Shodn´ a zobrazen´ı Otoˇ cen´ı Pˇ r´ıklad 1. Jsou d´any tˇri r˚ uzn´e soustˇredn´e kruˇznice a, b a c. Sestrojte rovnostrann´ y troj´ uheln´ık ABC tak, aby A leˇzel na a, B leˇzel na b a C leˇzel na c. ˇ sen´ı. Zvol´ıme vrchol A na a. Pro bod C pak plat´ı, ˇze je obrazem bodu B Reˇ v ot´aˇcen´ı se stˇredem v A o u ´hel 60◦ (nebo −60◦ ). Protoˇze obecnˇe obraz bodu X, kter´ y leˇz´ı na mnoˇzinˇe M , leˇz´ı na obrazu mnoˇziny M , bude bod C – obraz bodu B – leˇzet na na zobrazen´e mnoˇzinˇe b. Proto otoˇc´ıme kruˇznici b kolem stˇredu A o u ´hel 60◦ , nalezneme pr˚ useˇc´ıky t´eto otoˇcen´e kruˇznice s kruˇznic´ı c a tyto pr˚ useˇc´ıky jsou moˇzn´e vrcholy C. Vrcholy B pak nalezneme otoˇcen´ım zpˇet.
Pˇ r´ıklad 2. Je d´an bod A a dvˇe r˚ uzn´e soustˇredn´e kruˇznice b a c. Sestrojte ˇ sen´ı rovnostrann´ y troj´ uheln´ık ABC tak, aby B leˇzel na b a C leˇzel na c. Reˇ je zˇrejm´e – je to zvolen´ y bod A v pˇredchoz´ım ˇreˇsen´ı. 1
Pˇ r´ıklad 3. Je d´ana pˇr´ımka p a bod X. Na pˇr´ımce a je libovolnˇe d´an bod S. Uvaˇzujme bod Y – obraz bodu X v ot´aˇcen´ı se stˇredem v bodˇe S o u ´hel α. Dokaˇzte, ˇze mnoˇzina vˇsech bod˚ u Y je pˇr´ımka.
ˇ sen´ı. Na pˇr´ımce p jistˇe leˇz´ı bod S1 pro kter´ Reˇ y plat´ı, ˇze pˇr´ımka S1 X sv´ır´a s pˇr´ımkou p pr´avˇe u ´hel α. Zvolme tento bod S1 , obraz bodu X v otoˇcen´ı se stˇredem v S1 o u ´hel α oznaˇcme Y1 . Zvolme d´ale na p libovoln´ y bod S2 , obraz bodu X v otoˇcen´ı se stˇredem v S2 o u ´hel α oznaˇcme Y2 . Troj´ uheln´ıky XS1 Y1 a XS2 Y2 jsou oba rovnoramenn´e s vnitˇrn´ım u ´hlem pˇri hlavn´ım vrcholu rovn´ ym α. Proto jsou podobn´e. Z t´eto podobnosti vypl´ yv´a, ˇze a maj´ı shodn´e i vnitˇrn´ı u ´hly pˇri z´akladnˇe – oznaˇcme je β, proto jsou shodn´e i u ´hly <) S1 XS2 a <) Y1 XY2 . Z podobnosti troj´ uheln´ık˚ u XS1 Y1 a XS2 Y2 d´ale plyne rovnost pomˇer˚ u |XY1 | : |S1 X| = |XY2 | : |S2 X| (d´elka z´akladny k d´elce ramena), proto jsou podobn´e troj´ uheln´ıky S1 XS2 a Y1 XY2 podle vˇety sus o podobnosti troj´ uheln´ık˚ u. Odtud plyne, ˇze velikost u ´hlu <) XY1 Y2 se rovn´a velikosti u ´hlu <) XS1 S2 = α. Zvol´ıme-li na pˇr´ımce p dalˇs´ı bod S3 , stejn´ ym postupem uk´aˇzeme, ˇze i velikost u ´hlu <) XY1 Y3 se rovn´a α. Body Y1 , Y2 a Y3 tedy leˇz´ı na pˇr´ımce. D˚ ukaz je hotov. Podobnˇe bychom mohli postupovat, kdybychom zvolili bod S4 mimo pˇr´ımku p a chtˇeli uk´azat, ˇze mnoˇzina obraz˚ u bod˚ u X ve stˇredov´ ych soumˇernostech se stˇredy ve vˇsech bodech troj´ uheln´ıku S1 S2 S4 je troj´ uheln´ık Y1 Y2 Y4 s troj´ uheln´ıkem S1 S2 S4 podobn´ y. Vedli bychom pˇr´ımku m = S1 S4 a obdobnˇe uk´azali, ˇze mnoˇzina vˇsech obraz˚ u bod˚ u X ve stˇredov´ ych soumˇernostech se stˇredy na pˇr´ımce m je pˇr´ımka r, kter´a s m sv´ır´a u ´hel γ, stejn´ y u ´hel, jako sv´ır´a pˇr´ımka q s pˇr´ımkou p. Odchylka pˇr´ımek p a m, oznaˇcme ji δ, se tak mus´ı rovnat odchylce pˇr´ımek q a r (v obr´azku vid´ıme, ˇze γ +δ + = 180◦ , bod S1 je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek m a p, bod Y1 proto mus´ı b´ yt pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek q 2
a r). Odtud uˇz bezprostˇrednˇe vyplyne, ˇze troj´ uheln´ıky S1 S2 S4 a Y1 Y2 Y4 jsou podobn´e, protoˇze koeficient k podobnosti je pomˇer d´elek z´akladny a ramena rovnoramenn´eho troj´ uheln´ıku s vnitˇrn´ım u ´hlem pˇri hlavn´ım vrcholu o veliα kosti α, tedy k = 2 · sin 2 , nez´avis´ı tedy na volbˇe stˇredu ot´aˇcen´ı, tedy na volbˇe bodu S.
K ˇreˇsitelnosti u ´lohy:
´ Uloha m´a ˇreˇsen´ı (pro obecn´ yu ´hel α), kdyˇz bude bod A zvolen na u ´seˇcce A1 A2 . Na obr´azku jsou pak nakresleny krajn´ı polohy otoˇcen´ ych kruˇznic b, pro kter´e m´a u ´loha vˇzdy jedno ˇreˇsen´ı. Z podobnosti, kterou jsme odvodili 3
v pˇredchoz´ım d˚ ukaze plyne, ˇze troj´ uheln´ıky XA1 A2 a XL1 L2 jsou podobn´e, ´seˇcku A1 A2 najdeme koeficient podobnosti je k = 2·sin α2 . Geometricky tedy u tak, ˇze najdeme mezn´ı polohy kruˇznic b1 a b2 a sestroj´ıme troj´ uheln´ık XA1 A2 podobn´ y s troj´ uheln´ıkem XL1 L2 tak, aby z´akladna A1 A2 leˇzela na a. V´ ypoˇcet trigonometricky pomoc´ı t´eto podobnosti. V naˇsem konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe, kdy m´a u ´hel ot´aˇcen´ı velikost 60◦ , je podobnost shodnost´ı, proto A1 A2 = L1 L2 a vzd´alenost |aX| = |qX|. Konstrukce: Sestroj´ıme kruˇznice b1 a b2 , kter´e maj´ı stˇred na pˇr´ımce q a maj´ı s kruˇznic´ı ´ cku L1 L2 pˇreneseme na c vnˇejˇs´ı dotyk. Jejich stˇredy jsou body L1 a L2 . Useˇ pˇr´ımku a (z´ısk´ame hledanou u ´seˇcku A1 A2 ) tak, aby stˇred u ´seˇcky A1 A2 byl patou kolmice spuˇstˇen´e z bodu X na pˇr´ımku a.
Poznamenejme, ˇze pˇri ot´aˇcen´ı opaˇcn´ ym smˇerem bude situace identick´a, jen pˇr´ımka q bude leˇzet vlevo od kruˇznic b a c. Z´ısk´ame tut´eˇz u ´seˇcku A1 A2 . D´ale m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze pro nalezen´ı u ´seˇcky A1 A2 byla konstrukce pˇr´ımky q zbyteˇcn´a, bylo moˇzn´e nal´ezt body L1 a L2 pˇr´ımo na pˇr´ımce a – byly by to pˇr´ımo body A1 a A2 . D´elku u ´seˇcky A1 A2 urˇc´ıme jako dvojn´asobek d´elky u ´seˇcky P A2 , kterou vypoˇc´ıt´ame pomoc´ı Pythagorovy vˇety v pravo´ uhl´em troj´ uheln´ıku XP A2 . |XP | je dan´a d´elka ze zad´an´ı (urˇcuje um´ıstˇen´ı pˇr´ımky a vzhledem ke kruˇznic´ım b a c) a |XA2 | m´a d´elku rovnu souˇctu polomˇer˚ u kruˇznic b a c. Pˇ r´ıklad 4. Na stran´ach troj´ uheln´ıka ABC jsou vnˇe sestrojeny rovnostrann´e troj´ uheln´ıky A1 CB, B1 AC a AC1 B. Dokaˇzte, ˇze |AA1 | = |BB1 | = |CC1 |. ˇ sen´ı. Pˇri otoˇcen´ı se stˇredem C o u Reˇ ´hel 60◦ v z´aporn´em smyslu se bod A ´ cka AA1 se proto zobraz´ı na u zobraz´ı na bod B1 a bod A1 na bod B. Useˇ ´seˇcku B1 B. D´ale pˇri otoˇcen´ı se stˇredem A o u ´hlem 60◦ v z´aporn´em smyslu se bod 4
´ cka BB1 se tedy zobraz´ı pˇri B zobraz´ı na bod C1 a bod B1 na bod C. Useˇ tomto otoˇcen´ı na u ´seˇcku C1 C. Odsud jiˇz vypl´ yv´a, ˇze |AA1 | = |BB1 | = |CC1 |.
A1
C B1
B
A
C1
Stˇ redov´ a soumˇ ernost Pˇ r´ıklad 5. Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano ta , mb a mc , kde mb je mnoˇzina (podm´ınka) pro bod B a mc je mnoˇzina (podm´ınka) pro bod C. Moˇzn´ y postup ˇreˇsen´ı: Um´ıst´ıme tˇeˇznici ta (´ useˇcku ASa , Sa oznaˇc´ıme stˇred strany BC), d´ale sestroj´ıme mnoˇzinu mb a mnoˇzinu mc – podle podm´ınek u ´lohy. Protoˇze je Sa stˇred strany BC, je bod C obrazem bodu B ve stˇredov´e soumˇernosti se stˇredem pr´avˇe v Sa . Je zˇrejm´e, ˇze pokud bod X leˇz´ı na mnoˇzinˇe M , leˇz´ı jeho obraz v libovoln´em zobrazen´ı na obrazu mnoˇziny M v tomto zobrazen´ı. Proto leˇz´ı bod B – obraz bodu C na obrazu mnoˇziny mb v uvaˇzovan´e stˇredov´e soumˇernosti se stˇredem v bodˇe Sa . Sestroj´ıme tedy tento obraz mnoˇziny mb , nalezneme jeho spoleˇcn´e body s mnoˇzinou mc a tyto spoleˇcn´e body jsou body C – vrcholy troj´ uheln´ıku ABC. Odpov´ıdaj´ıc´ı
5
vrcholy pak najdeme snadno tak, ˇze pouˇzijeme Sa jako stˇred strany BC. ˇ sitelnost u Reˇ ´lohy z´avis´ı na poˇctu bod˚ u C. Pˇ r´ıklad 6. Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano • ta , tb a tc . mb je pak kruˇznice k(T, 32 tb ), mc je pak kruˇznice l(T, 23 tc ). • ta , tb a γ. mb je pak kruˇznice k(T, 23 tb ), mc je mnoˇzina vˇsech bod˚ u X, ze kter´ ych je vidˇet u ´seˇcku ASa pod u ´hlem γ – oblouk. • ta , β a γ. mb je pak mnoˇzina vˇsech bod˚ u X, ze kter´ ych je vidˇet u ´seˇcku ASa pod u ´hlem β – oblouk, mc je mnoˇzina vˇsech bod˚ u Y , ze kter´ ych je vidˇet u ´seˇcku ASa pod u ´hlem γ – druh´ y oblouk. • ta , tb a vb . mb je pak kruˇznice k(T, 32 tb ), mc je teˇcna ke kruˇznici l(Sa , 12 vb ) veden´a bodem A – bod Sa m´a od strany b poloviˇcn´ı vzd´alenost neˇz bod B. • ta , β a vb . mb je pak mnoˇzina vˇsech bod˚ u X, ze kter´ ych je vidˇet u ´seˇcku 1 ASa pod u ´hlem β – oblouk, mc je teˇcna ke kruˇznici l(Sa , 2 vb ) veden´a bodem A – bod Sa m´a od strany b poloviˇcn´ı vzd´alenost neˇz bod B. • ta , vb a vc . mb je teˇcna ke kruˇznici k(Sa , 21 vb ) veden´a bodem A – bod Sa m´a od strany b poloviˇcn´ı vzd´alenost neˇz bod B, mc je teˇcna ke kruˇznici l(Sa , 12 vc ) veden´a bodem A – bod Sa m´a od strany c poloviˇcn´ı vzd´alenost neˇz bod C. Pˇ r´ıklad 7. Sestrojte rovnobˇeˇzn´ık ABCD, je-li d´ano |ASb | (Sb je stˇred BC), va (v´ yˇska na u ´seˇcku AB), |AC|. ˇ sen´ı. Zde sestroj´ıme nejdˇr´ıve troj´ Reˇ uheln´ık ABC, kde vych´az´ıme z jeho tˇeˇznice“ ASb , jedna z mnoˇzin je pak teˇcna ke kruˇznici k(Sb , 21 va ) veden´a ” bodem A – bod Sb m´a od strany AB poloviˇcn´ı vzd´alenost neˇz bod C, druh´a z mnoˇzin je pak kruˇznice l(A, |AC|). Vrchol D najdeme pomoc´ı rovnobˇeˇznosti. Pˇ r´ıklad 8. Sestrojte lichobˇeˇzn´ık ABCD, AB k CD, je-li d´ano |CSa | (Sa je stˇred AB), velikost ostr´eho u ´hlu <) CAB, β a δ. ˇ sen´ı. Nejdˇr´ıve setroj´ıme troj´ Reˇ uheln´ık ABC, kde zn´ame tˇeˇznici a dva vnitˇrn´ı u ´hly – zaˇcneme tˇeˇznic´ı, mnoˇziny, jejichˇz spoleˇcn´e body po zobrazen´ı budeme hledat jsou oblouky urˇcen´e vnitˇrn´ımi u ´hly β a <) CAB, vrchol D pak snadno najdeme pomoc´ı rovnobˇeˇzky s AB veden´e bodem C a napˇr. pomoc´ı polopˇr´ımky veden´e bodem A, kter´a s AB sv´ır´a u ´hel 180◦ − δ. 6
Pˇ r´ıklad 9. Sestrojte ˇctyˇru ´heln´ık ABCD, je-li d´ano |ASb | (Sb je stˇred BC), |ASc | (Sc je stˇred CD), β, δ a velikost u ´hlu = <) Sb ASc . ˇ sen´ı. Nejdˇr´ıve sestroj´ıme troj´ Reˇ uheln´ık Sb ASc podle vˇety sus. Vrchol D leˇz´ı na mnoˇzinˇe M vˇsech bod˚ u X, ze kter´ ych je u ´seˇcka ASc vidˇet pod u ´hlem δ (oblouk), vrchol B leˇz´ı na mnoˇzinˇe N vˇsech bod˚ u Y , ze kter´ ych je u ´seˇcka ASb vidˇet pod u ´hlem β (oblouk). Vrchol C pak leˇz´ı na zobrazen´e mnoˇzinˇe M ve stˇredov´e soumˇernosti se stˇredem Sc a na zobrazen´e mnoˇzinˇe N ve stˇredov´e soumˇernosti se stˇredem Sb (tedy v pr˚ uniku tˇechto obraz˚ u). Vrcholy B a D pak snadno najdeme pomoc´ı polopˇr´ımek CSb a CSc . Konstrukce je na obr´azku.
Na obr´azku je sestrojeno pouze jedno ze ˇctyˇr ˇreˇsen´ı. Je tˇreba vykreslit obˇe dvojice oblouk˚ u, zobrazen´e dvojice oblouk˚ u pak budou m´ıt aˇz ˇctyˇri spoleˇcn´e body. Pˇ r´ıklad 10. Jsou d´any dvˇe soustˇredn´e kruˇznice k1 a k2 . Sestrojte pˇr´ımku l, na kter´e tyto kruˇznice vyt´ınaj´ı tˇri shodn´e u ´seˇcky.
7
ˇ sen´ı. Oznaˇcme r1 polomˇer kruˇznice k1 a r2 polomˇer kruˇznice k2 . Necht’ je Reˇ pro jednoznaˇcnost r1 < r2 . Zvol´ıme na kruˇznici k1 libovoln´ y bod X. Bud’ k 0 1 obraz kruˇznice k1 pˇri symetrii se stˇredem X a Y pr˚ useˇc´ık kruˇznic k 0 1 a k2 . Uk´aˇzeme, ˇze XY je hledan´a pˇr´ımka l. Oznaˇcme P 6= X pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky XY s kruˇznic´ı k1 , Q 6= Y pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky XY s kruˇznic´ı k2 a O stˇred u ´seˇcky Y Q, a tedy i u ´seˇcky XP (tedy |Y O| = |QO| ∧ |P O| = |XO|). Bod Y je symetrick´ y s bodem P podle stˇredu X (tedy |XY | = |XP |). Odsud dost´av´ame, ˇze |QO| − |P O| = |Y O| − |XO|, to znamen´a, ˇze |XY | = |QP |, a tedy |Y X| = |XP | = |P Q|.
l
Y
X
S
S′
O k1 P
k1′
k2 Q
Osov´ a soumˇ ernost Pˇ r´ıklad 11. Jsou d´any tˇri pˇr´ımky l1 , l2 a l3 , kter´e se prot´ınaj´ı v jednom bodˇe, a bod A1 leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce l1 . Sestrojte troj´ uheln´ık ABC tak, aby bod A1 byl stˇredem jeho strany BC a pˇr´ımky l1 , l2 a l3 byly osami jeho stran. ˇ sen´ı. Bodem A1 ved’me pˇr´ımku p, kter´a je na l1 kolm´a. Bud’ p2 pˇr´ımka, Reˇ kter´a je osovˇe soumˇern´a s pˇr´ımkou p podle pˇr´ımky l2 .Bud’ p3 pˇr´ımka, kter´a je osovˇe soumˇern´a s pˇr´ımkou p podle pˇr´ımky l3 . Vrchol A hledan´eho troj´ uheln´ıka ABC je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek p2 a p3 . Body B a C pak leˇz´ı na pˇr´ımce p, pˇriˇcemˇz 8
B je osovˇe soumˇern´ y s bodem A podle pˇr´ımky l2 a bod C je osovˇe soumˇern´ y s bodem A podle pˇr´ımky l3 .
p
p3
C l2 l1
A1
l3
A B p2 Pˇ r´ıklad 12. Je d´ana pˇr´ımka M N a dva body A a B leˇz´ıc´ı v jedn´e polorovinˇe vzhledem k M N . Sestrojte na pˇr´ımce M N bod X tak, aby |<) AXM | = 2|<) BXN |. ˇ sen´ı. Pˇredpokl´adejme, ˇze je bod X sestrojen. Bud’ B 0 bod, kter´ Reˇ y je osovˇe soumˇern´ y s bodem B podle pˇr´ımky M N . Kruˇznice se stˇredem B 0 a polomˇerem |AB 0 | prot´ın´a pˇr´ımku M N v bodˇe A0 . Bud’ O stˇred u ´seˇcky AA0 . Pˇr´ımka B 0 O je tedy osou u ´hlu <) AB 0 A0 . Potom ale i B 0 X mus´ı b´ yt osou 1 0 0 0 ’ u ´hlu <) AB A , nebot plat´ı 2 |<) AXM | = |<) M XO| = |<) B XN | = |<) BXN |. Odsud pˇr´ımo plyne rovnost |<) AXM | = 2|<) BXN |. Bod X tedy nalezneme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek B 0 O a M N , kde O je stˇred 0 u ´seˇcky AA . B′
k
N
M X A′
O
A
B
9
