Spojité a nespojité funkce a jejich užití v ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta

Spojité a nespojité funkce a jejich užití v ekonomii Bakalářská práce

Brno, 2007

Svatava Novotná

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně pod vedením RNDr. Martina Tajovského a uvedla v seznamu literatury všechny použité zdroje.

PODĚKOVÁNÍ Děkuji vedoucímu bakalářské práce RNDr. Martinu Tajovskému a doc. RNDr. Bedřichu Půžovi, CSc. za cenné rady a připomínky při vedení mé bakalářské práce. ....................

Obsah Úvod

5

1 Spojitost 1.1 Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Limita v bodě . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Vlastnosti limity v bodě . . . . . . . . 1.2.3 Jednostranné limity . . . . . . . . . . . 1.2.4 Limita složené funkce . . . . . . . . . . 1.3 Spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Spojitost funkce v bodě . . . . . . . . 1.3.2 Spojitost funkce v uzavřeném intervalu 1.3.3 Stejnoměrná spojitost . . . . . . . . . 1.3.4 Body nespojitosti . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

6 6 8 8 10 11 12 12 12 13 15 15

2 Modely znázorněné spojitou funkcí 17 2.1 Baumolův model firmy maximalizující obrat . . . . . . . . . . 17 2.2 Morální hazard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Modely znázorněné nespojitou funkcí 24 3.1 Bertrandův model konkurenční ceny . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Model se zalomenou poptávkovou křivkou . . . . . . . . . . . 29 Literatura

31

4

Úvod Pojem spojitost je v matematice nesmírně důležitý. Mnohé analýzy lze využít pouze tehdy, je-li funkce spojitá. Z ekonomie známe mnoho případů nespojitosti, ovšem ve skutečnosti jsou ekonomické modely častěji zjednodušovány a reprezentovány spojitou funkcí. První kapitolu se snažím pojmout jako ucelený výklad definic a základních vět ohledně funkce, limity funkce a samozřejmě samotné spojitosti, či nespojitosti funkce. Druhou kapitolu věnuji ekonomickým modelům, které můžeme znázornit spojitou funkcí. V Baumolově modelu firmy maximalizující obrat se budu zajímat o manažerskou teorii firmy, zdůrazňující oddělení řízení a vlastnictví firmy. Tento ekonomický model vychází z předpokladu, že cílem manažerů je maximalizace obratu firmy, nikoliv přímo maximalizace zisku. Podle tohoto modelu firmy obvykle vyrábí větší objem produkce za cenu nižší než firma, která se snaží maximalizovat svůj zisk. A zmíním zde také činnost v situaci nedokonalých informací (jedna strana trhu je více informovaná než ta druhá) jednoho ekonomického subjektu, zpravidla informovaného, který při maximalizaci svého užitku snižuje užitek ostatních, neinformovaných, účastníků tržní transakce, tedy tzv.morální hazard. Ve třetí kapitole se budu zabývat ekonomickými problémy, které jsou reprezentovány nespojitou funkcí, zaměřím se především na tvorbu cen na oligopolních trzích. Prostřednictvím Betrandova modelu se pokusím přiblížit konkurování firem pomocí ceny a modelem se zalomenou poptávkovou křivkou vysvětlím rigiditu ceny (ne však její formování).

5

Kapitola 1 Spojitost 1.1

Funkce

Definice 1. Funkce f je množina uspořádaných dvojic reálných čísel [x, y], jež má tuto vlastnost: Ke každému číslu x0 existuje nejvýše jedno číslo y takové, že dvojice [x0 , y] patří množině f . Toto číslo y nazýváme pak hodnotou funkce f v bodě x0 a značíme jej znakem f (x0 ). Ona čísla x, k nimž existuje číslo y tak, že dvojice [x, y] patří k množině f , tvoří jistou množinu M reálných čísel, kterou nazýváme oborem funkce f . Definice 2. Zobrazení f z množiny R do množiny R se nazývá reálná funkce reálné proměnné. Definice 3. Jestliže k zobrazení f : R → R existuje inverzní zobrazení f −1 , pak se nazývá inverzní funkce k funkci f . Definice 4. Množina všech bodů [x, f (x)] v kartézském souřadném systému se nazývá graf funkce f . Definice 5. Nechť je funkce f (x) definována v intervalu J. Jestliže pro každá dvě čísla x1 , x2 z intervalu J, splňující nerovnost x1 < x2 , platí nerovnost f (x1 ) < f (x2 ), říkáme, že funkce f (x) je rostoucí v intervalu J. Jestliže však pro každá dvě čísla x1 a x2 z intervalu J, splňující nerovnost x1 < x2 , platí nerovnost f (x1 ) > f (x2 ), říkáme, že funkce f (x) je klesající v intervalu J.

6

Definice 6. Funkci f (x) nazýváme omezenou na otevřeném intervalu (a, b), pokud existují taková čísla m a M, že platí m ≤ f (x) ≤ M pro každé x ∈ (a, b). Číslo

m0 = infx∈(a,b) {f (x)} = max m

nazýváme infimem funkce f (x)

číslo

M0 = supx∈(a,b) {f (x)} = min M

nazýváme supremem funkce f (x)

na intervalu (a, b). Rozdíl M0 –m0 pak nazýváme oscilací funkce na intervalu (a, b). Definice 7. Řekneme, že funkce f (x) je lichá, jestliže ∀x ∈ D(f ) : f (−x) = −f (x), sudá, jestliže ∀x ∈ D(f ) : f (−x) = f (x), periodická, jestliže ∃ T > 0 ∀x ∈ D(f ) : f (x + T ) = f (x), nejmenší takové číslo se nazývá perioda, shora omezená na množině I, jestliže ∃ K ∈ R ∀x ∈ I : f (x) ≤ K, zdola omezená na množině I, jestliže ∃ K ∈ R ∀x ∈ I : f (x) ≥ K, omezená na množině I, jestliže je shora i zdola omezená, neklesající na množině I, jestliže ∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ), nerostoucí na množině I, jestliže ∀x1 , x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ), monotónní na množině I, jestliže je neklesající nebo nerostoucí na množině I, konvexní na množině I, jestliže ∀t ∈ (0, 1) ∀x1 , x2 ∈ I : f (tx1 + (1–t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1–t)f (x2 ), ostře konvexní na množině I, jestliže ∀t ∈ (0, 1) ∀x1 6= x2 ∈ I : f (tx1 + (1–t)x2 ) < tf (x1 ) + (1–t)f (x2 ), konkávní na množině I, jestliže ∀t ∈ (0, 1) ∀x1 , x2 ∈ I : f (tx1 + (1–t)x2 ) ≥ tf (x1 ) + (1–t)f (x2 ), ostře konkávní na množině I, jestliže ∀t ∈ (0, 1) ∀x1 6= x2 ∈ I : f (tx1 + (1–t)x2 ) > tf (x1 ) + (1–t)f (x2 ).

7

a

1.2 1.2.1

Limita Limita v bodě

Při vyšetřování průběhu funkce potřebujeme určit její vlastnosti v bodě, případně v jeho okolí. K tomu nám slouží limita funkce. Definice 8. Nechť M ⊂ R. Můžeme říct, že bod x0 je hromadný bod množiny M, jestliže v okolí bodu x0 existuje bod c tak, že c ∈ M, ale c 6= x0 . Definice 9. Okolím bodu x0 nazýváme množinu o (x0 , ε) = {x ∈ R, |x − x0 | < ε} = (x0 − ε, x0 + ε) Definice 10. Řekněme, že funkce f (x) má v bodě x0 ∈ R∗ limitu L, jestliže ke každému okolí bodu L existuje okolí bodu x0 tak, že platí pro všechna x ∈ o∗ (x0 ) je f (x) ∈ o(L). Potom píšeme lim f (x) = L.

x→x0

Definice 11. Říkáme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu L, jestliže ke každému kladnému číslu ε existuje kladné číslo δ tak, že nerovnost |f (x)–L| < ε je splněna pro všechna x, pro něž je 0 < |x–x0 | < δ. Bolzanovo-Cauchyovo kritérium existence limity. Funkce f (x) má v bodě a konečnou limitu právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje takové číslo δ = δ(ε) > 0, že |f (x′ )–f (x′′ )| < ε pro každé dva body x′ , x′′ z definičního oboru funkce f (x), pro které 0 < |x′ − a| < δ a 0 < |x′′ − a| < δ. Definice 12. Nechť x0 ∈ R je hromadný bod definičního oboru funkce f . Číslo L ∈ R nazýváme vlastní limitou funkce f (x) ve vlastním bodě c, jestliže ke každému ε ∈ R+ existuje δ ∈ R+ tak, že pro všechna x ∈ D(f ), pro která je 0 < |x − c| < δ, platí |f (x) − L| < ε. Zapisujeme lim f (x) = L.

x→c

8

Obrázek 1.1: Vlastní limita ve vlastním bodě

Definice 13. Nechť c ∈ R je hromadný bod definičního oboru funkce f . Nevlastní číslo ±∞ nazýváme nevlastní limitou funkce f (x) ve vlastním bodě c, jestliže ke každému K ∈ R existuje δ ∈ R+ takové, že pro všechna x ∈ D(f ), pro která je 0 < |x − c| < δ, platí f (x) > K, resp. f (x) < K. Zapisujeme lim f (x) = +∞, resp. lim f (x) = −∞. x→c

x→c

Obrázek 1.2: Grafické znázornění nevlastních limit funkce ve vlastním bodě

Definice 14. Nechť je nevlastní číslo +∞ hromadný bod definičního oboru funkce f (x). Nevlastní číslo +∞, resp. −∞, nazýváme nevlastní limitou funkce f v nevlastním bodě +∞, jestliže ke každému K ∈ R existuje M ∈ R tak, že pro všechna x ∈ D(f ), pro která je x > M, platí f (x) > K, resp. f (x) < K. Zapisujeme lim f (x) = +∞,

x→+∞

resp.

9

lim f (x) = −∞.

x→+∞

Obrázek 1.3: Grafické znázornění nevlastní limity v nevlastním bodě +∞

Definice 15. Nechť +∞, resp. −∞, je hromadný bod definičního oboru funkce f (x). Číslo L ∈ R je vlastní limita funkce f (x) v nevlastním bodě +∞, resp. −∞, jestliže ke každému ε ∈ R+ existuje M ∈ R tak, že pro všechna x ∈ D(f ), pro která je x > M, resp. x < M, platí |f (x) − L| < ε. Zapisujeme lim f (x) = L, resp. lim f (x) = L. x→+∞

x→−∞

Obrázek 1.4: Grafické znázornění vlastní limity v nevlastních bodech

1.2.2

Vlastnosti limity v bodě

Věta 1.1. Funkce má v hromadném bodě svého definičního oboru nejvýše jednu limitu. Věta 1.2. Má-li funkce f v bodě x0 vlastní limitu, pak existuje takové okolí bodu x0 , na kterém je funkce ohraničená.

10

Věta 1.3. lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0.

x→x0

x→x0

Věta 1.4.

1 = 0. x→x0 f (x)

lim f (x) = +∞ ⇔ lim

x→x0

Věta 1.5 (o třech limitách). Nechť existuje ryzí okolí bodu x0 , v němž platí f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Jestliže limx→x0 f (x) = L = limx→x0 h(x), pak limx→x0 g(x) = L.

Obrázek 1.5: Grafické znázornění věty o limitě sevřené funkce

1.2.3

Jednostranné limity

Definice 16. Říkáme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu zprava (resp.zleva) L, jestliže ke každému kladnému číslu ε existuje kladné číslo δ tak, že nerovnost |f (x) − L| < ε platí pro všechna x intervalu (x0 , x0 + δ) (resp. pro všechna x intervalu (x0 , x0 − δ)). Výpočet jednostranných limit je výhodný především při hledání a určování vertikálních asymptot funkce. Věta 1.6. Nechť x0 je hromadný bod definičního oboru funkce f . Funkce f má v bodě x0 limitu L, právě když má v bodě x0 limitu zprava i limitu zleva a platí lim− f (x) = lim+ f (x) = L. x→x0

x→x0

11

Obrázek 1.6: Grafické znázornění jednostranných limit

1.2.4

Limita složené funkce

Věta 1.7. Předpokládejme, že funkce y = f (u), u = ϕ(x) mají tyto vlastnosti: lim ϕ(x) = c, lim f (x) = L x→x0

x→c

a v jistém okolí bodu a platí pro x 6= x0 vztah ϕ(x) 6= c. Potom platí lim f (ϕ(x)) = L. x→x0

Poznámka. Tuto větu nelze rozšířit na jednostranné limity.

1.3 1.3.1

Spojitost Spojitost funkce v bodě

Definice 17. Říkáme, že funkce f (x) je spojitá v bodě x0 , jestliže lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Jestliže lim f (x) = f (x0 ),

x→x+ 0

pak říkáme, že funkce f je spojitá zprava v bodě x0 . Jestliže lim− f (x) = f (x0 ), x→x0

pak říkáme, že funkce f je spojitá zleva v bodě x0 . 12

Věta 1.8. Říkáme, že funkce je spojitá v bodě x0 , jestliže ke každému kladnému číslu ε existuje kladné číslo δ tak, že nerovnost |f (x)–f (x0 )| < ε je splněna pro všechny hodnoty x, pro něž je |x–x0 | < δ. Věta 1.9. Funkce f (x) je spojitá v otevřeném intervalu (a, b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Věta 1.10. Nechť funkce f (x) a g(x) jsou spojité v bodě x = x0 . Potom v tomto bodě jsou spojité také tyto funkce: f (x) + g(x),

f (x) · g(x)

a

f (x) , g(x)

pokud g(x0 ) 6= 0.

Důsledek. Budiž dán konečný počet funkcí f1 (x), . . . , fn (x) spojitých v bodě x0 . Potom také funkce f1 (x) + · · · + fn (x) je spojitá v bodě x0 . Potom také funkce f1 (x) · . . . · fn (x) je spojitá v bodě x0 . Je-li funkce f (x) spojitá v bodě x0 a je-li m přirozené číslo, pak také funkce [f (x)]m je spojitá v bodě x0 . Je-li funkce f (x) spojitá v bodě x0 a je-li k libovolná konstanta, pak také funkce k · f (x) je spojitá v bodě x0 .

1.3.2

Spojitost funkce v uzavřeném intervalu

Definice 18. Funkce f je spojitá v uzavřeném intervalu ha, bi, je-li spojitá v každém vnitřním bodě, přičemž v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Věta 1.11 (Cauchy-Bolzanova o nulové hodnotě). Nechť je funkce f spojitá v uzavřeném intervalu ha, bi a platí f (a)f (b) < 0. Potom existuje takové ξ ∈ (a, b), že f (ξ) = 0. Důsledek.(existence kořene rovnice) Je-li f spojitá v uzavřeném intervalu ha, bi a f(a) 6= f (b), potom pro každé číslo y0 mezi f (a) a f (b) existuje x0 ∈ (a, b) takové, že platí f (x0 ) = y0 . 13

Věta 1.12 (Weierstrassova). Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu ha, bi. Potom 1. funkce f je v ha, bi omezená, 2. existují takové body xm , xM ∈ ha, bi, že f (xm ) = infx∈ha,bi f (x)

;

f (xM ) = supx∈ha,bi f (x).

Obrázek 1.7: Weierstrassova věta

Věta 1.13 (Bolzanova). Nechť funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu ha, bi. Potom funkce f nabývá všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou. Obrázek 1.8: Věta o mezihodnotě

14

1.3.3

Stejnoměrná spojitost

Definice 19. Funkce f je spojitá na podmnožině I ⊂ Df , pokud ∀x′ ∈ I ∀ε > 0 ∃δ(x′ , ε) > 0 ∀x ∈ I : |x − x′ | < δ ⇒ |f (x) − f (x′ )| < ε. Funkce f je stejnoměrně spojitá na podmnožině I ⊂ Df , pokud ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x, x′ ∈ I : |x − x′ | < δ ⇒ |f (x) − f (x′ )| < ε. Funkce f je lipschitzovsky spojitá na podmnožině I ⊂ Df , pokud ∃L > 0 ∀x, x′ ∈ I : |f (x) − f (x′ )| ≤ L|x − x′ |. Věta 1.14 (Cantorova). Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu I ⊂ Df , potom je na tomto intervalu také stejnoměrně spojitá.

1.3.4

Body nespojitosti

Definice 20. Nechť funkce f je definována v prstencovém okolí δ(x0 ) hromadného bodu x0 definičního oboru. Jestliže funkce f není definována v bodě x0 , nebo je v něm definována, ale není v něm spojitá, nazýváme bod x0 bodem nespojitosti funkce f . Rozlišujeme: 1. bod odstranitelné nespojitosti : existuje lim f (x) = a, ale a 6= f (x0 )

x→x0

2. bod nespojitosti 1.druhu: existují obě vlastní jednostranné limity funkce f v bodě x0 lim f (x) = a1 a lim− f (x) = a2 , ale a1 6= a2

x→x+ 0

x→x0

3. bod nespojitosti 2.druhu: Alespoň jedna z jednostranných limit funkce f v bodě x0 neexistuje, nebo je nevlastní.

− se nazývá skok funkce f . Číslo f x+ 0 − f x0 15

Věta 1.15. Nechť má funkce f v bodě x0 odstranitelnou nespojitost a lim f (x) = a.

x→x0

Potom můžeme definovat spojitou funkce takto: ( a pro x = x0 g(x) = f (x) pro x ∈ D(f ) \ {x0 } . Říkáme, že jsme funkci f spojitě dodefinovali v bodě x0 .

Obrázek 1.9: Grafické znázornění jednotlivých typů limit funkce

16

Kapitola 2 Modely znázorněné spojitou funkcí 2.1

Baumolův model firmy maximalizující obrat

Autorem tohoto nejstaršího manažerského modelu je Wiliam Baumol. Přichází s názorem, že manažeři maximalizují tržby, místo toho, aby maximalizovali zisk. Maximalizace tržeb je ale omezena minimální hranicí zisku. Podnik musí mít minimální ziskovost, aby manažer nebyl vyhozen. Hodně manažerů je finančně zainteresováno na prodejích firmy (ne na zisku), mají provizi z prodaných kusů. Proto se snaží prodávat za každou cenu i když efektivita je nižší. I za cenu vyšších nákladů se snaží prodat maximum. Firma, která maximalizuje tržby místo zisku nereaguje na chování konkurentů, ale pouze na velikost trhu. Vezmeme-li v úvahu nedokonalou konkurenci, kdy existují bariéry vstupu do odvětví, poptávka není dokonale elastická a tedy i cena není závislým parametrem, musíme si uvědomit, že obrat firmy nemusí vždy růst s objemem produkce firmy. V případě jednoduché lineární poptávkové funkce celkový příjem sice s objemem produkce roste, ovšem pouze do doby, kdy se mezní příjem vyrovná nule, a poté začne klesat. Z toho můžeme vyvodit závěr, že firma dosáhne maximálního zisku v okamžiku, kdy se mezní příjmy rovnají nule a cenová elasticita je rovna −1.

17

Při rozhodování managementu firmy je také důležitý požadavek minimálního zisku. Manažeři usilují o maximalizaci obratu, ale přitom nesmí zisk klesnout pod úroveň tzv.minimálního požadovaného zisku. Existenci této limity můžeme vysvětlit požadavkem vlastníků firmy na určitý výnos. Klesne-li výnos dlouhodobě pod určitou hranici, může se stát, že firma ukončí svou činnost.

Obrázek 2.1: Baumolův model (celkové veličiny)

E . . . optimum firmy maximalizující zisk F . . . optimum firmy maximalizující obrat QF . . . optim.výstup firmy maximalizující obrat QE . . . optim.výstup firmy maximalizující zisk T R . . . celkový příjem T C . . . celkové náklady π0 . . . minimální požadovaný zisk Rozdíl mezi celkovým příjmem a celkovými náklady tvoří zisk. Firma produkuje optimální výstup v situaci, kdy je maximální její celkový příjem. Uvážíme-li požadavek minimálního zisku, potom dosahuje-li firma většího zisku, než je minimální požadovaný, nemění rozsah produkce ani cenu výstupu. V opačném případě musí snížit výstup a zvýšit cenu a tím vzroste její zisk, alespoň na požadované minimum. Výše uvedená fakta můžeme shrnout: pokud je požadovaný zisk menší než maximální, firma maximalizující celkový příjem produkuje větší výstup za nižší cenu, než firma maximalizující zisk. Nedosahuje-li firma minimálního požadavku na zisk, její výstup je nižší a 18

cena vyšší než by tomu bylo při maximalizaci obratu. Budeme-li srovnávat firmu maximalizující obrat s firmou maximalizující zisk pomocí jednotkových veličin:

Obrázek 2.2: Baumolův model (jednotkové veličiny)

AC . . . průměrné náklady MC . . . mezní náklady AR . . . průmerný příjem MR . . . mezní příjem G . . . optimum firmy max. obrat za požadavku min.zisku Při minimálním požadovaném zisku, který je menší než zisk maximální, pro firmu maximalizující celkové příjmy v bodě optima, vždy platí MR < MC. Tedy objem produkce je větší, než který by odpovídal objemu produkce v bodě optima firmy maximalizující zisk. Matematický dodatek (převzáno z Mikroekonomie Jany Soukupové a kol.) Již víme, že maxima funkce celkových příjmů (T R) je dosaženo, pokud jsou mezní příjmy nulové, neboli dT R/dQ = 0. Pokud zavedeme minimální požadovaný zisk, je situace komplikovanější. Potom hledáme maximum funkce T R = P · Q, aby π ≥ (T R − T C) − π0

19

Omezující podmínka potom bude mít následující tvar: π = (T R − T C) − π0 Řešit budeme maximalizaci Lagrangeovy funkce pro proměnné Q a λ: L = T R − λ · [(T R − T C) − π0 ] Podmínky pro maximum jsou tyto: 1.

∂T R ∂L = −λ· ∂Q ∂Q a odtud

2.



∂T R ∂T C − ∂Q ∂Q



=0

∂T R λ ∂T C = · ∂Q 1 − λ ∂Q ∂L = (T R − T C) − π0 = 0 ∂λ

Jak víme, Lagrangeův multiplikátor je vlastně stínová cena. Pokud je λ = 0, změna minimálního požadovaného zisku neovlivní celkové příjmy, omezení nemá pro rozhodování firmy význam. V případě, že λ > 0, omezení se v rozhodnutí firmy projeví. λ C R = 1−λ · ∂T dostaJestliže je tedy π > π0 , potom λ = 0, z rovnice ∂T ∂Q ∂Q neme ∂T R/∂Q = 0. V tomto případě jsou platné analogické závěry jako pro maximalizaci funkce (T R = P · Q). Pokud však je π < π0 , potom λ > 0 a situace je složitější. Dostaneme z této rovnice ∂T R/∂Q < ∂T C/∂Q.

20

2.2

Morální hazard

Morální hazard můžeme definovat jako působení ekonomického subjektu, který snižuje užitek ostatních účastníků transakce při maximalizace svého vlastního užitku. Díky neprůhlednosti jeho jednání potom nenese následky v plném rozsahu. Můžeme si uvést příklad z reality, kdy vzniká vztah Principal – Agent, neboli nájemce – zmocněnec, tedy když si jistá osoba najme někoho jiného, aby za ni splnil úkol, tedy, že zmocněnec vykonává práci za nájemce. Jako příklad můžeme uvést třeba pacienta jako nájemce a lékaře jako zmocněnce, který poskytuje léčbu. Tento vztah má své vlastní charakteristiky: Nájemce přenáší na svého zmocněnce pravomoc rozhodovat se sám. Zmocněnec nese následky svého jednání společně s nájemcem, proto existuje propojenost mezi užitkem nájemce a zmocněnce. S rozhodováním souvisí určitá míra nejistoty. Výsledek závisí z části na činnosti zmocněnce a z části na náhodných faktorech (celkový zdravotní stav pacienta ovlivní jeho uzdravení, chování konkurentů a stav ekonomiky ovlivní zisk firmy. .), proto ho nemůžeme určit předem. Utajování informací či jednání zmocněnce mu umožňuje jednat především ve vlastním zájmu. Zmocněnce i nájemce motivuje maximalizace užitku, tedy zmocněnec má zájem maximalizovat svůj a nájemce také svůj, ne vždy jsou tyto dva zájmy v souladu. Můžeme zmínit dvě metody které vedou zmocněnce k tomu, aby působil i v zájmu nájemce: Jako první uvedeme podíl na zisku. Nájemce se podělí o svůj zisk i se zmocněncem a ten má tedy důvod maximalizovat užitek nájemce a tím i svůj. Nájemce také může kontrolovat práci svého zmocněnce, ale tato metoda není tak efektivní, navíc s sebou nese dodatečné náklady. Jednoduchý model nájemce – zmocněnec Uvažujme pouze jednoduchý případ, kdy na jedné straně je zmocněnec (A), manažer firmy, a na druhé straně nájemce (P), majitel firmy. Funkci výnosů vyjádříme jako X = x(α, φ) X . . . výnos nebo výsledek z vynaloženého úsilí zmocněnce α . . . úroveň úsilí zmocněnce φ . . . exogenní náhodné faktory 21

Výnos podělíme mezi zmocněnce a nájemce. Podíl zmocněnce je udán vždy ve smlouvě mezi ním a nájemcem. Odměna zmocněnce Funkci odměny nájemce musíme rozdělit na dva případy: Situace, kdy nájemce nechá zmocněnce aby pracoval: Yp = X − YA = x(α, φ) − y[x(α, φ)] Situace, kdy nájemce musí vynaložit dodatečné náklady na dohlížení nad zmocněncem: Funkce užitku zmocněnce: UA = f (YA ) − v(α) = f {y [x(α, φ)]} − v(α) Jelikož se zmocněnec snaží maximalizovat svůj vlastní užitek, můžeme říct, že UA je rostoucí funkcí YA a klesající funkcí α. Na zmocněnci potom závisí jak velké úsilí vynaloží, protože zvyšování vynaloženého úsilí má u něj protichůdné výsledky. Jednak snižuje svůj vlastní užitek, protože vynaloží mnohem víc námahy, ale také zvyšuje výnos a také svůj podíl na něm a tím pádem zvyšuje svůj vlastní užitek. V reálné situaci je výsledek a tedy i užitek zmocněnce nejistý, protože čím vyšší je odměna, tím větší z toho má zmocněnec užitek, ale výše odměny se odvíjí od výnosu (X) a ten závisí mimo jiné na spoustě náhodných faktorů. V tomto vztahu se objevuje ještě i konflikt zájmu. Nájemce požaduje po zmocněnci vynaložení maximálního úsilí k dosažení maximálního výnosu, ale vynaložené úsilí snižuje užitek zmocněnce. Funkci užitku nájemce můžeme zapsat následovně: UP = g(YP ) = g(X − YA ) = g {x(α, φ) − y [x(α, φ)]} , pokud nekontroluje zmocněnce. Jestliže však nájemce musí vynaložit dodatečné náklady k pozorování zmocněnce, pozměníme funkci užitku nájemce: UP = g(X − YA − M). 22

Užitek nájemce je rostoucí funkcí výnosu (X) a klesající funkcí odměny zmocněnce (YA ). Maximalizovat užitek nájemce je mnohem složitější než u zmocněnce, je to tím, že užitek nájemce závisí na výnosu, ale ten je ovlivněn úsilím zmocněnce. Úsilí zmocněnce můžeme motivovat větší odměnou, ovšem zvýšení odměny pro nás znamená snížení části výnosu pro nájemce. Je tedy nutné, aby nájemce použil takový systém odměňování, který zajistí, že zmocněnec maximalizací svého užitku bude maximalizovat také užitek nájemce. Ovšem do tohoto systému odměňování je ovšem také důležité zakomponovat minimální úroveň užitku, která je shodná s úrovní užitku, kterou by zmocněnec získal v nějakém alternativním zaměstnání. Tedy, že nájemce se musí zúčastnit soutěže na trhu práce o služby zmocněnce. Tento model má ovšem také své předpoklady. Jako první musíme zmínit, že zmocněnec volí úroveň úsilí ze souboru uskutečnitelných činností (α). Druhý předpoklad se týká nájemce, ten vybírá systém odměňování nímž motivuje svého zmocněnce, nebo naopak vydává dodatečné náklady na jeho kontrole. Jak už je výše uvedeno, nájemce nemůže kontrolovat zmocněnce, aniž by vydal dodatečné finanční prostředky a existuje zde utajená činnost či informace. Přesto může nájemce učinit jistá opatření spojená se získáním informací a omezit tak nepříznivý vliv asymetrické informace na svůj vlastní užitek. Úplně eliminovat tento vliv však nejde.

23

Kapitola 3 Modely znázorněné nespojitou funkcí 3.1

Bertrandův model konkurenční ceny

Nejtypičtější formou nedokonalé konkurence je oligopol. Tento termín označuje tržní situaci, kdy rozhodující část produkce dodává několik málo firem. Model popisující chování firem v tomto tržním uspořádání se nazývá Bertrandův model. Pro zjednodušení budeme předpokládat, že na trhu jsou pouze dvě firmy, i když za předpokladu, že je na trhu více firem, bude model trochu pozměněný. V tomto modelu jde o konkurování firem pomocí ceny. To znamená, že každá z firem stanoví cenu produktu, která se potom setkává s poptávkou po tomto produktu za dané ceny. Za předpokladu, že produkty jsou identické, nerozlišitelné, potom o tom, u které firmy budou spotřebitelé nakupovat, rozhodne cena produktu. Můžeme tedy říct, že prodává-li jeden výrobce za cenu nižší než druhý, získá na svoji stranu všechny zákazníky. Pokud obě firmy sníží cenu stejně, potom se můžeme domnívat, že spotřebitelé rozdělí své nákupy rovnoměrně mezi oba výrobce. Proto potřebujeme uvažovat o tom, jak se změní výnos firmy při snížení ceny. Abychom pochopili chování firem v této situaci, uvažujme následující jednoduchý příklad: Za předpokladu, že poptávková funkce je y = 20 − 2p, a mezní náklady (náklady výroby na jednotku produkce) jsou konstantní, c = 4, pro každou firmu, potom C(y) = 4y je nákladová funkce každé firmy v odvětví. Všimněme si, že je-li cena vyšší než 4, každá firma dosahuje mimořádného zisku. Jestliže je cena rovna 4, 24

potom firmy získávají pouze minimální zisk. Naopak, spadne-li cena pod 4, dochází ke ztrátě. Začněme rozborem vysvětlujícím výnos první firmy díky ceně, kterou určila firma druhá, řekněme p2 = 7. Pokud první firma prodává za cenu vyšší než 7, tedy za cenu vyšší, než za kterou realizuje firma druhá, je její zisk téměř nulový, protože jak jsme před chvílí zmínili, spotřebitelé budou nakupovat výrobky firmy2. Pokud bude produkci realizovat za cenu 7, stejně jako firma2, potom se budou na trhu realizovat obě firmy. K nalezení celkové tržní poptávky musíme použít tržní cenu 7, potom získáme y = 20 − 2(7) = 6. Jakmile mají tyto dvě firmy rovnoměrně rozdělenou tržní poptávku (při stejné ceně 7), můžeme určit příjem firmy1 R1 (p1 ) = p1 y1 = 7(3) = 21 a také její zisk Π1 = R1 (p1 )–C1 (y1 ) = p1 y1 –4y1 = 7(3)–4(3) = 9. Jak už je uvedeno výše, zvýší-li firma1 cenu nad 7, ztratí svůj podíl na trhu a její příjem a zisk klesne na 0. jestliže však cenu sníží pod 7, pojme většinu trhu a podle toho se zvýší její příjem a tím pádem i zisk. Dejme tomu, že firma1 prodává za cenu p1 = 7 − ε (kde ε je kladné, ale malé), která je nižší, než cena určená firmou2. Tržba první firmy bude určena celkovou tržní poptávkou, to znamená, že prodá takové množství výstupů, které odpovídá rovnici y1 = 20 − 2p1 = 20 − 2(7 − ε) = 6 + 2ε, zaslouží si příjem R1 = p1 y1 = (7 − ε)(6 + 2ε) = 42 + 8ε − 2ε2 a její zisk určíme za pomoci rovnice Π1 = R1 (p1 )–C1(y1 ) = (42 + 8ε − 2ε2 ) − 4(6 + 2ε) = 18 − 2ε2 . Pro velmi malé ε(ε → 0) můžeme spočítat příjem firmy1, R1 = 42, a její zisk, Π1 = 18. 25

Když to shrneme, nastaví-li firma1 cenu menší než 7, uspokojí převážnou část trhu a její příjmová a zisková funkce se výrazně přiblíží příjmové a ziskové funkci monopolisty. Proto teď můžeme tyto funkce zapsat následovně:   p1 (20 − 2p1 ) R1 (p1 ) = 21   0

pro p1 < 7 p1 = 7 p1 > 7

  p1 (20 − 2p1 ) − 4(20 − 2p1 ) Π1 (p1 ) = 9   0

pro p1 < 7 p1 = 7 p1 > 7

Obrázek 3.1: Příjmová a zisková funkce firmy1 podle Bertrandova modelu

Tato ilustrace příkladu je zajímavá především z matematického hlediska. V bodě 7 má příjmová funkce levostrannou limitu rovnu 42 ( lim− R1 (p1 ) = 42), pravostrannou limitu rovnu 0 ( lim+ R1 (p1 ) = 0) p1 →7

p1 →7

26

a hodnotu funkce 21 (R1 (7) = 21). Můžeme tedy říct, že tato funkce je v bodě 7 nespojitá. Podobné výsledky získáme u ziskové funkce firmy1. Co se týče ekonomického pohledu, je tato nespojitost velmi důležitá, tím, co se děje v bodě nespojitosti nás model vede k řešení problému. Uvažujme nějakou cenu p2 , kterou by mohla určit firma2. Dokud bude při této ceně v zisku, firma1 nikdy své produkty nezdraží, protože nechce přijít o svůj podíl na trhu. Pokud firma1 účtuje cenu p1 , která je stejná jako p2 , potom mají obě firmy stejný podíl na trhu. Nicméně, pokud firma1 byť nepatrně sníží cenu, může získat většinu trhu pro sebe a její zisky budou mnohem vyšší. Můžeme tedy říct, že jakkoliv firma2 změní cenu, dokud bude vyšší než 4, firma1 se bude snažit podbízet své výrobky za cenu nižší a tím obsadit většinu trhu. Z toho je patrná příjmová funkce:   pro p1 < p2 p1 (20 − 2p1 ) R1 (p1 ) = (1/2)(p1 (20 − 2p1 )) p1 = 7   0 p1 > p2 a zisková funkce:

  p1 (20 − 2p1 ) − 4(20 − 2p1 ) Π1 (p1 ) = (1/2)(p1 (20 − 2p1 ) − 4(20 − 2p1 ))   0

pro p1 < p2 p1 = p2 p1 > p2

Když firma2 nastaví cenu p2 > 4, firma1 bude mít stálou snahu prodávat za trochu nižší cenu a tím si podmaňovat většinu trhu. Samozřejmě, to samé platí i pro firmu2. Můžeme se domnívat, že obě firmy jaksi zapadají do procesu podemílání cen, který se zastaví v okamžiku, kdy obě firmy účtují cenu 4, jejich ekonomický zisk je nulový a už nemají žádný další motiv snižovat cenu. Samozřejmě, tento typ soutěže může nastat spíše za nějakých speciálních předpokladů. Spotřebitel musí jednat okamžitě při změně ceny a nakupovat výrobek od firmy, která ho nabízí levněji. To znamená, že musí být plně uvědomělý, co se týče cen, za které firmy své produkty prodávají a nesmí brát v úvahu žádné jiné faktory, než cenu výrobku. Musí to být také případ, kdy firma dodává všechny úrovně produktu, které jsou poptávané na trhu při snižování cen. Teprve za těchto předpokladů funguje Bertrandův model konkurenční ceny.

27

Funkce použité pro Bertrandův model v tomto případě jsou rostoucí, konkávní a spojité na intervalu h0, 7). Limita příjmové funkce: lim R1 (p1 ) = 42 p1 →7

a limita ziskové funkce: lim π1 (p1 ) = 18. p1 →7

Bod 7 je bod odstranitelné nespojitosti, neboť limx1 →x0 f (x) = a , ale a 6= f (x0 ). V bodě 7 je příjmová funkce rovna 21 a zisková funkce 9.

28

3.2

Model se zalomenou poptávkovou křivkou

Tento model je chápán jako reakce na potřebu vysvětlit tendenci ke strnulým cenám, které byly pozorovány na některých oligopolních trzích. Základem je myšlenka, že přistoupí-li jedna z firem oligopolu na snížení ceny, učiní tak i ostatní firmy. Pokud však firma zvýší cenu, ostatní firmy tento krok nenásledují a výsledkem tohoto chování je pak zalomená poptávková křivka, která se skládá ze dvou částí. První část popisuje reakci konkurentů na snížení ceny jednou firmou a ta druhá část vyjadřuje absenci reakce konkurentů na zvýšení ceny jednou firmou. Situaci můžeme ilustrovat následovně.

Obrázek 3.2: Zalomená poptávková křivka

V grafu máme dvě poptávkové křivky D a D’. Křivka poptávky D je 29

založena na předpokladu, že konkurenti nenásledují jednu z firem oligopolu při změně ceny, ta druhá (D’) předpokládá opak, tedy, že konkurenční firmy sledují změnu ceny, kterou tato firma provede. Pokud konkurenční firmy nerespektují tyto změnu cenové hladiny, pak každé její zvýšení má za následek ztrátu většího počtu spotřebitelů a každé snížení zase získání většího počtu spotřebitelů, než kdyby změny cen zapříčiněné jednou firmou následovaly. Křivka poptávky oligopolisty je elastičtější, jestliže konkurenční firmy nenásledují změnu cenové hladiny. Proto můžeme říct, že poptávková křivka D bude elastičtější než D’. Z předpokladů tohoto modelu, spojených s možným následováním firmy v okamžiku, kdy ta sníží cenovou hladinu a nenásledováním pokud ji zvýší, vyplývá zalomený tvar křivky DAD’. Důsledkem specifického tvaru poptávkové křivky je nespojitá křivka mezního příjmu. Předpokládáme-li křivku mezních nákladů MC1 , musíme si položit otázku, při jakém výstupu bude firma maximalizovat zisk, protože k vyrovnání mezních příjmů a mezních nákladů (v normálním případě firma maximalizuje zisk právě za tohoto předpokladu) nedojde při žádném rozměru výstupu. Odpovědí na tuto otázku je nejpravděpodobněji výstup Q1 . Pokud by firma vyráběla množství větší než je Q1 , potom by mezní příjem MR byl menší, než mezní náklady MC. Naopak, vyráběla-li by menší výstup než je Q1 , pak by její MR byl větší než MC. Jestliže dojde k posunu křivky mezních nákladů (v grafu znázorněno jako MC2 ), rovnovážný výstup Q1 i jemu odpovídající rovnovážná cena P1 zůstávají nezměněny. I kdyby se změnila poptávka, optimální výstup a cena by se nezměnily, ovšem, pouze za předpokladu, že bod zlomu A zůstane na stejné cenové úrovni. Model se zalomenou poptávkovou křivkou můžeme použít k ilustraci strnulosti cen, ne však k vysvětlení formování samotné cenové hladiny. Navíc některé ekonomické studie nám dokázaly, že ve spoustě odvětvích s oligopolní strukturou se firmy chovají tak, že na růst cenové hladiny reagují rovněž zvýšením ceny.

30

Literatura [1] Děmidovič, Boris Pavlovič Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, Brno 2003. [2] Fuchs, Kamil. Tuleja, Pavel Základy ekonomie Ekopress, Praha 2003. [3] Hoy, Michael Mathematics for economics, 2nd ed. Cambridge, Mass. : The MIT Press, 2001. [4] Jarník, Vojtěch Diferenciální počet (I), Academia, nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1974. [5] Soukupová, Jana Mikroekonomie, Press Management, Praha 2002. [6] Vlasov, A.K. Učebnice vyšší matematiky I. (2.část), Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1958. [7] http://www.kma.zcu.cz

31