11.o. Fakt. Bp.
Sorozatok B.: a végtelen
tanm_soroz_B_szamossagok.doc
Sorozatok B.: Tanulmányok a számosságokról, a végtelenről, a prímekről, a rac. és irrac számokról A. B.
Sorozatok általában Tanulmányok a végtelenről, a prímekről a racionális és irracionális számokról. I. Számosság fogalma 1) Halmazok ekvivalenciája a) Hogy is számolunk? (i) Gyerekkorban: ujjunkon - az ujjakat párbaállítjuk az 1,2,3,4,5 fogalmakkal, majd az ujjunkkal párbaállítjuk az általunk látott tárgyakat. Ugyanígy a birkapásztor: amikor reggel kimennek a birkák, akkor minden birkánál bedob egy vödörbe egy kavicsot. Amikor hazajönnek a birkucik, akkor kivesz minden karámba belépőnél egy kavicsot. Ha nem maradt kavics, rendben van, ha maradt: baj van. (ii) Hogyan állapítjuk meg, hogy az osztályban ugyanannyi szék van mint tanuló? (iii) Furcsa párbaállítás Páros természetesek; természetesek; páratlan természetesek; 10-nél nagyobb természetesek? Nyilvánvalónak tűnik, hogy a természetesek többen vannak a párosoknál. De csavarhatjuk úgy is, hogy a párosok legyenek többen a természetesnél: 0↔10; 1↔12; 2↔14; 3↔16 stb. Így minden természetesre „ráül” egy páros, de még marad is ki! n→n n→2n+1 n→2n stb. Párbaállítunk: „ekvivalens hozzárendelés”
Soroz. B/1
11.o. Fakt. Bp. 2)
Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc Bijekció …f( ):A→ B függvény bijekció, ha f( ) fv, vagyis minden A-beli elemnek csak 1 B-beli elem lehet a képe Ha különböző A-beli elemek képe különböző (f injektív), Minden B-beli elem kép (f szürjektív). Nézzünk rá példákat: Függvény (leképezés): Két halmaz elemeinek egymáshoz rendelése oly módon, hogy az első halmaz minden eleméhez pontosan egy elemet rendelünk a második halmazból. Az első halmaz neve értelmezési tartomány, a második halmazé képhalmaz, az értelmezési tartomány elemeihez rendelt elemek halmaza az értékkészlet. Kölcsönösen egyértelmű függvény (injekció): Olyan függvény, ami az értelmezési tartomány bármely két különböző eleméhez az értékkészlet különböző elemeit rendeli. (Invertálható) Pl.: Ráképezés (szürjekció): Olyan függvény, amely képhalmazának minden elemét rendeli értelmezési tartományának valamelyik eleméhez. Kölcsönösen egyértelmű ráképezés (bijekció) Olyan függvény, ami injekció is és szürjekció is. Ez utóbbi fogalom felhasználható egy új, halmazelméletben rendkívül nagy jelentőséggel bíró fogalom definiálására: Ha A és B elemeit párokba akarjuk állítani (A elemeihez B-beli párokat hozzárendelni), akkor a következőt várjuk el Különböző elemekhez különböző pár tartozzon, Minden B-beli elem valamelyik A-beli elem párja legyen. Így bijekciókra – bijektív fv-ekre – hivatkozhatunk mint párbaállító leképezésekre. Egyenlő számosságú halmazok: Két halmaz egyenlő számosságú, ha van olyan bijekció, ami az egyiket a másikra képezi le. Soroz. B/2
11.o. Fakt. Bp. 3)
4)
Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc Véges halmazok elemszáma Def: Véges halmaz: A H halmazt véges halmaznak nevezzük, ha van olyan n∈N szám, amelyre H ekvivalens az {x∈N|x≤n} halmazzal - vagyis: „Egy halmazt végesnek mondunk, ha véges sok eleme van, azaz, ha elemei számát egy természetes számmal meg lehet adni.” (Matematikai Kisenciklopédia) Bizonyítható, hogy a véges halmazokra igaz, hogy a halmaz bármely valódi részhalmazának kevesebb eleme van, kisebb az elemszáma az eredeti halmaznál: Ezt definícióként is szokták használni: Egy halmazt akkor mondunk véges halmaznak, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, hogy közte és a valódi részhalmaza között bijekció létesíthető. (Egy halmaz véges, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem). A két definíció ekvivalens, nem bizonyítjuk. Végtelen halmaz: Első definíció: a végtelen halmaz olyan halmaz, amely nem véges. Vagyis: egy halmazt végtelennek mondunk, ha végtelen sok eleme van, azaz elemeinek számát semmiféle természetes számmal nem lehet megadni. Ilyen például: egy szakasz pontjainak halmaza, v. a természetes számok halmaza. Érdekes ugye: N={1;2;3;4;5…}De van-e olyan nagy természetes szám, amellyel jelölni lehetne az elemszámát. Itt bajban vagyunk: hiszen ha egy n természetes számmal jelölöm az elemszámát, akkor gond van, hiszen van n+1 értékű természetes szám, amely miatt n-nel nem lehet megadni az elemei számát. Tehát ha úgy vélem, hogy tényleg létezik „követő-halmaz”, vagyis amely tartalmazza minden tagjának rákövetkezőjét, akkor sajnos azt is kell mondanom, hogy létezik egy olyan א0 jel, amely jelzi a természetes számok halmazának „elemei-számát”, vagyis számosságát, melyet alább definiálunk. Ez bizonyosan nem valami valós, v. természetes típusú szám, pedig valamiképpen mennyiséget jelöl.
Soroz. B/3
11.o. Fakt. Bp. 5)
Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc Definíció: Számosság Két végtelen halmazra ne mondjuk azt, hogy az elemszáma megegyezik, mert ezt a végeseknél könnyebb mondani. … A és B halmaz egyenlő számosságú, ha a két halmaz között bijekció létesíthető. (Vagyis létezik egy olyan bijektív ϕ( ) függvény, melynek alaphalmaza A és képhalmaza B. … két halmaz egyenlő számosságú ( A~B ; vagyis „A egyenlő számosságú B-vel”) ha elemei között egy-egyértelmű megfeleltetés létesíthető) … A ekvivalens B-vel, ha egyenlő számosságú.
6)
Vagyis véges halmazoknál elemszámról - végteleneknél számosságról beszélünk. Úgy tűnik, hogy a végtelen halmazoknál megszűnik az az arisztotelészi állítás, hogy a rész kisebb mint az egész. Axióma kérdése, hogy létezik-e végtelen halmaz! A halmazok axióma-rendszerében azt mondjuk, hogy ∃ végtelen halmaz.
Soroz. B/4
+
Mutasd meg, hogy egy körnek ugyanannyi pontja van, mint egy zárt szakasznak!
11.o. Fakt. Bp. Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc II. A végtelen számosság 1) Példák: a) Szállodák ~ természetes számok Mese: végtelen szobás szálloda. Minden szoba tele van. Jön 10 új ember. Mit tegyen a portás? Mese: 2 db. végtelen szobás szálloda. Minden szoba tele van. Az egyikben bombariadó van, mindenki átköltözik a másikba. Mit tegyen a portás? b) Két szakasz; két kör Mutasd meg, hogy két szakasz, két kör pontjainak száma megegyezik. c) Nyílt és zárt szakasz: ha akarom a zárt a több, de ha kivágok a nyíltból egy zártat, akkor a nyílt lesz a több. Új gondolat: nagyon nehéz: „ekvivalenciatétel” 2) Def.: Azokat a halmazokat, amelyek egyenlő számosságúak a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen számosságúnak, vagy röviden megszámlálhatóan végtelennek nevezzük. a) Pl.: négyzetszámok, páros számok, az 1/n alakú racionális számok stb. b) Igaz-e, hogy minden sorozat értékkészlete megszámlálhatóan végtelen. Válasz: nem, mert pl: an:=1 c) Igaz-e, hogy minden megszámlálhatóan végtelen halmaz elemei sorozatba rendezhetők, vagyis felírhatók a1; a2; a3;…an… formában? Válasz: Igen. U.i.: Ha egy A halmaz megszámlálhatóan végtelen, akkor egyenlő számosságú N-nel, vagyis létezik elemeik között egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Ekkor a megfeleltetett természetes számok legyenek a sorozat indexei, s a tagok a megfelelő indexhez rendelt A-beli tagok. 3) Def: az előbbiek alapján a természetes számok halmazával ekvivalens számosságú halmazokat megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük. 4) Áll.: ∀ végtelen számosságú halmaznak ∃ megszámlálhatóan végtelen részhalmaza. Biz.: Legyen A egy végtelen számosságú halmaz. Vegyük ki egy elemét, ez legyen a1. Marad A/{a1} Ennek is vegyük ki egy elemét, ez legyen a2. Marad A/{a1;a2} Ez az eljárás vég nélkül folytatható, ugyanis ha „kiürülne a k-adik lépesben, akkor csak véges sok (k db.) eleme lett volna az A-nak. Így az a1;a2;a3;a4;… sorozathoz jutunk, melynek számossága megszámlálhatóan végtelen.) Soroz. B/5
+
11.o. Fakt. Bp. 5)
Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc Tétel: ∀ végtelen számosságú halmaznak ∃ vele egyenlő számosságú valódi részhalmaza. Biz.: Legyen A egy végtelen halmaz. Ebből kiválaszthatunk egy N-nel ekvivalens részhalmazt (lehet hogy valódi), ez legyen S halmaz, amelyet rendezzünk sorozatba: {an}. Ennek az {an} sorozatnak ∃ vele ekvivalens számosságú indexsorozata: pl: b1:=a2; … bn:=an+1. E sorozat elemei alkossák T halmazt. Természetesen: S~T. Ekkor: A~(A\S)∪T=A\{b1}, hiszen a következő megfeleltetést tehetjük: a∉S ⇒ a↔a, ha a∈S ⇒ ∃! egy kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető b∈T: a↔b. Végül vegyük észre: (A\S)∪T valódi részhalmaza A-nak (vagyis vele nem egyenlő).)
6)
Mindezek után megfogalmazhatjuk egy olyan definícióját a végtelen halmaznak, amely nem hivatkozik számlálásra vagy a természetes számokra: Def.: Egy halmazt végtelennek mondunk, ha létezik vele egyenlő számosságú valódi részhalmaza. (Itt most egy kis „fából vaskarika” van: először végtelen halmazokkal dolgoztunk, s csak utána definiáltuk le őket. Az is kérdés, hogy ∃-e ilyen végtelen halmaz. Ezt ugyanúgy létre kell hozni axiómával, ahogy pl. az üres halmazt. De akkor milyen végtelen halmazt hozzunk létre. Elég egyet, s abból legyártjuk a többit, vagy sokat kell létrehozni?) Állítások: a) Egy nyílt szakasz pontjainak száma egyenlő számosságú egy zárt szakaszéval b) Egy kör pontjainak száma egyenlő számosságú egy egyenesével c) Az A halmaz végtelen, a B halmaz véges ⇒ A∪B~A. d) Az A halmaz végtelen, a B megszámlálhatóan végtelen ⇒ A∪B~A. e) Egy ravasz kérdés: A halmaz végtelen, B~A, B∩A=∅, Igaz-e, hogy A∪B~A? Rendezések a számosságok között Az A halmaz számossága nem nagyobb a B halmaz számosságánál, ha van a B halmaznak olyan részhalmaza, ami A-val ekvivalens. Az A halmaz számossága kisebb a B halmaz számosságánál, ha nem nagyobb nála és nem egyenlő vele. Persze kérdés: létezik-e az א0 -nál nagyobb számosság!
Adjunk meg a pozitív egész számoknak három olyan részhalmazát, amelyek közül bármely kettő közös része végtelen, de a három halmaznak nincs közös eleme.
CD I/II/262/a-j; 267/a-g
7)
8)
Soroz. B/6
+ Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak véges sok piros rácspont legyen. (Rácspontnak a sík olyan pontjait nevezzük, amelyeknek mindkét koordinátája egész szám.)
11.o. Fakt. Bp. Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc III. A racionális, az algebrai és a valós számok számossága 1) Bevezető: a) Lsd.: I/1/a: végtelen sok végtelen hosszú szálloda b) Írógép Kódolás: Van egy írógépem, melynek 11 billentyűje van. 0,1,2,3,…9, és a szóköz. Az írógépben a papír végtelen hosszú. Természetes számokat adunk Péternek, valahányat, valamilyen hosszúakat. Péter leül a gép elé, és leírja őket. Majd kimegy a szobából. Bejön Pál, és megnézi a papírt, és vissza tudja mondani a Péter által írt számokat. Rendben van. Igenám, de elromlik a 9-es billentyű! Mit tegyenek, hogy Péter el tudja olvasni a Pali által kódolandó számokat? Ha megvan a megoldás, akkor sajnos elromlik a 8-as is. Sőt: már ott tartunk: csak az 1,2 és szóköz van. Balhé van: elromlik a 2-es is. Mégnagyobb balhé van: elromlik a szóköz is! (Van megoldás, és a feladat az algebrai számok számosságának a problémája!) 2)
Állítás: Z sorba rendezhető, vagyis számossága megegyezik N számosságával. Biz.: Tudjuk, létezik A és B halmaz, olyan, hogy A~N és B~N és A∩B=∅ és A∪B=N. Pl.: a párosak és a páratlanok. De ekkor: mivel N~Z+0 illetve N~Z– , ⇒ A~Z+0 illetve B~Z– , így A∪B~Z, vagyis Z~N. Vagyis: találhatunk egy megfelelő sorbarendezést: ∞
⎧ n ⎡ n ⎤⎫ ⎨(− 1) ⋅ ⎢ ⎥ ⎬ ⎣ 2 ⎦ ⎭ n =1 ⎩
Soroz. B/7
11.o. Fakt. Bp. 3) +
Károly és Péter a következőt játsszák: Péter minden lépésben kiszínez egy még nem színes pontot pirosra, Károly száz még nem színes pontot kékre. A sík összes pontja közül választhatnak. Péter célja az, hogy legyen három olyan piros pont, amelyek egy szabályos háromszög csúcsai. Meg tudja-e ezt akadályozni Károly, ha Péter okosan játszik? 4)
5)
CD I/II/267/c, g
Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc Áll: A, B, C diszjunkt, megszámlálhatóan ∞ halmazok uniója is megszámlálhatóan végtelen. 1. Biz.: A={a1, a2, a3, …} B={b1, b2, b3, …} C={c1, c2, c3, …} A∪B∪C={a1;b1;c1;a2;b2;c2;…}(„fésűs egyesítés”) 2. Biz.: Az előbbi pontban láttuk, hogy két megszámlálhatóan végtelen halmaz egyesítésével nyert halmaz szintén megszámlálhatóan végtelen. Ekkor az unióképzés asszociativitása miatt: A∪B∪C=(A∪B)∪C. Ekkor (A∪B) számossága megszámlálhatóan végtelen, és ezt újra egy megszámlálhatóan végtelen halmazzal egyesítem.9 Ezzel a módszerrel n db. megszámlálhatóan végtelen halmaz uniója is megszámlálhatóan végtelen. Áll.: A racionális számok számossága is megszámlálhatóan végtelen számosság; vagyis ZxN számossága megszámlálhatóan végtelen. Biz.: Először csak a pozitív racionálisakat számoljuk össze: N+×N+: (igazából egy kicsit kevesebbet) Írjuk le először a pozitív természeteseket (ezek az „1” nevezőjűek). Utána a 2 nevezőjű racionálisakat (számláló és nevező relatív prím legyen!), majd a 3 nevezőjűeket stb. 1 2 3 4 5 … 1/2 3/2 5/2 7/2 9/2… 1/3 2/3 4/3 5/3 7/3… 1/4 3/4 5/4 7/4 9/4… 1/5 2/5 3/5 4/5 6/5 1/6 5/6 7/6 11/6 13/6 1/7… Ezek után cikcakk út mentén bejárhatjuk a táblázatot, és bármely racionális számhoz egyértelműen rendelhetünk egy lépésszámot. Ez a pozitívokat rendezte sorba, hátra van még a 0 és a negatívok, de azt már az előbbiek alapján könnyen be tudjuk látni, hogy a 0, a pozitív rac-ok és a negatív rac-ok uniója is megszámlálhatóan végtelen. Az előző „cikkcakk” bejárásból következik a következő tétel: Tétel: Megszámlálhatóan végtelen sok megszámlálhatóan végtelen halmaz egyesítése is megszámlálhatóan végtelen. Soroz. B/8
11.o. Fakt. Bp. 5)
6) 7)
Mutasd meg, irracionális!
hogy
2
7) +
Aladár (O) és Béla (×) a következő játékot játsszák végtelen négyzetrácsos papíron. Aladár egy O-t tehet, Béla két ×et (akárhová, nem kell együtt lennie a két ×-nek). Béla célja az, hogy valamelyik vízszintes sorban száz × legyen egymás mellett. Ha Béla okosan játszik, meg tudja-e ezt akadályozni őt Aladár ebben?
Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc „Szám-n-esek”: Áll.: egy megszámlálható halmaz elemeiből képzett rendezett szám-n-esek halmaza is megszámlálható: Biz.: A 4. pont 2. bizonyítása szerint: a számkettesek megszámlálhatóan vannak. Ezekből és a N-ből a „cikcakk” féle elrendezés segítségével képezzük a számhármasokat: (1;(a;b)) (1;(a;c)); (2;(a;b)); stb. Ezekből is tehát megszámlálhatóan sok van. Ugyanígy a szám 4-esek stb. Vagyis bármely n-re megszámlálhatóan sok szám-n-es van. Def.: Az egészegyütthatós algebrai egyenletek gyökeit algebrai számoknak nevezzük. pl.: a 3, mert: x–3=0 egyenletnek a gyöke. de a 2 is algebrai szám: x2–2=0 egyenlet megoldásai közül az egyik. Áll.: Az algebrai számok számossága megszámlálhatóan végtelen. Biz.: Írjuk fel az egyenleteket: a1x–c1=0 a2x–c2=0…, a1x2+b1x–d1=0 Itt az együtthatók felső kitevője is megkülönböztető index. Végeredményben az egész együtthatós egyenleteket számkettesekkel (a1;c1), stb, számhármasokkal (a1;b1;c1) stb, … szám-n-esekkel jelölhetjük kölcsönösen egyértelműen. pl: 5x5+4x2–3=0 ↔(5;0;0;4;0;–3) Mivel bármely n-re a szám-n-esek megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, ezért a „cikkcakk” féle elrendezés szerint az első sorba leírjuk a számketteseket, a második sorba a számhármasokat, az n-edik sorba a szám-n-eseket, majd a újra a „cikkcakk” féle módszerrel összeszámoljuk őket – sorba rendezzük őket. VIGYÁZAT: ez nem azt jelenti, hogy az irracionális számok megszámlálhatóan sokan vannak, csak azt, hogy az algebraiak vannak megszámlálható sokan.
Soroz. B/9
CD I/II/263;
11.o. Fakt. Bp. Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc IV. A valós számok számossága 1) Állítás: a valós számok számossága nem megszámlálható számosság, annál nagyobb: Módszer: a „Cantor féle átlós módszer” Tegyük fel, hogy a valós számok mégis megszámlálhatóan végtelen halmazt alkotnak, azaz sorozatba lehet őket rendezni, ekkor a 0 és 1 közé esőket is sorozatba lehet rendezni. A sorozat a következő: 0,a1,1a1,2a1,3a1,4a1,5a1,6… 0,a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5a2,6…
+
Egy zsákban végtelen sok cédula van, mindegyiken egy pozitív egész szám. Akárhogyan húzunk ki végtelen sok cédulát, mindig van közöttük kettő, amelyeken álló számok különbsége legfeljebb egy millió. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szám, amelyik végtelen sok cédulán szerepel.
0,a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5a3,6… és így tovább. an,k itt az n. valós szám k. tizedes jegyét jelöli. Készítünk egy olyan s = 0,b1b2b3b4b5… 0 és 1 közötti valós számot, ami biztosan nem szerepel a felsorolásban. Ennek a számnak a tizedes jegyeit úgy kapjuk meg, hogy sorban elrontjuk az egyes számokat. b1 legyen tetszőleges a1,1-től és 0-tól különböző, b2 legyen tetszőleges a2,2-től és 0-tól különböző stb. bi legyen tetszőleges ai,i-től különböző számjegy. Ekkor s biztosan nem szerepel a felsorolásban, hiszen a sorozat minden elemétől legalább egy jegyben különbözik. A bizonyítás már majdnem jó: hiszen egyes valós számoknak kétféle tizedestört „kódolása”, alakja van, mint például a két tizednek: 0,19999… = 0,20000…. Így megtörténhet az, hogy bár az általunk készített szám mindegyik felsorolttól különbözik az alakját illetően, mégis ott szerepel közöttük. A legegyszerűbben úgy kerülhetjük ezt el, hogy bi legyen sohase legyen 9. Ugyanígy persze maguknál a leírt valós számoknál se engedjük meg a valamely jegytől kezdve állandó 9-essel kifejezett számot! 2) 3)
A valós számok számosságát „continuum” számosságnak nevezzük, jele c, gót c. Így kiderült, hogy a valós számok sokkal többen vannak, mint a racionális számok, vagy az algebrai számok. Azokat a valós számokat, melyek nem algebraiak: transzcendens számoknak nevezzük. Ilyen például az „e” vagy a „π”
Soroz. B/10
CD I/II/268, 269
+
Van-e a pozitív egész számoknak olyan részhalmaza, amely tartalmaz akármilyen hosszú számtani sorozatot, de nem tartalmaz végtelen hosszút?
+
Tigris felfelé tud mászni a fán, de lefele nem tud. Van-e olyan fa, amelyen Tigris akárhány emelet magasra fel tud mászni, de végtelen magasra nem tud felmászni. (A fán emeletenként vannak elágazások.)
11.o. Fakt. Bp. Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc V. Minden számosságnál van nagyobb számosság 1) Az „egyenlő számosság” ekvivalencia reláció-e? Reflexív: A~A Szimmetrikus: A~B ⇒ B~A Tranzitív: A~B; B~C ⇒ A~C Ezt hogyan lehetne belátni? Vagyis az „egyenlő számosságú” reláció ekvivalencia reláció. Iyen módon tehát a halmazok ekvivalencia-osztályokba sorolhatóak. Két halmaz akkor és csak akkor tartozik egy osztályba, ha egyenlő számosságú. 2) Határozzuk meg egy n-elemű halmaz hatványhalmazának számosságát! (Lsd. Teljes Indukció: Sorozatok C) 3) Állítás: |H|<|P(H)| Mi következik a tételből? Az, hogy minden számosságnál van nagyobb számosság, azaz nincs legnagyobb számosság. Biz.: Indirekt Legyen egy H végtelen halmaz, és P=P(H). Tegyük fel, hogy létesíthető egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a két halmaz – H és P – között. Ekkor kétféle H-beli elem létezik: (h és h’ típusú): h↔p típusú, úgy, hogy h∈H és p∈P és h∈p. (Nyilván p H-ban részhalmaz!) h’↔p’ típusú, úgy, hogy h’∈H és p’∈P és h’∉p’. (Nyilván p’ H-ban részhalmaz!) H1:={h∈H| h∈ a hozzá rendelt P-beli elemnek} H2:={h∈H| h∉ a hozzá rendelt P-beli elemnek} (Ha akarom, megcsinálhatom úgy, hogy egyik halmaz se legyen üres, de ez nem fontos) Ekkor: H1∪H2=H és H1∩H2=∅ Nyilván H2⊂H, vagyis H2∈P, van egy hozzá tartozó H-beli elem, ahol k∈H Nézzük meg, ezt a párt: k↔H2. Vizsgáljuk meg, hogy k hozzátartozik-e H2-höz, vagy sem. (Hiszen vagy benne van, vagy nincs benne, hiszen H2⊂H • k∈H2 ⇒ k olyan típusú, hogy k∉H2 1 • k∉H2 ⇒ k olyan típusú, hogy k ∈ H 1 Vagyis ellentmondásra jutottunk!
Soroz. B/11
11.o. Fakt. Bp. 4)
Sorozatok B.: a végtelen Belátható, hogy |P(N)|=|R.| Pl.: Ruzsa I.: A matamatika és a filozófia határán: 306.o
tanm_soroz_B_szamossagok.doc
Nézzük az {1;3;4;5;11} részhalmazt: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0… Felül a természetesek, alatta jelölve: a kijelölt részhalmazban benne van, vagy nincs: 1 v. 0. Nézzük az {2;4;6;8…} párosakból álló részhalmazt: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0 1 0 1 0 1 0
10 1
11 1
12 1
13 0
14 1
15… 0…
Most az alsókból csináljunk „diadikus”, - kettes számrendszerbeli, [0;1] - törtet úgy, hogy: mindegyik elé egy 0-t írunk és egy vesszőt: {1;3;4;5;11}↔ 0,10111000001000… {2;4;6;8…}↔0,010101010101… Nyilván a véges racionálisakat kétféleképpen is leírtuk, de az csak megszámlálhatóan végtelennel növel… Mindenesetre a [0,1] valós számokkal állítottuk párba a |P(N)|, amely már ekvivalens R-rel. Így: a
Soroz. B/12
11.o. Fakt. Bp. 5)
Sorozatok B.: a végtelen tanm_soroz_B_szamossagok.doc Egy érdekes kérdés: Beláttuk az Algebrai számok számosságának vizsgálatakor, hogy a szám n-esek (szám 1-esek, szám-2-esek, szám-3-asok stb.) megszámlálható sokan vannak. Igenám, de írjuk csak le ezeket: (0), (1), (2), (3), (4), (5)…. (megszámlálható sok) (0,1) (0,2), … (1,0), … (megszámlálható sok) … (0,0,0,0), …(0,1,2,3)… (megszámlálható sok) Ha a zárójeleket nem rendezettségnek tekintem, és ráadásul még el is hagyom azokat a számn-eseket, melyekben 2 azonos elem szerepel, akkor - csökkentéssel - megkaptam a természetes számok hatványhalmazának egy felírását: 1 eleműek, 2 eleműek, … De az előbbiekből az következik, hogy a természetes számok hatványhalmazának számossága nem ekvivalens, nagyobb számosságú a természetes számok halmazánál… Hol van a hiba? Pl.: nincs sorszáma a következő P(N)-beli halmaznak: N\{1;2;3} Jó, de akkor javítsunk a dolgon: vegyük először a fenti szám-1-esek, szám-2-esek stb. halmazt, amely megszámlálható. Ezek után írjuk fel ugyanígy azokat a halmazokat is, amelyek a következőképpen képződnek: N\{ }, ahol a természetesekből a szám 1-eseket, szám-2-eseket, stb. vesszük ki. Nyilván ezek is megszámlálhatóan sokan vannak. Namármost, e két megszámlálható halmaz uniója is megszámlálható (fésűs összerendezés!) Akkor most hol a hiba? Nincs sorszáma mondjuk: a párosoknak. Akkor azokat is legyártjuk: 2 -vel oszthatók stb. VIGYÁZAT: VÉLETLENÜL NEM KÖZELÍTÜNK A RENDEZÉSEKHEZ, A DEDEKIND SZELETEKHEZ? Kéne egy általános módszer! Nézzük a Cantor félét ehhez is!
Soroz. B/13
