SOROZATOK Definíció: A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete számhalmaz. Jelölése: (𝒂𝒏 ) A sorozat tagjai: az első tag
𝒂𝟏 ,
a második tag
𝒂𝟐 ,
a harmadik tag
𝒂𝟑 , ......
az n-edik tag
𝒂𝒏 , ...... Számtani sorozatok
A gyakorlatban gyakran fordulnak elő az olyan számsorozatok, amelyekben bármely két szomszédos tag különbsége. Az ilyen sorozatokat számtani sorozatoknak nevezzük. Definíció: Azt mondjuk, hogy az (𝒂𝒏 ) sorozat számtani sorozat, ha van olyan 𝒂 és 𝒅 szám, amelyre teljesül, hogy 𝒂𝒏 = 𝒂 és 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 + 𝒅, ha n 1. A 𝒅 álllandó a számtani sorozat differenciája vagy különbsége. A számtani sorozat n-edik tagja (általános tagja):
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 – 𝟏) ∙ 𝒅.
1) Írd fel a számtani sorozat első négy tagját, ha a)
𝑎1 = 5 és 𝑑 = 4
b)
𝑎1 = 3 és 𝑑 = −2
c)
𝑎1 = 7 és 𝑑 = 0
2) Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy 𝑎1 = 6 és 𝑑 = 5. Határozd meg 𝑎20 , 𝑎35 és 𝑎100 értékét! 3) Egy (𝑎𝑛 ) számtani sorozat ötödik tagja 7, tizenegyedik tagja 19. Add meg a sorozat kezdőtagját és differenciáját! 4) Egy számtani sorozatban 𝑎4 = −2, 𝑎11 = 5. Mivel egyenlő az 𝑎2015 ? 5) Egy számtani sorozatban a1 = 7 és a5 = 22. Tagja-e a sorozatnak a 167? 6) Egy számtani sorozat 28-adik tagja 95, 32-edik tagja pedig 111. Hányadik tagja ennek a sorozatnak a 191? 7) Egy számtani sorozat nyolcadik tagja 8, differenciája 3. Hány tagja van a sorozatnak 500 és 700 között? 8) Egy számtani sorozatban 𝑎7 = 70 és 𝑎15 = 150. Hány tagja van a sorozatnak 999 és 1751 között? 9) Egy nézőtér első sorában 60 személy ülhet. Hány embernek van helye a nézőtér 20. sorában, ha minden sorban az előzőnél 8-cal több ülőhely van?
Összetettebb feladatok: 10) Egy derékszögű háromszög oldalai olyan számtani sorozatot alkotnak, amelynek a differenciája 1. Mekkorák a háromszög oldalai? 11) Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 150 cm2. Mekkorák a háromszög oldalai? 12) Határozza meg annak a derékszögű háromszögnek az oldalait, amelynek az oldalhosszúságai egy 2 differenciájú számtani sorozat egymást követő tagjai! 13) Egy számtani sorozat első tagja 2, huszonkettedig tagja 14. Hányadik tagja e sorozatnak a 6? 14) Egy számtani sorozat első tagja 4, differenciája 5. Hány tagja van a sorozatnak 1000 és 2000 között? 15) Az an számtani sorozat tagjai között az alábbi összefüggések állnak fenn: a5 a6 a7 72
és
a10 a11 a12 87
Határozza meg a sorozat első tagját és differenciáját! 16) Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 12, a harmadik, a negyedik és az ötödik tag összege 30. Melyik ez a sorozat? 17) Egy számtani sorozat első két tagjának a négyzetösszege 52, a második és a harmadik tag négyzetösszege 100. Adja meg ezt a sorozatot! A számtani sorozat első n tagjának összege: 𝑆𝑛 = 𝑆𝑛 =
𝑎1 + 𝑎𝑛 ∙𝑛 2
𝑛 [2𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑] 2
18) Egy számtani sorozat ötödik tagja 11, nyolcadik tagja 17. Számítsd ki a számtani sorozat első 10 tagjának összegét! 19) Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy 𝑎1 = −7 és 𝑑 = −2. Határozd meg 𝑆100 értékét! 20) Egy számtani sorozat ötödik tagja 10. Határozd meg az első kilenc tag összegét! 21) Egy számtani sorozat első három tagjának összege -12, szorzata 80. Melyik ez a három tag? 22) Egy számtani sorozat ötödik tagja 17, hetedik tagja 10. Mennyi az első tag, a differencia, az első 8 tag összege? 23) Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának összege 2, kilencedik és harmadik tagjának különbsége 24. Mennyi az első tíz tag összege? 24) Határozd meg a háromjegyű a)
páros számok összegét;
b)
páratlan számok összegét!
25) Számítsd ki az 1000-nél nem nagyobb, 3-mal osztható pozitív egész számok összegét!
26) Határozd meg a háromjegyű, hárommal osztható pozitív egész számok összegét! 27) Határozd meg azoknak a kétjegyű pozitív egész számoknak az összegét, amelyek 4-gyel osztva 1-et adnak maradékul! 28) Egy számtani sorozat második tagja 9, negyedik tagja 17. Hány tagot adtunk össze az elsőtől kezdve, ha az összeg 10 877? 29) Egy trapéz alakú nézőtér első sorában 20 szék van, majd minden további sorban eggyel több. Összesen 22 sor van a nézőtéren. Hány ülőhely van? 30) Hányat üt egy toronyóra egy nap alatt (24 óra alatt), ha csak az egész órákat üti (és például 16 órakor, azaz délután 4 órakor 4-et üt)? 31) Egy trapéz alakú nézőtér első sorában 10 szék van, majd minden további sorban kettővel több. Hány sor szék van a nézőtéren, ha az ülőhelyek száma 252? 32) Egy színházi nézőtéren, amely felülről nézve egy körgyűrűcikk, 24 sor van. Az első sorban 18 hely van, utána minden sorban 3-mal több. Hány férőhelyes a színház? 33) Berci és Andris egy kis zsebpénzre tehetnek szert, ha vállalják a kiürült befőttes üvegek ki- és lemosását (címkétől való megszabadítását). A délutáni elfoglaltságuktól függően az első napon 40 üveget hoztak rendbe, a további napokon 10-zel többet, mint az előzőn. Hányadik napon kerül sorra az 500. üveg? 34) Egy körgyűrűcikk alakú szabadtéri nézőtéren minden sorban 4-gyel több férőhely van, mint az előtte lévőben. Hány sorba tudunk elhelyezni 240 nézőt, ha az első, 40 férőhelyes sortól kezdve minden helyre ültetünk embert? 35) Könnyelmű fiatalember ismerősünk 100 000 $ készpénzre tett szert, s első útja Monte-Carlóba vezetett, ahol szerencsejátékkal próbálta növelni vagyonát. Csakhogy már az első napon 10 $-t vesztett, s minden ezt követő napon 3 $-ral többet, mint az előzőn. a)
Legfeljebb hány napig játszhatott?
b)
Mennyit vesztett a 10., a 200., illetve az utolsó napon?
36) Meddig adtuk össze 1-től kezdve a természetes számokat, ha az összegük négyjegyű szám lett? 37) Meddig adtuk össze 1-től kezdve a természetes számokat, ha az összeg 5000 és 5100 közé esik? 38) Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának összege az összege 2, kilencedik és harmadik tagjának a különbsége 24. Mennyi az első tíz tag összege? 39) Egy számtani sorozat harmadik tagja 28. Mennyi az első öt tag összege? 40) Egy számtani sorozat huszonnyolcadik tagja 28, kétszáznegyvenharmadik tagja 243. Mennyi az első 243 tag összege? 41) Egy könyvszekrény nyolc polca közül a legfelsőn 35 könyv van és minden további polcon 4-gyel több, mint a felette levőn. Hány könyv van ebben a könyvszekrényben? 42) Egy 2 m hosszúságú sálat akarunk kötni. Ha az első napon 18 cm-t, majd pedig minden nap az előző napinál 4 cm-rel hosszabb darabot kötünk, akkor hány nap alatt készül el a sál?
Mértani sorozatok Az olyan 𝒂𝒏 sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan 𝒂 és 𝒒 szám, hogy 𝒂𝟏 = 𝒂 és 𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂𝒏 ∙ 𝒒 A q számot a mértani sorozat kvóciensének vagy hányadosának nevezzük. Úgy is mondhatjuk, hogy a mértani sorozatban a két szomszédos tag hányadosa állandó. A mértani sorozat n-edik tagja (általános tagja): 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒒𝒏−𝟏
43) Írd fel a számtani sorozat első négy tagját, ha a)
𝑎1 = 4 és 𝑞 = 3
b)
𝑎1 = 6 és 𝑞 = −2
c)
𝑎1 = 12 és 𝑞 = 0.25
44) Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik, hetedik és tízedik tagját! 45) Egy mértani sorozat tízedik tagja 3584 a kvóciense 2. Mennyi az első tagja? 46) Egy mértani sorozat 8-adik tagja – 8748 a kvóciense – 3. Mennyi az első tagja?
47) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? 48) Egy mértani sorozat második eleme 2, hatodik eleme 32. Mekkora a sorozat hányadosa? 49) Egy mértani sorozatban 𝑎5 = 96, 𝑎6 = 192. Mennyi az első tag és a hányados? 50) Egy mértani sorozat harmadik tagja 12, hetedik tagja 192. Határozzuk meg a sorozat kezdőtagját és hányadosát!
51) Töltsük ki megfelelően az alábbi táblázatot, egy mértani sorozat első tagja 𝑎1 és kvóciense 𝑞! (Erősen ajánlott feladat!) 𝒂𝟏
𝒒
𝒏
𝒂𝒏
3
10
9841,5
6
3750
1,2 1,5 -4
4
98304 9
-26244
52) Egy baktériumtenyészet a kísérlet első napján 0,02 mg tömegű. Minden nap a 4-szeresére nő a tömege. Egy napon a kísérletet anyagi okok miatt leállítják. Ekkor a tenyészet tömege már 5242,88 mg volt. Hányadik napján állították le a kísérletet?
Összetettebb feladatok 53) Az an mértani sorozatban 𝑎3 – 𝑎2 = 3 és 𝑎3 – 𝑎1 = −3. Határozza meg a sorozat első tagját! 54) Egy mértani sorozat harmadik tagja 36-tal nagyobb a másodiknál. E két tag szorzata -243. Határozza meg az első tagot! 55) Egy mértani sorozat második tagja négyszer akkora, mint a negyedik tagja. A harmadik és az ötödik tag szorzata 100. Melyik ez a sorozat? 56) Egy mértani sorozat első négy tagjának az összege 15, a második, harmadik, negyedik és ötödik tag összege pedig 30. Melyik ez a sorozat? 57) Egy mértani sorozatban az első három tag összege 31, az első és harmadik tag összege 26. Számítsd ki a sorozat első tagját és hányadosát! 58) Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 40, a második, harmadik, negyedik, ötödik tag összege pedig 120. Melyik ez a sorozat? 59) Egy mértani sorozat első tagja 8, az első három tag összege 78. Mennyi az első hat tag összege 60) Három szám egy mértani sorozat három egymás utáni eleme. A számok összege 26, négyzeteik összege 364. Melyik ez a három szám? 61) Három szám mértani sorozatot alkot. Szorzatuk 1000, összegük 62. Határozzuk meg a sorozatot! 62) Egy mértani sorozat első tagja 8, az első három tag összege 78. Mennyi az első hat tag összege. 63) Egy mértani sorozat első hét tagjából az első három elem összege 26, a három utolsó elem összege pedig 2106. Mennyi a hét tag összege? 64) Három szám mértani sorozatot alkot. Szorzatuk 1000, összegük 62. Határozzuk meg a sorozatot! 65) Melyik az a mértani sorozat, amelyben az első három tagnak az összege 63 és a szorzata 2025? 66) Egy mértani sorozat első és harmadik tagjának az összege 25, a második és a negyedik tag összege 50. Melyik ez a sorozat? 67) Egy mértani sorozat ötödik tagja is és hetedik tagja is -12. Mennyi lehet az első tíz tag összege? 68) Egy mértani sorozat ötödik tagja -12, tizedik tagja 12. Mennyi az első 20 tag összege? 69) Egy mértani sorozat ötödik tagja 10. Mennyi az első kilenc tag szorzata?
Kamatos kamat Kamatos kamat egy mértani sorozat, ahol a kezdő érték 𝑎0 (a sorozat „nulladik tagja”). A sorozat kvóciense 𝑞 = 1 + 𝑖, ahol 𝑖 jelöli a kamatlábat. Pl.: Ha a kamatláb 2%, akkor 𝑞 = 1 + 0,02 = 1,02.
A sorozat n-edik tagja:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟎 ∙ 𝒒𝒏
70) Hány év alatt növekszik a kétszeresére a bankba betett évi lekötésű összeg, ha a lekötés idején 8,25%-os kamatot kínálnak? 71) Bankba betettem a pénzemet. Hány év alatt nő kb. ötszörösére a betett összeg, ha a bank mindvégig évi 9%-os kamatos kamatot fizet? 72) Lakásra gyűjtök. Minden évben január legelején 500 ezer petákot helyezek el a takarékkönyvemben évi 10%-os kamatra. Elegendő pénzem lesz-e tíz teljes év elteltével egy 9,5 milliós lakás megvételéhez? 73) Mennyi volt az éves kamatláb, ha 2 000 000 Ft-ot egy számlán kamatoztattunk, és három év múlva 2 590 058 Ft-ot vehetünk fel?
74) Egy számlára befizettek 250 000 Ft-ot, havi lekötésre, havi 1%-os kamatra. Mennyi idő múlva lesz legalább 300 000 Ft a számlán, ha a kamatot havonta csatolják a tőkéhez, és az új összeg kamatozik tovább következő hónapban? 75) Egy gyáregység termelése havonta az előző havi termelés 1%-ával nő. a)
Hány százalékkal emelkedik a termelés egy év alatt?
b)
Hány hónap alatt kétszereződik meg a termelés?
76) Egy irodai eszköz beszerzési ára 85 000 Ft. Mekkora értékkel tartják nyilván a leltárban 5 év múlva, ha félévente 5%-kal csökken az értéke? 77) 10 évre vonatkozóan összehasonlították két vállalat termelését. Kezdetben az I. vállalat termelése 100 egység, a II. vállalaté 80 egységnyi volt. Az I. vállalat termelése félévenként 3%-kal nőtt, a II. vállalaté félévenként 5%-kal. a) Jelenleg melyik vállalat termel többet? b) Melyik vállalat termelt többet a 10 év alatt? 78) A papucsállatkák átlagban 27 óra alatt osztódnak ketté. Ha a szaporodásukat semmilyen külső tényező nem befolyásolná, mennyi időre lenne szükség ahhoz, hogy egyetlen papucsállatka utódainak térfogata egyenlő legyen a Föld térfogatával? (A papucsállatkák 40. generációja összegyűjtve kb. 1 m3 térfogatú; a Föld térfogata kb. 1012 km3.) 79) Egy papírlapot hatszor egymás után félbehajtunk. Ezután egy lyukasztóval átlyukasztjuk a papírt, majd kihajtogatjuk. a) Hány lyuk lesz a kihajtogatott papíron? b) Hány lyuk lesz a kihajtogatott papíron, ha kezdetben három lyukat ütöttünk? 80) Egy farmernek gépesítéssel sikerül a terméshozamait növelnie. Ha az első évi hozamot tekintjük 100%-nak, akkor az ötödik évben 180%-ot ért el. a) Ha mértani sorozat szerint nőtt a terméshozam, akkor mekkora volt a közbülső években? b) Mekkora volt a farmer összes bevétele, ha az árak közben évről évre 6%-kal nőttek, és kezdetben 14,2 millió forintért adta el a termést? 81) Egy városnak 50 évvel ezelőtt 700 ezer lakosa volt. Az átlagos évi népszaporulat az elmúlt 50 év során 0,45% volt. Hány lakosa van most a városnak? 82) Egy város lakossága közelítőleg mértani sorozat szerint növekszik évről évre. a) Mekkora az évenkénti növekedési ütem, ha 1980-ban 425 000, míg 2001-ben pedig 529 000 lakosa volt? b9 Hányan lesznek 2010-ben, ugyanilyen növekedést feltételezve? 83) 20 liter vízben feloldunk 50 gramm sót. Ezután az oldat tizedét kiöntjük, a helyére tiszta vizet töltünk és elkeverjük; majd ezt a műveletet még 24-szer elvégezzük. Mennyi só marad meg a végére az oldatban az 50 grammból?
A mértani sorozat első n tagjának összege: 𝒒𝒏 − 𝟏 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒒−𝟏
85) Egy mértani sorozat első tagja 3 a kvóciense 4. Mennyi az első 7 tag összege? 86) Egy mértani sorozat első tagja 5 a kvóciense – 2. Mennyi az első 5 tag összege? 87) Egy mértani sorozat negyedik tagja 80 a kvóciense 2. Mennyi az első 10 tag összege? 88) Egy mértani sorozat ötödik tagja is és hetedik tagja is -12. Mennyi lehet az első tíz tag összege? 89) Egy mértani sorozat ötödik tagja -12, tizedik tagja 12. Mennyi az első 20 tag összege?
Vegyes feladatok 90) Három szám egy növekvő mértani sorozat három egymást követő tagja, összegük 7. Ha a legnagyobb számból 1-et kivonunk, akkor a kapott három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja. Melyek ezek a számok? 91) Három egész szám, amelynek összege 60, egy számtani sorozat három egymást követő eleme. Ha ezekhez a számokhoz sorra 2-t, 2-t, 4-et és 7-et adunk, akkor a kapott számok egy mértani sorozat egymást követő elemei. Melyek az eredeti egész számok? 92) Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 54. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 9-cel, a harmadikat 6-tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozzuk meg a számtani sorozat első tagját és különbségét! 93) Három szám egyszerre alkot mértani és számtani sorozatot is. Határozzuk meg az összes ilyen tulajdonságú véges sorozatot! 94) Három szám számtani sorozatot alkot, összegük 15. Ha a középső számból 1-et kivonunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Mi lehet a három szám? 95) Három szám mértani sorozatot alkot, összegük 26. Ha a középső számhoz 4-et adunk, a három szám számtani sorozatot alkot. Mi lehet a három szám? 96) Három szám, amelyeknek összege 114, egy mértani sorozat első három eleme, de tekinthetők egy számtani sorozat 1., 4. és 25. elemének is. Melyik ez a három szám?
97) Három szám mértani sorozatot alkot, összegük 26. Ha az elsőhöz 1-et, a másodikhoz 6-ot, a harmadikhoz 3-at adunk, a kapott három szám számtani sorozatot alkot. Melyik ez a három szám? 98) Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5-öt, 6-ot, 9-et és 15-öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozat hányadosát! 99) Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 24. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 2-t, a harmadikhoz 35-öt adunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Határozza meg a számtani sorozatot!
HASZNOS WEBOLDALAK:
Magyarázó videók és online tesztek http://zanza.tv/matematika/osszefuggesek-fuggvenyek-sorozatok/sorozatok http://zanza.tv/matematika/osszefuggesek-fuggvenyek-sorozatok/szamtani-sorozatok-gyakorlatban http://zanza.tv/matematika/osszefuggesek-fuggvenyek-sorozatok/mertani-sorozat http://zanza.tv/matematika/osszefuggesek-fuggvenyek-sorozatok/mertani-sorozatok-hetkoznapokban http://zanza.tv/matematika/osszefuggesek-fuggvenyek-sorozatok/vegyes-feladatok-sorozatokra http://zanza.tv/matematika/osszefuggesek-fuggvenyek-sorozatok/kamatoskamat-szamitas-i http://zanza.tv/matematika/osszefuggesek-fuggvenyek-sorozatok/kamatoskamat-szamitas-ii
Érettségi feladatok témakörből. http://studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k_mat_sorozatok_fl.pdf http://studiumgenerale.hu/images/erettsegi/matek_temakor/k_mat_sorozatok_ut.pdf
Egy tankönyvkiadó online segédanyaga https://www.mozaweb.hu/Lecke-MAT-Sokszinu_matematika_12-3_Szamtani_sorozatok-98458 https://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Sokszinu_matematika_12-4_Mertani_sorozatok-98459 https://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Sokszinu_matematika_125_Kamatszamitas_torlesztoreszletek_kiszamitasa-98460
