MODUL HASIL BAGI DARI SUATU MODUL DEDEKIND

MODUL HASIL BAGI DARI SUATU MODUL DEDEKIND

Erlina Tri Susianti 1) Santi Irawati 2) Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang. email: [email protected], [email protected] Abstrak: Gelanggang hasil bagi dan modul hasil bagi merupakan dua konsep yang saling berkaitan. Dari suatu gelanggang komutatif 𝑅, dapat dikonstruksi suatu lokalisasi 𝑅𝑆 −1 di mana 𝑆 merupakan himpunan multiplikatif dari semua unsur regular di 𝑅. Berdasarkan ide tersebut, dari suatu 𝑅-modul 𝑀 akan dikonstruksi suatu lokalisasi modul hasil bagi 𝑀𝑆 −1 = [𝑚, 𝑠] 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑠 ∈ 𝑆 dengan 𝑆 ⊆ 𝑅 merupakan himpunan multiplikatif. Artikel ini akan mengkaji konstruksi modul hasil bagi 𝑀𝑇 −1 dengan 𝑇 ≔ 𝑡 ∈ 𝑆 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑚 = 0 dan 𝑀 adalah suatu modul atas gelanggang komutatif 𝑅. 𝑀 adalah 𝑅-modul Dedekind, jika setiap submodul tak nol dari 𝑀 mempunyai balikan di 𝑀. Kesimpulan yang didapat dari konstruksi ini adalah bahwa modul hasil bagi dari suatu 𝑅-modul Dedekind merupakan suatu 𝑅𝑇 −1 -modul Dedekind. Selanjutnya, artikel ini dilengkapi dengan contoh sebagai ilustrasi. Kata kunci: modul, gelanggang hasil bagi, modul hasil bagi, modul Dedekind.

Dalam bidang aljabar, dikenal suatu sistem matematika yaitu modul. Pembahasan mengenai modul tidak lepas dari struktur grup dan gelanggang. Modul yang terbatas pada daerah Dedekind disebut dengan modul Dedekind. Pembahasan konsep daerah Dedekind ke dalam area teori modul telah diperkenalkan oleh Naoum dan Al-Alwan (dalam Garminia dkk.: 2008). Konsep tersebut membuka jalan untuk penelaahan sifat-sifat yang berkaitan dengan modul Dedekind atas gelanggang komutatif. Robson (dalam Garminia dkk.: 2008) telah memperumum konsep daerah Dedekind menjadi gelanggang prima Dedekind. Misalkan 𝑅 adalah gelanggang prima Dedekind maka gelanggang hasil baginya juga merupakan gelanggang prima Dedekind (Goodearl, 1974). Oleh karena itu, sangat relevan untuk membahas perluasan sifat gelanggang prima Dedekind tersebut di area teori modul atas gelanggang komutatif. Khususnya, membahas apakah struktur modul hasil bagi dari suatu modul Dedekind juga merupakan modul Dedekind. Garminia dkk. (2008) telah membuktikan struktur modul hasil bagi dari modul Dedekind adalah suatu modul Dedekind. Pada artikel ini akan dikaji ulang konstruksi modul hasil bagi dari suatu modul Dedekind dengan pendekatan yang berbeda disertai dengan contohnya. Artikel ini akan dimulai dengan notasi dan pengertian yang berkaitan dengan modul Dedekind. Selanjutnya akan dibahas modul hasil bagi dari suatu modul Dedekind yang merupakan hasil utama dari tulisan ini. Pembuktian hasil utama ini melalui konsep submodul dari modul hasil baginya. Artikel ini ditutup dengan kesimpulan dan masalah terbuka yang dapat dikembangkan untuk penelitian selanjutnya. HASIL DAN PEMBAHASAN Misalkan 𝑅 merupakan suatu gelanggang komutatif dan 𝑆 adalah suatu himpunan multiplikatif dari semua unsur regular 𝑅. Lokalisasi dari 𝑅 atas 𝑆 merupakan suatu gelanggang komutatif, 𝑅𝑆 −1 dengan unsur satuan dan suatu monomorfisma gelanggang 𝜑: 𝑅 → 𝑅𝑆 −1 sehingga untuk semua 𝑎 ∈ 𝑅𝑆 −1 ada 𝑏 ∈ 𝑅 dan 𝑐 ∈ 𝑆 sehingga 𝜑(𝑐) adalah 1) 2)

Erlina Tri Susianti adalah mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang. Santi Irawati adalah dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang.

unit di 𝑅𝑆 −1 dan 𝑎 = 𝜑(𝑏)𝜑(𝑐)−1 (Adkind, 1999). Berdasarkan Matsumura (1986), lokalisasi ini kemudian disebut sebagai gelanggang hasil bagi. Sedangkan suatu daerah integral 𝑅 dimana setiap ideal tak nol dari 𝑅 mempunyai balikan adalah daerah Dedekind (gelanggang Dedekind). Modul Dedekind Pertama akan disajikan beberapa notasi yang akan digunakan dalam tulisan ini. Notasi 𝑅 menyatakan gelanggang komutatif. Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul tak nol, 𝑆 adalah himpunan yang terdiri dari unsur reguler 𝑅, dan 𝑇 ≔ 𝑡 ∈ 𝑆 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑚 = 0 . Selanjutnya, 𝑇 adalah himpunan bagian multiplikatif dari 𝑆 dan 𝑅𝑇 −1 merupakan gelanggang bagian 𝑅𝑆 −1 (Passman, (1991). Untuk selanjutnya, pada tulisan ini, 𝑇 menyatakan himpunan multiplikatif seperti yang telah didefinisikan di atas. Teorema 1 (Garminia, dkk, 2008:114) Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑁 adalah suatu 𝑅-submodul tak nol dari 𝑀. Himpunan 𝑁 ′ ≔ 𝑥 ∈ 𝑅𝑇 −1 𝑥𝑁 ⊂ 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑁′𝑁 ⊆ 𝑀. Definisi 1 (Garminia, dkk, 2008:114) Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑁 merupakan submodul tak nol dari 𝑀. Himpunan 𝑁 ′ = 𝑥 ∈ 𝑅𝑇 −1 𝑥𝑁 ⊂ 𝑀 dikatakan submodul yang mempunyai balikan di 𝑀, jika 𝑁′𝑁 = 𝑀. Sebagai contoh, modul 4ℤ adalah ℤ-modul bagian yang dapat dibalik di 2ℤ . Definisi 2 (Garminia, dkk, 2008:114) Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul. 𝑀 adalah 𝑹-modul Dedekind, jika setiap submodul tak nol dari 𝑀 mempunyai balikan di 𝑀. 𝑎 𝑏 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ merupakan suatu ℤ-modul Dedekind dan 𝑐 𝑑 ℚ merupakan suatu ℤ-modul Dedekind dan gelanggang. Sedangkan, ℤ4 bukan ℤ-modul Dedekind, karena ada 𝑃 = 0 , [2] suatu ℤ-submodul tak nol dari ℤ4 tetapi tidak mempunyai balikan di ℤ4 . Sebagai contoh, ℳ𝟐 ℤ =

Modul Hasil Bagi dari Modul Dedekind Teorema 2 (Goodearl, 1974) Jika 𝑅 adalah gelanggang prima Dedekind dan 𝑆 adalah himpunan dari semua unsur reguler di 𝑅, maka 𝑅𝑆 −1 = [𝑟, 𝑠] 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 merupakan suatu gelanggang prima Dedekind.

Selanjutnya, pembahasan utama dalam artikel ini adalah menunjukkan bahwa modul hasil bagi dari modul Dedekind merupakan modul Dedekind dengan langkah-langkah pengkonstruksian modul hasil bagi sebagai berikut:

Misalkan 𝑅 adalah suatu gelanggang komutatif dengan unsur satuan, 𝑆 adalah himpunan multiplikatif dari semua unsur reguler di 𝑅, 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul, dan 𝑇 = 𝑡 ∈ 𝑆 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑚 = 0 . Pada 𝑀 × 𝑇, didefinisikan suatu relasi ekivalen yaitu untuk sebarang (𝑚, 𝑠) dan (𝑚1 , 𝑠1 ) 𝑀 × 𝑇, 𝑚, 𝑠 ~ 𝑚1 , 𝑠1 ⇔ 𝑚𝑠1 = 𝑠𝑚1 maka relasi ini merupakan relasi ekivalen. Selanjutnya didefinisikan kelas ekivalen dari (𝑚, 𝑠), ditulis [𝑚, 𝑠], dengan 𝑚, 𝑠 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑀 × 𝑇 𝑚, 𝑠 ~(𝑎, 𝑏) , dan Didefinisikan himpunan 𝑀𝑇 −1 = 𝑚, 𝑠 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑠 ∈ 𝑇 dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada 𝑀𝑇 −1 sebagai berikut. 𝑚, 𝑠 + 𝑚1 , 𝑠1 = 𝑚𝑠1 + 𝑠𝑚1 , 𝑠𝑠1 𝑟, 𝑡 𝑚, 𝑠 = [𝑟𝑚, 𝑡𝑠] Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa 𝑀𝑇 −1 adalah suatu 𝑅𝑇 −1 -modul. Definisikan monomorfisma 𝑅-modul, 𝜑: 𝑀 → 𝑀𝑇 −1 dengan pengaitan 𝜑(𝑚) ↦ [𝑚𝑢, 𝑢] , ∀𝑚 ∈ 𝑀dan 𝑢 unit. −1 𝑀𝑇 dinamakan 𝑹-modul hasil bagi dari 𝑴 oleh 𝑻. Misalkan 𝑚, 𝑠 ∈ 𝑀𝑇 −1 . Untuk selanjutnya, 𝑚, 𝑠 dituliskan dengan 𝑚𝑠 −1 . Proposisi 1 (Garminia dkk., 2008:115) Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑁 adalah suatu 𝑅-submodul dari 𝑀, maka 𝑁𝑇 −1 adalah suatu 𝑅𝑇 −1 -submodul dari 𝑀𝑇 −1 . Bukti: 1. 𝑁𝑇 −1 ≠ ∅ Perhatikan bahwa 0 = 0.1 = 0. 1−1 ∈ 𝑁𝑇 −1 , dengan 0 ∈ 𝑁, 1 ∈ 𝑇. Jadi, 𝑁𝑇 −1 ≠ ∅. 2. 𝑁𝑇 −1 ⊆ 𝑀𝑇 −1 Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑁𝑇 −1 . Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 −1 . 𝑥 ∈ 𝑁𝑇 −1 ⇒ 𝑥 = 𝑛𝑡 −1 , untuk suatu 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑡 ∈ 𝑇. 𝑁 adalah suatu 𝑅-submodul dari 𝑀 ⇒ 𝑁 ⊆ 𝑀. Karena 𝑁 ⊆ 𝑀, maka 𝑛 ∈ 𝑀. Sehingga 𝑥 = 𝑛𝑡 −1 , untuk suatu 𝑛 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑇. Jadi, 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 −1 Karena untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝑁𝑇 −1 berlaku 𝑥 ∈ 𝑀𝑇 −1 , maka diperoleh 𝑁𝑇 −1 ⊆ 𝑀𝑇 −1 . 3. Ambil sebarang 𝑛1 𝑡1 −1 , 𝑛2 𝑡2 −1 ∈ 𝑁𝑇 −1 . Akan ditunjukkan 𝑛1 𝑡1 −1 + 𝑛2 𝑡2 −1 ∈ 𝑁𝑇 −1 . Misalkan 𝑛𝑗 𝑡𝑗 −1 = 𝑚𝑗 𝑡 −1 , untuk suatu 𝑚𝑗 ∈ 𝑛𝑗 𝑅, 𝑗 = 1, 2.

Perhatikan bahwa  𝑛𝑗 𝑅 ⊆ 𝑁 Ambil sebarang 𝑚𝑗 ∈ 𝑛𝑗 𝑅. Akan ditunjukkan 𝑚𝑗 ∈ 𝑁. 𝑚𝑗 ∈ 𝑛𝑗 𝑅 ⇒ 𝑚𝑗 = 𝑛𝑗 𝑟, untuk suatu 𝑟 ∈ 𝑅. Karena 𝑛𝑗 ∈ 𝑁, 𝑟 ∈ 𝑅, dan 𝑁 adalah suatu 𝑅-submodul 𝑀, maka 𝑚𝑗 = 𝑛𝑗 𝑟 ∈ 𝑁. Oleh karena itu, 𝑛1 𝑡1 −1 + 𝑛2 𝑡2 −1 = 𝑚1 𝑡 −1 + 𝑚2 𝑡 −1 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑡 −1 ∈ 𝑁𝑇 −1 4. Ambil sebarang 𝑛1 𝑡1 −1 ∈ 𝑁𝑇 −1 dan 𝑟𝑡 −1 ∈ 𝑅𝑇 −1 . Akan ditunjukkan 𝑛1 𝑡1 −1 (𝑟𝑡 −1 ) ∈ 𝑁𝑇 −1 . Karena 𝑅 merupakan gelanggang komutatif, maka 𝑡1 −1 𝑟 ∈ 𝑇 −1 𝑅 = 𝑅𝑇 −1 . −1 −1 Maka 𝑡1 𝑟 = 𝑟2 𝑡2 , untuk suatu 𝑟2 ∈ 𝑅, 𝑡2 ∈ 𝑇. Sehingga diperoleh 𝑛1 𝑡1 −1 𝑟𝑡 −1 = 𝑛1 𝑡1 −1 𝑟 𝑡 −1 = 𝑛1 𝑟2 𝑡2 −1 𝑡 −1 = (𝑛1 𝑟2 ) 𝑡2 −1 𝑡 −1 = (𝑛1 𝑟2 ) 𝑡2 𝑡 −1 ∈ 𝑁𝑇 −1 Jadi, 𝑁𝑇 −1 adalah suatu 𝑅𝑇 −1 -submodul dari 𝑀𝑇 −1 . Proposisi 2 (Garminia dkk., 2008:116) Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑋 adalah suatu 𝑅𝑇 −1 -submodul dari 𝑀𝑇 −1 , maka i. ii.

𝑋 ∩ 𝑀 merupakan suatu 𝑅-submodul dari 𝑀, dan 𝑋 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 .

Bukti: 

Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 merupakan suatu 𝑅-submodul dari 𝑀. 1. 𝑋 ∩ 𝑀 ≠ ∅ Perhatikan bahwa 0 = 0.1 = 0. 1−1 ∈ 𝑋 dan 0 ∈ 𝑀. Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 ≠ ∅. 2. 𝑋 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀 Jelas bahwa 𝑋 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀. 3. Ambil sebarang 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀. Akan ditunjukkan 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀. 𝑚1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 ⇒ 𝑚1 ∈ 𝑋 dan 𝑚1 ∈ 𝑀. 𝑚2 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 ⇒ 𝑚2 ∈ 𝑋 dan 𝑚2 ∈ 𝑀. Karena 𝑋 adalah 𝑅𝑇 −1 -submodul dari 𝑀𝑇 −1 , maka 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑋. Karena 𝑀 adalah 𝑅-modul, maka 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑀. Oleh karena itu, 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀.

4. Ambil sebarang 𝑚1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 dan 𝑟 ∈ 𝑅. Akan ditunjukkan 𝑚1 𝑟 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀. 𝑚1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 ⇒ 𝑚1 ∈ 𝑋 dan 𝑚1 ∈ 𝑀. 𝑟 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑟 = 𝑟. 1 = 𝑟. 1−1 ∈ 𝑅𝑇 −1 . Karena 𝑋 adalah 𝑅𝑇 −1 -submodul dari 𝑀𝑇 −1 , 𝑚1 ∈ 𝑋 dan 𝑟 ∈ 𝑅𝑇 −1 , maka 𝑚1 𝑟 ∈ 𝑋. Karena 𝑀 adalah 𝑅-modul, 𝑚1 ∈ 𝑋 dan 𝑟 ∈ 𝑅, maka 𝑚1 𝑟 ∈ 𝑀. Oleh karena itu, 𝑚1 𝑟 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀. Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 adalah suatu 𝑅-submodul dari 𝑀. 

𝑋 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 .  Akan ditunjukkan 𝑋 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . 1. Akan ditunjukkan 𝑋 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑋. Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . 𝑥 ∈ 𝑋 ⇒ 𝑥 = 𝑚𝑡 −1 , untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 dan 𝑡 ∈ 𝑇. Perhatikan bahwa 𝑡 −1 = 1. 𝑡 −1 ∈ 𝑅𝑇 −1 . −1 Karena 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑡 ∈ 𝑅𝑇 −1 , dan 𝑋 adalah 𝑅𝑇 −1 -modul, maka diperoleh 𝑚 = 𝑚. 1 = 𝑚𝑡 −1 𝑡 ∈ 𝑋. Sehingga kita peroleh 𝑥 = 𝑚𝑡 −1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . Jadi, 𝑋 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . 2. Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 ⊆ 𝑋. Ambil sebarang 𝑦 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀. Akan ditunjukkan 𝑦 ∈ 𝑋. 𝑦 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑡 −1 , untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 dan 𝑡 ∈ 𝑇. Perhatikan bahwa - 𝑚 ∈𝑋∩𝑀 ⊆𝑋 - Karena 𝑡 −1 = 1. 𝑡 −1 ∈ 𝑅𝑇 −1 dan 𝑋 adalah 𝑅𝑇 −1 -submodul dari 𝑀𝑇 −1 , maka 𝑦 = 𝑚𝑡 −1 ∈ 𝑋. Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 ⊆ 𝑋. Karena terbukti bahwa 𝑋 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 dan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 ⊆ 𝑋, maka 𝑋 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 .  Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 . 1. Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 . Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . Akan ditunjukkan 𝑝 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 . 𝑝 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 ⇒ 𝑝 = 𝑚𝑡 −1 , untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑇. Perhatikan bahwa 𝑡 −1 = 1. 𝑡 −1 ∈ 𝑅𝑇 −1 . Oleh karena itu, 𝑝 = 𝑚𝑡 −1 = 𝑚(1. 𝑡 −1 ) ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 . Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 .

2. Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . Ambil sebarang 𝑞 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 . Akan ditunjukkan 𝑞 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . 𝑞 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 ⇒ 𝑞 = 𝑚(𝑟𝑡 −1 ), untuk suatu ∈ 𝑋 ∩ 𝑀, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑡 ∈ 𝑇. Karena 𝑋 ∩ 𝑀 adalah suatu 𝑅-submodul dari 𝑀, maka 𝑚𝑟 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀. Oleh karena itu, 𝑞 = 𝑚 𝑟𝑡 −1 = (𝑚𝑟)𝑡 −1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . −1 Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . Karena terbukti 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 dan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 , maka 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇 −1 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . Teorema 3 (Garminia, 2008:115) Jika 𝑀 adalah 𝑅-modul Dedekind, maka 𝑀𝑇 −1 yang didefinisikan di atas merupakan 𝑅𝑇 −1 -modul Dedekind. Bukti: Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑅𝑇 −1 -submodul dari 𝑀𝑇 −1 , mempunyai balikan di 𝑀𝑇

−1

. Ambil sebarang 𝑅𝑇 −1 -submodul tak nol 𝐿 dari 𝑀𝑇 −1 . Akan ditunjukkan 𝐿 mempunyai balikan di 𝑀𝑇 −1 . Berdasarkan Proposisi 2, 𝐿 ∩ 𝑀 adalah 𝑅-submodul dari 𝑀 dan 𝐿 = 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇 −1 . Bentuk 𝑁 ′ = 𝑥 ∈ 𝑅𝑇 −1 𝑥 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀 sehingga, 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 = 𝑀. 

𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀 Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 . Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑀. 𝑥 ∈ 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⇒ 𝑥 = 𝑛′𝑙, dengan 𝑛′ ∈ 𝑁′ dan 𝑙 ∈ 𝐿 ∩ 𝑀. 𝑛′ ∈ 𝑁 ′ ⇒ 𝑛′ ∈ 𝑅𝑇 −1 , 𝑛′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀 Perhatikan bahwa 𝑥 = 𝑛′𝑙 ∈ 𝑛′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀. Dengan demikian, 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀.



𝑀 ⊆ 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑀. Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 . Perhatikan bahwa 𝑚 = 1. 𝑚 ∈ 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 dengan  1 ∈ 𝑁′ Karena 1 = 1. 1−1 ∈ 𝑅𝑇 −1 dan 1 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀, maka 1 ∈ 𝑁′.  𝑚∈ 𝐿∩𝑀 Perhatikan bahwa 𝑚 = 1. 𝑚 = 𝑡 −1 𝑡 𝑚 = 𝑡 𝑡 −1 𝑚 = 𝑡 𝑚𝑡 −1 = (𝑡. 1−1 ) 𝑚𝑡 −1 ∈ 𝐿

Oleh karena itu, 𝑚 ∈ 𝐿 ∩ 𝑀 . Dengan demikian, 𝑀 ⊆ 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 . Jadi, 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 = 𝑀. Tulis pula 𝐿′ = 𝑥 ∈ 𝑅𝑇 −1 𝑥𝐿 ⊆ 𝑀𝑇 −1 Akan ditunjukkan bahwa 𝐿′ = 𝑁 ′ . 1. 𝐿′ ⊆ 𝑁 ′ Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐿′. Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑁′. 𝑥 ∈ 𝐿′ ⇒ 𝑥 ∈ 𝑅𝑇 −1 , dengan 𝑥𝐿 ⊆ 𝑀𝑇 −1 . Perhatikan bahwa 𝑥𝐿 = 𝑥( 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇 −1 ) ⊆ 𝑀𝑇 −1 sehingga 𝑥 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀. −1 Jadi, 𝑥 ∈ 𝑅𝑇 , dengan 𝑥 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀, mengakibatkan 𝑥 ∈ 𝑁′. 2. 𝑁 ′ ⊆ 𝐿′ Ambil sebarang 𝑦 ∈ 𝑁′. Akan ditunjukkan 𝑦 ∈ 𝐿′. 𝑦 ∈ 𝑁′ ⇒ 𝑦 ∈ 𝑅𝑇 −1 , dengan 𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀. Perhatikan bahwa 𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇 −1 = (𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 )𝑇 −1 karena untuk setiap 𝑙 ∈ 𝐿 ∩ 𝑀 , 𝑡 ∈ 𝑇, berlaku 𝑦 𝑙𝑡 −1 = 𝑦 𝑡 −1 𝑙 = 𝑦𝑡 −1 𝑙 = 𝑡 −1 𝑦 𝑙 = (𝑦𝑙)𝑡 −1 Oleh karena itu, 𝑦𝐿 = 𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇 −1 = (𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 )𝑇 −1 ⊆ 𝑀𝑇 −1 sehingga 𝑦𝐿 ⊆ 𝑀𝑇 −1 . Jadi, 𝑦 ∈ 𝑅𝑇 −1 , dengan 𝑦𝐿 ⊆ 𝑀𝑇 −1 , mengakibatkan 𝑦 ∈ 𝐿′. Karena terbukti 𝐿′ ⊆ 𝑁 ′ dan 𝑁′ ⊆ 𝐿′, maka 𝐿′ = 𝑁 ′ .

𝑀𝑇 −1

Dengan demikian, 𝐿′ 𝐿 = 𝐿′ 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇 −1 = 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇 −1 = 𝑁 ′ 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇 −1 = 𝑀𝑇 −1 Jadi, 𝐿 mempunyai balikan di 𝑀𝑇 −1 , yaitu 𝐿′ , sehingga dapat disimpulkan bahwa merupakan 𝑅𝑇 −1 -modul Dedekind.

Contoh 1 ℤ3 (5)−1 merupakan suatu ℤ-modul hasil bagi dari ℤ3 . ℤ3 dan ℤ3 (5)−1 merupakan suatu ℤ-modul Dedekind. Bukti: Telah diketahui, ℤ3 adalah ℤ-modul. Selanjutnya, akan ditunjukkan setiap submodul tak nol dari ℤ3 mempunyai balikan di ℤ3 . Ambil sebarang ℤ-submodul tak nol 𝑃 dari ℤ3 , yaitu 𝑃 = ℤ3 . Akan ditunjukkan 𝑃 mempunyai balikan di ℤ3 .

Misalkan 𝑆 adalah himpunan dari semua unsur regular di ℤ, maka 𝑆 = ℤ − 0 Misalkan 𝑇 = 𝑡 ∈ ℤ − 0 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ ℤ3 ⇒ 𝑚 = 0 . Ini berarti 𝑇 = ℤ − 3ℤ. Definisikan 𝑃′ = 𝑥 ∈ ℤ𝑇 −1 𝑥ℤ3 ⊂ ℤ3 1. Akan ditunjukkan 𝑃′ adalah suatu ℤ-modul. a. Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑃′. 𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 ∈ ℤ𝑇 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, dengan 𝑥ℤ3 ⊂ ℤ3 𝑦 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑦 = 𝑟2 𝑡2 −1 , ∈ ℤ𝑇 −1 , untuk suatu 𝑟2 ∈ ℤ, 𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, dengan 𝑦ℤ3 ⊂ ℤ3 Perhatikan bahwa, karena 𝑟1 𝑡2 − 𝑟2 𝑡1 ∈ ℤ dan 𝑡1 𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, maka 𝑥 − 𝑦 = 𝑟1 𝑡1 −1 − 𝑟2 𝑡2 −1 = 𝑟1 𝑡2 − 𝑟2 𝑡1 (𝑡1 𝑡2 )−1 ∈ ℤ𝑇 −1 . Selanjutnya, akan ditunjukkan 𝑥 − 𝑦 ℤ3 ⊂ ℤ3 . Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝑥 − 𝑦 ℤ3 . 𝑝 ∈ 𝑥 − 𝑦 ℤ3 ⇒ 𝑝 = 𝑥 − 𝑦 𝑛, untuk suatu 𝑛 ∈ ℤ3 . Karena 𝑥ℤ3 ⊂ ℤ3 , 𝑦ℤ3 ⊂ ℤ3 , dan ℤ3 adalah suatu ℤ-modul, maka 𝑝 = 𝑥 − 𝑦 𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ∈ ℤ3 Sehingga diperoleh (𝑥 − 𝑦)ℤ3 ⊂ ℤ3 . Jadi, 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑃′. b. Ambil 𝑎 ∈ ℤ dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦. 𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 ∈ ℤ𝑇 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ 𝑦 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑦 = 𝑟2 𝑡2 −1 , ∈ ℤ𝑇 −1 , untuk suatu 𝑟2 ∈ ℤ, 𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ Dengan demikian, 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎1−1 (𝑟1 𝑡1 −1 + 𝑟2 𝑡2 −1 ) = 𝑎1−1 𝑟1 𝑡2 + 𝑟2 𝑡1 (𝑡1 𝑡2 )−1 = (𝑎 𝑟1 𝑡2 + 𝑟2 𝑡1 ) (𝑡1 𝑡2 )−1 = ( 𝑎𝑟1 𝑡2 + 𝑎𝑟2 𝑡1 )(𝑡1 𝑡2 )−1 = 𝑎𝑟1 𝑡1 −1 + 𝑎𝑟2 𝑡2 −1 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦. c. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑥 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 𝑎 + 𝑏 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥. 𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇 −1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ Dengan demikian, 𝑎 + 𝑏 𝑥 = ( 𝑎 + 𝑏 1−1 )(𝑟1 𝑡1 −1 ) = ( 𝑎 + 𝑏 𝑟1 )𝑡1 −1 = (𝑎𝑟1 + 𝑏𝑟1 )𝑡1 −1 = 𝑎𝑟1 𝑡1 + 𝑏𝑟1 𝑡1 (𝑡1 𝑡1 )−1 = 𝑎𝑟1 𝑡1 −1 + 𝑏𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 d. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑥 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 𝑎𝑏 𝑥 = 𝑎(𝑏𝑥). 𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇 −1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

Dengan demikian, 𝑎𝑏 𝑥 = 𝑎𝑏 1−1 𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑎𝑏𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑎1−1 𝑏𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑎(𝑏𝑥) e. Ambil 𝑥 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 1𝑥 = 𝑥. 𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇 −1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ Dengan demikian, 1𝑥 = 1( 𝑟1 𝑡1 −1 ) = 𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑥 Jadi, 𝑃′ adalah ℤ-modul. 2. Klaim: 𝑃′ ℤ3 = ℤ3 a. Akan ditunjukkan 𝑃′ ℤ3 ⊆ ℤ3 . Ambil sebarang 𝑤 ∈ 𝑃′ ℤ3 . Akan ditunjukkan 𝑤 ∈ ℤ3 . 𝑤 ∈ 𝑃′ ℤ3 ⇒ 𝑤 = 𝑝′ 𝑝, untuk 𝑝′ ∈ 𝑃′, 𝑝 ∈ ℤ3 . Perhatikan bahwa - 𝑝 ∈ ℤ3 𝑎 - 𝑝′ ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑝′ = 𝑏 , 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ − 3ℤ, sehingga 𝑝′ℤ3 ⊂ ℤ3 . Sehingga diperoleh, 𝑤 = 𝑝′𝑝 ∈ 𝑝′ℤ3 ⊂ ℤ3 . Jadi, 𝑃′ ℤ3 ⊆ ℤ3 . b. Akan ditunjukkan ℤ3 ⊆ 𝑃′ ℤ3 . Ambil sebarang [𝑣] ∈ ℤ3 . Akan ditunjukkan [𝑣] ∈ 𝑃′ ℤ3 .  Jika [𝑣] = 0 , maka [𝑣] = 0 = 0 0 = (0. 1−1 ) 0 ∈ 𝑃′ ℤ3  Jika [𝑣] ≠ 0 , maka 𝑣 = 1 𝑣 = (1. 1−1 ) 𝑣 ∈ 𝑃′ ℤ3 ′ Jadi, ℤ3 ⊆ 𝑃 ℤ3 . Dari (a) dan (b), diperoleh 𝑃′ ℤ3 = ℤ3 , yang berarti ℤ3 mempunyai balikan di ℤ3 . Dengan demikian, ℤ3 merupakan suatu ℤ-modul Dedekind. Selanjutnya, akan ditunjukkan ℤ3 (5)−1 merupakan suatu ℤ-modul Dedekind.  Akan ditunjukkan ℤ3 (5)−1 adalah suatu ℤ-modul, dengan 𝑥 ℤ3 (5)−1 = 𝑥 ∈ ℤ3 5 Misalkan 𝑥 𝑎 ∈ ℤ3 5 −1 ⇒ 𝑎 = , 𝑥 ∈ ℤ3 5 𝑦 𝑏 ∈ ℤ3 5 −1 ⇒ 𝑏 = , 𝑦 ∈ ℤ3 5 a. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ3 (5)−1 . Akan ditunjukkan 𝑎 − 𝑏 ∈ ℤ3 (5)−1 . 𝑥 𝑦 𝑥 − [𝑦] 𝑥−𝑦 𝑎−𝑏 = − = = ∈ ℤ3 (5)−1 5 5 5 5 b. Ambil 𝑟 ∈ ℤ dan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ3 (5)−1 . Akan ditunjukkan 𝑟 𝑎 + 𝑏 = 𝑟𝑎 + 𝑟𝑏.

𝑥 𝑦 + 5 5 𝑟 𝑥+𝑦 = 1 5 𝑟 𝑥+𝑦 = 5 𝑟𝑥 + 𝑟𝑦 = 5 𝑟𝑥 𝑟𝑦 = + 5 5 𝑥 𝑦 =𝑟 +𝑟 5 5 = 𝑟𝑎 + 𝑟𝑏

𝑟 𝑎+𝑏 =𝑟

c. Ambil 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ dan 𝑎 ∈ ℤ3 (5)−1 . Akan ditunjukkan 𝑝 + 𝑞 𝑎 = 𝑝𝑎 + 𝑞𝑎. 𝑝+𝑞 𝑥 𝑝+𝑞 𝑎 = 1 5 𝑝+𝑞 𝑥 = 5 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 = 5 𝑝𝑥 𝑞𝑥 = + 5 5 𝑥 𝑥 =𝑝 +𝑞 5 5 = 𝑝𝑎 + 𝑞𝑎 d. Ambil 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ dan 𝑎 ∈ ℤ3 (5)−1 . Akan ditunjukkan 𝑝𝑞 𝑎 = 𝑝 𝑞𝑎 . 𝑝𝑞 𝑥 𝑝𝑞 𝑎 = 1 5 𝑝𝑞 𝑥 = 5 𝑝 𝑞𝑥 = 5 𝑞𝑥 =𝑝 5 𝑥 =𝑝 𝑞 5 = 𝑝 𝑞𝑎 e. Ambil 𝑎 ∈ ℤ3 (5)−1 . Akan ditunjukkan 1𝑎 = 𝑎. 1𝑎 =

1 𝑥 1𝑥 𝑥 = = =𝑎 1 5 5 5

Jadi, ℤ3 (5)−1 adalah suatu ℤ-modul.



Setiap submodul tak nol dari ℤ3 (5)−1 mempunyai balikan di ℤ3 (5)−1 . Ambil sebarang ℤ-submodul tak nol 𝐴 dari ℤ3 (5)−1 . Akan ditunjukkan 𝐴 mempunyai balikan di ℤ3 (5)−1 . Misalkan 𝑆 adalah himpunan dari semua unsur regular di ℤ, maka 𝑆 = ℤ − 0 Misalkan 𝑇 = 𝑡 ∈ ℤ − 0 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ ℤ3 ⇒ 𝑚 = 0 . Ini berarti 𝑇 = ℤ − 3ℤ. Definisikan 𝐴′ = 𝑥 ∈ ℤ𝑇 −1 𝑥𝐴 ⊂ ℤ3 (5)−1

1. Akan ditunjukkan 𝐴′ adalah suatu ℤ-modul. a. Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴′. 𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 ∈ ℤ𝑇 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, dengan 𝑥𝐴 ⊂ ℤ3 (5)−1 𝑦 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑦 = 𝑟2 𝑡2 −1 ∈ ℤ𝑇 −1 , untuk suatu 𝑟2 ∈ ℤ, 𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, dengan 𝑦𝐴 ⊂ ℤ3 (5)−1 Perhatikan bahwa, karena 𝑟1 𝑡2 − 𝑟2 𝑡1 ∈ ℤ dan 𝑡1 𝑡2 ∈ ℤ − 3ℤ, maka 𝑥 − 𝑦 = 𝑟1 𝑡1 −1 − 𝑟2 𝑡2 −1 = 𝑟1 𝑡2 − 𝑟2 𝑡1 (𝑡1 𝑡2 )−1 ∈ ℤ𝑇 −1 . Selanjutnya, akan ditunjukkan (𝑥 − 𝑦)𝐴 ⊂ ℤ3 (5)−1 . Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝑥 − 𝑦 𝐴. Akan ditunjukkan 𝑝 ∈ ℤ3 (5)−1 . 𝑝 ∈ 𝑥 − 𝑦 𝐴 ⇒ 𝑝 = 𝑥 − 𝑦 𝑛, 𝑛 ∈ 𝐴. −1 Karena 𝑥𝐴 ⊂ ℤ3 (5) , 𝑦𝐴 ⊂ ℤ3 (5)−1 , dan ℤ3 (5)−1 adalah suatu ℤ-modul, maka 𝑝 = 𝑥 − 𝑦 𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ∈ 𝐴 Sehingga diperoleh (𝑥 − 𝑦)𝐴 ⊂ ℤ3 (5)−1 . Jadi, 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴′. b. Ambil 𝑎 ∈ ℤ dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦. 𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 ∈ ℤ𝑇 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ 𝑦 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑦 = 𝑟2 𝑡2 −1 ∈ ℤ𝑇 −1 , untuk suatu 𝑟2 ∈ ℤ, 𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ Dengan demikian, 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎1−1 (𝑟1 𝑡1 −1 + 𝑟2 𝑡2 −1 ) = 𝑎1−1 𝑟1 𝑡2 + 𝑟2 𝑡1 (𝑡1 𝑡2 )−1 = (𝑎 𝑟1 𝑡2 + 𝑟2 𝑡1 ) (𝑡1 𝑡2 )−1 = ( 𝑎𝑟1 𝑡2 + 𝑎𝑟2 𝑡1 )(𝑡1 𝑡2 )−1 = 𝑎𝑟1 𝑡1 −1 + 𝑎𝑟2 𝑡2 −1 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦. c. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑥 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 𝑎 + 𝑏 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥. 𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇 −1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ Dengan demikian, 𝑎 + 𝑏 𝑥 = ( 𝑎 + 𝑏 1−1 )(𝑟1 𝑡1 −1 ) = ( 𝑎 + 𝑏 𝑟1 )𝑡1 −1 = (𝑎𝑟1 + 𝑏𝑟1 )𝑡1 −1 = 𝑎𝑟1 𝑡1 + 𝑏𝑟1 𝑡1 (𝑡1 𝑡1 )−1 = 𝑎𝑟1 𝑡1 −1 + 𝑏𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥

d. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑥 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 𝑎𝑏 𝑥 = 𝑎(𝑏𝑥). 𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇 −1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ Dengan demikian, 𝑎𝑏 𝑥 = 𝑎𝑏 1−1 𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑎𝑏𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑎1−1 𝑏𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑎(𝑏𝑥) e. Ambil 𝑥 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 1𝑥 = 𝑥. 𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇 −1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1 𝑡1 −1 , untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ Dengan demikian, 1𝑥 = 1( 𝑟1 𝑡1 −1 ) = 𝑟1 𝑡1 −1 = 𝑥 Jadi, 𝑃′ adalah suatu ℤ-modul. 2. Klaim: 𝐴′𝐴 = ℤ3 (5)−1 . a. Akan ditunjukkan 𝐴′𝐴 ⊆ ℤ3 (5)−1 . Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝐴′𝐴. Akan ditunjukkan 𝑝 ∈ ℤ3 (5)−1 . 𝑝 ∈ 𝐴′𝐴 ⇒ 𝑝 = 𝑎′ 𝑎, untuk 𝑎′ ∈ 𝐴′, 𝑎 ∈ 𝐴. Perhatikan bahwa 𝑎′ ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑎′𝐴 ⊂ ℤ3 (5)−1 sehingga 𝑝 = 𝑎′ 𝑎 ∈ 𝑎′𝐴 ⊂ ℤ3 (5)−1 −1 Jadi, 𝐴′𝐴 ⊆ ℤ3 (5) . b. Akan ditunjukkan ℤ3 (5)−1 ⊆ 𝐴′𝐴. Ambil sebarang 𝑞 ∈ ℤ3 (5)−1 . Akan ditunjukkan 𝑞 ∈ 𝐴′𝐴. [𝑥] 𝑞 ∈ ℤ3 (5)−1 ⇒ 𝑞 = 5 , untuk suatu [𝑥] ∈ ℤ3 . [𝑥]

[𝑥]

𝑞 = 5 = 1 5 ∈ 𝐴′𝐴, dengan  1 = 1. 1−1 ∈ ℤ𝑇 −1 dan 1𝐴 ⊂ ℤ3 (5)−1 ⇒ 1 ∈ 𝐴′ [𝑥] [𝑥.1] [1]  5 = 5 = 𝑥 5 ∈ 𝐴, karena 𝑥 = 𝑥. 1−1 ∈ ℤ𝑇 −1 dan [𝑥]

[1𝑥]

[𝑥]

1 5 = 5 = 5 = Jadi, ℤ3 (5)−1 ⊆ 𝐴′𝐴.

[𝑥1] 5

[1] 5

=𝑥

∈ ℤ3 (5)−1 , ada [1] 5

[𝑥] 5

∈ ℤ3 (5)−1 , sehingga

, untuk suatu 𝑥 ∈ ℤ.

Dari (a) dan (b), diperoleh 𝐴′𝐴 = ℤ3 (5)−1 , yang berarti 𝐴 mempunyai balikan di ℤ3 (5)−1 . Dengan demikian, ℤ3 (5)−1 merupakan ℤ-modul Dedekind. Selanjutnya, ℤ3 (5)−1 disebut ℤ-modul hasil bagi dari ℤ3 . KESIMPULAN Modul hasil bagi dari modul Dedekind adalah modul Dedekind dengan langkahlangkah pengkonstruksian modul hasil bagi sebagai berikut: Misalkan 𝑅 adalah suatu gelanggang komutatif dengan unsur satuan, 𝑆 adalah himpunan multiplikatif dari semua unsur reguler di 𝑅, 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul, dan 𝑇 = 𝑡 ∈ 𝑆 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑚 = 0 . Pada 𝑀 × 𝑇, didefinisikan suatu relasi ekivalen yaitu untuk sebarang (𝑚, 𝑠) dan (𝑚1 , 𝑠1 ) di 𝑀 × 𝑇, 𝑚, 𝑠 ~ 𝑚1 , 𝑠1 ⇔ 𝑚𝑠1 = 𝑠𝑚1 maka relasi ini merupakan relasi ekivalen.

Didefinisikan kelas ekivalen dari (𝑚, 𝑠), ditulis [𝑚, 𝑠], dengan 𝑚, 𝑠 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑀 × 𝑇 𝑚, 𝑠 ~(𝑎, 𝑏) Didefinisikan himpunan 𝑀𝑇 −1 = 𝑚, 𝑠 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑠 ∈ 𝑇 dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada 𝑀𝑇 −1 sebagai berikut. 𝑚, 𝑠 + 𝑚1 , 𝑠1 = 𝑚𝑠1 + 𝑠𝑚1 , 𝑠𝑠1 𝑟, 𝑡 𝑚, 𝑠 = [𝑟𝑚, 𝑡𝑠] Selanjutnya, himpunan 𝑀𝑇 −1 adalah suatu 𝑅𝑇 −1 -modul. Definisikan homomorfisma 𝑅-modul, 𝜑: 𝑀 → 𝑀𝑇 −1 dengan pengaitan 𝜑(𝑚) ↦ [𝑚𝑢, 𝑢] , ∀𝑚 ∈ 𝑀, −1 𝑀𝑇 dinamakan 𝑅-modul hasil bagi dari 𝑀 oleh 𝑇. Jika 𝑀 adalah R-modul Dedekind, maka 𝑀𝑇 −1 yang didefinisikan seperti di atas merupakan suatu 𝑅𝑇 −1 -modul Dedekind. Sebagai contoh, ℤ3 (5)−1 merupakan suatu ℤ-modul hasil bagi dari ℤ3 , dengan ℤ3 dan ℤ3 (5)−1 merupakan suatu ℤ-modul Dedekind. SARAN Pada artikel ini dikaji konstruksi pembahasan modul atas daerah Dedekind. Pembaca yang berminat dapat menyelidiki lebih lanjut penelitian ini, misalnya memperluas pembahasan pada semesta yang lebih umum, yaitu modul atas gelanggang. Selain itu, dari hasil ini juga dapat digunakan untuk menelaah lebih lanjut mengenai kaitan antara modul Dedekind dan modul Hereditery Noetherian Prime (HNP). DAFTAR RUJUKAN Adkins, W. A. dan Weintraub, S. H. 1999. Algebra:An Approach via Modul Theory. New York: Springer-Verlag. Arifin, A. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB. Dummit, D. S. and Foote, R. M. 2004. Abstract Algebra. New Jersey: Prentice. Gallian, J. A. 2010. Contemporary Abstract Algebra (Seventh Edition). United State of America: Heath and Company. Garminia, H., P. Astuti, and Irawati, 2008, Modul Hasil Bagi dari Modul Dedekind, Jurnal Matematika dan Sains,13: (4), 114-117. Gilbert, J. dan Gilbert, L., 2009. Elements of Modern Algebra (Seventh Edition). United State of America: Brooks/Cole. Goodearl, K. R., 1974, Localization and Splitting in Hereditary Noetherian Prime rings, Pasific J. Math., 55:(1), 137-151. Lam, T. Y. 1999. Lectures on Modules and Rings. New York: Springer-Verlag. Lam, T. Y. 2001. A First in Noncommutative Rings (Second Edition). New York: SpringerVerlag.

Lang, S., 2002, Algebra (Third Edition). New York: Springer-Verlag. Matsumura, H., 1986, Commutative Ring Theory. New York: Cambridge University Press. May, J.P. Notes on Dedekind Rings. (Online), 1-11, (http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/Dedekind.pdf), diakses 3 November 2012. Passman, D. S. 2004, A Course in Ring Theory, United State of America: AMS Chelsea Publishing. Roman, S. 2005. Graduate Text In Mathematics: Advance Linear Algebra. United State of America: Springer.

Artikel oleh Erlina Tri Susianti ini telah diperiksa dan disetujui pada tanggal 17 Mei 2013

Pembimbing

Dra. Santi Irawati, M.Si, Ph.D NIP 19650729 199103 2 002