SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL PERKALIAN BEBAS. Saniagus Munendra 1) Hery Susanto 2)

SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL PERKALIAN BEBAS

Saniagus Munendra1) Hery Susanto2)

Abstrak: Sifat-sifat yang berlaku pada radikal suatu ideal ternyata tidak semuanya berlaku pada konsep radikal suatu submodul. Rajaee (2011) menunjukkan bahwa jika M adalah R  modul perkalian bebas, maka sifat-sifat yang berlaku pada radikal suatu ideal juga berlaku radikal suatu submodul. Tujuan penelitian ini adalah menyajikan bukti teorema pendukung, lemma, dan tujuh sifat dari radikal suatu submodul dari R  modul perkalian bebas M , menyediakan kontra contoh untuk beberapa konvers teorema, serta memberikan beberapa contoh dan kontra contoh bagi definisi-definisi dan memberikan contoh aplikasi dari suatu teorema. Kata kunci: submodul prima, submodul radikal, modul perkalian, modul bebas. Abstract: Properties which hold in the notion of radical of ideals apparently not all of them applicable to the notion of radical of submodules. Rajaee (2011) have shown that if M be a free multiplication R  module, then properties which valid for radical of ideals are also valid for radical of submodules. The purpose of this paper are to prove some basic theorems, lemmas, and seven properties of radical of submodules of a free multiplication R  module M , provide some counter examples for some converses of theorem, and give some examples and counter examples for some definitions and provide some example for the application of some theorems. Keywords: prime submodul, radical submodul, multiplication module, free module

Diberikan R adalah gelanggang komutatif dengan unsur satuan dan M adalah suatu R  modul uniter. Konsep submodul prima pada M analog dengan konsep ideal prima pada R . Dari konsep submodul prima dan ideal prima tersebut diperoleh konsep radikal dari suatu submodul dan radikal dari suatu ideal secara berturut-turut. Misalkan R gelanggang komutatif dan P adalah ideal dari gelanggang R. P disebut ideal prima jika P  R dan x, y  P  xy  P untuk suatu x, y  R . Himpunan semua ideal prima dari gelanggang R disebut Spectrum dari R dan dinotasikan dengan Spec( R) . Himpunan semua ideal prima dari gelanggang R yang memuat ideal I , yaitu

Var ( I )  P  Spec( R) | P  I  . Misalkan R adalah gelanggang komutatif dan I adalah ideal dari R . Ideal I  r  R | r n  I untuk suatu n  0

1) 2)

Saniagus Munendra adalah mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang. Hery Susanto adalah dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang.

disebut radikal dari ideal I . Radikal dari ideal I juga dapat didefinisikan sebagai irisan dari semua ideal prima yang memuat ideal I , yaitu

I



P

PVar ( I )

Ideal I disebut ideal radikal jika dan hanya jika I  I . Setiap ideal prima I dari gelanggang R merupakan ideal radikal. Untuk suatu submodul N dari suatu R  modul M , himpunan

( N : M )  r  R | rM  N  disebut colon dari N . Suatu submodul N dari suatu R  modul M disebut submodul prima jika N  M dan untuk sebarang r  R dan m  M , rm  N , berlaku r  ( N : M ) atau m N . Himpunan semua submodul prima dari R  modul M disebut Spectrum dari M dan dinotasikan dengan Spec(M ) . Himpunan semua submodul prima dari R  modul M yang memuat submodul A , yaitu

Var ( A)   N  Spec( M ) | N  A . Radikal dari dari suatu submodul N dari M dinotasikan dengan rad ( N ) atau N didefinisikan sebagai irisan semua submodul prima dari M yang memuat N , yaitu N  A AVar ( N )

Suatu R  modul M disebut suatu R – modul perkalian jika untuk setiap submodul N dari M , ada suatu ideal I di R sedemikian sehingga N  IM . Ideal I yang memenuhi N  IM pada definisi di atas disebut ideal presentasi dari N . Sebagai contoh,  merupakan suatu   modul perkalian. Suatu himpunan bagian S dari M adalah suatu basis dari M jika S membangun M sebagai suatu R  modul dan S bebas linear. Suatu R  modul M disebut R  modul bebas jika M memiliki suatu basis. Berdasarkan definisi R – modul perkalian dan R – modul bebas di atas, didefinisikan suatu R – modul perkalian bebas, yaitu modul perkalian yang juga sekaligus merupakan suatu modul bebas. Contohnya   modul perkalian bebas . HASIL DAN PEMBAHASAN Sebelum disajikan pembuktian teorema utama dan akibat yang diperoleh dari teorema tersebut, akan dibuktikan terlebih dahulu beberapa teorema dan lemma berikut ini.

Teorema 1 Misalkan N adalah suatu submodul dari suatu R  modul M , maka colon dari N merupakan ideal dari R Bukti: Akan ditunjukkan bahwa himpunan ( N : M )  r  R | rM  N  , merupakan ideal dari R .  Akan ditunjukkan ( N : M )   Pilih 0  R , kita perhatikan bahwa 0M  {0}  N , sehingga berdasarkan definisi colon, diperoleh 0  ( N : M ) .  Akan ditunjukkan untuk sebarang a, b  ( N : M ) , berlaku a  b  ( N : M ) . a, b  ( N : M ) , maka aM  N dan bM  N . Karena N submodul, maka (b)M  (bM )  N . Perhatikan himpunan berikut: aM  (b) M  am1  (b)m2 | m1 , m2  M  , merupakan himpunan bagian dari N . Kemudian untuk sebarang p  (a  b)M , maka p  (a  b)m1  am1  bm1  am1  (b)m1 untuk suatu m1  M , sehingga diperoleh (a  b)M  aM  (b)M  N . Karena (a  b)M  N , diperoleh a  b  ( N : M ) .  Akan ditunjukkan untuk sebarang a  ( N : M ), r  R , berlaku ra  ( N : M ) . a  ( N : M ) , maka aM  N . Karena N merupakan submodul dari M , maka diperoleh r (aM )  N . Dari definisi modul diperoleh bahwa r (aM )  (ra)M . Diperoleh (ra)M  r (aM )  N Berdasarkan definisi colon, diperoleh ra  ( N : M ) . Karena memenuhi semua syarat ideal, maka diperoleh bahwa colon dari submodul N , yaitu himpunan ( N : M )  r  R | rM  N  merupakan ideal dari gelanggang R. Teorema 2 Jika M adalah suatu R  modul dan N merupakan submodul dari M , maka colon dari N merupakan annihilator dari R  modul (M / N ) , yaitu ( N : M )  AnnR ( N / M ) . Bukti: Akan ditunjukkan saling subset, yaitu  Ann(M / N )  ( N : M ) Ambil sebarang r  Ann(M / N ) , akan ditunjukkan r  ( N : M ) . r  Ann(M / N ) , dari definisi dideproleh rm  N  r (m  N )  0  N , m  M . sehingga diperoleh

rm  rm  0  N . Karena rm  N , m  M , diperoleh bahwa rM  N . Berdasarkan definisi colon diperoleh r  ( N : M ) . Jadi Ann(M / N )  ( N : M ) .  ( N : M )  Ann(M / N ) Ambil sebarang s  ( N : M ) , akan ditunjukkan s  Ann(M / N ) . s  ( N : M ) , maka sM  N . Karena sM  N , maka sm  N , m  M . Ambil sebarang m '  M , maka sm ' 0  N  s(m ' N )  sm ' N  0  N . Karena s(m ' N )  0  N , diperoleh s  Ann(M / N ) . Jadi ( N : M )  Ann(M / N ) . Karena terbukti saling subset, maka diperoleh ( N : M )  Ann(M / N ) . Jadi colon dari submodul N merupakan annihilator dari R  modul (M / N ) . Teorema 3 Jika submodul sejati N dari R  modul M adalah submodul prima, maka colon dari submodul N , yaitu ( N : M ) merupakan suatu ideal prima di R . Bukti: Akan ditunjukkan bahwa ( N : M ) merupakan ideal prima di R . Pada Teorema 1 telah ditunjukkan bahwa ( N : M ) merupakan suatu ideal, sehingga selanjutnya akan ditunjukkan keprimaannya saja.  Akan ditunjukkan ( N : M ) merupakan himpunan bagian sejati dari R . Andaikan ( N : M )  R , maka diperoleh 1 ( N : M ) . Dari definisi colon submodul N diperoleh 1M  M  N yang mengakibatkan N  M . Kondisi ini kontradiksi dengan fakta bahwa N adalah submodul prima dari M . Sehingga pengandaian salah dan ( N : M )  R .  Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang a, b  R dengan ab  ( N : M ) , maka a  ( N : M ) atau b  ( N : M ) . Andaikan a  ( N : M ) , akan ditunjukkan b  ( N : M ) . ab  ( N : M ) , maka (ab)M  N yang artinya a(bm)  (ab)m  N , m  M . Karena N submodul prima, maka diperoleh a  ( N : M ) atau bm  N , m  M . Karena telah dimisalkan a  ( N : M ) , maka diperoleh bm  N . Karena bm  N , m  M , diperoleh bM  N . Berdasarkan definisi colon diperoleh b  ( N : M ) . Jadi berdasarkan definisi ideal prima, maka ( N : M ) merupakan ideal prima di R.

Teorema 4 Misalkan M adalah R  modul perkalian. Jika N adalah submodul di R  modul perkalian M , maka berlaku N  ( N : M )M . Bukti: Diketahui bahwa M merupakan suatu R  modul perkalian, sehingga menurut definisi modul perkalian diperoleh bahwa ada ideal I di R sedemikian sehingga N  IM . Selanjutnya akan ditunjukkan saling subset. 

N  ( N : M )M Ambil sebarang x  N , akan ditunjukkan x  ( N : M )M . Karena N  IM , maka x dapat dinyatakan sebagai : n

x   ai mi , ai  I , mi  M untuk suatu n   . i 1

Untuk menunjukkan bahwa x  ( N : M )M , akan ditunjukkan bahwa ai  ( N : M ) dan mi  M untuk setiap i . Untuk kasus mi  M jelas terpenuhi, sehingga selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ai  ( N : M ) .

Karena ai  I , jelas bahwa himpunan ai M  ai m | m  M   IM . Karena N  IM , diperoleh ai M  N . Berdasarkan definisi colon dari submodul N diperoleh ai  ( N : M ) . Karena ai  ( N : M ) dan mi  M , diperoleh n

x   ai mi  ( N : M ) M . i 1



Jadi N  ( N : M ) . ( N : M )M  N Ambil sebarang y  ( N : M )M , akan ditunjukkan bahwa y  N . Karena y  ( N : M )M , diperoleh y dapat dinyatakan sebagai k

y   b j m j , b j  ( N : M ), m j  M untuk suatu k   j 1

Karena bj  ( N : M ) , diperoleh b j M  N yaitu b j m  N , m  M . Karena m j  M , diperoleh b j m j  N untuk setiap j . k

Karena y   b j m j dan N adalah submodul, maka diperoleh y  N . j 1

Jadi ( N : M )M  N . Karena telah terbukti saling subset, maka diperoleh N  ( N : M )M . Dari Teorema 4 ini dapat disimpulkan bahwa jika kita memiliki suatu submodul N dari suatu R  modul perkalian M , maka kita dapat memilih colon dari N sebagai ideal presentasi dari submodul N .

Lemma 5 Misalkan M adalah suatu R  modul bebas dan ideal P di Spec( R) maka submodul PM di Spec(M ) . Bukti: Akan ditunjukkan bahwa :  PM  M Andaikan PM  M , maka untuk sebarang m  M , diperoleh m  PM . Karena M adalah R  modul bebas, maka M memiliki basis, misalkan B  vl | l  I  . Pilih v0  B , maka v0  PM . Karena 1v0  v0  PM , maka dengan sifat kebebaslinearan dari B diperoleh bahwa 1 P . Ini mengakibatkan P  R . Kondisi ini kontradiksi dengan fakta bahwa P adalah ideal prima di R . Sehingga pengandaian salah. Jadi PM  M .  Untuk sebarang r  R, m  M , rm  PM , berlaku r  ( PM : M ) atau m  PM . Misalkan m  PM , akan ditunjukkan r  ( PM : M ) . rm  PM , maka rm dapat dinyatakan sebagai: n

rm   pi mi , pi  P, mi  M untuk suatu n   i 1

Sehingga diperoleh n

rm   pi mi  0 . i 1

Karena M merupakan R -modul bebas, maka M memiliki basis, misalkan B  {vk | k  I } . Karena m, mi  M , maka m dan mi dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari anggota-anggota B , sehingga diperoleh:   rm  r   d k vk     rd k vk  kI  kI dan n n n      n  p m  p e v  p e v       i i i   ik k    i ik k      pi eik  vk  , eik  R i 1 i 1  kI  i 1  kI  kI  i 1  sehingga diperoleh  n  rd v   k  k     pi eik  vk   0  kI kI  i 1  Dengan menggunakan sifat kebebaslinearan dari basis dari M diperoleh n

rd k   pi eik untuk setiap k . i 1

Karena pi  P , diperoleh

n

 pe i 1

i ik

P.

Sehingga diperoleh bahwa rdk  P untuk setiap k.

Karena P adalah ideal prima, maka diperoleh r  P atau dk  P . Untuk r  P , diperoleh rM  PM , sehingga diperoleh r  ( PM : M ). Untuk dk  P , diperoleh

m   d k vk  PM . kI

Kondisi ini kontradiksi dengan hipotesis sebelumnya bahwa m  PM . Sehingga diperoleh r  P dan diperoleh r  ( PM : M ) . Jadi PM adalah submodul prima di M . Konvers Lemma 5 di atas tidak berlaku, karena pada   modul  3 terdapat submodul 6(3 )  {[0]} yang merupakan submodul prima dari  3 , tetapi ideal 6 bukan ideal prima pada gelanggang  . Lemma 6 Misalkan M adalah suatu R  modul bebas. Diberikan ideal K dan J dari R dengan ( KM : M )  K . Jika KM  JM , maka K  J dan ( K  J )M  KM  JM . Bukti:  Akan ditunjukkan K  J Ambil sebarang a  K , akan ditunjukkan a  J . Karena a  K , maka aM  KM  JM . Karena M adalah R  modul bebas, maka M memiliki basis, misalkan B  {vi | i  I } . Pilih v1  B  M , diperoleh av1  aM . Karena aM  JM , diperoleh av1 dapat dinyatakan sebagai: n

av1   b j m j , b j  J , m j  M untuk suatu n   j 1

Karena m j  M , maka m j dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari anggota-anggota di B , yaitu: m j   c ji vi , c ji  R, vi  B iI

sehingga diperoleh n



n

 b m   b   c j 1

j

j

i 1

j

kI

 n   v    b j c ji vi  ji i   iI  j 1 

sehingga diperoleh

 n  av1     b j c ji vi  0 iI  j 1  dengan menggunakan sifat kebebaslinearan dari B , diperoleh: n

a   b j c j1 j 1

Karena b j  J , diperoleh

n

a   b j c j1  J j 1

Jadi K  J .  Akan ditunjukkan ( K  J )M  KM  JM dengan saling subset.  ( K  J )M  KM  JM Ambil sebarang p  ( K  J )M , akan ditunjukkan p  KM  JM . p  ( K  J )M , maka dapat ditulis n

p   ai mi , ai  K  J , mi  M untuk suatu n   i 1

ai  K  J  ai  K dan ai  J diperoleh n

n

i 1

i 1

p   ai mi  KM dan p   ai mi  JM diperoleh n

p   ai mi  KM  JM i 1



Jadi ( K  J )M  KM  JM ( K  J )M  KM  JM Ambil sebarang q  KM  JM , akan ditunjukkan q  ( K  J )M . q  KM  JM , diperoleh q  KM dan q  JM . Karena q  KM diperoleh n

q   ai mi , ai  K , mi  M untuk suatu n   i 1

Karena q  JM diperoleh r

q   b j z j , b j  J , z j  M untuk suatu r   j 1

Kemudian, diperhatikan himpunan berikut: A  mi | i  1, 2,, n B   z j | j  1, 2, r

C  A  B  qk | k  1, 2, s Sehingga q dapat ditulis kembali sebagai berikut: n

s

i 1

k 1

r

s

j 1

k 1

q   ai mi   ak qk , dengan syarat jika qk  A  ak  0 .

q   b j z j   bk qk , dengan syarat jika qk  B  bk  0 . dengan ak  K , bk  J , dan qk  M . Kemudian, karena M merupakan R  modul bebas, maka M mempunyai basis, misalkan G  vl | l  I  . Sehingga qk dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari anggota- anggota G , sehingga diperoleh

s s  s  q   ak qk   ak  g kl vl    ak g kl  vl k 1 k 1 lI lI  k 1  dan s s  s  q   bk qk   bk  hkl vl    bk hkl  vl k 1 k 1 lI lI  k 1  sehingga diperoleh  s   s  a g v     k kl  l    bk hkl  vl  0 . lI  k 1 lI  k 1   Dengan menggunakan sifat kebebaslinearan basis G , diperoleh s

s

k 1

k 1

 ak gkl   bk hkl , l  I . Karena K , J adalah ideal, maka s

 ak gkl  K dan k 1

s

b h k 1

k kl

J .

Sehingga diperoleh s

a g k 1

k

kl

K J

diperoleh

 s  q     ak g kl  vl  ( K  J )M lI  k 1  Jadi KM  JM  ( K  J )M Karena terbukti saling subset, maka ( K  J )M  KM  JM . Dengan menggunakan teorema-teorema dan lemma sebelumnya, akan dibuktikan teorema berikut ini. Teorema 7 Misalkan M adalah R  modul perkalian bebas dan A merupakan suatu submodul dari M dengan Var ( A) hingga, maka A  I M dimana A  IM . Bukti: Kita perhatikan bahwa untuk sebarang N submodul prima dari M dengan N  PM telah dibuktikan pada Teorema 1 di atas bahwa ideal ( N : M )  ( PM : M )  P adalah ideal prima di R dan merupakan ideal presentasi dari N . Berdasarkan definisi radikal dari suatu submodul, kita peroleh bahwa

A



N

NVar ( A)

Karena diketahui bahwa A  IM dan N  PM , diperoleh

A



NVar ( A)

N



PM Var ( IM )

PM

Bedasarkan Teorema 3.3 dan 3.6 sebelumnya, diperoleh



A

PM Var ( IM )

PM 



PM

PVar ( I )

Berdasarkan Lemma 3.6, karena Var ( A) hingga diperoleh

A

  PM    P  M PVar ( I )  PVar ( I ) 



Berdasarkan definisi radikal dari ideal I , diperoleh

A Jadi diperoleh

  PM    P  M  I M PVar ( I )  PVar ( I ) 



A  IM .

Perhatikan beberapa kasus khusus berikut ini:  Jika I  I , maka diperoleh A  I M  IM  A . Jadi A  A . Oleh karena itu A merupakan submodul radikal dari M .  Jika Var ( I )   , maka diperoleh I  R. Hal ini berakibat A  I M  RM  M . Karena A  M , maka submodul A tidak termuat di dalam sebarang submodul prima dari M . Karena tidak ada submodul prima yang memuat A , maka diperoleh Var ( A)   . Syarat Var(A) hingga pada Teorema 7 di atas tidak dapat dihilangkan karena kesamaan A  I M dimana A  IM tidak dapat terpenuhi dan apabila Var(A) tak hingga akan menyebabkan A  A . Sebagai contoh pada modul  atas  . Pilih submodul {0}, diketahui bahwa ada tak hingga banyaknya submodul prima yang memuat {0} pada   modul  , karena ada tak hingga banyaknya bilangan prima. Diperoleh {0} adalah irisan semua submodul prima dari   modul  , yaitu   {0}    P   {0}  PVar ({0})  . Berikut diberikan contoh penerapan Teorema 7. Diberikan  merupakan   modul perkalian bebas. 4 merupakan submodul dari  . Karena  merupakan   modul perkalian bebas, maka ada ideal I dari gelanggang  sedemikian sehingga 4  I  . Pilih I  4 . Jelas bahwa 4  4   . Var  4   2 sehingga Var  4  hingga. Perhatikan bahwa 4  2 karena 2 adalah satu-satunya ideal prima yang memuat 4 . Kemudian 4 merupakan ideal dari gelanggang  dan 4  2  2   . Jadi diperoleh bahwa 4  2  2    4   .

Akibat 8 Misalkan M adalah R  modul perkalian bebas dimana untuk sebarang submodul dari M , Var ( A) hingga, maka untuk A dan B submodul dari M A berlaku: a.

A

A

b. A  B  A B c. Jika A  B  M , maka A  B  M d. A  M jika dan hanya jika A  M e. f.

A B 

A B

A B  A  B

Bukti: Untuk pembuktian Akibat 8, dimisalkan bahwa A  IM dan B  JM untuk I dan J adalah ideal dari R . Berdasarkan Teorema 7 diperoleh A  I M dan B  J M . Selanjutnya diperoleh: A IM  I M  IM  A a. b. Sebelumnya perhatikan terlebih dahulu bahwa A  B  IM  JM  ( I  J )M

Oleh karena itu diperoleh A  B  I  J M . Kemudian A  B  I M  J M  ( I  J )M Karena ( I  J )M  I  J M  A  B , diperoleh c.

A  B  A B .

A  B  M  IM  JM  M , Karena I M  J M  ( I  J )M  RM  M , diperoleh

I  J RI J R Karena A  B  IM  JM  ( I  J )M dan I  J  R , diperoleh A  B  ( I  J )M  RM  M . Jadi jika A  B  M  A  B  M . d. A  M  I M  RM  M  I  R  I  R  A  IM  M e.

A B  I  JM 

f.

A  B  IM  JM  ( I  J )M  ( I  J )M 

 ( I  J )M 



I  JM 



IM  JM 



A B



I J M

I  J M  IM  JM  A  B

KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Beberapa hasil penting dari tulisan ini adalah sebagai berikut: 1. Colon dari submodul N , yaitu ( N : M ) merupakan ideal dari R dan merupakan annihilator dari R  modul M / N . 2. Jika N adalah submodul prima dari suatu R  modul M , maka ( N : M ) merupakan ideal prima di R . 3. Pada R  modul bebas M , jika P adalah ideal prima di R , maka submodul PM adalah submodul prima di M . 4. Pada R  modul perkalian bebas M , jika A adalah submodul dari M dengan Var ( A) hingga, maka berlaku A  I M , dimana A  IM . 5. Pada R  modul perkalian bebas M , sifat-sifat yang berlaku pada radikal suatu ideal juga berlaku pada radikal dari suatu submodul. Saran Artikel ini hanya membahas sifat-sifat dari suatu submodul dari suatu modul perkalian bebas secara umum, sehingga untuk penelitian selanjutnya dapat dilakukan penelitian tentang sifat-sifat untuk submodul yang lebih khusus, misalnya mengkaji sifat-sifat ketika submodul tersebut merupakan suatu submodul maksimal, submodul prima, dan submodul primer dan juga hubungan dari ketiganya. DAFTAR RUJUKAN Adkins, W. A. & Weintraub, S. H. 1992. Algebra An Approach via Module Theory. New York: Springer. Gallian, J. A. 1990. Contemporary Abstract Algebra (Second Edition). Toronto: D.C Heath and Company. Gilbert, J. & Gilbert, L. 2000. Elements of Modern Algebra (Fifth Edition). Pacific Grove: Brooks/Cole. Golan, J. S. & Head, T. 1991. Modules and The Structure of Rings. New York: Marcel Dekker, Inc. Matsumura, H. 1986. Commutative Ring Theory. Cambridge: Cambridge University Press. Rajaee, S. 2011. Some Remarks on Free Multiplication Module. International Journal of Algebra, 5(14): 655-659.