Šroubovice
Definice Šroubovice je křivka generovaná bodem A, který se otáčí kolem dané přímky o a zároveň se posouvá podél této přímky, oboje rovnoměrnou rychlostí. Pohyb bodu A – šroubový pohyb Přímka o – osa šroubového pohybu Válcová šroubovice – vytvářející bod A je v konstantní vzdálenosti od osy o. Kuželová šroubovice – vzdálenost bodu A se lineárně mění.
1
Smysl otáčení Pravotočivá
Levotočivá
Aplikace • architektura a stavitelství - schodiště • elektrotechnika – zesilovače, kabely, topné spirály • biologie – zvířecí rohy, stonky popínavých rostlin, honící se veverky
Pravotočivá šroubovice: • strojírenství - standardní šrouby, matice, vruty (kde se otáčivý pohyb mění na posuvný nebo obráceně) • lékařství - molekula DNA
2
Guggenheim Museum, New York Kuželová šroubovice
Divadlo Spirála, Praha Sférická šroubovice
3
Válcová šroubovice
Určení šroubovice Závit – část šroubovice vzniklá při otočení o úhel 2p Výška závitu v – velikost posunutí při otočení o úhel 2p Redukovaná výška závitu vo – velikost posunutí při otočení o úhel 1 rad
Jednoznačné zadání šroubovice: osa o, typ pohybu, bod A, v nebo vo
4
Závislost rovnoměrných pohybů Posunutí
Rozvinutí – lineární závislost délky posunutí na úhlu otočení Nárys – sinusoida
Půdorys – kružnice
Vztah mezi v a vo:
v=2πvo
Rozvinutím šroubovice je úsečka, proto je délka jednoho závitu šroubovice
Otáčení
ls
v 2 2p r
2
Konstrukce v Mongeově promítání Př.ČE-KO: PŘ s.118: Sestrojte jeden
závit pravotočivé šroubovice (alespoň devět bodů), která je dána osou o, o1 = [0, 6, 0], bodem A = [4, 6, 0] a v=8.
1. Půdorys = k(o1, r) 2. Výpočet: 9 bodů => 8 kroků závit=> pro 360° je dáno v=8cm 360°/8 odpovídá 8cm/8
5
Tečna šroubovice
Šroubovice je křivka konstantního spádu (tečny svírají s osou konstantní úhel).
Vlastnosti
Jestliže posuneme všechny tečny šroubovice do jednoho bodu vytvoří rotační kuželovou plochu zvanou řídící kuželová plocha šroubovice. Řídící kužel: Vrchol Vo Výška kužele = v0 Podstava = s1
V
s1 Věta: Ke každé tečně t šroubovice existuje přímka kuželové ploše taková, že: t je rovnoběžná s t t prochází bodem V, Vo, |OV|= v0.
t na řídící
6
Konstrukce
V2
Pravotočivá
V1
Př.ČE-KO: PŘ s.118: V bodě T, zT = 7, sestrojte tečnu šroubovice.
Postup: 1. v0, V, 2. t1, t1 3. směr t2,t 2 4. t2 .
Bodová funkce
Řídicí kužel: v0,Vo s1
X(t) = [x(t); y(t); z(t)], t I
Půdorys (v rovině p(x,y)): Kružnice se středem o1 a poloměrem r x(t) = r cos(t) + oX, y(t) = r sin(t) + oY, t <0,2π>, o1 = [oX,oY,0]. Nárys: lineární závislost délky posunutí na úhlu otočení lineární funkce délka posunutí o 1 rad = v0 délka posunutí o t rad = v0t z(t) = v0t + startovní výška
7
Př.ČE-KO: PŘ s.118: Napište bodovou funkci jednoho závitu zadané šroubovice a určete bodovou funkci tečny této šroubovice v bodě Q. o1 = [oX, oY , 0] = [0, 6, 0] a r = |A, o| = 4; Q = X(π/2)
x(t) = 4cos(t), y(t) = 4sin(t) + 6,
t <0,2π>,
v = 2πv0, z(t) = 4t/π, zA=0 startovní výška =0 X(t) = [4cos(t), 4sin(t) + 6, 4t/π],t <0,2π>. t=0 … t = π/2 …
[4, 6, 0] = A [0, 10, 2]
Tečna Y(s) šroubovice dané X(t) = [x(t); y(t); z(t)] v bodě Q=X(t0):
Y ( s ) Q st , s R X (t0 ) t
8
Bodová funkce - shrnutí X (t ) [r cos t ox , r sin t oy , v0t c], t 0, 2p X (t ) [ r sin t ox , r cos t o y , v0t c], t 0, 2p Obecně – jeden závit: t <0,2p>. r…poloměr o1 = [oX,oY,0]…..umístění osy c...výška zadaného tvořícího bodu Př. Určete bodovou funkci poloviny závitu levotočivé šroubovice, která je dána osou o, o1 = [-3, 5, 0], bodem A = [-3, 2, 2] a v=20. Př. Sestrojte šroubovici (alespoň 7 bodů) danou bodovou funkcí
X (t ) [5 5 cos t ,6 5 sin t ,1
9
p
t ], t 0, p .
Konstrukce ze zadané bodové funkce X (t ) [r cos t ox , r sin t oy , v0t c], t 0, 2p
1. osa o kolmá k půdorysně, o1 [ox , o y ,0] 2. poloměr válcové plochy r 3. bod A šroubovice (parametr c) A X (0) 4. bod B šroubovice (orientace) p B X 2 5. výška závitu v
v 2p v0 6. zobrazení šroubovice – 1 závit
9
Šroubové plochy
Definice Šroubová plocha vzniká šroubovým pohybem křivky (nebo plochy).
SHOW
Každým bodem šroubové plochy prochází => jedna šroubovice a jedna poloha šroubované tvořící křivky.
10
Určení plochy
1. Šroubový pohyb (osa, směr, v nebo v0) 2. Tvořící křivka k
Přímkové šroubové plochy – přehled v Monge
Přímé (pravoúhlé)
Šikmé (kosé)
11
Přímkové šroubové plochy Přímý šroubový konoid – helikoid Šroubové schodiště („plocha schodová“) Zemní vrták
Přímkové šroubové plochy Přímý šroubový konoid – helikoid Šroubové dopravníky
12
Přímkové šroubové plochy Přímá šroubová plocha otevřená Turning Torso Malmö, Švédsko Santiago Calatrava (20012005)
Přímkové šroubové plochy Přímá šroubová plocha otevřená
svidřík
Plocha vzniklá šroubovým pohybem čtverce (obsahuje 4 plochy tohoto typu).
13
Přímkové šroubové plochy Šikmá šroubová plocha uzavřenáVývrtková plocha Nebozez, vrták, Withwordův závit.
Přímkové šroubové plochy Šikmá šroubová plocha otevřená Schodiště, zastřešení schodišť.
Dostavba Louvre - Paříž Ieoh Ming Pei
14
Přímkové šroubové plochy Plocha tečen šroubovice - Šikmá šroubová plocha otevřená Jediná rozvinutelná šroubová plocha
Cyklické šroubové plochy Plocha sv. Jiljí Meridián = kružnice. Skluzavky, klenby, zastřešení schodiště, vrtáky, Withwordův závit.
15
Cyklické šroubové plochy Vinutý sloupek Příčný profil = kružnice Zdobení, skluzavky.
Cyklické šroubové plochy Archimédova serpentina Kružnice v normálové rovině
16
Archimédova Serpentina Kanálové plochy Pružiny, kuličková ložiska Skluzavky
17
