4.2.16
Slovní úlohy o pohybu
Předpoklady: 040215 Př. 1: • •
•
Zapiš vzorec, který popisuje dráhu rovnoměrného pohybu. Vyjádři ze vzorce i ostatní veličiny, které v něm vystupují, vzorce zkontroluj úvahou. s = vt : čím delší dobu a čím větší rychlostí jdu, tím větší vzdálenost ujdu, s v= : t o velkou rychlostí se pohybuji, pokud ujdu velkou vzdálenost za krátký čas (podíl velkého čitatele a malého jmenovatele), o malou rychlostí se pohybuji, pokud ujdu malou vzdálenost za dlouhý čas (podíl malého čitatele a velkého jmenovatele). s t= v o velký čas potřebuji na přesun o velkou vzdálenost malou rychlostí (podíl velkého čitatele a malého jmenovatele), o malou čas potřebuji na přesun o malou vzdálenost velkou rychlostí (podíl malého čitatele a velkého jmenovatele).
Pedagogická poznámka: Je to pořád dokola, ale stále se snažím, aby se žáci naučili automaticky interpretovat každý vzorec, se kterým se setkají. Př. 2:
Véna s Pepanem plánovali romantickou procházku. Bohužel ve chvíli, kdy měli vyrazit, volal Véna Pepanovi, že se zdržel na opravce ve škole, aby vyrazil, že ho za chvíli dohoní. Pepa se tedy rozploužil rychlostí 3 km/h původně plánovaným směrem. Véna se nakonec zdržel o trochu víc než čekal, takže si radši vzal kolo a vyrazil za Pepanem rychlostí 15 km za hodinu po 40 minutách. Kdy a kde Véna Pepana dohonil?
Ve chvíli, kdy se dohoní, budou stejně daleko od začátku cesty: sV = sP . Dosadíme časy a rychlosti: vV tV = vP t P , rychlosti známe, potřebujeme jeden čas vyjádřit pomocí druhého, aby v rovnici zbyla jediná neznámá. 40 2 Véna vyrazil o 40 minut později: tV = t P − = t P − (čas musíme převést na hodiny, protože 60 3 rychlosti dosazujeme v km/h). 2 Dosadíme: vV t P − = vP t P . 3 2 Dosadíme hodnoty rychlostí: 15 t P − = 3t P . 3 15t p − 10 = 3t p / +10 − 3t p 12t P = 10
/ :12
1
10 5 5 = ⇒ Pepa šel hodiny (50 minut), než ho Véna dohnal. 12 6 6 5 5 sP = vP t P = 3 ⋅ km = km = 2,5 km 6 2 Kontrola: 2 5 2 5−4 1 Doba, po kterou byl Véna na cestě: tV = t P − = − h = h = h = 10 min . 3 6 3 6 6 1 5 Dráha Vény: sV = vV tV = 15 ⋅ km = km = 2,5 km 6 2 Pro oba výletníky jsme získali stejnou dráhu ⇒ zkouška vyšla. Pepa šel 50 minut než ho Véna 2,5 km od domova dohnal. tP =
Řešení úloh na pohyby odpovídá řešení slovních úloh obecně, typicky se skládá z následujících bodů (jako ukázka je zvoleno řešení předchozího příkladu): • Najdeme rovnici, která popisuje základní rys situace ( sV = sP , když se potkají, jsou stejně daleko od domova). Neděsíme se, že v ní skoro nic neznáme. • Využijeme jeden ze vzorců pro veličiny rovnoměrného pohybu a nahradíme v rovnici veličiny, které neznáme a nechceme je určit: vV tV = vP t P . • Napíšeme si, které veličiny známe ze zadání a zjistíme, kolik neznámých v rovnici zbývá: vV tV = vP t P . 15
•
• •
3
Pokud zbývá více než jedna veličina, snažíme v údajích v zadání najít vztah, který 40 2 umožnil jednu ze zbývajících veličin vyjádřit z ostatních: tV = t P − = t P − . Tento 60 3 bod provádíme dokud v rovnici nezůstane jediná neznámá. Rovnici vyřešíme. Pokud je potřeba odpočítáme další veličiny.
Dobrá zpráva: Pokud jako poslední nezůstane v rovnici veličina, kterou máme určit, není to žádný problém. Dopočítávání je v naprosté většině případů velmi snadné.
Př. 3:
Bob a Bobek bydlí každý v jiné vesnici 22 km od sebe. Přesto se často setkávají a za pěkného počasí oba jezdí společně na kole. Bob je větší vyrazí v 13:15, Bobek je menší a tak vyjíždí až ve 13:26 rychlostí 4 km/h menší než Bob. Jakou rychlostí musí jet, aby se setkali přesně v 13:50? Kolik km každý z nich ujede? Bob
Bobek
s1
s2
Doba jízdy: 13:50-13:15 t1 =
35 7 h= h. 60 12
Doba jízdy: 13:50-13:26 t2 =
v1
Bobov
v2 Bobkov
22 km s1
místo s2 setkání . Obrázek: Ve chvíli, kdy se setkají ujedou společně celou vzdálenost: s1 + s2 = 22 .
2
24 2 h= h 60 5
Dosadíme časy a rychlosti: v1t1 + v2t2 = s . Celkovou dráhu i časy známe, musíme si vyjádřit jednu z rychlostí: v1 = v2 + 4 : Dosadíme: ( v2 + 4 ) t1 + v2t2 = s
7 2 + v2 = 22 / ⋅60 12 5 ( v2 + 4 ) 35 + v2 ⋅ 24 = 1320
( v2 + 4 )
35v2 + 140 + v2 ⋅ 24 = 1320 59v2 = 1180
/ −140
/ : 59
v2 = 20 ⇒ v1 = v2 + 4 km/h = 20 + 4 km/h = 24 km/h 7 Dráha Boba: s1 = v1t1 = 24 ⋅ km = 14 km . 12 2 Dráha Bobka: s2 = v2t2 = 20 ⋅ km = 8 km . 5 Součet obou drah je 22, což odpovídá zadání. Bob musí jet rychlostí 24 km/H, Bobek rychlostí 20 km/h, jestliže se mají ve 13:50 setkat.
Dodatek: Na řešení se nic podstatné ho nezmění, když si vyjádříme rychlost Bobka: v2 = v1 − 4
v1t1 + ( v1 − 4 ) t2 = s
7 2 + ( v1 − 4 ) = 22 12 5 35v1 + 24v1 − 96 = 1320 v1
/ ⋅60
59v1 = 1416 v1 = 24 Získali jsme rychlost Boba, dopočítat musíme rychlost Bobka.
Př. 4:
Zlomkoslav se rozhodl, že do školy dojede na kole. Vyrazil a než píchnul duší ujel 12 km. Zbývajících 1,5 km musel kolo vést a ač se snažil, co mohl, pohyboval se pouze čtvrtinovou rychlostí než na kole. Přesto byla jeho průměrná rychlost za celou cestu jen o 6 km/h menší než rychlost, kterou jel na kole. Jakou rychlostí se pohyboval?
Hledáme rovnici, která popisuje děj, jako celek: tk + t p = t . Známe dráhy částí i celku, chceme s . v sk s p s 12 1,5 13,5 + = , dosadíme za dráhy: + = . vk v p v vk v p v Zbývají tři neznámé ⇒ musíme vyjádřit rychlosti. Vyjádříme pomocí rychlosti na kole (k té se vztahují informace ze zadání): v • pěšky šel čtvrtinou rychlost než na kole: v p = k , 4 • průměrná rychlost byla o 6 km/h nižší: v = vk − 6 . spočítat rychlosti ⇒ dosadíme t =
3
Dosadíme:
12 1,5 13,5 . + = vk vk vk − 6 4
Upravíme a vynecháme indexy:
12 6 13,5 + = v v v−6
/ v ( v − 6) .
12 ( v − 6 ) + 6 ( v − 6 ) = 13,5v 12v − 72 + 6v − 36 = 13, 5v / −13,5 v 4,5v − 108 = 0 / +108 4,5v = 108 / : 4,5 v = 108 : 4, 5 = 24 Zlomkoslav jel na kole rychlostí 24 km/h. Dopočteme ostatní rychlosti: v 24 • rychlost chůze: v p = k = km/h = 6 km/h , 4 4 • průměrná rychlost: v = vk − 6 = 24 − 6 km/h = 18 km/h . Zlomkoslav jel na kole rychlostí 24 km/h, šel pěšky rychlostí 6 km/h. Během celé cesty se pohyboval průměrnou rychlostí 18 km/h. Známé sestry Rovnicovy Lineárka s Kvadratilkou se rozešly na kolmé křižovatce dvou dlouhých rovných cest. Lineárka šla velmi rychle směrem na Sever, Kvadratilka jela na kole na západ rychlostí o 17 km/h vyšší. Po půl hodině byly od sebe obě sestry vzdáleny již 12,5 km. Jakou rychlostí se pohybovaly?
Př. 5:
vzdálenost Lineárka Kvadratilka
Z obrázku je zřejmé, že vzdálenost sester je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku, kde odvěsny jsou dráhy, které každá se sester urazila. sL2 + sK2 = 12, 52
( vL t L ) + ( v K t K ) 2
2
= 12,52
vL2t L2 + vK2 t K2 = 12, 52 Časy známe, zůstávají dvě neznámé ⇒ musíme jednu rychlost vyjádřit z druhé. Kvadratilka jela rychlostí o 17 km/h větší: vK = vL + 17 . 2
2
21 1 Dosadíme: v + ( vL + 17 ) = 12,52 . 2 2 1 2 1 vL2 + ( vL + 17 ) = 156, 25 / ⋅4 4 4 2 vL2 + ( vL + 17 ) = 625 2 L
4
vL2 + vL2 + 34vL + 289 = 625
2vL2 + 34vL − 336 = 0
/:2
vL2 + 17vL − 168 = 0 2 −b ± b 2 − 4ac −17 ± 17 − 4 ⋅1 ⋅ ( −168 ) −17 ± 961 −17 ± 31 x1,2 = = = = 2a 2 ⋅1 2 2 −17 + 31 14 x1 = = = 7 ⇒ rychlost Kvadratilky vK = vL + 17 = 7 + 17 km/h = 24 km/h . 2 2 −17 − 31 −48 x2 = = = −24 ⇒ nemá fyzikální význam. 2 2 Kvadratilka je rychlost 24 km/h, Lineárka pospíchala pěšky rychlostí 7 km/h.
Př. 6:
Udatný rytíř Determinant odcválal na svém oři 16 km do nejbližšího královského města. Kdyby cválal o 4 km rychleji, byl by tam o 8 minut dříve. Jak dlouho ve skutečnosti cválal? Vyřeš příklad oběma způsoby (na začátku je možné vyjít ze dvou různých rovnic, zkus nají obě možnosti a porovnat obě řešení). Skutečná jízda
Rychlejší jízda
ss = 16 km
sr = 16 km
vs
vr
ts
tr
8 2 = ts − . 60 15 Dosadíme za časy, tak abychom použili známou vzdálenost a v rovnici se objevily rychlosti. sr s s 2 ⇒ dráhy známe, musíme z jedné rychlosti vyjádřit druhou, abychom získali = − vr vs 15 rovnici s jedinou neznámou. Kdyby cválal o 4 km/h rychleji: vr = vs + 4 . sr s 2 = s− vs + 4 vs 15 16 16 2 Dosadíme za dráhu a zrušíme indexy: = − / ⋅15 ( v + 4 ) v v + 4 v 15 .
Kdyby cválal rychleji, byl by tamo 8 minut dříve: tr = ts −
15 ⋅16 ⋅ v = 15 ⋅16 ⋅ ( v + 4 ) − 2 ⋅ v ( v + 4 ) 240v = 240v + 960 − 2v 2 − 8v 0 = 960 − 2v 2 − 8v
0 = 480 − v − 4v 2
/ −240v
/:2
/ ⋅ ( −1)
v 2 + 4v − 480 = 0
2 −b ± b 2 − 4ac −4 ± 4 − 4 ⋅1 ⋅ ( −480 ) −4 ± 1936 −4 ± 44 = = = 2a 2 ⋅1 2 2 −4 + 44 40 v1 = = = 20 2 2 −4 − 44 −48 v2 = = = −24 ⇒ nemá fyzikální význam. 2 2
v1,2 =
5
Doba cvalu: ts =
s 16 4 = h = h = 48 min . v 20 5
Druhý způsob řešení: vyjdeme z rovnice o rychlosti. Kdyby cválal o 4 km/h rychleji: vr = vs + 4 . Dosadíme za rychlosti, tak abychom použili známou vzdálenost a v rovnici se objevily časy: sr s s = + 4 ⇒ dráhy známe, musíme z jednoho času vyjádřit druhý, abychom získali rovnici tr t s 8 2 s jedinou neznámou. Byl by tam o 8 minut dříve: tr = ts − = ts − . 60 15 s sr = s +4 2 ts ts − 15 16 16 Dosadíme za dráhu a zrušíme indexy: = +4 2 t t− 15 16 16 ⋅15 16 = = +4 / ⋅t (15t − 2 ) 15t − 2 15t − 2 t 15 16 ⋅15 ⋅ t = 16 (15t − 2 ) + 4t (15t − 2 ) 240t = 240t − 32 + 60t 2 − 8t 0 = 60t 2 − 8t − 32 15t 2 − 2t − 8 = 0
/ −240t
/:4
−b ± b 2 − 4ac − ( −2 ) ± ( −2 ) − 4 ⋅15 ⋅ ( −8 ) 2 ± 484 2 ± 22 t1,2 = = = = 2a 2 ⋅15 30 30 2 + 22 24 4 t1 = = = 30 30 5 2 − 22 −20 2 t2 = = = − ⇒ nemá fyzikální význam. 30 30 3 Udatný Determinant cválal do města 48 minut rychlostí 20 km/h. 2
Shrnutí: Při řešení slovních úloh o pohybu vychází z rovnice, která vyjadřuje celkovou charakteristiku situace (mnohdy existuje více možností, kde začít).
6
