stageverslag d ri e 4imensionaie modellering van de voet
WFW-rapport: 92-1 07
Raymond van As augustus 1992 Tech nische Universiteit Ei ndhoven vakgroep WFW identiteitsnummer vakkode teIefoon begeleiders
: 243316 : 4K815 : 451974 : L. Braak
A. Huson I
samenvatting
samenvatting Dit stageverslag handelt over de modelvorming van de voet waarbij gebruik gemaakt wordt van het eindige-elementen-pakket I-DEAS. Dit onderzoek vindt plaats als vervolg op een onderzoek van prof. dr. Patil, verbonden aan de fakulteit Biomedical Engineering van het Indian Institute of Technology in Madras. Het onderzoek valt uiteen in twee delen. Als eerste wordt het bestaande modei van Patil, dat doorgerekend is mei het €EM-pakket ÛIFTS, ingevoerd in \-DEBS. Dit ais kennismakingsfase met de software. Als tweede wordt een eenvoudig drie-dimensionaal model ontwikkeld en doorgerekend. Het model wordt opgebouwd uit twee platen, welke de mediale en de laterale voetboog representeren. Alleen de situatie "mid-stance-phase'' wordt beschouwd. De dynamische randvoorwaarden worden beperkt tot een vertikale drukkracht van het lichaamsgewicht en een vertikale trekkracht van de kuitspier. In het eerste deel van het onderzoek zijn de resultaten berekend met I-DEAS redelijk overeenkomstig met de resultaten van Patil. Deel twee van het onderzoek laat zien dat het model, zoals dat hier gedefinieerd is, niet de gewenste resultaten oplevert. Bij belasting treden er vervormingen op buiten het vlak van de voetboog, dit terwijl de gebruikte elementen alleen geschikt zijn voor spanningen en vervormingen in het vlak van de plaat. De konklusie is dan ook dat dit model niet voldoet.
inhoud
1 . inhoud ...............................................
ii
1. inhoud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
2.inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.doei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. anatomie van de voet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.lepra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. onderzoek tot nu toe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 1 4 5
3.1-DEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. werkwijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7
4 . twee-dimensionaal model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. materiaalparameters en de belastingsituatie . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. de elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. meshverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. grove mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. fijnere mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. diskussie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. reaktiekrachten, verplaatsingen en spanningen . . . . . . . . . . 4.5.3. spanningsverloop volgens het Von Mises kriterium . . . . . . . .
9 9 9 9 9 9
10 11 11 12 12 12 13
5. drie-dimensionaal model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. I . geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. dynamische randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. kinematische randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. resultaten met de eerste set kinematische randvoorwaarden . . . . . 5.4. resultaten met de tweede set kinematische randvoorwaarden . . . . 5.4.1. mediale voetboog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. mediale en laterale voetboog; belasting op het sprongbeen . 5.4.3. mediale en laterale voetboog; belasting meer op de voorvoet 5.5. diskussie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 14 14 14 15 16 16 16 18 18 19 20 21
6 . konklusies en aanbevelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. konklusies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. aanbevelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 22 22
7. literatuurlijst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
8 . bijlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
samenvatting
_____.__ . . . . . . . . .
...
Ill
_____
10
inleiding
2. inleiding 2.1. inleiding
Als gevolg van lepra worden er in de derde wereld landen veel mensen kreupel of sterven zelfs. Om het leed van deze ziekte te verzachten wordt er veel onderzoek verricht naar de oorzaak en de gevolgen van lepra. Ook technische universiteiten dragen hier een steentje aan bij, ondermeer net Indian Institute of Technology in Madras. Binnen ds Biomedica! Engineering Division, onder leiding van prof. dr. K. M. Patil, wordt een onderzoek verricht naar het mechanisch gedrag van het skelet van de voet. In het kader van de samenwerking met dit instituut wordt in deze stage onderzoek gedaan naar de mogelijkheden van het modelleren van het drie-dimensionaal probleem, de voet, in een driedimensionale ruimte. In dit inleidende hoofdstuk zal een viertal punten nader belicht worden alvorens er in de rest van de hoofdstukken dieper op de stof wordt ingegaan. In paragraaf twee wordt het doel van deze stage beschreven. Paragraaf drie gaat summier in op de anatomie van de voet om inzicht te krijgen in de bouw van het voetskelet. Paragraaf vier belicht de ziekte lepra en de door deze ziekte veroorzaakte defekties aan met name de voet. In hoofdstuk drie staat een korte toelichting op de gebruikte software. Hoofdstuk vier gaat over het twee-dimensionale model van de voet, terwijl dit in hoofdstuk vijf uitgebreid zal worden tot een drie-dimensionaal model. De konklusies en aanbevelingen volgen in hoofdstuk zes. Als laatste hoofdstuk (8) volgt de bijlage. Hierin staat de grafische weergave van de resultaten van de berekeningen. 2.2. doel
De doelstelling van deze stage is tweeledig. Als eerste wordt een bestaand model van de voet, het model van Patil, overgezet naar het eindige elementen softwarepakket I-DEAS. Deze eerste fase dient als kennismaking met de software. Het tweede deel van de stage beoogt het modelleren van de voet in een drie-dimensionale ruimte uitgaande van twee hoofdstrukturen, te weten de laterale en mediale voetboog. Een uitbreiding van het twee-dimensionale model naar een drie-dimensionaal model lijkt noodzakelijk omdat het twee-dimensionale model te weinig inzicht verschaft over het mechanisch gedrag van de voet. 2.3. anatomie van de
voet
Het voetskelet (zie figuur 1) is te verdelen in de voetwortel (I), de middelvoet (li) en de tenen (ill). De voetwortel is opgebouwd uit zeven beenderen; sprongbeen ( i ) , hielbeen ( 2 ) , scheepvormigbeen (3), teerlingbeen (4) en de drie wigvormige
1
inleiding beenderen (5). De middelvoet bevat vijf middelvoetsbeenderen (6); de tenen worden gevormd door phalangen (7) (de beenderen van de tenen). Het lichaamsgewicht wordt via het sprongbeen doorgeleid op het hielbeen, het grootste voetwortelbeen. Het scheepvormigbeen vormt gewrichten met het sprongbeen en met de drie wigvormige beenderen. De vijf middelvoetsbeenderen zijn pijpbeenderen en de beenderen van de tenen zijn opgebouwd uit kootjes (zie figuur 3). AI deze botonderdelen zijn onderling verbonden door pezen, bander,, spieren en gewrichten. Bij het voetskelet valt op, dat in het achterste deel de beenderen boven elkaar, in het middelste en voorste deel echter naast elkaar zijn gelegen (zie figuur 2).
u 1 figuur 7: de beide rijen van het voetskelet, van boven
111 1 figuur 2: de beide rijen van het voetskelet, van mediaal
-
2
inleiding Daardoor ontstaat het voetgewelf. Te onderscheiden zijn: een sagittaal (overlangs) en een transversaal (dwars) gewelf. Vanuit het sprongbeen loopt een binnenste beenrij (lichtgrijs) naar voren. Vanuit het hielbeen strekt zich een buitenste rij (donkergrijs) naar voren uit. Tot de binnenste rij behoren sprong- en scheepvormigbeen, de wiggebeentjes en de drie middenvoetsbeentjes met de aansluitende teenkootjes. De buitenrij wordt gevormd door hielbeen, teerlingbeen en de twee buitenste middelvoetsbeenderen met de aansluitende teenkootjes. De bouw van het voetskelet is zodanig dat de voet voorin breed is en achterin smal. Bovendien is hij achter hoger dan vooraan. E i is dari een vafl binnenuit ioegankeiijk nisvormig gewelf ontstaan met een overlangse en een dwarse kromming. De overlangse kromming is aan de binnenste voetrand sterker ontwikkeld dan aan de buitenste. De dwarswelving is alleen in het middelste en voorste deel van de voet goed ontwikkeld. Deze welvingen zijn essentieel voor het goed funktioneren van de voeten, en juist deze worden door lepra beschadigd.
1 figuur 3: middelvoets- en teenbeenderen van de rechtervoet, van dorsaal
3
inleiding
2.4.lepra Het woord lepra is afkomstig uit het grieks en betekent letterlijk melaatsheid en wordt omschreven als: f e n door de leprabacil veroorzaakte chronische infectieziekte. Treedt vooral in warme landen op, meer bij mannen dan bij vrouwen. Tast de huid en het gebeente aan, waardoor afschuwelijke misvormingen ontstaan. Behalve dat door knobbels en verzweringen het gelaat onherkenbaar verminkt kan worden, worden ook de ledematen aangetast, waardoor vingers en renen als hef ware geheel kunnen worden wegGevreten. Mer! onderscheidt twee hooftivormen, iil. de knobbelachtige en de nerveuze vorm; lepra tuberosa, knobbelachtige melaatsheid, vangt aan met vlekken op de huid, die zich onder koorts spoedig ontwikkelen tot knobbels, vooral in het gelaat, ook wenkbrauwen en baardhaar vallen uit. Sommige knobbels verdwijnen weer, andere gaan open en laten zeer moeilijke of in het geheel niet genezende zweren achter. De ziekte kan in 2 a 3 jaar dodelijk verlopen, doch kan ook veel langer, zelfs 9 a 10 jaar duren; lepra nervorum, zenuw-lepra, nerveuze vorm van melaatsheid, vangt evenals lepra tuberosa aan met vlekken op de huid. Deze vlekken vertonen echter dikwijls de neiging in het midden te genezen, doch zich aan de rand uit te breiden. Reeds bij geringe wrijving of stoot ontstaan blaren. Ook komt het vaak voor dat het pigment uit de huid verdwijnt en er witte vlekken ontstaan, men spreekt dan van lepra alba (witte melaatsheid’). Na enige tijd verdwijnt in armen en benen het pijngevoel, zelfs kan algehele gevoelloosheid der ledematen optreden. Ook gaat de spierkracht aanmerkelijk achteruit. Het haar valt uit, de huid wordt dor en droog, de nagels worden bros en breken spoedig af. Na verloop van enige maanden, soms enige jaren, kunnen aan de gewrichten door schrompelíng en druk diepe verzweringen ontstaan en kunnen zelfs vingers en tenen geheel afvallen. Men spreekt dan van lepra mutilans.Soms verloopt lepra nervorum pas na 15 a 20 jaar dodelijk. De lijder sterft meestal afschuwelijk verminkt. (I]. De tweede vorm van lepra, lepra nervorum, is voor dit onderzoek het meest interessant. Het disfunktioneren van het zenuwstelsel, wat als eerste optreedt in de perifere gebieden van het lichaam, dus handen en voeten, leidt tot een motorische storing. Hierdoor is er geen besturing van de spieren meer door middel van zenuwprikkels. Dit veroorzaakt degeneratie van de spieren in de perifere delen van het lichaam. Richten we nu onze blik op de voet van een lepra-patiënt dan zien we dat er door de degeneratie van de voetspieren een verandering in de spanningsverdeling in de botstrukturen optreedt. Bepaalde onderdelen van het voetskelet zullen dan zwaarder belast gaan worden. Dit kan leiden tot schade en misvormingen in met name de voetboog. We krijgen dan het bekende beeld te zien van de doorgezakte lepravoet.
inleiding
2.5. onderzoek tot nu toe
Patil [4] heeft in 1990 met behulp van het eindige elementen pakket Gifts diverse modellen doorgerekend. AI deze modellen zijn twee-dimensionaal en beschouwen een overlangse doorsnede door de voetboog (zie figuur 4).
T figuur 4: twee dimensionaal, uìt één botstuk bestaand, model van een normale voer 141 5
inleiding
Patil beschouwt drie model-situaties; hielkontakt, belasting op de vlakke voet en de teenafzet (figuur 5). Deze drie belastingsituaties zijn in verschillende konfiguraties uitgevoerd, van een enkelvoudig botmodel via tussenstappen tot een gedetailleerd twee-dimensionale doorsnede van de voet met de diverse pezen, banden en kraakbeenstrukturen. Als laatste stap is een misvormde lepravoet gesimuleerd.
h
1 figuur 5: schematische voorstelling van: a) heel-strike phase b) mid-stance phase c) toe-off phase
6
I-DEAS
3. I-DEAS 3.1. inleiding
I-DEAS is een zeer uitgebreid EEM-pakket voor zowel twee-dimensionale als driedimensionale lichamen. Er kunnen statische, dynamische en stromings-problemen gemodelleerd en doorgerekend worden. Het zou te ver gaan hier alle andere mogelijke toepassingsmogelijkheden te vernoemen, daar deze voor dit verslag niet reievant zijn. Voor deze stage wordt allee!? de module Finite Element Modelling (FEM) gebruikt.
3.2.werkwijze Het programma I-DEAS is opgebouwd uit verschillende modules met ieder zijn eigen funktie binnen de modelvorming. 1. geometry modeling
Met behulp van deze module vindt het definiëren van de geometrie plaats. Dit kan op een tweetal manieren. De eerste mogelijkheid is de opbouw van een geometrie met behulp van een aantai standaard vormen, bijvoorbeeld bollen, cilinders, kubussen en balken. Door kombinaties van deze lichamen, optellen en aftrekken, zijn de meeste werktuigbouwkundige geometrieën te definiëren. Een andere mogelijkheid is, als het objekt een ingewikkelde geometrie heeft, om met punten en lijnen te werken. Als eerste worden de punten geplaatst waarna deze verbonden worden door de diverse lijnen (cirkels, rechte lijnen etc.). Vervolgens worden er oppervlakten gedefinieerd, welke na koppeling drie-dimensionale lichamen vormen.
2. mesh creation
Als eerste worden de mesh-areas gedefinieerd en vervolgens worden er aan deze mesh-areas diverse eigenschappen verbonden zoals plaatdikte, materiaal-soort en materiaal-eigenschappen. Tweede stap: Voor de mesh-generatie kan er gebruik gemaakt worden van de free-meshing of de mapped-mesh funktie. Bij de mapped-mesh funktie worden op de twee tegenoverliggende lijnstukken of vlakken een gelijk aantal knooppunten gelegd. Vervolgens genereert de software de mesh. Deze funk7
I-DfAS
tie is dan ook alleen bruikbaar als de geometrie dit toelaat (dat wil zeggen bij niet al te grillig gevormde mesh-areas). Bij free-meshing is men ten aanzien van de keuze van het aantal knooppunten per lijnelement of vlak een stuk vrijer. Het aantal knooppunten op twee tegenover elkaar liggende lijnen of vlakken hoeft niet gelijk te zijn. De procedure freemeshing is dan toch in staat een mesh-verdeling te genereren, die het gehele oppervlak of lichaam dekt met elementen. De mesh-size, bepalend voor het aantal elementen en knooppunten, is naar eigen inzicht te variëren. Dit kan voor zowel de hele geometrie in zijn geheel als op lokaal niveau. De software berekent verder de meshverdeling en legt deze vast. 3. boundary conditions
I-DEAS biedt de mogelijkheid talloze soorten randvoorwaarden vast te leggen. In ieder geval zijn er twee soorten randvoorwaarden nodig, de kinematische en dynamische randvoorwaarden.
4. model solution
Het eigenlijke rekengedeelte van I-DEAS. Als eerste moet er een case-set aangemaakt worden. Hierin staat welke kinematische randvoorwaarden er gebruikt worden bij de berekening. Vervolgens moet er aangegeven worden wat er berekend wordt, bijvoorbeeld spanningen, rekken, verplaatsingen en reaktiekrachten. Als laatste moet er aangegeven worden wat voor soort berekening er uitgevoerd wordt, bijvoorbeeld statisch-lineair.
5. post processing
Dit laatste programmadeel stelt ons in staat de uitkomsten van de berekeningen te bekijken. Dit kan op diverse manieren in de meest uiteenlopende kombinaties. Aan de hand van figuren, tabellen en grafieken kunnen de resultaten aanschouwelijk gemaakt worden.
8
twee-dimensionaal model-
4. twee-dimensionaai model 4.1. inleiding
Zoals in het inleidende hoofdstuk reeds vermeld is, wordt als eerste het model zoals Patil dat heeft opgezet nog eens met behulp van I-DEAS doorgerekend. Dit om ten eerste wegwijs te raken binnen het software pakket I-DEAS en ten tweede om eventueíe verschilien tussen de modeiien in de verschillende programrnstuur ?e lokaliseren. Voor het vergelijkbaar houden van de onderlinge resultsten wordt het model van Patil [4] zo exakt mogelijk overgevoerd naar I-DEAS. 4.2. model 4.2.1. materiaalparameters en de belastingsituatie
Evenals de geometriegegevens worden de materiaalparameters voor bot overgenomen uit het verslag van Patil [4]. Patil heeft de volgende waarden overgenomen uit de literatuur [ 5 ] ; elasticiteitsmodulus (E) 7300 MPa en de dwarskontraktie coëfficiënt (p) 0,3. Verder vermeldt de literatuur dat het voetbot als homogeen, isotroop en lineair-elastisch beschouwd kan worden. Als belastingsituatie wordt alleen de "mid-stance phase" (zie figuur 6, blz. 10) beschouwd, dat wil zeggen de belasting van de voet plat op de grond belast door het lichaamsgewicht. De belasting op het enkelgewricht wordt voor deze belastingsituatie gesimuleerd als tweemaal het lichaamsgewicht [5], te weten 1200 N. Deze belasting grijpt aan in een punt en is vertikaal naar beneden gericht. Uit EMG opnamen is gebleken dat de tricep surae spier zorgt voor een quasi-statische evenwichtstoestand tussen zichzelf, de kracht op het enkelgewricht en de reaktiekrachten. Een evenwichtsbeschouwing toont aan dat deze spier dan een kracht moet leveren van 600 N vertikaal omhoog (zie figuur 6). 4.2.2. de elementen
Voor het kreëren van de mesh moet er een element gekozen worden. Er is uitgegaan van een vlakspanningstoestand, een twee-dimensionale plaat met overal gelijke dikte. Verder wordt verondersteld dat het materiaal homogeen, isotroop en lineair-elastisch is. Gekozen wordt voor het "thin shell linear quadrilateral" element. Thin shell staat voor plaat, linear voor de eerste orde polynoom van het element en quadrilateral voor de vier hoekpunten. 4.2.3. randvoorwaarden
Alleen de randvoorwaarden moeten nog vastgesteld worden. Als eerste kinematische randvoorwaarde wordt de calcaneus, het hielbeen, in de x-, y- en z-richting gefixeerd. Er is nog wel rotatie in alle richtingen mogelijk. Het ossa metatarsalia, middelvoetsbeentje, krijgt aan de caput, voorkant, een roloplegging. Dit resulteert in een bewegingsbelemmering in de y- en z-richting. (zie figuur 6). 9
twee-dimensionaalmodel-
1 figuur 6: voetmodel in "mid-stance phase" met grove elementen-mesh
Bij de opzet van dit model wordt uit gegaan van de meest simpele vorm, dat wil zeggen een doorlopende botstruktuur zonder ligamenten, kraakbeen of gewrichten. Dit is vooral gedaan om een goed inzicht in en begrip van de resultaten te krijgen. 4.3. meshverdeling
Het model is aan de hand van twee mesh-verdelingen doorgerekend. In eerste instantie met een (te) grove mesh, maar omdat dit te onduidelijke resultaten opleverde is er ook nog een tweede berekening uitgevoerd met een fijner verdeelde mesh. 4.3.1. grove mesh
In figuur 6 zijn de mesh-verdeling en de randvoorwaarden te zien zoals gebruikt bij de berekening. Het verloop van de Von Mises-spanningsverdeling (figuren 7 en 8) laat zien dat de gradiënt per element te groot is. Dit resulteert in het verschijnsel dat in een gebied met grote spanningsverschillen de spanningslijnen onvoldoende nauwkeurig het spanningsverloop weergeven. Dit geldt met name voor het gebied vanaf het sprongbeen tot aan de teen. Kijken we naar de mesh-verdeling in dat gedeelte van de voet dan zien we dat er daar maar vier rijen elementen liggen. Verder richting teen is er zelfs nog een overgang naar drie elementen. Juist bij deze overgang ontstaan er "samengeknepen" patronen in de spanningshoogtelij-
10
twee-dimensionaal modelnen. Verder is te zien dat de overgang van voetwortel naar middelvoet aan de onderkant vrij hoekig is en ook hier is de mesh-verdeling vrij grof. Het gevolg is dat ook hier een te grote spanningsgradiënt optreedt voor de gedefinieerde mesh. Op basis van boven geschetst beeld is besloten een fijnere mesh te genereren, welke een beter verloop van de spanningen te zien zal geven. 4.3.2. fijnere mesh
Om tot een fijnere ,mesh-verdeling te komen is het noodzakelijk gebleken OM naast het "quadrilateral" element een extra element te gebruiken, het "linear triangle" element. Dit element heeft dezelfde materiaaleigenschappen als het "quadrilateral" element, echter de spanning is een konstante. Dit in tegenstelling tot het "quadrilateral" element waar de spanning in zowel de x- als de y-richting een lineaire funktie van de plaats is. Verder heeft het element drie hoekpunten in plaats van vier wat de mogelijkheid biedt deze konfiguratie beter op te vullen. Het resultaat is te zien in figuur 9, samen met de randvoorwaarden. De meshverdeling in deze situatie komt in bijna alle gevallen tegemoet aan de bezwaren van de grove mesh-verdeling. De overgang van vier naar drie elementen in de voorvoet is verwijderd, de mesh-verdeling rond de overgang van de voetwortel naar de middelvoet is fijner en hierdoor is deze overgang minder hoekig geworden. De mesh-verdeling in de overige minder interessante delen, wat spanningen betreft, is gelijk gebleven. 4.4. resultaten
Als gevolg van wat hierboven besproken is, zullen in deze paragraaf alleen de resultaten van het model met de fijne mesh besproken worden. Figuur 10 laat zowel de gedeformeerde als de ongedeformeerde toestand zien met de reaktiekrachten. De reaktiekrachten bij de voorvoet en de hiel zijn respektievelijk 339 N en 261 N. De som van deze reaktiekrachten is gelijk aan de resultante van het lichaamsgewicht en de spierkracht. In figuur I 1 is het verloop van de Von Mises spanning te zien. De maximale Von Mises spanning bedraagt 257 N/mm2. Deze waarde korrespondeert in de figuur met het gebied omlijnd door lijn 12. De grootste spanningskoncentraties vinden we rond de overgang van de voetwortel en de middelvoet (zie figuur 12), wat begrijpelijk is gezien de kerfwerking van de inkeping. Verder vinden we nog hogere spanningen aan de boven- en onderkant van de middelvoet, welke het gevolg zijn van respektievelijk de druk- en trekbelasting als gevolg van het doorbuigen van de voetwelving.
li
twee-dimensionaal model4.5. dískussíe 4.5.1. inleiding
De direkte vergelijking met de resultaten van Patil is slechts gedeeltelijk mogelijk daar Patil al zijn resultaten weergeeft als procenten van de ’bone yield stress’ maar hierbij wel verzuimt deze ’bone yield stress’ te vermelden. Mijn vermoeden is dat hij deze op 1000 N/mmz heeft gesteld. Als deze waarue aan de resultaten van Patil gekoppeld wordt, komen deze redelijk overeen met de waarden welke mei behulp van I-DEAS gevonden zijn. Dit zal ik dan ook verder aannemen. Het is derhalve noodzakelijk het vergelijken van de resultaten voornamelijk te richten op het vergelijken van de spanningsverlopen, verplaatsingen en reaktiekrachten. Overigens geeft Patil ook geen waarde voor de verplaatsingen, de waarden die hierna gebruikt worden zijn dan ook opgemeten uit de figuren [4].
45.2.reaktiekrachten, Verplaatsingen en spanningen In onderstaande tabel worden de resultaten van Patil (Gifts) vergeleken met de resultaten van I-DEAS.
I
reaktiekrachten voorvoet hiel
Gifts I-DEAS
I 333 N
1 267 N
339 N
261 N
I
I
max. verplaatsingen x-richting y-richting
max. spanning Von Mises
1 1.50 mm 1 0.70 mm 1 325 N/mm’ I
I
I
I 0.95 mm I 0.52 mm 1 257 N/mm2 I
I
Zoals uit de tabel blijkt, zijn de met de verschillende software berekende reaktiekrachten vrijwel gelijk aan elkaar. Het verschil bedraagt nog geen vijf procent. De maximale verplaatsingen in zowel de x- als y-richting geven een ander beeld te zien. De verschillen tussen de beide maximale waarden zijn aanzienlijk. De verschillen tussen maximale spanningen volgens het Von Mises kriterium zijn eveneens aanzienlijk. De oorzaak van deze verschillen zal gezocht moeten worden in de subtiele fouten bij de overname van de geometrie en in verschillen tussen de elementen-verdeling van de beide modellen. Tevens zullen er bij het opmeten van gegevens uit de fig uren van PatiI hoogstwaarsc hijnIijk afw ij kingen g eÏnt roduceerd zijn.
12
twee-dimensionaal model4.5.3. spanningsverloop volgens het Von Mises kriterium
Voor het vergelijken van het spanningsverloop leggen we figuur 11 en 13 naast elkaar. Het eerste wat dan opvalt is dat het spanningsverloop in grote lijnen overeenkomt. Verder blijkt dat zowel bij Patil als bij het I-DEAS-model de maximale waarde optreedt aan de onderkant van de voetboog bij de overgang van de voetwortel naar de middelvoet. Kijkend naar de geometrie is dit ook te verwachten, daar er op deze lokatie in de geometrie een inkeping gedefinieerd is. Er is echter ook een verschil aan te wijzen; de maximale waarde aan de bovenkant van de voet ligt bij Patil meer in de richting van het sprongbeen terwijl in mijn model de ligging van de maximale waarde meer in de richting van de middelvoet gaat. De oorzaak voor dit verschil is waarschijnlijk gelegen in het feit dat, ondanks het overnemen van de geometriegegevens van Patil, er toch kleine afwijkingen zijn opgetreden. In het model van Patil zit op de plaats waar de maximale waarde van de Von Mises spanning optreedt, een sterkere knik dan op dezelfde plaats in mijn model.
drie-dimensionaal model
__
5. dr ie-di mensionaal model 5.1. inleiding
In dit hoofdstuk zal de eerste aanzet tot het opzetten van een drie-dimensionaal model van de voet beschreven worden. De voet is een zeer komplexe struktuur en d e düeisleiiirig van deze stage beoogt het opzetter! van een eenvoudig model ter oriëntatie. Dit impliceert dat er veel vereenvoudigingen gemaakt moeten worden om tot een hanteerbare geometrie van het model te komen. De randvoorwaarden zullen, evenals in het vorige model, beperkt worden tot puntbelastingen en opleggingen. 5.2. model
Zoals eerder beschreven is de voet opgebouwd uit diverse botstrukturen met vele ingewikkelde gewrichtsvlakken. Omdat het ondoenlijk is om in het tijdsbestek van een stage al voornoemde elementen te modelleren is besloten het voetskelet als een kontinuüm te beschouwen. Dit betekent dat er geen gewrichten en geen kraakbeen-elementen zullen voorkomen in het model. Als deze voorstudie aantoont dat het model in deze opzet kan funktioneren, kunnen eventueel in een later stadium de spieren, ligamenten en pezen worden toegevoegd. Uit paragraaf 2.3. is gebleken dat in het voetskelet twee bogen te onderscheiden zijn, welke zorgen voor het in stand houden van het voetgewelf (zie figuur 2). Deze twee bogen vormen een belangrijke schakel in het dragende deel van de voet, en er is dan ook voor gekozen deze twee strukturen te modelleren. De binnenste (mediale) voetboog rust met het sprongbeen op het hielbeen. Het hielbeen maakt deel uit van de buitenste (laterale) voetboog, welke naar achteren meer en naar voren minder uitsteekt dan de mediale voetboog. Bij de modelvorming worden beide voetbogen gemodelleerd als twee twee-dimensionale platen met een gelijke dikte. De geometrie van de platen is gelijk aan de overlangsdoorsnede in het midden van de mediale en laterale voetboog. De tenen worden in dit model nog buiten beschouwing gelaten. Deze voetbogen worden, onder een hoek van 15 graden ten opzichte van elkaar, met de achterzijde aan elkaar bevestigd (zie figuren 14 a en b). Hierbij rust de plaat die de mediale voetboog representeert met het deel dat het sprongbeen voorstelt op het hielbeen, dat deel uitmaakt van de plaat die de laterale voetboog modelleert. De koppeling tussen de beide platen wordt bereikt doordat een knooppunt deel uitmaakt van de elementen-mesh van zowel de laterale- als de mediale voetboog. 14
drie-dimensionaal model
~
Omdat de laterale voetboog 15 graden gedraaid is, in de z-richting, ten opzichte van het oorspronkelijke xy-vlak, is het noodzakelijk een lokaal koördinatenstelsel in te voeren (zie figuur 15). Het lokale koördinatenstelsel is derhalve 15 graden om de y-as geroteerd zodat de z-as weer loodrecht op het vlak van de laterale voetboog staat.
Y
figuur 15: De globale- en lokale koördinatenstelsels
5.2.2. dynamische randvoorwaarden
De dynamische randvoorwaarden zijn gelijk aan het model van Patil. De belasting blijft 1200 N op het sprongbeen, de spierkracht 600 N. Het aangrijpingspunt van belasting als gevolg van het lichaamsgewicht wordt in het model gevarieerd. Dit wordt gedaan om te kunnen nagaan wat de invloed is van de positie van het aangrijpingspunt van de lichaamsbelasting ten opzichte van het kontaktpunt tussen de mediale- en laterale voetboog. Omdat het in dit model eenvoudiger is de dynamische randvoorwaarden aan te passen in plaats van het verplaatsen van het kontaktpunt is er voor gekozen de belasting te variëren. Er worden twee variaties doorgerekend :
I) 2)
het lichaamsgewicht staat loodrecht boven het kontaktpunt tussen de mediale- en laterale voetboog. de belasting wordt naar voren richting middelvoet verplaatst.
Bij het aanbrengen van de belasting wordt er getracht een vlakspanningstoestand te kreëren in beide platen. Er zal dus geen belasting loodrecht op de vlakken van de platen opgelegd worden.
15
drie-dimensionaal model 5.2.3. kinematische randvoorwaarden
De kinematische randvoorwaarden bestaan uit een kogeloplegging van het hielbeen en een roloplegging aan de voorzijde van de laterale voetboog met een translatievrijheid in de x-richting. Verder wordt er een tweede roloplegging gedefinieerd bij de voorzijde van de mediale voetboog. De bewegingsvrijheid is gedefinieerd in de xrichting ?/Y!! het !okale koördinatenstelsel. De bewegingsvrijheid is dan evenwijdig aan het vlak en de bewegingsbeperking loodrecht op het vlak. Na het uitvoeren van de eerste berekeningen is uit de resultaten gebleken, zie paragraaf 5.3, dat het model met deze kinematische randvoorwaarden niet stabiel was. Er traden vervormingen buiten het vlak op, iets wat gezien de elementkeuze (zie paragraaf 5.2.4.) voorkomen dient te worden. Daarom is in tweede instantie een nieuwe set kinematische randvoorwaarden gedefinieerd. Deze set randvoorwaarden beoogt, door een aantal bewegingsbeperkingen loodrecht op de platen (de z-richting) op te leggen, de vervormingen in het vlak van de plaat te houden. Deze extra bewegingsbeperkingen zijn toegevoegd aan alle hiervoor reeds genoemde kinematische randvoorwaarden en aan het knooppunt waarop het lichaamsgewicht aangrijpt. Een andere aanpassing is dat de bewegingsbelemmering in de x-richting nu niet meer wordt opgelegd bij het hielbeen, maar bij het kontaktpunt tussen de medialeen laterale voetboog. Het voordeel ten opzichte van de oude situatie is dat de drukbelasting, als gevolg van het lichaamsgewicht, voor zowel de laterale- als de mediale voetboog op zijn plaats blijft en dus voor beide platen in het vlak werkt. Ook wordt op dit punt een bewegingsbelemmering in de z-richting ingevoerd. 5.2.4. elementen
De elementkeuze is dezelfde als in het voorafgaande model (zie paragraaf 4.2.2.), namelijk het "thin shell linear quadrilateral" element. Dit element is echter alleen geschikt voor belastingen en vervormingen in het vlak. Verder is de mesh-verdeling niet zo fijn als in het vorige model, omdat de numerieke resultaten van ondergeschikt belang zijn; het hoofddoel is het beantwoorden van de vraag of het in principe mogelijk is een dergelijk model te gebruiken. 5.3. resultaten met de eerste set kinematische randvoorwaarden
In de uitgangssituatie worden de dynamische randvoorwaarden als volgt gedefinieerd; de drukbelasting (1200 N) als gevolg van het lichaamsgewicht grijpt aan op een punt van het sprongbeen. De spierkracht (600 N) grijpt aan op de laterale voetboog. 16
drie-dimensionaal model
-
Een eenvoudige evenwichtsvergelijking van alleen de mediale voetboog (zie figuur 16) laat zien dat, als de reaktiekracht loodrecht boven het kontaktpunt met de laterale voetboog staat, de reaktie aan de voorkant van de mediale boog nul moet zijn.
figuur 16:Evenwichtsbeschouwing van de mediale voetboog
Uit de resultaten (zie figuur 17) blijkt dat dit niet het geval is. De reaktiekracht is namelijk 134 N. Deze 134 N bestaat uit een x- en een z-komponent. Als gevolg van de vervormingen buiten het vlak levert de bewegingsbeperking in de z-richting (loodrecht op het vlak) ook een reaktiekracht. De x-komponent van deze reaktiekracht is wel klein. Het optreden van een reaktiekracht in de x-richting is het gevolg van het niet precies in ben lijn staan van de Iichaamsbelasting en het kontaktpunt. In figuur 18 is te zien dat volgens het Von Mises spanningsverloop de belasting op het sprongbeen direkt via het kontaktpunt wordt doorgegeven aan de laterale voetboog. Met de vervormingen in de laterale voetboog is iets vreemds aan de hand. Ondanks dat de randvoorwaarden een beweging toestaan in de richting van de tenen, zien we dat er geen verplaatsing optreedt in deze richting. Dit terwijl er bij de mediale voetboog zich wel een verplaatsing in de teenrichting voordoet. Dit verschijnsel valt te verklaren met behulp van figuur 19, waarin we tegen de voorkant van de voet aan kijken. De drukkracht op het sprongbeen wordt voornamelijk gekompenseerd door een zijdelingse uitbuiging van de vlakke plaat. Dit effekt moest eigenlijk voorkomen worden. Uit de resultaten is af te leiden dat het model met deze kinematische randvoorwaarden niet kan funktioneren.
17
drie-dimensionaal model __ 5.4. resultaten met de tweede set kinematische randvoorwaarden 5.4.1. mediale voetboog
Om te kunnen kontroleren of het model voldoet aan het in de vorige paragraaf genoemde evenwichtssituatie, reaktiekracht aan de voorzijde van de mediale voetboog is nul, is eerst de mediale voetboog apart bekeken. De kinematische randvoorwaarden bestaan uit een kogeloplegging bij het losgemaakte kontaktpunt van de mediale- en de laterale voetboog, en een rolcplegging bij de voorzijde van de mediale voetboog (zie figuur 20 a en b). Verder wordt de belasting van 1200 N op het sprongbeen in het vlak gehouden met een bewegingsbeperking in de zrichting. Het overzicht van de reaktiekrachten (figuur 21) laat zien dat de reaktiekracht aan de voorzijde slechts 25 N bedraagt en bij het kontaktpunt 1175 N. De geringe reaktiekracht aan de voorzijde wordt veroorzaakt doordat de belasting niet precies in een lijn ligt met de kogeloplegging, maar iets meer naar voren. Er kan dus gesteld worden dat de reaktiekrachten overeenkomen met de verwachtingen. De Von Mises spanningsverdeling (figuur 22) laat zien dat de hoogste spanningskoncentratie inderdaad optreedt tussen de kogeloplegging bij het kontaktpunt en de belasting. De maximale Von Mises spanning bedraagt 162 N/mm2. Het voorste gedeelte van de voetboog is geheel spanningsloos. De verplaatsingen, vermeld in onderstaande tabel, laten zien dat er, ondanks de kinematische randvoorwaarden, nog steeds verplaatsingen in de z-richting optreden. Uit de tabel is ook af te lezen dat de grootste verplaatsingen in de z-richting een faktor 10 tot 14 kleiner is dan de grootste verplaatsingen in de x- en y-richting. Verder blijkt dat de verplaatsingen erg klein zijn vergeleken bij het twee-dimensionale model. De mediale voetboog vervormt weinig doordat de belasting recht boven de kogeloplegging staat, en de voetboog dus bijna niet kan vervormen.
MaximaI e ver plaatsing en ,
I
positieve richting
II
I1
negatieve richting
twee-dimensionaal model (hoofdstuk 4)
x-richting 0.036 mm 0.007 mm 0.95 mm y-richting 0.006 mm 0.055 mm 0.52 mm z-richting 0.004 mm 0.003 mm n.v.t.
18
drie-dimensionaal model
-
5.4.2. mediale en laterale voetboog; belasting op het sprongbeen
De reaktiekrachten in de y-richting als gevolg van de eerste set dynamische randvoorwaarden, zoals beschreven in paragraaf 5.2.2. (zie ook figuur 23 a en b), worden gepresenteerd in figuur 24. Uit deze figuur blijkt dat de voorzijde van de mediale voetboog een grotere reaktiekracht heeft dan in de vorige situatie, namelijk 63 N. Dit wordt veroorzaakt doordat het kontaktpunt tussen de mediale- en de laterale voetboog nu wei in vertikaie richting Kan bewegen, in tegenstelling iûi de situatie van alleen de mediale voetboog. De mediale voetboog zakt omlaag en hierdoor wordt de roloplegging aan de voorzijde iets meer belast. De reaktiekrachten aan de voor- en achterzijde van de laterale voetboog zijn van dezelfde orde grootte, respektievelijk 255 N en 282 N. De extra bewegingsbeperkingen in de z-richting veroorzaken ook reaktiekrachten. De maximale waarde die optreedt bedraagt 0.25 N. Er wordt voldaan aan de evenwichtsvoorwaarden. Het lijkt gerechtvaardigd deze geringe reaktiekrachten te verwaarlozen. De Von Mises spanningsverdeling (figuur 25) laat zien dat de voorzijde van de mediale voetboog vrijwel spanningsloos is. De laterale voetboog daarentegen niet. De hoogste spanningen treden op in de voorzijde van de laterale voetboog en bij de overgang van de voetwortel naar de middelvoet. De hoogste spanning die hier optreedt bedraagt ongeveer 117 N/mm’. De maximale Von Mises spanning van deze berekening is 177 N/mm’. Deze waarde komt alleen voor midden tussen het aangrijpingspunt van de belasting, als gevolg van het lichaamsgewicht, en het kontaktpunt. Bij de vergelijking van de resultaten zal 117 N/mm2 als de maximaal optredende Von Mises spanning beschouwd worden. De verplaatsingen die optreden zijn verzameld in onderstaande tabel. De verplaatsingen zijn gegeven ten opzichte van het koördinatenstelsel behorende bij de voetboog. De richtingen van de verplaatsingen zijn opgedeeld in positief en negatief. Positief wil zeggen in de positieve asrichting van het koördinatenstelsel.
Maximale verplaatsingen (in mm) laterale voetboog (t.o.v. de lokale koördinaten)
mediale voetboog twee-dimensionaal (t.o.v. de globale model (hoofdstuk 4) koördinaten)
negatief
positief negat ief
x-richting 0.042
0.32
0.19
0.00
0.95
V-richting 10.044
10.33
10.044
10.23
0.52
z-richting 0.0043
0.00
0.0066 0.00
n.v.t.
positief
19
drie-dimensionaal model __ De maximale verplaatsingen in de z-richting bedragen 1 a 2 procent van de maximale verplaatsingen in de x- en y-richting. Door een kleine verwaarlozing te doen kan er gesteld worden dat de verplaatsingen binnen de vlakken van de beide voetbogen blijven. In de laatste kolom staan de resultaten van het twee-dimensionale model. Vergelijking van de resultaten leert dat het twee-dimensionale model grotere verplaatsingen heeft dan het drie-dimensionale model. Dit valt mede te verklaren uit het feit dat het drie-dimensionale model uit meer materiaal is opgebouwd.
5.4.3.mediale en laterale voetboog; belasting meer op de voorvoet Bij de tweede set dynamische randvoorwaarden (zie figuur 26) ligt de belasting meer op de voorzijde van de mediale voetboog. De verdeling van de reaktiekrachten (figuur 27) laat zien dat de voorzijde van de mediale voetboog inderdaad zwaarder belast wordt. De reaktiekracht aan de voorzijde bedraagt nu 150 N. De reaktiekrachten aan de voor- en achterzijde van de laterale voetboog bedragen respektievelijk 237 N en 213 N. De voet wordt bij deze belastingsituatie meer gelijkmatig verdeeld belast dan bij de eerste set dynamische randvoorwaarden. Het meer gelijkmatig belasten van de beide voetbogen kunnen we ook terug vinden in de spanningsverdeling volgens het Von Mises kriterium (figuur 28). Als we de hoge spanningen rond het kontaktpunt buiten beschouwing laten, treedt er in de mediale boog, ter hoogte van de middelvoet, een maximale spanning op van 78 N/mm'. De hoogst optredende spanning in de laterale boog, ook ter hoogte van de middelvoet, ligt iets hoger, namelijk I 1 7 N/mm'. De verplaatsingen voor deze set dynamische randvoorwaarden staan in onderstaande tabel.
Maximale verplaatsingen (in mm) II
II
I
I
laterale voetboog (I okaIe koörd inaten)
mediale voetboog (gIobale koördinaten)
posit ief
positief
negatief
negatief
0.0049 Als de tabel uit de vorige paragraaf vergeleken wordt met bovenstaande tabel, dan kan er gekonkludeerd worden dat de maximale verplaatsingen in de y- en zrichtingen nauwelijks anders zijn. Wel valt op dat de verplaatsing in de y-richting
drie-dimensionaal model voor beide voetbogen gelijk is. De verplaatsing in de x-richting is bij de tweede set dynamische randvoorwaarden iets groter in de mediale voetboog en kleiner in de laterale voetboog. Dit is het logische gevolg van het naar voren verplaatsen van de kracht. Het blijkt dat de doorzakking in de beide voetbogen bij de mediale voetboog resulteert in een verplaatsing naar voren en bij de laterale voetboog naar achteren. De verplaatsing in de z-richting is een faktor 100 minder dan de overige verplaatsingen.
5.5.diskussie In het algemeen kunnen we voor het twee-voetbogen-model, zoals in dit hoofdstuk gepresenteerd is, stellen dat het mogelijk is om met dit model een voet te modelleren. Gebleken is dat de kinematische randvoorwaarden hierbij van doorslaggevende betekenis zijn. De eerste set kinematische randvoorwaarden levert, in tegenstelling tot de tweede set, geen bruikbare resultaten op. Verder blijkt dat de positie van het kontaktpunt in relatie tot de dynamische randvoorwaarden een zeer belangrijke invloed heeft op de verdeling van de belasting over beide voetbogen. De spanningen rond het kontaktpunt tussen de beide voetbogen lopen te hoog op. Dit kan alleen voorkomen worden door in plaats van het definiëren van een puntkontakt over te gaan op een lijn of zelfs een vlak als kontakt gebied. Dit betekent dat het model in de z-richting uitgebreid zal moeten worden. De platen, die de voetbogen modelleerden] worden dan drie-dimensionale lichamen.
21
konklusies
6. konklusies en aanbevelingen 6.1. konklusies
Het vergelijken van de resultaten van het model van Patil met de resultaten van het mijn twee-dimensionale model kon slechts gedeeltelijk uitgevoerd worden vanwege het ontbreken van volledig cijfermateriaal bij het model van Patil. Ondanks dit gemis levert de vergelijking van de resultaten de volgende konklusies op. -
In grote lijnen komen de resultaten van de beide modellen met elkaar overeen. De gekonstateerde verschillen worden veroorzaakt door verschillen in de geometrie en een andere verdeling van de mesh.
Als belangrijkste konklusie kan gesteld worden dat het drie-dimensionale model, zoals in hoofdstuk vijf gepresenteerd is, het gewenste resultaat kan opleveren, mits er de juiste kinematische randvoorwaarden gedefinieerd worden. Met het gewenste resultaat wordt bedoeld het modelleren van de voet met twee twee-dimensionale lichamen in een drie-dimensionale omgeving. 6.2. aanbevelingen
Bij verder onderzoek naar de modelvorming van de voet is het zeer zeker aan te bevelen verder te gaan met de modelvorming zoals in dit verslag gepresenteerd is. De eerstvolgende stap bij de verdere modelvorming is de uitbreiding van de beide voetbogen naar drie-dimensionale lichamen. In eerste instantie hoeft er nog geen rekening gehouden te worden met losse botonderdelen, spieren, ligamenten en pezen. Veel aandacht zal er besteed moeten worden aan de koppeling tussen de medialeen de laterale voetboog. Er zal gezocht moeten worden naar een geometrie van het kontaktpunt, dat de juiste beweeglijkheid oplevert en zorgt voor een goede krachtdoorleiding van de mediale voetboog op de laterale voetboog. Vervolgens kunnen er, als het model voldoet, stap voor stap meer elementen in het model ingepast worden. Er zullen dan weloverwogen afwegingen gemaakt moeten worden welke elementen wel en welke niet belangrijk zijn voor de mechanische omstandigheden van de voet. De keuzekriteria voor deze overwegingen kunnen gevonden worden aan de hand van het door de ziekte lepra veroorzaakte kritieke gebieden.
22
literatuurlijst
7 . I iteratuurl ijst I . Coëlho M. B. (1953)
Het verklarend woordenboek der geneeskunde. uitgever: van Goor en zonen
2. Sobotta J. (1988)
Atlas of human anatomy. Volume 2 pag 270 t/m 279. Uitgever: Urban & Schwarzenberg ISBN 3 541 72721 7
3. Platzer W. (1989)
Atlas van de anatomie. Deel I : bewegingsapparaat. pag. 212 t/m 227 en pag 252 t/m 275. Uitgever: Bosch 8. Keuning NV, Baarn. ISBN 90 246 6916 2
4. Patil K. M. (1991)
Analysis of stresses in two dimensional models of normal and neuropathic (leprosy) feet.
bijlage
8. bijlagen
24
P
O c
I
I I I \ l \ Y)
o
Y
m
" x
z Y)
e
SDRC
I-DEAS
VIZ
PE-Modaling-A-Analysis
24-RPR-92
Databasei verifikatie Patil View
I NO stored View Task8 Post Processing
Model3 1-FE MODELI
Display
i
Unit. No stored Option
node1 Bint I-WLIN
14849820 I
M
-!-
figuur 9:Fynere meahverdeling me%kinematiache- en dynamische ~ a n d v ~ ~ r ~
“7
o
w
W
m
3
rn
N
”
10
i
3 x
3, d
i
a
P WI
figuur IQ: Overzicht van de reaktiekrachten
P
O
W 3 UI
figuur
12:Yon .Mises spanningwerdding bij een fijne meahverdeling rond de overgang van de v ~ e t ~ r tnaar e l de middelvoet
figuur 13: Von Mises spanningsverloop tiidens "mid-stance phase" (Patil [4])
rl
m
a-1 4
a
E
z a a
(\I P
E'
figuur 14a: ~ r i e - d i m ~ n ~ ~model o n a avan / de voet met de kinematischeen dynamische randvoorwaarden (z&xmzichf van mediaal)
j_
i
laterale
figuur 17: Overzicht reaktiekrachten drie-dimençionaaI model met de eerste set kinematiache randvoorwaarden
X
a:
P ID
P
figuur 19: Vo~rsaanzichtvan het gedeformeerde mode!, waarbij ~ vervormingen buiten de vlakken van de platen te zien zijn
~ de
~
X
I
I
X
figuur 208: ~
e
d voetboog ~ ~ l met ~ de kinematische- en dynamische randvoorwaarden
X
ffi U
v:
I
X
/
/ /
X
N m
3
P y>
m m
N
rl
O
8 Q Cu
P
6
I I
I I
I
N I
io
io
ro
y1
io
P
m
rn
O
O
O
o
O
N
4
o
O O
w
W o
q
io
10
P
m
o>
O
T
10
io
w o m
m
4
ro
i
4
ID
m
\L>
m
io
N
.-I
+
W ? .
ID
+
+
W
w
o
P
ro
m
+
N
+
q ID
.+
yi
O
+
W P
P 4
X
4
B N .Q
rl
rl
ri
.+
. H
0
y1
y1
rn
y1
4
o
O
O
o
O
+
m
+
P
+
W
+
+
u 4
W
W
W
W
W
v
3
P
v
3
4
&
'o
y>
m
N
3
a
El ro
-i
rl
rl
3
3
a
P
Gl Gl
w X v1
'o
D (u
U
W P P ri
H
w H
o > a O
0
>
"
x 4 x
-
-
m
