Statistika Ujian Tengah Semester

 

2008 

   

 

Statistika  Ujian Tengah Semester    Soal‐jawab UTS Statistika MPSP 2008. Langkah kerja dalam menjawab soal  dipaparkan secara rinci. Sebagian besar hitungan dilakukan dengan bantuan  program aplikasi spreadsheet.   

Istiarto  Magister Pengelolaan Sarana Prasarana UGM  23‐Jun‐08 

 

Soal Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  Senin, 23 Juni 2008, Open Book, 100 menit  Dr. Ir. Istiarto, M.Eng. 

Catatan  • • • •

Soal ujian ini untuk dikerjakan sendiri tanpa kerjasama dengan orang lain.  Tidak ada pengawasan oleh petugas jaga selama ujian berlangsung.  Setiap butir soal berbobot nilai sama.  Jika dikerjakan dengan spreadsheet, file dikumpulkan (copykan kedalam flash‐disk yang  telah disediakan). Pada lembar kertas jawaban, tuliskan resume hasil dan/atau keterangan  penunjuk (nama file, nama sheet, letak grafik, dsb). 

Soal  Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah  keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan  Giripura. Dari ke‐40 RT, diperoleh data sebagai berikut:  11  7  14  9  13    1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

8.

6  15  13  12  9 

9  12  16  14  8 

14 11 20 11 10

5 10 8 15 11

11 6 16 11 16

2  4  13  6  7 

18  11  12  9  15 

Hitung jumlah keluarga miskin rata‐rata di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura.  Hitung simpangan baku jumlah keluarga miskin di 40 RT di wilayah Kecamatan Giripura.  Buat tabel frekuensi dengan rentang klas 3 (klas pertama 0.5 − 3.5).  Buat histogram data tersebut (batang dan garis) berdasarkan tabel frekuensi yang telah  Saudara buat. Sumbu horizontal (absis) adalah rentang klas dan sumbu vertikal (ordinat)  adalah frekuensi relatif.  Lengkapi tabel Saudara dengan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal (frekuensi  relatif teoretik).  Plotkan nilai frekuensi relatif menurut distribusi normal tersebut pada histogram yang telah  Saudara buat.  Dengan asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di setiap RT di wilayah Kecamatan Giripura  berdistribusi normal, perkirakanlah:  a) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8,  b) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13,  c) peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14,  d) rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata‐rata di seluruh RT di wilayah  Kecamatan Giripura.  Dengan tetap mempertahankan asumsi distribusi normal, lakukan uji hipotesis yang  menyatakan bahwa jumlah keluarga miskin rata‐rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan  Giripura adalah 10 keluarga. Gunakan tingkat keyakinan 95%. 

Istiarto 

  ‐o0o‐ 

 Soal Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  2   

 

Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  Dr. Ir. Istiarto, M.Eng. 

Soal  Menjelang pelaksanaan program BLT beberapa waktu yang lalu, dilakukan perhitungan jumlah  keluarga miskin yang berhak menerima BLT di 40 RT dari seluruh 90 RT di wilayah Kecamatan  Giripura. Dari ke‐40 RT, diperoleh data sebagai berikut:  11  7  14  9  13 

6  15  13  12  9 

9  12  16  14  8 

14 11 20 11 10

5 10 8 15 11

11 6 16 11 16

2  4  13  6  7 

18  11  12  9  15 

  Hitunglah berbagai parameter statistik data tersebut. 

Penyelesaian  Berbagai parameter statistik yang ditanyakan pada soal di atas dapat dihitung dengan bantuan  program aplikasi spreadsheet MSExcel.  Nilai rata­rata dan simpangan baku  Jumlah keluarga miskin rata‐rata dan simpangan baku jumlah keluarga miskin dengan mudah  dapat dihitung dengan memakai fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, yaitu  =AVERAGE(…) dan =STDEV(…). Apabila data jumlah keluarga miskin di 40 RT tersebut dituliskan  pada cell A1:H5, maka:    

A  1  2  3  4  5 

B  11  7  14  9  13 

C 6  15  13  12  9 

D 9 12 16 14 8

E 14 11 20 11 10

F 5 10 8 15 11

G  11 6 16 11 16

H  2  4  13  6  7 

18  11  12  9  15 

  − − − −

jumlah keluarga miskin minimum dalam satu RT =MIN($A$1:$H$5) = 2  jumlah keluarga miskin maximum dalam satu RT =MAX($A$1:$H$5) = 20  jumlah keluarga miskin rata‐rata =AVERAGE($A$1:$H$5) = 11  simpangan baku jumlah keluarga miskin =STDEV($A$1:$H$5) = 4 

Perlu dicatat bahwa jumlah keluarga miskin rata‐rata dan simpangan baku jumlah keluarga  miskin adalah bilangan bulat positif, sedangkan fungsi =AVERAGE(…) dan =STDEV(…) dapat  menghasilkan nilai pecahan. Hal ini dapat disiasati dengan memformat cell yang berisi hasil  hitungan kedua fungsi tersebut sedemikian hingga berupa bilangan tanpa desimal. Cara lain  yang lebih tepat adalah dengan memakai fungsi =ROUND(…,0) yang akan membulatkan angka  (tanpa angka desimal): 

Istiarto 

− −

jumlah keluarga miskin rata‐rata =ROUND(AVERAGE($A$1:$H$5),0) = 11  simpangan baku jumlah keluarga miskin =ROUND(STDEV($A$1:$H$5),0) = 4 

Hitungan nilai rata‐rata dan simpangan baku dapat pula dilakukan dalam bentuk tabulasi seperti  ditampilkan berikut ini. 

 Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  3   

 

Jumlah keluarga miskin (X)  0.5  3.5  6.5  9.5  12.5 

−  −  −  −  − 

Frek (f) 

f × X 

2

f × X  

3.5  6.5  9.5  12.5  15.5 

2  5  8  11  14 

1  5  8  12  9 

2  25  64  132  126 

4  125  512  1452  1764 

15.5  −  18.5  18.5  −  21.5 

17  20  Jumlah (Σ) 

4  1  40 

68  20  437 

1156  400  5413 

  Jumlah keluarga miskin rata‐rata,  , dan simpangan baku jumlah keluarga miskin, sX, dihitung  dengan cara sebagai berikut:  ∑ ∑

437 40

11  ∑

∑ ∑

∑

5413 40 11 40 1

1

4 

Tabel frekuensi  Tabel frekuensi dibuat dengan bantuan MSExcel. Di bawah ini dicuplikkan beberapa langkah  pembuatan tabel frekuensi.     11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24 

N 

O 

P 

Q

R

S

  

Jumlah keluarga miskin (X) 

Frek (f) 

(0)  0.5−3.5  3.5−6.5  6.5−9.5  9.5−12.5  12.5−15.5  15.5−18.5  18.5−21.5                

(1)  (2)  (3) (4) 0.5  −  3.5 2 3.5  −  6.5 5 6.5  −  9.5 8 9.5  −  12.5 11 12.5  −  15.5 14 15.5  −  18.5 17 18.5  −  21.5 20       Σ =       Lebar klas =  Jumlah keluarga miskin rata‐rata = Simpangan baku =

(5) 1 5 8 12 9 4 1 40 3 11 4

T Frek Rel  (f/Σf)  (6) 0.025 0.125 0.2 0.3 0.225 0.1 0.025 1

U  V Frek Rel Teoretik Dist  Normal  (7)  (8) 0.023805  0.026064 0.097138  0.099898 0.225853  0.223536 0.299207  0.29234 0.225853  0.223536 0.097138  0.099898 0.023805  0.026064                              

Istiarto 

  Kolom ke‐0 (kolom N) bukan merupakan bagian dari tabel frekuensi; kolom ini akan dipakai  sebagai absis (sumbu horizontal) histogram. Kolom ini berisi text yang diperoleh dengan  mengubah nilai (karakter) angka pada kolom ke‐1 dan ke‐3 menjadi karakter text, misal  N13=TEXT(O13,”0.0”)&P13&TEXT(Q13,”0.0”). Copy‐kan cell ini ke cell N14 s.d. N19.  Kolom ke‐1 merupakan batas bawah rentang klas jumlah keluarga miskin dan kolom ke‐3 adalah  batas atas jumlah keluarga miskin. Nilai batas bawah suatu klas adalah nilai batas atas klas  sebelumnya. Jadi, nilai batas bawah klas pertama diisikan langsung, O13=0.5, sedangkan nilai  batas bawah klas‐klas selanjutnya adalah sama dengan batas atas klas sebelumnya, jadi  O14=Q13 dan copy‐kan cell ini ke cell O15 s.d. O19.   Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  4   

  Nilai pada kolom ke‐3 diperoleh dengan menambahkan 3 pada nilai pada kolom ke‐2, misal  Q13=O13+3. Copykan cell ini ke cell Q14 s.d. Q19.  Kolom ke‐4 merupakan nilai klas, yang dianggap sama dengan nilai tengah (median) rentang  klas, misal R13=(O13+Q13)/2. Copy‐kan cell ini ke cell R14 s.d. R19.  Frekuensi (f) pada kolom ke‐5 diperoleh dengan memakai fungsi =FREQUENCY(…,…) dengan  langkah sebagai berikut:  − − − − − − −

pilih cell S13:S19,  tulis =FREQUENCY(,  pilih cell yang berisi data jumlah keluarga miskin, A1:H5,  tulis tanda baca koma,  pilih cell yang berisi batas atas rentang klas kecuali batas atas klas terakhir, Q13:Q14,  tulis tanda baca kurung tutup,  tekan tombol CONTROL+SHIFT+ENTER bersama‐sama. 

Jumlahkan frekuensi seluruh klas jumlah keluarga miskin, S20=SUM(S13:S19).  Frekuensi relatif pada kolom ke‐6 diperoleh dengan mudah dengan membagi nilai pada  frekuensi dengan nilai jumlah frekuensi seluruh klas, misal T13=S13/$S$20. Copy‐kan cell ini ke  cell T14 s.d. T19. Jumlah frekuensi relatif seluruh klas haruslah sama dengan satu,  T20=SUM(T13:T19).  Frekuensi relatif teoretik menurut distribusi normal dihitung dengan dua cara. Cara pertama  adalah dengan persamaan pdf distribusi normal sebagai berikut:  ∆ ·

 

Dalam persamaan di atas, fX(x) adalah frekuensi relatif, Δx adalah rentang (lebar) klas, dan pX(x)  adalah ordinat kurva normal. Rentang klas adalah 3 dan ordinat kurva normal (pdf) dihitung  dengan fungsi yang telah disediakan dalam MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,FALSE). Frekuensi  relatif klas pertama, dengan demikian adalah U13=$S$22*NORMDIST(R13,$S$23,$S$24,FALSE).  Copy‐kan cell ini ke cell U14 s.d. U19.  Cara kedua untuk menghitung frekuensi relatif adalah dengan mengingat hubungan antara pdf  dan cdf sebagai berikut:  ∆ · ∆ ∆

∆  

Istiarto 

Dalam persamaan di atas, PX(xbatas atas) = prob(X < xbatas atas) dan PX(xbatas bawah) = prob(X <  xbatas bawah). Cdf distribusi normal ini dapat dihitung dengan fungsi yang telah disediakan dalam  MSExcel, =NORMDIST(…,…,…,TRUE). Frekuensi relatif klas pertama, dengan demikian adalah  V13=NORMDIST(Q13,$S$23,$S$24,TRUE) − NORMDIST(O13,$S$23,$S$24,TRUE). Copy‐kan cell  ini ke cell V14 s.d. V19. 

 Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  5   

  Histogram  Histogram dibuat dengan bantuan fasilitas chart yang telah disediakan dalam MSExcel. Ada  beberapa cara untuk membuat histogram dengan MSExcel. Di bawah ini dicuplilkkan salah satu  di antaranya.  − − − − − −

pilih tiga kolom, kolom ke‐6, 7, dan 8,  pilih Insert | Chart | Column,  edit ketiga seri bar chart dengan memilih kolom ke‐0 sebagai absis,  ubah seri ke‐3 dari column chart menjadi line chart tanpa simbol dan haluskan kurva  dengan memilih jenis smoothed line,  ubah seri ke‐2 dari column chart menjadi line chart dengan simbol,  edit chart dengan menambahkan judul pada kedua sumbu, legenda, dan hal‐hal lain  agar chart mudah dibaca. 

0.35 Data 0.30 Distribusi Normal (teoretik)

Frekuensi Relatif

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00 0.5−3.5

3.5−6.5

6.5−9.5

9.5−12.5

12.5−15.5

15.5−18.5

18.5−21.5

Jumlah Keluarga Miskin

Nilai probabiliti  Nilai berbagai probabiliti dapat dengan mudah dihitung dengan bantuan fungsi  =NORMDIST(…,…,…,TRUE) yang telah disediakan dalam MSExcel. 

 

Istiarto 

Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT kurang daripada 8:  prob(X < 8) = PX(8) =NORMDIST(8, $S$23,$S$24,TRUE) = 0.2266 

 Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  6   

 

 

  Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT antara 9 s.d. 13:  prob(9 < X < 13)   = prob(X < 13) − prob(X < 9) = PX(13) − PX(9)     = NORMDIST(13, $S$23,$S$24,TRUE) − NORMDIST(9, $S$23,$S$24,TRUE)     = 0.3829 

  Peluang jumlah keluarga miskin di suatu RT lebih daripada 14:  prob(X > 14)   = 1 – prob(X < 14) = 1 – PX(14)      = 1 – NORMDIST(14, $S$23,$S$24,TRUE)     = 0.2266  Rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata­rata di seluruh RT di wilayah  Kecamatan Giripura  Rentang keyakinan (confidence interval) jumlah keluarga miskin rata‐rata di seluruh RT di  wilayah Kecamatan Giripura didefinisikan sebagai rentang jumlah keluarga miskin dengan batas  bawah L dan batas atas U sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan (1 – α), atau dengan  probabilitas (1 – α), nilai temperatur air rata‐rata, μX, berada di dalam rentang tersebut:   prob(L < μX < U) = 1 − α  Mengingat asumsi bahwa jumlah keluarga miskin di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura  berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang didefinisikan sebagai  µ ⁄   berdistribusi t. Dengan demikian, rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata‐ rata dapat dicari dari:  prob

µ

1

α 

Istiarto 

Jika nilai v1 dan v2 ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v1) = prob(t > v2), dan dengan  demikian prob(t < v1) = prob(t > v2) = α/2 (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan batas  atas rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata‐rata dapat diperoleh dari: 

 Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  7   

 

  prob

µ ⁄ ,

prob

1

⁄ ,

µ

·

⁄ ,

α  ·

⁄ ,

1

α 

Dalam persamaan di atas, n adalah jumlah data (n = Σf), tα/2 dan t1−α/2 masing‐masing adalah  nilai t sedemikian hingga prob(T < tα/2) = α/2 dan prob(T < t1−α/2) = 1 − α/2 untuk ν = n − 1  ⁄√ . Nilai batas bawah dan batas atas jumlah keluarga miskin  degrees of freedom, serta  rata‐rata dengan demikian adalah:  ·

⁄ ,

dan

⁄ ,

·

 

Karena nilai degrees of freedom ν = 39 dan tingkat keyakinan 1 − α = 0.90 (α/2 = 0.05 dan  1 − α/2 = 0.95), maka dengan memakai fungsi =TINV(…,…), diperoleh nilai‐nilai sebagai berikut:  prob(T < t0.95,39) = 0.95 Æ t0.95,39 =TINV(2*(1−0.95),39) = 1.6849  prob(T < t0.05,39) = 0.05 Æ t0.05,39 = −t0.95,39 = −1.6849  Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jumlah keluarga miskin rata‐ rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah:  11

1.6849 4⁄√40

10  dan  

11

1.6849 4⁄√40

12 

sehingga rentang keyakinan 90% jumlah keluarga miskin rata‐rata di seluruh RT di wilayah  Kecamatan Giripura adalah 10 12.  Catatan: dalam memakai fungsi =TINV(…,…) untuk mencari nilai t perlu diperhatikan bahwa  fungsi =TINV(p,ν) memberikan nilai t sedemikian hingga p = prob(T > t) untuk ν degrees of  freedom dengan asumsi two‐tailed distribution. Apabila hendak mencari nilai t dengan asumsi  one‐tailed distribution, dipakai =TINV(2p,ν). Dalam soal ini, nilai yang dicari adalah nilai t  sedemikian hingga q = prob(T < t) = 1 – prob(T > t) = 1 – p untuk ν degrees of freedom dan one‐ tailed distribution. Oleh karena itu, nilai t dihitung dengan cara =TINV(2*(1−q),ν). Catatan ini  akan lebih mudah difahami dengan mencermati sketsa di bawah ini. 

Istiarto 

=−TINV(p,ν)

=TINV(p,ν)

two‐tailed distribution

=−TINV(2p,ν)

=TINV(2p,ν)

one‐tailed distribution

 Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  8   

 

  Uji hipotesis jumlah keluarga miskin rata­rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan  Giripura  Data jumlah keluarga miskin diperoleh dari sampel. Dengan demikian, nilai simpangan baku  adalah nilai sampel (sX), sehingga nilai simpangan baku populasi (σX) tidak diketahui. Oleh  karena itu, dalam uji hipotesis jumlah keluarga miskin rata‐rata ini, bentuk hipotesis dan statistik  ujinya adalah sebagai berikut:  Hipotesis:  H0: μX = 10  H1: μX ≠ 10   Statistik uji:  √

10

√40 11 4

berdistribusi t 

10

1.5811

Dengan tingkat keyakinan 1 − α = 0.95, maka batas kritis nilai t adalah:  ⁄ ,

.

,

TDIST 2

1

0.975 , 39

2.0227 

 maka H0 tidak ditolak. Jadi, hipotesis bahwa jumlah keluarga miskin rata‐ Karena T <  ⁄ , rata di seluruh RT di wilayah Kecamatan Giripura adalah 10 dapat diterima.   

Istiarto 

‐o0o‐ 

 Jawaban Ujian Tengah Semester Statistika MPSP 2008  9