SPECIFIKACE POŽADAVK PRO JEDNOTNOU P IJÍMACÍ ZKOUŠKU V P IJÍMACÍM ÍZENÍ NA ST EDNÍ ŠKOLY V OBORECH VZD LÁNÍ S MATURITNÍ ZKOUŠKOU
MATEMATIKA
Zpracoval:
Centrum pro zjiš ování výsledk vzd lávání
Obsah
Úvod ...................................................................................................................................... 3 Požadavky na v domosti a dovednosti, které mohou být ov ovány v rámci jednotné p ijímací zkoušky ................................................................................................................... 4 ást A1 – Specifikace didaktického testu pro osmiletá gymnázia ...................................... 4 ást A2 – P íklady testových úloh pro uchaze e o studium na osmiletých gymnáziích ...... 6 ást B1 – Specifikace didaktického testu pro šestiletá gymnázia......................................12 ást B2 – P íklady testových úloh pro uchaze e o studium na šestiletých gymnáziích .....16 ást C1 – Specifikace didaktického testu pro ty leté obory vzd lání a nástavbová studia s maturitní zkouškou...............................................................................................24 ást C2 – P íklady testových úloh pro uchaze e o ty leté obory vzd lání a nástavbová studia s maturitní zkouškou........................................................................27
Úvod Tento dokument, který je ur en pro jednotnou p ijímací zkoušku z matematiky zadávanou v rámci p ijímacího ízení na st ední školy zakon ené maturitní zkouškou, vymezuje rozsah požadavk na v domosti a dovednosti uchaze o p íslušné obory vzd lání.
Právní rámec P ijímání ke vzd lávání ve st ední škole upravuje zákon . 561/2004 Sb., o p edškolním, základním, st edním, vyšším odborném a jiném vzd lávání, ve zn ní pozd jších p edpis a vyhláška . 353/2016 Sb., kterou se stanoví podrobnosti o organizaci p ijímacího ízení ve st edních školách. Pedagogické dokumenty k soupisu požadavk Specifikace požadavk vychází ze vzd lávacího oboru Matematika a její aplikace vymezeného v Rámcovém vzd lávacím programu pro základní vzd lávání1. Nezbytným p edpokladem pro zvládnutí testu je osvojení v domostí a dovedností definovaných ve Standardech pro základní vzd lávání – Matematika a její aplikace2. P i specifikaci didaktického testu pro šestiletá gymnázia byly využity Doporu ené u ební osnovy p edm t JL, AJ a M pro 3 základní školu (MŠMT, 2011), ást Matematika .
!" #! %
$
Požadavky na v domosti a dovednosti, které mohou být ov ovány v rámci jednotné p ijímací zkoušky ást A1 – Specifikace didaktického testu pro osmiletá gymnázia Uchaze o vzd lávání v osmiletém gymnáziu prokáže osvojení následujících v domostí a dovedností:
1
íslo a po etní operace •
pracuje s ísly v oboru p irozených ísel od jedné do miliardy a s nulou, používá zápis ísel v desítkové soustav , rozumí pojm m jednotky, desítky, stovky (sta), tisíce, desetitisíce, statisíce, miliony a miliardy, cifra, jednociferné, dvojciferné až deseticiferné íslo, s porozum ním užívá rozvinutý zápis ísla v desítkové soustav
•
užívá íselné osy k zobrazení a porovnávání ísel, rozumí pojm m v tší, menší, je rovno, nerovná se, rovnost, nerovnost, o kolik, kolikrát, kolikrát více, kolikrát mén , násobným íslovkám dvakrát, t ikrát atd. a užívá znaky rovnosti a nerovnosti
•
užívá zaokrouhlování na miliony, statisíce, desetitisíce, tisíce, sta a desítky, užívá operace s ítání, od ítání, násobení, d lení a aplikuje jejich vlastnosti (p ednost operací, komutativnost a asociativnost s ítání a násobení), užívá závorky p i výpo tech
•
pracuje s pojmy s ítání, od ítání, násobení, d lení; sou et, sou in, rozdíl a podíl; s ítanec, initel, menšenec, menšitel, d lenec, d litel, zbytek, d lení se zbytkem, d lení beze zbytku, rozliší sudá a lichá ísla
•
využívá písemné algoritmy s ítání, od ítání, násobení a d lení, písemn násobí až ty ciferným initelem, písemn d lí jednociferným nebo dvojciferným d litelem, ú eln propojuje písemné i pam tné po ítání, zpam ti d lí a násobí deseti, stem a tisícem
•
modeluje a ur í ást celku, užívá s porozum ním pojmy polovina celku, t etina, tvrtina atd., o polovinu více nebo mén (o t etinu, o tvrtinu atd.), te zápis zlomku, porovná, s ítá a od ítá zlomky se stejným jmenovatelem v oboru kladných ísel a pracuje s grafickým zobrazením celku a jeho ástí
•
p e te zápis desetinného ísla a desetinné íslo znázorní na íselné ose, rozumí významu znaku minus (–) pro zápis celého záporného ísla a vyzna í jej na íselné ose
•
eší a tvo í slovní úlohy na s ítání, od ítání, násobení a d lení s využitím matematizace reálné situace, provádí odhady, kontroluje výsledky, posuzuje reálnost výsledku, formuluje odpov
2
Závislosti, vztahy a práce s daty •
orientuje se ve struktu e asu, užívá vhodné asové jednotky (sekunda, minuta, hodina, den, týden), jednotky hmotnosti (gram, kilogram) a další jednotky (viz geometrie) a provádí p evody jednotek
&
•
3
vybírá z textu, schémat, tabulek a diagram (sloupcový a kruhový) data podle zadaného kritéria (bez použití procent), t ídí soubor objekt , podle zadání doplní chyb jící údaje do strukturované tabulky, grafu, navrhne a použije tabulku k organizaci údaj a užitím schémat, tabulek a graf eší slovní úlohy Geometrie v rovin a v prostoru
•
rozezná, na rtne a pojmenuje základní rovinné útvary: tverec, obdélník, trojúhelník (obecný, rovnostranný, rovnoramenný a pravoúhlý), ty úhelník, p tiúhelník, šestiúhelník, kruh, kružnice, lomená ára, k ivá ára, bod, p ímka, úse ka, polop ímka, používá pojmy vrchol, strana
•
dodržuje zásady rýsování, používá pravítko s m ítkem, trojúhelník s ryskou a kružítko
•
narýsuje p ímku, vyzna í polop ímku, úse ku, narýsuje r znob žky, vyzna í jejich pr se ík, sestrojí k dané p ímce rovnob žku a kolmici vedoucí daným bodem, ur í vzájemnou polohu dvou p ímek v rovin : rovnob žky, r znob žky, kolmice, narýsuje kružnici s daným st edem a polom rem, narýsuje tverec, obdélník a trojúhelník, v etn pravoúhlého, užívá jednoduché konstrukce
•
rozezná osov soum rné rovinné útvary ve tvercové síti a v praktických situacích, modeluje osov soum rné útvary ve tvercové síti
•
m ením ur í délku úse ky, používá jednotky délky (mm, cm, m, km) a p evodní vztahy mezi nimi, ur í graficky délku úse ky a lomené áry, graficky porovná délky úse ek, provádí odhad délky úse ky, srovnává délky úse ek s využitím pom cek a ur í obvod mnohoúhelníku se tením délek jeho stran
•
ur í pomocí tvercové sít obsah tverce, obdélníku, trojúhelníku a obrazc tvo enými t mito rovinnými útvary, porovná a odhaduje obsahy rovinných útvar a používá základní jednotky obsahu (cm2, m2, km2), porovnává rovinné útvary stejného typu podle velikosti
•
rozezná a pojmenuje základní prostorové útvary (krychle, kvádr, koule, válec, kužel, jehlan), orientuje se v prostoru, rozezná obrazce p i pohledu shora, zep edu, ze strany, modeluje rovinné i prostorové útvary, porovnává t lesa stejného typu podle velikost
4
Nestandardní aplika ní úlohy a problémy •
využívá úsudek p i ešení slovních úloh a jednoduchých problém , matematizuje reálné situace, pro ešení jednoduchých nestandardních situací objevuje a využívá jednoduché zákonitosti, zaznamenává situace pomocí schémat, k ešení problém využívá grafickou interpretaci, formuluje odpov .
'
ást A2 – P íklady testových úloh pro uchaze e o studium na osmiletých gymnáziích Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Nejsou povoleny tabulky a kalkulátor. V široce otevřených úlohách 2, 4 se zapisuje celý postup řešení.
1
Určete číslo 3krát větší, než je rozdíl čísel 32 a 6.
Typ úlohy:
úzce otevřená
Řešení:
78
2
Vypočtěte:
Typ úlohy:
široce otevřená
Řešení:
144 a postup řešení
3
V zápisu doplňte jednu dvojici závorek ( ) tak, aby platila rovnost:
Typ úlohy:
úzce otevřená
Řešení:
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Každý žák páté třídy si objednal časopis za 36 korun. Třída má za časopisy zaplatit celkem 720 korun. Někteří žáci již peníze přinesli, takže je zatím vybráno 288 korun. (CZVV)
4
Vypočtěte, kolik žáků páté třídy peníze na časopis dosud nepřineslo.
Typ úlohy:
široce otevřená
Řešení:
12 dětí a postup řešení
(
5
Délku 495 000 cm převeďte na metry a výsledek zaokrouhlete na stovky metrů.
Typ úlohy:
úzce otevřená
Řešení:
5 000 m
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 V rovině je dána přímka m a bod S. m
S
(CZVV)
6 6.1
Sestrojte k přímce m kolmici p, která prochází bodem S.
6.2
Průsečík přímek m, p označte K.
6.3
Sestrojte kružnici k se středem S tak, aby procházela bodem K.
6.4
Bodem S veďte přímku r rovnoběžnou s přímkou m.
Typ úlohy:
m
K
otevřená
Řešení: r
S
k
p
)
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Plocha je tvořena dvěma tmavými a jedním bílým obdélníkem.
Na této ploše je vyznačeno několik stejných čtverečků, z nichž každý má obsah 4 cm2.
4 cm2
Plochu částečně překryjeme průhledným obrazcem KLMN. M
N
K
L
(CZVV)
7
7.1
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (7.1–7.4), zda je pravdivé (A), či nikoli (N). A N Obrazec KLMN překrývá polovinu plochy každého ze tří obdélníků.
7.2
Dva ze tří obdélníků mají stejný obsah.
7.3
Obsahy obou tmavých obdélníků se vzájemně liší o 40 cm2.
7.4
Obsah obrazce KLMN je 80 cm2.
Typ úlohy:
uzavřená – svazek 4 dichotomických úloh
Řešení:
A–A–N–A
*
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Stavbu z kostek je možné postavit podle plánku. Na plánku je rozmístění kostek při pohledu shora, čísla označují počet kostek umístěných nad sebou. VZOR: Stavba
Plánek 2
1 1
(CZVV)
8
Přiřaďte ke každé ze tří staveb (8.1–8.3) správný plánek (A–E). Stavba
Plánek A)
1
8.1
3
2
2 1 B)
3 1
2
2 1
8.2
C)
3 1
2 3
D)
3 2
8.3
1
2
1 E)
8.1
1
_______
8.2
_______
Typ úlohy:
uzavřená – přiřazovací
Řešení:
8.1 – B; 8.2 – E; 8.3 – D
jiný plánek
8.3
+
_______
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Třída 4. B zjišťovala polední teploty v pěti za sebou následujících dnech. Kromě teploty naměřené ve čtvrtek jsou všechny údaje zaznamenány v grafu.
Polední teplota [° C]
14 12 10 8
?
6 4 2 0
Pondělí
Úterý
Středa
Čtvrtek
Pátek
Stejný pokles polední teploty, který byl zaznamenán z pondělí na úterý, nastal i ze čtvrtku na pátek. (CZVV)
9
Jak se změnila polední teplota ze středy na čtvrtek? A) klesla o 1 °C B) žádná změna nenastala C)
vzrostla o 1 °C
D) vzrostla o 2 °C E) došlo k jiné změně
Typ úlohy:
uzavřená – s výběrem odpovědi z 5 alternativ (tzv. multiple-choice)
Řešení:
A
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Ve čtverci se figurka v jednom tahu může přesunout z libovolného pole pouze na sousední pole, které je označeno číslem o 1 větší, např. z pole 2 na sousední pole 3.
7
6
5
4
7
6
5
4
7
6
5
4
6
5
4
3
6
5
4
3
6
5
4
3
5
4
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
Ve druhém čtverci se figurka může ve dvou tazích dostat z pole 1 (přes pole 2) na některé z polí 3 celkem čtyřmi různými cestami. V posledním čtverci je figura umístěna na vyznačeném poli 3. (CZVV)
10
Kolika různými cestami se figurka může dostat z vyznačeného pole 3 na některé z polí 6? A) méně než čtyřmi B) čtyřmi C) pěti D) šesti E) více než šesti
Typ úlohy:
uzavřená – s výběrem odpovědi z 5 alternativ (tzv. multiple-choice)
Řešení:
D
ást B1 – Specifikace didaktického testu pro šestiletá gymnázia Uchaze o vzd lávání v šestiletém gymnáziu prokáže krom v domostí a dovedností z nižších ro ník osvojení následujících v domostí a dovedností: 1
íslo a po etní operace •
užívá s porozum ním v oboru p irozených ísel násobek, spole ný násobek a nejmenší spole ný násobek dvou až t í ísel, d litel, spole ný d litel a nejv tší spole ný d litel dvou až t í ísel, prvo íslo, íslo složené, vysv tlí základní pojmy týkající se d litelnosti p irozených ísel, užívá znaky d litelnosti ísly 2, 3, 4, 5, 6, 8 a 10, rozliší prvo íslo a íslo složené, užívá algoritmus rozkladu složeného ísla na prvo ísla, modeluje a eší slovní úlohy s využitím d litelnosti v oboru p irozených ísel
•
ur í druhou mocninu p irozeného ísla (zpam ti ísel od 1 do 10, ísel 100 a 1 000 a písemn ostatních dvojciferných ísel) a druhou odmocninu ísel 1, 4, 9, 16 až 100
•
pracuje s ísly v oboru celých ísel, znázorní celá ísla na íselné ose, ur í íslo kladné, záporné a opa né, znázorní a ur í absolutní hodnotu ísla a uvede její praktický význam, porovnává ísla, provádí po etní operace (s ítání, od ítání, násobení a d lení), ur í druhou mocninu záporného ísla
•
pracuje s ísly v oboru racionálních ísel, vyjád í ást celku graficky i zlomkem, rozumí zápisu zlomku a desetinného ísla v etn periodického ísla, racionální ísla zobrazí na íselné ose, vzájemn p evádí desetinná ísla a desetinný zlomek, periodické íslo porovná s jinými ísly
•
provádí po etní operace s desetinnými ísly (s ítání, od ítání, násobení a d lení) násobí a d lí íslem 0,1 a 0,01 apod., ovládá a používá pravidla pro zaokrouhlování racionálních ísel, provádí odhady po etních operací s racionálními ísly s danou p esností
•
provádí po etní operace se zlomky, rozší í a krátí zlomek, zapíše zlomek v základním tvaru, zapíše p evrácený zlomek, užívá nejmenší spole ný násobek p i ur ování spole ného jmenovatele zlomk , porovnává zlomky, užívá algoritm pro s ítání, od ítání, násobení a d lení zlomk , p evádí zlomek na smíšené íslo a opa n , upraví složený zlomek na jednoduchý, p evádí zlomek na desetinné íslo v etn ísla s periodou
•
vysv tlí pojem íselný výraz, ur í hodnotu íselného výrazu v daném oboru
•
rozlišuje a využívá pojmy procento, základ, po et procent, procentová ást, promile, vyjád í ást celku procentem, desetinným íslem, zlomkem, p evádí r zná vyjád ení vztahu celek – ást, ur í z textu úlohy, které z hodnot (po et procent, procentová ást a základ) jsou zadány a které má vypo ítat, provede výpo et, rozhodne, zda zvolit pro ešení úlohy známý algoritmus, nebo zda ešit úlohu úsudkem, provede odhad výsledku a ov í správnost svého ešení, eší jednoduché úlohy z oblasti finan ní matematiky (úrok)
•
2
d lí celek na ásti v daném pom ru, zm ní íslo v daném pom ru, upravuje pom r rozši ováním a krácením, vysv tlí, co znamená postupný a p evrácený pom r, zapíše jej a upraví, modeluje a matematizuje reálné situace, ve kterých uplat uje osvojené po etní operace s celými a racionálními ísly, posoudí reálnost výsledku ešené slovní úlohy a výsledek ov í zkouškou Závislosti, vztahy a práce s daty
•
dopl uje a vytvá í tabulky, orientuje se v tabulkách, v sloupcových a kruhových diagramech, vytvo í vhodný diagram ze vstupních dat, se adí data v tabulce podle jednoho kritéria, porovná kvantitativní vztahy mezi soubory dat v tabulkách, grafech a diagramech
•
užívá pom r ke kvantitativnímu vyjád ení vztahu celek – ást, používá pojem úm ra a vypo ítá neznámý len úm ry, odvodí m ítko mapy (plánu) ze zadaných údaj , využívá m ítko mapy (plánu) k výpo tu
•
rozpozná p ímou a nep ímou úm rnost v p íkladech z reálného života, sestrojí graf p ímé a nep ímé úm rnosti, ur uje vztah p ímé a nep ímé úm rnosti z textu úlohy, z tabulky a grafu, využívá graf p ímé a nep ímé úm rnosti p i zpracování dat a k ešení aplika ních úloh a problém , eší aplika ní úlohy s využitím pom ru a troj lenky
•
spo ítá aritmetický pr m r a aplikuje jej v úlohách z praxe
•
vyzna í bod v pravoúhlé soustav sou adnic na základ zadaných sou adnic, zapíše sou adnice daného bodu
3
Geometrie v rovin a v prostoru •
používá p íslušnou matematickou symboliku (ozna ení bodu, p ímky, kružnice, úhlu, trojúhelníku, mnohoúhelníku, polop ímky, symbol pro rovnob žnost, kolmost, totožnost, shodnost, písmena ecké abecedy pro ozna ení úhl , symbol pro zápis velikosti úhlu, vzdálenost bod , obvod a obsah rovinného útvaru, apod.)
•
rozezná základní rovinné útvary (bod, úse ka, p ímka, polop ímka, opa ná polop ímka), ur í vzájemnou polohu bodu a p ímky, vzdálenost bodu od p ímky, vzájemnou polohu dvou p ímek v rovin , totožné, r znob žné a kolmé p ímky (kolmice), rovnob žné p ímky (rovnob žky)
•
dodržuje zásady rýsování, používá pravítko s m ítkem, trojúhelník s ryskou, kružítko a úhlom r
•
úhel modeluje pomocí polorovin, rozlišuje druhy úhl podle jejich velikosti (ostrý, tupý, pravý, p ímý), ur uje velikost úhlu pomocí úhlom ru a výpo tem, používá jednotky velikosti úhlu a p evody mezi nimi, provádí odhad velikosti úhlu, s ítá a od ítá úhly graficky i po etn , graficky i po etn násobí a d lí úhel dv ma
•
charakterizuje vlastnosti dvojic úhl (vrcholové, vedlejší, st ídavé, souhlasné) a využívá jejich vlastností p i ešení úloh
•
t ídí a popisuje trojúhelníky (rozd lení podle délky stran a velikosti vnit ních úhl ), p i ešení úloh používá trojúhelníkovou nerovnost, charakterizuje a používá vlastnosti úhl v trojúhelníku, vlastnosti výšky a t žnice trojúhelníku
•
t ídí a popisuje ty úhelníky, rozlišuje jednotlivé druhy rovnob žník a lichob žník , pozná pravidelný mnohoúhelník a využívá vlastnosti ty úhelník a pravidelných mnohoúhelník p i ešení úloh
•
rozlišuje a používá r zné druhy ar, sestrojí st ed a osu úse ky, sestrojí výšky a t žnice trojúhelníku, p enese úhel, porovná dva úhly, sestrojí osu úhlu, bez použití úhlom ru sestrojí úhly o velikostech 60°, 90°, 45° apod., sestrojí pravidelný šestiúhelník a osmiúhelník
•
provede rozbor konstruk ní úlohy formou ná rtu (bez zápisu postupu konstrukce), sestrojí trojúhelník ze zadaných údaj (sss, sus, usu), sestrojí ty úhelník ze zadaných údaj
•
rozumí pojmu shodnost trojúhelník , používá v ty o shodnosti trojúhelník k ešení geometrických úloh
•
rozpozná a charakterizuje útvary soum rné podle osy soum rnosti, v osové soum rnosti k sob p i adí vzor a obraz, rozezná samodružný bod a samodružný rovinný útvar, charakterizuje osov soum rné útvary, sestrojí osu úhlu a úse ky, ur í osu soum rnosti, sestrojí obraz rovinného útvaru v osové soum rnosti
•
rozpozná a charakterizuje útvary soum rné podle st edu soum rnosti, ve st edové soum rnosti k sob p i adí vzor a obraz, rozezná samodružný bod a samodružný rovinný útvar, ur í st ed soum rnosti, sestrojí obraz rovinného útvaru ve st edové soum rnosti
•
používá a p evádí jednotky délky a obsahu, odhaduje a vypo ítá obvod a obsah tverce, obdélníku a trojúhelníku, využívá tvercovou sí pro výpo et obvodu a obsahu mnohoúhelník , odhaduje a vypo ítá obvod a obsah rovnob žníku, lichob žníku a dalších rovinných útvar složených z trojúhelník , resp. ty úhelník
•
rozlišuje pojmy rovina a prostor, charakterizuje krychli a kvádr, využívá p i ešení úloh metrické a polohové vlastnosti krychle a kvádru, správn používá pojmy podstava, hrana, st na, vrchol, st nová a t lesová úhlop í ka, charakterizuje kolmý hranol, pravidelný hranol
•
na rtne a sestrojí sí krychle, kvádru a kolmého hranolu, na rtne, resp. sestrojí obraz t lesa (krychle, kvádru, hranolu) ve volném rovnob žném promítání, zobrazí t lesa p i pohledu shora, zep edu, zprava, zleva a zdola
•
používá a p evádí jednotky délky, obsahu a objemu, odhaduje a vypo ítá objem a povrch krychle a kvádru, odhaduje a vypo ítá objem a povrch hranolu
•
eší aplika ní geometrické úlohy na výpo et obsahu a obvodu rovinných útvar ( tverec, obdélník, trojúhelník), povrchu a objemu t les (krychle, kvádr), p i ešení úloh provede rozbor úlohy a ná rt, rozhodne, zda zvolit pro ešení známý algoritmus, nebo ešit úlohu úsudkem a vyhodnotí reálnost výsledku
&
4
Nestandardní aplika ní úlohy a problémy •
využívá úsudek p i ešení slovních úloh a jednoduchých problém , matematizuje reálné a modelové situace, prezentuje zp sob ešení úlohy, formuluje odpov
•
využívá k ešení problém schémat
•
pro ešení problém objevuje a využívá jednoduchých zákonitostí (doplní íselnou adu v oboru celých a racionálních ísel, doplní po etní tabulky, dopo ítá chyb jící údaje, doplní obrázkovou adu apod.)
grafickou interpretaci, zaznamenává situace pomocí
'
ást B2 – P íklady testových úloh pro uchaze e o studium na šestiletých gymnáziích Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Nejsou povoleny tabulky a kalkulátor. V široce otevřených úlohách 2, 4 a 10 zapisujte celý postup řešení.
1
Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:
Typ úlohy:
úzce otevřená
Řešení:
30
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Čtverečkovaný papír tvaru obdélníku je potištěn čarami, které rozdělují plochu na malé čtverečky se stranou délky 0,4 cm. Rozměry papíru jsou 48 cm a 32 cm. 0,4 cm
32 cm
48 cm (CZVV)
2
Určete počet všech malých čtverečků na čtverečkovaném papíře.
Typ úlohy:
široce otevřená
Řešení:
9 600 a postup řešení
(
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Na číselné ose je vyznačeno pět stejně dlouhých úseků. A, B představují dvě neznámá čísla.
A
B
(CZVV)
3 3.1
Určete číslo A.
3.2
Určete číslo B.
Výsledky zapisujte celými čísly nebo zlomky v základním tvaru.
Typ úlohy:
úzce otevřená
Řešení:
3.1
0
3.2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Těleso je slepeno ze dvou shodných kvádrů s délkami hran 3 cm, 3 cm a 5 cm. 5 cm
5 cm
3 cm 3 cm 8 cm
(CZVV)
4 4.1
Vypočtěte v cm3 objem slepeného tělesa.
4.2
Vypočtěte v cm2 povrch slepeného tělesa.
Typ úlohy:
široce otevřená
Řešení:
4.1 4.2
V S
90 cm3 a postup řešení 138 cm2 a postup řešení
)
5
Vypočtěte, kolikrát je třeba k číslu 820 přičíst číslo 10, abychom získali číslo 8 200.
Typ úlohy:
úzce otevřená
Řešení:
738krát
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 V rovině leží přímka AB a mimo ni bod U.
A
U
B
(CZVV)
6 6.1
Sestrojte chybějící vrchol C trojúhelníku ABC, jestliže velikost úhlu ABC je 70°, strana BC má délku 8 cm a bod U leží uvnitř trojúhelníku ABC. Trojúhelník ABC narýsujte.
6.2
Sestrojte osu úsečky AB a označte ji o.
6.3
Sestrojte chybějící vrchol D rovnoramenného lichoběžníku ABCD se základnami AB, CD a lichoběžník narýsujte.
*
Typ úlohy:
otevřená
Řešení: D C
A
U
o
B
+
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Čtverec ABCD je dvěma úsečkami rozdělen na čtyři části: čtverec s obvodem 8 cm, čtverec s obvodem 24 cm a dva tmavé obdélníky. D
C o1 = 8 cm
o2 = 24 cm
B
A (CZVV)
7
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (7.1–7.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N). A
7.1
Oba tmavé obdélníky jsou shodné.
7.2
Obvod čtverce ABCD je 36 cm.
7.3
Obsah plochy tvořené oběma bílými čtverci je 40 cm2.
Typ úlohy:
uzavřená – svazek 3 dichotomických úloh
Řešení:
A–N –A
N
8
Přiřaďte ke každé úloze (8.1–8.3) odpovídající výsledek (A–F).
8.1
K ceně 400 korun se připočítává 5% přirážka. Jaká je cena s přirážkou?
_____
Zlevněním výrobku o 120 korun se jeho původní cena snížila o 25 %. Kolik korun stojí zlevněný výrobek?
_____
Standardní balení za 360 korun je o pětinu levnější než luxusní balení. Jaká je cena luxusního balení?
_____
8.2 8.3
A) 360 Kč B) 380 Kč C) 400 Kč D) 420 Kč E) 450 Kč F) jiný výsledek
Typ úlohy:
uzavřená – přiřazovací
Řešení:
8.1 – D; 8.2 – A; 8.3 – E
VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 9 V grafu jsou znázorněny počty dětí ve všech 7. třídách školy kromě počtu dívek v 7. C. Počty chlapců a dívek v 7. třídách 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
?
třída 7. A
třída 7. B
chlapci dívky
třída 7. C
Počet dětí v 7. C je aritmetickým průměrem počtu dětí v 7. A a 7. B. (CZVV)
9
Kolik dívek je ve třídě 7. C? A) méně než 12 B) 12 C) 13 D) 14 E) více než 14
Typ úlohy:
uzavřená – s výběrem odpovědi z 5 alternativ (tzv. multiple-choice)
Řešení:
B
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Každý řádek tabulky (5 5 polí) obsahuje tutéž pětici po sobě jdoucích čísel zapsaných v pořadí od nejmenšího k největšímu. První tabulka je určena pěticí čísel 2, 3, 4, 5, 6. Tabulka 1
Tabulka 2
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
.
.
.
(CZVV)
10 10.1
V první tabulce sečtěte všechna čísla, která patří do bílých polí tabulky.
10.2
Ke druhé tabulce najděte takovou pětici čísel, aby součet všech čísel doplněných do tmavých polí tabulky byl 780.
V záznamovém archu uveďte v obou částech úlohy postup řešení.
Typ úlohy:
široce otevřená
Řešení:
10.1 10.2
48 a postup řešení 58, 59, 60, 61, 62 a postup řešení
ást C1 – Specifikace didaktického testu pro ty leté obory vzd lání a nástavbová studia s maturitní zkouškou Uchaze o vzd lávání ve ty letém oboru vzd lání a nástavbovém studiu s maturitní zkouškou prokáže krom v domostí a dovedností z nižších ro ník osvojení následujících v domostí a dovedností: 1
íslo a prom nná •
rozlišuje pojmy umoc ování a odmoc ování, ur uje zpam ti druhou mocninu ísel 1–15 a druhou odmocninu t chto mocnin, ur uje mocniny ísel 10, 100, 1 000, desetiny, setiny a tisíciny a odmocniny t chto mocnin, ur uje písemn druhou mocninu p irozených a desetinných ísel, ovládá pravidla pro umoc ování a odmoc ování zlomku a sou inu dvou ísel, ur uje hodnotu íselného výrazu s druhou mocninou a odmocninou, využívá geometrický význam druhé mocniny v praxi
•
objasní a používá základní pojmy finan ní matematiky (jistina, úroková míra, úrok, úrokovací doba, da , inflace), vypo ítá úrok z vkladu za jeden rok a da z úroku, získá základní informace o p j kách a úv rech, eší aplika ní úlohy na procenta
•
vysv tlí pojem prom nná, výraz s prom nnou, len výrazu, rovnost dvou výraz , jedno len, mnoho len, zapíše slovní text pomocí výraz s prom nnými (a opa n ), vypo te hodnotu výrazu pro dané hodnoty prom nných, provádí po etní operace (s ítání, od ítání, násobení) s mnoho leny, kde výsledný mnoho len je nejvýše druhého stupn , provádí rozklad mnoho lenu na sou in pomocí vytýkání, umocní dvoj leny a rozloží dvoj leny na sou in pomocí vzorc (a + b)2, (a – b)2, a2 – b2, ur í hodnotu výrazu
•
eší lineární rovnice pomocí ekvivalentních úprav a provádí zkoušku správnosti ešení rovnice, rozhodne, má-li rovnice jedno ešení, nekone n mnoho ešení, nebo nemá ešení, sestaví rovnici ze zadaných údaj slovní úlohy
•
eší soustavu dvou rovnic se dv ma neznámými metodou dosazovací a s ítací, eší slovní úlohy z praxe, provede rozbor úlohy, pro ešení zvolí známý algoritmus nebo eší úlohu úsudkem, provede zkoušku správnosti ešení
•
matematizuje reálné situace užitím rovnic, p i ešení úloh ozna í neznámou, sestaví a vy eší rovnici, posoudí reálnost výsledku a ov í ho zkouškou do zadání
2
Závislosti, vztahy a práce s daty •
používá s porozum ním základní statistické pojmy (statistický soubor, statistický znak, statistické šet ení), ur í etnost, aritmetický pr m r, používá výsledky jednoduchého statistického šet ení, zvolí vhodnou tabulku a vhodný diagram k jejich znázorn ní, k reprezentaci dat volí vhodný typ grafu
•
posoudí typ závislosti mezi dv ma veli inami (p ímá, nep ímá úm ra, lineární funkce), uvede p íklady z b žného života, ur í hodnoty funkce, vyjád í p ímou a nep ímou úm rnost a lineární funkci tabulkou, rovnicí a grafem, odhalí funk ní vztah v textu úlohy, využívá znalostí o funkcích k ešení praktických úloh
&
3
Geometrie v rovin a prostoru •
provádí rozbor dané situace pomocí ná rtku, využívá pot ebnou matematickou symboliku a posuzuje reálnost získaného výsledku
•
používá s porozum ním pojmy odv sna a p epona v pravoúhlém trojúhelníku, pomocí Pythagorovy v ty po ítá délky stran v pravoúhlém trojúhelníku, aplikuje Pythagorovu v tu v t lesech (výpo et délky hrany, t lesové a st nové úhlop í ky v kvádru a krychli), eší praktické úlohy s využitím Pythagorovy v ty
•
definuje a sestrojí kružnici a kruh s daným polom rem nebo pr m rem a st edem v daném bod , ur í vzájemnou polohu kružnice a p ímky (te na, se na, vn jší p ímka), vzájemnou polohu dvou kružnic, pr se íky a body dotyku
•
ú eln používá p ibližnou hodnotu ísla (desetinné íslo, zlomek), vypo ítá obvod a obsah kruhu a délku kružnice pomocí vzorc
•
pomocí množiny všech bod dané vlastnosti charakterizuje osu úhlu, osu úse ky a sestrojí je, využívá Thaletovu kružnici p i ešení úloh, sestrojí te nu ke kružnici z bodu vn kružnice, narýsuje kružnici opsanou a vepsanou trojúhelníku
•
dodržuje zásady rýsování, používá pravítko s m ítkem, trojúhelník s ryskou, kružítko a úhlom r
•
sestrojí rovinné útvary dle zadaných prvk , p i ešení konstruk ní úlohy provádí rozbor úlohy, ná rt, diskusi o po tu ešení, zapisuje postup konstrukce s využitím matematické symboliky (p ípadn ji kombinuje se slovním vyjád ením)
•
rozlišuje shodné a podobné rovinné útvary, ur í pom r podobnosti z rozm ru útvaru a na základ pom ru podobnosti ur í rozm ry útvar , využívá v ty o podobnosti trojúhelník (v ta sss, uu, sus)
•
charakterizuje jehlan a kužel, na rtne a sestrojí jehlan ve volném rovnob žném promítání, zobrazí t leso p i pohledu shora, zep edu, zdola, zprava atd., využívá p i ešení úloh metrické a polohové vlastnosti jehlanu a kužele, odhaduje a vypo ítá objem a povrch jehlanu a kužele, narýsuje sí jehlanu a kužele
•
charakterizuje rota ní válec, odhaduje a vypo ítá objem a povrch válce, na rtne a sestrojí sí válce
•
eší aplika ní slovní úlohy s využitím osvojených znalostí o válci a kouli, p i ešení úloh provede rozbor úlohy a ná rt, vyhodnotí reálnost výsledk
•
využívá m ítko mapy (plánu) a podobnost p i ešení slovních úloh k ur ení skute ných rozm r a naopak
'
4
Nestandardní aplika ní úlohy a problémy •
eší úlohy úsudkem a zapisuje a zd vodní zp sob ešení
•
p i ešení jednoduchých praktických problém i standardních algoritm , nap . užití rovnic
•
eší jednoduché strategické a kombinatorické úlohy bez použití kombinatorických vzorc
•
p i ešení netradi ních geometrických úloh užívá prostorové p edstavivosti, model , ná rtk , schémat apod.
•
užívá komplexních poznatk a dovedností z r zných tematických a vzd lávacích oblastí
(
a modelových situací užívá
ást C2 – P íklady testových úloh pro uchaze e o ty leté obory vzd lání a nástavbová studia s maturitní zkouškou Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Nejsou povoleny tabulky a kalkulátor. V široce otevřených úlohách 2, 3, 4, 5, 6 a 7 zapisujte celý postup řešení.
1
Vypočtěte, kolikrát kratší je časový interval 45 sekund oproti časovému intervalu 4,5 minuty.
Typ úlohy:
úzce otevřená
Řešení:
6krát
2
Vypočtěte:
2.1
2.2
Typ úlohy:
široce otevřená
Řešení úlohy 2.1:
a postup řešení
Řešení úlohy 2.2:
a postup řešení
3
Odstraňte závorky a zjednodušte:
Typ úlohy: Řešení:
široce otevřená a postup řešení
)
4
Řešte rovnici a proveďte zkoušku.
Typ úlohy:
široce otevřená
Řešení:
5
a postup řešení
Matěj nasbírá za
minut půl džbánu malin.
Vypočtěte, za jak dlouho by tři děti naplnily celý džbán, kdyby každé z nich pracovalo stejným tempem jako Matěj. Typ úlohy:
široce otevřená
Řešení:
30 minut a postup řešení
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 6 Do ubytovny přijela 30členná skupina. Plně obsadila stejný počet čtyřlůžkových i dvoulůžkových pokojů. V tabulce jsou uvedeny ceny lůžek na pokojích za jeden den. Počet lůžek na jednom pokoji Cena v korunách za jedno lůžko na pokoji
2
4
300
200
(CZVV)
6 6.1
Vypočtěte, kolik pokojů skupina obsadila.
6.2
Vypočtěte cenu ubytování pro celou skupinu za jeden den.
Typ úlohy:
široce otevřená
Řešení:
6.1 6.2
10 pokojů a postup řešení 7 000 Kč a postup řešení
*
VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 7
2m 1,6 m
2m
(CZVV)
7
Vypočtěte šířku s podlážky stanu.
Typ úlohy: Řešení:
široce otevřená m a postup řešení
+
8 8.1
Proveďte náčrtek obecného trojúhelníku !". Vyznačte v něm výšku #$ z vrcholu " a kružnici % trojúhelníku opsanou. Výšku #$ protáhněte a další průsečík s kružnicí % označte písmenem &.
8.2
Popište konstrukci středu ' kružnice opsané trojúhelníku !" (symbolicky nebo slovně).
8.3
Je dána kružnice % opsaná trojúhelníku !", dva vrcholy a polopřímka "&, na níž leží výška #$ . V obrázku sestrojte vrchol ! a doplňte trojúhelník !".
A
C S
X
k
(CZVV)
8.4
Popište konstrukci bodu B (symbolicky nebo slovně).
" trojúhelníku
!"
Typ úlohy:
otevřená
Řešení 8.1 C k vc B
A X
8.2 Střed ' je průsečíkem os stran trojúhelníku !".
8.3 p A
C S
k
X B
8.4 ( ( ) "& * ! ! + (,%
+(
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Ve čtvercové síti je zakreslena síť kvádru.
1 cm (CZVV)
9
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (9.1–9.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N). A
9.1
Nejdelší hrana kvádru měří 6 cm.
9.2
Povrch kvádru je 40 cm2.
9.3
Objem kvádru je 16 cm3.
N
Typ úlohy:
uzavřená – svazek 3 dichotomických úloh
Řešení:
N–A–A
10
Pro velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku platí: -
.
Které z uvedených tvrzení je chybné? A)
-
.
144°
B)
-
.
180°
.
126°
C) D)
Úhel
je ostrý.
E)
Úhel . je tupý.
Typ úlohy:
uzavřená – s výběrem z 5 alternativ (tzv. multiple-choice)
Řešení:
E
11
Kolik cm2 je jedna šestnáctina z jednoho m2? A)
6,25 cm2
B)
16 cm2
C)
625 cm2
D)
1 600 cm2
E)
jiný výsledek
Typ úlohy:
uzavřená – s výběrem z 5 alternativ (tzv. multiple-choice)
Řešení:
C
12
Cena výrobku je vyšší než 100 korun. Dvacet procent ceny výrobku je / korun. Který zápis vyjadřuje polovinu ceny výrobku? A)
/
B)
/
C)
/
/
D)
/
E)
/
Typ úlohy:
uzavřená – s výběrem z 5 alternativ (tzv. multiple-choice)
Řešení:
D
13
Přiřaďte ke každé úloze (13.1–13.3) odpovídající výsledek (A–E).
13.1
Každé balení 150 kostek obsahuje 6 % modrých kostek. Kolik modrých kostek obsahují 2 tato balení? _____
13.2
Pouze 18 studentů jelo na výlet. Zbývajících 40 % zůstalo doma. Kolik studentů zůstalo doma? _____
13.3
Ze 120 studentů byl každý patnáctý student na brigádě. Kolik studentů bylo na brigádě? _____
A) 8 B)
9
C)
12
D) 18 E)
26
Typ úlohy:
uzavřená – přiřazovací
Řešení:
13.1 – D; 13.2 – C; 13.3 – A
&
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14 Na náměstí vede celkem 5 ulic. Šipky udávají povolený směr jízdy autem. Auto smí projet náměstím tak, že některou ulicí na náměstí vjede a jinou ulicí odjede.
Náměstí
(CZVV)
14
Kolika způsoby je možné projet autem náměstí? A) méně než osmi B) osmi C) devíti D) deseti E) více než deseti
Typ úlohy:
uzavřená – s výběrem z 5 alternativ (tzv. multiple-choice)
Řešení:
B
'
