1
Sistem Bilangan dan K Kesalahan l h
Metode Numerik
Penyajian Bilangan Bulat 2
Bilangan bulat yang sering digunakan adalah bilangan bulat dalam sistem bilangan desimal yang didefinisikan sbb: N = (an an −1an − 2 ...a0 ) = an10 n + an −110 n −1 + an − 210 n − 2 + ... + a010 0
Metode Numerik
Contoh : 267310 = 2*103 + 6*102 +7*101 + 3*100
Bilangan bulat dengan bilangan dasar c didefinisikan sebagai : N = (an an −1an − 2 ...a0 )c
= an c n + an −1c n −1 + an − 2 c c − 2 + ... + a0 c 0
Metode Numerik
3
ALGORITMA KONVERSI BILANGAN 4
Bila diketahui koefisien-koefisien a1, a2, a3, …,, an dari polinomial
p( x) = a n x + a n−1 x n
n −1
+ a n−2 x
n−2
+ ... + a0
dan suatu bilangan β Maka dapat dihitung bn,b bn-1,..,b b0 dari β sebagai berikut : bn = an bn −1 = an −1 + bn β bn − 2 = an − 2 + bn −1β ............................... b0 = a0 + b1β Metode Numerik
Algoritma 1.1
Contoh: 5
Bilangan biner (1101)2 dapat dihitung sebagai : b3 = a3 = 1 b2 = a2 + b3 β = 1 + 1.2 = 3 b1 = a1 + b2 β = 0 + 3.2 = 6 b0 = a0 + b1β = 1 + 6.2 = 13
sehingga (1101)2 = 13
Metode Numerik
Penyajian Bilangan Pecahan 6
y Bilangan x antara 0 s/d g pecahan p / 1 dalam sistem
bilangan desimal didefinisikan :
x = (a1a2a3...an ) = a110−1 + a210−2 + a310−3 +...+ an10−n y Bilangan pecahan x secara umum dalam sistem
bilangan g dengan g bilangan g dasar k didefinisikan : n
(a1a 2 a3 ...a n )k = ∑ ai k −i i =1
Metode Numerik
Contoh: a) 0,62510 = 6*10-1+2*10-2+5*10-3 b) (0,101)2 = 1*2-1+0*2-2+1*2-3 = 0,5 0 5 + 0,125 0 125 = 0,625
Metode Numerik
7
Algoritma 1.2 Jika diketahui x di antara 0 dan 1 sebuah bilangan β yang lebih besar dari 1. Carilah b1, b2, b3,… c0 = x
b1 = (β c0 )I
c1 = (βc0 )F
b2 = (βc1 )I
c2 = (β c1 )F
……………………….. Maka :
∞
x = (b1b2b3 ...)β = ∑ bk β − k k =1
Metode Numerik
8
Contoh: Jika x = (0,101)2, dengan β = 10 (atau 10102), carilah b1,b2,b3
c0 = x = 0,1012 βc0 = (1010)(0,101) 2 = (110,010) 2 sehingga b1 = (110)2 c1 = (0,01)2
β c1 = (1010 )( 0,01) 2 = (10,10 ) 2
sehingga b2 = (10 )2
c2 = (0,1)2
βc2 = (1010)(0,1) 2 = (101,0) 2
sehingga b3 = (101)2
c1 = (0,01)2
Karena bk dst sama dengan nol, dan b1 = 6, b2 = 2, b3 = 5 Maka : x = (an an −1...a0 , b1b2b3 ...) 2
=
x = (an an −1...a0 , b1b2b3 ...)10
x = (0,101)2 = (0,625)10 Metode Numerik
9
Nilai Signifikan / Angka Penting 10
Nilai signifikan suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Terdiri dari digit 1,2 3,4,5,6,7,8,9 dan 0
untuk 0 tidak termasuk angka signifikan jika digunakan untuk menentukan titik desimal atau untuk mengisi tempat-tempat dari digit yang tidak diketahui/dibuang. Metode Numerik
Perhatikan nilai pada penggaris
40 50 60 70
40
50
60
70
Dengan nilai signifikan = 1, maka nilai adalah 53 atau 54 Dengan nilai signifikan = 0 0,1, 1 maka nilai adalah 53 atau 53 53,5 5 Metode Numerik
11
Akurasi dan Presisi 12
(a) (b) ( ) (c) (d)
a))
b))
c)
d)
menunjukkan hasil yang akurat dan presisi. menunjukkan hasil yang presisi tetapi tidak akurat. menunjukkan j kk hhasilil yang sebenarnya b akurat k t ttetapi t i tid tidakk presisi. i i menunjukkan hasil yang tidak akurat dan tidak presisi. Metode Numerik
Akurasi dan Presisi 13
Nilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan d sebaran dan b b bacaan b l berulang pada d alat l t ukur. k Pemakaian alat ukur penggaris dan jangka sorong akan mempunyai perbedaan nilai presisi.Pemakaian jangka sorong mempunyai presisi yang lebih tinggi. Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilai pendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nilai eksak. Misalkan nilai eksak diketahui ½, sedangkan hasil pendekatan adalah 0.500001 maka hasil ini dikatakan akurat bila torelansinya =10-4. Metode Numerik
Aturan Pembulatan 14
1. Jika bilangan yang dibuang kurang dari ½ satuan dari tempat yang ke –n, maka angka yang ke-n tetap tidak dirubah 2. Jika bilangan yang dibuang lebih dari ½ satuan dari tempat yyang g ke –n,, maka angka g y yang g ke-n ditambah dengan g 1 3. Jika bilangan yang dibuang tepat ½ satuan dalam tempat yang ke-n, maka angka yang ke-n tidak dirubah, jika angka yang ken adalah genap atau angka yang ke ke-n n ditambah dengan 1 (satu) jika angka yang ke-n gasal, dengan kata lain perkataan membulatkan sedemikian hingga angka yang ke-n adalah genap. genap Jika suatu bilangan sudah dibulatkan menurut aturan di atas bilangan itu dikatakan betul (correct) sampai n angka yang b berarti ti
Pendekatan dan Kesalahan 15
Kesalahan dalam Metode Numerik : ¾
Kesalahan pembulatan ( round of error) Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan. Contoh : 0,4 Æ 0 0,5 Æ 1
¾
Kesalahan pemotongan ( truncation error ) Kesalahan yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jjumlah angka g signifikan. g Contoh : 0,4123568 Æ 0,41236 (7 angka signifikan) (5 angka signifikan)
Metode Numerik
¾ Kesalahan K l h d darii perhitungan hit N Numerik ik kesalahan yang timbul karena adanya proses p pendekatan. Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah :
xˆ = x + e dimana: xˆ = nilai il i yang sebenarnya b ( nilai il i eksak k k)
x = nilai pendekatan yang dihasilkan dari metode numerik e = kesalahan numerik.
Metode Numerik
16
17
Kesalahan fraksional adalah p prosentase antara kesalahan dan nilai sebenarnya. ⎛e⎞ ∈= ⎜ ⎟ x100% ⎝ xˆ ⎠
Kesalahan fraksional berdasarkan nilai pendekatan yang diperoleh: dimana e pada waktu ke n adalah selisih nilai pendekatan ke n dan ke n n-1 1 ⎛x −x ⎞ ∈= ⎜⎜ ⎝
n −1
n
xn
⎟⎟ × 100% ⎠
Perhitungan kesalahan semacam ini dilakukan untuk mencapai keadaan konvergensi pada suatu proses iterasi.
Metode Numerik
Konvergensi 18
Definisi Konvergensi. Suatu barisan a1 , a 2 ,... dikatakan konvergen ke α jika dan hanya jika untuk semua e>0 terdapat bilangan bulat η ∈ . 0
Sedemikian hingga untuk semua n≥ η 0
( )
terdapat | α
− α n | <∈
Sehingga penyelesaian dalam metode numerik dicari berdasarkan selisih hasil saat ini dengan hasil sebelumnya. Kriteria konvergensi g ini dapat p dipakai p untuk mengurangi g g jjumlah iterasi yang besar tetapi terkadang tidak akurat
Metode Numerik
Latihan soal : 1. Konversikan pecahan biner berikut ini menjadi pecahan desimal : (0,110101)2 (0,111111)2 2. Konversikan pecahan desimal berikut ini menjadi pecahan oktal (0,1)10 (0,86)10 3. Carilah angka biner yang mendekati
Metode Numerik
19
π sampai 10-3
