Minta
Mintavétel
Statisztika I. ˝ 4. eloadás – Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm
Kóczy Á. László KGK-VMI
[email protected]
Feladatok
Minta
Mintavétel
Sokaság és minta
Alap- és mintasokaság ˝ az alapsokaságra A mintasokaság az a részsokaság, melybol következtetni szeretnénk. A következtetés sosem tökéletes! Akkor miért? Költséghatékonyság Az alapsokaság nem létezo˝ elemeire is akarunk következtetni. Az alapsokaság lehet akár végtelen elemszámú is.
Feladatok
Minta
Mintavétel
Feladatok
A sokaságok fajtái – áttekintés Véletlen egyed: ξ, eloszlásfüggvénye F (X ) = P(ξ < X ). Sokaság fajtája véges
eloszlásfüggvény (F (X ))
várható érték (M(ξ))
X -nél kisebb egyedek N
X
diszkrét
˝ lépcsos
folytonos
(ha létezik)
P
i
P(ξ = Xi )Xi
R∞
−∞ Xf (X )dX
szórásnégyzet (D 2 (ξ)) P
i (Xi
− X )2 /N
M(ξ 2 ) − M 2 (ξ) M(ξ 2 ) − M 2 (ξ)
Minta
Mintavétel
Feladatok
Minta és konkrét minta Különbséget teszünk a minta (tulajdonképpen a mintavételi eljárás, ill. annak elméleti eredménye) és egy konkrét minta (a mintavételi eljárás egyszeri alkalmazása) között. Pl: Magyar állampolgárok vagyoni helyzetét próbáljuk felmérni két véletlenszeruen ˝ kiválasztott egyén alapján. A véletlenszeruen ˝ kiválasztott minta kb. jellemzo˝ az alapsokaságra. Egy konkrét minta bármi lehet (pl. Csányi Sándor és Kóka ˝ kell majd az alapsokaságra János) – itt ebbol következtetnünk. ˝ Nagy, vagy sok minta segít a becslés pontosságában (errol ˝ a 2. eloadáson)
Minta
Mintavétel
˝ Fogalmak/jellemzok
Minta elemszáma (n) Az alapsokaság lehet véges, megszámlálhatóan végtelen (diszkrét), megszámlálhatatlanul végtelen (folytonos). A minta elemszáma mindig véges! Minta elemei Valószínuségi ˝ változók: ξ1 , . . . , ξi , . . . , ξn Mintavételi keret Az alapsokaság elemeit pontosan egyszer tartalmazza. Problémák: végtelen/változó alapsokaság Kiválasztási arány A minta és a sokaság elemeinek hányadosa: Nn A minta mérete Kis vagy nagy minta. 100 felett nagy.
Feladatok
Minta
Mintavétel
A mintavétel módja Visszatevéses v. visszatevés nélküli mintavétel A mintavétel módjaA sokaság elemszáma Végtelen Véges
visszatevéses visszatevés nélküli A mintaelemek kapcsolata... függetlenek függetlenek függetlenek nem függetlenek
Feladatok
Minta
Mintavétel
Feladatok
A mintavételi eljárások 1/2.
Véletlen mintavételi eljárások Független, azonos eloszlású minta: Ld fent. Egyszeru˝ véletlen mintavétel: homogén, véges ˝ visszatevés nélkül. sokaságból, mintavételi keretbol Rétegzett mintavétel: csoportokba osztott sokaságból – mennyit az egyes csoportokból? ˝ nj = Mn . Egyenletes: minden rétegbol ˝ nagyobb Neyman-féle optimális: Nagyobb szórású rétegbol rétegminta.
Minta
Mintavétel
Feladatok
A mintavételi eljárások 2/2. Csoportos: a sokaság egy v. több csoportját teljes egészében kiválasztjuk ˝ A csoporton belül is választunk. Többlépcsos: Kombinált. Pl: ˝ o˝ – idobeli ˝ Ismétlod változást vizsgál; több mintavétel uarról ˝ a sokaságról több idopontban. ˝ Panelfelvétel – ugyanaz a mintafelvétel több idopontban (pl ugyanazok az egyedek)
Nem véletlen mintavételi eljárások ˝ Szisztematikus mintavétel: sorbarendezett keretbol minden Nn -edik elem. Kvóta szerinti Önkényes – ma már nem igazán elfogadott.
Minta
Mintavétel
Feladatok
˝ tulajdonságai A mintajellemzok jellemzo˝ ismérvértékek átlag
sokaság x1 , x2 , . . . µ
minta ξ1 , ξ2 , . . . , ξn µ ˆ
konkrét minta x1 , x2 , . . . , xn x¯
A mintaátlag tulajdonságai: várható értéke: M(ˆ µ) = µ. szórása: D(ˆ µ) = σµˆ =
√σ n
(nagyobb minta, kisebb szórás!)
szórása (ha nemqfüggetlenek – pl egyszeru˝ mintavételnél): D(ˆ µ) = σµˆ =
√σ n
1−
n N
˝ (ez a korrekciós tényezo)
eloszlása: Normális eloszlású sokaság esetén normális. Nagy minta esetén közel normális. Egyébként nem tudjuk.
Minta
Mintavétel
Feladatok
Példa: A budapesti kétszobás lakások bérleti díja 1/3.
Alapsokaság:
30 elemu˝ minta
Minta
Mintavétel
Feladatok
Példa: A budapesti kétszobás lakások bérleti díja 2/3.
Az alapsokaságban µ = 105.465, σ = 51.3. (Ez általában ismeretlen) A mintaátlagra x = 105.486, σ σx = √100 = 5.13.
A mintaátlag eloszlása:
Minta
Mintavétel
Feladatok
6.4. gyakorló feladat ˝ áll. Egy Feltételezzük, hogy egy sokaság 10 elembol ˝ tetszoleges mennyiségi ismérv értékei a sokasági egységeknél: Sokasági ismérv egység értéke a) Határozzuk meg a A1 4 sokaság átlagát és szórását! A2 8 b) Határozzuk meg a A3 10 kételemu˝ minták átlagát! A4 10 c) Rendezzük osztályközös A5 12 gyakorisági sorba, A6 12 készítsünk gyakorisági A7 16 poligont A8 18 d) Vizsgáljuk meg az átlag A9 20 körüli szóródásukat! A1 30
Minta
Mintavétel
6.4. gyakorló feladat a) Határozzuk meg a sokaság átlagát és szórását!
4 + 8 + 10 + 10 + 12 + 12 + 16 + 18 + 20 + 30 = 14 10 s P ¯ 2 i=1 N(Xi − X ) σ = = N r (4 − 14)2 + · · · + (30 − 14)2 = = 10 r 488 p = = 48, 8 = 6, 985 10
¯ X
=
Feladatok
Minta
Mintavétel
Feladatok
6.4. gyakorló feladat b) Határozzuk meg a kételemu˝ minták átlagát!
˝ Az ismétlés nélküli kételemu˝ minták a következok: (4, 8), (4, 10), (4, 10), (4, 12), (4, 12), (4, 16), . . . (20, 30).
˝ Az átlagok a következok: 6, 7, 7, 8, 8, 10, 11, 12, 17, 9, 9, 10, 10, 12, 13, 14, 19, 10, 11, 11, 13, 14, 15, 20, 11, 11, 13, 14, 15, 20, 12, 14, 15, 16, 21, 14, 15, 16, 21, 17, 18, 23, 19, 24, 25.
Minta
Mintavétel
6.4. gyakorló feladat c) Rendezzük osztályközös gyakorisági sorba, készítsünk gyakorisági poligont
45 pár, 25 < 45 < 26 , tehát 6 csoport 6 és 25 között: Kategória fi –9 7 10–12 12 13–15 12 16–18 5 19–21 6 22– 3 összesen 45
Feladatok
Minta
Mintavétel
6.4. gyakorló feladat d) Vizsgáljuk meg az átlag körüli szóródásukat!
rP
µi i=1 m(ˆ
σµˆ =
− µ)2
= m (6 − 14)2 + · · · + (19 − 14)2 = = 45 r 976 p = = 21, 7 = 4, 66 45 √ σ = nσµˆ r
Feladatok
