Kovács Edith* SPECIÁLIS TÍPUSÚ BIZTOSÍTÁSOK MATEMATIKAI MODELLJE KÉT KEDVEZMÉNYEZETTNEK ÖRÖKBEHAGYOTT ÉLETJÁRADÉK A dolgozat olyan újszerű biztosítások matematikai modelljeit vezeti be, amelyek megoldást nyújtanak a biztosításokkal kapcsolatos idáig megoldatlan problémáira. A forgalomban lévő életbiztosítási termé kek a következő életbiztosítási fő típusokon alapulnak. Az alábbiakban felsoroljuk őket: 1. ) A haláleseti biztosítás, amelyben a biztosító társaság és két személy szerepel: a biztosított és a haszonélvező. Ez a biztosítás egy meghatározott pénzösszeget biztosít a haszonélvezőnek a biztosított halála után, a biztosítási díj fejében. 2. ) A túlélési biztosítás, amelyben a biztosított és a kedvezményezett egy személy. Ha a biztosított elér egy adott kort, a biztosítási díj fejében kap egy pénzösszeget vagy életjáradékot. 3) Vegyes életbiztosítás, amely egy haláleseti és egy túlélési biztosítás összekapcsolása. Igen kedvelt, mert látszólag előnyösebb, mint az előző kettő, mivel a sors bárhogyan is alakul, vagy a biztosított vagy a kedvezményezett pénzhez jut. Természetesen ez az életbiztosítási típus emiatt többe is kerül. Megjegyzés: A biztosító társaságok ezeket az alapbiztosításokat adják el úgynevezett biztosítási ter mékként, sokszor kiegészítve további feltételekkel, amelyek vonatkozhatnak, pl. a rokkantság esetére vagy az infláció figyelembevételére. Az életbiztosítások nettó díjának a kiszámolása az ekvivalenciaelven alapul: Az az összeg, amelyet a biztosítónak várhatóan ki kell majd fizetnie (diszkontálva a szerződés megkö tésének időpontjára), egyenlő a biztosított által befizetett nettó díjjal (ill. annak diszkontált értékével). Tehát matematikailag, ahhoz, hogy kiszámítsuk a nettó díjat, ki kell számolnunk az adott biztosítási típushoz tartozó várható kiadásokat, amelyek egy biztosított személy (személyek) esetén egy adott kor elérésének valószínűségétől függenek. Ezt a valószínűséget, a nagy számok törvénye Bernoulli formája alapján becsülhetjük: egy esemény megvalósulásának gyakorisága, elég nagy minta esetén, az esemény elméleti valószínűségéhez tart.
* Kovács Edith főiskolai adjunktus, Általános Vállalkozási Főiskola ** Az előadás Székesfehérvárott a „Főiskolák matematika-, fizika- és XVII. országos konferenciáján " hangzott el.
számítástechnika-oktatóinak
32 V
0
lim P\ I — " P l n
Az életbiztosítások esetében ezt a következő formában használják: Egy 10 000 fős nagyságú mintát veszünk figyelembe.
1 Legyen
*
ha a j - dik ember eléri a k kort p
k
^
valószínűséggel
ha a j - dik ember nem éri el a k kort q
k
valószínűséggel
k = l , 2 , ...105 egy adott kor, és j = 1,2,... 10 000 az emberek sorszáma. Feltételezzük, hogy az emberek ugyanolyan eséllyel érnek el egy bizonyos kort, tehát,
PÍ
X[
Pk-
=
egy karakterisztikus valószínűségi változó, amelynek várható értéke és szórása a következő lesz: 2
M(X )=p , k
D {X )=p q .
k
k
k
k
Feltételezzük továbbá, hogy X[ Legyen most ^*
—
függetlenek egymástól, j szerint.
51 ^k , amely megadja, hogy az n= 10 000 fős mintában hány ember éri el 7=1
a k kort.
Y = k
egy binomiális (Bernoulli féle) diszkrét valószínűségi változó,
1
n
C' p'q n
amelynek ismerjük a várható értékét, illetve szórását: M (Y ) = np , k
k
2
D (Y ) = n p q , ahol az n = 10 000. k
k
k
(Az aktuáriusok által használt táblázatokban Y
k
jelölése l .). k
Felírjuk a Csebisev-féle egyenlőtlenséget az — valószínűségi változóra, tehát a k kort elérő egyének relatív gyakoriságára:
n
Az utolsó egyenlőségből, n —» oo esetére a következőt kapjuk.
HmP
n
Pk\>*
< lim nt' relatív gyakorisággal
Tehát p. , (annak a valószínűségét, hogy egy ember eléri a k kort), az n
becsülhető, ha n elég nagy (pld.n= 10000). Ennek alapján számítható az összes többi valószínűség is. A pontosság érdekében nőkre, férfiakra illetve a földrajzi lakóhelytől függően szokták összeállítani a táblá zatokat.
Két kedvezményezettnek örökbe hagyott életjáradék Előző, [l], [2] publikációimban olyan élethelyzetekre dolgoztam ki újszerű biztosítási típusokat, ír tam le matematikai modelljüket, majd kiszámítottam a hozzájuk tartozó nettó díjat, amelyekre a forga lomban lévő életbiztosítási termékek nem vonatkoznak. A „Hagyatékban hagyott életjáradék" nevezetű biztosítás a következő problémára nyújt megoldást: A biztosított, például egy gyermekét egyedül nevelő szülő (x éves), szeretné biztosítani gyermekét (y éves), hogyha ő (a szülő) a gyermek felnőtté válása előtt halna meg, akkor a gyermek egy adott korig y + m ( pld. 25 év) életjáradékot kapjon. Itt a következő problémák merültek föl: • A szülőnek az elhalálozási időpontját nem ismerjük. Emiatt pedig az életjáradéknak sem kezdő időpontját, sem a tartamát sem ismerjük. •
Nemcsak a szülő elhalálozási valószínűségével kell számolnunk, hanem a gyermekével is.
Ezek miatt az összetettebb feladat. A biztosítási szerződés a következőket tartalmazza: 1. ) Ha a biztosított személy elhalálozik a biztosítás megkötését követő m évben, akkor a kedvezményezett életjáradékot kap évente addig, amíg el nem éri azt a bizonyos kort. 2. ) Ha viszont a kedvezményezett hamarább meghal, mint a szerződésben leírt kor, akkor a biztosítónak nincs többé semmiféle kötelezettsége, úgy szintén akkor sem, ha a biztosított személy megéli az x + m kort. (Ennek a biztosításnak a részletei, a nettó díj levezetése az [l] dolgozatban található.) A fenti biztosítást tovább fejlesztettem két kedvezményezett esetére. Ez a biztosítási fajta arra a problé mára nyújt megoldást amikor a szülő halála után (ha ez a felnőtté válás előtt következik be), a két
gyermek addig kap életjáradékot ameddig el nem telik az m év (amikor a fiatalabb gyermek is felnőtté válik) és legalább az egyikük életben van. Legyenek x ,y\ y" természetes számok, a biztosított személy kora illetve a két kedvezményezett kora, a szerződés megkötésének időpontjában, és legyen m azoknak az éveknek a száma, ameddig a kedvez ményezetek elérnek egy-egy adott kort (y + m , y"+m). A két kedvezményezett szimmetrikus helyet foglal a biztosításon belül. Bevezetjük a következő definíciót: Azt mondjuk, hogy a csoport életben van, ha legalább az egyik tagja csoportnak él. Azt mondjuk, hogy a csoport halott, ha mindkét tagja a csoportnak meghalt.
A szerződés a következőket tételezi föl: 1. ) H a a biztosított személy halála m évnél hamarabb következne be, akkor a kedvezményezetek egy S nagyságú összeget kapnak minden év végén, addig ameddig a kedvezményezettek csoportja él és elérik a y ' + m é s y"+m korokat. Legyen az S értéke 1 pénzügyi egység. 2. ) H a a biztosított személy eléri az x + m kort a biztosítónak nincs semmi kötelezettsége. 3. ) A biztosító kötelezettségei akkor is megszűnnek, amikor a két kedvezményezett csoportja meghal.
A nettó díj kiszámolása Tételezzük fel, hogy a biztosított személy meghal a [/, j' + l ) intervallumban, j=0,1,2...m-l. Legyen Z egy diszkrét valószínűségi változó, amely egyenlő ebben az esetben a biztosító kiadásai val, diszkontálva a szerződés megkötésének időpontjára. Ezek a kiadások függnek a kedvezményezett csoport elhalálozási valószínűségeitől: }
•
A biztosítónak nincs semmi kötelezettsége, ha a csoport a szerződés megkötésétől számítva j éven belül hal meg; y + 1e
•
A biztosító
•
A biztosító y ' -|- v
• •
v /
A biztosító y
gységet fizet, ha a csoport a ] / + 1, y + 2] évben hal meg;
+ 1
7 + 1
y + 2
7 + 2
+y
És végül, a biztosító
egységet fizet ha a csoport a ]y + 2, y + 3] évben hal meg (és így tovább). -|
7 + 1 v
yv +
J + 2 V
m _ 1
-\
egységet fizet, ha csoport az \n — 1, m ] évben hal meg, 1- y
m _ 1
+
m v
egységet fizet, ha a csoport m év múlva is,
a szerződés megkötése után is életben van. ^0
v'
+1
v
y + l
+v'
+ 2
•••v
/+l
+...v
m_1
J
m
v +... + v
A következő jelöléseket használtuk: 1
y+i ^ b ^ y ]
=
annak a valószínűsége, hogy a csoport nincs már életben j + 1 évben a szerződés
megkötése után, ami nem más, mint annak a valószínűsége, hogy mindkét kedvezményezett meghal a j + 1 év vége előtt. =
j+k/\#(y
annak a valószínűsége, hogy a csoport meghal a (j+k, j+k+1) évben, ami a tulaj
donképp annak a valószínűsége, hogy a csoport életben van j+k év múlva (legalább az egyikük él), de a csoport halott (mindketten meghaltak) a j+k+1 évvégéig. m
p(y'' y )
=
a n n a
k
a
valószínűsége, hogy a csoport életben van m év múlva (legalább az egyikük él).
1 v= " ; a diszkontálási tényező és i az éves kamatláb. 1+/ .p
- annak a valószínűsége, hogy egy y korú ember életben van j év múlva.
. q = annak a valószínűsége, hogy egy y korú ember meghalt j éven belül. q
= annak a valószínűsége, hogy egy y korú ember eléri a y + j kort,
de nem éli meg az maz y + j +1 kort
1.) Először is kiszámoljuk a J
q(y\y") valószínűséget.
J + k / ]
J
Jelölje
A y és A y azokat az eseményeket, hogy y' illetve y" korú kedvezményezett életben van j
év múlva,
B y és B y pedig azokat, hogy a két kedvezményezett j év múlva már nem él. Ezekkel a
J
j
jelölésekkel a keresett valószínűség a következőképpen néz ki: q(y,y")
jn
p
AJ
= [{ s
n
5
;
Vn5 "
+ ,
J
y ) u ( 5 V nA y
j+x
j
nB y)v(A y
J
nA y
j+]
nB
j+l
y
nB y)\
Feltételezzük hogy a két kedvezményezett halála független egymástól, emiatt: q(y\y") = p{B/)p{A/
jn
n V')+HV n / í / ' M V nfi/)
+,
nB/ ) p{B/)-p{A/ +
Felhasználva a túlélési függvényt, a következőt kapjuk:
ly ~~ ly+j ly+j ~~ ly+j+\ ly ~ ly+j ^ ^ y+/ ~ ^y+j+\ ^y"+j ~ ^y+j+\ /,.
/,
/,•
/,
K'+j ~~ ^y+j+\
ly
Miután elvégezzük a számításokat, a következő összefüggést kapjuk: jnv(y'>y")= n
-jny"] J
2.) Most kiszámoljuk annak a valószínűségét, hogy legalább az egyik kedvezményezett él m év múlva: m
,p(y',y") = P(A yuA%-)
=
ly+m
ly+m
y+m
y+m
l,
ly
ly
ly
A fent bevezetett valószínűségi változónak a várható értéke egyenlő lesz a biztosítónak a várható kiadásaival abban az esetben, ha a biztosított személy az ] / , j + l ] évben hal meg: m- j-\ í
k=\
k
5=1
\
m
*=1
Most felhasználjuk a valószínűségek feljebb levezetett képleteiket:
m- j-\
+
M
Z
( j)
+
k=\
\
.k
y
m-j-\f
y
5=1
m
y
k=\
J+k
J+k
+k
m
s=\
J
k
\
m
m
k=\ kk
m-j-\(
w
k=\
JJ
m
+ Py-^ + Py-^ - Py Py-^'' m
m
s=\
m
m
vJ+k
+LPy+ Py- Py Py)Z
y+i
y
x-j-\( *=i
V>+I
X (^/^/ / */.9y- /^(y',y)E
=
=
m
k=\
f m-j-\
Jc__
jn_
5=1
k=\
\
(m-j-\ k=\
J
5=1
*=1
fm-j-\ S( k=\
,
y
+
,
v
* ,í[)' ,y E '
+
,
/
+
v
) -/'y-^S * k=\
J
v kitevői szerinti csoportosítások után a következőt kapjuk: m-j-\
m-j-\
m-j-\
Zv - p ,
XA/v-
* =1
£=1
k
M(Zj)=
k
y +
Iv*.^,,^, k=\
Legyen £ diszkrét valószínűségi változó amely felveszi Z j várható értékeit azokkal a valószínűségek kel amelyek szerint a biztosított a [y;y +1)intervallumokban hal meg: j = 0 , l , . . . m - l , k>- T
M(Z,)
M(Z ) 2
M(Z ) 7
7/1
Af(Z . ) m
I
0
c
4,
yAz ekvivalencia elv alapján a biztosító nettó kiadásai egyenlőnek kell lenniük a biztosított által fizetett nettó díjjal a szerződés időpontjára diszkontálva. m - l (m-j-\
m-l
M(g)^M(Zj) =^ jnqx
y=o
m-j-\
Év*-,/,,. + I v S p , 7=0
*=1
*=1
m-j-\ Sv*.,;;,.,;,, k=\
7/1
9,
A fent előforduló valószínűségeket könnyedén kiszámíthatjuk az 1 túlélési függvény segítségével.
^x+k
x+k
l
'
k l s
K+k+s
IRODALOMJEGYZÉK Edith Kovács: O n The Bequeathing Of a Life-Annuity PAMM: BAM-1727/2000. XCI. Edith Kovács: Insurance in Death Case with a Transfer of a Life-Annuity to The Beneficiary of Insurance. PAMM: BAM-1978/2002. XCDC. M Iosifescu, G h . Mihoc, R. Teodorescu: "Teória probabilitatilor si statistica matematica". Ed. Tehnica, Inc. 1998. Gh. Mihoc, I. N . Craiu, N.C. Radu, D. Firescu, B. Comisioner "Teória matematica in operatiunile f financiare" vol I si II, Ed. Stiintifica, Bucuresti 1960. Ion Purcaru: "Matematici si asigurari" Ed. Economica - Bucuresti 1994. Gerger, H.V.: Lebensversicherungs-Mathematik, Springer, 1986.
98
