Střední průmyslová škola strojní a elektrotechnická
Resslova 5, Ústí nad Labem
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice A= Re2 +Im2 A
+ Im
j = −1
A ϕ A - Im
Ing. Jaromír Tyrbach
Re
−ϕ A*
Leden 1999 (2/06)
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice
Úvod Ve druhém pololetí druhého ročníku oborů Elektrotechnika a Automatizační technika je v předmětu Základy elektrotechniky obsáhlá a důležitá kapitola „Řešení obvodů střídavého proudu symbolicko-komplexní metodou“. Důležitá v tom, že řešení obvodů touto metodou je poměrně jednoduché a tudíž efektivní. Navíc se tato metoda běžně používá (včetně kreslení fázorových diagramů) v navazujících předmětech (např. Elektronika, Elektroenergetika, Elektrotechnická měření, Elektrické stroje a přístroje, Automatizace apod.). Pro další úspěšné studium je proto zvládnutí této látky dosti podstatné. Bohužel kapitola, která by popisovala podrobněji např. postup při kreslení fázorových diagramů nebo řešení článků v běžně dostupných učebnicích není. Tato látka může být o to složitější, pokud studenti nevěnují v hodinách matematiky komplexním číslům dostatek pozornosti. Obvykle si myslí, že tato látka je pro studium a praxi zcela nepoužitelná a zbytečná. Dalším problémem je to, že v osnovách matematiky pro SPŠ není předepsán, dle mého názoru zcela nesmyslně, exponenciální tvar komplexního čísla. Pravdou ale je, že ve spolupráci s některými vyučujícími matematiky se čas od času podaří tento problém vyřešit. První část tohoto textu je věnována problematice komplexních čísel (fázorům) a operacím s nimi. Ve druhé části jsou řešeny konkrétní obvody včetně postupu při kreslení fázorových diagramů (FD).
Stručné zopakování ) ) )
) ) ) ) ) ) )
Aby nedošlo k záměně s okamžitou hodnotou střídavého proudu, neoznačujeme v elektrotechnice imaginární jednotku písmenem i. Zásadně ji označujeme písmenem j. Definice imaginární jednotky: j = −1 (kladná osa imaginárních čísel). Násobit imaginární jednotkou j znamená otočit fázorem o 90° proti směru chodu hodinových ručiček: j1=j (kladná osa imaginárních čísel) 2 j = j . j = −1 . −1 = - 1 (záporná osa reálných čísel) (záporná osa imaginárních čísel) j 3 = j 2. j = -1 . j = - j j 4 = j 2 . j 2 = -1 . -1 = 1 (kladná osa reálných čísel) Je zvykem zakreslovat proud uzavřenou a napětí otevřenou šipkou. Fázor je orientovaná úsečka, která nahrazuje sinusový průběh střídavé veličiny. Fázory vynášíme přímo v efektivních hodnotách. Smysl otáčení fázorů je proti směru chodu hodinových ručiček. Fázorové diagramy jsou grafickým řešením Kirchhoffových zákonů (KZ). Je lepší fázory sčítat než odečítat. Průběhy napětí a proudů ideálních prvků:
Na odporu R je napětí a proud Na indukčnosti L předbíhá napětí Na kapacitě C předbíhá proud ve fázi (fázový posuv mezi o 90o před proudem (proud se o 90o před napětím (napětí se nimi je nulový). o tento úhel zpožďuje). o tento úhel zpožďuje). I
U
I
U
I U
-2-
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice
Zápis fázoru Z = 4 - j3 = 5 (cos 36,7° - jsin 36,7°) = 5 . e - j 36,7° = 5 | -36,7° [Ω] Impedance Z je postupně zapsána ve tvaru: složkovém (Kartézském), goniometrickém a exponenciálním. Poslední zápis je zjednodušený exponenciální tvar (verzorový). Fázory (komplexní čísla) se v tištěném textu píší VELKÝMI TISKACÍMI TUČNÝMI písmeny, označující příslušnou veličinu. V běžném textu (na tabuli, v sešitě apod.) se z praktických r ˆ , A, A . První způsob (se stříškou) je nejvhodnější, protože u dalších způsobů důvodů píší např. A zápisu je nebezpečí např. záměny se zlomkovou čarou apod. Re - osa reálných čísel Im - osa imaginárních čísel A - fázor veličiny A A - absolutní hodnota veličiny (modul) ϕ - fázový posuv (argument) A*- fázor komplexně sdružený k fázoru A
A
+ Im A ϕ
Re
−ϕ A - Im
Číslo komplexně sdružené má stejné znaménko u části reálné, opačné u imaginární (složkový tvar) nebo má opačné znaménko u úhlu (exponenciální tvar).
A*
Fázor v Gaussově rovině
Jak poznat kvadrant? Kvadrant poznáme podle znamének u složek KČ (složkový tvar) nebo podle znaménka úhlu a jeho velikosti (exponenciální tvar). Příklady určení kvadrantu Označení kvadrantů
II. kv.
+ 90o (- 270o)
↑ Im
I. kv. +ϕ 0o Re →
← - Re + 180o (- 180o)
III. kv.
−ϕ - 90o o - Im ↓ (+270 )
4 - j3
⇒ IV. kv.
- 5 + j2 n ⇒ II. kv.
7 | 36°
⇒ I. kv.
9 | - 293°
⇒ I. kv.
- 4 - j3
⇒ III. kv.
6 | - 120°
⇒ III. kv.
2 | - 226°
⇒ II. kv.
5 | 135°
⇒ II. kv.
2 | 310°
⇒ IV. kv.
4 + j3
o ⇒ I. kv.
8 | -36,7° p
⇒ IV. kv.
3 | 193° q ⇒ III. kv.
Čísla komplexně sdružená k číslům ozn. nopq: - 5 - j2 n ⇒ III. kv. o ⇒ IV. kv. 4 - j3 8 | 36,7° p ⇒ I. kv.
3 |-193° q ⇒ II. kv.
IV. kv. Určení kvadrantu
Označení Složkový tvar kvadrantu Reálná složka (Re) Imaginární složka (Im)
I. II. III. IV.
+ +
+ + -
-3-
Exponenciální tvar (rozsah úhlů ve stupních)
0 až + 90 + 90 až + 180 - 90 až - 180 0 až - 90
(- 270 až - 360) (- 180 až - 270) (+ 180 až + 270) (+ 270 až + 360)
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice
Převod tvarů KČ Převod ze složkového na exponenciální tvar KČ: pomocí Pythagorovy věty určíme absolutní hodnotu KČ. Použitím goniometrické funkce sin, cos nebo tg zjistíme úhel ϕ. Jednodušší je určení úhlu v I. a IV. kvadrantu. A = 6 + j3 (I. kv.) Α=
6 2 + 32 = 6,71
3 3 = 0,5 ⇒ ϕ = 26,57 ο nebo sin ϕ = = 0,447 ⇒ 6 6,71 6 ⇒ ϕ = 26,56 o nebo cos ϕ = = 0,894 ⇒ ϕ = 26,59 o . 6,71 Drobné rozdíly ve výsledcích jsou dány zaokrouhlováním. tg ϕ =
A
3 6,71
26,57o 6
Exponenciální tvar: A = 6,71 . e j 26,57° = 6,71 | 26,57° B = 8 - j5 (IV. kv.)
Β=
8
8 2 + 52 = 9,43
5 5 tg ϕ = = 0,625 ⇒ ϕ = 32 ο nebo sin ϕ = = 0,53 ⇒ 8 9,43 8 ⇒ ϕ = 32 o nebo cos ϕ = = 0,848 ⇒ ϕ = 32 o . 9,43 Protože fázor B leží ve IV. kvadrantu (reálná složka je kladná a imaginární záporná), je úhel ϕ záporný tzn. ϕ = −32°
-32o 9,43
-5
B
Exponenciální tvar: B = 9,43 . e− j 32° = 9,43 | -32ο Ve II. a III. kv. je určení úhlu složitější, protože pomocí goniometrických funkcí neurčíme přímo úhel ϕ, ale musíme uvažovat ještě úhel doplňkový (v našem případě α nebo β). C = - 5 + j3 (II. kv) Určení modulu (absolutní hodnoty) je stejné:
C=
C α β ← - Re - 5
52 + 32 = 5,83 Z fázorového diagramu (FD) je vidět, že ϕ lze určit více ↑Im způsoby (hodnoty α a β jsou uvažovány kladné): ϕ = 90° + α 3 ϕ = 180° - β ϕ = - 180° + (- β) ϕ ϕ = - 270° + α Méně komplikovanější jsou první dva případy. 5 tg α = = 1,67 ⇒ α = 59 o ⇒ ϕ = 90 + 59 = 149° 3 3 = 0,6 ⇒ β = 31o ⇒ ϕ = 180 - 31 = 149° tg β = 5 -4-
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice
Exponenciální tvar: C = 5,83 . e j 149° = 5,83 | 149° Tento fázor lze také zcela totožně popsat rovnicí: C = 5,83 . e − j 211° = 5,83 | - 211° (viz třetí a čtvrtá možnost určení ϕ) Určení úhlu ϕ ve III. kv. je obdobné. Převod z exponenciálního na složkový tvar KČ: používáme goniometrický tvar KČ, který je vlastně jiným vyjádřením složkového tvaru KČ. Reálnou složku získáme vynásobením absolutní hodnoty funkcí cos ϕ. Imaginární určíme obdobně pomocí funkce sin ϕ. I. kv.:
A = 6,71 | 26,57° = 6,71 (cos 26,57° + jsin 26,57°) = 6 + j3 A = 6,71 | - 333,43° = 6,71 (cos 333,43° - jsin 333,43°) = 6 + j3
IV. kv.:
B = 9,43 | -32° = 9,43 (cos 32° - jsin 32°) = 8 - j5 B = 9,43 | 328° = 9,43 (cos 328° + jsin 328°) = 8 - j5 C = 5,83 | 149° = 5,83 (cos 149° + jsin 149°) = -5 + j3
II. kv.:
C = 5,83 | -211° = 5,83 (cos 211° - jsin 211°) = -5 + j3 III. kv.:
D = 8 | 210° = 8 (cos 210° + jsin 210°) = - 6,93 - j4 D = 8 | -150° = 8 (cos 150° - jsin 150°) = - 6,93 - j4
Z ukázek převodů je vidět způsob použití znaménka minus u imaginárních složek goniometrických tvarů (je-li záporný úhel, je záporný i člen jsin ϕ). Úhly jsou brány v absolutních hodnotách.
Použití tvarů KČ pro matematické operace 1) složkový je vhodný pro součet (rozdíl) KČ - zvlášť sečteme (odečteme) reálné a zvlášť imaginární části KČ. 2) exponenciální je vhodný pro součin (podíl) popř. mocniny KČ - absolutní hodnoty KČ vynásobíme (vydělíme) a úhly sečteme (odečteme). Pro násobení a dělení KČ je složkový tvar méně vhodný. Tento výpočet je pracnější a je zde i větší riziko chyb. Při dělení je např. nutno: ¾ usměrnit zlomek pomocí komplexně sdruženého čísla ¾ násobit dvojčlen dvojčlenem ¾ počítat s imaginární jednotkou j [např. (- j5) . (- j6) = - 30].
Příklady operací s KČ Použitá KČ:
A = 6,71 | 26,57° = 6 + j3
B = 9,43 | -32° = 8 - j5
C = 5,83 | 149° = - 5 + j3
D = 8 | - 150° = - 6,93 - j4
-5-
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice
Je-li minus před závorkou, je třeba brát v úvahu změnu znaménka! A + B = 6 + j3 + 8 - j5 = 14 - j2 C + A = - 5 + j3 + 6 + j3 = 1 + j6 D - B = - 6,93 - j4 - (8 - j5) = - 14,93 + j1 = - 14,93 + j C - A = - 5 + j3 - (6 + j3) = - 11 + j0 = - 11 (výsledná hodnota leží na ose -Re) A . C = 6,71 | 26,57° . 5,83 | 149° = 39,12 | 175,57°° A . B = 6,71 | 26,57° . 9,43 | -32° = 63,28 | -5,43° B . D = 9,43 | -32° . 8 | - 150° = 75,44 | - 182° o A 6,71 ⏐ 26,57 = = 1,15 ⏐ - 122,43o o C 5,83 ⏐ 149
o A 6,71 ⏐ 26,57 = = 0,71 ⏐ 58,57 o o B 9,43 ⏐ - 32
B 9,43 ⏐ - 32 o = = 1,62 ⏐ - 181o o C 5,83 ⏐ 149
D 8 ⏐ - 150o = = 0,85 ⏐ - 118 o o B 9,43 ⏐ - 32
Nevýhoda dělení KČ pomocí složkového tvaru je vidět v následujícím příkladě: A 6 + j3 6 + j3 8 + j5 6 ⋅ 8 + 6 ⋅ j5 + j3 ⋅ 8 + j3 ⋅ j5 = = ⋅ = = 8 + j5 B 8 - j5 8 - j5 8 2 + 52 48 + j30 + j24 - 15 33 + j54 = = = 0,37 + j 0,607 = 0,71 ⏐ 58,6 o 89 89
Střídavé obvody řešené pomocí KČ Dělič napětí Určete hodnotu I2 pro dělič napětí: U1 = 100 V, Z 1 = 8 - j3 [Ω], Z 2 = 4 + j2 [Ω], Zz = 7 - j3 [Ω]
I1 Z1
U Z1
U1 Z2 I
ZZ I2
U2
Ze zadání je vidět, že impedanci Z1 můžeme nahradit odporem o hodnotě 8 Ω a kapacitní reaktancí 3 Ω, v Z2 je odpor 4 Ω a induktivní reaktance 2 Ω, zatěžovací impedance ZZ představuje odpor 7 Ω a kapacitní reaktanci 3 Ω. 4,47 ⏐ 26,56 o ⋅ 7,61 ⏐ - 23,2 o Z2 ⋅ ZZ Z 2Z = = = 4 + j2 + 7 − j3 Z2 + ZZ
=
34 ⏐ 3,36 o 11 - j
=
34 ⏐ 3,36 o 11 ⏐ - 5,2
o
= 3,1 ⏐ 8,56 o = 3,06 + j0,46 [ Ω]
Z = Z2Z + Z1 = 3,06 + j0,46 + 8 - j3 = 11,06 - j2,54 = 11,35 | -12,9° [Ω]
-6-
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice U1 100 ⏐ 0 o I1 = = = 8,81 ⏐ 12,9 o [ A ] o Z 11,35 ⏐ - 12,9 U 2 = Z 2Z ⋅ I 1 = 3,1 ⏐ 8,56 o ⋅ 8,81⏐ 12,9 o = 27,31 ⏐ 21,46 o [ V] o U 2 27,31 ⏐ 21,46 I2 = = = 3,59 ⏐ 44,66 o = 2,55 + j2,52 [ A ] Z Z 7,61 ⏐ - 23,2 o
Určení prvků neznámé impedance Určete druh a hodnoty prvků, které jsou obsaženy v impedanci Z1. f = 50 Hz, S1 = 450 | -51,34° VA, R2 = 30 Ω, I2 = 4 | - 35° A, XL1 = 15 Ω, XL2 = 30 Ω, XC2 = 30 Ω.
S1 Z1 XL1 I1 U2 , Z2
I2 I
R2
XL2
Výpočet
Z2 = R2 + jXL2 - jXC2 = 30 + j30 - j30 =
XC2
= 30 + j0 = 30 | 0° [Ω].
U
(Z2 se navenek jeví jako R2).
U2 = Z2 · I2 = 30 | 0° · 4 | - 35° = 120 | - 35° [V] Protože Z1 a Z2 jsou zapojeny paralelně, platí: U1 = U2. 450 ⏐ - 51,34 o S1 = = 3,75 | -16,34° [A] I1* = U1 120 ⏐ - 35o
I1 = 3,75 | 16,34° [A] Z1 =
U1 120 ⏐ - 35o = = 32 | - 51,34° = 20 - j25 [Ω] I1 3,75 ⏐ 16,34 o
Z výsledku je vidět, že Z1 obsahuje odpor 20 Ω a kapacitní reaktanci 25 Ω. O charakteru prvků v Z1 svědčí i hodnota S1 (záporné znaménko u úhlu ⇒ kapacitní charakter). R1 = 20 [Ω] XC1 = 25 [Ω]
C1 =
1 1 = = 1,274 .10 -4 [F] = 127,4 [µF] ω ⋅ X C1 314 ⋅ 25 C1 = 127,4 [µF]
Při výpočtech není vždy nutné použít všechny zadané hodnoty. V tomto případě nebylo třeba uvažovat XL1.
-7-
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice
Γ− článek Určete U1, I 1, S1, P1 , Q1 , ϕ1 a jeho charakter, jsou-li dány hodnoty: U2 = 60 V, I2 = 4 A, cos ϕ2 = 0,7 (ind.), R = 4 Ω, XL = 20 Ω, XC = 160 Ω. Nakreslete FD.
∆U I1
L
U1 cos ϕ1
R
I2
U2 cos ϕ2 (L)
C IC
Zadané veličiny převedeme na komplexní tvar. Je výhodné položit napětí na konci do reálné osy: U2 = U2 = 60 + j0 = 60 | 0 ° [V]
Fázový posuv ϕ 2 má induktivní charakter ⇒ I2 se za U2 o tento úhel zpožďuje ⇒ proud I2 leží ve IV. kvadrantu, ve kterém je imaginární složka záporná: I2 = I2 (cos ϕ 2 - jsin ϕ 2) = 4 (0,7 - j0,714) = 2,8 - j2,86 = 4 | - 45,57 ° [A] Z = R + jXL = 4 + j20 = 20,4 | 78,7 ° [Ω] XC = 0 - j160 = - j160 = 160 | - 90 ° [Ω] Rovnice pro řešení článku: 1) ∆U = Z· I2
2) U1 = U2 + ∆U
3) IC =
U1 = Y· U1 XC
4) I1 = I2 + IC
Výpočet ∆U = Z· I2 = 20,4 | 78,7 ° · 4 | - 45,57 ° = 81,6 | 33,13 ° = 68,33 + j 44,6 [V] U1 = U2 + ∆U = 60 + 68,33 + j 44,6 = 128,33 + j 44,6 = 135,86 | 19,16 ° [V] U1 = 135,86 [V] 135,86 ⏐ 19,16 o U1 IC = = = 0,85 | 109,16 ° = - 0,28 + j0,8 [A] XC 160 ⏐ - 90 o
I1 = I2 + IC = 2,8 - j2,86 - 0,28 + j 0,8 = 2,52 - j2,06 = 3,25 | -39,26 ° [A] I1 = 3,25 [A]
S1 = U1 · I 1* = 135,86 | 19,16 ° · 3,25 | 39,26 ° = 441,55 | 58,42 ° = 231,2 + j376,2 [VA] Z výpočtu S1 vyplývají všechny požadované výkony, protože také platí: S1 = P1 ± jQ1: S1 = 441,55 [VA]
P1 = 231,2 [W]
Q1 = 376,2 [var]
Protože znaménko u jQ1 je kladné, jalový výkon má induktivní charakter (pro kapacitní je záporné). Jiná možnost určení P1 a Q1 bude popsána v dalším textu. Fázový posuv ϕ1 a jeho charakter lze určit přímo z exponenciálního tvaru zdánlivého výkonu: S1 = 441,55 | 58,42 ° [VA]. (Význam znamének u úhlu je totožný, jako u jQ). ϕ 1 = 58,42 ° (ind.) -8-
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice Úhel ϕ1 můžeme určit také z příslušné impedance Z1:
135,86 ⏐ 19,16 o U1 Z1 = = = 41,8 | 58,42 ° [Ω] I1 3,25 ⏐ - 39,26 o U impedance Z je význam znamének stejný, jako u komplexně vyjádřeného zdánlivého výkonu S. ϕ 1 = 58,42 ° (ind.) Další způsob určení úhlu vychází z exponenciálního tvaru U1 a I1. U1 = 135,86 | 19,16 ° [V]
I1 = 3,25 | -39,26 ° [A]
Úhel mezi reálnou osou a U1: ϕ U = 19,16° U1
Úhel mezi reálnou osou a I1: ϕ I = -39,26°
ϕU ϕI ϕ1 I1
Z FD je vidět, že: ϕ1 = ϕ U + ϕ I = 19,16° + 39,26° (úhly jsou
brány v absolutních hodnotách).
V tomto případě určíme charakter podle znamének a velikosti úhlů u fázorů napětí a proudu. Z hodnot ϕ
U
a ϕ I je vidět, že napětí
předbíhá před proudem ⇒ charakter je induktivní. ϕ 1 = 58,42 ° (ind.) Pokud by fázory ležely ve stejném kvadrantu, je třeba
I1 ϕ1
absolutní hodnoty úhlů odečíst: ϕ1 = ϕ I − ϕ U.
ϕI
U1 ϕU
Který z uvedených způsobů určení ϕ zvolíme, závisí na zadání úlohy, tzn. na tom , co máme spočítat. Pokud ovládáme pouze jeden způsob výpočtu, často si jenom přiděláme práci, protože mnohdy máme již fázový posuv skrytý v dílčích výpočtech. Jestliže jsme určili ϕ1 pomocí Z1 nebo ϕ U a ϕ I (druhý a třetí způsob), můžeme P1 a Q1 také P1 = U1· I1· cos ϕ1 = 135,86·3,25· 0,5237 = 231,2 [W]
spočítat:
Q1 = U1· I1· sin ϕ1 = 135,86·3,25· 0,852 = 376,2 [var]
U2
Postup při konstrukci FD: Výstupní napětí U2 zakreslíme do reálné osy. Protože účiník na konci má induktivní charakter, proud I2 se bude za napětím U2 zpožďovat o úhel ϕ2.
I2
-9-
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice
∆U U2
XL· I2 R· I2
I2
IC U1 ∆U U2
XL· I2
Úbytek napětí ∆U je způsoben průchodem proudu I2 odporem R a induktivní reaktancí XL. Úbytek napětí na odporu R je ve fázi s proudem, který jej způsobil ⇒ R· I2 ⎟⎟ I2. Úbytek napětí na XL předbíhá o 90° proud I2 ⇒ XL· I2 ⊥ I2. Fázorový součet těchto dvou úbytků je celkový úbytek napětí ∆U (1. rovnice).
Fázorovým součtem U2 + ∆U získáme napětí zdroje U1 (2. rovnice). Kondenzátor C je připojen na napětí U1 ⇒ proud IC předbíhá o 90° napětí U1 ⇒ IC ⊥ U1 (3. rovnice).
R· I2 I2
Fázorovým součtem I2 + IC získáme proud odebíraný ze zdroje I1 (4. rovnice). Úhel ϕ2 je mezi U2 a I2, úhel ϕ1 je mezi U1 a I1.
U1 ∆U I1
U2
I2
XL· I2 R· I2 IC
Z výpočtu i z FD je vidět zdánlivý paradox. Proud I1 (na začátku) je menší než proud I2 (na konci). Není tomu tak ale vždy, protože tento „jev“ je způsoben kapacitním proudem IC, na jehož hodnotě závisí také velikost proudu I1. Protože jsem narazil na problém velikosti proudu I1, udělám malou odbočku. Mohou nastat různé případy. Protože se mi nechce kreslit kompletně celý FD, bude v následujících FD zakresleno pouze napětí U2, U1 a příslušné proudy libovolného článku. U2 U1 I2
I1
Na sousedních FD je vidět, že velikost I1 je dána hodnotou a fázovým posunem proudu IC, který má vliv i na charakter ϕ1. Na levém FD je induktivní, na pravém kapacitní. Podobný vliv mají samozřejmě také proudy IL a IR.
IC
- 10 -
I1
IC U2
I2
U1
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice
Τ− článek ∆U1 I1
R1
U1 cos ϕ1
∆U2 L
U
R2
C1
I2
C2
U2 cos ϕ2 (L)
IC
Určete U1, I 1, S1, P1, Q1, ϕ 1 a jeho charakter, je-li dáno: U2 = 500 V, I2 = 3 A, cos ϕ2 = 0,8 (ind.), R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, XL = 20 Ω, XC1 = 30 Ω, XC2 = 200 Ω. Nakreslete FD. U2 = U2 = 500 = 500 | 0 ° [V] Fázový posuv ϕ2 má induktivní charakter ⇒ ⇒ I2 se za U2 o tento úhel zpožďuje ⇒
⇒ proud I2 leží ve IV. kvadrantu, ve kterém je imaginární složka záporná: I2 = I2 (cos ϕ 2 - jsin ϕ 2) = 3 (0,8 - j0,6) = 2,4 - j1,8 = 3 | - 36,87 ° [A] Z1 = R1 + jXL = 10 + j20 = 22,36 | 63,43 ° [Ω] Z 2 = R2 - jXC1 = 20 - j30 = 36,06 | - 56,31 ° [Ω] XC2 = - j200 = 200 | - 90 ° [Ω] Rovnice pro řešení článku: U X C2
1) ∆U2 = Z2· I2
2) U = U2 + ∆U2
3) IC =
4) I1 = I2 + IC
5) ∆U1 = Z1· I1
6) U1 = U + ∆U1
Výpočet ∆U2 = Z2· I2 = 36,06 | - 56,31 ° · 3 | - 36,87 ° = 108,2 | - 93,2 ° = - 6 - j 108 [V] U = U2 + ∆U2 = 500 - 6 - j 108 = 494 - j 108 = 505,7 | -12,33 ° [V] IC =
505,7 ⏐ - 12,33o U = = 2,53 | 77,67 ° = 0,54 + j2,47 [A] X C2 200 ⏐ - 90 o
I1 = I2 + IC = 2,4 - j1,8 + 0,54 + j2,47 = 2,94 + j0,67 = 3 | 12,84 ° [A]
I1 = 3 [A] ∆U1 = Z1· I1 = 22,36 | 63,43 ° · 3 | 12,84 ° = 67,1 | 76,3 ° = 15,9 + j 65,2 [V] U1 = U + ∆U1 = 494 - j 108 + 15,9 + j 65,2 = 509,9 - j 42,8 = 511,7 | - 4,8 ° [V]
U1 = 511,7 [V] S1 = U1 · I 1* = 511,7 | - 4,8 ° · 3 | -12,84 ° = 1535,1 | -17,64 ° = 1463 - j 465,2 [VA] S1 = 1535,1 [VA] P1 = 1463 [W] Q1 = 465,2 [var] (kap.) Protože znaménko u jQ1 je záporné, jalový výkon Q1 má kapacitní charakter ϕ 1 = 17,64 ° (kap.) - 11 -
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice Postup při konstrukci FD: Výstupní napětí U2 zakreslíme do reálné osy. Protože účiník na konci má induktivní charakter, proud I2 se bude za napětím U2 zpožďovat o úhel ϕ2.
U2
I2
Úbytek napětí ∆U2 je způsoben průchodem proudu I2 odporem R2 a kapacitní reaktancí XC1. Úbytek napětí na odporu R2 je ve fázi s proudem, který jej způsobil ⇒ R2· I2 ⎟⎟ I2. Úbytek napětí na XC1 se zpožďuje o 90o za proudem I2 ⇒ XC1· I2 ⊥ I2
U2 R2· I2 XC1· I2
I2 XC1· I2
Fázorový součet těchto dvou úbytků je úbytek napětí na Z 2 tzn. ∆U2 (1. rovnice). Fázorovým součtem U2 + ∆U2 získáme napětí na příčné větvi U (2. rovnice).
U2
∆U2
R2· I2
I2 U
XC1· I2
Kondenzátor C2 je připojen na napětí U ⇒ proud IC předbíhá o 90° napětí U ⇒ IC ⊥ U (3. rovnice).
IC U2 ∆U2
R2· I2
I2 U
- 12 -
XC1· I2
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice Fázorovým součtem I2 + IC získáme proud I1 (4. rovnice).
I1
IC
U2 R2· I2
∆U2 I2
XC1· I2
U
Úbytek napětí ∆U1 je způsoben průchodem proudu I1 odporem R1 a induktivní reaktancí XL. Úbytek napětí na odporu R1 je ve fázi s proudem, který jej způsobil ⇒ R1· I1 ⎟⎟ I1. Úbytek napětí na XL předbíhá o 90° proud I1 ⇒ XL· I1 ⊥ I1.
XL· I1 I1
IC
U2 ∆U2
R2· I2
XL· I1
I2
R 1 · I1
U XC1· I2
Fázorový součet těchto dvou úbytků je úbytek napětí na Z1 tzn. ∆U1 (5. rovnice). Fázorovým součtem U + ∆U1 získáme napětí zdroje U1 (6. rovnice). Mezi U2 a I2 je úhel ϕ2 (ind.), mezi U1 a I1 je úhel ϕ1 (kap.).
I1
IC
U2
U1 ∆U2
I2
R2· I2
∆U1
XL· I1
R1· I1
U XC1· I2
Protože FD se obvykle kreslí symbolicky (bez měřítka), nemusí délky fázorů a jejich fázové posuny přesně odpovídat vypočítaným hodnotám. Snahou při kreslení FD by měla být jejich přehlednost.
- 13 -
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice
Γ - článek ∆U I1
R
C
I2
U1 cos ϕ1
L
IL
U2 cos ϕ2 (C)
Postup při konstrukci FD I2 ϕ2
Do reálné osy vyneseme napětí U2. Pod úhlem ϕ2 vyneseme proud I2. Protože na konci je kapacitní charakter, proud I2 o tento úhel předbíhá napětí U2. Pro větší přehlednost FD není dále ϕ2 zakreslován.
U2
I2
U2
Indukčnost L je připojena na napětí U2. Proud IL se proto za tímto napětím zpožďuje o 90°.
U2
Podle I. KZ platí: I1 = I2 + IL. Přičtením fázoru IL k I2 získáme proud na začátku I1.
U2
Proud I1 způsobuje úbytek napětí ∆U. Je výhodné zakreslovat úbytky na jednotlivých prvcích tzn. zvlášť na R a zvlášť na C. Na R je napětí ve fázi ⇒ rovnoběžně s I1 je úbytek R . I1. Na C se napětí XC . I1 zpožďuje za I1 o 90°.
IL I2 IL I1 IL
I2 IL I1
R .I1 XC .I1
XC .I1
- 14 -
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice I2
Výsledný úbytek napětí ∆U je dán fázorovým součtem úbytku na R a na C. Podle II. KZ platí: U1 = U2 + ∆U. Mezi U1 a I1 je úhel ϕ1. Charakter je kapacitní, protože I1 předbíhá U1.
IL R .I1
U2
I1
∆U
XC .I1
U1
Π - článek ∆U
Z
I1
U1 cos ϕ1
R
L
I
I2
C2
C1
U2 cos ϕ2 (L)
IC2
IC1
Rovnice pro řešení článku: 1) IC2 =
U2 X C2
4) U1 = U2 + ∆U
3) ∆U = Z· I
2) I = I2 + IC2
5) IC1 =
U1 X C1
6) I1 = I + IC1
Postup při konstrukci FD: Postup kreslení odpovídá postupu při výpočtu. I C2 ⊥ U2
1. rovnice:
2. rovnice:
I = I2 + IC2
IC2
U2
U2
I
IC2 I2
I2
- 15 -
Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice 3. rovnice:
∆U = Z· I R· I ⎟⎟ I
U1 = U2 + ∆U
4. rovnice: XL· I ⊥ I
U1 ∆U U2
∆U XL . I
U2
R.I I
I
IC2
IC2
I2
5. rovnice:
XL . I R.I
I2
I C1 ⊥ U1
IC1
6. rovnice:
I1 = I + IC1
U1
U1
∆U
∆U U2
U2
XL . I
I1
R.I
R.I
I
I
IC1 IC2
IC2
I2
I2
- 16 -
XL . I
