Program Studi S1 Teknik Informatika Fakultas Informatika, Telkom University
SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Matematika Diskrit (MUG2A3)
Halaman 1 dari 6
Soal 1 Tentukanlah elemen-elemen dari himpunan berikut! a) x | x adalah bilangan real yang sedemikian sehingga x 2 1 Solusi: 1,1 b) c) d)
x | x adalah bilangan bulat positif yang kurang dari 12 Solusi: 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11 x | x kuadrat dari bilangan bulat dan x 100 Solusi: 0,1, 4,9,16, 25,36, 49, 64,81
x | x adalah bilangan bulat yang sedemikian sehingga x
2
2
Solusi: Soal 2 Tentukan apakah “2” merupakan anggota dari himpunan-himpunan di bawah ini! a) x | x adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1 Solusi: Ya. Karena elemen dari himpunan tersebut adalah 2,3, 4,5, b)
x | x adalah kuadrat dari bilangan bulat Solusi: Tidak. Karena elemen dari himpunan tersebut adalah 0,1, 4,9,16,...
c)
2, 2
Solusi: Ya. d)
2 ,22
Solusi: Tidak. e)
2 ,2
Solusi: Tidak. f)
2
Solusi: Tidak. Soal 3 Tentukan apakah pernyataan di bawah ini benar atau salah! a) 0 Solusi: Salah. Karena tidak memiliki anggota b) 0 Solusi: Salah. Karena 0 hanya beranggotakan 0 saja. c)
0 Solusi: Salah. Karena himpunan tidak memiliki anggota, sehingga tidak ada anggota di 0 yang juga merupakan anggota di himpunan . Karena tidak memenuhi definisi subset, pernyataan 0 salah.
d)
0
e)
Solusi: Benar. Karena merupakan subset dari suatu himpunan. 0 0 Halaman 2 dari 6
Solusi: Salah. Karena elemen dari 0 adalah 0 dan bukan 0 f)
0 0 Solusi: Salah. Karena tidak ada elemen di himpunan
0
yang bukan anggota di
himpunan 0 . g)
Solusi: Benar. Karena berdasarkan definisi subset, yaitu x x A x B , setiap anggota himpunan di
merupakan anggota himpunan di
.
Oleh karena itu,
pernyataan benar. Soal 4 Tentukan himpunan kuasa untuk masing-masing himpunan berikut, di mana a dan b adalah dua elemen yang berbeda! a) a Solusi: , a
b) c)
a, b
Solusi: , a , b , a, b
,
Solusi: , , , ,
Soal 5 Hitunglah banyaknya anggota yang dimiliki oleh masing-masing himpunan di bawah ini di mana a dan b adalah dua elemen yang berbeda! a)
a, b, a, b
Solusi: Misalkan B1 a, b,a, b
Oleh karena itu, B1 3 . Jadi, a, b,a, b 23 8 b)
, a,a ,a
Solusi: Misalkan B2 , a,a ,a
2
Oleh karena itu, B2 4 . Jadi, , a,a ,a c)
Solusi: Misalkan B3
4
16
Oleh karena itu, B3 0 . Sehingga diperoleh 20 1 . Jadi, 21 2
Soal 6 Misalkan A 1, 2,3, 4,5 dan B 0,3, 6 . Tentukanlah Halaman 3 dari 6
a)
A B Solusi: A B 0,1, 2,3, 4,5, 6
b)
A B
Solusi: A B 3
c)
A B Solusi: A B 1, 2, 4,5
d)
B A Solusi: B A 0, 6
Soal 7 Misalkan Ai 1, 2,3, , i untuk i 1, 2,3, Tentukanlah a)
n
A i 1
i
Solusi: Karena Ai 1, 2,3, , i , sehingga diperoleh
A1 1 , A2 1, 2 , A3 1, 2,3 , , An 1, 2,3,, n
terlihat bahwa A1 A2 A3 An . Oleh karena itu, n
A 1, 2,3, 4,, n A i 1
b)
i
n
n
A i 1
i
Solusi: Berdasarkan jawaban no 7.a, diperoleh n
A 1 A i 1
i
1
Soal 8 Ada total 345 mahasiswa di sebuah kampus yang mengambil mata kuliah Kalkulus, 212 yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, dan 188 mahasiswa yang mengambil Kalkulus dan Matematika Diskrit. Tentukan banyaknya mahasiswa yang mengambil Kalkulus atau Matematika Diskrit! Solusi: Misalkan S x | x mahasiswa di universitas K x S | x mengambil kuliah Kalkulus M x S | x mengambil kuliah Matematika Diskrit Diketahui dalam soal bahwa K 345 M 212 K MD 188 Berdasarkan prinsip inklusi-eksklusi untuk dua himpunan, kita memiliki
Halaman 4 dari 6
K M K M K M 345 212 188 369 Jadi, ada 369 mahasiswa yang mengambil Kalkulus atau Matematika Diskrit. Soal 9 Terdapat 2504 mahasiswa Sains Komputasi dalam satu kampus. Ternyata, ada sebanyak 1876 mahasiswa yang memilih mata kuliah Java, 999 mahasiswa yang memilih mata kuliah Linux, dan 345 mahasiswa yang memilih mata kuliah C. Ada 876 mahasiswa yang memilih Java dan Linux, 231 mahasiswa yang memilih Linux dan C, serta 290 mahasiswa yang memilih Java dan C. Jika ada 189 mahasiswa yang memilih Linux, Java, dan C, tentukan banyaknya mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari ketiga mata kuliah bahasa pemrograman tersebut! Solusi: Misalkan S x | x mahasiswa Sains Komputasi dalam satu universitas
J x S | x mengambil kuliah Java L x S | x mengambil kuliah Linux C x S | x mengambil kuliah C Diketahui bahwa S 2504 J 1876 J L 876
L 999 C 345
J C 290
L C 231 J L C 189 Berdasarkan prinsip inklusi-eksklusi untuk tiga himpunan, kita memiliki J L C J L C J L L C J C J L C 1876 999 345 876 231 290 189 2012 Oleh karena itu, c
S J L C J L C c
2504 2012 J L C c
J L C 492 Jadi, ada 492 mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari ketiga mata kuliah bahasa pemrograman tersebut.
Halaman 5 dari 6
Soal 10 Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti mata kuliah Kalkulus, Matematika Diskrit, Struktur Data, atau Bahasa Pemrograman dalam suatu universitas jika terdapat 507, 292, 312, dan 344 mahasiswa yang memilih mata kuliah tersebut secara berturut-turut; 14 memilih Kalkulus dan Struktur Data; 213 yang memilih Kalkulus dan Bahasa Pemrograman, 211 yang memilih Matematika Diskrit dan Struktur Data, 43 yang memilih Matematika dan Bahasa Pemrograman, dan tidak ada mahasiswa yang memilih mata kuliah Kalkulus dan Matematika Diskrit, atau Struktur Data dan Bahasa Pemrograman secara bersamaan? Solusi: Misalkan S x | x mahasiswa di universitas
K x S | x mengambil kuliah Kalkulus M x S | x mengambil kuliah Matematika Diskrit D x S | x mengambil kuliah Struktur Data P x S | x mengambil kuliah Bahasa Pemrograman Diketahui dari soal bahwa
K 507
D 312
M 292
P 344
K D 14
M D 211
K P 213
M P 43
K M 0 Karena dan
DP 0
K M , maka K M D dan K M P D P , maka K D P dan M D P
Akibatnya,
K M D K M P K DP M DP 0 dan karena K M , maka K M D P , sehingga K M D P 0 Berdasarkan prinsip inklusi-eksklusi untuk empat himpunan, kita memiliki K M DP K M D P K M K D K P M D M P D P K M D K M P K D P M D P K M DP 507 292 312 344 0 14 213 211 43 0 0 0 974
Jadi, ada 974 mahasiswa yang mengambil Kalkulus, Matematika Diskrit, Struktur Data, atau Bahasa Pemrograman.
Halaman 6 dari 6
