Bodnár József
Síkföld és az idő születése – utazás a negyedik dimenzióba Abstract People were always interested in inventing spaces different from our three-dimensional space. In 1884 an English theologian called Edwin A. Abbott wrote a novel entitled Flatland – A Romance of Many Dimensions. This novel is not only a strong criticism of the Victorian era but gives also an interesting look into an imaginary two-dimensional planar universe. Later it turned out that constructing two-dimensional spaces is not just a matter of fiction. In mathematics, topology has various tools to describe a number of different twodimensional objects called surfaces or 2-dimensional manifolds. In analogous way, we can construct manifolds of higher dimensions, gluing together pieces of ordinary spaces. These constructions are very useful in describing space-time in physics, especially if we include also geometry. Here we give some very basic examples of manifolds as topological spaces. We will see how is it possible to describe manifolds without being able to visualize them. We will show also various types of geometry in two dimensions. Finally, we give a thought-provoking picture of the growing Universe as a single constant object.
Egy „lapos társadalom” Az emberi fantáziát mindig is izgatta a dimenziók különös világa: „új dimenziókon” általában valami teljesen újat, forradalmit értünk, a dimenziók szinte szó szerint „új világokat” nyitnak. 1884-ben jelent meg Edwin A. Abbott, angol tanító és iskolamester Síkföld – egy többdimenziós románc című kisregénye. A mű nem keltett különösebb feltűnést és ma sem túlságosan ismert, pedig alapötlete tulajdonképpen forradalminak számít, főleg ha figyelembe vesszük keletkezésének idejét. A mű főszereplője egy négyzet (azaz Négyzet), aki egy – feltehetően végtelen – sík alakú világban él. Az ő elbeszéléséből ismerjük meg Síkföldet, ezt a különös univerzumot, melynek lakói kivétel nélkül síkalakzatok: körök, sokszögek, esetleg szakaszok. Képzeljünk hát el egy minden irányban végtelen sík papírlapot, melyen tökéletesen rálapuló, papírból
kivágott síkidomokat tologathatunk, melyek persze „szilárdak” abban az értelemben, hogy egymáshoz ütközhetnek, nem hatolhatnak át egymáson, nem csúszhatnak egymás „alá” (hiszen világukban ennek nem is lenne értelme, ilyen irányú kiterjedés ott nem létezik). Valahogy így képzelhetjük el az életet és a mozgást Abbott furcsa világában. Síkföldön nincsen „talaj” (ha lenne, a síkidomok úgymond csak egymáson átmászva tudnának elmenni egymás „mellett”), így a sokszögek szabadon mozoghatnak „terük” (síkjuk) minden irányában: egymást könnyűszerrel kikerülhetik. Először talán bele sem gondol az ember, de a síkföldi síkalakzatok tulajdonképpen csak egy egydimenziós egyenest látnak, ugyanúgy, ahogyan mi, „térföldiek” is valójában csak egy, a világunk dimenziójánál eggyel kisebb dimenziós objektumot, egy síkot látunk: az általunk látott képeket hűen tükröző fényképeink is kétdimenziósak. Persze valamilyen módon mégis érzékeljük szemünkkel a tér mindhárom irányát, egyrészt azáltal, hogy két szemünk van, melyek a tárgyakat különböző szögből látják és agyunk összehasonlítja a két, csak picit különböző képet, másrészt a fény-árny játéka és a perspektíva megtapasztalása által. Arról, hogy hány szemük van a síkföldieknek, a regényben nincs szó, de a sokszög- lények fényességváltozásoknak és a távolsággal egyre halványuló vonalképeknek köszönhető teljes térérzékelése (helyesebben mondva „síkérzékelése”) részletesen ismertetve van a műben. Abbott még arra is gondolt, hogy köd borítsa be Síkföld lakott területeit: ezzel sokkal hangsúlyosabbá válik az alakzatok elhalványodása a távolság növekedésével, ezáltal segítve kétdimenziós lényeinek tájékozódását. Részletes leírás található a regényben nemcsak a távolságérzékelésről, hanem az alakfelismerésről is (gondoljunk bele: egy síkfö ldi számára minden síkalakzat „oldalról”, a saját síkjából látszik, így csak egyetlen rövidebb-hosszabb szakasznak tűnik). A regényben szereplő példa a következő: képzeljünk el egy lapos, kör alakú tárgyat, mondjuk egy pénzérmét, valamint egy lapos, hároms zög alakú tárgyat az asztalon. Ha lehajolunk és szemünket az asztal síkjába hozzuk, akkor mind a háromszög, mind a kör csak egy rövidke lapos vonalnak fog látszani, hasonlóan, mint ahogyan a síkföldiek látják egymást és különféle tárgyaikat. Mégis látszik valami különbség a kör és a háromszög között: ha a háromszög egyik csúcsa szemünk felé mutat, a vonal egyik fele fényesebb, míg másik fele (a háromszög árnyékban lévő oldala) sötétebb, de mindkét rész egyenletesen fényes vagy sötét. Ezzel szemben a kör ese tén nincs ilyen éles átmenet, fokozatos a fényesedés és sötétedés. Ezen kívül ha köd van, a háromszög oldalai sokkal hirtelenebb módon, meredekebben merülnek bele a messzi ködbe, egyenletesebben halványulnak el a szélek felé, mint a kör ívelten ködbe hajló vonalai, ahol a halványodás középről a szélek felé haladva kezdetben lassú, majd hirtelen felgyorsul.
Abbott tehát fölöttébb nagy gondot fordít a síkföldi világ minél hitelesebb leírására, figyelmét nem kerülik el az apró technikai részletek sem. A regény elsősorban mégis erős társadalomkritika a viktoriánus Angliáról. Síkföld társadalmi berendezkedése, lakóinak társadalmi helyzete, a kétdimenziós ország röviden ismertetett történelme félreérthetetlenül tükrözi háromdimenziós való világunk történelmét és 19. századi állapotát: a nők akkori megítélését, a hierarchikus berendezkedést, a nemességet a köznéptől elválasztó áthatolhatatlan szakadékot, a forradalmak leverésének örök logikáját, azt, hogyan képes a befolyásos réteg ígérgetésekkel újra és újra visszanyerni hatalmát és azt, hogyan képes valaki minden társadalmi egyenlőtlenséget természetesnek, sőt, szükségszerűnek és előnyösnek nyilvánítani, ha éppenséggel ő a haszonélvezője. Abbott Síkföldjének lakói csaknem mind szabályos sokszögek. Minél több oldalú sokszög valaki, annál magasabb a társadalmi rangja. Az uralkodó osztály tagjai már annyira „sok oldalúak”, hogy gyakorlatilag körök, de a regény elbeszélője, Négyzet sem panaszkodhat: négy egyenlő oldalával művelt tudósembernek számít. Még a háromszögeknek is viszonylag jól megy a dolguk, ha szabályosak. A nem szabályos háromszögek legalább egyenlő szárúak, de minél inkább nem egyenlő oldalú, azaz minél keskenyebb valaki, annál „butább”. Az egyenlő szárú háromszögek a szolgák vagy dolgozók. A legkeskenyebbek, így legbutábbak a közkatonák, mivel erre a feladatra a síkföldi logika szerint ők a legalkalmasabbak: ész nélkül teljesítenek minden parancsot; ha elpusztulnak, „nem kár értük”; ráadásul („milyen bölcs a természet”) nekik van a leghegyesebb szögük a cs úcsukon, amit fegyverként használhatnak: bárkit könnyen ledöfhetnek vele. Tulajdonképpen még náluk is alacsonyabb rendűnek számítanak a nők, akik már annyira keskenyek, hogy nem is sokszögek (nem is veszik őket „sokszögszámba”), hanem egydimenziós szakaszok. A nők különösen veszélyesek lehetnek ebben a társadalomban: keskenységükből adódóan híján vannak minden racionalitásnak, így teljesen sze szélyesek és kiszámíthatatlanok; tűszerű alakjuk folytán éppúgy ledöfhetnek bárkit, mint a katonák; ráadásul, ha egy sokszög tekintetének irányába fordulnak, akkor ezzel pontszerűvé, így gyakorlatilag láthatatlanná válhatnak. Éppen ezért törvény írja elő, hogy minden nőnek kiabálnia kell, jelezvén ezzel közeledtét a többieknek. A láthatatlanná válás megakadályozására más törvények is születtek – a regény talán legszórakoztatóbb mondata is ehhez kapcsolódik: „Egyes államokban egy kiegészítő törvény (…) megtiltja az asszonyoknak, hogy nyilvános helyen járjanak vagy álljanak anélkül, hogy hátsó részüket jobbra-balra riszálnák, ezzel jelezvén jelenlétüket a mögöttük állóknak…” Ha valaki esetleg ezen a törvényen fellelkesülve egy pillanatra meg is irigyelné a síkföldieket, Abbott regényének
végigolvasása nem várt kellemetlen meglepetéseket tartogathat számára. Az egyetemisták például alighanem a következő törvényjavaslat ellen tiltakoznának hevesen: „(…) akik nem tudják letenni az egyetemi záróvizsgát, vagy életfogytiglani bebörtönzéssel, vagy fájdalommentes halállal legyenek sújthatók.” Meglepetés Síkföldön – új dimenziók Kétdimenziós négyzetünk kalandja akkor kezdődik, mikor többek között egy álomnak köszönhetően felmerül benne egy eddig ismeretlen dimenzió létezésének lehetősége. Később egy valódi háromdimenziós gömb érkezik, hogy meggyőzze négyzetünket arról, hogy világa csak egy szűk szelete egy magasabb dimenziós világnak. Ezt a gömböt négyzetünk természetesen csak akkor látja, ha a gömb elmetszi a négyzet síkját, azaz mintegy „belemerül” a kisebb dimenziós univerzumba. Még ha ezt meg is teszi, Négyzet akkor is csak egy, az ő világában is teljesen megszokott alakzatot, egy kört fog látni. Ami furcsa lehet számára, az az, hogy ez a kör „a semmiből” keletkezett: egyszer csak megjelent egy pont a világban, majd elkezdett növekedni. Ahogyan a gömb középpontja közeledik a síkhoz, négyzetünk egyre növekvő köröket lát. Ha gömbünk továbbhalad, majd elhagyja a síkot, akkor Négyzet azt látja, hogy a kör egyre kisebb és kisebb lesz, míg végül ponttá zsugorodva eltűnik a kétdimenziós univerzumból. A négyzet tehát semmiféleképpen nem láthatja, érzékszerveivel semmiképpen nem tapasztalhatja meg közvetlenül a harmadik dimenziót: csakis a saját világában is határozott értelemmel bíró alakzatok, tárgyak, testek különös viselkedéséből (például a semmiből előbukkanó, növekedő, zsugorodó, végül eltűnő kör alakú tárgyból) következtethet a világ egy számára eddig ismeretlen kiterjedésére. (Ebből a szempontból egy „irrealitás” – vagy, az egész regény tudományos- fantasztikus mese voltát figyelembe véve nevezzük inkább következetlenségnek – is található a regényben: Négyzetet végül Gömb kiragadja a síkból, és megmutatja neki a világát: Négyzet egyszerre láthatja szinte egész addigi univerzumát egy számára eddig ismeretlen irányból, beleláthat minden környező házba, sőt, barátai „belsejébe” is. Ez már csak azért is „lehetetlen”, mert Négyzet szemének retinája csak egydimenziós felülettel bírhatna, kizárt tehát, hogy a kétdimenziós látványt be tudja fogadni.) A gömb látogatásának egy másik tanúsága, hogy akár az idő is tekinthető egy újabb dimenziónak. Négyzetünk csupán időbeli változásként érzékeli a gömb alakját, annak mozgása nyomán. Ha előre tudnánk, milyen úton fog mozogni a gömb (vagy tetszőleges téralakzat) – például egyenes vonalú egyenletes mozgással a síkunkra merőleges egyenes mentén –, akkor mi, háromdimenziós lények egyszerre látnánk azt, amit a síkban élő négyzet
csak időbeli folyamatként tudna elképzelni. Egyetlen pillantásunk elég lenne a térbeli testre ahhoz, hogy megmondjuk: a síkot elmetsző egyenletes mozgás során mit fog érzékelni (vagy mit érzékelt) Négyzet. Ha mi egy gömböt látunk, tudjuk, hogy Négyzet növekedő, majd csökkenő nagyságú köröket fog látni; ha mi egy kúpot látunk csúcsával a sík felé fordulva, Négyzet először egy, a semmiből feltűnő, egyre növekvő kört lát majd, ami egyszer csak minden csökkenés nélkül fog eltűnni világából; ha kúp helyett gúlát látunk, Négyzet egy négyzetet lát majd növekedni; és így tovább. A lényeg, hogy amit Négyzet egy objektum időbeli változásaként érzékel, ugyanazon objektum különböző állapotaiként él meg (amely különböző állapotokat éppen ezért képtelen egyszerre átlátni), azt mi egyetlen előre adott, rögzített testként egyszerre látjuk. Az előbbi gondolatmenet – mely, talán nem meglepő módon, nem szerepel Abbott regényében – szoros kapcsolatban áll a modern fizika táguló univerzumának képével és a relativitáselmélettel, mely a háromdimenziós világot minden időbeli eseményét a négydimenziós téridő egy-egy pontjával reprezentálja. Erről később még szó lesz. Előbb azonban lássuk azt, ami kimaradt Abbott Négyzetének történetéből. A világ alakja Mint azt már említettük, a regényben Négyzet világa egy minden irányban végtelen kétdimenziós sík. Ez esetben, természetesen, ha Négyzet egy egyenes mentén vándorútra indul, az idők végezetéig „ballaghat” anélkül, ho gy a táj lakatlanná és sivárrá válásán kívül bármi említésre méltót tapasztalna. Játsszunk most el a gondolattal (ahogyan Jeffrey R. Weeks is ezt teszi A tér alakja című művében), hogy Négyzet tényleg elindult egy ilyen „végtelenre” tervezett egyenes vándorútra (miközben egy vonalat is húzott maga után, hogy útját megjelölje), de nem is olyan sokára megdöbbentő látvány fogadta: a hely, ahonnan indult és amelyről azt hitte, már rég maga mögött tudja, egyszer csak ott volt előtte: visszaért oda, ahonnan elindult. Nem sokkal ezután újabb vándorúttal próbálkozott, most is ugyanabból a pontból indulva, mint az előbb, de az előbbi útvonalára merőlegesen. Most is azt tapasztalta, hogy visszaér a kiindulási pontba. Mi, „térföldiek” könnyebben elképzelhetjük, mi történhetett, de azért a síkföldi tudósok is kitalálhatják azt az elméletet, mely mindezen furcsaságokra magyarázatul szolgál: az univerzumuk alakja nem is egy végtelen sík, hanem egy gömbfelület. Olyan tehát, mintha Négyzet egy kétdimenziós gömbhéjon élne, egy felfújt lufi kétdimenziós gumifelületében (ezt azért hangsúlyozzuk, mert ilyen kontextusban nincs értelme arról beszélni, hogy Négyzet a
„vékony” kétdimenziós gömbhéj „külső” vagy „belső” oldalán él-e – a felületek oldalai csak a háromdimenziós térbe beágyazva nyernek értelmet; Négyzet a felületnek nem valamelyik „oldalán” rajta él, hanem a felületben benne). Ez természetesen megmagyarázná Négyzet utazásainak furcsaságait: ha a gömbfelület egy pontjából indulva egy főkör mentén megyünk, akkor minden pillanatra igaz, hogy az addig megtett utunkat egyenesen folytatjuk, mégis, egy idő után visszatérünk a kiindulási pontba. Ugyanez történik akkor is, ha az előbbi főkörre merőleges főkörön (sőt, ha tetszőleges főkörön) megyünk. Az is érthető, hogy az univerzumuk gömbhéjszerű alakját a síkföldiek csak ilyen nagy utazások esetén érzékelhetik: a gömbfelszín egy pici tartománya ugyanúgy egy kétdimenziós síkdarabka, mint a végtelen sík egy pici tartománya, ezért ha Négyzet otthon marad, nem tudja eldönteni, melyik világmodell a helyes. Mindeddig elhallgattunk egy nagyon lényeges körülményt, nevezetesen azt, hogy a Négyzet utazásait megmagyarázó világmodell hogyan is élhet a síkföldiek fejében. Nem képzelhetnek el ugyanis egy gömbfelszínt úgy, ahogyan azt mi tesszük: mi gömbfelszínnek nevezzük azt a kétdimenziós objektumot, ami egy gömbnek nevezett háromdimenziós objektumot határol, a síkföldieknek viszont fogalmuk sincs arról, mi az a háromdimenziós gömb. Hogyan tudnánk elmagyarázni egy síkföldinek, milyen is egy gömbfelszín? Nyilván csak kétdimenziós alakzatokat használhatunk a leíráshoz, amiket kétdimenziós barátunk is el tud képzelni, lehetőleg olyanokat, amik elférnek egy pici kétdimenziós síkdarabkán – ami éppúgy része egy gömbfelszínnek, mint a végtelen síknak. Ez biztosítja egyrészt azt, hogy barátunk attól függetlenül megérti majd, mi az a gömbfelszín, hogy síkon vagy gömbfelszínen él-e, másrészt azt, hogy otthon ülve, utazgatás nélkül is tanulmányozni tudja majd leírásunkat. Magyarázatunkhoz tehát kétdimenziós alakzatokra kell bontanunk a gömbfelszínt: vágjuk szét azt egy főköre mentén, ekkor két félgömb héjat kapunk, melyeket „kilapítva” két, a síkföldiek számára is ismerős alakzatunk lesz, nevezetesen két körlap. Ez a két körlap mintegy térképül szolgál majd a síkföldieknek a gömbfelszín elképzeléséhez. Persze azt is meg kell nekik mondanunk, hogy ez a két körlap össze volt ragasztva, mégpedig a határoló körvonalak mentén. Ennél a pontnál barátaink zavarba jöhetnek, ha ténylegesen megpróbálják elképzelni ezt az összeragasztást: ők csak a kétdimenziós síkdarabkájukon, egymás mellett tudják elképzelni a két körlapot, és két dimenzióban bárhogy tologatják őket, sehogyan nem sikerülhet a ragasztás: még ha ellipszissé lapítják, majd kiflivé görbítik is az egyik körlapot, az akkor sem fog határoló görbe vonalával teljesen ráilleszkedni a másik körlap határoló körvonalára. De éppen az a szép az egészben, hogy nem is kell nekik elképzelni semmilyen
ragasztást! Elegendő, ha azt megértik, hogyan mozoghatnának egy ilyen „gömbfelszín” nevű különös alakzaton: annyit kell tudniuk, hogy a mozgás úgy történik, hogy amint az egyik körlapon mozogva elérjük a körlap határát, azonnal, mintegy „térugrást” (vagy inkább „síkugrást”) végrehajtva a másik körlapon találjuk magunkat, a határoló kör megfelelő pontjánál (1. ábra). A két körlap határoló körvonalait be is koordinátázhatjuk, és közölhetjük a síkföldiekkel, hogy amint elérnek az egyik körlap határának valamilyen koordinátájú pontjához, úgy képzeljék, hogy útjukat a másik körlap határának ugyanolyan koordinátájú pontjából folytatják. Ennél hűbb és érthetőbb képet nem kaphatnak arról, mi az a gömbfelület. De ez a modell minden tudományos kérdés eldöntéséhez elég; világossá válik például az is, hogyan érhetett vissza Négyzet a kiindulási pontjába, bármerre indult is el. A síkföldiek tehát megnyugodhatnak: megértették (ha elképzelni nem is igazán tudják), hogy a világuknak milyen alakja vezethetett Négyzet furcsa kalandjához.
1. ábra: A gömbfelület kétdimenziós térképe Többféle térkép Valami azonban nem hagyta nyugodni Négyzetünket. Mint említettük, első utazásakor megjelölte útvonalát. A tudósok által a kétdimenziós világ alakjára adott gömbhéjmodell szerint azonban a második utazás útvonalának kereszteznie kellett az elsőt. Négyzet viszont arról számolt be, hogy ilyet nem tapasztalt! A két, zárt görbe alakú útvonalnak tehát csak egy közös pontja volt: a kiindulási-érkezési. Ez a modell alapján teljesen elképzelhetetlen volt. A síkföldiek a két körlapból álló térképük alapján jutottak erre az ellentmondásra, de nekünk könnyebb dolgunk van: ha elképzelünk a gömb felszínén két, egymást merőlegesen metsző főkört, akkor azoknak a gömb átellenes oldalán is lenne egy metszéspontjuk. De nemcsak a főkörökkel van ilyen probléma: a gömb felszínén nem képzelhető el két zárt görbe úgy, hogy csak egyetlen pontban
metszik át egymást (azaz a közös pontjukban nem csak érintkeznek, hanem, ha az egyik vonalat követve megyünk, akkor ténylegesen átlépjük a másik vonalat). Le kell hát vonni a következtetést: ha Négyzet tapasztalata helyes, a világ modelljét el kell vetni. A kétdimenziós univerzum nem lehet egy gömbfelszín. Akkor vajon mi? Próbáljunk egy pillanatra „kétdimenziós fejjel” gondolkodni. A gömbfelület nevű alakzatot úgyis csak egy, két körlapból álló „térkép” segítségével tudtuk megérteni. Talán kitalálhatnánk másféle térképet, ami megmagyarázza Négyzet utazásait. Mit is jelent az, hogy „térkép”? Az előbb volt két körlapunk, melyek határoló vonalait azonosítottuk egymással. Egy térkép tehát nem áll másból, mint néhány (esetleg csak egy) síkalakzatból és úgynevezett „ragasztási szabályokból”, azaz a síkalakzat(ok) határoló vonalainak azonosításából. Vagyis meg kell mondanunk, hogy ha a térképen való sétánk során ezen és ezen alakzat határának ehhez és ehhez a pontjához érünk, akkor melyik alakzat határának melyik pontjára kell „ugranunk”, hol kell folytatnunk utunkat. Próbálkozzunk egy nagyon egyszerű térképpel: álljon egyetlen síkalakzatból, egy téglalapból. Oldalaira egyszerűen alsó és felső vízszintes, ill. bal és jobb függőleges oldalként fogunk hivatkozni. Nagyon egyszerű ragasztási szabályt találhatunk ki: ha a téglalapon való mozgás során elérjük a fölső (alsó) vízszintes oldal egy pontját, akkor utunkat ugyanezen a téglalapon, az alsó (fölső) vízszintes oldal megfelelő – a határhoz lépés alatti (fölötti) – pontjánál folytatjuk; és hasonlóan, ha a bal (jobb) függőleges oldalhoz érkezünk, akkor a jobb (bal) függőleges oldal ugyanilyen „magasságú” pontjára lépünk tovább. Ez a modell tökéletesen megmagyarázza Négyzet tapasztalatait: lehetséges a két utazás anélkül, hogy az útvonalak (a kezdő-végponton kívül) kereszteznék egymást (2. ábra, balra). Gondoljunk most bele „háromdimenziós fejjel” is, milyen felületet kaptunk tulajdonképpen. Az oldalak azonosítása úgy történt, ho gy a téglalap szemben fekvő oldalait azonosítottuk egymással, egymáshoz „ragasztottuk” őket. Próbáljuk meg (most már három dimenzióban, csak a számunkra könnyebb érthetőség kedvéért) megvalósítani ezt a ragasztást. Ha kivágjuk papírból a téglalapot, hengerré hajthatjuk, így a két vízszintes oldal összeragasztható. Egy csövet kaptunk tehát; a cső két peremköre a téglalap két függőleges oldala volt. Ezeket is össze kell ragasztani: a csövet behajlíthatjuk, hogy a peremkörök összeragaszthatók legyenek (2. ábra, középen). Egy úszógumi felületét kaptuk, a matematikusok ezt tórusznak nevezik. Ezen valóban megvalósítható két körutazás egyetlen közös ponttal: egyrészt van a kisebb kör, a cső keresztmetszete mentén, másrészt a nagyobb kör, a cső hosszában (2. ábra, jobbra).
2. ábra: Térképből valódi felület lesz - a tórusz Vajon mindig ilyen szerencsénk van? Azaz, minden, kétdimenziós térképek segítségével leírt felületet elképzelhetünk három dimenzióban megvalósítva? Próbálkozzunk valami furcsább térképpel: az előbbi téglalapunkon változtassuk meg az egyik ragasztási szabályt. A két vízszintes oldalt az előbbi módon ragasszuk össze, a két függőleges oldal közül azonban fordítsuk meg az egyiket, azaz, a téglalapon való mozgás szabálya az legyen, hogy ha elérjük a bal függőleges oldal egy pontját a fölső oldaltól x távolságban, akkor a jobb függőleges oldalnak azon pontjára ugorjunk, mely az alsó oldaltól van x távolságra. Ugyanez a ragasztás tömörebben jelezhető, ha a téglalap oldalait nyilakkal helyettesítjük, és megállapodunk, hogy a nyilakat irány szerint illeszkedően kell ragasztani (3. ábra, balra). Ebből a téglalapból a csövet még összeragaszthatjuk, de a cső két végének megfelelő összeragasztása most lehetetlen: a két körvonal ellenkező irányítással simulna egymáshoz, a nyilakat csak ellentétes irányban tudjuk egymáshoz ragasztani. Egy kis csalással valamilyen képet mégis kaphatunk erről a furcsa alakzatról: képzeljük el, hogy a cső fala átlyukasztható, és a cső egyik végét dugjuk át a falon a cső másik végének közelében, majd a húzzuk ki és „fordítsuk ki”, ekkor a két határoló körvonal már megegyező irányítással illeszkedik egymáshoz (3. ábra, középen). Ezt a furcsa felületet Klein-kancsónak hívják, hiszen olyan alakja van, mint egy különös lombiknak (3. ábra, jobbra). Azt mondjuk, hogy ez a felület immertálható a háromdimenziós térbe (immerzióknál megengedjük az önátmetszéseket), de nem ágyazható be önátmetszés nélkül.
3. ábra: Térképből nem beágyazható felület is képezhető - a Klein-kancsó Nem lehet tehát minden felületet „szépen” elképzelni a térben. A térképek viszont mindig megbízható leírást adnak, mert közönséges síkalakzatokból állnak, és annak leírásából, hogyan kell azokat összeragasztani, azaz hogyan kell a mozgásunk során ugrálni az egyes darabok között. Az ilyen leírások alapján előálló felületeket kétdimenziós sokaságoknak hívják, mert kétdimenziós darabokból állnak. Háromdime nziós térképek Használjuk most ki a síkföldieknek szóló magyarázataink tapasztalatát, és próbáljunk meg háromdimenziós darabokból érdekes háromdimenziós sokaságokat konstruálni. A háromdimenziós „gömbfelület” elkészítéséhez a kétdimenziós gömbfelület két körlapból álló térképének mintájára vegyünk két tömör gömböt. Ezeket kell határoló gömbfelületük mentén összeragasztani. Most mi sem tudunk mit kezdeni, ha ténylegesen meg akarjuk valósítani a ragasztást: hiába deformáljuk az egyik gömböt laposabbá és próbáljuk ráhajlítani a másik gömbre, a két felület teljes egészében nem fog soha érintkezni egymással. De a ragasztási szabály most is egzaktul megadható: képzeljük el, hogy a két tömör gömbünk egy-egy földgömb, a felszín pedig a földrajzi szélességekkel és hosszúságokkal van koordinátázva. A háromdimenziós sokaságunkban úgy mozoghatunk, hogy ha az egyik gömb belsejében mozogva elérjük a felszín egy pontját, akkor a másik gömb felszínének ugyanolyan koordinátájú pontjából folytatjuk utunkat a másik gömbben. A háromdimenziós tóruszt is modellezhetjük. Téglalap helyett vegyünk téglatestet, például a szobát, amiben vagyunk. A mozgás most úgy történik, hogy valamelyik falat elérve a szemben levő fal megfelelő pontján jöhetünk vissza (a plafont elérve a padló alatta levő pontján). A háromdimenziós gömb és tórusz beágyazhatók négy dimenzióba, és ott valóban láthatóvá válna szerkezetük, de modellezni ezekkel a térképezésekkel tudjuk őket.
Egy kis geometria Azt mondtuk, Négyzet csak hosszú utazások alkalmával képes különbséget érzékelni a világmodellek között (például ha visszaér a kiindulási pontba, akkor a világ alakja nem lehet végtelen sík, de lehet például egy gömbfelület). Ha Négyzet otthon üldögél, képtelen dönteni arról, hogy mondjuk éppen egy gömbfelület vagy egy végtelen sík kis darabkáján van-e, hiszen a gömb egy pontjának pici környezete ugyanolyan síkdarabka, mint a végtelen sík e gy pontjának pici környezete. Ez azonban bizonyos körülmények között nem egészen így van. Eddig ugyanis a kétdimenziós felületek közti különbségek tárgyalásakor a globális (és topológiai) tulajdonságokra koncentráltunk. Ha azonban valamilyen értelemben geo metriát is bevezetünk a felületeinken, akkor igenis mutatkozhatnak különbségek két, topológiailag azonos pici kétdimenziós síkdarabka között (például a gömbfelszín és a sík egy-egy darabkája között). Ahhoz, hogy geometriánk legyen, először is azt kell tudnunk, mit értsünk egyenesen, vagy legalábbis szakaszon. Az egyenes fogalma a „lapos”, végtelen kétdimenziós síkon senkinek nem okoz problémát. De mik legyenek a görbült gömbfelület egyenesei? Nos, az egyenes tulajdonságai közül mindössze egyre lesz szükségünk: „Két pont között a legrövidebb út az egyenes.” Márpedig a gömbfelület két pontja között is van legrövidebb út: két pont közötti egyenes szakasznak nevezzük azt az ívet, amit a két pont között a gömbre rásimuló megfeszített cérnaszál ír le, azaz a két pont által meghatározott gömbi főkör körívét. Lehet tehát szakaszokat definiálni a gömbfelszínen is. Azt sem nehéz meggondolni, hogy a szokásos geometriából a szög fogalma is megmenthető: két gömbi szakasz (azaz a szokásos geometriai fogalmakkal élve körív) szögén egyszerűen a metszéspontjukban rájuk illesztett egy-egy érintő (hagyományos értelemben is egyenes) szögét értjük. Ha elkezdünk játszadozni a gömbi szakaszokból mint oldalakból álló gömbi háromszögekkel, hamarosan észrevesszük, hogy úgy néznek ki, mintha oldalaik kifelé görbülnének. Ez a görbület ugyan természetes, hiszen az oldalak maguk valójában körívek, de van egy olyan következménye, mely egzaktul mérhető és különbözik a lapos sík geometriájában megszokottaktól. Nevezetesen egy gömbi háromszög s zögeinek összege nagyobb lesz, mint 180 °. Sőt, míg minden síkbeli háromszög szögösszege pontosan 180 °, addig a gömbi háromszögek szögösszege függ a háromszögek nagyságától (de mindig nagyobb, mint 180 °). Hogy egy extrém esetet említsünk: a 4. ábrán látható háromszögnek, mely a gömbfelület nyolcadát elfoglalja, minden szöge derékszög, így szögösszege 3 × 90 ° =
270 °. De bármilyen pici háromszögnek, ha nem sokkal is, de nagyobb a szögösszege 180 °nál.
4. ábra: A gömbi háromszög szögösszege nagyobb, mint 180 fok Ennek tudatában Négyzet utazgatás nélkül is el tudja dönteni, síkon vagy gömbfelszínen él-e: otthon üldögélve kifeszít három zsineget egy háromszöget alkotva, majd megméri a szögeit és összeadja őket. Ha 180- nál nagyobb értéket kap, akkor otthona egy gömbfelszín kis darabkája. Ahogyan azt a felületek globális alakjának vizsgálatakor elmondtuk, itt is megjegyezzük, hogy minden, amit mi magasabb dimenziókba ágyazódva „látunk”, az a kétdimenziós lények számára nem látható ugyan, de jól modellezhető. Például a gömbi egyenes szakasz definíciójakor megint támaszkodtunk arra, hogy a gömbfelszínt egy háromdimenziós objektum, a gömb határfelületeként képzeljük el – ennek segítségével mondtuk meg, mi a legrövidebb út két pont között. Matematikailag azonban a síkföldiek számára is érthetővé tehető a szakasz új definíciója. A gömbfelszín két körlapból álló térképén megadható egy úgynevezett metrika, melynek segítségével a síkföldiek mérni tudják tetszőleges görbe vonal (pontosan definiálható) hosszát, és az általuk matematikailag megállapított érték meg fog egyezni azzal, amit mi kapunk, ha a gömbfelszín térbeli modelljén a megfelelő görbe vonal helyére elhelyezett cérnaszálat kiegyenesítjük és megmérjük. Miután precízen definiáltuk, mit értünk egy görbe hosszán, van értelme azt mondanunk, legyen két pont közötti egyenes szakasz azon görbe, melynek hossza a legkisebb. A két körlapból álló modellen így definiált „egyenes szakasz” egy görbe ív lesz, ha a két körlapot a lapos sík részeként tekintjük, de a gömb geometriájának modelljében mégis ezek lesznek az egyenesek. Ezt szem előtt tartva a síkföldiek is beláthatják, hogy a gömbi háromszög szögösszege 180 °-nál nagyobb: egyszerűen rajzolnak az egyik körlapra három pontot, melyeket összekötnek azokkal a görbe ívekkel, melyek a modellbeli szabályok szerint az egyenes szakaszok, majd ezek szögét megmérik és összeadják. Ha elfogadják, hogy a
fizika törvényei az univerzum alakját követik, ezért a megfeszített fonal a legrövidebb (az univerzum alakja által diktált geometriában, legyen az sík vagy gömbi) görbeívet írja le, akkor Négyzet otthoni kísérletének helyességét is el kell fogadniuk. Most, hogy láttunk már háromszöget 180 °-os és annál nagyobb szögösszeggel is, felmerül a kérdés, van-e olyan felület, amelynek háromszögei 180 °-nál kisebb szögösszegűek. A nagyobb szögösszegnél a felület „befelé görbült”: a gömbfelület volt. A 180 °-os szögösszeghez a felület semerre sem görbült, az egyenes sík volt. Akkor a 180 °-nál kisebb szögösszeghez a felületnek „kifelé” kellene „görbülnie”? Ez nem látszik értelmes megközelítésnek: a másik irányba görbüléskor megint csak gömbfelszínt kapnánk, csak a gömb állna a másik irányba. Jeffrey R. Weeks már idézett könyvében szereplő szellemes megközelítés mégis közelebb visz a megoldáshoz. Tegyük fel, hogy van rengeteg pici szabályos háromszögünk papírból kivágva. Ezekből nagyon egyszerűen kirakható a „lapos” sík: a háromszögeket az oldalaik mentén úgy kell összeragasztani, hogy minden csúcspont körül hat darab háromszögünk legyen. Mi történik, ha a ragasztást úgy végezzük, hogy minden csúcspont körül csak öt darab háromszögünk legyen? A középiskolából is ismerős egyik szabályos test, az ikozaéder felületét kapjuk, hiszen ez az a szabályos test, melynek lapjai szabályos háromszögek, és minden csúcsában öt oldallapja találkozik. Az ikozaédernek olyan nagy szögben illeszkednek a lapjai, hogy már szinte gömböt kapunk. Az egy csúcspont körüli háromszögek számának változtatásával tehát csináltunk síkot és tulajdonképpen gömböt is. Mi történik, ha megnöveljük az egy csúcspont körüli szabályos háromszögek számát hétre (5. ábra)? Hét háromszög már csak szűkösen fér el egymás mellett egy pont körül, a felület elkezd „felpúposodni”, de egy ideig még folytathatjuk a ragasztgatást. Egy nagyon furcsa, hullámzó felületet kapunk, mely, bárhogy igazítjuk, minél nagyobb lesz, annál inkább elkezd önmagába visszakanyarodni. Az a sejtésünk támad, hogy a végtelen felületet nem lehet elképzelni a térben. Ahogyan az ikozaéder a gömbre hasonlított, az így kapott felület úgy hasonlít az úgynevezett hiperbolikus felületre, melyet valóban nem lehet önátmetszés nélkül beágyazni a háromdimenziós térbe. De ezen már nem szabad fennakadnunk: a Klein-kancsó példáján láttuk, hogy léteznek ilyen nem egykönnyen elképzelhető felületek.
5. ábra: Öt, hat, illetve hét darab háromszög egy-egy csúcs körül: a gömb, a sík, illetve a hiperbolikus felület papírmodellje A lényeg, hogy a hiperbolikus felület kis darabja beágyazható a térbe, és egy úgynevezett nyeregfelületet alkot (értelemszerűen nevezik így, alakja a nyeregre hasonlít: egyik irányban lefelé, a rá merőleges irányban fölfelé görbül). És ha a nyeregfelületre háromszöget rajzolunk, annak szögösszege valóban kisebb lesz 180 °- nál (6. ábra). (A háromszög oldalai persze most is a megfelelő definíció szerint egyenes szakaszok: két pont között a felületben megfeszített cérna alakját követő ívek.)
6. ábra: A nyeregfelület háromszögének szögösszege kisebb, mint 180 fok Egyszerű szögméréssel az Univerzum alakjára következtetni nem puszta fikció: a híres matematikus, Carl Friedrich Gauss eredményei nyomán végeztek is optikai méréseket három pont között, az általuk meghatározott háromszög szögösszegének meghatározására. Az összeget mérési hibán belül 180 °-nak találták, de ettől az értéktől való eltérés ténylegesen annak bizonyítéka lett volna, hogy a háromdimenziós tér, amiben élünk, valamilyen nem szokványos geometriával rendelkező háromdimenziós sokaság, a kétdimenziós felületekre az előbbiekben ismertetett gömbi, sík és hiperbolikus geometria megfelelői ugyanis három dimenzióban is léteznek – legalábbis matematikai modell szintjén. Hogy a fizikai valóság melyiket követi, azt mérések hivatottak eldönteni. Elképzelhető a zonban, hogy ezeknek a különleges geometriáknak az érzékeléséhez túl pontatlanok a berendezéseink, azaz, a
háromszögek szögösszege nem 180 °, de annyira közel van hozzá, hogy a különbséget képtelenek vagyunk észrevenni. Tér és idő Nemcsak a mi háromdimenziós Világegyetemünkről gyaníthatjuk azonban, hogy valami különös háromdimenziós sokaság. Emlékezzünk vissza, hogy a kétdimenziós világ időbeli eseményeit (egy növekedő kör) hogyan tudta „elkódolni” egy háromdimenziós alakzat (egy kúp). Hasonlóan, a háromdimenziós világ időbeli eseményeiről minden információt tárolhat egy négydimenziós objektum. Matematikailag ez nem jelent mást, mint azt, hogy a fizikai modellünk eseményeit egy plusz koordinátával látjuk el: nemcsak azt mondjuk meg, hol történt az esemény (ehhez három koordináta elegendő a térben), hanem azt is, hogy mikor (ez a negyedik, az időkoordináta). Nemcsak a hétköznapi, időben lefolyó fizikai jelenségeket lehet elképzelni ebben a négydimenziós téridőben, hanem sokkal nagyobb léptékű eseményeket is. A huszadik század egyik legmegdöbbentőbb felfedezése volt, hogy az évezredeken át állandónak hitt csillagos égbolt hihetetlen sebességgel távolodik tőlünk. Az „égi szférát” persze az emberiség akkor már rég nem sárga pöttyökkel tarkított kupolának képzelte: nagyon is tisztában voltunk vele, hogy amit éjjel az égre fölnézve látunk, nem más, mint kisebb- nagyobb izzó gáztömegek, csillagok sokasága elszórva a végtelen térben. Azt is tudtuk, hogy a csillagok elrendeződése nem állandó: kisebb-nagyobb mozgások, keringések előfordulhatnak. De a felfedezés, hogy a Földről nézve szinte minden távolabbi csillag elképesztő sebességgel távolodni látszik, forradalmi volt. A felfedezés első ránézésre értelmezhetetlennek tűnik. Ha minden csillag távolodik tőlünk, akkor valamikor réges-régen közel kellett, hogy legyenek hozzánk. Mi lennénk valamiféle robbanás középpontjában? Miért pont a Föld a középpont? Nos, a jelenség ilyen értelmezése alapvetően hibás. Először is, Földünk egyáltalán nincs kivételes helyzetben, abban az értelemben, hogy minden csillagtól távolodni látszik az összes többi! Vagyis, ha elutazhatnánk egy másik csillag közelébe, onnan nézve is azt látnánk, hogy a csillagok távolodnak tőlünk. Másodszor, a csillagok távolodása nem értelmezhető valamiféle szétszóródásként a térben. Nem az anyag robbant ki egyetlen pontból és terjed szét a már meglévő térben, hanem maga a tér tágul, hordozva magában az anyagot. Hogy hogyan kell mindezeket a sci- fi-jellegű kijelentéseket értelmezni? Képzeljük el, hogy a síkföldiek univerzuma egy kétdimenziós gömbfelszín, mégpedig egy lufi anyaga. A lufin egyenletesen elszórt kis pöttyök a kétdimenziós csillagok. Ha elkezdjük fújni a lufit,
igenis maga a „tér” (helyesebben, a kétdimenziós felület) tágul, miközben a kétdimenziós csillag-pöttyök egyre távolabb kerülnek egymástól (7. ábra). Mindemellett, minden pöttytől távolodik az összes többi, az „univerzum” (a lufi gumija) tágulásának tehát nincs is középpontja, legalábbis magában az „univerzumban” (azaz nincs kitüntetett pontja a növekvő gömbfelszínnek). Ez a lufis hasonlat, bár valószínűleg a legjobb példa, ami adható, egy dologban mégis sántít: a lufi fújásakor a pöttyök is megnőnének, míg a valóságban a csillagok nem növekednek együtt a tér növekedésével, hanem ténylegesen csakis a tér, a csillagok közötti távolság az, ami nő.
7. ábra: A kétdimenziós táguló univerzum: maga a "tér" tágul Hasonlóan képzelhető el egy táguló kétdimenziós sokaság helyett egy táguló háromdimenziós sokaság, mely esetleg az igazi Világegyetem modellje lehetne. (Bár igaz, hogy egy minden irányban végtelen tér, benne nagyjából egyenletesen elszórt végtelen sok csillaggal is tud úgy tágulni, hogy nincs kitüntetett tágulási középpont.) Hogy pontosan milyen is ez a sokaság, máig nem eldöntött kérdés. Mindenesetre a tágulás időbeli folyamat, ezért ha egy újabb koordinátát, az időkoordinátát is behozzuk a képbe, akkor egy eggyel magasabb dimenziós, immár állandó objektumunk lesz. A szokványostól eltérő háromdimenziós sokaságokat még akkor is nehéz elképzelni, ha időben állandók, és bár a táguló kétdimenziós gömb példája egyszerűnek tűnik, a tágulás időbeli folyamatának egy extra kiterjedésként kezelése, újabb dimenzióként látása mégis meghaladja a vizuális képzelőerőnket. Hogy ennek ellenére valami képet alkothassunk arról, hogyan is kezelheti a modern fizika a táguló Világegyetemet egyetlen állandó objektumként, példánkon még eggyel csökkentenünk kell a dimenziók számát. Képzeljünk el egy körvonal alakú egydimenziós univerzumot, melyben a körvonalon elszórt pontok a csillagok. Ha ezt a körvonalat „fújjuk föl”, azaz növeljük az átmérőjét, megint modelleztük a (most éppen egydimenziós) univerzum tágulását: maga a körvonal „tágul”, és minden csillag-pont távolodik az összes többitől. A körvonalunkat a síkon
elképzelve viszont egy növekvő kört látunk, amiről tudjuk már, hogyan modellezhető három dimenzióban: ha a síkot egyenletes sebességgel emeljük fölfelé, miközben a kör átmérője nő, a körvonal egy kúp palástját fogja leírni, a csillag-pontok mozgásának nyoma pedig egy-egy egyenes szakasz, a kúp egy-egy alkotója lesz (8. ábra). Az egydimenziós lények számára még az is furcsa lehet, hogy világuk nem egy végtelen egyenes, hanem egy zárt körvonal. De mi, két dimenzióval magasabban, nemcsak hogy a világuk alakját látjuk magunk előtt, hanem látjuk ennek a világnak a tágulását is! Az egydimenziós világ teljes egészében, furcsa geometriájával, múltjával, jelenével, jövőjével együtt ábrázolva van egyetlen álló objektummal. Ebben az értelemben az idő csupán az egyik kiterjedés a sok közül, olyan, mint a hosszúság vagy a szélesség. Az egydimenziós világ embereinek a teremtés pillanata az a pillanat, mikor a körvonal- világuk egy pontból kirobbanva valóban körvonallá vált és elkezdett tágulni. Nekünk ez a pillanat egy pont csupán: a kúp csúcsa.
8. ábra: A táguló univerzum: a tér és az idő együtt egy sokdimenziós objektum csupán Hasonlóan, a modern tudomány szerint a világmindenség kezdete a tér és az idő kezdete is egyben: a háromdimenziós világunk tágulásának kezdete, mely nem más, mint egy magasabb dimenziós objektum egyik „végpontja” . Talán tényleg nem válaszolt Szent Ágoston nagy butaságot, mikor arra a kérdésre, hogy „Mit tett Isten, mielőtt megteremtette a világot?”, azt felelte, hogy a kérdés rossz: Az idő szintén a teremtett világ része, és a teremtés pillanata „előtt” (már amennyire ennek az „előtt” szónak itt értelme van) nem létezett. És, bármennyit is fejlődött azóta a tudomány, ugyanezt mondja egy évezreddel később Stephen Hawking: „A Világegyetem nem teremtődik és nem enyészik el. A Világegyetem egyszerűen csak van.”
Hivatkozások ABBOTT, EDWIN A., 1884. Síkföld – Egy többdimenziós románc http://mek.oszk.hu/01900/01984/ WEEKS, J EFFREY R., 1985. A tér alakja
A felhas znált ábrák és képek forrásai: • http://groups.csail.mit.edu/graphics/classes/6.838/F01/lectures/SmoothSurfaces/0the_s005. html • http://www.pollypig.com/Pages/Spheres/Sphere%20Pigs.htm • http://theos.in/page/2/ • http://universe-review.ca/I02-06-expansion.jpg • http://www.youtube.com/watch?v=7JO9LgwPlYo (Klein-kancsó animáció) • http://www.youtube.com/watch?v=0H5_h-RB0T8 (Tórusz animáció) Letöltve: 2009. 12.18.
