Simulace tmav´ ych fotovoltaick´ ych soliton˚ u pomoc´ı BPM Michal Bodn´ ar ˇ e vysok´e uˇcen´ı Katedra fyzik´aln´ı elektroniky, Fakulta jadern´a a fyzik´alnˇe inˇzen´ yrsk´a, Cesk´ technick´e v Praze, V Holeˇsoviˇck´ach 2, 180 00, Praha 8 Abstrakt Numerick´ a metoda BPM (beam propagation method) umoˇ zn ˇ uje simulovat dynamick´ eˇ s´ıˇ ren´ı optick´ eho z´ aˇ ren´ı libovoln´ ym optick´ ym prostˇ red´ım. My jsme pouˇ zili tuto metodu na ˇ reˇ sen´ı neline´ arn´ı Schr¨ odingerovi rovnice, kter´ a popisuje ˇ s´ıˇ ren´ı optick´ ych soliton˚ u v neline´ arn´ım prostˇ red´ı. Simulace je zamˇ eˇ rena na ˇ s´ıˇ ren´ı optick´ eho z´ aˇ ren´ı v optick´ ych krystalech LiN bO3 dopovan´ ych ionty F e. Toto prostˇ red´ı umoˇ zn ˇ uje vygenerovat tmav´ e prostorov´ e fotovoltaick´ e solitony.
1
Princip prostorov´ ych soliton˚ u
Jedn´ım z obor˚ u dneˇsn´ı neline´arn´ı optiky jsou prostorov´e solitony. Prostorov´e solitony mohou m´ıt sv´e uplatnˇen´ı v optoelektronice a optick´e komunikaci jako optick´e dˇeliˇce, optick´a hradla apod. Nejzn´amˇejˇs´ı charakteristikou ˇs´ıˇr´ıc´ıho se optick´eho svazku je rozˇsiˇrov´an´ı jeho pˇr´ıˇcn´eho profilu vlivem jeho divergence. Divergenci lze ovlivnit pomoc´ı neline´arn´ı optiky. Je zapotˇreb´ı siln´a neline´arn´ı interakce mezi optickou vlnou a optick´ ym prostˇred´ım, ve kter´em se tato vlna ˇs´ıˇr´ı. V´ ysledkem t´eto interakce m˚ uˇze b´ yt autofokuzace svazku (analogie spojky) nebo prostorov´ y soliton. Prostorov´e solitony jsou optick´e svazky ˇs´ıˇr´ıc´ı se neline´arn´ım prostˇred´ım bez divergence. To znamen´a, ˇze pˇr´ıˇcn´ y profil svazku se nemˇen´ı bˇehem ˇs´ıˇren´ı optick´ ym prostˇred´ım. Prostorov´e solitony jsou v´ ysledkem kompenzace divergence neline´arnˇe indukovanou ˇcoˇckou (autofokuzuj´ıc´ım jevem nebo autodefokuzuj´ıc´ım jevem) viz. obr´azek(1).
Vstupní intenzita
a)
Výstupní èelo fáze
Výstupní intenzita
Divergence
b)
Samofokuzace
c)
Prostorový soliton
Obr´azek 1: Sch´ematick´a ilustrace ˇcoˇckov´e analogie pro prostorov´ y soliton. Divergenci odpov´ıd´a konk´avn´ı ˇcoˇcka (rozptylka), neline´arn´ımu prostˇred´ı konvexn´ı ˇc. (spojka) a pˇri prostorov´em solitonu se jejich efekt kompenzuje Nez´avisle na prostˇred´ı dˇel´ıme prostorov´e solitony na svˇetl´e a tmav´e [1, 2] viz. obr´azek (2). Svˇetl´ y soliton je optick´ y svazek ˇs´ıˇr´ıc´ı se prostˇred´ım beze zmˇeny tvaru v pˇr´ıˇcn´em profilu. K t´eto rovnov´aze doch´az´ı kompenzac´ı divergence autofokuzac´ı svazku, kter´a je zp˚ usobena svˇetlem indukovanou zmˇenou indexu lomu. Svˇetl´e solitony lze generovat v prostˇred´ı s pozitivn´ı zmˇenou
indexu lomu. Tmav´ ym solitonem naopak oznaˇcujeme tmav´ y p´as nebo ”tmavou d´ıru” v homogenn´ım osvˇetlen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se v neline´arn´ım prostˇred´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe doch´az´ı ke kompenzaci divergence tmav´e d´ıry autodefokuzac´ı, kter´a je zp˚ usobena z´apornou zmˇenou indexu lomu a vztahuje se k homogenn´ımu osvˇetlen´ı. Tmav´e solitony d´ale dˇel´ıme na tmav´e, kde minimum intensity je rovno nule, nebo ˇsed´e, kde minimum intenzity je nenulov´e, ale menˇs´ı neˇz homogenn´ı osvˇetlen´ı. Na obr.(2) je zn´azornˇena tak´e f´aze optick´eho pole pˇr´ısluˇsej´ıc´ı k dan´emu typu solitonu. Svˇetl´ y soliton lze generovat pˇri konstantn´ı f´azi, naopak tmav´ y soliton lze generovat pouze pˇri konkr´etn´ı hodnotˇe f´aze. F´aze optick´eho pole mus´ı m´ıt pˇri generaci tmav´eho solitonu hodnotu π. Jde o f´azov´ y skok pˇresnˇe v minimu intenzity optick´eho pole. Tmavý
Intenzita
Svìtlý
x
x
fáze
p/2
-p/2
Obr´azek 2: Sch´ematick´e zn´azornˇen´ı rozd´ıl˚ u mezi svˇetl´ ym a tmav´ ym solitonem a jeho optickou f´az´ı Budeme se zab´ yvat anal´ yzou tmav´ ych prostorov´ ych optick´ ych soliton˚ u. Tyto solitony budou ke sv´emu vzniku vyuˇz´ıvat fotovoltaick´ y jev [3, 4, 5, 6]. Jelikoˇz zmˇena indexu lomu prostˇred´ı, kterou pˇri sv´e generaci optick´ y svazek vytvoˇr´ı, v materi´alu z˚ ust´av´a i po pˇreruˇsen´ı osvˇetlen´ı, lze vytvoˇren´ y profil indexu lomu vyuˇz´ıt jako vlnovod a nav´azat do nˇej jin´e optick´e z´aˇren´ı. Solitony y vykazuje fotorefraktivn´ı budeme studovat v optick´em krystalu F e : LiN bO 3 . Jde o krystal, kter´ jev. Fotorefraktivn´ı materi´aly vykazuj´ı fotovodivostn´ı a elektro-optick´e vlastnosti.
2
Teoretick´ y model
V tomto ˇcl´anku se budeme zab´ yvat fotovoltaick´ ymi tmav´ ymi solitony (PVE) a jejich numerickou anal´ yzou. PVE solitony jsou podmnoˇzinou fotorefraktivn´ıch soliton˚ u. N´azev konkr´etn´ıho typu solitonu charakterizuje jev, kter´ y soliton ke sv´emu vzniku vyuˇz´ıv´a. Fotorefraktivn´ı jev [7] je sloˇzen ze tˇr´ı samostatn´ ych jev˚ u: difuze, driftu (vyuˇzit´ı vnˇejˇs´ıho elektrick´eho pole) a fotovoltaick´eho jevu. Fotorefraktivn´ı materi´aly jsou schopn´e detekovat a uloˇzit prostorov´e rozloˇzen´ı optick´e intenzity ve tvaru prostorov´eho rozloˇzen´ı zmˇen indexu lomu. Fotoindukovan´e elektrick´e n´aboje vytvoˇr´ı rozloˇzen´ı prostorov´eho n´aboje, jehoˇz d˚ usledkem je vnitˇrn´ı elektrick´e pole, kter´e pˇres elektro-optick´ y jev zmˇen´ı index lomu. N´aˇs z´ajem o studium fotovoltaick´ ych soliton˚ u vych´az´ı ze studia krystal˚ u LiN bO3 dopovan´ ych ionty ˇzeleza. Tento druh krystalu je fotorefraktivn´ı a dominantn´ım jevem zp˚ usobuj´ıc´ım fotorefrakci v krystalu je jev fotovoltaick´ y [8]. Difuze je v tomto prostˇred´ı zanedbateln´a a jelikoˇz nechceme materi´al ovlivˇ novat vnˇejˇs´ım elektrick´ ym polem, je drift roven nule. Teoretick´ y model ˇs´ıˇren´ı tmav´eho fotovoltaick´eho solitonu je pops´an soustavou rovnic popisuj´ıc´ı prostˇred´ı v nˇemˇz se soliton ˇs´ıˇr´ı (tzv. Kuktharev˚ uv model) a vlnovou rovnic´ı popisuj´ıc´ı samotn´e ˇs´ıˇren´ı optick´eho z´aˇren´ı. Kuktharev˚ uv model (1-4) popisuje reakci fotorefraktivn´ıho materi´alu na optick´e z´aˇren´ı. Kuktharev˚ uv model popisuje pohyb elektron˚ u v p´asov´em modelu 2+ krystalu s jeho valenˇcn´ım, zak´azan´ ym a vodivostn´ım p´asem. Donory F e jsou ionizov´any absorpc´ı fotonu. Ionizovan´e elektrony jsou generov´any do vodivostn´ıho p´asu a za sebou zanech´avaj´ı pr´azdn´e stavy. Takto ionizovan´e neˇcistoty (pasti) jsou schopn´e zachytit elektrony. Rovnice (1) popisuje rychlost generace hustoty excitovan´ ych elektron˚ u N di . ∂Ndi /∂t je umˇern´a rychlosti ge-
nerace a rekombinace hustoty elektron˚ u ze zak´azan´eho p´asu, kde leˇz´ı ionty ˇzeleza F e 2+ a F e3+ . i ∂ND i i = (β + s|A|2 )(ND − ND ) − γn ˆ ND , ∂t
(1)
i hustota excitovan´ ND je hustota donor˚ u a z toho necht’ je ND ych elektron˚ u. Rychlost generace i elektron˚ u je (sI +β)(ND −ND ), zat´ımco rychlost zachycen´ı (rekombinace) v pastech (ionizovan´e i , kde n donory) je γR n ˆ ND ˆ je hustota elektron˚ u (ˆ n = N D + NA ), s je fotoionizaˇcn´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez, I je intenzita svˇetla, β je rychlost generace elektron˚ u pomoc´ı tepla a γ R je rychlost rekombinace elektron-ionizovan´a past. Rychlost generace elektron˚ u je stejn´a jako ionizace past´ı aˇz na to, ˇze elektrony jsou pohybliv´e, kdeˇzto pasti jsou nehybn´e. To je podstata fotorefraktivn´ıho jevu. Pohyb elektron˚ u m˚ uˇze ovlivnit elektronovou hustotu i 1 ∂n ˆ ∂ND − = − ∇ˆj, ∂t ∂t e
(2)
kde ˆj je hustota proudu, e n´aboj elektronu. Kaˇzd´ y fotogenerovan´ y elektron za sebou zanech´av´a kladnˇe nabit´ y iont. Doch´az´ı k transportu elektron˚ u. Elektron je n´aslednˇe zachycen (rekombinuje) a uloˇz´ı sv˚ uj z´aporn´ y n´aboj v neosvˇetlen´e oblasti krystalu. V´ ysledkem je nehomogenn´ı rozloˇzen´ı prostorov´eho n´aboje. Tento nehomogenn´ı prostorov´ y n´aboj vytv´aˇr´ı elektrick´e pole E sc , kter´e n´aslednˇe ovlivˇ nuje transport n´aboj˚ u. Hustota proudu se d´ale skl´ad´a z pˇr´ıspˇevk˚ u driftu nosiˇc˚ u n´aboje zp˚ usoben´eho vnˇejˇs´ım elektrick´ ym polem, dif´ uze zp˚ usoben´e gradientem hustoty nosiˇc˚ u n´aboje a fotovoltaick´eho jevu zp˚ usoben´eho exitac´ı elektronu do vodivostn´ıho p´asu. Potom lze napsat hustotu proudu V i j(x, t) = eµˆ n Esc (x, t) − −µkB T ∇ˆ n + βph (ND − ND )I(x, t), (3) l | {z } | {z } | {z } dif u ´ze fotov.jev drift
kde −e je n´aboj elektronu, V je extern´ı napˇet´ı mezi elektrodami, l vzd´alenost elektrod, k B je Boltzmanova konstanta, T je absolutn´ı teplota, µ elektronov´a hybnost, D dif´ uzn´ı konstanta, E sc je elektrick´e prostorov´e pole a β ph je fotovoltaick´a konstanta. Vztah pro elektrick´e pole z´ısk´ame z Poissonovy rovnice: ρ i ∇Esc = = e(ˆ n + N A − ND ), (4) 0 kde je dielektrick´a konstanta, ρ je hustota n´aboje a N A je hustota akceptor˚ u (past´ı). Pro hustotu n´aboje plat´ı rovnice kontinuity ∂ρ(x, t) ∂j(x, t) = . ∂t ∂x
(5)
´ Upln´ y soubor rovnic popisuj´ıc´ı ˇs´ıˇren´ı optick´eho pole v krystalu uz´av´ır´a skal´arn´ı vlnov´a rovnice s pomalu promˇennou amplitudou ∂ i ∂2 ik − (6) A(x, z) = 4n(Esc )A(x, z), 2 ∂z 2k ∂x n kde 4n(Esc ) = −0.5n3 ref f Esc je zmˇena indexu lomu nez´avisl´a na z (osa ˇs´ıˇren´ı), x je pˇr´ıˇcn´a osa. A je pomalu promˇenn´a amplituda optick´eho pole, definovan´a E opt = A(x, z) exp(ikz − iωt) + c.c (k = 2πn/λ a ω je u ´ hlov´a frekvence). r ef f je efektivn´ı elektrooptick´ y koeficient. Nakonec definujeme optickou intenzitu a tmavou intenzitu I = |A| 2 a Idark = β/s. Idark = β/s je intenzita svˇetla potˇrebn´a ke generaci fotovodivosti rovn´e tmav´e vodivosti. Obecnˇe hled´ame stacion´arn´ı (nediverguj´ıc´ı) ˇreˇsen´ı ve tvaru p A(x, z) = u(z) exp(iΓx) Idark , (7) kde Γ je konstanta ˇs´ıˇren´ı solitonu.
Rovnice (6) je neline´arn´ı Schr¨odingerova rovnice popisuj´ıc´ı ˇs´ıˇren´ı optick´eho z´aˇren´ı krystalem, jehoˇz index lomu je zmˇenˇen pˇres elektro-optick´ y jev. Schr¨odingerova rovnice nem´a pro dan´ y typ solitonu a dan´ y materi´al analytick´e ˇreˇsen´ı, a proto ji mus´ıme ˇreˇsit numericky. Jednou z metod, kterou lze pouˇz´ıt, je symetrick´a split-step Fourierova metoda neboli BPM (beam propagation method).
3
Numerick´ y model–metoda BPM
BPM (beam propagation method) [9, 10, 11] je numerick´a metoda urˇcen´a k modelov´an´ı ˇs´ıˇren´ı optick´eho pole prostˇred´ım s libovoln´ ym rozloˇzen´ım indexu lomu. Tato metoda spad´a do kategorie tzv. pseudospektr´aln´ıch metod. Jde o metody mnohon´asobnˇe rychlejˇs´ı ve v´ ypoˇctu neˇz numerick´e metody zaloˇzen´e na koneˇcn´ ych diferenc´ıch. My zde budeme cht´ıt numericky simulovat ˇs´ıˇren´ı optick´eho svazku neline´arn´ım prostˇred´ım. Metoda BPM je zaloˇzena na Fourierovˇe transformaci, ale v neline´arn´ım prostˇred´ı Fourierova transformace neplat´ı. Lze vˇsak upravit algoritmus v´ ypoˇctu tak, ˇze metodu BPM budeme moci pouˇz´ıt i pro neline´arn´ı prostˇred´ı. J´adro metody BPM spoˇc´ıv´a ve znalosti vstupn´ıho optick´eho pole φ 1 (x, y) a zp˚ usobu v´ ypoˇctu ˇs´ıˇren´ı optick´eho svazku (zmˇena rozloˇzen´ı pole po N pod´eln´ ych kroc´ıch). Po N kroc´ıch z´ısk´ame rozloˇzen´ı optick´eho pole ve vzd´alenosti z = N 4z, kde 4z je velikost jednoho kroku viz.obr´azek (3). V jednom kroku dostateˇcnˇe mal´em lze index lomu prostˇred´ı n i pˇredpokl´adat konstantn´ı (homogenn´ı). Prostˇred´ı rozloˇzen´e na N pod´eln´ ych u ´ sek˚ u si lze pˇredstavit jako N ˇcoˇcek
fN(x,y)
f1(x,y) n1
n2
n3 … …
ni
… nN
Dz Obr´azek 3: Sch´ematick´e zn´azornˇen´ı principu metody BPM vzd´alen´ ych mezi sebou o 4z. Kaˇzd´a ˇcoˇcka provede Fourierovu transformaci do spektr´aln´ı oblasti. Dojde k rozkladu na separ´atn´ı rovinn´e komponenty, kaˇzd´a z tˇechto komponent m´a vlastn´ı vlnov´ y vektor. Nyn´ı vyn´asob´ıme jednotliv´e rovinn´e komponenty f´azovou korekc´ı danou ˇs´ıˇren´ım na vzd´alenost 4z. F´azov´e zmˇeny jednotliv´ ych rovinn´ ych komponent jsou rozd´ıln´e d´ıky r˚ uzn´ ym smˇer˚ um vlnov´ ych vektor˚ u. V´ ysledn´a vlna je pak d´ana opˇet superpozic´ı vˇsech rovinn´ ych komponent. Na konci u ´ seku 4z provedeme inverzn´ı Fourierovu transformaci a krok opakujeme o dalˇs´ı 4z. Nyn´ı aplikujeme BPM na neline´arn´ı Schr¨odingerovu rovnici (NLS) [11, 12, 13] pro jednodimenzion´aln´ı pˇr´ıpad, kde z je smˇer ˇs´ıˇren´ı a x je pˇr´ıˇcn´a sloˇzka. NLS m´a tvar: ∂E(x, z) i ∂2 k = E(x, z) + i 4n E(x, z). (8) ∂z 2k ∂x2 n Pro pochopen´ı filozofie BPM metody je uˇziteˇcn´e zapsat rovnici (8) ve tvaru: ∂E ˆ ˆ E, = D+N (9) ∂z ˆ je diferenci´aln´ı oper´ator, kter´ ˆ je neline´arn´ı kde D y popisuje divergenci v line´arn´ım prostˇred´ı a N diferenci´aln´ı oper´ator, kter´ y popisuje ˇs´ıˇren´ı v neline´arn´ım prostˇred´ı. Tyto oper´atory jsou d´any ve tvaru 2 ˆ = i ∂ (10) D 2k ∂x2
ˆ = i k 4n. N (11) n Optick´e jevy divergence a nelinearita p˚ usob´ı na optick´ y svazek souˇcasnˇe, tj. form´aln´ı ˇreˇsen´ı rov.(9) je d´ano vztahem ˆ + N)4z]E(z). ˆ E(z + 4z) = exp[(D (12) BPM metodou z´ısk´ame pˇribliˇzn´e ˇreˇsen´ı za pˇredpokladu, ˇze divergence a neline´arn´ı jev mohou p˚ usobit oddˇelenˇe na velmi mal´e vzd´alenosti 4z. Konkr´etnˇe ˇs´ıˇren´ı z bodu z do z + 4z prob´ıh´a ve ˆ = 0 v rov.(9). V druh´em kroku, dvou kroc´ıch. V prvn´ım kroku, neline´arn´ı jev p˚ usob´ı s´am a D ˆ ˇ divergence p˚ usob´ı samostatnˇe a N = 0 v rov.(9). Reˇsen´ı rovnice (9) ve vzd´alenosti z + 4z lze tedy zapsat ve tvaru: ˆ exp(4z N)E(x, ˆ E(x, z + 4z) ≈ exp(4z D) z).
(13)
Metoda BPM m´a pˇresnost ˇreˇsen´ı 2.ˇra´du pˇri kroku 4z. L
x
z
1
2
3
… N-1 N
… … Dz nelineární propagace
z
lineární propagace
Dz/2
Dz/2
Obr´azek 4: BPM (beam propagation method) - sch´ematick´e zn´azornˇen´ı symetrick´e split-step Fourierovy metody pouˇzit´e k numerick´e simulaci. Materi´al je rozdˇelen na N segment˚ u o ˇs´ıˇrce 4z. V polovinˇe segmentu je aplikov´an neline´arn´ı jev.
3.1
Symetrick´ a split-step Fourierova metoda
Pˇresnost BPM z pˇredeˇsl´e ˇca´sti lze zlepˇsit zmˇenou zp˚ usobu ˇs´ıˇren´ı optick´eho svazku z bodu z do z + 4z. V tomto zp˚ usobu nahrad´ıme rov.(13) rovnic´ı E(x, z + 4z) ∼ = exp
Z z+4z 4z ˆ 4z ˆ 0 0 ˆ D exp N(z )dz exp D E(x, z). 2 2 z
(14)
Nejvˇetˇs´ı rozd´ıl mezi p˚ uvodn´ım sch´ematem BPM a symetrickou split–step metodou je ten, ˇze nelinearita je uplatnˇena uprostˇred segmentu 4z. V p˚ uvodn´ı BPM je nelinearita uplatˇ nov´ana na hranic´ıch segmentu. Na obr.(4) je zn´azornˇen princip symetrick´e split–step Fourierovy metody. Symetrick´a split-step Fourierova metoda m´a n´azev podle symetrick´eho uspoˇra´d´an´ı exponenci´aln´ıch operator˚ u. Integr´al v prostˇredn´ı exponenci´aln´ı funkci je vhodn´ y k vloˇzen´ı neline´arn´ıho oper´atoru z´avisl´eho na z. Hlavn´ı v´ yhoda symetrick´e metody spoˇc´ıv´a ve zmenˇsen´ı chyby ˇreˇsen´ı. Nyn´ı je chyba 3. ˇra´du pˇri kroku 4z.
Integr´al v rov.(14) nahrad´ıme v´ yrazem Z
z+4z z
ˆ 0 )dz 0 ≈ 4z [N(z) ˆ ˆ + 4z)]. N(z + N(z 2
(15)
ˆ + 4z) v poloze Tento v´ yraz vˇsak nen´ı jednoduch´e vypoˇc´ıtat, protoˇze nezn´ame hodnotu N(z ˆ ˆ nelinearity z + 4z/2. K nalezen´ı hodnoty N(z + 4z) dokonvergujeme z v´ ychoz´ı hodnoty N(z). ˆ Vypoˇc´ıt´ame E(z + 4z) pro N(z) a hodnotu pole pouˇzijeme znova v rov.(15) pro v´ ypoˇcet nov´e ˆ + 4z). Dvˇe iterace jsou dostateˇcn´e. Pro zpˇresnˇen´ı difrakˇcn´ı oblast rozdˇel´ıme na hodnoty N(z polovinu, ˇreˇsen´ı pak vypad´a takto: ˆ
E(z + 4z) ∼ = EeD
4z 2
ˆ
eN
4z 2
ˆ
eD
4z 2
.
(16)
ˇ ıˇren´ı line´arn´ım prostˇred´ım lze vypoˇc´ıtat n´asleduj´ıc´ım postupem. Oper´ator exp(4z D) ˆ m˚ S´ uˇzeme spoˇc´ıtat ve Fourierovˇe oblasti podle ˆ ˆ exp(4z D)B(z) = FT−1 exp[4z D(ik)]F T B(z),
(17)
ˆ kde FT je oper´ator Fourierovy transformace. V´ yraz D(ik) jsme z´ıskali z rov.(9). Doˇslo k nahrazen´ı diferenci´aln´ıho oper´atoru ∂/∂x v´ yrazem ik, kde k je vlnov´e ˇc´ıslo a prostorov´a frekvence ve Fourierovˇe oblasti. K v´ ypoˇctu rov.(17) pouˇzijeme numerick´ y algoritmus FFT (fast fourier transform). Neline´arn´ı prostˇred´ı m´a na v´ yvoj n´asleduj´ıc´ı vliv: Z z+4z k 4z 4z E x, z + = exp i 4n(x, z´, t)d´ z E x, z + , 2 n z 2
(18)
kde 4n(x, t) je zmˇena fotorefraktivn´ıho prostˇred´ı 1 I(x) 4n(x, t) = − n3 r33 Eph 2 I(x) + Idark |
n
e {z
−
I(x)+Idark t Td Idark
ESC (x,t)
o
−1 , }
(19)
kde Eph je meteri´alov´a konstanta fotovoltaick´eho pole, r 33 je elekro-optick´ y koeficient ve smˇeru optick´e osy. Po substituc´ıch jednotliv´ ych v´ yraz˚ u dostaneme z (18) vztahy pro optick´e pole pˇred (E + ) a po (E − ) neline´arn´ı ˇca´sti 4z k1 + E x, z + = exp i [4n(x, z, t) + 4n(x, z + 4z, t)]4z 2 n2 (20) 4z − ·E x, z + , 2
E
+
4z x, z + 2
kn2 r33 = exp −i [ESC (x, z, t) + ESC (x, z + 4z, t)]4z 4 4z − ·E x, z + . 2
Pokud vyuˇzijeme substituci Inorm (x) = I(x)/Idark , pak Inorm (x) Inorm (x) + 1 ESC (x, t) = Eph exp − t −1 . Inorm (x) + 1 Td
(21)
(22)
Rovnice (20), (21) a Fourierova transformace n´am umoˇzn ˇ uj´ı v´ ypoˇcet ˇs´ıˇren´ı optick´eho pole fotovoltaick´ ym prostˇred´ım.
3.2
Program v prostˇ red´ı MATLAB
Pro samotnou realizaci v´ ypoˇctu BPM metody byl vyuˇzit syst´em Matlab. Algoritmus cel´eho v´ ypoˇctu je sch´ematicky zobrazen na obr.(5). Fourierova transformace byla v Matlabu nahrazena algoritmem FFT (fast fourier transform). Realizovan´ y program m´a spoustu vstupn´ıch parametr˚ u, a proto bylo vytvoˇreno grafick´e rozhran´ı pro tento program. K tvorbˇe grafick´eho rozhran´ı bylo vyuˇzito prostˇred´ı GUIDE.
Obr´azek 5: Algoritmus v´ ypoˇctu BPM pro neline´arn´ı Schr¨odingerovu rovnici Vstupn´ı poˇzadavky na grafick´e rozhran´ı byly n´asleduj´ıc´ı: • Zad´avat r˚ uzn´e profily vstupn´ıho svazku • Zad´avat parametry svazku: vstupn´ı v´ ykon optick´eho pole, vlnovou d´elku, poloˇs´ıˇrku vstupn´ıho svazku F W HM
• Parametry krystalu: fotovoltaick´e pole, elektro-optick´ y koeficient • Rozmˇery prostˇred´ı pro v´ ypoˇcet: d´elka, velikost 4z, velikost pˇr´ıˇcn´e souˇradnice (d˚ uleˇzit´e pro FFT), poˇcet vzork˚ u pro FFT prim´arnˇe nastaven na 2 11 V´ ystupn´ı grafick´e poˇzadavky byly: • Zobrazit vstupn´ı a v´ ystupn´ı profil svazku nebo zobrazit vstupn´ı a v´ ystupn´ı f´azi svazku • Zobrazit horn´ı pohled na cel´ y pr˚ ubˇeh ˇs´ıˇren´ı svazku prostˇred´ım (vyuˇzita fce imagesc) nebo zobrazit 3D pr˚ ubeh ˇs´ıˇren´ı Navrhnut´e grafick´e rozhran´ı je na obr.(6). Moˇznost volby r˚ uzn´ ych typ˚ u vstupn´ıch svazk˚ u n´am umoˇzn ˇ uje studovat procesy, kter´e se mohou v krystalu odehr´avat. Jak uˇz bylo v u ´ vodu ˇreˇceno, u tmav´ ych soliton˚ u z´aleˇz´ı na f´azi vstupn´ıho svazku, proto v programu rozliˇsujeme vstupn´ı svazek s f´azov´ ym skokem π a s konstantn´ı f´az´ı (konst.). Ostatn´ı volby svazku ”gray” nab´ yz´ı moˇznost zadat ˇsed´ y svazek s danou f´az´ı a ”phase gauss” umoˇzn ˇ uje zadat gaussov´ y svazek s intenzitn´ım propadem v maximu a se skokovou f´az´ı viz.(10). 0.06
0.05
I [a.u.]
0.04 vstup vystup 0.03
0.02
0.01
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
4
x [m]
−4
x 10
−4
x 10
−2
x [m]
−1
0
1
2
3
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01 z [m]
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Obr´azek 6: Grafick´e rozhran´ı a generace tmav´eho solitonu Uvedn´e pˇr´ıklady ˇs´ıˇren´ı vstupn´ıho svazku prostˇred´ım obr.(6–10) s fotovoltaick´ ym jevem jsou napoˇc´ıt´any vˇzdy pro poloˇs´ıˇrku 10µm, vzd´alenost 2cm a pro r˚ uzn´e vstupn´ı v´ ykony a hodnoty fotovoltaick´eho pole Eph [V/m]. Tento postup neodpov´ıd´a re´aln´emu krystalu, kde m˚ uˇzeme ovlivˇ novat pouze vstupn´ı v´ ykon [mW] a vstupn´ı poloˇs´ıˇrku svazku. Konkr´etn´ı volbˇe vstupn´ıho v´ ykonu odpov´ıd´a konkr´etn´ı hodnota poloˇs´ıˇrky svazku a naopak. Pˇr´ıklady jsme volili pro n´azornost. Obr.(6) zobrazuje tmav´ y prostorov´ y fotovoltaick´ y soliton. Na obr.(7) je zn´azornˇen v´ ypoˇcet, kdy intenzita z´aˇren´ı nen´ı dostateˇcn´a k vytvoˇren´ı solitonu a doch´az´ı k divergenci svazku. Pokud zv´ yˇs´ıme hodnoty vstupn´ıho v´ ykonu lze generovat i r˚ uzn´e n´asobn´e solitony viz. obr´azek (8). Doch´az´ı ke generaci jednoho tmav´eho a 2 ˇsed´ ych soliton˚ u. Vstupn´ı svazek s f´azov´ ym skokem π n´am definuje tzv. lichou podm´ınku. To znamen´a, ˇze pˇri dostateˇcn´em v´ ykonu m˚ uˇzeme generovat lich´ y poˇcet soliton˚ u. Naopak vstupn´ı svazek s konstantn´ı f´az´ı n´am definuje tzv. sudou podm´ınku, jak je vidˇet na obr.(9). Pomoc´ı sud´e podm´ınky lze generovat Y-dˇeliˇc svazku [14].
−3
1.6
x 10
1.4 1.2
I [a.u.]
1 0.8 0.6 vstup vystup
0.4 0.2 0 −3
−2
−1
0
1
2
3
4
x [m]
−4
x 10
−4
x 10
−2
x [m]
−1
0
1
2
3
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01 z [m]
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Obr´azek 7: Divergence
0.07
0.06
I [a.u.]
0.05 vstup vystup
0.04
0.03
0.02
0.01
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
4
x [m]
−4
x 10
−4
x 10
−2
x [m]
−1
0
1
2
3
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01 z [m]
0.012
0.014
Obr´azek 8: Generace jednoho tmav´eho a 2 ˇsed´ ych soliton˚ u
0.016
0.018
0.02
0.06
0.05
I [a.u.]
0.04
0.03 vstup vystup 0.02
0.01
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
4
x [m]
−4
x 10
−4
x 10
−2
x [m]
−1
0
1
2
3
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01 z [m]
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Obr´azek 9: Generace solitonov´eho Y-dˇeliˇce 0.16 vstup vystup
0.14 0.12
I [a.u.]
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 −6
−4
−2
0 x [m]
2
4
6 −4
x 10
−4
x 10 −5 −4 −3 −2
x [m]
−1 0 1 2 3 4 5 0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01 z [m]
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Obr´azek 10: Generace jednoho tmav´eho a 2 ˇsed´ ych soliton˚ u, zad´an vstupn´ı svazek ”gauss phase”
4
Z´ avˇ er
Na z´avˇer lze ˇr´ıct, ˇze metoda BPM je velice siln´ y n´astroj nejen k simulov´an´ı ˇs´ıˇren´ı line´arn´ımi syst´emy s dan´ ym profilem indexu lomu, ale i k modelov´an´ı ˇs´ıˇren´ı v neline´arn´ıch syst´emech. V tomto ˇcl´anku se index lomu dynamicky mˇenil s postupn´ ym ˇs´ıˇren´ım aˇz do sv´eho stacion´arn´ıho stavu. Metoda velice dobˇre popisuje r´aln´e chov´an´ı optick´eho z´aˇren´ı ve fotovoltaick´em materi´alu viz. experimenty [3, 15].
Reference [1] M.Segev G.I.Stegeman. Self-Trapping of Optical Beams: Spatial Solitons. Physics Today, 51(8):42–48, 1998. [2] M.Segev G.I.Stegeman. Optical Spatial Solitons and Their Interactions: Universality and Diversity. Sciences, 286:1518–1523, 1999. [3] M.C. Bashaw M.Taya M.M.Fejer M.Segev, G.C. Valley. J.Opt.Soc.Am.B, 14(7):1772, 1997.
Photovoltaic spatial solitons.
[4] M.Wesner J.Hukriede V.Shandarov, D.Kip. Observation of dark spatial photovoltaic solitons in planar waveguide in lithium niobate. J.Opt. A: Pure Appl. Opt., 2:500, 2000. [5] M.M.Fejer M.Segev G.C. Valley M.Taya, M.C.Bashaw. Observation of dark photovoltaic spatial solitons. Physical Review A, 52(4):3095, 1995. [6] B.Crosignani A. Yativ M.M.Fejer M.C.Bashaw G.C.Valley, M.Segev. Dark and bright photovoltaic solitons. Physical Review A, 50(6):50, 1994. [7] Pochi Yech. Introduction to photorefractive nonlinear optics. John Wiley & Sons, USA, 1993. [8] Vladimit M.Fridkin Boris I.Sturman. The photovoltaic and photorefractive effect in noncentrosymmetric materials. Gordon and Breach science publishers, Philadelphia,USA, 1992. [9] C. R. Pollock. Fundamentals of Optoelectronics. Richard D. Irwin, Inc., Chicago, USA, 1995. [10] G. P. Agraval Y. S. Kivshar. Optical Solitons: From Fibres to Photonic Crystal. Academic Press, San Diego, USA, 2003. [11] G. P. Agraval. Nonlinear Fiber Optics. Academic Press, San Diego, USA, third edition, 2001. [12] G.Couton. Solitons Spatiaux photovoltaiques dans le LiN bO 3 , 2004. [13] D.Wolfersberger G.Kugel J.Maufoy, N.Fressengeas. Simulation of the temporal behavior of soliton propagation in photorefractive media. Physical Review E, 59(5):6116, 1999. [14] M.M.Fejer M.Segev G.C.Valley M.Taya, M.C.Bashaw. Y-junction arising from dark-soliton propagation in photovoltaic media. Physical Review A, 21(13):943, 1996. [15] M.Chauvet. Temporal analysis of open-circuit dark photovoltaic spatial solitons. J.Opt. Soc.Am.B, 20(12):2515, 2003.
Michal Bodn´ar e-mail:
[email protected] tel.:+420221912822
