-li z rovnic (3-5) a (3-1) proud Ia, získáme důležitý cílový vztah pro počet závitů jedné cívky: N = 4,0745 ⋅ 10 − 2
Ua . fBa R 2
(3-6)
Dosadíme-li (3-6) do (3-1), získáme cílový vztah pro amplitudu celkového proudu: I a = 5,9604 ⋅ 107
Obrázek 5: Průběh prostorové magnetické indukce pro modifikované uspořádání, modelováno ve FEMM.
3 NAPĚŤOVÉ A PROUDOVÉ POMĚRY PŘI BUZENÍ CÍVKY V této kapitole budou diskutovány problémy, týkající se velikosti napětí a proudu tekoucího cívkami. Ukazuje se totiž, že dosažení amplitudy magnetické indukce 1mT, při kmitočtu 100kHz a v objemu 1 litr je značně obtížné: buď je potřeba příliš velkého napětí na cívce, nebo proudu tekoucího cívkou. To vede buď na velké napěťové, nebo proudové namáhání tranzistoru v měniči. Z rovnice (2-5) plyne, že pro modifikované Helmholtzovy cívky, jsou-li zapojeny paralelně, má amplituda centrální magnetické indukce velikost:
fBa2 R 3 , Ua
(3-7)
přičemž jednou cívkou teče proud Ia/2, protože cívky jsou zapojeny paralelně. Rovnice (3-6) a (3-7) slouží k přímému a jednoznačnému návrhu cívek. Z Obrázku 8 je zřejmé, že tranzistor je ve vypnutém stavu namáhán napětím přibližně UDS,max = 2Ua = 2Ud. To znamená, že napětí Ua v rovnicích (3-6) a (3-7) nemůže být větší než asi 200V, použijeme-li MOS-FET se závěrným napětím 600V. Pak při pevně zadaných nebo zvolených parametrech f, Ba, Ua plynou z rovnic (3-6) a (3-7) následující důsledky:
Čím větší prostor s homogenním polem (tj. čím větší R) vyžadujeme, • tím méně závitů musí cívka mít, • tím větší proud musí cívkou téci. Tento princip nelze obejít. Cívky jsou součástí paralelního rezonančního obvodu. Pro návrh cívek byly použity rovnice (3-6), (3-7). Parametry rezonančního obvodu jsou pak následující: Napětí stejnosměrného meziobvodu: Amplituda rezonančního napětí: Amplituda rezonančního proudu: Amplituda proudu jedné cívky: Amplituda magnetické indukce:
17 – 3
Ud = 120V Ua = Ud = 120V Ia = 170A Ia/2 = 85A B = 0,8mT
2011/17 – 9. 5. 2011 Rezonanční kmitočet: Celková (rezonanční) indukčnost: Celková kapacita rez. obvodu: Char. impedance rez. obvodu: Příkon do měniče v ss. meziobvodu: Zdánlivý výkon měniče:
VOL.13, NO.3, JUNE 2011 f0 = 112kHz L = 925nH C = 2µF Z0 = 0,68Ω Pztr = 84W Pzd = 10,2kVA
Pztr =
Wztr = Ud I d . T
(4-2)
Ve [2] bylo odvozeno, že tomuto výkonu odpovídá nutná nejkratší doba sepnutí tranzistoru:
Konkrétní provedení Helmholtzových cívek je patrné z Obrázku 6. Každá cívka je tvořena dvěma závity hliníkového plechu o průřezu 35mm×1mm. Tloušťka plechu 1mm byla zvolena s ohledem na mechanickou pevnost. Na 112kHz vychází hloubka vniku δ = 0,25mm. S ohledem na skinefekt by tedy plech mohl mít poloviční tloušťku tl. ≅ 2δ = 0,5mm. Průřezu 35mm2 odpovídá střední proudová hustota přibližně 2,4A/mm2.
ton =
1 Ud
2 Pztr L . f
(4-3)
Při ztrátovém výkonu 84W musí mít doba zapnutí velikost alespoň ton = 0,3µs. Z Obrázku 6 je zřejmé, že celková kapacita 2µF rezonančního obvodu je tvořena paralelním spojením 20-ti výkonových impulsních polypropylenových kondenzátorů o kapacitě 0,1µF. Jeden z těchto kondenzátorů je připojen paralelně k výkonovému tranzistoru, aby vstřebával energii vznikající na parazitní indukčnosti smyčky: zdroj − rezonanční obvod − tranzistor. Tato energie by jinak způsobovala nekontrolovatelný napěťový překmit na tranzistoru v okamžiku vypnutí. (Z pohledu rezonančního obvodu je lhostejné, zda je kondenzátor připojen paralelně k cívce nebo k tranzistoru.)
Obrázek 6: Helmholtzovy cívky tvoří s kondenzátory paralelní rezonanční obvod.
4 VÝKONOVÝ MĚNIČ
Obrázek 7: Rezonanční LC obvod s měničem.
Úkolem výkonového měniče je krýt ztráty v rezonančním obvodu a tím udržovat trvalé kmity v obvodu. Měnič je tvořen podle Obrázku 7 jediným výkonovým tranzistorem MOSFET. Tranzistor pracuje ve spínacím režimu, nevznikají v něm žádné spínací ztráty, protože je spínán i vypínán při nulovém napětí. Podle [3], [4] a [5] lze činitel jakosti rezonančního obvodu vyjádřit rovnicí:
1 2 L Ia WL Q = 2π = 2π 2 , Wztr Ud I d T
(4-1)
Teoretické průběhy proudů a napětí v měniči jsou uvedeny na Obrázku 8. Červeně je vyznačen kolektorový proud sepnutého tranzistoru, tj. proud odebraný ze stejnosměrného zdroje. Zeleně je označen proud navrácený do zdroje přes antiparalelní substrátovou diodu tranzistoru (pokud je doba sepnutí ton větší než určuje rovnice (4-3)). Modře je vyznačen zotavovací proud v závěrném směru téže substrátové diody. Skutečné oscilografické průběhy jsou zachyceny na obrázcích označených jako Obrázek 9, Obrázek 10.
kde Ud je stejnosměrného napětí meziobvodu, Id je střední hodnota impulsního proudu odebíraného z meziobvodu a Ia je amplituda proudu v rezonančním obvodu. Úkolem měniče je dodat do rezonančního obvodu činný výkon:
17 – 4
2011/17 – 9. 5. 2011
VOL.13, NO.3, JUNE 2011
5 ZÁVĚR Zařízení bylo podrobeno oteplovací zkoušce v dlouhodobém zkušebním provozu s parametry uvedenými v kapitole 3. V tomto režimu odebíral měnič ze stejnosměrného meziobvodu proud o střední hodnotě Id = 1,2 A, čemuž odpovídá činný výkon 84W. Tento výkon je roven celkovému ztrátovému výkonu v cívkách, kondenzátorech a tranzistoru. Teplota vinutí dosáhla hodnoty 52°C, teplota kondenzátorů 40°C. Celkový odpor vinutí paralelně zapojených cívek byl změřen přesným měřičem impedancí na pracovním kmitočtu 110kHz. Odpor činil RAl = 4,06mΩ. Tomu odpovídá při amplitudě proudu Ia = 170A ztrátový výkon v cívkách asi 59W. Je tedy vidět, že většina ztrát vzniká právě na nich. Zbývajících 25W je rozděleno mezi kondenzátory a tranzistor.
Obrázek 8: Teoretické průběhy proudu a napětí ve výkonovém měniči a rezonančním obvodu.
Poděkování Tato práce vznikla za podpory projektu MŠMT 2B08063 „Výzkum vlivu kombinace látek pro cílenou imunoterapii a inhibičního působení pole impulsního vektorového magnetického potenciálu na nádorová onemocnění“, fakultního projektu FEKT-S-11-14 „Využití nových technologií ve výkonové elektronice“, projektu MSM 0021630516 „Zdroje, akumulace a optimalizace využití energie v podmínkách trvale udržitelného rozvoje“ a fakultního projektu FEKT-S-10-17 „Mapování účinnosti střídavých elektrických pohonů“.
6 Literatura [1] Patočka M.: Magnetické obvody ve výkonové elektronice, pulsní měniče s transformátorem. FEKT VUT v Brně, učební text v elektronické podobě, 2010. Obrázek 9: Proud iD, napětí uDS, napětí uGS na tranzistoru. Detaily v okamžiku sepnutí.
[2] Otýpka, J.: Magnetická pole pro biomedicínské experimenty. Diplomová práce, FEKT VUT v Brně, 2010. [3] Halliday D., Resnik R., Walker J.: Fyzika, Elektřina a magnetizmus část 3. VUT v Brně, nakladatelství VUTIUM, 2000. [4] Bauer M.: Teoretická elektrotechnika I, VUT Brno, 1971 SNTL, 412-33036. [5] Székely J.: Teoretická elektrotechnika I., VŠD Žilina, 1977, ALFA Bratislava, 63-760-77. [6] Wheeler H. A.: Simple Inductance Formulas for Radio Coils. Proceedings of the I.R.E., October 1928, pp. 1398 1400.
Obrázek 10: Průběh proudu a napětí v rezonančním obvodu. Proud byl snímán Rogowskiho cívkou.
17 – 5
