Statistické metody v psychologii

Statistick´ e metody v psychologii studijn´ı opora pro rok 2016/17 k pˇredmˇet˚ um SMP1B, SMP1D, SMP2B a SMP2D

´l Daniel Dosta

Obsah ´ Uvod

5

1 Z´ akladn´ı matematick´ e pojmy 1.1 Mnoˇziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Matematické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7

2 N´ ahoda a pravdˇ epodobnost 2.1 Náhodn´ y jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Pravdˇepodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Klasická pravdˇepodobnost . . . . . . . . 2.2.2 Geometrická pravdˇepodobnost . . . . . . 2.3 Náhodná veliˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti a distribuˇcn´ı funkce ˇ ıselné charakteristiky náhodn´ 2.5 C´ ych veliˇcin . . . .

2.6

2.7

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

11 11 12 13 13 15 17

. . . . . . . 2.5.1 Stˇredn´ı hodnota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Kovariance, závislost a nezávislost náhodn´ ych veliˇcin 2.5.4 Kvantily náhodné veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . Diskrétn´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Alternativn´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Binomické rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Poissonovo rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Dalˇs´ı diskrétn´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti . . . . . . Spojitá rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Rovnomˇerné rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Normáln´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Normované normáln´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 Rozdˇelen´ı χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.5 Studentovo t-rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.6 Fisherovo F rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20 22 22 24 25 27 27 28 29 30 32 33 34 38 39 40

3 Popisn´ a statistika 3.1 Statistick´ y soubor a statistick´ y znak . . . . . ˇ 3.2 Cetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Extrémy, variaˇcn´ı rozpˇet´ı a odlehlá pozorován´ı 3.3.1 Odlehlá pozorován´ı . . . . . . . . . . . 3.4 M´ıry polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

42 . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

43 44 45 47 47

3.5

3.6 3.7

3.4.1 Aritmetick´ y pr˚ umˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Robustn´ı modifikace aritmetického pr˚ umˇeru . . . . . . . 3.4.3 Medián a v´ ybˇerov´ y kvantil . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 V´ ybˇerov´ y modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Krabicov´ y graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ıry variability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Pr˚ umˇerná absolutn´ı a mediánová absolutn´ı odchylka . . 3.5.2 Souˇcet ˇctverc˚ u, v´ ybˇerov´ y rozptyl a smˇerodatná odchylka 3.5.3 Variabilita kvalitativn´ıho znaku . . . . . . . . . . . . . . V´ ybˇerová ˇsikmost a ˇspiˇcatost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´ıry závislosti statistick´ ych znak˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 V´ ybˇerová kovariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Dalˇs´ı varianty Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu . . . . 3.7.4 Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5 Bodov´ y graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

4 Statistick´ e odhady 4.1 Náhodn´ y v´ ybˇer a statistiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Bodové odhady parametr˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Odhad stˇredn´ı hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Odhad rozptylu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Odhad korelaˇcn´ıho koeficientu . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Intervaly spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interval spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu . . . . . . . . . . 4.3.2 Interval spolehlivosti pro rozptyl a smˇerodatnou odchylku .

4.4

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

47 49 50 52 52 54 54 55 57 57 59 60 60 63 64 65

. . . . . . . .

67 68 70 72 73 74 77 81 83

4.3.3

*Interval spolehlivosti pro rozd´ıl stˇredn´ıch hodnot* . . . . . . . . . 84

4.3.4

*Interval spolehlivosti pro relativn´ı ˇcetnost* . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.5 *Interval spolehlivosti pro Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient* . . . . . 86 Metafora populace a v´ ybˇer“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ”

5 Testov´ an´ı statistick´ ych hypot´ ez 5.1 Datová matice a typy promˇenn´ ych . . . . . . . . . . . . 5.2 Logika testován´ı statistick´ ych hypotéz . . . . . . . . . . . 5.2.1 Statistick´ y test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Jednostranné a dvoustranné alternativn´ı hypotézy 5.3 Praktická v´ yznamnost a m´ıry u ´ˇcinku . . . . . . . . . . . 5.4 Parametrické testy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Jednov´ ybˇerov´ y t-test a párov´ y t-test . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

89 89 91 92 96 98 100 101

5.5

5.6

5.7

5.8

5.4.2 T-test pro dva nezávislé v´ ybˇery a Welch˚ uv test 5.4.3 Test rozptylu a F-test . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Testy korelaˇcn´ıho koeficientu . . . . . . . . . . . 5.4.5 Anal´ yza rozptylu pˇri jednoduchém tˇr´ıdˇen´ı . . . 5.4.6 Ovˇeˇren´ı pˇredpoklad˚ u a testy normality . . . . . Anal´ yza s´ıly testu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

104 109 111 113 118 124

5.5.1 *V´ ypoˇcet s´ıly testu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Stanoven´ı rozsahu souboru . . . . . . . . . . . . . . . . . . Testy dobré shody a dalˇs´ı testy ˇcetnost´ı . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Test dobré shody pro jeden v´ ybˇer . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Kontingenˇcn´ı tabulky a jejich testován´ı . . . . . . . . . . . 5.6.3 Fisher˚ uv faktoriálov´ y test . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4 McNemar˚ uv test a test symetrie podle Bowkera . . . . . . Neparametrické testy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Znaménkov´ y test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Wilcoxon˚ uv jednov´ ybˇerov´ y test a Wilcoxon˚ uv párov´ y test 5.7.3 Mann˚ uv-Whitney˚ uv U-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Test Spearmanova korelaˇcn´ıho koeficientu . . . . . . . . . 5.7.5 Kruskall˚ uv-Wallis˚ uv test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V´ ybˇer statistického testu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

127 129 131 134 135 139 141 144 145 148 151 155 156 157

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

164 164 172 172 173 173

6 Cviˇ cen´ı 6.1 Poˇc´ıtán´ı se sumou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Práce s pravdˇepodobnost´ı, vyuˇzit´ı kombinatorick´ ych pravidel 6.2.1 Kombinatorické pravidlo soˇctu a souˇcinu . . . . . . . 6.2.2 Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Práce s ˇc´ıseln´ ymi charakteristikami náhodn´ ych veliˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Distribuˇcn´ı funkce a pravdˇepodobnostn´ı funkce diskrétn´ı náhodné veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Distribuˇcn´ı funkce a hustota pravdˇepodobnosti spojité náhodné veliˇciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 M´ıry polohy a variability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Korelaˇcn´ı koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Grafická reprezentace dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Intervaly spolehlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . 179 . . . . . . . . 184 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

188 193 196 200 204

´ Uvod Statistika se mezi studenty spoleˇcensk´ ych vˇed obvykle netˇeˇs´ı velké oblibˇe a obecnˇe má sp´ıˇs ˇspatnou povˇest. Nen´ı nezvyklé, ˇze i studenti s v´ yborn´ ym prospˇechem vid´ı ve statistick´ ych postupech jen obskurn´ı rituály s ˇc´ısly, které kdyˇz bezchybnˇe vykonáme, vypliv” nou“ nˇejakou hodnotu, která má dát odpovˇed’ na naˇsi otázku. Autoˇri uˇcebnic statistiky se s malou oblibou tohoto pˇredmˇetu snaˇz´ı bojovat. Mezi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı zbranˇe patˇr´ı vedle záplavy metafor a obrázk˚ u bohuˇzel i zjednoduˇsován´ı látky na nejniˇzˇs´ı u ´roveˇ n, která jeˇstˇe dává smysl. Statistika se pak zmˇen´ı ve vyprávˇen´ı pˇr´ıbˇeh˚ u o tom, jak správnˇe provádˇet rituály. Autor tohoto textu se domn´ıvá, ˇze tato cesta ke k´ yˇzenému v´ ysledku nevede. Metafory a zjednoduˇsená podobenstv´ı jsou bezesporu skvˇel´ ymi pomocn´ıky, ale jen do té doby, neˇz doˇcista nahrad´ı p˚ uvodn´ı sdˇelen´ı. Studenti psychologie jsou vyb´ıráni podle pˇr´ısn´ ych kritéri´ı a o jejich schopnosti chápat abstraktn´ı problémy nem˚ uˇze b´ yt pochyb. M´ısto krásné vˇedy, jakou statistika je, jim nen´ı potˇreba serv´ırovat pˇr´ıbˇehy, aby pochopili. Z tohoto pˇresvˇedˇcen´ı tato skripta vycház´ı. Statistické poznán´ı zde bude budováno od svého matematického základu. Daˇ n, která se za to plat´ı, je urˇcitá suchopárnost – zejména pro ty studenty, kteˇr´ı nenacház´ı zal´ıben´ı ve svˇetˇe matematick´ ych konstrukt˚ ua kteˇr´ı potˇrebuj´ı na kaˇzdém kroku ujiˇst’ovat, ˇze z´ıskané znalosti opravdu k nˇeˇcemu jsou. Pokud se vˇsak napln´ı ambice autora tohoto textu, tak ˇctenáˇri bude odmˇenou opravdové porozumˇen´ı statistice v psychologickém v´ yzkumu. Tedy nejen schopnost bezchybnˇe provést onen rituál, ale i znalost toho, co se dˇeje pod jeho povrchem. Na závˇer pˇripojme jeˇstˇe jedno upozornˇen´ı. Mnoho lid´ı, kdyˇz slyˇs´ı o matematice a ˇcemkoli, co s n´ı souvis´ı, prohlás´ı, ˇze na to nemaj´ı hlavu a pˇrestanou poslouchat. Pokud to je váˇs pˇr´ıpad, bud’te si jist´ı, ˇze vaˇse hlava funguje v´ıc neˇz skvˇele. To, ˇze jste se octli v tomto kurzu, znamená, ˇze za sebou máte anabázi test˚ u, pohovor˚ u a dalˇs´ıch u ´trap, které skonˇcily u ´spˇechem. To, co scház´ı, nen´ı v hlavˇe, ale v srdci a je jen na vás to zmˇenit.

Ten, kdo ˇr´ıká, ˇze to dokáˇze, i ten, kdo ˇr´ıká, ˇze to nedokáˇze, oba maj´ı pravdu.

5

1

Z´ akladn´ı matematick´ e pojmy

1.1

Mnoˇ ziny

V matematice oznaˇcujeme pojmem mnoˇzina soubor libovoln´ ych prvk˚ u. Uvaˇzujeme-li tedy mnoˇzinu, kterou pojmenujeme napˇr´ıklad M , m˚ uˇzeme pro jak´ ykoli objekt (ˇr´ıkejme mu tˇreba x) rozhodnout, zdali náleˇz´ı mnoˇzinˇe M (zapisujeme x ∈ M ) nebo, zdali j´ı nenáleˇz´ı (x ∈ / M ). Chceme-li nˇejakou mnoˇzinu vymezit, obvykle to provedeme tak, ˇze vyp´ıˇseme vˇsechny jej´ı prvky do sloˇzen´ ych závorek. Napˇr´ıklad takto: M = {2, 4, 6, 8, 10}. Nebo do sloˇzen´ ych závorek vyp´ıˇseme podm´ınky, které pokud libovoln´ y prvek splˇ nuje, tak je prvkem mnoˇziny. Tˇreba zápis N = {x ∈ M : x < 7} by oznaˇcoval mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u mnoˇziny M , které jsou menˇs´ı neˇz ˇc´ıslo 7. Tedy N = {2, 4, 6}. O mnoˇzinˇe N nav´ıc m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze je podmnoˇzinou mnoˇziny M . Znamená to, ˇze vˇsechny jej´ı prvky jsou obsaˇzeny zároveˇ n v mnoˇzinˇe M (pouˇzili bychom oznaˇcen´ı N ⊂ M ). Nˇekdy je také uˇziteˇcné nˇekolik mnoˇzin slouˇcit do jedné. Poˇz´ıvá se k tomu symbol sjednocen´ı (∪). Mohli bychom napˇr´ıklad ˇr´ıct, ˇze {3, 4, 5} ∪ {0, 5, 10} = {0, 3, 4, 5, 10}. Slovnˇe jej vyjadˇrujeme jako nebo“. Jde tedy o prvky, které patˇr´ı do prvn´ı nebo do druhé ” z uveden´ ych mnoˇzin. Jindy nás zaj´ımá, zdali existuj´ı nˇejaké prvky, které patˇr´ı do prvn´ı a zároveˇ n do druhé mnoˇziny. Hovoˇr´ıme pak o pr˚ uniku mnoˇzin (∩). M˚ uˇzeme napˇr´ıklad ˇr´ıct {3, 4, 5} ∩ {0, 5, 10} = {5}. Pokud dvˇe mnoˇziny nemaj´ı ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y prvek, a jejich pr˚ unikem je tedy prázdná mnoˇzina, oznaˇcujeme je za disjunktn´ı. Ve v´ yˇse uveden´ ych pˇr´ıkladech jsme pˇredpokládali, ˇze prvky mnoˇzin jsou ˇc´ısla. To je neˇcastˇejˇs´ı pˇr´ıpad, ale nen´ı to pravidlem – m˚ uˇzeme tˇreba vymezit mnoˇzinu student˚ u psychologie, mnoˇzinu nedˇeln´ıch odpoledn´ı, nebo mnoˇzinu nápad˚ u, které máme na veˇc´ırku po ˇctvrté tequile. Vzhledem k tomu, ˇze práce s ˇc´ısly nám usnadn´ı mnoho námahy, pˇripomeˇ nme si alespoˇ n dvˇe ˇc´ıselné mnoˇziny, na které se budeme odvolávat nejˇcastˇeji.

6

• Mnoˇzina cel´ ych ˇ c´ısel (odted’ j´ı budeme vˇzdy oznaˇcovat Z) obsahuje vˇsechna ˇc´ısla, která m˚ uˇzeme zapsat bez desetinné ˇca´rky. Tedy napˇr´ıklad hodnoty 1, 10, 55 ale i 0 a záporná ˇc´ısla jako je -6, -100. • Mnoˇzina re´ aln´ ych ˇ c´ısel (R) obsahuje vˇsechny hodnoty, které si pod slovem ˇc´ıslo bˇeˇzn´ y ˇclovˇek dokáˇze pˇredstavit. Jednak vˇsechna celá ˇc´ısla, desetinná ˇc´ısla, zlomky √ i ˇc´ısla, která jako zlomek zapsat nedokáˇzeme (tˇreba 2). Plus a m´ınus nekoneˇcno (znaˇc´ıme ∞) mezi reálná ˇc´ısla vˇsak nepatˇr´ı. V matematick´ ych vzorc´ıch se pomˇernˇe ˇcasto m˚ uˇzeme setkat se dvˇema reáln´ ymi ˇc´ısly, jejichˇz pˇresnou hodnotu nedokáˇzeme zapsat pomoc´ı ˇc´ıslic: • π (p´ı) – má hodnotu pˇribliˇznˇe 3.14, • e (Eulerovo ˇc´ıslo) – má hodnotu pˇribliˇznˇe 2.72. Obˇe mnoˇziny, reálná i celá ˇc´ısla, maj´ı nekoneˇcn´ y poˇcet prvk˚ u. I pˇresto je vˇsak zjevné, ˇze reáln´ ych ˇc´ısel je nesrovnatelnˇe v´ıce neˇz cel´ ych ˇc´ısel. Dokonce m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze mezi kaˇzd´ ymi dvˇema reáln´ ymi ˇc´ısly existuje opˇet nekoneˇcno reáln´ ych ˇc´ısel. Pˇri práci s reáln´ ymi ˇc´ısly je nˇekdy uˇziteˇcné vyb´ırat podmnoˇziny obsahuj´ıc´ı vˇsechny prvky, které jsou ohraniˇcené nˇejak´ ymi dvˇema hodnotami. Napˇr´ıklad vˇsechny hodnoty, které jsou menˇs´ı nebo rovny neˇz 10 a vˇetˇs´ı nebo rovny neˇz -1. Takov´ ymto podmnoˇzinám ˇr´ıkáme intervaly a m´ısto ponˇekud tˇeˇzkopádného zápisu {x ∈ R : (x < 10) ∩ (x > −1)} bychom jednoduˇse napsali (−1, 10). Uvedenému intervalu ˇr´ıkáme otevˇren´ y interval, jelikoˇz neobsahuje své krajn´ı hodnoty (10 a -1 do nˇej nepatˇr´ı). Pokud bychom je do intervalu zahrnuli, budeme jej oznaˇcovat jako uzavˇren´ y interval a znaˇcit [−1, 10]. Interval samozˇrejmˇe m˚ uˇze b´ yt z jedné strany uzavˇren´ y a z druhé otevˇren´ y. Napˇr´ıklad interval vˇsech nezáporn´ ych ˇc´ısel bychom zapsali [0, ∞)1 .

1.2

Matematick´ e funkce

Pojmem funkce se v matematice rozum´ı urˇcit´ y pˇredpis, kter´ y kaˇzdému prvku jedné mnoˇziny (ˇr´ıkáme j´ı definiˇ cn´ı obor funkce, Df ) pˇripisuje právˇe jeden prvek z druhé mnoˇziny (tu oznaˇcujeme jako obor hodnot, Hf ). Nejˇcastˇeji jsou definiˇcn´ı obor i obor hodnot nˇejaké podmnoˇziny mnoˇziny reáln´ ych ˇc´ısel, aˇc to nen´ı pravidlem – funkce m˚ uˇzou pracovat s libovoln´ ymi mnoˇzinami. Pokud si vybereme tˇreba prvek x, kter´ y náleˇz´ı definiˇcn´ımu oboru funkce f , pak funkˇcn´ı 1

Uzavˇren´ y konec intervalu se tak´ a nˇekdy znaˇc´ı symbolem < nebo > m´ısto hranat´ ych závorek. Oba z´ apisy jsou ekvivalentn´ı a m˚ uˇzeme je volnˇe zamˇen ˇovat. Z d˚ uvodu jednoznaˇcnosti v tiˇstˇeném textu budeme pouˇz´ıvat hranaté z´ avorky

7

hodnota funkce f v bodˇe x bude rovna nˇejakému y z oboru hodnot. Jednoduˇse bychom toto tvrzn´ı zapsali jako vztah: f (x) = y, kde x ∈ Df , y ∈ Hf . Prvek x oznaˇcujeme argument funkce f . Existuje v´ıce zp˚ usob˚ u, jak vymezit nˇejakou konkrétn´ı funkci – m˚ uˇzeme napˇr´ıklad vyjmenovat vˇsechny prvky definiˇcn´ıho oboru a k nim pˇripsat jejich funkˇcn´ı hodnoty. To ale v pˇr´ıpadˇe rozsáhl´ ych (nebo dokonce nekoneˇcn´ ych) mnoˇzin dost dobˇre nen´ı moˇzné. Vhodné je pak funkci definovat pomoc´ı nˇejakého matematického vzorce. Na nˇejaké ˇc´ıselné mnoˇzinˇe m˚ uˇzeme definovat napˇr´ıklad funkci jménem g takto: g(x) = 2x + 5. Snadno zjist´ıme, ˇze funkˇcn´ı hodnota této funkce v bodˇe 3 bude rovna 11 a tˇreba v bodˇe −1 ˇc´ıslu 3. Mnoˇzinu vˇsech uspoˇrádan´ ych dvojic {(x, f (x)), x ∈ Df } naz´ yváme graf funkce, a jak název napov´ıdá, umoˇzn ˇuje nám pr˚ ubˇeh funkce zobrazit. Graf vykresl´ıme pomoc´ı dvou na sebe kolm´ ych os. Na horizontáln´ı (iksovou) vyneseme jednotlivé hodnoty z definiˇcn´ıho oboru a na svislou (ypsilovnovou) pˇr´ısluˇsné funkˇcn´ı hodnoty. V´ ysledkem pak bude nˇejaká kˇrivka nebo mnoˇzina izolovan´ ych bod˚ u. Rozmanit´ ych funkc´ı m˚ uˇzeme definovat libovoln´ y poˇcet. Pˇripomeˇ nme si nˇejaké základn´ı funkce a jejich grafy. Line´ arn´ı funkce vyjadˇruj´ı vztah pˇr´ımé nebo nepˇr´ımé u ´mˇery mezi argumentem funkce a funkˇcn´ı hodnotou. Lineárn´ı funkci m˚ uˇzeme vyjádˇrit ve tvaru y = a + bx, kde a a b jsou konstanty (tedy libovolná ˇc´ısla). M˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze za kaˇzd´ y bod, o kter´ y naroste hodnota argumentu x, vzroste funkˇcn´ı hodnota y o b bod˚ u (pokud je b < 0, jde pochopitelnˇe o pokles). Pokud je b = 0, pak pˇr´ısnˇe vzato o linérn´ı funkci nejde, ale hovoˇr´ıme o konstatn´ı funkci. Grafem lineárn´ı funkce je vˇzdy pˇr´ımka. y = −0.5x + 1

y=x 1

−1

0

y = 1.5

1

1

x

−1

1

0

1

x

−1

0

1

x

−1

Kvadratick´ a funkce obsahuje ve svém pˇredpisu argument v druhé mocninˇe. Obecnˇe bychom ji mohli vystihnout pˇredpisem y = a + b1 x + b2 x2 . Grafem kvadratické funkce je parabola, pr˚ ubˇeh tedy pˇripom´ıná ,,´ udol´ı” nebo ,,kopec”. 8

y = x2 2

2

1

1

0

−1

y = −x2 + 2

x

1

y = 0.2(x + 1)2 + 0.3 1

0

−1

x

1

−1

0

x

1

Line´ arn´ı funkci s absolutn´ı hodnotou lze vyjádˇrit pˇredpisem y = b|x − a| + c a jej´ı graf vypadá jako zalomená rovná ˇca´ra. Operátor absolutn´ı hodnoty si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako vzdálenost ˇc´ısla od nuly. Absolutn´ı hodnota kladn´ ych ˇc´ısel se rovná jejich hodnotˇe (napˇr. |2| = 2). Absolutn´ı hodnota záporn´ ych ˇc´ısel se rovná opaˇcné hodnotˇe (tedy | − 2| = 2). Nula v absolutn´ı hodnotˇe z˚ ustává nulou. y = −|2x| + 2 y = |x| 1

0

−1

x

1

2

2

1

1

0

−1

y = |x − 1| + 0.5

x

1

−1

0

x

1

−1

Pˇredpis logaritmick´ e funkce obsahuje operátor logaritmu. Nejˇcastˇeji se setkáme s dvˇema logaritmy - pˇrirozen´ ym (znaˇc´ıme ln(x)) a dekadick´ ym (log10 (x)). Dekadick´ y logaritmus ˇr´ıká, na kolikátou mus´ıme umocnit ˇc´ıslo 10, abychom dostali hodnotu x. Pˇrirozen´ y logaritmus má tutéˇz funkci, ale m´ısto des´ıtky pouˇz´ıvá Eulerovo ˇc´ıslo e. Dekadick´ y logaritmus ˇc´ısla 100 se rovná 2, ˇc´ısla 1000 se rovná 3 atd. Logaritmus je definován pouze pro kladné hodnoty a v nule se limitnˇe bl´ıˇz´ı m´ınus nekoneˇcnu. y = ln(x) 2 1

0

1

2

3

4

5

−1 −2

9

6

7

8

9

10

x

Exponenci´ ala je kˇrivka vyjádˇrená pˇredpisem y =

y = ex

x

e , pˇr´ıpadnˇe y = exp(x), a je typická sv´ ym strm´ ym 7

r˚ ustem. Podobnˇe jako u logaritmu, bychom mohli vytvoˇrit dalˇs´ı exponenciáln´ı funkce, pokud bychom nahradili e jinou hodnotou. Exponenciála a logaritmus jsou v˚ uˇci sobˇe takzvanˇe inverzn´ı. Znamená to, ˇze pokud nˇejakou hodnotu pouˇzijeme jako argument logaritmu a v´ ysledek pouˇzijeme opˇet jako argument exponenciáln´ı funkce, z´ıskáme p˚ uvodn´ı hodnotu. Jed-

6 5 4 3

x

noduˇse ln(e ) = x. 2

Matematické funkce m˚ uˇzeme popisovat z hlediska nespoˇctu vlastnost´ı. Pro naˇse u ´ˇcely si vˇsak vystaˇc´ıme s t´ım, jestli je funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı. Pro rostouc´ı funkci plat´ı to, ˇze s rostouc´ı hodnotou argu-

1

−3

−2

−1

0

1

2

x

mentu funkce (x) se bez v´ yjimek vˇzdy zvyˇsuje funkˇcn´ı hodnota f (x). U klesaj´ıc´ı funkce tomu je naopak: rostouc´ı hodnota x znamená klesaj´ıc´ı hodnotu f (x). To, jestli je funkce rostouc´ı ˇci klesaj´ıc´ı, je obvykle patrné jiˇz z jej´ıho grafu. Napˇr´ıklad v´ yˇse uvedená funkce f (x) = x nebo f (x) = ln(x) je rostouc´ı, zat´ımco f (x) = −0.5x + 1 je klesaj´ıc´ı. Kvadratická funkce ˇci lineárn´ı funkce s absolutn´ı hodnotou nejsou rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı, pokud hovoˇr´ıme o jejich celém definiˇcn´ım oboru. Je-li funce rostouc´ı ˇci klesaj´ıc´ı, pak o n´ı m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze je monotónn´ı.

10

2

N´ ahoda a pravdˇ epodobnost

Zkoumáme-li svˇet pomoc´ı vˇedy, témˇeˇr vˇzdy pˇredpokládáme, ˇze kaˇzdá událost je pˇresnˇe vymezena sv´ ymi pˇr´ıˇcinami. Neexistuje tedy ˇzádná nahodilost, a pokud bychom dokázali zmapovat vˇsechny vztahy mezi vˇecmi, mohli bychom s jistotou pˇredpovˇedˇet, co bude následovat. Takovémuto pojet´ı se ˇr´ıká determinismus. Pokud pˇrijmeme tento svˇetonázor (coˇz bychom ostatnˇe pro u ´ˇcely vˇedeckého v´ yzkumu alespoˇ n na chv´ıli mˇeli) m˚ uˇze nás napadnout otázka, proˇc v˚ ubec mluv´ıme o nˇejaké pravdˇepodobnosti. Jsou-li dány vˇsechny pˇr´ıˇciny a následky, vˇse se dˇeje s jistotou a náhoda tedy neexistuje. Pot´ıˇz je v tom, ˇze ˇrada systém˚ u je nesm´ırnˇe sloˇzit´ ych a naˇse souˇcasné poznán´ı ani zdaleka nestaˇc´ı k tomu, abychom jejich chován´ı dokázali s jistotou vysvˇetlit. M˚ uˇzeme nanejv´ yˇs prohlásit, ˇze za podm´ınek A se urˇcit´ ym zp˚ usobem zmˇen´ı pravdˇepodobnost v´ yskytu d˚ usledk˚ u B. Jedn´ım z takov´ ych mimoˇra´dnˇe sloˇzit´ ych systém˚ u, které dokáˇzeme popsat jen velmi omezenˇe, je ˇclovˇek, respektive jeho chován´ı a proˇz´ıván´ı. Dalˇs´ım by mohla b´ yt napˇr´ıklad lidská spoleˇcnost nebo ekonomické vztahy. Zˇrejmˇe z toho d˚ uvodu si statistika, která s náhodou systematicky pracuje, nacház´ı nejvˇetˇs´ı uplatnˇen´ı právˇe v psychologii, medic´ınˇe, sociologii a ekonomii.

2.1

N´ ahodn´ y jev

Pˇri práci s pravdˇepodobnost´ı mluv´ıme o náhodném pokusu. Oznaˇcujeme tak realizaci urˇcitého systému podm´ınek, které vedou k nˇekterému pˇredem neznámému v´ ysledku. Slovo pokus m˚ uˇzeme brát pomˇernˇe velkoryse – nemus´ı se jednat o sm´ıchán´ı nˇekolika chemikáli´ı ve zkumavce, nebo o vytaˇzen´ı l´ıstku z osud´ı, ale m˚ uˇze to b´ yt napˇr´ıklad narozen´ı d´ıtˇete a zjiˇstˇen´ı, jestli je to chlapec nebo d´ıvka, nebo to, kdyˇz vybereme jednoho studenta a zmˇeˇr´ıme u nˇej nˇejaké psychologické charakteristiky. Mnoˇzinu vˇsech moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u náhodného pokus budeme oznaˇcovat p´ısmenem Ω. Pokud je tedy pokusem hod hrac´ı y pokus vede k právˇe jednomu kostkou, pak Ω = {{ }, { }, { }, { }, { }, { }}. Kaˇzd´ v´ ysledku – nem˚ uˇzou padnout naráz dvˇe ˇc´ısla a ani se nem˚ uˇze stát, ˇze by nepadlo ˇzádné. Jednoprvkové mnoˇziny v´ ysledk˚ u oznaˇcujeme jako element´ arn´ı jevy a budeme je znaˇcit p´ısmenem ω. V naˇsem pˇr´ıkladu by to byly jevy { }, { }, { }, { }, { }, { }. Jelikoˇz se jedná o mnoˇziny, m˚ uˇzeme s nimi provádˇet nám jiˇz známé mnoˇzinové operace. Napˇr´ıklad { } ∪ { } ∪ { } = { , , } je jev, kter´ y bychom mohli pojmenovat padlo sudé ˇc´ıslo. Za nesluˇ citeln´ e (disjunktn´ı) jevy oznaˇcujeme takové jevy, které nemohou nastat souˇcasnˇe. Mezi sebou jsou nesluˇcitelné vˇsechny elementárn´ı jevy, nebo z naˇseho pˇr´ıkladu jevy padlo sudé ˇc´ıslo a padlo liché ˇc´ıslo. Ke kaˇzdému jevu m˚ uˇzeme také definovat opaˇ cn´ y jev. Oznaˇcuje se tak sjednocen´ı vˇsech elementárn´ıch jev˚ u, které dan´ y jev neobsahuje. Tedy napˇr´ıklad k jevu padla ˇsestka ({ }) je opaˇcn´ y jen padlo nˇeco jiného neˇz ˇsestka (tedy { , , , , }). 11

2.2

Pravdˇ epodobnost

Nˇekteré jevy m˚ uˇzou nastat snáze neˇz jiné. Pro popsán´ı této odliˇsnosti zavád´ıme funkci jménem pravdˇ epodobnost. Co tento pojem znamená, intuitivnˇe chápou i lidé, co ˇzádn´ y kurz statistiky neabsolvovali. Abychom s t´ımto konceptem mohli pracovat, mus´ıme jej pˇresnˇe vymezit. Uvˇedomme si, ˇze pravdˇ epodobnost je funkce (budeme ji znaˇ cit P ) kter´ a kaˇ zd´ emu jevu (tedy kaˇ zd´ e podmnoˇ zinˇ e mnoˇ ziny Ω) pˇ ripisuje nˇ ejak´ eˇ c´ıslo z intervalu [0, 1]. Jedniˇcka vyjadˇruje, ˇze se dan´ y jev vyskytne s naprostou jistotou, nula naopak, ˇze jev nastat nem˚ uˇze. Pravdˇepodobnost kaˇzdého jevu m˚ uˇzeme vyˇc´ıslit jako souˇcet pravdˇepodobnost´ı vˇsech elementárn´ıch jev˚ u, které obsahuje. V pˇr´ıpadˇe disjunktn´ıch jev˚ u, m˚ uˇzeme analogicky stanovit pravdˇepodobnost jejich sjednocen´ı: P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Pokud jevy A a B disjunktn´ı nejsou, tak uveden´ y vztah neplat´ı, jelikoˇz ty prvky (elementárn´ı jevy), které jsou obsaˇzeny v obou mnoˇzinách, by byly zahrnuty dvakrát. Vztah proto mus´ıme upravit do podoby P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). Pravdˇepodobnost opaˇcného jevu k jakémukoli jevu A je rovna 1 − P (A). Tedy pokud je pravdˇepodobnost toho, ˇze na hrac´ı kostce padne ˇsetka, rovná 16 , tak pravdˇepodobnost toho, ˇze nepadne ˇsetka je zákonitˇe 1 −

1 6

= 56 . Této vlastnoti budeme hojnˇe vyuˇz´ıvat.

Pokud pro jevy A a B plat´ı P (A ∩ B) = P (A) · P (B), pak jevy A a B oznaˇcujeme za nez´ avisl´ e. Je-li naˇsim náhodn´ ym pokusem tˇreba hod dvˇema hrac´ımi kostkami, ˇcernou a b´ılou, pak napˇr´ıklad jevy { } a { } jsou nezávislé, jelikoˇz v´ ysledek jedné kostky nijak neovlivˇ nuje v´ ysledek druhé. Kdyˇz v´ıme, ˇze P ({ }) = 1/6 a P ({ }) = 1/6, pak snadno odvod´ıme, ˇze P ({ } ∩ { }) = 1/36. Informace, ˇze nastal jeden z nezávisl´ ych jev˚ u, nám neprozrazuje nic o tom, jestli nastal druh´ y nezávisl´ y jev. Disjunktn´ı jevy nejsou proto nikdy nezávislé, vyjma krajn´ıho pˇr´ıpadu, kdy nejménˇe jeden z nich nastává s nulovou pradˇepodobnost´ı, tedy nikdy. Aˇc je pojem pravdˇepodobnost obsaˇzen ve slovn´ıku laické veˇrejnosti, ˇcasto jej uˇz´ıváme nesprávnˇe. Nikoho by nepˇrekvapila napˇr´ıklad vˇeta Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze ve vesm´ıru ” existuje inteligentn´ı mimozemská forma ˇzivota?“. Abychom v tomto pˇr´ıpadˇe mohli uvaˇzovat o pravdˇepodobnosti, muselo by j´ıt o nˇejak´ y náhodn´ y pokus nikoli o jedineˇcn´ y jev. Museli bychom uvaˇzovat nˇejakou mnoˇzinu vˇsech vesm´ır˚ u, které ze Zemˇe vypadaj´ı tak, jako ten náˇs, a ptali bychom se, jestli kdyˇz jeden z nich stvoˇr´ıme, tak s jakou pravdˇepodobnost´ı bude obsahovat inteligentn´ı mimozemsk´ y ˇzivot. Ten náˇs jiˇz ale stvoˇren je a 12

my mu ˇza´dnou pravdˇepodobnost pˇrisuzovat nem˚ uˇzeme. Ta chyba, které se dopouˇst´ıme, je zámˇena pravdˇepodobnosti za subjektivn´ı m´ıru jistoty. ˇ S populárn´ım pojet´ım pravdˇepodobnosti souvis´ı také jej´ı formáln´ı zápis. Casto se setkáme s vyjádˇren´ım pravdˇepodobnosti v procentech. Na tomto zp˚ usobu nen´ı nic ˇspatného – v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech to m˚ uˇze b´ yt názornˇejˇs´ı. Znaˇcka % v podstatˇe znamená · 0.01“. ” Máme-li tedy dosadit do nˇejakého vzorce pravdˇepodobnost, nebudeme psát tˇreba 50“ ” (ve smyslu 50 %“), ale 0.5 (tedy 50 · 0.01). ” 2.2.1

Klasick´ a pravdˇ epodobnost

Pravdˇepodobnost pˇredstavovala v matematice historicky problematickou oblast, která trápila ˇradu myslitel˚ u. Modern´ı definice pravdˇepodobnosti a jej´ı vyuˇzit´ı je d´ılem minulého stolet´ı. Velmi staré pojet´ı pravdˇepodobnosti, které má dodnes své vyuˇzit´ı, aˇc jen v omezeném mnoˇzstv´ı pˇr´ıpad˚ u, se naz´ yvá klasická pravdˇepodobnost. Klasickou pravdˇepodobnost m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt tam, kde náhodn´ y pokus vede ke koneˇcnému mnoˇzstv´ı v´ ysledk˚ u, z nichˇz jsou vˇsechny stejnˇe moˇzné. Tedy pro n-prvkovou mnoˇzinu Ω by muselo platit: P (ω1 ) = P (ω2 ) = . . . = P (ωn ) =

1 n

Jelikoˇz lze pravdˇepodobnost libovolného jevu A pak vyjádˇrit jako souˇcet pravdˇepodobnost´ı elementárn´ıch jev˚ u, které obsahuje, m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze P (A) =

m , n

kde m znaˇc´ı poˇcet prvk˚ u mnoˇziny A. Uˇcebnicov´ ymi pˇr´ıklady, kde se s klasickou pravdˇepodobnost´ı m˚ uˇzeme setkat, je uˇz zmin ˇovaná hrac´ı kostka, nebo nejr˚ uznˇejˇs´ı loterie, coˇz vˇsak ve v´ yzkumu ˇcasto neuplatn´ıme. Klasickou pravdˇepodobnost nicménˇe pouˇzijeme i v situac´ıch, kde nˇejaká skupina prvk˚ u m˚ uˇze nab´ yvat r˚ uzn´ ych uspoˇra´dán´ı s t´ım, ˇze tato uspoˇrádán´ı jsou stejnˇe pravdˇepodobná. To je situace, se kterou pracujeme v nejr˚ uznˇejˇs´ıch kombinatorick´ ych u ´lohách a které jiˇz maj´ı pˇresah do pro v´ yzkumn´ıka zaj´ımavˇejˇs´ıch oblast´ı. 2.2.2

Geometrick´ a pravdˇ epodobnost

Klasická pravdˇepodobnost má svá omezen´ı. Napˇr´ıklad tehdy, kdyˇz vˇsechny elementárn´ı jevy sice nastávaj´ı se stejn´ ymi pravdˇepodobnostmi, ale je jich nekoneˇcnˇe mnoho, pak s klasick´ ym pojet´ım pravdˇepodobnosti nepochod´ıme. Zamysleme se tˇreba nad t´ımto problémem: Na privátˇe ˇzij´ı dva kamarádi. Oba vstávaj´ı kaˇzdé ráno v libovolný ˇcas mezi 7:00 a 8:00 bez nˇejakého ˇrádu, nezávisle na sobˇe. Hned po probuzen´ı jde kamarád do koupelny, kde 13

stráv´ı pˇresnˇe 15 minut. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze jeden z kamarád˚ u najde koupelnu obsazenou? Fanouˇsek klasické pravdˇepodobnosti by mohl podotknout, ˇze prvn´ı i druh´ y kamarád má 60 moˇznost´ı, kdy vstát (jelikoˇz od 7:00 do 7:59 je 60 minut), a tedy existuje 60 · 60 = 3600 = n stejnˇe pravdˇepodobn´ ych scénáˇr˚ u, jak ráno probˇehne. Kdyˇz spoˇc´ıtáme ty, kdy se kamarádi v koupelnˇe setkaj´ı, a vydˇel´ıme tento poˇcet (m) ˇc´ıslem 3600 (n), dostaneme v´ ysledek. Toto ˇreˇsen´ı je vˇsak jen hrub´ ym pˇribl´ıˇzen´ım ke správnému ˇreˇsen´ı. Mezi sedmou a osmou hodinou je nekoneˇcno r˚ uzn´ ych ˇcas˚ u – nikde totiˇz nen´ı psáno, ˇze ˇcas probuzen´ı ˇ ısla n i m se rovnaj´ı ∞ a v´ mus´ı b´ yt v cel´ ych minutách. C´ yraz ∞ vyˇc´ıslit neum´ıme. ∞

Geometrická pravdˇepodobnost pouˇz´ıvá trik, kdy si obˇe mnoˇziny, jejichˇz poˇcty prvk˚ u srovnáváme, pˇredstav´ıme jako geometrické u ´tvary. M´ısto poˇct˚ u bod˚ u, které tyto u ´tvary obsahuj´ı, stanovuje jejich m´ıru. M´ırou u ´seˇcky je délka, m´ırou obrazce v rovinnˇe je obsah, m´ırou tˇelesa jeho objem. Pravdˇepodobnost jevu A pak stanov´ıme jako pod´ıl mˇer obou mnoˇzin: m´ıra(A) . P (A) = m´ıra(Ω)

mnoˇzin: A = {(x, y) ∈ Ω : (y > x ∩ y <

W

ko

liz

i

A

i liz

de

ko

7:30

ke

ed

oj

ko l

de

iz i

ke

7:45

de

N ed

oj

7:15

ke

D oj

x < y ∩ y–x < 15, pˇredstavuj´ı situace, kdy se prvn´ı kamarád probudil dˇr´ıv neˇz druh´ y, avˇsak ne dˇr´ıv neˇz o 15 minut. Naopak body, pro které plat´ı y < x ∩ x–y < 15 znamená, ˇze sm˚ ulu mˇel prvn´ı z kamarád˚ u. Mnoˇzina A je pak sjednocen´ı obou takto vznikl´ ych

8:00

N

not (x, y) z této mnoˇziny, pro které plat´ı

Obrázek 1: Grafické ˇreˇsen´ı u ´lohy o setkán´ı Čas probuzení druhého kamaráda

Pˇredstavme si naˇsi u ´lohu jako dvourozmˇern´ y graf, kde na osu x mezi ˇc´ısla 0 a 60 vynáˇs´ıme ˇcas probuzen´ı prvn´ıho kamaráda a na osu y ˇcas probuzen´ı druhého. Mnoˇzina Ω tedy má tvar ˇctverce a jej´ı m´ıra odpov´ıdá jeho obsahu. Vˇsechny dvojice hod-

7:00 7:00

7:15

7:30

7:45

8:00

Čas probuzení prvního kamaráda

x + 15) ∪ (y < x ∩ y > x − 15)}. (Pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost jsme ve vˇsech d´ılˇc´ıch nerovnostech pˇrevedli y na levou stranu.) Jak znázorˇ nuje obrázek (1), mnoˇzina A tvoˇr´ı jak´ ysi ˇsesti´ uheln´ık uvnitˇr mnoˇziny Ω. Pol´ıˇcka na pozad´ı grafu nám pom˚ uˇzou zjistit pod´ıl obsah˚ u obou u ´tvar˚ u – vyˇsrafovan´ ych je 7 pol´ıˇcek z 16-ti, tedy P (A) = 7/16 ≈ 44%. Ke kolizi v koupelnˇe dojde v pr˚ umˇeru o nˇeco ménˇe neˇz kaˇzd´ y druh´ y den. Pomoc´ı geometrické pravdˇepodobnosti v tomto kurzu problémy ˇreˇsit nebudeme. Poselstv´ı je ale to, ˇze pravdˇepodobnost si m˚ uˇzeme ˇcasto pˇredstavit jako plochu, k ˇcemuˇz se budeme uchylovat ve vˇetˇsinˇe statistick´ ych postup˚ u. 14

2.3

N´ ahodn´ a veliˇ cina

V pˇredchoz´ıch kapitolách jsme si pˇripomnˇeli nˇekteré základn´ı pojmy matematiky a z´ıskali alespoˇ n v obrysech povˇedom´ı o tom, co je to náhodn´ y jev a jeho pravdˇepodobnost. Na pˇr´ıkladu klasické a geometrické pravdˇepodobnosti jsme si ukázali, jak lze s touto vlastnost´ı náhodn´ ych jev˚ u pracovat. Ve skuteˇcnosti to, co jsme se nauˇcili, byl jen u ´vod a velké ˇ zjednoduˇsen´ı. Rekli bychom nˇekolik speciáln´ıch pˇr´ıpad˚ u, které mˇely za u ´kol uvést ˇctenáˇre do svˇeta statistiky. Pokud u ´vodn´ı kapitoly sv˚ uj u ´ˇcel splnily, m˚ uˇzeme pˇrej´ıt na dalˇs´ı u ´roveˇ n. Nauˇc´ıme se popisovat realitu pomoc´ı náhodn´ ych veliˇcin. Náhodné veliˇciny spolu se sv´ ymi distribuˇcn´ımi funkcemi pˇredstavuj´ı u ´stˇredn´ı bod tohoto kurzu. Pokud jim ˇctenáˇr porozum´ı, snadno pak nalezne smysl tam, kde obvykle studenti vid´ı jen zmˇet’ nesrozumiteln´ ych vzorc˚ u a pouˇcek. Vrat’me se zpˇet k mnoˇzinˇe vˇsech elementárn´ıch jev˚ u, které m˚ uˇzou nastat pˇri realizaci náhodného pokusu (Ω). Co jsou vlastnˇe jednotlivé prvky této mnoˇziny? Pokud vás napadlo, ˇze to jsou ˇc´ısla, tak se nenechte zm´ ylit matematick´ ym tónem tohoto textu. Pokud je naˇs´ım náhodn´ ym pokusem tˇreba dopravnˇe-psychologické vyˇsetˇren´ı vybodovaného ˇridiˇce, kterému administrujeme Bourdon˚ uv test pozornosti, tak elementárn´ım jevem m˚ uˇze b´ yt tˇreba Igor Vozaˇc, který má opravdu ˇspatný den. Potˇrebuje z´ıskat zpˇet sv˚ uj ˇridiˇcský ” pr˚ ukaz, pˇritom ráno pˇred vyˇsetˇren´ım zaspal a vzal si ve spˇechu kaˇzdou botu jinou. Lev´ a ho tlaˇc´ı. V 9:15 zaˇcal s testován´ım, moc mu to s dotekovým displayem neˇslo. Ted’ sed´ı rozcuchaný pˇred ochytaným monitorem a okusuje si nehty, a tak dál. . . “. Zkrátka kousek pestré a tˇeˇzko popsatelné reality. Z toho plyne mimo jiné to, ˇze mnoˇzina Ω obsahuje tolik prvk˚ u, kolik scénáˇr˚ u m˚ uˇze pˇri daném náhodném pokusu nastat – tedy nekoneˇcnˇe mnoho. (Ano, v minulé kapitole jsme se dopustili zjednoduˇsen´ı, kdyˇz jsme tvrdili, ˇze hod kostkou vede jen k ˇsesti moˇzn´ ym v´ ysledk˚ um.) Takhle velkorysé pojet´ı mnoˇziny elementárn´ıch jev˚ u nás pˇrivád´ı ke dvˇema problém˚ um. Prvn´ı je praktického raˇzen´ı: takhle komplexn´ı a kvˇetnaté prvky mnoˇziny je obt´ıˇzné zpracovat, natoˇz je vloˇzit do nˇejak´ ych rovnic. Druh´ y je teoretick´ y, ale o to závaˇznˇejˇs´ı. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze náhodn´ y pokus probˇehne pˇresnˇe takto? Jestliˇze existuje nespoˇcet v´ıce ménˇe stejnˇe pravdˇepodobn´ ych scénáˇr˚ u, dojdeme k tomu, ˇze pravdˇepodobnost libovolného z nich je nekoneˇcnˇe bl´ızko nule. Pˇri ˇreˇsen´ı obou tˇechto problém˚ u nám pom˚ uˇze náhodná veliˇcina. N´ ahodn´ a veliˇ cina je matematická funkce. Vzpomeˇ nme si, ˇze funkce pˇripisuje kaˇzdému prvku jedné mnoˇziny nˇejak´ y prvek druhé mnoˇziny. Taky uˇz v´ıme, ˇze tyto mnoˇziny m˚ uˇzou m´ıt nekoneˇcné mnoˇzstv´ı prvk˚ u, tak jako naˇse Ω. Náhodná veliˇcina je tedy právˇe t´ımto spojen´ım mezi skuteˇcnost´ı a svˇetem ˇc´ısel. Jej´ı definiˇcn´ı obor je Ω a obor hodnot nˇejaká podmnoˇzina R. Pˇripisuje tedy kaˇzdému myslitelnému v´ ysledku náhodného pokusu ({ω}) nˇejaké ˇc´ıslo. V pˇr´ıkladu s Igorem to je tˇreba ˇc´ıslo 16 a náhodná veliˇcina by se 15

jmenovala tˇreba poˇcet bod˚ u z´ıskaných v Bourdonovˇe testu. Pro kaˇzdou mnoˇzinu v´ ysledk˚ u náhodného pokusu m˚ uˇzeme definovat libovolné mnoˇzstv´ı náhodn´ ych veliˇcin. Tˇreba bychom m´ısto náhodné veliˇciny poˇcet bod˚ u, které mˇela v naˇsem pˇr´ıpadˇe hodnotu 16, by to mohla b´ yt náhodná veliˇcina byl výkon dost dobrý, aby byl klient shledán zp˚ usobilým?, která má obor hodnot jen {0, 1}, reprezentuj´ıc´ı ne“ a ano“. ” ” ˇ C´ısla, která náhodná veliˇcina pˇripisuje jednotliv´ ym jev˚ um, m˚ uˇzou b´ yt zvolena vcelku libovolnˇe. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech se ˇreˇsen´ı nab´ız´ı samo – tˇreba pro náhodnou veliˇcinu, kterou pojmenujeme váha, bude nejsp´ıˇs jej´ı funkˇcn´ı hodnota odpov´ıdat hmotnosti jedince v kilogramech (nebo tˇreba v librách, pokud chcete). Spoˇc´ıvá-li náˇs náhodn´ y pokus vˇsak v tom, ˇze se budeme kolemjdouc´ıch na námˇest´ı ptát, kterou pˇr´ıchut’ zmrzliny maj´ı nejradˇeji, a jejich odpovˇedi tedy budou kvalitativn´ı, m˚ uˇzeme odpovˇedi jahodov´ a pˇriˇradit tˇreba ˇc´ıslo 1, aˇc tˇeˇzko m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze to je opodstatnˇenˇejˇs´ı, neˇz kdybychom j´ı pˇriˇrazovali tˇreba ˇc´ıslo 14. Za zm´ınku stoj´ı jedna zaj´ımavá vlastnost náhodn´ ych veliˇcin, která se ted’ m˚ uˇze zdát banáln´ı, ale ˇcasem se ukáˇze jako kl´ıˇcová. Pokud s n´ ahodnou veliˇ cinou provedeme jakoukoli matematickou operaci, v´ ysledkem je opˇ et n´ ahodn´ a veliˇ cina. Tˇreba kdyˇz vezmeme náhodnou veliˇcinu vˇek, která vyjadˇruje stáˇr´ı pokusné osoby v letech, a vynásob´ıme ji ˇc´ıslem 12, tak z´ıskáme opˇet náhodnou veliˇcinu. V tomto pˇr´ıpadˇe nav´ıc vcelku smysluplnou – mohli bychom ji pojmenovat vˇek v mˇes´ıc´ıch. Ba co v´ıc, kdyˇz vezmeme v´ıce náhodn´ ych veliˇcin definovan´ ych na téˇze mnoˇzinˇe a provedeme s nimi nˇejakou matematickou operaci (napˇr. spoˇc´ıtáme jejich rozd´ıl), tak z´ıskáme opˇet náhodnou veliˇcinu. Tˇreba pro náhodné veliˇciny výˇska (v centimetrech) a váha (v kilogramech), m˚ uˇzeme definovat opˇet náhodnou veliˇcinu, které budeme ˇr´ıkat BMI, jako (váha)/(výˇska2 ). V této u ´vaze m˚ uˇzeme jeˇstˇe pokraˇcovat. Zat´ım jsme mluvili o kombinován´ı náhodn´ ych ´ e stejn´ veliˇcin z´ıskan´ ych pˇri jediné realizaci náhodného pokusu. Uplnˇ ym zp˚ usobem vˇsak m˚ uˇzeme kombinovat náhodné veliˇciny, které jsme z´ıskali pˇri opakován´ı téhoˇz náhodného pokusu nˇekolikrát. Snadno si pˇredstav´ıme náhodnou veliˇcinu délka psychologického vyˇsetˇren´ı. D´ıky n´ı bychom mohli definovat náhodnou veliˇcinu délka tˇr´ı psychologických vyˇsetˇren´ı kterou bychom z´ıskali jednoduˇse tak, ˇze náhodn´ y pokus necháme probˇehnout ˇ aˇr m˚ tˇrikrát a z´ıskané hodnoty seˇcteme. Cten´ uˇze nam´ıtnout, ˇze se pˇrece nejedná o tˇri náhodné veliˇciny, ale tˇri realizace jedné náhodné veliˇciny. To je samozˇrejmˇe dobrá poznámka, nicménˇe nikdo nám nebrán´ı si nadefinovat tˇri u ´plnˇe stejné náhodné veliˇciny, abychom s nimi mohli takto pracovat. Pokud se ˇctenáˇri takováto manipulace nesnadno pˇredstavuje, m˚ uˇzeme za náˇs náhodn´ y pokus povaˇzovat hned cel´ y blok tˇr´ı vyˇsetˇren´ı a definujeme na nˇem tˇri náhodné veliˇciny délka prvn´ıho vyˇsetˇren´ı, délka druhého vyˇsetˇren´ı a délka tˇret´ıho vyˇsetˇren´ı. A t´ım se dostáváme do stejné situace, jako kdyˇz jsme poˇc´ıtali BMI. 16

Pomoc´ı náhodné veliˇciny se nám podaˇrilo pˇrekonat jakousi propast mezi ˇc´ısly a realitou. Druh´ y zmiˇ novan´ y problém má vˇsak ponˇekud tuˇzˇs´ı koˇr´ınek a z˚ ustává vyˇreˇsen jen z poloviny. Mnoˇzina Ω má nespoˇcet prvk˚ u a brán´ı nám tak v tom, abychom jim pˇripisovali nenulové pravdˇepodobnosti. Náhodná veliˇcina m˚ uˇze tento problém pˇr´ımoˇcaˇre vyˇreˇsit jen v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech. Napˇr´ıklad, kdyˇz se budeme lid´ı dotazovat, jestli by svou barvu oˇc´ı popsali sp´ıˇs jako modrou/svˇetlou nebo hnˇedou/tmavou, tak pˇrestoˇze ˇzádné dvˇe realizace naˇseho pokusu nebudou stejné, dobˇre nadefinovaná náhodná veliˇcina kaˇzdému z nich rozdá jedno ze dvou ˇc´ısel – tˇreba jedniˇcku za modré a dvojku za hnˇedé oˇci. Kaˇzdá z variant má pak nˇejakou pˇresnˇe danou nenulovou pravdˇepodobnost (aˇc je nám tˇreba neznámá). Co kdybychom ale tˇreba mˇeˇrili ˇcas jedince potˇrebn´ y ke splnˇen´ı nˇejakého u ´kolu? Kolik r˚ uzn´ ych ˇcas˚ u vyjádˇren´ ych ˇc´ıslem by mˇel obor hodnot dané náhodné veliˇciny obsahovat? Zjevnˇe jich je nekoneˇcno. Ba co v´ıc, mezi kaˇzd´ ymi dvˇema ˇcasy je opˇet nekoneˇcno dalˇs´ıch ˇcas˚ u. Mezi 5 a 6 sekundami, existuje napˇr´ıklad 5.52 a 5.53 sekund. Mezi tˇemito dvˇema ˇc´ısly jich je opˇet nekoneˇcno, tˇreba 5.527 a 5.528. Takhle bychom mohli pokraˇcovat do nekoneˇcna. Pˇrestoˇze jsme pouˇzili náhodnou veliˇcinu, tak jsme problém s nulov´ ymi pravdˇepodobnostmi nevyˇreˇsili. pravdˇepodobnost toho, ˇze jedinec spln´ı u ´kol pˇresnˇe za 5 vteˇrin (tedy 5.00000000000...) je rovna nule, stejnˇe jako je nulová pravdˇepodobnost vˇsech ˇ sen´ım je definován´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti a zaveden´ı distribuˇcn´ı ostatn´ıch ˇcas˚ u2 . Reˇ funkce.

2.4

Rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti a distribuˇ cn´ı funkce

Máme-li definovanou náhodnou veliˇcinu, pak kaˇzd´ y v´ ysledek náhodného pokusu, pro kter´ y jsme ji definovali, m˚ uˇzeme zapsat jako ˇc´ıslo. Podobnˇe jako jsme se ptali, jaká je pravdˇepodobnost toho, ˇze náhodn´ y pokus vy´ ust´ı v urˇcit´ y jev, se m˚ uˇzeme ptát, jaká je pravdˇepodobnost toho, ˇze to bude takov´ y jev, jehoˇz ˇc´ıselná hodnota spadá do urˇcité mnoˇziny. Tohle je na prvn´ı pohled nepodstatn´ y detail, ale pro pochopen´ı dalˇs´ıho v´ ykladu se mus´ıme nauˇcit chápat rozd´ıl mezi zápisem P ({ , , }) = 0.5 a PX ({1, 2, 3}) = 0.5. Zat´ımco v prvn´ım pˇr´ıpadˇe se bav´ıme o nám jiˇz známé funkci s názvem pravdˇepodobnost, v druhém pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o takzvaném rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti náhodné veliˇciny X (která zjevnˇe vyˇc´ısluje poˇcet ok). Argumentem rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti je tedy mnoˇzina ˇc´ısel ˇ jde o rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, a fukˇcn´ı hodnota patˇr´ı vˇzdy do intervalu [0, 1]. Ze 2 Ve skuteˇcnosti tou vlastnost´ı, kter´ a nám brán´ı pˇridˇelovat nenulové pravdˇepodobnosti, nen´ı to, ˇze n´ ahodn´ a veliˇcina m´ a nekoneˇcnˇe rozs´ ahl´ y obor hodnot, ale právˇe to, ˇze mezi kaˇzd´ ymi dvˇema hodnotami existuje nekoneˇcno dalˇs´ıch hodnot. Existuj´ı totiˇz i takové náhodné veliˇciny, co nab´ yvaj´ı nekoneˇcna r˚ uzn´ ych hodnot, ale kaˇzdou z nich m˚ uˇzeme pˇresnˇe vyˇc´ıslit. Tˇreba náhodná veliˇcina, která vyˇc´ısluje, kolikrát jsme museli hodit minc´ı, neˇz padla panna. V´ ysledkem m˚ uˇze b´ yt libovolné kladné celé ˇc´ıslo (a tˇech je nekoneˇcno), a pˇritom bychom mohli kaˇzdé hodnotˇe pˇrisoudit nenulovou pravdˇepodobnost P (X = k) = 0.5k – tedy to, ˇze panna padne hned v prvn´ım hodu má pravdˇepodobnost 1/2, v druhém 1/4 atd.

17

poznáme právˇe podle názvu náhodné veliˇciny, které je u paty p´ısmene P . Co jsme t´ımto krokem z´ıskali? Pˇredstavte si, ˇze se vˇenujete tˇreba pupilometrii a zkoumáte, o kolik nanometr˚ u se rozˇs´ıˇr´ı zorniˇcky ˇclovˇeku, kterému prom´ıtnete obrázek atraktivn´ıho jedince opaˇcného pohlav´ı. Náhodná veliˇcina se tedy jmenuje rozˇs´ıˇren´ı zorniˇcek (zase j´ı ale ˇr´ıkejme X). Pokud bychom se tázali, jaké je pravdˇepodobnost, ˇze to bude pˇresnˇe 300 nanometr˚ u, tedy PX ({300}), odpovˇed’ bude samozˇrejmˇe 0. (Pokud nev´ıte proˇc, pˇreˇctete si znovu posledn´ı odstavec pˇredchoz´ı kapitoly.) My se nicménˇe nemus´ıme uchylovat jen k jednoprvkov´ ym mnoˇzinám, jako je {300}, ale m˚ uˇzeme se ptát na mnohem objemnˇejˇs´ı mnoˇziny: na intervaly. Napˇr´ıklad, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze se m´ıra rozˇs´ıˇren´ı zorniˇcek bude nˇekde mezi ˇc´ısly 200 a 300, tedy PX ([200, 300])? Zde se jiˇz v´ ysledek nule rovnat nebude. Toto je kl´ıˇcová v´ yhoda rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti – jevy ze skuteˇcného svˇeta do interval˚ u uspoˇra´dat nem˚ uˇzeme, ˇc´ısla vˇsak ano. Nejuˇziteˇcnˇejˇs´ı bude volit takové intervaly, které zaˇc´ınaj´ı v m´ınus nekoneˇcnu. Tˇreba PX (−∞, 100] . Tento v´ yraz ˇr´ıká, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze se zorniˇcka rozˇs´ıˇr´ı o ménˇe ˇ ıslo 100 je vybrané namátkou, m˚ neˇz 100 nanometr˚ u. C´ uˇzeme je obecnˇe nahradit hodnotou (malé) x. Z´ıskáme tak v´ yraz PX (−∞, x] , do kterého m˚ uˇzeme m´ısto x vloˇzit libovolné reálné ˇc´ıslo. V´ yraz PX (−∞, x] budeme odted’ zkrácenˇe zapisovat jako FX (x) a naz´ yvat distribuˇ cn´ı funkce. Jak název napov´ıdá, jde o funkci. Jej´ım argumentem je libovolné reálné ˇc´ıslo x a funkˇcn´ı hodna ˇc´ıslo mezi 0 a 1. Distribuˇ cn´ı funkce FX (x) tedy ˇ r´ık´ a, jak´ a je pravdˇ epodobnost, ˇ ze se n´ ahodn´ a veliˇ cina X bude realizovat s hodnotou menˇ s´ı nebo rovnou libovolnˇ e zvolen´ emu re´ aln´ emu ˇ c´ıslu x. Argument funkce x m˚ uˇze nab´ yvat skuteˇcnˇe libovolné hodnoty, aˇc nˇekdy se vzniklá otázka pˇr´ıˇc´ı zdravému rozumu. Napˇr´ıklad Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze se jedinci rozˇs´ıˇr´ı zorniˇcky o ménˇe neˇz ” 100000 µm (tedy 10 cm)?“ (odpovˇed’ je zjevnˇe 100 % – tedy jistota), nebo Jaká je ” pravdˇepodobnost, ˇze se zorniˇcky rozˇs´ıˇr´ı o ménˇe neˇz −10000 µm?“ (odpovˇed’ je 0 %). Kaˇzdá náhodná veliˇcina má svou distribuˇcn´ı funkci. Jak m˚ uˇze vypadat jej´ı graf, si dokáˇzeme rámcovˇe pˇredstavit. Obrázek (2) zachycuje distribuˇcn´ı funkci náhodné veliˇciny výˇska ˇclovˇeka. Z logiky vˇeci nem˚ uˇze b´ yt distribuˇcn´ı funkce klesaj´ıc´ı – je vˇzdy rostouc´ı, pˇr´ıpadnˇe m˚ uˇze obsahovat intervaly, kde je konstantn´ı. Hodnota distribuˇcn´ı funkce se smˇerem k záporn´ ym hodnotám argumentu pˇribliˇzuje nule. Smˇerem ke kladn´ ym hodnotám se pˇribliˇzuje (ˇci rovná) jedniˇcce. Graf (3) zobrazuje distribuˇcn´ı funkci diskrétn´ı náhodné veliˇciny poˇcet sourozenc˚ u. Na prvn´ı pohled je tato distribuˇcn´ı funkce odliˇsná. M´ısto hladkého kopce je tvoˇrena schodky“. Je to t´ım, ˇze jev, kdy má nˇekdo pˇresnˇe jednoho sourozence, má nˇejakou nenu” lovou pravdˇepodobnost (na jedniˇcce tedy funkce naráz o kus poskoˇc´ı), zat´ımco hodnoty,

18

Obrázek 2: Distribuˇcn´ı funkce spojité náhodné veliˇciny tˇelesná výˇska

P (tˇ elesn´ a v y´sˇka < x)

1 0.8 0.6 0.4 0.2

140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 x

Obrázek 3: Distribuˇcn´ı funkce diskrétn´ı náhodné veliˇciny poˇcet sourozenc˚ u

P (poˇ cet sourozenc˚ u < x)

1 0.8 0.6 0.4 0.2

−0.5 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3 x

19

3.5

4

4.5

5

5.5

6

které nelze vyjádˇrit kladn´ ym cel´ ym ˇc´ıslem, maj´ı pravdˇepodobnost 0 (nikdo nem˚ uˇze m´ıt tˇreba 1.4 nebo −2 sourozence) distribuˇcn´ı funkce tedy v tomto bodˇe neroste a je konstantn´ı. Tyto dva pˇr´ıklady odráˇz´ı dva typy distribuˇcn´ıch funkc´ı. Ty, které maj´ı hladk´ y pr˚ ubˇeh bez skok˚ u, se naz´ yvaj´ı spojit´ e. Ty, jejichˇz graf vypadá jako schodiˇstˇe, naz´ yváme diskr´ etn´ı. Kaˇzdé z tˇechto skupin náhodn´ ych veliˇcin vyhrad´ıme zvláˇstn´ı kapitolu. Jeˇstˇe pˇred t´ım, se ale seznám´ıme se ˇc´ıseln´ ymi charakteristikami náhodn´ ych veliˇcin.

2.5

ˇ ıseln´ C´ e charakteristiky n´ ahodn´ ych veliˇ cin

Známe-li distribuˇcn´ı funkci nˇejaké náhodné veliˇciny, tak o n´ı máme veˇskeré informace. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech m˚ uˇze b´ yt v´ yhodné tuto hojnost informac´ı zredukovat jen na d´ılˇc´ı u ´daj, kter´ y nám poskytne hrubou pˇredstavu o chován´ı náhodné veliˇciny. Typicky nás zaj´ımaj´ı dvˇe ˇc´ıselné charakteristiky: stˇredn´ı hodnota náhodné veliˇciny a jej´ı rozptyl. 2.5.1

Stˇ redn´ı hodnota

Stˇredn´ı hodnota ˇr´ıká, kolem jakého ˇc´ısla se náhodná veliˇcina realizuje. Formálnˇe budeme stˇredn´ı hodnotu veliˇciny X zapisovat jako E(X). Stˇredn´ı hodnotu si nejlépe pˇredstav´ıme jako odpovˇed’ na otázku jakou hodnotu má v pr˚ umˇeru realizace náhodné veliˇciny X?“. ” V pˇr´ıpadˇe diskrétn´ıch náhodn´ ych veliˇcin bychom dokázali stˇredn´ı hodnotu pomˇernˇe pˇr´ımoˇcaˇre spoˇc´ıtat – staˇcilo by vˇsechny jej´ı funkˇcn´ı hodnoty vynásobit pravdˇepodobnostmi, ˇze nastanou, a z´ıskané v´ ysledky posˇc´ıtat. Tˇreba náhodná veliˇcina pohlav´ı, která pˇridˇeluje muˇz˚ um hodnotu 1 a ˇzenám 2, a kaˇzdá z tˇechto alternativ má padesátiprocentn´ı pravdˇepodobnost v´ yskytu, by mˇela stˇredn´ı hodnotu 1.5. U spojit´ ych náhodn´ ych veliˇcin bychom pro v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty potˇrebovali ovládat integráln´ı poˇcet, coˇz pˇrekraˇcuje rozsah tohoto kurzu. Na jej´ım v´ yznamu to vˇsak nic nemˇen´ı – napˇr´ıklad stˇredn´ı hodnota veliˇciny tˇelesná výˇska v centimetrech by mohla b´ yt tˇreba 172, coˇz by opˇet odpov´ıdalo pr˚ umˇerné v´ yˇsce ˇclovˇeka. Zaj´ımavé je pro nás to, co se se stˇredn´ı hodnotou stane, pokud budeme náhodnou veliˇcinu nˇejak transformovat. Pamatujme si, ˇze pro libovolná reálná ˇc´ısla a, b a náhodnou veliˇcinu X plat´ı vztahy E(X + a) = E(X) + a,

E(bX) = b E(X),

E(a + bX) = a + b E(X).

Taky v´ıme, ˇze náhodné veliˇciny m˚ uˇzeme r˚ uznˇe kombinovat mezi sebou. Pro stˇredn´ı hodnoty náhodn´ ych veliˇcin X a Y plat´ı vztah: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) respektive

E(aX + bY ) = a E(X) + b E(Y ).

Stˇredn´ı hodnota m˚ uˇze teoreticky nab´ yvat libovolné hodnoty z reáln´ ych ˇc´ısel. 20

Obrázek 4: Schematické znázornˇen´ı vybran´ ych funkc´ı a mnoˇzin elementární jevy (výsledky náhodného pokusu)



jevy

ω2= ω1= ω4= ω3=

ω5= ω6=

„jevové pole“ (množina podmnožin )

{ } { } { } { } { }{ } { }

pravděpodobnost

P

[0,1]

atd.

náhodná veličina

X podmnožina R

1

2

4 3 6

β

(množina podmnožin oboru hodnot náhodné veličiny X)

{1} {1,2}

{3} {2,3,4} {5} {5,6} {1,3,5}

5

rozdělení pravděpodobnosti

PX

[0,1]

atd.

distribuční funkce

R

FX(x)

[0,1]

FX(x) = P(X  x) = P({ω ϵ: X(ω)  x}) = PX((-,x]) pro diskrétní rozdělení

pravděpodobnostní funkce pX(x)

hustota pravděpodobnosti fX(x)

pro spojitá rozdělení

21

2.5.2

Rozptyl

Kromˇe otázky, kolem jakého ˇc´ısla se naˇse náhodná veliˇcina koncentruje, nás zaj´ımá, zdali se jej´ı realizace pohybuj´ı tˇesnˇe kolem této hodnoty, nebo jestli jsou zeˇsiroka rozprostˇreny po velkém u ´seku ˇc´ıselné osy. Tuto vlastnost vyjadˇruje rozptyl (téˇz variance) náhodné veliˇciny, kter´ y budeme znaˇcit VAR(X). Vysok´ y rozptyl odráˇz´ı velmi rozmanité hodnoty náhodné veliˇciny, n´ızk´ y rozptyl naopak malou rozmanitost. Je tedy zˇrejmé, ˇze napˇr´ıklad náhodná veliˇcina výˇse platu má daleko vyˇsˇs´ı rozptyl neˇz poˇcet dn˚ u dovolené roˇcnˇe, jelikoˇz prvn´ı uvedená sahá od nuly vysoko nad stovky tis´ıc˚ u, zat´ımco druhá se bude pohybovat v rozmez´ı nˇekolika des´ıtek. Uˇziteˇcné je také znát, co se dˇeje s rozptylem náhodné veliˇciny, kdyˇz ji nˇejak´ ym zp˚ usobem transformujeme. Pro náhodnou veliˇcinu X a libovolná reálná ˇc´ısla a a b plat´ı: VAR(X + a) = VAR(X),

VAR(bX) = b2 VAR(X),

VAR(a + bX) = b2 VAR(X).

Rozptyl se tedy nijak nemˇen´ı, pokud k náhodné veliˇcinˇe pˇripoˇcteme nˇejakou konstantu, coˇz vcelku dává smysl – rozmanitost hodnot z˚ ustává stejná bez ohledu na to, kam je na ˇc´ıselné ose posuneme. Naopak, vynásob´ıme-li náhodnou veliˇcinu nˇejakou hodnotou, rozptyl se zmˇen´ı drasticky. Tedy, pokud jsme nˇeco mˇeˇrili v metrech a rozhodneme se v´ ysledky pˇrevést na centimetry (Y = 100X), pak rozptyl stoupne desetitis´ıckrát (1002 ). Roztyl nem˚ uˇze b´ yt nikdy záporn´ y. V ˇradˇe v´ ypoˇct˚ u vystupuje rozptyl pod odmocninou. Abychom si uˇsetˇrili práci, budeme odmocninu z rozptylu oznaˇcovat pojmem smˇ erodatn´ a odchylka. 2.5.3

Kovariance, z´ avislost a nez´ avislost n´ ahodn´ ych veliˇ cin

Kdyˇz jsme hovoˇrili o definován´ı náhodn´ ych veliˇcin pro nˇejakou mnoˇzinu v´ ysledk˚ u náhodného pokusu, zm´ınili jsme, ˇze pro jednu mnoˇzinu Ω m˚ uˇzeme definovat libovolné mnoˇzstv´ı náhodn´ ych veliˇcin. Mohlo by nás zaj´ımat, v jakém vztahu tyto náhodné veliˇciny v˚ uˇci sobˇe jsou. Toto nám pom˚ uˇze objasnit kovariance. Roztyl náhodné veliˇciny vypov´ıdal o tom, jak moc náhodná veliˇcina kol´ısá. Kovariance udává, kolik rozptylu spolu dvˇe náhodné veliˇciny sd´ıl´ı nebo (moˇzná ponˇekud srozumitelnˇeji) do jaké m´ıry se kol´ısán´ı jedné náhodné veliˇciny odráˇz´ı v kol´ısán´ı druhé. Kovarianci náhodn´ ych veliˇcin X a Y znaˇc´ıme COV(X, Y ) a plat´ı pro ni tyto vztahy: COV(a + X, b + Y ) = COV(X, Y ),

COV(cX, dY ) = cd COV(X, Y ),

COV(a + cX, b + dY ) = cd COV(X, Y ), COV(X, X) = VAR(X),

COV(a, b) = 0,

22

COV(X, a) = 0.

Pro náhodné veliˇciny X, Y , U , V a konstanty a, b, c, d dále plat´ı COV(aX + bY, cU + dV ) = COV(aX, cU ) + COV(aX, dV ) + COV(bY, cU ) + COV(bY, dV ). Kovariance m˚ uˇze nab´ yvat libovoln´ ych hodnot. Kladná hodnota kovariance znaˇc´ı, ˇze vysoké hodnoty jedné náhodné veliˇciny vedou ke zv´ yˇsen´ı pravdˇepodobnosti, ˇze se i druhá náhodná veliˇcina realizuje s vysokou hodnotou. Záporná kovariance naopak znamená, ˇze vysoké hodnoty jedné veliˇciny vedou ke zv´ yˇsen´ı pravdˇepodobnosti n´ızk´ ych hodnot druhé náhodné veliˇciny. Tˇreba inteligence a výˇse platu kovariuj´ı kladnˇe, zat´ımco inteligence a ˇcas potˇrebný k pˇreˇcten´ı této strany zˇrejmˇe zápornˇe. Kovarianci potˇrebujeme také k popsán´ı rozptylu náhodné veliˇciny, která vznikla jako souˇcet jin´ ych náhodn´ ych veliˇcin: VAR(X + Y ) = VAR(X) + VAR(Y ) + 2 COV(X, Y ). Pro libovolné dvˇe konstanty a a b pak plat´ı VAR(aX + bY ) = a2 VAR(X) + b2 VAR(Y ) + 2ab COV(X, Y ). Ztohoto vztahu m˚ uˇzeme odvodit vzorec pro rozptyl rozd´ılu náhodn´ ych veliˇcin. Jde tedy vlastnˇe o situaci, kdy a = 1 a b = −1: VAR(X − Y ) = VAR(X) + VAR(Y ) − 2 COV(X, Y ). Nˇekdy je uˇziteˇcné kovarianci standardizovat t´ım, ˇze ji vydˇel´ıme smˇerodatn´ ymi odchylkami obou náhodn´ ych veliˇcin. Pak mluv´ıme o korelaˇ cn´ım koeficientu: COR(X, Y ) = p

COV(X, Y ) p . VAR(X) VAR(Y )

Korelaˇcn´ı koeficient nab´ yvá hodnot od −1 do 1 a jeho v´ yznam probereme podrobnˇe v kapitole (3.7), kde budeme hovoˇrit o jeho v´ ybˇerovém protˇejˇsku. S pojmem kovariance a korelace souvis´ı jeden d˚ uleˇzit´ y koncept, a t´ım je nez´ avislost n´ ahodn´ ych veliˇ cin. Pokud jsou dvˇe náhodné veliˇciny nezávislé (tedy v´ ysledek jedné nijak nesouvis´ı s v´ ysledkem druhé), pak je kovariance tˇechto náhodn´ ych veliˇcin nulová. Bohuˇzel vztah neplat´ı opaˇcn´ ym smˇerem – nulová kovariance nám nedává jistotu nezávislosti náhodn´ ych veliˇcin. U ˇrady rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti (napˇr. normáln´ı, alternativn´ı, viz následuj´ıc´ı kapitoly) tomu tak je, u jin´ ych to ale platit nemus´ı. Nezávislost náhodn´ ych veliˇcin je specifick´ ym pˇr´ıpadem nezávislosti náhodn´ ych jev˚ u. Uvedli jsme, ˇze náhodné jevy 23

Obrázek 5: Kvantil spojité náhodné veliˇciny

A a B jsou nezávislé, pokud P (A ∩ B) = P (A)P (B). Analogicky jsou náhodné veliˇciny X a Y nezávislé, pokud pro libovolé hodnoty x a y plat´ı P (X < x ∩ Y < y) = P (X < x)P (Y < y). Ekvivalentnˇe bychom mohli totéˇz napsat pomoc´ı sdruˇzené distribuˇcn´ı funkce jako FX,Y (x, y) = FX (x)FY (y). Z v´ yˇse uvedeného pak zjevnˇe vypl´ yvá to, ˇze pro dvˇe nezávislé náhodné veliˇciny plat´ı: VAR(X + Y ) = VAR(X) + VAR(Y ). Pro jejich stˇredn´ı hodnotu pak E(XY ) = E(X) E(Y ). 2.5.4

Kvantily n´ ahodn´ e veliˇ ciny

Distribuˇcn´ı funkce nám dává odpovˇed’ na otázku, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze se pˇr´ısluˇsná náhodná veliˇcina bude realizovat na intervalu (−∞, x]. Co kdyˇz nás ale zaj´ımá opaˇcná otázka: Jakou hodnotu x bychom museli zvolit, aby v n´ı funkˇcn´ı hodnota distribuˇcn´ı funkce ” dosahovala nˇejaké námi stanovené pravdˇepodobnosti α?“ Takové hodnotˇe, znaˇcme ji tˇreba xα , ˇr´ıkáme kvantil (pˇr´ıpadnˇe α-kvantil). Jak m˚ uˇzeme vidˇet z obrázku (5), xα je tedy hodnotou, kde distribuˇcn´ı funkce prot´ıná hladinu α. S touhle definic´ı kvantilu uspˇejeme u spojit´ ych náhodn´ ych veliˇcin, jejichˇz distribuˇcn´ı funkce je rostouc´ı a procház´ı vˇsemi hladinami od 0 po 1. Problém m˚ uˇze nicménˇe nastat u distribuˇcn´ı funkce diskrétn´ı náhodné veliˇciny. Ta má sv˚ uj charakteristick´ y schodovit´ y tvar. Co kdyˇz zvol´ıme takovou hladinu α, která procház´ı mezi dvˇema stupni schodiˇstˇe a distribuˇcn´ı funkci tedy neprotne? Pak je hodnotou xα to m´ısto, kde na distribuˇcn´ı funkci 24

Obrázek 6: Kvantil diskrétn´ı náhodné veliˇciny

docház´ı k onomu ,,skoku“. A co kdyˇz s hladinou α naopak pˇresnˇe nˇekter´ y schod tref´ıme? Pak pˇr´ısluˇsn´ ym kvantilem nen´ı jediné ˇc´ıslo, ale cel´ y interval odpov´ıdaj´ıc´ı vˇsem hodnotám na iksové ose nad nimiˇz se schod“ rozprost´ırá. Demonstruje to obrázek (6). ” Pokud se budeme ptát tˇreba na to, kolik student˚ u dokonˇc´ı studium s prospˇechem 1.5 nebo lepˇs´ım (niˇzˇs´ım), ptáme se na hodnotu distribuˇcn´ı funkce FX (1.5). Naopak pokud se táˇzeme, na jak´ y prospˇech dosáhne jen 10 % nejlepˇs´ıch student˚ u, hovoˇr´ıme o kvantilu x0.1 .

2.6

Diskr´ etn´ı rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti

Typickou diskrétn´ı náhodnou veliˇcinou je poˇcet nˇeˇceho (tˇreba automobil˚ u v rodinˇe). Diskrétn´ı jsou také vˇsechny kvalitativn´ı charakteristiky, kter´ ym jsme pˇriˇradili nˇejaká ˇc´ısla (napˇr. obl´ıbená znaˇcka doutn´ık˚ u). Na rozd´ıl od spojit´ ych náhodn´ ych veliˇcin nab´ yvaj´ı diskrétn´ı náhodné veliˇciny nˇekter´ ych hodnot s nenulovou pravdˇepodobnost´ı, coˇz je ponˇekud pˇribliˇzuje chápán´ı bˇeˇzného ˇclovˇeka. Tˇreba se m˚ uˇzeme ptát, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze byl jedinec pˇresnˇe dvakrát za sv˚ uj dosavadn´ı ˇzivot hospitalizován v psychiatrické léˇcebnˇe. Funkci, která nám dává odpovˇed’ na tuto otázku, naz´ yváme pravdˇ epodobnostn´ı funkce3 a oznaˇcujeme ji pX (x). Obrázek (7) znázorˇ nuje distribuˇcn´ı funkci a pravdˇepodobnostn´ı funkci veliˇciny pohlav´ı u student˚ u psychologie. Jedniˇckou jsme oznaˇcili muˇze, nulou ˇzeny. Pravdˇepodobnostn´ı funkce tedy pˇresnˇe odpov´ıdá v´ yˇsce jednotliv´ ych schod˚ u distribuˇcn´ı funkce diskrétn´ı ná3ˇ Cten´ aˇre se moˇzn´ a v této f´ azi zmocˇ nuj´ı rozpaky nad t´ım, proˇc jsme definovali uˇz tolik rozmanit´ ych funkc´ı, které pracuj´ı s pravdˇepodobnost´ı, a stále definujeme nové. Nemohli jsme se vyhnout distribuˇcn´ım funkc´ım a rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti? V pˇr´ıpadˇe diskrétn´ıch veliˇcin k v´ıce ménˇe dobrému pochopen´ı staˇc´ı zn´ at pravdˇepodobnostn´ı funkci. Pˇredchoz´ı teoretické u ´vahy najdou své hlavn´ı vyuˇzit´ı aˇz u spojit´ ych n´ ahodn´ ych veliˇcin.

25

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

pX (x)

FX (x)

Obrázek 7: Distribuˇcn´ı funkce a pravdˇepodobnostn´ı funkce náhodné veliˇciny pohlav´ı u student˚ u psychologie

0.4

0.4

0.2 −1

0.2 0

1

−1

2

x

0

1

2

x

Obrázek 8: Podobnost distribuˇcn´ıch funkc´ı u dvou r˚ uzn´ ych náhodn´ ych veliˇcin

hodné veliˇciny. Pokud budeme m´ıt oˇci otevˇrené, zjist´ıme, ˇze ˇradu jev˚ u na svˇetˇe m˚ uˇzeme popsat náhodn´ ymi veliˇcinami, jejichˇz distribuˇcn´ı funkce si jsou nápadnˇe podobné. Zkusme tˇreba uvaˇzovat dvˇe u ´plnˇe odliˇsné náhodné veliˇciny. Prvn´ı dá kaˇzdému pracovn´ımu dnu nˇejaké ˇc´ıslo, podle toho, kolik lid´ı se ten den pokusilo dovolat do mé kanceláˇre. Vˇetˇsinou nikdo nevolá, ale jsou dny, kdy se poˇstˇest´ı a najde se hned nˇekolik telefonist˚ u, kteˇr´ı nˇeco chtˇej´ı. Druhá náhodná veliˇcina oˇc´ısluje kaˇzdého ˇclovˇeka v Olomouci podle toho, kolikrát se mu za ˇzivot stala nemilá událost, kdyˇz bˇehem oblevy kráˇcel po ulici, a na hlavu se mu zˇr´ıtil sn´ıh a led ze stˇrechy. Vˇetˇsinu lid´ı tahle nepˇr´ıjemnost naˇstˇest´ı nepotkala, ale existuj´ı i takov´ı smolaˇri, kteˇr´ı podobnou událost zaˇzili nˇekolikrát. Kdyˇz si nakresl´ıme pravdˇepodobnostn´ı funkce obou jev˚ u (viz obrázek 8), udeˇr´ı nás do oˇc´ı pˇrekvapivá podobnost. Jak je moˇzné, ˇze dvˇe náhodné veliˇciny, které nemaj´ı na prvn´ı pohled nic podobného, maj´ı tak podobnou distribuˇcn´ı funkci (respektive hodnoty pravdˇepodobnostn´ı funkce)? Pokud si v mˇeˇren´ı zdánlivˇe nesmysln´ ych vˇec´ı a kreslen´ı jejich distribuc´ı najdeme kon´ıˇcek 26

(coˇz pros´ım nedˇelejte, mohlo by se jednat o duˇsevn´ı poruchu), budeme znovu a znovu naráˇzet na nˇekolik tvar˚ u, které má náhoda zˇrejmˇe o nˇeco radˇeji neˇz jiné. Pˇr´ıˇcinou vˇsak nen´ı ˇza´dná tajemná s´ıla, která by ovládala náhodné jevy. Vysvˇetlen´ım je to, ˇze kaˇzdá událost má své pˇr´ıˇciny a existuje nˇekolik pomˇernˇe ˇcast´ ych mechanism˚ u, jak´ ymi m˚ uˇzou b´ yt tyhle pˇr´ıˇciny provázané mezi sebou. Statistici a jejich pˇredch˚ udci si tˇechto ˇcast´ ych rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti vˇsimli jiˇz dávno a dali jim r˚ uzná jména. Vybrané rodiny rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti diskrétn´ı náhodné veliˇciny probereme podrobnˇeji. 2.6.1

Alternativn´ı rozdˇ elen´ı

Alternativn´ı rozdˇelen´ı má kaˇzdá náhodná veliˇcina, která m˚ uˇze nab´ yvat pouze dvou hodnot, 0 a 1. (Pokud jsme náhodnou veliˇcinu, která má jen dvˇe moˇzné hodnoty, nadefinovali tak, ˇze tyto hodnoty nejsou 0 a 1, ale tˇreba 1 a 2, m˚ uˇzeme ji snadno do nulajedniˇckového formátu transformovat.) Alternativn´ı rozdˇelen´ı má tˇreba náhodná veliˇcina pohlav´ı probanda, odpovˇedi na vˇsechny otázky typu ano-ne nebo pˇr´ıtomnost a nepˇr´ıtomnost urˇcité vlastnosti. Pravdˇepodobnostn´ı funkce alternativn´ıho rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti bude tedy vˇzdy vypadat jako dva hroty; jeden um´ıstˇen´ y na nule a druh´ y na jedniˇcce. Velikost tˇechto hrot˚ u m˚ uˇze b´ yt samozˇrejmˇe r˚ uzná, podm´ınkou je pochopitelnˇe pouze to, aby souˇcet obou hodnot byl roven jedné. To, kter´ y hrot bude jak velk´ y, vyjadˇruje parametr p. Tento parametr m˚ uˇze nab´ yvat jakékoli hodnoty mezi nulou a jedniˇckou a odpov´ıdá pravdˇepodobnosti, ˇze se náhodná veliˇcina realizuje s hodnotou 1. Pravdˇepodobnost nuly je pochopitelnˇe 1 − p. Má-li náhodná veliˇcina X alternativn´ı rozdˇelen´ı s parametrem p, zap´ıˇseme to X ∼ Alt(p). Pokud je tˇreba náhodn´ ym pokusem hod minc´ı a veliˇcina X vyjadˇruje, jestli padla panna, napsali bychom X ∼ Alt(0.5). Náhodná veliˇcina s alternativn´ım rozdˇelen´ım má stˇredn´ı hodnotu rovnou hodnotˇe parametru p a rozptyl roven hodnotˇe p(1−p). Zmiˇ novaná náhodná veliˇcina proto bude m´ıt stˇredn´ı hodnotu E(X) = 0.5 a rozptyl VAR(X) = 0.25. Distribuˇcn´ı funkci a pravdˇepodobnostn´ı funkci náhodné veliˇciny s rozdˇelen´ım Alt(0.2) znázorˇ nuje obrázek (7). 2.6.2

Binomick´ e rozdˇ elen´ı

Binomické rozdˇelen´ı má kaˇzdá náhodná veliˇcina, která vznikla jakou souˇcet n nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin, z nichˇz kaˇzdá má alternativn´ı rozdˇelen´ı s parametrem p. Je tedy patrné, ˇze se rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti z rodiny binomick´ ych rozdˇelen´ı m˚ uˇzou od sebe liˇsit jednak poˇctem opakován´ı n a taky t´ım, jakou hodnotu parametru p pˇr´ısluˇsná alternativn´ı ˇ ısla n a p jsou proto parametry binomického rozdˇelen´ı. Má-li veliˇcina rozdˇelen´ı mˇela. C´ X binomické rozdˇelen´ı, zapisujeme X ∼ Bi(n, p). Známe-li hodnoty obou parametr˚ u, 27

Obrázek 9: Pravdˇepodobnostn´ı funkce náhodn´ ych veliˇcin a rozdˇelen´ımi Bi(6, 0.5) a Bi(5, 0.9) 0.4

0.6

pX (k)

pX (k)

0.3 0.2 0.1 0

2

4

6

0.4 0.2

0

k

2

4

6

k

m˚ uˇzeme snadno z´ıskat hodnotu pravdˇepodobnostn´ı funkce. Slouˇz´ı k tomu následuj´ıc´ı vztah: n k p(k) = p (1 − p)n−k , k pro k = 0, 1, ..., n.4 V pˇr´ıpadˇe jin´ ych hodnot k má pravdˇepodobnostn´ı funkce pochopitelnˇe nulovou hodnotu. Máme-li k dispozici MS Excel, z´ıskáme stejnou hodnotu pomoc´ı vzorce =BINOM.DIST(k; n; p; 0). Pokud napˇr´ıklad provád´ıme v´ yzkum na dˇetech ve ˇskolce a v´ıme, ˇze v pr˚ umˇeru 70 % rodiˇc˚ u b´ yvá ochotno dát souhlas k zaˇrazen´ı jejich d´ıtˇete do v´ yzkumu, tak m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze veliˇcina, která vyˇc´ısluje, kolik z deseti osloven´ ych dˇet´ı skuteˇcnˇe do v´ yzkumu zaˇrad´ıme, má rozdˇelen´ı Bi(10, 0.7). Snadno pak vyˇc´ısl´ıme pravdˇepodobnost toho, ˇze z´ıskáme pˇresnˇe 8 dˇet´ı: 10 · 0.78 · (1 − 0.7)10−8 = 23.3 %. Pravdˇepodobnost, ˇze jich z´ıskáme vˇsech 10, je 8 10 · 0.710 · (1 − 0.7)10−10 = 0.710 = 2.82 % atd. 10 Pro stˇredn´ı hodnotu náhodné veliˇciny s binomick´ ym rozdˇelen´ım plat´ı E(X) = np a pro rozptyl VAR(X) = np(1 − p). 2.6.3

Poissonovo rozdˇ elen´ı

Poissonovo rozdˇelen´ı se nˇekdy oznaˇcuje jako rozdˇelen´ı vzácných jev˚ u a m˚ uˇzeme je povaˇzovat za krajn´ı pˇr´ıpad binomického rozdˇelen´ı. Pˇredstavme si, ˇze máme veliˇcinu s binomick´ ym rozdˇelen´ım, která se skládá z velkého mnoˇzstv´ı pokus˚ u (n se tedy bl´ıˇz´ı nekoneˇcnu), které maj´ı velmi malou pravdˇepodobnost (p se bl´ıˇz´ı nule). Pˇritom vˇsak plat´ı, ˇze np = λ. Právˇe toto ˇc´ıslo λ (lambda) je jedin´ ym parametrem Poissonova rozdˇelen´ı P o(λ). 4 U ˇrady diskrétn´ıch rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti nab´ yvá p(x) nenulové hodnoty pouze pro x z mnoˇziny cel´ ych ˇc´ısel. Abychom zd˚ uraznili, ˇze se jedná o celá ˇc´ısla, pouˇz´ıváme zpravidla p´ısmeno k m´ısto x.

28

Obrázek 10: Pravdˇepodobnostn´ı funkce náhodné veliˇciny s rozdˇelen´ım Po(1.5) 0.3 pX (k)

0.2 0.1 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

k Klasick´ ymi pˇr´ıklady náhodn´ ych veliˇcin s t´ımto rozdˇelen´ım je poˇcet zákazn´ık˚ u v obchodˇe (lid´ı, co by mohli cht´ıt nakoupit, je obrovské mnoˇzstv´ı, ale pravdˇepodobnost toho, ˇze to daného jedince napadne zrovna ted’, se bl´ıˇz´ı nule) nebo poˇcet hvˇezd, které uvid´ıme v hvˇezdáˇrském dalekohledu, kdyˇz se s n´ım pod´ıváme na nebe (viditeln´ ych hvˇezd je nepoˇc´ıtanˇe, ale pravdˇepodobnost pro kaˇzdou z nich, ˇze bude zrovna v tomto u ´seku oblohy, je zanedbatelná). Pravdˇepodobnost toho, ˇze náhodná veliˇcina s Poissonov´ ym rozdˇelen´ım nab´ yvá hodnoty k, je rovna λk −λ p(k) = e , k! pro libovolné nezáporné celé ˇc´ıslo k. V ostatn´ıch pˇr´ıpadech je p(k) = 0. Stejnou hodnotu obdrˇz´ıme v programu MS Excel pˇri uˇzit´ı pˇr´ıkazu =POISSON.DIST(k; λ; 0). Náhodná veliˇcina s Poissonov´ ym rozdˇelen´ım má stˇredn´ı hodnotu i rozptyl roven parametru λ. 2.6.4

Dalˇ s´ı diskr´ etn´ı rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti

Tato tˇri uvedená rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti nejsou samozˇrejmˇe jediná, na která m˚ uˇzeme narazit. Byla vybrána, protoˇze se s nimi budeme setkávat v tomto kurzu a navazuj´ıc´ıch kurzech ˇcastˇeji neˇz s jin´ ymi. Zájemc˚ um nicménˇe m˚ uˇzeme doporuˇcit prozkoumán´ı napˇr´ıklad hypergeometrick´ eho a geometrick´ eho rozdˇelen´ı.

29

2.7

Spojit´ a rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti

Pro spojitá rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti plat´ı vˇetˇsina toho, o ˇcem jsme hovoˇrili u diskrétn´ıch rozdˇelen´ı. Opˇet se budeme bavit o r˚ uznˇe pojmenovan´ ych rodinách rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, která maj´ı svá jména a své parametry. Jedn´ım velk´ ym rozd´ılem je fakt, ˇze pro spojitá rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti nemá smysl definovat pravdˇepodobnostn´ı funkci. Narazili bychom na jiˇz zm´ınˇen´ y problém: Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze náhodnˇe vybraný ” jedinec je vysoký pˇresnˇe 178.000000 . . . cm? Nulová!“ M´ısto toho zde definujeme takzvanou hustotou pravdˇ epodobnosti. Budeme ji znaˇcit mal´ ym p´ısmenem, abychom ji odliˇsili od distribuˇcn´ı funkce, tedy napˇr. fX (x). Hustota pravdˇepodobnosti obvykle nevstupuje do naˇsich v´ ypoˇct˚ u (zde si budeme muset vystaˇcit s distribuˇcn´ı funkc´ı), je vˇsak nesm´ırnˇe uˇziteˇcná, kdyˇz si ˇreˇsen´ y problém budeme cht´ıt pˇredstavit nebo naˇcrtnout. Hustota pravdˇepodobnosti totiˇz vyuˇz´ıvá princip, o kterém jsme hovoˇrili v kapitole o geometrické pravdˇepodobnosti: pravdˇepodobnost si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako plochu. Jak hustota pravdˇepodobnosti vypadá? S trochou fantazie m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze jej´ı graf vˇzdy vypadá jako jak´ ysi kopec, kter´ y se rozprost´ırá nad iksovou osou. Smˇerem k m´ınus i plus nekoneˇcnu

Obrázek 11: Vztah distribuˇcn´ı funkce a hustoty pravdˇepodobnosti

se rovná (nebo bl´ıˇz´ı) nulové hodnotˇe a plocha tohoto kopce je vˇzdy rovna jedniˇcce (tedy 100 %). Posledn´ı vlastnost se nejh˚ uˇr pˇredstavuje, ale je pro nás nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı: pokud si vybereme libovolné m´ısto na ose x a onen kopec v nˇem rozdˇel´ıme na dva d´ıly, tak plocha toho d´ılu, co leˇz´ı smˇerem vlevo od x je rovna FX (x). Názornˇe to ilustruje obrázek (11). Abychom uspokojili i nároˇcnˇejˇs´ı ˇctenáˇre, jeˇstˇe zmiˇ nme, ˇze hodnota hustoty pravdˇepodobnosti v bodˇe x vlastnˇe ˇr´ıká, jak moc je distribuˇcn´ı funkce v tomto bodˇe strmá.

30

Obrázek 12: Ilustraˇcn´ı obrázek k hustotˇe náhodné veliˇciny

Na rozd´ıl od distribuˇcn´ı funkce je koncept hustoty pravdˇepodobnosti pomˇernˇe intuitivn´ı i bez hlubˇs´ıho vzdˇelán´ı ve statistice. M˚ uˇzeme si pˇredstavovat, ˇze kopec hustoty je tvoˇren vˇsemi moˇzn´ ymi realizacemi náhodné veliˇciny, které nˇekdo naskládal na hromadu tak, aby na jedné stranˇe té hromady byly realizace s nejmenˇs´ımi hodnotami z druhé s nejvyˇsˇs´ımi. Na pˇr´ıkladu BMI (body mass index ) u ˇskolák˚ u to ilustruje obrázek (12). Kdyˇz se nás nˇekdo zeptá, jaká je pravdˇepodobnost toho, ˇze d´ıtˇe má BMI menˇs´ı neˇz tˇreba 22, tedy ˇze se náhodná veliˇcina X realizuje s hodnotou menˇs´ı neˇz 22, ptá se vlastnˇe na to, kolik procent ze vˇsech noˇzn´ ych dˇet´ı na obrázku (12) leˇz´ı smˇerem doleva od tohoto ˇc´ısla. Jin´ ymi slovy, ptáme se na to, jaká je plocha tohoto u ´tvaru:

22

Pˇresnou hodnotu z´ıskáme po dosazen´ı do distribuˇcn´ı funkce FX (22). Grafická pˇredstava hustoty pravdˇepodobnosti nám pom˚ uˇze naj´ıt odpovˇed’ i na sloˇzitˇejˇs´ı otázky. Pokud bychom se tˇreba tázali, s jakou pravdˇepodobnost´ı se X realizuje mezi ˇc´ısly 18 a 22, asi by nás na prvn´ı pohled nenapadlo, ˇze to je FX (22) − FX (18). Kdyˇz si problém pˇrestav´ıme jako hustotu, stane se toto ˇreˇsen´ı zˇrejm´ ym:

31

= 18

−

22

22

18

Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe, kdyˇz se ptáme, s jakou pravdˇepodobnost´ı se veliˇcina X realizuje mimo interval (18, 22):

= 18

−

−

22

22

18

Vyjádˇreno pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce: P X ≤ 18 ∪ X ≥ 22 = 1 − FX (22) − FX (18) . Spojit´ ych rozdˇelen´ı, která maj´ı své jméno, existuj´ı des´ıtky. Pˇri statistick´ ych v´ ypoˇctech na nˇe budeme naráˇzet mnohem ˇcastˇeji neˇz na ta diskrétn´ı. V tomto textu se bl´ıˇze seznám´ıme se dvˇema, která se vyskytuj´ı v pˇr´ırodˇe pomˇernˇe ˇcasto a s dalˇs´ımi ˇctyˇrmi, která maj´ı speciáln´ı vyuˇzit´ı pˇri testován´ı statistick´ ych hypotéz a konstrukci konfidenˇcn´ıch interval˚ u. 2.7.1

Rovnomˇ ern´ e rozdˇ elen´ı

Náhodná veliˇcina s rovnomˇern´ ym (uniformn´ım) rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti se realizuje na intervalu [a, b], kde p´ısmena a a b odpov´ıdaj´ı jeho parametr˚ um a m˚ uˇzou nab´ yvat hodnoty libovoln´ ych reáln´ ych ˇc´ısel (a je menˇs´ı neˇz b). Rovnomˇerné rozdˇelen´ı znaˇc´ıme Ro(a, b) nebo U (a, b). Hustota rovnomˇerného rozdˇelen´ı se v rámci intervalu [a, b] rovná 1 , b−a

jinde je nulová. Plocha pod kˇrivkou tedy tvoˇr´ı obdéln´ık, proto se toto rozdˇelen´ı

naz´ yvá téˇz rektangulárn´ı5 . Rovnomˇerné rozdˇelen´ı má napˇr´ıklad rozd´ıl mezi skuteˇcn´ ym ˇcasem a ˇcasem, kter´ y ukazuj´ı digitáln´ı hodiny, nebo délka ˇcekán´ı na tramvaj, kdyˇz v náhodn´ y ˇcas pˇrijdete na zastávku, ke které v pravideln´ ych intervalech pˇrij´ıˇzd´ı tramvaje. Necháme-li poˇc´ıtaˇc generovat náhodná ˇc´ısla, tak ty maj´ı zpravidla rozdˇelen´ı Ro(0, 1) (v MS Excel pˇr´ıkaz ´ C ˇ ÍSLO()). Náhodná veliˇcina s rovnomˇern´ =NAH ym rozdˇelen´ım má stˇredn´ı hodnou E(X) = a+b 2

a rozptyl VAR(X) =

(b−a)2 . 12

5

Pro u ´plnost uved’me, ˇze pojmem rovnomˇerné rozdˇelen´ı se nˇekdy oznaˇcuje i diskrétn´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, kdy se n´ ahodn´ a veliˇcina m˚ uˇze realizovat koneˇcn´ ym poˇctem hodnot, pˇriˇcemˇz vˇsechny nast´ avaj´ı se stejnou pravdˇepodobnost´ı.

32

Obrázek 13: Hustoty pravdˇepodobnosti náhodn´ ych veliˇcin s rozdˇelen´ımi Ro(1, 6) a Ro(2, 4) 1

fX (x)

0.8 0.6 0.4 0.2

0

1

2

3

4

5

6

7

x 2.7.2

Norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı

Mezi vˇsemi rozdˇelen´ımi, o kter´ ych jsme doposud mluvili a o kter´ ych budeme mluvit na dalˇs´ıch stránkách, má zcela v´ yjimeˇcnou pozici normáln´ı (Gaussovo) rozdˇelen´ı. Za zm´ınku stoj´ı, ˇze jeho název nen´ı zvolen zrovna ˇst’astnˇe – neexistuje ˇza´dné nenormáln´ı rozdˇelen´ı, aˇc se toto slovn´ı spojen´ı vyskytuje v diplomov´ ych prac´ıch k nelibosti oponent˚ u pomˇernˇe ˇ ım je toto rozdˇelen´ı tak v´ ˇcasto. C´ yjimeˇcné? Pˇredevˇs´ım t´ım, ˇze je v pˇr´ırodˇe i spoleˇcnosti neuvˇeˇritelnˇe ˇcasté. S trochou nadsázky m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze vˇsechno smˇeˇruje k normáln´ımu rozdˇelen´ı. Normáln´ı rozdˇelen´ı vzniká tehdy, kdyˇz sledovaná náhodná veliˇcina pˇredstavuje souˇcet velkého mnoˇzstv´ı náhodn´ ych veliˇcin s podobnˇe velk´ ymi rozptyly. V pˇr´ırodˇe to je tˇreba vˇetˇsina vlastnost´ı ˇziv´ ych organism˚ u. At’ uˇz inteligence nebo tˇreba tˇelesná v´ yˇska jsou produktem nespoˇctu nepatrn´ ych vliv˚ u (jednotlivé geny, podnˇety z prostˇred´ı bˇehem v´ yvoje, v´ yˇziva. . . ) a ˇr´ıd´ı se proto normáln´ım rozdˇelen´ım. Normáln´ı rozdˇelen´ı má dva parametry µ a σ 2 (,,m´ı” a ,,sigma na druhou”). Prvn´ı z nich odpov´ıdá jeho stˇredn´ı hodnotˇe a druh´ y jeho rozptylu. Hustota normáln´ıho rozdˇelen´ı má charakteristick´ y zvonovit´ y tvar. Jej´ı pr˚ ubˇeh popisuje pˇredpis (x−µ)2 1 fX (x) = √ e− 2σ2 . σ 2π

K témuˇz v´ ysledku vede v programu MS Excel funkce =NORM.DIST(x; µ; σ; 0). V´ıce uˇzitku nám nicménˇe m˚ uˇzou pˇrinést hodnoty distribuˇcn´ı funkce normáln´ıho rozdˇelen´ı, které z´ıskáme pomoc´ı pˇr´ıkazu =NORM.DIST(x; µ; σ; 1), pˇr´ıpadnˇe kvantil normáln´ıho rozdˇelen´ı =NORM.INV(α; µ; σ). To, ˇze má náhodná veliˇcina X normáln´ı rozdˇelen´ı za33

Obrázek 14: Hustoty pravdˇepodobnosti náhodn´ ych veliˇcin s rozdˇelen´ımi N (0, 0.52 ) a 2 N (1, 1 ) 1 0.8

fX (x)

0.6 0.4 0.2

−2

−1

0

1 x

2

3

4

pisujeme X ∼ N (µ, σ 2 ). Tˇreba IQ má rozdˇelen´ı N (100, 152 ). Pozoruhodnou vlastnost´ı normáln´ıho rozdˇelen´ı je to, ˇze pokud seˇcteme v´ıce náhodn´ ych veliˇcin s t´ımto rozdˇelen´ım, tak v´ ysledná náhodná veliˇcina má opˇet normáln´ı rozdˇelen´ı. Normáln´ı rozdˇelen´ı je zachováno i v pˇr´ıpadˇe, ˇze náhodnou veliˇcinu s normáln´ım rozdˇelen´ım jakkoli lineárnˇe transformujeme (tzn. pˇriˇcteme k n´ı konstatnu nebo ji konstantou vynásob´ıme). 2.7.3

Normovan´ e norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı

Normované normáln´ı rozdˇelen´ı je speciáln´ım pˇr´ıpadem normáln´ıho rozdˇelen´ı, kdy µ = 0 a σ 2 = 1. Oznaˇcujeme jej proto N (0, 1). Jedná se zˇrejmˇe o nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, se kter´ ym se v tomto kurzu setkáváme. Paradoxnˇe na nˇej zˇrejmˇe nikdy v pˇr´ırodˇe nenaraz´ıme. Jeho v´ yhodou je to, ˇze jakoukoli veliˇcinu, která má obecnˇe normáln´ı rozdˇelen´ı, m˚ uˇzeme transformovat na veliˇcinu, která má normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Z pˇredeˇsl´ ych kapitol jiˇz máme dostatek znalost´ı, abychom tuto transformaci sami odvodili. Máme-li veliˇcinu X ∼ N (µ, σ 2 ), pak u n´ı potˇrebujeme provést dvˇe zmˇeny. Jednak ji posunout tak, aby jej´ı stˇredn´ı hodnota byla rovna nule. To udˇeláme jednoduˇse odeˇcten´ım konstanty µ. Pak potˇrebujeme upravit rozptyl této náhodné veliˇciny. Toho dosáhneme tak, ˇze náhodnou veliˇcinu podˇel´ıme odmocninou jej´ıho rozptylu, tedy hodnotou σ (pˇripomeˇ nme, ˇze onu odmocninu z rozptylu oznaˇcujeme pojmem smˇerodatná odchylka). M˚ uˇzeme proto zapsat Z=

X −µ , σ

kde X ∼ N (µ, σ 2 ) a Z ∼ N (0, 1). 34

Obrázek 15: Hustota pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny s normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım 0.5 0.4

fX (x)

0.3 0.2 0.1

−3

−2

−1

0 x

1

2

3

Vztah, kter´ ym je urˇcena hustota pravdˇepodobnosti, lze odvodit z hustoty obecného normáln´ıho rozdˇelen´ı: x2 1 fZ (x) = √ e− 2 . 2π V programu MS Excel m˚ uˇzeme pouˇz´ıt stejné funkce, jako pro normáln´ı rozdˇelen´ı, za stˇredn´ı hodnotu dosad´ıme 0 a za rozptyl 1. Nebo m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt funkci =NORM.S.DIST (x; 0) pro hustotu, =NORM.S.DIST(x; 1) pro distribuˇcn´ı funkci a =NORM.S.INV(α) pro kvantil. Normované normáln´ı rozdˇelen´ı nemá ˇzádné parametry, nejedná se tedy o rodinu rozdˇelen´ı, ale existuje jediné svého druhu. To nám umoˇzn ˇuje hodnoty jeho distribuˇcn´ı funkce a kvantilu sepsat do tabulky, coˇz je nesm´ırnˇe uˇziteˇcné, pokud nemáme k dispozici poˇc´ıtaˇc. (Situace nem´ıt u sebe poˇc´ıtaˇc je dnes sp´ıˇse u ´smˇevná, nicménˇe jeˇstˇe pˇred 30ti lety, to byla samozˇrejmost.) Hustota pravdˇepodobnosti normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı je symetrická kolem nuly. Toto má pro nás jeden pˇr´ıjemn´ y d˚ usledek. Pravdˇepodobnost, ˇze se náhodná veliˇcina, která má toto rozdˇelen´ı, bude realizovat s hodnotou menˇs´ı neˇz nˇejaká záporná hodnota −x, je pˇresnˇe stejná jako pravdˇepodobnost, ˇze se tato náhodná veliˇcina bude realizovat s hodnotou vˇetˇs´ı neˇz kladná hodnota x. Takˇze napˇr´ıklad FZ (−1) = 16% a tedy FZ (1) = 84%, a podobnˇe pro kvantil (budeme jej znaˇcit Φα ) plat´ı, ˇze napˇr´ıklad Φ0.05 = −1.64 a Φ0.95 = 1.64. Obecnˇe tedy FZ (−x) = 1 − FZ (x), −Φα = Φ1−α . Tato vlastnost nám znatelnˇe usnadn´ı poˇcty s t´ımto rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti. 35

Vrat’me se zpˇet k u ´vaze nad t´ım, jak normáln´ı rozdˇelen´ı vzniká. Uvedli jsme, ˇze to je souˇcet velkého mnoˇzstv´ı nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin s podobn´ ymi rozptyly. Tento princip lze matematicky popsat pomoc´ı takzvan´ ych centr´ aln´ıch limitn´ıch vˇ et (nˇekdy se téˇz hovoˇr´ı o centr´ aln´ım limitn´ım teor´ emu). Demonstrujme jej na pˇr´ıkladu. Pˇredstavte si, ˇze kaˇzdé ráno jezd´ıte do práce tramvaj´ı. Ta stav´ı kaˇzdé 4 minuty na zastávce hned pˇred dveˇrmi vaˇseho domu. Vy jste si ale nikdy nedali tu práci nauˇcit se j´ızdn´ı ˇra´d, takˇze vyráˇz´ıte z domu ve zcela nahodil´ y ˇcas. Nˇekdy se tedy stane, ˇze vám tramvaj ujede pˇred nosem a vy mus´ıte ˇcekat 4 minuty na dalˇs´ı, jindy tramvaj chytnete ihned a délka vaˇseho ˇcekán´ı je témˇeˇr 0 a v ostatn´ıch pˇr´ıpadech to je nˇeco mezi tˇemito dvˇema ˇc´ısly. Náhodná veliˇcina délka ˇcekán´ı (oznaˇcme ji X1 ) má rovnomˇerné rozdˇelen´ı Ro(0, 4) a graf jej´ı hustoty pravdˇepodobnosti vypadá jako obdéln´ık rozkládaj´ıc´ı se mezi nulou a ˇctyˇrkou (viz prvn´ı graf na obrázku 16). Jak je vidˇet, pravdˇepodobnost, ˇze budete ˇcekat ménˇe neˇz jednu minutu, je stejná, jak ˇze budete ˇcekat déle neˇz 3 minuty, nebo tˇreba libovoln´ y ˇcas mezi 1.5 a 2.5 minuty. Taky v´ıme to, ˇze stˇredn´ı doba ˇcekán´ı E(X) jsou 2 minuty. Stejn´ ym zp˚ usobem jezd´ıte i z práce dom˚ u. Délku druhého ˇcekán´ı popiˇsme veliˇcinou X2 . Obˇe veliˇciny maj´ı stejná rozdˇelen´ı Ro(0, 4) a jsou na sobˇe nezávislé – to, jak dlouho budeme ˇcekat ráno, nijak neovlivn´ı, jak dlouho budeme ˇcekat odpoledne. Jaké rozdˇelen´ı má pak náhodná veliˇcina, která popisuje, kolik ˇcasu jsme urˇcit´ y den strávili na zastávce, tedy X1 + X2 ? I bez hlubˇs´ıch znalost´ı vid´ıme, ˇze souˇcet X1 + X2 nebude nikdy vyˇsˇs´ı neˇz 8 (tzn. za dan´ ych podm´ınek se nic horˇs´ıho, neˇz se nám tramvaj ujede ráno i odpoledne, nestane) a nikdy niˇzˇs´ı neˇz 0 (dvakrát budeme m´ıt ˇstˇest´ı a nastoup´ıme hned poté, co vykroˇc´ıme ze dveˇr´ı). Taky m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze stˇredn´ı hodnota E(X1 + X2 ) je rovna 4, coˇz jednak dává smysl, jelikoˇz ráno i odpoledne v pr˚ umˇeru ˇcekáme po dvou minutách a taky v´ıme ˇze E(X1 + X2 ) = E(X1 ) + E(X2 ). Pˇrekvapivé vˇsak m˚ uˇze b´ yt to, ˇze náhodná veliˇcina X1 + X2 nebude m´ıt rovnomˇerné rozdˇelen´ı. Graf hustoty pravdˇepodobnosti se zmˇen´ı do podoby troj´ uheln´ıku (viz obrázek 16). Tedy pravdˇepodobnost toho, ˇze celková doba ˇcekán´ı bude nˇekde mezi 4 a 5 minutami je daleko vyˇsˇs´ı, neˇz ˇze to bude ˇc´ıslo z intervalu [7, 8] nebo tˇreba [0, 1]. S nejvyˇsˇs´ı pravdˇepodobnost´ı se doba ˇcekán´ı bude pohybovat nˇekde kolem 4 minut. Je tomu tak proto, ˇze pouze pro ˇctyˇrku plat´ı, ˇze bez ohledu na to, jak dlouho ˇcekáte ráno, vˇzdycky m˚ uˇze b´ yt vaˇse celková doba ˇcekán´ı rovna 4 minutám. Kdyˇz si ale vybereme jiné ˇc´ıslo, tak ˇc´ım bude leˇzet dál od ˇctyˇrky, t´ım je vˇetˇs´ı ˇsance, ˇze uˇz po nástupu do rann´ı tramvaje budete vˇedˇet, ˇze mu dneˇsn´ı celková doba ˇcekán´ı nebude odpov´ıdat. Tˇreba pokud jste ráno ˇcekali pˇresnˇe 3 minuty, tak s jistotou v´ıte, ˇze celková doba ˇcekán´ı nebude menˇs´ı neˇz 3 a ani nebude vˇetˇs´ı neˇz 7 minut. 36

0

2

4

6

8

0

n = 10

0

5

10

15

20

2

4

6

8 10

0

n = 20

0.02 0.00

0.00

0.00

0.04

0.03

n=5

0.00 0.04 0.08 0.12

0.12 0.00

5

0.030

4

0

10

20

30

40

n=4

5

10

15

n = 50

0.015

3

0

20

40

60

80

0.000

2

0.04

1

n=3

0.06

0.20 0.10 0

0.06

-1 0.08

n=2

0.00

0.00

0.10

0.20

Obrázek 16: Pˇr´ıklad p˚ usoben´ı centráln´ı limitn´ı vˇety u náhodné veliˇciny s Ro(0,4)

0

50

100

150

200

Pˇriˇcteme k naˇsim dvˇema ˇcekán´ım jeˇstˇe jedno ˇcekán´ı z rána dalˇs´ıho dne, X3 . Opˇet jde o nezávislou náhodnou veliˇcinu s rozdˇelen´ım Ro(0, 4). Celková doba ˇcekán´ı (zapiˇsme Pn ji u ´spornˇe jako cuje poˇcet sˇc´ıtan´ ych veliˇcin, tedy 3) i ted’ zmˇen´ı i=1 Xi , kde n oznaˇ tvar své hustoty. Ilustruje jej tˇret´ı graf na obrázku (16). A dál se bude mˇenit s poˇctem náhodn´ ych veliˇcin, které seˇcteme. Grafy hustoty celkového ˇcekán´ı za t´ yden (n = 10) a dva t´ ydny (n = 20) jiˇz budou mnohem v´ıce pˇripom´ınat kopec neˇz obdéln´ık. A celková doba, co stráv´ıme na zastávce za mˇes´ıc (n = 50), má rozdˇelen´ı témˇeˇr nerozeznatelné od normáln´ıho rozdˇelen´ı. Vid´ıme napˇr´ıklad, ˇze s pravdˇepodobnost´ı hraniˇc´ıc´ı s jistotou celková doba ˇcekán´ı za mˇes´ıc nebude delˇs´ı neˇz 150 minut ani kratˇs´ı neˇz 50 minut, aˇc teoreticky m˚ uˇze vyj´ıt libovolné ˇc´ıslo mezi nulou a 200. V uvedeném pˇr´ıkladu maj´ı náhodné veliˇciny X rovnomˇerné rozdˇelen´ı. Ve skuteˇcnosti by vˇsak mohlo j´ıt o bezmála jakékoli rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti vˇcetnˇe diskrétn´ıch.6 P Pro dostateˇcnˇe vysoká n se bude rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny ni=1 Xi podobat normáln´ımu rozdˇelen´ı bez ohledu na p˚ uvodn´ı tvar. Toto normáln´ı rozdˇelen´ı bude m´ıt stˇredn´ı hodnotu n · E(X) a rozptyl n · VAR(X) (vzpomeˇ nme si, ˇze pro nezávislé náhodné veliˇciny plat´ı VAR(X1 + X2 ) = VAR(X1 ) + VAR(X2 )). Matematicky pˇresné normáln´ı rozdˇelen´ı bychom z´ıskali tehdy, pokud bychom seˇcetli nekoneˇcno sˇc´ıtanc˚ u (n = ∞). Tady vˇsak naráˇz´ıme na menˇs´ı zádrhel: pokud náhodné veliˇciny X maj´ı jinou stˇredn´ı hodnotu a rozptyl neˇz 0, pak hodnoty obou parametr˚ u souˇctu nekoneˇcné posloupnosti náhodn´ ych veliˇcin budou nekoneˇcnˇe velké. S t´ımto problémem se snadno vyrovnáme, jelikoˇz z libovolného normáln´ıho rozdˇelen´ı um´ıme udˇelat normované normáln´ı rozdˇelen´ı odeˇcten´ım stˇredn´ı hodnoty a vydˇelen´ım odmocninou z rozptylu. 6

S v´ yjimkou nˇekolika matematiky speciálnˇe vyˇslechtˇen´ ych rozdˇelen´ı, která maj´ı nekoneˇcn´ y rozptyl, a tento postup u nich nefunguje. Viz napˇr´ıklad Cauchyova distribuce.

37

Oznaˇc´ıme-li E(X) = µ a VAR(X) = σ 2 , pak n X − nµ 1 X Xi − µ i i=1 √ . =√ σ n i=1 nσ 2

Pn Z=

Centráln´ı limitn´ı vˇetu m˚ uˇzeme shrnout do tˇechto slov: máme-li nezávislé náhodné veliˇciny Xi , kde i = 1, 2, ..., n, se stˇredn´ı hodnotou µ a koneˇcn´ ym rozptylem σ 2 , pak pro n jdouc´ı k nekoneˇcnu plat´ı n 1 X Xi − µ ∼ N (0, 1). Z=√ σ n i=1 Centráln´ı limitn´ı teorém je d˚ uvodem, proˇc jsme v kapitole (2.7.2) tvrdili, ˇze s trochou nadsázky vˇse smˇeˇruje k normáln´ımu rozdˇelen´ı. Mnoho kvantitativn´ıch charakteristik je souˇctem velkého mnoˇzstv´ı mal´ ych vliv˚ u. Pokud ty maj´ı podobnˇe velké rozptyly a jsou v´ıce ménˇe nezávislé, pak m˚ uˇzeme ˇcekat, ˇze se v´ yˇse popsan´ y mechanismus projev´ı a vtiskne sledované veliˇcinˇe podobu bl´ızkou normáln´ımu rozdˇelen´ı. 2.7.4

Rozdˇ elen´ı χ2

ˇ Reknˇ eme, ˇze jsme pouˇzili znalosti z pˇredeˇsl´ ych odstavc˚ u a vytvoˇrili náhodnou veliˇcinu X, která má normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Pokud tuto náhodnou veliˇcinu umocn´ıme na druhou, z´ıskáme náhodnou veliˇcinu X 2 , která má rozdˇelen´ı χ2(1) (ˇcti ch´ı kvadrát“). Jedniˇcka ” v závorce oznaˇcuje poˇcet stupˇ n˚ u volnosti, coˇz je jedin´ y parametr tohoto rozdˇelen´ı. Rozdˇelen´ı χ2 je takzvanˇe aditivn´ı. Znamená to, ˇze pokud seˇcteme v´ıce nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin, které maj´ı toto rozdˇelen´ı, tak vzniklá náhodná veliˇcina bude m´ıt také rozdˇelen´ı χ2 s poˇctem stupˇ n˚ u volnosti rovn´ ym souˇctu stupˇ n˚ u volnosti sˇc´ıtan´ ych rozdˇelen´ı: χ2(n) + χ2(m) = χ2(n+m) . Máme-li tedy k dispozici 4 nezávislé náhodné veliˇciny, pro kaˇzdou z nichˇz plat´ı, ˇze má rozdˇelen´ı N (0, 1), pak má souˇcet jejich druh´ ych mocnin rozdˇelen´ı χ2(4) . Obecnˇe bychom tedy ˇrekli, ˇze pro n nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin Xi ∼ N (0, 1) plat´ı vztah n X

Xi2 ∼ χ2(n) .

i=1

Rozdˇelen´ım χ2 obvykle nepopisujeme ˇza´dn´ y pˇr´ımo pozorovateln´ y jev, ale uˇz´ıváme jej pˇri testován´ı statistick´ ych hypotéz a pˇri konstrukci konfidenˇcn´ıch interval˚ u. Hodnoty hustoty rozdˇelen´ı χ2 m˚ uˇzeme nalézt napˇr´ıklad pomoc´ı MS Excel uˇzit´ım funkce 38

Obrázek 17: Hustota pravdˇepodobnosti rozdˇelen´ı χ2 0.5

fX (x)

0.4 0.3 0.2 0.1 0

1

2

3

4 x

5

6

7

8

Jednotlivé grafy hustot se liˇs´ı stupni volnosti, od nejtmavˇs´ı po nejsvˇetlejˇs´ı 1, 2, 3, 4, 6, 9 stupˇ n˚ u volnosti.

=CHISQ.DIST(x; n; 0), distribuˇcn´ı funkce =CHISQ.DIST(x; n; 1) a kvantilu =CHISQ. INV(α; n). Grafy hustoty pravdˇepodobnosti náhodn´ ych veliˇcin s rozdˇelen´ım χ2 znázorˇ nuje obrázek (17). 2.7.5

Studentovo t-rozdˇ elen´ı

Studentovo rozdˇelen´ı je opˇet pˇr´ıkladem rozdˇelen´ı, se kter´ ym se v pˇr´ırodˇe nesetkáme, pro nejr˚ uznˇejˇs´ı statistické v´ ypoˇcty je vˇsak mimoˇra´dnˇe d˚ uleˇzité. K pˇr´ıpravˇe náhodné veliˇciny se Studentov´ ym rozdˇelen´ım potˇrebujeme dvˇe ingredience: náhodnou veliˇcinu X0 s normoP van´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım a na n´ı nezávislou náhodnou veliˇcinu ni=1 Xi2 z pˇredeˇslé podkapitoly, o které v´ıme, ˇze má rozdˇelen´ı χ2(n) . Z tˇechto dvou náhodn´ ych veliˇcin vytvoˇr´ıme veliˇcinu X0 T = q Pn

i=1

Xi2

,

n

která má Studentovo rozdˇelen´ı s n stupni volnosti, které odpov´ıdaj´ı stupˇ n˚ um volnosti pouˇzité náhodné veliˇciny s rozdˇeln´ım χ2 . Zapisujeme T ∼ t(n) . Hodnoty hustoty, distribuˇcn´ı funkce a kvantilu Studentova rozdˇelen´ı opˇet m˚ uˇzeme z´ıskat prostˇrednictv´ım aplikace MS Excel pomoc´ı funkc´ı =T.DIST(x; n; 0), =T.DIST(x; n; 1) a =T.INV(α; n). Graf hustoty pravdˇepodobnosti Studentova t-rozdˇelen´ı pˇripom´ıná normované normáln´ı rozdˇelen´ı s tˇeˇzˇs´ımi chvosty. M˚ uˇzeme proto vyuˇz´ıt stejn´ ych vlastnost´ı jako u normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı plynouc´ı z jeho symetrie kolem nuly. S rostouc´ım poˇctem stupˇ n˚ u

39

Obrázek 18: Hustota pravdˇepodobnosti Studentova t-rozdˇelen´ı 0.4

fX (x)

0.3 0.2 0.1 −3

−2

−1

0 x

1

2

3

Jednotlivé grafy hustot se liˇs´ı stupni volnosti, od nejtmavˇs´ı po nejsvˇetlejˇs´ı 1, 2, 5, 30, 100 stupˇ n˚ u volnosti.

volnosti si jsou obˇe rozdˇelen´ı podobnˇejˇs´ı. Pˇri n jdouc´ım k nekoneˇcnu se stávaj´ı identick´ ymi. 2.7.6

Fisherovo F rozdˇ elen´ı

Posledn´ım sloˇzen´ ym rozdˇelen´ım, které budeme vyuˇz´ıvat pˇri statistick´ ych v´ ypoˇctech, je Fisherovo rozdˇelen´ı (téˇz Fisherovo-Snedecorovo, nebo jen F rozdˇelen´ı). Toto rozdˇelen´ı m˚ uˇzeme z´ıskat pomoc´ı dvou nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin (budeme je znaˇcit X1 a X2 ), které maj´ı rozdˇelen´ı χ2 s n1 a n2 stupni volnosti. Náhodná veliˇcina F =

X1 n1 X2 n2

má Fisherovo rozdˇelen´ı s n1 a n2 stupni volnosti (zapisujeme F ∼ F(n1 ,n2 ) ). Jak je patrné, toto rozdˇelen´ı má dva parametry a jsou jimi stupnˇe volnosti ˇcitatele a stupnˇe volnosti jmenovatele. Hodnoty nelze svévolnˇe vymˇenit. Pozorn´ y ˇctenáˇr si m˚ uˇze vˇsimnout toho, ˇze pokud umocn´ıme na druhou náhodnou veliˇcinu s rozdˇelen´ım t(n) , z´ıskáme náhodnou veliˇcinu s rozdˇelen´ım F(1,n) . V programu MS Excel lze z´ıskat hodnoty hustoty pravdˇepodobnosti, distribuˇcn´ı funkce i kvantilu pˇr´ıkazy =F.DIST(x; n1 ; n2 ; 0), =F.DIST(x; n1 ; n2 , 1) a =F.INV(α; n1 ; n2 ).

40

Obrázek 19: Hustota pravdˇepodobnosti Fisherova rozdˇelen´ı 0.8

fX (x)

0.6 0.4 0.2

0

0.5

1

1.5

2 x

2.5

3

3.5

4

Jednotlivé grafy hustot se liˇs´ı stupni volnosti, kter´ ych je n1 a n2 . U oranˇzov´ ych graf˚ u má n1 hodnotu 1 a u modr´ ych 10. Parametr n2 nab´ yvá hodnot 1, 3, 12 od nejtmavˇs´ı po nejsvˇetlejˇs´ı barvy.

41

3

Popisn´ a statistika

Pˇri studiu pˇredchoz´ıch kapitol ˇctenáˇre moˇzná pˇrepadla vt´ıravá myˇslenka, ˇze psycholog, a to i ten, co pracuje ve v´ yzkumu, ˇreˇs´ı ponˇekud jin´ y druh problém˚ u neˇz v´ ypoˇcty kovarianc´ı, kreslen´ı graf˚ u hustot pravdˇepodobnosti nebo dosazován´ı do vzorc˚ u pravdˇepodobnostn´ı funkce. V praxi nás obvykle potkává opaˇcná situace – pozorujeme skuteˇcnost a náhodné veliˇciny nevid´ıme prostˇrednictv´ım jejich distribuˇcn´ıch funkc´ı, ale jen jako koneˇcn´ y poˇcet jejich realizac´ı, tedy nˇekolik stˇr´ıpk˚ u zkuˇsenosti, kter´ ym jsme pˇridˇelili ˇc´ısla na základˇe nˇejak´ ych pravidel (napˇr. poˇcty bod˚ u, které lidé z´ıskali v psychodiagnostickém testu). V této kapitole proto odboˇc´ıme od naˇseho dosavadn´ıho v´ ykladu a nauˇc´ıme se tˇr´ıdit, popisovat a zobrazovat pozorován´ı svˇeta kolem nás. Popisná statistika je pro mnoho lid´ı jedinou oblast´ı statistiky, o které kdy slyˇseli. Pojmy jako pr˚ umˇer nebo medián zná zˇrejmˇe kaˇzd´ y a nejr˚ uznˇejˇs´ı grafy jsou bˇeˇznou souˇca´st´ı televizn´ıho zpravodajstv´ı. Tuto znalost rozvineme a seznám´ıme se s celou ˇradou ukazatel˚ u, které nám pom˚ uˇzou popsat naˇse pozorován´ı. Popisná statistika má ve skuteˇcnosti hned dvoj´ı vyuˇzit´ı. Zjist´ıme, ˇze ˇrada pojm˚ u, se kter´ ymi jsme se setkali v pˇredchoz´ıch kapitolách, se bude opakovat. Znovu napˇr´ıklad naraz´ıme na kvantily, rozptyl nebo korelaˇcn´ı koeficient. Jak´ y je vztah mezi tˇemito teoretick´ ymi parametry a jejich empirick´ ymi protˇejˇsky, zat´ım ˇctenáˇri z˚ ustane utajeno. Ne ovˇsem na dlouho – tomuto tématu zasvˇet´ıme celou kapitolu o statistick´ ych odhadech, která bude uzav´ırat prvn´ı semestr statistiky. Vrat’me se ale k naˇsemu p˚ uvodn´ımu u ´ˇcelu popisné statistiky. O statistice se ˇr´ıká, ˇze to je vˇeda o tom, jak pˇrehlednˇe vyjádˇrit nepˇrehledné vˇeci. To je sice ponˇekud u ´zká definice, ale pomˇernˇe pˇresnˇe vystihuje podstatu popisné statistiky. Kouknˇeme se tˇreba na vˇetu: Petr vˇcera veˇcer vypil ˇctyˇri piva, Tomáˇs dvˇe, Radek a Lukáˇs kaˇzdý ˇsest, Karel ˇctyˇri, ” Michal pˇet a Jirka jedno.“ Jedná se o u ´plnou v´ ypovˇed’ o veliˇcinˇe poˇcet vypitých piv u skupiny pˇrátel, kteˇr´ı zˇrejmˇe cosi oslavovali. Aˇc je tento soubor pomˇernˇe mal´ y, tak uˇz i toto sdˇelen´ı je vcelku nepˇrehledné. O nˇeco pˇrehlednˇejˇs´ı je moˇzná tvrzen´ı: Sedm pˇrátel ” vˇcera vypilo 28 piv.“ Nebo dokonce: Kaˇzdý z pˇrátel vypil v pr˚ umˇeru ˇctyˇri piva.“ U ” velkého poˇctu pozorován´ı je toto v podstatˇe jedin´ y zp˚ usob, jak o nich vypov´ıdat, jelikoˇz vyjmenovat vˇsechny hodnoty by nepˇrineslo ˇzádn´ y uˇzitek. Moˇzná nam´ıtáte, ˇze z vˇety Sedm pˇrátel vˇcera vypilo 28 piv,“ nem˚ uˇzeme vyˇc´ıst ” napˇr´ıklad, kdo se bude ráno pot´ ykat s pˇr´ıˇsernou kocovinou a komu se tato starost vyhne. Je patrné, ˇze t´ım, kdyˇz u ´daje o souboru zestruˇcn´ıme do nˇekolika popisn´ ych charakteristik, velkou ˇcást informac´ı ztrác´ıme. Je jen na naˇs´ı obratnosti a znalosti popisné statistiky, abychom rozhodli, kter´ yu ´daj je d˚ uleˇzit´ y a kter´ y si m˚ uˇzeme dovolit opomenout.

42

3.1

Statistick´ y soubor a statistick´ y znak

Kdyˇz se budeme bavit o nˇejaké mnoˇzinˇe pozorován´ı, tedy tˇreba o naˇs´ı skupinˇe sedmi pˇrátel z v´ yˇse uvedeného pˇr´ıkladu, budeme pouˇz´ıvat oznaˇcen´ı statistick´ y soubor. Jednotlivé pˇrátele bychom oznaˇcovali za prvky (pˇr´ıpadnˇe jednotky) tohoto souboru. V psychologii jsou tˇemito prvky nejˇcastˇeji lidé, nic nám ale nebrán´ı do pozice prvk˚ u pasovat tˇreba ˇskoln´ı tˇr´ıdy, nebo freudovské gauˇce. U kaˇzdého prvku pak sledujeme nˇejaké statistick´ e znaky – ve v´ yˇse uvedeném pˇr´ıkladu to byl poˇcet vypit´ ych piv, je to ale tˇreba také pohlav´ı, vˇek, ˇci jakákoli jiná charakteristika, kterou jsme pˇred t´ım popisovali pomoc´ı náhodné veliˇciny. Zejména tehdy, kdyˇz statistick´ y znak nab´ yvá jen omezeného mnoˇzstv´ı r˚ uzn´ ych hodnot, naz´ yváme tyto jednotlivé hodnoty u ´ rovnˇ emi statistick´ eho znaku. Takˇze tˇreba znak pohlav´ı by mohl m´ıt u ´rovnˇe 0 a 1, reprezentuj´ıc´ı ˇzena“ a muˇz“. ” ”

3.2

ˇ Cetnosti

Chceme-li popisovat statistick´ y soubor, prvn´ı otázka, která nás zˇrejmˇe bude zaj´ımat, je, kolik pozorován´ı jsme uˇcinili (tedy napˇr´ıklad u kolika klient˚ u jsme administrovali nˇejak´ y test a ted’ máme jejich v´ ysledky k dispozici). Tento ukazatel budeme jednoduˇse naz´ yvat rozsah souboru a znaˇcit p´ısmenem n (v nˇekter´ ych textech téˇz N ). Pokud statistick´ y soubor rozdˇel´ıme na v´ıce podsoubor˚ u, tˇreba na podsoubor muˇz˚ u a ˇzen, nebo pokud jednoduˇse pracujeme s v´ıce soubory, u kaˇzdého z nich opˇet m˚ uˇzeme hovoˇrit o jeho rozsahu a znaˇcit p´ısmenem n s nˇejak´ ym indexem (napˇr. n1 , n2 ). Na tent´ yˇz u ´kol bychom se mohli pod´ıvat i z druhé strany a ptát se, s jakou ˇcetnost´ı urˇcit´ y statistick´ y znak (zde tˇreba pohlav´ı) v souboru nab´ yvá urˇcité u ´rovnˇe (zde tˇreba muˇz). Hovoˇrili bychom pak o absolutn´ı ˇ cetnosti, kterou m˚ uˇzeme znaˇcit p´ısmenem fj jako frekvence (p´ısmeno j, je oznaˇcen´ı dané kategorie, respektive podsouboru). Stejnˇe jako rozsah souboru je tedy absolutn´ı ˇcetnost nˇejaké nezáporné celé ˇc´ıslo. Za nˇekter´ ych okolnost´ı by mohlo b´ yt také uˇziteˇcné vyjádˇrit jedn´ım ˇc´ıslem, u jak velké pomˇerné ˇca´sti souboru má statistick´ y znak tuto konkrétn´ı u ´roveˇ n. Pak bychom hovoˇrili o relativn´ı ˇ cetnosti, kterou m˚ uˇzeme znaˇcit pj . Máme-li tedy tˇreba soubor o deseti lidech (n = 10) a ptáme se, kolik z nich má modré oˇci, pak je-li f1 je rovno ˇc´ıslu 3, tak p1 = 0.3 (respektive 30 %). Zjevnˇe tedy plat´ı vztah: pj =

fj . n

Vzácnˇe potˇrebujeme vyjádˇrit, kolik pozorován´ı má hodnotu statistického znaku rovnou nebo menˇs´ı, neˇz je hodnota dané u ´rovnˇe. Hovoˇrili bychom pak o absolutn´ıch nebo

43

Tabulka 1: Tabulka ˇcetnost´ı – poˇcet zoubk˚ u u dˇet´ı absolutn´ı relativn´ı poˇcet absolutn´ı relativn´ı kumulativn´ı kumulativn´ı zoubk˚ u ˇcetnost ˇcetnost ˇcetnost ˇcetnost 14 2 0.031 64 1.000 13 1 0.016 62 0.969 12 5 0.078 61 0.953 11 2 0.031 56 0.875 11 0.172 54 0.844 10 3 0.047 43 0.672 9 8 10 0.156 40 0.625 6 0.094 30 0.469 7 6 3 0.047 24 0.375 6 0.094 21 0.328 5 4 9 0.141 15 0.234 4 0.063 6 0.094 3 2 1 0.016 2 0.031 1 0 0.000 1 0.016 1 0.016 1 0.016 0 relativn´ıch kumulativn´ıch ˇ cetnostech. Tabulka (1) shrnuje ˇcetnosti jednotliv´ ych u ´rovn´ı znaku poˇcet proˇrezaných zub˚ u u souboru 64 dˇet´ı ve vˇeku 12-16 mˇes´ıc˚ u. 3.2.1

Histogram

Pro grafické znázornˇen´ı ˇcetnost´ı jednotliv´ ych u ´rovn´ı sledovaného znaku máme ˇradu nástroj˚ u. V pˇr´ıpadˇe kvalitativn´ıch znak˚ u, jako je tˇreba preferovaný filmový ˇzánr, bychom mohli sáhnout napˇr´ıklad po koláˇcovém grafu. Za nˇekter´ ych okolnost´ı bychom mohli ˇcetnosti zobrazit pomoc´ı sloupcového grafu (tˇreba tehdy, kdyˇz jednotlivé u ´rovnˇe maj´ı pevnˇe dané poˇrad´ı, které by v koláˇcovém grafu nebylo patrné). Tyto nástroje podrobnˇeji rozeb´ırat nebudeme, jelikoˇz jejich znalost patˇr´ı k vˇseobecnému vzdˇelán´ı. Zastav´ıme se nad speciáln´ım pˇr´ıpadem sloupcového grafu, a t´ım je histogram. Pomoc´ı histogramu máme moˇznost pozorovat pˇribliˇzn´ y tvar grafu hustoty pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny, která se ve statistickém souboru manifestuje jako kvantitativn´ı znak. Abychom vytvoˇrili histogram, mus´ıme rozdˇelit statistick´ y soubor do kategori´ı. Pˇredstavme si, ˇze mˇeˇr´ıme tˇreba srdeˇcn´ı frekvenci pokusn´ ych osob a zaj´ımá nás, jaké rozdˇelen´ı pˇribliˇznˇe má tato náhodná veliˇcina. Kategorie bychom mohli stanovit napˇr´ıklad takto: [65, 70), [70, 75), [75, 80), . . . , [155, 160), [160, 165). Pro kaˇzdou kategorii bychom pak mohli spoˇc´ıtat absolutn´ı (pˇr´ıpadnˇe relativn´ı) ˇcetnost a nalezené hodnoty zobrazit formou sloupcového grafu. Hranice kategori´ı by bylo moˇzné stanovit o nˇeco rozumnˇeji. Mohlo by b´ yt uˇziteˇcné 44

navrhnout kategorie tak, aby jejich stˇredy byla celá (nebo nˇejak kulatá) ˇc´ısla. Napˇr´ıklad tedy [62.5, 67.5), [67.5, 72.5), . . . , [152.5, 157.5), [157.5, 162.5). Sloupeˇcky histogramu pak budou vycentrovány nad ˇc´ısly 65, 70, . . . , 155, 1607 . Obvykle vol´ıme vˇsechny kategorie stejnˇe ˇsiroké, v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech vˇsak necháme krajn´ı kategorie otevˇrené (tedy napˇr. [−∞, 67.5)). Kategorie na sebe mus´ı samozˇrejmˇe tˇesnˇe pˇriléhat a mus´ı pokr´ yvat vˇsechny pozorované hodnoty. Pˇri kreslen´ı grafu nenecháváme mezi sloupci mezery, jeden tedy pˇriléhá tˇesnˇe na druh´ y. Posledn´ı a d˚ uleˇzitou otázkou je, jak ˇsiroké kategorie stanovit, respektive jak´ y poˇcet kategori´ı zvolit. Aˇc se zdá, ˇze tato otázka je zcela banáln´ı, jedná se o pomˇernˇe d˚ uleˇzité rozhodnut´ı, které m˚ uˇze vést ke zcela odliˇsnému pochopen´ı dat. Vezmˇeme si histogramy na obrázku (20), které zobrazuj´ı tatáˇz data, rozdˇelena do r˚ uznˇe ˇsirok´ ych kategori´ı. K usnadnˇen´ı volby poˇctu kategori´ı byla stanovena ˇrada pravidel. Nejznámˇejˇs´ı je zˇrejmˇe Sturgesovo pravidlo8 , které pro n pozorován´ı stanovuje k kategori´ı jako k = 1 + log10 (n) · 3.322. Aˇc je toto pravidlo stanoveno na základˇe sofistikované u ´vahy (vycház´ı z vlastnost´ı binomického rozdˇelen´ı), nevede vˇzdy k uˇziteˇcn´ ym v´ ysledk˚ um. V pˇr´ıpadˇe na obrázku (20) by byl v´ ysledek pˇribliˇznˇe 6.6, tedy 7 kategori´ı. Jak se zdá, je toto ˇc´ıslo pomˇernˇe malé. Veˇskerá pravidla proto berme pouze jako pomocn´ y nástroj a pˇri volbˇe vhodného poˇctu kategori´ı a jejich mez´ı se ˇrid’me sp´ıˇse citem a u ´ˇcelem naˇseho sdˇelen´ı.

3.3

Extr´ emy, variaˇ cn´ı rozpˇ et´ı a odlehl´ a pozorov´ an´ı

Dalˇs´ı zaj´ımavou informaci, která zpˇresn´ı naˇsi znalost statistického souboru, je nejvyˇsˇs´ı a nejniˇzˇs´ı pozorovaná hodnota sledovaného znaku. Zavedeme proto maximum a minimum, která budeme znaˇcit xmin a xmax . Tyto ukazatele pochopitelnˇe lze stanovit pouze tehdy, kdyˇz m˚ uˇzeme u ´rovnˇe sledovaného znaku srovnávat, nenajdeme je tedy u kvalitativn´ıch znak˚ u. V literatuˇre se také hovoˇr´ı o variaˇ cn´ım rozpˇ et´ı R, které je definováno jako rozd´ıl tˇechto extrémn´ıch hodnot. Tedy R = xmax − xmin . V odborn´ ych textech se vˇsak s variaˇcn´ım rozpˇet´ım setkáme pomˇernˇe zˇr´ıdka a maximum i minimum také uvád´ıme pouze v pomˇernˇe specifick´ ych pˇr´ıpadech. Typicky se s n´ım setkáme pˇri popisu zkoumaného souboru z hlediska vˇeku (,,Vˇek respondent˚ u se pohyboval mezi hodnotami 18 a 25 let”). 7

Dodejme vˇsak, ˇze to, které ˇreˇsen´ı je hezˇc´ı a které ménˇe hezké, je vˇec názoru. Nˇekdy popisujeme stˇredy sloupeˇck˚ u a podle toho je um´ıst’ujeme, jindy popisujeme okraje kategori´ı. Rozhodovac´ım kritérie je jen estetické c´ıtˇen´ı autora daného grafu. 8 Nˇekdy totéˇz pravidlo zapisujeme jako k = 1 + log2 (n). Hodnotu zaokrouhlujeme nahoru. Oba vzorce vedou ke stejnému v´ ysledku.

45

Obrázek 20: Ukázky dobré a ˇspatné volby poˇctu kategori´ı histogramu 15

10

Poˇcet pozorován´ı


12

8 6 4 2

5

80 100 120 140 160 Srdeˇcn´ı frekvence

25

50

20

40



60

10

15 10 5

60


60


60


30 20 10

Vˇsechny ˇctyˇri histogramy vych´ az´ı ze stejn´ ych hodnot srdeˇcn´ı frekvence na skupinˇe 96 proband˚ u. Je patrné, ˇze prvn´ı histogram m´ a kategorie pˇr´ıliˇs jemné a v grafu jsou trhliny. Posledn´ı histogram je naopak sloˇzen z pˇr´ıliˇs ˇsirok´ ych kategori´ı, a nen´ı tak v˚ ubec patrné to, ˇze graf hustoty sledované veliˇciny m´ a dva vrcholy. Nejvhodnˇejˇs´ı je zˇrejmˇe kategorizace pouˇzitá ve tˇret´ım grafu.

46

3.3.1

Odlehl´ a pozorov´ an´ı

Malé vyuˇzit´ı v´ yˇse uveden´ ych charakteristik souvis´ı zˇrejmˇe s jednou jejich nepˇr´ıjemnou vlastnost´ı: staˇc´ı, aby se v souboru vyskytl jedin´ y prvek, kter´ y má hodnotu statistického znaku o mnoho vyˇsˇs´ı nebo naopak o mnoho niˇzˇs´ı neˇz ostatn´ı prvky, a nalezená charakteristika se radikálnˇe zmˇen´ı. Touto u ´vahou se dostáváme k zaj´ımavému problému. Obecnˇe m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze nˇekteré charakteristiky statistického souboru jsou pomˇernˇe stálé a po zaˇrazen´ı nˇekolika hodnot, které svou velikost´ı vyboˇcuj´ı, se zmˇen´ı jen málo. Jiné, jako napˇr´ıklad variaˇcn´ı rozpˇet´ı, na pˇr´ıtomnost takov´ ych hodnot reaguje drastickou zmˇenou. Vlastnost, o které hovoˇr´ıme, oznaˇcujeme jako robustnost. Robustn´ı ukazatele tedy pˇrikládaj´ı menˇs´ı váhu extrémn´ım pozorován´ım a jsou jimi jen málo ovlivnˇeny. Prvky statistického souboru, které v urˇcitém znaku nápadnˇe vyboˇcuj´ı, oznaˇcujeme pojmem odlehl´ a pozorov´ an´ı (bˇeˇznˇe se vˇsak setkáme i s anglick´ ym v´ yrazem outlier). Je-li prvek statistického souboru v nˇekterém znaku outlier, nemus´ı to znamenat, ˇze je outlierem i v jin´ ych znac´ıch. Pokud zjist´ıme pˇr´ıtomnost outlier˚ u ve statistickém souboru, ˇ mˇeli bychom jim vˇenovat zvláˇstn´ı pozornost. Casto nás napadne, ˇze bychom tato odlehlá pozorován´ı mˇeli ze souboru vylouˇcit. Tento krok je nicménˇe krajn´ım ˇreˇsen´ım, ke kterému bychom se nemˇeli odhodlat, pokud jej nedokáˇzeme ospravedlnit. V rozhodnut´ı nám pom˚ uˇze zejména to, kdyˇz zjist´ıme p˚ uvod odlehlého pozorován´ı. Pokud jde o chybu (napˇr´ıklad vzniklou pˇri pˇrepisován´ı pap´ırov´ ych dotazn´ık˚ u do poˇc´ıtaˇce nebo selhán´ım pˇri mˇeˇren´ı), m˚ uˇzeme hodnotu opravit, respektive odstranit. Pokud se vˇsak jedná o pravdivou hodnotu, mˇeli bychom se sp´ıˇse pˇrizp˚ usobit my a pˇri vyhodnocen´ı se spoléhat pouze na robustn´ı ukazatele a postupy.

3.4

M´ıry polohy

Pˇri popisu sledovaného znaku ˇcasto hledáme jedinou hodnotu, která by co nejpˇresnˇeji reprezentovala cel´ y statistick´ y soubor. Pˇrestoˇze to je témˇeˇr nesplniteln´ yu ´kol pro jediné ˇc´ıslo, existuje celá ˇrada ukazatel˚ u, které tuto u ´lohu nˇejak zastat dokáˇzou. Kaˇzd´ y z nich má své v´ yhody i nev´ yhody. 3.4.1

Aritmetick´ y pr˚ umˇ er

Notoricky známou a nejˇcastˇeji uˇz´ıvanou m´ırou polohy je aritmetick´ y pr˚ umˇer (anglicky mean). Vypoˇc´ıtá se jako souˇcet vˇsech hodnot vydˇelen´ y jejich poˇctem. Pro statistick´ y znak x jej budeme znaˇcit x¯ a vypoˇc´ıtáme jako n

x¯ =

1X xi . n i=1 47

Pr˚ umˇer lze smysluplnˇe pouˇz´ıt jen u kvantitativn´ıch statistick´ ych znak˚ u. Nikdo nám samozˇrejmˇe nebrán´ı ve v´ ypoˇctu tˇreba pr˚ umˇerného poˇrad´ı, pˇri takovém kroku si vˇsak mus´ıme uvˇedomit, ˇze se jiˇz nevyjadˇrujeme k p˚ uvodn´ı veliˇcinˇe, ale skuteˇcnˇe jen k samotnému poˇrad´ı. Pro ˇctenáˇre, kteˇr´ı chtˇej´ı do statistiky proniknout hloubˇeji, m˚ uˇzeme zm´ınit jeˇstˇe dvˇe zaj´ımavé vlastnosti pr˚ umˇeru. Prvn´ı je vcelku zˇrejmá – souˇcet rozd´ıl˚ u vˇsech namˇeˇren´ ych hodnot od pr˚ umˇeru je vˇzdy roven nule. Jin´ ymi slovy, souˇcet vdálenost´ı vˇsech hodnot pod pr˚ umˇerem je roven souˇctu vˇsech vzdálenost´ı hodnot nad pr˚ umˇerem. Druhá je jiˇz o nˇeco ménˇe patrná – souˇcet druh´ ych mocnin rozd´ıl˚ u vˇsech namˇeˇren´ ych hodnot od pr˚ umˇeru je nejmenˇs´ı moˇzn´ y. Jin´ ymi slovy, pokud bychom pr˚ umˇer nahradili jakoukoli jinou hodnotou, tak tento souˇcet ˇctverc˚ u najdeme vˇzdy vyˇsˇs´ı. Pˇri v´ ypoˇctu aritmetického pr˚ umˇeru pˇredpokládáme, ˇze kaˇzd´ y prvek, kter´ y zahrneme do v´ ypoˇctu, má stejnou váhu. V nˇekter´ ych situac´ıch se vˇsak vyplat´ı nˇekteré prvky povaˇzovat za d˚ uleˇzitˇejˇs´ı a jiné za ménˇe d˚ uleˇzité. Tehdy vyuˇz´ıváme v´ aˇ zen´ y pr˚ umˇ er. Narazit na nˇej m˚ uˇzeme napˇr´ıklad ve ˇskolách, kde, kdyˇz uˇcitelé vypoˇc´ıtávaj´ı pr˚ umˇernou známku, kaˇzdému zkouˇsen´ı pˇridˇel´ı urˇcitou váhu podle toho, ˇci ˇslo tˇreba o d˚ uleˇzitou ˇctvrtletn´ı práci nebo jen krátké pr˚ ubˇeˇzné zkouˇsen´ı. Pˇri v´ ypoˇctu váˇzeného pr˚ umˇeru tedy nepracujeme jen s hodnotami x1 , x2 , ..., xn , ale také s jejich váhami w1 , w2 , ..., wn . Váˇzen´ y pr˚ umˇer z´ıskáme jako Pn w j xi . x¯ = Pi=1 n i=1 wj Nˇekdy jsou váhy zámˇernˇe vyb´ırány tak, ˇze se jejich souˇcet rovná jedné. Pokud tomu tak P je, m˚ uˇzeme z pˇredeˇslého vzorce ponechat jen v´ yraz z ˇcitatele x¯ = ni=1 wj xi . Klasick´ ym vyuˇzit´ım váˇzeného pr˚ umˇeru je také situace, kdy známe pr˚ umˇery a rozsahy nˇekolika (k) d´ılˇc´ıch r˚ uznˇe rozsáhl´ ych skupin a potˇrebujeme zjistit pr˚ umˇer celkov´ y. Na m´ısto jednotliv´ ych hodnot bychom pak um´ıstili jednotlivé pr˚ umˇery x¯j a jako váhy by nám poslouˇzily rozsahy jednotliv´ ych soubor˚ u nj . Pouˇzili bychom tedy vzorec ve tvaru Pk

j=1

x¯ = Pk

nj x¯j

j=1 nj

.

Vezmˇeme si napˇr´ıklad situaci, kdy chceme spoˇc´ıtat pr˚ umˇernou délku hospitalizace v urˇcité psychiatrické léˇcebnˇe. Máme k dispozici pr˚ umˇernou délku hospitalizace na ˇzenském oddˇelen´ı (17.5 dne) a muˇzském oddˇelen´ı (14.5 dne). Dále v´ıme, ˇze ˇzen bylo ve sledovaném obdob´ı hospitalizováno 36, zat´ımco muˇz˚ u 24. Vypoˇc´ıtáme hodnotu v´ yrazu x¯ = 36·17.5+24·14.5 36+24

= 16.3. V´ ysledek tedy ˇr´ıká, ˇze pr˚ umˇerná doba hospitalizace bez ohledu na po-

hlav´ı byla 16.3 dn˚ u. Kdybychom nezohlednili velikost skupin, tak dostaneme (nesprávn´ y) v´ ysledek 16.0 dn˚ u. 48

3.4.2

Robustn´ı modifikace aritmetick´ eho pr˚ umˇ eru

Silnou stránkou aritmetického pr˚ umˇeru a zároveˇ n jeho slabinou je to, ˇze jeho v´ yˇse je ovlivnˇena kaˇzdou hodnotou v souboru. V´ yhoda je to proto, ˇze pr˚ umˇer tak pˇredstavuje nesm´ırnˇe pˇresn´ y a citliv´ y ukazatel. Nev´ yhoda, ˇze staˇc´ı do souboru zaˇradit jedinou hodnotu, která je v´ yraznˇe vyˇsˇs´ı ˇci niˇzˇs´ı neˇz ostatn´ı hodnoty, aby byl pr˚ umˇer vych´ ylen, nejedná se tedy o pˇr´ıliˇs robustn´ı ukazatel. Pˇredstavme si tˇreba, ˇze provád´ıme sexuologick´ y v´ yzkum mezi vysokoˇskolsk´ ymi studenty a jeden ze znak˚ u, které sledujeme, je poˇcet jejich dosavadn´ıch sexuáln´ıch partner˚ u. Pro jednoduchost se spokoj´ıme se vzorkem dvaceti lid´ı, u kter´ ych zjist´ıme tyto hodnoty: 0

0

1

1

1

1

2

2

2

3

3

4

5

8

8

9

13

18

29 300.

Jedná se o kvantitativn´ı znak, takˇze nám nic nebrán´ı vyuˇz´ıt aritmetick´ y pr˚ umˇer. Po dosazen´ı ˇc´ısel do vzorce m˚ uˇzeme konstatovat, ˇze pr˚ umˇern´ y student mˇel dvacet a p˚ ul sexuáln´ıch partner˚ u. Aˇc jsme pouˇzili správn´ y vzorec, tak z´ıskaná hodnota nevypov´ıdá témˇeˇr o niˇcem. Hod´ı se, pokud chceme ˇsokovat nebo u nˇekoho vzbudit pocit ménˇecennosti. Podle naˇseho vzorku dobr´ ych 90 % respondent˚ u na toto ˇc´ıslo v˚ ubec nedosáhne. Druh´ y nedostatek pr˚ umˇeru je také zjevn´ y – nikdo ve skuteˇcnosti (doufejme) nemˇel pˇresnˇe dvacet a p˚ ul partnera. Pr˚ umˇerná hodnota nemus´ı odpov´ıdat hodnotˇe znaku u ˇza´dného z prvk˚ u naˇseho vzorku (coˇz je nicménˇe vlastnost, kterou maj´ı témˇeˇr vˇsechny ukazatele m´ıry polohy). V pˇr´ıpadˇe, ˇze sledovaná veliˇcina má znaˇcnˇe nesymetrické rozdˇelen´ı s odlehl´ ymi hodnotami, neb´ yvá pr˚ umˇer zdaleka nejlepˇs´ım ukazatelem. N´ızká robustnost aritmetického pr˚ umˇeru vedla statistiky k vytvoˇren´ı ukazatel˚ u, které si zachovávaj´ı vysokou pˇresnost a citlivost, ale zároveˇ n jsou odolné na zkreslen´ı v d˚ usledku odlehl´ ych hodnot. Jsou jimi useknut´ y pr˚ umˇer (trimmed mean, truncated mean) a winsorizovan´ y pr˚ umˇer (winsorized mean). Useknut´ y pr˚ umˇ er vypoˇc´ıtáme stejnˇe jako obyˇcejn´ y aritmetick´ y pr˚ umˇer, jen s t´ım rozd´ılem, ˇze jeˇstˇe pˇred v´ ypoˇctem vyˇrad´ıme urˇcité procento nejvyˇsˇs´ıch a nejniˇzˇs´ıch hodnot. Pˇri v´ ypoˇctu dvacetiprocentn´ıho useknutého pr˚ umˇeru vyˇrad´ıme 20 % nejvyˇsˇs´ıch a 20 % nejniˇzˇs´ıch hodnot, a ze zb´ yvaj´ıc´ıch hodnot vypoˇc´ıtáme aritmetick´ y pr˚ umˇer. V pˇr´ıpadˇe, ˇze poˇcet hodnot, které bychom mˇeli z v´ ypoˇctu z kaˇzdé strany odstranit, nen´ı celé ˇc´ıslo, tak nalezen´ y poˇcet vyˇrazen´ ych prvk˚ u zaokrouhlujeme dol˚ u. Tedy pro n = 10 bude 25% useknut´ y pr˚ umˇer pracovat s ˇsesti prostˇredn´ımi hodnotami9 . Na podobném principu funguje winsorizovan´ y pr˚ umˇ er. Tentokrát vˇsak m´ısto toho, 9

Ve skuteˇcnosti bychom mohli pouˇz´ıt pˇresnˇejˇs´ı metodu neˇz zaokrouhlen´ı. Pokud bychom mˇeli 10 pozorov´ an´ı a poˇc´ıtali 25% useknut´ y pr˚ umˇer, tak v´ıme, ˇze prvn´ı a druhé (taky deváté a desáté) mˇeˇren´ı do v´ ypoˇctu nezahrneme, ale tˇret´ı (a osmé) mˇeˇren´ı by mˇelo b´ yt zahrnuto z jedné poloviny. Mohli bychom jim proto d´ at poloviˇcn´ı v´ ahu neˇz ˇsesti prostˇredn´ım ˇclen˚ um a pouˇz´ıt vzorec pro v´ ypoˇcet váˇzeného pr˚ umˇeru.

49

abychom okrajové hodnoty z v´ ypoˇctu vyˇradili, nahrad´ıme urˇcité procento nejvyˇsˇs´ıch a nejniˇzˇs´ıch hodnot posledn´ı hodnotou, které tento limit nepˇrekraˇcuje. Tedy soubor 1, 2, 3, 4, 10 by mohl b´ yt winsorizován na 2, 2, 3, 4, 4 a hodnota pr˚ umˇeru by se zmˇenila z 5 na 3. Oba zmiˇ nované robustn´ı postupy maj´ı svá omezen´ı a pouˇz´ıváme je jen v nˇekter´ ych situac´ıch. V praxi se s nimi setkáme tˇreba tehdy, kdyˇz zkoumáme, kolik ˇcasu zabere ˇclovˇeku odpovˇedˇet na jednotlivé poloˇzky dotazn´ıku. Tu a tam se stane, ˇze nˇekterá pokusná osoba na chv´ıli práci pˇreruˇs´ı a t´ım vytvoˇr´ı odlehlou hodnotu, které se tˇreba pomoc´ı winsorizace zbav´ıme. Useknut´ y pr˚ umˇer znaj´ı fandové krasobruslen´ı – jednotliv´ı posuzovatelé boduj´ı soutˇeˇz´ıc´ıho, nejpˇr´ısnˇejˇs´ı a nejm´ırnˇejˇs´ı hodnocen´ı se ale ˇskrtá. 3.4.3

Medi´ an a v´ ybˇ erov´ y kvantil

Nejˇcastˇeji pouˇz´ıvanou robustn´ı m´ırou polohy je medián. Znaˇc´ıme jej p´ısmenem x˜ (pˇr´ıpadnˇe Mdn(x)). Medián pˇredstavuje prostˇredn´ı hodnotu ze souboru vˇsech hodnot. Pokud bychom tedy chtˇeli zjistit napˇr´ıklad medián v´ yˇsky studenta psychologie, nechali bychom vˇsechny studenty nastoupit do ˇrady od nejmenˇs´ıho po nejvyˇsˇs´ıho, a pak bychom vybrali toho studenta, co stoj´ı pˇresnˇe v polovinˇe ˇrady. Jeho v´ yˇska by pˇredstavovala právˇe medián. Pokud je prvk˚ u sud´ y poˇcet a nejde tedy rozhodnout, kter´ y je pˇresnˇe uprostˇred, vezmeme dvˇe prostˇredn´ı hodnoty a spoˇc´ıtáme jejich pr˚ umˇer. Vyjádˇreno vzorcem tedy pro x1 < x2 < ... < xn plat´ı  x n+1 pro liché n x˜ = x n 2+x n  2 2 +1 pro sudé n. 2 Medián si m˚ uˇzeme taky pˇredstavit jako krajn´ı pˇr´ıpad useknutého pr˚ umˇeru, kdy v souboru ponecháme jen jeden nebo dva prostˇredn´ı prvky. Medián má tu vlastnost, ˇze dˇel´ı soubor na dvˇe stejnˇe velké poloviny – pod i nad n´ım tedy leˇz´ı stejn´ y poˇcet prvk˚ u. Nezáleˇz´ı na tom, o jaké hodnoty se jedná, jde jen o jejich poˇrad´ı. O mediánu tedy m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze je vysoce robustn´ı. Vrat’me se k pˇredeˇslému pˇr´ıkladu o v´ yzkumu sexuáln´ıho chován´ı. Spoˇc´ıtáme-li medián jako souˇcet jedenáctého a desátého prvku vzorku lomeno dvˇema z´ıskáme v´ ysledek 3 sexuáln´ı partneˇri. Coˇz je ˇc´ıslo, které podle z´ıskan´ ych dat vystihuje skuteˇcnost daleko lépe. Po mediánu jednoznaˇcnˇe sáhneme, kdyˇz pracujeme s poˇrad´ım, nikoli s pˇresn´ ymi hodnotami, a nem˚ uˇzeme tedy pouˇz´ıt pr˚ umˇer. Uˇziteˇcn´ y m˚ uˇze b´ yt i tehdy, kdyˇz má zkoumaná veliˇcina vyloˇzenˇe asymetrické rozdˇelen´ı, nebo kdyˇz se potˇrebujeme vyrovnat s odlehl´ ymi hodnotami, jak jsme vidˇeli na pˇr´ıkladu. Naˇsi u ´vahu m˚ uˇzeme dále zobecnit. Co kdybychom nechtˇeli soubor rozp˚ ulit v pomˇeru 50 : 50, ale tˇreba 30 : 70 nebo 10 : 90? K tomuto u ´ˇcelu zavád´ıme v´ ybˇ erov´ y kvantil. Pro libovolnou hodnotu α ∈ [0, 1] se kvantilem rozum´ı takové ˇc´ıslo xα , které rozdˇeluje 50

uspoˇra´dan´ y soubor na doln´ı u ´sek obsahuj´ıc´ı pod´ıl nejménˇe α pozorován´ı a horn´ı u ´sek obsahuj´ıc´ı pod´ıl nejménˇe 1−α pozorován´ı. Je zde zjevná analogie s teoretick´ ym kvantilem z kapitoly (2.5.4). Pˇri bliˇzˇs´ı u ´vaze zjist´ıme, ˇze z této definice nelze vyvodit pˇresná hodnota nˇekter´ ych kvantil˚ u. Pro pˇresné vyˇc´ıslen´ı hodnoty xα existuje hned nˇekolik definic. My se m˚ uˇzeme spokojit s t´ımto jednoduch´ ym postupem: Vypoˇc´ıtáme hodnotu n · α. Pokud z´ıskáme celé ˇc´ıslo, pak xα =

xnα +xnα+1 , 2

v opaˇcném

pˇr´ıpadˇe zaokrouhl´ıme hodnotu nα nahoru (znaˇcme dnαe) a kvantil stanov´ıme jako xα = ( xdnαe . Tedy xnα +xnα+1 pro nα ∈ Z 2 xα = xdnαe pro nα ∈ / Z. Pomˇernˇe ˇcasto si také pokládáme otázku, jak´ ym kvantil˚ um odpov´ıdaj´ı jednotlivé namˇeˇrené hodnoty (napˇr´ıklad pˇri pˇrevodu v´ ysledk˚ u pˇrij´ımac´ıch zkouˇsek na percentil). I zde nacház´ıme nˇekolik definic vedouc´ıch k r˚ uzn´ ym v´ ysledk˚ um. Mohli bychom odpov´ıdaj´ıc´ı kvantily stanovit tˇreba jako pod´ıl pozorován´ı, která maj´ı menˇs´ı hodnotu, neˇz je hodnota daného pozorován´ı. Nebo jako pod´ıl pozorován´ı, která maj´ı menˇs´ı nebo rovnou hodnotu, neˇz má konkrétn´ı pozorován´ı, k nˇemuˇz hledáme odpov´ıdaj´ıc´ı kvantil. Ani jeden z tˇechto zp˚ usob˚ u vˇsak nen´ı moc elegantn´ı – prvn´ı jmenovan´ y vede k tomu, ˇze ˇza´dné pozorován´ı nebude odpov´ıdat kvantilu x1.00 , druh´ y naopak k tomu, ˇze ˇzádné pozorován´ı nebude odpov´ıdat kvantilu x0.00 . Pomˇernˇe elegantn´ım ˇreˇsen´ım, kterého se budeme nadále drˇzet, je pro vybranou hodnotu xj spoˇc´ıtat poˇcet pozorován´ı, která maj´ı menˇs´ı hodnotu neˇz xj , k tomuto ˇc´ıslu pˇriˇc´ıst polovinu pozorován´ı, která maj´ı stejnou hodnotu jako xj (samotné xj vˇsak do tohoto poˇctu nezahrneme) a v´ ysledek vydˇelit poˇctem vˇsech pozorován´ı sn´ıˇzen´ ym o jedniˇcku. Tedy

αj =

poˇcet(xi < xj ) +

1 2

poˇcet(xi = xj ) − 1 n−1

pro i = 1, 2, ..., n.

Napˇr´ıklad pro soubor pozorován´ı s hodnotami 2, 4, 6, 6, 10 by hodnotˇe 2 odpov´ıdal kvantil x0.00 , hodnotˇe 4 kvantil x0.25 , hodnotˇe 6 kvantil x0.625 a hodnotˇe 10 ve shodˇe s intuic´ı kvantil x1.00 . Naopak, kdybychom se tázali na hodnotu kvantilu x0.2 , odpovˇed´ı by bylo ˇc´ıslo 3 a pro kvantil x0.25 ˇc´ıslo 4. Kvantily x0.5 , x0.6 i x0.7 by byly rovny hodnotˇe 6. Nˇekteré kvantily pouˇz´ıváme ˇcastˇeji neˇz jiné, proto pro nˇe vol´ıme speciáln´ı oznaˇcen´ı: x0.25 – doln´ı kvartil (téˇz Q1 ), x0.5 – medi´ an, x0.75 – horn´ı kvartil (téˇz Q3 ), x0.1 , x0.2 , ..., x0.9 – decily, x0.01 , x0.02 , ..., x0.99 – percentily. 51

3.4.4

V´ ybˇ erov´ y modus

Modus je jedinou m´ırou polohy, kterou lze uplatnit na libovolná data vˇcetnˇe kvalitativn´ıch. Mus´ıme proto podotknout, ˇze oznaˇcen´ı m´ıra polohy je zde troˇsku zavádˇej´ıc´ı. Modus (budeme jej znaˇcit xˆ nebo M od(x)) je jednoduˇse ta hodnota, která se v souboru vyskytuje nejˇcastˇeji. M˚ uˇzeme napˇr´ıklad zjistit, jaká je v souboru pozorován´ı modáln´ı velikost obuvi. Tedy jakou velikost bot má nejv´ıc lid´ı. Pomoc´ı modu pop´ıˇseme tˇreba i to, která pˇr´ıchut’ zmrzliny se prodává nejˇcastˇeji, jaká je nejˇcastˇejˇs´ı barva oˇc´ı, ˇci známka z matematiky. Je zjevné, ˇze pokud poˇc´ıtáme modus pro kvantitativn´ı znak, mus´ıme jej pˇredt´ım rozdˇelit do urˇcit´ ych kategori´ı (respektive hodnoty nˇejak zaokrouhlit), abychom dosáhli nˇejak´ ych ˇcetnost´ı a nevyˇsla nám pro kaˇzdou hodnotu ˇcetnost rovná jedniˇcce. Nˇekdy se stává, ˇze se v naˇsem souboru vyskytne v´ıce hodnot, které maj´ı nejvyˇsˇs´ı ˇcetnost, a kaˇzdá z nich tedy pˇredstavuje modus. Mluv´ıme pak o multimod´ aln´ım rozdˇ elen´ı. Jsou-li mody dva, pak konkrétnˇe o bimod´ aln´ım. V praxi hodnotu modu sledovaného znaku uvád´ıme jen zˇr´ıdka kdy. T´ımto jsme nevyˇcerpali vˇsechny existuj´ıc´ı m´ıry polohy. Zv´ıdavému ˇctenáˇri m˚ uˇzeme doporuˇcit prozkoumat charakteristiky jako je napˇr´ıklad harmonick´ y nebo geometrick´ y pr˚ umˇ er. V textech z obasti psychologického v´ yzkumu na nˇe vˇsak témeˇr nenaraz´ıme. 3.4.5

Krabicov´ y graf

V mnoha pˇr´ıpadech nejlépe porozum´ıme dat˚ um aˇz tehdy, kdyˇz dostaneme moˇznost je nˇejak´ ym zp˚ usobem vizualizovat. Obl´ıbenou metodou vizualizace charakteristik m´ıry polohy je krabicov´ y graf (téˇz vousatá krabiˇcka, anglicky boxplot nebo box-and-whiskers plot). Krabicov´ y graf se skládá z nˇekolika ˇcást´ı. Jednak je to obdéln´ık (,,krabiˇcka”) s horn´ı hranou um´ıstˇenou v kvartilu Q3 a spodn´ı hranou v kvartilu Q1 (viz kapitola 3.4.3). Druh´ y rozmˇer krabiˇcky nen´ı podstatn´ y, sám ˇzádnou informaci nepˇrináˇs´ı. Do krabiˇcky taky obvykle zakresl´ıme medián (tradiˇcnˇe jako plnou ˇcáru, aˇc jednotlivé programy vol´ı r˚ uzná znaˇcen´ı). Nˇekdy, aˇc ne vˇzdy, do grafu zakresl´ıme i aritmetick´ y pr˚ umˇer, tˇreba jako mal´ y ˇctvereˇcek. Dalˇs´ım prvkem jsou ,,vousy”. Jeden vyr˚ ustá z horn´ı a jeden ze spodn´ı strany krabiˇcky (pˇr´ıpadnˇe z levé a pravé strany, pokud graf malujeme naleˇzato). Vous sahá k nejvyˇsˇs´ı, respektive nejniˇzˇs´ı namˇeˇrené hodnotˇe, ovˇsem pouze z hodnot, které nepovaˇzujeme za odlehlá pozorován´ı. Pˇri tvorbˇe krabicového grafu povaˇzujeme za odlehlá pozorován´ı takové hodnoty, které jsou od krabiˇcky vzdáleny v´ıc neˇz 1.5 · (Q3 − Q1 ). Je tedy zjevné, ˇze horn´ı vous nedosáhne nikdy dál neˇz na hodnotu Q3 + 1.5 · (Q3 − Q1 ) a doln´ı dál neˇz na hodnotu Q1 − 1.5 · (Q3 − Q1 ). Odlehlá pozorován´ı (tedy hodnoty mimo tento interval) 52

Obrázek 21: Konstrukce krabicového grafu

● ●

4

6

8

10

12

ˇ v pr˚ Obrázek 22: Délka spánku 20 studnet˚ u VS ubˇehu t´ ydne

2

●

●

0

●

na pondělí

na úterý

na středu

na čtvrtek

na pátek

na sobotu

na neděli

vykresl´ıme do grafu jako malá koleˇcka. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech jeˇstˇe odlehlejˇs´ı hodnoty (nˇekdy oznaˇcujeme jako extrémn´ı hodnoty), které jsou od krabiˇcky dále neˇz 3 · (Q3 − Q1 ), znaˇc´ıme hvˇezdiˇckami m´ısto koleˇcek. Krabicov´ y graf hodnot 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 8, 10 znázorˇ nuje graf (21). Uˇziteˇcnou vlastnost´ı krabicového grafu je to, ˇze se op´ırá o robustn´ı ukazatele polohy a zároveˇ n zachycuje i odlehlá pozorován´ı. Na prvn´ı pohled tedy zjist´ıme, v jakém intervalu leˇz´ı 50 % pozorován´ı (uvnitˇr krabiˇcky), jaké má pozorovan´ y znak minimum a maximum, a které hodnoty se nápadˇe liˇs´ı od ostatn´ıch meˇren´ı. Krabicov´ ych graf˚ u také m˚ uˇzeme zobrazit vedle sebe vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı, a porovnánat tak rozdˇelen´ı sledovaného znaku u v´ıce podsoubor˚ u (viz obrázek 22).

53

3.5

M´ıry variability

M´ıry polohy nám sice poskytuj´ı cennou avˇsak ponˇekud omezenou informaci. Pˇredstavme si, ˇze tˇreba srovnáváme dva soubory hodnot: 49, 49, 50, 51, 51 a 5, 25, 50, 75, 95. At’ uˇz budeme poˇc´ıtat pr˚ umˇer, medián nebo jejich jakoukoli obdobu, z´ıskáme stejn´ y v´ ysledek 50. Na prvn´ı pohled se ale oba soubory liˇs´ı – jeden obsahuje hodnoty, které si jsou podobné, zat´ımco druh´ y je velmi rozmanit´ y. Tuto kvalitu vyjadˇruj´ı m´ıry variability (disperze). Dva jednoduché ukazatele variability jsme jiˇz dˇr´ıve zm´ınili. Rozmanitost dat odráˇz´ı variaˇ cn´ı rozpˇ et´ı (xmax − xmin ) i hodnota Q3 − Q1 , kterou naz´ yváme mezikvartilov´ e rozpˇ et´ı. 3.5.1

Pr˚ umˇ ern´ a absolutn´ı a medi´ anov´ a absolutn´ı odchylka

Intuitivnˇe bychom zˇrejmˇe dokázali vytvoˇrit sv˚ uj vlastn´ı ukazatel variability. Variabilitu si m˚ uˇzeme pˇredstavit, jako vzdálenost jednotliv´ ych hodnot od nˇejakého pomyslného stˇredu, napˇr´ıklad pr˚ umˇeru. Mohli bychom se tedy tˇreba tázat, o kolik se jednotlivá mˇeˇren´ı v pr˚ umˇeru liˇs´ı od pr˚ umˇerné hodnoty. Je zˇrejmé, ˇze pokud bychom seˇcetli vˇsechny rozd´ıly jednotliv´ ych mˇeˇren´ı a pr˚ umˇeru, tak bychom doˇsli k nulovému v´ ysledku, jelikoˇz záporné a kladné hodnoty by se sobˇe aˇz na znaménko rovnaly. To m˚ uˇzeme vyˇreˇsit tak, ˇze budeme sˇc´ıtat absolutn´ı hodnoty tˇechto rozd´ıl˚ u. Takov´ yto ukazatel existuje a naz´ yváme jej pr˚ umˇ ern´ a absolutn´ı odchylka. Vzorcem bychom ji vyjádˇrili následovnˇe: n

1X d¯ = |xi − x¯|. n i=1 Fantazii se nicménˇe meze nekladou, nemuseli bychom proto poˇc´ıtat pr˚ umˇer tˇechto absolutn´ıch odchylek, ale tˇreba i jejich medián. Potom bychom nalezen´ y ukazatel naz´ yvali medi´ anov´ a absolutn´ı odchylka (naráˇz´ıme na ni pod zkratkou MAD). Oproti pr˚ umˇerné odchylce bychom z´ıskali o nˇeco robustnˇejˇs´ı ukazatel. Taky bychom mohli uvaˇzovat nad t´ım, jestli za onen pomysln´ y stˇred povaˇzovat pr˚ umˇer a ne tˇreba medián, nebo i modus. Mohli bychom pak poˇc´ıtat tˇreba medián odchylek jednotliv´ ych mˇeˇren´ı od mediánu tˇechto mˇeˇren´ı. Zˇrejmˇe ve snaze udˇelat pro studenty i laickou veˇrejnost statistiku co nejménˇe srozumitelnou se i tyto dalˇs´ı varianty naz´ yvaj´ı mediánová absolutn´ı odchylka a ukr´ yvaj´ı pod v´ ymluvnou zkratkou MAD. Aˇc se nám absolutn´ı odchylky m˚ uˇzou zdát elegantn´ı a velmi pˇresné, tak se s nimi v praxi témˇeˇr nesetkáme. Jejich slabinou je ona absolutn´ı hodnota ve vzorci pro jejich v´ ypoˇcet. Kv˚ uli této drobnosti nelze absolutn´ı odchylku podrobit nˇekter´ ym matematick´ ym postup˚ um (poˇc´ıtat jejich derivaci), ˇc´ımˇz se tento ukazatel dostává mimo hru.

54

3.5.2

Souˇ cet ˇ ctverc˚ u, v´ ybˇ erov´ y rozptyl a smˇ erodatn´ a odchylka

Jeˇstˇe jednou se vrat’me k naˇs´ı u ´vaze z pˇredeˇslé podkapitoly. Rozmanitost namˇeˇren´ ych hodnot m˚ uˇzeme zjistit tak, ˇze seˇcteme jejich rozd´ıly od pr˚ umˇeru. Aby nám ale nevyˇsel nulov´ y souˇcet, mus´ıme tˇemto rozd´ıl˚ um od pr˚ umˇeru odstranit záporná znaménka. Ukázalo se, ˇze náˇs p˚ uvodn´ı nápad pouˇz´ıt absolutn´ı hodnotu, má urˇcitá omezen´ı. Mus´ıme proto pátrat po jiném postupu, jak ze záporn´ ych ˇc´ısel udˇelat kladná. Jako nejvhodnˇejˇs´ı ˇreˇsen´ı se zdá b´ yt druhá mocnina – také spolehlivˇe odstran´ı záporná znaménka a matematik z˚ ustane spokojen´ y, jelikoˇz mocnina na rozd´ıl od absolutn´ı hodnoty pˇri nejr˚ uznˇejˇs´ıch v´ ypoˇctech nepˇrekáˇz´ı. Spoˇc´ıtáme-li rozd´ıly jednotliv´ ych namˇeˇren´ ych hodnot od jejich pr˚ umˇeru, kaˇzd´ y z tˇechto rozd´ıl˚ u umocn´ıme na druhou a vˇsechny takto z´ıskané v´ ysledky seˇcteme, z´ıskáme takzvan´ y souˇ cet ˇ ctverc˚ u. Pro namˇeˇrené hodnoty x1 , x2 , . . . , xn a jejich aritmetick´ y pr˚ umˇer x¯ by tedy platilo n X ˇ= (xi − x¯)2 . SC i=1

Oznaˇcen´ı souˇcet ˇctverc˚ u vystihuje postup v´ ypoˇctu – sˇc´ıtáme druhé mocniny, tedy ˇctverce vzdálenost´ı od pr˚ umˇeru. Souˇcet ˇctverc˚ u vystupuje v ˇradˇe statistick´ ych vzorc˚ u, pokud bychom vˇsak chtˇeli prezentovat rozmanitost naˇseho souboru, tak po nˇem pravdˇepodobnˇe nesáhneme. Uˇz proto, ˇze souˇcet ˇctverc˚ u závis´ı na velikosti souboru – kdyˇz budeme m´ıt velké mnoˇzstv´ı mˇeˇren´ı, bude souˇcet ˇctverc˚ u pravdˇepodobnˇe vyˇsˇs´ı, neˇz kdyˇz budeme provádˇet mˇeˇren´ı jen nˇekolik. ˇ sen´ı je zjevné. M´ısto souˇctu vˇsech ˇctverc˚ Reˇ u odchylek od pr˚ umˇeru m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat jejich pr˚ umˇer. Ukazatel, kter´ y bychom tak dostali, oznaˇcujeme jako v´ ybˇ erov´ y rozptyl (téˇz variance ˇci stˇredn´ı ˇctverec). Z urˇcit´ ych d˚ uvod˚ u, které ˇctenáˇri objasn´ıme aˇz v kapitole (4), pˇri tomto pr˚ umˇerován´ı nebudeme souˇcet ˇctverc˚ u dˇelit poˇctem pozorován´ı (n), ale poˇctem pozorován´ı sn´ıˇzen´ ym o jedniˇcku (n − 1). V´ ybˇerov´ y rozptyl (znaˇcme jej s2 ) tedy spoˇc´ıtáme podle vzorce n

s2 =

ˇ SC 1 X = (xi − x¯)2 . n−1 n − 1 i=1

V´ ypoˇcet m˚ uˇze nˇekdy usnadnit pˇreveden´ı tohoto vzorce do tvaru s2 =

Pn

x2i −n¯ x2 . n−1

i=1

Pˇrestoˇze je v´ ybˇerov´ y rozptyl hojnˇe uˇz´ıvan´ ym ukazatelem rozmanitosti, ani on se nehod´ı pro vˇsechny u ´ˇcely. Zejména tehdy, kdyˇz chceme naˇse v´ ysledky prezentovat lidskému publiku, zjist´ıme, ˇze rozptyl nen´ı pˇr´ıliˇs intuitivn´ı pro pochopen´ı. Rozptyl je ukazatelem ze svˇeta ˇctverc˚ u a sám z˚ ustává v druhé mocninˇe. Kdyˇz napˇr´ıklad budeme mluvit o inteligenci, m˚ uˇzeme prohlásit, ˇze jej´ı pr˚ umˇerná v´ yˇse je 100 bod˚ u IQ a jej´ı rozptyl 255 bod˚ u IQ 55

na druhou. Tˇeˇzko si uˇz vˇsak pˇredstav´ıme, co jsou body IQ na druhou. Zavád´ıme proto dalˇs´ı ukazatel, kter´ y z´ıskáme jednoduˇse odmocnˇen´ım v´ ybˇerového rozptylu, a t´ım je v´ ybˇ erov´ a smˇ erodatn´ a odchylka (znaˇcme s, anglicky standard deviation, SD). Plat´ı tedy √ s=

s s2 =

v u n ˇ u 1 X SC t = (xi − x¯)2 . n−1 n − 1 i=1

Rozptyl a smˇerodatná odchylka budou pˇri popisu dat vedle aritmetického pr˚ umˇeru naˇsi nejvˇernˇejˇs´ı spoleˇcn´ıci. Je proto uˇziteˇcné znát jejich vlastnosti. • Rozptyl i smˇerodatnou odchylku lze poˇc´ıtat jen na kvantitativn´ıch znac´ıch. Pokud sledovan´ y znak oznaˇcuje poˇrad´ı, tak podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe pr˚ umˇeru, rozptyl lze spoˇc´ıtat, z´ıskan´ y u ´daj se ale bude zase vztahovat pouze k poˇrad´ı a ne k p˚ uvodn´ı veliˇcinˇe, podle které byla mˇeˇren´ı seˇrazena. • Rozptyl nikdy nem˚ uˇze b´ yt záporn´ y. • Pokud je rozptyl roven nule, znamená to, ˇze vˇsechny namˇeˇrené hodnoty jsou pˇresnˇe stejné (tedy rovné pr˚ umˇeru). • Rozptyl sice m˚ uˇzeme poˇc´ıtat na libovoln´ ych kvantitativn´ıch znac´ıch, nicménˇe, aby jej bylo moˇzné interpretovat, bylo by ˇza´douc´ı, aby histogram namˇeˇren´ ych hodnot tvoˇril soumˇern´ y kopec s jedin´ ym vrcholem (ideálnˇe bl´ızk´ y normáln´ımu rozdˇelen´ı). Pokud toto nen´ı splnˇeno, nen´ı rozptyl pˇr´ıliˇs vhodn´ ym nástrojem ke komunikaci vlastnost´ı naˇsich dat. • Rozptyl (a tedy i smˇerodatná odchylka) je velmi citliv´ y na odlehlá pozorován´ı. Daleko citlivˇejˇs´ı neˇz aritmetick´ y pr˚ umˇer. • Podobnˇe jako jsme definovali useknut´ y a winsorizovan´ y pr˚ umˇer, m˚ uˇzeme definovat useknut´ y a winsorizovan´ y rozptyl, respektive smˇerodatnou odchylku. Z´ıskáme tak vyˇsˇs´ı robustnost. Pokud bychom chtˇeli srovnat relativn´ı velikost variability u dvou r˚ uzn´ ych znak˚ u, pˇr´ıpadnˇe ve dvou souborech, pouˇz´ıváme nˇekdy ukazatel, kter´ y se oznaˇcuje jako variaˇ cn´ı koeficient. Mohli bychom se tˇreba ptát, jestli je tˇelesná v´ yˇska variabilnˇejˇs´ı v souboru ˇ muˇz˚ u nebo ˇzen. Reknˇ eme, ˇze nalezneme smˇerodatnou odchylku u muˇz˚ u rovnou hodnotˇe 5.8 cm a u ˇzen 5.1 cm. V´ıme ale také, ˇze muˇzi jsou v pr˚ umˇeru vyˇsˇs´ı neˇz ˇzeny. Rozd´ıl ve smˇerodatné odchylce m˚ uˇze b´ yt proto proporcionáln´ı rozd´ılu v pr˚ umˇerné v´ yˇsce. Vypoˇc´ıtáme proto pr˚ umˇernou v´ yˇsku v souboru muˇz˚ u (ˇreknˇeme 174 cm) a ˇzen (168 cm). Variaˇcn´ı koeficient bychom pak stanovili jako pod´ıl smˇerodatné odchylky a pr˚ umˇerné ysledek tedy bude pˇribliˇznˇe 3.33 % pro muˇze a 3.04 % pro ˇzeny. Relativn´ı hodnoty: xs¯ . V´ variabilita je tedy v naˇsem souboru skuteˇcnˇe vyˇsˇs´ı u muˇz˚ u neˇz u ˇzen. 56

Vˇsimnˇeme si, ˇze variaˇcn´ı koeficient je bezrozmˇernou jednotkou a lze struˇcnˇe vyjádˇrit v procentech. Dodejme vˇsak, ˇze variaˇcn´ı koeficient nelze poˇc´ıtat vˇzdy. Aby nalezená hodnota mˇela smysl, mus´ı sledovan´ y statistick´ y znak odpov´ıdat mnoˇzstv´ı nˇeˇceho – tedy hodnota 0 mus´ı znamenat nulové mnoˇzstv´ı a hodnota 1 mus´ı b´ yt skuteˇcnˇe polovina z hodnoty 2. Napˇr´ıklad u zmiˇ nované inteligence nebo stupˇ n˚ u Celsia by variaˇcn´ı koeficient nemˇel ˇza´dn´ y smysl. 3.5.3

Variabilita kvalitativn´ıho znaku

Pokud pracujeme s kvalitativn´ımi znaky, jako je tˇreba barva oˇc´ı nebo obl´ıbená hudebn´ı skupina, je zjevné, ˇze ˇzádn´ y z v´ yˇse uveden´ ych ukazatel˚ u nemá smysl poˇc´ıtat a interpretovat. Pˇresto bychom mohli cht´ıt kvantifikovat m´ıru rozmanitosti. Mohli bychom se tˇreba tázat, jestli v rozsáhlém v´ yzkumném souboru panuje vˇetˇs´ı rozmanitost mezi muˇzsk´ ymi jmény nebo ˇzensk´ ymi. Ukazatel, kter´ y hledáme, by zˇrejmˇe mˇel nejniˇzˇs´ı hodnoty nab´ yvat, pokud by se vˇsichni muˇzi, respektive ˇzeny, jmenovali stejnˇe a maximáln´ı hodnoty, kdyby ˇza´dn´ı dva lidé nemˇeli stejné jméno. Tyto vlastnosti má takzvaná mutabilita. Mutabilita nab´ yvá hodnoty od 0 do 1 a vyjadˇruje pravdˇepodobnost, ˇze pokud z naˇseho souboru náhodnˇe vybereme dva prvky, tak ˇze budou m´ıt rozd´ılnou hodnotu sledovaného znaku. Pomoc´ı kombinatorick´ ych pravidel m˚ uˇzeme snadno odvodit vzorec pro v´ ypoˇcet mutability jako poˇcet vˇsech dvojic, kde maj´ı prvky rozd´ılné u ´rovnˇe znaku, dˇeleno poˇctem vˇsech moˇzn´ ych dvojic. Má-li sledovan´ y znak k u ´rovn´ı s absolutn´ımi ˇcetnostmi f1 , f2 , . . . fk , pak mutabilita M bude rovna Pk M=

P n2 − kj=1 fj2 fj (n − fj ) = . n(n − 1) n(n − 1)

j=1

ˇ eho statistického u Stáhneme-li si data ze stránek Cesk´ ´ˇradu, zjist´ıme, ˇze mutabilita muˇzsk´ ych jmen je pˇribliˇznˇe 0.973, zat´ımco ˇzensk´ ych 0.983. V obou pˇr´ıpadech jsou tedy jména vysoce variabiln´ı, u ˇzen o nˇeco v´ıce neˇz u muˇz˚ u. Je zjevné, ˇze pokud má sledovan´ y znak jen omezené mnoˇzstv´ı u ´rovn´ı (k < n) nem˚ uˇze nikdy mutabilita dosáhnout hodnoty 1. Maximáln´ı hodnota je pak rovna v´ yrazu

3.6

n(k−1) . k(n−1)

V´ ybˇ erov´ aˇ sikmost a ˇ spiˇ catost

Známe-li hodnoty mˇer polohy i variability statistického znaku, máme jiˇz jakousi pˇredstavu o tom, jak jsou pozorované hodnoty uspoˇrádány. Naˇse znalost je vˇsak ponˇekud mlhavá – pokud bychom si tˇreba chtˇeli pˇredstavit, jak by asi vypadal histogram vytvoˇren´ y z naˇsich mˇeˇren´ı, zjist´ıme, ˇze tyto dva u ´daje nám zdaleka nestaˇc´ı. Naˇsi znalost m˚ uˇzeme v´ yraznˇe zpˇresnit pomoc´ı dalˇs´ıch dvou charakteristik – v´ ybˇerové ˇsikmosti a v´ ybˇerové ˇspiˇcatosti. 57

Obrázek 23: Histogramy demonstruj´ıc´ı v´ ybˇerovou ˇsikmost b = 3.5

b=0

b = -1.3

Slovnˇe bychom oznaˇcili ˇcerven´ y znak za kladnˇe zeˇsikmen´ y a modr´ y za zápornˇe zeˇsikmen´ y.

V´ ybˇ erov´ aˇ sikmost (anglicky skewness) je ukazatelem toho, do jaké m´ıry je uspoˇrádán´ı nalezen´ ych hodnot symetrické kolem jejich aritmetického pr˚ umˇeru. Budeme ji znaˇcit p´ısmenem b a vypoˇc´ıtáme ji podle vzorce10 1 n

b=

Pn

i=1 (xi s3

− x¯)3

,

kde x¯ je aritmetick´ y pr˚ umˇer a s v´ ybˇerová smˇerodatná odchylka znaku. Jsou-li podpr˚ umˇerné hodnoty v´ıce nahuˇstˇeny k pr˚ umˇeru, pak hovoˇr´ıme o ˇsikmosti v kladném smˇeru (b > 0). Jsou-li naopak hodnoty v´ıce nahuˇstˇené nad pr˚ umˇerem, pak je zeˇsikmen´ı záporné (b < 0). Jsou-li hodnoty uspoˇra´dané symetricky kolem pr˚ umˇeru, ˇ ˇsikmost je vˇzdy rovna nule. Sikmost tedy m˚ uˇzeme chápat jako m´ıru asymetrie. Obrázek (23) znázorˇ nuje histogramy znak˚ u s kladnou a zápornou v´ ybˇerovou ˇsikmost´ı. Aˇc jsme o ˇsikmosti nehovoˇrili v kapitole o ˇc´ıseln´ ych charakteristikách náhodné veliˇciny, tak dodejme, ˇze v´ ybˇerová ˇsikmost je protˇejˇskem teoretické ˇsikmosti, kterou popisujeme rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny. Opˇet by platilo, ˇze symetrická rozdˇelen´ı (napˇr´ıklad normáln´ı, ˇci Studentovo) maj´ı nulovou ˇsikmost. Druhou m´ırou, se kterou se jiˇz setkáme o poznán´ı ménˇe, je v´ ybˇ erov´ a ˇ spiˇ catost ˇ catost kvantifikuje to, do jaké (nˇekdy téˇz naz´ yvaná exces, anglicky excess kurtosis). Spiˇ m´ıry jsou hodnoty koncentrované kolem aritmetického pr˚ umˇeru. Pro oznaˇcen´ı zvol´ıme p´ısmeno g, a hodnotu vypoˇc´ıtáme dle vzorce g=

1 n

Pn i

(xi − x¯)4 − 3. s4

10

Oznaˇcen´ı ˇsikmosti i ˇspiˇcatosti se napˇr´ıˇc literaturou r˚ uzn´ı. Bˇeˇznˇe se setkáváme napˇr. s oznaˇcen´ım α a β. V tomto textu vˇsak ˇreck´ a p´ısmena pouˇz´ıváme k jinému u ´ˇcelu a v´ ybˇerov´ ym m´ırám rezervujeme (pokud moˇzno mal´ a) p´ısmena z latinky.

58

Obrázek 24: Histogramy demonstruj´ıc´ı v´ ybˇerovou ˇspiˇcatost g=2 g = -1.7

g = -1

Slovnˇe bychom oznaˇcili ˇcerven´ y znak za leptokurticky rozdˇelen´ y, zelen´ y a modr´ y za platykurticky rozdˇelen´ y.

ˇ ıslo 3 odeˇc´ıtáme z toho d˚ C´ uvodu, aby hodnotám, které pocház´ı z normáln´ıho rozdˇelen´ı, náleˇzela v pr˚ umˇeru v´ ybˇerová ˇspiˇcatost 0 (normáln´ı rozdˇelen´ı by jinak mˇelo ˇspiˇcatost 3; po této korekci pak vlastnˇe ˇspiˇcatost znaˇc´ı, o kolik je tvar ˇspiˇcatˇejˇs´ı neˇz normáln´ı rozdˇelen´ı).11 ˇ aˇri se m˚ Cten´ uˇze zdát obt´ıˇzné si kvalitu, kterou ˇspiˇcatost popisuje, pˇredstavit. Zejména pak odliˇsit koncetraci hodnot kolem pr˚ umˇeru od rozptylu. Snazˇs´ı m˚ uˇze b´ yt pˇredstava toho, kolik mˇeˇren´ı se hromad´ı u krajn´ıch hodnot (tedy pobl´ıˇz maxima a minima), coˇz je v podstatˇe opak ˇspiˇcatosti. Je-li u kraj˚ u velké mnoˇzstv´ı hodnot (nˇekdy téˇz ˇr´ıkáme, ˇze jde o rozdˇelen´ı s tˇeˇzk´ ymi chvosty, heavy-tailed), má zápornou ˇspiˇcatost a oznaˇcujeme je jako platykurtick´ e. Rozdˇelen´ı s lehk´ ymi chvosty (g > 0) oznaˇcujeme jako leptokurtick´ e. Oba pˇr´ıpady ilusturuje obrázek (24). V´ ybˇerová ˇspiˇcatost je opˇet v´ ybˇerov´ ym protˇejˇskem teoretické ˇspiˇcatosti, která analogick´ ym zp˚ usobem popisuje tvar grafu hustoty pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny.

3.7

M´ıry z´ avislosti statistick´ ych znak˚ u

Doposud jsme mluvili o vlastnostech jediného statistického znaku. V praxi se vˇsak obvykle setkáváme se situac´ı, kdy na kaˇzdém prvku statistického souboru pozorujeme hned nˇekolik znak˚ u. Zaj´ımá nás pak, jak spolu tyto znaky souvis´ı – jestli na základˇe hodnoty jednoho znaku m˚ uˇzeme nˇeco pˇredpokládat o hodnotˇe jiného znaku. Ke kvantifikaci tˇesnosti vztahu dvou statistick´ ych znak˚ u pouˇz´ıváme ˇra´du ukazatel˚ u. 11

Dodejme, ˇze nˇekteré programy, napˇr´ıklad STATISTICA, pouˇz´ıvaj´ı alternativn´ı definici ˇsikmosti a P n n x)3 i (xi −¯ (n−1)(n−2)s3

n(n+1)

Pn i

Pn (xi −¯ x)4 −3(n−1) x)2 i (xi −¯ (n−1)(n−2)(n−3)s4

2

ˇspiˇcatosti. Jde o pomˇernˇe krkolomné vztahy b = ag= . Nalezené hodnoty pˇribliˇznˇe odpov´ıdaj´ı naˇsim takzvan´ ym momentov´ ym definic´ım. V pˇr´ıpadˇe ˇspiˇcatosti se také m˚ uˇzeme setkat s definic´ı, kdy se ve v´ ypoˇctu neodeˇc´ıtá trojka. V anglicky psané literatuˇre se proto rozliˇsuje excess kurtosis (s m´ınus trojkou) a kurtosis (bez n´ı).

59

3.7.1

V´ ybˇ erov´ a kovariance

S pojmem kovariance jsme se setkali jiˇz v kapitole o náhodn´ ych veliˇcinách. Jednalo se o urˇcitou hodnotu, která vyjadˇruje mnoˇzstv´ı rozptylu, kter´ y spolu dvˇe náhodné veliˇciny sd´ıl´ı. V´ ybˇerová kovariance je empirick´ ym protˇejˇskem této teoretické kovariance náhodn´ ych veliˇcin a jej´ı intepretace je analogická. U kvantitativn´ıho statistického znaku dokáˇzeme stanovit v´ ybˇerov´ y rozptyl. V´ ybˇerová kovariance pak ˇr´ıká, kolik tohoto rozptylu dva statistické znaky spolu sd´ıl´ı. Pro porozumˇen´ı v´ ypoˇctu kovariance nám pom˚ uˇze znalost v´ ypoˇctu v´ ybˇerového rozP n 1 ybˇerovou ptylu. Pˇripomeˇ nme, ˇze ten m˚ uˇzeme z´ıskat ze vztahu s2x = n−1 i=1 (xi − x¯)2 . V´ kovarianci sxy na skupinˇe n dvojic hodnot (x, y), pak vypoˇc´ıtáme jako n

sxy =

1 X (xi − x¯) · (yi − y¯). n − 1 i=1

Z v´ yˇse uvedeného je patrné, ˇze kovariance sxx je totéˇz, co v´ ybˇerov´ y rozptyl hodnot znaku x. Taky m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze kovariance nab´ yvá libovoln´ ych hodnot, kladn´ ych i záporn´ ych, p 2 2 nicménˇe nikdy nepˇrekroˇc´ı hodnotu sx · sy . Kladná kovariance znaˇc´ı to, ˇze vysoké hodnoty znaku x souvis´ı s vysok´ ymi hodnotami znaku y a naopak. Záporná kovariance by znaˇcila to, ˇze se vysoké hodnoty znaku x poj´ı sp´ıˇse s n´ızk´ ymi hodnotami y. Nulová kovariance by odpov´ıdala situaci, kdy na základˇe znalosti velikost znaku x nem˚ uˇzeme rozhodnout, jestli znak y bude nab´ yvat sp´ıˇse vyˇsˇs´ı nebo sp´ıˇse niˇzˇs´ı hodnoty. Pokud by znak x nebo y mˇel nulov´ y rozptyl (vˇsechny hodnoty by tedy byly stejné), v´ ybˇerová kovariance bude také nulová. V´ yˇse uveden´ y vzorec lze pˇrepsat do tvaru, kter´ y m˚ uˇze b´ yt v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech v´ ypoˇcetnˇe jednoduˇsˇs´ı: sxy =

Pn

i=1

xi yi −n¯ xy¯ . n−1

V´ ybˇerovou kovarianci obvykle pro popis tˇesnosti vztahu nepouˇz´ıváme – svou roli hraje sp´ıˇs jako d´ılˇc´ı krok pˇri ˇradˇe dalˇs´ıch v´ ypoˇct˚ u. Pro prezentaci nen´ı vhodná jednak proto, ˇze nám jej´ı v´ yˇse sama o sobˇe na prvn´ı pohled moc informac´ı neposkytne a taky proto, ˇze pokud bychom chtˇeli zjistit, co je jednotkou kovariance, naˇsli bychom opravdu podivné veliˇciny. Napˇr´ıklad pˇri zkoumán´ı souvislosti tˇelesné v´ yˇsky a inteligence by jednotka byla ,,body IQ krát centimetry“. 3.7.2

Pearson˚ uv korelaˇ cn´ı koeficient

Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient je bezpochyby nejobl´ıbenˇejˇs´ım ukazatelem závislosti dvou kvantitativn´ıch statistick´ ych znak˚ u. Jeho obliba plyne mimo jiné z toho, ˇze tento koeficient se nepot´ yká s neduhy, kter´ ymi byla zat´ıˇzena kovariance. Pearsonovo r, jak tento koeficient znaˇc´ıme, nemá ˇza´dnou jednotku, jeho hodnota je jen ˇc´ıselná. A pˇredevˇs´ım: má 60

pevnˇe dané hranice, ve kter´ ych se m˚ uˇze pohybovat. Hodnota Pearsonova korelaˇ cn´ıho koeficientu vˇ zdy leˇ z´ı v intervalu [−1, 1]. Tyto vlastnosti nám dávaj´ı moˇznost hodnoty r srovnávat mezi sebou, bez ohledu na to, o které znaky jde, a stejnˇe tak m˚ uˇzeme pˇri jediném pohledu na toto ˇc´ıslo prohlásit, jestli je jeho hodnota vysoká nebo n´ızká. Ve spoleˇcensk´ ych vˇedách m˚ uˇzeme interpretovat velikost korelaˇcn´ıho koeficientu napˇr´ıklad takto: |r| < 0.1

zanedbateln´ y vztah

|r| < 0.3

slab´ y vztah

|r| < 0.5

stˇrednˇe siln´ y vztah

|r| ≥ 0.5

siln´ y vztah

Toto slovn´ı vyjádˇren´ı nepˇredstavuje ˇza´dn´ y závazn´ y pˇredpis. V nˇekteré situaci se nám m˚ uˇze zdát korelaˇcn´ı koeficient rovn´ y hodnotˇe 0.7 jako relativnˇe málo a jindy je uˇz 0.3 pozoruhodnˇe mnoho. Obecnˇe ale m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze pˇredevˇs´ım v psychologii, kde vˇzdy do hry vstupuje nespoˇcet ruˇsiv´ ych vliv˚ u, takˇze vysok´ ych hodnot se doˇckáme jen zˇr´ıdka, pˇredstavuje koeficient korelace nad 0.5 pozoruhodnˇe vysokou hodnotu. Korelaˇcn´ı koeficient roven hodnotˇe 1.0 znamená, ˇze mezi obˇema znaky existuje pˇr´ımá u ´mˇera. Tedy ˇze jeden znak m˚ uˇzeme bezchybnˇe spoˇc´ıtat pomoc´ı druhého a naopak. Kdyby napˇr´ıklad hmotnost a v´ yˇska ˇclovˇeka byly korelované s hodnotou r = 1, tak by kaˇzd´ y ˇclovˇek, co mˇeˇr´ı 170 cm, váˇzil (ˇreknˇeme) 58 Kg, kaˇzd´ y, kdo mˇeˇr´ı 180 cm, by váˇzil tˇreba 70 Kg a ˇ adné dalˇs´ı faktory by zde svou roli nehrály kaˇzd´ y, kdo mˇeˇr´ı 190 cm by váˇzil tˇreba 82 Kg. Z´ – oba znaky by byly dokonalé svázané (a ˇclovˇek by nemohl pˇribrat, pokud by se nezmˇenila jeho tˇelesná v´ yˇska). Je zjevné, ˇze pomˇernˇe siln´ y vztah mezi v´ yˇskou a hmotnost´ı ˇclovˇeka existuje, ale bohuˇzel to zcela jistˇe nen´ı 1.0. Korelace rovná m´ınus jedné by hovoˇrila o opaku. Mezi hodnotami znak˚ u by leˇzela nepˇr´ımá u ´mˇera. Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient nen´ı nic jiného neˇz kovariance, kterou urˇcit´ ym zp˚ usobem standardizujeme. Tuto standardizaci provád´ıme vydˇelen´ım kovariance smˇerodatn´ ymi odchylkami prvn´ıho i druhého statistického znaku. Pro znaky x a y tedy rxy =

sxy , sx · sy

kde sxy znaˇc´ı v´ ybˇerovou kovarianci mezi dvojicemi hodnot (x, y), s2x je v´ ybˇerov´ y rozptyl znaku x a s2y je v´ ybˇerov´ y rozptyl znaku y. Dosad´ıme-li za kovarianci vzorec pro jej´ı v´ ypoˇcet, dostaneme pˇri rozsahu souboru n

61

tento tvar: Pn rxy =

n

− x¯) · (yi − y¯) 1 X xi − x¯ yi − y¯ = . (n − 1) · sx · sy n − 1 i=1 sx sy

i=1 (xi

Do rovnice m˚ uˇzeme dosadit i vzorce pro v´ ypoˇcet v´ ybˇerového rozptylu a z´ıskat tak tvar, kdy korelaˇcn´ı koeficient vypoˇc´ıtáváme pˇr´ımo z namˇeˇren´ ych dat bez meziv´ ypoˇctu. Ten vypadá napˇr´ıklad takto: P P P n ni=1 xi yi − ni=1 xi · ni=1 yi rxy = r . 2 Pn 2 2 Pn 2 Pn Pn n i=1 xi − · n i=1 yi − i=1 xi i=1 yi Nebo pˇri znalosti aritmetick´ ych pr˚ umˇer˚ u x¯ a y¯ i smˇerodan´ ych odchylek sx a sy takto: Pn xi yi − n¯ xy¯ . rxy = i=1 (n − 1) · sx · sy Je samozˇrejmé, ˇze nás vˇsechny v´ yˇse uvedené vzorce dovedou k pˇresnˇe stejnému v´ ysledku. Je uˇziteˇcné znát nˇekolik vlastnost´ı Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu: • Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient je symetrick´ y – poˇrad´ı sledovan´ ych znak˚ u nehraje roli. Tedy rxy = ryx . • Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient se nemˇen´ı, pokud hodnoty x nebo y transformujeme pomoc´ı libovolné lineárn´ı transformace. Lineárn´ı transformac´ı se rozum´ı to, ˇze ke vˇsem hodnotám pˇriˇcteme nˇejakou konstantu nebo je nˇejakou konstantou ˇ ısla a vynásob´ıme. Tedy pro libovolná ˇc´ısla a, b, c a d plat´ı rx,y = ra·x+b, c·y+d . C´ a c vˇsak mus´ı m´ıt stejné znaménko. Kdyby jedno bylo záporné a druhé kladné, znaménko korelaˇcn´ıho koeficientu by se obrátilo. • Pokud je Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient roven nule, neznamená to, ˇze mezi pozorovan´ ymi znaky neexistuje ˇzádn´ y vztah. Jedná se o m´ıru lineárn´ıch vztah˚ u (tedy u ´mˇery). Pokud bychom napˇr´ıklad sledovali na skupinˇe uˇcitel˚ u vztah mezi rychlost´ı jejich ˇreˇci pˇri v´ ykladu a schopnost´ı student˚ um pˇredat prob´ıranou látku, mohli bychom doj´ıt k nulové hodnotˇe korelaˇcn´ıho koeficientu. Pˇritom by mohlo b´ yt na prvn´ı pohled patrné, ˇze nejlepˇs´ı v´ ysledky maj´ı uˇcitelé, kteˇr´ı mluv´ı stˇredn´ı rychlost´ı, zat´ımco pˇr´ıliˇs pomalé a pˇr´ıliˇs rychlé uˇcitele je pro studenty obt´ıˇzné pˇri v´ ykladu sledovat. • Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient ˇr´ıká pouze to, ˇze vysoké hodnoty znaku x jsou doprovázeny sp´ıˇse vysok´ ymi (nebo n´ızk´ ymi) hodnotami znaku y. Nic uˇz vˇsak neˇr´ıká ˇ ıselná hodnota nám sama o sobˇe nepˇrináˇs´ı ˇzádnou ino p˚ uvodu této závislosti. C´ formaci o smˇeru kauzality mezi obˇema znaky, dokonce ani o tom, jestli zde nˇejaká kauzalita v˚ ubec existuje. 62

• Pokud Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient nen´ı roven 1 nebo −1 nem˚ uˇzeme se 100% jistotou rozhodnout o hodnotˇe jednoho znaku na základˇe znalosti hodnoty druhého znaku u jednotlivého prvku statistického souboru. Pokud tedy tˇreba v´ıme, ˇze mezi inteligenc´ı a v´ yˇs´ı mˇes´ıˇcn´ıho pˇrijmu existuje kladná korelace, tak nem˚ uˇzeme s jistotou prohlásit, ˇze v souboru nen´ı ani jeden chud´ y génius. • Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient je velmi citliv´ y na pˇr´ıtomnost odlehl´ ych pozorován´ı. • Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient tradiˇcnˇe poˇc´ıtáme jen na kvantitativn´ıch statistick´ ych znac´ıch (aˇc dále zjist´ıme, ˇze tento ukazatel má nˇekolik variant, které rozˇsiˇruj´ı jeho vyuˇzit´ı). 3.7.3

Dalˇ s´ı varianty Pearsonova korelaˇ cn´ıho koeficientu

Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient je suverénnˇe nejˇcastˇeji pouˇz´ıvaná m´ıra závislosti. Nˇekdy se sice setkáváme i s jin´ ymi ukazateli závislosti, vˇetˇsina z nich jsou vˇsak pouze speciáln´ı pˇr´ıpady Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu nebo jsou z nˇej nˇejak odvozené. Zmiˇ novali jsme to, ˇze Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient je uˇziteˇcn´ y pouze pokud srovnáváme hodnoty dvou kvantitativn´ıch znak˚ u. To vˇsak nen´ı zcela pravda. Pokud by jeden ze sledovan´ ych znak˚ u nab´ yval pouze dvou hodnot (ˇreknˇeme 1 a 0), mohli bychom beze zmˇeny pouˇz´ıt vzorce z pˇredeˇslé podkapitoly a Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient vypoˇc´ıtat. V tomto pˇr´ıpadˇe hovoˇr´ıme o bodovˇ e-biseri´ aln´ım korelaˇ cn´ım koeficientu a znaˇc´ıme jej rpb (z anglického point-biserial ). P˚ uvodn´ı vzorec m˚ uˇzeme v´ yraznˇe zjednoduˇsit. Soubor rozdˇel´ıme na dvˇe skupiny – v jedné má nula-jedniˇckov´ y znak hodnotu 0 a v druhé 1. Dále spoˇc´ıtáme pr˚ umˇery kvantitativn´ı promˇenné v tˇechto skupinách a oznaˇc´ıme je x¯1 a x¯0 . Rozsahy skupin (tzn. poˇcet jedniˇcek a poˇcet nul) oznaˇcme n1 a n0 . Nakonec spoˇc´ıtáme smˇerodatnou odchylku kvantitativn´ıho znaku v celém souboru n pozorován´ı bez ohledu na skupinu (znaˇcme sx ). Bodovˇe biseriáln´ı korelaˇcn´ı koeficient si pak m˚ uˇzeme pˇredstavit jako rozd´ıl mezi pr˚ umˇery tˇechto skupin, kter´ y jsme nˇejak´ ym zp˚ usobem nanormovali pomoc´ı smˇerodatné odchylky a rozsah˚ u skupin: r x¯1 − x¯0 n1 n0 rpb = . sx n(n − 1) V naˇsich u ´vahách m˚ uˇzeme j´ıt jeˇstˇe dál a pˇredstavit si situaci, kdy oba sledované znaky nab´ yvaj´ı jen dvou hodnot (opˇet ˇreknˇeme 1 nebo 0). Opˇet bychom mohli na tomto souboru spoˇc´ıtat Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient. Ted’ jej vˇsak budeme naz´ yvat koeficient φ (,,f´ı”, znaˇcme rφ ). Vzorec pro jeho v´ ypoˇcet i v tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme zjednoduˇsit. Uvˇedomme si, ˇze kaˇzdá statistická jednotka m˚ uˇze patˇrit do jedné ze ˇctyˇr kategori´ı: 1-1, 1-0, 0-1 a 0-0. 63

ˇ rpoln´ı tabulka pro v´ Tabulka 2: Ctyˇ ypoˇcet koeficientu rφ y=1 y=0

celkem

x=1 x=0

n11 n01

n10 n00

n1• n0•

celkem

n•1

n•0

n

ˇ Cetnost tˇechto kategori´ı pak zap´ıˇseme do takzvané ˇctyˇrpoln´ı tabulky (viz tabulka 2) a koeficient rφ snadno z´ıskáme ze vzorce n11 n00 − n10 n01 . rφ = √ n1• n0• n•0 n•1 Koeficient rφ má vˇetˇsinu vlastnost´ı shodnou s Pearsonov´ ym korelaˇcn´ım koeficientem, z nˇejˇz je odvozen. Jedin´ ym rozd´ılem, kter´ y b´ yvá ˇcasto uvádˇen jako nedostatek koeficientu rφ , je to, ˇze se jeho hodnota ne vˇzdy pohybuje v celém intervalu [−1, 1]. Cel´ y interval vyuˇz´ıvá pouze tehdy, kdyˇz je poˇcet jedniˇcek v jedné skupinˇe stejn´ y jako poˇcet jedniˇcek anebo nul v druhé skupinˇe. Tedy napˇr´ıklad, kdybychom mˇeli soubor 50 muˇz˚ u a 50 ˇzen a 5 jedinc˚ u z tohoto poˇctu byli leváci, a shodou okolnost´ı vˇsech 5 levák˚ u by byli muˇzi, koeficient rφ pro pohlav´ı a lateralitu nebude m´ıt hodnotu 1, ale jen 0.23, pˇrestoˇze tˇesnˇejˇs´ı závislost pro dané poˇcty levák˚ u a muˇz˚ u jiˇz vzniknout nem˚ uˇze. Rozhodnut´ı, jestli je dan´ y vztah siln´ y nebo slab´ y, se pak stane ponˇekud nejisté.12 3.7.4

Spearman˚ uv korelaˇ cn´ı koeficient

Zm´ınili jsme, ˇze Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient je velmi citliv´ y na odlehlá pozorován´ı. Pokud jsou v souboru pˇr´ıtomna, pak ˇcasto dáváme pˇrednost robustnˇejˇs´ım m´ırám závislosti. Takov´ ymto robustn´ım ukazatelem je Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient rs . Opˇet se jedná o m´ıru závislosti odvozenou z Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu, nicménˇe tentokrát data pˇred v´ ypoˇctem pˇrevedeme na poˇrad´ı. Pˇredstavme si situaci, kdy sledujeme dva kvantitativn´ı znaky a chceme stanovit m´ıru jejich závislosti. Pˇri v´ ypoˇctu Spearmanova korelaˇcn´ıho koeficientu bychom v prvn´ım kroku pˇridˇelili kaˇzdému prvku jeho poˇrad´ı dle znaku x a jeho poˇrad´ı dle znaku y. Tedy prvek, co má nejmenˇs´ı hodnotu znaku x a tˇret´ı nejmenˇs´ı hodnotu znaku y by mˇel poˇradové hodnoty 1 a 3. Na takto z´ıskan´ ych poˇradov´ ych hodnotách bychom spoˇc´ıtali Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient tak, jak jsme zvykl´ı. 12

Nˇekteˇr´ı statistici proto navrhuj´ı dˇelit z´ıskanou hodnotu koeficientu rφ maximáq ln´ı hodnotou, q které n•1 n0• n1• n•0 a n1• n•0 n•1 n0• .

m˚ uˇze pˇri dan´ ych ˇcetnostech n1• , n0• , n•1 , n•0 dosáhnout. Ta je rovna menˇs´ı z hodnot

64

Vzorec se dá opˇet zjednoduˇsit. Uvˇedomme si, ˇze rozptyl i pr˚ umˇer poˇradov´ ych hodnot je závisl´ y pouze na poˇctu pozorován´ı. Mohli bychom jej proto upravit do tvaru P 6 ni=1 d2i , rs = 1 − n(n2 − 1) kde di je rozd´ıl mezi poˇrad´ım v hodnotˇe znaku x a y u i-tého prvku. V praxi se m˚ uˇzeme ˇcasto setkat s komplikac´ı – nˇekterá mˇeˇren´ı m˚ uˇzou pˇrinést stejné hodnoty, a my pak nem˚ uˇzeme jednoznaˇcnˇe rozhodnout o jejich poˇrad´ı. Tehdy stanovujeme takzvaná pr˚ umˇerná poˇrad´ı (anglicky midranks). Ty z´ıskáme tak, ˇze zpr˚ umˇerujeme vˇsechna poˇrad´ı, která by mˇela shodná mˇeˇren´ı dostat a z´ıskanou hodnotu jim pˇrisoud´ıme. Tedy, pokud tˇri mˇeˇren´ı maj´ı tutéˇz hodnotu, a jedná se o nejmenˇs´ı hodnotu z celého souboru, pak vˇsem tˇrem pˇrisoud´ıme poˇrad´ı 2 (jelikoˇz

1+2+3 3

= 2). Pokud pouˇzijeme pr˚ umˇerná poˇrad´ı,

pak v´ yˇse uveden´ y vzorec nevede ke správnému v´ ysledku a my mus´ıme sáhnout po p˚ uvodn´ı formuli pro v´ ypoˇcet Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu. Pro Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient plat´ı ˇrada poznatk˚ u, které jsme jiˇz uvádˇeli v podkapitole o Pearsonovˇe koeficientu. Zmiˇ nme, v ˇcem se oba koeficienty liˇs´ı: • Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient m˚ uˇzeme poˇc´ıtat i tehdy, kdyˇz nemáme k dispozici p˚ uvodn´ı hodnoty, ale známe jejich poˇrad´ı u obou znak˚ u. • Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient je vysoce robustn´ı. • Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient kvantifikuje jakoukoli monotónn´ı závislost, nikoli pouze lineárn´ı. Pokud tedy plat´ı, ˇze y = x2 , tak pro kladné hodnoty x bude Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient roven jedniˇcce (zat´ımco Pearson˚ uv koeficient by vycházel zˇrejmˇe niˇzˇs´ı). 3.7.5

Bodov´ y graf

Vyjádˇr´ıme-li s´ılu vztahu mezi dvˇema statistick´ ymi znaky, pomoc´ı jediného ˇc´ısla, doˇ pouˇst´ıme se pochopitelnˇe znaˇcné redukce. Casto bychom proto dali pˇrednost moˇznosti na vlastn´ı oˇci vidˇet, jak´ ym zp˚ usobem jsou namˇeˇrené hodnoty spolu svázané. K tomu nám slouˇz´ı bodov´ y graf (angl. scatterplot). Bodov´ y graf vytvoˇr´ıme tak, ˇze na iksovou osu um´ıst´ıme hodnoty jednoho znaku (tˇreba x) a na ypsilonovou druhého (y). Jednotlivé prvky statistického souboru pak zakresl´ıme jako symboly um´ıstˇené na souˇradnic´ıch dan´ ych namˇeˇren´ ymi hodnotami znak˚ u x a y. Moˇzn´ y v´ ysledek m˚ uˇzeme vidˇet na obrázku (25). Pokud mezi namˇeˇren´ ymi hodnotami existuje smyslupln´ y vztah, nejsp´ıˇs jej odhal´ıme na prvn´ı pohled. Vˇsimnˇeme si toho, ˇze bodov´ y graf m˚ uˇze prozradit v´ıce, neˇz jak´ ykoli 65

Obrázek 25: Ukázka bodového grafu 30

Obvyklé dvojice slov Bizardní dvojice slov

Počet vybavených slov

25 20 15 10 5 0 0

20

40

60

80 100 Doba od naučení

120

140

160

180

Studenti dostali k zapamatov´ an´ı 30 dvojic slov. Bud’ ˇslo o v´ yrazy, které se obvykle vyskytuj´ı pospolu (ˇcestný hr´ aˇc ), nebo o bizarn´ı kombinace (trucovitý kvˇetin´ aˇc ). Graf znázorˇ nuje, kolik slov si vybavili, po r˚ uznˇe dlouhé prodlevˇe, kdyˇz jim bylo vˇzdy ˇreˇceno prvn´ı slovo z dvojice. K odliˇsen´ı dvou skupin jsme pouˇzili r˚ uzné barvy znaˇcek. Z obr´ azku je patrná nelineárn´ı monotonn´ı závislost u obou skupin.

koeficient – jsou na nˇem patrná odlehlá pozorován´ı a rozeznat dokáˇzeme nejen lineárn´ı (nebo obecnˇe monotónn´ı) vztahy, ale jakékoli druhy závislosti. Na urˇcité omezen´ı m˚ uˇzeme narazit, kdyˇz jeden ˇci oba sledované znaky nab´ yvaj´ı jen malého poˇctu r˚ uzn´ ych hodnot. Tˇreba kdyˇz nás bude zaj´ımat, jestli u skupiny ˇskolák˚ u souvis´ı známka z matematiky nˇejak se známkou z ˇceˇstiny. Celkovˇe m˚ uˇzeme pozorovat jen 25 r˚ uzn´ ych dvojic hodnot, tedy, i kdybychom vyzpov´ıdali nˇekolik stovek ˇskolák˚ u, nebude graf obsahovat v´ıce neˇz 25 bod˚ u, a témˇeˇr ztrat´ı vypov´ıdac´ı hodnotu (viz obrázek 26a). Problém lze vyˇreˇsit tak, ˇze k takto zamˇeˇren´ ym hodnotám pˇriˇcteme náhodná ˇc´ısla (obvykle pocházej´ıc´ı z normáln´ıho rozdˇelen´ı se stˇredem v nule a mal´ ym rozptylem), která interpretaci nijak nezmˇen´ı, ale umoˇzn´ı nám z obrázku vyˇc´ıst potˇrebnou informaci (viz obrázek 26b). Obecnˇe doporuˇcujeme pˇri v´ ypoˇctu korelaˇcn´ıho koeficientu vˇzdy, pokud to má smysl, zobrazit data pomoc´ı bodového grafu a zkontrolovat, jestli jsme zvolili vhodnou metodu.

66

5

5

4

4

Matematika

Matematika

Obrázek 26: Bodov´ y graf pˇri malém mnoˇzstv´ı u ´rovn´ı znak˚ u

3

3

2

2

1

1

1

2

3 4 Český jazyk

1

5

2

3 4 Český jazyk

5

Vztah zn´ amky z matematiky a ˇceˇstiny na souboru 100 ˇzák˚ u. Vlevo jsou pouˇzity skuteˇcné hodnoty, vpravo byl umˇele pˇridán rozptyl pro názornˇejˇs´ı zobrazen´ı

4

Statistick´ e odhady

V této kapitole koneˇcnˇe dojde k tomu, na co byl ˇctenáˇr v pˇredeˇsl´ ych ˇca´stech textu postupnˇe pˇripravován. Teoretick´ y svˇet náhodn´ ych veliˇcin se potká se svˇetem naˇs´ı kaˇzdodenn´ı zkuˇsenosti – naˇse vyprávˇen´ı o náhodn´ ych veliˇcinách propoj´ıme s vyprávˇen´ım o popisné statistice. Jiˇz dˇr´ıve jsme zjistili, ˇze k u ´plnému popisu chován´ı náhodné veliˇciny staˇc´ı znát jej´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, respektive pˇr´ısluˇsnou distribuˇcn´ı funkci. Ve cviˇcen´ıch (kapitoly 6.4 a 6.5) jsme d´ıky této znalosti stanovovali pravdˇepodobnosti libovoln´ ych náhodn´ ych jev˚ u, které daná náhodná veliˇcina popisuje, jelikoˇz nám byly v zadán´ı sdˇeleny vlastnosti jej´ı distribuˇcn´ı funkce. V praxi jsme vˇsak o tuto informaci obvykle ochuzeni. Moˇzn´ ych distribuˇcn´ıch funkc´ı existuje neomezenˇe mnoho a my jednoduˇse nev´ıme, která patˇr´ı naˇs´ı náhodné veliˇcinˇe, a nem˚ uˇzeme tedy o jej´ım chován´ı ˇr´ıct témˇeˇr nic. Vzpomeˇ nme si vˇsak, ˇze jsme v této plejádˇe rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti pojmenovali nˇekolik rodin (napˇr. rodinu normáln´ıch rozdˇelen´ı, binomick´ ych rozdˇelen´ı a tak dál), jejichˇz vlastnosti nám jsou dobˇre známé. Kdybychom zjistili, ze které rodiny dané rozdˇelen´ı pocház´ı, pak by nám scházela jediná informace, abychom z dané rodiny mohli vybrat jedno konkrétn´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti a naˇse znalost tak byla u ´plná. Tou chybˇej´ıc´ı informac´ı jsou hodnoty jeho parametr˚ u. Kdybychom napˇr´ıklad vˇedˇeli, ˇze náhodná veliˇcina, která popisuje to, jak daleko dohod´ı ˇzák sedmé tˇr´ıdy m´ıˇcem, má rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ), pak by staˇcilo znát hodnoty µ a σ 2 , a m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze o této náhodné veliˇcinˇe v´ıme vˇse. K dokonalému poznán´ı náhodné veliˇciny tedy potˇrebujeme dvˇe informace:

67

• z jaké rodiny pocház´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti této náhodné veliˇciny, • jaké jsou hodnoty jejich parametr˚ u. U kaˇzdé rodiny rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti jsme hovoˇrili o tom, jak toto rozdˇelen´ı vzniká. Tato znalost nám pom˚ uˇze vybrat tu správnou rodinu pro naˇsi zkoumanou náhodnou veliˇcinu. Tˇreba v náhodné veliˇcinˇe poˇcet l´ıc˚ u, které padnou pˇri hodu deseti mincemi na prvn´ı pohled rozeznáme binomické rozdˇelen´ı. Kdyˇz bychom zkoumali tˇreba hladinu nˇejakého biologického ukazatele u zdravého ˇclovˇeka, pak bychom nejsp´ıˇs oˇcekávali normálnˇe rozdˇelenou veliˇcinu. Máme-li k dispozici nˇekolik realizac´ı této náhodné veliˇciny, m˚ uˇze nám v naˇsich u ´vahách pomoci jejich histogram. Pravdou je, ˇze ne vˇzdy si budeme s naˇs´ı volbou jist´ı a nˇekdy ani správnou rodinu rozdˇelen´ı nenajdeme. Dobrou zprávou vˇsak m˚ uˇze b´ yt to, ˇze vˇetˇsina statistick´ ych postup˚ u si zachovává vysokou pˇresnost, i kdyˇz se skuteˇcn´ y tvar distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny m´ırnˇe odliˇsuje od tvaru, kter´ y j´ı pˇrisuzujeme. Typicky jde o situaci, kdy pˇredpokládáme normáln´ı rozdˇelen´ı u m´ırnˇe zeˇsikmené ˇci jinak deformované náhodné veliˇciny. ˇ ıselné hodnoty parametr˚ C´ u nicménˇe podobn´ ym zp˚ usobem naj´ıt nedokáˇzeme. M˚ uˇzeme vˇsak zaznamenat naˇsi zkuˇsenost tak, jak jsme se uˇcili v kapitole o popisné statistice, a na základˇe tˇechto záznam˚ u hodnotu daného parametru odhadnout.

4.1

N´ ahodn´ y v´ ybˇ er a statistiky

Dˇr´ıve neˇz se seznám´ıme s logikou statistick´ ych odhad˚ u, mus´ıme vymezit nˇekolik pojm˚ u, ´ redn´ım bez kter´ ych se pˇri hovorech o dalˇs´ıch statistick´ ych postupech neobejdeme. Ustˇ pojmem, kter´ y b´ yvá nezˇr´ıdka chápán zcela mylnˇe, to bohuˇzel i v ˇradˇe uˇcebn´ıch text˚ u, je n´ ahodn´ y v´ ybˇ er. Pˇr´ıˇcinou nepochopen´ı je zˇrejmˇe fakt, ˇze zaveden´ı náhodného v´ ybˇeru vyˇzaduje ponˇekud neintuitivn´ı myˇslenkov´ y trik, kter´ y pˇri prvn´ım setkán´ı vyvolá u vˇetˇsiny posluchaˇc˚ u kroucen´ı hlavou. Ovˇsem jen do té doby neˇz zjist´ı, jak uˇziteˇcn´ y nástroj z´ıskali. Pˇredstavme si náhodn´ y v´ ybˇer na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu. V rámci dopravnˇe-psychologického v´ yzkumu si klademe otázku, jakou rychlost´ı proj´ıˇzd´ı ˇridiˇci urˇcit´ ym m´ıstem na rychlostn´ı silnici. Postav´ıme tedy na dané m´ısto ˇclovˇeka s radarem, kter´ y jednou za ˇcas namátkou zmˇeˇr´ı rychlost právˇe proj´ıˇzdˇej´ıc´ıho auta. T´ımto zp˚ usobem z´ıskáme n namˇeˇren´ıch hodnot. Doposud jsme byli zvykl´ı tuto situaci popisovat pomoc´ı náhodné veliˇciny rychlost proj´ıˇzdˇej´ıc´ıho auta (struˇcnˇe X), která má nˇejaké rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti. V naˇsem pˇr´ıpadˇe, ˇreknˇeme, ˇze to je N (80, 102 ). Tuto náhodnou veliˇcinu necháme n-krát realizovat a z´ıskan´ ych n hodnot, tˇreba (78, 87, 96, 73, 88, . . . , 75) bychom oznaˇcili (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , . . . , xn ). Pro namˇeˇrené hodnoty m˚ uˇzeme, jak jsme zvykl´ı, P spoˇc´ıtat nˇejaké v´ ybˇerové charakteristiky, napˇr´ıklad aritmetick´ y pr˚ umˇer x¯ = n1 ni=1 xi = 78.5. 68

Na tent´ yˇz problém se m˚ uˇzeme pod´ıvat druh´ ym, ménˇe pˇr´ımoˇcar´ ym, zp˚ usobem. Pro kaˇzdé z naˇsich n mˇeˇren´ı si naˇsi náhodnou veliˇcinu pojmenujeme jinak. Nebudeme tedy pracovat s náhodnou veliˇcinou rychlost proj´ıˇzdˇej´ıc´ıho auta (X), ale rychlost prvn´ıho auta (znaˇcme X1 ), rychlost druhého auta (X2 ), a tak dál aˇz po Xn . Tuto uspoˇrádanou entici náhodn´ ych veliˇcin (X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , . . . , Xn ) budeme naz´ yvat n´ ahodn´ y v´ ybˇ er. Vˇsech n náhodn´ ych veliˇcin je pochopitelnˇe u ´plnˇe stejn´ ych (tzn. maj´ı stejné rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti), liˇs´ı se jen t´ım, ˇze jsme jim dali r˚ uzná jména. V naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy plat´ı X1 ∼ N (80, 102 ), X2 ∼ N (80, 102 ),. . . , Xn ∼ N (80, 102 ). Aby skuteˇcnˇe ˇslo o náhodn´ y v´ ybˇer, mus´ı naˇse náhodné veliˇciny splˇ novat jeˇstˇe jednu podm´ınku: mus´ı b´ yt vzájemnˇe nezávislé. N´ ahodn´ y v´ ybˇ er o rozsahu n je tedy uspoˇ r´ adan´ a entice nez´ avisl´ ych n´ ahodn´ ych veliˇ cin s identick´ ymi rozdˇ elen´ımi pravdˇ epodobnosti. Zat´ımco podm´ınku identického rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti zajist´ıme t´ım, ˇze budeme vˇsechny pozorován´ı provádˇet za stejn´ ych podm´ınek, nezávislost v naˇsem pˇr´ıpadˇe pojist´ıme ˇcasov´ ymi odstupy mezi jednotliv´ ymi mˇeˇren´ımi, aby se ˇridiˇci sv´ ym chován´ım nemohli ovlivˇ novat. Naˇsich n namˇeˇren´ ych hodnot (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , . . . , xn ) pˇredstavuje jedinou realizaci náhodného v´ ybˇeru X. Co jsme touto u ´vahou z´ıskali? V kapitole o popisné statistice jsme pˇredstavili nespoˇcet ukazatel˚ u, jejichˇz hodnotu dokáˇzeme vyˇc´ıslit pro nˇejakou entici mˇeˇren´ı (x1 , x2 , . . . , xn ), pˇr´ıpadnˇe entici dvojic mˇeˇren´ı (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) u korelaˇcn´ıch koeficient˚ u. D´ıky náhodnému v´ ybˇeru m˚ uˇzeme entice hodnot (x1 , x2 , . . . , xn ) nahradit obecnˇe enticemi náhodn´ ych veliˇcin (X1 , X2 , . . . , Xn ). Tedy tˇreba m´ısto aritmetického pr˚ umˇeru x¯ = P P n 1 ¯ = 1 n Xi . Jiˇz v´ıme, ˇze uˇzeme obecnˇe uvaˇzovat o aritmetickém pr˚ umˇeru X i=1 xi m˚ i=1 n n ¯ je libovolná kombinace náhodn´ ych veliˇcin je také náhodná veliˇcina, tedy i náˇs pr˚ umˇer X náhodnou veliˇcinou, se svou distribuˇcn´ı funkc´ı, stˇredn´ı hodnotou, rozptylem atd. Funkce, jej´ımˇ z argumentem je n´ ahodn´ y v´ ybˇ er, se naz´ yv´ a v´ ybˇ erov´ a funkce neboli statistika. To, ˇze se term´ın statistika shoduje se jménem celého vˇedn´ıho oboru, nen´ı náhoda. Statistiky jsou u ´stˇredn´ım tématem tohoto i vˇsech navazuj´ıc´ıch kurz˚ u. S trochou nadsázky, m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze t´ımto odstavcem konˇc´ı u ´vod tohoto textu a zaˇc´ıná opravdová statistika. Vˇsechny vzorce z kapitoly o popisné statistice si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako statistiky, coˇz nám poskytuje moˇznost je zkoumat, srovnávat a kvantifikovat jejich vlastnosti. Dodejme, jak o statistikách mluvit a jak je znaˇcit. V tˇechto skriptech budeme statistiky (skoro vˇzdy) oznaˇcovat velk´ ym p´ısmenem. Mohli bychom tedy ˇr´ıct, ˇze x¯ je realizac´ı ¯ (vzpomeˇ náhodné veliˇciny X nme, jak vypadá realizace náhodného v´ ybˇeru – je to entice ¯ je funkce hodnot, které m˚ uˇzeme tˇreba zpr˚ umˇerovat). Zat´ımco x¯ je tedy nˇejaké ˇc´ıslo, X ¯ ∼ N (80, 22 ), rozhodnˇe (náhodná veliˇcina). Proto má smysl v´ yrok x¯ = 78.5 nebo v´ yrok X vˇsak ne naopak.

69

4.2

Bodov´ e odhady parametr˚ u

Vrat’me se k situaci popsané v u ´vodu této kapitoly. Mˇejme náhodnou veliˇcinu X, o jej´ımˇz rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti v´ıme, ˇze patˇr´ı do urˇcité rodiny rozdˇelen´ı. Toto rozdˇelen´ı má urˇcité parametry – mohly by to b´ yt tˇreba µ nebo σ 2 ; ted’ obecnˇe ˇreknˇeme, ˇze má parametr θ. Hodnota parametru θ nám je neznámá. K odhadnut´ı tohoto parametru potˇrebujeme znát hodnoty n realizac´ı náhodné veliˇciny X. Pro dalˇs´ı u ´vahy bude ale uˇziteˇcné si pˇredstavit, ˇze to, co potˇrebujeme, je jediná realizace náhodného v´ ybˇeru X = (X1 , X2 , ..., Xn ). Nástroj, kter´ y hledáme, se naz´ yvá estim´ ator. Estimátor je statistika (tedy náhodná veliˇcina vytvoˇrená z prvk˚ u náhodného v´ ybˇeru), která má tendenci se realizovat kolem skuteˇcné hodnoty hledaného parametru. Náˇs estimátor, pomoc´ı kterého budeme odhadovat hodnotu parametru θ oznaˇcme tˇreba T . Pokud pomoc´ı mˇeˇren´ı z´ıskáme jednu realizaci náhodného v´ ybˇeru, z´ıskáme také jednu realizaci naˇseho estimátoru. Tu oznaˇcujeme slovem estim´ at (odhad)13 . U estimátoru vyˇzadujeme tyto vlastnosti: • Pro v´ ypoˇcet jeho hodnoty nepotˇrebujeme znát hodnotu odhadovaného parametru θ. Pokud by tomu tak nebylo, nemohli bychom jej vypoˇc´ıtat a pokud mohli, nebylo by jej uˇz proˇc poˇc´ıtat, jelikoˇz bychom znali pˇresné ˇreˇsen´ı, a tud´ıˇz nepotˇrebovali odhad. V´ ypoˇcet se mus´ı op´ırat pouze o náhodn´ y v´ ybˇer (X1 , X2 , . . . , Xn ). • Stˇredn´ı hodnota estimátoru je rovna hodnotˇe odhadovaného parametru. Tedy E(T ) = θ. Jin´ ymi slovy, pokud bychom nechali cel´ y náhodn´ y v´ ybˇer X se v´ıcekrát realizovat, nalezené estimáty se budou pohybovat kolem hledané hodnoty; v pr˚ umˇeru nebudou nadhodnocovat, ani podhodnocovat. Odhad˚ um, které maj´ı tuto vlastnost, ˇr´ıkáme nestrann´ e odhady (téˇz nevych´ ylené odhady). Nˇekdy se nám tento poˇzadavek nedaˇr´ı dodrˇzet. Pokud tomu tak je, poˇzadujeme, aby se velikost pˇr´ıpadného vych´ ylen´ı zmenˇsovala s rostouc´ım rozsahem v´ ybˇeru a pˇri n bl´ıˇz´ıc´ım se k nekoneˇcnu bylo vych´ ylen´ı nulové. Tehdy oznaˇcujeme estimátor za asymptoticky nestrann´ y. • Rozptyl estimátoru je menˇs´ı neˇz rozptyl jakéhokoli jiného estimátoru téhoˇz parametru. Je-li zároveˇ n nestrann´ y, pak jej oznaˇcujeme jako nejlepˇ s´ı nestrann´ y odhad. Rozptyl estimátoru vlastnˇe vyjadˇruje, jak ˇsiroce budou jeho hodnoty kol´ısat kolem skuteˇcné hodnoty parametru. • Rozptyl estimátoru se s rostouc´ım poˇctem pozorován´ı zmenˇsuje. Pokud se n bl´ıˇz´ı k nekoneˇcnu, pak je odhad nekoneˇcnˇe bl´ızko hodnotˇe parametru. Pokud estimátor splˇ nuje tuto podm´ınku, oznaˇcujeme jej za konzistentn´ı odhad. 13 Dodejme vˇsak, ˇze slovn´ı odliˇsen´ı estrimátoru a estimátu se v ˇceˇstinˇe st´ırá. Oba v´ yrazy se pˇrekládaj´ı nejednoznaˇcnˇe jako odhad.

70

Na prvn´ı pohled se m˚ uˇze zdát, ˇze naj´ıt takové statistiky, které splˇ nuj´ı vˇsechny v´ yˇse uvedené podm´ınky, je nesm´ırnˇe sloˇzité. Opak je vˇsak pravdou. O co byl teoretick´ yu ´vod obt´ıˇznˇejˇs´ı, t´ım je ˇreˇsen´ı snazˇs´ı. Pokud je odhadovan´ ym parametrem stˇredn´ı hodnota, estimátorem je aritmetick´ y pr˚ umˇer. Rozptyl odhadujeme pomoc´ı v´ ybˇerového rozptylu, smˇerodatnou odchylku pomoc´ı v´ ybˇerové smˇerodatné odchylky, kovarianci pomoc´ı v´ ybˇerové kovariance, ˇsikmost pomoc´ı v´ ybˇerové ˇsikmosti, kvantil pomoc´ı v´ ybˇerového kvantilu a tak bychom mohli pokraˇcovat jeˇstˇe dlouho. ˇ aˇr moˇzná m˚ Cten´ uˇze nam´ıtnout, ˇze naj´ıt vhodn´ y estimátor pro nˇekteré parametry ˇ sen´ı je i nen´ı pˇrece jen tak pˇr´ımoˇcaré. Co tˇreba parametr p binomického rozdˇelen´ı? Reˇ zde snadné: vˇetˇsinu parametr˚ u m˚ uˇzeme mezi sebou vzájemnˇe pˇrevádˇet. Tˇreba zrovna u binomického rozdˇelen´ı jsme uvádˇeli, ˇze jeho stˇredn´ı hodnota se rovná v´ yrazu np(1 − p). Pokud tedy odhadneme stˇredn´ı hodnotu s pomoc´ı aritmetického pr˚ umˇeru, pak p snadno dopoˇc´ıtáme, jelikoˇz n je obvykle známé. Z toho d˚ uvodu oznaˇcujeme slovem parametr libovolnou ˇc´ıselnou charakteristiku náhodné veliˇciny, jelikoˇz je s parametry, o kter´ ych jsme mluvili, pˇr´ımo propojená. Na odhad stˇredn´ı hodnoty, rozptylu a korelaˇcn´ıho koeficientu se pod´ıváme podrobnˇeji v následuj´ıc´ıch kapitolách. Tabulka (3) poskytuje pˇrehled pouˇzitého znaˇcen´ı. Pˇripojme jeˇstˇe krátkou terminologickou poznámku. V nˇekter´ ych textech se m˚ uˇzeme setkat se slovn´ım spojen´ım výbˇerové rozdˇelen´ı (ˇcastˇeji pak anglicky sampling distribution). Nemysl´ı se t´ım nic jiného neˇz rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti nˇejaké statistiky. Onen pˇr´ıvlastek výbˇerové se zde pˇridává, aby se zd˚ uraznilo, ˇze jediná realizace statistiky vyˇzaduje realizaci celého náhodného v´ ybˇeru (tedy n pozorován´ı). Kdyˇz budeme mluvit o statistikách, ˇcasto se setkáme jeˇstˇe s jedn´ım pojmem: m´ısto smˇerodatná odchylka (standard deviation, SD) se ˇcasto ˇr´ıká smˇerodatná chyba (standard error, SE). Na v´ yznamu pojmu to ale nic nemˇen´ı. Tabulka 3: Pˇrehled pouˇzitého znaˇcen´ı Název Stˇredn´ı hodnota Rozptyl ˇ ıselná charakteristika C´ E(X) VAR(X) Oznaˇcen´ı jej´ı hodnoty

COR(X)

σ2

ρ

2

R

s2

r

Estimátor

µ ¯ X

S

Estimát

x¯

71

Korelaˇcn´ı koeficient

4.2.1

Odhad stˇ redn´ı hodnoty

Za estimátor pro stˇredn´ı hodnotu vol´ıme aritmetick´ y pr˚ umˇer. Jelikoˇz je vzorec pro jeho v´ ypoˇcet pomˇernˇe jednoduch´ y, vyuˇzijeme jej k demonstraci vlastnost´ı estimátor˚ u, které jsme v´ yˇse zm´ınili. Mˇejme náhodn´ y v´ ybˇer (X1 , X2 , ..., Xn ), kde pro i = 1, 2, ..., n plat´ı E(Xi ) = µ a ¯ VAR(Xi ) = σ 2 . Aritmetick´ y pr˚ umˇer pro tento náhodn´ y v´ ybˇer je náhodná veliˇcina X, P která vzniká jako n1 ni=1 Xi . Prvn´ı vlastnost, kterou jsme zm´ınili, je nestrannost. Abychom mohli ˇr´ıct, ˇze je es¯ = µ. Pokud toto tvrzen´ı pˇreloˇz´ıme do ˇceˇstiny: timátor nestrann´ y, muselo by platit E(X) poˇzadujeme, aby v pˇr´ıpadˇe, ˇze budeme celou entici mˇeˇren´ı opakovat, nalezené hodnoty x¯ se budou v pr˚ umˇeru pohybovat kolem hodnoty µ. Zkusme nestrannost aritmetického pr˚ umˇeru dokázat matematicky:

¯ =E E(X)

X X n n 1 1 1 Xi = E Xi = E(X1 ) + E(X2 ) + ... + E(Xn ) = n i=1 n n i=1 =

1 1 (µ + µ + ... + µ) = · nµ = µ n n

Aritmetick´ y pr˚ umˇer je tedy nestrann´ y odhad stˇredn´ı hodnoty. Nestrann´ ych estimátor˚ u stˇredn´ı hodnoty bychom nicménˇe mohli vymyslet mnoho. Nˇekdo by napˇr´ıklad mohl navrhnout, ˇze bychom klidnˇe mohli odhadovat stˇredn´ı hodnotu tak, ˇze seˇcteme jen prvn´ı a posledn´ı mˇeˇren´ı a vydˇel´ıme je dvˇema:

X1 +Xn . 2

Opˇet jde o nestrann´ y estimátor, nav´ıc

se poˇc´ıtá o moc snáze neˇz pr˚ umˇer. Abychom mohli rozsoudit, kter´ y z obou kandidát˚ u je lepˇs´ı, potˇrebujeme stanovit jejich pˇresnost, která je reprezentována rozptylem. Zjistˇeme tedy rozptyl aritmetického pr˚ umˇeru:

¯ = VAR VAR(X)

X X n n 1 1 Xi = 2 VAR Xi = n i=1 n i=1

=

1 VAR(X1 ) + VAR(X2 ) + ... + VAR(Xn ) = 2 n 1 1 1 = 2 (σ 2 + σ 2 + ... + σ 2 ) = 2 · nσ 2 = σ 2 n n n

Srovnejme s rozptylem naˇseho estimátoru VAR

X1 + Xn 2

=

X1 +Xn : 2

1 1 1 VAR(X1 ) + VAR(Xn ) = (σ 2 + σ 2 ) = σ 2 4 4 2

72

Je zˇrejmé, ˇze aritmetick´ y pr˚ umˇer je pro n > 2 pˇresnˇejˇs´ı ( 12 σ 2 >

1 2 σ ), n

tedy ménˇe

kol´ısá. Lze dokázat, ˇze i kdybychom zkouˇseli libovolné dalˇs´ı zp˚ usoby odhadu, aritmetick´ y pr˚ umˇer nikdy nepˇrekonáme. Aritmetick´ y pr˚ umˇ er je nejlepˇ s´ım nestrann´ ym odhadem stˇ redn´ı hodnoty n´ ahodn´ e veliˇ ciny. Z uvedeného vztahu je zjevné i to, ˇze aritmetick´ y pr˚ umˇer je konzistentn´ı odhad – hodnota

σ2 n

se bude s rostouc´ım n zákonitˇe zmenˇsovat a pro n bl´ızké nekoneˇcnu, bude m´ıt

náˇs odhad nekoneˇcnˇe mal´ y rozptyl kolem hodnoty hledaného parametru µ. Náˇs konkurenˇcn´ı kandidát nemá ani tuto vlastnost. Kromˇe tˇechto dobr´ ych vlastnost´ı má pr˚ umˇer jeˇstˇe jednu pozoruhodnou pˇrednost. Zat´ım jsme se bavili jen obecnˇe o náhodné veliˇcinˇe bez ohledu na rozdˇelen´ı. Z kapitoly (2.7.3) v´ıme, ˇze souˇctem v´ıce normálnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin vzniká náhodná veliˇcina, která má také normáln´ı rozdˇelen´ı. Také v´ıme, ˇze pokud s takovou náhodnou veliˇcinou provedeme nˇejakou lineárn´ı transformaci (vynásob´ıme ji nˇeˇc´ım, nˇeco pˇriˇcteme), tak je stále normáln´ı rozdˇelen´ı zachováno. Je tedy patrné, ˇze pokud plat´ı Xi ∼ N (µ, σ 2 ), ¯ ∼ N (µ, 1 σ 2 ). pak plat´ı i X n

To ale nen´ı vˇsechno, z téˇze kapitoly v´ıme, ˇze souˇcet n libovolnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin se bude tvarem své distribuˇcn´ı funkce s rostouc´ım n stále v´ıce podobat normáln´ımu rozdˇelen´ı. Tuto zákonitost naz´ yváme centráln´ı limitn´ı teorém a v pˇr´ıpadˇe aritmetického pr˚ umˇeru jej m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt. Tedy bez ohledu na rozdˇelen´ı náhodn´ ych veliˇcin X, se roz¯ s rostouc´ım poˇ dˇ elen´ı X ctem pozorov´ an´ı pˇ ribliˇ zuje k rozdˇ elen´ı N (µ, 1 σ 2 ). Tuto n

vlastnost budeme v budoucnu hojnˇe vyuˇz´ıvat. 4.2.2

Odhad rozptylu

Co se t´ yˇce odhadu rozptylu, je situace ponˇekud komplikovanˇejˇs´ı neˇz u stˇredn´ı hodnoty. Za nejvhodnˇejˇs´ı estimátor obvykle vol´ıme v´ ybˇerov´ y rozptyl definovan´ y jako S 2 = Pn 1 ¯ 2 ıˇz nicménˇe vypl´ yvá z toho, ˇze tento estimátor nemá symetrické i=1 (Xi − X) . Pot´ n−1 rozdˇelen´ı. Pokud si pˇredstav´ıme modelovou situaci, kdy poˇc´ıtáme rozptyl náhodné veliˇciny X, která má rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ), a máme k dispozici náhodn´ y v´ ybˇer, obsahuj´ıc´ı n totoˇzn´ ych veliˇcin, pak odhad rozptylu S 2 má rozdˇelen´ı

σ2 n−1

· χ2(n−1) .14 Jak´ y tvar má hustota tohoto

rozdˇelen´ı znázorˇ nuje obrázek (17) v kapitole (2.7.4). Z této asymetrie vypl´ yvá jeden problém – pokud vytvoˇr´ıme estimátor tak, aby byl co nejpˇresnˇejˇs´ı (tedy lokalizoval odhadovan´ y rozptyl tam, kde jej m˚ uˇzeme oˇcekávat s nejvyˇsˇs´ı 14

Proˇc tomu tak je, lze intuitivnˇe tuˇsit ze vzorce pro jeho v´ ypoˇcet – rozdˇelen´ı χ2(n) vzniká jakou souˇcet ¯ máj´ı zjevnˇe n nez´ avisl´ ych normovan´ ych norm´ aln´ıch rozdˇelen´ı umocnˇen´ ych na druhou. Veliˇciny (Xi –X) norm´ aln´ı rozdˇelen´ı a ve vzorci sˇc´ıt´ ame jejich druhé mocniny. Detaily, jako kam se ztrat´ı jeden stupeˇ n volnosti, a jak je zajiˇstˇena nez´ avislost atd. vˇsak pˇrekraˇcuj´ı znalosti prezentované v tomto textu.

73

m´ırou jistoty, tedy na m´ısto, kde dosahuje graf hustoty pravdˇepodobnosti rozdˇelen´ı χ2(n−1) svého maxima), pak tento estimátor nebude nestrann´ y. Naopak, pokud jej um´ıst´ıme tak, aby odpov´ıdal stˇredn´ı hodnotˇe rozdˇelen´ı χ2(n−1) , bude se sice jednat o nestrann´ y odhad, ale jeho rozptyl bude o nˇeco vˇetˇs´ı neˇz pˇri pˇredchoz´ı moˇznosti. V´ ybˇerov´ y rozptyl tak, jak jsme jej definovali, odpov´ıdá druhé moˇznosti. Je sice nestrann´ y, ale nen´ı nejpˇresnˇejˇs´ı moˇzn´ y. Pokud bychom se vydali prvn´ı navrˇzenou cestou, hovoˇrili bychom o takzvaném populaˇ cn´ım rozptylu, kter´ y by bylo moˇzné vypoˇc´ıtat Pn 1 2 ¯ . Má menˇs´ı rozptyl, ale ponˇekud podhodnocuje skuteˇcnou (Xi − X) podle vzorce n

i=1

hodnotu σ 2 . M˚ uˇzeme o nˇem ˇr´ıct, ˇze je asymptoticky nestrann´ y (tedy jeho m´ıra vych´ ylen´ı se s rostouc´ım n sniˇzuje, teoreticky k nule). Pro veˇskeré v´ ypoˇcty v toto textu vˇsak budeme pouˇz´ıvat v´ yhradnˇe v´ ybˇerov´ y rozptyl, tak jak jsme jej definovali v kapitole (3.5.2). 4.2.3

Odhad korelaˇ cn´ıho koeficientu

V´ ybˇerov´ y korelaˇcn´ı koeficient, kter´ y jsme definovali v kapitole (3.7.2), lze pouˇz´ıt k odhadu korelaˇcn´ıho koeficientu dvou náhodn´ ych veliˇcin (obvykle hodnotu tohoto teoretického korelaˇcn´ıho koeficietu znaˇc´ıme p´ısmenem ρ, ˇcti ,,ró”). Korelaˇcn´ı koeficient je de facto kovarianc´ı standardizovanou pomoc´ı smˇerodatn´ ych odchylek (tedy odmocnin z rozptyl˚ u) obou sledovan´ ych náhodn´ ych veliˇcin. O podobnosti mezi kovarianc´ı a rozptylem jsme jiˇz hovoˇrili, ˇctenáˇr proto m˚ uˇze tuˇsit, ˇze ˇrada poznatk˚ u, které platily o jeho odhadu, plat´ı i pro odhad kovariance. Opˇet zde naráˇz´ıme na problém, ˇze tento estimátor nemá symetrickou hustotu pravdˇepodobnosti, a opˇet si tedy mus´ıme vybrat mezi pˇresnˇejˇs´ı ale vych´ ylenou ,,populaˇcn´ı” kovarianc´ı (m´ısto

1 n−1

by ve vzorci pro jej´ı v´ ypoˇcet vystupoval zlomek n1 ) a nevych´ ylenou

v´ ybˇerovou kovarianc´ı, které dáváme obvykle pˇrednost. Pˇri v´ ypoˇctu korelaˇcn´ıho koeficientu se této otázce vˇsak vyhneme – jelikoˇz rozhodnut´ı o tom, jestli zvolit v´ ybˇerové nebo populaˇcn´ı odhady dˇeláme pro kovarianci i smˇerodatné odchylky, tedy pro ˇcitatele i jmenovatele, tak naˇse rozhodnut´ı nijak nezmˇen´ı v´ ysledek (ledaˇze bychom ponˇekud nelogicky zvolili v ˇcitateli jin´ y druh odhadu neˇz ve jmenovateli). Z tohoto d˚ uvodu existuje jedin´ y korelaˇcn´ı koeficient. M˚ uˇzeme mu dávat pˇr´ıvlastek v´ ybˇerov´ y. Aˇc je v´ ybˇerov´ y koeficient nejlepˇs´ım estimátorem hodnoty teoretického korelaˇcn´ıho koeficientu, nen´ı ani nestrann´ y a ani jeho rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti nepatˇr´ı do ˇza´dné rodiny, se kterou se bˇeˇznˇe setkáváme a um´ıme popsat. To nijak nesniˇzuje jeho uˇziteˇcnost, pˇri ˇreˇsen´ı nˇekter´ ych problém˚ u v budoucnu nám to ale zkomplikuje práci a pˇrinut´ı nás to hledat nˇejakou transformaci, pomoc´ı které bychom se s tˇemito problémy vypoˇra´dali.

74

Zkoumán´ı (lineárn´ı) závislosti mezi dvˇema náhodn´ ymi veliˇcinami je jedn´ım z nejˇcastˇejˇs´ıch u ´kol˚ u, na kter´ y v psychologickém v´ yzkumu naráˇz´ıme. Zmiˇ nme proto nˇekolik speciáln´ıch pˇr´ıpad˚ u, kdy jsme nuceni odhadovat velikost korelaˇcn´ıho koeficientu mezi dvˇema veliˇcinami, nicménˇe data, která máme k dispozici, jsou nˇejak´ ym zp˚ usobem redukovaná. Prvn´ım pˇr´ıpadem m˚ uˇze b´ yt korelaˇ cn´ı koeficient pˇ ri omezen´ em rozsahu jedné náhodné veliˇciny. Pˇredstavme si situaci, kdy chceme zjistit, do jaké m´ıry souvis´ı poˇcet bod˚ u, které ˇ s jejich IQ. Zdá se, ˇze se jedná o triviáln´ı u z´ıskali uchazeˇci o studium na VS, ´kol – oslov´ıme skupinu student˚ u, necháme je vyplnit inteligenˇcn´ı testy a jejich v´ ysledky budeme korelovat s poˇctem bod˚ u, které z´ıskali u pˇrij´ımac´ıch zkouˇsek. Aˇc se zdá, ˇze jsme nemohli udˇelat ˇza´dnou chybu, takov´ yto odhad by vedl k drastickému podhodnocen´ı m´ıry hledané ˇ pˇrijati, korelace. Kamenem u ´razu je to, ˇze pokud oslov´ıme jen ty studenty, co byli na VS tak v naˇsem souboru budou zcela scházet jedinci, kteˇr´ı mˇeli velmi ˇspatn´ y v´ ysledek na ˇ pˇrij´ımac´ıch zkouˇskách. Reknˇ eme, ˇze v testu bylo moˇzné z´ıskat 0 aˇz 100 bod˚ u. Nejhorˇs´ı uchazeˇc z´ıskal 3 body, nejlepˇs´ı 88 bod˚ u a hranice pro pˇrijet´ı byla 60 bod˚ u. Náˇs statistick´ y soubor pak nebude pˇr´ıliˇs reprezentativn´ım v´ ybˇerem realizac´ı sledované náhodné veliˇciny. Minimum v nˇem nebude n´ıˇz neˇz na 60 bodech, pr˚ umˇer bude daleko vyˇsˇs´ı, neˇz byl ve skuteˇcnosti u vˇsech uchazeˇc˚ u o pˇrijet´ı, a rozptyl bude v´ yraznˇe podhodnocen´ y, coˇz povede k podhodnocen´ı odhadovaného korelaˇcn´ıho koeficientu. Toto podhodnocen´ı m˚ uˇzeme matematicky korigovat. Mus´ıme nicménˇe pˇredpokládat, ˇze obˇe sledované veliˇciny (znaˇcme je X a Y ) maj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı a ˇze známe skuteˇcn´ y 2 rozptyl, kter´ y má náhodná veliˇcina X, pokud by nebyla omezená (znaˇcme jej σX ). Kori-

govan´ y odhad rXY , pak z´ıskáme ze vztahu: rXY = q

σX rxy

,

2 2 2 σX rxy + s2x − s2x rxy

kde rxy je v´ ybˇerov´ y korelaˇcn´ı koeficient vypoˇc´ıtan´ y na namˇeˇren´ ych hodnotách a s2x namˇeˇren´ y v´ ybˇerov´ y rozptyl. Pokud teoretick´ y popis neobjasˇ nuje chován´ı korelaˇcn´ıho koeficientu na omezeném rozsahu, jasnˇejˇs´ı pochopen´ı m˚ uˇze pˇrinést obrázek (27). Dalˇs´ı speciáln´ı situace nastává tehdy, kdyˇz zkoumáme nˇejakou náhodou veliˇcinu, která je spojitá a má normáln´ı rozdˇelen´ı, nicménˇe z d˚ uvodu nedokonalého mˇeˇren´ı neznáme pˇresnou hodnotu jej´ıch jednotliv´ ych realizac´ı, ale dostáváme drasticky redukovanou informaci: u kaˇzdého prvku statistického souboru m˚ uˇzeme ˇr´ıct jen to, jestli má hodnotu daného znaku vyˇsˇs´ı, neˇz je nˇejak´ y práh, nebo naopak niˇzˇs´ı. Z p˚ uvodn´ı normálnˇe rozdˇelené veliˇciny XN se tak stává veliˇcina s alternativn´ıch rozdˇelen´ım XA . O znaku xA pak ˇr´ıkáme, ˇze je umˇ ele diskretizovan´ y a ˇze zde existuje skrytá (anglicky underlying) distribuce, ze které je odvozen. 75

Obrázek 27: Korelaˇcn´ı koeficient pˇri omezeném rozsahu znaku x 150 Přijatí studenti 140

Nepřijatí studenti

130

IQ

120 110 100 90 80 0

20

40 60 Počet bodů u přijímacích zkoušek

80

100

Graf zn´ azorˇ nuje vztah mezi poˇctem bod˚ u u pˇrij´ımac´ıch zkouˇsek a IQ. Pokud bychom v´ ybˇerov´ y korelaˇcn´ı koeficient vypoˇc´ıtali pouze u pˇrijat´ ych student˚ u, dosáhne v´ yˇse 0.36. Pokud bychom vˇsak do v´ ypoˇctu pˇridali i nepˇrijaté studenty, hodnota vzroste aˇz na 0.67. Budeme-li hodnotu 0.36 korigovat, z´ısk´ ame odhad bl´ıˇze pravdˇe: rXY = 0.65.

Pokud bychom chtˇeli odhadovat Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient veliˇcin XA a Y , pak bychom patrnˇe sáhli po bodovˇe biseriáln´ım korelaˇcn´ım koeficientu. Nalezená hodnota by vˇsak nebyla pˇr´ıliˇs dobr´ ym odhadem COR(XN , Y ), jelikoˇz zm´ınˇená diskretizace povede k podhodnocen´ı m´ıry odhadované korelace. Opˇet vˇsak m˚ uˇzeme zvolit vhodnou korekci, pomoc´ı které takto vzniklé zkreslen´ı vykompenzujeme. Hovoˇrili bychom pak o biseri´ aln´ım korelaˇ cn´ım koeficientu rbis a jeho v´ yˇsi bychom stanovili jako: √ p0 p 1 , rbis = rpb f (p0 ) kde rpb je bodovˇe biseriáln´ı korelaˇcn´ı koeficient vypoˇc´ıtan´ y na znac´ıch x (hodnoty 0 a 1) a y (kvantitativn´ı znak), hodnoty p0 a p1 jsou nalezené relativn´ı ˇcetosti u ´rovn´ı 0 a 1 znaku x a f (p0 ) je hodnota hustoty pravdˇepodobnosti normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı v bodˇe p0 , tedy p2 0

e− 2 f (p0 ) = √ . 2π Situace m˚ uˇze b´ yt jeˇstˇe komplikovanˇejˇs´ı. Co kdyby byly obˇe sledované náhodné veliˇciny normálnˇe rozdˇelené, ale podobnˇe jako v pˇredeˇslém pˇr´ıpadˇe diskretizované na hodnoty 0 a 1? Koeficient rφ , po kterém bychom intuitivnˇe sáhli, by opˇet m´ıru skuteˇcné korelace 76

ˇ sen´ım je tentokrát tetrachorick´ COR(XN , YN ) podhodnocoval. Reˇ y korelaˇ cn´ı koeficient, kter´ y tento problém elegantnˇe pˇrekonává. Tato metoda má vˇsak jednu nev´ yhodu – je v´ ypoˇcetnˇe velmi nároˇcná a i z bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ ych statistick´ ych program˚ u jich tento ukazatel ˇrada neposkytuje. Naˇse u ´vahy bychom mohli posunout jeˇstˇe dál. Co kdybychom mˇeli k dispozici disktretizované náhodné veliˇciny, ale tentokrát ne na hodnoty 0 a 1, ale do v´ıce uspoˇra´dan´ ych kategori´ı (tˇreba 0, 1 a 2, kde 0 znaˇc´ı velmi málo, 1 hodnoty kolem pr˚ umˇeru a 2 vysoké hodnoty). Biseriáln´ı korelaˇcn´ı koeficient bychom pak nahradili polyseri´ aln´ım korelaˇ cn´ım koeficientem a tetrachorick´ y polychorick´ ym korelaˇ cn´ım koeficientem. Na rozd´ıl od pˇredeˇsl´ ych dvou se vˇsak s t´ımto ˇreˇsen´ım setkáváme zˇr´ıdkakdy. Vˇenujme jeˇstˇe pozornost tomu, jak vlastnˇe poznáme, ˇze alternativn´ı znak ve skuteˇcnosti reprezentuje spojitou veliˇcinu. Jedná se o mnohem h˚ uˇr uchopiteln´ y problém, neˇz se zdá. Nˇekteré pˇr´ıpady nám m˚ uˇzou pˇripadat vcelku jasné. Tˇreba to, jestli jedinec správnˇe vyˇreˇsil poloˇzku v inteligenˇcn´ım testu, je typická diskretizovaná promˇenná. Inteligence má pˇribliˇznˇe normáln´ı rozdˇelen´ı, nicménˇe v´ ysledek je pouze 0 (nevyˇreˇsil) a 1 (vyˇreˇsil). Naopak to, jestli je ˇzena tˇehotná, je jiˇz od pˇr´ırody disktrétn´ı alternativnˇe rozdˇelená náhodná veliˇcina. Nem˚ uˇze se stát, ˇze by nˇekdo byl ,,nap˚ ul tˇehotn´ y” nebo ,,tak troˇsku” tˇehotn´ y, aˇc nás kvˇetnatá realita nˇekdy nut´ı i o tomto kategorickém tvrzen´ı pochybovat. Pravdou je, ˇze i pˇredn´ı statistici se ˇcasto na tom, jakou veliˇcinu vlastnˇe zkoumáme, neshodnou. Historicky v´ yznamná je napˇr´ıklad pomˇernˇe ostrá v´ ymˇena názor˚ u mezi Karlem Pearsonem (kter´ y formuloval tetrachorick´ y koeficient) a Udnym Yulem (kter´ y spoluobjevil a prosazoval koeficient φ) nad t´ım, jak kvantifikovat u ´ˇcinnost oˇckován´ı proti neˇstovic´ım. U pacient˚ u kolem roku 1900 bylo moˇzné sledovat v podstatˇe jen to, jestli byli oˇckováni nebo ne a jestli nákazu neˇstovicemi pˇreˇzili. Druh´ y jmenovan´ y statistik argumentoval ve prospˇech koeficientu φ t´ım, ˇze kaˇzd´ y mrtv´ y pacient je stejnˇe mrtv´ y a kaˇzd´ y oˇckovan´ y je oˇckovan´ y stejnˇe. Pearson nicménˇe v pozad´ı vidˇel náhodné veliˇciny, které bychom mohli pojmenovat závaˇznost pr˚ ubˇehu (která, kdyˇz pˇrekroˇc´ı jistou hranici, konˇc´ı smrt´ı) a s´ıla imunitn´ıho systému. Kterému z uˇcenc˚ u bychom mˇeli dát za pravdu, nechme na u ´sudku ˇctenáˇre.

4.3

Intervaly spolehlivosti

Bodové odhady parametr˚ u pˇrináˇs´ı nemal´ y uˇzitek. Zejména tehdy, kdyˇz potˇrebujeme odhad pouˇz´ıt v dalˇs´ıch v´ ypoˇctech, se nám vyplác´ı to, ˇze má podobu jediného ˇc´ısla. Kdyˇz se vˇsak nad pˇredeˇslou podkapitolou hloubˇeji zamysl´ıme, vˇsimneme si jedné znepokojivé vlastnosti bodov´ ych odhad˚ u. Aˇc jsou sebepˇresnˇejˇs´ı, ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u si m˚ uˇzeme b´ yt jisti, ˇze se hodnota odhadovaného parametru nerovná naˇsemu odhadu. S jistotou se nˇejaké, aˇc tˇreba malé, chyby dopouˇst´ıme. Vhodné by proto mohlo b´ yt stanovit interval, kter´ y s urˇcitou 77

dávkou jistoty hodnotu hledaného parametru obsahuje. A právˇe toto je podstata interval˚ u spolehlivosti. Interval spolehlivosti (neboli konfidenˇcn´ı interval), jak jiˇz název napov´ıdá, je vˇzdy stanoven s urˇcitou spolehlivost´ı, kterou m˚ uˇzeme vyjádˇrit jako ˇc´ıslo mezi nulou a jedniˇckou (budeme jej znaˇcit α, respektive 1 − α). Oboustrann´ ym intervalem spolehlivosti je dvojice statistik, pro kter´ e plat´ı, ˇ ze s pravdˇ epodobnost´ı 1 − α se prvn´ı z nich realizuje s hodnotou menˇ s´ı neˇ z je hodnota hledan´ eho parametru a z´ aroveˇ n se druh´ a z nich realizuje s hodnotou vˇ etˇ s´ı neˇ z je hodnota hledan´ eho parametru. Kdyˇz chceme stanovit 99% interval spolehlivosti pro parametr θ (tedy α = 0.01), pak hledáme takové dvˇe statistiky D a H (doln´ı a horn´ı), které vytvoˇr´ı interval (D, H), o nˇemˇz m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze v 99% pˇr´ıpad˚ u pokr´ yvá skuteˇcnou hodnotu hledaného parametru. Tento interval I0.99 = (D, H) budeme povaˇzovat za intervalov´ y odhad parametru θ. Pouˇzit´ı intervalu m´ısto bodového odhadu je v mnoha ohledech poctivˇejˇs´ı. Nevyvolává iluzi toho, ˇze známe nˇejakou pˇresnou hodnotu, ale pˇriznáváme jistou m´ıru nejistoty. Napˇr´ıklad pokud bychom odhadovali, o kolik zkrát´ı urˇcit´ y lék pr˚ ubˇeh chˇripky, pak by (bodová) odpovˇed’ mohla zn´ıt tˇreba 5 dn˚ u. Nicménˇe aˇz konfidenˇcn´ı interval, ˇreknˇeme 95%, kter´ y by ˇr´ıkal tˇreba (−2, 12) dn˚ u, by nám dal tuˇsit, ˇze o tom, jak´ y uˇzitek lék pˇrinese, nemáme vlastnˇe tuˇsen´ı (dokonce je moˇzné, ˇze dobu léˇcby prodluˇzuje!). I pˇres tuto v´ yhodu se mnoho lid´ı interval˚ um spolehlivosti vyh´ ybá. To, co ˇskod´ı jejich popularitˇe, je jejich neintuitivn´ı interpretace. Po pˇreˇcten´ı pˇr´ıkladu v pˇredchoz´ım odstavci, by moˇzná ˇrada lid´ı prohlásila, ˇze ,,s pˇetadevadesátiprocentn´ı pravdˇepodobnost´ı leˇz´ı stˇredn´ı hodnota sledované veliˇciny mezi m´ınus dvojkou a dvanáctkou”. To ovˇsem nen´ı pravda! Vzpomeˇ nme si na kapitolu o pravdˇepodobnosti, kdy jsme uvaˇzovali nad t´ım, jak je nesmyslné se ptát, s jakou pravdˇepodobnost´ı je ve vesm´ıru nˇejaká mimozemská civilizace. Bud’ je, nebo nen´ı; nejde j´ı pˇripisovat pravdˇepodobnost. Stejnˇe tak hledaná stˇredn´ı hodnota bud’ v intervalu leˇz´ı, nebo neleˇz´ı. Stˇredn´ı hodnota existuje a je nepromˇenlivá, jen je skrytá pˇred naˇsim poznán´ım. Nem˚ uˇzeme ani ˇr´ıct, ˇze se nám v naˇsem konkrétn´ım pˇr´ıpadˇe podaˇrilo tuto (stálou ale skrytou) hodnotu parametru zachytit ˇci pokr´ yt. Od chv´ıle, kdy jsme provedli mˇeˇren´ı, se bav´ıme o jedineˇcném pˇr´ıpadu, kter´ y byl bud’ u ´spˇeˇsn´ y nebo nikoli. Nic mezi t´ım. Ona spolehlivost nepatˇr´ı v´ ysledku, ale proceduˇre, která nás k nˇemu pˇrivedla. S ˇcist´ ym svˇedom´ım proto m˚ uˇzeme obecnˇe prohlásit, ˇze napˇr´ıklad 99% konfidenˇcn´ı interval má 99% pravdˇepodobnost, ˇze hledanou hodnotu bude obsahovat, ale toto jiˇz nem˚ uˇzeme ˇr´ıct o jednom konkrétn´ım vyˇc´ısleném intervalu. Zˇrejmˇe nejsch˚ udnˇejˇs´ı interpretace je taková, ˇze kdyˇz bychom opakovanˇe provádˇeli n mˇeˇren´ı a vˇzdy vypoˇc´ıtali hodnotu 99% intervalu spolehlivosti, tak v pr˚ umˇeru z kaˇzd´ ych 100 interval˚ u, jich bude hledanou hodnotu obsahovat 99 a jeden se bude m´ ylit. 78

Demonstrujme postup konstrukce intervalu spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu veliˇciny X, o které v´ıme, ˇze má normáln´ı rozdˇelen´ı N (µ, σ 2 ) s t´ım, ˇze na rozd´ıl od µ, hodnotu parametru σ 2 známe. Tento pˇr´ıpad vol´ıme z didaktick´ ych d˚ uvod˚ u. Ve skuteˇcnosti se jen zˇr´ıdka setkáme se situac´ı, kdybychom znali pˇresnou hodnotu rozptylu náhodné veliˇciny, ale stˇredn´ı hodnota nám byla utajena. Z pˇredchoz´ı kapitoly v´ıme, ˇze konfidenˇcn´ı interval by mˇel m´ıt podobu (D, H). Zaˇcnˇeme t´ım, ˇze z jeho definice vyp´ıˇseme, co o tˇechto dvou náhodn´ ych veliˇcinách v´ıme: P (D ≤ µ ≤ H) ≥ 1 − α. Jak formulovat statistiky D a H nicménˇe nen´ı na prvn´ı pohled zˇrejmé. Abychom splnili tento u ´kol, mus´ıme nejprve naj´ıt pomocnou (téˇz pivotovou) statistiku (ˇr´ıkejme j´ı tˇreba Z). Je to nˇejaká statistika, pro kterou plat´ı, ˇze jednak obsahuje hodnotu hledaného parametru ¯ a pˇredevˇs´ım má nˇejaké nám známé rozdˇelen´ı pra(µ), estimátor tohoto parametru (X), vdˇepodobnosti. V kapitole o bodov´ ych odhadech jsme odvodili, jaké rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti má ¯ za pˇredpokladu, ˇze X ∼ N (0, 1): bodov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty, tedy statistika X, n

X 1 ¯= 1 Xi ∼ N (µ, σ 2 ). X n i=1 n Vhodn´ ym kandidátem na rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti naˇs´ı pomocné statistiky se zdá b´ yt normované normáln´ı rozdˇelen´ı, jelikoˇz na nˇej um´ıme pˇrevést libovolné normáln´ı rozdˇelen´ı odeˇcten´ım stˇredn´ı hodnoty a vydˇelen´ım smˇerodatnou odchylkou (viz kapitola 2.7.3): Z=

¯ −µ X √σ n

∼ N (0, 1).

Statistika Z splˇ nuje naˇse poˇzadavky na pomocnou statistiku. Pro jakoukoli náhodnou veliˇcinu, tedy i pro Z, plat´ı to, ˇze se s pravdˇepodobnost´ı 1 − α realizuje mezi dvojici sv´ ych kvantil˚ u x α2 a x1− α2 (takto jsou kvantily totiˇz definovány). Tedy pravdˇepodobnost tˇreba toho, ˇze se náhodná veliˇcina bude realizovat mezi kvantilem napˇr´ıklad 0.025 a kvantilem 0.975 je 95 %. Pˇrepsáno do matematick´ ych symbol˚ u pro veliˇcinu Z ∼ N (µ, σ 2 ): P Φ α2 ≤ Z ≤ Φ1− α2 ≥ 1 − α. V´ yraz Φ α2 ≤ Z ≤ Φ1− α2 m˚ uˇzeme upravovat jako bˇeˇznou nerovnici. Postupn´ ymi kroky jej tedy pˇreved’me do tvaru D ≤ µ ≤ H, z nˇejˇz zjist´ıme podobu statistiky D a H.

79

V prvn´ım kroku vyuˇzijme symetrie normáln´ıho rozdˇelen´ı a nahrad’me hodnotu Φ α2 kvantilem −Φ1− α2 . Dále pak dosad’me za statistiku Z: P

− Φ1− α2 ≤

¯ −µ X

≤ Φ1− α2

√σ n

Vˇsechny tˇri ˇcásti nerovnice dále vynásob´ıme v´ yrazem − Φ1− α2

P

≥ 1 − α. √σ n

¯ a odeˇcteme X:

σ ¯ ≤ −µ ≤ Φ1− α · √σ − X ¯ · √ −X 2 n n

≥ 1 − α.

Celou nerovnici vynásob´ıme m´ınus jednou. To vˇsak obrát´ı znaménka nerovnosti, v´ yraz proto pˇrep´ıˇseme od konce, aby smˇer znamének z˚ ustal zachován (tzv. pˇrehod´ıme strany): σ σ ¯ ¯ P X − √ Φ1− α2 ≤ µ ≤ X + √ Φ1− α2 ≥ 1 − α. n n Nalezen´ y v´ yraz má poˇzadovan´ y tvar P (D ≤ µ ≤ H) ≥ 1 − α. Snadno z nˇej vyˇcteme, ˇze ¯ + √σ Φ1− α . Hledan´ ¯ − √σ Φ1− α a H = X y konfidenˇcn´ı interval má tedy podobu: D=X n

n

2

I1−α =

2

σ σ ¯ ¯ α α X − √ Φ1− 2 , X + √ Φ1− 2 . n n

Nebo v o nˇeco pˇrehlednˇejˇs´ım formátu: ¯ ± √σ Φ1− α . I1−α = X 2 n Náˇs interval oznaˇcujeme za dvoustrann´ y (téˇz oboustrann´ y). Zmiˇ nme jeˇstˇe situaci, kdy by nás nezaj´ımal cel´ y interval, ale pouze jeho doln´ı (respektive horn´ı) mez. Tˇreba v naˇsem pˇr´ıkladu s lékem, co má zkrátit pr˚ ubˇeh onemocnˇen´ı chˇripkou, bychom se zaj´ımali sp´ıˇse o nejmenˇs´ı u ´ˇcinek, kter´ y u nˇej m˚ uˇzeme v pr˚ umˇeru oˇcekávat, neˇz o nejvˇetˇs´ı. Jin´ ymi slovy chceme stanovit nejmenˇs´ı odhad pr˚ umˇerného u ´ˇcinku, takov´ ym zp˚ usobem, aby pouze pˇri α opakován´ıch tohoto postupu odhad tuto mez pˇreceˇ noval. Postup stanoven´ı jednostrann´ ych interval˚ u je stejn´ y jako v pˇr´ıpadˇe oboustrann´ ych, jen s t´ım rozd´ılem, ˇze pˇri v´ ypoˇctu jediné meze nebudeme p˚ ulit stanovenou hodnotu α. Tedy: ¯ − √σ Φ1−α D=X n

¯ + √σ Φ1−α . H=X n

Nalezené jednostranné intervaly by pak vypadaly I1−α =

σ ¯ X − √ Φ1− α2 , ∞ , n

I1−α = 80

σ ¯ − ∞, X + √ Φ1− α2 . n

4.3.1

Interval spolehlivosti pro stˇ redn´ı hodnotu

V´ yˇse uveden´ y pˇr´ıklad popisoval ponˇekud nerealistickou situaci, kdy pracujeme s normálnˇe rozdˇelenou náhodnou veliˇcinou a potˇrebujeme odhadnout jej´ı stˇredn´ı hodnotu µ, ale jiˇz známe pˇresnou hodnotu parametru σ 2 . V praxi, kdyˇz se setkáme s u ´kolem odhadu stˇredn´ı hodnoty, pravdˇepodobnˇe nám bude utajen i rozptyl náhodné veliˇciny. Pro stanoven´ı intervalu spolehlivosti jsme ale potˇrebovali znát hodnotu parametru σ 2 , coˇz nám situaci ponˇekud komplikuje. Nicménˇe i zde si dokáˇzeme poradit. Hodnotu σ 2 jsme se nauˇcili v pˇredeˇslé kapitole odhadnout, a tedy parametr nahrad´ıme nestrann´ ym bodov´ ym odhadem S 2 . Naˇse pomocná statistika, ze které konfidenˇcn´ı interval odvod´ıme (nazvˇeme ji protentokrát T nikoli Z), vˇsak kv˚ uli této zmˇenˇe nebude m´ıt normáln´ı rozdˇelen´ı, ale Studentovo t rozdˇelen´ı. Coˇz um´ıme na základˇe naˇsich znalost´ı z pˇredeˇsl´ ych kapitol sami dokázat. Z odhad˚ u stˇredn´ı hodnoty a rozptylu normáln´ıho rozdˇelen´ı um´ıme vytvoˇrit dvˇe náhodné veliˇciny se znám´ ymi rozdˇelen´ımi: ¯ −µ X √σ n

∼ N (0, 1),

S2 ∼

σ2 2 χ tedy n − 1 (n−1)

S 2 (n − 1) ∼ χ2(n−1) . σ2

Taky známe definici Studentovat t rozdˇelen´ı15 : N (0, 1) T =q 2 ∼ t(n−1) , χ(n−1) n−1

kde je náhodná veliˇcina v ˇcitateli a jmenovateli nezávislá. Kdyˇz do tohoto vzorce dosad´ıme yˇse uvedené náhodné veliˇciny (které jsou na m´ısto veliˇcin N (0, 1) a χ2(n−1) naˇse dvˇe v´ mimochodem nezávislé, jak poˇzadujeme, aˇc to neum´ıme dokázat), z´ıskáme následuj´ıc´ı v´ yraz: ¯ X−µ

T =r

√σ n S 2 (n−1) σ2

n−1

¯ X−µ √σ

n =q =

S2 σ2

¯ −µ σ ¯ −µ X X · = S ∼ t(n−1) . σ √ √ S n n

Kdyˇz srovnáme z´ıskanou statistiku s tou, kterou jsme pouˇz´ıvali v pˇr´ıpadˇe známého rozptylu, zmˇenilo se jen málo: hodnota σ 2 byla nahrazena veliˇcinou S 2 a normáln´ı rozdˇelen´ı bylo nahrazeno Studentov´ ym t rozdˇelen´ım s n − 1 stupni volnosti. Skuteˇcnˇe se toho v´ıce nemˇen´ı. M˚ uˇzeme proto v jiˇz odvozen´ ych vzorc´ıch z u ´vodn´ı kapitoly provést stejné zámˇeny 15 Za zm´ınku stoj´ı to, ˇze vkl´ adat do rovnic oznaˇcen´ı rozdˇelen´ı pravdˇepobodnosti nen´ı správn´ y zp˚ usob z´ apisu, aˇc jsme mu ted’ dali pro pˇrehlednost pˇrednost. Ve skuteˇcnosti bychom mˇeli ke kaˇzdému rozdˇelen´ı, se kter´ ym chceme pracovat, pˇriˇradit nˇejakou veliˇcinu a teprve tu vkládat do rovnic.

81

Obrázek 28: Demonstrace pˇresnosti konfidenˇcn´ıch interval˚ u

μ

Graf zn´ azorˇ nuje 100 konfidenˇcn´ıch interval˚ u na simulovan´ ych datech pˇri spolehlivosti 0.95. Kaˇzd´ y interval je sestrojen pomoc´ı deseti n´ ahodn´ ych hodnot z´ıskan´ ych z normáln´ıho rozdˇelen´ı. Vˇsimnˇete si, ˇze ˇs´ıˇre interval˚ u kol´ıs´ a, jelikoˇz rozptyl nen´ı znám´ y a mus´ı b´ yt odhadován. V pr˚ umˇeru 5 interval˚ u ze 100 hledanou hodnotu neobsahuje.

a stanovit hledan´ y konfidenˇcn´ı interval jako: I1−α

S S ¯ ¯ α α = X − √ t(n−1),1− 2 , X + √ t(n−1),1− 2 , n n

kde t(n−1),1− α2 je kvantil Studentova t rozdˇelen´ı s n−1 stupni volnosti. Pˇr´ıpadnˇe pouˇzijeme tvar ¯ ± √S t(n−1),1− α . I1−α = X 2 n Konfidenˇcn´ı intervaly m˚ uˇzeme prezentovat bud’ v podobˇe ˇc´ısel anebo graficky. Typicky, kdyˇz kresl´ıme sloupcov´ y graf, kter´ y zobrazuje pr˚ umˇerné hodnoty, k vrcholu kaˇzdého sloupce zakresl´ıme chybovou u ´seˇcku, která znázorˇ nuje právˇe interval spolehlivosti16 . Takov´ yto graf má pak o mnoho vˇetˇs´ı vypov´ıdac´ı hodnotu. Zobrazen´ı konfidenˇcn´ıch interval˚ u umoˇzn ˇuje vˇetˇsina statistick´ ych program˚ u, vˇcetnˇe programu MS Excel, ve kterém ve verzi 2013 m˚ uˇzeme zobrazit chybové u ´seˇcky s libovoln´ ymi hodnotami. Zamysleme se nad t´ım, co vˇsechno a jak´ ym zp˚ usobem ovlivˇ nuje velikost nalezeného intervalu spolehlivosti. V zásadˇe jde o tˇri faktory: ˇ ım v´ıce se spolehlivost intervalu pˇribliˇzuje jedniˇcce, t´ım • Stanovená spolehlivost. C´ ˇsirˇs´ı bude (coˇz intuitivnˇe dává smysl – kdyˇz si vezmu vˇetˇs´ı s´ıt’, mám vˇetˇs´ı ˇsanci, ˇze vylov´ım rybu). Pokud bychom definovali stoprocentn´ı interval spolehlivosti, jeho ˇs´ıˇre by byla (−∞, +∞). • Rozptyl pozorované náhodné veliˇciny. Je-li sledovaná veliˇcina velmi homogenn´ı, bude se daˇrit jej´ı stˇredn´ı hodnotu zamˇeˇrit mnohem pˇresnˇeji, neˇz kdyby byla rozkol´ısaná. 16

Nicménˇe je silnˇe doporuˇceno k takovému grafu pˇridat komentáˇr, co onou u ´seˇckou mysl´ıme. Nˇekdy se totiˇz stejn´ ym zp˚ usobem zakresluje smˇerodatná odchylka sledované veliˇciny nebo smˇerodatná odchylka odhadu.

82

• Velikost souboru. Toto je v praxi obvykle jediná moˇznost, jak regulovat velikost interval˚ u spolehlivosti a udrˇzet je rozumnˇe u ´zké. S rostouc´ım n se ˇs´ıˇrka intervalu sniˇzuje. Pokud zvˇetˇs´ıme rozsah souboru stokrát, interval se z´ uˇz´ı desetkrát (coˇz vypl´ yvá z v´ yˇse uveden´ ych vzorc˚ u). 4.3.2

Interval spolehlivosti pro rozptyl a smˇ erodatnou odchylku

Nˇekdy se setkáváme se situac´ı, kdy potˇrebujeme odhadnout rozptyl, respektive smˇerodatnou odchylku, sledované náhodné veliˇciny. Za pˇredpokladu, ˇze tato náhodná veliˇcina má normáln´ı rozdˇelen´ı, m˚ uˇzeme i zde sestrojit intervalov´ y odhad. Postup bude stejn´ y jako pˇri konstrukci konfideˇcn´ıch interval˚ u pro stˇredn´ı hodnotu. Prvn´ım krokem bude nalezen´ı pomocné statistiky, která má nˇejaké známé rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti a obsahuje jak S 2 , tak σ 2 . Tuto práci jsme ale jiˇz vlastnˇe udˇelali v pˇredeˇslé podkapitole. V´ıme, ˇze S2 ∼

σ2 χ2 , n−1 (n−1)

coˇz lze snadno pˇrevést do tvaru

S 2 (n−1) σ2

∼ χ2(n−1) . Jelikoˇz rozdˇelen´ı χ2

dobˇre známe a hodnoty jeho kvantil˚ u najdeme ve statistick´ ych tabulkách, m˚ uˇzeme v´ yraz S 2 (n−1) σ2

povaˇzovat za naˇsi hledanou statistiku. Odvozen´ı intervalového odhadu provedene

následovnˇe: S 2 (n − 1) 2 2 ≤ χ(n−1),1− α ≥ 1 − α P χ(n−1), α ≤ 2 2 σ2 χ2 χ2(n−1),1− α 1 (n−1), α 2 2 ≤ 2 ≤ 2 P ≥1−α S 2 (n − 1) σ S (n − 1) Pˇrevrát´ıme ˇcitatele a jmenovatele vˇsech tˇr´ı ˇca´st´ı nerovnice. S 2 (n − 1) S 2 (n − 1) 2 P ≥ σ ≥ χ2(n−1), α χ2(n−1),1− α

2

≥1−α

2

Jelikoˇz se v pˇredchoz´ım kroku obrátila znaménka nerovnosti, pˇrepiˇseme jednotlivé ˇca´sti nerovnice v opaˇcném poˇrad´ı, a z´ıskáme tak statistiky D a H. S 2 (n − 1) S 2 (n − 1) 2 P ≤ σ ≤ χ2(n−1),1− α χ2(n−1), α

2

≥1−α

2

Interval spolehlivosti pro rozptyl tedy m˚ uˇzeme zapsat jako

Iσ2 ,1−α =

! S 2 (n − 1) S 2 (n − 1) , . χ2(n−1),1− α χ2(n−1), α 2

83

2

Chceme-li z´ıskat interval spolehlivosti pro smˇerodatnou odchylku, hodnoty obou mez´ı bychom jednoduˇse odmocnili. Tedy s Iσ,1−α =

S 2 (n

− 1)

χ2(n−1),1− α 2

s ,

S 2 (n

− 1)

χ2(n−1), α 2

! .

Narozd´ıl od konfidenˇcn´ıch interval˚ u pro stˇredn´ı hodnoty, nebudou intervalové odhady rozptylu a smˇerodatné odchylky symetrické. To vypl´ yvá z faktu, ˇze rozdˇelen´ı χ2 je asymetrické a budeme tedy muset pˇri konstrukci interval˚ u hledat zvláˇst’ kvantil pro horn´ı a doln´ı mez. Intervaly spolehlivosti m˚ uˇzeme samozˇrejmˇe stanovit pro libovolné dalˇs´ı odhady. Nˇekolik z nich v této kapitole uvedeme. Budeme se jim vˇsak vˇenovat jen struˇcnˇe a bez vysvˇetlen´ı, jelikoˇz jejich konstrukce ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u vycház´ı z u ´vah, které si zaslouˇz´ı detailn´ı odvozen´ı; ta vˇsak ˇctenáˇri poskytneme aˇz v kapitolách o testech statistick´ ych hypotéz. 4.3.3

*Interval spolehlivosti pro rozd´ıl stˇ redn´ıch hodnot*

V psychologickém v´ yzkumu ˇcasto nepracujeme s jedinou skupinou, ale v mnoha pˇr´ıpadech srovnáváme pr˚ umˇery (respektive stˇredn´ı hodnoty distribuˇcn´ıch funkc´ı) dvou skupin. Mohli bychom napˇr´ıklad zkoumat, jestli je m´ıra obt´ıˇz´ı klient˚ u v experimentáln´ı skupinˇe, na kterou jsme uplatili nˇejakou novou psychoterapeutickou techniku, niˇzˇs´ı ve srovnán´ı s kontroln´ı skupinou, kde jsme tuto techniku neuplatnili. Budeme-li hodnoty namˇeˇrené v experimentáln´ı skupinˇe oznaˇcovat (X1 , X2 , . . . Xn ) a hodnoty namˇeˇrené v kontroln´ı skupinˇe (Y1 , Y2 , . . . Ym ), pak se vlastnˇe snaˇz´ıme odhadnout ¯ − Y¯ . Podrobnˇeji se t´ımto problémem budeme zab´ stˇredn´ı hodnotu náhodné veliˇciny X yvat v kapitole (5.4.2) pˇri testován´ı statistick´ ych hypotéz. Bez vysvˇetlen´ı ted’ jen uved’me, za pˇredpokladu X ∼ N (µ1 , σ 2 ) a Y ∼ N (µ2 , σ 2 ) konfidenˇcn´ı interval pro stˇredn´ı hodnotu ¯ − Y¯ , tedy pro µ1 − µ2 , stanov´ıme jako veliˇciny X r ¯ − Y¯ ) ± t(n+m−2),1− α · S∗ I1−α = (X 2

1 1 + n m

Symbolem S∗ oznaˇcujeme spoleˇcnou smˇerodatnou odchylku, kterou z´ıskáme ze vztahu s S∗ =

2 (n − 1)SX + (m − 1)SY2 n+m−2

2 kde SX a SY2 jsou v´ ybˇerové rozptyly a n, m rozsahy jednotliv´ ych soubor˚ u.

84

Vˇsimnˇeme si, ˇze jsme pˇredpokládali, ˇze rozptyl veliˇciny X i veliˇciny Y je roven nˇejaké hodnotˇe σ 2 , a tedy je pro obˇe skupiny stejn´ y (aˇc nám neznám´ y). Pokud bychom ovˇsem toto pˇredpokládat nemohli a obˇecnˇe bychom mohli ˇr´ıct pouze X ∼ N (µ1 , σ12 ) a Y ∼ N (µ2 , σ22 ), kde se hodnoty σ12 a σ22 nutnˇe nemus´ı rovnat, pak bychom v´ yˇse uveden´ y postup museli zmˇenit. V pˇr´ıpadˇe nestejn´ ych rozptyl˚ u dokáˇzeme zkonstruovat pouze pˇribliˇzn´ y konfidenˇcn´ı interval pomoc´ı vzorce r ¯ − Y¯ ) ± t(ν),1− α · I1−α = (X 2

2 SX S2 + Y, n m

kde poˇcet stupˇ n˚ u volnosti ν (coˇz ponˇekud pˇrekvapivˇe nemus´ı b´ yt celé ˇc´ıslo) z´ıskáme ze vztahu ν=

4.3.4

2

2 SX n

+

SY2 m

4 SX n2 (n−1)

+

SY4 m2 (m−1)

.

*Interval spolehlivosti pro relativn´ı ˇ cetnost*

Sledujeme-li alternativn´ı znak, tedy pˇr´ıtomnost ˇci nepˇr´ıtomnost urˇcité vlastnosti, frekvenci jeho v´ yskytu ˇcasto popisujeme pomoc´ı relativn´ı ˇcetnosti (viz kapitola 3.2). Relativn´ı ˇcetnost nen´ı niˇc´ım jin´ ym neˇz odhadem parametru p. Správnˇe bychom mˇeli odliˇsovat parametr p a jeho odhad, tedy relativn´ı ˇcetnost, kterou jsme znaˇcili taky p. Aby nedoˇslo k zámˇenˇe, oznaˇc´ıme ted’ odhad relativn´ı ˇcetnosti pˆ. Ostatnˇe symbol stˇr´ıˇsky se bˇeˇznˇe pouˇz´ıvá k oznaˇcen´ı odhadu. Z minula v´ıme, ˇze parametr p alternativnˇe rozdˇelené náhodné veliˇciny je roven jej´ı stˇredn´ı hodnotˇe, a tedy je jeho odhad vlastnˇe jen speciáln´ım pˇr´ıpadem odhadu stˇredn´ı hodnoty jedné náhodné veliˇciny pˇri neznámém rozptylu. P˚ uvodn´ı vzorec, kter´ y jsme odvodili v kapitole (4.3.1), a kter´ y vyuˇz´ıvá Studentovo t-rozdˇelen´ı, by vˇsak nebyl nejvhodnˇejˇs´ı volbou. Jeho slabina spoˇc´ıvá v tom, ˇze je postaven´ y na dvou nezávisl´ ych ¯ a S 2 ). Alternativn´ı rozdˇelen´ı má vˇsak jedin´ odhadech (X y parametr, kter´ y kdyˇz známe, tak nám je známá jak stˇredn´ı hodnota, tak rozptyl. Vyuˇz´ıváme proto asymptotického vztahu ¯ −p X q ∼ N (0, 1). p(1−p) n

Slovo asymptotick´ y znamená, ˇze rovnost nen´ı zcela pˇresná, nicménˇe s rostouc´ım n se moˇzná chyba sniˇzuje, teoreticky aˇz k nulové hodnotˇe. Pro malá n tato metoda tedy nen´ı vhodná a pˇresnˇejˇs´ı by bylo stanovit interval spolehlivosti pˇresnˇe z binomického rozdˇelen´ı, ˇcemuˇz se v tomto textu nebudeme vˇenovat. Jedno orientaˇcn´ı pravidlo, jak poznat dostateˇcnˇe velk´ y rozsah souboru, ˇr´ıká, ˇze mus´ı platit nerovnost np(1 − p) > 9 a zároveˇ n 85

1 n+1

< p <

n . n+1

Jsme-li pˇresvˇedˇcen´ı, ˇze tyto podm´ınky jsou splnˇeny, m˚ uˇzeme stanovit

konfidenˇcn´ı interval ve tvaru r pˆ ± Φ1− α2

pˆ(1 − pˆ) . n

Chybu, které se dopouˇst´ıme, m˚ uˇzeme nepatrnˇe zmenˇsit korekc´ı, kdy od spodn´ı meze odeˇcteme hodnotu 4.3.5

0.5 n

a k horn´ı mezi tutéˇz hodnotu pˇriˇcteme17 .

*Interval spolehlivosti pro Pearson˚ uv korelaˇ cn´ı koeficient*

V kapitole (4.2.3) jsme hovoˇrili o tom, ˇze Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient nen´ı nestrann´ ym odhadem skuteˇcné hodnoty korelaˇcn´ıho koeficientu ρ a ani nemá ˇza´dnou dobˇre známou distribuˇcn´ı funkci. Stanovit pro nˇej konfidenˇcn´ı interval by nicménˇe bylo velmi uˇziteˇcné – odhadován´ı tˇesnosti vztah˚ u mezi dvˇema veliˇcinami je ve statistice u ´stˇredn´ı téma. Pomáháme si proto takzvanou Fisherovou transformac´ı, pomoc´ı které m˚ uˇzeme Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient R pˇrevést na veliˇcinu Z, která má asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı: ! 1 1 + R 1 1 + ρ 1 Z = ln ∼N ln , , 2 1−R 2 1−ρ n−3 kde ρ je skuteˇcná velikost odhadovaného korelaˇcn´ıho koeficientu. Pro veliˇcinu Z pak stanov´ıme konfidenˇcn´ı interval jako 1 1 + R 1 IZ,1−α = ln ± Φ1− α2 √ = (DZ , HZ ). 2 1−R n−3 Nalezené meze pak pˇrevedem zpˇet na hodnoty Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu t´ım, ˇze na nˇe uplatn´ıme Fisherovu transformaci pozpátku (inverznˇe): exp 2DZ − 1 D= , exp 2DZ + 1

exp 2HZ − 1 H= , exp 2HZ + 1

kde se funkc´ı exp rozum´ı umocnˇen´ı ˇc´ısla e na dan´ y argument. Zd˚ uraznˇemˇe, ˇze pomocná veliˇcina Z má pouze asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı; ˇc´ım se hodnota hledaného parametru ρ bl´ıˇz´ı k jedniˇcce (nebo m´ınus jedniˇcce), t´ım je potˇreba v´ıce mˇeˇren´ı, aby byla dodrˇzena stanovená spolehlivost. Nalezen´ y interval je jinak o nˇeco ˇsirˇs´ı, a nedpov´ıdá tak poˇzadovan´ ym napˇr´ıklad 95% spolehlivosti, ale tˇreba 98%. 17

Tuto korekci najdeme v literatuˇre pod názvem korekce na spojitost (continuity correction) a slouˇz´ı k redukci chyby, kter´ a vznikla z toho, ˇze jsme disktrétn´ı binomické rozdˇelen´ı nahradili spojit´ ym normán´ım rozdˇelen´ım.

86

4.4

Metafora populace a v´ ybˇ er“ ”

Pokud jste pˇri studiu pˇredchoz´ıch kapitol tˇechto skript sáhli po jin´ ych textech, které se pokouˇs´ı student˚ um aplikovan´ ych discipl´ın vysvˇetlit téma statistick´ ych odhad˚ u, zˇrejmˇe jste narazili na ponˇekud odliˇsné vysvˇetlen´ı. Pravdˇepodobnˇe jste naˇsli pov´ıdán´ı o populaci a v´ ybˇeru. Na tuto odliˇsnost jsme upozorˇ novali jiˇz v u ´vodu tˇechto skript. Ted’ je na ˇradˇe zasvˇetit ˇctenáˇre do této problematiky hloubˇeji. Pˇredevˇs´ım z toho d˚ uvodu, aby rozumˇel bˇeˇznˇe dostupn´ ym text˚ um o statistice urˇcen´ ym psycholog˚ um a dalˇs´ım obor˚ um, a dále proto, aby si uvˇedomoval, proˇc je pov´ıdán´ı o populaci a v´ ybˇeru pouhou metaforou, která vˇsak nˇekdy m˚ uˇze b´ yt uˇziteˇcná. Pˇredstavme si, ˇze si zkoumáme Cotard˚ uv syndrom. Jedná se o velmi vzácnou poruchu myˇslen´ı, kdy je postiˇzen´ y pˇresvˇedˇcen, ˇze je mrtv´ y (nebo konkrétnˇeji, ˇze mu scház´ı vnitˇrn´ı orgány, nemá krev v ˇzilách, mozek atd.) Dejme tomu, ˇze se domn´ıváme, ˇze toto onemocnˇen´ı je zp˚ usobeno u ´bytkem ˇsedé hmoty mozkové ve specifické oblasti spánkového laloku. Pokus´ıme se proto sehnat nˇekolik pacient˚ u, u kter´ ych se tato porucha projevuje, a pomoc´ı zobrazovac´ıch technik mnoˇzstv´ı ˇsedé k˚ ury mozkové zjist´ıme. Pˇreloˇz´ıme-li problém do statistického jazyka, tak jak jsme se to uˇcili, znˇel by následovnˇe: • Zkoumáme spojitou náhodnou veliˇcinu mohutnost dané oblasti mozku u pacient˚ u s Cotardovým syndromem. Ta má nˇejaké (nám neznámé) rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti s nˇejakou stˇredn´ı hodnotou µ. Tu se pokus´ıme odhadnout. V´ ysledky mˇeˇren´ı u pacient˚ u, které jsme do v´ yzkumu z´ıskali, pˇredstavuj´ı jednotlivé realizace této náhodné veliˇciny. Na jejich základˇe stanov´ıme odhad stˇredn´ı hodnoty této náhodné veliˇciny. Pouˇzijeme k tomu aritmetick´ y pr˚ umˇer, kter´ y je nejlepˇs´ım estimátorem této ˇc´ıselné charakteristiky. Pokud bychom tento u ´kol naˇsli popsan´ y ve vˇetˇsinˇe ostatn´ıch uˇcebn´ıch text˚ u urˇcen´ ych psycholog˚ um, zˇrejmˇe by jeho popis znˇel takto. • Existuje nˇejaká populace pacient˚ u trp´ıc´ım Cotardov´ ym syndromem. (Z nˇejak´ ych ˇ bl´ıˇze neupˇresnˇen´ ych d˚ uvod˚ u budeme pracovat jen s pacienty, kteˇr´ı jsou obyvatelé CR – pˇr´ıklad to troˇsku zjednoduˇs´ı.) Jelikoˇz je Cotard˚ uv syndrom velmi vzácn´ y, tak tahle populace má mal´ y rozsah, tˇreba 30 jedinc˚ u (budeme jej znaˇcit N = 30.) Klademe si otázku, ˇcemu by se rovnal aritmetick´ y pr˚ umˇer mohutnosti dané oblasti mozku, pokud bychom jej vypoˇc´ıtali na u ´daj´ıch od vˇsech N existuj´ıc´ıch pacient˚ u. Jelikoˇz je tato populace pˇr´ıliˇs velká (a bylo by drahé nebo nereálné ji celou prozkoumat) vytvoˇr´ıme v´ ybˇer o n pozorován´ıch (jednoduˇse vylosujeme n pacient˚ u) a pr˚ umˇernou

87

hodnotu vypoˇc´ıtáme na nich. Pak budeme tvrdit, ˇze náˇs v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer spoˇc´ıtan´ y na n pozorován´ıch je odhadem populaˇcn´ıho pr˚ umˇeru vˇsech N existuj´ıc´ıch prvk˚ u. Je zjevné, ˇze toto vysvˇetlen´ı dává smysl, a co v´ıc, v˚ ubec nevyˇzaduje znalost koncept˚ u, jako je náhodná veliˇcina, rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti nebo distribuˇcn´ı funkce. Mohli jsme si uˇsetˇrit des´ıtky stran práce a moˇzná i ˇradu bezesn´ ych noc´ı, kdybychom ˇsli touto cestou, tak proˇc jsme si vybrali tu tˇeˇzˇs´ı? Metafora populace a v´ ybˇer“ má hned nˇekolik nedostatk˚ u, které nám v bˇeˇzném hovoru ” o statistice nevad´ı, ale zabránily by nám dosáhnout hlubˇs´ıho poznán´ı. Napˇr´ıklad, co kdyˇz nechceme zobecnit náˇs v´ ysledek jen na tˇech 30 pacient˚ u, kteˇr´ı jsou k dneˇsku evidovan´ı, ale chceme je vztáhnout, i na pacienty, kteˇr´ı se objev´ı v budoucnu. Co je pak populac´ı a ˇcemu se rovná N ? Zjevnˇe bychom pak hovoˇrili o populaci s nekoneˇcn´ ym rozsahem a naˇse moˇznost z n´ı férovˇe vylosovat n pacient˚ u by troˇsku kulhala. Pokud z˚ ustaneme u koneˇcného rozsahu populace, jak bychom mohli stanovit tˇreba konfidenˇcn´ı interval? Tˇeˇzko bychom zd˚ uvodnili, kde se vzalo Studentovo t-rozdˇelen´ı, které k v´ ypoˇctu pouˇz´ıváme, kdyˇz se nebav´ıme o spojité náhodné veliˇcinˇe, ale o N diskrétn´ıch hodnotách, z nichˇz losujeme. Náˇs u ´kol by se zˇrejmˇe zvrhl v hodnˇe nehezk´ y kombinatorick´ y pˇr´ıklad.18 Ten nejvˇetˇs´ı problém vypl´ yvá z posledn´ıho uvedeného. Pokud bychom ˇsli cestou metafory populace a v´ ybˇeru“, prakticky vˇsechny statistické postupy bychom museli nekriticky ” pˇrijmout jako nedotknutelné rituály a opakovat je ve slepé v´ıˇre, ˇze funguj´ı. Ale tˇreba co to je kvantil Studentova t-rozdˇelen´ı a kde se vzal, by nám z˚ ustalo navˇzdy utajeno. Ponechme si tedy znalost této metafory pro hovory o statistice s lidmi, kteˇr´ı v této oblasti maj´ı jen mˇelké znalosti. My v tomto textu budeme skuteˇcnost popisovat pomoc´ı náhodn´ ych veliˇcin tak, jak jsme to dˇelali doposud.

18

S metaforou populace a v´ ybˇer souvis´ı pojmenován´ı populaˇcn´ı a v´ ybˇerov´ y rozptyl. Standardn´ı 1 vysvˇetlen´ı tˇechto pojm˚ u je takové, ˇze v´ ybˇerov´ y rozptyl (vzorec s n−1 ) bychom poˇc´ıtali, pokud máme k dispozici jen n prvk˚ u vybran´ ych z vˇetˇs´ı populace. Pokud bychom vˇsak mˇeli k dispozici vˇsech N prvk˚ u (tedy n = N ), pak bychom pouˇzili populaˇcn´ı rozptyl (vzorec s n1 ). Ve skuteˇcnosti se vˇsak t´ımto zp˚ usobem populaˇcn´ı rozptyl nepouˇz´ıv´ a. Problémem populace s koneˇcn´ ym rozsahem se zab´ yvá obor s názvem výbˇerov´ a ˇsetˇren´ı. Nen´ı-li rozsah populace nekoneˇcn´ y, zaj´ımav´ ym zp˚ usobem by se mˇenilP rozptyl odhadu pr˚ umˇeru v populaci. Uvádˇeli n 1 ¯ 2 ybˇer jsme, ˇze odhad rozptylu pr˚ umˇeru je n1 S 2 , kde S 2 = n−1 i=1 (Xi − X) . Pokud bychom provedli v´ bez vracen´ı (tedy vylosovali n r˚ uzn´ ych prvk˚ u z populace o rozsahu N ), pˇresnˇejˇs´ıho odhadu bychom 2 dos´ ahli pomoc´ı vztahu NN−n aˇs p˚ uvodn´ı vzorec by platil pouze tehdy, kdyˇz by ˇslo o v´ ybˇer s vracen´ım n S . N´ (libovoln´ y prvek m˚ uˇzeme vylosovat v´ıcekr´ at).

88

5

Testov´ an´ı statistick´ ych hypot´ ez

Tato kapitola pˇredstavuje vyvrcholen´ı základn´ıho kurzu statistiky. Vedle popisu reality ˇc´ısly, kterému jsme se vˇenovali v kapitole o popisné statistice, nejˇcastˇejˇs´ı zakázkou, se kterou se statistik v psychologickém v´ yzkumu setká, je ovˇeˇrit platnost urˇcité hypotézy. Tuto dovednost si ˇctenáˇr spolu s nˇekolika dalˇs´ımi dovednostmi osvoj´ı na následuj´ıc´ıch stránkách. Bude schopen naj´ıt vhodn´ y test pro ovˇeˇren´ı hypotézy o vztahu dvojice statistick´ ych znak˚ u libovolné povahy, bude umˇet pracovat s párov´ ymi mˇeˇren´ımi a dokáˇze srovnat namˇeˇrené hodnoty se zadanou konstantou. Kromˇe samotného otestován´ı statistické v´ yznamnosti se nauˇc´ı pracovat i s v´ yznamnost´ı praktickou a z´ıská také základn´ı dovednosti z oblasti anal´ yzy s´ıly testu.

5.1

Datov´ a matice a typy promˇ enn´ ych

Dˇr´ıve neˇz pˇrikroˇc´ıme k pov´ıdán´ı o statistick´ ych testech, které m˚ uˇzeme na namˇeˇrené hodnoty aplikovat, mˇeli bychom si ujasnit, jak´ y formát sv´ ym dat˚ um dáme a jak´ ym zp˚ usobem s nimi budeme manipulovat. V pˇrechoz´ıch kapitolách jsme zavedli term´ın statistick´ y soubor, kter´ y je obvykle tvoˇren skupinou u ´ˇcastn´ık˚ u v´ yzkumu, na kter´ ych pozorujeme nˇejaké statistické znaky. Na kaˇzdém prvku statistického souboru (na kaˇzdém jedinci) m˚ uˇzeme pozorovat nespoˇcet r˚ uzn´ ych statistick´ ych znak˚ u. Namˇeˇrené hodnoty pak nejˇcastˇeji zapisujeme do tabulky, v n´ıˇz kaˇzdé testové osobˇe vyhrad´ıme jeden ˇra´dek a kaˇzdému sledovanému statistickému znaku jeden sloupec. Tabulka (4) je ukázkou takového datového formátu. Pˇripomeˇ nme, ˇze statistick´ ymi jednotkami nemus´ı b´ yt nutnˇe lidé; v psychologickém v´ yzkumu tomu tak ale v drtivé vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u je. Statistik by takto vytvoˇrenou tabulku oznaˇcil term´ınem datová matice, ˇcasto j´ı vˇsak jednoduˇse ˇr´ıkáme datová tabulka. Z oznaˇcen´ı matice (pˇresnˇeji ˇc´ıselná matice) vypl´ yvá jeden fakt, a to, ˇze hodnoty vˇsech statistick´ ych znak˚ u jsou ˇc´ısla, i kdyby ˇslo o znaky kvalitativn´ı povahy (vzpomeˇ nte na pov´ıdán´ı o náhodn´ ych veliˇcinách, které pˇrevád´ı libovolné kousky reality na ˇc´ıselné hodnoty). V praxi nám nevad´ı, kdyˇz v tabulce necháme slovn´ı Tabulka 4: Datová tabulka Jméno Kuba Jan Daniel Lenka Barbora

Pohlav´ı Vˇek muˇz muˇz muˇz ˇzena ˇzena

23 15 22 25 21

Neuroticismus

Extraverze

Pˇr´ıvˇetivost

Svˇedomitost

42 56 52 44 53

34 57 36 58 51

50 37 55 52 45

42 65 61 53 58

89

oznaˇcen´ı, které se konec konc˚ u lépe ˇcte, a nebudeme je nahrazovat ˇc´ısly – statistick´ y software obvykle toto nahrazen´ı skrytˇe provede sám bˇehem v´ ypoˇctu. Pro jednoduchost budeme libovoln´ y sloupeˇcek této datové matice oznaˇcovat slovem promˇ enn´ a. Promˇenná je tedy obvykle totéˇz, co statistick´ y znak, respektive nˇejaká mnoˇzina realizac´ı náhodné veliˇciny. Abychom vˇsak nezabˇredávali spekulac´ım nad t´ım, jestli je tˇreba promˇenná pohlav´ı náhodnou veliˇcinou, kdyˇz jsme náˇs soubor vytvoˇrili slouˇcen´ım souboru deseti muˇz˚ u a souboru deseti ˇzen, z˚ ustaneme u univerzáln´ıho oznaˇcen´ı promˇenná. Obecnˇe m˚ uˇzeme rozliˇsovat nˇekolik typ˚ u promˇenn´ ych: • Konstanta – pokud v datové matici existuje sloupeˇcek, kter´ y na vˇsech ˇra´dc´ıch obsahuje pˇresnˇe stejnou hodnotu, oznaˇcujeme jej pojmem konstanta. Striktnˇe vzato se ani nejedná o promˇennou, jelikoˇz se zde nic nemˇen´ı. Ponˇekud benevolentnˇe budeme ale pˇredpokládat, ˇze promˇenná m˚ uˇze m´ıt i tuto formu. • Alternativn´ı promˇenná (téˇz dichotomická, nula-jedniˇcková) – jedná se o promˇennou, která nab´ yvá pouze dvou hodnot. Tradiˇcnˇe je znaˇc´ıme ˇc´ısly 0 a 1, jak jsme zvykl´ı z kapitoly o alternativn´ım rozdˇelen´ı, ale jsou pˇr´ıpustné i jiné moˇznosti. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt muˇz-ˇzena, pravák-levák, profesionál-amatér, ˇclen kontroln´ı skupiny-ˇclen experimentáln´ı skupiny. • Nomináln´ı promˇenná – pro kaˇzdé dva prvky m˚ uˇzeme s jistotou ˇr´ıct, jestli si jejich hodnoty jsou nebo nejsou rovny, ale uˇz nedokáˇzeme ˇr´ıct, jestli je hodnota jednoho vyˇsˇs´ı nebo niˇzˇs´ı neˇz hodnota druhého. Nab´ yvá v´ıce neˇz dvou hodnot, jinak bychom o n´ı hovoˇrili jako o alternativn´ı promˇenné. Pˇr´ıkladem je studijn´ı obor, druh léˇcby, nebo tˇreba národnost. • Ordináln´ı promˇenná – pro kaˇzdé dva prvky m˚ uˇzeme s jistotou ˇr´ıct, jestli si jsou rovny nebo jestli má jeden vyˇsˇs´ı hodnotu neˇz druh´ y. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt tˇreba vojenská hodnost. V´ıme, ˇze major je zjevnˇe v´ıc neˇz plukovn´ık, ale nem˚ uˇzeme vést ˇza´dné u ´vahy o tom, jak velk´ y je rozd´ıl mezi majorem a plukovn´ıkem a srovnávat ho tˇreba s rozd´ılem mezi kapitánem a poruˇc´ıkem. • Metrická promˇenná (téˇz kvantitativn´ı) – pro kaˇzdé dva prvky dokáˇzeme rozhodnout, jestli má jeden vyˇsˇs´ı, niˇzˇs´ı nebo stejnou hodnotu jako druh´ y, a nav´ıc dokáˇzeme stejné srovnán´ı provést mezi rozd´ıly hodnot libovoln´ ych dvou prvk˚ u. Napˇr´ıklad m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze Honza je vyˇsˇs´ı neˇz Anna o 10 cm, zat´ımco Lucka je vyˇsˇs´ı neˇz Petr o 2 cm, a tedy ˇze rozd´ıl vzr˚ ustu mezi Honzou a Annou je vˇetˇs´ı neˇz rozd´ıl mezi Luckou a Petrem. ˇ aˇri zˇrejmˇe nemohla uniknout podobnost u Cten´ ´rovn´ı mˇeˇren´ı definovan´ ych Stanleym Stevensem: nomináln´ı, ordináln´ı, intervalová a pomˇerová. Tato podobnost nen´ı náhodná,

90

pro u ´ˇcely statistiky vˇsak nepotˇrebujeme rozliˇsovat mezi posledn´ımi dvˇema u ´rovnˇemi19 a naopak jsme z nomináln´ıch promˇenn´ ych vydˇelili alternativn´ı.

5.2

Logika testov´ an´ı statistick´ ych hypot´ ez

Pˇredstavte si, ˇze um´ıte pˇredpov´ıdat budoucnost. Jednoduˇse soustˇred´ıte svou mysl a z niˇceho nic v´ıte, jaké bude z´ıtra poˇcas´ı, na co se vás uˇcitel zeptá u zkouˇsky nebo jaká ˇc´ısla budou taˇzena ve Sportce. Dá se ˇcekat, ˇze kdyˇz se touhle schopnost´ı nˇekomu pochlub´ıte, nebude vám vˇeˇrit. Otázka zn´ı, jak byste dokázali druh´ ym lidem nebo i sami sobˇe, ˇze skuteˇcnˇe tuto schopnost máte a dokáˇzete s velkou m´ırou jistoty zjistit, co se stane. Odpovˇed’ zˇrejmˇe napadne kaˇzdého – zkus´ıte pˇredpovˇedˇet nˇejakou událost a aˇz k n´ı skuteˇcnˇe dojde, tak v´ıtˇezoslavnˇe prohlás´ıte: Já jsem to ˇr´ıkal! “. Tento postup by sám o ” sobˇe asi nestaˇcil, abychom nˇekoho skuteˇcnˇe pˇresvˇedˇcili. Napˇr´ıklad tehdy, pokud bychom naˇsi pˇredpovˇed’ formulovali jen vágnˇe a nejasnˇe, naˇse d˚ uvˇeryhodnost by utrpˇela ve chv´ıli, kdyˇz bychom kaˇzdému vysvˇetlovali, ˇze jsme to opravdu mysleli zrovna takhle. Nikoho bychom nepˇresvˇedˇcili ani tehdy, pokud bychom pˇredpovˇed´ı naráz uˇcinili des´ıtky, a pak se hlásili jen k tˇem, co nám vyˇsly. Aby náˇs postup byl tedy co nejpˇresvˇedˇcivˇejˇs´ı a naˇsi schopnost pˇredpov´ıdat budoucnost nemohl nikdo zpochybnit, jednoznaˇcnˇe a pˇresnˇe formulujeme, co se dle naˇs´ı pˇredpovˇedi má stát. Situaci necháme probˇehnout a srovnáme s naˇs´ı pˇredpovˇed´ı. Asi ˇctenáˇre napadá, ˇze ani tento postup nám sám o sobˇe nezaruˇc´ı to, ˇze nám druz´ı lidé uvˇeˇr´ı. Vynechali jsme totiˇz jeden kl´ıˇcov´ y fakt. Pokud napˇr´ıklad má pˇredpovˇed’ bude zn´ıt Prvn´ıho dubna pˇr´ıˇst´ıho roku bude v Olomouci prˇset“, tak nás asi nikdo nebude m´ıt ” za jasnovidce, i kdyˇz v dan´ y den zmokne. Jednoduˇse kv˚ uli tomu, ˇze jsme pˇredpov´ıdali nˇeco velmi pravdˇepodobného. Váha pˇredpovˇedi stoupá s t´ım, jak moc nepravdˇepodobná událost nastala. Prohlás´ım-li tedy, ˇze pˇr´ıˇst´ı loterijn´ı tiket, na kter´ y si vsad´ım, vyhraje, tak má schopnost jasnovidectv´ı se bude jevit mnohem vˇerohodnˇeji, kdyˇz pak vyhraji hlavn´ı v´ yhru (tedy se stane nˇeco krajnˇe nepravdˇepodobného), neˇz kdyˇz sice vyhraji, ale jen pár desetikorun, které mi stˇeˇz´ı zaplat´ı cenu tiketu (coˇz je vcelku pravdˇepodobné). Aˇc jsme mluvili o jasnovidectv´ı, ve skuteˇcnosti jsme popsali postup, jak´ ym pracuj´ı vˇedci. Vˇedci de facto také pˇredpov´ıdaj´ı budoucnost, nedˇelaj´ı to ale pomoc´ı ˇcajov´ ych l´ıstk˚ u nebo kˇriˇst’a´lové koule. Vˇedci se pokouˇs´ı popsat svˇet pomoc´ı teori´ı. Hledaj´ı takové teorie, které by jim umoˇznily dˇelat co nejpˇresnˇejˇs´ı pˇredpovˇedi.20 Tˇemto pˇredpovˇed´ım budeme ˇr´ıkat hypot´ ezy. Zkoumáte-li tedy tˇreba dynamiku ve ˇskoln´ıch kolektivech a na základˇe 19 Jedinou v´ yjimkou z tohoto tvrzen´ı je variaˇcn´ı koeficient. Ten má smyl poˇc´ıtat pouze u promˇenn´ ych na pomˇerové u ´rovni; v jin´ ych pˇr´ıpadech ztrác´ı smysl. 20 Mimochodem, vˇsimnˇete si, ˇze ani netvrd´ıme, ˇze vˇedec hledá pravdivou teorii. To je ideál, kter´ y povaˇzujeme za nedosaˇziteln´ y, at’ uˇz v psychologii nebo tˇreba fyzice. Skuteˇcnˇe jde jen o to se k pravdˇe pˇribl´ıˇzit co nejtˇesnˇeji, abychom dos´ ahli co nejpˇresnˇejˇs´ıch pˇredpovˇed´ı.

91

své teorie vytvoˇr´ıte preventivn´ı program proti ˇsikanˇe, pak vaˇse hypotéza bude zn´ıt tˇreba: Ve tˇr´ıdách, ve kterých je uplatnˇen preventivn´ı program, se ˇsikana vyskytuje ménˇe ˇcasto ” neˇz v tˇech tˇr´ıdách, kde tento program uplatnˇen nen´ı“. Pokud naˇse teorie popisuje rys narcismu v rámci osobnostn´ı struktury, mohla by naˇse hypotéza zn´ıt Existuje pozitivn´ı ” korelace mezi poˇctem bod˚ u, které jedinec z´ıská v inteligenˇcn´ım testu a poˇctem bod˚ u, které z´ıská v dotazn´ıku neklinického narcismu“. Potom, stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe jasnovidectv´ı, nechápe situaci probˇehnout a zjist´ıme, do jaké m´ıry odpov´ıdá to, co se stalo, naˇs´ı hypotéze. Ona nevinná sl˚ uvka necháme ” probˇehnout“ obvykle znamenaj´ı, ˇze provedeme nákladn´ y experiment nebo jin´ y v´ yzkumn´ y design, pˇriˇcemˇz budeme peˇclivˇe dodrˇzovat nespoˇcet pravidel, abychom minimalizovali vˇsechna moˇzná zkreslen´ı. Tomuto tématu se vˇenuje cel´ y vˇedn´ı obor jménem metodologie. V tomto textu mu ale prostor vˇenovat nebudeme. Stejnˇe jako v naˇsem pˇr´ıkladu s jasnovidectv´ım i zde plat´ı to, ˇze ˇc´ım nepravdˇepodobnˇejˇs´ı v´ ysledek, kter´ y je v souladu s naˇs´ı hypotézou, nastane, t´ım pˇresvˇedˇcivˇejˇs´ı doklad o platnosti naˇs´ı teorie jsme naˇsli. A právˇe k tomu pouˇz´ıváme statistiku. Pomoc´ı znalost´ı, které jsme z´ıskali v pˇredeˇsl´ ych kapitolách, budeme stanovovat pravdˇepodobnost, s jakou m˚ uˇze urˇcit´ y v´ ysledek nastat, a na základˇe toho posuzovat, jak silnou oporu v namˇeˇren´ ych datech naˇse hypotéza (respektive teorie, z n´ıˇz vycház´ı) má. 5.2.1

Statistick´ y test

Proces posouzen´ı platnosti hypotézy, kter´ y v této kapitole vysvˇetl´ıme, se naz´ yvá testován´ı nulové hypotézy. Obecnˇe této ˇca´sti statistiky ˇr´ıkáme inferenˇ cn´ı statistika. Mnoha lidem toto téma pˇripadá neintuitivn´ı a ˇrada tˇech, kteˇr´ı si postupy nˇejak osvojili, je pouˇz´ıvaj´ı nesprávnˇe. Pˇritom nejde o nic jiného neˇz o peˇclivou formalizaci naˇsich u ´vah z pˇredeˇsl´ ych odstavc˚ u, které jsou srozumitelné a v dobré shodˇe se selsk´ ym rozumem. Matematick´ y postup testován´ı nulové hypotézy si vysvˇetl´ıme na pˇr´ıkladu. Pˇredstavte si, ˇze jste vytvoˇrili nov´ y postup, jak´ ym lze stˇredoˇskoláky efektivnˇe uˇcit matematiku. V souladu s poznatky z metodologie z´ıskáme soubor stˇredoˇskolák˚ u, které budeme pomoc´ı tohoto postupu matematiku uˇcit. Náˇs oˇcekávan´ y v´ ysledek je ten, ˇze na konci studia u státn´ı maturity (kterou budeme povaˇzovat za standardizovan´ y test matematick´ ych schopnost´ı) dopadnou naˇsi studenti lépe neˇz ostatn´ı. Vyˇrkli bychom proto následuj´ıc´ı hypotézu: Studenti, kteˇr´ı jsou vzdˇeláván´ı naˇs´ı metodou, z´ıskaj´ı u maturity ” z matematiky v pr˚ umˇeru vyˇsˇs´ı poˇcet bod˚ u neˇz ti, kteˇr´ı touto metodou vzdˇeláváni nejsou“. V pˇredeˇsl´ ych kapitolách jsme se nauˇcili popisovat svˇet pomoc´ı náhodn´ ych veliˇcin. Totéˇz udˇeláme ted’: poˇcet bod˚ u, které student vyuˇcovaný naˇs´ı metodou z´ıská u maturity, je náhodná veliˇcina (budeme j´ı ale radˇeji ˇr´ıkat X, protoˇze p˚ uvodn´ı název je troˇsku dlouh´ y). M˚ uˇzeme tedy, jak jsme zvykl´ı, zkoumat jej´ı distribuˇcn´ı funkci, odhadovat jej´ı ˇc´ıselné 92

charakteristiky a tak podobnˇe. V´ ybˇer statistického testu je u ´zce spojen´ y s pˇredpoklady, které na zvolenou náhodnou veliˇcinu klademe. To je citlivé téma, kterému vˇenujeme pozornost v kapitolách o jednotliv´ ych statistick´ ych testech. Ted’ jednoduˇse pˇredpokládejme, ˇze jsme poˇza´dali pˇr´ısluˇsnou instituci, aby nám poskytla v´ ysledky student˚ u z celé republiky, a z nich jsme zjistili, ˇze tvar rozdˇelen´ı poˇct˚ u bod˚ u pˇripom´ıná normáln´ı rozdˇelen´ı a ˇze pr˚ umˇern´ y poˇcet bod˚ u byl 20 se smˇerodatnou odchylkou 6. Budeme tedy pˇredpokládat, ˇze i naˇse náhodná veliˇcina X má normáln´ı rozdˇelen´ı, které má smˇerodatnou odchylku 6, nicménˇe jej´ı pr˚ umˇer (oznaˇcme jej µ) se mohl d´ıky naˇs´ı intervenci nˇejak´ ym zp˚ usobem posunout. Náˇs pˇredpoklad tedy zn´ı: X ∼ N (µ, 62 ) . Vrat’me se k naˇs´ı hypotéze, které znˇela Studenti, kteˇr´ı jsou vzdˇeláván´ı naˇs´ı metodou, ” z´ıskaj´ı u maturity z matematiky v pr˚ umˇeru vyˇsˇs´ı poˇcet bod˚ u neˇz ti, kteˇr´ı touto metodou vzdˇeláváni nejsou“. Budeme j´ı ˇr´ıkat alternativn´ı hypot´ eza nebo alternativa (znaˇcme HA ). Po pˇrekladu do matematické ˇreˇci by naˇse hypotéza znˇela HA : µ > 20 . ˇ ıslo 20 oznaˇcuje pr˚ C´ umˇern´ y poˇcet bod˚ u, které z´ıská student bez pouˇzit´ı naˇs´ı metody, a µ je stˇredn´ı hodnota naˇs´ı náhodné veliˇciny X (tedy veliˇciny poˇcet bod˚ u, které student vyuˇcovaný naˇs´ı metodou z´ıská u maturity). Alternativn´ı hypotéza ve skuteˇcnosti nejde testovat pˇr´ımo. Testovat m˚ uˇzeme pouze jej´ı doplnˇek, kterému ˇr´ıkáme nulov´ a hypot´ eza (znaˇc´ıme H0 ). R˚ uzné testy pracuj´ı s r˚ uzn´ ymi ˇ ıkaj´ı, ˇze naˇse prognóza je mylná, nulov´ ymi hypotézami, jejich smyl je ale vˇzdy stejn´ y. R´ ˇze ˇzádn´ y efekt/rozd´ıl/souvislost (at’ uˇz hledáme cokoli) neexistuje. V naˇsem pˇr´ıpadˇe by nulová hypotéza ˇr´ıkala, ˇze studenti, kteˇr´ı jsou vzdˇeláváni naˇs´ı metodou, z´ıskaj´ı u maturity ” z matematiky stejný poˇcet bod˚ u jako ti, kteˇr´ı touto metodou vzdˇeláváni nejsou“. Pˇreloˇzeno do jazyka matematiky21 H0 : µ = 20 . Vˇsechno máme pˇripraveno, m˚ uˇzeme se proto pod´ıvat na naˇse studenty. Naˇsi metodu v´ yuky matematiky jsme aplikovali na 9 student˚ u (n = 9) a ti z p´ısemného maturitn´ıho testu z matematiky dostali tato bodová ohodnocen´ı: 15, 25, 22, 19, 22, 29, 35, 22, 27. Snadno zjist´ıme, ˇze pr˚ umˇer z tˇechto hodnot je 24, tedy v´ıc neˇz 20 bod˚ u, které v pr˚ umˇeru studenti dostávaj´ı. Takˇze se naˇse oˇcekáván´ı naplnilo. 21

V nˇekter´ ych textech b´ yv´ a uvedeno znˇen´ı nulové hypotézy jako H0 : µ ≤ 20, aby nulová hypotéza i alternativa dohromady pokr´ yvaly vˇsechny moˇznosti. V tomto textu se ale budeme drˇzet naˇs´ı p˚ uvodn´ı formulace, protoˇze je n´ azornˇejˇs´ı, nehledˇe na to, ˇze v praxi pracujeme obvykle s oboustrann´ ymi alternativami, u nichˇz k této dvojakosti nedoch´ az´ı.

93

Otázka vˇsak je, jestli to nen´ı jen d´ılo náhody. Nˇekdy maj´ı studenti troˇsku v´ıc ˇstˇest´ı, jindy troˇsku ménˇe (respektive nˇekdy má uˇcitel ˇstˇest´ı na lepˇs´ı jindy na horˇs´ı ˇza´ky), takˇze je zjevné, ˇze kdybychom experiment opakovali kaˇzd´ y rok, dostaneme nˇekdy o nˇeco vyˇsˇs´ı ˇc´ıslo a jindy o nˇeco niˇzˇs´ı. Abychom naˇs´ı hypotéze pˇridali na vˇerohodnosti, pomohlo by nám, kdybychom byli schopni vyˇc´ıslit, jak je nepravdˇepodobné, ˇze soubor dev´ıti student˚ u pˇrekroˇc´ı pr˚ umˇernou hodnotu 20 bod˚ u nejménˇe o ˇctyˇri body. Abychom tuto pravdˇepodobnost stanovili, budeme pˇredpokládat, ˇze plat´ı nulová hypotéza. Tedy ˇze bez ohledu na metodu v´ yuky je v´ ysledek kaˇzdého naˇseho studenta náhodná veliˇcina s rozdˇelen´ım N (20, 62 ). Táˇzeme se pak, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze kdyby tohle skuteˇcnˇe platilo a naˇse metoda zkrátka nefungovala, tak ˇze by jen v rámci náhodného kol´ısán´ı vyˇsla pr˚ umˇerná hodnota z dev´ıti realizac´ı této náhodné veliˇciny vˇetˇs´ı nebo rovna hodnotˇe 24. Odpovˇed’ najdeme pomoc´ı vhodné testov´ e statistiky (téˇz testovac´ı statistiky). Jedná se o nˇejakou náhodnou veliˇcinu, která splˇ nuje tyto podm´ınky: • za platnosti nulové hypotézy má nˇejakou známou distribuˇcn´ı funkci, • jej´ı hodnota odráˇz´ı platnost nulové hypotézy. V naˇsem pˇr´ıpadˇe odvod´ıme testovac´ı statistiku z aritmetického pr˚ umˇeru. Kdyˇz v´ıme, ˇze za platnosti nulové hypotézy X ∼ N (20, 62 ), pak snadno odvod´ıme ˇze 9

X 62 ¯=1 X Xi ∼ N (20, ) = N (20, 22 ) . 9 i=1 9 ¯ odráˇz´ı platnost nulové hypotézy (ˇc´ım je vyˇsˇs´ı neˇz 20, t´ım vˇetˇs´ı jistotu máme, Statistika X ˇze nulová hypotéza neplat´ı). Abychom splnili i druhou podm´ınku, mus´ıme tuto náhodnou veliˇcinu transformovat na testovou statistiku (ˇr´ıkejme j´ı Z) odeˇcten´ım stˇredn´ı hodnoty a vydˇelen´ım smˇerodatnou odchylkou. Obecnˇe tedy pro naˇsi testovou statistiku plat´ı vztah Z=

¯ − µ0 X √σ n

∼ N (0, 1) ,

¯ za platnosti nulové kde µ0 oznaˇcuje stˇredn´ı hodnotu náhodné veliˇciny X, respektive X, hypotézy (v naˇsem pˇr´ıpadˇe ˇc´ıslo 20) a σ je nám známá smˇerodatná odchylka veliˇciny X (tzn. 6). Po dosazen´ı z=

24 − 20 √6 9

= 2.

Náˇs problém jsme tedy transformovali v otázku, kterou jsme schopni rutinnˇe odpovˇedˇet: jaká je pravdˇepodobnost, ˇze náhodná veliˇcina, která má normované normáln´ı rozdˇelen´ı, 94

Tabulka 5: Oznaˇcen´ı m´ıry statistické v´ yznamnosti p-hodnota

slovn´ı oznaˇcen´ı

hvˇezdiˇcková notace

<0.10 <0.05 <0.01 <0.001

nen´ı signifikantn´ı, existuje trend signifikantn´ı vysoce signifikantn´ı velmi vysoce signifikantn´ı

* ** ***

se realizuje s hodnotou vyˇsˇs´ı nebo rovnou neˇz 2. Zbˇeˇzn´ y pohled do tabulek nám prozrad´ı, ˇze to je pˇribliˇznˇe 2.28 %. M˚ uˇzeme tedy prohlásit, ˇze pokud plat´ı nulová hypotéza a my se m´ ylili – naˇse metoda v´ yuky ˇza´dné zlepˇsen´ı nepˇrináˇs´ı, pak pravdˇepodobnost, ˇze naˇsich 9 student˚ u z´ıská u maturity 24 a v´ıc bod˚ u, je 2.28 %. Pravdˇepodobnost, kterou jsme t´ımto zp˚ usobem pomoc´ı statistického testu obdrˇzeli, oznaˇcujeme pojmem p-hodnota (angl. p-value). Je to hodnˇe nebo málo? Jak nepravdˇepodobn´ y jev mus´ıme b´ yt schopni pˇredpovˇedˇet, abychom mohli tvrdit, ˇze jsme pˇrijali naˇsi alternativn´ı hypotézu? Správn´ ym postupem by bylo pˇredem stanovit takzvanou hladinu v´ yznamnosti (znaˇc´ıme α). Je to nˇejaké kladné ˇc´ıslo bl´ızko nuly. Kdyˇz je naˇse p-hodnota podkroˇc´ı, pak m˚ uˇzeme prohlásit, ˇze nulovou hypotézu zam´ıtáme, a tedy pˇrij´ımáme alternativu (jelikoˇz nulová hypotéza a alternativa se vzájemnˇe vyluˇcuj´ı). Dojdeme-li k takovému v´ ysledku, pak pozorovan´ y efekt oznaˇcujeme za signifikantn´ı (téˇz statisticky významný ). V praxi si vˇsak hladinu v´ yznamnosti α nevyb´ıráme, ale vol´ıme tradiˇcn´ı hodnotu 0.05. Klesne-li p-hodnota dokonce pod hladinu 0.01, pak v´ ysledek oznaˇcujeme za vysoce signifikantn´ı a kdyˇz pod hladinu 0.001, pak jako velmi vysoce signifikantn´ı. Zkrácenˇe tyto tˇri stupnˇe statistické v´ yznamnosti oznaˇcujeme pomoc´ı jedné aˇz tˇri hvˇezdiˇcek (viz tabulka 5). Ve starˇs´ıch textech, zejména v tˇech, které vznikly v éˇre pˇred masivn´ım rozˇs´ıˇren´ım poˇc´ıtaˇc˚ u, najdeme jin´ y postup neˇz ten, co je uveden v´ yˇse. Dˇr´ıve nebylo zvykem poˇc´ıtat pˇresnou p-hodnotu, ale nalezená hodnota testové statistiky (v naˇsem pˇr´ıkladu z) byla srovnána s kvantilem pˇr´ısluˇsného rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, takzvanou kritickou hodnotou. Jelikoˇz naˇse testová statistika má normované normáln´ı rozdˇelen´ı, a alternativa zn´ı µ > 20, hledali bychom kvantil Φ1−α (v naˇsem pˇr´ıpadˇe 1.64). Interval W = [Φ1−α , ∞) oznaˇcujeme jako kritick´ y obor. Pokud do nˇej padne hodnota testová statistiky, tak zam´ıtáme nulovou hypotézu. Je zjevné, ˇze oba postupy vedou k identickému závˇeru, prvn´ı z postup˚ u nám vˇsak nav´ıc poskytuje informaci o p-hodnotˇe, která sama o sobˇe m˚ uˇze b´ yt zaj´ımavá. Pokud by hodnota testové statistiky byla rovna kritické hodnotˇe, pak se p-hodnota v pˇr´ıpadˇe spojitého rozdˇelen´ı testové statistiky rovná α.

95

Obrázek 29: P-hodnoty testovac´ı statistiky Z pˇri r˚ uznˇe formulovan´ ych alternativách

5.2.2

Jednostrann´ e a dvoustrann´ e alternativn´ı hypot´ ezy

Alternativn´ı hypotéza ve v´ yˇse uvedeném pˇr´ıkladu je takzvanˇe jednostrann´ a (anglicky onetailed ). Znamená to, ˇze pˇredpokládá, v jakém smˇeru se oˇcekávan´ y rozd´ıl (respektive souvislost) projev´ı. Naˇse oˇcekáván´ı je takové, ˇze studenti, kteˇr´ı podstoupili naˇsi vzdˇelávac´ı metodu, budou m´ıt vyˇsˇs´ı poˇcet bod˚ u u maturity, neˇz ostatn´ı (tedy HA : µ > 20). Za jednostrannou hypotézu bychom povaˇzovali i opak – tedy tvrzen´ı, ˇze studenti, na které jsme metodu aplikovali, z´ıskaj´ı ménˇe bod˚ u (HA : µ < 20). Prvn´ı jmenovanou alternativu bychom oznaˇcili jako pravostrannou, druhou jako levostrannou. Pokud bychom vˇsak hypotézu formulovali obecnˇe Studenti, kteˇr´ı jsou vzdˇeláván´ı naˇs´ı ” metodou, z´ıskaj´ı u maturity z matematiky jiný poˇcet bod˚ u neˇz ti, kteˇr´ı touto metodou vzdˇeláváni nejsou“ (zapsáno matematicky HA : µ 6= 20), pak bychom hovoˇrili o dvoustrann´ e (oboustranné, anglicky twotailed ) alternativˇe. Neˇr´ıkáme tedy nic o oˇcekávaném smˇeru efektu, tvrd´ıme jen, ˇze se zmˇena metody v´ yuky nˇejak projev´ı na v´ ysledc´ıch student˚ u. Pokud dokáˇzeme vypoˇc´ıtat p-hodnotu pro obˇe jednostranné hypotézy, snadno z nich z´ıskáme p-hodnotu pro hypotézu dvoustrannou. Vzali bychom menˇs´ı z obou p-hodnot a vynásobili ji dvˇema. Pokud má testová statistika symetrickou hustotu pravdˇepodobnosti, pak bychom p-hodnotu pro opaˇcnou jednostrannou hypotézu mohli z´ıskat jednoduˇse tak, ˇze bychom p˚ uvodn´ı p-hodnotu odeˇcetli od jedniˇcky. To v naˇsem pˇr´ıpadˇe plat´ı, a tedy p-hodnota pro levostrannou alternativu, která ˇr´ıká, ˇze se v´ ysledky student˚ u kv˚ uli naˇs´ı metodˇe zhorˇs´ı, je 97.72 % (= 1 − 0.0228). Menˇs´ı z hodnot 2.28 % a 97.72 % vynásob´ıme dvˇema, a m˚ uˇzeme tedy ˇr´ıct, ˇze p-hodnota pro dvoustrannou hypotézu je rovna hodnotˇe 0.0455 (tedy 4.55 %). Vid´ıme, ˇze i v pˇr´ıpadˇe, kdy bychom formulovali naˇsi p˚ uvodn´ı alternativn´ı hypotézu jako dvoustrannou, budeme nulovou hypotézu zam´ıtat. Chceme-li vyuˇz´ıt pro rozhodnut´ı kritické obory, projev´ı se tvar alternativy na kvantilu rozdˇelen´ı, které budeme pouˇz´ıvat. V pˇr´ıpadˇe, ˇze se jednalo o pravostrannou alternativu, byl kritick´ y obor vymezen jako W = [φ1−α , ∞). Pokud by ˇslo o levostrannou alternativu, platilo by W = (−∞, φα ]. A nakonec kritick´ y obor vztahuj´ıc´ı se k oboustranné alternativˇe by mˇel tvar W = (−∞, φ α2 ] ∪ [φ1− α2 , ∞). Pokud by testová statistika mˇela jiné rozdˇelen´ı 96

Obrázek 30: Kritické obory a kritické hodnoty testové statistiky Z

neˇz normované normáln´ı (napˇr. χ2 ), pak bychom pochopitelnˇe pouˇzili jeho kvantil. Obecnˇe plat´ı, ˇze p-hodnota ˇr´ıká, jak´ a je pravdˇ epodobnost, ˇ ze za platnosti nulov´ e hypot´ ezy z´ısk´ ame v´ ysledek, kter´ y je jeˇ stˇ e extr´ emnˇ ejˇ s´ı, co se t´ yˇ ce m´ıry poruˇ sen´ı nulov´ e hypot´ ezy, neˇ z ten, co jsme z´ıskali. Slovn´ı spojen´ı jeˇstˇe extrémnˇejˇs´ı by v pˇr´ıpadˇe pravostranné alternativy znamenalo vˇetˇs´ı a v pˇr´ıpadˇe levostranné menˇs´ı. Pokud jde o dvoustrannou alternativu, tak se j´ım rozum´ı vzdálenˇejˇs´ı od hodnoty, kterou oˇcekávala nulová hypotéza. Tedy v naˇsem pˇr´ıkladu je hodnota 16 stejnˇe extrémn´ı jako 24 a napˇr´ıklad hodnoty 10 nebo 30 jsou extrémnˇejˇs´ı jeˇstˇe v´ıc. Aˇc maj´ı jednostranné alternativy svou logiku, v drtivé vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u ovˇeˇruj´ı v´ yzkumn´ıci své hypotézy, jako by se jednalo o dvoustranné alternativy. Je to zp˚ usobeno zˇrejmˇe t´ım, ˇze statistické programy nám jako v´ ysledek poskytuj´ı právˇe oboustrannou p-hodnotu (coˇz je pochopitelné – poˇc´ıtaˇc nem˚ uˇze vˇedˇet, jaké bylo naˇse oˇcekáván´ı). Pokud bychom se pˇrece jen rozhodli z˚ ustat u jednostrann´ ych alternativ, je uˇziteˇcné umˇet pˇrevést dvoustrannou p-hodnotu na jednostrannou. V pˇr´ıpadˇe, ˇze v´ ysledek vyjde v oˇcekávaném smˇeru (tedy v tom, o kterém mluv´ı alternativa), pak z´ıskanou p-hodnotu vydˇel´ıme dvojkou. V pˇr´ıpadˇe, ˇze v´ ysledek vyjde v opaˇcném smˇeru, pak p-hodnotu taky vydˇel´ıme dvojkou, ale poté ji jeˇstˇe odeˇcteme od jedniˇcky. Na závˇer se zamysleme nad nˇekolika d˚ usledky, jejichˇz pochopen´ı je pro dalˇs´ı práci kl´ıˇcové a které student˚ um nˇekdy unikaj´ı: • I v pˇr´ıpadˇe, ˇze jsme celou proceduru provedli preciznˇe, nem˚ uˇzeme s jistotou ˇr´ıct, ˇze nalezen´ y v´ ysledek je pravdiv´ y. Z logiky statistického testu vypl´ yvá, ˇze v pˇ r´ıpadˇ e, kdy alternativa nen´ı pravdiv´ a (tedy plat´ı nulov´ a hypot´ eza), doch´ az´ı k zam´ıtnut´ı nulov´ e hypot´ ezy aˇ z v α pˇ r´ıpadech. Tedy pˇri volbˇe tradiˇcn´ı hladiny 0.05 je dobr´ ych 5 % statisticky v´ yznamn´ ych v´ ysledk˚ u jen d´ılem náhody! Stejnˇe tak se nám nemus´ı podaˇrit zam´ıtnout nulovou hypotézu, i kdyˇz naˇse oˇcekáván´ı bylo oprávnˇené. Oba druhy chyb budeme podrobnˇeji rozeb´ırat v kapitole o s´ıle testu (5.5). • Nulovou hypot´ ezu nelze nikdy pˇ rijmout. Jediné dva moˇzné v´ ysledky jsou 97

nulová hypotéza byla zam´ıtnuta, pˇrij´ımáme alternativu“ a nulovou hypotézu ne” ” zam´ıtáme“ (o jej´ı platnosti a tedy ani o platnosti alternativy nejsme schopni na základˇe naˇsich dat rozhodnout). Pokud se napˇr´ıklad pokouˇs´ıte naj´ıt d˚ ukazy pro to, ˇze muˇzi i ˇzeny se neliˇs´ı ve schopnosti multitaskingu, pak testován´ı nulov´ ych hypotéz nen´ı vhodn´ ym nástrojem, jelikoˇz nikdy stanovenou hypotézu nebudeme moct pˇrijmout. V´ ysledkem bude bud’ jej´ı zam´ıtnut´ı nebo nezam´ıtnut´ı (tedy stav, kdy nev´ıme). • Nejv´ıc neporozumˇen´ı tradiˇcnˇe z˚ ustává kolem v´ yznamu p-hodnoty. P-hodnota vyjadˇruje pravdˇ epodobnost, s jakou m˚ uˇ zeme za platnosti nulov´ e hypot´ ezy pozorovat takov´ y v´ ysledek, co jsme pozorovali, nebo takov´ y, co nulov´ e hypot´ eze odporuje jeˇ stˇ e v´ıc neˇ z ten pozorovan´ y. Rozhodnˇe se nejedná o pravdˇepodobnost, s jakou nulová hypotéza plat´ı (ta bud’ plat´ı, nebo ne, bez nˇejaké pravdˇepodobnosti). A uˇz v˚ ubec ne o pravdˇepodobnost, ˇze kdyˇz v´ yzkum zopakujeme, tak z´ıskáme odliˇsn´ y v´ ysledek. • Testy nulov´ ych hypot´ ez u ´ zce souvis´ı s konfidenˇ cn´ımi intervaly. V naˇsem pˇr´ıkladu bychom mohli nahradit test nulové hypotézy t´ım, ˇze bychom zkonstruovali dvoustrann´ y 95% interval spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu pˇri známem rozptylu. Jednoduˇse bychom pak zkontrolovali, jestli interval obsahuje hodnotu µ0 (tzn. ˇza´dné zlepˇsen´ı“) nebo ne. Pokud by tato hodnota v konfidenˇcn´ım intervalu ” obsaˇzena nebyla, zam´ıtáme nulovou hypotézu. Obecnˇe nemus´ı j´ıt vˇzdy o ˇc´ıslo µ0 , ale dle druhu testované hypotézy o tu hodnotu, kterou bychom u testové statistiky oˇcekávali, pokud by nulová hypotéza platila. Jednostranné hypotézy by pak byly ekvivalentem jednostrann´ ych konfidenˇcn´ıch interval˚ u. Obˇe metody vedou k identick´ ym v´ ysledk˚ um.

5.3

Praktick´ a v´ yznamnost a m´ıry u ´ˇ cinku

Doposud jsme hovoˇrili o takzvané statistické v´ yznamnosti. Ta nám poskytuje velmi zaj´ımavou informaci, na kaˇzdou otázku nám vˇsak odpovˇedˇet nedokáˇze. Jeˇstˇe jednou se vrat’me k naˇsemu pˇr´ıkladu z minulé kapitoly, kdy jsme ovˇeˇrovali, jestli námi navrˇzen´ y zp˚ usob v´ yuky matematiky na stˇredn´ı ˇskole vede ke zlepˇsen´ı v´ ysledk˚ u student˚ u u p´ısemné státn´ı maturity. Pˇredpokládali jsme, ˇze v´ ysledek student˚ u, na které jsme tuto metodu v´ yuky aplikovali, je náhodná veliˇcina X ∼ N (µ, 62 ). Na naˇsem souboru 9 pozorován´ı jsme namˇeˇrili pr˚ umˇernou hodnotu 24 bod˚ u, coˇz je oproti populaˇcn´ımu pr˚ umˇeru 20 bod˚ u zlepˇsen´ı. Z tˇechto u ´daj˚ u vypoˇc´ıtaná statistika Z se rovnala 2, coˇz by odpov´ıdalo dvoustranné p-hodnotˇe 0.0455. Nulovou hypotézu jsme zam´ıtli.

98

Nejsme vˇsak jedin´ı, kdo hledá cestu, jak vyuˇcovat matematiku efektivnˇeji. Pˇredpokládejme, ˇze jsme narazili na studii ze Spojen´ ych stát˚ u, jej´ıˇz autoˇri popisuj´ı ovˇeˇrován´ı u ´ˇcinnosti jiné metodiky v´ yuky matematiky, která také pˇrinesla velmi slibné v´ ysledky. Na reprezentativn´ım souboru 400 stˇredoˇskolák˚ u, kteˇr´ı byli novou metodou vyuˇcováni, byl sledován jejich v´ ysledek v testu SAT z matematiky. Tuhle zkouˇsku kaˇzd´ y rok absolvuj´ı ˇ V´ tis´ıce mlad´ ych Ameriˇcan˚ u a pln´ı podobnou u ´lohu, jako maturita v CR. ysledky tohoto testu jsou pˇrepoˇcteny tak, aby mˇely pr˚ umˇer 500 bod˚ u a smˇerodatnou odchylku 100 bod˚ u. Autoˇri studie uvád´ı pr˚ umˇer u sv´ ych pokusn´ ych osob 530 bod˚ u – tedy o 30 bod˚ u v´ıc, neˇz je oˇcekávána hodnota. Po dosazen´ı do vzorce vyjde testová statistka z =

530−500 √ 100/ 400

=

6. Vyˇc´ısl´ıme-li p-hodnotu, z´ıskáme ˇc´ıslo, které se tˇesnˇe bl´ıˇz´ı nule: 0.000000002 (v praxi bychom uvedli jen p < 0.001). Otázka zn´ı, která metodika vedla k v´ yraznˇejˇs´ımu zlepˇsen´ı? Pokud bychom srovnali velikosti u ´ˇcink˚ u pomoc´ı p-hodnoty, zahraniˇcn´ı studie by z toho vyˇsla daleko lépe (pˇrece jen, naˇsich bezmála 5 % m˚ uˇze tˇeˇzko konkurovat témˇeˇr nulové hodnotˇe). Ke stejnému závˇeru by nás vedlo pouˇzit´ı testové statistiky Z. Tento druh u ´vahy by vˇsak byl hrubou chybou. Statistické testy jsou konstruované tak, aby s rostouc´ım rozsahem v´ ybˇeru reagovaly na jakékoli odchylky citlivˇeji. Byla-li tedy jedna studie provedena na 9 lidech a druhá na ˇctyˇrech stovkách student˚ u, pak jsou z´ıskané p-hodnoty nesrovnatelné. Druhou cestou by mohlo b´ yt pˇr´ımé srovnán´ı poˇct˚ u bod˚ u, o které se studenti zlepˇsili. U ˇcesk´ ych to byly 4 body, u zahraniˇcn´ıch 30 bod˚ u. Takov´ yto postup by vˇsak byl stejnˇe nedomyˇslen´ y jako pˇredchoz´ı navrˇzen´ y. Tentokrát kv˚ uli tomu, ˇze body z r˚ uzn´ ych zkouˇsek nem˚ uˇzeme srovnávat. Kdybychom napˇr´ıklad vynásobili body z´ıskané u maturity u kaˇzdého ˇ stovkou, v´ studenta v CR ykon naˇsich dev´ıti pokusn´ ych osob by se nijak nezmˇenil, aˇc by rozd´ıl rázem ˇcinil 400 bod˚ u a ne jen 4. Problémy, jako je tento, ˇreˇs´ı takzvané ukazatele m´ıry u ´ˇ cinku (angl. effect size). Ukazatelem m´ıry u ´ˇcinku je libovolná statistika, která má tyto tˇri vlastnosti: • odráˇz´ı m´ıru poruˇsen´ı nulové hypotézy (tedy napˇr. velikost rozd´ılu, s´ılu závislosti atd.), • nen´ı ovlivnˇena velikost´ı souboru, • nen´ı ovlivnˇena jednotkami mˇeˇren´ı. Pro kaˇzd´ y statistick´ y test m˚ uˇzeme naj´ıt mnoho ukazatel˚ u, které maj´ı tyto vlastnosti. Obvykle je mezi sebou lze volnˇe pˇrevádˇet. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se zdá jako rozumné ˇreˇsen´ı spoˇc´ıtat rozd´ıl mezi oˇcekávan´ ym a skuteˇcn´ ym pr˚ umˇerem a ten pˇrevést do nˇejak´ ych standardn´ıch jednotek. Toto pˇreveden´ı provedeme tak, ˇze nalezen´ y rozd´ıl vydˇel´ıme smˇerodatnou odchylkou. M´ıru u ´ˇcinku pro jednov´ ybˇerov´ y Z-test, jak naˇsemu testu pomoc´ı statistiky

99

Z m˚ uˇzeme ˇr´ıkat, budeme znaˇcit d (jako diference) a vypoˇc´ıtáme ji d=

x¯ − µ . σ

Náˇs ukazatel tedy ˇr´ıká, o kolik smˇerodatn´ ych odchylek se studenti zlepˇsili (pˇr´ıpadnˇe zhorˇsili, pokud by vyˇslo záporné znaménko). Kdyˇz pouˇzijeme tento ukazatel na studie z naˇseho pˇr´ıkladu, zjist´ıme, ˇze dX =

dY =

24 − 20 = 0.¯6 , 6

530 − 500 = 0.3 . 100

Z v´ ysledku vycház´ı jednoznaˇcnˇe lépe naˇse metoda v´ yuky – zat´ımco se naˇsi studenti zlepˇsili ´ cinek naˇs´ı meo dvˇe tˇretiny smˇerodatné odchylky, zahraniˇcn´ı pouze o necelou tˇretinu. Uˇ tody je dle naˇsich v´ ysledk˚ u v´ıce neˇz dvojnásobn´ y. Pouˇzit´ı ukazatel˚ u m´ıry u ´ˇcinku je spolu s konfidenˇcn´ımi intervaly souˇcást´ı dobré praxe prezentován´ı v´ ysledk˚ u. Tyto ukazatele nám dávaj´ı pomˇernˇe jednoznaˇcnou informaci, a brán´ı tak zneuˇzit´ı statistiky, kdy pomoc´ı ménˇe jasn´ ych statistik m˚ uˇzeme vyvolat dojem, ˇze existuje urˇcit´ y efekt, kter´ y je ve skuteˇcnosti velmi slab´ y ˇci prakticky ˇzádn´ y. Pokud se tomuto nástroji autor studie vyh´ ybá, m˚ uˇze to znamenat bud’ to, ˇze se nám pokouˇs´ı zatajit skuteˇcnou s´ılu pozorovaného efektu, anebo jednoduˇse jeho znalosti neodpov´ıdaj´ı v´ yvoji vˇedy. Smutnou pravdou je to, ˇze tyto férové“ ukazatele si jen pomalu nacház´ı ” m´ısto ve statistick´ ych programech a ˇcasto nejsou automaticky zahrnuty ve v´ ystupu, kter´ y nám dan´ y software poskytuje. V tomto textu tento trend vˇsak budeme sledovat a základn´ı ukazatele m´ıry u ´ˇcinku budeme u pˇr´ısluˇsn´ ych test˚ u vˇzdy uvádˇet.

5.4

Parametrick´ e testy

Metoda, kterou jsme popsali v pˇr´ıkladu z pˇredeˇslé kapitoly, by patˇrila do bohaté rodiny takzvan´ ych parametrick´ ych test˚ u, respektive správnˇeji test˚ u parametrick´ ych hypotéz. Rozum´ı se t´ım to, ˇze pˇred t´ım, neˇz vypoˇc´ıtáme testovou statistiku, pˇrijmeme pˇredpoklad, ˇze náhodná veliˇcina, se kterou pracujeme, patˇr´ı do urˇcité známé rodiny rozdˇelen´ı. To nám umoˇzn ˇuje vztahovat hypotézy k jednotliv´ ym parametr˚ um tohoto rozdˇelen´ı. Pˇredpoklad, kter´ y budeme pˇrij´ımat nejˇcastˇeji, je to, ˇze zkoumané náhodné veliˇciny pocház´ı z normáln´ıho rozdˇelen´ı. Obecnˇe se vˇsak m˚ uˇze jednat i o jiné rodiny rozdˇelen´ı. Parametrické testy jsou mimoˇra´dnˇe citlivé a jejich v´ ysledky se snadno prezentuj´ı. Máme-li na vybranou, jsou proto pro nás nástroji prvn´ı volby.

100

5.4.1

Jednov´ ybˇ erov´ y t-test a p´ arov´ y t-test

Znovu se vrat’me k pˇr´ıkladu, kde jsme mluvili o metodˇe, jak na stˇredn´ı ˇskole vyuˇcovat matematiku. Formulovali jsme hypotézu o tom, ˇze studenti, kteˇr´ı byli vzdˇeláván´ı pomoc´ı námi navrˇzené metody, z´ıskávaj´ı u maturity z matematiky v´ıce bod˚ u neˇz je celkov´ y pr˚ umˇer v populaci student˚ u. Pˇredpokládali jsme, ˇze sledovaná promˇenná (poˇcet bod˚ u, které student vzdˇelávaný naˇs´ı metodou u maturity z´ıská, znaˇcme X) má normáln´ı rozdˇelen´ı s neznámou stˇredn´ı hodnotou, ale se známou smˇerodatnou odchylkou σ. U té jsme pˇredpokládali, ˇze je rovná smˇerodatné odchylce poˇctu bod˚ u ostatn´ıch student˚ u, coˇz bylo v naˇsem pˇr´ıpadˇe ˇc´ıslo 6. Z toho jsme odvodili, ˇze hodnotu testové statistiky Z z´ıskáme pomoc´ı vzorce z =

x ¯−µ √0 σ/ n

a ˇze má normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Tento postup nám m˚ uˇze pˇrinést nemal´ y uˇzitek, nicménˇe v praxi se Z-test, jak bychom test pomoc´ı statistiky Z mohli nazvat, pouˇz´ıvá jen zˇr´ıdka. Jeho nedostatkem je to, ˇze jen málokdy m˚ uˇzeme pˇrijmout pˇredpoklad, ˇze známe hodnotu σ 2 (respektive σ), tedy skuteˇcn´ y rozptyl zkoumané náhodné veliˇciny. Co se t´ yˇce naˇseho pˇr´ıkladu, tˇeˇzko bychom naˇsli argument, proˇc bychom mˇeli oˇcekávat, ˇze naˇse metoda uniformˇe zlepˇs´ı v´ ysledky student˚ u a pˇritom nijak nezmˇen´ı jejich rozmanitost. Tento problém ˇreˇs´ı t-test pro jeden v´ ybˇ er. Jeho logika je velmi podobná logice detailnˇe popsaného Z-testu, rozd´ıl je vˇsak v tom, ˇze m´ısto statistiky Z, vypoˇc´ıtáme statistiku T dle následuj´ıc´ıho vzorce: ¯ − µ0 X . T = S √

n

Vˇsimnˇete si, ˇze rozd´ıl je jen v tom, ˇze jsme p˚ uvodn´ı hodnotu parametru σ nahradili jej´ım odhadem S. Tedy v´ ybˇerovou smˇerodatnou odchylkou, kterou um´ıme z´ıskat uˇzit´ım vzorce q Pn 1 ¯ 2 cnosti je zde jeˇstˇe jeden rozd´ıl. Statistika T nemá S = i=1 (Xi − X) . Ve skuteˇ n−1 normáln´ı rozdˇelen´ı, ale Studentovo t rozdˇelen´ı s n − 1 stupni volnosti (kde n odpov´ıdá poˇctu pozorován´ı). Proˇc tomu tak je, jsme jiˇz odvodili v kontextu konfidenˇcn´ıch interval˚ u v kapitole (4.3.1). Struˇcnˇe naˇsi u ´vahu zopakujme. Studentovo t rozdˇelen´ı má dle definice kaˇzdá statistika, která vzniká jako pod´ıl dvou nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin ve tvaru N (0, 1) q . χ2ν ν

Symboly N (0, 1) a χ2 zde oznaˇcuj´ı nezávislé náhodné veliˇciny s pˇr´ısluˇsn´ ymi rozdˇelen´ımi pravdˇepodobnosti.

101

Plat´ı to i pro naˇsi statistiku T ? Snadno m˚ uˇzeme dokázat, ˇze ano. Vyjdeme ze tˇr´ı poznatk˚ u. Zaprvé v´ıme, ˇze pr˚ umˇer náhodn´ ych veliˇcin, které maj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı, má také normáln´ı rozdˇelen´ı, a z nˇej odvozená statistika Z, kterou jsme pouˇz´ıvali v jednov´ ybˇerovém Z-testu, má normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Z kapitoly (4.2.2) dále v´ıme to, ˇze v´ ybˇerov´ y rozptyl m˚ uˇzeme upravit takov´ ym zp˚ usobem, aby mˇel rozdˇelen´ı χ2 . Konkrétnˇe by ˇslo o tvar

S 2 ·(n−1) σ2

∼ χ2(n−1) . Nakonec potˇrebujeme vˇedˇet, ˇze obˇe tyto náhodné veliˇciny jsou

nezávislé, coˇz bohuˇzel sami dokázat neum´ıme, nicménˇe ted’ tento poznatek pˇrijmˇeme jako fakt. Dosazen´ım náhodn´ ych veliˇcin

¯ X−µ √0 σ/ n

a

s2 ·(n−1) σ2

do vzorce, kter´ ym jsme definovali stu-

dentovo t-rozdˇelen´ı, a u ´pravou v´ yrazu z´ıskáme vzorec pro v´ ypoˇcet testové statistiky t: ¯ X−µ

T =r

√σ n S 2 (n−1) σ2

¯ X−µ √σ

n =q =

S2 σ2

n−1

¯ −µ σ ¯ −µ X X = ∼ t(n−1) . · √σ √S S n n

M˚ uˇzeme tedy konstatovat, ˇze plat´ı T =

¯ − µ0 X √S n

∼ t(n−1) .

Veˇsker´ y dalˇs´ı postup je (s v´ yjimkou pouˇzit´ı t rozdˇelen´ı m´ısto normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı) shodn´ y s postupem uveden´ ym v pˇr´ıkladu pro Z-test. P-hodnotu bychom tedy z´ıskali z rozdˇelen´ı t(n−1) a v pˇr´ıpadˇe, ˇze bychom stanovovali kritick´ y obor, zvolili bychom pro oboustrannou hypotézu tento interval: W = − ∞, t α2 (n − 1) ∪ t1− α2 (n − 1), ∞ . Co se t´ yˇce ukazatele m´ıry u ´ˇcinku, opˇet ji pojmenujme d a vypoˇc´ıtejme analogicky jako v pˇr´ıpadˇe Z testu podle vzorce x¯ − µ0 . d= s I v tomto pˇr´ıpadˇe ji m˚ uˇzeme interpretovat jako poˇcet smˇerodatn´ ych odchylek, o které se pozorovan´ y pr˚ umˇer liˇs´ı od pr˚ umˇeru, kter´ y bychom oˇcekávali, kdyby platila nulová hypotéza. Pˇri prezentaci v´ ysledku t-testu pro jeden v´ ybˇer je vhodné uvést hodnotu testové statistiky, stupnˇe volnosti, p-hodnotu a m´ıru u ´ˇcinku. V textu by to mohlo zn´ıt napˇr´ıklad takto: Co se týˇce dimenze otevˇrenosti v˚ uˇci zkuˇsenosti, nem˚ uˇzeme soubor dobrovoln´ık˚ u povaˇzovat za reprezentativn´ı. Ve srovnán´ı s hodnotami uvádˇenými v testové pˇr´ıruˇcce jsme 102

Tabulka 6: V´ ysledky testu pozornosti pˇred a po absolvován´ı terapie tmou Klient

Prvn´ı mˇeˇren´ı (X)

Druhé mˇeˇren´ı (Y)

Zlepˇsen´ı (D)

1 2 3 4 5 6 7 8

36 49 51 60 49 38 39 56

53 45 64 58 55 53 40 66

17 -4 13 -2 6 15 1 10

pozorovali signifikantnˇe vyˇsˇs´ı skóre ve skupinˇe ˇzen (t(49) = 2.72, p < 0.01, d = 0.38) i ve skupinˇe m˚ uˇzu (t(19) = 2.77, p < 0.05, d = 0.62), kde byl rozd´ıl obzvláˇstˇe markantn´ı. Kromˇe t-testu pro jeden v´ ybˇer se ˇcasto setkáme s nˇekolika dalˇs´ımi metodami podobného jména. Takzvan´ y p´ arov´ y t-test neboli t-test pro dva z´ avisl´ e v´ ybˇ ery (matchedpairs t-test) de facto pˇredstavuje speciáln´ı pˇr´ıpad t-testu pro jeden v´ ybˇer. Uved’me tuto metodou na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu. Zkoumáme u ´ˇcinky takzvané terapie tmou – techniky, kdy jedinec podobu jednoho t´ ydne dobrovolnˇe proˇz´ıvá naprostou sociáln´ı i senzorickou izolaci v temné m´ıstnosti, do které mu pravidelnˇe nos´ı j´ıdlo. Zaj´ımá nás, jestli se nˇejak´ ym zp˚ usobem pobyt podep´ıˇse na kognitivn´ıch schopnostech klient˚ u, kteˇr´ı tuto techniku absolvuj´ı. Osmi dobrovoln´ık˚ um je pˇred pobytem ve tmˇe administrován Bourdon˚ uv test pozornosti. Krátce poté, co t´ yden ve tmˇe absolvuj´ı, je jim stejn´ y test administrován podruhé. Formulujeme oboustrannou alternativu, jelikoˇz existuj´ı pˇresvˇedˇcivé argumenty pro to, ˇze technika zlepˇs´ı v´ ykon jedince (klienti subjektivnˇe proˇz´ıvaj´ı ˇradu pozitivn´ıch zmˇen), i to, ˇze jej zhorˇs´ı (nucená senzorická deprivace vede k velmi nepˇr´ıjemn´ ym stav˚ um a u ´dajnému zhorˇsen´ı pozornosti). Pro kaˇzdého jedince tedy máme k dispozici dvˇe hodnoty, kaˇzdou z jednoho mˇeˇren´ı. Na prvn´ı pohled jde o odliˇsnou situaci neˇz v pˇr´ıpadˇe t-testu pro jeden v´ ybˇer. Analogii mezi obˇema metodami odhal´ıme ve chv´ıli, kdy formulujeme alternativn´ı a nulovou hypotézu. Oˇcekáváme, ˇze m´ıra zlepˇsen´ı (respektive zhorˇsen´ı) v´ ykonu v testu pozornosti se bude liˇsit od nuly. Nulová hypotéza naopak ˇr´ıká, ˇze toto zlepˇsen´ı bude v pr˚ umˇeru rovno nule. Intuitivnˇe k dvˇema sloupc˚ um s v´ ysledky test˚ u pˇridáme tˇret´ı sloupec, ve kterém bude rozd´ıl poˇctu bod˚ u v druhém testu m´ınus poˇcet bod˚ u v prvn´ım testu. Nazvˇeme jej zlepˇsen´ı a oznaˇcme p´ısmenem D. Z´ıskané hodnoty shrnuje tabulka (6). P˚ uvodn´ı dva sloupce namˇeˇren´ ych hodnot do v´ ypoˇctu jiˇz nadále nebudou vstupovat. Budeme pracovat pouze se sloupcem zjiˇstˇen´ ych rozd´ıl˚ u. Dˇr´ıve, neˇz sáhneme po t-testu, mus´ıme pˇrijmout pˇredpoklad, ˇze se jedná o náhodnou veliˇcinu s normáln´ım rozdˇelen´ım

103

pravdˇepodobnosti, tedy D ∼ N (µD , σD2 ). Pokud tento pˇredpoklad m˚ uˇzeme pˇrijmout, pak mezi alternativou a nulovou hypotézou HA : µD 6= 0,

H0 : µD = 0,

rozhodneme pomoc´ı t-testu pro jeden v´ ybˇer. V naˇsem pˇr´ıpadˇe bychom pozorovali pr˚ umˇerné ¯ = 7.0 se smˇerodatnou odchylkou sD = 8.0 pˇri osmi (párov´ zlepˇsen´ı D ych) pozorován´ı. Dosád´ıme-li do vzorce pro jednov´ ybˇerov´ y t-test: t=

¯ − µD0 D sD √ n

=

7.0 − 0 8.0 √ 8

= 2.47

Z distribuˇcn´ı funkce Studentova t-rozdˇelen´ı z´ıskáme pravdˇepodobnost 1 − Ft (2.47) = 0.021, kterou vynásob´ıme dvˇema, jelikoˇz se jedná o dvoustrannou alternativu. Hodnota 0.043 je niˇzˇs´ı neˇz stanovená hladina v´ yznamnosti α = 0.05, a tedy m˚ uˇzeme zam´ıtnout nulovou hypotézu a konstatovat, ˇze jsme pozorovali signifikantn´ı zlepˇsen´ı ve v´ ysledc´ıch testu. Urˇcitá odliˇsnost m˚ uˇze nastat pˇri stanovován´ı m´ıry u ´ˇcinku. Zvolit lze klasick´ y postup, kter´ y jsme pouˇzili u t-testu pro jeden v´ ybˇer. V naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy d=

¯ − µD0 D 7.0 − 0 = = 0.875. sD 8.0

Mohli bychom vˇsak nam´ıtnout, jestli bylo vhodné pouˇz´ıt smˇerodatnou odchylku vypoˇc´ıtanou na sloupci zlepˇsen´ı (D), která kvantifikuje rozmanitost u ´ˇcinku techniky. Své opodstatnˇen´ı by totiˇz mohla m´ıt i smˇerodatná odchylka vypoˇc´ıtaná na hodnotách prvn´ıho mˇeˇren´ı (X), jelikoˇz ta vyjadˇruje rozmanitost sledovaného znaku v naˇsem souboru pˇred naˇsim zákrokem. Pokud bychom ˇsli touto cestou, z´ıskali bychom m´ıru u ´ˇcinku: d=

¯ − µD0 D 7.0 − 0 = 0.797. = sX 8.78

ˇ eji se pouˇz´ıvá prvn´ı varianta. V pˇr´ıpadˇe, ˇze sáhneme po druhé, je vhodné na to Castˇ ˇctenáˇre upozornit a své rozhodnut´ı zd˚ uvodnit. 5.4.2

T-test pro dva nez´ avisl´ e v´ ybˇ ery a Welch˚ uv test

ˇ Rada v´ yzkumn´ ych design˚ u párová mˇeˇren´ı neumoˇzn ˇuje. Pˇredstavme si tˇreba, ˇze si pokládáme otázku, jestli se u lid´ı, kteˇr´ı v posledn´ım roce prodˇelali autonehodu, ˇcastˇeji vyskytuj´ı noˇcn´ı m˚ ury neˇz u tˇech, kter´ ym se nic takového nestalo. Pokud bychom chtˇeli pouˇz´ıt párov´ y test, nejsp´ıˇs bychom zmˇeˇrili v´ yskyt noˇcn´ıch m˚ ur u skupiny lid´ı, kteˇr´ı autonehodu 104

neprodˇelali, pak bychom se jim museli vloupat do garáˇze, poˇskodit brzdy na autˇe a za nˇejakou dobu bychom provedli druhé mˇeˇren´ı. Takov´ y design by vˇsak zˇrejmˇe ˇzádná etická komise neschválila. A to jeˇstˇe neuvaˇzujeme designy, které by mˇely za u ´kol srovnávat tˇreba muˇze a ˇzeny. Tyto pˇr´ıpady ˇreˇs´ı t-test pro dva nezávislé v´ ybˇery. Jak název napov´ıdá, budeme pracovat s dvˇema náhodn´ ymi v´ ybˇery, které jsou nezávislé – mus´ı tedy platit nejen to, ˇze uvnitˇr kaˇzdého v´ ybˇeru jsou jednotlivá mˇeˇren´ı nezávislá, ale tato podm´ınka mus´ı b´ yt splnˇena napˇr´ıˇc obˇema skupinami. Typicky by se mohlo jednat o hodnoty, které jsme namˇeˇrili na dvou skupinách (náhodnˇe vybran´ ych) lid´ı. Kromˇe nezávislosti tento druh t-testu vycház´ı z nˇekolika dalˇs´ıch pˇredpoklad˚ u. Pokud sledovanou náhodnou veliˇcinu v prvn´ım souboru o rozsahu n pozorován´ı pojmenujeme X a v druhém souboru o m pozorován´ı Y , pak bychom poˇzadovali, aby platilo X ∼ N (µX , σ 2 ),

Y ∼ N (µY , σ 2 ).

Pˇredpokládáme tedy, ˇze sledované náhodné veliˇciny v prvn´ım i druhém souboru maj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı s neznám´ ymi stˇredn´ımi hodnotami a neznám´ ymi rozptyly. Pro rozptyly vˇsak mus´ı platit to, ˇze aˇc jejich velikost neznáme, tak jsou u veliˇciny X i Y stejné. Oboustranná alternativn´ı a nulová hypotéza bude zn´ıt HA : µX 6= µY

H0 : µX = µY .

¯ a Y¯ , jejichˇz vlastPˇri tvorbˇe testové statistiky vyjdeme opˇet z aritmetick´ ych pr˚ umˇer˚ uX ¯ ∼ N µX , 1 σ 2 a nosti dobˇre známe. Pokud jsme dodrˇzeli vˇsechny pˇredpoklady, v´ıme ˇze X n 1 2 ¯ Y ∼ N µY , m σ . Za platnosti nulové hypotézy (tedy kdyˇz µX = µY ) by pak pro náhodnou ¯ − Y¯ platilo veliˇcinu X ¯ − Y¯ ∼ N X

1 1 µX − µY , σ 2 + σ 2 n m

1 1 2 ∼ N 0, σ · + n m

Pokud bychom znali hodnotu parametru σ 2 , mohli bychom ted’ v´ yklad ukonˇcit a odkázat se na tabulku s hodnotami normáln´ıho rozdˇelen´ı, jelikoˇz obecnˇe normán´ı rozdˇelen´ı dokáˇzeme transformovat na normované normáln´ı rozdˇelen´ı odeˇcten´ım stˇredn´ı hodnoty a vydˇelen´ım smˇerodatnou odchylkou. Hodnota σ 2 je vˇsak neznámá a my ji potˇrebujeme odhadnout. Rozptyl tradiˇcnˇe odhadujeme pomoc´ı v´ ybˇerového rozptylu a ani zde tomu nebude jinak. Máme vˇsak k dispozici dva soubory, otázkou proto je, jak z nich z´ıskat jedin´ y odhad rozptylu. To, co by nás zˇrejmˇe napadlo jako prvn´ı, a ukáˇze se to b´ yt velmi ˇspatn´ ym nápadem, je oba soubory slouˇcit a spoˇc´ıtat odhad rozptylu na vˇsech hodnotách X a Y dohromady bez ohledu na skupinu. Zádrhel je vˇsak v tom, ˇze tento odhad rozptylu by sice 105

zohledˇ noval rozmanitost v prvn´ı a v druhé skupinˇe (coˇz chceme), ale také rozd´ılnost obou skupin (coˇz necheme). Pˇredstavme si, ˇze máme dva maliˇcké soubory, kaˇzd´ y o tˇrech hodnotách. V prvn´ı trojici jsou hodnoty 2, 3, 4 a v druhé 102, 103, 104. Kdyˇz spoˇc´ıtáme v´ ybˇerov´ y rozptyl pro prvn´ı a pak pro druhou skupinu, najdeme v obou pˇr´ıpadech hodnotu 1. Nejpˇresnˇejˇs´ım odhadem by byla tedy jedniˇcka. Pokud bychom vˇsak obˇe skupiny slouˇcili (2, 3, 4, 102, 103, 104), z´ıskáme pˇremrˇstˇen´ y odhad rozptylu nˇeco pˇres 3000. Je tedy zjevné, ˇze tento postup ˇzalostnˇe selhává. Správn´ ym ˇreˇsen´ım by bylo spoˇc´ıtat odhady rozptylu pro prvn´ı a druhou skupinu zvláˇst’ a celkov´ y odhad z´ıskat jako váˇzen´ y pr˚ umˇer tˇechto odhad˚ u. Jako váhy nepouˇzijeme rozsahy soubor˚ u, ale stupnˇe volnosti, které jsme vyuˇz´ıvali pˇri v´ ypoˇctu rozptylu, tedy n−1 a m−1. Spoleˇcn´ y odhad rozptylu (znaˇcme S∗2 ) pak spoˇc´ıtáme z odhad˚ u rozptyl˚ u jednotliv´ ych skupin SX2 a SY2 jako S∗2 =

SX2 · (n − 1) + SY2 · (m − 1) . n+m−2

Je zjevné, ˇze pokud jsou soubory stejného rozsahu, m˚ uˇzeme odhady rozptylu jednoduˇse zpr˚ umˇerovat bez váˇzen´ı. Pro spoleˇcn´ y odhad rozptylu plat´ı

S∗2 (n+m−2) σ2

´vahy je jiˇz velmi ∼ χ2(n+m−2) . Zbytek u

jednoduch´ y a je analogi´ı k postupu, kter´ y jsme pouˇzili pˇri odvozen´ı jednov´ ybˇerového t2 ¯ − Y¯ s normáln´ım rozdˇelen´ım a veliˇcinu S , z n´ıˇz m˚ uˇzeme testu. Náhodnou veliˇcinu X ∗ z´ıskat rozdˇelen´ı χ2(n+m−2) , zkombinujeme v testové statistice T , která má Studentovo t rozdˇelen´ı s n + m − 2 stupni volnosti. Nalezená testová statistika má tedy podobu T =

¯ − Y¯ X q S∗ · n1 +

1 m

∼ t(n+m−2) .

Test opˇet m˚ uˇzeme pouˇz´ıt v pˇr´ıpadˇe jak jednostrann´ ych tak dvoustrann´ ych alternativn´ıch hypotéz. Kritick´ y obor bychom pro dvoustrannou alternativu stanovili jako − ∞, t α2 (n + m − 2) ∪ t1− α2 (n + m − 2), ∞ . Zmiˇ nme jeˇstˇe dva poznatky, které sice vypl´ yvaj´ı z v´ yˇse uvedeného, nicménˇe ˇcasto bud´ı ve studentech nejistotu: • T-test pro dva nezávislé v´ ybˇery lze pouˇz´ıt na v´ ybˇery o libovolnˇe malém rozsahu (samozˇrejmˇe za pˇredpokladu, ˇze dokáˇzeme spoˇc´ıtat v´ ybˇerov´ y rozptyl, tedy alespoˇ n dvˇe pozorován´ı v kaˇzdém souboru potˇrebujeme). Limity, na které naráˇz´ıme, by se net´ ykaly metody jako takové, ale sp´ıˇs metodologie (tzn. m˚ uˇze b´ yt tak mal´ y soubor reprezentativn´ı?) a klesaj´ıc´ı s´ıly testu (viz kapitola 5.5). 106

• Soubory, se kter´ ymi pracujeme, nemus´ı b´ yt nutnˇe stejnˇe velké. Je nicménˇe pravdou, ˇze pokud máme k dispozici napˇr´ıklad 100 mˇeˇren´ı, tak test bude spolehlivˇejˇs´ı, pokud budou rozdˇeleny v pomˇeru 50 a 50 pˇr´ıpad˚ u neˇz tˇreba 90 a 10. Rozd´ıl vˇsak nebude citeln´ y vyjma pˇr´ıpad˚ u extrémnˇe nevyváˇzen´ ych skupin (napˇr. 3 a 97).

Ukazatelem m´ıry u ´ˇcinku pro t-test pro dva nezávislé v´ ybˇery je takzvané Cohenovo d nesouc´ı jméno psychometrika a pr˚ ukopn´ıka mˇer u ´ˇcinku Jacoba Cohena. Logika tohoto ukazatele je pˇresnˇe stejná jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech. Spoˇc´ıtáme rozd´ıl mezi pr˚ umˇery obou skupin a standardizujeme jej pomoc´ı (spoleˇcné) smˇerodatné odchylky S∗2 . Vzorec pro jeho v´ ypoˇcet by tedy vypadal následovnˇe22 : d=

x¯ − y¯ . s∗

Statistické programy standardnˇe Cohenovo d neuvád´ı. Chceme-li zpˇetnˇe dopoˇc´ıtat jeho hodnotu, m˚ uˇzeme ji z´ıskat pˇr´ımo ze statistiky t a rozsah˚ u soubor˚ u n a m pomoc´ı vztahu23 r d=t·

1 1 + . n m

Kdyˇz jsme odvozovali t-test pro dva nezávislé v´ ybˇery, pˇredpokládali jsme kromˇe nezávislosti jednotliv´ ych mˇeˇren´ı také normáln´ı rozdˇelen´ı náhodn´ ych veliˇcin a to, ˇze maj´ı stejn´ y rozptyl. Posledn´ı zmiˇ novanou podm´ınku se nám vˇsak ˇcasto nedaˇr´ı dodrˇzet. Zejména tehdy, kdyˇz provád´ıme urˇcitou intervenci a srovnáváme jej´ı dopad v kontroln´ı a experimentáln´ı skupinˇe, ˇcasto pozorujeme zv´ yˇsen´ı rozptylu v experimentáln´ı skupinˇe. Tyto nedostatky ˇreˇs´ı Welch˚ uv test znám´ y téˇz pod názvem t-test pro dva nez´ avisl´ e v´ ybˇ ery bez pˇ redpokladu stejn´ ych rozptyl˚ u. Pˇri jeho odvozen´ı vyjdeme z velmi podobn´ ych pˇredpoklad˚ u jako u t-testu pro dva nezávislé v´ ybˇery: X ∼ N (µX , σX2 ),

Y ∼ N (µY , σY2 ).

Rozd´ıl je pouze v tom, ˇze nemus´ı nutnˇe platit tvrzen´ı σX2 = σY2 , tedy náhodné veliˇciny v jedné a druhé skupinˇe m˚ uˇzou b´ yt r˚ uznˇe variabiln´ı. Testovou statistiku opˇet odvod´ıme 22 Aby situace nebyla tak jednoduch´ a, v literatuˇre naráˇz´ıme na nˇekolik dalˇs´ıch variant této statistiky. Jde zejména oqzp˚ usob, jak´ ym poˇc´ıtat spoleˇcnou smˇerodatnou odchylku. Nˇekteˇr´ı autoˇri ji poˇc´ıtaj´ı podle SX2 ·(n−1)+SY2 ·(m−1) vzorce S∗ = , kter´ y vede k pˇresnˇejˇs´ımu avˇsak vych´ ylenému odhadu parametru σ. n+m Abychom vˇsak byli konzistentn´ı se vzorcem pro v´ ypoˇcet t-testu a také zbytkem tohoto textu, budeme pouˇz´ıvat nevych´ ylen´ y odhad (v´ıc o takzvan´ v´ ybˇerovém a populaˇcn´ım rozptylu viz 4.2.2). Tu a tam q 2 em SX +SY2 m˚ uˇzeme také zahlédnout vzorec S∗ = . Ten by vedl ke správnému v´ ysledku pouze tehdy, pokud 2 by obˇe srovn´ avané skupiny mˇely stejn´ y rozsah. 23 ˇ Cten´ aˇri nedoporuˇcujeme pro pˇrevod t na d pouˇz´ıvat online kalkulátory. Velmi ˇcasto nejsou autoˇri konzistentn´ı s definic´ı m´ıry u ´ˇcinku, kterou sami uvád´ı, a ˇcasto vol´ı pˇribliˇzné metody. Setkáváme se 2t , jej´ıˇz logiku ani p˚ uvod se nepodaˇrilo autorovi tˇechto skript vypátrat. napˇr´ıklad s formul´ı d = √n+m−2

107

¯ ∼ N µX , 1 σ 2 a Y¯ ∼ N µY , 1 σ 2 . z rozd´ıl˚ u aritmetick´ ych pr˚ umˇer˚ u, pro které plat´ı X X Y n m Budeme-li pˇredpokládat platnost nulové hypotézy (H0 : µX = µY ), pak zjist´ıme, ˇze σ2 σ2 1 2 1 2 ¯ ¯ X − Y ∼ N µX − µY , σX + σY ∼ N 0, X + Y . n m n m Stejnˇe jako v minulém pˇr´ıpadˇe z rozd´ılu pr˚ umˇer˚ u a odhadu jejich rozptylu vytvoˇr´ıme testovou statistiku, která má Studentovo t rozdˇelen´ı s ν stupni volnosti: ¯ − Y¯ X T =q 2 ∼ tν . SX SY2 + n m Urˇcitou komplikac´ı je stanoven´ı poˇctu stupˇ n˚ u volnosti ν. Pouˇz´ıváme k tomu pomˇernˇe krkolomn´ y odhad SY2 2 SX2 + ν = S2 n2 mS2 2 . X n

n−1

+

Y m

m−1

Dále pracujeme s Welchov´ ym testem stejn´ ym zp˚ usobem jako s t-testem pro dva nezávislé v´ ybˇery. Welch˚ uv test nen´ı tak populárn´ı jako t-test. D˚ uvody nejsou zcela jasné – za dodrˇzen´ı vˇsech pˇredpoklad˚ u je sice t-test zanedbatelnˇe silnˇejˇs´ı, Welch˚ uv test je vˇsak robustnˇejˇs´ı a ˇ nen´ı svázán ˇcasto poruˇsovanou podm´ınkou stejn´ ych rozptyl˚ u. Rada statistik˚ u se pˇriklán´ı k názoru, ˇze Welch˚ uv test by mˇel b´ yt testem prvn´ı volby a t-test jen speciáln´ım pˇr´ıpadem, kter´ y pouˇz´ıváme tehdy, kdyˇz si jsme jist´ı shodou rozptyl˚ u (nebo kdyˇz máme stejnˇe rozsáhlé soubory – tehdy nen´ı ani t-test ovlivnˇen´ y rozd´ıln´ ymi rozptyly). Ve skuteˇcnosti má Welch˚ uv test jeˇstˇe jeden nedostatek, kter´ y se vˇsak v praxi nijak neprojevuje. Na rozd´ıl od t-testu se jedná o pˇribliˇzn´ y test a nalezená p-hodnota nen´ı matematicky zcela pˇresná. V pˇr´ıpadˇe, ˇze bychom chtˇeli uvést m´ıru u ´ˇcinku pro rozd´ıl mezi pr˚ umˇery dvou nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u s rozd´ıln´ ymi rozptyly, m˚ uˇzeme opˇet pouˇz´ıt Cohenovo d. M˚ uˇzeme se t´ım vˇsak dopustit urˇcitého zkreslen´ı, jelikoˇz pˇri v´ ypoˇctu pˇredpokládáme shodu rozptyl˚ u. Vhodnou alternativou by mohla b´ yt statistika s názvem Glassova ∆ (delta). Logika tohoto ukazatele i jeho intepretace je stejná jako u Cohenova d, m´ısto spoleˇcné smˇerodatné odchylky vˇsak pouˇzijeme smˇerodatnou odchylku z jediné skupiny, obvyklé té, kterou oznaˇcujeme za kontroln´ı (tedy SY ). Vzorec pro v´ ypoˇcet by tedy vypadal následovnˇe: ∆=

¯ − Y¯ X . SY

108

5.4.3

Test rozptylu a F-test

Ne vˇzdy nás zaj´ımaj´ı pouze stˇredn´ı hodnoty náhodn´ ych veliˇcin, s nimiˇz pracujeme. Nˇekteré hypotézy, které pˇri v´ yzkumu formulujeme, se t´ ykaj´ı dalˇs´ıch charakteristik náhodn´ ych veliˇcin. V této kapitole se seznám´ıme s pˇr´ıpady, jak testovat hypotézy t´ ykaj´ıc´ı se rozptylu náhodn´ ych veliˇcin s normáln´ım rozdˇelen´ım. Zaˇcnˇeme od pomˇernˇe prostého pˇr´ıpadu, kdy chceme rozhodnout, jestli má náhodná veliˇcina X rozptyl roven nˇejaké stanovené hodnotˇe σ02 . Pracovali bychom tedy s následuj´ıc´ı alternativou a nulovou hypotézou: HA : σ 2 6= σ02 ,

H0 : σ 2 = σ02 .

Situace se v´ yraznˇe zjednoduˇs´ı, pokud známe tvar rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny X. Budeme pˇredpokládat, ˇze X ∼ N (µ, σ 2 ). Testovou statistiku odvod´ıme z v´ ybˇerového rozptylu P 2 1 ¯ 2 S 2 = n−1 sli k poznatku, ˇze v´ ybˇerov´ y rozptyl i=1 (Xi − X) . V kapitole (4.3.1) jsme doˇ za daného pˇredpokladu po vynásoben´ı stupni volnosti a vydˇelen´ı skuteˇcn´ ym rozptylem má rozdˇelen´ı χ2n−1 . Rozdˇelen´ı χ2 je nám známé a hodnoty jeho distribuˇcn´ı funkce jsou k dispozici. Jako testovou statistiku V tedy m˚ uˇzeme pouˇz´ıt tvar V =

S 2 (n − 1) ∼ χ2(n−1) . σ02

Pro v´ ypoˇcet p-hodnoty bychom pouˇzili rozdˇelen´ı χ2 a kritické obory bychom stanovili jako 0, χ2α (n − 1) ∪ χ21− α (n − 1), ∞ . 2

2

Tento test nejsp´ıˇs nevyuˇzijeme pˇr´ıliˇs ˇcasto, zmiˇ nujeme jej sp´ıˇse pro u ´plnost. Sáhli bychom po nˇem tˇreba tehdy, kdyˇz bychom si kladli otázku, jestli ˇzaći základn´ı ˇskoly pro nadané dˇeti maj´ı stejnˇe rozmanité IQ jako bˇeˇzná populace (tedy σ0 = 15). Za ukazatel m´ıry u ´ˇcinku bychom mohli zvolit pomˇer pozorované smˇerodatné odchylky a oˇcekávané smˇerodatné odchylky, tedy

S . σ0

Mnohem ˇcastˇeji naráˇz´ıme na problém, kdy chceme srovnat rozptyly u dvou nezávisl´ ych náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u. Za pˇredpokladu, ˇze náhodné veliˇciny, s nimiˇz pracujeme, maj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt Fisher˚ uv F test. Pˇri konstrukci testové statistiky vyjdeme z v´ ybˇerov´ ych rozptyl˚ u SX2 a SY2 (p´ısmeny X a Y znaˇcme náhodné veliˇciny v prvn´ım a druhém v´ ybˇeru o rozsaz´ıch n a m). Nulová hypotéza, jej´ıˇz platnost budeme testovat, a oboustranná alternativa by znˇely HA : σX2 6= σY2

H0 : σX2 = σY2 .

Na rozd´ıl od test˚ u stˇredn´ı hodnoty se vˇsak nebudeme tázat, o kolik se od sebe rozptyly liˇs´ı, ale kolikrát je jeden vˇetˇs´ı (menˇs´ı) neˇz ten druh´ y. K dispozici máme dvˇe nezávislé 109

náhodné veliˇciny, které maj´ı rozdˇelen´ı χ2 . Vrát´ıme-li se ke kapitole (2.7), kde shrnujeme spojitá rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, zjist´ıme, ˇze vhodn´ ym kandidátem pro rozdˇelen´ı testové statistiky je Fisherovo F rozdˇelen´ı definované jako

χ2ν /ν . χ2ϕ /ϕ

Podobu testové statistiky

z´ıskáme tak, ˇze do této definice dosad´ıme veliˇciny VX a VY (viz v´ yˇse):

F =

χ2ν ν χ2ϕ ϕ

=

VX n−1 VY m−1

2 (n−1) SX σ2

=

n−1 S 2 (m−1) Y σ2

=

SX2 ∼ Fn−1,m−1 . SY2

m−1

Zjistili jsme tedy, ˇze pod´ıl dvou nezávisl´ ych v´ ybˇerov´ ych rozptyl˚ u má rozdˇelen´ı F. Testová statistika bude m´ıt proto nezvykle jednoduch´ y tvar SX2 F = 2 ∼ Fn−1,m−1 SY Pro stanoven´ı p-hodnoty bychom tedy vyuˇzili F rozdˇelen´ı s n − 1 a m − 1 stupni volnosti (poˇrad´ı stupˇ n˚ u volnosti nejde zamˇenit, prvn´ı hodnota vˇzdy patˇr´ı k ˇcitateli a druhá ke jmenovateli). Kritick´ y obor pro oboustrannou alternativu má tvar W = (0, F α2 (n−1,m−1) ] ∪ [F1− α2 (n−1,m−1) , ∞). Pro F test se bˇeˇznˇe neuvád´ı ˇza´dn´ y ukazatel m´ıry u ´ˇcinku. D˚ uvodem m˚ uˇze b´ yt to, ˇze tento test samostatnˇe vyuˇz´ıváme jen zˇr´ıdka – ke slovu ˇcastˇeji pˇricház´ı pˇri práci s lineárn´ımi modely, které maj´ı vlastn´ı m´ıry u ´ˇcinku. Pokud nutnˇe nˇejak´ y ukazatel m´ıry u ´ˇcinku potˇrebujeme, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt samotnou statistuku F (tzn. pomˇer rozptyl˚ u) nebo jej´ı odmocninu (pomˇer smˇerodatn´ ych odchylek), coˇz je pro ˇclovˇeka zˇrejmˇe intuitivnˇejˇs´ı varianta. V ˇradˇe text˚ u najdeme doporuˇcen´ı pouˇz´ıvat F test pˇri rozhodován´ı mezi t-testem pro dva nezávislé v´ ybˇery a Welchov´ ym testem. Logika by byla taková, ˇze kdyˇz pomoc´ı F testu zam´ıtneme hypotézu o shodˇe rozptyl˚ u, sáhneme po Welchovˇe testu, pokud k zam´ıtnut´ı nedojde, pouˇzijeme t-test. Navzdory tradici tento postup nelze ˇctenáˇri pauˇsa´lnˇe doporuˇcit, a to hned ze dvou d˚ uvod˚ u. Prvn´ı je ten, ˇze F test je mimoˇrádnˇe náchyln´ y na poruˇsen´ı pˇredpokladu normáln´ıho rozdˇelen´ı (vzpomeˇ nme, jak citlivˇe reaguje rozptyl na pˇr´ıtomnost outlier˚ u). Tento problém by bylo moˇzné pˇrekonat pomoc´ı o poznán´ı robustnˇejˇs´ıho Leveneova testu (viz 5.4.5). Závaˇznˇejˇs´ı je vˇsak námitka pramen´ıc´ı ze samotné logiky testován´ı nulov´ ych hypotéz. F test nám dá odpovˇed’ bud’ existuje rozd´ıl v rozptylech“ nebo ” nev´ıme“. Odpovˇed’ nev´ıme“ bychom tedy chápali jako d˚ ukaz o shodˇe rozptyl˚ u, kter´ y ” ” ospravedlˇ nuje pouˇzit´ı t-testu. Jak moc se tento postup pˇr´ıˇc´ı logice, necháme na posouzen´ı samotného ˇctenáˇre, pravdou vˇsak je, ˇze ˇrada simulaˇcn´ıch studi´ı docház´ı k závˇeru, ˇze v pˇr´ıpadˇe nejistoty je nejlepˇs´ı cestou neprovádˇet F test, ale sáhnout rovnou po Welchovˇe testu. 110

5.4.4

Testy korelaˇ cn´ıho koeficientu

V´ yzkumné hypotézy se ˇcasto t´ ykaj´ı nejen rozd´ıl˚ u mezi skupinami, ale i souvislost´ı mezi sledovan´ ymi veliˇcinami. M˚ uˇzeme tˇreba zkoumat, jestli s poˇctem ujet´ ych kilometr˚ u vol´ı ˇridiˇc bezpeˇcnˇejˇs´ı styl j´ızdy, jestli se vˇetˇs´ı emoˇcn´ı stabilita prom´ıtne na polygrafu niˇzˇs´ı tˇelesnou reakc´ı na stresor, nebo jestli dˇeti, které konzumuj´ı v´ıce cukru, maj´ı vˇetˇs´ı problémy udrˇzet pozornost. M´ıru závislosti mezi dvˇema kvantitativn´ımi znaky jsme se v kapitole (3.7.2) nauˇcili vyˇc´ıslit pomoc´ı Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu. Budeme-li mˇeˇren´ı opakovat, zjist´ıme, ˇze odhad korelaˇcn´ıho koeficientu náhodnˇe kol´ısá, a bezesporu tedy jde o náhodnou veliˇcinu, která má urˇcité rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti. Toto rozdˇelen´ı nepatˇr´ı mezi ˇza´dné z nám d˚ uvˇernˇe znám´ ych rozdˇelen´ı, existuj´ı vˇsak hned dva zp˚ usoby, jak jej na známé rozdˇelen´ı transformovat. Prvn´ı a nejˇcastˇeji pouˇz´ıvanou metodou je test korelaˇ cn´ıho koeficientu pomoc´ı t distribuce. Mˇejme nulovou hypotézu H0 : ρ = 0 a alternativu HA : ρ 6= 0, kde ρ pˇredstavuje skuteˇcnou hodnotu korelaˇcn´ıho koeficientu náhodn´ ych veliˇcin. Za platnosti nulové hypotézy a pˇredpokladu normáln´ıho rozdˇelen´ı sledovan´ ych veliˇcin plat´ı vztah √ R n − 2 ∼ tn−2 . T =√ 1 − R2 Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient namˇeˇren´ y na n párech hodnot m˚ uˇzeme tedy pˇrevést na statistiku T , která má Studentovo t rozdˇelen´ı s n − 2 stupni volnosti. Toto tvrzen´ı bohuˇzel s naˇsimi znalostmi neum´ıme dokázat. Vˇsimnˇete si, ˇze k v´ ypoˇctu p-hodnoty staˇc´ı (kromˇe tabulek) jen znalost Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu r a rozsahu souboru n. D´ıky tomu bychom mohli rovnou tabelovat kritické hodnoty pro hodnotu r pˇri daném rozsahu souboru, ˇcehoˇz se pˇred nástupem poˇc´ıtaˇc˚ u hojnˇe vyuˇz´ıvalo. Kritick´ y obor pro dvoustrannou hypotézu m˚ uˇzeme stanovit jako W = (−∞, t α2 (n − 2)] ∪ [t1− α2 (n − 2), ∞). Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient sám o sobˇe splˇ nuje poˇzadavky pro m´ıru u ´ˇcinku. Pˇr´ıpadnˇe jej m˚ uˇzeme pˇrevést na takzvan´ y koeficient determinance, kter´ y vypoˇc´ıtáme jako druhou mocninu korelaˇcn´ıho koeficientu, tedy r2 . Tento ukazatel má pomˇernˇe elegantn´ı definici – znaˇc´ı procento rozptylu, které spolu korelované veliˇciny sd´ıl´ı. Jeho hodnota m˚ uˇze pochopitelnˇe kol´ısat od 0 do 1. V´ yˇse uvedené poznatky plat´ı beze zmˇeny i pro bodovˇe-biseriáln´ı korelaˇcn´ı koeficient, kter´ y poˇc´ıtáme na jedné dichotomické a jedné metrické promˇenné. Na stejn´ y problém se tak m˚ uˇzeme d´ıvat ze dvou u ´hl˚ u – jako na rozd´ıl mezi dvˇema skupinami nebo jako na souvislost mezi dvˇema promˇenn´ ymi. Stejnou hypotézu tedy m˚ uˇzeme ovˇeˇrovat pomoc´ı dvou statistick´ ych test˚ u vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch rozdˇelen´ı t – t-testu pro dva nezávislé v´ ybˇery a 111

testu Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu. Hodnota t i z n´ı odvozená p-hodnota bude pro oba pˇr´ıpady stejná. Z toho plyne zaj´ımav´ y postˇreh a to, ˇze t, r a Cohenovo d m˚ uˇzeme mezi sebou volnˇe pˇrevádˇet24 . Prezentujeme-li v´ ysledky testu Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu pomoc´ı statistiky T , obvykle uvád´ıme jen hodnotu r, stupnˇe volnosti a p-hodnotu. Napˇr.: Obˇe vedlejˇs´ı ˇskály dotazn´ıku jsou silnˇe korelované, r(48) = 0.71, p < 0.001. Druhá metoda testován´ı v´ yznamnosti Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu vyuˇz´ıvá Fisherovu transformaci r na z (angl. r-to-z transformation). Tato transformace nám umoˇzn ˇuje pˇrevést náhodnou veliˇcinu R na veliˇcinu Z s normáln´ım rozdˇelen´ım dle vztahu 1 1+R 1 1+ρ 1 Z = ln ∼N ln , , 2 1−R 2 1−ρ n−3 kde ln oznaˇcuje pˇrirozen´ y logaritmus. V pˇr´ıpadˇe, ˇze plat´ı nulová hypotéza (tedy ρ0 = 0), pak má veliˇcina r rozdˇelen´ı Z ∼ N 0,

1 . n−3

Z tohoto vztahu snadno odvod´ıme testovou statistiku U : Z U=q

√ = Z n − 3 ∼ N (0, 1),

1 n−3

z n´ıˇz z´ıskáme p-hodnotu pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı. Test pomoc´ı Fisherovy transformace je jen pˇribliˇzn´ y. Náhodná veliˇcina Z nemá zcela pˇresnˇe normáln´ı rozdˇelen´ı, s rostouc´ım rozsahem v´ ybˇeru se k nˇemu vˇsak pˇribliˇzuje. Pro malé soubory a v pˇr´ıpadech, kdy se korelaˇcn´ı koeficient pˇribliˇzuje k (plus ˇci m´ınus) jedniˇcce, je test pˇr´ıliˇs konzervativn´ı a nedaˇr´ı se mu odhalit poruˇsen´ı nulové hypotézy. Obvykle proto dáváme pˇrednost testu pomoc´ı t distribuce. V´ yjimkou jsou dva pˇr´ıpady. Jedn´ım je situace, kdy nulová hypotéza neoˇcekává nulovou hodnotu korelaˇcn´ıho koeficientu, ale nˇejaké jiné ˇc´ıslo (napˇr. H0 : ρ = 0.5, obecnˇe ρ = ρ0 ). Z v´ yˇse uvedeného snadno odvod´ıme obecn´ y vzorec testové statistiky, která má za platnosti nulové hypotézy opˇet normované normáln´ı rozdˇelen´ı: √ U = (Z − z0 ) n − 3 ∼ N (0, 1) 0 kde Z je nalezen´ y korelaˇcn´ı koeficient pˇreveden´ y pomoc´ı Z transformace a z0 = 12 · ln 1+ρ . 1−ρ0

24 Z tohoto zjiˇstˇen´ı plyne jeˇstˇe jeden poznatek. Vzpomeˇ nme si, ˇze t-test pro dva v´ ybˇery byl zat´ıˇzen kromˇe pˇredpokladu normality i pˇredpokladem shody rozptyl˚ u mezi skupinami. T´ımto pˇredpokladem je v´ az´ an i test Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu, aˇc se o tom pˇr´ıliˇs ˇcasto nemluv´ı a obecnˇe tento pˇrepoklad b´ yv´ a pˇrehl´ıˇzen. Jde o takzvan´ y pˇredpoklad homoskedasticity, kter´ y ˇr´ıká, ˇze s mˇen´ıc´ı se hodnotou jedné korelované promˇenné se nesm´ı mˇenit rozptyl druhé promˇenné.

112

Druh´ ym pˇr´ıpadem je srovn´ an´ı dvou korelaˇ cn´ıch koeficient˚ u z´ıskan´ ych ze dvou nezávisl´ ych náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u o rozsaz´ıch n a m. Postup je takov´ y, ˇze oba koeficienty pˇrevedeme na náhodné veliˇciny Z1 a Z2 pomoc´ı Fisherovy transformace. Jelikoˇz veliˇciny jsou nezávislé a pocház´ı z normáln´ıch rozdˇelen´ı se znám´ ymi rozptyly a (za platnosti nulové hypotézy) shodn´ ymi stˇredn´ımi hodnotami, pak pro testovou statistiku U plat´ı25 U=q

Z1 − Z2 1 n−3

+

∼ N (0, 1).

1 m−3

Velkou slabinou této metody je jej´ı malá s´ıla. Pˇredstavme si situaci, kdy máme dvˇe skupiny ˇ o rozsaz´ıch 20 a 15 mˇeˇren´ı, u kter´ ych jsme pozorovali korelaˇcn´ı koeficienty 0.2 a 0.7. Rekli bychom, ˇze se jedná o pomˇernˇe velk´ y rozd´ıl nalezen´ y na souborech o nezanedbateln´ ych rozsaz´ıch. Po pˇreveden´ı na statistiky Z (Z1 = 0.20, Z2 = 0.87) a dosazen´ı do vzorce pro v´ ypoˇcet testové statistiky z´ıskáme hodnotu U = 1.76 a p = 0.08. Nulovou hypotézu tedy nebudeme moci zam´ıtnout. V´ yˇse uvedené poznatky plat´ı pro Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient i pro bodovˇe-biseriáln´ı korelaˇcn´ı koeficient. V pˇr´ıpadˇe koeficientu φ a Spearmanova korelaˇcn´ıho koeficientu pouˇz´ıváme jiné testové statistiky, které budou pˇredstaveny v kapitolách (5.6.2) a (5.7.4). 5.4.5

Anal´ yza rozptylu pˇ ri jednoduch´ em tˇ r´ıdˇ en´ı

Vrat’me se k situaci popisované v kapitole o t-testu pro dva nezávislé v´ ybˇery. Srovnávali jsme nezávislé náhodné veliˇciny, u kter´ ych jsme pˇredpokládali normáln´ı rozdˇelen´ı se stejn´ ymi rozptyly σ 2 . Pracovali jsme se dvˇema soubory a sledovanou charakteristiku jsme v jedné skupinˇe oznaˇcili X a v druhé Y . Co kdybychom vˇsak do studie zahrnuli v´ıc (k > 2) skupin a tázali se, jestli sledované veliˇciny maj´ı r˚ uzné stˇredn´ı hodnoty? Náˇs pˇredpoklad by znˇel X1 ∼ N (µ1 , σ 2 ), X2 ∼ N (µ2 , σ 2 ), . . . , Xk ∼ N (µk , σ 2 ) a nulová hypotéza by se spolu s alternativou zmˇenila do podoby H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk , HA : µi 6= µj pro alespoˇ n jednu libovolnou kombinaci r˚ uzn´ ych i a j. T-test pro dva nezávislé v´ ybˇery bychom obvykl´ ym zp˚ usobem vyuˇz´ıt nemohli. ˇ sen´ı, které ˇctenáˇre pravdˇepodobnˇe okamˇzitˇe napadlo, je provést sérii Reˇ

k 2

t-test˚ u, a

otestovat tak rozd´ıly mezi vˇsemi moˇzn´ ymi dvojicemi skupin. Toto ˇreˇsen´ı skr´ yvá ve své 25

Nˇekteré programy napˇr´ıklad STATISTICA odvozuj´ı p-hodnotu z t rozdˇelen´ı s n + m − 4 stupni volnosti, nikoli z norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı, aby dosáhly pˇresnˇejˇs´ı aproximace.

113

jednoduchosti jednu velkou slabinu. Pˇri kaˇzdém testován´ı nulové hypotézy existuje pravdˇepodobnost (α, vˇetˇsinou 5 %), ˇze zam´ıtneme nulovou hypotézu, pˇrestoˇze je ve skuteˇcnosti pravdivá. V naˇsem pˇr´ıpadˇe by to znamenalo, ˇze odhal´ıme statisticky v´ yznamn´ y rozd´ıl mezi dvˇema veliˇcinami, které maj´ı ve skuteˇcnosti stejné stˇredn´ı hodnoty. Pokud kaˇzdé srovnán´ı, co provád´ıme, má za platnosti nulové hypotézy 5% pravdˇepodobnost selhán´ı, pak naˇsi celkovou hypotézu µ1 = µ2 = · · · = µk netestujeme na 5% hladinˇe v´ yznamnosti, ale na mnohem vyˇsˇs´ı hladinˇe. Pˇri malém poˇctu srovnán´ı nen´ı rozd´ıl tak markantn´ı, ale kdybychom srovnávali 10 skupin, a provedli tedy 10 = 45 statistick´ ych test˚ u, pak by (za pˇredpokladu vzájemnˇe 2 . nezávisl´ ych test˚ u) byla v´ ysledná hladina α rovná 1 − (1 − 0.05)45 = 0.90, coˇz by bezpˇeˇcnˇe pohˇrbilo vˇerohodnost závˇer˚ u naˇs´ı studie. Existuj´ı nejménˇe dvˇe cesty, jak tento problém ˇreˇsit. Prvn´ı je pouˇzit´ı korekce. Logika by byla taková, ˇze pokud v´ıme, jaká je maximáln´ı m´ıra, do které hladina α mohla vzr˚ ust v d˚ usledku mnohonásobného testován´ı, pak by staˇcilo p˚ uvodn´ı hodnotu α vhodn´ ym zp˚ usobem sn´ıˇzit, aby bylo garantováno, ˇze nepˇreroste nˇejakou c´ılovou mez (obvykle 5 %). Korekc´ı, které lze pouˇz´ıt, byla v literatuˇre popsána ˇrada, nejˇcastˇeji se vˇsak setkáme s nejtvrdˇs´ı z nich – s Bonferroniho korekc´ı. Bonferroniho korekce spoˇc´ıvá v tom, ˇze zam´ yˇslenou hladinu α vydˇel´ıme poˇctem d´ılˇc´ıch test˚ u statistick´ ych hypotéz, které provád´ıme. Pokud bychom tedy chtˇeli na 5% hladinˇe v´ yznamnosti ovˇeˇrit hypotézu, jestli se nˇekteré dvˇe náhodné veliˇciny vzájemnˇe liˇs´ı, pak bychom jednotlivé testy provádˇeli na hladinˇe α = 0.05/ k2 = 0.05/45 = 0.00¯1. Bonferroniho korekci bychom vˇsak mˇeli povaˇzovat za krajn´ı ˇreˇsen´ı. Jej´ım nejvˇetˇs´ım problémem je to, ˇze s nar˚ ustaj´ıc´ım poˇctem testovan´ ych hypotéz neadekvátnˇe rosta jej´ı s´ıla, takˇze pˇri velkém mnoˇzstv´ı test˚ u d´ılˇc´ıch nulov´ ych hypotéz spolehlivˇe zlikviduje ˇsanci kteroukoli z nich zam´ıtnout, tˇrebaˇze neplat´ı. Od urˇcitého mnoˇzstv´ı d´ılˇc´ıch test˚ u, se tak stává Bonferroniho korekce nepouˇzitelná, pokud vztahy, které ovˇeˇrujeme, nejsou skuteˇcnˇe silné. I pˇresto je vhodné tento nástroj m´ıt v arzenálu statistick´ ych metod, jelikoˇz v ˇradˇe situac´ı nenajdeme jinou cestou, neˇz se k této ponˇekud konzervativn´ı korekci uch´ ylit. V´ yhodou Bonferroniho korekce je totiˇz to, ˇze je zcela univerzáln´ı – nezáleˇz´ı na tom, z jak´ ych test˚ u jsme p-hodnoty z´ıskali, jde jen o to, kolik jich bylo. Situace, kdy srovnáváme stˇredn´ı hodnoty k náhodn´ ych veliˇcin, má vˇsak za v´ yˇse uveden´ ych pˇredpoklad˚ u jeˇstˇe jedno o mnoho elegantnˇejˇs´ı ˇreˇsen´ı, a t´ım je anal´ yza rozptylu pˇ ri jednoduch´ em tˇ r´ıdˇ en´ı26 (zkrácenˇe ANOVA z anglického analysis of vari26 Jednoduch´ ym tˇr´ıdˇen´ım se rozum´ı to, ˇze pozorován´ı rozdˇelujeme na základˇe jediného faktoru – kvalitativn´ı promˇenné. V budoucnu zjist´ıme, ˇze bychom mohli pod hlaviˇckou anal´ yzy rozptylu ovˇeˇrovat mnohem komplexnˇejˇs´ı hypotézy, v nichˇz by svou roli hrálo v´ıce faktor˚ u. S tˇemito postupy se ale seznám´ıme aˇz v kontextu obecn´ ych line´ arn´ıch model˚ u.

114

ance). Anal´ yza rozptylu zkoumá rozd´ıly ve stˇredn´ıch hodnotách náhodn´ ych veliˇcin, jak název napov´ıdá, pomoc´ı srovnán´ı odhad˚ u rozptylu. Pouˇz´ıvá k tomu nápadit´ y trik. Hodnotu rozptylu σ 2 totiˇz m˚ uˇzeme odhadnout dvˇema vzájemnˇe nezávisl´ ymi zp˚ usoby. Jednak lze pouˇz´ıt cestu, kterou jiˇz známe z kapitoly o t-testu pro dva nezávislé v´ ybˇery. Vypoˇc´ıtáme v´ ybˇerov´ y rozptyl pro kaˇzdou skupinu pozorován´ı zvláˇst’ a tyto hodumˇerujeme pomoc´ı váˇzeného pr˚ umˇeru, kde jako váhy pouˇzijeme noty (S12 , S22 , . . . , Sk2 ) zpr˚ stupnˇe volnosti. Z´ıskan´ y odhad Su2 , kter´ y se tradiˇcnˇe naz´ yvá chybov´ y rozptyl nebo rozptyl uvnitˇ r skupin, z´ıskáme jako Su2

nj k k 1 X 1 XX 2 ¯ j )2 . = (nj − 1)Sj = (Xji − X n − k j=1 n − k j=1 i=1

kde ni jsou rozsahy jednotliv´ ych skupin a n je celkov´ y rozsah souboru. K v´ ypoˇctu druhého odhadu rozptylu vyuˇzijeme naˇsi znalost toho, ˇze rozptyl pr˚ umˇeru ¯ z n náhodn´ X ych veliˇcin je n-krát menˇs´ı neˇz rozptyl p˚ uvodn´ı náhodné veliˇciny X. Pokud by tedy vˇsechny skupiny byly stejnˇe velké (nj ), staˇcilo by z k namˇeˇren´ ych pr˚ umˇer˚ u spoˇc´ıtat v´ ybˇerov´ y rozptyl a ten vynásobit ˇc´ıslem nj . Opˇet z´ıskáme nestrann´ y odhad rozptylu 2 . náhodné veliˇciny X. Tentokrát jej nazvˇeme rozptyl mezi skupinami a znaˇcme Sm

Pokud skupiny nejsou stejnˇe velké, nebudeme rozsahem skupiny násobit v´ ysledn´ y rozptyl, ale kaˇzd´ y sˇc´ıtanec zvláˇst’: k

2 Sm

1 X ¯ j − X) ¯ 2. = nj (X k − 1 j=1

2 a Su2 . Prvn´ı z nich má k −1 Máme tedy k dispozici dva nezávislé odhady parametru σ 2 : Sm

stupˇ n˚ u volnosti a druh´ y n − k. Mezi obˇema odhady je jeˇstˇe jeden zásadn´ı rozd´ıl: zat´ımco chybov´ y rozptyl nen´ı závisl´ y na platnosti nulové hypotézy, tak rozptyl mezi skupinami se zvˇetˇsuje s t´ım, jak moc se r˚ uzn´ı hodnoty µj . Dalˇs´ı postup je velmi snadn´ y. Jelikoˇz v´ıme, ˇze oba odhady rozptyl˚ u jsou nezávislé27 , a jelikoˇz známe jejich stupnˇe volnosti, m˚ uˇzeme jejich shodu porovnat pomoc´ı F testu, s n´ımˇz jsme se seznámili v kapitole (5.4.3): F =

2 Sm ∼ Fk−1,n−k Su2

Pˇri anal´ yze rozptylu pracujeme vˇzdy s jednostrannou hypotézou. N´ızké hodnoty testové ¯1, X ¯2 , . . . , X ¯ k jsou jeˇstˇe ménˇe rozmanité, neˇz statistiky by totiˇz znamenaly, ˇze pr˚ umˇery X 27

Coˇz mimochodem nen´ı trivi´ aln´ı poznatek, d˚ ukaz tohoto tvrzen´ı vˇsak pˇrekraˇcuje u ´roveˇ n znalost´ı prezentovan´ ych v tomto textu.

115

Tabulka 7: Tabulka pro v´ ypoˇcet anal´ yzy rozptylu Zdroj rozptylu Mezi skupinami Uvnitˇr skupin Celkov´ y

Souˇcet ˇctverc˚ u ˇ (SC) Pk ¯ ¯ 2 j=1 nj (Xj − X) Pk Pnj ¯ 2 i=1 (Xji − Xj ) j=1 Pk Pnj ¯ 2 i=1 (Xji − X) j=1

Stupnˇe volnosti (s.v.)

Stˇredn´ı ˇctverec (S 2 )

F

k−1

ˇm SC s.v.m

2 Sm Su2

n−k

ˇu SC s.v.u

n−1

bychom ˇcekali, coˇz zcela jistˇe nelze interpretovat jako poruˇsen´ı nulové hypotézy. Kritick´ y obor stanov´ıme jako W = [F1−α (k − 1, n − k), ∞). V´ ypoˇcet anal´ yzy rozptylu se ˇcasto provád´ı pomoc´ı tabulky, do které zapisujeme zvláˇst’ ˇ a jejich stupnˇe volnosti a následnˇe jejich pod´ıl, tedy odhad rozptylu, souˇcty ˇctverc˚ u (S C) kter´ y se v terminologii ANOVy nˇekdy naz´ yvá stˇredn´ı ˇctverec. Kromˇe odhadu uvnitˇr skupin a mezi skupinami, m˚ uˇzeme pracovat s celkovým rozptylem, kter´ y bychom z´ıskali jako v´ ybˇerov´ y rozptyl vypoˇc´ıtan´ y ze vˇsech n pozorován´ı bez ohledu na skupinu. Celkov´ y rozptyl do v´ ypoˇctu nevstupuje, ale m˚ uˇzeme si s jeho pomoc´ı uˇsetˇrit v´ ypoˇcet jednoho ze zb´ yvaj´ıc´ıch dvou odhad˚ u rozptylu (viz n´ıˇze uvedené vztahy). Vypoˇcet anal´ yzy rozptylu shrnuje tabulka (7). Index j pojmenovává skupinu a i jednotlivá mˇeˇren´ı uvnitˇr této skupiny. Pro statistiky v tabulce plat´ı tyto vztahy: S Cˇc = S Cˇm + S Cˇu k

s.v.c = s.v.m + s.v.u

nj

nj X 1 ¯j = X Xi nj i=1

XX ¯= 1 X Xji n j=1 i=1

ANOVA pˇri jednoduchém tˇr´ıdˇen´ı pˇredstavuje zobecnˇen´ı t-testu pro dva nezávislé v´ ybˇery. Je tedy stejnˇe silná a zat´ıˇzená stejn´ ymi pˇredpoklady. Problematick´ y m˚ uˇze b´ yt pˇredpoklad stejného rozptylu u vˇsech srovnávan´ ych náhodn´ ych veliˇcin, jelikoˇz jeho platnost ˇcasto nem˚ uˇzeme garantovat a jeho zanedbán´ı by mohlo vést k znaˇcnému zkreslen´ı v´ ysledk˚ u. Pomoci nám m˚ uˇze opˇet Welch˚ uv test, kter´ y je moˇzné zobecnit na v´ıce nezávisl´ ych v´ ybˇer˚ u – m˚ uˇzeme jej pak oznaˇcovat jako Welchovu ANOVu. Pro tuto variantu Welchova testu plat´ı totéˇz, co jsme o této metodˇe zmiˇ novali v kapitole (5.4.2). Pˇresn´ y postup v´ ypoˇctu Welchova testu pro v´ıce v´ ybˇeru zde nebudeme popisovat, vˇetˇsina statistick´ ych program˚ u jej vˇsak poskytuje. Aˇc nedoporuˇcujeme svˇeˇrit rozhodován´ı o tom, jestli je vhodné pouˇz´ıt ANOVu nebo jej´ı Welchovu obdobu do rukou jiného statistického testu, kter´ y ovˇeˇr´ı hypotézu o rozd´ılech 116

rozptyl˚ u mezi skupinami, dvˇe metody, které tuto hypotézu testuj´ı, zmiˇ nme. Prvn´ı je zobecnˇen´ım F testu s názvem Bartlett˚ uv test homogenity rozptyl˚ u28 . Pˇri dodrˇzen´ı pˇredpokladu normáln´ıho rozdˇelen´ı je Bartlett˚ uv test velmi citliv´ y, jiˇz pˇri malém poruˇsen´ı pˇredpoklad˚ u vˇsak selhává, nen´ı proto ˇcasto vyuˇz´ıván. Ve srovnán´ı s Bartlettov´ ym testem je o mnoho robustnˇejˇs´ı Levene˚ uv test. Opˇet jde o metodu, které ovˇeˇruje nulovou hypotézu o shodˇe rozptyl˚ u v´ıce náhodn´ ych veliˇcin (H0 : σ12 = σ22 = ... = σk2 ). Metoda je ve skuteˇcnosti jen chytrou adaptac´ı ANOVy. Pˇred samotn´ ym v´ ypoˇctem od kaˇzdé namˇeˇrené hodnoty (Xji ) odeˇcteme pr˚ umˇer skupiny, ¯ j ), a z tohoto rozd´ıl˚ ze které toto mˇeˇren´ı pocház´ı (X u z´ıskáme absolutn´ı hodnotu (Zji ). Tedy ¯ j |. Zji = |Xji − X Na takto transformovan´ ych hodnotách provedeme anal´ yzu rozptylu (nebo t-test v pˇr´ıpadˇe dvou skupin). Levene˚ uv test je v praxi hojnˇe pouˇz´ıvan´ y kv˚ uli své robustnosti. Z pohledu statistika se vˇsak jedná o pomˇernˇe obskurn´ı postup. Zamysl´ıme-li se nad konstrukc´ı testu hloubˇeji, zjist´ıme, ˇze kv˚ uli transformaci, kterou s mˇeˇren´ımi provád´ıme, ztrác´ıme nezávislost jednotliv´ ych hodnot uvnitˇr kaˇzdé skupiny. Automaticky tak poruˇsujeme jeden z nejzásadnˇejˇs´ıch pˇredpoklad˚ u statistick´ ych test˚ u. Jak se zdá, i pˇres tuto vadu na kráse metoda poskytuje d˚ uvˇeryhodné v´ ysledky. Anal´ yza rozptylu pˇrekonává problém zv´ yˇsen´ı hladiny α v d˚ usledku mnohonásobného testován´ı. Pokud vˇsak po proveden´ı ANOVy zam´ıtneme nulovou hypotézu, nedostaneme odpovˇed’ na to, které dvojice náhodn´ ych veliˇcin se sv´ ymi stˇredn´ımi hodnotami liˇs´ı. Potˇrebovali bychom metodu, která identifikuje statisticky v´ yznamné rozd´ıly a zároveˇ n citlivˇe koriguje nepˇresnost vzniklou v d˚ usledku mnohonásobného testován´ı. Nejˇcastˇeji k tomu pouˇz´ıváme dva testy – Tukeyho test a Scheffého test. Obecnˇe tˇemto metodám ˇr´ıkáme post-hoc testy nebo testy párového srovnán´ı. Princip obou tˇechto metod pˇresahuje rozsah tohoto kurzu. Zmiˇ nme vˇsak hlavn´ı rozd´ıly v jejich uˇzit´ı. Tukeyho HSD test (honest significant difference) byl p˚ uvodnˇe odvozen pouze pro situace, kdy vˇsechny skupiny maj´ı stejné rozsahy. V pˇr´ıpadˇe r˚ uzn´ ych rozsah˚ u se pˇri kaˇzdém párovém srovnán´ı pouˇz´ıval menˇs´ı rozsah z obou skupin. Statistické programy vˇsak obvykle nab´ız´ı i variantu pro nestejné rozsahy (nˇekdy pod názvem Tukey-Kramer˚ uv test). Tukeyho test je pˇri malém poˇctu srovnávan´ ych skupin velmi siln´ y. S jejich rostouc´ım poˇctem vˇsak svou citlivost ztrác´ı a pˇri opravdu velkém poˇctu skupin jiˇz nepˇrináˇs´ı ˇza´dn´ y uˇzitek, jelikoˇz (podobnˇe jako Bonferroniho korekce) nezam´ıtne prakticky ˇza´dnou nulovou hypotézu bez 28 Nezamˇen ˇujte s Bartlettov´ ym testem sféricity, kter´ y testuje rozd´ıl mezi korelaˇcn´ı matic´ı a jednotkovou matic´ı (tedy ˇctvercovou matic´ı, kter´ a obsahuje kromˇe diagonály s jedniˇckami samé nuly).

117

ohledu na jej´ı platnost. Scheff´ eho test je slabˇs´ı neˇz test Tukeyho. Jeho korekce vˇsak vycház´ı z ponˇekud jiné logiky. Scheffé dokázal, ˇze s rostouc´ım poˇctem srovnávan´ ych skupin (respektive u ´rovn´ı nezávisle promˇenné) je sice nutné korigovat nalezené v´ ysledky ˇc´ım dál t´ım pˇr´ısnˇeji, to vˇsak neznamená, ˇze pˇri astronomickém poˇctu srovnán´ı mus´ıme b´ yt nekoneˇcnˇe pˇr´ısn´ı a nezam´ıtat ˇza´dnou nulovou hypotézu. Je zde urˇcitá hranice, kterou naˇse zpˇr´ısˇ nován´ı nikdy nemus´ı pˇresáhnout. Tuto hranici Scheffého test vyuˇz´ıvá a bez ohledu na poˇcet skupin poˇc´ıtá s t´ım, ˇze budeme provádˇet nekoneˇcno párov´ ych srovnán´ı. Pˇri malém poˇctu srovnávan´ ych skupin je to sp´ıˇs na ˇskodu, ale s jejich rostouc´ım poˇctem Scheffého test pˇrekoná ostatn´ı metody párového srovnán´ı. Pro u ´plnost zmiˇ nme, ˇze Scheffého test do svého nekoneˇcna moˇznost´ı, s nimiˇz poˇc´ıtá, zahrnuje i testy kontrast˚ u, tedy libovoln´ ych kombinac´ı srovnávan´ ych stˇredn´ıch hodnot. Na rozd´ıl od Tukeyhu nám tedy dává moˇznost zkoumat hypotézy, jako tˇreba µ1 +µ2 = µ3 +µ4 nebo 0.3µ1 + 0.7µ3 = µ2 (zb´ yvaj´ıc´ı nekoneˇcno moˇzn´ ych lineárn´ıch kombinac´ı necht’ si ˇctenáˇr pˇredstav´ı sám). Testy tˇechto hypotéz naz´ yváme testy kontrast˚ u, obvykle je vˇsak v praxi nevyuˇzijeme.29 Nepˇr´ıjemnou vlastnost´ı ANOVy a post-hoc test˚ u je to, ˇze se m˚ uˇzeme dostat do situace, kdy ANOVA zam´ıtne nulovou hypotézu, post-hoc test vˇsak nenajde signifikantn´ı rozd´ıl v ˇzádném párovém srovnán´ı. Signifikantn´ı rozd´ıl zde sice existuje, ale pravdˇepodobnˇe je skryt v nˇekterém z kontrast˚ u. Dobrou zprávou je to, ˇze je zcela pˇr´ıpustné nejprve provést Tukeyho test i Scheffého test, a teprve pak si vybrat, v´ ysledky které metody budeme prezentovat. Tento postup ospravedlˇ nuje ANOVA, kterou pˇred pouˇzit´ım posthoc test˚ u mus´ıme provést. Pochopitelnˇe opaˇcná situace se stát nem˚ uˇze, jelikoˇz post-hoc testy neprovád´ıme, pokud pomoc´ı ANOVy nulovou hypotézu nezam´ıtne. 5.4.6

Ovˇ eˇ ren´ı pˇ redpoklad˚ u a testy normality

ˇ ım pˇr´ısnˇejˇs´ımi podm´ınkami test statistické v´ C´ yznamnosti sváˇzeme, t´ım citlivˇejˇs´ı na poruˇsen´ı nulové hypotézy se metoda stává. Toto je obecná pravda, s jej´ıˇz platnost´ı jsme se mohli seznámit v minul´ ych kapitolách – napˇr. t-test pro dva nezávislé v´ ybˇery je o nˇeco citlivˇejˇs´ı neˇz Welch˚ uv test, obˇe metody totiˇz odliˇsuje podm´ınka stejn´ ych rozptyl˚ u v obou skupinách, které je Welch˚ uv test zproˇstˇen. Jednu podm´ınku maj´ı vˇsechny parametrické testy, s nimiˇz jsme se seznámili, spoleˇcnou: pˇredpokládaj´ı to, ˇze zkoumané náhodné veliˇciny maj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı. 29

Zmiˇ nme jeˇstˇe jeden post-hoc test, kter´ y se ˇcasto objevuje ve statistick´ ych programech, a t´ım je Fisher˚ uv LSD test (least significant difference). Navzdory názvu v´ ypoˇcet tohoto testu nezahrnuje konzumaci psychotropn´ıch l´ atek. Jedn´ a se o sérii dvouv´ ybˇerov´ ych t-test˚ u, jen s t´ım rozd´ılem, ˇze pro odhad smˇerodatné odchylky je pouˇzit v´ aˇzen´ y pr˚ umˇer odhad˚ u rozptyl˚ u ze vˇsech skupin, ne jen z tˇech dvou, s nimiˇz je srovn´ an´ı prov´ adˇeno. Problém n´ ar˚ ustu hladiny α v d˚ usledku mnohonásobného testován´ı tento test vˇsak nijak neˇreˇs´ı.

118

Podm´ınka normality je ztrátou a zároveˇ n pˇr´ınosem. Parametrické testy se d´ıky n´ı m˚ uˇzou chlubit velkou statistickou s´ılou, tedy schopnost´ı citlivˇe detekovat poruˇsen´ı nulové hypotézy. Na druhou stranu z pˇr´ısnˇe matematického pohledu parametrická statistika funguje jen a pouze tehdy, kdyˇz rozdˇelen´ı zkoumané veliˇciny odpov´ıdá bez nejmenˇs´ı odchylky tomu, pro které bylo odvozeno. Znamená to tedy, ˇze bychom mˇeli zavrhnout postupy parametrické statistiky kdykoli nem˚ uˇzeme garantovat nepˇr´ıtomnost byt’ nepatrné odchylky od normáln´ıho rozdˇelen´ı? V praxi tomu tak nen´ı. Málokdo by asi prohlásil, ˇze je neakceptovatelné pouˇz´ıt t-test, jelikoˇz kv˚ uli tvaru rozdˇelen´ı zkoumané veliˇciny chybnˇe zam´ıtá platnou nulovou hypotézu v 5.1 % pˇr´ıpad˚ u m´ısto 5 %, které jsme poˇzadovali. Otázky, pˇred kter´ ymi stoj´ıme, a které bohuˇzel nemaj´ı jednoznaˇcnou odpovˇed’, zn´ı: Jak velké selhán´ı testu jeˇstˇe m˚ uˇzeme tolerovat? Jak moc se m˚ uˇze rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny liˇsit od normaln´ıho? Jak poznám, do jaké m´ıry se rozdˇelen´ı mé náhodné veliˇciny odliˇsuje od normáln´ıho rozdˇelen´ı? Nastiˇ nme nˇekolik u ´vah a postup˚ u, které nám pom˚ uˇzou se v tomto tématu zorientovat. Dˇr´ıve, neˇz budeme pátrat po tom, kolik toho parametrick´ y test snese, pˇripomeˇ nme koncept centráln´ıho limitn´ıho teorému (viz kapitola 2.7.3), kter´ y je zde kl´ıˇcov´ y. Centráln´ı limitn´ı teorém ˇr´ıká obecnˇe to, ˇze kdyˇz vezmeme n nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin, které m˚ uˇzou m´ıt bezmála libovolná rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti, pak jejich souˇcet se bude normáln´ımu rozdˇelen´ı pˇribliˇzovat o poznán´ı v´ıce, neˇz se pˇribliˇzovala rozdˇelen´ı jednotliv´ ych náhodn´ ych veliˇcin. S rostouc´ım n tato podobnost poroste a pˇri jeho obrovsk´ ych hodnotách bude vzniklé rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti k nerozeznán´ı od normáln´ıho rozdˇelen´ı. Kdyˇz prolistujeme posledn´ı stránky skript, zjist´ıme, ˇze testy, které jsme prob´ırali, nepracuj´ı s jednotliv´ ymi mˇeˇren´ımi, ale se statistikami (s pr˚ umˇerem a smˇerodatnou odchylkou), nejsme tedy limitováni rozdˇelen´ım p˚ uvodn´ı náhodné veliˇciny, ale rozdˇelen´ım aritmetického pr˚ umˇeru a v´ ybˇerové smˇerodatné odchylky. D´ıky p˚ usoben´ı centráln´ıho limitn´ıho teorému maj´ı oba tyto ukazatele s rostouc´ım rozsahem v´ ybˇeru tendenci chovat se oˇcekávan´ ym zp˚ usobem bez ohledu na rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti p˚ uvodn´ı náhodné veliˇciny. M˚ uˇzeme tedy ˇcekat, ˇze pˇri velk´ ych rozsaz´ıch v´ ybˇeru budeme tolerovat vˇetˇs´ı odchylky od normáln´ıho rozdˇelen´ı neˇz pˇri práci s mal´ ymi skupinami. Co znamenaj´ı pojmy velká ˇci malá odchylka m˚ uˇzeme demonstrovat na pˇr´ıkladu s t-testem pro jeden v´ ybˇer. Pˇredstavme si situaci, kdy máme náhodnou veliˇcinu X, která má urˇcité rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti se stˇredn´ı hodnotou µ = 0. V´ yzkumn´ık vˇsak nezná tvar distribuˇcn´ı funkce a ani nev´ı, ˇze se stˇredn´ı hodnota náhodné veliˇciny rovná nule. Náhodnˇe si tedy vybere n realizac´ı této veliˇciny a pomoc´ı t-testu pro jeden v´ ybˇer ovˇeˇr´ı na hladinˇe α = 0.05 nulovou hypotézu H0 : µ = 0. Jelikoˇz nulová hypotéza plat´ı, test by ji nemˇel zam´ıtnout. Pokud jsme dodrˇzeli vˇsechny pˇredpoklady a náhodná veliˇcina X má normáln´ı rozdˇelen´ı, pak je pravdˇepodobnost, ˇze test chybnˇe nulovou hypotézu zam´ıtne, rovná pˇeti procent˚ um. Necháme-li tedy naˇseho v´ yzkumn´ıka, aby test za stejn´ ych podm´ınek zopakoval 10 000 119

krát, pokaˇzdé na n nov´ ych vylosovan´ ych hodnotách, pak pˇribliˇznˇe 9 500 krát nulovou hypotézu nezam´ıtne a 500 krát ji zam´ıtne. Z toho pˇribliˇznˇe 250 krát dojde k závˇeru, ˇze µ > 0 a 250 krát, ˇze µ < 0. V´ ysledek bude stejn´ y bez ohledu na rozsah souboru n. Pomoc´ı poˇc´ıtaˇce m˚ uˇzeme tento postup realizovat a nechat naˇseho virtuáln´ıho v´ yzkumn´ıka provést nespoˇcet náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u a následn´ ych statistick´ ych test˚ u. Kdyˇz si v´ ysledek kaˇzdého z nich poznamenáme, m˚ uˇzeme naˇcrtnout graf hustoty pravdˇepodobnosti statistiky T a zjistit, v kolika pˇr´ıpadech pˇresáhla kritické hodnoty (viz obrázek 31).

0.4

0.4

0.3 0.1

0.2

0.3 0.2 −6

−4

−2

0

2

4

6

−4

−2

0

2

2.5 %

−4

−2

0

2

4

n = 500

2.5 %

2.5 %

2.5 %

0.0

2.5 %

0.1

0.2

0.3

n = 150

0.0

2.5 %

2.5 %

0.0

2.5 %

0.2

0.2

2.5 %

0.0

0.1

0.1

4

x

2.5 %

0.4

2

n = 30

0.3

0

0.4

−2

0.3

0.4

−4

n = 80

n = 10

0.0

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Obrázek 31: Chován´ı statistiky T pˇri normáln´ım rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny

4

−4

−2

0

2

4

−4

−2

0

2

4

Modr´ a plocha v prvn´ım grafu znaˇc´ı plochu pod kˇrivkou hustoty pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny X se stˇredn´ı hodnotou µ = 0, ˇcerven´ y obrys odpov´ıdá hustotˇe pravdˇepodobnosti náhodné veliˇciny s norm´ aln´ım rozdˇelen´ım. Zb´ yvaj´ıc´ıch pˇet graf˚ u znázorˇ nuje hustotu pravdˇepodobnosti testové statistiky ˇ t-testu pro hypotézu H0 : µ = 0. Cerven´ a barva vymezuje kritick´ y obor. Procenta odpov´ıdaj´ı pravdˇepodobnosti zam´ıtnut´ı nulové hypotézy. V tomto pˇr´ıpadˇe nen´ı podm´ınka normality poruˇsena a test bez ohledu na rozsah souboru dodrˇzuje stanovenou hladinu α.

Co by se vˇsak stalo, kdyby naˇse náhodná veliˇcina mˇela sice stále stˇredn´ı hodnotu 0, ale tvar jej´ı distribuˇcn´ı funkce se zmˇenil? Obrázek (32) dokumentuje situaci, kdy má náhodná veliˇcina X nápadnˇe zeˇsikmené rozdˇelen´ı, my to vˇsak ignorujeme a postupujeme, jako by ˇslo o normálnˇe rozdˇelenou veliˇcinu.

0.4 0.3 −2

0

2

4

6

n = 150

−2

0

2

4

1.2 %

−4

−2

0

2

4

n = 500

0.2

0.3 −4

4.6 %

0.0 −4

0.4

−6

1.8 %

3%

2.1 %

0.0

3.4 %

0.0

1.6 %

0.1

0.2

0.3 0.2

0.9 %

0.2

0.2

3.7 %

0.0

0.1

0.1

4

x

5.9 %

0.3

2

n = 30

0.1

0

0.4

−2

0.3

0.4

−4

n = 80

n = 10

0.0

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.4

Obrázek 32: Chován´ı statistiky T pˇri poruˇsen´ı normality

−4

−2

0

120

2

4

−4

−2

0

2

4

Je patrné, ˇze test pˇri malém rozsahu souboru (n = 10) nedodrˇzel stanovenou hladinu v´ yznamnosti 5 % a m´ısto toho zam´ıtl nulovou hypotézu v 6.8 % pˇr´ıpad˚ u. Pokud jsme zv´ yˇsili poˇcet pozorován´ı na 30, chyba klesla na 5.8 %, pˇri n = 80 na 5.3 % a pˇri sto padesáti mˇeˇren´ıch pˇrekraˇcoval stanovenou hladinu v´ yznamnosti jen o dvˇe desetiny procenta. Je zjevné, ˇze t-test je velmi robustn´ı i pˇri mal´ ych rozsaz´ıch souboru. I kdybychom se rozhodli tuto metodu pouˇz´ıt ponˇekud barbarsk´ ym zp˚ usobem a ignorovali nápadné zeˇsikmen´ı dat i velmi mal´ y rozsah náhodného v´ ybˇeru, nebudou v´ ysledky zcela nesmyslné. Samozˇrejmˇe, ˇze tento postup nelze doporuˇcit, ale je uˇziteˇcné vˇedˇet, ˇze by nedoˇslo k u ´plnému selhán´ı statistického testu, ale jen poklesu jeho pˇresnosti. Meze t-testu vˇsak nem˚ uˇzeme natahovat do nekoneˇcna. Obrázek (33) dokumentuje situaci extrémnˇe zeˇsikmeného rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti. Jak je patrné, i pˇri mnohasethlavém náhodném v´ ybˇeru, zde stále z˚ ustávaj´ı stopy po zeˇsikmen´ı a test m˚ uˇzeme povaˇzovat jen za pˇribliˇzn´ y. Pˇri malém rozsahu za zcela nepouˇziteln´ y.

0.4

n = 30

0

2

4

0.2 −5

0

5

10

−4

−2

0

2

4

6

−4

−2

0

2

4

6

n = 500

0.6 %

4.9 %

1.1 %

0.0

6.8 %

0.0 −6

−6

0.2

0.3

n = 150

0.2 0.1

0.2 0.1

0.4 %

0.0

8.2 %

0.2 %

0.0 −10

0.3

0.1

0.1

6

x

0.4

−2

11.6 %

0.3

−4

0.1 %

0.1

0.4

−6

n = 80

16 %

0.0

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0.4

0.0

0.2

0.4

0.2

0.6

0.3

n = 10

0.3

0.8

0.4


−4

−2

0

2

4

−4

−2

0

2

4

Posledn´ı obrázek (34) dokumentuje jin´ y druh poruˇsen´ı pˇredpokladu. Tentokrát to nen´ı zeˇsikmen´ı, ale extrémn´ı m´ıra ˇspiˇcatosti, co tvar hustoty pravdˇepodobnosti sledované náhodné veliˇciny odliˇsuje od Gaussovy kˇrivky. Test v tomto pˇr´ıpadˇe respektuje stanovenou hladinu v´ yznamnosti bez ohledu na rozsah souboru, ba co v´ıc, stává jeˇstˇe konzervativnˇejˇs´ım. Dá se tedy ˇcekat, ˇze v pˇr´ıpadˇe poruˇsen´ı nulové hypotézy by nebyla alternativa pˇrij´ımána tak ˇcasto, jako kdybychom zvolili vhodnˇejˇs´ı statistick´ y test.

121

0.4 0.3 2

4

−2

0

2

4

1.9 %

−4

−2

0

2

4

n = 500

0.2

0.2 −4

0.1

0.2 0

2.3 %

2.4 %

2.5 %

0.0

2.3 %

0.0

0.1

0.2

2.2 %

0.0

2.2 %

1.9 %

0.0 −2

0.4

−4

n = 150

0.3

x

1.3 %

0.0 4

n = 30

0.3

2

1.3 %

0.1

0

0.4

−2

n = 80

0.3

0.4

0.1

0.2

1.0 0.5 0.0

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

−4

0.1

n = 10

0.3

1.5

0.4

2.0


−4

−2

0

2

4

−4

−2

0

2

4

V praxi je situace jeˇstˇe o poznán´ı komplikovanˇejˇs´ı. Obvykle nemáme k dispozici znalost tvaru rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny, ale mus´ıme si vystaˇcit s nˇekolika namˇeˇren´ ymi hodnotami. Mohli bychom zkusit udˇelat rozhodnut´ı o tvaru rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti na základˇe tˇechto hodnot, coˇz je cesta, kterou doporuˇcuje ˇrada uˇcebnic statistiky. Máme k dispozici hned nˇekolik statistick´ ych test˚ u, které testuj´ı nulovou hypotézu H0 : X ∼ N (µ, σ 2 ), tedy ˇze se rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny neliˇs´ı od normáln´ıho rozdˇelen´ı. Statistické programy obvykle nab´ız´ı Kolmogor˚ uv-Smirnov˚ uv test, jeho adaptaci známou jako Liliefors˚ uv test a Shapir˚ uv-Wilk˚ uv test. Kaˇzd´ y z tˇechto test˚ u ovˇeˇruje nulovou hypotézu z troˇsku jiného u ´hlu, testy se proto nemus´ı sv´ ymi v´ ysledky shodovat. Posledn´ı jmenovan´ y je vˇsak povaˇzován za nejsilnˇejˇs´ı, pˇrijmeme jej proto za test prvn´ı volby pro dan´ y problém. ˇ Casto se setkáme s lidmi, kteˇr´ı pedanticky lp´ı na testován´ı normality, a poté, co nezam´ıtnou nulovou hypotézu, postupuj´ı, jakoby mˇeli d˚ ukazy o jej´ı platnosti. Tento postup vˇsak nelze pauˇsa´lnˇe doporuˇcit hned ze dvou d˚ uvod˚ u. Jednak zde naráˇz´ıme na logickou chybu, na kterou jsme upozorˇ novali jiˇz v pˇr´ıpadˇe F testu a jeho uˇzit´ı pˇri rozhodován´ı mezi t-testem a Welchov´ ych testem. Jednoduˇse kdyˇz nenajdeme d˚ ukazy o tom, ˇze je poruˇsen pˇredpoklad normality, nem˚ uˇzeme nic ˇr´ıct o tom, jestli zde je skuteˇcnˇe normáln´ı rozdˇelen´ı pˇr´ıtomno. Pˇredstavme si napˇr´ıklad, ˇze pracujeme se silnˇe zeˇsikmenou náhodnou veliˇcinou z obrázku (33). Mám-li soubor o malém rozsahu, m˚ uˇze se pomˇernˇe snadno stát, ˇze vˇsechna pozorován´ı padnou do oblasti vlevo od nuly (kde se skuteˇcnˇe veliˇcina obvykle realizuje). Pokud do mého souboru náhodou pronikne jedno ˇci dvˇe pozorován´ı z dlouhého pravého chvostu, oznaˇc´ım je jako odlehlou hodnotu a dost moˇzná nerozváˇznˇe ze souboru vyˇrad´ım. Takto z´ıskan´ y soubor neponese nejmenˇs´ı stopu poruˇsen´ı pˇredpokladu normality a ˇza´dn´ y test jej nebude schopen odhalit. Druhá slabina test˚ u normality je jeˇstˇe bolestivˇejˇs´ı. Statistické testy jsou obecnˇe konstruovány tak, ˇze s rostouc´ım rozsahem v´ ybˇeru citlivˇeji reaguj´ı na poruˇsen´ı platnosti nulové hypotézy. To plat´ı i pro testy normality, takˇze pˇri práci s mal´ ym souborem test vcelku benevolentnˇe toleruje i velká poruˇsen´ı tohoto pˇredpokladu, zat´ımco pˇri rozsaz´ıch 122

souboru o nˇekolika tis´ıc´ıch mˇeˇren´ı nulovou hypotézu zam´ıtne jiˇz pˇri nepatrném náznaku deformace. To je ale v pˇr´ımém rozporu se vztahem robustnosti a rozsahu souboru u parametrick´ ych test˚ u: kdyˇz máme mal´ y rozsah souboru, mˇeli bychom si dávat pozor i na malé deformace rozdˇelen´ı. U velkého souboru m˚ uˇzeme b´ yt o poznán´ı tolerantnˇejˇs´ı. Pˇri velk´ ych rozsaz´ıch v´ ybˇeru proto v´ ysledky testu normality nepˇrináˇs´ı ˇza´dn´ y uˇzitek. Jakou cestu tedy zvolit? Prvn´ım krokem, kter´ y bychom mˇeli udˇelat, je zobrazit si data pomoc´ı histogramu, v pˇr´ıpadˇe malého souboru jej pro orientaci m˚ uˇzeme doplit v´ ysledkem Shapirova-Wilkova testu. T´ım se vˇsak nevyhneme naˇs´ı prvn´ı námitce, ˇze omezen´ y rozsah souboru obecnˇe negarantuje zahrnut´ı i extrémn´ıch hodnot, které v populaci m˚ uˇzou existovat. Pˇri v´ ybˇeru testu bychom proto mˇeli pouˇz´ıvat pˇredevˇs´ım zdrav´ y rozum. U kaˇzdé promˇenné obvykle v´ıme, co mˇeˇr´ı a jak se chová ona charakteristika, kterou promˇenná kvantifikuje. Pokud je promˇennou napˇr´ıklad poˇcet bod˚ u z´ıskan´ ych v testu inteligence, m˚ uˇzu na prvn´ı pohled vylouˇcit existenci lid´ı, kteˇr´ı maj´ı IQ napˇr. 500 nebo -80 (nejen proto, ˇze neexistuj´ı, ale namˇeˇren´ı takov´ ych hodnot brán´ı i samotná konstrukce testu). Naopak, pokud by mˇe zaj´ımalo, kolik pr˚ umˇern´ y ˇclovˇek dokáˇze udˇelat klik˚ u v ˇradˇe bez pˇrestávky, nemus´ım vidˇet ˇzádná data, a pˇresto m˚ uˇzu tuˇsit distribuci pˇripom´ınaj´ıc´ı obrázek (33). Vˇetˇsina lid´ı neudˇelá ani deset klik˚ u. Lidé, co jsou v kondici, se nejsp´ıˇs vejdou do padesáti. V populaci je vˇsak i hrstka extrémn´ıch jedinc˚ u, u kter´ ych bychom opakován´ı tohoto cviku poˇc´ıtali na stovky, nemluvˇe o svˇetov´ ych ˇsampionech, kteˇr´ı udˇelaj´ı tis´ıce klik˚ u v ˇradˇe (svˇetov´ y rekordman Minoru Yoshida jich pr´ y udˇelal 10 507). Pokud histogram zobrazuje tvar, kter´ y nepˇripom´ıná normáln´ı rozdˇelen´ı nebo nás znalosti náhodné veliˇciny vedou k podezˇren´ı, ˇze zde m˚ uˇzou existovat odlehlé hodnoty, mˇeli bychom se zamyslet nad t´ım, jestli máme dost rozsáhl´ y soubor, aby test tyto odchylky snesl a poskytl smysluplné p-hodnoty. Pokud máme pochybnosti, mˇeli bychom opustit parametrickou statistiku a hledat náhradu mezi robustnˇejˇs´ımi testy.30 Ve skuteˇcnosti nen´ı podm´ınka normality ta jediná, která svazuje parametrické testy. Pˇrejdeme-li u ´plnˇe fundamentáln´ı podm´ınku pouˇzit´ı jakéhokoli testu, a to, aby jednotlivá mˇeˇren´ı byla na sobˇe nezávislá, poˇzadujeme, aby sledovaná promˇenná byla metrické (kvantitativn´ı) povahy. Samozˇrejmˇe, ˇze m˚ uˇzeme provést t-test i na poˇradov´ ych hodnotách, jeho v´ ysledek se vˇsak uˇz net´ yká toho rysu, kter´ y poˇradové hodnoty zastupovaly, ale jen samotného poˇrad´ı. T´ımto tématem se u ´zce dot´ ykáme psychometrie. To, ˇze nˇekdo z´ıská v psychologickém testu 10 bod˚ u, nˇekdo jin´ y 20 a nˇekdo dalˇs´ı 30, nemus´ı nutnˇe znamenat, ˇze jsou rozd´ıly mezi dvojicemi 10-20 a 20-30 stejné. Duˇsevn´ı rysy nikdo na vlastn´ı oˇci nevidˇel a pomoc´ı prav´ıtka je zmˇeˇrit nem˚ uˇzeme. Tvrzen´ı o metrické povaze v´ ysledk˚ u psychologick´ ych test˚ u proto nejde uspokojivˇe prokázat. Obecnˇe je vˇsak povaˇzujeme za pravdivé i pˇres v´ yhrady nˇekter´ ych psychometrik˚ u. 30

Jeˇstˇe jednou alternativou by bylo vedle parametrického testu pouˇz´ıt i neparametrick´ y, a kdyˇz z´ıskáme témˇeˇr shodné p-hodnoty, m˚ uˇzeme tuˇsit, ˇze k ˇzádnému selhán´ı nedoˇslo.

123

5.5

Anal´ yza s´ıly testu

Testy nulov´ ych hypotéz nejsou neomylné. Kdyˇz zam´ıtneme nulovou hypotézu, nemáme jistotu, ˇze skuteˇcnˇe neplat´ı, ani kdyˇz jsme dodrˇzeli vˇsechny podm´ınky statistického testu. Opaˇcná situace, kdyˇz nulovou hypotézu nezam´ıtneme, nám obvykle pˇrináˇs´ı jeˇstˇe menˇs´ı jistotou o tom, jaká je situace ve skuteˇcnosti. Kdyˇz provedeme test nulové hypotézy, m˚ uˇze doj´ıt hned k dvˇema druh˚ um chyb. Prvn´ı z nich nastává tehdy, kdyˇz nulová hypotéza plat´ı, a my ji pˇresto zam´ıtneme. Této chybˇe ˇr´ıkáme chyba prvn´ıho druhu a seznámili jsme se s n´ı v pˇredeˇsl´ ych kapitolách. Pravdˇepodobnost chyby prvn´ıho druhu si urˇcujeme sami prostˇrednictv´ım hladiny v´ yznamnosti α. Zvol´ıme-li tedy pˇetiprocentn´ı hladinu v´ yznamnosti, pak v pˇr´ıpadˇe, ˇze plat´ı nulová hypotéza, máme 5 % pravdˇepodobnost, ˇze se chyby prvn´ıho druhu dopust´ıme. Chyba druh´ eho druhu nastává tehdy, kdyˇz nulová hypotéza neplat´ı, my vˇsak jej´ı poruˇsen´ı nejsme schopni odhalit a nezam´ıtneme ji. Vˇzdy jsme vystaveni riziku jediné z tˇechto dvou chyb (nev´ıme vˇsak které), coˇz znázorˇ nuje tabulka (8). Pravdˇepodobnost toho, ˇze nastane chyba druhého druhu, znaˇc´ıme p´ısmenem β. Jej´ı velikost nen´ı pevnˇe dána, ale závis´ı hned na nˇekolika faktorech. Jsou to • hladina v´ yznamnosti α (ˇc´ım vyˇsˇs´ı α, t´ım niˇzˇs´ı β), • skuteˇcná m´ıra u ´ˇcinku (silnˇejˇs´ı efekty maj´ı niˇzˇs´ı pravdˇepodobnost β), • rozsah souboru (ˇc´ım vyˇsˇs´ı n, t´ım niˇzˇs´ı β), • s´ıla statistického testu (citlivˇejˇs´ı testy maj´ı niˇzˇs´ı pravdˇepodobnost β). Prvn´ı dva zmiˇ nované faktory jsou obvykle pevnˇe dány (α je tradiˇcnˇe 5 %, velikost efektu ovlivnit nedokáˇzeme). Dˇr´ıve neˇz prozkoumáme roli velikosti v´ ybˇeru, seznamme se podrobnˇeji se silou testu. Pˇredstavme si situaci, kdy chceme ovˇeˇrit nulovou hypotézu o jedné náhodné veliˇcinˇe ˇ by napˇr´ıklad o H0 : µ = µ0 a okolnosti nám umoˇzn ˇuj´ı vyuˇz´ıt t-test pro jeden v´ ybˇer. Slo situaci, z pˇredeˇsl´ ych kapitol, kdy jsme zkoumali u ´ˇcinnost námi navrˇzené metody v´ yuky Tabulka 8: Chyba prvn´ıho a druhého druhu Skuteˇcnost

Naˇse Zam´ıtáme rozhodnut´ı H0 Nezam´ıtáme H0

124

Plat´ı H0

Neplat´ı H0

Chyba I. druhu

Správné rozhodnut´ı

Správné rozhodnut´ı

Chyba II. druhu

Obrázek 35: Silofunkce statistického testu

Zobrazen´ a silofunkce patˇr´ı t-testu pro dva nezávislé v´ ybˇery o rozsaz´ıch n = m = 10. Osa x udává m´ıru poruˇsen´ı nulové hypotézy, tedy rozd´ıl mezi skupinami ve smˇerodatn´ ych odchylkách (tzv. Cohenovo d). ˇ ım je poruˇsen´ı H0 vˇetˇs´ı, t´ım se sniˇzuje pravdˇepodobnost chyby druhého druhu a roste s´ıla testu (tedy C´ pravdˇepodobnost zam´ıtnut´ı H0 ). V souladu s logikou statistick´ ych test˚ u, pokud je nulová m´ıra poruˇsen´ı H0 , test ji zam´ıtá s pravdˇepodobnost´ı α.

matematiky na stˇredn´ı ˇskole. Mˇejme pevnˇe danou hladinu α jako 5 % a ˇrekneme, ˇze nám rozpoˇcet umoˇzn ˇuje otestovat jen n student˚ u. Nakonec pˇredpokládejme, ˇze m´ıra u ´ˇcinku δ = 0.8 (ˇrecké p´ısmeno bylo zvoleno m´ısto klasického d pro zd˚ uraznˇen´ı faktu, ˇze nejde o odhad, ale o skuteˇcnou hodnotu, tedy parametr). Tyto u ´daje nám umoˇzn ˇuj´ı z´ıskat pˇresnou hodnotu pravdˇepodobnosti β, tedy toho, ˇze nastane situace, kdy nulovou hypotézu nezam´ıtneme, pˇrestoˇze metoda má nenulov´ y efekt (δ 6= 0). Doplnˇek této pravdˇepodobnosti, tedy 1 − β, se naz´ yvá s´ıla testu. S´ıla testu je pravdˇepodobnost, ˇze pˇri dan´ ych hodnotách α, n a δ test zam´ıtne nulovou hypotézu. Pochopitelnˇe, pokud je δ = 0, pak o s´ılu nejde, protoˇze zam´ıtnut´ı nulové hypotézy by bylo chybou. Zde vˇsak naráˇz´ıme na problém. Skuteˇcnou velikost efektu δ neznáme a vzhledem k tomu, ˇze se anal´ yzou s´ıly testu obvykle zab´ yváme pˇred proveden´ım samotného v´ yzkumu, nemáme k dispozici ani data, která by nám pomohla udˇelat jej´ı odhad. M˚ uˇzeme z´ıskat hodnotu s´ıly testu pro libovolnou hodnotu δ, a vytvoˇrit tak kˇrivku závislosti β na δ, pro dan´ y test pˇri pevném n. Této kˇrivce ˇr´ıkáme silofunkce a ilustruje ji obrázek (35). Kdybychom nakreslili do téhoˇz grafu pˇres sebe silofunkce v´ıce statistick´ ych test˚ u, vˇsimli bychom si urˇcit´ ych podobnost´ı a rozd´ıl˚ u. Vˇsechny testy by mˇely spoleˇcné to, ˇze pro δ = 0 je jejich pravdˇepodobnost zam´ıtnout nulovou hypotézu α, jelikoˇz takto testy konstruujeme.31 Pro vˇsechny testy by také platilo to, ˇze pro hodnoty δ velmi vzdálené od nuly je jejich s´ıla bl´ızká 100 %. Coˇz intuitivnˇe dává smysl – obrovsk´ y efekt témˇeˇr jistˇe 31 Toto tvrzen´ı nen´ı zcela pˇresné – existuj´ı testy, které pracuj´ı s disktrétn´ımi rozdˇelen´ımi a v bodˇe δ = 0 je jejich pravdˇepodobnost zam´ıtnut´ı nulové hypotéza menˇs´ı neˇz α.

125

ˇ ım je odhal´ıme. Rozd´ıl mezi testy je v tom, jak strmˇe kˇrivka smˇerem od nuly roste. C´ nár˚ ust strmˇejˇs´ı, t´ım test povaˇzujeme za silnˇejˇs´ı, jelikoˇz jiˇz pˇri malé hodnotˇe δ má test nezanedbatelnou ˇsanci, ˇze nulovou hypotézu zam´ıtne. V pˇr´ıpadˇe, ˇze pracujeme s normálnˇe rozdˇelen´ ymi náhodn´ ymi veliˇcinami, nenaˇsli bychom silnˇejˇs´ı test neˇz ty, co jsme jiˇz probrali, tedy parametrické testy. Z toho d˚ uvodu, kdyˇz hovoˇr´ıme o s´ıle testu, pouˇz´ıváme nˇekdy takzvanou relativn´ı eficienci32 , která poskytuje srovnán´ı daného testu s ekvivalentn´ım parametrick´ ym testem. Relativn´ı eficienci m˚ uˇzeme interpretovat jako hodnotu kolikrát ménˇe (nebo v´ıce) mˇeˇren´ı by potˇreboval parametrick´ y test, aby dosáhl stejné s´ıly jako test, kter´ y s n´ım srovnáváme. V praxi nám tyto znalosti sice pom˚ uˇzou vybrat nejsilnˇejˇs´ı moˇzn´ y test, nepom˚ uˇzou nám vˇsak pˇrekonat problém neznámé hodnoty δ, bez které nezjist´ıme pravdˇepodobnost chyby druhého druhu β. Zde se mus´ıme spolehnout na své zkuˇsenosti s psychologick´ ym v´ yzkumem. Nemus´ı j´ıt jen o zkuˇsenosti z prvn´ı ruky (aˇc ty jsou nejhodnotnˇejˇs´ı), ale pom˚ uˇze m´ıt otevˇrené oˇci pˇri ˇcten´ı odborn´ ych ˇclánk˚ u. Nejuˇziteˇcnˇejˇs´ı je znalost pˇredeˇsl´ ych v´ yzkum˚ u, které se pokouˇsely odpovˇedˇet na podobnou otázku, jako chystan´ y projekt. Máme-li tyto zkuˇsenosti, dokáˇzeme intuitivnˇe odhadnout, jaká je m´ıra u ´ˇcinku zkoumaného jevu. Náˇs odhad samozˇrejmˇe nebude zcela pˇresn´ y, ale nejsp´ıˇs se naˇse prognóza diametrálnˇe neodch´ yl´ı od skuteˇcnosti. Velikost efektu jsme zvykl´ı v psychologii popisovat slovnˇe jako malý/slabý, stˇredn´ı a velký/silný efekt. V pˇr´ıpadˇe, ˇze hovoˇr´ıme o korelaˇcn´ım koeficientu, odpov´ıdaly by tyto stupnˇe dle Cohena hodnotám nad 0.1, nad 0.3 a nad 0.5. Pro Cohenovo d byly navrˇzeny hranice 0.2, 0.5 a 0.8.33 Z tˇechto slovn´ıch oznaˇcen´ı m˚ uˇzeme vyj´ıt. Velké rozd´ıly jsou doopravdy velké – tedy pozorovatelné na prvn´ı pohled. Velký rozd´ıl je tˇreba ve v´ yˇsce muˇz˚ ua ˇzen (δ je pˇribliˇznˇe 1.5). Abychom odpovˇedˇeli na otázku, jestli jsou v pr˚ umˇeru muˇzi vyˇsˇs´ı neˇz ˇzeny, nemus´ıme nic poˇc´ıtat, rozd´ıl vid´ı kaˇzd´ y na vlastn´ı oˇci. Na podobné u ´rovni je koˇ tyto dva konstrukty relaˇcn´ı koeficient mezi neuroticismem a sebehodnocen´ım (ρ ≈ 0.7). Ze jsou tˇesnˇe svázány, zjist´ı i laik, kdyˇz mu jejich v´ yznam vysvˇetl´ıme. Budeme-li tedy testovat nˇeco, co vid´ıme“, ˇze je pravdivé i bez testu, m˚ uˇzeme poˇc´ıtat s velkým efektem. Do kate” gorie stˇrednˇe velkých efekt˚ u by patˇrily ty vztahy, které nerozeznáme na prvn´ı pohled, ale spolehlivˇe si jich vˇsimneme tehdy, pokud se budeme dan´ ym tématem delˇs´ı dobu zab´ yvat, a je vcelku jisté, ˇze se na jejich existenci shodneme s dalˇs´ımi lidmi, kteˇr´ı maj´ı s dan´ ym jevem zkuˇsenosti. Stˇrednˇe silný vztah bychom mohli oˇcekávat tˇreba tehdy, kdyˇz bychom porovnávali sklony ke sbˇeratelstv´ı u muˇz˚ u a ˇzen (s ohledem na pouˇzitou metodologii by 32 ˇ Ci sp´ıˇse asymptotickou relativn´ı eficienci. Relativn´ı eficience nemus´ı b´ yt pˇresnˇe stejná pro vˇsechny rozsahy souboru. Asymptotick´ a relativn´ı eficience popisuje pˇr´ıpad, kdy se n bl´ıˇz´ı nekoneˇcnu. 33 Tyto dvˇe sady prahov´ ych hodnot si ve skuteˇcnosti neodpov´ıdaj´ı. Pokud bychom chtˇeli b´ yt velmi striktn´ı, mohli bychom vyuˇz´ıt to, ˇze r a d m˚ uˇzeme vzájemnˇe pˇrevádˇet (lze k tomu pouˇz´ıt testová statistika t, kter´ a je obˇema druh˚ um z´ avislosti/rozd´ılu spoleˇcná). Hodnotám r 0.1, 0.3, 0.5 by odpov´ıdaly hodnoty 2r . d 0.20, 0.63, 1.15. K pˇrevodu byl pouˇzit vztah d = √1−r 2

126

tento vztah vˇsak mohl pˇrecházet aˇz do silného). Nakonec slabé vztahy jsou ty, které bez vhodn´ ych nástroj˚ u nerozeznáme a jejich existenci sp´ıˇs tuˇs´ıme, neˇz pˇr´ımo pozorujeme. I kdyˇz se dan´ ym jevem odbornˇe zab´ yváme, existenc´ı slabého vztahu si nem˚ uˇzeme b´ yt zcela jisti a naraz´ıme na nˇej sp´ıˇs v podobˇe stereotyp˚ u. Napˇr´ıklad na poznatek, ˇze zrzav´ı lidé snáˇs´ı h˚ uˇre bolest, naraz´ıme nejsp´ıˇs jen v lidov´ ych moudrech anesteziolog˚ u, neˇz abychom si jej sami vˇsimli. Pˇri vhodné metodologii bychom jej vˇsak mohli skuteˇcnˇe zachytit. Do podobné kategorie by patˇril rozd´ıl v extraverzi mezi psychology a matematiky. Pravdou je, ˇze vˇetˇsina efekt˚ u, které se studenti snaˇz´ı ve sv´ ych pracech zmapovat, jsou slabé. Plyne to mimo jiné z toho, ˇze v touze po origináln´ıch tématech se studenti pokouˇs´ı ovˇeˇrit vztahy, které jeˇstˇe nikdo neovˇeˇroval (nejsp´ıˇs proto, ˇze si jich nikdo nevˇsiml), a taky z toho, ˇze jsme ˇcasto vybaveni jen nepˇresn´ ymi nástroji, jak dan´ y konstrukt zmˇeˇrit, coˇz pozorovanou s´ılu efektu sniˇzuje. Vydáme-li se touto cestou, je anal´ yza s´ıly testu skoro nezbytná. Bˇeˇznˇe se setkáváme s t´ım, kdy má nezkuˇsen´ y v´ yzkumn´ık ambice ovˇeˇrit existenci efektu tohoto druhu na souboru nˇekolika des´ıtek pozorován´ı. 5.5.1

*V´ ypoˇ cet s´ıly testu*

Se znalost´ı m´ıry u ´ˇcinku jiˇz máme vˇsechny ingredience, abychom spoˇc´ıtali pravdˇepodobnost chyby druhého druhu β. V´ ypoˇcet za nás obvykle zajiˇst’uje statistick´ y program, na ukázku uved’me postup zjiˇstˇen´ı s´ıly pro t-test (jednov´ ybˇerov´ y i dvouv´ ybˇerov´ y) a test Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu. Pˇredstavme si situaci, kdy srovnáváme dvˇe náhodné veliˇciny se stˇredn´ımi hodnotami µ1 a µ2 a testujeme platnost nulové hypotézy H0 : µ1 = µ2 pomoc´ı t-testu pro dva nezávislé v´ ybˇery. Pokud by nulová hypotéza platila, v´ıme zcela pˇresnˇe, jak se chová testová statistika – má Studentovo rozdˇelen´ı s m + n − 2 stupni volnosti. Tuto znalost pouˇz´ıváme k tomu, abychom stanovili kritick´ y obor, tedy takov´ y interval, aby pravdˇepodobnost, ˇze do nˇej za platnosti H0 padne hodnota testové statistiky, byla rovna α. Pokud by tˇreba n = m = 10 a α = 0.05, pak by vˇsechny hodnoty testové statistiky, co opust´ı interval t α2 (n + m − 2), t1− α2 (n + m − 2) , tedy (−2.10, 2.10), nás povedou k zam´ıtnut´ı nulové hypotézy. Jestli se tak dˇeje za platnosti H0 v 5 % pˇr´ıpad˚ u, jak ˇcasto se tak bude d´ıt, kdyˇz H0 neplat´ı a srovnávané stˇredn´ı hodnoty se liˇs´ı o δ smˇerodatn´ ych odchylek? Abychom to mohli zjistit, museli bychom znát rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti testové statistiky pˇri dané hodnotˇe δ. Tady se problém stává komplikovanˇejˇs´ım. Intuitivnˇe si pˇredstav´ıme, ˇze se graf hustoty pravdˇepodobnosti statistiky t v˚ uˇci své p˚ uvodn´ı poloze posune. Pravda vˇsak je, ˇze pˇri tomto posunut´ı Studentovo rozdˇelen´ı nezmˇen´ı jenom svou polohu, ale i tvar – kˇrivka hustoty se zaˇcne nepatrnˇe deformovat. K popisu této zmˇeny polohy i tvaru pouˇz´ıvaj´ı statistikové takzvané necentráln´ı Studentovo rozdˇelen´ı. Jak pˇresnˇe toto rozdˇelen´ı vypadá a jaké má vlastnosti, pro nás ted’ nen´ı zaj´ımavé. D˚ uleˇzité je to, ˇze 127

Obrázek 36: Chován´ı testové statistiky za platnosti H0 a HA

Graf zn´ azorˇ nuje stejnou situaci jako obr´ azek (35), jde tedy o t-test pro dva nezávislé v´ ybˇery o rozsaz´ıch n = m = 10. Hustota pravdˇepodobnosti vlevo odpov´ıdá Studentovu t-rozdˇelen´ı s 18ti stupni volnosti. Popisuje tedy chov´ an´ı testové statistiky v pˇr´ıpadˇe, ˇze δ = 0. Hustota pravdˇepodobnosti vpravo odpov´ıd´ a chov´ an´ı testové statistiky pˇri δ = 1.3 (tedy za platnosti HA ).

jsme schopni (pomoc´ı statistického programu) zjistit hodnoty jeho distribuˇcn´ı funkce a hustoty pravdˇepodobnosti. M˚ uˇzeme pak odpovˇedˇet na naˇsi otázku Kdyˇz budu zam´ıtat ” H0 , kdykoli hodnota t opust´ı interval (−2.10, 2.10), jak ˇcasto k tomu bude docházet, pokud se stˇredn´ı hodnoty sledovaných náhodných veliˇcin µ1 a µ2 liˇs´ı o δ smˇerodatných odchylek? “ Odpovˇed´ı je hledaná s´ıla testu a znázorˇ nuje ji obrázek (36). Pˇreved’me tuto u ´vahu do matematick´ ych vzorc˚ u. Vezmˇeme distribuˇcn´ı funkci náhodné veliˇciny s necentráln´ım Studentov´ ym rozdˇelen´ım s n+m−2 stupni volnosti, kde parametr necentrality (znaˇcme jej ∆) odpov´ıdá tomu, o kolik jednotek bude graf hustoty posunut´ y. V pˇr´ıpadˇe t-testu pro dva nezávislé v´ ybˇery bude hodnota tohoto parametru rovná v´ yrazu34 ∆= q

δ 1 n

+

. 1 m

Tuto distribuˇcn´ı funkci necentráln´ıho rozdˇelen´ı znaˇcme F∆,n+m−2 . Pravdˇepodobnost, ˇze se testová statistika bude realizovat s hodnotou vyˇsˇs´ı neˇz 2.26 (obecnˇe neˇz t1−α/2 (n + m − 2)) je 1 − F∆,n+m−2 t1−α/2 (n + m − 2) = 1 − F2.91, 18 (2.26). Abychom z´ıskali zcela pˇresn´ y v´ ysledek, mus´ıme pˇripoˇc´ıst i pravdˇepodobnost toho, ˇze se testová statistika bude realizovat s hodnotou menˇs´ı neˇz −2.26. Jak je vidˇet z grafu (36), tato pravdˇepodobnost je v naˇsem pˇr´ıpadˇe prakticky nulová. Obecnˇe ji vyjádˇr´ıme jako F∆,n+m−2 tα/2 (n + m − 2) . Celkovˇe bychom tedy s´ılu testu z´ıskali ze vztahu 1 − β = 1 − F∆,n+m−2 t1−α/2 (n + m − 2) + F∆,n+m−2 tα/2 (n + m − 2) . 34

Proˇc tomu tak je, m˚ uˇze b´ ytq ˇcten´ aˇri zˇrejmˇejˇs´ı, kdyˇz pˇripomeneme vztah mezi hodnotou testové sta1 1 tistiky t a m´ırou u ´ˇcinku: d = t · n + m .

128

Zcela stejnou logiku bude m´ıt v´ ypoˇcet s´ıly testu pro jednov´ ybˇerov´ y t-test. Jedinou zmˇenou bude to, ˇze zde m´ısto n + m − 2 bude vystupovat n − 1 stupˇ n˚ u volnosti a ˇze parametr q √ necentrality stanov´ıme jako ∆ = δ/ n1 = δ n. Anal´ yza s´ıly testu Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu pouˇz´ıvá stejn´ y princip. Testujme hypotézu H0 : ρ = 0. V´ ypoˇcet bychom mohli provádˇet nˇekolika zp˚ usoby; nejjednoduˇsˇs´ı je vyuˇzit´ı Fisherovy Z transformace, pomoc´ı které m˚ uˇzeme pˇrevést korelaˇcn´ı koeficient R na testovou statistiku U s normáln´ım rozdˇelen´ım a tu na statistiku Z, která má za platnosti H0 normované normáln´ı rozdˇelen´ı (viz kapitola 5.4.4). V´ yhoda práce s normáln´ım rozdˇelen´ım je taková, ˇze zde nemus´ıme pracovat s parametrem necentrality, jelikoˇz toto rozdˇelen´ı se pˇri posunut´ı nedeformuje. Velikost jeho posunut´ı odpov´ıdá skuteˇcné hodnotˇe korelaˇcn´ıho koeficientu ρ transformované pomoc´ı Fisherovy transformace: √ 1 1+ρ z = · ln · n − 3. 2 1−ρ Hodnotu s´ıly testu pak stanov´ıme pomoc´ı distribuˇcn´ı funkce normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı (znaˇcme ji F ): 1 − β = 1 − F Φ1− α2 − z + F Φ α2 − z , kde Φ je kvantil normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı. Jeden ze sˇc´ıtanc˚ u bude opˇet ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u bl´ızk´ y nule, mohl by b´ yt proto zanedbán. 5.5.2

Stanoven´ı rozsahu souboru

ˇ aˇr˚ Cten´ um, kteˇr´ı si nelibuj´ı v pronikán´ı do taj˚ u statistické anal´ yzy dat, se moˇzná pˇri ˇcten´ı pˇredchoz´ıch stránek zmocnily pochybnosti, zdali je nezbytné znát pravdˇepodobnost chyby druhého druhu. Je opravdu tento poznatek tak d˚ uleˇzit´ y, abychom kv˚ uli nˇemu zavádˇeli tolik nov´ ych pojm˚ u a koncept˚ u? Aˇc chybu druhého druhu obvykle nikde neuvád´ıme, schopnost stanovit jej´ı velikost nám pˇrináˇs´ı obrovsk´ y uˇzitek. S jej´ı pomoc´ı m˚ uˇzeme zjistit, jak velk´ y v´ yzkumn´ y soubor pro náˇs projekt potˇrebujeme. Pˇredstavme si, ˇze chceme prozkoumat kontroverzn´ı discipl´ınu jménem grafometrie. Je to metoda, která hledá souvislost mezi rukopisem jedince a jeho duˇsevn´ımi vlastnostmi. Pouˇzijeme následuj´ıc´ı v´ yzkumn´ y design. Skupinu dobrovoln´ık˚ u necháme napsat vlastn´ı rukou text a dále je vyˇsetˇr´ıme pomoc´ı Rorschachova testu. Text zanalyzujeme a kvantifikujeme pozorované ukazatele (napˇr´ıklad velikost p´ısma, jeho sklon, navázán´ı p´ısmen atd.) Pokus´ıme se ovˇeˇrit hypotézu, jestli velikost p´ısma koreluje s m´ırou u ´zkostlivosti, kterou 129

jsme z´ıskali z Rorschachova testu. Jelikoˇz se jedná o v´ yzkum v rámci naˇs´ı bakaláˇrské práce, nemáme velk´ y rozpoˇcet, takˇze 10 aˇz 20 pokusn´ ych osob je maximum, co jsme schopni vyˇsetˇrit. Pˇri velké snaze, moˇzná aˇz 30 jedinc˚ u. Otázka zn´ı, jestli to je adekvátn´ı rozsah souboru? Na prvn´ı pohled by zde nemˇel b´ yt problém – pokud nemáme ambice zobecˇ novat naˇse v´ ysledky na celou populaci, reprezentativnost zajist´ı i mal´ y homogenn´ı soubor. Anal´ yza s´ıly testu vˇsak na chystan´ y projekt vrhne u ´plnˇe jiné svˇetlo. V prvé ˇradˇe zkusme odhadnout s´ılu vztahu zkouman´ ych náhodn´ ych veliˇcin. I kdyˇz pˇripust´ıme pˇredpoklad, ˇze u ´zkostn´ı lidé p´ıˇsou menˇs´ım p´ısmem, zˇrejmˇe nebudeme oˇcekávat hodnoty korelaˇcn´ıho koeficientu vyˇsˇs´ı neˇz 0.2 nebo 0.3. S´ıla závislosti je nav´ıc zasaˇzena t´ım, ˇze u ´zkostlivost mˇeˇr´ıme ponˇekud nepˇresnˇe pomoc´ı projektivn´ı metody. Nakonec si poloˇzme otázku, jakou pravdˇepodobnost chyby druhého druhu jsme ochotni tolerovat. Rozumné se m˚ uˇzou zdát hodnoty mezi 0.1 aˇz 0.2. Jelikoˇz nejde o závaˇzn´ y projekt, spokoj´ıme se s ˇc´ıslem 0.25, tedy se silou testu 0.75. Z´ıskané hodnoty dosad´ıme do vzorce (respektive je zadáme statistickému programu) a zjist´ıme, ˇze pro n = 10 a ρ = 0.3 je pravdˇepodobnost odhalen´ı vztahu rovna 0.13. Tedy pravdˇepodobnost toho, ˇze nulovou hypotézu nezam´ıtne, pˇrestoˇze neplat´ı (β), je pˇribliˇznˇe 87 %. Zvˇetˇs´ıme-li rozsah souboru na 20 jedinc˚ u, najdeme podobnˇe neuspokojivou hodnotu 0.25. Kdyˇz s nasazen´ım vˇsech sil z´ıskáme data od 30 respondent˚ u, stále bude s´ıla testu jen 0.36. Zdaleka se tedy nebl´ıˇz´ıme námi stanovené hodnotˇe 0.75. Abychom na ni dosáhli, potˇrebujeme vyˇsetˇrit nejménˇe 76 jedinc˚ u. Pˇred plánován´ım v´ yzkumu je rozumné vˇenovat anal´ yze s´ıly testu sv˚ uj ˇcas. Zjist´ıme tak, ˇze nˇekteré projekty jsou pˇredem odsouzeny k nezdaru. Ba co v´ıc, i kdybychom dosáhli v´ yˇse uvedené hodnoty 0.75, znamená to, ˇze je zde stále 25% pravdˇepodobnost, ˇze pˇrestoˇze je naˇse hypotéza správná, test selˇze a signifikantn´ı vztah neodhal´ı. Nákladné v´ yzkumy, kde je u ´spˇech d˚ uleˇzit´ y, by nemˇely operovat se silou testu niˇzˇs´ı neˇz 0.9. Doplˇ nme jeˇstˇe nˇekolik technick´ ych poznámek k danému postupu. Funkci, která by nám poskytla poˇzadovan´ y poˇcet jedinc˚ u, nemáme – jednoduˇse zkouˇs´ıme r˚ uzné rozsahy souboru od nejmenˇs´ıho po vˇetˇs´ı, neˇz dosáhneme poˇzadované s´ıly testu. S pomoc´ı poˇc´ıtaˇce je to otázka okamˇziku. Statistické programy umoˇzn ˇuj´ı analyzovat s´ılu testu pro rozmanité testy. M˚ uˇzeme vˇsak narazit na situaci, kdy test, kter´ y chceme provést, v nab´ıdce scház´ı (typicky jde o neparametrické metody). Obvykle postupujeme tak, ˇze zjist´ıme poˇzadovan´ y poˇcet mˇeˇren´ı, které by vyˇzadovala ekvivalentn´ı parametrická metoda a v´ ysledek budeme brát jako spodn´ı odhad.

130

5.6

Testy dobr´ e shody a dalˇ s´ı testy ˇ cetnost´ı

V této kapitole se seznám´ıme s nˇekolika testy, které m˚ uˇzeme uplatnit pˇri práci s ˇcetnostmi. Testy dobré shody leˇz´ı na rozhran´ı test˚ u parametrick´ ych a neparametrick´ ych. S neparametrick´ ymi testy maj´ı spoleˇcné to, ˇze nekladou pˇr´ısné podm´ınky na sledované veliˇciny. S parametrick´ ymi to, ˇze nijak neredukuj´ı sledované veliˇciny a vyuˇz´ıvaj´ı celou informaci, která je obsaˇzena v datech. Pro testy dobré shody je typické, ˇze pracuj´ı s asymptoticky normáln´ım rozdˇelen´ım. Zaˇcnˇeme tedy vysvˇetlen´ım, jak se pomoc´ı asymptotiky m˚ uˇzeme k normáln´ımu rozdˇelen´ı dostat. Pˇredstavme si jednoduchou situaci, kdy máme n pozorován´ı veliˇciny X, která má alternativn´ı rozdˇelen´ı s parametrem p. Mohlo by tˇreba j´ıt o soubor záznam˚ u pacient˚ u, kter´ ym byla diagnostikována porucha pˇr´ıjmu potravy. Obecnˇe se uvád´ı, ˇze z 90 % tˇemito poruchami trp´ı ˇzeny a z 10 % muˇzi. Tuto hypotézu chceme ovˇeˇrit – tedy H0 : p = 0.1. K dispozici máme 1000 záznam˚ u a napoˇc´ıtali jsme mezi nimi 80 muˇz˚ u a zbytek ˇzen. Jedna cesta, jak naˇsi hypotézu ovˇeˇrit, by vyuˇz´ıvala binomického rozdˇelen´ı. To, ˇze jsme z´ıskali 1000 záznam˚ u a spoˇc´ıtali, kolik z nich patˇr´ı muˇz˚ um, lze pˇri platnosti H0 na jednu stranu povaˇzovat za 1000 nezávisl´ ych realizac´ı náhodné veliˇciny X ∼ Alt(0.1). Na situaci se ale m˚ uˇzeme pod´ıvat téˇz jako na jedinou realizaci náhodné veliˇciny poˇcet muˇz˚ u (znaˇcme Y ), která má za platnosti nulové hypotézy rozdˇelen´ı Bi(1000, 0.1). (Pokud se vám zdá tato u ´vaha nejasná, pˇreˇctˇete si znovu kapitoly 2.6.1 a 2.6.2). Pomoc´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce binomického rozdˇelen´ı um´ıme vyˇc´ıslit pravdˇepodobnost toho, ˇze se veliˇcina Y bude realizovat s libovolnou hodnotou. Naˇsemu v´ ysledku 80 by odpov´ıdala pravdˇepodobnost P (Y = 80) = 0.0043. Abychom z´ıskali p-hodnotu, museli bychom seˇc´ıst pravdˇepodobnosti vˇsech v´ ysledk˚ u, které jsou jeˇstˇe extrémnˇejˇs´ı (ve smyslu ménˇe pravdˇepodobné) neˇz náˇs v´ ysledek. Pro jednostrannou hypotézu by ˇslo o pravdˇepodobnosti P (Y = 0), P (Y = 1), . . . ,P (Y = 80), jejichˇz souˇcet je 0.0176. Pro oboustrannou p-hodnotu bychom museli naj´ıt i stejnˇe nebo v´ıce extrémn´ı vysoké hodnoty. Ty budou zaˇc´ınat nˇekde u P (Y = 120), ne vˇsak pˇresnˇe, jelikoˇz binomické rozdˇelen´ı je symetrické pouze pokud je oˇcekávaná pravdˇepodobnost u ´spˇechu 50 %. Oboustranná p-hodnota je rovna ˇc´ıslu 0.0349. Tato cesta sice garantuje nalezen´ı pˇresné p-hodnoty, je ale pomˇernˇe pracná a neumoˇzn ˇuje nˇekteré uˇziteˇcné transformace veliˇciny Y . Je zde vˇsak druhá cesta, která vyuˇz´ıvá asymptotiky. Dosahuje-li parametr n vyˇsˇs´ı hodnoty a parametr p nen´ı pˇr´ıliˇs bl´ızko k nule nebo jedniˇcce, podobá se graf pravdˇepodobnostn´ı funkce veliˇciny s binomick´ ym rozdˇelen´ım ˇ ım je hodnota parametru n grafu hustoty náhodné veliˇciny s normáln´ım rozdˇelen´ım. C´ vyˇsˇs´ı, t´ım je podobnost zˇretelnˇejˇs´ı a pˇri nekoneˇcném rozsahu souboru jsou obˇe rozdˇelen´ı identická. M˚ uˇzeme proto ˇr´ıct, ˇze takto vzniklá náhodná veliˇcina má asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı. (Nepˇripadá-li vám tento poznatek intuitivn´ı, osvˇeˇzte si znalosti centráln´ıho li131

mitn´ıho teorému z kapitoly 2.7.3.) S normáln´ım rozdˇelen´ım dokáˇzeme pracovat. T´ım, ˇze od nˇej odeˇcteme jeho stˇredn´ı hodnotu a vydˇel´ıme smˇerodatnou odchylkou, jej pˇrevedeme na normované normáln´ı rozdˇelen´ı, jehoˇz distribuˇcn´ı funkce je tabelovaná. Snadno dohledáme, ˇze stˇredn´ı hodnota náhodné veliˇciny s binomick´ ym rozdˇelen´ım je np a jej´ı rozptyl np(1 − p). Plat´ı tedy, ˇze Y − np p ∼ N (0, 1). np(1 − p) Po dosazen´ı u ´daj˚ u z naˇseho pˇr´ıkladu z´ıskáme hodnotu −2.11 a z n´ı dvoustrannou phodnotu 0.0350. Aˇc se jednalo o pˇribliˇznou aproximaci, jej´ı pˇresnost je postaˇcuj´ıc´ı. Abychom mohli udˇelat dalˇs´ı krok, pˇripomeˇ nme definici rozdˇelen´ı χ2 . Náhodná veliˇcina má rozdˇelen´ı χ2 s ν stupni volnosti, kdyˇz vzniká jako souˇcet druh´ ych mocnin ν nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin, z nichˇz má kaˇzdá normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Vezmeme-li tedy námi vytvoˇrenou veliˇcinu s normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım a umocn´ıme ji na druhou, z´ıskáme náhodnou veliˇcinu Z s rozdˇelen´ım χ2 s jedn´ım stupnˇem volnosti. Pro kontrolu (−2.11)2 = 4.44. V tabulkách m˚ uˇzeme zjistit, ˇze distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny s t´ımto rozdˇelen´ım má v bodˇe 4.44 hodnotu 0.9650, coˇz je po odeˇcten´ı od jedniˇcky opˇet 0.0350. Plat´ı tedy vztah Z=

Y − np p np(1 − p)

2

(Y − np)2 = ∼ χ2 (1). np(1 − p)

To vˇsak nen´ı posledn´ı krok naˇs´ı u ´vahy. Náhodnou veliˇcinu Z m˚ uˇzeme ekvivalentnˇe pˇrepsat do jiné podoby: Z=

(n1 –np1 )2 (n2 –np2 )2 (Y − np)2 = + ∼ χ2 (1), np(1 − p) np1 np2

kde p1 odpov´ıdá p˚ uvodn´ımu p (v naˇsem pˇr´ıpadˇe relativn´ı ˇcetnosti muˇz˚ u za platnosti H0 ) a p2 je jeho doplnˇek (relativn´ı ˇcetnost ˇzen za platnosti H0 ). Analogicky veliˇciny n1 a n2 oznaˇcuj´ı absolutn´ı ˇcetnosti muˇz˚ u a ˇzen (Y = n1 ). Jednotlivé ˇcleny v uvedeném vztahu jsou intuitivnˇe interpretovatelné. Hodnoty n1 a n2 jsou pozorované ˇcetnosti a np1 a np2 jsou ˇcetnosti, které bychom oˇcekávali za platnosti nulové hypotézy. Posledn´ı krok, kter´ y pˇrináˇs´ı fascinuj´ıc´ı zjiˇstˇen´ı, bohuˇzel dokázat neum´ıme. Pokud bychom nepracovali jen s dvˇema u ´rovnˇemi sledované promˇenné (s muˇzi a ˇzenami), ale obecnˇe s k u ´rovnˇemi, mohli bychom v´ yˇse uveden´ y vzorec pouˇz´ıt také, jen bychom za kaˇzdou u ´roveˇ n sledované veliˇciny pˇridali jeden sˇc´ıtanec s vlastn´ı oˇcekávanou a pozorova132

Obrázek 37: Stanoven´ı p-hodonty pomoc´ı statistiky s rozdˇelen´ım χ2 u test˚ u dobré shody

nou ˇcetnost´ı npj a nj . V´ ysledná veliˇcina by pak mˇela rozdˇelen´ı χ2 s k −1 stupni volnosti.35 Obecnˇe pˇri testech dobré shody tedy budeme pracovat se statistikou k X (pozorovaná ˇcetnostj − oˇcekávaná ˇcetnostj )2 , Z= oˇ c ek´ a van´ a ˇ c etnost j j=1

ˇ která bude m´ıt vˇzdy rozdˇelen´ı χ2 . Casto se proto testy dobré shody oznaˇcuj´ı jako testy ch´ı kvadrát, aˇc takovéto pojmenován´ı nen´ı zcela pˇresné.36 Co se t´ yˇce stanovován´ı p-hodnoty ze z´ıskané hodnoty testové statistiky, mˇeli bychom si uvˇedomit jeden zásadn´ı rozd´ıl mezi rozdˇelen´ım χ2 a normáln´ım rozdˇelen´ım. Pokud jsme pracovali s normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım, nasvˇedˇcovaly poruˇsen´ı nulové hypotézy jak vysoké tak n´ızké (záporné) hodnoty testové statistiky (pokud ˇslo o dvoustrannou hypotézu). Pˇri v´ ypoˇctu test˚ u dobré shody se ale normáln´ı rozdˇelen´ı umocˇ nuje na druhou, a testová statistika tak ztrác´ı záporné znaménko. Tedy vˇsechny hodnoty, co naznaˇcovaly poruˇsen´ı nulové hypotézy at’ uˇz v kladném nebo záporném smˇeru, se pˇreklop´ı do vysok´ ych kladn´ ych hodnot. Mluv´ıme-li tedy o testech dobré shody, které pouˇz´ıvaj´ı testovou statistiku s rozdˇelen´ım χ2 , vˇzdy testujeme pravostrannou hypotézu a p-hodnotu z´ıskáme z pravého chvostu rozdˇelen´ı. Kritick´ y obor bychom tedy stanovili jako W = [χ21−α (ν), ∞), kde ν je pˇr´ısluˇsn´ y poˇcet stupˇ n˚ u volnosti. Ilustruje to obrázek (37). 35

Aˇc toto tvrzen´ı neum´ıme odvodit, zd´ a se intuitivnˇe pravdivé. Poˇcty pozorován´ı, která maj´ı danou u ´roveˇ n sledované vlastnosti, maj´ı binomická rozdˇelen´ı. Pokud vˇsak v´ıme, kolik pozorován´ı pˇripadá na prvn´ıch k − 1 u ´rovn´ı, pak posledn´ı u ´roveˇ n je daná, nikoli náhodná – zákonitˇe do n´ı mus´ı spadat zbytek pozorov´ an´ı. Situaci tedy lze popsat pomoc´ı k − 1 binomick´ ych rozdˇelen´ı. 36 Obecnˇe nen´ı pojmenov´ an´ı test˚ u ch´ı kvadr´ at moc pˇrehledné. Pod t´ımto názvem (nˇekdy téˇz Pearson˚ uv ch´ı kvadr´ at) se skr´ yvaj´ı pˇrinejmenˇs´ım tˇri testy: test dobré shody (pro jeden v´ ybˇer), test nezávislosti a test homogenity. V tomto textu vˇsechny tyto testy budeme obecnˇe naz´ yvat testy dobré shody, aˇc se toto oznaˇcen´ı nejˇcastˇeji pouˇz´ıv´ a v pˇr´ıpadˇe prvn´ıho jmenovaného testu. Logika tohoto oznaˇcen´ı je ta, ˇze testujeme shodu mezi oˇcek´ avan´ ymi ˇcetnostmi a ˇcetnostmi pozorovan´ ymi.

133

5.6.1

Test dobr´ e shody pro jeden v´ ybˇ er

Test dobré shody pro jeden v´ ybˇer pouˇzijeme v situaci, kdy máme nomináln´ı náhodnou veliˇcinu X o k u ´rovn´ıch a ovˇeˇrujeme nulovou hypotézu, která stanovuje pravdˇepodobnosti v´ yskytu jednotliv´ ych u ´rovn´ı. Tedy H0 : p1 = p01 , p2 = p02 , . . . , pk = p0k , kde pj = P (X = j). Pˇri ˇreˇsen´ı nejprve spoˇc´ıtáme absolutn´ı ˇcetnosti jednotliv´ ych u ´rovn´ı náhodné veliˇciny X a pojmenujeme je n1 aˇz nk . Dále stanov´ıme oˇcekávané absolutn´ı ˇcetnosti. Ty z´ıskáme tak, ˇze vynásob´ıme poˇcet pozorován´ı pravdˇepodobnost´ı, kterou stanovuje nulová hypotéza, tedy np0j . Pokud se ˇctenáˇri nedaˇr´ı pˇredstavit si, jak by taková nulová hypotéza mohla zn´ıt, bylo by to napˇr´ıklad: Vˇeková struktura obyvatel Olomouce ˇ (zde by se pˇredpokládalo rozdˇelen´ı spojité promˇenné vˇek odpov´ıdá vˇekové struktuˇre CR ˇ se neliˇs´ı napˇr´ıˇc dny do nˇekolika vˇekov´ ych kategori´ı) nebo Pr˚ umˇerný poˇcet sebevraˇzd v CR v týdnu (pokud bychom chtˇeli ovˇeˇrovat Frankl˚ uv koncept nedˇeln´ıch neuróz). V druhém pˇr´ıpadˇe by zˇrejmˇe bylo k = 7 a pravdˇepodobnosti p01 aˇz p07 by se rovnaly 17 . Hodnoty n1 aˇz n7 by zachycovaly poˇcty sebevraˇzd v jednotlivé dny v t´ ydnu. Druhou moˇznost´ı by bylo rozdˇelit dny v t´ ydnu pouze na dvˇe kategorie (nen´ı v´ıkend / je v´ıkend) a stanovit jim pravdˇepodobnosti

5 7

a 27 . Pro testovou statistiku Z pak plat´ı k X (nj − np0j )2 Z= ∼ χ2 (k − 1). np 0j j=1

Test dobré shody má jediné omezen´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze nˇekterá z oˇcekávan´ ych ˇcetnost´ı je velmi malá (tradiˇcnˇe se uvád´ı menˇs´ı neˇz 5), nen´ı asymptotika jeˇstˇe dostateˇcnˇe silná, ˇ sen´ım pak je aby zajistila pˇresnou aproximaci, a test se stává pˇr´ıliˇs konzervativn´ım. Reˇ slouˇcit tuto málo zastoupenou kategorii s nˇejakou jinou kategori´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze máme velké mnoˇzstv´ı kategori´ı, lze tolerovat v´ yskyt nˇekolika oˇcekávan´ ych ˇcetnost´ı menˇs´ıch neˇz 5, celkovˇe jich vˇsak nesm´ı b´ yt v´ıce neˇz

1 4

a ˇza´dná z nich se nesm´ı rovnat nebo tˇesnˇe bl´ıˇzit

nule. U test˚ u dobré shody obvykle neuvád´ıme ˇza´dn´ y ukazatel m´ıry u ´ˇcinku. Metoda nav´ıc neposkytuje ani podrobnou informaci o tom, které u ´rovnˇe sledované promˇenné se v´ yraznˇe vymykaj´ı naˇsemu oˇcekáván´ı, a pˇrispˇely tak nejvˇetˇs´ı vahou k zam´ıtnut´ı nulové hypotézy. Tuto informaci vˇsak m˚ uˇzeme z´ıskat tak, ˇze srovnáme hodnoty jednotliv´ ych sˇc´ıtanc˚ u, které se skládaj´ı do testové statistiky Z. V textu reportujeme v´ ysledky testu dobré shody napˇr´ıklad takto: Pˇrestoˇze na nedˇeli pˇripadá nejv´ıce sebevraˇzd (16 %), je jejich rozprostˇren´ı v pr˚ ubˇehu týdne rovnomˇerné, χ2 (6, n = 594) = 4.28, p = 0.64. 134

5.6.2

Kontingenˇ cn´ı tabulky a jejich testov´ an´ı

Ovˇeˇrujeme-li vztah dvou nomináln´ıch promˇenn´ ych, pˇrijde nám vhod test nezávislosti. Dˇr´ıve, neˇz pop´ıˇseme jeho princip, seznamme se s kontingenˇcn´ımi tabulkami, které pˇri práci s v´ıce nomináln´ımi promˇenn´ ymi pouˇz´ıváme. Kontingenˇcn´ı tabulka zachycuje rozdˇelen´ı n pozorován´ı, u kter´ ych sledujeme hodnoty dvou kvalitativn´ıch znak˚ u, které odpov´ıdaj´ı náhodn´ ym veliˇcinám X a Y 37 . Náhodná veliˇcina X nab´ yvá r u ´rovn´ı a Y má u ´rovn´ı s. Kontingenˇcn´ı tabulka pak bude m´ıt r ˇra´dk˚ u a s sloupc˚ u a kaˇzdá buˇ nka bude pˇredstavovat jednu kombinaci u ´rovn´ı náhodn´ ych veliˇcin X a Y . Hodnoty v buˇ nkách (znaˇcme je nij , kde i identifikuje ˇrádek a j sloupec) oznaˇcuj´ı poˇcty pozorován´ı, která maj´ı danou kombinaci hodnot promˇenn´ ych X a Y . Na obvod kontingenˇcn´ı tabulky doplˇ nujeme sloupcové a ˇrádkové souˇcty, které oznaˇcujeme jako margin´ aln´ı ˇ cetnosti. Margináln´ı ˇcetnosti jsou tedy poˇcty pozorován´ı, která maj´ı danou hodnotu jedné promˇenné bez ohledu na hodnotu promˇenné druhé. Oznaˇcujeme je pomoc´ı punt´ık˚ u (viz tabulka 9a). V pˇr´ıpadˇe, ˇze jsme kontingenˇcn´ı tabulku vytvoˇrili z dvou promˇenn´ ych, které maj´ı alternativn´ı rozdˇelen´ı, a obsahuje tedy ˇctyˇri hodnoty, pak ji oznaˇcujeme jako ˇ ctyˇ rpoln´ı tabulku. Kontingenˇcn´ı tabulku bychom pouˇzili napˇr´ıklad tehdy, kdyˇz bychom zkoumali, zdali si (zdrav´ı) lidé, kteˇr´ı se rozhodli vstoupit do psychoterapie, vyb´ıraj´ı psychoterapeuta urˇcitého smˇeru (napˇr. psychoanal´ yza, KBT, PCT, logoterapie) dle druhu problému, se kter´ ym se chtˇej´ı vypoˇrádat. Oslovili bychom ˇradu jedinc˚ u zvaˇzuj´ıc´ıch návˇstˇevu psychoterapeuta, pomoc´ı krátkého dotazn´ıku bychom zjistili jejich pot´ıˇze a ty rozdˇelili do kategori´ı (partnerské vztahy, traumatická událost,. . . ). Po ˇcase bychom respondenty znovu kontaktovali a zjistili, jestli nalezli psychologa, kter´ y jim vyhovoval a u nˇejˇz pokraˇcuj´ı ˇci jiˇz dokonˇcili terapii. ˇ Reknˇ eme, ˇze jsme dostateˇcnˇe vysoké ˇcetnosti pro zaˇrazen´ı do v´ yzkumu pozorovali u tˇr´ı psychologick´ ych ˇskol a ˇctyˇr druh˚ u problém˚ u. Pozorované ˇcetnosti shrnuje tabulka (9b). Nulová hypotéza, kterou budeme testovat, zn´ı sledované náhodné veliˇciny jsou nezávislé, v naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy volba terapeuta nesouvis´ı s druhem klientova problému. Test opˇet provedeme srovnán´ım pozorovan´ ych a oˇcekávan´ ych ˇcetnost´ı. Mus´ıme vˇsak nejdˇr´ıv zjistit, jaké ˇcetnosti bychom za platnosti nulové hypotézy oˇcekávali. Vzpomeˇ nme si na princip nezávislosti dvou náhodn´ ych jev˚ u: jevy A a B jsou nezávislé, pokud P (A ∩ B) = P (A) · P (B). V naˇsem pˇr´ıpadˇe by tedy muselo platit to, ˇze pravdˇepodobnost situace, kdy ˇ má klient Problém 1 a zároveˇ n si vybere terapeuta ze Skoly A, se mus´ı rovnat pravdˇepodobnosti, ˇze klient má Problém 1, krát pravdˇepodobnost toho, ˇze si vybere terapeuta ze 37

Nebyl by problém zobecnit kontingenˇcn´ı tabulku i na v´ıce nomináln´ıch promˇenn´ ych, bylo by vˇsak obt´ıˇzné ji pˇrehlednˇe nakreslit a museli bychom ji naplátkovat“ do v´ıce tabulek. ”

135

Tabulka 9: Kontingenˇcn´ı tabulka a v´ ypoˇcet testu nezávislosti a) Oznaˇcen´ı bunˇek: Y =1

Y =2

...

Y =s

P

X=1

n11

n12

...

n1s

n1•

X=2 .. .

n21 .. .

n22 .. .

... ...

n2s .. .

n2• .. .

X=r P

nr1

nr2

...

nrs

nr•

n•1

n•2

...

n•s

n

b) Pozorované ˇcetnosti: Problém 1

Problém 2

Problém 3

Problém 4

P

32

15

4

7

58

20

22

5

5

52

12

8

16

4

40

64

45

25

16

150

Problém 1

Problém 2

Problém 3

Problém 4

P

ˇ Skola A ˇ Skola B

24.75

17.40

9.67

6.19

58

22.19

15.60

8.67

5.55

52

Skola C P

17.07

12.00

6.67

4.27

40

64

45

25

16

150

ˇ Skola A ˇ Skola B ˇ Skola C P c) Oˇcekávané ˇcetnosti:

d) D´ılˇc´ı hodnoty sumy: Problém 1

Problém 2

Problém 3

Problém 4

ˇ Skola A ˇ Skola B

2.13

0.33

3.32

0.11

0.22

2.63

1.55

0.05

Skola C

1.50

1.33

13.07

0.02

136

ˇ ˇ ˇ Skoly A. Zapiˇsme jako P (Problém = 1 ∩ Skola = A) = P (Problém = 1) · P (Skola = A). Analogicky m˚ uˇzeme popsat vˇsech 12 moˇznost´ı. Pro v´ ypoˇcet pravdˇepodobnost´ı, které by odpov´ıdaly jednotliv´ ym kombinac´ım u ´rovn´ı sledovan´ ych promˇenn´ ych, potˇrebujeme znát d´ılˇc´ı pravdˇepodobnosti P (Problém = 1), ˇ ˇ P (Problém = 2). . . a P (Skola = A), P (Skola = B) atd. Ty zjist´ıme snadno pomoc´ı margináln´ıch ˇcetnost´ı. Pokud v´ıme, ˇze ze 150 klient˚ u jich 45 mˇelo Problém 2, pak odhadneme, ˇze P (Problém = 2) = n•j . n

45 150

= 0.3. Obecnˇe P (X = i) =

ni• n

a P (Y = j) =

Dosad´ıme-li do naˇs´ı pˇredchoz´ı u ´vahy, pak zjist´ıme, ˇze za platnosti nulové hypotézy

P (X = i ∩ Y = j) =

ni• n•j n n

=

ni• n•j . n2

Z´ıskali jsme tedy pravdˇepodobnost toho, ˇze náhodnˇe

vybrané pozorován´ı za platnosti nulové hypotézy padne do buˇ nky se souˇradnicemi i a j. Abychom vˇsak z´ıskali oˇcekávanou (absolutn´ı) ˇcetnost, vynásob´ıme tuto pravdˇepodobnost celkov´ ym rozsahem souboru n a z´ıskáme tak vztah oˇcekávaná ˇcetnostij =

ni• n•j . n

Slovnˇe popsáno: oˇ cek´ avanou ˇ cetnost z´ısk´ ame jako souˇ cin pˇ r´ısluˇ sn´ ych margin´ aln´ıch ˇ cetnost´ı vydˇ elen´ y rozsahem souboru. Oˇcekávané ˇcetnosti k naˇsemu pˇr´ıkladu m˚ uˇzete vidˇet v tabulce (9c). Napˇr´ıklad oˇcekávaná ˇcetnost jedinc˚ u, kteˇr´ı maj´ı Problém 1 ˇ a navˇst´ıv´ı terapeuta ze Skoly C, je 40·64 = 17.07. 150

Testovou statistiku Z z´ıskáme opˇet v´ ypoˇctem dobré shody mezi oˇcekávan´ ymi a pozorovan´ ymi ˇcetnostmi. Jelikoˇz má tabulka dvˇe dimenze, budou ve vzorci vystupovat dvˇe sumy: r X s n n 2 X nij − i•n •j ∼ χ2 (r − 1)(s − 1). Z= ni• n•j i=1 j=1

n

Vˇsimnˇete si, jak´ ym zp˚ usobem jsou stanoveny stupnˇe volnosti. Jde o poˇcet ˇra´dk˚ u tabulky m´ınus jeden krát poˇcet sloupc˚ u tabulky m´ınus jeden. Pro ˇctyˇrpoln´ı tabulky by tedy test mˇel jedin´ y stupeˇ n volnosti. Po dosazen´ı do vzorce v naˇsem pˇr´ıkladu najdeme hodnotu z = 26.25, coˇz pˇri (4 − 1)(3 − 1) = 6 stupn´ıch volnosti odpov´ıdá p-hodnotˇe 0.0002. Mezi sledovan´ ymi veliˇcinami tedy existuje závislost. Test nezávislosti (a obecnˇe testy dobré shody) b´ yvá nˇekdy kritizován za to, ˇze poskytuje velmi vágn´ı odpovˇed’. To, ˇze si klienti vyb´ıraj´ı terapeuta dle druhu sv´ ych problém˚ u, je sice zaj´ımavá informace, neobjasn´ı nám vˇsak, s jak´ ym druhem problému p˚ ujdeme za k´ ym. M˚ uˇzeme si pomoci t´ım, ˇze prozkoumáme jednotlivé sˇc´ıtance celkové sumy. Pˇrehlednˇe je znázorˇ nuje tabulka (9d). Jak je patrné, v naˇsem pˇr´ıkladu nápadnˇe vyˇcn´ıvá hodnota buˇ nky 3-3. Mohli bychom tedy popsat v´ ysledek naˇseho experimentu: Pozorovali jsme signifikantn´ı souvislost mezi druhem klientova problému a jeho výbˇerem terapeuta, χ2 (6, n = 137

150) = 26.25, p < 0.001. Souvislost je patrná zejména u klient˚ u s problémy z kategorie 3, kteˇr´ı si nápadnˇe ˇcasto vyb´ıraj´ı terapeuty s teoretickým zamˇeˇren´ım C. Stejnˇe jako ostatn´ı testy dobré shody, je test nezávislosti asymptotick´ ym testem. Jeho v´ ysledky m˚ uˇzou b´ yt pˇri mal´ ych ˇcetnostech nepˇresné. Nen´ı proto doporuˇceno pouˇz´ıvat test ˇ adná by vˇsak nezávislosti, pokud je v´ıce neˇz ˇctvrtina oˇcekávan´ ych ˇcetnost´ı niˇzˇs´ı neˇz 5. Z´ nemˇela b´ yt menˇs´ı neˇz 1. Nˇekteˇr´ı autoˇri také upozorˇ nuj´ı na to, ˇze test nezávislosti nerespektuje zcela pˇresnˇe stanovenou hladinu α a zam´ıtá nulovou hypotézu o nˇeco ˇcastˇeji, neˇz poˇzadujeme. Toto zkreslen´ı lze ˇreˇsit takzvanou Yatesovou korekc´ı, kterou provedeme odeˇcten´ım

1 2

od

velikosti kaˇzdého rozd´ılu mezi oˇcekávanou a pozorovanou ˇcetnost´ı: Z=

r X s X |nij − i=1 j=1

ni• n•j | n ni• n•j n

2 − 0.5

.

Yatesova korekce je o nˇeco pˇr´ısnˇejˇs´ı, neˇz je potˇreba, a test se tak po jej´ım pouˇzit´ı stává naopak pˇr´ıliˇs konzervativn´ım. S jej´ı pomoc´ı se vˇsak zejména pˇri práci s mal´ ymi oˇcekávan´ ymi ˇcetnostmi odhad p-hodnoty v´ yraznˇe zpˇresn´ı, takˇze vyjma situac´ı, kdy pracujeme s velk´ ymi rozsahy, bychom jej´ı uˇzit´ı mˇeli brát za samozˇrejmé. Testu nezávislosti je na prvn´ı pohled velmi podobn´ y test homogenity. Opˇet bychom pracovali se dvˇema kvalitativn´ımi promˇenn´ ymi, rozd´ıl by vˇsak byl v tom, ˇze jedna z nich by nebyla náhodnou veliˇcinou, ale jej´ı hodnota by byla pˇredem dána. Kdybychom napˇr´ıklad zmˇenili design v´ yˇse popsaného v´ yzkumu a oslovili 50 klient˚ u, kteˇr´ı podstupuj´ı terapii u psychologa se zamˇeˇren´ım A, 50 se zamˇeˇren´ım B a 50 se zamˇeˇren´ım C, pak by promˇenná zamˇeˇren´ı terapeuta nebyla náhodnou veliˇcinou, jelikoˇz jej´ı hodnoty neurˇcila náhoda, ale pevnˇe jsme je stanovili my. V kontingenˇcn´ı tabulce by se tato zmˇena projevila fixnˇe dan´ ymi ˇra´dkov´ ymi margináln´ımi ˇcetnostmi. Náˇs test by neovˇeˇroval nezávislost dvou veliˇcin, ale to, jestli jsou pravdˇepodobnosti vˇsech u ´rovn´ı náhodné veliˇciny Y stejné pro vˇsechny populace. Ponˇekud pˇrekvapivˇe by se kromˇe v´ yˇse uveden´ ych rozd´ıl˚ u na testu nic nezmˇenilo. Testová statistika bude m´ıt pˇresnˇe stejnou podobu a za platnosti nulové hypotézy bude m´ıt opˇet rozdˇelen´ı χ2 s (r − 1)(s − 1) stupni volnosti. Stejná bude také podm´ınka minimáln´ıch ˇcetnost´ı a moˇznost vyuˇzit´ı Yatesovy korekce. Oba testy si jsou navenek tak moc podobné, ˇze si ˇrada v´ yzkumn´ık˚ u v˚ ubec neuvˇedomuje, ˇze jde o dvˇe rozd´ılné metody vycházej´ıc´ı z odliˇsného teoretického v´ ychodiska. U test˚ u nezávislosti a testu homogenity vˇetˇsina autor˚ u ˇzádn´ y ukazatel m´ıry u ´ˇcinku neuvád´ı. Pˇritom bychom naˇsli celou ˇradu ukazatel˚ u, které tento u ´kol dokáˇzou splnit. V kapitole (3.7.3) jsme mluvili o koeficientu φ (znaˇcili jsme jej rφ a poˇc´ıtali jako Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient dvou alternativnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin). Jelikoˇz jeho velikost 138

nen´ı závislá na velikosti souboru ani na ˇskále mˇeˇren´ı, splˇ nuje vˇsechny poˇzadavky, které klademe na ukazatele m´ıry u ´ˇcinku. Nav´ıc jej m˚ uˇzeme snadno z´ıskat z v´ yˇse popsané testové statistiky Z pomoc´ı vztahu: r z φ= n Hodnota, kterou najdeme, pˇresnˇe odpov´ıdá vzorci, kter´ y jsme uvádˇeli v kapitole (3.7.3), ovˇsem aˇz na znaménko – pˇri v´ ypoˇctu z testové statistiky bude koeficient vˇzdy kladn´ y. Tento zp˚ usob v´ ypoˇctu pˇrináˇs´ı jednu v´ yhodu – nemus´ıme se omezovat jen na ˇctyˇrpoln´ı tabulky, ale m˚ uˇzeme kvantifikovat s´ılu vztahu mezi nomináln´ımi promˇenn´ ymi s libovoln´ ym poˇctem u ´rovn´ı.38 5.6.3

Fisher˚ uv faktori´ alov´ y test

Pro vˇsechny testy dobré shody plat´ı, ˇze jsou asymptotické, nem˚ uˇzeme je tedy pouˇz´ıt, pokud pracujeme s mal´ ymi ˇcetnostmi. Naˇstˇest´ı se této nepˇr´ıjemnosti m˚ uˇzeme vyhnout s pomoc´ı kombinatorick´ ych test˚ u, které testy dobré shody doplˇ nuj´ı. Nejznámˇejˇs´ı z nich je Fisher˚ uv faktoriálov´ y test (téˇz Fisher˚ uv exaktn´ı test), kter´ y nahrazuje test dobré shody a test homogenity pro ˇctyˇrpoln´ı tabulku. Jak napov´ıdá název, v´ ypoˇcet p-hodnoty lze pˇrevést na kombinatorickou u ´lohu, na coˇz jako prvn´ı poukázal Ronald Fisher. Ke vzniku testu se váˇze událost z jeho ˇzivota. V létˇe roku 1920 v Cambridgi pop´ıjel ˇcaj se sv´ ymi pˇra´teli, mezi kter´ ymi byla i Muriel Bristol, mladá doktorka biologie. Ta prohlásila, ˇze ˇcaj má jinou chut’ v závislosti na tom, jestli do ˇsa´lku nalijeme nejdˇr´ıv mléko, a aˇz pak ˇcaj, nebo naopak budeme-li l´ıt mléko do ˇcaje. Toto tvrzen´ı vzbudilo mezi u ´ˇcastn´ıky ned˚ uvˇeru, a tak Ronald Fisher navrhl a realizoval jednouch´ y experiment. Nechal pˇripravit 8 ˇsa´lk˚ u ˇcaje, pˇriˇcemˇz 4 byly pˇripraveny tak, ˇze sluˇzebná nalila do ˇsa´lku nejdˇr´ıv mléko a u zb´ yvaj´ıc´ıch ˇctyˇr zvolila opaˇcné poˇrad´ı. Muriel Bristol, která nevˇedˇela, jak byl kter´ y ˇsálek pˇripraven, pak mˇela za u ´kol ze vˇsech ochutnat a správnˇe vybrat ty 4, které byly pˇripraveny jedn´ım zp˚ usobem. V´ ysledek experimentu si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako ˇctyˇrpoln´ı tabulku (10). Margináln´ı ˇcetnosti jsou dané – 4 ˇsa´lky jsou pˇripraveny metodou mléko dˇr´ıv a 4 metodou ˇcaj dˇr´ıv (n•1 = n•0 = 4). Jelikoˇz hodnotitelka v´ı, ˇze v kaˇzdé skupinˇe jsou 4 ˇsa´lky, tak v´ ysledek jej´ıho odhadu pˇridˇel´ı r˚ uzné metody pˇr´ıpravy dvˇema ˇctveˇric´ım ˇsa´lk˚ u (n1• = n0• = 4). Pokud 38

Podobné vyuˇzit´ı m´ a i nˇekolik dalˇs´ıch koeficient˚ u. Napˇr´ıklad kontingenˇcn´ı koeficient

q

z n+z .

Ten se

chov´ qa podobnˇe jako koeficient φ. Nejvˇetˇs´ım rozd´ılem je to, ˇze nikdy nedosahuje hodnoty 1 – jeho maximum je q−1 s´ı hodnota z poˇctu ˇr´ adk˚ u a poˇctu sloupc˚ u tabulky, tedy min(r, s). Dále se setkáváme q , kde q je menˇ q z s koeficientem jménem Cramérovo V, kter´ y poˇc´ıtáme jako n·(q−1) . P´ısmeno q opˇet znaˇc´ı min(r, s). Je patrné, ˇze pokud m´ a kontingenˇcn´ı tabulka 2 ˇrádky nebo 2 sloupce, pak Cramérovo V pˇresnˇe odpov´ıd´ a koeficientu φ.

139

Tabulka 10: Tabulka k Fisherovu faktoriálovému testu Metoda pˇr´ıparvy

Rozhodnut´ı

ˇ dˇr´ıv Caj

Mléko dˇr´ıv

ˇ dˇr´ıv Caj

3

1

Mléko dˇr´ıv

1

3

by metodu pˇr´ıpravy nebylo moˇzné ochutnán´ım rozeznat, ˇra´dky i sloupce kontingenˇcn´ı tabulky by byly nezávislé. Nulová hypotéza tedy ˇr´ıká, ˇze to, jak je ˇsálek pˇripraven, a jak bude oznaˇcen, je na sobˇe vzájemnˇe nezávislé. Uvˇedomme si, ˇze ˇctyˇrpoln´ı tabulka má jedin´ y stupeˇ n volnosti – pokud tedy pˇri pevnˇe dan´ ych margináln´ıch ˇcetnostech známe hodnotu jediné buˇ nky, známe i hodnoty zb´ yvaj´ıc´ıch tˇr´ı. Pokud by tedy hodnotitelka udˇelala jedinou chybu a jednomu ˇsa´lku mléko dˇr´ıv “ dala ” oznaˇcen´ı ˇcaj dˇr´ıv “, pak v´ıme, ˇze je ˇspatnˇe urˇcen jeˇstˇe jeden ˇsa´lek a ˇze správnˇe urˇcen´ ych ” je 3 a 3 ˇsálk˚ u (viz kontingenˇcn´ı tabulka 10). Je tedy zcela postaˇcuj´ıc´ı zkoumat chován´ı jediné buˇ nky. V tomto pˇr´ıkladu si vyberme buˇ nku n21 . Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze jen jedin´ y ˇsálek pˇripraven´ y metodou ˇcaj dˇr´ıv “ dostane ” oznaˇcen´ı mléko dˇr´ıv “, pokud hodnotitelka jen hádá? Pravdˇepodobnost m˚ uˇzeme odvodit ” s pomoc´ı nˇekolika kombinaˇcn´ıch ˇc´ısel39 a následnˇe upravit do tohoto tvaru:

p =

n11 +n12 n11

+

n21 +n22 n21

n n11 +n21

=

(n11 + n12 )! · (n21 + n22 )! · (n11 + n21 )! · (n12 + n22 )! . n11 ! · n12 ! · n21 ! · n22 ! · n!

Po dosazen´ı bychom z´ıskali hodnotu 0.229. Tato pravdˇepodobnost ale nen´ı hledaná phodnota. Potˇrebujeme vypoˇc´ıtat pravdˇepodobnosti vˇsech kontingenˇcn´ıch tabulek, které pˇri dan´ ych margináln´ıch ˇcetnostech poruˇsuj´ı nulovou hypotézu stejnˇe ˇci jeˇstˇe v´ yraznˇeji, neˇz ta, kterou jsme pozorovali. Pokud byla alternativa jednostranná, tak m˚ uˇze nastat jeˇstˇe jedna extrémnˇejˇs´ı situace – ta, kdy by bylo vˇsech 8 ˇsa´lk˚ u zaˇrazeno správnˇe. Vytvoˇr´ıme-li takovouto tabulku a spoˇc´ıtáme-li jej´ı pravdˇepodobnost, dostaneme hodnotu 0.014. Jednostranná p-hodnota pak bude souˇcet obou ˇc´ısel, tedy 0.243. Pokud chceme znát oboustrannou p-hodnotu, m˚ uˇzeme nalezené ˇc´ıslo vynásobit dvˇema. V pˇr´ıpadˇe nevyváˇzen´ ych margináln´ıch ˇcetnost´ı tento postup vˇsak nemus´ı vést k pˇresnému v´ ysledku. Správnˇejˇs´ı postup by bylo vypoˇc´ıtat pravdˇepodobnosti vˇsech moˇzn´ ych kontingenˇcn´ıch tabulek a seˇc´ıst pravdˇepodobnosti tˇech, co jsou stejnˇe nebo ménˇe pravdˇepodobné neˇz ta, kterou jsme pozorovali. V naˇsem pˇr´ıpadˇe oba postupy vedou k p-hodnotˇe 0.486, tedy jiˇz jediná chyba z osmi pozorován´ı vede k nezam´ıtnut´ı nulové hypotézy. 39 Pro pochopen´ı uvedeného vzorce by byla uˇziteˇcná znalost hypergeometrického rozdˇelen´ı, které v tˇechto skriptech neprob´ır´ ame. Jeho znˇen´ı jsme si vˇsak nevˇedomky odvodili v pˇr´ıkladu (20) v pˇr´ıloze tˇechto skript, kde si klademe analogickou otázku.

140

Faktoriálov´ y test nemá ˇza´dnou testovou statistiku – jednoduˇse poskytuje (pˇri dan´ ych margináln´ıch ˇcetnostech) pˇresnou p-hodnotu. Faktoriálov´ y test nen´ı svázán ˇzádnou podm´ınkou a pracuje s libovoln´ ymi ˇcetnostmi. Pravdou vˇsak je, ˇze pˇri vˇetˇs´ıch rozsaz´ıch souboru jeho v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost strmˇe roste, coˇz vˇsak nen´ı problém, jelikoˇz pˇri vyˇsˇs´ıch rozsaz´ıch v´ ybˇeru nám spolehlivˇe poskytnou p-hodnotu testy dobré shody. Jedno slabé m´ısto pˇrece jen kombinatorické testy maj´ı – vˇsimnˇete si, ˇze pˇri designu, kter´ y jsme pouˇzili, nikdy neprovád´ıme test na hladinˇe α = 5 %. Pˇri vˇsech margináln´ıch ˇcetnostech rovn´ ych 4 nem˚ uˇzeme z´ıskat jiné oboustranné p-hodnoty neˇz 0.029, 0.457 a 1.00. Zákonitˇe nás tedy test povede k vˇetˇs´ı pˇr´ısnosti, neˇz poˇzadujeme.40 Faktoriálov´ y test je moˇzné zobecnit i na vˇetˇs´ı tabulky neˇz jen 2 × 2. Tato zobecnˇen´ı opˇet funguj´ı na principu procházen´ı nejménˇe pravdˇepodobn´ ych tabulek a stanovován´ı jejich pravdˇepodobnost´ı, pˇr´ıpadnˇe pouˇz´ıvaj´ı Monte Carlo simulace. Na závˇer dodejme, ˇze dle záznam˚ u toho odpoledne Muriel Bristol správnˇe urˇcila postup pˇr´ıpravy u vˇsech osmi ˇsálk˚ u ˇcaje. 5.6.4

McNemar˚ uv test a test symetrie podle Bowkera

Naˇse pov´ıdán´ı o testech, které pracuj´ı s nomináln´ımi promˇenn´ ymi, uzavˇreme párov´ ymi testy. S designem, kde provád´ıme dvˇe závislá mˇeˇren´ı (napˇr. pretest a posttest, pravá a levá ruka, manˇzel manˇzelka) jsme se setkali jiˇz u párového t-testu. Co kdyˇz vˇsak v´ ysledkem tˇechto dvou mˇeˇren´ı nebude kvantitativn´ı promˇenná, ale jen dichotomie? Tuto situaci ˇreˇs´ı McNemar˚ uv test. Svá data opˇet uspoˇrádáme do kontingenˇcn´ı tabulky – v pˇr´ıpadˇe McNemarova to bude ˇctyˇrpoln´ı tabulka. Tentokrát si vˇsak nebudeme pokládat otázku, jestli je prvn´ı a druhé mˇeˇren´ı nezávislé (to by ovˇeˇroval test nezávislosti a Fisher˚ uv faktoriálov´ y test), ale to, jestli je v souboru v´ıc pozorován´ı, která mˇela pˇri prvn´ım mˇeˇren´ı hodnotu 0 a pˇri druhém 1, neˇz tˇech, co mˇela pˇri prvn´ım mˇeˇren´ı 1 a pˇri druhém 0. Pˇredstavme si tˇreba, ˇze zkoumáme, jestli imaginaˇcn´ı cviˇcen´ı pomáhá sportovc˚ um, kteˇr´ı dˇelaj´ı parkour, v lepˇs´ım v´ ykonu. Jako v´ yzkumn´ y soubor pouˇzijeme u ´ˇcastn´ıky soutˇeˇze v této discipl´ınˇe. Vybereme n dvojic sportovc˚ u tak, aby si závodn´ıci ve dvojici pˇribliˇznˇe odpov´ıdali pˇredchoz´ımi u ´spˇechy, zkuˇsenostmi, stáˇr´ım a dalˇs´ımi charakteristikami. Z kaˇzdé dvojice pak vylosujeme jednoho závodn´ıka, kter´ y bude kromˇe obvyklého tréninku podstupovat imaginaˇcn´ı cviˇcen´ı. Druh´ y závodn´ık bude beze zmˇeny trénovat obvykl´ ym zp˚ usobem. Nakonec budeme sledovat v´ ysledky soutˇeˇze a zaznamenáme, jestli se v rámci kaˇzdé dvojice 40

Vˇs´ımav´ y ˇcten´ aˇr moˇzn´ a zpozoroval jeˇstˇe jednu vadu na kráse této metody. Ve vˇetˇsinˇe design˚ u nejsou margin´ aln´ı ˇcetnosti pˇredem d´ any, ale m˚ uˇzou mezi experimenty náhodnˇe kol´ısat, s ˇc´ımˇz Fisher˚ uv faktori´ alov´ y test nepoˇc´ıt´ a, a pˇripravuje se tak o ˇcást své s´ıly. Tento nedostatek je obvykle ignorován a nepˇredstavuje nijak z´ avaˇzn´ y problém. Zmiˇ nme vˇsak, ˇze existuje Barnard˚ uv test, kter´ y s touto vlastnost´ı margin´ aln´ıch ˇcetnost´ı poˇc´ıt´ a, a je d´ıky tomu nepatrnˇe silnˇejˇs´ı.

141

Tabulka 11: Tabulka k McNemarovu testu Imaginace

Kontrola

Uspˇel

Neuspˇel

Uspˇel

2

4

Neuspˇel

7

5

kvalifikoval pro postup na vyˇsˇs´ı stupeˇ n soutˇeˇze ten závodn´ık, co podstupoval imaginaˇcn´ı cviˇcen´ı, nebo naopak ten, co je nepodstupoval, nebo oba závodn´ıci nebo ani jeden z nich. Tabulka (11) zobrazuje v´ ysledky 18 pár˚ u závodn´ık˚ u. Zamysleme se nad t´ım, jak´ y pro nás maj´ı jednotlivá pol´ıˇcka tabulky v´ yznam. Hodnoty ˇ ıkaj´ı, ˇze oba závodn´ıci uspˇeli/neuspˇeli n11 a n22 nám neposkytuj´ı ˇzádn´ y zaj´ımav´ yu ´daj. R´ ˇ by tedy bez ohledu na to, jestli zde bylo provedeno imaginaˇcn´ı cviˇcen´ı nebo ne. Slo napˇr´ıklad o páry nezkuˇsen´ ych závodn´ık˚ u, kteˇr´ı bez ohledu na jakoukoli intervenci nemohli uspˇet nebo naopak páry jasn´ ych favorit˚ u, které nemohly selhat, at’ uˇz zde byla pˇr´ıtomna urˇcitá intervence nebo ne. To, co nás zaj´ımá, jsou ty páry, kde jeden závodn´ık uspˇel a druh´ y ne. Pokud tedy plat´ı nulová hypotéza a imaginaˇcn´ı cviˇcen´ı nemá ˇza´dn´ y vliv, pak by v rámci této skupiny poˇcet pár˚ u, kde uspˇel ten závodn´ık, kter´ y imaginoval, mˇel b´ yt pˇribliˇznˇe stejn´ y jako poˇcet pár˚ u, kde ten závodn´ık, co imaginaci provádˇel, neuspˇel. Ze ˇctyˇrpoln´ı tabulky tedy pouˇzijeme jen dvˇe pol´ıˇcka: n12 a n21 . Ostatn´ı do v´ ypoˇctu ˇ aˇr zˇrejmˇe jiˇz rozeznal znám´ nezahrneme. Cten´ y problém. Nulová hypotéza pˇredpokládá, ˇze pravdˇepodobnost toho, ˇze dan´ y pár padne do buˇ nky n12 je stejná, jako ˇze padne do n21 , tedy 12 . Mohli bychom spoˇc´ıtat pˇresnou p-hodnotu pomoc´ı pravdˇepodobnostn´ı funkce binomického rozdˇelen´ı. Nebo bychom mohli toto rozdˇelen´ı aproximovat normáln´ım rozdˇelen´ım. U McNemarova testu se vˇsak tradiˇcnˇe vol´ı aproximace pomoc´ı rozdˇelen´ı χ2 s jedn´ım stupnˇem volnosti (coˇz je totéˇz jako aproximace normáln´ım rozdˇelen´ım poˇc´ıtaná v druhé mocninˇe). D˚ uvodem této volby je zˇrejmˇe mimoˇra´dná jednoduchost testové statistiky, kterou tak odvod´ıme41 : Z=

(n12 − n21 )2 . n12 + n21

Pochopitelnˇe jde o asymptotick´ y test, takˇze hodnoty z´ıskané pˇri mal´ ych ˇcetnostech nejsou pˇresné. Asmyptotika vˇsak lze urychlit pouˇzit´ım korekce na kontinuitu, která mˇen´ı testovou statistiku do této podoby: Z=

(|n12 − n21 | − 1)2 . n12 + n21

41

V nˇekter´ ych textech se pol´ıˇcka ˇctyˇrpoln´ı tabulky pojmenovávaj´ı po ˇrádc´ıch a, b, c, d. Vzorec pak 2 z´ısk´ a elegantn´ı formu Z = (b−c) b+c .

142

Tabulka 12: Tabulka k testu symetrie podle Bowkera Po \ Pˇred

Pozitivn´ı Negativn´ı Nevyhranˇen´ı vztah vztah

Pozitivn´ı vztah

18

20

5

Nevyhranˇen´ı

7

4

8

Negativn´ı vztah

6

10

8

Test pak m˚ uˇzeme povaˇzovat za spolehliv´ y jiˇz pˇri hodnotách n12 + n21 ≥ 8. V naˇsem pˇr´ıpadˇe je hodnota testové statistiky bez korekce rovna 0.82, ˇcemuˇz odpov´ıdá p-hodnota 0.366. Pˇresná p-hodnota z´ıskaná z binomického rozdˇelen´ı by vˇsak byla 0.549, je tedy zjevné, ˇze bez korekce na spojitost se asymptotika jeˇstˇe dostateˇcnˇe neprojevila. Pokud pouˇzijeme korekci na spojitost, zmˇen´ı se hodnota testové statistiky na 0.36 a p-hodnota se pˇrekvapivˇe zpˇresn´ı: 0.547. Sv˚ uj párov´ y test maj´ı i nomináln´ı promˇenné. Jedná se o zobecnˇen´ı McNemarova testu známé pod názvem Bowker˚ uv test symetrie (nebo Bowker˚ uv-McNemar˚ uv test). Vyuˇzijeme jej skuteˇcnˇe vzácnˇe, je vˇsak uˇziteˇcné jej m´ıt v arzenálu statistick´ ych postup˚ u. Tentokrát nebudeme pracovat s ˇctyˇrpoln´ı tabulkou, ale obecnˇe ˇctvercovou kontingenˇcn´ı tabulkou k × k, kde k je poˇcet u ´rovn´ı sledované náhodné veliˇciny (a ten je pochopitelnˇe pˇri obou párov´ ych mˇeˇren´ıch stejn´ y). Mohli bychom tˇreba zkoumat postoj student˚ u psychologie ke statistice pˇred t´ım, neˇz absolvovali kurz, kde se s t´ımto oborem bl´ıˇze seznám´ı, a po tom, co jej absolvuj´ı. Postoje jsme hodnotili pomoc´ı tˇr´ı kategori´ı pozitivn´ı postoj “, nevyhranˇený / nev´ı“ a negativn´ı ” ” ” postoj “. Bowker˚ uv test symetrie ovˇeˇruje nulovou hypotézu, která ˇr´ıká, ˇze pro kaˇzdou dvojici u ´rovn´ı sledované promˇenné (oznaˇcme je Ii a Ij ), plat´ı, ˇze poˇcet pozorován´ı, které se mezi prvn´ım a druh´ ym mˇeˇren´ım pˇresunula z Ii do Ij je stejn´ y jako poˇcet pozorován´ı, která se pˇresunula z Ij do Ii . Alternativa pak ˇr´ıká, ˇze existuje alespoˇ n jedna dvojice u ´rovn´ı, kde toto neplat´ı. V naˇsem pˇr´ıkladu by tedy nulová hypotéza pˇredpokládala, ˇze poˇcet student˚ u, kteˇr´ı mˇeli ke statistice negativn´ı postoj, ale bˇehem kurzu jej pˇrehodnotili a zmˇenili na pozitivn´ı, je stejn´ y jako poˇcet student˚ u, kteˇr´ı chápali statistiku pozitivnˇe, ale v pr˚ ubˇehu studia se jim zprotivila. Stejnˇe vyváˇzen´ y posun by pˇredpokládala mezi vˇsemi dalˇs´ımi dvojicemi u ´rovn´ı. V´ ysledky naˇseho pozorován´ı u 86 student˚ u shrnuje tabulka (12). Pokud by nulová hypotéza platila, matice (tabulka) by byla symetrická podle diagonály zleva shora doprava dol˚ u. Testová statistika podobnˇe jako McNemar˚ uv test nepracuje s diagonáln´ımi prvky, ale srovnává jen protilehlé dvojice bunˇek. Testová statistika má

143

rozdˇelen´ı χ2 s poˇctem stupˇ n˚ u volnosti odpov´ıdaj´ıc´ı poˇctu srovnán´ı, tedy

Z=

k(k−1) : 2

k−1 X k X (nij − nji )2 ∼ χ2 (k(k − 1)/2). n + n ij ji i=1 j=i+1

Test je opˇet asymptotick´ y a ˇzádn´ y ze souˇct˚ u nij + nji by nemˇel obsahovat ménˇe neˇz 8 pozorován´ı; s rostouc´ım poˇctem srovnávan´ ych kategori´ı tato podm´ınka slábne, podobnˇe jako u test˚ u dobré shody. V naˇsem pˇr´ıpadˇe bychom doˇsli k závˇeru, ˇze kurz statistiky v´ yznamnˇe nezmˇenil postoj student˚ u k tomuto oboru, aˇc zde urˇcit´ y trend patrn´ y je: testová statistika Z = 6.57, coˇz odpov´ıdá p-hodnotˇe 0.087. Tu jsme zjistili z disribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny s rozdˇelen´ım χ2 se tˇremi stupni volnosti. V pˇr´ıpadˇe zam´ıtnut´ı nulové hypotézy, by nám pˇresnˇejˇs´ı intepretaci usnadnilo vypsat si ˇci nakreslit, kam se studenti z jednotliv´ ych skupin pˇresouvali. Pokud chceme pouˇz´ıt Bowker˚ uv test, je dobré si uvˇedomit, které zmˇeny je schopen detekovat a které ne. Citlivˇe by zaznamenal napˇr´ıklad tyto události: • Sv˚ uj postoj zmˇenili jen studenti, kteˇr´ı statistiku nemˇeli rádi. Po absolvován´ı kurzu ji rádi maj´ı. • Sv˚ uj postoj zmˇenili jen nevyhranˇen´ı studenti – polovina z nich si statistiku obl´ıbila a polovina zprotivila. • Studenti si vymˇenili kategorie t´ımto zp˚ usobem: nevyhranˇen´ı si ji obl´ıbili;, ti, co mˇeli negativn´ı vztah se stali nevyhranˇen´ ymi, a ti, co ji mˇeli rádi, si ji zprotivili. Naopak test by neodhalil tuto událost: • Studenti, kteˇr´ı statistiku mˇeli rádi, si ji zprotivili, a ti, co ji nemˇeli rádi, si ji obl´ıbili.

5.7

Neparametrick´ e testy

Doposud jsme pˇredpokládali, ˇze náhodné veliˇciny, se kter´ ymi pracujeme, maj´ı distribuˇcn´ı funkci, která pocház´ı z nˇejaké známé rodiny. Nejˇcastˇeji z rodiny normáln´ıch rozdˇelen´ı. Tento pˇredpoklad znaˇcnˇe zjednoduˇsuje vˇsechny v´ ypoˇcty – pokud máme nˇejakou známou rodinu distribuˇcn´ıch funkc´ı, scház´ı nám jiˇz jen znalost jednoho ˇci nˇekolika parametr˚ u, abychom vˇedˇeli o chován´ı zkoumané náhodné veliˇciny vˇse. Se znalost´ı statistick´ ych odhad˚ u se tak celá problematika testován´ı nulov´ ych hypotéz nápadnˇe zjednoduˇsila. Psychologick´ y v´ yzkum nás ˇcasto pˇrivád´ı do situac´ı, kde jsme nuceni pracovat s náhodn´ ymi veliˇcinami, které se ani zdaleka ˇzádnému známému rozdˇelen´ı nepˇribliˇzuj´ı. Pokud bychom jejich rozdˇelen´ı chtˇeli popsat, nevystaˇcili bychom si s jedn´ım nebo dvˇema parametry, jak jsme zvykl´ı, ale jejich poˇcet by byl neurˇcit´ y a nejsp´ıˇs i nekoneˇcn´ y. V takovém 144

pˇr´ıpadˇe máme dvˇe moˇznosti. M˚ uˇzeme se spoléhat na to, ˇze rozdˇelen´ı náhodné veliˇciny alespoˇ n pˇripom´ıná nám známé rozdˇelen´ı a ˇze vhledem k p˚ usoben´ı centráln´ıho limitn´ıho teorému poskytuj´ı metody parametrické statistiky dostateˇcnˇe spolehlivé v´ ysledky. Tato cesta se dá nˇekdy obhájit, jindy vˇsak o jej´ı smysluplnosti m˚ uˇzeme m´ıt oprávnˇené pochyby. Tehdy vol´ıme druhou cestu a stanovenou hypotézu budeme testovat nˇekterou z metod, která se neváˇze na popis rozdˇelen´ı pomoc´ı jeho parametr˚ u, ale zcela se tˇechto pˇredpoklad˚ u vzdává. Hovoˇr´ıme pak o neparametrick´ ych metodách. Neparametrické metody jsou ˇsiroká a rozmanitá skupina postup˚ u, které ˇcasto zahrnuj´ı v´ ypoˇcetnˇe nároˇcné procedury, které nelze provádˇet bez poˇc´ıtaˇce a pochopit bez hlubok´ ych znalost´ı statistiky. V tomto textu se seznám´ıme jen s u ´zk´ ym okruhem nejjednoduˇsˇs´ıch neparametrick´ ych metod. Vˇsechny z nich budou m´ıt spoleˇcné to, ˇze k vyˇreˇsen´ı problému pouˇz´ıvaj´ı jednoduch´ y trik: nepracuj´ı s p˚ uvodn´ımi daty, ale namˇeˇrené hodnoty transformuj´ı na promˇennou niˇzˇs´ıho typu (nejˇcastˇeji ordináln´ı nebo alternativn´ı) a na ni uplatn´ı u ´vahy, které se neliˇs´ı od tˇech, co známe z minul´ ych kapitol. Vyjma znaménkového testu p˚ ujde vˇzdy o pˇrevod metrick´ ych hodnot na poˇrad´ı. Budeme tedy hovoˇrit o poˇradov´ ych statistikách. 5.7.1

Znam´ enkov´ y test

Znaménkov´ y test je zˇrejmˇe nejjednoduˇsˇs´ı metoda neparametrické statistiky a pozorn´ y ˇctenáˇr nejsp´ıˇs zjist´ı, ˇze jeho princip jsme si v minul´ ych kapitolách uˇz nˇekolikrát popsali, aˇc jsme jej doposud nepojmenovali. Znaménkov´ y test tradiˇcnˇe pouˇz´ıváme ve dvou situac´ıch – bud’ jako jednov´ ybˇ erov´ y znam´ enkov´ y test nebo jako p´ arov´ y znam´ enkov´ y test (vzpomeˇ nme si na to, ˇze jednov´ ybˇerové a párové testy jsou de facto totéˇz). Pˇribliˇzme si jeho logiku na pˇr´ıpadu jednov´ ybˇerového testu. Vrat’me se jeˇstˇe jednou k problému, se kter´ ym jsme otevˇreli kapitolu o testován´ı statistick´ ych hypotéz: k ovˇeˇren´ı u ´ˇcinnosti metody v´ yuky matematiky na stˇredn´ı ˇskole. Ptali jsme se, jestli studenti, na které naˇsi metodu uplatn´ıme, z´ıskaj´ı u p´ısemné maturity z matematiky v´ıc neˇz 20 bod˚ u, coˇz je pr˚ umˇern´ y v´ ysledek ostatn´ıch student˚ u. Skupina dev´ıti student˚ u, které jsme naˇsemu postupu podrobili, z´ıskala tyto poˇcty bod˚ u: 15, 25, 22, 19, 22, 29, 35, 22, 27. V kapitole (5.2.1) jsme pˇredpokládali, ˇze náhodná veliˇcina poˇcet bod˚ u, které u maturity z´ıská student vzdˇelávaný naˇs´ı metodou (znaˇcili jsme X) má normáln´ı rozdˇelen´ı, coˇz nás dovedlo k oboustranné p-hodnotˇe 0.0445 (Z-test), pˇr´ıpadnˇe 0.0745 (jednov´ ybˇerov´ y t-test). Co kdyˇz se nás vˇsak zmocn´ı pochyby nad naˇs´ım pˇredpokladem a my pˇripust´ıme, ˇze sledovaná veliˇcina m˚ uˇze m´ıt bezmála jakékoli rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti? Tehdy nám m˚ uˇze pomoci znaménkov´ y test. Dˇr´ıve neˇz provedeme znaménkov´ y test, mus´ıme vˇsak pozmˇenit testovanou hypotézu. P˚ uvodn´ı nulová hypotéza znˇela H0 : µ = 20. Hodnota µ je vˇsak parametr normáln´ıho 145

rozdˇelen´ı, kter´ y zastupuje jeho stˇredn´ı hodnotu, a s parametry normáln´ıho rozdˇelen´ı v této kapitole pracovat nebudeme. M´ısto toho svou pozornost obrát´ıme k mediánu náhodné veliˇciny Mdn(X), a budeme pˇredpokládat, ˇze studenti, na které aplikujeme naˇsi v´ yukovou metou, maj´ı jin´ y medián poˇctu bod˚ u, neˇz je bˇeˇzné. Dejme tomu, ˇze mediánová hodnota je u student˚ u vzdˇelávan´ ych obvykl´ ym zp˚ usobem shodná se stˇredn´ı hodnotou, tedy 20 bod˚ u. Nulová hypotéza, ovˇeˇrovaná znaménkov´ ym testem, pak bude zn´ıt: H0 : Mdn(X) = 20. Pˇri v´ ypoˇctu znaménkového testu srovnáme v´ ysledek kaˇzdého z naˇsich pozorován´ı (dev´ıti student˚ u) s hodnotou, kterou oˇcekává nulová hypotéza. Mohli bychom si to pˇredstavit tak, ˇze v datové tabulce vytvoˇr´ıme nov´ y sloupec s hodnotami Xi − 20. V naˇsem pˇr´ıpadˇe by obsahoval ˇc´ısla −5, 5, 2, −1, 2, 9, 15, 2, 7. Pak spoˇc´ıtáme, kolik z tˇechto hodnot je kladn´ ych (jejich poˇcet znaˇcme S + ) a kolik záporn´ ych (S − ). V naˇsem pˇr´ıpadˇe s+ = 7 a s− = 2. Jelikoˇz oba tyto souˇcty obsahuj´ı stejnou informaci, vybereme si pro dalˇs´ı u ´vahy jeden z nich (tradiˇcnˇe ten menˇs´ı). Obecnˇe jej znaˇcme S. V naˇsem pˇr´ıpadˇe to je souˇcet záporn´ ych znamének (s = 2). Vˇsimnˇete si, ˇze ty hodnoty, které by pˇresnˇe odpov´ıdaly mediánu, nejsou zahrnuty v ˇza´dném souˇctu, S + ani S − . Znaménkov´ y test z nich nedokáˇze z´ıskat ˇzádnou informaci, proto je z v´ ypoˇctu vyˇrazujeme a rozsah souboru sn´ıˇz´ıme na n = s+ + s− . Abychom mohli naˇsi u ´vahu dokonˇcit, staˇc´ı si uvˇedomit, jaké má náhodná veliˇcina S za platnosti nulové hypotézy rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti. Pokud mé náhodná veliˇcina X medián roven 20, pak má kaˇzdá jej´ı realizace pravdˇepodobnost 50 %, ˇze padne nad tuto hodnotu, a stejnou pravdˇepodobnost, ˇze padne pod tuto hodnotu (nerozhodné pˇr´ıpady jsme vyˇradili). Vˇsech n pˇr´ıpad˚ u je nezavisl´ ych, m˚ uˇzeme proto ˇr´ıct: 1 S ∼ Bi n, . 2 Tato informace jiˇz postaˇcuje k tomu, abychom stanovili jednostrannou p-hodnotu. Jednoduˇse vyˇc´ısl´ıme pravdˇepodobnost P (S = 2) + P (S = 1) + P (S = 0) (nev´ıte-li jak, nalistujte kapitolu 2.6.2), tedy pravdˇepodobnost, ˇze ze sedmi znamének budou dvˇe a ménˇe záporná. Jelikoˇz má náhodná veliˇcina S symetrické rozdˇelen´ı, oboustrannou p-hodnotu z´ıskáme jako dvojnásobek jednostranné. V naˇsem pˇr´ıpadˇe by to bylo (0.002 + 0.018 + 0.070) · 2 = 0.180. Oboustranná p-hodnota je tedy pˇribliˇznˇe 18 %. Pouˇzit´ı binomického rozdˇelen´ı je pˇri vˇetˇs´ıch rozsaz´ıch souboru v´ ypoˇcetnˇe nároˇcnˇejˇs´ı, pouˇz´ıváme proto ˇcasto trik, kter´ y známe z kapitoly o testech dobré shody. Binomické rozdˇelen´ı aproximujeme normáln´ım rozdˇelen´ım se stˇredn´ı hodnotou n2 a rozptylem n4 (vzpomeˇ nme, ˇze náhodná veliˇcina s rozdˇelen´ım Bi(n, p) má stˇredn´ı hodnotu np a rozptyl np(1 − p)). Odeˇcten´ım stˇredn´ı hodnoty a vydˇelen´ım smˇerodatnou odchylkou z´ıskáme 146

testovou statistiku Z s asymptoticky normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım: S−n 2S − n Z = p n2 = √ ∼ N (0, 1), n 4 z n´ıˇz snadno vypoˇcteme p-hodnotu. V naˇsem pˇr´ıpadˇe z =

2·2−9 √ 9

= 1.¯6, coˇz odpov´ıdá p-

hodnotˇe 0.0956. Je zjevné, ˇze v naˇsem souboru o dev´ıti pozorován´ıch asymptotika jeˇstˇe nefunguje pˇr´ıliˇs spolehlivˇe a bylo by proto vhodné z˚ ustat u binomického rozdˇelen´ı. Obecnˇe bychom jej mˇeli opouˇstˇet, aˇz pˇri velk´ ych rozsaz´ıch souboru (pˇribliˇznˇe n > 20).42 Pouˇzit´ı znaménkového testu, jako párového testu je analogické. Jak uˇz jsme u párov´ ych test˚ u zvykl´ı, pracovali bychom se sloupcem (promˇennou) rozd´ıl˚ u prvn´ıho a druhého mˇeˇren´ı. Pokud se tato nová promˇenná nepˇribliˇzuje normáln´ımu rozdˇelen´ı, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt znaménkov´ y test. Jednoduˇse bychom na tuto promˇennou aplikovali jednov´ ybˇerov´ y znaménkov´ y test a ovˇeˇrili nulovou hypotézu: H0 : Mdn(Xdruhé mˇeˇren´ı − Xprvn´ı mˇeˇren´ı) = 0. Opˇet tedy testujeme mediánovou hodnotu, coˇz si lze pˇredstavit napˇr´ıklad jako hypotézu o tom, jestli je poˇcet pacient˚ u, jejichˇz stav se zhorˇsil, stejn´ y jako poˇcet pacient˚ u, kteˇr´ı se zlepˇsili. Nesm´ıme zapomenout na to, ˇze pozorován´ı s hodnotami rovn´ ymi mediánu z v´ ypoˇctu vyˇrazujeme. V tomto pˇr´ıpadˇe ty jedince, kteˇr´ı se ani nezlepˇsili ani nezhorˇsili. Rozhodneme-li se pouˇz´ıt znaménkov´ y test, mˇeli bychom znát jeho silné a slabé stránky. Silnou stránkou je zjevnˇe to, ˇze metoda nen´ı svázána ˇza´dn´ ymi pˇredpoklady. Jediné co, potˇrebujeme b´ yt schopni urˇcit, je to, jestli dané pozorován´ı leˇz´ı nad nebo pod mediánem. Znaménkov´ y test proto m˚ uˇzeme pouˇz´ıt i na poˇradové promˇenné, jelikoˇz i u tˇech m˚ uˇzeme stanovit medián a srovnávat s n´ım jednotlivá pozorován´ı. Za tuto obrovskou v´ yhodu vˇsak znaménkov´ y test plat´ı svou silou – ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u se jedná o v˚ ubec nejslabˇs´ı test, kter´ y máme k dispozici. Pouˇzijeme-li jej na promˇennou s normáln´ım rozdˇelen´ım, má ve srovnán´ı s jednov´ ybˇerovém t-testem asymptotickou relativn´ı eficienci

2 π

= 0.64. Tedy tam, kde t-testu staˇc´ı 64 pozorován´ı k zam´ıtnut´ı nulové hypotézy,

jich znaménkov´ y test potˇrebuje 100.43 42 Asymptotiku opˇet m˚ uˇzeme urychlit korekc´ı na kontinuitu, kterou známe z kapitoly o McNemarovˇe testu. Jedn´ a se ostatnˇe o identické testy, jen s t´ım rozd´ılem, ˇze jsme hodnoty s+ a s− nahradili hodnotami n1,0 a n0,1 a v´ ypoˇcet prov´ adˇeli v druhé mocninˇe, coˇz zmˇenilo normáln´ı rozdˇelen´ı na rozdˇelen´ı χ2 (1). 43 Dodejme, ˇze nejen za pˇredpokladu normáln´ıho rozdˇelen´ı, ale i ve vˇetˇsinˇe dalˇs´ıch pˇr´ıpad˚ u bude t-test silnˇejˇs´ı neˇz znaménkov´ y test. Existuj´ı nicménˇe i takové tvary rozdˇelen´ı, kde jsou oba testy stejnˇe silné, a ba co v´ıc, u nˇekter´ ych rozdˇelen´ı by znaménkov´ y test dosáhl vˇetˇs´ı s´ıly neˇz t-test.

147

5.7.2

Wilcoxon˚ uv jednov´ ybˇ erov´ y test a Wilcoxon˚ uv p´ arov´ y test

Ve srovnán´ı se znaménkov´ ym testem ˇreˇs´ı stejn´ y problém ponˇekud sofistikovanˇeji Wilcoxon˚ uv test pro jeden v´ ybˇer, respektive Wilcoxon˚ uv párov´ y test (Wilcoxon signed-rank test). Opˇet plat´ı to, ˇze párov´ y test je identick´ y s jednov´ ybˇerov´ ym testem aplikovan´ ym na sloupeˇcek rozd´ıl˚ u párov´ ych mˇeˇren´ı. Wilcoxon˚ uv test, podobnˇe jako znaménkov´ y test, se vyrovnává s problémem neznámého tvaru distribuˇcn´ı funkce t´ım, ˇze nepracuje s p˚ uvodn´ımi namˇeˇren´ ymi hodnotami, ale opˇet nˇejak redukuje informaci obsaˇzenou ve zkoumané promˇenné. Tentokrát nejde o redukci tak drastickou, jako v pˇredeˇslém pˇr´ıpadˇe. Pˇri v´ ypoˇctu totiˇz namˇeˇrené hodnoty zkoumané promˇenné pˇrevád´ıme na poˇrad´ı. Wilcoxon˚ uv test proto patˇr´ı mezi takzvané poˇ radov´ e testy. Pomoc´ı Wilcoxonova testu m˚ uˇzeme ovˇeˇrit platnost nulové hypotézy, která tvrd´ı, ˇze sledovaná náhodná veliˇcina je symetricky rozdˇelena kolem nˇejaké dané hodnoty. V naˇsem pˇr´ıkladu z minulé podkapitoly by tou hodnotou bylo 20 bod˚ u. Wilcoxon˚ uv test tedy podobnˇe jako znaménkov´ y test pracuje s mediánem nikoli pr˚ umˇerem. Na rozd´ıl od znaménkového testu je vˇsak zat´ıˇzen pˇredpokladem toho, ˇze hustota pravdˇepodobnosti sledované náhodné veliˇciny je kolem svého mediánu symetrická. V praxi nás tato podm´ınka obvykle pˇr´ıliˇs neomezuje, pˇri práci s v´ yraznˇe zeˇsikmen´ ymi distribucemi na tento pˇredpoklad vˇsak mus´ıme brát ohled. Co se t´ yˇce povahy zkoumané promˇenné, m˚ uˇze j´ıt jak o metrické, tak o poˇradové promˇenné. Pˇri v´ ypoˇctu Wilcoxonova testu budeme postupovat v následuj´ıc´ıch kroc´ıch. Od jednotliv´ ych hodnot náhodné veliˇciny X odeˇcteme oˇcekávanou hodnotu mediánu (tedy tu hodnotu, kterou pˇredpokládá nulová hypotéza). Pokud jde o párov´ y test, náhodná veliˇcina X je rozd´ıl obou mˇeˇren´ı a oˇcekávanou hodnotou obvykle nula (jelikoˇz nulová hypotéza obvykle ˇr´ıká, ˇze nedoˇslo k ˇza´dné zmˇenˇe). Pokud se nˇekteré pozorován´ı neliˇs´ı od oˇcekávané hodnoty, z v´ ypoˇctu jej vyˇrad´ıme. Vypoˇc´ıtáme absolutn´ı hodnoty tˇechto rozd´ıl˚ u a pˇrevedeme je na poˇrad´ı (znaˇcme Ri ) tak, aby nejvˇetˇs´ı rozd´ıl dostal nejvyˇsˇs´ı poˇradové ˇc´ıslo. Pokud má v´ıce rozd´ıl˚ u stejné absolutn´ı hodnoty, spoˇc´ıtejme pro nˇe pr˚ umˇerná poˇrad´ı. Seˇctˇeme ty poˇradové hodnoty, které patˇrily k rozd´ıl˚ um s kladn´ ym znaménkem (souˇcet znaˇcme S + ) a ty, které patˇrily k rozd´ıl˚ um se záporn´ ym znaménkem (S − ). Menˇs´ı z obou hodnot je statistika T . V´ yˇse popsané kroky jsou názornˇe zobrazeny v tabulce (13). Za platnosti nulové hypotézy má statistika T asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı s následuj´ıc´ımi parametry: T ∼N

1 1 n (n + 1) , n (n + 1) (2n + 1) . 4 24

Nezapomeˇ nme, ˇze do rozsahu souboru n nezahrnujeme vyˇrazená pozorován´ı, která se rovnala oˇcekávané hodnotˇe. Podobnˇe jako u dˇr´ıve zm´ınˇen´ ych test˚ u, testovou statistiku T 148

Tabulka 13: Tabulka pro v´ ypoˇcet Wilcoxonova jednov´ ybˇerového testu xi

xi − 20 |xi − 20| znaménko

15 25 22 19 22 29 35 22 27

-5 5 2 -1 2 9 15 2 7

5 5 2 1 2 9 15 2 7

+ + + + + + +

ri 5,5 5,5 3 1 3 8 9 3 7

Nalezené hodnoty statistk s− = 6.5 a s+ = 38.5.

pˇrevedeme na testovou statistiku Z, která má normované normáln´ı rozdˇelen´ı, odeˇcten´ım stˇredn´ı hodnoty a vydˇelen´ım smˇerodatnou odchylkou: Z=q

T − 41 n(n + 1) 1 n(n 24

∼ N (0, 1).

+ 1)(2n + 1)

V naˇsem pˇr´ıkladu by testová statistika Z nab´ yvala hodnoty

6.5−22.5 8.44

= −1.90 a z toho od-

vozená p-hodnota 0.058. Nulovou hypotézu bychom tedy nemohli na pˇetiprocentn´ı hladinˇe v´ yznamnosti zam´ıtnout. Pro u ´plnost uved’me, ˇze existuj´ı nejménˇe dva postupy v´ ypoˇctu tohoto testu. V druhém bychom m´ısto testové statistiky T pracovali se statistikou W , kterou bychom z´ıskali ze vztahu W = S + − S − . Ta má pak asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı s tˇemito parametry: +

−

W =S −S ∼N

1 0, n (n + 1) (2n + 1) 6

a lze ji pˇrevést na náhodnou veliˇcinu Z uˇzit´ım vztahu Z=q

W 1 n(n 6

∼ N (0, 1).

+ 1)(2n + 1)

Z té snadno z´ıskáme pˇr´ısluˇsnou p-hodnotu. Oba postupy vedou k identick´ ym v´ ysledk˚ um. V´ yˇse popsané vztahy jsou asymptotické a pro malé rozsahy souboru tedy zat´ıˇzené znaˇcnou chybou. Obecnˇe bychom popsan´ y potup nemˇeli pouˇz´ıvat, pokud je rozsah naˇseho souboru (respektive poˇcet pár˚ u) menˇs´ı neˇz 15. Pokud se této situaci nem˚ uˇzeme vyhnout, 149

je ˇreˇsen´ım kombinatorick´ y v´ ypoˇcet. Pˇri rozsahu souboru n v´ıme, ˇze statistika S − (a tedy i S + ) m˚ uˇze nab´ yvat pouze takov´ ych hodnot, které vzniknou jako souˇcet nˇekter´ ych (0 aˇz n) ˇc´ısel z mnoˇziny 1, 2, . . . , n, jin´ y v´ ysledek dostat nem˚ uˇzeme. Pokud bychom vˇsechny moˇzné v´ ysledky vypsali a seˇradili od té nejmenˇs´ı hodnoty rozd´ılu po nejvˇetˇs´ı, m˚ uˇzeme urˇcit pˇresnou p-hodnotu. Staˇcilo by spoˇc´ıtat hodnoty, které jsou menˇs´ı nebo rovny hodnotˇe nalezené statistiky T a vydˇelit jejich poˇcet celkov´ ym poˇctem hodnot a vynásobit dvˇema (jelikoˇz jde o dvoustrannou hypotézu.) Je zjevné, ˇze krok vypsat vˇsechny moˇzné ” v´ ysledky“ se s rostouc´ım rozsahem souboru stává v´ ypoˇcetnˇe velmi nároˇcn´ ym. Postup m˚ uˇzeme pouˇz´ıt bez ohledu na pˇr´ıtomnost shodn´ ych mˇeˇren´ı v datech, mus´ıme vˇsak tomu pˇrizp˚ usobit mnoˇzinu v´ ysledk˚ u, coˇz situaci jeˇstˇe v´ıce komplikuje a ˇrada program˚ u v pˇr´ıpadˇe shod kombinatorick´ y v´ ypoˇcet nenab´ız´ı. Shody v hodnotách rozd´ıl˚ u pˇredstavuj´ı obecnˇe problém bez ohledu na to, jak´ y postup v´ ypoˇctu zvol´ıme. Asymptotick´ y test se v pˇr´ıpadˇe v´ yskytu shod stává konzervativnˇejˇs´ım. Toto oslaben´ı m˚ uˇzeme korigovat. Postupujeme tak, ˇze vyp´ıˇseme vˇsechny jedineˇcné hodnoty velikost´ı rozd´ıl˚ u |xi − 20| (tˇech je obecnˇe r ≤ n) a ke kaˇzdé nap´ıˇseme, kolikrát jsme ji mezi mˇeˇren´ımi pozorovali (poˇcty opakován´ı oznaˇcme tj ). V naˇsem pˇr´ıkladu by r = 8 a tj = 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, jelikoˇz se zde opakovalo pouze ˇc´ıslo 5, ostatn´ı hodnoty jsme pozorovali jen jednou. Poˇcty shod pouˇzijeme ke zpˇresnˇen´ı odhadu smˇerodatné odchylky statistiky T , kterou pˇrevád´ıme na statistiku Z pomoc´ı tohoto vzorce: Z=q

T − 41 n(n + 1) ∼ N (0, 1). Pr 1 1 t (t − 1)(t + 1) n(n + 1)(2n + 1) − j j=1 j j 24 2

Aˇc se jedná o uˇziteˇcn´ y postup, ˇrada statistick´ ych program˚ u korekci na shody neposkytuje. Kdybychom pouˇzili tuto korekci v naˇsem pˇr´ıkladu, zmˇen´ı se hodnota testované statistiky na −1, 94 a p-hodnota na 0.053, rozd´ıl tedy nebude nijak markantn´ı. Zejména pˇri mal´ ych rozsaz´ıch v´ ybˇeru provád´ıme jeˇstˇe jednu korekci, kterou známe z pˇredeˇsl´ ych asymptotick´ ych test˚ u, a to korekci na spojitost. Ta by v pˇr´ıpadˇe Wilcoxonova testu vypadala tak, ˇze v´ yraz z ˇcitatele zlomku T − 14 n(n + 1) nahrad´ıme v´ yrazem |T − 1 n(n 4

+ 1)| − 12 , a test se tak stane pˇresnˇejˇs´ım a konzervativnˇejˇs´ım.

Doplˇ nme jeˇstˇe krátké zamyˇslen´ı nad Wilcoxonov´ ym párov´ ym testem, pro kter´ y plat´ı vˇse v´ yˇse uvedené. Nˇekdy se m˚ uˇzeme setkat s názorem, ˇze jde o párov´ y test pro dvˇe ordináln´ı promˇenné. To ovˇsem nen´ı pravda. Prvn´ı i druhé mˇeˇren´ı mus´ı b´ yt metrické povahy, ordináln´ı povahy m˚ uˇze b´ yt aˇz jejich rozd´ıl. Pˇredstavme si napˇr´ıklad, ˇze trénujeme tˇri sportovce. M´ısto jejich ˇcasu si zaznamenáme pouze jejich poˇrad´ı: 2., 1., 3. Po naˇsem tréninku se jejich v´ ykony zmˇenily a my opˇet zaznamenáme pouze poˇrad´ı: 3., 2., 1. Je zjevné, ˇze z tˇechto záznam˚ u nejsme schopni ani pˇri nejlepˇs´ı v˚ uli vyˇc´ıst, jestli se sportovci zlepˇsili nebo ne. 150

Wilcoxon˚ uv test podobnˇe jako nˇekteré dalˇs´ı neparametrické testy postrádá intuitivnˇe interpretovateln´ y ukazatel m´ıry u ´ˇcinku. Obvykle proto ˇza´dn´ y neprezentujeme, mˇeli bychom vˇsak doplnit mediánovou hodnotu naˇsich mˇeˇren´ı, at’ si ˇctenáˇr m˚ uˇze udˇelat alespoˇ n mlhav´ y obrázek. Wilcoxon˚ uv test má u ćtyhodnou statistickou s´ılu. Ve srovnán´ı s jednov´ ybˇerov´ ym ttestem je jeho relativn´ı asymptotická eficience pro normálnˇe rozdˇelené promˇenné

3 π

=

0.955. Tedy tam, kde tato metoda potˇrebuje 100 pozorován´ı k zam´ıtnut´ı nulové hypotézy, tam t-testu staˇc´ı pˇribliˇznˇe 96. V pˇr´ıpadˇe, ˇze sledovaná veliˇcina normáln´ı rozdˇelen´ı nemá, Wilcoxon˚ uv test snadno pˇrekoná metody parametrické statistiky. 5.7.3

Mann˚ uv-Whitney˚ uv U-test

V˚ ubec nejˇcastˇeji pouˇz´ıvanou neparametrickou metodou v psychologickém v´ yzkumu je Mann˚ uv-Whitney˚ uv U test. Jedná se o variantu Wilcoxonova testu pro dva nezávislé v´ ybˇery a v literatuˇre na nˇej naráˇz´ıme pod názvy Mann˚ uv-Whitney˚ uv-Wilcoxon˚ uv test, dvouv´ ybˇerov´ y Wilcoxon˚ uv test ˇci U test. Vˇzdy jde vˇsak o stejnou metodu – rozd´ıly se m˚ uˇzou vyskytovat jen v d´ılˇc´ıch kroc´ıch v´ ypoˇctu. Mann˚ uv-Whitney˚ uv U test ˇreˇs´ı stejnou situaci, ve které obvykle pouˇz´ıváme t-test pro dva nezávislé v´ ybˇery. Oproti této metodˇe má vˇsak v´ yhodu toho, ˇze nen´ı svázán podm´ınkou normáln´ıho rozdˇelen´ı, a dokonce jej lze i pouˇz´ıt pˇri práci s ordináln´ı promˇennou. Táˇzeme se tedy, jestli mˇeˇren´ı z jedné skupiny maj´ı tendenci nab´ yvat vyˇsˇs´ıch hodnot neˇz ze skupiny druhé. Jedná se opˇet o poˇradovou statistiku, nelze proto mluvit o srovnán´ı aritmetick´ ych pr˚ umˇer˚ u. Nˇekteˇr´ı autoˇri proto jednoduˇse prohlaˇsuj´ı, ˇze Mann˚ uv-Whitney˚ uv U test srovnává mediány, to vˇsak nen´ı obecnˇe pravda. Toto tvrzen´ı by bylo pravdivé, kdyby mˇela sledovaná veliˇcina v obou skupinách (znaˇcme ji pro prvn´ı a druhou skupinu X a Y ) stejnou distribuˇcn´ı funkci jen s rozd´ılem posunut´ı. Zcela pˇresná nulová hypotéza by znˇela H0 : P (X < Y ) = P (Y < X). Tedy pravdˇepodobnost toho, ˇze náhodnˇe vylosovan´ y prvek z jedné skupiny má vyˇsˇs´ı hodnotu neˇz náhodnˇe vylosovan´ y prvek z druhé skupiny, je pˇresnˇe stejná jako pravdˇepodobnost, ˇze tomu bude naopak. Pˇribliˇzme ˇctenáˇri nejprve p˚ uvodn´ı postup v´ ypoˇctu, kter´ y popsal Frank Wilcoxon v ˇclánku z roku (1945). Prvn´ım krokem v´ ypoˇctu by bylo pˇreveden´ı namˇeˇren´ ych hodnot bez ohledu na skupinu na poˇrad´ı. Pokud maj´ı nˇekterá mˇeˇren´ı stejnou hodnotu, pak jim pˇriˇrad´ıme pr˚ umˇerná poˇrad´ı. Je-li tedy rozsah prvn´ı skupiny n a druhé skupiny m, pak jednotliv´ ym mˇeˇren´ım rozdáme ˇc´ısla od jedniˇcky aˇz po n + m. Tyto poˇradové hodnoty v kaˇzdé skupinˇe zvláˇst’ seˇcteme, a z´ıskáme tak souˇcty SX a SY . Souˇcet SX + SY se pochopitelnˇe mus´ı rovnat souˇctu vˇsech ˇc´ısel od 1 po n + m tedy 12 (n + m)(n + m + 1), a to i v pˇr´ıpadˇe shod.

151

Wilcoxon dokázal, ˇze za platnosti nulové hypotézy maj´ı náhodné veliˇciny SX a SY asymptoticky normáln´ı rozdˇelen´ı s parametry SX ∼ N

SY ∼ N

1

n(n + m + 1),

1 nm(n + m + 1) 12

m(n + m + 1),

1 nm(n + m + 1) 12

2

1 2

Asymptotiku m˚ uˇzeme povaˇzovat za uspokojivou, pokud obsahuje kaˇzdá ze skupin nejménˇe 10 pozorován´ı. Obˇe nalezené hodnoty jsou spolu svázány, prezentujeme proto obvykle jedinou z nich, nejˇcastˇeji tu menˇs´ı, a oznaˇc´ıme ji W (pro menˇs´ı pˇrehlednost ji nˇekteˇr´ı autoˇri znaˇc´ı T ). Pˇri dostateˇcném rozsahu v´ ybˇeru pˇrevedeme souˇctovou statistiku na veliˇcinu Z s normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım, dle jednoho ze vztah˚ u: SX − 21 n(n + m + 1) , Z=q 1 nm(n + m + 1) 12

SY − 21 m(n + m + 1) Z= q . 1 nm(n + m + 1) 12

Z té pak snadno odvod´ıme p-hodnotu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze se mezi pozorován´ımi vyskytovaly shody (bez ohledu na to, jestli to bylo v rámci téˇze nebo r˚ uzn´ ych skupin), bude náˇs odhad pˇr´ıliˇs konzervativn´ı a mohli bychom jej korigovat u ´pravou rozptylu. Korekce by opˇet vypadala tak, ˇze identifikujeme r jedineˇcn´ ych hodnot a poznamenáme si, kolikrát se kaˇzdá z nich vyskytovala (oznaˇcme tyto ˇcetnosti t1 , t2 , . . . , tr ). Rozptyl bychom pak P t3j −tj 1 zmenˇsili o hodnotu 12 nm rj (n+m)(n+m−1) . ˇ eji neˇz v´ Castˇ yˇse uveden´ y postup najdeme v literatuˇre jeho u ´pravu známou pod názvem Mann˚ uv-Whitney˚ uv U test. Postup by byl pˇresnˇe stejn´ y aˇz do bodu, kdy máme dvˇe souˇctové statistiky SX a SY . S tˇemi provedeme následuj´ıc´ı u ´pravu, a z´ıskáme tak statistiky UX a UY : n(n + 1) m(m + 1) UX = SX – UY = SY – 2 2 Tato na prvn´ı pohled zbyteˇcná transformace má nˇekolik v´ yhod. Obˇe z´ıskané náhodné veliˇciny maj´ı stejné rozdˇelen´ı (stˇredn´ı hodnota je rovna

nm 2

a rozptyl odpov´ıdá rozptylu

statistik S at’ s nebo bez shod v poˇrad´ı), nemus´ıme se proto pˇri dalˇs´ıch u ´pravách starat o to, jestli statistika pocház´ı z prvn´ı nebo druhé skupiny, ale jednoduˇse vezmeme menˇs´ı z obou hodnot a oznaˇc´ıme ji U . Pro U plat´ı asymptotick´ y vztah U ∼N

nm nm(n + m + 1) , . 2 12 152

Pˇri dostateˇcném rozsahu jej proto opˇet m˚ uˇzeme pˇrevést na statistiku Z dle vztahu Z=q

U−

nm 2

∼ N (0, 1)

nm(n+m+1) 12

a ze statistiky Z odvodit asymptotickou p-hodnotu. Asymptotiku m˚ uˇzeme i v tomto pˇr´ıpadˇe urychlit korekc´ı na spojitost. Ta by v pˇr´ıpadˇe Mannova-Whitneyova U testu mˇela tuto podobu: |U − Z= q

nm | 2

−

1 2

.

nm(n+m+1) 12

Pokud v namˇeˇren´ ych hodnotách existuj´ı shody, m˚ uˇzeme upravit odhad rozptylu postupem popsan´ ym v´ yˇse. Korekce se vzájemnˇe nevyluˇcuj´ı – test nás proto m˚ uˇze dovést ke ˇctyˇrem r˚ uzn´ ym p-hodnotám. Pouˇzijeme-li obˇe navrˇzené korekce, vzorec pro v´ ypoˇcet statistiky Z naroste do následuj´ıc´ıho tvaru: |U −

Z=r nm 12

nm | 2

(n + m + 1) −

− 12 Pr

t3j −tj j (n+m)(n+m−1)

.

Hlavn´ı v´ yhoda statistiky U spoˇc´ıvá v tom, ˇze ji lze pomˇernˇe pˇr´ımoˇcaˇre interpretovat. Hodnota U oznaˇ cuje poˇ cet dvojic mˇ eˇ ren´ı (vˇ zdy jedno z prvn´ı a jedno z druh´ e skupiny), kde m´ a prvn´ı mˇ eˇ ren´ı vˇ etˇ s´ı hodnotu neˇ z mˇ eˇ ren´ı druh´ e (v pˇr´ıpadˇe shody obou mˇeˇren´ı se poˇc´ıtá p˚ ul bodu). Kdybychom mˇeli velmi mal´ y soubor pozorován´ı, mohli bychom d´ıky tomu spoˇc´ıtat U jednoduˇse tak, ˇze bychom srovnali kaˇzdé pozorován´ı z prvn´ı skupiny s kaˇzd´ ym pozorován´ım z druhé skupiny a spoˇc´ıtali, kolikrát mˇelo to prvn´ı z nich vyˇsˇs´ı hodnotu (respektive niˇzˇs´ı hodnotu, pak bychom dostali druhou ze statistik U ). P-hodnota z´ıskaná libovolnou z v´ yˇse uveden´ ych cest odpov´ıdá skuteˇcné p-hodnotˇe pouze pˇri vysok´ ych rozsaz´ıch v´ ybˇeru. Pokud bychom chtˇeli test uplatnit na malé rozsahy, mohli bychom pouˇz´ıt podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe jednov´ ybˇerového Wilcoxonova testu kombinatorick´ y pˇr´ıstup. Jeho logika by byla taková, ˇze n + m poˇradov´ ych hodnot m˚ uˇzeme rozdˇelit mezi dvˇe skupiny o rozsaz´ıch n a m jen koneˇcn´ ym mnoˇzstv´ım zp˚ usob˚ u – tˇech je n+m . Mohli bychom si vˇsechny tyto zp˚ usoby vypsat a stanovit pro kaˇzd´ y hodnotu stan tistiky U . Potom relativn´ı ˇcetnost tˇech uspoˇra´dán´ı, které vedou k hodnotˇe U rovné nebo menˇs´ı neˇz je ta, kterou jsme namˇeˇrili na naˇsich datech, odpov´ıdá pˇresné p-hodnotˇe (tedy uˇz pátému moˇznému v´ ysledky tohoto testu). Je pochopitelné, ˇze pˇri velk´ ych rozsaz´ıch se tento postup stává nesm´ırnˇe v´ ypoˇcetnˇe nároˇcn´ ym. Vzhledem k oblibˇe Mannova-Whitneyova U testu, existuje hned nˇekolik ukazatel˚ u m´ıry u ´ˇcinku, které m˚ uˇzeme spolu s v´ ysledky tohoto testu prezentovat. Pravdou vˇsak 153

je, ˇze vˇetˇsina ˇctenáˇr˚ u s nimi pravdˇepodobnˇe nebude seznámena, na rozd´ıl od bˇeˇzn´ ych ukazatel˚ u, jako je Cohenovo d. Prvn´ı z ukazatel˚ u vycház´ı z interpretace statistiky U – tedy poˇctu dvojic hodnot z r˚ uzn´ ych skupin, kde prvn´ı hodnota je vˇetˇs´ı neˇz druhá. Jelikoˇz v´ıme, ˇze takov´ ychto dvojic m˚ uˇzeme vytvoˇrit nm (kaˇzd´ y z prvn´ı skupiny krát kaˇzd´ y z druhé skupiny), pak pod´ıl

U nm

vyjadˇruje pravdˇepodobnost, ˇze kdyˇz náhodnˇe vylosuji prvek

z jedné skupiny, tak ˇze ten bude m´ıt vyˇsˇs´ı hodnotu neˇz náhodnˇe vylosovan´ y prvek z druhé skupiny. Pokud bychom pro v´ ypoˇcet pouˇzili druhou ze statistik U , pak se smˇer nerovnosti obrát´ı. Shodou okolnost´ı takto stanovená hodnota pˇresnˇe odpov´ıdá statistice AU C (Area Under Curve) pouˇz´ıvané v ROC anal´ yze (viz kapitola ??). Pokud jsme pouˇzili menˇs´ı z obou U a prvn´ı skupina (X) nab´ yvá vyˇsˇs´ıch hodnot, pak bychom nalezenou statistiku museli odeˇc´ıst od jedniˇcky: 1 −

U . nm

Druhá moˇznost, jak stanovit m´ıru u ´ˇcinku, je spoˇc´ıtat takzvanou poˇradovˇe-biseriáln´ı korelaci. Jedná se korelaˇcn´ı koeficient pro alternativn´ı a poˇradovou promˇennou a mohli bychom jej vypoˇc´ıtat ze vztahu r =1−

2U = 1 − 2AU C. nm

Tento ukazatel m˚ uˇzeme interpretovat podobnˇe jako Pearson˚ uv korelaˇcn´ı koeficient. Pokud bychom chtˇeli prezentovat rozd´ıl mezi skupinami v jednotkách, ve kter´ ych jsme provádˇeli mˇeˇren´ı, naraz´ıme na urˇcité komplikace. M˚ uˇzeme prezentovat mediány a jejich rozd´ıl, nˇekdy se tak ale dostaneme do kuriózn´ı situace, kdy oba mediány vyjdou stejnˇe, a test pˇresto zaznamená statisticky v´ yznamn´ y rozd´ıl. Kdybychom hledali statistiku, která pˇresnˇeji odráˇz´ı rozd´ıl mezi skupinami, naˇsli bychom ménˇe znám´ y ukazatel s názvem Hodges˚ uv-Lehmann˚ uv estimátor. Jeho velikost zjist´ıme tak, ˇze spoˇc´ıtáme rozd´ıly mezi vˇsemi dvojicemi mˇeˇren´ı, kde kaˇzd´ y prvek z dvojice patˇr´ı do jiné skupiny (tedy celkem vznikne nm dvojic) a z tˇechto rozd´ıl˚ u spoˇc´ıtáme medián. To, co Mann˚ uv-Whitney˚ uv test ve skuteˇcnosti testuje, je právˇe rozd´ılnost tohoto estimátoru od nuly. Mann˚ uv-Whitney˚ uv U test je pozoruhodnˇe siln´ y. Jeho relativn´ı asymptotická eficience ve srovnán´ı s t-testem pro dva nezávislé v´ ybˇery je

3 π

= 0.955. Tam, kde U test potˇrebuje

100 pozorován´ı k zam´ıtnut´ı nulové hypotézy, si t-test vystaˇc´ı s pˇribliˇznˇe 96 pozorován´ımi. Tato hodnota ovˇsem plat´ı pouze pro normálnˇe rozdˇelenou náhodou veliˇcinu, tedy situaci, pro kterou byl t-test vytvoˇren. Budeme-li pracovat s jin´ ymi rozdˇelen´ımi, ztrat´ı t-test ˇca´st své s´ıly a U test jej snadno pˇrekoná. Z v´ yˇse uveden´ ych srovnán´ı vycház´ı Mann˚ uv-Whitney˚ uv U test velmi dobˇre a snad i lépe neˇz samotn´ y t-test, kter´ y za svou s´ılu plat´ı znaˇcn´ ymi restrikcemi uˇzit´ı. M˚ uˇzeme se proto ptát, proˇc tato metoda nen´ı povaˇzována za metodu prvn´ı volby a nen´ı pouˇz´ıván ˇcastˇeji. V uˇcebnic´ıch se ˇcasto doˇcteme, ˇze t´ım d˚ uvodem je nedostateˇcná statistická s´ıla; 154

jak jsme ovˇsem vidˇeli, tento argument opravdu nen´ı pˇresvˇedˇciv´ y. D˚ uvodem je to, ˇze kdyˇz pouˇzijeme neparametrickou statistiku, pˇriprav´ıme se o moˇznost elegantn´ı prezentace naˇsich v´ ysledk˚ u. Vˇetˇsina ˇctenáˇr˚ u s elementárn´ımi znalostmi statistiky dobˇre rozum´ı ukazatel˚ um, jako je pr˚ umˇer ˇci smˇerodatná odchylka. Pokud pouˇz´ıváme U test, pˇredpokládáme, ˇze naˇse data efektivnˇe pomoc´ı pr˚ umˇer˚ u a smˇerodatn´ ych odchylek popsat nelze. Odsuzujeme se tak k pouˇzit´ı ukazatel˚ u, jako je medián, MAD, AUC, Hodges˚ uv-Lehmann˚ uv estimátor atd., kter´ ym vˇsak vˇetˇsina ˇctenáˇr˚ u neporozum´ı. Hlavn´ım d˚ uvodem, proˇc je t-test prvn´ı volbou, jen zkrátka ten, ˇze jeho v´ ysledky dokáˇzeme snáze komunikovat. Sdˇelen´ı v´ ysledk˚ u U testu by mohlo zn´ıt napˇr´ıklad takto: Pozorovaná doba pˇreˇzit´ı byla u 7 pacient˚ u s kvalitn´ı sociáln´ı oporou signifikantnˇe delˇs´ı neˇz u skupiny 10, kteˇr´ı sociáln´ı oporu postrádali, U = 13.5, Z = −2.10, p < 0.05, AU C = 0.81. Medián doby pˇreˇzit´ı od hospitalizace byl u skupiny se sociáln´ı oporou 12 mˇes´ıc˚ u, zat´ımco bez sociáln´ı opory 6 mˇes´ıc˚ u. 5.7.4

Test Spearmanova korelaˇ cn´ıho koeficientu

Podobnˇe jako jsme mohli testovat hypotézy t´ ykaj´ıc´ı se velikost Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu, máme k dispozici statistické testy, které ovˇeˇruj´ı Spearmanovu poˇradovou korelaci. Pˇrestoˇze Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient pˇresnˇe odpov´ıdá Pearsonovu korelaˇcn´ımu koeficientu vypoˇc´ıtanému na hodnotách, které jsme pˇrevedli na poˇrad´ı, postup testován´ı jeho velikosti nen´ı identick´ y. Pˇripomeˇ nme, ˇze Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient je vysoce robustn´ı metoda kvantifikace vztahu mezi dvˇema veliˇcinami, které m˚ uˇzou b´ yt metrické nebo ordináln´ı povahy. Jeho hodnoty se pohybuj´ı v intervalu od −1 do 1, kde krajn´ı hodnoty znaˇc´ı u ´plnou monotónn´ı závislost. Nula oznaˇcuje nepˇr´ıtomnost monotónn´ı závislosti (podrobnosti viz kapitola 3.7.4). Nejˇcastˇeji se proto táˇzeme, jestli je velikost koeficientu rovna nule, nebo se od n´ı odliˇsuje. Moˇznost´ı, jak testovat tuto hypotézu (H0 : ρs = 0), je v´ıcero. Pracujeme-li s mal´ ym poˇctem mˇeˇren´ı, mohli bychom opˇet vyj´ıt z toho, ˇze pˇri daném rozsahu m˚ uˇze poˇradov´ y korelaˇcn´ı koeficient nab´ yvat koneˇcného mnoˇzstv´ı hodnot. Kdybychom z nich vybrali ty, které svˇedˇc´ı v neprospˇech platnosti nulové hypotézy stejnˇe ˇci v´ıce, neˇz pozorovaná hodnota rs , a tento poˇcet vydˇelili celkov´ ym poˇctem vˇsech moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u (kter´ ych je n!), z´ıskáme pˇresnou p-hodnotu. Tento postup vˇsak ˇcasto vyuˇz´ıván neb´ yvá pro jeho v´ ypoˇcetn´ı sloˇzitost, která s rozsahem souboru strmˇe roste. Nejˇcastˇeji vyuˇz´ıváme asymptotick´ y vztah, s jehoˇz pomoc´ı z´ıskáme testovou statistiku T , která má za platnosti nulové hypotézy Studentovo rozdˇelen´ı s n − 2 stupni volnosti: s n−2 ∼ t(n − 2). T = Rs 1 − Rs2 155

√ V nˇekter´ ych textech b´ yvá zmiˇ nována také statistika Rs n − 1, která má pˇri H0 asymptoticky rozdˇelen´ı N (0, 1). Prvn´ı uvedená statistika se vˇsak pˇribliˇzuje k c´ılovému rozdˇelen´ı rychleji, dáváme j´ı proto obvykle pˇrednost. Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu máme moˇznost pouˇz´ıt Fisherovu transformaci (popsána v kapitole 5.4.4), a z´ıskat tak veliˇcinu Z s asymptoticky √ normáln´ım rozdˇelen´ım N 0, 1/(n − 3) . Tu m˚ uˇzeme pˇrevést na veliˇcinu Z n − 3 s normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım. Tento postup m˚ uˇze b´ yt uˇziteˇcn´ y pˇri srovnán´ı dvou Spearmanov´ ych korelaˇcn´ıch koeficient˚ u nebo pˇri ovˇeˇrován´ı hypotézy o tom, ˇze se korelaˇcn´ı koeficient rovná nˇejaké pˇredem dané nenulové hodnotˇe. Postup by byl stejn´ y jako v pˇr´ıpadˇe vyuˇzit´ı Z transformace Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu. V textu bychom prezentovali test Spearmanova korelaˇcn´ıho koeficientu napˇr´ıklad takto: Výsledky naznaˇcuj´ı, ˇze symetriˇctˇejˇs´ı ˇzenské tváˇre jsou muˇzi hodnoceny jako atraktivnˇejˇs´ı, rs (n = 18) = 0.48, p < 0.05. Pokud jsme jiˇz dˇr´ıve uvedli rozsah souboru, tak tuto informaci opakovat nemus´ıme. 5.7.5

Kruskall˚ uv-Wallis˚ uv test

Podobnˇe jako pov´ıdán´ı o parametrick´ ych testech bylo uzavˇreno AVOVou, uzavˇreme kapitolu o neparametrické statistice jej´ım protˇejˇskem, Kruskallov´ ym-Wallisov´ ym testem (téˇz znám´ y jako Kruskall˚ uv-Wallis˚ uv H test, Kruskallova-Wallisova ANOVA atp.). Jedná se o postup, pomoc´ı kterého hledáme odpovˇed’ na otázku, zdali se pozorován´ı ze tˇr´ı a v´ıce soubor˚ u liˇs´ı svou v´ yˇs´ı. Nejnázornˇejˇs´ı by bylo si pˇredstavit Kruskall˚ uv-Wallis˚ uv testu jako sérii Mannov´ ych-Whitneyov´ ych test˚ u mezi vˇsemi dvojicemi skupin s t´ım, ˇze uplatn´ıme mimoˇra´dnˇe pˇresnou korekci na opakované testován´ı. Nulovou hypotézu bychom zam´ıtli, pokud bychom pozorovali rozd´ıl v libovolné z testovan´ ych dvojic. Toto pˇrirovnán´ı plat´ı vˇcetnˇe omezen´ı a dalˇs´ıch vlastnost´ı, které jsme popisovali v kapitole o Mannovˇe-Whitneyovˇe testu. Zkoumané promˇenné m˚ uˇzou b´ yt metrické ˇci ordináln´ı povahy bez podm´ınky na specifick´ y tvar rozdˇelen´ı. Pokud bychom pˇridali pˇredpoklad stejného tvaru rozdˇelen´ı ve vˇsech skupinách, mohli bychom tvrdit, ˇze test ovˇeˇruje hypotézu o rozd´ılu medián˚ u. Bez této podm´ınky jde vˇsak o jin´ y druh rozd´ılu (viz kapitola 5.7.3). Kruskall˚ uv-Wallis˚ uv test poˇc´ıtáme ve dvou kroc´ıch. V prvn´ım pˇrevedeme veˇskerá pozorován´ı bez ohledu na skupinu, do n´ıˇz náleˇz´ı, na poˇrad´ı od nejmenˇs´ı hodnoty po nejvˇetˇs´ı. Má-li v´ıce mˇeˇren´ı stejnou hodnotu, dáme jim pr˚ umˇerná poˇrad´ı. V druhém kroku vypoˇc´ıtáme hodnotu testové statistiky H, která má asymptoticky rozdˇelen´ı χ2 s k − 1 stupni volnosti, kde k oznaˇcuje poˇcet srovnávan´ ych skupin: Pk

nj (¯ rj − r¯)2 ∼ χ2 (k − 1) Pni 2 ¯) j=1 i=1 (rji − r

H = (n − 1) Pk

j=1

156

P´ısmenem nj je oznaˇcen rozsah j-té skupiny, p´ısmenem n celkov´ y rozsah souboru, rji je poˇrad´ı i-tého pozorován´ı z j-té skupiny, r¯j pr˚ umˇer poˇradov´ ych hodnot v j-té skupinˇe a r¯ je pr˚ umˇer vˇsech poˇradov´ ych hodnot, coˇz vˇzdy odpov´ıdá pod´ılu

n+1 44 . 2

Podobnˇe jako pˇredeˇslé poˇradové testy se jedná o asymptotick´ y vztah, kter´ y je podm´ınˇen´ y dostateˇcn´ ymi rozsahy skupin. V pˇr´ıpadˇe, ˇze by nˇekterá skupina obsahovala ménˇe neˇz 5 pozorován´ı, jsou v´ ysledky zat´ıˇzeny znaˇcnou chybou. Aˇc by bylo moˇzné vytvoˇrit i kombinatorickou obdobu této metody, ve statistick´ ych programech obvykle zabudována neb´ yvá. Podobnˇe jako anal´ yza rozptylu, v´ ysledek Kruskallova-Wallisova testu neposkytuje informaci o tom, ve kter´ ych dvojic´ıch skupin byl pozorován v´ yznamn´ y rozd´ıl. Pˇrestoˇze v literatuˇre m˚ uˇzeme naj´ıt rozmanité post hoc testy podobnˇe jako u ANOVy, nejsou jejich vlastnosti pˇr´ıliˇs uspokojivé. Obvykle je souˇca´st´ı jejich v´ ypoˇctu u ´prava p-hodnoty vycházej´ıc´ı z logiky Bonferroniho korekce, coˇz je ˇcin´ı znaˇcnˇe konzervativn´ımi, pˇredevˇs´ım kdyˇz pracujeme s vˇetˇs´ım mnoˇzstv´ım skupin. Zˇrejmˇe nejlepˇs´ım ˇreˇsen´ım, kter´ ym lze doplnit ˇci nahradit post hoc testy, je srovnat skupiny graficky pomoc´ı krabicového grafu (viz kapitola 3.4.5).

5.8

V´ ybˇ er statistick´ eho testu

Statistick´ ych test˚ u je mnoho. Aˇc jsme se na pˇredchoz´ıch stránkách seznámili jen s jejich nejznámˇejˇs´ımi zástupci, i tak jich byly dobré dvˇe des´ıtky. Na m´ıstˇe je otázka, jak se v tomto mnoˇzstv´ı neztratit a umˇet pohotovˇe vybrat nejvhodnˇejˇs´ı metodu k ovˇeˇren´ı zam´ yˇslené hypotézy. S rostouc´ı zkuˇsenost´ı a znalostmi statistiky se tento u ´kol postupnˇe stane triviáln´ım. Pro ˇctenáˇre, kteˇr´ı tyto zkuˇsenosti nemaj´ı, ted’ pˇredstav´ıme pom˚ ucku, která jim s v´ ybˇerem testu spolehlivˇe pom˚ uˇze. Hned zkraje uved’me, ˇze jakékoli pom˚ ucky tohoto druhu jsou opravdu jen pom˚ uckami, nikoli neomyln´ ymi a univerzáln´ımi zákony. U statistiky obecnˇe plat´ı, ˇze jakákoli snaha pˇrevést postupy do mechanické sekvence krok˚ u, které uplatn´ıme bez pˇrem´ yˇslen´ı, je ˇskodlivá, a ˇcasto se d´ıky n´ı pravda skryje jeˇstˇe hloubˇeji m´ısto toho, aby byla odhalena. Ze zkuˇsenosti autora tˇechto skript lze vˇsak témˇeˇr veˇskeré hypotézy, které studenti v diplomov´ ych prac´ıch z oboru psychologie navrhuj´ı, testovat pomoc´ı metod, pˇri jejichˇz v´ ybˇeru m˚ uˇzeme spolehlivˇe uplatnit n´ıˇze uveden´ y postup. R˚ uzné rozhodovac´ı stromy navrhované autory rozmanit´ ych uˇcebn´ıch text˚ u obvykle Pk Sj2 12 V nˇekter´ ych textech naraz´ıme na jednoduˇsˇs´ı vzorec H = n(n+1) cet j=1 nj − 3(n + 1), kde Sj je souˇ poˇrad´ı v j-té skupinˇe. V pˇr´ıpadˇe v´ yskytu shod v namˇ e ˇ r en´ y ch hodnot´ a ch bychom jeho v´ y sledek vˇ s ak museli Pr (t3i −ti ) korigovat vydˇelen´ım statistiky H v´ yrazem 1 − i=1 , kde ti jsou ˇcetnosti jednotliv´ ych unikátn´ıch n3 −n hodnot a r je celkov´ y unik´ atn´ıch hodnot (viz. kapitola 5.7.2). 44

157

zaˇc´ınaj´ı otázkou, jestli naˇse hypotéza popisuje souvislost nˇejak´ ych veliˇcin nebo rozd´ıl mezi skupinami. Tedy na jedné stranˇe by byly hypotézy jako Poˇcet pˇrátel, které ˇclovˇek ” ˇ má na sociáln´ı s´ıti, souvis´ı s jeho ˇzivotn´ı spokojenost´ı.“ a na druhé Zeny maj´ı v pr˚ umˇeru ” vˇetˇs´ı slovn´ı zásobu neˇz muˇzi “. Aˇc je toto dˇelen´ı pomˇernˇe intuitivn´ı, my jej nepotˇrebujeme. Z pohledu statistického testu je pravdou, ˇze rozd´ıl je tot´ eˇ z co souvislost. Smysl tohoto v´ yroku bude zˇrejmˇejˇs´ı, kdyˇz druhou uvedenou hypotézu o rozd´ılu pˇrevypráv´ıme jako hypotézu o souvislosti: Existuje souvislost mezi pohlav´ım jedince a rozsahem jeho ” slovn´ı zásoby.“ Jej´ı smysl se t´ım nijak nezmˇenil. Stejnou u ´vahu bychom mohli provést i u hypotézy, která se vyjadˇruje ke srovnán´ı v´ıce neˇz dvou skupin: Studenti r˚ uzných ” vysokoˇskolských obor˚ u vykazuj´ı r˚ uznou m´ıru neklinického narcismu,“ je totéˇz jako M´ıra ” neklinického narcismu souvis´ı u student˚ u VSˇ se studijn´ım oborem“. Jen jsme opˇet pˇrevyprávˇeli rozd´ıl jako souvislost. Budeme-li se prob´ırat otázkami, které si nejˇcastˇeji v rámci mal´ ych v´ yzkumn´ ych projekt˚ u klademe, a vˇsechny se pokus´ıme pˇrevést do podoby hypotézy o souvislosti, zjist´ıme, ˇze velká vˇetˇsina test˚ u, které známe, má jedin´ yu ´kol: ovˇeˇrit existenci souvislosti mezi dvˇema promˇenn´ ymi; tedy mezi dvˇema sloupeˇcky naˇs´ı datové tabulky. Ovˇeˇrme toto tvrzen´ı na pˇr´ıkladu nˇekolika otázek, které si v psychologickém v´ yzkumu m˚ uˇzeme pokládat. U kaˇzdé otázky pojmenujme, jak´ ych dvou promˇenn´ ych se t´ yká: (a) Doˇz´ıvaj´ı se inteligentnˇejˇs´ı lidé vyˇsˇs´ıho vˇeku? (b) Existuj´ı rozd´ıly v m´ıˇre empatie mezi muˇzi a ˇzenami? (c) Jsou blond´ yny hodnoceny muˇzi jako atraktivnˇejˇs´ı neˇz ˇzeny s jinou barvou vlas˚ u? (d) Maj´ı pravideln´ı kuˇr´ aci marihuany horˇs´ı krátkodobou pamˇet’ neˇz nekuˇráci? (e) Liˇs´ı se ˇcten´ aˇrské dovednosti ˇz´ ak˚ u ˇctvrt´ ych tˇr´ıd napˇr´ıˇc základn´ımi ˇskolami Olomouckého kraje? ˇ studenty zastoupen´ı muˇz˚ (f) Odpov´ıd´ a zastoupen´ı muˇz˚ u a ˇzen mezi VS u a ˇzen mezi akademiky? (g) Je nˇekter´ a ze tˇr´ı vybran´ ych psychoterapeutick´ ych technik ke zm´ırnˇen´ı pˇr´ıznak˚ u PTSD u ´ˇcinnˇejˇs´ı neˇz jiné? (h) Vede senzorick´ a deprivace k n´ ar˚ ustu agresivity? (i) Je pr˚ umˇern´ a v´ yˇska dospˇelého muˇze 180 cm?45

Zámˇernˇe se v seznamu objevilo i nˇekolik, ˇrekli bychom chyták˚ u“, ale ani ty nám ” nezabránily identifikovat dvojici promˇenn´ ych, se kter´ ymi hypotéza pracuje. V´ yjimkou je posledn´ı otázka: Je pr˚ umˇerná výˇska dospˇelého muˇze 180 cm? “. Zde zjevnˇe pracujeme ” s promˇennou výˇska. M´ısto druhé promˇenné je zde vˇsak konstatna 180. (Co pˇresnˇe znamená konstanta, podrobnˇe popisujeme v kapitole 5.1.) Hodnotu 180 jsme nez´ıskali mˇeˇren´ım naˇsich pokusn´ ych osob, ale je dána. Pokud bychom ji chtˇeli vloˇzit do datové tabulky, 45 ˇ

Reˇsen´ı: (a) IQ a vˇek doˇzit´ı, (b) m´ıra empatie a pohlav´ı, (c) barva vlas˚ u a atraktivita, (d) kuˇrák a v´ ysledek testu pamˇeti, (e) ˇcten´ aˇrské dovednosti a ˇskola, (f) pohlav´ı a akademik/student, (g) technika léˇcby a z´ avaˇznost pˇr´ıznak˚ u po jej´ım skonˇcen´ı, (h) m´ıra/pˇr´ıtomnost deprivace a m´ıra agresivity, (i) tˇelesn´ a v´ yˇska a konstanta 180.

158

vznikl by nov´ y sloupeˇcek (s názvem tˇreba oˇcekávaná výˇska) a kaˇzd´ y respondent by v nˇem mˇel uvedenou hodnotu 180. Takhle rozˇsiˇrovat naˇsi tabulku by ale bylo vcelku neuˇziteˇcné – konstanty obvykle ponecháme mimo tabulku a nov´ y sloupeˇcek si jen pˇredstavujeme. Zde jde skuteˇcnˇe o jakousi v´ yjimku – nehovoˇr´ıme tu, navzdory tomu, co bylo ˇreˇceno dˇr´ıve, o vztahu promˇenné a konstanty, aˇc stále z˚ ustáváme vˇerni tomu, ˇze pracujeme s dvˇema sloupeˇcky tabulky: promˇennou a promˇennou nebo promˇennou a konstantou. Pokud prvn´ım krokem byla identifikace promˇenn´ ych, kter´ ych se naˇse hypotéza t´ yká, druh´ ym krokem je urˇcen´ı toho, o jaké typy promˇenn´ ych se jedná. U kaˇzdé z nich mus´ıme b´ yt schopni rozliˇsit, jestli jde o alternativn´ı, nomináln´ı, ordináln´ı nebo metrickou (kvantitativn´ı) promˇennou, respektive jestli nejde o konstantu (jak na to viz kapitola 5.1). Kdyˇz se vrát´ıme k v´ yˇse uveden´ ym otázkám, tak napˇr´ıklad u bodu a) (vˇek doˇzit´ı a inteligence) je metrická a metrická promˇenná, bod d) zˇrejmˇe alternativn´ı (kuˇra´k) a metrická (v´ ysledek testu pamˇeti), bod c) by mohla b´ yt nomináln´ı (barva vlas˚ u) a nejsp´ıˇs ordináln´ı (atraktivita). Na základˇe v´ yˇse uveden´ ych otázek nem˚ uˇzeme ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u rozhodnout jednoznaˇcnˇe – k tomu bychom potˇrebovali znát design v´ yzkumu a postup, jak´ ym zp˚ usobem byly sledované kvality operacionalizovány (a tedy mˇeˇreny). Kdyby napˇr´ıklad v bodˇe c) v´ yzkumn´ık mˇeˇril kvantitativnˇe svˇetlost vlas˚ u a atraktivitu by hodnotil na základˇe poˇctu muˇz˚ u, kteˇr´ı figurantku v modelové situaci oslov´ı, mohlo by j´ıt o dvˇe metrické promˇenné. Nakonec bychom mohli naj´ıt i takové promˇenné, kde nám ani znalost metody mˇeˇren´ı nedá jednoznaˇcnou odpovˇed’ – tˇreba poˇcet bod˚ u z´ıskan´ y v psychologickém testu jako souˇcet odpovˇed´ı na poloˇzky vˇetˇsina v´ yzkumn´ık˚ u povaˇzuje za metrickou promˇennou, existuje vˇsak ˇrada psychometrik˚ u, kteˇr´ı argumentuj´ı, ˇze jde nanejv´ yˇs o ordináln´ı u ´roveˇ n. V takovém pˇr´ıpadˇe by naˇse rozhodnut´ı odráˇzelo teoretické v´ ychodisko, z nˇejˇz k problému pˇristupujeme. Dˇr´ıve neˇz pˇrejdeme ke tˇret´ımu kroku, seznamme se jeˇstˇe s jednou vlastnost´ı promˇenn´ ych, kterou lze formulovat t´ımto pravidlem: jak´ akoli promˇ enn´ a vyˇ sˇ s´ı u ´ rovnˇ e je z´ aroveˇ n promˇ ennou vˇ sech niˇ zˇ s´ıch u ´ rovn´ı nebo na ni m˚ uˇ ze b´ yt pˇ revedena. Jakoukoli promˇennou m˚ uˇzeme redukovat v tˇechto kroc´ıch: ´ -> ORDINALN ´ Í -> NOMINALN ´ Í -> ALTERNATIVNÍ. METRICKA Jak by to vypadalo v praxi? Pˇredstavme si tˇreba metrickou promˇennou výˇse platu. U ˇctyˇr lid´ı jsme namˇeˇrili hodnoty: 7 000 Kˇc, 6 900 Kˇc, 38 000 Kˇc a 0 Kˇc. Pokud bychom chtˇeli vytvoˇrit ordináln´ı promˇennou, jedn´ım ˇreˇsen´ım by bylo rozdat u ´ˇcastn´ık˚ um v´ yzkumu poˇrad´ı. Z´ıskali bychom tedy promˇennou s hodnotami: 3, 2, 4, 1. Jiná cesta by byla vytvoˇrit ordináln´ı kategorie, napˇr´ıklad 5 000 - 15 000“, 5 000 - 15 000“, 30 000 - 50 000“, 0 ” ” ” ” 5 000“. Ordináln´ı promˇennou bychom mohli dokonce vytvoˇrit i tak, ˇze bychom ponechali p˚ uvodn´ı hodnoty 7 000, 6 900, 38 000, 0, ale prohlásili bychom, ˇze se jedná o ordináln´ı ukazatel (tedy, ˇze jsme se vzdali srovnán´ı rozd´ıl˚ u mezi hodnotami). Kdybychom vytváˇreli 159

z p˚ uvodn´ı promˇenné promˇennou nomináln´ı u ´rovnˇe, mohli bychom zase rozdˇelit mˇeˇren´ı do nˇejak´ ych kategori´ı (tˇreba do stejn´ ych, jako jsme uvedli v´ yˇse), ale vzdali bychom se informace o tom, ˇze tyto kategorie maj´ı nˇejaké poˇrad´ı. Alternativn´ı promˇennou bychom mohli taky vytvoˇrit nˇekolika zp˚ usoby. Napˇr´ıklad: má pˇr´ıjem“, má pˇr´ıjem“, má pˇr´ıjem“, ” ” ” nemá pˇr´ıjem“ nebo tˇreba podpr˚ umˇern´ y pˇr´ıjem“, podpr˚ umˇern´ y pˇr´ıjem“, nadpr˚ umˇern´ y ” ” ” ” pˇr´ıjem“, podpr˚ umˇern´ y pˇr´ıjem“. ” Zp˚ usob˚ u, jak pˇrevádˇet promˇennou na jiné u ´rovnˇe, bychom naˇsli nespoˇcet, vˇzdycky ale plat´ı dvˇe vˇeci: pˇrevod funguje pouze smˇerem dol˚ u, nikoli nahoru. A pˇredevˇs´ım: pˇ revodem promˇ enn´ e na niˇ zˇ s´ı u ´ roveˇ n ztr´ ac´ıme ˇ c´ ast informace v n´ı obsaˇ zen´ e. Je tedy zjevné, ˇze pokud se pˇrevodu na niˇzˇs´ı u ´roveˇ n m˚ uˇzeme vyhnout, vyhneme se mu a taky to, ˇze pokud máme na v´ ybˇer, dáme pˇrednost mˇeˇren´ı na co nejvyˇsˇs´ı u ´rovni. Tˇret´ım krokem ve v´ ybˇeru statistického testu je uˇzit´ı tabulky (14). Najdeme v n´ı ˇrádek a sloupec odpov´ıdaj´ıc´ı typu prvn´ı a druhé promˇenné, s nimiˇz pracujeme, a vybereme test, kter´ y leˇz´ı v buˇ nce na jejich pr˚ useˇc´ıku. Tedy dvˇe nomináln´ı promˇenné by nás dovedly k testu nezávislosti ch´ı kvadrát, ordináln´ı a alternativn´ı k Mannovu-Whitneyovu testu, dvˇe metrické k testu Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu a tak dál. ˇ Ctvrt´ ym krokem je to, ˇze se zamysl´ıme nad t´ım, jestli jsou splnˇeny vˇsechny podm´ınky k proveden´ı daného testu. Nejˇcastˇeji jde o podm´ınku normáln´ıho rozdˇelen´ı metrické promˇenné (testy, které jsou touto podm´ınkou svázány, jsou v tabulce oznaˇceny p´ısmenem N). Pokud zjist´ıme, ˇze této podm´ınce vyhovˇet nedokáˇzeme, vyuˇzijeme naˇsi znalost transformace promˇenn´ ych, a co nejˇsetrnˇejˇs´ım zp˚ usobem sn´ıˇz´ıme u ´roveˇ n problematické promˇenné o jeden stupeˇ n. Tedy nejˇcastˇeji z metrické promˇenné udˇeláme ordináln´ı promˇennou (nejsp´ıˇs zvol´ıme tu cestu, ˇze jednoduˇse namˇeˇrené hodnoty prohlás´ıme za ordináln´ı a nijak jejich velikost mˇenit nebudeme). T-test pro dva nezávislé v´ ybˇery a jednofaktorová ANOVA jsou zat´ıˇzeny dále podm´ınkou shody rozptyl˚ u (viz kapitoly 5.4.2 a 5.4.5, v tabulce oznaˇceno p´ısmenem S). S touto podm´ınkou se m˚ uˇzeme vypoˇrádat pomoc´ı Welchov´ ych test˚ u; kdyˇz ale ani ty nemáme k dispozici, udˇeláme totéˇz, co v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe – sn´ıˇz´ıme u ´roveˇ n problematické promˇenné o jeden stupeˇ n. Posledn´ı podm´ınka, oznaˇcená p´ısmenem F, je podm´ınka minimáln´ı oˇcekávané ˇcetnosti. Ta se t´ yká test˚ u ch´ı kvadrát“ a obvykle zn´ı ” ˇzádná oˇcekávaná ˇcetnost nesm´ı být menˇs´ı neˇz pˇet“ (pˇresné znˇen´ı této podm´ınky je ro” zepsáno v kapitole 5.6 u jednotliv´ ych test˚ u). Pokud zde naraz´ıme na problém, elegantn´ım ˇreˇsen´ım je spojen´ı nˇekter´ ych u ´rovn´ı jedné ˇci obou promˇenn´ ych (pokud zbydou jen dvˇe u ´rovnˇe, z´ıskáme alternativn´ı promˇennou). Kdyby se napˇr´ıklad naˇse promˇenná jmenovala sourozenecká pozice, mohla by m´ıt u ´rovnˇe jedináˇcek, nejstarˇs´ı sourozenec, prostˇredn´ı sourozenec, a nejmladˇs´ı sourozenec. Pokud by problém zp˚ usobovala kategorie prostˇredn´ıch, mohli bychom ji slouˇcit s nejmladˇs´ımi do nové kategorie mladˇs´ı sourozenec. Kdyˇz provedeme potˇrebnou u ´pravu, opˇet se vrát´ıme ke tˇret´ımu bodu: pod´ıváme se do

160

Alternativn´ı

Nomináln´ı

Ordináln´ı

Metrická

Konstanta (zadané ˇcetnosti)

Ch´ı kvadrát test dobré shody(F) (Uˇzit´ı binomického rozdˇelen´ı)

Ch´ı kvadrát test dobré shody(F)

Wilcoxon˚ uv jednov´ ybˇerov´ y test (Znaménkov´ y test)

T-test pro jeden v´ ybˇer(N)

Alternativn´ı

Ch´ı kvadrát test nezávislosti(F) / homogenity(F) (Faktoriálov´ y test)

Ch´ı kvadrát test nezávislosti(F) / homogenity(F)

Mann˚ uv-Whitney˚ uv U-test = Wilcoxon˚ uv dvouv´ ybˇerov´ y test

T-test pro dva nezávislé v´ ybˇery(N,S) / Welch˚ uv test(N)

Ch´ı kvadrát test nezávislosti(F) / homogenity(F)

Kruskall˚ uv-Wallis˚ uv test

ANOVA(N,S) / Welchova ANOVA(N)

Test Spearmanova korelaˇcn´ıho koeficientu

Test Spearmanova korelaˇcn´ıho koeficientu

Nomináln´ı

Ordináln´ı

Test Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu(N)

Metrická

Tabulka 14: V´ ybˇer testu dle druhu promˇenn´ ych

Tabulka 15: Párov´ y test a jednov´ ybˇerov´ y test Jméno Honza Anna Lucka Petr

Prvn´ı Druhé meˇren´ı mˇeˇren´ı 52 37 24 26

32 39 12 20

Jméno Honza Anna Lucka Petr

Pozorovaná Oˇcekávaná zmˇena zmˇena -20 2 -12 -6

0 0 0 0

tabulky (14) a vybereme test, kter´ y jsme naˇsli na pr˚ useˇc´ıku. Okomentujme jeˇstˇe to, proˇc je prvn´ı ˇra´dek tabulky nadepsán Konstanta nebo zadané ˇcetnosti nikoli jen Konstanta. Zadan´ ymi ˇcetnostmi se mysl´ı tˇreba situace, kdy bychom se tázali, jestli zastoupen´ı levák˚ u a pravák˚ u v populaci je 10 % a 90 % nebo jestli zastoupen´ı r˚ uzn´ ych u ´rovn´ı dosaˇzeného vzdˇelán´ı odpov´ıdá pomˇeru, kter´ y je v populaci. Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe konstanty jde o hodnoty, které nejsou z´ıskané z naˇsich dat, ale z nˇejakého vnˇejˇs´ıho zdroje. (Pˇriznejme, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe metafora s pˇridán´ım jednoho sloupeˇcku do tabulky ponˇekud kulhá, coˇz vˇsak nijak nesniˇzuje u ´ˇcinnost vysvˇetlovaného postupu.) Posledn´ı, na co je potˇreba upozornit, kdyˇz budeme pouˇz´ıvat tento postup k v´ ybˇeru testu, jsou p´ arov´ e testy. Pˇredstavme si tˇreba situaci, kdy bychom mˇeˇrili skóre v nˇejakém psychologickém testu pˇred a po proveden´ı urˇcité intervence. Dle tabulky (14) bychom doˇsli k testu Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu, jelikoˇz pracujeme s dvˇema metrick´ ymi promˇenn´ ymi. To by vˇsak byla hrubá chyba. Jak bylo v pˇredeˇsl´ ych kapitolách mockrát zd˚ uraznˇeno, párové testy jsou jen zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem test˚ u jednov´ ybˇerov´ ych a ve skuteˇcnosti nepracuj´ı s dvˇema promˇenn´ ymi (pretest a posttest), ale s jedinou promˇennou rozd´ıl mezi mˇeˇren´ımi (pˇr´ıpadnˇe ji m˚ uˇzeme ˇr´ıkat zlepˇsen´ı) kterou srovnáváme s konstantou (obvykle 0). Tuto u ´vahu ilustruje tabulka (15). Kdyˇz si toto uvˇedom´ıme, snadno vybereme párov´ y test – pokud je promˇenná rozd´ıl metrická, naˇse metoda nás dovede k jednov´ ybˇerovému t-testu, v pˇr´ıpadˇe nutnosti k jednov´ ybˇerovému Wilcoxonovu testu. Pokud bychom mˇeˇrili na nomináln´ı u ´rovni, párov´ ym testem by byl NcNemar˚ uv test, coˇz je opˇet pˇresnˇe totéˇz jako znaménkov´ y test.46 Cel´ y proces v´ ybˇeru testu lze tedy shrnout to tˇechto krok˚ u: 1. Identifikujeme dvojici promˇenn´ ych (respektive promˇennou a konstantu / zadané ˇcetnosti), kter´ ych se hypotéza t´ yká. Dáme si pozor na pˇr´ıpadn´ y párov´ y test. 2. Urˇc´ıme typ obou tˇechto promˇenn´ ych. 3. V tabulce (14) vyhledáme pˇr´ısluˇsn´ y ˇrádek a sloupec. 46 Opˇet schéma naruˇsuj´ı nomin´ aln´ı promˇenné. Pokud by mˇeˇren´ı pˇred i po bylo na nomináln´ı u ´rovni, pouˇzijeme Bowker˚ uv test symetrie. T´ım jsme vˇsak jiˇz opustili bˇeˇznˇe pouˇz´ıvané statistické postupy a problémy, se kter´ ymi se obvykle ve v´ yzkumu setkáme.

162

4. Ovˇeˇr´ıme, zda je test svázán nˇejak´ ymi podm´ınkami, které jsou v rozporu s naˇsimi daty: ANO -> transformujeme problematickou promˇennou na niˇzˇs´ı stupeˇ n a vrát´ıme se k bodu 3. NE -> provedeme test a interpretujeme v´ ysledky. Mnoho lid´ı povaˇzuje schopnost vybrat vhodn´ y statistick´ y test za pomysln´ y vrchol inferenˇcn´ı statistiky, kter´ y je vyhrazen jen u ´zkému okruhu specialist˚ u. Jak jsme mohli vidˇet v této kapitole, opak je pravdou. K tomu, abychom se umˇeli rychle a efektivnˇe zorientovat mezi rozmanit´ ymi metodami, nám staˇc´ı si zapamatovat jedinou tabulku a sekvenci ˇctyˇr krok˚ u. Jeˇstˇe jednou zopakujme, ˇze tento postup nepokr´ yvá veˇskeré druhy hypotéz, které m˚ uˇzeme vymyslet. Tˇreba hypotézu o tom, ˇze ve dvou skupinách nab´ yvá korelaˇcn´ı koeficient stejn´ ych hodnot, nebo to, jestli smˇerodatná odchylka nˇejaké veliˇciny se rovná nˇejaké konstantˇe, t´ımto zp˚ usobem neovˇeˇr´ıme. Navrˇzen´ y postup funguje v´ yhradnˇe u hypotéz, které pˇredpokládaj´ı, ˇze mnoˇzstv´ı / m´ıra / kvalita / typ nˇeˇceho souvis´ı s mnoˇzstv´ım / m´ırou / kvalitou / typem nˇeˇceho jiného. Dobrá zpráva vˇsak je, ˇze co se t´ yˇce diplomov´ ych prac´ı z oblasti psychologie, drtivá vˇetˇsina z nich pracuje pouze s t´ımto druhem hypotéz. Drtivou vˇetˇsinou rozumˇejme ˇc´ıslo, které je vyˇsˇs´ı neˇz, ˇreknˇeme, nˇejak´ ych 95 %.

163

6

Cviˇ cen´ı

6.1 Poˇ c´ıt´ an´ısese sumou \subsection{Počítání sumou} \label{cv1} Ze základn´ı a stˇredn´ı ˇskoly si pamatujeme ˇradu matematick´ ych operátor˚ u, napˇr´ıklad +, ·

Ze základní √ a střední školy si pamatujeme řadu matematických operátorů, například $+$, . V$\sqrt{}$. matematick´ ch vzorc´ıch vˇsvzorcích ak ˇcastovšak naraz´ ıme narazíme také na takzvan´ e velk´ e operátory, nebo $\cdot$ nebo Ve ymatematických často na takzvané velké operátory, ve statistice zejména na aoperátor $\Sigma$ v ve statistice zejména na oper´ tor Σ. $\Sigma$. Symbol ΣSymbol (sigma) ˇcteme (sigma) v textučteme ˇci vzorci suma textu či vzorci jako \textbf{suma} a značí se jím součet nějaké skupiny hodnot. Suma se a znaˇc´ı seosaměle, j´ım souˇ cetbývá nˇejak´ e skupiny hned hodnot. Suma nevyskytuje osamˇ ele, ale b´ yvá nevyskytuje ale doprovázena čtyřmi údaji,se které říkají, co a jak vlastně doprov´ azenaTyhned ˇctyˇrjsou mi u ´\textit{jméno daji, které ˇrindexu}, ´ıkaj´ı, co\textit{počáteční a jak vlastnˇe chceme c´ıtat. Tyto u ´daje chceme sčítat. to údaje hodnota sˇ indexu}, \textit{poslední hodnota indexu} a samotný \textit{výraz, na který sumu uplatňujeme}. Výraz jsou jméno indexu, poˇcáteˇcn´ı hodnota indexu, posledn´ı hodnota indexu a samotn´ y výraz, obsahující sumu, by mohl vypadat například takto:

na který sumu uplatˇ nujeme. V´ yraz obsahuj´ıc´ı sumu, by mohl vypadat napˇr´ıklad takto: poslední hodnota indexu jméno indexu

5

∑ 2(𝑖 + 1) 𝑖=2

výraz, na který sumu uplatňujeme

počáteční hodnota indexu

Index naší sumy se jmenuje $i$, stejně tak jsme jej ale mohli pojmenovat $j$ nebo třeba $X$. Index naˇs´ıjesumy se jmenuje i, stejnˇ e tak jej ale mohli pojmenovat j nebo tˇreba Hodnota indexu proměnlivá. V prvním kroku má jsme svou počáteční hodnotu (v našem případě $2$), ta se ale vindexu každémjekroku oejedničku svéca hodnoty.(v naˇsem ♥. Hodnota promˇ nlivá. Vzvyšuje, prvn´ımdokud krokunedosáhne má svou poˇ ´poslední teˇcn´ı hodnotu Výpočet naší sumy tedy bude probíhat ve čtyřech krocích a náš index $i$ bude postupně pˇr´ıpadˇ e 2), ta$2,3,4,5$. se ale v Vkaˇ zdém kroku jedniˇcku zvyˇ suje, dokudnanedos´ své za posledn´ı nabývat hodnot každém z těchtoo čtyřech kroků se podíváme výrazahne napsaný sumou, a kdekoli uvidíme ($i$),prob´ tam ıhat si představíme jeho aktuální hodnoty. V´ ypoˇ cet naˇs´ısymbol sumy indexu tedy bude ve ˇctyˇrech kroc´ ıch a hodnotu. index i bude poVýraz za sumou $2(i+1)$ tedy bude postupně nabývat hodnot $2(2+1)$, $2(3+1)$, stupnˇe nab´ yvat hodnot 2, 3, 4, 5. V kaˇzdém z tˇechto ˇctyˇrech krok˚ u se pod´$2(4+1)$ ıváme na v´ yraz a $2(5+1)$, tedy čísel $6,8,10,12$. Jelikož suma je operátor součtu, všechny hodnoty výrazu napsan´ za sumou, a kdekoli ıme symbol indexu (i), tam si pˇredstav´ıme jeho aktuáln´ı sečteme ayzískáme výsledek $36$.uvid´ Tedy platí: $$hodnotu. V´ yraz za sumou 2(i+1) bude postupnˇe nab´ yvat hodnot 2(2+1), 2(3+1), 2(4+1) xxx ator souˇctu, vˇsechny hodnoty v´ yrazu $$a 2(5 + 1), tedy ˇc´ısel 6, 8, 10, 12. Jelikoˇz suma je oper´

seˇcteme a z´ıskáme v´ ysledek 36. Tedy plat´ı:

To však není vše. Index často nepoužíváme jen jako číselnou hodnotu, ale jako identifikátor určitého 5prvku ze skupiny. Většina výpočtů, s nimiž se budeme ve statistice setkávat, totiž X obnáší práci2(i s nějakými opakovanými měření. být, + 1) = 2(2 + 1) + 2(3výsledky + 1) + 2(4 + 1)Typický + 2(5 +příklad 1) = 6může +8+ 10když + 12$n$ = 36 jedincům předložíme nějaký test a od každého z nich získáme výsledek. Pokud třeba změříme i=2 IQ u pěti lidí ($n=5$), můžeme dostat hodnoty $121$, $103$, $97$, $116$, $109$. Abychom s nimi mohli pracovat, potřebujeme je však pojmenovat. Psát do matematických vzorců To vˇsaknaměřená nen´ı vˇse. Indexinteligence}, ˇcasto nepouˇ z´ıváme jen naměřená jako ˇc´ıselnou hodnotu, ale jako iden\textit{první hodnota \textit{druhá hodnota inteligence} a tak dálator by nebylo praktické. Každou zVˇ naměřených hodnot označíme pí\-sme\-nem tifik´ urˇcitépříliš ho prvku ze skupiny. etˇsina v´ ypoˇ ct˚ u, sproto nimiˇ z se budeme ve statistice (zvolme třeba $x$) a opatříme ji pořadovým číslem, které ji jednoznačně identifikuje. Takže setkávat, totiˇz obnáˇs´ı práci s nˇejak´ ymi opakovan´ ymi v´ ysledky mˇeˇren´ı. Typick´ y pˇr´ıklad místo \textit{čtvrtá naměřená hodnota inteligence} napíšeme jen $x_4$, což by v našem m˚ uˇze b´ yt, kdyˇz nčíslu jedinc˚ um pˇredloˇz´ıme nˇejak´ y test a od kaˇzdého z nich z´ıskáme v´ ysledek. příkladu odpovídalo $116$.

Pokud tˇreba zmˇeˇr´ıme IQ u pˇeti lid´ı (n = 5), m˚ uˇzeme dostat hodnoty 121, 103, 97, 116,

Když tento nápad zkombinujeme s naší znalostí sumy a snadno porozumíme výrazům jako je 109. Abychom s nimi mohli pracovat, potˇrebujeme je pojmenovat. Psát do matematick´ ych $\sum_{i=1}^{n} x_{i}$. Opět použijeme to pravidlo, že kdekoli ve výrazu za sumou vidíme jméno indexu ($i$), tam si představíme je aktuální hodnotu:

164

Tabulka 16: Diplomové práce student Zuzka Petr Jana Tom Lenka

poˇcet napsaných stran x 10 30 70 0 60

rychlost psan´ı plánovaný rozsah (stran za den) práce y z 5 80 1 60 6 70 10 80 4 120

vzorc˚ u prvn´ı namˇeˇrená hodnota IQ, druhá namˇeˇrená hodnota IQ a tak dál by nebylo pˇr´ıliˇs praktické. Kaˇzdou z namˇeˇren´ ych hodnot proto oznaˇc´ıme p´ısmenem (zvolme tˇreba x) a opatˇr´ıme ji poˇradov´ ym ˇc´ıslem, které ji jednoznaˇcnˇe identifikuje. Takˇze m´ısto ˇctvrt´ a namˇeˇrená hodnota IQ nap´ıˇseme jen x4 , coˇz by v naˇsem pˇr´ıkladu odpov´ıdalo ˇc´ıslu 116. Kdyˇz tento nápad zkombinujeme s naˇs´ı znalost´ı sumy, snadno porozum´ıme v´ yraz˚ um Pn yrazu za sumou vid´ıme jméno jako je i=1 xi . Opˇet pouˇzijeme pravidlo, ˇze kdekoli ve v´ indexu, tam si pˇredstav´ıme jeho aktuáln´ı hodnotu: n X

xi = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 121 + 103 + 97 + 116 + 109 = 546.

i=1

Zápis tedy vlastnˇe ˇr´ıká seˇcti prvn´ı x, druhé x, tˇret´ı x aˇz po n-té x, neboli seˇcti hodnoty vˇsech x dohromady. V podobném duchu m˚ uˇzeme vytvoˇrit dalˇs´ı vzorce, které pracuj´ı hned s nˇekolika skupinami hodnot. V tabulce 16 jsou záznamy o pˇeti studentech, kteˇr´ı p´ıˇsou své diplomové práce. Uˇz známe vzorec, kter´ y vyjadˇruje celkov´ y poˇcet stran napsan´ y vˇsemi studenty doPn uˇzeme se vˇsak zeptat, kolik stran mus´ı jeˇstˇe vˇsichni studenti hromady: i=1 xi = 170. M˚ dohromady napsat, aby dosáhli plánovan´ ych rozsah˚ u sv´ ych prac´ı. Pro kaˇzdého zvláˇst’ to spoˇc´ıtáme tak, ˇze od poˇctu plánovan´ ych stran (z) odeˇcteme poˇcet jiˇz napsan´ ych stran (x). Suma tˇechto rozd´ıl˚ u pro vˇsechny studenty pak vypadá takto: n X

(zi − xi ) = (z1 − x1 ) + (z2 − x2 ) + (z3 − x3 ) + (z4 − x4 ) + (z5 − x5 ).

i=1

Po dosazen´ı hodnot z tabulky pak (80 − 10) + (60 − 30) + (70 − 70) + (80 − 0) + (120 − 60) = 240. Postup si m˚ uˇzeme pˇredstavit také tak, ˇze k tabulce (16) pˇridáme nov´ y sloupec, do nˇejˇz nap´ıˇseme v´ ysledky rozd´ılu z − x, a vˇsechny jeho hodnoty seˇcteme. 165

Vzorce se sumou m˚ uˇzeme ˇcasto upravovat, a v´ ypoˇcet tak zjednoduˇsit. Napˇr´ıklad tehdy, kdyˇz se v´ yraz za sumou násob´ı nˇejakou konstantou, tedy libovoln´ ym ˇc´ıslem, jehoˇz hodnota se nemˇen´ı, jelikoˇz neobsahuje index. Zkusme spoˇc´ıtat, kolik slov jiˇz studenti dohromady napsali, kdyˇz v´ıme, ˇze jedna normovaná stránka textu obsahuje c slov: n X

cxi = cx1 + cx2 + cx3 + cx4 + cx5 .

i=1

Tent´ yˇz vztah bychom mohli zapsat i takto:

c

n X

xi = c(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ).

i=1

V´ ysledek je pochopitelnˇe stejn´ y, jelikoˇz nehraje roli, jestli nejdˇr´ıv spoˇc´ıtáme, kolik stran napsali studenti dohromady a pak ˇc´ıslo vynásob´ıme poˇctem slov na stránku, nebo jestli u kaˇzdého studenta spoˇc´ıtáme nejdˇr´ıv poˇcet napsan´ ych slov a v´ ysledky seˇcteme aˇz pak. Obecnˇe m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze n n X X cxi = c xi . i=1

i=1

Pro názornost, uved’me jeˇstˇe nˇekolik vztah˚ u, které ˇctenáˇr snadno pochop´ı i bez bliˇzˇs´ıho komentáˇre:

n X xi i=1

c

Pn =

n X i=1

x2i

i=1

n X

xi

c

=

x21

(xi + yi ) =

i=1

+

x22

+

x23

+

n X

xi +

i=1

x24

+

x25

n X

yi

i=1

n X

xi

2

n n X X (xi + c) = nc + xi i=1

i=1

= (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )2

i=1

Aby se celá vˇec jeˇstˇe trochu zkomplikovala, suma m˚ uˇze b´ yt pouˇzita i v rámci jiné sumy. V praxi se s takovouto situac´ı setkáme tˇreba tehdy, kdyˇz potˇrebujeme sˇc´ıtat pˇres ˇra´dky i sloupce nˇejaké tabulky. M˚ uˇzeme pak pouˇz´ıt tˇreba index i pro oznaˇcen´ı ˇrádku a index j pro sloupce a jednotlivé hodnoty x identifikovat jejich dvojic´ı. Tabulka (17) zobrazuje ˇcetnosti odpovˇed´ı na otázku S kým jste trávili posledn´ıho ” Silvestra? “, kdyˇz jsme se zeptali naˇsich pˇra´tel a pˇr´ıbuzn´ ych, rozdˇelen´ ych do skupin podle studijn´ıho zaˇrazen´ı. P Kaˇzd´ y sloupec zvláˇst’ m˚ uˇzeme seˇc´ıst podle nám známého vzorce ri=1 xi . Za x dosad´ıme hodnoty z daného sloupce. (Poˇcet ˇrádk˚ u jsme oznaˇcili p´ısmenem r m´ısto p˚ uvodn´ıho

166

Tabulka 17: Odpovˇedi na otázku Kde jste trávili Silvestra? dle druhu studia /práce S partou pˇra´tel

Jen s partnerem

S rodiˇci

Osamotˇe

6 15 17 7

0 1 6 9

12 3 2 0

1 0 3 5

ˇ ZS ˇ SS ˇ VS Nestudenti

n.) My vˇsak potˇrebujeme seˇc´ıst souˇcty vˇsech sloupc˚ u. Mus´ıme tedy spoˇc´ıtat sumu sum. Vzorec bude vypadat takto: s X r X

xij .

j=1 i=1

V prvn´ı sumˇe jsme m´ısto p´ısmene n pouˇzili s oznaˇcuj´ıc´ı poˇcet sloupc˚ u. Index nadˇrazené sumy se jmenuje j, jelikoˇz index i je jiˇz obsazen pro sˇc´ıtán´ı uvnitˇr jednotliv´ ych sloupc˚ u. Kaˇzdá promˇenná x je pak identifikována dvˇema ˇc´ısly: prvn´ı z nich tradiˇcnˇe vyjadˇruje, o kter´ y se jedná ˇra´dek, a druhé urˇcuje sloupec. Tedy napˇr´ıklad x21 (dva jedna, nikoli dvacetjedna) je hodnota x z druhého ˇrádku prvn´ıho sloupce (tedy 15). V´ yˇse uveden´ y vzorec m˚ uˇzeme rozepsat jako s X r X

xij =

j=1 i=1

r X

xi1 +

i=1

r X

xi2 +

i=1

r X

xi3 +

i=1

r X

xi4 ,

i=1

coˇz odpov´ıdá souˇctu sum ze vˇsech sloupc˚ u. Pˇ r´ıklad 1: Vyˇc´ıslete n´ıˇze uvedené v´ yrazy.

a)

4 X i=1

2

4(i − 3) i

e)

b)

j=2

3 X i X ij i=1 j=1

4 X

5

f)

j+9 j−1

c)

5 X

(2k − 2k)

v u 7 uX d) t 4 + l2 l=1

k=0

3 X 3 X j(j − 1) (k + 1)k j=1 k=1

g)

4 X k=0

(−1)

k

5 X

l

l=k+1

[a) 19, b) 25, c) 33, d) 12, e) 5, f) 6, g) 9]

167

Postup: Uved’me, jak by mohl vypadat postup ˇreˇsen´ı u ´lohy e): 3

3 X i X ij i=1 j=1

i

1 XX 1 = ij = 5 5 i=1 j=1 5

1 = 5

X 1

X 1

1j +

j=1

2 X

2j +

j=1

3 X

3j

=

j=1

2 X

3 X 1 j+2 j+3 j = 1(1) + 2(1 + 2) + 3(1 + 2 + 3) = 5 j=1 j=1 j=1 1 25 = (1 + 6 + 18) = =5 5 5

Pˇ r´ıklad 2: Laboratorn´ı krysa byla desetkrát po sobˇe vpuˇstˇena do bludiˇstˇe, aby hledala potravu. Experimentátor mˇeˇril, kolik vteˇrin j´ı tento u ´kol zabere. Z´ıskal tyto ˇcasy: 20

33

20

23

16

21

16

13

10

8

Jaká byla pr˚ umˇerná doba hledán´ı potravy, pokud je vzorec pro v´ ypoˇcet aritmetického Pn 1 umˇeru mezi kaˇzd´ yma dvˇema pr˚ umˇeru n i=1 xi ? Dále spoˇc´ıtejte, o kolik sekund se v pr˚ P n−1 1 pokusy ˇcas zmˇenil bez ohledu na znaménko dle vzorce n−1 i=1 |xi − xi+1 | [18, 6]

Pˇ r´ıklad 3: Mˇejme pˇet uspoˇra´dan´ ych dvojic hodnot (x, y): x y

4 3

5 3

10 5

2 8 0 4

Spoˇc´ıtejte hodnoty v´ yraz˚ u: n X

2

(xi − yi )

i=1

n X

(x2i

−

yi2 )

xi − y i

2

i=1

i=1

n X

n X

n X

xi · yi

i=1

(xi − 1) · (yi + 1)

i=1

[50, 150, 196, 109, 118]

168

Pˇ r´ıklad 4: Pro datovou tabulku (16) napiˇste vzorec, kter´ y udává (a) celkov´ y poˇcet dn˚ u, které jiˇz vˇsichni studenti dohromady vˇenovali sv´ ym diplomov´ ym pracem, pokud sloupec rychlost psan´ı udává pr˚ umˇern´ y poˇcet napsan´ ych stran za den; (b) poˇcet dn˚ u, které kaˇzd´ y student v pr˚ umˇeru jeˇstˇe mus´ı vˇenovat své diplomové práci, aby dosáhl plánované délky. Vypoˇc´ıtejte hodnoty obou vzorc˚ u. [

Pn

xi 1 i=1 yi , n

Pn

i=1

zi −xi , yi

58.67, 13.4]

Pˇ r´ıklad 5: Pro x nab´ yvaj´ıc´ı hodnot 6, 4, 2, 5, 1, 3 vyˇc´ıslete tento v´ yraz: n X (xi − i)2 . 1−6 n(n2 − 1) i=1

[−0.6]

Pˇ r´ıklad 6: Pro hodnoty 98, 95, 103, 107, 102, 94, 103, 95, 99, 105, 98, 101 oznaˇcené p´ısmenem x spoˇc´ıtejte v´ ybˇerov´ y rozptyl podle vzorce n

n

1 X 2 1 X xi − xj . n − 1 i=1 n j=1 [17.45] Postup: Na uvedeném pˇr´ıkladu m˚ uˇzeme demonstrovat nˇekolik trik˚ u, jak si ulehˇcit práci. Ve vzorci se vyskytuje operátor suma dvakrát. M˚ uˇzeme si ale vˇsimnout toho, ˇze P v´ yraz n1 nj=1 xj se nijak nemˇen´ı pˇri r˚ uzn´ ych hodnotách indexu i. Jeho hodnotu tedy m˚ uˇzeme vyˇc´ıslit a dále s n´ım pracovat jako s konstatou, kterou oznaˇc´ıme tˇreba x¯. Pro naˇse konkrétn´ı data bude m´ıt hodnotu 100. Dalˇs´ım uˇziteˇcn´ ym krokem je v´ ypoˇcet pomoc´ı tabulky. Budeme postupovat tak, ˇze kaˇzd´ y krok v´ ypoˇctu bude pˇredstavovat jeden sloupeˇcek tabulky. V prvn´ım budou hodnoty xi , v druhém xi − x¯, a v dalˇs´ım (xi − x¯)2 . 169

xi xi − x¯ 98 -2 95 -5 103 3 107 7 102 2 94 -6 103 3 95 -5 99 -1 105 5 98 -2 101 1 1200

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P

(xi − x¯)2 4 25 9 49 4 36 9 25 1 25 4 1 192

Kdyˇz seˇcteme hodnoty posledn´ıho sloupeˇcku, z´ıskáme hodnotu v´ yrazu

Pn

i=1 (xi

− x¯)2 ,

kterou staˇc´ı vydˇelit hodnotou n − 1. Tedy 192/11, coˇz je rovno v´ ysledku 17.45. Pˇ r´ıklad 7: Podle uvedeného vzorce vypoˇc´ıtejte hodnotu odhadu korelaˇcn´ıho koeficientu mezi poˇctem v´ yskyt˚ u agresivn´ıho chován´ı mezi tˇrilet´ ymi dˇetmi (znaˇc´ıme x) a poˇctem fyzick´ ych trest˚ u, které dˇeti dostaly za posledn´ı mˇes´ıc (y). Pozorovali jsme tyto hodnoty: x y

3 0

0 0

9 11

1 5 6 5 3 2 1 4 3 3

Hodnota korelaˇcn´ıho koeficient se rovná hodnotˇe v´ yrazu: P P xi yi − ni=1 xi ni=1 yi q P 2 q Pn 2 2 . Pn Pn n 2 n i=1 xi − n i=1 yi − i=1 xi i=1 yi n

Pn

i=1

[0.81]

Pˇ r´ıklad 8: Skupina 180 dobrovoln´ık˚ u byla dotazována, jakou znaˇcku ze ˇctyˇr moˇznost´ı (A, B, C, D) nealkoholic´ ych nápoj˚ u preferuj´ı. Poté jim byl prom´ıtnut film obsahuj´ıc´ı skryté reklamn´ı prvky. Po zhlédnut´ı filmu doslat kaˇzd´ y dobrovoln´ık poukázku na libodoln´ y nelkoholick´ y nápoj a bylo sledováno, pro kter´ y se rozhodl. Následuj´ıc´ı tabulka obsahuje poˇcty jedinc˚ u (nij ) rozdˇelené dle jejich uvádˇené preference (ˇra´dky) a skupteˇcného rozhodnut´ı (sloupce).

170

A B C D

A 22 29 5 9

B 21 17 7 9

C 10 3 9 4

D 21 6 1 7

Vypoˇc´ıtejte testovou statistiku Bowkerova testu symetrie dle vzorce: k−1 X k X (nij − nji )2 , n + n ij ji i=1 j=i+1

kde k oznaˇcuje poˇcet kategori´ı (v naˇsem pˇr´ıpadˇe 4) a nij jsou hodnoty v jednotliv´ ych buˇ nkách. [11.75]

Pˇ r´ıklad 9: Zjednoduˇste následuj´ıc´ı v´ yrazy tak, aby neobsahovaly operátor suma n X i=1

i

n

Pn i=1 (n − i) Pn−1 i=0 i

2X 3+ (n + i + ni) n i=1 [ 12 n(n + 1), 1, (n + 2)2 ]

Pˇ r´ıklad 10: Mˇejme ˇctvercovou matici (tabulku ˇc´ısel) o k ˇra´dc´ıch a k sloupc´ıch, kde k > 1. Napiˇste pˇredpis, jehoˇz v´ ysledkem je souˇcet hodnot vˇsech bunˇek na obvodu tabulky. [napˇr´ıklad

Pk

i=1 (ni1

+ nik + n1i + nki ) − (n11 + nk1 + n1k + nkk ) P P nebo ki=1 (ni1 + nik ) + k−1 i=2 (n1i + nki ) ]

171

6.2

Pr´ ace s pravdˇ epodobnost´ı, vyuˇ zit´ı kombinatorick´ ych pravidel

Pˇri nejr˚ uznˇejˇs´ıch statistick´ ych operac´ıch se m˚ uˇze stát, ˇze potˇrebujeme vyˇc´ıslit, kolik r˚ uzn´ ych d´ılˇc´ıch skupin prvk˚ u m˚ uˇzeme vybrat z jiné velké skupiny, kolik r˚ uzn´ ych poˇrad´ı m˚ uˇzou prvky m´ıt, nebo tˇreba kolika r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby m˚ uˇzeme doj´ıt k urˇcitému v´ ysledku. Tento obor matematiky se naz´ yvá kombinatorika. V tomto cviˇcen´ı osvˇetl´ıme nˇekolik základn´ıch kombinatorick´ ych postup˚ u a vyuˇzijeme je pˇri v´ ypoˇctu pravdˇepodobnosti náhodn´ ych jev˚ u. Ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u budeme vycházet z klasické definice pravdˇepodobnosti (viz kapitola 2.2.1) a vyuˇzijeme i znalost vlastnost´ı nezávisl´ ych náhodn´ ych jev˚ u (kapitola 2.2). 6.2.1

Kombinatorick´ e pravidlo soˇ ctu a souˇ cinu

Kombinatorické pravidlo souˇcinu popisuje, kolik r˚ uzn´ ych uspoˇrádan´ ych k-tic (dvojic, trojic, pˇetic...) lze vytvoˇrit z k mnoˇzin prvk˚ u. Tato vˇeta se m˚ uˇze zdát ponˇekud nesrozumitelná, jej´ı smysl nám osvˇetl´ı struˇcn´ y pˇr´ıklad. Jdete na obˇed do mensy a chcete si dát minutku. Na v´ ybˇer máte tyto moˇznosti: dr˚ ubeˇz´ı játra, vepˇrové raˇzniˇci, ryb´ı filé, zeleninové medailonky a kuˇrec´ı smˇes Paradis. Celkovˇe pˇet j´ıdel. K tomu si m˚ uˇzeme vybrat z tˇechto ˇctyˇr pˇr´ıloh: rýˇze, brambory, hranolky nebo bramborová kaˇse. I bez pˇredchoz´ı znalosti kombinatorického pravidla souˇcinu snadno zjist´ıme, ˇze celkov´ y poˇcet moˇznost´ı, co poobˇedvat, je 20 (5 minutek krát 4 pˇr´ılohy) r˚ uzn´ ych j´ıdel, protoˇze si kaˇzdé j´ıdlo m˚ uˇzeme dát s kaˇzdou pˇr´ılohou. Zpˇet k p˚ uvodn´ı definici. Chceme-li tedy vytvoˇrit uspoˇrádané (tzn. hlavn´ı j´ıdlo + pˇr´ıloha) k-tice (v naˇsem pˇr´ıpadˇe dvojice) a prvn´ı ˇclen lze vybrat n1 (u nás pˇeti) zp˚ usoby a druh´ y n2 (ˇctyˇrmi) zp˚ usoby aˇz k-t´ y (my máme jen dva ˇcleny) nk zp˚ usoby, tak celkov´ y poˇcet tˇechto k-tic je roven n1 · n2 · ... · nk . Kombinatorick´ e pravidlo souˇ ctu popisuje vztah, kter´ y je ve srovnán´ı s pˇredchoz´ım pravidlem triviáln´ı. Máme-li k disjunktn´ıch mnoˇzin a chceme-li z nich vybrat jedin´ y prvek, pak poˇcet moˇznost´ı, které máme, je roven souˇctu poˇct˚ u prvk˚ u v jednotliv´ ych mnoˇzinách, tedy n1 + n2 + ... + nk . Pokud jsme se tedy zklamali v minutkách a vyb´ıráme mezi hlavn´ımi j´ıdly, kter´ ych je 6, a z nab´ıdy teplého bufetu, která ˇc´ıtá 3 pokrmy, co by se daly povaˇzovat za obˇed, pak si m˚ uˇzeme vybrat 9 zp˚ usob˚ u, jak uspokojit ˇzaludek.

172

6.2.2

Permutace

Známe-li kombinatorické pravidlo souˇcinu, dokáˇzeme odvodit odpovˇed’ na otázku, kolik r˚ uzn´ ych uspoˇrádán´ı m˚ uˇze zauj´ımat k prvk˚ u. V matematické literatuˇre se tˇemto r˚ uzn´ ym poˇrad´ım ˇr´ıká permutace. Nejsnáze je ˇctenáˇri pˇribl´ıˇz´ıme pomoc´ı pˇr´ıkladu. Pˇredstavme si, ˇze do vlakového kupé, které má 8 m´ıst, nastupuje 8 lid´ı. V kolika r˚ uzn´ ych uspoˇrádán´ıch m˚ uˇzou v kupé sedˇet? Prvn´ı, kdo do kupé vstoup´ı, má zjevnˇe 8 moˇznost´ı, kam se posadit. Druh´ y jiˇz jen 7, jelikoˇz jedno m´ısto je obsazené. Kdyˇz pˇrijde tˇret´ı pasaˇzér, tak ten má jen 6 m´ıst a tak dál aˇz po osmého cestuj´ıc´ıho, kter´ y si vybrat nem˚ uˇze a má k dispozici jediné m´ısto. Jde o pˇr´ıpad vytváˇren´ı uspoˇra´dané k-tice, o kterém jsme jiˇz hovoˇrili v odstavci o kombinatorickém pravidle souˇcinu. Mezi jednotlivé poˇcty moˇznost´ı dáme tedy znaménko krát a dojdeme k v´ ysledku, ˇze poˇcet r˚ uzn´ ych uspoˇrádán´ı naˇsich pasaˇzér˚ u je u ćtyhodn´ ych 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320. Abychom zápis zjednoduˇsili, budeme pro v´ ypoˇcet poˇctu permutac´ı pouˇz´ıvat operátor s názvem faktori´ al, kter´ y zapisujeme 8!. Plat´ı tedy k! = k · (k − 1) · (k − 2) · . . . · 2 · 1. Jak je z pˇr´ıkladu patrné, faktoriál pomˇernˇe n´ızkého ˇc´ısla, jako je 8, vycház´ı v ˇra´du desetitis´ıc˚ u. U vyˇsˇs´ıch ˇc´ısel tento operátor vede ˇcasto k hodnotám, které neum´ı zobrazit kalkulaˇcka ani stoln´ı poˇc´ıtaˇc. M˚ uˇze b´ yt proto uˇziteˇcné znát jeden trik pˇri poˇc´ıtán´ı s faktoriálem. Ve vˇetˇsinˇe u ´loh, na které naraz´ıme, se faktoriál vyskytuje nad i pod zlomkovou ˇca´rou. V´ ysledek nˇejakého pˇr´ıkladu by napˇr´ıklad mohl zn´ıt

62! . 60!

Ani pˇri nejlepˇs´ı v˚ uli ne-

dokáˇzeme spoˇc´ıtat hodnotu ˇcitatele ˇci jmenovatele. D˚ umysln´ ym rozepsán´ım faktoriálu v ˇcitateli m˚ uˇzeme pˇrevést zlomek do jiného tvaru a obˇe hodnoty zkrátit: 62 · 61 · 60! 62! = = 62 · 61 = 3782. 60! 60! Dodejme jeˇstˇe, ˇze v´ yraz 0! je roven ˇc´ıslu 1. 6.2.3

Kombinace

Permutace jsou základn´ım kamenem, s jehoˇz pomoc´ı m˚ uˇzeme vytváˇret sloˇzitˇejˇs´ı operace. Pˇredstavme si napˇr´ıklad u ´lohy, kdy máme z n prvk˚ u vybrat k prvk˚ u a ptáme se, kolik r˚ uzn´ ych k-tic m˚ uˇzeme vytvoˇrit, kdyˇz nezáleˇz´ı na uspoˇra´dán´ı prvk˚ u uvnitˇr této k-tice. V matematick´ ych textech by se tyto k-tice oznaˇcovaly názvem kombinace. Jednalo by se tˇreba o situaci, kdy hrajeme poker. V bal´ıˇcku je 52 (n = 52) karet a kaˇzd´ y hráˇc dostane 5 (k = 5) z nich. Kolik r˚ uzn´ ych pˇetic karet m˚ uˇzeme obdrˇzet? Uvˇedomme si, ˇze zde nezáleˇz´ı na poˇrad´ı – pokud máme vˇsechna ˇctyˇri esa a pikovou sedmiˇcku, je to pˇresnˇe totéˇz, jako kdyˇz máme pikovou sedmiˇcku a vˇsechna esa. Byla by to tedy jedna a tatáˇz kombinace. 173

Odvodit v´ ysledek chce jiˇz jistou dávku fantazie. Pˇredstavme si, ˇze vˇsech 52 karet náhodnˇe seˇrad´ıme a rozdˇel´ıme je na dvˇe hromádky – prvn´ıch 5 na jednu a zb´ yvaj´ıc´ıch 47 na druhou. Celkov´ y poˇcet r˚ uzn´ ych poˇrad´ı tˇechto 52 karet je 52! (pouˇzijeme naˇsi znalost permutac´ı). Nˇekterá z tˇechto uspoˇra´dán´ı jsou ale z naˇseho pohledu stejná. Ty permutace, které se liˇs´ı jen poˇrad´ım uvnitˇr prvn´ı hromádky, pˇredstavuj´ı stejn´ y v´ ysledek (jelikoˇz je jedno, v jakém poˇrad´ı karty do ruky dostaneme – ve hˇre to nic nezmˇen´ı). Jedná se vˇzdy o 5! stejn´ ych kombinac´ı v rámci celkového poˇctu 52! r˚ uzn´ ych uspoˇra´dán´ı. Celkov´ y poˇcet permutac´ı 52! proto mus´ıme ˇc´ıslem 5! vydˇelit. Uvaˇzujme ale dál: poˇrad´ı druhé hromádky taky nijak neovlivˇ nuje kombinaci karet, které máme v ruce. Naˇsich 52! r˚ uzn´ ych poˇrad´ı tedy m˚ uˇzeme rozdˇelit i na skupiny po 47! r˚ uzn´ ych uspoˇrádán´ı, která vˇsak nemaj´ı ˇzádn´ y vliv na to, jak´ ych pˇet karet máme v ruce. Celkov´ y poˇcet poˇrad´ı proto vydˇel´ıme nejen hodnotou 5! ale i ˇc´ıslem 47!. Celkovˇe tedy m˚ uˇzeme v pokeru dostat karet, coˇz je rovno v´ yrazu

52·51·50·49·48 5!

52! 5!47!

r˚ uzn´ ych pˇetic

= 2598960.

Obecnˇe bychom ˇrekli, ˇze m˚ uˇzeme vybrat

n! k!(n−k)!

r˚ uzn´ ych neuspoˇra´dan´ ych k-tic z mno-

ˇziny n r˚ uzn´ ych prvk˚ u. Jelikoˇz se v matematice s t´ımto problémem setkáváme velmi ˇcasto, zapisujeme tento vztah jako kombinaˇ cn´ı ˇ c´ıslo n n! . = k!(n − k)! k V´ yraz

n k

ˇcteme n nad k“. ” Kromˇe permutac´ı a kombinac´ı v kombinatorice rozliˇsujeme jeˇstˇe variace a ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech mluv´ıme o moˇznosti s opakován´ım a bez opakován´ı. V tomto kurzu tyto pojmy definovat nebudeme. Pokud student pochopil zp˚ usob, jak´ y jsme odvodili kombinaci pomoc´ı permutac´ı, snadno pˇrijde na zp˚ usob, jak´ ym lze spoˇc´ıtat libovolnou dalˇs´ı u ´lohu47 .

Pˇ r´ıklad 11: Hnˇedook´ y muˇz si vezme modrookou d´ıvku. Pˇredpokládejme, ˇze je 50% pravdˇepodobnost, ˇze jejich d´ıtˇe bude m´ıt modré oˇci a 50% pravdˇepodobnost, ˇze d´ıtˇe bude holˇciˇcka. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze jejich d´ıtˇe bude modrooká d´ıvka, pokud jsou oba jevy nezávislé. [ 14 ] 47 V´ yjimkou je snad jen kombinace s opakován´ı, která vyˇzaduje ne zcela intuitivn´ı myˇslenkov´ y trik. Z´ ajemce o tento poznatek m˚ uˇzeme odk´ azat na internetové zdroje. Existuje mnoho kvalitn´ıch zdarma pˇr´ıstupn´ ych internetov´ ych port´ al˚ u, které jsou v ˇceˇstinˇe, a vysvˇetluj´ı kompletnˇe kombinatorická pravidla.

174

Pˇ r´ıklad 12: V´ıme, ˇze 40 % mail˚ u, které nám chod´ı, jsou od ˇséfa, a obsahuj´ı nˇejak´ yu ´kol. Dále, ˇze 20 % mail˚ u, co nám pˇricház´ı do schránky, pocház´ı od druhého ˇséfa a opˇet vˇzdy znamenaj´ı nˇejakou práci nav´ıc. A nakonec v 30 % mail˚ u, které chod´ı do naˇs´ı schránky, po nás chce nˇekdo jin´ y, obvykle spolupracovn´ıci, pomoc se sv´ ymi u ´koly. Pˇriˇsel mail. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze v nˇem po nás chce nˇekdo nˇejakou práci? [90%]

Pˇ r´ıklad 13: Vezmete-li sv˚ uj mobil a zcela nahodile nap´ıˇsete 9 libovoln´ ych ˇc´ıslic mezi 0 a 9 (s t´ım, ˇze se ˇc´ıslice m˚ uˇzou opakovat a pravdˇepodobnost vybrán´ı libovolné z nich je vˇzdy

1 ), 10

jaká

je pravdˇepodobnost, ˇze vytoˇc´ıte telefonn´ı ˇc´ıslo autora tˇechto skript, (a) má-li jediné telefonn´ı ˇc´ıslo? (b) má-li tˇri r˚ uzná telefonn´ı ˇc´ısla? 1 [ 1000000000 = 10−9 ;

3 1000000000

= 3 · 10−9 ]

Pˇ r´ıklad 14: ˇ má 15 % ˇza´k˚ Pr˚ uzkum zjistil, ˇze v urˇcitém regionu CR u devát´ ych tˇr´ıd zkuˇsenost s tvrd´ ymi drogami. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze z dvaceti náhodnˇe vybran´ ych devát’a´k˚ u z tohoto regionu tuto zkuˇsenost alespoˇ n jeden má? [1 − (1 − 0.15)20 ≈ 96 %] ´ N´ apovˇ eda: Ukol se stane mnohem snazˇs´ım, kdyˇz spoˇc´ıtáme pravdˇepodobnost opaˇcného jevu, a tu odeˇcteme od jedniˇcky. Pˇ r´ıklad 15: V´ıme, ˇze na kaˇzdém term´ınu zkouˇsky z Tˇeˇzkého pˇredmˇetu uspˇeje 50 % zapsan´ ych student˚ u. Zb´ yvaj´ıc´ı si zapisuj´ı druh´ y, a poté tˇret´ı term´ın. Ze student˚ u, kteˇr´ı nebyli u ´spˇeˇsn´ı ani ve tˇret´ım term´ınu, 30 % studium vzdá a zb´ yvaj´ıc´ı si pˇredmˇet zap´ıˇsou znovu. Ze student˚ u, kteˇr´ı pˇredmˇet opakuj´ı, jich na kaˇzdém term´ınu zkouˇsky 60 % uspˇeje. Pokud studenti neuspˇej´ı ani napotˇret´ı, je jejich studium ukonˇceno. Kolik procent student˚ u ukonˇc´ı studium kv˚ uli Tˇeˇzkému pˇredmˇetu? [4.31%] 175

Postup: K ˇreˇsen´ı tohoto pˇr´ıkladu staˇc´ı správnˇe rozliˇsovat, kde pouˇzijeme kombinatorické pravidlo souˇctu a kde souˇcinu. Kdykoli v naˇsich u ´vahách naraz´ıme na logické a, tam mluv´ıme o souˇcinu a kdekoli naraz´ıme na nebo, tam pouˇzijeme souˇcet. Aby student neuspˇel, mus´ı neuspˇet na prvn´ı zkouˇsce (0.5) a neuspˇet na druhé zkouˇsce (0.5) a neuspˇet na tˇret´ı zkouˇsce (0.5), a pak zvolit jednu z tˇechto moˇznost´ı: ukonˇcit studium (0.3) nebo pokraˇcovat (0.7) a neuspˇet na ˇctvrté zkouˇsce (0.4) a neuspˇet na páté zkouˇsce (0.4) a neuspˇet na ˇsesté zkouˇsce (0.4). Pˇrepsáno jako matematick´ y v´ yraz: 0.5 · 0.5 · 0.5 · (0.3 + 0.7 · 0.4 · 0.4 · 0.4).

Pˇ r´ıklad 16: Pˇet kamarád˚ u Lucka, Zuzka, Petr, Honza a Michal jde do kina. Zuzka, která mˇela na starosti nákup vstupenek, koupila pˇet l´ıstk˚ u vedle sebe do jedné ˇrady a kaˇzdému z pˇra´tel jeden dala, bez toho, aby se d´ıvala, komu dala kter´ y. Zasedac´ı poˇrádek tedy urˇcila náhoda. (a) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze pˇra´tele budou sedˇet v poˇrad´ı, v jakém jsme je vyjmenovali, tedy Lucka, Zuzka, Petr, Honza, Michal? (b) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze se budou chlapci a d´ıvky v zasedac´ım poˇrádku pˇresnˇe stˇr´ıdat, tedy chlapec, d´ıvka, chlapec, d´ıvka, chlapec? (c) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze Lucka bude sedˇet vedle Petra? (d) Ukázalo se, ˇze dvˇe z koupen´ ych m´ıst jsou dvousedaˇcka. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze na této dvousedaˇcce budu spolu sedˇet Lucka a Petr? (e) Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze Petr bude sedˇet vedle nˇekteré z d´ıvek? 1 1 2 1 7 [ 120 ; 10 ; 5 ; 10 ; 10 ]

Postup: V u ´loze a) m˚ uˇzeme rozeznat triviáln´ı problém stanoven´ı poˇctu vˇsech moˇzn´ ych poˇrad´ı. Pokud v´ıme, ˇze r˚ uzn´ ych poˇrad´ı, jak uspoˇra´dat n r˚ uzn´ ych prvk˚ u, je n!, pak jednomu konkrétn´ımu poˇrad´ı m˚ uˇzeme pˇrisoudit pravdˇepodobnost 1/n!. Vyuˇzili jsme k tomu definici klaské pravdˇepodobnosti. Pˇr´ıklad b) lze ˇreˇsit následuj´ıc´ı u ´vahou. V´ıme, ˇze existuje n! r˚ uzn´ ych uspoˇrádán´ı. Jelikoˇz vˇsak nerozliˇsujeme, kter´ y chlapec je kter´ y (respektive, která d´ıvka, je která) mus´ıme tento poˇcet vydˇelit poˇctem uspoˇra´dán´ı, která m˚ uˇzou Petr, Honza a Michal zauj´ımat na sv´ ych tˇrech sedaˇckách, a taky poˇctem uspoˇrádán´ı, která m˚ uˇzou zauj´ımat Lucka a Zuzka na sv´ ych. Hodnotu 5! bychom tedy vydˇelili hodnotami 3! (za chlapce) a 2! (za 5! d´ıvky). Vypoˇc´ıtáme 2!3! = 10, tedy kombinaˇcn´ı ˇc´ıslo 52 , coˇz je poˇcet vˇsech moˇzn´ ych neuspoˇra´dan´ ych dvojic, které m˚ uˇzou sedˇet na m´ıstech 2 a 4, respektive poˇcet neuspoˇra´dan´ ych 176

trojic, které m˚ uˇzou sedˇet na m´ıstech 1, 3, 5. Pouze jediná dvojice vˇsak odpov´ıdá zadán´ı – ta, co je tvoˇrena d´ıvkami, respektive jediná trojice tvoˇrená pouze chlapci. V´ ysledkem je 5! tedy pravdˇepodobnost 1/ 2!3! =

2!3! 5!

= 0.1.

V situaci c) pátráme po poˇctu uspoˇra´dán´ı, která splˇ nuj´ı podm´ınku toho, ˇze Petr a Lucka sed´ı vedle sebe. Problém nám citelnˇe usnadn´ı to, kdyˇz si pˇredstav´ıme Petra a Lucku ˇ ri prvky maj´ı 4! r˚ jako jedin´ y prvek ˇctyˇrprvkové mnoˇziny. Ctyˇ uzn´ ych uspoˇra´dán´ı, nesm´ıme vˇsak zapomenout, ˇze náˇs dvouprvek“ Pert a Lucka, má sám o sobˇe dvˇe uspoˇra´dán´ı (Pert ” a Lucka, Lucka a Petr). Tedy r˚ uzn´ ych uspoˇra´dán´ı je 4!2!. Abychom z´ıskali pravdˇepodobnost, vydˇel´ıme tento poˇcet celkov´ ym poˇctem uspoˇra´dán´ı, kter´ ych je 5!. V´ ysledkem je tady

4!2! 5!

= 2/5 = 0.4.

Tent´ yˇz u ´kol bychom mohli ˇreˇsit i jinou cestou. Rozdˇelme situaci na dvˇe moˇznosti: Petr vylosoval l´ıstek na kraji (to se stane s pravdˇepodobnost´ı 2/5) a Petr vylosoval l´ıstek mimo okraj (pravdˇepodobnost 3/5). V prvn´ım pˇr´ıpadˇe má Lucka pravdˇepodobnost 1/4, ˇze z´ıská m´ısto vedle Petra (jelikoˇz uˇz zb´ yvaj´ı jen 4 m´ısta, z nichˇz losuje). V druhém pˇr´ıpadˇe má pravdˇepodobnost 1/2, ˇze bude sedˇet vedle nˇej (jelikoˇz ze zb´ yvaj´ıc´ıch 4 m´ıst, jsou dvˇe vedle Petra). Pomoc´ı kombinatorick´ ych pravidel souˇctu a souˇcinu bychom pak z´ıskali v´ ysledek 2/5 · 1/4 + 3/5 · 1/2 = 2/5. ´ Ukol d) si opˇet m˚ uˇzeme pˇredstavit dvˇema zp˚ usoby. Jednak m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze pravdˇepodobnost toho, ˇze prvn´ı z dvojice Petr a Lucie (a je nám jedno kter´ y), si vylosuje dvousedaˇcku, jsou 2/5. Ten druh´ y má pak pravdˇepodobnost téhoˇz 1/4, jelikoˇz zb´ yvaj´ı jiˇz jen 4 m´ısta a jen jedno z nich je na dvousedaˇcce. V´ ysledek tedy je 2/5 · 1/4 = 1/10. Druhá cesta je si pˇredstavit, ˇze opˇet jde o kombinace. Hledáme poˇcet neuspoˇrádan´ ych dvojic z pˇeti prvk˚ u. Na dvousedaˇcce tedy m˚ uˇze sedˇet

n! k!(n−k)!

=

5! 2!3!

= 10 r˚ uzn´ ych dvojic,

z ˇcehoˇz je jediná naˇse dvojice Petr a Lucka (v libovolném poˇrad´ı). Jej´ı pravdˇepodobnost by tedy byla 1/10. Taky si m˚ uˇzeme vˇsimnout toho, ˇze u ´lohy d) a b) jsou totoˇzné, aˇc to nen´ı vidˇet na prvn´ı pohled. Posledn´ı u ´lohu e) vyˇreˇs´ıme zˇrejmˇe nejefektivnˇeji u ´vahou. Opˇet situaci rozdˇel´ıme na dvˇe moˇznosti: Petr vylosoval l´ıstek na kraji (to se stane s pravdˇepodobnost´ı 2/5) a Petr vylosoval l´ıstek mimo okraj (pravdˇepodobnost 3/5). Pokud Petr sed´ı na kraji, má jednoho souseda a je zde 50% pravdˇepodobnost, ˇze j´ım bude nˇejaká d´ıvka (protoˇze ve hˇre jsou jiˇz jen dvˇe d´ıvky a dva chlapci). Posledn´ı, co mus´ıme dopoˇc´ıtat, je pravdˇepodobnost, ˇze vedle Petra sed´ı alespoˇ n jedna d´ıvka, za pˇredpokladu, ˇze on sám nesed´ı na okraji. Jeden zp˚ usob v´ ypoˇctu m˚ uˇze b´ yt pˇres opaˇcn´ y jev; tedy ˇze od jedniˇcky odeˇcteme pravdˇepodobnost, ˇze vedla Petra sed´ı Honza a Michal. S vyuˇzit´ım kombinaˇcn´ıho ˇc´ısla 42 je hodnota rovna 1−

4! . 2!2!

Odpovˇed’ na naˇs´ı otázku je tedy rovna 2/5 · 1/2 + 3/5 · (1 − 1/6) = 0.7. 177

Pˇ r´ıklad 17: Ze sedmi pacient˚ u jsme náhodnˇe vybrali tˇri, kteˇr´ı dostali lék, a ˇctyˇri, kteˇr´ı dostali placebo. Po nˇejaké dobˇe jsme pacienty seˇradili podle toho, k jak v´ yraznému zlepˇsen´ı u nich doˇslo. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze nejvyˇsˇs´ı zlepˇsen´ı nastalo u tˇech pacient˚ u, kteˇr´ı dostali lék, za pˇredpokladu, ˇze ve skuteˇcnosti tento pˇr´ıpravek nefunguje a jeho u ´ˇcinek je nulov´ y stejnˇe jako u ´ˇcinek placeba. = [ 3!4! 7!

1 ] 35

Pˇ r´ıklad 18: Mˇejme hrac´ı kostku, na které m˚ uˇzou padnout hodnoty podobnost následuj´ıc´ıch jev˚ u:

, , , , , . Jaká je pravdˇe-

(a) Hod´ıme si pˇetkrát kostkou, z ˇcehoˇz pˇri prvn´ıch tˇrech pokusech padne dvou nˇejaká jiná hodnota, pokud v´ıme, ˇze

padá s pravdˇepodobnost´ı 16 .

(b) Hod´ıme si pˇetkrát kostkou, z ˇcehoˇz tˇrikrát padne pokud v´ıme, ˇze

a dvakrát nˇejaká jiná hodnota,

padá s pravdˇepodobnost´ı 16 .

(c) Hod´ıme si n-krát kostkou, z ˇcehoˇz k-krát padne pokud v´ıme, ˇze

a pˇri dalˇs´ıch

a (n−k)-krát nˇejaká jiná hodnota,

padá s pravdˇepodobnost´ı p. 25 [ 7776 ≈ 0.32%;

5 25 2 7776

≈ 3.22%;

n k

pk (1 − p)n−k ]

Pozn´ amka: Bod c) nen´ı niˇc´ım jin´ ym neˇz odvozen´ım pravdˇepodobnostn´ı funkce binomického rozdˇelen´ı, kterému se bl´ıˇze vˇenujeme v kapitole (2.6.2). Pˇ r´ıklad 19: U závˇereˇcn´ ych zkouˇsek si student losuje po dvou otázkách z kaˇzdého ze 4 seznam˚ u otázek. Tyto seznamy jsou nestejnˇe dlouhé – skládaj´ı se z 32, 36, 34 a 30 otázek. Jelikoˇz studentovi docház´ı pˇri pˇr´ıpravách ˇcas, nauˇc´ı se vˇsechny otázky, aˇz na dvˇe posledn´ı z kaˇzdého seznamu. Ty pˇreskoˇc´ı. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze se mu tato strategie nevymst´ı a ˇza´dnou z pˇreskoˇcen´ ych otázek si nevylosuje? [ 35 = 60 %] Postup: Zaˇcnˇeme s jedin´ ym seznamem otázek, a ostatn´ı ponechme prozat´ım stranou. ˇ Reknˇ eme, ˇze obecnˇe ˇc´ıtá n otázek, a my vyˇc´ıslujeme pravdˇepodobnost toho, ˇze student si nevytáhne ani jednu ze 2 konkrétn´ıch otázek. Vyb´ırá-li prvn´ı, m˚ uˇze zvolit n r˚ uzn´ ych otázek, z ˇcehoˇz je pro nˇej n − 2 pˇr´ızniv´ ych. Pokud uspˇel, tahá druhou otázku z n − 1 zb´ yvaj´ıc´ıch a z toho n − 3 je pro nˇej pˇr´ızniv´ ych. Tedy pravdˇepodobnost u ´spˇechu je 178

n−2 n

·

n−3 . n−1

Stejn´ y postup pouˇzijeme u vˇsech 4 seznam˚ u, s t´ım ˇze hodnota n bude postupnˇe

32, 36, 34, 30. Jednotlivé v´ ysledky spolu dle kombinatorického pravidla souˇcinu násob´ıme. Kdyˇz vˇsech osm vznikl´ ych zlomk˚ u pˇrep´ıˇseme jako jedin´ y zlomek, m˚ uˇzeme ˇcitatel zapsat jako souˇcin ˇc´ısel 27 · 28 · . . . · 34 a jmenovatel 29 · 30 · . . . · 36. Vˇetˇsina hodnot se zkrát´ı a my dojdeme k v´ ysledku

27·28 35·36

= 53 .

Pˇ r´ıklad 20: Ve tˇr´ıdˇe o 16 dˇetech jsou dvˇe ˇsikanované dˇeti a tˇri ˇsikanuj´ıc´ı dˇeti. Tˇr´ıdu jste si s kolegou rozdˇelili na dvˇe skupiny po osmi dˇetech, kv˚ uli aktivitˇe v rámci preventivn´ıho programu proti ˇsikanˇe. Dˇelen´ı probˇehlo náhodnˇe. Jaká je pravdˇepodobnost tˇechto jev˚ u: (a) Ve vaˇs´ı skupinˇe nebude ˇzádné ˇsikanuj´ıc´ı d´ıtˇe. (b) Ve vaˇs´ı skupinˇe budou obˇe ˇsikanované dˇeti. (c) Vˇsechny ˇsikanuj´ıc´ı i ˇsikanované dˇeti budou v jedné skupinˇe. 1 [ 10 ;

6.3

7 ; 1] 30 39

Pr´ ace s ˇ c´ıseln´ ymi charakteristikami n´ ahodn´ ych veliˇ cin

V tomto cviˇcen´ı se nebudeme zab´ yvat t´ım, jak vypoˇc´ıtat urˇcitou ˇc´ıselnou charakteristiku (rozptyl, stˇredn´ı hodnotu) z pˇredpisu distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny. S t´ımto problémem se ostatnˇe ani v naˇs´ı praxi zˇrejmˇe nebudeme pˇr´ıliˇs ˇcasto setkávat. Dovednost, kterou vˇsak vyuˇzijeme, a proto j´ı vˇenujeme toto cviˇcen´ı, je v´ ypoˇcet ˇc´ıseln´ ych charakteristik náhodn´ ych veliˇcin, které vznikly jako souˇcty, rozd´ıly ˇci nˇejaké transformace jin´ ych nám znám´ ych náhodn´ ych veliˇcin. V´ yznam ˇc´ıseln´ ych charakteristik náhodn´ ych veliˇcin vysvˇetlujeme v kapitole (2.5), kde uvád´ıme i vztahy, které vyuˇzijeme v tomto cviˇcen´ı. Pro pˇrehlednost zopakujme nˇekteré vzorce, které budeme pouˇz´ıvat. E(a + bX) = a + b E(X)

E(aX + bY ) = a E(X) + b E(Y )

VAR(a + bX) = b2 VAR(X) COV(a + cX, b + dY ) = cd COV(X, Y )

E(a) = a

VAR(a) = 0 COV(X, X) = VAR(X)

VAR(X + Y ) = VAR(X) + VAR(Y ) + 2 COV(X, Y ) VAR(aX + bY ) = a2 VAR(X) + b2 VAR(Y ) + 2ab COV(X, Y )

179

COV(X, Y ) p COR(X, Y ) = p VAR(X) VAR(Y ) COV(aX + bY, cU + dV ) = COV(aX, cU ) + COV(aX, dV ) + COV(bY, cU ) + COV(bY, dV ). Pokud jsou náhodné veliˇciny X a Y nezávislé, plat´ı i n´ıˇze uvedené. E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

E(XY ) = E(X) E(Y )

VAR(X + Y ) = VAR(X) + VAR(Y ) V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nemus´ı b´ yt ˇctenáˇri zcela zˇrejmé, jak v´ yˇse uveden´ ymi vztahy dále pracovat. Vezmˇeme situaci, kde máme vypoˇc´ıtat hodnotu v´ yrazu VAR(2X −3Y ). V´ ypoˇcet provedeme podle v´ yˇse uveden´ ych pravidel následovnˇe:

VAR(2X − 3Y ) = VAR(2X) + VAR(−3Y ) + 2 COV(2X, −3Y ) = = 22 · VAR(X) + (−3)2 · VAR(Y ) + 2 · 2 · (−3) · COV(X, Y ) = = 4 VAR(X) + 9 VAR(Y ) − 12 COV(X, Y ) V pˇr´ıpadˇe souˇctu v´ıce ˇclen˚ u: VAR(2X − 3Y − 4Z) = 4 VAR(X) + 9 VAR(Y ) + 16 VAR(Z) − 12 COV(X, Y ) − 16 COV(X, Z) + 24 COV(Y, Z).

Pˇ r´ıklad 21: Náhodná veliˇcina X má stˇredn´ı hodnotu 15 a rozptyl 8. Vypoˇc´ıtejte stˇredn´ı hodnotu a rozptyl náhodn´ ych veliˇcin Y , Z, U , V pokud v´ıme, ˇze plat´ı: Y = X–15

Z=

X 2

U = 10X + 85

V =

X − 15 √ · 10 + 50 8

[E(Y ) = 0, VAR(Y ) = 8, E(Z) = 7.5, VAR(Z) = 2, E(U ) = 235, VAR(U ) = 800, E(V ) = 50, VAR(V ) = 100]

180

Pˇ r´ıklad 22: Náhodné veliˇciny X a Y jsou nezávislé. Jaká je stˇredn´ı hodnota, rozptyl a smˇerodatná odchylka náhodné veliˇciny Z, kdyˇz v´ıme ˇze: E(X) = 5

VAR(X) = 6 Z=

E(Y ) = 25

VAR(Y ) = 11.5

3X + 2Y +7 5 [E(Z) = 20, VAR(Z) = 4]

Postup: E

VAR

3X + 2Y +7 5

3X + 2Y +7 5 =

=

3 E(X) + 2 E(Y ) 3 · 5 + 2 · 25 +7= + 7 = 20 5 5

= VAR

3 X 5

+ VAR

2 Y 5

=

4 9 4 9 · 6 + 4 · 11.5 9 VAR(X) + VAR(Y ) = ·6+ · 11.5 = =4 25 25 25 25 25

Pˇ r´ıklad 23: Náhodné veliˇciny X a Y jsou nezávislé. Jaká je stˇredn´ı hodnota, rozptyl a smˇerodatná odchylka náhodné veliˇciny Z, kdyˇz v´ıme ˇze: Z=

(X + Y ) − (E(X) + E(Y )) p · 15 + 100 VAR(X) + VAR(Y )

[E(Z) = 100, VAR(Z) = 225,

p

VAR(Z) = 15]

Pˇ r´ıklad 24: ˇ Kovariance náhodn´ ych veliˇcin X a Y je rovna 12. Cemu se rovnaj´ı následuj´ıc´ı v´ yrazy: 1 COV( X, 2Y ) 2

COV(2X, 3Y ) COV(10X + 15, Y − 300)

COV(2X + 3, 2Y + 3)

[72, 12, 120, 48]

181

Pˇ r´ıklad 25: Vypoˇc´ıtejte hodnoty n´ıˇze uveden´ ych v´ yraz˚ u, pokud známe varianˇcn´ı matici V náhodn´ ych veliˇcin X, Y , Z.   16 −3 6 V = −3 25 1 6 1 4 VAR(X + Y )

VAR(X − Y )

VAR(X + Y + Z) Pozn´ amka:

VAR(4Y + 2Z − 14)

VAR(25X − 16Y + 100Z − 160)

Varianˇcn´ı (nˇekdy téˇz kovarianˇcn´ı) matic´ı se oznaˇcuje ˇctvercová tabulka

hodnot, kde na u ´hlopˇr´ıˇcce jsou rozptyly jednotliv´ ych náhodn´ ych veliˇcin (v naˇsem pˇr´ıpadˇe vid´ıme napˇr. ˇze VAR(X) = 16, VAR(Y ) = 25) a mimo diagonálu jsou kovariance jednotliv´ ych dvojic náhodn´ ych veliˇcin (tedy napˇr´ıklad COV(X, Y ) = COV(Y, X) = −3). [35, 47, 432, 53, 85600]

Pˇ r´ıklad 26: Pro veliˇciny X, Y a Z z pˇr´ıkladu (25) vytvoˇrte korelaˇcn´ı matici. Pozn´ amka:

Korelaˇcn´ı matice je ˇctvercová tabulka hodnot, která obsahuje korelaˇcn´ı

koeficienty náhodn´ ych veliˇcin. Na u ´hlopˇr´ıˇcce jsou vˇzdy jedniˇcky (jelikoˇz vˇzdy plat´ı, ˇze COR(X, X) = 1) a mimodiagonáln´ı prvky jsou rovny korelaˇcn´ım koeficient˚ um jednotliv´ ych dvojic náhodn´ ych veliˇcin. Korelaˇcn´ı matice je symetrická podle své diagonály a obsahuje hodnoty z intervalu [−1, 1]. "

 1 −0.15 0.75 # −0.15 1 0, 1  0.75 0.1 1

Pˇ r´ıklad 27: Vypoˇc´ıtejte kovariance náhodn´ ych veliˇcin odvozen´ ych z veliˇcin X, Y a Z z pˇr´ıkladu (25). COV(X + Y, X + Z)

COV(2X + 3Y, X + 5Z)

1 2 1 1 COV( X + Y + Z + , 6X − 6Y + 12Z − 180) 3 2 3 8 [20, 98, 36]

182

Pˇ r´ıklad 28: Vypoˇc´ıtejte stˇredn´ı hodnotu a rozptyl náhodné veliˇciny aX + bY + cZ + d, kdyˇz v´ıme, ˇze stˇredn´ı hodnoty veliˇcin X, Y, Z jsou rovny e, f, g, rozptyly h, i, j a COV(X, Y ) = k, COV(X, Z) = l, COV(Y, Z) = m. Hodnoty jednotliv´ ych konstant i ˇc´ıseln´ ych charakteristik náhodn´ ych veliˇcin jsou v následuj´ıc´ı tabulce:

a) b) c) d) e) f) g)

a

b

c

d

e

2

3

1 2

1 3

5 3

-10 -4

0 0 20 6

-5 -3 -8

3 10 6

1 20

1 12

1 8

1 5

1 10

1 2

-2 5

-4

-1 -2

-10 -5

20 -5

13 15

2 3

10 -2 8

1 4

f

g

h

i

j

k

l

m

2 0 12 0 1 1

1 6 4

4 3 2

0 0 1

2

0 0 -1

0 0 0

1 30

1 3

5 16

1 2

1 9

1 3

30 -1

80 8

10 2

1 10

1 10

40 4 16

1 2

-2 1 - 24 10 -4 1

1 8

-20 5 -1 -2 1 1 20

[a) 7 a 64, b) 6 a 2, c) 32 a 700, d) 0 a 15, e) 10 a 3, f) 14 a 14, g) 6 a 4.5]

Pˇ r´ıklad 29: Mˇejme náhodné veliˇciny X1 , X2 . . . Xn . Tyto náhodné veliˇciny jsou nezávislé a maj´ı identické distribuˇcn´ı funkce. Oznaˇcme jejich stˇredn´ı hodnoty p´ısmenem µ a rozptyly σ 2 . Spoˇc´ıtejte stˇredn´ı hodnoty a rozptyly následuj´ıc´ıch náhodn´ ych veliˇcin.

A=

n X

n

1X B= Xi n i=1

Xi

i=1 n

C=

n

1 X Xi − µ D=√ σ n i=1

1X (Xi − µ) n i=1

[E(A) = nµ, VAR(A) = nσ 2 , E(B) = µ, VAR(B) =

σ2 , n

E(C) = 0, VAR(C) =

σ2 , n

E(D) = 0, VAR(D) = 1]

Pˇ r´ıklad 30: Mˇejme nezávislé náhodné veliˇciny X, Y a Z. Vˇsechny tˇri maj´ı nulové stˇredn´ı hodnoty a rozptyly rovny 1. Vytvoˇrte dvˇe náhodné veliˇciny U = aX + bZ a V = aY + bZ, které maj´ı stˇredn´ı hodnotu 0 a rozptyl 1 a jejichˇz korelaˇcn´ı koeficient se rovná libovolnˇe zvolené hodnotˇe ρ ∈ [0, 1]. [U = 183

√

1 − ρX +

√

ρZ, V =

√

1 − ρY +

√ ρZ]

6.4

Distribuˇ cn´ı funkce a pravdˇ epodobnostn´ı funkce diskr´ etn´ı n´ ahodn´ e veliˇ ciny

Pomoc´ı diskrétn´ıch náhodn´ ych veliˇcin m˚ uˇzeme popsat ˇradu jev˚ u, se kter´ ymi se setkáváme v denn´ım ˇzivotˇe i v´ yzkumné praxi. V tomto cviˇcen´ı se nauˇc´ıme rozeznávat náhodné veliˇciny, které se ˇr´ıd´ı binomick´ ym a Poissonov´ ym rozdˇelen´ım. Pro u ´spˇeˇsné zvládnut´ı zadan´ ych pˇr´ıklad˚ u si proto osvˇeˇzte znalost pojmu distribuˇcn´ı funkce z kapitoly (2.4) a diskrétn´ı náhodné veliˇciny, kterou popisujeme v kapitole (2.6). Pokud rozeznáme rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti diskrétn´ı náhodné veliˇciny a známe hodnoty jeho parametr˚ u, m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat pravdˇepodobnost, s jakou se tato náhodná veliˇcina m˚ uˇze realizovat v libovolné hodnotˇe. Vyuˇzijeme k tomu pravdˇepodobnostn´ı funkci: n k P (X = k) = pX (k) = p (1 − p)n−k k λk −λ P (X = k) = pX (k) = e k!

pro X ∼ Bi(n, p), pro X ∼ P o(λ),

kde e je Eulerovo ˇc´ıslo pˇribliˇznˇe rovné hodnotˇe 2.72. Kdyˇz se napˇr´ıklad budeme tázat, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze z pˇeti hod˚ u nestrannou minc´ı nám padne pˇresnˇe tˇrikrát panna, rozeznali bychom binomické rozdˇelen´ı Bi(5, 12 ) (jedná se totiˇz o souˇcet pˇeti identick´ ych náhodn´ ych veliˇcin s alternativn´ım rozdˇelen´ım). Dosazen´ım do pravdˇepodobnostn´ı funkce záskáme hodnotu. 5 5! 1 1 5 P (X = 3) = pX (3) = · 0.53 · (1 − 0.5)2 = · · = 3 3!2! 8 4 16 Pokud by otázka znˇela, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze z pˇeti pokus˚ u padne nejv´ yˇse tˇrikrát, pak bychom pravdˇepodobnost vyˇc´ıslili, jako pX (0) + pX (1) + pX (2) + pX (3). V´ ypoˇcetnˇe snazˇs´ı by vˇsak bylo vyuˇz´ıt opaˇcného jevu a vypoˇc´ıtat pravdˇepodobnost ze vztahu 1 − pX (4) + pX (5). Tento princip budeme hojnˇe vyuˇz´ıvat. Pˇri v´ ypoˇctu m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt kalkulaˇcku (coˇz je v pˇr´ıpadˇe Poissonova rozdˇelen´ı a ˇcasto i binomického rozdˇelen´ı nezbytné). Práci si m˚ uˇzeme usnadnit protˇrednictv´ım programu Excel. Vyuˇzijeme funkci BINOM.DIST(k;n;p;0), která odpov´ıdá hodnotˇe P (X = k), nebo BINOM.DIST(k;n;p;1), která poskytuje hodnotu kumulativn´ı distribuˇcn´ı funkce, tedy P (X ≤ k). Analogicky funguj´ı funkce POISSON.DIST(k;λ;0) a POISSON.DIST(k;λ;1).

184

Pˇ r´ıklad 31: Jaké rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti má náhodná veliˇcina, která popisuje, kolik syn˚ u se narod´ı rodiˇc˚ um, kteˇr´ı budou m´ıt 7 dˇet´ı? [Bi(7, 12 )]

Pˇ r´ıklad 32: Jaké rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti má náhodná veliˇcina, která popisuje, kolik uvid´ıme pa” dat hvˇezd“ za jasné srpnové noci za minutu, pokud má b´ yt kaˇzdou hodinu v pr˚ umˇeru k vidˇen´ı 80 meteorit˚ u? [P o( 43 )]

Pˇ r´ıklad 33: Pro náhodné jevy z pˇr´ıklad˚ u (31) a (32) spoˇc´ıtejte pravdˇepodobnosti následuj´ıc´ıch jev˚ u: (a) Rodiˇc˚ um se narod´ı pˇresnˇe jeden syn. (b) Rodiˇc˚ um se narod´ı v´ıce neˇz jeden syn. (c) V konkrétn´ı minutˇe uvid´ıme pˇresnˇe dva meteority. (d) V konkrétn´ı minutˇe uvid´ıme alespoˇ n dva meteority. [5.47 %; 93.75 %; 23.43 %; 38.49 %]

Pˇ r´ıklad 34: Zápoˇctov´ y test obsahuje 10 otázek. V kaˇzdé studenti vyb´ıraj´ı jednu správnou moˇznost ze ˇctyˇr. K udˇelen´ı zápoˇctu je potˇreba m´ıt alespoˇ n 7 odpovˇed´ı správnˇe. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze v testu uspˇeje student, kter´ y pˇrijde zcela nepˇripraven a své odpovˇedi bude vyb´ırat náhodnˇe? [0.35 %]

Pˇ r´ıklad 35: V druhé polovinˇe devadesát´ ych let dostávalo pˇribliˇznˇe 5.5 % narozen´ ych d´ıvek jméno Tereza. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze o 20 let pozdˇeji ze 46 d´ıvek nastupuj´ıc´ıch do prvn´ıho roˇcn´ıku studia psychologie jich bude m´ıt toto jméno nejménˇe 7 za pˇredpokladu, ˇze jméno nijak nesouvis´ı s v´ ybˇerem studijn´ıho oboru ani s ˇsanc´ı na pˇrijet´ı u pˇrij´ımac´ıch zkouˇsek. [1.23 %]

185

Pˇ r´ıklad 36: Statistick´ y test selhává v 5 % pˇr´ıpad˚ u. Pokud jsme provedli 100 nezávisl´ ych test˚ u, jaká je pravdˇepodobnost, ˇze alespoˇ n ve tˇrech pˇr´ıpadech dojde k selhán´ı? [pˇribliˇznˇe 88 %]

Pˇ r´ıklad 37: Mˇejme náhodnou veliˇcinu X ∼ Bi(6, 0.5). (a) Najdˇete nejvyˇsˇs´ı hodnotu x1 ∈ Z, pro kterou plat´ı P (X ≤ x1 ) < 0.10 (b) Najdˇete nejmenˇs´ı hodnotu x2 ∈ Z, pro kterou plat´ı P (X ≥ x2) < 0.15 (c) Najdˇete nejˇsirˇs´ı interval [x1 , x2 ], kde x1 , x2 ∈ Z, pro kter´ y plat´ı P (X < x1 ∩ X > x2 ) < 0.25 [a) 0; b) 5; c) [2, 4]] N´ apovˇ eda: Zaˇcnˇete t´ım, ˇze spoˇc´ıtáte hodnoty pravdˇepodobnostn´ı funkce pro vˇsechny k od 0 do 6. Pˇ r´ıklad 38: ˇ Reknˇ eme, ˇze pˇri slabˇs´ım deˇsti spadne na plochu o velikosti 1 m2 (10000 cm2 ) kaˇzdou sekundu v pr˚ umˇeru 200 deˇst’ov´ ych kapek. Pˇredpokládejme, ˇze se jejich poˇcet ˇr´ıd´ı Poissonov´ ym rozdˇelen´ım. Jaká je pravdˇepodobnost následuj´ıc´ıch jev˚ u: ˇ (a) Na dlaˇ n nám bˇehem 1 sekundy nespadne ani jedna kapka. Reknˇ eme, ˇze plocha dlanˇe je 150 cm2 . (b) Na dlaˇ n nám bˇehem 3 sekund nespadne ani jedna kapka. (c) Na dlaˇ n nám bˇehem 3 sekund spadne nejménˇe 5 kapek. ˇ (d) Na ukazováˇcek nám bˇehem 1 sekundy nespadne ani jedna kapka. Reknˇ eme, ˇze plocha ukazováˇcku je 10 cm2 . (e) Na ukazováˇcek nám bˇehem minuty spadne pˇresnˇe 10 kapek. [a) 4.979 %; b) 0.0123 %; c) 94.504 %; d) 81.873 %; e) 10.484 %] ˇ sen´ı: Tento pˇr´ıklad pouˇzijeme k demonstraci toho, co znamená parametr λ v PoissoReˇ novˇe rozdˇelen´ı. Vyjdˇeme z toho, ˇze v´ıme, ˇze λ odpov´ıdá stˇredn´ı hodnotˇe, tedy pr˚ umˇernému poˇctu sledovan´ ych událost´ı za jednotku ˇcasu/prostoru/nˇeˇceho jiného. Nˇekdy nen´ı na prvn´ı pohled zjevné, co pˇresnˇe je touto jednotkou. V bodˇe a) by to byla 1 sekunda pˇri ploˇse 150 186

cm2 , jelikoˇz pro tuto dobu a plochu máme spoˇc´ıtat pravdˇepodobnost. Tedy λ by se rovnala pr˚ umˇernému poˇctu deˇst’ov´ ych kapek, které spadnou za sekundu na plochu 150 cm2 . Kdyˇz opráˇs´ıme znalosti trojˇclenky (10000 : 500 odpov´ıdá 150 : x), zjist´ıme, ˇze λ = 3. Otázka zn´ı, s jakou pravdˇepodobnost´ı se bude daná náhodná veliˇcina realizovat s hodnotou 0. K tomu pouˇzijeme pravdˇepodobnostn´ı funkci p(0) = 0.05. Pravdˇepodobnost je tedy 5 %. Analogicky vyˇreˇs´ıme bod b). Jiˇz v´ıme, ˇze plochu 150 cm2 dopadnou v pr˚ umˇeru kaˇzdou sekundu 3 kapky, z ˇcehoˇz snadno vyvod´ıme, ˇze kaˇzdé 3 sekundy na ni dopadne tˇrikrát v´ıc kapek, tedy λ = 9. Po dosazen´ı do pravdˇepodobnostn´ı funkce p(0) = 0.0123 %. Pro bod c) se λ nemˇen´ı. Ptáme se na pravdˇepodobnost, ˇze kapek bude 5 nebo 6, 7, 8 atd. Odpovˇed’ na otázku se rovná p(5) + p(6) + p(7) + . . . + p(∞). V´ ypoˇcetnˇe snazˇs´ı nicménˇe bude spoˇc´ıtat pravdˇepodobnost opaˇcného jevu (kapek bude ménˇe neˇz 5) a odeˇc´ıst jej od jedniˇcky: 1 − p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4) . Stejnˇe postupujeme v bodech d) a e), kde λ odpov´ıdá hodnotám 0.2 a 12 a do pravdˇepodobnostn´ı funkce dosazujeme hodnoty 0 a 10. Pˇ r´ıklad 39: Chystáte vzdˇelávac´ı internetov´ y portál. Oˇcekáváte, ˇze pˇri jeho provozu bude server muset vyˇr´ıdit v pr˚ umˇeru 900 poˇzadavk˚ u za minutu (poˇzadavkem se mysl´ı zejména zobrazen´ı webové stránky uˇzivatelem). Zpracovat jeden poˇzadavek zabere serveru v pr˚ umˇeru 1 sekundu. Váˇs poskytovatel hostingu (tedy pronájmu webového serveru) v rámci vaˇseho tarifu klade omezen´ı na poˇcet poˇzadavk˚ u, které m˚ uˇze server zpracovávat souˇcasnˇe. Toto omezen´ı je maximálnˇe 30 soubˇeˇzn´ ych operac´ı, a pokud je pˇresaˇzeno, zobraz´ı se uˇzivateli m´ısto webové stránky chybové hláˇsen´ı Error 503“. ” Bude nám nab´ızen´ y tarif staˇcit, aby ani ve ˇspiˇcce nedocházelo k této chybˇe ve v´ıce neˇz 1 % naˇcten´ı stránek? Jaká nejmenˇs´ı hodnota tohoto omezen´ı by nám jeˇstˇe vyhovovala? [podm´ınky poskytovatele hostingu nám vyhovuj´ı, nejmenˇs´ı hodnota, která splˇ nuje naˇsi podm´ınku, je 25 soubˇeˇzn´ ych operac´ı] ˇ sen´ı Postup: Pˇr´ıklad je modern´ı adaptac´ı klasického problému telefonn´ı u ´stˇredny. Reˇ najdeme v nˇekolika kroc´ıch. Prvn´ım je si uvˇedomit s jakou náhodou veliˇcinou budeme pracovat. Jelikoˇz v´ıme, ˇze server zpracovává kaˇzd´ y poˇzadavek jednu sekundu, definujeme náhodou veliˇcinu X jako poˇcet poˇzadavk˚ u, které server obdrˇz´ı za sekundu. Druh´ ym krokem je zjistit, z jaké rodiny pocház´ı rozdˇelen´ı této náhodné veliˇciny. Snadno odhal´ıme Poissonovo rozdˇelen´ı – existuje obrovské mnoˇzstv´ı uˇzivatel˚ u internetu, ale u kaˇzdého z nich je nepatrná pravdˇepodobnost toho, ˇze se v konkrétn´ı sekundˇe pokus´ı zobrazit naˇse webové stránky. Hodnotu parametru λ snadno zjist´ıme: oˇcekáváme 900 poˇzadavk˚ u za minutu, coˇz je v pr˚ umˇeru 15 kaˇzdou sekundu (λ = 15). Posledn´ım krokem je naj´ıt nejvˇetˇs´ı hod187

notu x, pro kterou plat´ı FX (x) ≤ 1 − 0.01 (tedy, aby nejménˇe v 99 % pˇr´ıpad˚ u nebyla tato hodnota pˇrekroˇcena). Vyp´ıˇseme-li si (napˇr´ıklad v programu MS Excel) hodnoty distribuˇcn´ı funkce náhodné veliˇciny s rozdˇelen´ım P o(15), zjist´ıme, ˇze pro FX (24) = 0.989 a pro FX (25) = 0.994. V´ıme tedy, ˇze kdyby limit byl roven 24 paraleln´ım operac´ım, tak chyba bude nastávat v 1.1 % pˇr´ıpad˚ u a pokud 25, sn´ıˇz´ı se v´ yskyt chyby na 0.6 %, coˇz je pro nás jiˇz akceptovatelné. Pokud je limit 30 soubˇeˇzn´ ych operac´ı, tak se s chybou setkáme jen v 0.02 % pˇr´ıpad˚ u. Pˇ r´ıklad 40: Ovˇeˇrujeme hypotézu o tom, ˇze se manˇzel a manˇzelka po letech souˇzit´ı sobˇe vzájemnˇe ´ castn´ık v´ podobaj´ı. Uˇ yzkumu dostane 10 fotografi´ı manˇzel˚ u a 10 fotografi´ı manˇzelek a jeho u ´kolem je rozdˇelit fotografie do dvojic tak, jak k sobˇe páry ve skuteˇcnosti patˇr´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze hypotéza pravdivá nen´ı a u ´ˇcastn´ık v´ yzkumu bude jen hádat, pro jak´ y nˇejmenˇs´ı poˇcet správnˇe vytvoˇren´ ych dvojic x plat´ı P (X ≥ x) ≤ 0.05, kde X je náhodná veliˇcina kvantifikuj´ıc´ı poˇcet správnˇe vytvoˇren´ ych dvojic. [plat´ı to jiˇz pro 3 shody; pravdˇepodobnost P (X ≥ 3) ≈ 1.9 %] Pozn´ amka: Ponˇekud pˇrekvapivˇe se rozdˇelen´ı takto vzniklé náhodné veliˇciny nápadnˇe ˇ ım vyˇsˇs´ı je n (celkov´ podobá rozdˇelen´ı P o(1). C´ y poˇcet pár˚ u), t´ım je tato podobnost pˇresnˇejˇs´ı. Jiˇz pro n > 5 je rozd´ıl v ˇrádu tis´ıcin. Pˇrekvapivé je také to, ˇze λ je vˇzdy 1 bez ohledu na n – tedy pr˚ umˇern´ y poˇcet správn´ ych dvojic by byl vˇzdy stejn´ y bez ohledu na to, jestli pˇriˇrazujeme fotky deseti, stovky nebo tˇreba tis´ıce pár˚ u. Pro v´ ypoˇcet pˇresné P n−k (−1)j pravdˇepodobnosti by bylo moˇzné vyuˇz´ıt vztah P (X = k) = k!1 j=0 . j!

6.5

Distribuˇ cn´ı funkce a hustota pravdˇ epodobnosti spojit´ e n´ ahodn´ e veliˇ ciny

Páté cviˇcen´ı je vyvrcholen´ım prvn´ıho tematického bloku tˇechto skript. Student si zde osvoj´ı základy práce se spojit´ ymi náhodn´ ymi veliˇcinami – dovednost, která mu bude vlastn´ı pˇri testován´ı statistick´ ych hypotéz, konstrukci konfidenˇcn´ıch interval˚ u a dalˇs´ıch u ´vahách. Vyjma rovnomˇerného rozdˇelen´ı, s n´ımˇz lze pracovat intuitivnˇe, pravdˇepodobnost nebo hodnotu kvantilu dalˇs´ıch rozdˇelen´ı spojit´ ych náhodn´ ych veliˇcin vypoˇc´ıtat nedokáˇzeme. Naráˇz´ıme t´ım na pomˇernˇe zaj´ımav´ y problém – d˚ uvodem, proˇc tento v´ ypoˇcet nedokáˇzeme provést, nen´ı to, ˇze bychom nemˇeli potˇrebné znalosti, ale to, ˇze tyto hodnoty analyticky vypoˇc´ıtat nelze. Pomoc´ı v´ ypoˇcetn´ıch technologi´ı m˚ uˇzeme vˇsak z´ıskat jejich libovolnˇe pˇresné aproximace. K jejich vyˇc´ıslen´ı proto pouˇz´ıváme poˇc´ıtaˇc nebo statistické tabulky. 188

Pouˇzit´ı tabulek nen´ı dnes jiˇz bˇeˇzné a ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u doporuˇcujeme sáhnout po vhodném poˇc´ıtaˇcovém programu. Pro u ´ˇcely v´ ypoˇct˚ u v ruce (napˇr´ıklad na zkouˇsce) um´ıst’ujeme na konec tˇechto skript tabulky hodnot distribuˇcn´ı funkce a kvantilu normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı. Tabulka (18) obsahuje hodnoty distribuˇcn´ı funkce pro hodnoty argumentu mezi −3.49 a 0. Na ˇra´dc´ıch tabulky jsou hodnoty argumentu s pˇresnost´ı na desetiny; ve sloupc´ıch jsou pak jednotlivé setiny. Chceme-li tedy naj´ıt funkˇcn´ı hodnotu FX (−1.23), budeme hledat v ˇra´dku −1.2 a sloupci . 3, a najdeme tak hodnotu 0.1112. Tradiˇcnˇe se tabeluj´ı pouze hodnoty jedné poloosy, v naˇsem pˇr´ıpadˇe záporné. Toto ˇreˇsen´ı se vol´ı z d˚ uvodu symetrie normáln´ıho rozdˇelen´ı, a jejich kladné protˇejˇsky lze tedy ˇ snadno odvodit. Reknˇ eme napˇr´ıklad, ˇze by nás zaj´ımala funkˇcn´ı hodnota v bodˇe 1.58, tedy FX (1.58) = P (X ≤ 1.58). D´ıky symetrii v´ıme, ˇze plat´ı rovnost P (X ≤ 1.58) = 1 − P (X ≤ −1.58) = 1 − 0.0571 = 0.9429. Na podobném principu funguje i tabulka (19), která zobrazuje hodnoty kvantilu normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı. V jednom sloupci je vˇzdy hodnota α a v druhém pˇr´ısluˇsn´ y α-kvantil. Opˇet z d˚ uvodu symetrie jsou tabelovány pouze hodnoty mezi 0 a 0.50. Kdybychom se napˇr´ıklad tázali, pro jakou hodnotu x plat´ı P (X ≤ x) = 0.9 (hledáme tedy kvantil x0.90 ), vyhledali bychom v tabulce kvantil x0.10 (jelikoˇz 1 − 0.9 = 0.1) a pouˇzili jeho opaˇcnou hodnotu: 1.2816. Vyuˇz´ıváme vztahu −Φα = Φ1−α . V praxi se obvykle nesetkáme s normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım, ale s nˇekter´ ym jin´ ym ˇclenem rodiny normáln´ıch rozdˇelen´ı. Abychom mohli pouˇz´ıt tabulky a obecnˇe naˇse znalosti o normovaném normáln´ım rozdˇelen´ı, mus´ıme b´ yt schopni tuto náhodnou veliˇcinu transformovat. Pˇredstavme si napˇr´ıklad, ˇze zkoumáme fyziologickou reakci jedince pˇri nároˇcn´ ych kognitivn´ıch u ´lohách. M˚ uˇzeme se tˇreba tázat, s jakou pravdˇepodobnost´ı pˇresáhne srdeˇcn´ı frekvence jedince hodnotu 140 u ´der˚ u za minutu pˇri administraci testu verbáln´ı fluence. Ze zkuˇsenosti v´ıme, ˇze srdeˇcn´ı frekvence v pr˚ ubˇehu této zkouˇsky je náhodná veliˇcina s rozdˇelen´ım N (100, 202 ). V tabulkách tuto náhodnou veliˇcinu nenajdeme, mus´ıme proto provést jej´ı transformaci na normované normáln´ı rozdˇelen´ı pomoc´ı vztahu Z =

X−µ , σ

kde X je naˇse p˚ uvodn´ı

náhodná veliˇcina s rozdˇelen´ım N (µ, σ 2 ) a Z je náhodná veliˇcina s rozdˇelen´ım N (0, 1). Pˇripomˇen ˇme vlastnost normáln´ıho rozdˇelen´ı – lineárn´ı transformace mˇen´ı pouze hodnoty jeho parametr˚ u, ale samotn´ y tvar kˇrivky ponechává beze zmˇeny. Naˇse otázka zn´ı P (X > 140), v´ yraz vˇsak m˚ uˇzeme upravovat následuj´ıc´ım zp˚ usobem: P (X > 140) = P

X − µ X − 100 140 − µ 140 − 100 > =P > σ σ 20 20 = P (Z > 2) = P (Z ≤ −2) = FZ (−2) = 0.0228

V posledn´ım kroku jsme opˇet vyuˇzili symetrii rozdˇelen´ı a znalost P (Z > 2) = P (Z ≤ −2). 189

Zjistili jsme, ˇze srdeˇcn´ı frekvence pˇri administraci testu verbáln´ı fluence pˇresahuje hodnotu 140 u ´der˚ u za minutu v pˇribliˇznˇe 2.28 %. Analogicky vyˇreˇs´ıme ˇradu dalˇs´ıch pˇr´ıklad˚ u. Pˇ r´ıklad 41: Tramvaje od zastávky u mého domu odj´ıˇzd´ı k mému pracoviˇsti kaˇzd´ ych 12 minut. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze budu na tramvaj ˇcekat déle neˇz 9 minut, pokud pˇrijdu na zastávku v náhodn´ y ˇcas? Jaké rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti má náhodná veliˇcina délka ˇcekán´ı v minutách? [ 14 , Ro(0, 12)]

Pˇ r´ıklad 42: Náhodná veliˇcina X má normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Jaká je pravdˇepodobnost následuj´ıc´ıch jev˚ u? (a) X ≤ −1.5 (b) X > 1.5 (c) X ≤ 2 (d) X se realizuje mimo interval [−1.96, 1, 96] (e) X se realizuje v intervalu [−1, 2] (f) X se realizuje mimo interval [−2.5, −2] a zároveˇ n mimo interval [2, 2.5] [a) 0.0668; b) 0.0668; c) 0.9777; d) 0.05 ; e) 0.8186; f) 0.9669]

Pˇ r´ıklad 43: Pro jaké hodnoty x plat´ı následuj´ıc´ı v´ yroky, pokud má náhodná veliˇcina X normované normáln´ı rozdˇelen´ı? (a) P (X ≤ x) = 0.5 (b) P (X ≤ x) = 0.025 (c) P (X ≥ x) = 0.025 (d) P (X ∈ / [−x, x]) = 0.10 (e) P (X ∈ [−x, x]) = 0.40 [a) 0; b) −1.9600; c) 1.9600; d) 1.6449 ; e) 0.5244]

190

Pˇ r´ıklad 44: V´ ysledky laboratorn´ıho krevn´ıho testu pˇr´ıtomnosti markeru urˇcité choroby maj´ı u zdravého ˇclovˇeka normáln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotnou 4.4 mmol/l a smˇerodatnou odchylkou 0.2 mmol/l. Od 5 mmol/l povaˇzujeme nález za pozitivn´ı a doporuˇcujeme testovanému jedinci dalˇs´ı vyˇsetˇren´ı. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze u zdravého jedince bude nález pozitivn´ı? [0.135 %] Pˇ r´ıklad 45: Hmotnost muˇzského mozku je v pr˚ umˇeru 1350 g se smˇerovanou odchylkou 95 g. Za pˇredpokladu, ˇze tato náhodná veliˇcina má normáln´ı rozdˇelen´ı, pˇribliˇznˇe u kolika procent muˇz˚ u by mˇel m´ıt mozek menˇs´ı hmotnost neˇz 1100 g? [0.425 %]

Pˇ r´ıklad 46: Pro náhodné veliˇciny z tabulky n´ıˇze vyˇc´ıslete pravdˇepodobnosti pˇr´ısluˇsn´ ych jev˚ u:

a) b) c) d) e) f) g) h)

náhodná veliˇcina

jev

A ∼ N (10, 4) B ∼ N (50, 100) C ∼ N (−4, 1) D ∼ N (500, 1002 ) E ∼ N (100, 152 ) F ∼ N (90, 302 ) G ∼ N (9, 2.52 ) H ∼ N (−1, 16)

A<6 B < 65 C > −5 D > 550 E∈ / (70, 130) F ∈ / (60, 100) G ∈ (8, 8.5) H ∈ (0, 1)

[a) 2.28 %, b) 93.32 %, c) 84.13 %, d) 30.85 %, e) 4.55 %, f) 52.81 %, g) 7.62 %, h) 9.28 %]

Pˇ r´ıklad 47: Evˇzen o sobˇe ˇr´ıká, ˇze je chytˇrejˇs´ı neˇz 99 % jeho vrstevn´ık˚ u. Jaké by musel m´ıt IQ, aby to byla pravda, pokud IQ povaˇzujeme za náhodnou veliˇcinu s rozdˇelen´ım N (100, 152 )? [pˇribliˇznˇe 135 bod˚ u] Postup: V tomto pˇr´ıkladu hledáme odpovˇed’ na opaˇcnou otázku, neˇz v pˇredchoz´ıch, budeme tedy pracovat s kvantilem normáln´ıho rozdˇelen´ı. Ptáme se, pro jaké x plat´ı P (X < x) = 0.99, tedy kterou hodnotu pˇrekraˇcuje pouze 1 % realizac´ı náhodné veliˇciny. Toto 191

by nebyl problém odeˇc´ıst ze statistick´ ych tabulek, pokud by ˇslo o nomované normáln´ı rozdˇelen´ı: Φ0.99 = −Φ0.01 = 2.2363. Jelikoˇz se vˇsak jedná o obecnˇe normáln´ı rozdˇelen´ı, mus´ıme tuto hodnotu transformovat. P (Z < 2.2363) = 0.99 P (Z · σ + µ < 2.2363 · σ + µ) = 0.99 P (Z · 15 + 100 < 2.2363 · 15 + 100) = 0.99 P (X < 134.8952) = 0.99 Pˇri transformaci jsme vlastnˇe aplikovali pozpátku vztah Z =

X−µ , σ

tedy X = Z · σ + µ.

Jednoduˇse tedy nalezen´ y kvantil vynásob´ıme smˇerodatnou odchylkou a pˇriˇcteme stˇredn´ı hodnotu. Odpovˇed’ je, ˇze pokud Evˇzen ˇr´ıkál pravdu, je v´ yˇse jeho IQ pˇribliˇznˇe 135. Pˇ r´ıklad 48: Pro kaˇzdou náhodnou veliˇcinu z tabulky najdˇete hodnotu konstanty a, b, c, . . . tak, aby pro ni platila uvedená rovnost.

a) b) c) d) e) f) g) h)

náhodná veliˇcina

rovnost

A ∼ N (1, 4) B ∼ N (30, 102 ) C ∼ N (9, 2.52 ) D ∼ N (500, 1002 ) E ∼ N (−6, 9) F ∼ N (−1, 1) G ∼ N (−800, 2002 ) H ∼ N (−20, 16)

P (A < a) = 15 % P (B < b) = 75 % P (C > c) = 2.5 % P (D > d) = 95 % P (E < e) = 1 % P (F < f ) = 90 % P (G > g) = 5 % P (H > h) = 55 %

[a) −1.07, b) 36.74, c) 4.10, d) 664.49, e) −12.98, f) 0.28, g) −1128.97, h) −19.50]

Pˇ r´ıklad 49: S pomoc´ı vhodného poˇc´ıtaˇcového programu vyˇc´ıslete: (a) P (X ≥ 6.0), pokud X ∼ χ2 (4) (b) hodnotu kvantilu x tak, aby platilo P (X ≥ x) = 0.05, pokud X ∼ χ2 (2) (c) P (X ∈ / [−1.2, 1.2]), pokud X ∼ t(4) (d) hodnotu kvantilu x tak, aby platilo P (X ≥ x) = 0.025, pokud X ∼ t(10) (e) P (X ≥ 13.0), pokud X ∼ F (2, 5) (f) hodnotu kvantilu x tak, aby platilo P (X ≥ x) = 0.10, pokud X ∼ F (9, 1200) [a) 0.1991; b) 5.9915; c) 0.7039; d) 2.2281; e) 0.0104; f) 1.6367] 192

Pˇ r´ıklad 50: Lidové pravidlo ˇr´ıká, ˇze váhu ˇclovˇeka v kilogramech m˚ uˇzeme odhadnout jako jeho v´ yˇsku v centimetrech m´ınus 100. Pokud je hmotnost v kilogramech náhodná veliˇcina s rozdˇelen´ım N (62, 121) a výˇska v centimetrech náhodná veliˇcina s rozdˇelen´ım N (168, 49) a jejich kovariance je rovna 35, u kolika procent lid´ı se toto pravidlo m´ yl´ı o v´ıc neˇz 10 Kg? [pˇribliˇznˇe ve 40 % pˇr´ıpad˚ u] N´ apovˇ eda: Uvˇedomme si, s jakou náhodnou veliˇcinou pracujeme. Sluˇselo by j´ı tˇreba jméno velikost chyby lidového pravidla, zkrácenˇe tˇreba V . Parametry jeho rozdˇelen´ı, které zjevnˇe patˇr´ı do rodiny normáln´ıch distribuc´ı, z´ıskáme aplikac´ı naˇsch znalost´ı z cviˇcen´ı (6.4). Pokud budeme poˇc´ıtat správnˇe, najdeme pˇresn´ y v´ ysledek 0.3994.

6.6

M´ıry polohy a variability

V tomto cviˇcen´ı se zamˇeˇr´ıme na charakteristiky polohy a variability statistického znaku v souboru pozorován´ı. Pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u budeme ˇcerpat ze znalost´ı z kapitol (3.4) a (3.5). U nˇekter´ ych postup˚ u, které jsme se uˇcili, existuje alternativn´ı zp˚ usob v´ ypoˇctu, kter´ y vede k jin´ ym (ˇcasto pˇresnˇejˇs´ım) v´ ysledk˚ um, aˇc mnohdy jsou pro v´ ypoˇcet na pap´ıru pracnˇejˇs´ı. V´ ysledky uvedené v ˇreˇsen´ı toho cviˇcen´ı odpov´ıdaj´ı tˇem postup˚ um, které doporuˇcujeme ve v´ yˇse uveden´ ych kapitolách, dejte jim proto pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u pˇrednost. Pˇ r´ıklad 51: Skupina tˇrinácti uchazeˇc˚ u o studium absolvovala oborov´ y test. Zjistˇete pr˚ umˇern´ y poˇcet bod˚ u, v´ ybˇerov´ y rozptyl a v´ ybˇerovou smˇerodatnou odchylku, pokud jednotliv´ı uchazeˇci z´ıskali tato bodová ohodnocen´ı: 58

78

69

41

74

52

30

81

94

55

75

75

89.

[¯ x = 67, s2 = 350.5, s ≈ 18.72]

Pˇ r´ıklad 52: Manuál psychodiagnostické metody uvád´ı pr˚ umˇerné poˇcty bod˚ u pro ˇctyˇri demografické skupiny dle pohlav´ı a vˇeku – muˇze 15-29, muˇze 30+, ˇzeny 15-29, ˇzeny 30+ (viz tabulka). Pˇredpokládejme, ˇze hodnoty byly stanoveny tak, ˇze autoˇri manuálu náhodnˇe vybrali urˇcité ˇ a otestovali je. poˇcty jedinc˚ u z populace obˇcan˚ u CR (a) Zjistˇete, jaké byl pr˚ umˇern´ y poˇcet bod˚ u jedince z v´ yzkumného souboru autor˚ u manuálu bez ohledu na jeho pˇr´ısluˇsnost ve skupinˇe. 193

(b) Zjistˇete, jak´ y poˇcet bod˚ u z´ıská v pr˚ umˇeru ˇclovˇek, kterého náhodnˇe vybereme z poˇ starˇs´ıch patnácti let, pokud známe relativn´ı ˇcetnosti jednotliv´ pulace obˇcan˚ u CR ych ˇ skupin v populaci obˇcan˚ u CR. (c) Zjistˇete, jak´ y poˇcet bod˚ u z´ıská v pr˚ umˇeru muˇz, kterého náhodnˇe vybereme z popuˇ starˇs´ıch patnácti let, pokud známe relativn´ı ˇcetnosti jednotlace vˇsech muˇz˚ u v CR ˇ liv´ ych skupin v populaci obˇcan˚ u CR.

Pr˚ umˇern´ y poˇcet Velikost bod˚ u souboru Muˇzi 15-29 Muˇzi 30+ ˇ Zeny 15-29 ˇ Zeny 30+

32.84 27.36 31.99 26.45

Zastoupen´ı skupiny ˇ v populaci CR

282 47 543 128

9.78% 31.85% 9.22% 34.66% [a) 31.30, b) 28.12, c) 28.65]

Pˇ r´ıklad 53: Pro soubor hodnot 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vypoˇc´ıtejte následuj´ıc´ı charakteristiky: (a) variaˇcn´ı rozpˇet´ı, (b) mezikvartilové rozpˇet´ı, (c) pr˚ umˇernou absolutn´ı odchylku, (d) mediánovou absolutn´ı odchylku, (e) souˇcet ˇctverc˚ u, (f) v´ ybˇerov´ y rozptyl, (g) v´ ybˇerovou smˇerovanou odchylku. [a) 8, b) 4, c) 2.¯2, d) 2, e) 60, f) 7.5, g)

√ 7.5 ≈ 2.74]

Pˇ r´ıklad 54: Osm pacient˚ u prodˇelalo experimentáln´ı léˇcbu onemocnˇen´ı. Léˇcba zab´ırá okamˇzitˇe, jej´ı u ´ˇcinek je vˇsak pouze doˇcasn´ y. Pˇr´ıznaky choroby u jednotliv´ ych pacient˚ u ustoupily na doby vyjádˇrené v poˇctech dn˚ u: 11

10

4

9

6

Pro tyto hodnoty vypoˇc´ıtejte: 194

136

12

12.

(a) pr˚ umˇer a smˇerodatnou odchylku, (b) dvacetiprocentn´ı useknut´ y pr˚ umˇer a useknutou v´ ybˇerovou smˇerodatnou odchylku, (c) dvacetiprocentn´ı winsorizovan´ y pr˚ umˇer a winsorizovanou v´ ybˇerovou smˇerodatnou odchylku. [a) 25; 44.94, b) 10; 2.28, c) 9.75; 2.55]

Pˇ r´ıklad 55: Skupina 20 student˚ u se z´ uˇcastnila tappingové zkouˇsky, kdy mˇeˇrili, kolikrát stihnou za 10 sekund zmáˇcknout jedn´ım prstem tlaˇc´ıtko. Z´ıskali tyto v´ ysledky: i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

46

57

59

62

66

67

72

73

73

73

i

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

xi

73

74

75

76

76

77

77

79

80

85

Najdˇete tyto kvantily: (a) horn´ı a doln´ı kvartil, (b) medián, (c) tˇret´ı a ˇctvrt´ y decil, (d) sedm´ y a tˇriatˇricát´ y percentil, (e) kvantil x0,625 . [a) 66.5; 76.5, b) 73, c) 69.5; 73, d) 57; 72, e) 75]

Pˇ r´ıklad 56: Pro kaˇzdou z hodnot (x1 , x2 , . . . , xn ) = (5, 1, 7, 5, 2, 1) vypoˇc´ıtejte: (a) pod´ıl hodnot menˇs´ıch nebo rovn´ ych neˇz xi (tzn. relativn´ı kumulativn´ı ˇcetnost), (b) pod´ıl hodnot menˇs´ıch neˇz xi , (c) v´ ybˇerové percentily, které dan´ ym hodnotám odpov´ıdaj´ı (dle postupu z kapitoly 3.4.3). [a) 0.8¯3, 0.3¯3, 1.0, 0.8¯3, 0.5, 0.3¯3, b) 0.5, 0.0, 0.8¯3, 0.5, 0.3¯3, 0.0, c) 0.7, 0.1, 1.0, 0.7, 0.4, 0.1] 195

Pˇ r´ıklad 57: U pacientky byly kaˇzdé tˇri dny po dobu jednoho mˇes´ıce mˇeˇreny hladiny estradiolu (v pmol/L) a folikuly stimulaˇcn´ıho hormonu (FSH, v UI/L). Pomoc´ı variaˇcn´ıho koeficientu rozhodnˇete, kter´ y z tˇechto hormon˚ u kol´ısá v pr˚ ubˇehu cyklu v´ıce a kter´ y ménˇe. Estradiol FSH

118.42

125.95

159.48

228.20

477.27

780.76

338.94

497.07

499.18

322.24

4.44

6.49

6.69

5.93

4.61

11.54

5.30

3.64

2.58

2.84

[estradiol kol´ısá v´ıce; variaˇcn´ı koeficienty vycház´ı 59.5% a 47.8%]

Pˇ r´ıklad 58: Aniˇ cka se l´ıb´ı Petrovi, Lukáˇsovi, Honzovi, Ludv´ıkovi, Michalovi, Zdeˇ nkovi, Frantovi a R´ıˇsovi. Eliˇ ska se l´ıb´ı Tomovi, Standovi, Jirkovi a Martinovi. Lucka se l´ıb´ı Karlovi, Davidovi a Romanovi. Dorotka se l´ıb´ı Filipovi a Adamovi, zat´ımco Lenka Aleˇsovi a Liborovi. Verˇ ca se l´ıb´ı Matˇejovi a Ad´ elka Rudovi. Tom se l´ıb´ı Aniˇcce, Dorotce, Maruˇsce, Evˇe, Hance a Katce. Petr se l´ıb´ı Lucce, Lence, Verˇce, Helˇce a Terce. Honza se l´ıb´ı Eliˇsce, Jitce, Ivˇe a Zuzce, Adam Martˇe a Andrei, Filip Monˇce a Irˇce. Matˇ ej se l´ıb´ı jen Dáˇse a Ruda se nel´ıb´ı nikomu. Pomoc´ı koeficientu mutability rozhodnˇete, jestli jsou preference rozmanitˇejˇs´ı v souboru chlapc˚ u nebo d´ıvek. [preference ve skupinˇe chlapc˚ u jsou homogennˇejˇs´ı, rozd´ıl je vˇsak mal´ y: Mchlapci ≈ 0.81 a Mdivky ≈ 0.83]

6.7

Korelaˇ cn´ı koeficienty

V´ ybˇer vhodného korelaˇcn´ıho koeficientu a stanoven´ı jeho velikosti je základn´ı dovednost´ı, kterou pˇri kvantitativn´ım zpracován´ı dat vyuˇzijeme. V praxi za nás v´ ypoˇcet obvykle obstará poˇc´ıtaˇc. Specializované poˇc´ıtaˇcové programy maj´ı zabodované procedury pro v´ ypoˇcet Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu i dalˇs´ıch z nˇej odvozen´ ych koeficient˚ u vˇcetnˇe Spearmanova. V pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı programu MS Excel vyuˇzijeme funkci PEARSON(). Funkci pro v´ ypoˇcet Spearmanova korelaˇcn´ıho koeficientu program neobsahuje, m˚ uˇzeme nicménˇe pouˇz´ıt funkci RANK.AVG(), pomoc´ı které pˇrevedeme hodnoty na poˇrad´ı a pak stanovit v´ yˇsi Spearmanova koeficientu opˇet pomoc´ı pˇr´ıkazu PEARSON(). Pro didaktické u ´ˇcely, ale doporuˇcujeme v´ ypoˇcty v tomto cviˇcen´ı provést vlastn´ı rukou na pap´ıru, pokud nen´ı uvedeno jinak. Vzorce, které v tomto cviˇcen´ı vyuˇzijeme, najdeme v kapitole (3.7). 196

Pˇ r´ıklad 59: Z namˇeˇren´ ych hodnot na pˇeti pokusn´ ych osobách vypoˇc´ıtejte velikost v´ ybˇerové kovariance poˇctu bod˚ u na ˇskále extraverze dotazn´ıku NEO-FFI a depresivity dotazn´ıku BDI-II. Pomoc´ı Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu vyjádˇrete velikost závislosti tˇechto dvou znak˚ u. Extraverze

22

16

29

12

36

Depresivita

2

3

5

12

3 [sxy = −21.5, rxy ≈ −0.55]

Pozn´ amka: Nezapom´ınejte, ˇze pˇri v´ ypoˇctu jakékoli m´ıry závislosti, je p´ısmenem n oznaˇcen´ y poˇcet dvojic hodnot, nikoli poˇcet jednotliv´ ych ˇc´ısel, se kter´ ymi pracujeme! Pˇ r´ıklad 60: Na statistickém souboru o rozsahu n prvk˚ u jsme pozorovali znaky x a y. Vypoˇc´ıtejte Pearson˚ uv korelaˇcn´ıh koeficient, pokud jsme namˇeˇrili tyto v´ ybˇerové charakteristiky: (a) s2x = 225, s2y = 400, sxy = 100, P xi yi = 7420, n = 20, (b) x¯ = 12, y¯ = 30, s2x = 9, s2y = 16, P P 2 P P P 2 xi yi = 2500, n = 50. yi = 6000, (c) xi = 240, yi = 500, xi = 1200, [a)0.33, b)pˇribliˇznˇe 0.96, c)pˇribliˇznˇe 0.46] Pˇ r´ıklad 61: Co se t´ yˇce znalost´ı z biologie, Hanka toho zná nejv´ıc ze tˇr´ıdy, velmi dobr´ y rozhled má Veronika, o nˇeco horˇs´ı Lucka, a Eliˇska se m˚ uˇze pochlubit jen velmi chatrn´ ymi znalostmi. Katka o biologii nev´ı nic. Kdyˇz se budeme naopak bavit o psychologii, má nejvˇetˇs´ı rozhled Veronika a v tˇesném závˇesu za n´ı je Katka. Pomˇernˇe sluˇsné, aˇc o troˇsku slabˇs´ı znalosti má o psychologii Hanka jeˇstˇe slabˇs´ı Lucka a nejslabˇs´ı Eliˇska, kterou psychologie moc nezaj´ımá. Vyberte vhodn´ y ukazatel tˇesnosti vztahu mezi znalostmi z biologie a psychologie a vypoˇc´ıtejte jeho hodnotu na v´ yˇse uvedeném souboru pˇeti stˇredoˇskolaˇcek. [vhodnou volbou je Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient, rs = 0.2]

197

Obrázek 38: Bodové grafy k pˇr´ıkladu (62)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Pˇ r´ıklad 62: Prohlédnˇete si bodové grafy na obrázku (38) a pro jednotlivé pˇr´ıpady odhadnˇete velikost Pearsonova a Spearmanova korelaˇcn´ıho koeficientu. [a) r = rs = 1, b) oba koeficienty bl´ızko −1, c) oba koeficienty bl´ızko nule, d) Pearson nalezne siln´ y vztah, ale menˇs´ı neˇz 1 (r = 0.77); rs = 1, jelikoˇz jde o monotónn´ı závislost, e) Pearson stˇrednˇe siln´ y kladn´ y vztah (r ≈ 0.4), jelikoˇz je ovlivnˇen outlierem; Spearman siln´ y záporn´ y (rs ≈ −0.8), f) r = rs = 0, g) oba koeficienty odhal´ı stˇrednˇe siln´ y záporn´ y vztah (r ≈ −0.6, rs ≈ −0.5), h) r = rs = 1; dva body vˇzdy vytváˇr´ı dokonalou korelaci, i) korealce nen´ı pro konstanu definovaná (pˇri v´ ypoˇctu docház´ı k dˇelen´ı nulou)]

Pˇ r´ıklad 63: Dle jedné hypotézy, ˇci sp´ıˇse lidového pravidla, pouˇz´ıvaj´ı d´ıvky ˇcervenou barvu na vlasy zejména tehdy, kdyˇz hledaj´ı partnera. Tuto hypotézu jsme se pokusili ovˇeˇrit. Bylo náhodnˇe osloveno vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı ˇzen a d´ıvek a u kaˇzdé se evidovalo, jestli má alespoˇ n pram´ınek

198

vlas˚ u obarven´ y na nˇejakou barvu bl´ızkou ˇcervené a jestli maj´ı stálého partnera. Z celkového poˇctu 124 respondentek, jich na své vlasy pouˇzilo ˇcervenou barvu 32. Z tˇechto 32 respondentek pˇripustilo 19, ˇze partnera hledá; ze skupiny d´ıvek, které ˇcervenou barvu nepouˇz´ıvaj´ı, jich partnera hledalo 44. Kvantifikujte tˇesnost vztahu mezi sledovan´ ymi znaky. Jedná se o silnou závislost? [rφ ≈ 0.10, korelace je na hranici mezi slabou a zanedbatelnou] Pˇ r´ıklad 64: Alele 7r genu DRD4 se pˇripisuje vliv na touhu po dobrodruˇzstv´ı – vyskytuje se u dobrodruh˚ u, moˇreplavc˚ u a obecnˇe jedinc˚ u, kteˇr´ı i za cenu rizika zaˇz´ıvaj´ı doposud nepoznané. Skupinˇe jedinc˚ u, u kter´ ych se tato alela vyskytovala a skupinˇe jedinc˚ u, u kter´ ych ne, byla administrována ˇskála vyhledáván´ı nového (Novelty seeking, NS). Vyjádˇrete s´ılu vztahu mezi pˇr´ıtomnost´ı jmenované alely a v´ ysledkem ˇskály. DRD4-7r

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

NS

11

17

13

22

16

14

12

18

16

11

8

12 [rpb ≈ 0.27]

Pˇ r´ıklad 65: Pomoc´ı hodnot v tabulce vypoˇc´ıtejte Pearsonovy korelaˇcn´ı koeficienty: (a) pro znaky y a z u tˇech prvk˚ u, kde znak x má hodnotu 1, (b) pro znaky y a z u tˇech prvk˚ u, kde znak x má hodnotu 0, (c) pro znaky y a z na celém souboru. i

xi

yi

zi

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 1 0 0 0 0 0

21 23 26 30 60 61 62 62 65

51 47 42 40 80 75 70 65 60

[−0.96, −0.93, +0.84]

Pozn´ amka: Vˇsimnˇete si v´ ysledku bodu c), kter´ y se ponˇekud pˇr´ıˇc´ı zdravému rozumu – u obou podsoubor˚ u pozorujeme siln´ y negativn´ı vztah, ale po jejich slouˇcen´ı vzniká vztah pozitivn´ı. Pro lepˇs´ı pochopen´ı data zobrazte pomoc´ı bodového grafu (viz pˇr´ıklad 73). 199

Pˇ r´ıklad 66: Na webov´ ych stánkách (www3.nd.edu) stáhnˇete datovou tabulku mˇeˇren´ı velikosti mozku a inteligence. Pomoc´ı tabulkového editoru vypoˇc´ıtejte Pearson˚ uv a Spearman˚ uv korelaˇcn´ı koeficient pro celkové IQ (FSIQ) a velikost mozku (MRI Count). [r ≈ 0.36, rs ≈ 0.47]

6.8

Grafick´ a reprezentace dat

Grafická prezentace dat je jedn´ım ze základn´ıch nástroj˚ u v´ yzkumn´ıka. Neslouˇz´ı pouze ke komunikaci dat s laick´ ym ˇci odborn´ ym publikem, ale pomáhá nám i bˇehem procesu anal´ yzy, poskytuje ostˇrejˇs´ı pˇredstavu o sledovan´ ych náhodn´ ych veliˇcinách a pomáhá formulovat hypotézy. Pˇri práci s daty by mˇelo b´ yt jejich grafické vyjádˇren´ı prvn´ım krokem, kter´ ym zaˇc´ınáme naˇse u ´vahy. Zkoumáme-li jednu promˇennou, pak se s n´ı nejlépe seznám´ıme pomoc´ı histogramu (pˇr´ıpadnˇe i krabicovému grafu) a zaj´ımá-li nás vztah dvou promˇenn´ ych, pak je nástrojem prvn´ı volby bodov´ y graf. Poznatky, které pouˇzijeme v tomto cviˇcen´ı, vycház´ı z kapitol (3.2.1), (3.4.5) a (3.7.5). Pˇ r´ıklad 67: Naˇcrtnˇete histogram pro 30 namˇeˇren´ ych hodnot 3.54, 3.66, 3.8, 4.47, 4.68, 4.78, 5.46, 5.89, 5.97, 6.00, 6.03, 6.64, 6.66, 6.78, 6.93, 7.00, 7.16, 7.19, 7.43, 7.84, 7.95, 8.22, 8.23, 8.32, 8.33, 8.38, 8.41, 8.60, 8.80, 9.33 dle následuj´ıc´ıch pravidel: • poˇcet kategori´ı z´ıskáme podle Sturgesova pravidla k = 1 + 3.322 · log10 (n) , • kategorie jsou stejnˇe ˇsiroké a jejich stˇredy jsou celá ˇc´ısla, • na ypsilonovou osu vyneseme absolutn´ı ˇcetnosti. [vhodnˇe zvolené intervaly jsou [3.5, 4.5), [4.5, 5.5), ..., [8.5, 9.5), nalezené frekvencu budou po ˇradˇe 4, 3, 4, 8, 8, 3]

Pˇ r´ıklad 68: N´ıˇze uvedená tabulka shrnuje absolutn´ı ˇcetnosti mˇeˇren´ı spadaj´ıc´ıch do dev´ıti kategori´ı. Nakreslete pro tyto hodnoty histogram, na ypsilonovou osu vynáˇsejte relativn´ı ˇcetnosti.

200

kategorie

fi

[470-490) [450-470) [430-450) [410-430) [390-410) [370-390) [350-370) [330-350) [310-330)

33 90 204 341 409 342 198 84 29

[relativn´ı ˇcetnosti, které budeme vynáˇset do grafu, jsou zleva doprava 0.017, 0.049, 0.114, 0.198, 0.236, 0.197, 0.118, 0.052, 0.019]

Pˇ r´ıklad 69: Nakreslete krabicov´ y graf pro hodnoty 2.0, 2.1, 2.1, 2.8, 2.8, 2.9, 3.4, 3.4, 3.4, 3.9, 5.5, 5.6. Medián vyznaˇcte ˇcarou, pr˚ umˇer ˇctvereˇckem. Do obrázku vepiˇste komentáˇre ke vˇsem zobrazovan´ ym statistikám.

Pˇ r´ıklad 70: Nakreslete krabicov´ y graf pro hodnoty 14, 34, 46, 50, 57, 59, 63, 64, 68, 72, 80, 81, 83, 87, 91. Medián vyznaˇcte ˇcarou, pr˚ umˇer ˇctvereˇckem. Do obrázku vepiˇste komentáˇre ke vˇsem zobrazovan´ ym statistikám.

201

Pˇ r´ıklad 71: Skupina stˇredoˇskolák˚ u byla dotazována, kolik knih pˇreˇcetli za posledn´ı rok. Histogram a krabicov´ y graf nalezen´ ych hodnot znázorˇ nuje následuj´ıc´ı obrázek. Vyˇctˇete ˇci odhadnˇete tyto v´ ybˇerové charakteristiky souboru: pr˚ umˇer, medián, variaˇcn´ı rozpˇet´ı, horn´ı a doln´ı kvartil, mezikvartilové rozpˇet´ı, pˇr´ıtomnost a smˇer zeˇsikmen´ı, pˇr´ıtomnost a hodnoty outlier˚ u, pˇribliˇzn´ y poˇcet pozorován´ı.

[¯ x ≈ 5.3, x˜ = 2.5, R = 37, Q1 = 1, Q3 = 6, Q3 − Q1 = 5, data jsou silnˇe zeˇsikmena v kladném smˇeru (d ≈ 2.5), za outliery m˚ uˇzeme povaˇzovat 5 hodnot: 18, 24, 26, 26, 37, n ≈ 50]

Pˇ r´ıklad 72: Naˇcrtnˇetˇe bodov´ y graf pro n´ıˇze uvedená dvojice mˇeˇren´ı. Odhadnˇete velikost Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu. i

xi

yi

i

xi

yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6.3 2.9 3.0 5.6 9.6 7.6 3.9 1.5 9.1 5.3

4.2 3.5 3.9 5.4 2.7 2.3 4.8 4.7 1.6 2.5

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8.1 2.9 3.2 7.5 7.0 2.1 6.7 5.1 6.2 5.1

3.4 5.0 5.8 3.2 1.9 7.2 3.3 3.7 2.5 5.4 [r ≈ −0.7]

202

Pˇ r´ıklad 73: Naˇcrtnˇetˇe bodov´ y graf pro znaky y a z z pˇr´ıkladu (65). Pokud je hodnota znaku x rovna 1, zakreslete pozorován´ı jako koleˇcko, má-li znak x hodnotu 0, vyznaˇcte jej kˇr´ıˇzkem. Srovnejte obrázek s v´ ysledky pˇr´ıkladu (65). [viz obrázek (39)]

Pˇ r´ıklad 74: Naˇcrtnˇete bodov´ y graf závislosti znak˚ u x (na iksovou osu) a y (na ypsilonovou osu). Tak, aby platilo: n = 10, znak x je silnˇe zeˇsikmen´ y v kladném smˇeru, znak y má nápadnˇe bimodáln´ı rozdˇelen´ı a je v´ yraznˇe platykurtick´ y (ˇspiˇcatost kolem hodnoty −2). Velikost ´ Pearsonova korelaˇcn´ıho koeficientu má zápornou hodntu bl´ızkou nule. (Uloha má zjevnˇe v´ıce správn´ ych ˇreˇsen´ı.) [viz obrázek (39)]

Obrázek 39: Náˇcrtky k ˇreˇsen´ım u ´loh (73) a (74)

203

6.9

Intervaly spolehlivosti

Intervaly spolehlivosti obvykle stanovujeme s pomoc´ı specializovaného poˇc´ıtaˇcového programu. V tomto cviˇcen´ı nicménˇe budeme procviˇcovat jejich v´ ypoˇcet jen s pap´ırem, tuˇzkou a kalkulaˇckou. Znalost konstrukce konfidenˇcn´ıch interval˚ u krok po kroku zajist´ı porozumˇen´ı tématu a poskytne návod ke konstrukci konfidenˇcn´ıch interval˚ u libovolné jiné statistiky, jej´ıˇz distribuci dokáˇzeme popsat. Pˇ r´ıklad 75: Pomoc´ı laboratorn´ıho testu na slinách pacienta se pokouˇs´ıme odhadnout hladinu testosteronu v jeho krevn´ı plasmˇe. V´ıme, ˇze tato metoda nen´ı zcela pˇresná a chován´ı jej´ı chyby dokáˇzeme popsat – má-li vybran´ y dospˇel´ y muˇz skuteˇcnou hladinu testosteronu rovnou τ (ng/dL), pak si v´ ysledek jeho testu m˚ uˇzeme pˇredstavit jako realizaci náhodné veliˇciny s rozdˇelen´ım N (τ, 900). Na jednom a tomtéˇz muˇzi jsme provedli 9 mˇeˇren´ı hladiny testosteronu a z´ıskali tyto hodnoty (v ng/dL): 587, 676, 661, 624, 650, 623, 616, 567, 657. Stanovte 95% a 99% konfidenˇcn´ı interval pro hodnotu τ . [I95% = 629 ± 19.60 = (609.40, 648.60), I99% = 629 ± 25.76 = (603.24, 654.76)]

Pˇ r´ıklad 76: ˇ Sest zamˇestnanc˚ u absolvovalo kurz soft skills, kter´ y mˇel za u ´kol zlepˇsit jejich komunikaˇcn´ı dovednosti. Pˇred a po skonˇcen´ı kurzu byl kaˇzdému zamˇestnanci administrován test, kter´ y komunikaˇcn´ı dovednosti mˇeˇr´ı. U kaˇzdého zamˇestnance bylo pak spoˇc´ıtáno, o kolik bod˚ u se zlepˇsil, jako poˇcet bod˚ u v druhém testován´ı m´ınus poˇcet bod˚ u v prvn´ım testován´ı. Byly z´ıskány tyto hodnoty: 4, 6, −2, 12, 0, 10. Stanovte pro odhad stˇredn´ı hodnoty této náhodné veliˇciny (a) 95% oboustrann´ y konfidenˇcn´ı interval, (b) 95% doln´ı odhad (jednostrann´ y konfidenˇcn´ı interval). [a) (−0.75, 10.75), b) 0.49]

204

Pˇ r´ıklad 77: Stanovte 95% doln´ı mez (jednostrann´ y konfidenˇcn´ı interval) pro stˇredn´ı hodnotu náhodné veliˇciny, známe-li hodnoty jej´ıch realizac´ı 31, 34, 27, 20, 25, 33, 30, 35, 25, 39, 29, 32. Porovnejte jeho ˇs´ıˇri a um´ıstˇen´ı, kdyˇz do souboru pˇridáme jedno odlehlé pozorován´ı s hodnotou 69. [D = 27.31, po pˇridán´ı odlehlého pozorován´ı se tato hodnota posune na 27.12] Pozn´ amka: Vˇsimnˇete si na prvn´ı pohled paradoxn´ıho v´ ysledku. T´ım, ˇze jsme pˇridali do souboru v´ yraznˇe vysokou hodnotu, se doln´ı mez odhadu stˇredn´ı hodnoty sn´ıˇzila, aˇc bychom zˇrejmˇe ˇcekali, ˇze se náˇs odhad posune smˇerem nahoru. Pˇr´ıˇcinou je to, ˇze pˇr´ıtomnost outlieru radikálnˇe ovlivnila odhad rozptylu. Mohli bychom si to pˇredstavit jako u ´vahu, ˇze kdyˇz v souboru m˚ uˇzou existovat outliery s vysokou hodnotou, tak zde zˇrejmˇe m˚ uˇzou existovat i outliery s n´ızk´ ymi hodnotami (které jen nemˇely to ˇstˇest´ı, ˇze by se do naˇseho souboru dostaly). Mus´ıme b´ yt pak s naˇs´ım odhadem mnohem um´ırnˇenˇejˇs´ı a volit sp´ıˇse niˇzˇs´ı doln´ı mez, neˇz jsme volili pˇred t´ım. Pˇ r´ıklad 78: Do pr˚ uˇrezové studie bylo zaˇrazeno 219 proband˚ u. Soubor se pˇrirozenˇe rozdˇelil na 5 podsoubor˚ u s rozsahy f1 aˇz f5 . Na kaˇzdém podsouboru byl vypoˇc´ıtán aritmetick´ y pr˚ umˇer a v´ ybˇerová smˇerodatná odchylka znaku x (viz tabulka). Naˇcrtnˇete sloupcov´ y graf pr˚ umˇer˚ u skupin vˇcetnˇe chybov´ ych u ´seˇcek znázorˇ nuj´ıc´ıch 95% intervaly spolehlivosti. Zamyslete se nad faktory, které v´ yraznˇe zvˇetˇsuj´ı ˇs´ıˇrku konfidenˇcn´ıho intervalu. x¯j 10 12 4 9 15

sj

fj

2.5 49 2.2 9 3.0 100 2.5 25 12.1 36

[rozsahy chybov´ ych u ´seˇcek jsou po ˇradˇe (9.28, 10.72), (10.31, 13.69), (3.40, 4.60), (7.97, 10.03), (10.91, 19.09)]

205

Pˇ r´ıklad 79: V závˇereˇcné zprávˇe o probˇehlém intervenˇcn´ım programu autoˇri uvád´ı intervalov´ y odhad zlepˇsen´ı vybran´ ych kompetenc´ı 10 z´ uˇcastnˇen´ ych dˇet´ı. Zpráva vˇsak obsahuje pouze 80% konfidenˇcn´ı interval. Stanovte 95% interval spolehlivosti, kdyˇz v´ıme, ˇze 80% interval je roven (1.07, 6.53). Pˇredpokládáme, ˇze sledovaná náhodná veliˇcina má normáln´ı rozdˇelen´ı. [(−0.67, 8.27)]

Pˇ r´ıklad 80: Pˇredpokládejme, ˇze doba administrace vybrané projektivn´ı metody je náhodná veliˇcina s normáln´ım rozdˇelen´ım. U ˇsesti klient˚ u jsme namˇeˇrili tyto ˇcasy (v minutách): 12, 8, 11, 14, 12, 10 Stanovte (a) 95% konfidenˇcn´ı interval pro rozptyl (b) 95% konfidenˇcn´ı interval pro smˇerodatnou odchylku (c) horn´ı mez se spolehlivost´ı 95 % pro rozptyl (d) horn´ı mez se spolehlivost´ı 95 % pro smˇerodatnou odchylku [a) (1.62, 25.06), b) (1.27, 5.01), c) 18.19, d) 4.26]

Pˇ r´ıklad 81: Pro statistické soubory a) aˇz k) stanovte oboustranné konfidenˇcn´ı intervaly zadan´ ych spolehlivost´ı pro stˇredn´ı hodnotu, rozptyl a smˇerodatnou odchylku. Pˇredpokládejme, ˇze zkoumané náhodné veliˇciny maj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı. hodnoty a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

spolehlivost

91, 83, 87 89, 71, 91, 83 26, 28, 22, 22 28, 47, 30, 32, 28 10, 9, 22, 14, 50 8, 10, 6, 10, 11 43, 28, 61, 28, 29, 51 42, 50, 32, 31, 23, 44 54, 58, 55, 54, 55, 66, 50 35, 25, 13, 21, 20, 25, 29 81, 91, 96, 88, 91, 80, 80, 89 206

95 % 99 % 80 % 90 % 95 % 99 % 90 % 99.8 % 95 % 80 % 95 %

[a) (77.06, 96.94), (4.34, 631.97), (2.08, 25.14), b) (57.22, 109.78), (18.93, 3388.09), (4.35, 58.21), c) (22.04, 26.96), (4.32, 46.20), (2.08, 6.80), d) (25.37, 40.63), (26.98, 360.20), (5.19, 18.98), e) (−0.11, 42.11), (103.74, 2386.37), (10.19, 48.85), f) (4.88, 13.12), (1.08, 77.30), (1.04, 8.79), g) (28.48, 51.52), (88.52, 855.54), (9.41, 29.25), h) (12.94, 61.06), (24.37, 2378.54), (4.94, 48.77), i) (51.38, 60.62), (10.38, 121.23), (3.22, 11.01), j) (20.19, 27.81), (27.62, 133.39), (5.26, 11.55), k) (81.98, 92.02), (15.74, 149.12), (3.97, 12.21)]

Pˇ r´ıklad 82: Pro náhodné v´ ybˇery o vysokém rozsahu má odhad ˇsikmosti náhodné veliˇciny s normáln´ım rozdˇelen´ım také normáln´ı rozdˇelen´ı se stˇredem v nule a smˇerodatnou chybou s

6n(n − 1) . (n + 1)(n − 2)(n + 3)

Stanovte 95% konfidenˇcn´ı interval pro tuto statistiku, kdyˇz jsme na souboru 1000 pozorován´ı spoˇc´ıtali hodnotu bodového odhadu 0.1. [(−0.052, 0.252)]

207

Tabulka 18: Hodnoty kumulativn´ı distribuˇcn´ı funkce normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı, P (X ≤ x) pro X ∼ N (0, 1) x -3.4 -3.3 -3.2 -3.1 -3.0 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.0

.0 0.0003 0.0005 0.0007 0.0010 0.0013 0.0019 0.0026 0.0035 0.0047 0.0062 0.0082 0.0107 0.0139 0.0179 0.0228 0.0287 0.0359 0.0446 0.0548 0.0668 0.0808 0.0968 0.1151 0.1357 0.1587 0.1841 0.2119 0.2420 0.2743 0.3085 0.3446 0.3821 0.4207 0.4602 0.5000

.1 0.0003 0.0005 0.0007 0.0009 0.0013 0.0018 0.0025 0.0034 0.0045 0.0060 0.0080 0.0104 0.0136 0.0174 0.0222 0.0281 0.0351 0.0436 0.0537 0.0655 0.0793 0.0951 0.1131 0.1335 0.1562 0.1814 0.2090 0.2389 0.2709 0.3050 0.3409 0.3783 0.4168 0.4562 0.4960

.2 0.0003 0.0005 0.0006 0.0009 0.0013 0.0018 0.0024 0.0033 0.0044 0.0059 0.0078 0.0102 0.0132 0.0170 0.0217 0.0274 0.0344 0.0427 0.0526 0.0643 0.0778 0.0934 0.1112 0.1314 0.1539 0.1788 0.2061 0.2358 0.2676 0.3015 0.3372 0.3745 0.4129 0.4522 0.4920

.3 0.0003 0.0004 0.0006 0.0009 0.0012 0.0017 0.0023 0.0032 0.0043 0.0057 0.0075 0.0099 0.0129 0.0166 0.0212 0.0268 0.0336 0.0418 0.0516 0.0630 0.0764 0.0918 0.1093 0.1292 0.1515 0.1762 0.2033 0.2327 0.2643 0.2981 0.3336 0.3707 0.4090 0.4483 0.4880

.4 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0012 0.0016 0.0023 0.0031 0.0041 0.0055 0.0073 0.0096 0.0125 0.0162 0.0207 0.0262 0.0329 0.0409 0.0505 0.0618 0.0749 0.0901 0.1075 0.1271 0.1492 0.1736 0.2005 0.2296 0.2611 0.2946 0.3300 0.3669 0.4052 0.4443 0.4840

208

.5 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0011 0.0016 0.0022 0.0030 0.0040 0.0054 0.0071 0.0094 0.0122 0.0158 0.0202 0.0256 0.0322 0.0401 0.0495 0.0606 0.0735 0.0885 0.1056 0.1251 0.1469 0.1711 0.1977 0.2266 0.2578 0.2912 0.3264 0.3632 0.4013 0.4404 0.4801

.6 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.0011 0.0015 0.0021 0.0029 0.0039 0.0052 0.0069 0.0091 0.0119 0.0154 0.0197 0.0250 0.0314 0.0392 0.0485 0.0594 0.0721 0.0869 0.1038 0.1230 0.1446 0.1685 0.1949 0.2236 0.2546 0.2877 0.3228 0.3594 0.3974 0.4364 0.4761

.7 0.0003 0.0004 0.0005 0.0008 0.0011 0.0015 0.0021 0.0028 0.0038 0.0051 0.0068 0.0089 0.0116 0.0150 0.0192 0.0244 0.0307 0.0384 0.0475 0.0582 0.0708 0.0853 0.1020 0.1210 0.1423 0.1660 0.1922 0.2206 0.2514 0.2843 0.3192 0.3557 0.3936 0.4325 0.4721

.8 0.0003 0.0004 0.0005 0.0007 0.0010 0.0014 0.0020 0.0027 0.0037 0.0049 0.0066 0.0087 0.0113 0.0146 0.0188 0.0239 0.0301 0.0375 0.0465 0.0571 0.0694 0.0838 0.1003 0.1190 0.1401 0.1635 0.1894 0.2177 0.2483 0.2810 0.3156 0.3520 0.3897 0.4286 0.4681

.9 0.0002 0.0003 0.0005 0.0007 0.0010 0.0014 0.0019 0.0026 0.0036 0.0048 0.0064 0.0084 0.0110 0.0143 0.0183 0.0233 0.0294 0.0367 0.0455 0.0559 0.0681 0.0823 0.0985 0.1170 0.1379 0.1611 0.1867 0.2148 0.2451 0.2776 0.3121 0.3483 0.3859 0.4247 0.4641

Tabulka 19: Hodnoty α-kvantilu náhodné veliˇciny s normovan´ ym normáln´ım rozdˇelen´ım, Φα : P (X ≤ xα ) = α pro X ∼ N (0, 1) α 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019

Φα −∞ -3.0902 -2.8782 -2.7478 -2.6521 -2.5758 -2.5121 -2.4573 -2.4089 -2.3656 -2.3263 -2.2904 -2.2571 -2.2262 -2.1973 -2.1701 -2.1444 -2.1201 -2.0969 -2.0749

α 0.020 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070 0.075 0.080 0.090 0.100 0.110

Φα -2.0537 -2.0335 -2.0141 -1.9954 -1.9774 -1.9600 -1.8808 -1.8119 -1.7507 -1.6954 -1.6449 -1.5982 -1.5548 -1.5141 -1.4758 -1.4395 -1.4051 -1.3408 -1.2816 -1.2265

209

α 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31

Φα -1.1750 -1.1264 -1.0803 -1.0364 -0.9945 -0.9542 -0.9154 -0.8779 -0.8416 -0.8064 -0.7722 -0.7388 -0.7063 -0.6745 -0.6433 -0.6128 -0.5828 -0.5534 -0.5244 -0.4959

α 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50

Φα -0.4677 -0.4399 -0.4125 -0.3853 -0.3585 -0.3319 -0.3055 -0.2793 -0.2533 -0.2275 -0.2019 -0.1764 -0.1510 -0.1257 -0.1004 -0.0753 -0.0502 -0.0251 0.0000

Tabulka 20: Hodnoty α-kvantilu náhodné veliˇciny se Studentov´ ym t rozdˇelen´ım s ν stupni volnosti, tν,α : P (X ≤ tν,α ) = α pro X ∼ tν ν

tν,0.999

tν,0.995

tν,0.975

tν,0.950

tν,0.900

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 35 40 50 70 100 200 500 ∞

318.309 22.3271 10.2145 7.17318 5.89343 5.20763 4.78529 4.50079 4.29681 4.14370 4.02470 3.92963 3.85198 3.78739 3.73283 3.68615 3.64577 3.61048 3.57940 3.55181 3.50499 3.46678 3.43500 3.40816 3.38518 3.34005 3.30688 3.26141 3.21079 3.17374 3.13148 3.10661 3.09023

63.6567 9.92484 5.84091 4.60409 4.03214 3.70743 3.49948 3.35539 3.24984 3.16927 3.10581 3.05454 3.01228 2.97684 2.94671 2.92078 2.89823 2.87844 2.86093 2.84534 2.81876 2.79694 2.77871 2.76326 2.75000 2.72381 2.70446 2.67779 2.64790 2.62589 2.60063 2.58570 2.57583

12.7062 4.30265 3.18245 2.77645 2.57058 2.44691 2.36462 2.30600 2.26216 2.22814 2.20099 2.17881 2.16037 2.14479 2.13145 2.11991 2.10982 2.10092 2.09302 2.08596 2.07387 2.06390 2.05553 2.04841 2.04227 2.03011 2.02108 2.00856 1.99444 1.98397 1.97190 1.96472 1.95996

6.31375 2.91999 2.35336 2.13185 2.01505 1.94318 1.89458 1.85955 1.83311 1.81246 1.79588 1.78229 1.77093 1.76131 1.75305 1.74588 1.73961 1.73406 1.72913 1.72472 1.71714 1.71088 1.70562 1.70113 1.69726 1.68957 1.68385 1.67591 1.66691 1.66023 1.65251 1.64791 1.64485

3.07768 1.88562 1.63774 1.53321 1.47588 1.43976 1.41492 1.39682 1.38303 1.37218 1.36343 1.35622 1.35017 1.34503 1.34061 1.33676 1.33338 1.33039 1.32773 1.32534 1.32124 1.31784 1.31497 1.31253 1.31042 1.30621 1.30308 1.29871 1.29376 1.29007 1.28580 1.28325 1.28155

210

Tabulka 21: Hodnoty α-kvantilu náhodné veliˇciny se rozdˇelen´ım χ2 s ν stupni volnosti, χ2ν,α : P (X ≤ χ2ν,α ) = α pro X ∼ χ2ν ν

χ2ν,0.001

χ2ν,0.005

χ2ν,0.025

χ2ν,0.05

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 35 40 50 70 100 200 500

0.00000 0.00200 0.02430 0.09080 0.21021 0.38107 0.59849 0.85710 1.15195 1.47874 1.83385 2.21421 2.61722 3.04067 3.48268 3.94163 4.41609 4.90485 5.40682 5.92104 6.98297 8.08488 9.22213 10.3909 11.5880 14.6878 17.9164 24.6739 39.0364 61.9179 143.843 407.947

0.00004 0.00098 0.00393 0.01003 0.05064 0.10259 0.07172 0.21580 0.35185 0.20699 0.48442 0.71072 0.41174 0.83121 1.14548 0.67573 1.23734 1.63538 0.98926 1.68987 2.16735 1.34441 2.17973 2.73264 1.73493 2.70039 3.32511 2.15586 3.24697 3.94030 2.60322 3.81575 4.57481 3.07382 4.40379 5.22603 3.56503 5.00875 5.89186 4.07467 5.62873 6.57063 4.60092 6.26214 7.26094 5.14221 6.90766 7.96165 5.69722 7.56419 8.67176 6.26480 8.23075 9.39046 6.84397 8.90652 10.1170 7.43384 9.59078 10.8508 8.64272 10.9823 12.3380 9.88623 12.4012 13.8484 11.1602 13.8439 15.3792 12.4613 15.3079 16.9279 13.7867 16.7908 18.4927 17.1918 20.5694 22.4650 20.7065 24.4330 26.5093 27.9907 32.3574 34.7643 43.2752 48.7576 51.7393 67.3276 74.2219 77.9295 152.241 162.728 168.279 422.303 439.936 449.147

χ2ν,0.1

χ2ν,0.999

χ2ν,0.995

χ2ν,0.975

χ2ν,0.95

χ2ν,0.9

0.01579 0.21072 0.58437 1.06362 1.61031 2.20413 2.83311 3.48954 4.16816 4.86518 5.57778 6.30380 7.04150 7.78953 8.54676 9.31224 10.08519 10.86494 11.65091 12.44261 14.04149 15.65868 17.29188 18.93924 20.59923 24.79665 29.05052 37.68865 55.32894 82.35814 174.8353 459.9261

10.8276 13.8155 16.2662 18.4668 20.5150 22.4577 24.3219 26.1245 27.8772 29.5883 31.2641 32.9095 34.5282 36.1233 37.6973 39.2524 40.7902 42.3124 43.8202 45.3147 48.2679 51.1786 54.0520 56.8923 59.7031 66.6188 73.4020 86.6608 112.317 149.449 267.541 603.446

7.87944 10.5966 12.8382 14.8603 16.7496 18.5476 20.2777 21.9550 23.5894 25.1882 26.7568 28.2995 29.8195 31.3193 32.8013 34.2672 35.7185 37.1565 38.5823 39.9968 42.7957 45.5585 48.2899 50.9934 53.6720 60.2748 66.7660 79.4900 104.215 140.169 255.264 585.207

5.02389 7.37776 9.34840 11.1433 12.8325 14.4494 16.0128 17.5345 19.0228 20.4832 21.9200 23.3367 24.7356 26.1189 27.4884 28.8454 30.1910 31.5264 32.8523 34.1696 36.7807 39.3641 41.9232 44.4608 46.9792 53.2033 59.3417 71.4202 95.0232 129.561 241.058 563.852

3.84146 5.99146 7.81473 9.48773 11.0705 12.5916 14.0671 15.5073 16.9190 18.3070 19.6751 21.0261 22.3620 23.6848 24.9958 26.2962 27.5871 28.8693 30.1435 31.4104 33.9244 36.4150 38.8851 41.3371 43.7730 49.8018 55.7585 67.5048 90.5312 124.342 233.994 553.127

2.70554 4.60517 6.25139 7.77944 9.23636 10.6446 12.0170 13.3616 14.6837 15.9872 17.2750 18.5493 19.8119 21.0641 22.3071 23.5418 24.7690 25.9894 27.2036 28.4120 30.8133 33.1962 35.5632 37.9159 40.2560 46.0588 51.8051 63.1671 85.5270 118.498 226.021 540.930

211

ˇ a p´ısmena a jejich v´ Tabulka 22: Reck´ yslovnost malé velké ˇcteme α β γ δ ζ η θ ι κ λ µ ν ξ π ρ σ τ υ φ χ ψ ω

A B Γ ∆ E Z H Θ I K Λ M N Ξ Π P Σ T Υ Φ X Ψ Ω

212

alfa beta gama delta epsilon zéta éta théta ióta kappa lambda m´ı n´ y ks´ı p´ı ró sigma tau ypsilon f´ı ch´ı ps´ı omega

Statistické metody v psychologii

Recommend Documents