I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

I. Aljabar Himpunan

Handout Analisis Riil I (PAM 351)

Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi, secara berturut-turut disajikan. Selanjutnya disajikan induksi matematika yang merupakan suatu alat atau metoda pembuktian dalam matematika. Jika A menyatakan suatu himpunan dan x adalah suatu elemen, kita tulis x∈A sebagai singkatan untuk pernyataan x adalah suatu elemen dari A, atau x adalah angota A, atau x berada dalam A, atau himpunan A memuat elemen x. Simbol x∈ /A menyatakan bahwa x bukan elemen A. (Dept. of Math. UNAND)

3 / 42

Jika A dan B adalah dua himpunan sedemikian sehingga jika x ∈ A maka x ∈ B, maka kita katakan bahwa A termuat dalam B, atau B memuat A, atau A himpunan bagian (subset) dari B, dan ditulis A ⊆ B atau B ⊇ A. Jika A ⊆ B dan ada suatu elemen B yang tidak di dalam A, kita katakan bahwa A adalah proper subset dari B.

Definisi (1) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika himpunan A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Perhatikan bahwa, untuk membuktikan bahwa A = B, kita harus menunjukkan A ⊆ B dan B ⊆ A. Suatu himpunan dapat didefinisikan dengan mendaftarkan elemen-elemennya atau menspesifikasikan suatu sifat yang menentukan elemen-elemen himpunan tersebut. (Dept. of Math. UNAND)

4 / 42

Kita akan sering menulis {x : P (x)} , dibaca himpunan semua elemen x sedemikian sehingga P (x), untuk menyatakan himpunan semua elemen-elemen x dimana sifat P berlaku. Jika kita perlu menspesifikasi elemen-elemen yang diuji untuk memenuhi sifat P , kita tulis {x ∈ S : P (x)} , untuk suatu subset S dimana sifat P berlaku. Sepanjang perkuliahan ini, akan digunakan beberapa himpunan yang mungkin telah familiar bagi kita semua, dan dinyatakan dengan simbol-simbol standar.

(Dept. of Math. UNAND)

5 / 42

Himpunan bilangan-bilangan alam (Natural), dinyatakan dengan simbol N ≡ {1, 2, 3, ..} Himpunan bilangan-bilangan bulat (Integer), dinyatakan dengan simbol Z ≡ {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} Himpunan bilangan-bilangan rasional (Rational), dinyatakan dengan simbol Q ≡ m , m, n ∈ Z, n = 6 0 n Himpunan bilangan-bilangan riil (Real), dinyatakan dengan simbol R.


6 / 42

Operasi Himpunan Definisi (2) 1

Misalkan A dan B adalah dua himpuan, irisan (intersection) antara A dan B, ditulis A ∩ B, adalah himpunan semua elemen-elemen yang berada dalam A dan B, yakni: A ∩ B ≡ {x : x ∈ A dan x ∈ B} .

2

Gabungan (Union) dari A dan B, ditulis A ∪ B, adalah himpunan semua elemen-elemen yang berada dalam A atau B, yakni A ∪ B ≡ {x : x ∈ A atau x ∈ B} .

Perlu diperhatikan bahwa perkataan ”atau” dalam definisi (1) bermakna inclusive, artinya kalimat x ∈ A atau x ∈ B juga bermakna x berada dalam kedua himpunan. (Dept. of Math. UNAND)

7 / 42

Himpunan yang tidak mempunyai elemen disebut himpunan kosong (empty set) dan dinyatakan dengan simbol ∅. Jika A dan B adalah himpunan-himpunan tanpa elemen persekutuan, yakni A ∩ B = ∅, maka kita katakan bahwa A dan B saling asing (disjoint). Teorema-teorema berikut memperlihatkan beberapa sifat operasi aljabar himpunan. Sebagian bukti dibiarkan sebagai latihan.

Teorema Misalkan A, B dan C adalah sebarang himpunan, maka 1

A ∩ A = A, A ∪ A = A (sifat idempoten)

2

A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A (sifat komutatif)

3

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (sifat asosiatif)

4 5

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (sifat distributif irisan) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C) (sifat distributif gabungan) (Dept. of Math. UNAND)

8 / 42

Bukti. Kita hanya membuktikan bagian (4) dan membiarkan bukti bagian lainnya sebagai latihan. Misalkan x ∈ A ∩ (B ∪ C), maka x ∈ A dan x ∈ (B ∪ C). Ini berarti bahwa x ∈ A, dan x ∈ B atau x ∈ C. Akibatnya I I

x ∈ A dan x ∈ B, atau x ∈ A dan x ∈ C.

Akibatnya x ∈ A ∩ B atau x ∈ A ∩ C, yakni x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) yang menunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Sebaliknya, misalkan y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), maka y ∈ (A ∩ B) atau y ∈ (A ∩ C). Ini berarti bahwa y ∈ A dan y ∈ B, atau y ∈ A dan y ∈ C. Akibatnya, kita mempunyai y ∈ A, dan y ∈ B atau y ∈ C. Akibatnya y ∈ A, dan y ∈ (B ∪ C), yakni y ∈ A ∩ (B ∪ C).Ini menunjukkan bahwa (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C). Berdasarkan dua hasil ini, kita menyimpulkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). (Dept. of Math. UNAND)

9 / 42

Definisi (3) Misalkan A dan B adalah dua himpunan, maka komplemen dari B relatif terhadap A adalah himpunan semua elemen A yang tidak berada dalam B. Kita simbolkan himpunan ini sebagai A\B (dibaca A minus B). Beberapa pengarang menyimbolkannya sebagai A − B atau A ∼ B. Dalam bentuk notasi pembentuk himpunan ditulis: A\B≡ {x ∈ A, x ∈ / B} . Berikut ini adalah hukum De Morgan untuk tiga himpunan.

Teorema Jika A, B dan C adalah sebarang himpunan, maka 1

A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C)

2

A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C). (Dept. of Math. UNAND)

10 / 42

Bukti. Kita hanya akan membuktikan bagian pertama, dan meninggalkan bagian kedua sebagai latihan. Untuk menunjukkan ini, kita perlu menunjukkan bahwa A\(B ∪ C) ⊆ (A\B) ∩ (A\C) dan (A\B) ∩ (A\C) ⊆ A\(B ∪ C). Terlebih dahulu, akan ditunjukkan A\(B ∪ C) ⊆ (A\B) ∩ (A\C). x

∈

A\(B ∪ C) ⇒ x ∈ A tetapi x ∈ / B∪C

⇒ x ∈ A tetapi x ∈ / B dan x ∈ /C ⇒ x ∈ A tetapi x ∈ / B dan x ∈ A tetapi x ∈ /C ⇒

x ∈ A\B dan x ∈ A\C

⇒ x ∈ A\B ∩ x ∈ A\C. Ini menunjukkan bahwa A\(B ∪ C) ⊆ (A\B) ∩ (A\C).


11 / 42

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (A\B) ∩ (A\C) ⊆ A\(B ∪ C). x

∈

(A\B) ∩ (A\C) ⇒ x ∈ (A\B) dan x ∈ (A\C)

⇒ x ∈ A tetapi x ∈ / B dan x ∈ A tetapi x ∈ /C ⇒ x ∈ A tetapi x ∈ / B dan x ∈ /C ⇒ x ∈ A tetapi x ∈ / B∪C ⇒ x ∈ A\(B ∪ C) Ini menunjukkan bahwa A\(B ∪ C) ⊆ (A\B) ∩ (A\C). Berdasarkan kedua fakta ini, kita menyimpulkan bahwa A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C).


12 / 42

Hasil Kali Cartesian (Cartesian Product) Sekarang kita akan mendefinisikan hasil kali Cartesian dari dua himpunan.

Definisi (4) Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka hasil kali Cartesian dari A dan B, disimbolkankan sebagai A × B, didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terurut (a, b) dengan a ∈ A dan b ∈ B.

Gambar 1.1

(Lihat Gambar 1.1). Sehingga jika A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5}, maka A × B = {(1, 4) , (1, 5) , (2, 4) , (2, 5) , (3, 4) , (3, 5)} . (Dept. of Math. UNAND)

13 / 42

Contoh lainnya, jika A = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2} dan B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 atau 2 ≤ x ≤ 3} maka A × B dapat dilihat pada gambar 1.2.

Gambar 1.2 (Dept. of Math. UNAND)

14 / 42

Soal 1 Buktikan bagian (3) dan (4) dari teorema 1. 2 Buktikan bahwa A ⊆ B jika dan hanya jika A ∩ B = A. 3 Jika B ⊆ A, tunjukkan bahwa B = A\(A\B). 4 Jika A dan B adalah himpunan sebarang, tunjukkan bahwa A ∩ B = A\(A\B).


15 / 42

Fungsi Sekarang akan didiskusikan gagasan fungsi atau pemetaan (mapping). Akan diperlihatkan bahwa fungsi adalah suatu himpunan, walaupun ada visualisasi lain yang sering digunakan. Bagi matematikawan abad yang lalu, perkataan fungsi biasa diartikan sebagai suatu rumus, misalnya f (x)≡x2 + 5x − 2, yang mengaitkan setiap bilangan riil x dengan bilangan riil yang lain f (x). Secara formal, definisi klasik dari fungsi adalah sebagai berikut: ”Suatu fungsi f dari himpunan A kehimpunan B adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap x ∈ A dengan suatu elemen tunggal f (x), dengan f (x) ∈ B”. (Dept. of Math. UNAND)

16 / 42

Mungkin sulit untuk mengintepretasikan perkataan ”aturan” dalam definisi tersebut. Jalan keluarnya, kita akan mendefinisikan fungsi menggunakan gagasan himpunan seperti yang disinggung pada bagian 1. kunci utamanya adalah memikirkan grafik suatu fungsi sebagai himpunan pasangan terurut tertentu. Perlu diperhatikan bahwa himpunan pasangan terurut sebarang mungkin bukan merupakan grafik suatu fungsi.

Definisi (5) Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu himpunan f yang elemen-elemennya adalah pasangan-pasangan terurut dalam A × B sedemikian sehingga untuk setiap a ∈ A terdapat secara tunggal b ∈ B dengan (a, b) ∈ f, yaitu jika (a, b) ∈ f dan (a, b0 ) ∈ f , maka b = b0 .


17 / 42

Himpunan A yang memuat urutan pertama dari elemen-elemen f disebut domain dari f , ditulis D(f ), atau Df . Himpunan semua elemen-elemen B yang merupakan urutan kedua dari elemen-elemen f disebut range dari f , ditulis R(f ), atau Rf . Notasi f : A → B menunjukkan bahwa f adalah suatu fungsi dari A ke B, atau f adalah suatu pemetaan dari A ke B, atau f memetakan A ke B. Lazim juga ditulis b = f (a) jika (a, b) ∈ f. Elemen b ∈ B adalah nilai dari f di titik a, atau peta (image) dari a dibawah f .


18 / 42

Transformasi dan Mesin

Disamping grafik, kita dapat juga memvisualkan suatu fungsi sebagai suatu transformasi dari himpunan A = D(f ) ke sebagian dari himpunan B. Dalam hal ini, bila (a, b) ∈ f kita anggap f mengambil elemen a ∈ A dan mentransformasikan atau memetakan ke suatu elemen b = f (a) dalam subset R(f ) dari B, seperti yang terlihat dalam gambar 1.3.

Gambar 1.3


19 / 42

Ada cara lain untuk memvisualkan suatu fungsi, yaitu sebagai suatu mesin yang akan menerima elemen-elemen D(f ) sebagai input dan menghasilkan elemen-elemen dalam R(f ) sebagai output. Jika kita ambil suatu elemen x ∈ D(f ) dan meletakkannya dalam f , maka akan menghasilkan f (x). Jika kita letakkan elemen yang berbeda y ∈ D(f ) kedalam f , kita akan memperoleh f (y) (yang mungkin berbeda dari f (x)). Jika kita mencoba memasukkan sesuatu yang tidak berada dalam D(f ), maka elemen ini tidak akan diterima oleh f . (Lihat gambar 1.4).


20 / 42

Gambar 1.4 Visualisasi ini menjelaskan perbedaan antara f dan f (x): f adalah mesin sedangkan f (x) adalah output dari mesin bila kita meletakkan x.


21 / 42

Pembatasan dan Perluasan Fungsi

Misalkan f adalah suatu fungsi dengan domain D(f ) dan D1 ⊆ D(f ). Definisikan suatu fungsi baru f1 yang domainnya domain D1 dengan f1 (x) = f (x) untuk semua x ∈ D1 . Fungsi f1 ini disebut pembatasan f pada himpunan D1 , dan disimbolkan oleh f1 = f | D1 . Dalam notasi himpunan dapat ditulis: f1 = {(a, b) ∈ f : a ∈ D1 } . Jika g adalah suatu fungsi dengan domain D(g) dan D(g) ⊆ D2 , maka sebarang fungsi g2 dengan domain D2 sedemikian sehingga g2 (x) = g(x) untuk semua x ∈ D(g) disebut perluasan dari g pada D2 .


22 / 42

Peta dan Prapeta Definisi (6) Misalkan f : A → B adalah suatu fungsi dengan Df = A dan Rf ⊆ B. Jika E ⊆ A, maka peta dari E dibawah f adalah subset f (E), dengan f (E) ⊆ B, yang diberikan oleh f (E)≡ {f (x) : x ∈ E} . Jika H ⊆ B, maka prapeta dari H dibawah f adalah subset f −1 (H), dengan f −1 (H) ⊆ A, yang diberikan oleh f −1 (H)≡ {x ∈ A : f (x) ∈ H} . Sehingga, jika diberikan suatu himpunan E ⊆ A, maka suatu titik y1 ∈ B berada dalam peta f (E) jika dan hanya jika terdapat sekurang-kurangnya satu titik x1 ∈ E sedemikian sehingga y1 = f (x1 ). (Dept. of Math. UNAND)

23 / 42

Dengan cara yang sama, jika diberikan suatu himpunan H ⊆ B, maka suatu titik x2 ∈ A berada dalam prapeta f −1 (H) jika dan hanya jika y2 = f (x2 ) ∈ H. Contoh. Misalkan f : R → R didefinisikan oleh f (x) = x2 . Peta dari himpunan E = {x : 0 ≤ x ≤ 2} adalah himpunan f (E) = {y : 0 ≤ y ≤ 4} . Jika G = {y : 0 ≤ y ≤ 4} , maka prapeta dari G adalah himpunan f −1 (G) = {x : −2 ≤ x ≤ 2} . Sehingga f −1 (f (E) 6= E. Di lain pihak kita mempunyai f (f −1 (G)) = G. Tetapi jika H = {y : − 1 ≤ y ≤ 1} , maka kita mendapatkan f (f −1 (H)) = {y : 0 ≤ x ≤ 1} = 6 H. (Dept. of Math. UNAND)

24 / 42

Misalkan f : A → B, dan G, H ⊆ B. Akan ditunjukkan bahwa f −1 (G ∩ H) ⊆ f −1 (G) ∩ f −1 (H). Untuk itu misalkan x ∈ f −1 (G ∩ H), maka f (x) ∈ G ∩ H sedemikian sehingga f (x) ∈ G dan f (x) ∈ H. Akibatnya x ∈ f −1 (G) dan x ∈ f −1 (H), yaitu x ∈ f −1 (G) ∩ f −1 (H) yang menunjukkan bahwa f −1 (G ∩ H) ⊆ f −1 (G) ∩ f −1 (H). Sebenarnya, juga benar bahwa f −1 (G) ∩ f −1 (H) ⊆ f −1 (G ∩ H), sehingga f −1 (G ∩ H) = f −1 (G) ∩ f −1 (H) (buktikan).


25 / 42

Jenis-Jenis Fungsi Definisi (7) Suatu fungsi f : A → B dikatakan satu satu (injective) jika x1 6= x2 maka f (x1 ) 6= f (x2 ). Pernyataan yang ekivalen dengan definisi ini adalah suatu fungsi f injective jika dan hanya jika f (x1 ) = f (x2 ) berakibat x1 = x2 , untuksemua x1 , x2 ∈ A. Sebagai contoh, misalkan A = {x ∈ R : x 6= 1} dan definisikan x f : A → R oleh f (x) = . x−1 I

Untuk menunjukkan bahwa f injektif, kita asumsikan x1 , x2 ∈ A dan f (x1 ) = f (x2 ). Maka x1 x2 = , x1 − 1 x2 − 1 yang berakibat x2 (x1 − 1) = x1 (x2 − 1), dan sehingga x1 = x2 .


26 / 42

Definisi (8) Suatu fungsi f : A → B dikatakan pada (surjektive), jika f (A) = B. Pernyataan yang ekivalen dengan definisi ini adalah f : A → B surjektive jika Rf = B, yaitu jika untuk setiap y ∈ B terdapat suatu x ∈ A sedemikian sehingga f (x) = y.

Definisi (9) Suatu fungsi f : A → B dikatakan satu satu pada (bijective) jika f satu satu (injective) dan pada (surjective).


27 / 42

Fungsi Invers

Misalkan f adalah fungsi dari A ke B. Secara umum, himpunan pasangan terurut di dalam B × A yang diperoleh dengan mempertukarkan anggota pertama dan kedua dari f bukan merupakan suatu fungsi. Namun demikian, jika f injectif, maka pertukaran ini mengarah kepada suatu fungsi yang disebut invers dari f .

Definisi (10) Misalkan f : A → B adalah suatu fungsi injectif dengan Df = A dan R(f ) ⊆ B. Jika g = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f } maka g adalah injektif dengan D(g) = R(f ) dan R(g) = A. Fungsi g disebut fungsi invers dari f dan dinyatakan oleh f −1 .


28 / 42

Dalam notasi standar, hubungan antara fungsi f −1 dengan f dapat ditulis: x = f −1 (y) jika dan hanya jika y = f (x). Kita telah melihat bahwa fungsi f (x) =

x 1−x

yang terdefinisi untuk semua x ∈ A = {x : x 6= 1} adalah injektif. Dalam hal ini tidak jelas apakah range f semua R atau hanya sebagian dari R. Untuk tujuan ini, kita selesaikan persamaan y= untuk x, sedemikian sehingga x =


x 1−x y . 1+y 29 / 42

Berdasarkan informasi ini, kita mendapatkan R(f ) = {y : y 6= −1} dan bahwa invers fungsi f mempunyai domain {y : y 6= −1} dan y diberikan oleh f −1 (y) = . 1+y Perlu diperhatikan bahwa jika fungsi f injektif maka fungsi inversnya juga injektif, dan fungsi invers dari f −1 adalah f (buktikan).


30 / 42

Komposisi Fungsi Kadang-kadang kita ingin mengkomposisi dua fungsi dengan terlebih dahulu mendapatkan f (x) dan kemudian menggunakan g untuk mendapatkan g(f (x), tetapi ini mungkin hanya bila f (x) ∈ D(g). Sehingga kita harus mengasumsikan bahwa R(f ) ⊆ D(g).

Definisi (11) Misalkan f : A → B dan g : B → C adalah dua fungsi. Komposisi fungsi g ◦ f adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh g ◦ f (x) = g(f (x) untuk semua x ∈ A. Lihat gambar 1.5 berikut.

Gambar 1.5 (Dept. of Math. UNAND)

31 / 42

Contoh. Misalkan f dan g adalah fungsi yang nilainya pada x ∈ R diberikan oleh f (x) = 2x, g(x) = 3x2 − 1. I

Karena D(g) = R dan R(f ) ⊆ R, maka D(g ◦ f ) = R, dan g ◦ f (x) = g(2x) = 3(2x)2 − 1 = 12x2 − 1.

I

Dilain pihak, D(f ◦ g) = R, tetapi f ◦ g(x) = f (3x2 − 1) = 2(3x2 − 1) = 6x2 − 2.

I

Sehingga g ◦ f 6= f ◦ g.

Kita perlu meyakinkan bahwa R(f ) ⊆ D(g). √ Sebagai contoh, jika f (x) = 1 − x2 dan g(x) = x, maka komposisi p g ◦ f (x) = g(1 − x2 ) = 1 − x2 didefinisikannya hanya untuk x ∈ D(f ) yang memenuhi f (x) ≥ 0, yaitu, untuk x yang memenuhi −1 ≤ x ≤ 1. (Dept. of Math. UNAND)

32 / 42

Perhatikan bahwa, jika urutan kita pertukarkan, maka komposisi √ f ◦ g(x) = f ( x) = 1 − x didefinisikan untuk semua x ∈ D(g) = {x ∈ R, x ≥ 0} . Teorema berikut memperlihatkan suatu hubungan antara komposisi fungsi dan range.

Teorema Misalkan g : A → B dan f : B → C adalah dua fungsi dan H ⊆ C. Maka (f ◦ g)−1 (H) = g −1 (f −1 (H)). Buktikan !

Teorema Jika f : A → B injektif dan g : B → C juga injektif, maka komposisi g ◦ f : A → C juga injektif. Buktikan! (Dept. of Math. UNAND)

33 / 42

Barisan Fungsi yang domainnya N memainkan peranan penting dalam analisis.

Definisi (12) Suatu barisan dalam himpunan S adalah suatu fungsi yang domainnya dalam himpunan N dan rangenya termuat dalam S. Untuk suatu barisan X : N → S, nilai dari X pada n ∈ N sering dinyatakan dengan xn , dan nilai ini sering disebut suku ke n dari barisan. Barisan sering dinotasikan sebagai (xn : n ∈ N) atau (xn ) dalam bentuk yang lebih sederhana. √ Umpamanya, barisan ( n : n ∈ N) sama dengan fungsi X : N → R √ yang didefinisikan oleh X(n) = n.


34 / 42

Soal 1

2

Misalkan A = B = {x ∈ R : − 1 ≤ x ≤ 1} dan perhatikan subset C = (x, y) : x2 + y 2 = 1 dari A × B. Adakah himpunan ini suatu fungsi? Misalkan f dalah suatu fungsi pada R didefinisikan sebagai f (x) = x2 , dan misalkan E = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0} dan F = {x ∈ R: 0 ≤ x ≤ 1} . Tunjukkan bahwa E ∩ F = {0}dan f (E ∩ F ) = {0} , sedangkan f (E) = f (F ) = {y ∈ R : 0 ≤ y ≤ 1} .

3

Sehingga f (E ∩ F ) adalah proper subset dari f (E) ∩ f (F ). Tunjukkan bahwa jika f : A → B dan E, F ⊆ A, maka f (E ∪ F ) = f (E) ∪ f (F ) dan f (E ∩ F ) ⊆ f (E) ∩ f (F ) .

4

Tunjukkan bahwa jika f : A → B dan G, H ⊆ B, maka f −1 (G ∩ H) = f −1 (G) ∩ f −1 (H). (Dept. of Math. UNAND)

35 / 42

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah suatu metoda pembuktian yang digunakan dalam perkuliahan ini. Dalam bagian ini kita akan menyatakan Prinsip Induksi Matematik dan memberikan beberapa contoh untuk mengilustrasikan bagaimana cara kerja bukti induksi. Sifat Terurut dengan Rapi Himpunan Bilangan Asli N Setiap subset tak kosong dari N mempunyai elemen terkecil. Pernyataan yang lebih detil tentang sifat ini adalah sebagai berikut: ”Jika S ⊆ N dan jika S 6= ∅, maka ada elemen m ∈ S sedemikian sehingga m ≤ k untuk semua k ∈ S”. Berdasarkan sifat terurut dengan rapi kita akan mengembangkan suatu versi prinsip induksi matematika yang diungkapkan dalam subset dari N.


36 / 42

Proposisi (Prinsip Induksi Matematika) Misalkan S ⊆ N yang bersifat sebagai berikut: 1

1∈S

2

Jika k ∈ S maka k + 1 ∈ S. Maka S = N.

Bukti. Andaikan bahwa S 6= N. Maka himpunan N\S 6= ∅, dan berdasarkan sifat terurut dengan rapi, N\S memuat elemen terkecil. Misalkan m adalah elemen terkecil dari N\S. Karena 1 ∈ S (berdasarkan hipotesis 1), maka m 6= 1. Olehkarena itu m > 1 sedemikian sehingga m − 1 ∈ N juga. Karena m − 1 < m dan karena m adalah elemen terkecil dari N\S sedemikian sehingga m ∈ / S, maka mestilah benar bahwa m − 1 ∈ S. Berdasarkan hipotesis (2), k ≡ m − 1 ∈ S berakibat k + 1 = m − 1 + 1 = m ∈ S. Kesimpulan ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa m ∈ / S. Karena m diperoleh dengan mengasumsikan bahwa N\S 6= ∅, maka kita dapat menyimpulkan bahwa N\S = ∅, yang menunjukkan bahwa S = N. (Dept. of Math. UNAND)

37 / 42

Prinsip induksi matematika sering timbul dalam kerangka kerja sifat-sifat atau pernyataan yang melibatkan bilangan asli (alam). Jika P (n) menyatakan suatu pernyataan tentang n ∈ N, maka P (n) mungkin benar untuk beberapa nilai n dan salah untuk nilai n yang lainnya. Umpamanya, jika P (n) adalah pernyataan ”n2 = n”, maka P (1) bernilai benar sedangkan P (n) salah untuk semua n 6= 1, n ∈ N. Dalam hal ini, prinsip induksi matematika dapat diformulasikan sebagai berikut: Untuk setiap n ∈ N, misalkan P (n) adalah pernyataan tentang n. Anggaplah bahwa: 1 2

P (1) benar Jika P (k) benar, maka P (k + 1) benar Maka P (n) adalah benar untuk semua n ∈ N.


38 / 42

Contoh-contoh berikut memperlihatkan bagaimana prinsip induksi matematika digunakan sebagai suatu metoda pembuktian penegasan yang melibatkan bilangan alam. 1. Untuk setiap n ∈ N, jumlah n bilangan alam pertama diberikan oleh 1 + 2 + ... + n =

1 n(n + 1). 2

Untuk membuktikan ini, misalkan S adalah himpunan semua n ∈ N yang membuat rumus di atas benar. Kita mesti memeriksa bahwa syarat (1) dan (2) dari teorema 6 dipenuhi. Jika n = 1, kita mempunyai 1 = 21 .1.(1 + 1) = 1 sedemikian sehingga 1 ∈ S. Sehingga syarat 1 dipenuhi. Berikutnya, asumsikan bahwa k ∈ S dan dari asumsi ini kita ingin menyimpulkan bahwa k + 1 ∈ S. Jika k ∈ S, maka 1 + 2 + ... + k =


1 k(k + 1). 2

39 / 42

Jika kedua sisi persamaan ini kita tambahkan dengan k + 1, kita mendapatkan 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = =

1 k(k + 1) + (k + 1) 2 1 (k + 1)(k + 2). 2

Karena ini adalah rumusan untuk n = k + 1, kita menyimpulkan bahwa k + 1 ∈ S. Sehingga syarat (2) dipenuhi. Oleh karena itu, dengan prinsip induksi matematika, kita simpulkan bahwa S = N dan formula adalah valid untuk semua n ∈ N.


40 / 42

2. Untuk bilangan a dan b diberikan, kita akan buktikan bahwa a − b adalah suatu faktor dari an − bn untuk semua n ∈ N. Untuk n = 1, pernyataan jelas benar. Misalkan a − b adalah suatu faktor dari ak − bk . Kita akan tunjukkan bahwa a − b adalah suatu faktor dari ak+1 − bk+1 . Untuk itu, perhatikan hubungan berikut ini. ak+1 − bk+1 = ak+1 − abk + abk − bk+1 = a(ak − bk ) + bk (a − b). Karena a − b adalah suatu faktor dari a(ak − bk ) berdasarkan hipotesis induksi dan juga suatu faktor dari bk (a − b), maka a − b adalah suatu faktor dari ak+1 − bk+1 . Berdasarkan prinsip induksi matematika, kita menyimpulkan bahwa a − b adalah suatu faktor dari an − bn untuk semua n ∈ N.


41 / 42

Latihan 1

2 3

Buktikan bahwa

1 n 1 1 + ··· + = untuk semua + n(n + 1) (n + 1) 1.2 2.3

n ∈ N. Tunjukkan bahwa 52n − 1 dapat dibagi oleh 8 untuk semua n ∈ N. √ 1 1 1 Buktikan bahwa √ + √ + · · · + √ > n untuk semua n ≥ 2, n 1 2 n ∈ N.

Ref: 1. Bartle, Introduction To Real Analysis. 2. Muhafzan, Bahan Ajar Analisis Riil I.


42 / 42

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

Recommend Documents