Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru • • •
•
Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky je prověření teoretických znalostí z oboru, orientace v něm a vzájemných souvislostí. Zkouška bude v případě zaměření Matematika v přírodních vědách soustředěna na následující oblasti: algebra a diskrétní matematika, matematická analýza, numerická matematika, profilový (volitelný) předmět podle zaměření na fyziku, chemii, biologii či geografii. Zkouška bude v případě zaměření Obecná matematika soustředěna na následující oblasti: algebra a diskrétní matematika, matematická analýza a volitelný předmět z výběru: geometrie, pravděpodobnost a matematická statistika.
Oblasti otázek k SZZ Zaměření Matematika v přírodních vědách Povinný blok Matematická analýza Zavedení reálných čísel a jejich vlastnosti (algebraické, vzhledem k uspořádání). Konvergence posloupností na množině reálných čísel, její vlastnosti, cauchyovské posloupnosti, Bolzanova-Weierstrassova věta. Řady reálných čísel a jejich konvergence, kritériakonvergence (odmocninové, podílové,Leibnizovo, integrální), absolutní konvergence. Reálné funkce reálné proměnné a jejich vlastnosti (monotonie, konvexita, periodicita). Limity a spojitost reálných funkcí reálné proměnné, jejich vlastnosti vzhledem k aritmetickým operacím a vzhledem k uspořádání, skládání, inverzi, Bolzanova věta o obrazech intervalů, Weierstrassova věta o dosahování extrémů. Derivace reálných funkcí reálné proměnné, její geometrický význam a vlastnosti (aritmetické operace), souvislost derivace s monotonií, konvexitou, extrémy, Rolleova věta, Lagrangeova věta o střední hodnotě. Použití derivací (průběh funkce, L'Hospitalovo pravidlo, Taylorovy polynomy). Primitivní funkce, jejich vlastnosti a existence, substituce, per partes, primitivní funkce k racionálním funkcím a funkcím na racionální funkce převoditelné. Newtonův a Riemannův integrál, výpočty pomocí substituce a integrování po částech, přibližné výpočty integrálů (obdélníková a lichoběžníková metoda, Simpsonova metoda). Použití integrálů v geometrii (obsahy, objemy, délky a povrchy) a ve fyzice (hmotnost, těžižtě, práce).
Obyčejné diferenciální rovnice 1.řádu (se separovanými proměnnými, homogenní, lineární) a 2. řádu (lineární s konstantními koeficienty). Použití diferenciálních rovnic. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných (parciální derivace, gradient, záměna proměnných v integrálu, regulární zobrazení a substituce, geometrický význam derivací a integrálué), použití na hledání extrémů (vázané i nevázané), obsahy a objemy množin v rovině a prostoru, jejich těžiště. Konvergence posloupností a řad funkcí, jejich derivace a integrál, mocninné řady a Taylorovy řady, Fourierovy řady a jejich konvergence. Křivkové a plošné integrály, potenciální pole, věty Greenova, Gaussova-Ostrogradského, Stokesova a jejich fyzikální význam a použití. Integrální transformace (Laplaceova, Fourierova) a jejich použití na řešení diferenciálních rovnic. Úlohy variačního počtu (s pevnými a volnými konci), Eulerova rovnice, použití. Algebra a diskrétní matematika Vektorové prostory (definice, podprostory vektorového prostoru, lineární závislost a nezávislost, báze, Steinitzova věta o výměně, dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru v bázi, homomorfismus a izomorfismus vektorových prostorů, reprezentace vektorového prostoru konečné dimenze aritmetickým vektorovým prostorem). Euklidovské prostory (definice, Cauchyova nerovnost, norma a metrika, ortogonalita, velikost úhlu vektorů, ortogonální báze, izomorfismus euklidovských prostorů, reprezentace euklidovských prostorů konečné dimenze, ortogonální doplněk podprostoru). Matice nad číselnými tělesy (definice, operace s maticemi, hodnost matice, matice regulární a singulární, matice inverzní). Determinanty (definice, základní vlastnosti determinantů, výpočet determinantů pomocí úprav matic zachovávajících determinant, věta o rozvoji determinantu, determinant součinu matic). Systémy lineárních rovnic (Frobeniova věta, Cramerova věta, Gaussův – Jordanův eliminační algoritmus, homogenní systémy lineárních rovnic). Dělitelnost v oboru celých čísel (přirozená a celá čísla, prvočísla, největší společný dělitel, Euklidův algoritmus, prvočíselný rozklad, kongruence, zbytkové třídy, Eulerova funkce, Čínská zbytková věta). Základní pojmy teorie grup (definice grupy, mocniny, homomorfismy, podgrupy, součiny grup). Příklady grup (grupa jednotek okruhu, symetrická grupa, alternující grupa, obecná lineární grupa, grupa symetrií obrazce, grupy na maticích, grupy v geometrii). Lagrangeova věta a její důsledky. Cyklické grupy (popis všech cyklických grup, podgrupy cyklických grup). Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi (okruhy, obory integrity, tělesa – definice, příklady, základní vlastnosti). Kvaterniony. Homomorfní a izomorfní zobrazení okruhů. Gaussovy obory. Eukleidovské obory. Podílová tělesa. Charakteristika okruhu. Dělitelnost v oboru polynomů nad oborem integrity. Ireducibilní polynomy. Základní věta algebry. Stromy (definice, základní vlastnosti, počet hran). Kořenové stromy. Königovo lemma. Enumerace stromů (kořenové stromy, stromy, binární stromy, kořenové stromy
s označkovanými vrcholy, stromy s označkovanými vrcholy). Minimální kostra grafu (Primův algoritmus). Rovinné grafy (Eulerova formule, počet hran rovinného grafu, grafy K5 a K3,3 jsou nerovinné, pravidelné konvexní mnohostěny, Kuratowského věta, dualita). Barvení grafů (chromatické číslo, horní hranice chromatického čísla). Barvení rovinných grafů (věta o čtyřech barvách, věta o pěti barvách). Toky v sítích (definice sítě a toku v síti, velikost toku, řez v síti, Fordův- Fulkersonův algoritmus, Fordova – Fulkersonova věta). Párování v grafu. Hledání maximálního párování v bipartitním grafu. Numerická matematika Chyby výpočtu. Aproximace. Interpolace. Numerické řešení soustav lineárních rovnic. Numerická integrace a derivování. Numerické metody řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Oblasti otázek z profilového zaměření na fyziku, chemii, biologii či geografii stanoví studentovi vedoucí bakalářské práce podle zaměření studenta.
Zaměření Obecná matematika Povinný blok Matematická analýza Zavedení reálných čísel a jejich vlastnosti (algebraické, vzhledem k uspořádání). Konvergence posloupností na množině reálných čísel, její vlastnosti, cauchyovské posloupnosti, Bolzanova-Weierstrassova věta. Řady reálných čísel a jejich konvergence, kritériakonvergence (odmocninové, podílové,Leibnizovo, integrální), absolutní konvergence. Reálné funkce reálné proměnné a jejich vlastnosti (monotonie, konvexita, periodicita). Limity a spojitost reálných funkcí reálné proměnné, jejich vlastnosti vzhledem k aritmetickým operacím a vzhledem k uspořádání, skládání, inverzi, Bolzanova věta o obrazech intervalů, Weierstrassova věta o dosahování extrémů. Derivace reálných funkcí reálné proměnné, její geometrický význam a vlastnosti (aritmetické operace), souvislost derivace s monotonií, konvexitou, extrémy, Rolleova věta, Lagrangeova věta o střední hodnotě. Použití derivací (průběh funkce, L'Hospitalovo pravidlo, Taylorovy polynomy). Primitivní funkce, jejich vlastnosti a existence, substituce, per partes, primitivní funkce k racionálním funkcím a funkcím na racionální funkce převoditelné. Newtonův a Riemannův integrál, výpočty pomocí substituce a integrování po částech, přibližné výpočty integrálů (obdélníková a lichoběžníková metoda, Simpsonova metoda). Použití integrálů v geometrii (obsahy, objemy, délky a povrchy) a ve fyzice (hmotnost, těžižtě, práce).
Obyčejné diferenciální rovnice 1.řádu (se separovanými proměnnými, homogenní, lineární) a 2. řádu (lineární s konstantními koeficienty). Použití diferenciálních rovnic. Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných (parciální derivace, gradient, záměna proměnných v integrálu, regulární zobrazení a substituce, geometrický význam derivací a integrálué), použití na hledání extrémů (vázané i nevázané), obsahy a objemy množin v rovině a prostoru, jejich těžiště. Konvergence posloupností a řad funkcí, jejich derivace a integrál, mocninné řady a Taylorovy řady, Fourierovy řady a jejich konvergence. Křivkové a plošné integrály, potenciální pole, věty Greenova, Gaussova-Ostrogradského, Stokesova a jejich fyzikální význam a použití. Integrální transformace (Laplaceova, Fourierova) a jejich použití na řešení diferenciálních rovnic. Úlohy variačního počtu (s pevnými a volnými konci), Eulerova rovnice, použití. Algebra a diskrétní matematika Vektorové prostory (definice, podprostory vektorového prostoru, lineární závislost a nezávislost, báze, Steinitzova věta o výměně, dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru v bázi, homomorfismus a izomorfismus vektorových prostorů, reprezentace vektorového prostoru konečné dimenze aritmetickým vektorovým prostorem). Euklidovské prostory (definice, Cauchyova nerovnost, norma a metrika, ortogonalita, velikost úhlu vektorů, ortogonální báze, izomorfismus euklidovských prostorů, reprezentace euklidovských prostorů konečné dimenze, ortogonální doplněk podprostoru). Matice nad číselnými tělesy (definice, operace s maticemi, hodnost matice, matice regulární a singulární, matice inverzní). Determinanty (definice, základní vlastnosti determinantů, výpočet determinantů pomocí úprav matic zachovávajících determinant, věta o rozvoji determinantu, determinant součinu matic). Systémy lineárních rovnic (Frobeniova věta, Cramerova věta, Gaussův – Jordanův eliminační algoritmus, homogenní systémy lineárních rovnic). Dělitelnost v oboru celých čísel (přirozená a celá čísla, prvočísla, největší společný dělitel, Euklidův algoritmus, prvočíselný rozklad, kongruence, zbytkové třídy, Eulerova funkce, Čínská zbytková věta). Základní pojmy teorie grup (definice grupy, mocniny, homomorfismy, podgrupy, součiny grup). Příklady grup (grupa jednotek okruhu, symetrická grupa, alternující grupa, obecná lineární grupa, grupa symetrií obrazce, grupy na maticích, grupy v geometrii). Lagrangeova věta a její důsledky. Cyklické grupy (popis všech cyklických grup, podgrupy cyklických grup). Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi (okruhy, obory integrity, tělesa – definice, příklady, základní vlastnosti). Kvaterniony. Homomorfní a izomorfní zobrazení okruhů. Gaussovy obory. Eukleidovské obory. Podílová tělesa. Charakteristika okruhu. Dělitelnost v oboru polynomů nad oborem integrity. Ireducibilní polynomy. Základní věta algebry. Stromy (definice, základní vlastnosti, počet hran). Kořenové stromy. Königovo lemma. Enumerace stromů (kořenové stromy, stromy, binární stromy, kořenové stromy
s označkovanými vrcholy, stromy s označkovanými vrcholy). Minimální kostra grafu (Primův algoritmus). Rovinné grafy (Eulerova formule, počet hran rovinného grafu, grafy K5 a K3,3 jsou nerovinné, pravidelné konvexní mnohostěny, Kuratowského věta, dualita). Barvení grafů (chromatické číslo, horní hranice chromatického čísla). Barvení rovinných grafů (věta o čtyřech barvách, věta o pěti barvách). Toky v sítích (definice sítě a toku v síti, velikost toku, řez v síti, Fordův- Fulkersonův algoritmus, Fordova – Fulkersonova věta). Párování v grafu. Hledání maximálního párování v bipartitním grafu.
Volitelný blok Geometrie Parametrická vyjádření podprostorů. Vzájemná poloha podprostorů euklidovského prostoru. Shodná, podobná a afinní zobrazení. Parametrická vyjádření křivek a ploch. Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnostní prostory Náhodné veličiny, rozdělení důležitá pro aplikace Bodové a intervalové odhady Testování statistických hypotéz Regrese
