´ˇ ˇedn´ı ˇ Vyˇ sˇ s´ı odborna skola, Str skola, ´ pr ˇ´ıpravy Centrum odborne ´ ´ı Sezimovo Ust
Pˇ redn´ aˇ sky a pˇ r´ıklady k pˇ redmˇ et˚ um ˇ na VOS
Jirka Roubal
Posledn´ı aktualizace: 16. bˇrezna 2012
Autor:
Jirka Roubal
Pokud v tomto textu naleznete nˇejakou chybu, napˇr´ıklad ve v´ ysledc´ıch u ´loh nebo i sebemenˇs´ı pˇreklep, budu r´ad, kdyˇz mi o t´eto chybˇe nap´ıˇsete, napˇr´ıklad na roubal@copsu.cz. Dˇekuji!!!
Pˇ redmluva V tomto textu naleznete materi´aly k pˇredn´aˇsk´am kurz˚ u Line´ arn´ı algebra a Matematick´a um kurzu Informaˇcn´ı technologie 1 pro Vyˇsˇs´ı odbornou anal´yza a materi´aly k semin´aˇr˚ ´ ı. C´ılem tˇechto kurz˚ ˇskolu v Sezimovˇe Ust´ u nen´ı nauˇcit studenta vysokoˇskolskou“ ma” tematiku n´ ybrˇz nauˇcit ho tvoˇ rit si vlastn´ı pozn´ amky, orientovat se a uˇ cit se ze sv´ ych pozn´ amek a v´est ho k systematick´ emu a analytick´ emu postupov´ an´ı pˇ ri ˇ reˇ sen´ı probl´ em˚ u, coˇz je pro technika z´asadn´ı a nezbytn´a dovednost. Tˇemto dovednostem odpov´ıd´a klasifikaˇcn´ı stupeˇ n dobˇre (3). Pokud se bude student tˇemto kurz˚ um vˇenovat hloubˇeji (na u ´rovni klasifikaˇcn´ıho stupnˇe lepˇs´ı velmi dobˇre (2) ˇci dokonce v´ybornˇe (1)), mohou b´ yt tyto kurzy dobrou pˇr´ıpravou pro pˇr´ıpadn´e navazuj´ıc´ı vysokoˇskolsk´e studium. Nepˇredpokl´ad´a se, ˇze by tento materi´al slouˇzil student˚ um pro samostudium, nebot’ texty jsou zde psan´e velmi struˇcnˇe matematickou symbolikou. V materi´alu je pouze pˇredtiˇstˇen´ y text s definicemi, vˇetami, pouˇckami a zad´an´ımi pˇr´ıklad˚ u, aby je student nemusel zdlouhavˇe opisovat na pˇredn´aˇsk´ach z tabule. Tento ˇcas mnohem efektivnˇeji vyuˇzijeme k vysvˇetlen´ı a pochopen´ı dan´e l´atky. Nenechte se odradit matematickou symbolikou, kter´a je zde hojnˇe pouˇz´ıv´ana. Nauˇc´ıme se ji ˇc´ıst (sami zjist´ıte, ˇze to nen´ı tak n´aroˇcn´e) a kaˇzdou definici a kaˇzdou vˇetu si vysvˇetl´ıme a uk´aˇzeme si jej´ı vyuˇzit´ı na jednoduch´em pˇr´ıkladˇe. Tak se nauˇc´ıme systematicky postupovat, coˇz je v matematice z´aklad a v technick´ ych oborech nutnost. Vy si pak m˚ uˇzete sv´e pozn´amky zapsat do vynechan´eho voln´eho m´ısta v tomto materi´alu. V´ ysledek Vaˇseho studia bude tedy plnˇe ve Vaˇsich rukou. J´a V´am k u ´spˇechu pomohu, jak nejl´epe um´ım! Hned na zaˇc´atku ale ˇr´ık´am, ˇze bez Vaˇs´ı pr´ace to nep˚ ujde. Pˇreˇctˇete si nˇeco o spolupr´ aci uˇcitele a studenta v (Roubal, J. et al., 2011, Pˇredmluva). Kaˇzd´a kapitola tˇechto materi´al˚ u je ukonˇcena sadou neˇreˇsen´ ych u ´loh, kter´e budeme poˇc´ıtat na cviˇcen´ıch a kter´e m˚ uˇzete vyuˇz´ıt k pr˚ ubˇeˇzn´e pˇr´ıpravˇe pˇri samostudiu. Na konci tˇechto materi´al˚ u naleznete jejich ˇreˇsen´ı. Na ˇreˇsen´ı se pod´ıvejte aˇz pot´e, co dan´y pˇr´ıklad sami vyˇreˇs´ıte. Jinak to postr´ad´a smysl. Pˇredem vidˇen´e ˇreˇsen´ı by V´as dopˇredu ovlivnilo. Mˇeli byste pocit, ˇze jste pˇr´ıklad samostatnˇe vyˇreˇsili a nebyla by to pravda. i
Proˇ c se vzdˇ el´ avat v oblasti matematiky? 1. Jako technici budete muset umˇet ˇreˇsit probl´emy (= myslet). Svou pr´aci neokec´ate“ ” jako napˇr´ıklad pr´avn´ıci, u ´ˇredn´ıci, politici apod. V´aˇs v´ ytvor“ bud’ bude fungovat, ” nebo nebude. Bud’ dostanete zaplaceno, nebo nedostanete. Matematika je ide´aln´ı discipl´ınou k rozvoji analytick´eho myˇslen´ı. 2. Myslet budete potˇrebovat i v soukrom´em ˇzivotˇe nebo si m˚ uˇzete zaplatit nˇekoho, kdo to bude dˇelat zadarmo“ za V´as. ” 3. V praxi budete s velkou pravdˇepodobnost´ı pracovat s poˇc´ıtaˇci. I kdyˇz si to tˇreba mysl´ıte, tak oni za V´as nemysl´ı a myslet nebudou. Pˇrestoˇze je v´ yrobci ˇcasto naz´ yvaj´ı inteligentn´ı, jsou to jen stroje! Kdyˇz budete umˇet myslet, mohou V´am v pr´aci hodnˇe pomoci a naopak. 4. Ve vyˇsˇs´ıch roˇcn´ıc´ıch se budeme zab´ yvat n´avrhem ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u. Kdyˇz ty jsou dobˇre navrˇzen´e, tak vydˇel´avaj´ı pen´ıze, ˇsetˇr´ı ˇzivotn´ı prostˇred´ı a tak d´ale. Tyto algoritmy nejsou nic jin´eho neˇz aplikovan´a matematika v praxi. Vsad´ım se, ˇze V´as to bude bavit, ale k tomu budete muset umˇet myslet a umˇet pouˇz´ıvat pojmy z line´arn´ı algebry a matematick´e anal´ yzy alespoˇ n v rozsahu tohoto textu. To znamen´a, ˇze budete muset hodnˇe pracovat. 5. Jestliˇze V´as nic neoslovilo, tak alespoˇ n abyste udˇelali zkouˇsky z tˇechto kurz˚ u.
Jak studovat? Pˇredpokl´adejme, ˇze m´ate z´ajem se vzdˇel´ avat, ale nejde V´am to. D´ıv´ate se do uˇcebn´ıch materi´al˚ u a pˇripad´ate si jako Alenka v ˇr´ıˇsi div˚ u“? M´ate pocit, ˇze je toto nad r´amec ” Vaˇsich moˇznost´ı? Nesmysl, kdyby to bylo tak tˇeˇzk´e, nemohl bych to uˇcit j´a:-). Trocha pedagogick´ e teorie Pokud se chcete dobˇre vzdˇel´avat, je tˇreba dodrˇzet spr´avn´e postupy (dosahovat postupnˇe jednotliv´ ych pozn´avac´ıch c´ıl˚ u). Pozn´avac´ı c´ıle podle B. S. Blooma se skl´adaj´ı z n´asleduj´ıc´ıch stupˇ n˚ u (v kontextu naˇsich pˇredmˇet˚ u): 1. Znalost – zn´at pojmy, definice, vˇety, matematick´e znaˇcky, pouˇcky, metody, postupy 2. Pozorumˇ en´ı – vysvˇetlit definice/vˇety vlastn´ımi slovy, uv´est pˇr´ıklad, zd˚ uvodnit ii
3. Aplikace – spr´avnˇe pouˇz´ıt nauˇcen´e poznatky ke splnˇen´ı u ´kolu (vypoˇc´ıtat jednoduch´ y a stˇrednˇe sloˇzit´ y pˇr´ıklad) 4. Anal´ yza – hlubˇs´ı objasnˇen´ı fakt˚ u, analytick´e myˇslen´ı (vypoˇc´ıtat sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıklad, odvodit pouˇcku na z´akladˇe doposud nauˇcen´ ych vˇedomost´ı) 5. Synt´ eza – systematick´ y postup ˇreˇsen´ı probl´emu (n´avrh matematicko fyzik´aln´ıho modelu syst´emu, n´avrh regul´atoru) 6. Hodnot´ıc´ı posouzen´ı – posouzen´ı pˇresnosti, efektivnosti (vhodnost pouˇzit´ı metody pro dan´ y probl´em) Pro dosaˇzen´ı vyˇsˇs´ıho c´ılov´eho stupnˇe pozn´an´ı je tˇreba zvl´adnout uˇcivo v r´amci niˇzˇs´ıch stupn˚ u. To znamen´a, ˇze nepochop´ıte danou l´atku, dokud nez´ısk´ate potˇrebn´e znalosti (nenauˇc´ıte se z´akladn´ı pojmy), ˇze nedovedete aplikovat dan´e znalosti, dokud jim neporozum´ıte a tak d´ale. Nem´a tedy smysl se snaˇzit nˇeˇcemu porozumˇet, dokud se nenauˇc´ıte z´akladn´ı pojmy a tak d´ale. Pamatujte: Vid´ım a zapom´ın´ am, p´ıˇ si a pamatuji si, pracuji a rozv´ıj´ım se. Nˇ ekolik skromn´ ych rad 1. Dˇelejte si kvalitn´ı (barevn´e) pozn´ amky. Pravda, to je to nejtˇeˇzˇs´ı:-(. 2. D´ avejte pozor na hodin´ ach, soustˇred’te se na l´atku, komunikujte s uˇcitelem. 3. Pˇripravujte se pravidelnˇe po kratˇs´ıch intervalech. 4. Prostudujte si sv´e pozn´ amky a dˇelejte si jejich korekturu v den, kdy probˇehla hodina. Druh´ y den uˇz nebudete vˇedˇet, co jste si to do seˇsitu psali (za prvn´ıch 24 hodin se zapomene nejv´ıce informac´ı). 5. St´ale si opakujte: Nem˚ uˇze to b´yt tak tˇeˇzk´e. Jen na to zrovna nemohu pˇrij´ıt.“ ” Pokud pracujete na klasifikaˇcn´ı stupeˇ n dobˇre (3), nenechte se zbyteˇcnˇe otr´avit“ ” sloˇzitˇejˇs´ımi u ´lohami – nejsou urˇceny pro v´as. 6. Pˇreˇctˇete si pozornˇe pˇr´ıklad (vˇcetnˇe zad´an´ı), kter´ y jsme ˇreˇsili jako v´ ykladov´ y na pˇredn´aˇsce (kdyˇz u nˇeho m´ate pozn´amky, p˚ ujde to l´epe). Pak zavˇrete sv´e pˇredn´aˇsky iii
a zkuste si ho vyˇreˇsit sami. Pokud se zaseknete, pod´ıvejte se do pˇredn´aˇsek. Pak ho opˇet zkuste vyˇreˇsit sami. Toto opakujte dokud ho nezvl´adnete sami cel´ y. Pokud to nejde, je potˇreba ps´at si kvalitnˇejˇs´ı pozn´amky. 7. Pokud jste proˇsli pˇredchoz´ım krokem, ˇreˇste jin´ y podobn´ y pˇr´ıklad (z konce kapitol) a pokuste se postupovat stejnˇe jako ve v´ ykladov´em pˇr´ıkladu. Pokud se zaseknete, vrat’te se k v´ ykladov´emu pˇr´ıkladu a pokuste se pokraˇcovat d´al. Tento bod opakujte tak dlouho, dokud nevyˇreˇs´ıte kaˇzd´ y“ podobn´ y pˇr´ıklad samostatnˇe. ” 8. Diskutujte o l´atce se sv´ymi kolegy, ptejte se uˇcitele, uˇcte se ve skupin´ach. 9. Pokud nˇeˇcemu neporozum´ıte, pˇrijd’te na konzultaci a pˇrijd’te hned , pokud to odloˇz´ıte, budou se V´am probl´emy kupit (v matematice a technick´ ych vˇed´ach souvis´ı vˇsechno se vˇs´ım). 10. Pokuste se hloubˇeji porozumˇet definic´ım a vˇet´am. 11. Pokuste se o sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıklady (ty, kde je nutn´e kombinovat v´ıce vˇet a pravidel). 12. M´a zkuˇsenost ˇr´ık´a: Kdo pracuje je nakonec u ´spˇeˇsn´ y.“ To je, poˇca´teˇcn´ı talent nen´ı ” tak rozhoduj´ıc´ı.
Matematika a technika 6= talent, ale = pr´ ace, p´ıle, dˇ rina, soustavnost. To znamen´a, ˇze je irelevantn´ı vymlouvat se na nedostatek talentu. 13. NEVZDEJTE TO!!! Pˇreji V´am, abyste poznali kr´asu pozn´an´ı a proˇzili u ´spˇech at’ uˇz jakkoli velk´ y ˇci mal´ y plynouc´ı z Vaˇseho myˇslen´ı.
autor iv
Pov´ıd´ a jeden: Hal´o, pane. V´aˇs pes t´amhle hon´ı nˇejak´yho ” ˇclovˇeka na kole.“ Ten ˇr´ık´ a : Hmm, tak to n´aˇs pes nebude, ten v˚ ubec na ” kole jezdit neum´ı.“ Felix Holzmann
v
Obsah Pˇ redmluva
i
Seznam pouˇ zit´ ych symbol˚ u
I
xiii
Line´ arn´ı algebra
1
1 Matematick´ a logika
3
1.1
Logick´a v´ ystavba matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
V´ yrokov´a logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
1.4
1.2.1
Pravdivostn´ı ohodnocen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.2
Carnaughovy mapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.3 Negace v´ yrok˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3.1
Logick´a v´ ystavba matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3.2
V´ yrokov´a logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4.1
Jak se vyhnout testu z t´eto kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4.2
Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4.3
Ot´azky na rozmyˇslenou pro jedniˇck´aˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”
30
2 Vektorov´ a a maticov´ a algebra
23
33
2.1
Aritmetick´e vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.2
Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3
Maticov´a algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ı soustav line´arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Reˇ ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.4.1
62
2.4
Aritmetick´e vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
59 62
2.5
2.4.2
Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.4.3
Maticov´a algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.5.1
Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.5.2
Ot´azky na rozmyˇslenou pro jedniˇck´aˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”
67
3 Maticov´ y poˇ cet 3.1 3.2 3.3
3.4
3.5
73
Determinant matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ı soustav line´arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Reˇ
74
Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ı soustav line´arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Reˇ
86
Soustavy line´arn´ıch rovnic – pˇrehled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.3.1
Homogenn´ı soustavy line´arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.3.2
Nehomogenn´ı soustavy line´arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . .
98
3.3.3 Soustavy line´arn´ıch rovnic s parametrem . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
3.4.1
Determinant matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
3.4.2
Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
3.4.3
Soustavy rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.5.1
Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.5.2
Ot´azky na rozmyˇslenou pro jedniˇck´aˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”
109
4 Line´ arn´ı vektorov´ y prostor
85 92
105
113
4.1
B´aze line´arn´ıho prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
4.2
Line´arn´ı zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
4.3.1
B´aze line´arn´ıho prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
4.3.2
Line´arn´ı zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
4.4.1
Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
4.4.2
Ot´azky na rozmyˇslenou pro jedniˇck´aˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”
138
4.3
4.4
5 Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matic
131
143
5.1
Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
5.2
Nulov´ y prostor a obor hodnot matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
viii
5.3
´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
5.4
Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
5.4.1
Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
5.4.2
Ot´azky na rozmyˇslenou pro jedniˇck´aˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”
154
6 Vybran´ e kapitoly z line´ arn´ı algebry 6.1
Podobnost matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
6.2
Funkce matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
6.3
Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
6.4
II
159
Matematick´ a anal´ yza
168
175
7 Funkce, mnoˇ ziny, intervaly
177
7.1
Mnoˇziny a intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
7.2
Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182 187
7.3
7.2.1 Grafy element´arn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 7.3.1 Ulohy na tv˚ urˇc´ı myˇslen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
7.4.1
193
7.4
Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Spojitost a limita funkce
190 192
195
8.1
Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
8.2
Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199 204
8.3
8.2.1 Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych v intervalu . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4
Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
8.4.1
207
Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Derivace funkce 9.1
205
209 210
9.2
Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3
Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
9.3.1
220
Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
217
10 Aproximace funkce a v´ yznam derivace
223
10.1 V´ yznam derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
10.1.1 Smˇernice teˇcny v bodˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
10.1.2 Rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
10.1.3 Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych v intervalu . . . . . . . . . . . . . . .
228
10.2 Aproximace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
10.2.1 Linearizace dynamick´ ych syst´em˚ u 1. ˇra´du . . . . . . . . . . . . . ´ 10.3 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
10.4 Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239
10.4.1 Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239
11 Anal´ yza funkce pomoc´ı derivace
236
243
11.1 Extr´emy funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
11.2 Pr˚ ubˇeh funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
11.2.1 Anal´ yza funkce – shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 11.3 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
11.4 Ot´azky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
11.4.1 Nutn´e znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
12 Neurˇ cit´ y integr´ al
256
263
12.1 Primitivn´ı funkce a neurˇcit´ y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 12.2 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Urˇ cit´ y integr´ al a jeho aplikace
264 269 273
13.1 Urˇcit´ y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
13.1.1 Plocha pod kˇrivkou funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
13.1.2 D´elka kˇrivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 13.2 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
14 Numerick´ e metody integrov´ an´ı a derivov´ an´ı
280 285
14.1 Numerick´e integrov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286
14.1.1 Obd´eln´ıkov´e metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286
14.1.2 Lichobˇeˇzn´ıkov´a metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
14.2 Numerick´e derivov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
14.2.1 Aproximace pomoc´ı diference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 14.3 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
x
292
´ 15 Uvod k diferenci´ aln´ım rovnic´ım
297
15.1 Odvozen´ı diferenci´aln´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
Informaˇ cn´ı technologie
298
303
16 MatLab/SimuLink
305
16.1 Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
16.2 Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
16.3 Ot´azky k z´apoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
16.3.1 Semestr´aln´ı pr´ace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
16.3.2 Nutn´e znalosti k z´apoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
16.3.3 Ot´azky na rozmyˇslenou pro jedniˇck´aˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”
314
17 Algoritmizace 17.1 Jednoduch´e algoritmy
319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320
17.2 Anal´ yza v´ yvojov´ ych diagram˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
17.3 Funkce v Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
327
17.4 Dalˇs´ı algoritmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
328
17.5 Ot´azky k z´apoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
17.5.1 Semestr´aln´ı pr´ace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
17.5.2 Nutn´e znalosti k z´apoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
17.5.3 Ot´azky na rozmyˇslenou pro jedniˇck´aˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”
331
ˇ ızen´ı a regulace R´
335
18 Modelov´ an´ı a ˇ r´ızen´ı syst´ em˚ u
337
IV
18.1 Modelov´an´ı syst´em˚ u – z´apoˇcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura
337 340
V´ ysledky neˇ reˇ sen´ ych u ´ loh
I
Rejstˇ r´ık
IX
xi
xii
Seznam pouˇ zit´ ych symbol˚ u Mnoˇ ziny, intervaly Symbol
ˇ Cteme
{ }, ∅
pr´azdn´a mnoˇzina (nepl´est s nulou)
a∈A
prvek a n´aleˇz´ı mnoˇzinˇe A
a∈ /A
prvek a nen´aleˇz´ı mnoˇzinˇe A
A = {x, y}
mnoˇzina prvk˚ u x, y (x ∈ A, y ∈ A)
A=B∩C
mnoˇzina A je rovna pr˚ uniku mnoˇzin B, C
A=B∪C
mnoˇzina A je rovna sjednocen´ı mnoˇzin B, C
A⊂B
mnoˇzina A je podmnoˇzina mnoˇziny B
C
mnoˇzina komplexn´ıch ˇc´ısel
I = h0; 6i
uzavˇren´ y interval od 0 do 6 (0 ∈ I ∧ 6 ∈ I)
I = (0; 6)
otevˇren´ y interval od 0 do 6 (0 ∈ /I ∧6∈ / I)
I = h0; 6)
zleva uzavˇren´ y zprava otevˇren´ y interval od 0 do 6 (0 ∈ I ∧ 6 ∈ / I)
I = (0; 6i
zleva otevˇren´ y zprava uzavˇren´ y interval od 0 do 6 (0 ∈ / I ∧ 6 ∈ I)
I = h0; ∞)
zleva uzavˇren´ y interval od 0 do ∞
I = (−∞; 6i
zprava uzavˇren´ y interval od −∞ do 6
L
line´arn´ı prosotr
N = N0 \{0}
mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel (bez nuly)
N0 = N ∪ {0}
mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel s nulou
Q
mnoˇzina racion´aln´ıch ˇc´ısel
R
mnoˇzina re´aln´ ych ˇc´ısel
R+
mnoˇzina kladn´ ych re´aln´ ych ˇc´ısel
−
R
mnoˇzina z´aporn´ ych re´aln´ ych ˇc´ısel
R+ 0
mnoˇzina nez´aporn´ ych re´aln´ ych ˇc´ısel
R− 0
mnoˇzina nekladn´ ych re´aln´ ych ˇc´ısel
Z
mnoˇzina cel´ ych ˇc´ısel xiii
Logick´ e (v´ yrokov´ e) znaˇ cky Symbol
ˇ Cteme
∃
existuje
∀
pro vˇsechna; kaˇzd´ y
¬
negace
∧
a souˇcasnˇe
∨
nebo
⇔
pr´avˇe tehdy kdyˇz; tehdy a jen tehdy
⇒
jestliˇze ... pak ...
≡
ekvivalentn´ı; totoˇzn´ y
|=
s´emantick´ y d˚ usledek; konsekvent
Algebraick´ e symboly Symbol
ˇ Cteme
=
rovn´a se
6= . =
nerovn´a se
≈
pˇribliˇznˇe se rovn´a; aproximace
a, α
skal´ar, nˇejak´e ˇc´ıslo (konstanta)
a
vektor, sloupcov´ y vektor
a ∈ Rn , a ∈ Cn
n-rozmˇern´ y re´aln´ y/komplexn´ı (sloupcov´ y) vektor
A
matice
A ∈ Rm×n
re´aln´a matice s m ˇra´dky a n sloupci; re´aln´a matice rozmˇeru m × n
A ∈ Cm×n
komplexn´ı matice s m ˇra´dky a n sloupci
n×n
ˇctvercov´a matice s n ˇr´adky (a n sloupci)
po zaokrouhlen´ı se rovn´a
A∈R A
T
transponovan´a matice k matici A
A−1
inverzn´ı matice k matici A
D
diagon´aln´ı matice
det (A)
determinant matice A
hod (A)
hodnost matice A
I
jednotkov´a matice
j
komplexn´ı (imagin´arn´ı) jednotka
O
nulov´a matice
Re{c}, Im{c}
re´aln´a a imagin´arn´ı ˇc´ast komplexn´ıho ˇc´ısla c
λ, v
vlastn´ı vektor matice a vlastn´ı ˇc´ıslo matice xiv
Symboly z anal´ yzy f (x)
funkce; skal´arn´ı funkce f skal´arn´ı promˇenn´e x
f (x0 ), f (x = x0 )
hodnota funkce v bodˇe x0
f (x)
skal´arn´ı funkce f vektorov´e promˇenn´e x
f (x)
vektorov´a funkce f skal´arn´ı promˇenn´e x
f (x)
vektorov´a funkce f vektorov´e promˇenn´e x
df (t) ˙ , f (t) dt
derivace funkce f podle ˇcasu t
df (x) , f 0 (x) dx
derivace funkce f podle promˇenn´e x
F (x)
primitivn´ı funkce k f (x)
R
Rb
df (x) dx
neurˇcit´ y integr´al funkce f podle promˇenn´e x
df (x) dx
(urˇcit´ y) integr´al funkce f podle promˇenn´e x od a do b
a
ˇ Reck´ a abecena A, α
alfa
I, ι
i´ota
P, ρ, %
r´o
B, β
beta
K, κ
kapa
Σ, σ
sigma
Γ, γ
gama
Λ, λ
lambda
T, τ
tau
∆, δ
delta
M, µ
m´ y
Υ, υ
ypsilon
E, ε
epsilon
N, ν
n´ y
Φ, ϕ
f´ı
Z, ζ
dz´eta
Ξ, ξ
ks´ı
X, χ
ch´ı
H, η
´eta
O, o
omikron
Ψ, ψ
ps´ı
Θ, θ
th´eta
Π, π
p´ı
Ω, ω
omega
Jak se tyto symboly ˇctou v ciz´ıch jazyc´ıch si m˚ uˇzete pˇreˇc´ıst na (Roubal, J., 2010, Matematika v ciz´ıch jazyc´ıch).
xv
ˇ ast I C´ Line´ arn´ı algebra
1
Kapitola 1 Matematick´ a logika Prvn´ı parti´ı, kterou se budeme v tomto kurzu zab´ yvat, je matematick´a logika. Nejprve uved’me na pravou m´ıru to, ˇze
¬a ⇒ ( b ∧ c )
matematick´a logika nen´ı souˇca´st´ı line´arn´ı algebry. Nicm´enˇe alespoˇ n z´aklady t´eto matematick´e discipl´ıny jsou pro technicky vzdˇelan´eho ˇclovˇeka celkem d˚ uleˇzit´e, moˇzn´a zaj´ımav´e a urˇcitˇe ne moc obt´ıˇzn´e. To znamen´a, ˇze tuto kapitolu vyuˇzijeme jako pozvoln´ y start do vyˇsˇs´ı matematiky, coˇz jistˇe ocen´ıte, nebot’ jste se s logikou uˇz setkali na stˇredn´ı ˇskole. My se na ni zde pod´ıv´ame malinko preciznˇeji“ a vyuˇzijeme ji k zaveden´ı nˇekolika form´aln´ıch ” matematick´ ych znaˇcek, kter´e budeme d´ale vyuˇz´ıvat. V t´eto kapitole se nejprve zamˇeˇr´ıme na tak zvanou logickou v´ystavbou matematiky. Uk´aˇzeme si, jak se matematika form´alnˇe vytv´aˇr´ı. Vysvˇetl´ıme si, co jsou to definice, co jsou vˇety a co jsou matematick´e d˚ ukazy. Smyslem je, abyste tuto strukturu pochopili a nauˇcili se v n´ı orientovat, protoˇze si tak zjednoduˇs´ıme ˇzivot pro studium dalˇs´ıch kapitol. Uk´aˇzeme si zde jen nˇekolik matematick´ ych d˚ ukaz˚ u sp´ıˇse proto, abychom se procviˇcili v matematick´em myˇslenkov´em formalismu, neˇz v samotn´em dokazov´an´ı. To je uˇz velmi n´aroˇcn´a discipl´ına, kterou si m˚ uˇzete vychutnat aˇz na vysok´e ˇskole. V dalˇs´ı ˇc´asti t´eto kapitoly se budeme zab´ yvat v´yrokovou logiku, kterou uˇzijete napˇr´ıklad pˇri n´avrz´ıch jednoduch´ ych kombinaˇcn´ıch ˇci sekvenˇcn´ıch obvod˚ u, pˇri programov´an´ı PLC automat˚ u ale i v bˇeˇzn´ ych ˇzivotn´ıch situac´ıch, kdy se budete muset nˇejak rozhodovat na z´akladˇe urˇcit´ ych pravidel, priorit apod. Vˇeˇr´ım, ˇze si aplikace tˇechto znalost´ı urˇcitˇe najdete. V t´eto kapitole budeme ˇcerpat zejm´ena z (Opava, Z., 1989; Velebil, J., 2007), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly nˇekolik neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. 3
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
4
1.1
Logick´ a v´ ystavba matematiky
V ˇcesk´em jazyce nemaj´ı bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´a slova pˇresn´ y v´ yznam. Uved’me jednoduch´ y pˇr´ıklad dvou v´ yrok˚ u ze ˇzivota. V l´etˇe : Venku moc teplo nen´ı.“ ” V zimˇe : Venku je docela teplo.“ ” Matematika na druh´e stranˇe hovoˇr´ı vˇzdy pˇresnˇe a pro ty, kteˇr´ı se v n´ı orientuj´ı, i jasnˇe:-). V matematice existuje tak zvan´a logick´a v´ ystavba. Ta se skl´ad´a z axiom˚ u, definic, vˇet a d˚ ukaz˚ u. Axiomy (Postul´aty) jsou v´ ychoz´ı matematick´e v´ yroky, kter´e se prohl´as´ı za pravdiv´e bez dokazov´an´ı. Axiomy mus´ı b´ yt: a) bezesporn´e to znamen´a, ˇze skupina axiom˚ u nem˚ uˇze obsahovat dva vz´ajemnˇe si protiˇreˇc´ıc´ı axiomy; b) u ´pln´e je moˇzn´e odvodit pravdivost nebo nepravdivost libovoln´eho v´ yroku, kter´ y nen´ı axiomem; c) nez´ avisl´e to je, nelze odvodit axiom z jin´ ych axiom˚ u. Pˇr´ıklady axiom˚ u: • Pro kaˇzd´e dvˇe mnoˇziny A, B existuje mnoˇzina C obsahuj´ıc´ı pr´avˇe tyto mnoˇziny A, B. • ... Definice zav´ad´ı nov´ y pojem pomoc´ı pojm˚ u dˇr´ıve definovan´ ych. Pˇr´ıklady definic : • Troj´ uheln´ık, kter´ y m´a vˇsechny strany stejnˇe dlouh´e, naz´ yv´ame rovnostrann´ y. • Rovnici pro nezn´amou x typu ax2 + bx + c = 0, kde zn´ame a, b, c ∈ R, naz´ yv´ame kvadratickou rovnic´ı. • Termoska je . . .. Vˇeta je pravdiv´ y matematick´ y v´ yrok, kter´ y se d´a odvodit (nebo dok´azat) na z´akladˇe axiom˚ u, definic a dˇr´ıve dok´azan´ ych vˇet. Jsou ve tvaru pˇredpoklad → z´avˇer“. ” Pˇr´ıklady vˇet : • Kaˇzd´ y rovnostrann´ y troj´ uheln´ık m´a vˇsechny u ´hly stejn´e a to 60◦ . • Necht’ pro nezn´amou x plat´ı rovnice ax2 + bx + c = 0, kde zn´ame a, b, c ∈ R, potom ˇreˇsen´ı je x1, 2 =
−b ±
√
b2 − 4ac . 2a
´ VYSTAVBA ´ 1.1. LOGICKA MATEMATIKY
5
Vˇety d´ale dˇel´ıme na tvrzen´ı (= menˇs´ı vˇeta, jednoduch´ y d˚ ukaz), pozorov´ an´ı (= nˇeco, ˇceho si lze vˇsimnout, primitivn´ı d˚ ukaz), d˚ usledky (= vˇeta plynouc´ı z jin´e vˇety) a lemma (= pomocn´a vˇeta). My d´ale tyto pojmy nebudeme rozliˇsovat, p˚ ujde prostˇe o vˇety. D˚ ukaz demonstruje pravdivost dan´e vˇety a na rozd´ıl od jin´ ych discipl´ın nen´ı zaloˇzen na nˇeˇc´ım n´azoru nebo pocitu. Spr´avn´ y matematick´ y d˚ ukaz je vˇzdy objektivn´ı. Rozliˇsujeme ˇctyˇri typy d˚ ukaz˚ u: • d˚ ukaz pˇr´ım´ y, • d˚ ukaz nepˇr´ım´ y, • d˚ ukaz sporem, • d˚ ukaz matematickou indukc´ı. Nyn´ı uvedeme ke kaˇzd´emu typu d˚ ukazu jeden pˇr´ıklad. D´ale je budeme pouˇz´ıvat (v jednoduch´ ych pˇr´ıpadech) u vˇet v dalˇs´ıch kapitol´ach. Pˇ r´ıklad 1.1 (D˚ ukaz pˇ r´ım´ y): Dokaˇzte, ˇze druh´a mocnina lich´eho ˇc´ısla je lich´e ˇc´ıslo. ˇ sen´ı: . Reˇ Definice 1.1: a ∈ Z nazveme lich´e, jestliˇze ¬∃b ∈ Z, ˇze a = 2b.
I
Vˇ eta 1.1: a ∈ Z nazveme lich´e, jestliˇze ∃b ∈ Z, ˇze a = 2b + 1.
Vˇ eta 1.2: Jestliˇze je a ∈ Z lich´e, potom a2 je tak´e lich´e.
D˚ ukaz (pˇ r´ım´ y): Pˇredpokl´adejme, ˇze je vˇeta 1.1 jiˇz dok´azan´a a dokaˇzme pouze vˇetu 1.2. a2 =
.
.
X
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
6
Pˇ r´ıklad 1.2 (D˚ ukaz nepˇ r´ım´ y): Dokaˇzte, ˇze pokud je souˇcin dvou cel´ ych ˇc´ısel roven nule, pak je jedno nebo druh´e ˇc´ıslo rovno tak´e nule. ˇ sen´ı: . Reˇ Vˇ eta 1.3: ∀ a, b ∈ Z plat´ı, jestliˇze a · b = 0, potom a = 0 ∨ b = 0.
D˚ ukaz (nepˇ r´ım´ y): Pˇredchoz´ı vˇeta je ve tvaru Jestliˇze plat´ı pˇredpoklady, pak plat´ı z´a” vˇer.“ My dok´aˇzeme, ˇze Jestliˇze neplat´ı z´avˇer, pak neplat´ı alespoˇ n jeden z pˇredpoklad˚ u.“ ”
.
.
X
Pˇ r´ıklad 1.3 (D˚ ukaz sporem): Dokaˇzte, ˇze vˇsechna prvoˇc´ısla vˇetˇs´ı neˇz 2 jsou lich´a. ˇ sen´ı: . Reˇ ˇ ıslo p ∈ N nazveme prvoˇc´ıslem, jestliˇze je beze zbytku dˇeliteln´e pr´avˇe Definice 1.2: C´ dvˇema ˇc´ısly a to jedniˇckou a sebou sam´ ym.
I
Vˇ eta 1.4: Jestliˇze p je prvoˇc´ıslo ∧ p > 2, pak p je lich´e. D˚ ukaz (sporem): Pˇredpokl´adejme opak pˇredchoz´ı vˇety tedy, ˇze p > 2 je prvoˇc´ıslo, kter´e je sud´e.
.
.
X
´ VYSTAVBA ´ 1.1. LOGICKA MATEMATIKY
7
Pˇ r´ıklad 1.4 (D˚ ukaz matematickou indukc´ı): Chceme-li dok´azat, ˇze vˇeta V (n) plat´ı ∀n ∈ N, staˇc´ı uk´azat, ˇze plat´ı V (1), a ˇze z platnosti V (n) plyne platnost V (n + 1), tedy ∀n ∈ N. D˚ ukaz matematickou indukc´ı funguje podobnˇe jako domino. Dokaˇzte, ˇze ∀n ∈ N plat´ı 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n − 1) + n =
n(n + 1) . 2
ˇ sen´ı: . Reˇ Vˇ eta 1.5: ∀n ∈ N plat´ı 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n − 1) + n =
n(n + 1) . 2
D˚ ukaz (indukc´ı): Nejprve uk´aˇzeme, ˇze pˇredchoz´ı vˇeta plat´ı pro n = 1.
Pot´e uk´aˇzeme, ˇze z platnosti pˇredchoz´ı vˇety pro n plyne platnost pro n + 1.
. .
X
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
8
1.2
V´ yrokov´ a logika Matka ˇr´ık´a synovi: Jdi do obchodu a kup dva bochn´ıky chleba a kdyˇz budou ” m´ıt vaj´ıˇcka, tak jich kup dvacet.“ Syn pˇrinese dom˚ u dvacet bochn´ık˚ u chleba.
Nejprve si uvedeme nˇekolik z´akladn´ıch pojm˚ u: • symboly – ∀ – ∃ – ¬ – ∧ – ∨ – ⇔ – ⇒ • mnoˇziny objekt˚ u M • konstanty k – urˇcit´ y (jedin´ y) prvek dan´e mnoˇziny M • promˇenn´e x, y – symboly, kter´e oznaˇcuj´ı kter´ ykoli objekt z dan´e mnoˇziny objekt˚ uM • v´yroky – tvrzen´ı, o kter´ ych lze rozhodnout, zda jsou pravdiv´a ˇci nepravdiv´a • hypot´ezy – v´ yroky, o kter´ ych jeˇstˇe nev´ıme, zda jsou pravdiv´e ˇci nepravdiv´e • v´yrokov´e formule α, β – viz definice 1.3. Pˇ r´ıklad 1.5: Uved’te nˇejak´e pˇr´ıklady v´ yrok˚ u. ˇ sen´ı: Reˇ • Bav´ı mˇe matematika. • M´am r´ad pivo. • • X
´ ´ LOGIKA 1.2. VYROKOV A
9
Definice 1.3 (V´ yrokov´ a formule): Necht’ A je mnoˇzina element´arn´ıch v´ yrok˚ u (v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych a). Koneˇcnou posloupnost prvk˚ u z mnoˇziny A, logick´ ych spojek a z´avorek naz´ yv´ame v´yrokovou formul´ı, jestliˇze vznikla podle n´asleduj´ıc´ıch pravidel: 1. Kaˇzd´a v´ yrokov´a promˇenn´a (element´arn´ı v´ yrok) a ∈ A je v´ yrokov´a formule. 2. Jsou-li α, β v´ yrokov´e formule, pak (¬α), (α ∧ β), (α ∨ β), (α ⇔ β), (α ⇒ β) jsou tak´e v´ yrokov´e formule. 3. Cokoli jin´eho neˇz to, co vzniklo pomoc´ı koneˇcnˇe mnoha pouˇzit´ı bod˚ u 1 a 2, nen´ı v´ yrokov´a formule.
I
Pozn´ amka: Definice 1.3 je moˇzn´a na prvn´ı pohled trochu krkolomn´a ale, kdyˇz si ji pˇreˇcteme pozornˇe a pomalu, tak z n´ı plyne: • • • • 2 Pˇ r´ıklad 1.6: Uvaˇzujte, ˇze a, b, c jsou atomick´e formule At (d´ale nedˇeliteln´e). Je n´asleduj´ıc´ı z´apis v´ yrokovou formul´ı ? • ϕ = (a ∨ b) ⇔ c, • ϕ = (a ∧ d), • ϕ = (a ∪ c). ˇ sen´ı: Reˇ • • • X
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
10
Neˇz zaˇcneme vyhodnocovat v´ yrokov´e formule, prvn´ı, co mus´ıme udˇelat, je zjistit, zda je v´ yrokov´a formule zapsan´a syntakticky spr´avnˇe . K tomu budeme vyuˇz´ıvat tak zvan´ y derivaˇcn´ı (syntaktick´y) strom. Uved’me si nejprve postup pˇri jeho vytv´aˇren´ı: 1. Pˇreˇcteme prvn´ı z´avorku zleva a hled´ame odpov´ıdaj´ıc´ı z´avorku zprava. Nalezneme hlavn´ı spojku v t´eto z´avorce a z jej´ı arity1 vytvoˇr´ıme z´arodek syntaktick´eho stromu. 2. D´ale rekurzivnˇe vytv´aˇr´ıme syntaktick´e stromy, kter´e v´ yˇse uveden´a spojka v´aˇze. 3. Pokud na konci stromu jsou pouze atomick´e formule, pak je strom v poˇra´dku a v´ yrokov´a formule je syntakticky spr´avnˇe. Jasn´e to bude z n´asleduj´ıc´ıho pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 1.7 (Syntaktick´ y strom): Ovˇeˇrte syntaktickou spr´avnost formul´ı • ϕ1 = ¬a ⇒ ¬¬a, ¡ ¢ • ϕ2 = (a ∧ b) ∨ c ⇔ d ⇔ ¬e . kde a, b, c, d, e ∈ At. V pˇr´ıpadˇe chyby chybu opravte. ˇ sen´ı: Nejprve pro ϕ1 : Reˇ
Nyn´ı pro ϕ2 :
X 1
Arita spojky ud´av´a, kolik formul´ı dan´a spojka spoj´ı v novou formuli.
´ ´ LOGIKA 1.2. VYROKOV A
1.2.1
11
Pravdivostn´ı ohodnocen´ı
Definice 1.4 (Pravdivostn´ı ohodnocen´ı): Pravdivostn´ı ohodnocen´ı je zobrazen´ı u : P (A) → {0, 1}, kter´e splˇ nuje pravidla • u(¬α) = 1 ⇔ u(α) = 0, • u(α ∧ β) = 1 ⇔ u(α) = 1 a u(β) = 1, • u(α ∨ β) = 0 ⇔ u(α) = 0 a u(β) = 0, • u(α ⇔ β) = 1 ⇔ u(α) = u(β), • u(α ⇒ β) = 0 ⇔ u(α) = 1 a u(β) = 0.
I
Tyto poznatky m˚ uˇzeme zn´azornit pomoc´ı pravdivostn´ı tabulky, viz tabulka 1.1. Tabulka 1.1: Pravdivostn´ı tabulka z´akladn´ıch logick´ ych funkc´ı
α
β
0
0
0
1
1
0
1
1
negace
konjunkce
disjunkce
ekvivalence
implikace
¬α
α∧β
α∨β
α⇔β
α⇒β
Do ˇceˇstiny pˇrekl´ad´ame“ tyto spojky takto ” • negace: • konjunkce: • disjunkce: • ekvivalence: • implikace:
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
12
Pˇ r´ıklad 1.8 (Pravdivostn´ı ohodnocen´ı): Urˇcete pravdivostn´ı ohodnocen´ı formule ϕ = (¬a ∨ b) ⇒ (a ⇔ c) , kde a, b, c ∈ At. ˇ sen´ı: Reˇ ˇ sen´ı zap´ıˇseme rovnou do pravdivostn´ı tabulky 1.2. Reˇ Tabulka 1.2: Pravdivostn´ı tabulka pro formuli ϕ
a b
c
¬a
ϕ1 = ¬a ∨ b ϕ2 = a ⇔ c
ϕ = ϕ1 ⇒ ϕ2
Z t´eto tabulky vid´ıme, ˇze formule ϕ je pravdiv´a pro
X Nyn´ı si uk´aˇzeme na n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe, jak to, co jsem se doposud nauˇcili, vyuˇz´ıt pro ˇreˇsen´ı re´aln´ ych ˇzivotn´ıch situac´ı. Pˇ r´ıklad 1.9 (Matematizace re´ aln´ e situace): Do ˇskoly chod´ı tˇri ˇz´aci (Adam, Bedˇrich a Cyril) podle tˇechto podm´ınek: • Je-li ve ˇskole Adam, pak je ve ˇskole i Bedˇrich. • Ve ˇskole je Bedˇrich nebo Cyril. • Nen´ı-li ve ˇskole Adam, nen´ı ve ˇskole ani Cyril. Rozhodnˇete, jak´e moˇznosti mohou ve ˇskole nastat?
´ ´ LOGIKA 1.2. VYROKOV A
13
ˇ sen´ı: Reˇ ˇ sen´ı rozdˇel´ıme do tˇr´ı z´akladn´ıch bod˚ Reˇ u: 1. Pˇrevedeme text z bˇeˇzn´eho jazyka do jazyka v´ yrokov´e logiky. a) Zavedeme v´ yrokov´e promˇenn´e :
b) Podm´ınky ze zad´an´ı vyj´adˇr´ıme jako v´ yrokov´e formule:
2. Provedeme pravdivostn´ı ohodnocen´ı v´ yrokov´ ych formul´ı. Tabulka 1.3: Pravdivostn´ı tabulka pro formuli ϕ
3. V´ ysledek pˇrevedeme zpˇet do bˇeˇzn´eho jazyka.
.
X
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
14
ˇ a n´as nˇekolik jednoduch´ Nyn´ı si zavedeme nˇekolik nov´ ych pojm˚ u. Cek´ ych definic a pouˇcek, kter´e budeme d´ale vyuˇz´ıvat zejm´ena ke zjednoduˇsov´an´ı v´ yrokov´ ych formul´ı. Definice 1.5 (Tautologie, kontradikce): Formule ϕ se naz´ yv´a : • Tautologie, jestliˇze je pravdiv´a ve vˇsech pravdivostn´ıch ohodnocen´ıch. • Kontradikce, jestliˇze je nepravdiv´a ve vˇsech pravdivostn´ıch ohodnocen´ıch. • Splniteln´ a , jestliˇze existuje alespoˇ n jedno ohodnocen´ı, ve kter´em je pravdiv´a. I Pˇ r´ıklad 1.10 (Tautologie, kontradikce): Napiˇste nˇejakou v´ yrokovou formuli takovou, aby byla: • tautologi´ı, • kontradikc´ı, • splnitelnou, • nesplnitelnou. ˇ sen´ı: . Reˇ
X
´ ´ LOGIKA 1.2. VYROKOV A
15
ˇ Definice 1.6 (S´ emantick´ y d˚ usledek): Rekneme, ˇze formule ϕ je s´emantick´ym d˚ usledkem (konsekventem) mnoˇziny formul´ı M , jestliˇze ϕ je pravdiv´a v kaˇzd´em ohodnocen´ı, v nˇemˇz je pravdiv´a M . Zapisujeme M |= ϕ.
I
Pˇ r´ıklad 1.11 (S´ emantick´ y d˚ usledek): Rozhodnˇete zda plat´ı: • {a ⇒ b, b ⇒ c} |= (a ⇒ c), • {a ∨ b, ¬b ∧ ¬c} |= (a ⇒ c). ˇ sen´ı: Nejprve vyˇreˇs´ıme prvn´ı pˇr´ıpad: Reˇ Tabulka 1.4: Pravdivostn´ı tabulka pro prvn´ı pˇr´ıpad
Nyn´ı vyˇreˇs´ıme druh´ y pˇr´ıpad: Tabulka 1.5: Pravdivostn´ı tabulka pro prvn´ı pˇr´ıpad
X
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
16
ˇ Definice 1.7 (Tautologick´ a ekvivalence): Rekneme, ˇze formule ϕ1 a ϕ2 jsou tautologicky ekvivalentn´ı (s´emanticky ekvivalentn´ı), jestliˇze plat´ı ϕ1 |= ϕ2 a souˇcasnˇe ϕ2 |= ϕ1 . Zapisujeme ϕ1 ≡ ϕ2 . Nˇekdy pouˇz´ıv´ame m´ısto znaku ≡ znak ... .
I
Nyn´ı si zavedeme nˇekolik pravidel, pomoc´ı kter´ ych budeme moci zjednoduˇsovat v´ yrokov´e formule. Tyto pravidla uv´ad´ı n´asleduj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 1.6: Pro kaˇzd´e formule α, β, γ, tautologie T (true) a kontradikce F (false) plat´ı: • idempotence
α∧α≡
.
α∨α≡
• komutativita
α∧β ≡
.
α∨β ≡
• asiciativita
α ∧ (β ∧ γ) ≡
.
α ∨ (β ∨ γ) ≡
• distributivita .
α ∧ (β ∨ γ) ≡ α ∨ (β ∧ γ) ≡
• absorbce .
α ∧ (α ∨ β) ≡ α ∨ (α ∧ β) ≡
• dvojn´ a negace
¬¬α ≡
• de Morganovy z´akony . •
¬(α ∨ β) ≡ α ∧ ¬α ≡
. •
¬(α ∧ β) ≡
α ∨ ¬α ≡ T ∧α≡
.
T ∨α≡
.
F ∧α≡
.
F ∨α≡
´ ´ LOGIKA 1.2. VYROKOV A
17
Pˇ r´ıklad 1.12: Pomoc´ı pravidel z vˇety 1.6 zjednoduˇste n´asleduj´ıc´ı v´ yrokov´e formule: ¡ ¢ • ¬α ∨ (¬α ∧ ¬β) ∧ α, ¡ ¢ • α ∨ (¬β ∧ ¬γ) ∧ β . kde α, β, γ ∈ At. ˇ sen´ı: Nejprve vyˇreˇs´ıme prvn´ı pˇr´ıpad: Reˇ
Nyn´ı vyˇreˇs´ıme druh´ y pˇr´ıpad:
X Nyn´ı se pod´ıv´ame na nˇekolik pojm˚ u, kter´e vyuˇzijeme zejm´ena pˇri n´avrhu logick´ ych obvod˚ u. Nejprve uved’me definici dvou nov´ ych pojm˚ u a n´aslednˇe v tomto smˇeru velmi d˚ uleˇzitou vˇetu. Definice 1.8 (DNF, CNF): Liter´ al je logick´a promˇenn´a nebo negace logick´e promˇenˇ n´e. Rekneme, ˇze formule je v disjunktivn´ı norm´aln´ı formˇe (DNF), jestliˇze je disjunkc´ı ˇ jedn´e nebo nˇekolika formul´ı, z nichˇz kaˇzd´a je liter´alem nebo konjunkc´ı liter´al˚ u. Rekneme, ˇze formule je v konjunktivn´ı norm´aln´ı formˇe (CNF), jestliˇze je konjunkc´ı jedn´e nebo nˇekolika formul´ı, z nichˇz kaˇzd´a je liter´alem nebo disjunkc´ı liter´al˚ u.
I
Pˇ r´ıklad 1.13: Napiˇste nˇejakou formuli tak, aby byla • v disjunktivn´ı norm´aln´ı formˇe, • v konjunktivn´ı norm´aln´ı formˇe. ˇ sen´ı: Napˇr´ıklad Reˇ • • . Vˇ eta 1.7: Ke kaˇzd´e formuli ϕ existuje formule ϕ, ¯ kter´a je v DNF (CNF) a ϕ ≡ ϕ. ¯
X
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
18
1.2.2
Carnaughovy mapy
Alternativn´ı zp˚ usob pro z´apis pravdivostn´ıho ohodnocen´ı v´ yrokov´e formule k pravdivostn´ı tabulce je tak zvan´a Carnoughova [karnaughova] mapa. Ta m´a 2n pol´ı, kde n je poˇcet v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych dan´e v´ yrokov´e formule, jej´ıˇz ohodnocen´ı chceme do mapy zapsat. Kaˇzd´e pole mapy vyjadˇruje jednu kombinaci v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych a jsou uspoˇr´ad´any tak, ˇze pˇrejdeme-li z jednoho pole do jeho sousedn´ıho, tak se kombinace v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych zmˇen´ı pr´avˇe v jedn´e promˇenn´e. Ale ukaˇzme si to na n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 1.14 (Carnaughova mapa): Zapiˇste pravdivostn´ı ohodnocen´ı formule z pˇr´ıkladu 1.8 ϕ = (¬a ∨ b) ⇒ (a ⇔ c) do Carnaughovy mapy. Pot´e zapiˇste v´ yrokovou formuli ϕ v u ´pln´e DNF a v u ´pln´e CNF. ˇ sen´ı: Pravdivostn´ı tabulku op´ıˇseme z pˇr´ıkladu 1.8 a pˇrep´ıˇseme ji do Carnaughovy Reˇ mapy, viz tab. 1.6(b). Tabulka 1.6: Pravdivostn´ı ohodnocen´ı pro formuli ϕ (a) pravdivostn´ı tabulka
a
b
c
(b) Carnaughova mapa
ϕ
Z Carnaughovy mapy m˚ uˇzeme ps´at v´ yrokovou formuli ϕ v u ´pln´e DNF (pokr´ yv´ame tam, kde u(ϕ) = 1) ϕDNF ≡ avu ´pln´e CNF (pokr´ yv´ame tam, kde u(ϕ) = 0 a k promˇenn´ ym p´ıˇseme negace) ϕCNF ≡ X
´ ´ LOGIKA 1.2. VYROKOV A
19
Vypsat u ´plnou DNF nebo u ´plnou CNF pro n´as nem´a tak velk´ y v´ yznam. D˚ uleˇzitˇejˇs´ı je, umˇet zapsat v´ yrokovou formuli v minim´aln´ı DNF nebo minim´aln´ı CNF. To dˇel´ame tak, ˇze v Carnaughovˇe mapˇe pokr´ yv´ame jedniˇcky (pro pˇr´ıpad DNF) respektive nuly (pro pˇr´ıpad CNF) v tab. 1.6(b) pomoc´ı co nejvˇetˇs´ıch obd´eln´ık˚ u, jejichˇz strany jsou mocniny ˇc´ısla dvˇe. Napˇr´ıklad 1 × 1, 1 × 2, 2 × 1, 2 × 2, 1 × 4, 2 × 4, 4 × 2, 4 × 4 a tak d´ale. Nelze tedy pokr´ yvat napˇr´ıklad obd´eln´ıkem 1 × 3 a podobnˇe. Ukaˇzme si to na n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 1.15 (Carnaughova mapa – minimalizace): Zapiˇste v´ yrokovou formuli ϕ z pˇr´ıkladu 1.8 ϕ = (¬a ∨ b) ⇒ (a ⇔ c) v minim´aln´ı DNF a v minim´aln´ı CNF. ˇ sen´ı: Nejprve si op´ıˇseme Carnaughovu mapu z tab. 1.6(b). Reˇ Tabulka 1.7: Carnaughova mapa pro formuli ϕ (a) pro DNF
(b) pro CNF
Z Carnaughovy mapy m˚ uˇzeme ps´at v´ yrokovou formuli ϕ v minim´aln´ı DNF (pokr´ yv´ame tam, kde u(ϕ) = 1) ϕDNF ≡ a v minim´aln´ı CNF (pokr´ yv´ame tam, kde u(ϕ) = 0 a k promˇenn´ ym p´ıˇseme negace) ϕCNF ≡ Ovˇeˇrme nyn´ı pomoc´ı pravdivostn´ı tabulky spr´avnost naˇseho ˇreˇsen´ı.
X
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
20
1.2.3
Negace v´ yrok˚ u
Pˇ r´ıklad 1.16: Doplˇ nte sami n´asleduj´ıc´ı tabulku (dopiˇste negaci dan´eho v´ yroku). ˇ sen´ı: . Reˇ Tabulka 1.8: Negace v´ yrok˚ u
V´ yrok
Negace v´ yroku
Neprˇs´ı
Prˇs´ı
ˇ ıslo a je prvoˇc´ıslo ............................... C´
................................... ˇ ıslo a nen´ı prvoˇc´ıslo C´
...................................
........................ Kaˇzd´e ˇc´ıslo a ∈ M1 je dˇeliteln´e 2
ˇ adn´e ˇc´ıslo a ∈ M1 nen´ı dˇeliteln´e 2 Z´
......................... ˇ adn´e ˇc´ıslo b ∈ M2 nen´ı dˇeliteln´e 5 Z´
Nˇejak´e ˇc´ıslo b ∈ M2 je dˇeliteln´e 5
Kaˇzd´e ˇc´ıslo c ∈ M3 je dˇeliteln´e 2 a z´a-
......................... ˇ adn´e ˇc´ıslo c ∈ M3 nen´ı dˇeliteln´e 2 neZ´
roveˇ n nen´ı dˇeliteln´ı 5 Kaˇzd´e ˇc´ıslo d ∈ M4 je dˇeliteln´e 2 nebo
bo je dˇeliteln´e 5 ˇ adn´e ˇc´ıslo d ∈ M4 nen´ı dˇeliteln´e 2 Z´
je dˇeliteln´e 7
a z´aroveˇ n nen´ı dˇeliteln´e 7
Petr m´a alespoˇ n 2 sourozence ............... ......................... Do vlakov´eho kup´e se vejde nejv´ yˇse 6 cestuj´ıc´ıch X Vyˇreˇsili jste pˇredchoz´ı pˇr´ıklad spr´avnˇe? Povˇezme si nyn´ı nˇeco m´alo o negov´an´ı v´ yrok˚ u, abychom na tuto ot´azku mohli odpovˇedˇet. Uved’me nejprve definici a pak se vr´at´ıme k pˇredchoz´ımu pˇr´ıkladu. Definice 1.9 (Negace v´ yroku): Negace v´ yroku ϕ je v´ yrok, kter´ y pop´ır´a tvrzen´ı p˚ uvodn´ıho v´ yroku ϕ.
I
Pozn´ amka: Negace v´ yroku tedy zahrnuje vˇsechny zb´ yvaj´ıc´ı moˇznosti v´ yroku p˚ uvodn´ıho.
2
´ ´ LOGIKA 1.2. VYROKOV A
21
Vrat’me se tedy k pˇr´ıkladu 1.16 a ˇreknˇeme si spr´avn´e ˇreˇsen´ı. Tabulka 1.9: Negace v´ yrok˚ u – spr´avn´e ˇreˇsen´ı
V´ yrok
Negace v´ yroku
Neprˇs´ı
Prˇs´ı
ˇ ıslo a je prvoˇc´ıslo ............................... C´
................................... ˇ ıslo a nen´ı prvoˇc´ıslo C´
...................................
........................ Kaˇzd´e ˇc´ıslo a ∈ M1 je dˇeliteln´e 2
ˇ adn´e ˇc´ıslo a ∈ M1 nen´ı dˇeliteln´e 2 Z´
......................... ˇ adn´e ˇc´ıslo b ∈ M2 nen´ı dˇeliteln´e 5 Z´
Nˇejak´e ˇc´ıslo b ∈ M2 je dˇeliteln´e 5
Kaˇzd´e ˇc´ıslo c ∈ M3 je dˇeliteln´e 2 a z´a-
......................... ˇ adn´e ˇc´ıslo c ∈ M3 nen´ı dˇeliteln´e 2 neZ´
roveˇ n nen´ı dˇeliteln´ı 5 Kaˇzd´e ˇc´ıslo d ∈ M4 je dˇeliteln´e 2 nebo
bo je dˇeliteln´e 5 ˇ adn´e ˇc´ıslo d ∈ M4 nen´ı dˇeliteln´e 2 Z´
je dˇeliteln´e 7
a z´aroveˇ n nen´ı dˇeliteln´e 7
Petr m´a alespoˇ n 2 sourozence ............... ......................... Do vlakov´eho kup´e se vejde nejv´ yˇse 6 cestuj´ıc´ıch Pozn´ amka: Uved’me si nyn´ı pouˇcky, jak spr´avnˇe tvoˇrit negace v´ yrok˚ u. Tabulka 1.10: Negace v´ yrok˚ u
V´yrok
Negace v´yroku
Kaˇzd´ y .......... je .......... Alespoˇ n jeden .......... je ..........
Alespoˇ n jeden .......... nen´ı .......... ˇ adn´ Z´ y (kaˇzd´ y) .......... nen´ı ..........
Alespoˇ n n .......... je ..........
Nejv´ yˇse n − 1 .......... je ..........
Nejv´ yˇse n .......... je ..........
Alespoˇ n n + 1 .......... je ..........
a∧b a∨b a⇒b a⇔b Negace v´yroku
V´yrok
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
22
Nezdaj´ı se V´am pravidla o negac´ıch? Pojd’me si uk´azat pˇr´ıklad, po kter´em snad uvˇeˇr´ıte. Mˇejme mnoˇzinu ˇc´ısel M = {2, 8, 12}. Pro tuto mnoˇzinu je jistˇe pravdiv´ y v´ yrok ∀x ∈ M,
x je dˇeliteln´e 2 a souˇcasnˇe x nen´ı dˇeliteln´e 5.
(1.1)
Zmˇen ˇme nyn´ı v mnoˇzinˇe M jeden prvek tak, aby se v´ yˇse uveden´ y v´ yrok stal nepravdiv´ ym. Napiˇsme nˇekolik takov´ ych variant. M ={ ,
,
}
...
M ={ ,
,
}
...
M ={ ,
,
}
...
M ={ ,
,
}
...
M ={ ,
,
}
...
M ={ ,
,
}
...
Vˇsechny tyto moˇznosti pop´ıraj´ı pravdivost v´ yˇse uveden´eho v´ yroku. Zap´ıˇseme-li v´ yrok, kter´ y je pravdiv´ y pro tˇechto 6 v´ yˇse uveden´ ych mnoˇzin, pak m´ame negaci p˚ uvodn´ıho v´ yroku, viz definice 1.9. .“
”
Pod´ıvejme se na tento pˇr´ıklad z jin´eho u ´hlu. Zaved’me si dvˇe v´ yrokov´e promˇenn´e d
...
p
...
Pak v´ yrok (1.1) m˚ uˇzeme zapsat ∀x ∈ M, plat´ı
...
Tuto v´ yrokovou formuli m˚ uˇzeme negovat pomoc´ı de Morganova pravidla z vˇety (1.6) ∃x ∈ M, pro kter´ y plat´ı
...
Tento z´apis m˚ uˇzeme ˇcesky pˇreˇc´ıst takto ”
.“
´ 1.3. ULOHY
1.3 1.3.1
23
´ Ulohy Logick´ a v´ ystavba matematiky
´ Ulohy v t´eto podkapitole jsou pouze pro jedniˇck´aˇre, to znamen´a, ˇze se nepoˇc´ıtaj´ı do povinn´ ych pˇr´ıklad˚ u, kter´e si mus´ıte vyˇreˇsit ke zkouˇsce. Pˇ r´ıklad 1.17 (Pˇ r´ım´ y d˚ ukaz): Dokaˇzte, ˇze koˇreny kvadratick´e rovnice ax2 +bx+c = 0, kde zn´ame a, b, c ∈ R, jsou x1, 2 =
−b ±
√
b2 − 4ac . 2a
Pˇ r´ıklad 1.18 (Pˇ r´ım´ y d˚ ukaz): Dokaˇzte, ˇze pro ∀x ∈ R plat´ı (sin x)2 + (cos x)2 = 1. Pˇ r´ıklad 1.19 (Pˇ r´ım´ y d˚ ukaz): Dokaˇzte, ˇze pro ∀x, y ∈ R ∧ x 6= y plat´ı 2x2 − xy − y 2 − x = x + y. x−y Pˇ r´ıklad 1.20 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 1 1 1 1 1 n + + + ... + + = . 1·2 2·3 3·4 (n − 1)n n(n + 1) n+1 Pˇ r´ıklad 1.21 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 3)2 + (2n − 1)2 =
n(2n − 1)(2n + 1) . 3
Pˇ r´ıklad 1.22 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 4 9 (n − 1)2 n2 n(n + 1) 1 + + + ... + + = . 1·3 3·5 5·7 (2n − 3)(2n − 1) (2n − 1)(2n + 1) 2(2n + 1) Pˇ r´ıklad 1.23 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 2) + (n − 1) + n =
1 n(n + 1). 2
Pˇ r´ıklad 1.24 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n > 2, n ∈ N plat´ı 2n > 2n + 1.
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
24
Pˇ r´ıklad 1.25 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 62n + 3n+2 + 3n je dˇeliteln´e 11. Pˇ r´ıklad 1.26 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N a pro ∀x ∈ R plat´ı (sin x)2n + (cos x)2n ≤ 1. Pˇ r´ıklad 1.27 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ˇcleny rekurentnˇe zadan´e posloupnosti µ a1 = 1,
an+1 = an
kde n ∈ N, plat´ı vzorec an =
n n+1
¶2 ,
1 . n2
Pˇ r´ıklad 1.28 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ˇcleny rekurentnˇe zadan´e posloupnosti µ ¶ n an + 2 a1 = 1, an+1 = , n+1 kde n ∈ N, plat´ı vzorec an = 2 −
1 . n
Pˇ r´ıklad 1.29 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 1 + 2 + 3 + ... +
1.3.2
³n
´ n n2 + n −1 + = . 2 2 8
V´ yrokov´ a logika
Pˇ r´ıklad 1.30: Uvaˇzujte n´asleduj´ıc´ı v´ yrokov´e formule a) (a ∨ b) ∧ (¬b ∨ a), ¡ ¢ b) a ∧ b ⇒ (c ∨ a) , c) (a ⇒ b) ∧ c ⇔ d, d) (a ∧ ¬b) ⇔ (a ⇒ b), ¡ ¢ ¡ ¢ e) ¬(a ∧ b) ∨ c ⇔ (¬a ∨ c) ∧ (¬b ∨ c) ,
´ 1.3. ULOHY
25
f ) (a ∧ b) ⇒ (c ∧ d), ¢ ¡ g) (a ∨ b) ⇒ a ∨ c, ³¡ ´ ¢ h) (a ∨ b) ⇒ a ∨ c ∨ b, ¡ ¢ ¡ ¢ ch) (a ⇒ b) ∧ c ⇔ (a ∧ ¬b) ∨ ¬c , i) a ∧ b ∧ c ∧ d, kde a, b, c, d ∈ At (jsou atomick´e formule). Ovˇeˇrte syntaktickou spr´avnost tˇechto formul´ı. Pˇ r´ıklad 1.31: Rozhodnˇete, zda jsou v´ yrokov´e formule z pˇr´ıkladu 1.30 pravdiv´e pro pravdivostn´ı ohodnocen´ı u(a) = 0, u(b) = 1, u(c) = 1 a u(d) = 0. Pˇ r´ıklad 1.32: Rozhodnˇete, zda jsou v´ yrokov´e formule z pˇr´ıkladu 1.30 pravdiv´e pro pravdivostn´ı ohodnocen´ı u(a) = 1, u(b) = 0, u(c) = 1 a u(d) = 0. Pˇ r´ıklad 1.33: Uvaˇzujte v´ yrokov´e formule z pˇr´ıkladu 1.30. Rozhodnˇete, zda je dan´a formule splniteln´a, zda je tautologi´ı a zda je kontradikc´ı. Pˇ r´ıklad 1.34: Vytvoˇrte v´ yrokovou formuli minim´alnˇe ze tˇr´ı atomick´ ych formul´ı tak, aby byla a) tautologi´ı, b) kontradikc´ı, c) nebyla tautologi´ı a z´aroveˇ n nebyla kontradikc´ı, d) byla tautologi´ı a z´aroveˇ n byla kontradikc´ı, e) byla splnitelnou a z´aroveˇ n byla kontradikc´ı, f ) byla tautologi´ı a z´aroveˇ n nebyla splnitelnou. Pˇ r´ıklad 1.35: Rozhodnˇete, zda plat´ı n´asleduj´ıc´ı z´apisy (zda je dan´a formule (vpravo) s´emantick´ ym d˚ usledkem dan´e mnoˇziny formul´ı (vlevo) |=“). ” © ª a) a ∨ b, a ⇒ c, c ⇒ b |= c b)
© ª a ∨ ¬b, b ∧ ¬a, a ⇒ c |= b ∨ (c ⇒ a)
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
26 c)
© ª ¬(a ∧ b) |= ¬a ∨ ¬b
d)
© ª ¬(a ∨ b) |= ¬a ∧ ¬b
e)
© ª a ∨ b, a ⇒ c, c ⇒ b |= b
f) g) h)
©
ª a ∨ b, a ⇒ c, c ⇒ b |= a
©
ª a ∨ b, b ∧ c, c ∨ d, d ∧ a |= a ∨ ¬a
© ª a ∧ ¬a, ¬b ∧ b, c ∧ c |= a ∧ ¬a
Pˇ r´ıklad 1.36: Rozhodnˇete, zda plat´ı (zda jsou n´asleduj´ıc´ı formule tautologicky ekvivalentn´ı ≡“). ” a) ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b b) ¬(a ∨ ¬b) ≡ ¬a ∧ b c) a ⇒ b ≡ ¬a ∨ b d) b ⇒ a ≡ ¬a ∨ b e) ¬(a ∧ b) ∨ c ≡ (¬a ∨ c) ∧ (¬b ∨ c) ¡ ¢ ¡ ¢ f ) ¬(a ∧ b) ∨ c ∧ d ≡ (¬a ∨ c) ∧ (¬b ∨ c) ∧ d g) h)
¡¡
¢ a ∨ b) ∨ b ∧ d ≡ b ∧ d
¡¡
¢ a ∨ b) ∧ b ∧ d ≡ b ∧ d
Pˇ r´ıklad 1.37: Vyj´adˇrete n´asleduj´ıc´ı v´ yrokov´e formule v u ´pln´e DNF (Disjunktivn´ı Norm´aln´ı Forma) a v u ´pln´e CNF (Konjunktivn´ı Norm´aln´ı Forma). Pot´e naleznˇete minim´aln´ı DNF a CNF k tˇemto formul´ım. a) ϕ1 = (¬a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (¬a ∧ ¬b ∧ c) ∨ (¬a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c) b) ϕ2 = (a ∨ ¬b ∨ c) ∧ (¬a ∨ b ∨ c) ∧ (¬a ∨ b ∨ ¬c) ∧ (¬a ∨ ¬b ∨ c) Pˇ r´ıklad 1.38: Uvaˇzujte n´asleduj´ıc´ı pravdivostn´ı tabulku a zapiˇste v´ yrokovou formuli ϕ v minim´aln´ı DNF a minim´aln´ı CNF.
´ 1.3. ULOHY
27 Tabulka 1.11: Pravdivostn´ı tabulka pro v´ yrokovou formuli ϕ
a
0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1 1
1
b
0 0
0 0 1
1 1 1
0 0 0
0 1 1 1
1
c
0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
1 0 0 1
1
d
0 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
1 0 1 0
1
ϕ
0 0
0 0 0
0 1 1
1 0 1
0 1 0 1
1
Pˇ r´ıklad 1.39: Uvaˇzujte v´ yrokov´e formule z pˇr´ıkladu 1.30. Zapiˇste je v minim´aln´ı disjunktivn´ı norm´aln´ı formˇe a v minim´aln´ı konjunktivn´ı norm´aln´ı formˇe. Pˇ r´ıklad 1.40: Negujte n´asleduj´ıc´ı formule. a) a ∨ b b) a ∧ b c) (a ⇒ b) ∨ c d) a ∨ (b ∧ c) ¡ ¢ ¡ ¢ e) ¬(a ∧ b) ∨ c ⇔ (¬a ∨ c) ∧ (¬b ∨ c) f ) Dnes prˇs´ı a souˇcasnˇe nesv´ıt´ı slun´ıˇcko. g) Kaˇzd´ y student je pˇripraven na hodinu nebo nen´ı ve ˇskole. h) Kaˇzd´ y Spart’an nem´a r´ad Sl´avii a alespoˇ n jeden Sl´avista fand´ı Bohemce. ch) Vˇetˇsina student˚ u, kteˇr´ı vlastn´ı notebook, ho neum´ı efektivnˇe vyuˇz´ıvat. i) Je-li student dobr´ y v matematice, pak je dobr´ y program´ator. j) Kaˇzd´ y sluˇsn´ y ˇclovˇek je ohledupln´ ym ˇridiˇcem. k) Kaˇzd´ y tenista vyhraje za svoji kari´eru alespoˇ n jeden turnaj. Napiˇste tyto negovan´e formule pouze pomoc´ı negace, disjunkce a konjunkce. Pˇ r´ıklad 1.41: Pˇri stˇr´ıd´an´ı hr´aˇc˚ u ve sportovn´ım utk´an´ı se mˇel tren´er rozhodnout, koho z hr´aˇc˚ u {A, B, C, D, E} m´a vyslat do hry, jestliˇze si byl vˇedom, ˇze a) B by mˇel hr´at, kdyˇz bude hr´at A,
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
28
b) kdyˇz bude hr´at E, mˇeli by hr´at hr´aˇci A a D, c) B a C by nemˇeli hr´at spoleˇcnˇe, protoˇze nejsou sehran´ı, d) C a D by mˇeli spoleˇcnˇe hr´at, nebo spoleˇcnˇe z˚ ustat na stˇr´ıdaˇcce, e) mˇel by hr´at D nebo E. Kter´e hr´aˇce mˇel tren´er vyslat do hry. Pˇrevzato z (Opava, Z., 1989). Pˇ r´ıklad 1.42: Vyˇsetˇrov´an´ım dopravn´ı nehody bylo zjiˇstˇeno, ˇze a) nehodu zavinil ˇridiˇc B nebo C, b) jestliˇze nehodu zavinil ˇridiˇc C, zavinil ji i ˇridiˇc A, c) nehodu zavinil ˇridiˇc B, jestliˇze ji zavinil ˇridiˇc A, d) jestliˇze nehodu zavinil ˇridiˇc B, pak ji ˇridiˇc C nezavinil. Podaˇr´ı se V´am rozhodnout, kter´ y ˇridiˇc nehodu zavinil? Pˇrevzato z (Opava, Z., 1989). ˇ ıkaj´ı obˇe Pˇ r´ıklad 1.43: Nebude-li prˇset, nezmoknem. Bude prˇset nebo nezmoknem. R´ vˇety tot´eˇz. Pˇrevzato z (Opava, Z., 1989). Pˇ r´ıklad 1.44: Rozhodnˇete a zd˚ uvodnˇete, zda jsou n´asleduj´ıc´ı u ´vahy spr´avn´e. a) Jestliˇze jdu pozdˇe sp´at, r´ano se nemohu probudit. Jdu pozdˇe sp´at. Tud´ıˇz r´ano se nebudu moci probudit. b) Jestliˇze jdu pozdˇe sp´at, r´ano se nemohu probudit. R´ano se nemohu probudit. Tud´ıˇz jsem ˇsel veˇcer pozdˇe sp´at. ˇ ıkaj´ı obˇe vˇety tot´eˇz. Pˇ r´ıklad 1.45: Dobr´e j´ıdlo nen´ı levn´e. Levn´e j´ıdlo nen´ı dobr´e. R´ Pˇrevzato z (Velebil, J., 2007). Pˇ r´ıklad 1.46: Kdyˇz turista spˇechal k n´adraˇz´ı, pˇriˇsel na rozcest´ı, odkud vedla jedna cesta k n´adraˇz´ı a druh´a ne. Na rozcest´ı byli dva bratˇri, z nichˇz jeden mluvil vˇzdy pravdu a druh´ y vˇzdy lhal, na jakoukoli ot´azku odpov´ıdali jen ano“ nebo ne“ a oba znali spr´avnou cestu ” ” k n´adraˇz´ı. O tom vˇsem turista vˇedˇel, ale nevˇedˇel, kter´a cesta vede k n´adraˇz´ı a kdo z bratr˚ u mluv´ı pravdu a kdo lˇze. Turista uk´azal na jednu z cest, poloˇzil jednomu z bratr˚ u jedinou ot´azku a z odpovˇedi vyvodil, kter´a z cest vede k n´adraˇz´ı. Je to moˇzn´e? Naleznete znˇen´ı t´eto ot´azky? Pˇrevzato z (Opava, Z., 1989).
´ 1.3. ULOHY
29
Pˇ r´ıklad 1.47 (Test logick´ eho myˇ slen´ı od Allana Gintela): N´asleduj´ıc´ı test, kter´ y vypracoval psycholog Allan Gintel, by mˇel uk´azat vaˇsi schopnost vyvodit spr´avn´e ˇreˇsen´ı, kter´e vypl´ yv´a z urˇcit´ ych v´ yrok˚ u a z´aroveˇ n by mˇel provˇeˇrit rychlost vaˇseho uvaˇzov´an´ı. N´asleduj´ıc´ı v´ yroky jsou ve skuteˇcnosti nesmysln´e, avˇsak je tˇreba vych´azet z toho, ˇze prvn´ı dva v´ yroky z kaˇzd´e u ´lohy jsou spr´avn´e. Z´avˇer z nich vˇsak m˚ uˇze, anebo t´eˇz nemus´ı b´ yt spr´avn´ y. Pokud se V´am zd´a z´avˇer tˇret´ıho v´ yroku spr´avn´ y, oznaˇcte ho slovem ANO, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe NE. Na vypracov´an´ı kaˇzd´e z u ´loh m´ate k dispozici jen 20 sekund. 1. Vˇsechny ˇza´by jsou modr´e. Tento k˚ un ˇ je modr´ y. Proto tento k˚ un ˇ je ˇza´ba. 2. Vˇsichni ˇz´aci jsou ryby. Nˇekteˇr´ı ˇza´ci jsou mloci. Proto nˇekteˇr´ı mloci jsou ryby. ˇ e body maj´ı vˇsechny domy. Proto nˇekter´e 3. Nˇekter´e mraky maj´ı ˇcern´e body. Cern´ mraky jsou domy. 4. Vˇsechny myˇsi jsou hranat´e. Vˇsechno hranat´e je modr´e. Proto vˇsechny myˇsi jsou modr´e. 5. Vˇsechny ovce jsou sloni. Nˇekteˇr´ı sloni jsou ˇc´api. Proto vˇsechny ovce jsou ˇca´pi. 6. Nˇekteˇr´ı lid´e, kteˇr´ı maj´ı r´adi Alici, nemaj´ı r´adi Roberta. Proto lid´e, kteˇr´ı maj´ı r´adi Roberta, nemaj´ı r´adi Alici. 7. Nˇekteˇr´ı psi r´adi recituj´ı b´asnˇe. Vˇsichni psi jsou laviny. Proto nˇekter´e laviny r´ady recituj´ı b´asnˇe. 8. Nikdo s ˇcerven´ ym nosem nem˚ uˇze b´ yt premi´erem. Vˇsichni muˇzi maj´ı ˇcerven´e nosy. Proto ˇza´dn´ y muˇz nem˚ uˇze b´ yt premi´erem. 9. Vˇsichni jezevci jsou sbˇeratel´e umˇen´ı. Nˇekteˇr´ı sbˇeratel´e umˇen´ı ˇzij´ı v nor´ach. Proto nˇekteˇr´ı jezevci ˇzij´ı v nor´ach. 10. Nikdo s fialov´ ymi vlasy nen´ı mlad´ y. Nˇekteˇr´ı lid´e, kteˇr´ı maj´ı fialov´e vlasy, pij´ı ml´eko. Proto nˇekteˇr´ı lid´e, kteˇr´ı pij´ı ml´eko, nejsou mlad´ı. Pˇ r´ıklad 1.48 (Hry na internetu): Zkuste si zahr´at logick´e hry na internetu, napˇr´ıklad na hhttp://www.plastelina.net/games/i. Procviˇc´ıte se nejen v logice ale i v angliˇctinˇe.
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
30
1.4
Ot´ azky ke zkouˇ sce
1.4.1
Jak se vyhnout testu z t´ eto kapitoly
´ Vymyslete re´alnou logickou u ´lohu (podobnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 1.9) a vyˇreˇste ji. Uloha mus´ı m´ıt alespoˇ n ˇctyˇri logick´e promˇenn´e a zad´an´ı mus´ı obsahovat alespoˇ n ˇsest podm´ınek“. Vy” pracovanou u ´lohu odevzdejte ve form´atu PDF prostˇrednictv´ım str´anek pˇredmˇetu v dan´em term´ınu. Smyslem nen´ı, abyste mechanicky ˇreˇsili nˇejak´ y umˇel´ y“ pˇr´ıklad (to m˚ uˇzete pˇrij´ıt na ” ˇ ım re´alnˇejˇs´ı a ˇc´ım zaj´ımavˇejˇs´ı u test), ale abyste projevili svoji tvoˇrivost. C´ ´loha bude a ˇc´ım v´ıce pojm˚ u z t´eto kapitoly pouˇzijete a vyhodnot´ıte, t´ım bude u ´loha ohodnocena v´ıce body (maximum bod˚ u za u ´lohu je stejn´e jako maximum bod˚ u za test). Podm´ınkou je, ˇze dva studenti nebudou m´ıt stejnou nebo podobnou u ´lohu s ostatn´ımi ani se studenty z minul´ ych let.
1.4.2
Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Orientovat se v pojmech definice, vˇeta, d˚ ukaz. • Zn´at z´akladn´ı pojmy z v´ yrokov´e logiky (symboly, z´akladn´ı logick´e spojky atd.). • Umˇet vyhodnotit pravdivostn´ı ohodnocen´a v´ yrokov´e formule do pravdivostn´ı tabulka a Carnaughovy mapy. • Umˇet urˇcit minim´aln´ı DNF z Carnaughovy mapy. • Umˇet negovat logick´e v´ yroky.
1.4.3
Ot´ azky na rozmyˇ slenou pro jedniˇ ck´ aˇ re“ ”
ˇ sen´ı re´aln´ • Reˇ ych logick´ ych situac´ı, viz pˇr´ıklady 1.40 aˇz 1.45 a jejich tvorba. • Pˇr´ıklady na d˚ ukazy.
´ ˇ 1.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
31
32
´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA
Kapitola 2 Vektorov´ a a maticov´ a algebra V t´eto kapitole se koneˇcnˇe dost´av´ame k line´arn´ı algebˇre. Nejprve si zavedeme pojem aritmetick´y vektor a operace s n´ım spojen´e, jako je sˇc´ıt´an´ı, odˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı konstantou. D´ale se zamˇeˇr´ıme na vlast-
a11 a 21 a31
a12 a22 a32
a13 x1 b1 a23 x2 = b2 a33 x3 b3
nosti aritmetick´ ych vektor˚ u, jak´ ymi jsou napˇr´ıklad rovnost a nerovnost a na nejz´asadnˇejˇs´ı pojem spojen´ y s aritmetick´ ymi vektory, kter´ ym je line´ arn´ı z´avislost respektive line´ arn´ı nez´ avislost vektor˚ u. V dalˇs´ı ˇca´sti t´eto kapitoly si zavedeme pojem matice a pojmy s n´ı spojen´e : indexy prvk˚ u matice, nulov´ a matice, ˇctvercov´ a matice, jednotkov´ a matice, horn´ı respektive doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice, diagon´ aln´ı matice, transponovan´ a matice a tak d´ale. Nakonec si uk´aˇzeme, jak pˇrepisovat soustavy line´arn´ıch rovnic do maticov´eho tvaru a uvedeme v danou chv´ıli nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı vlastnost, kterou je hodnost matice. Ve tˇret´ı ˇc´asti t´eto kapitoly se sezn´am´ıme s maticovou algebrou. Nauˇc´ıme se, jak se matice mezi sebou n´ asob´ı, jak se n´asob´ı matice a vektory a jak toho m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇri ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic. V souvislosti s t´ımto si uvedeme Frobeniovu vˇetu, kter´a n´am ˇr´ık´a, kdy m´a soustava rovnic ˇreˇsen´ı a nauˇc´ıme se Gaussovu eliminaˇcn´ı metodu, kter´a je jednou z nejz´akladnˇejˇs´ıch a nejjednoduˇsˇs´ıch numerick´ ych metod pro ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic. ˇ ´ , M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B., 2000; Krajn´ık, E., Cerpat budeme zejm´ena z (Demlova 2004), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 33
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
34
2.1
Aritmetick´ e vektory
Definice 2.1 (Aritmetick´ y vektor): Necht’ n ∈ N a x1 , x2 , x3 , . . . , xn ∈ R, pak aritmetick´ym vektorem nazveme uspoˇr´adanou n-tici x1 x2 x = x3 . . .. xn
(2.1)
ˇ ıslo xi je i-t´ Mnoˇzinu vˇsech n-rozmˇern´ ych aritmetick´ ych vektor˚ u znaˇc´ıme Rn . C´ y ˇclen (prvek) aritmetick´eho vektoru a ˇc´ıslo i naz´ yv´ame jeho indexem.
I
Pozn´ amka: Nam´ısto pojmu aritmetick´ y vektor, budeme zkr´acenˇe ˇr´ıkat pouze vektor.2 Pozn´ amka: Pro u ´sporu m´ısta budeme vektor (2.1) zapisovat pomoc´ı transpozice takto h x=
x1 x2 x3 . . . x n
iT
.
2
Pˇ r´ıklad 2.1: Uved’te nˇekolik jedno-, dvou-, tˇr´ı-, ˇctyˇr- a pˇeti-rozmˇern´ ych vektor˚ u. ˇ sen´ı: . Reˇ
Obr´azek 2.1: Rovina R2 s vektory xi
.
X
Pozn´ amka: Vektory a jejich prvky v Matlabu zad´av´ame takto:
.
2
´ VEKTORY 2.1. ARITMETICKE
35
ˇ ık´ame, ˇze Definice 2.2 (Rovnost vektor˚ u): Necht’ x, y ∈ Rn . R´ x=y
⇔
xi = yi
∀i = 1, 2, 3, . . . , n.
V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze jsou vektory r˚ uzn´e a zapisujeme x 6= y.
I
Pˇ r´ıklad 2.2 (Rovnost vektor˚ u): Uvaˇzujte vektory a = [1, −3, 2]T , b = [1, −3, b3 ]T a c = [1, c2 ]T , kde b3 , c2 ∈ R. Urˇcete b3 a c2 tak, aby platilo a = b, a = c. ˇ sen´ı: . Reˇ
.
X
Definice 2.3 (Souˇ cet a rozd´ıl vektor˚ u): Necht’ x, y ∈ Rn , pak u=x+y
⇔
ui = x i + y i ,
∀i = 1, 2, 3, . . . , n.
v =x−y
⇔
v i = xi − y i ,
∀i = 1, 2, 3, . . . , n. I
Pozn´ amka: Plat´ı x + y = y + x?
Obr´azek 2.2: Rovina R2 – sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u
2
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
36
Pˇ r´ıklad 2.3 (Souˇ cet a rozd´ıl vektor˚ u): Uvaˇzujte vektory z R3 x = [x1 , −4, 2]T , y = [1, 3, y3 ]T a z = [1, z2 , 7]T , kde x1 , y3 , z2 ∈ R. Urˇcete x1 , y3 a z2 tak, aby platilo a) x + y = z, b) y − x = z. ˇ sen´ı: . Reˇ
.
X
Definice 2.4 (N´ asoben´ı skal´ arem): Necht’ x ∈ Rn a α ∈ R, pak u = αx
⇔
ui = αxi
∀i = 1, 2, 3, . . . , n.
Re´aln´ ym ˇc´ısl˚ um α v souvislosti s vektory ˇr´ık´ame skal´ary.
I
Pozn´ amka: Plat´ı αx = xα?
2
Obr´azek 2.3: Rovina R2 – n´asoben´ı vektoru skal´ arem
´ VEKTORY 2.1. ARITMETICKE
37
Pˇ r´ıklad 2.4 (N´ asoben´ı skal´ arem): Uvaˇzujte vektory z ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 2.3a) a urˇcete v = −3y + 6x − z. ˇ sen´ı: Reˇ v = −3y + 6x − z =
.
X
Definice 2.5 (Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u): Necht’ a1 , a2 , a3 , . . . , am−1 , am ∈ Rn a x ∈ Rn . x je line´arn´ı kombinac´ı a1 , a2 , a3 , . . . , am−1 , am ⇔ ∃α1 , α2 , α3 , . . . , αm ∈ R tak, ˇze plat´ı x = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 + . . . + αm−1 am−1 + αm am =
m X
αi ai .
i=1
I
Obr´azek 2.4: Rovina R2 – line´arn´ı kombinace vektor˚ u
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
38
Pˇ r´ıklad 2.5 (Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u): Urˇcete, zda je vektor x = [0, 1]T line´arn´ı kombinac´ı vektor˚ u: a) a1 = [1, 2]T , a2 = [2, −1]T , b) b1 = [1, 2]T , b2 = [−1, −2]T . ˇ sen´ı: Nejprve vyˇreˇs´ıme variantu a). Reˇ
Obr´ azek 2.5: Rovina R2
Nyn´ı varianta b).
Obr´ azek 2.6: Rovina R2
X
´ VEKTORY 2.1. ARITMETICKE
39
Vˇ eta 2.1: Necht’ x ∈ Rn je line´arn´ı kombinac´ı a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn . Je-li ∀ai line´ arn´ı kombinac´ı b1 , b2 , . . . , bk ∈ Rn , potom je x line´arn´ı kombinac´ı b1 , b2 , . . . , bk . D˚ ukaz: .
Definice 2.6 (Nulov´ y vektor): Necht’ x ∈ Rn a plat´ı xi = 0
∀i = 1, 2, 3, . . . , n,
pak tento vektor naz´ yv´ame nulov´y a zapisujeme x = 0. Vektor, kter´ y nen´ı nulov´ y, naz´ yv´ame nenulov´ y.
I
Definice 2.7 (Nulov´ a line´ arn´ı kombinace vektor˚ u): Necht’ a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn a α1 , α2 , . . . , αm ∈ R. Jestliˇze plat´ı α1 a1 + α2 a2 + . . . + αm am =
m X
αi ai = 0,
i=1
potom tuto line´arn´ı kombinaci vektor˚ u a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn naz´ yv´ame nulovou. Pro αi = 0 ∀i = 1, 2, . . . , m ji naz´ yv´ame trivi´aln´ı. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe netrivi´aln´ı.
I
40
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
Definice 2.8 (Line´ arnˇ e nez´ avisl´ e vektory): Jestliˇze existuje netrivi´aln´ı nulov´a line´arn´ı kombinace vektor˚ u a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn , potom tyto vektory naz´ yv´ame line´ arnˇe z´avisl´e . V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe line´ arnˇe nez´avisl´e .
I
Pˇ r´ıklad 2.6 (Line´ arnˇ e nez´ avisl´ e vektory): Uvaˇzujte vektory 5 3 1 x3 = x2 = x1 = 2 . 4 , 0 , 7 0 2 Urˇcete, zda jsou tyto vektory line´arnˇe z´avisl´e ˇci nez´avisl´e. ˇ sen´ı: . Reˇ
X Pˇ r´ıklad 2.7 (Line´ arnˇ e nez´ avisl´ e vektory): 3 1 x2 = −4 x 1 = 1 , 0 2
Uvaˇzujte vektory −6 . , x = 9 3 2
Urˇcete, zda jsou tyto vektory line´arnˇe z´avisl´e ˇci nez´avisl´e.
´ VEKTORY 2.1. ARITMETICKE
41
ˇ sen´ı: . Reˇ
ˇ sme rovnici Pod´ıvejme se na tento pˇr´ıklad jeˇstˇe z jin´eho pohledu. Reˇ α1 x1 + α2 x2 = x3 . Je moˇzn´e takto postupovat pˇri hled´an´ı ˇreˇsen´ı?
X
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
42
Vˇ eta 2.2: Necht’ a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn . 1. Je-li m = 1, potom a1 je line´arnˇe z´avisl´y ⇔ a1 = 0. 2. Je-li m > 1, potom a1 , a2 , . . . , am jsou line´arnˇe z´avisl´e ⇔ ∃k (1 ≤ k ≤ m), ˇze ak je line´arn´ı kombinac´ı zb´yvaj´ıc´ıch vektor˚ u. D˚ ukaz: Tuto vˇetu jsme vlastnˇe jiˇz pouˇzili v pˇr´ıkladˇe 2.7. Nyn´ı si ji dok´aˇzeme. Nejprve pro pˇr´ıpad m = 1.
Nyn´ı pro m ≥ 1.
Vˇ eta 2.3: Pˇrid´ ame-li k line´arnˇe z´avisl´ym vektor˚ u dalˇs´ı vektory, dostaneme jiˇz jen vektory line´arnˇe z´avisl´e. D˚ ukaz: .
´ VEKTORY 2.1. ARITMETICKE
43
Pˇ r´ıklad 2.8: Otestujte platnost pˇredchoz´ı vˇety na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 2.4: Necht’ a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn . Je-li n < m, potom jsou tyto vektory vˇzdy line´ arnˇe z´avisl´e. D˚ ukaz: .
Pˇ r´ıklad 2.9: Otestujte platnost pˇredchoz´ı vˇety na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe. ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
44
2.2
Matice
Pˇ r´ıklad 2.10: Uvaˇzujte soustavu rovnic z pˇr´ıkladu 2.7 −6α3 + α1 + 3α2 = 0 −4α2 + α1 + 9α3 = 0 2α1 + 2α3 = 0 a zapiˇste ji do maticov´e podoby. ˇ sen´ı: Nejprve si rovnice porovn´ame“. Reˇ ”
X Pozn´ amka: Matice a jejich prvky v Matlabu zad´av´ame takto:
.
2
2.2. MATICE
45
Definice 2.9 (Matice): Sch´ema sestaven´e z a a12 11 a21 a22 A= . .. .. . am1 am2
re´aln´ ych (komplexn´ıch) ˇc´ısel aij ∈ R (C) . . . a1n . . . a2n , .. .. . . . . . amn
kde i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n, naz´ yv´ame re´alnou (komplexn´ı) matic´ı typu m × n. Zapisujeme A ∈ Rm×n (Cm×n ). Uspoˇra´dan´e dvojici index˚ u [i, j] ˇr´ık´ame pozice v matici A, ˇc´ıslu aij ˇr´ık´ame prvek na m´ıstˇe [i, j]. Matici A m˚ uˇzeme struˇcnˇe zapsat takto A = [aij ] , kde i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n. D´ale i-t´ y ˇra´dek a j-t´ y sloupec matice A znaˇc´ıme a1j a2j h i ai: = ai1 ai2 . . . ain , a:j = . , .. amj i je ˇra´dkov´ y index, j je sloupcov´ y index.
I
ˇ ık´ame, ˇze Definice 2.10 (Rovnost matic): Necht’ A, B ∈ Rm×n . R´ A=B
⇔
aij = bij
∀i = 1, 2, 3, . . . , m,
∀j = 1, 2, 3, . . . , n.
V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze jsou matice r˚ uzn´e a zapisujeme A 6= B.
I
Definice 2.11 (Nulov´ a matice): Necht’ A ∈ Rm×n a plat´ı aij = 0
∀i = 1, 2, 3, . . . , m,
∀j = 1, 2, 3, . . . , n,
pak tuto matici naz´ yv´ame nulovou a zapisujeme A = O. Matici, kter´a nen´ı nulov´a, naz´ yv´ame nenulovou.
I
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
46
Definice 2.12 (Hodnost matice): Necht’ A ∈ Rm×n . Potom h ∈ N0 rovn´e maxim´aln´ımu poˇctu line´arnˇe nez´avisl´ ych ˇra´dk˚ u A nazveme hodnost´ı A. Zapisujeme h = hod (A). Pokud h = m, ˇr´ık´ame, ˇze A m´a plnou hodnost.
I
Pˇ r´ıklad 2.11 (Hodnost matice): Urˇcete hodnosti n´asleduj´ıc´ıch matic " A=
0 0 0 0
# ,
" B=
1 2 0 6
# ,
" C=
1
2
3
−4 −8 −12
#
1 2
,
. D= 4 7 2 4
ˇ sen´ı: Matice A: Reˇ Matice B :
Matice C :
Matice D :
X
Urˇcovat hodnost matice pˇr´ımo z definice 2.12 je pro sloˇzitˇejˇs´ı matice obt´ıˇzn´e a poˇc´ıt´an´ı, zda jsou ˇr´adky line´arnˇe z´avisl´e ˇci nez´avisl´e, zdlouhav´e. Proto budeme pro urˇcen´ı hodnosti matic pˇrev´aˇznˇe vyuˇz´ıvat n´asleduj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 2.5: Necht’ B ∈ Rm×n vznikla z A ∈ Rm×n nˇekterou z n´asleduj´ıc´ıch u ´prav: ˇ adky A nap´ıˇseme v jin´em poˇrad´ı. • R´ • Sloupce A nap´ıˇseme v jin´em poˇrad´ı. • Nˇekter´y ˇra´dek A vyn´asob´ıme nenulov´ym re´ aln´ym ˇc´ıslem. • K jednomu ˇr´ adku A pˇriˇcteme skal´arn´ı n´asobek jin´eho ˇr´ adku A. • V A vynech´ ame jej´ı nulov´y ˇr´ adek. Potom hod (A) = hod (B).
2.2. MATICE
47
D˚ ukaz: .
Pˇ r´ıklad 2.12 (Hodnost matice): Urˇcete hodnost matice z u ´vodu t´eto kapitoly 1 3 −6 A = 1 −4 9 . 2 0 2 ˇ sen´ı: Budeme upravovat A tak, aby mˇela v prvn´ım sloupci sam´e nuly kromˇe prvn´ıho Reˇ ˇr´adku, ve druh´em sloupci sam´e nuly kromˇe prvn´ıch dvou ˇra´dk˚ u a tak d´ale.
Ovˇeˇrte sami toto ˇreˇsen´ı pomoc´ı testu line´arn´ı z´avislosti vektor˚ u.
X
48
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
Vˇ eta 2.6: Hodnost matice se nezmˇen´ı, jestliˇze v n´ı vynech´ ame ˇr´ adek, kter´y je line´arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch ˇr´ adk˚ u. D˚ ukaz: .
Pˇ r´ıklad 2.13 (Hodnost matice): Urˇcete hodnost matice 1 2 4 . A= 2 4 8 0 1 1 ˇ sen´ı: Postupujeme podle vˇety 2.6. Reˇ
ˇ sen´ı jeˇstˇe ovˇeˇr´ıme postupem z pˇr´ıkladu 2.12. Reˇ
X
2.2. MATICE
49
Urˇcit hodnost matice je velmi akademick´ y“ probl´em, ale z hlediska praxe je tato ” vlastnost celkem sloˇzit´a. Uk´aˇzeme si to na n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 2.14 (Numerick´ y probl´ em s hodnost´ı matice): Uvaˇzujte matici # " 1 0 A= , a22 ∈ h0, 1i. 1 a22 Urˇcete hodnost matice v z´avislosti na parametru a22 . ˇ sen´ı: Pro a22 = 1 Reˇ Pro a22 = 1 Pro a22 = 10−3 Pro a22 = 10−10 Pro a22 = 10−16 X Definice 2.13 (Transponovan´ a matice): Necht’ A ∈ Rm×n . Matici B ∈ Rn×m nazveme transponovanou k A je-li ∀bi: = a:i . P´ıˇseme B = AT .
Vˇ eta 2.7: Necht’ A ∈ Rm×n m´a hod (A) = h. Pak hod (AT ) = h. D˚ ukaz: .
I
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
50
Pˇ r´ıklad 2.15 (Hodnost matice): Uvaˇzujte matici A z pˇr´ıkladu 2.13 a urˇcete hodnost matice AT . ˇ sen´ı: Reˇ AT =
X Vˇ eta 2.8: Necht’ A ∈ Rm×n . Pak plat´ı hod (A) ≤ min {m, n}. D˚ ukaz: .
Pˇ r´ıklad 2.16 (Hodnost matice): Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 2.8. ˇ sen´ı: Zkusme urˇcit hodnost matice D z pˇr´ıkladu 2.11. Reˇ
X
2.2. MATICE
51
Zadefinujme si jeˇstˇe nˇekolik pojm˚ u t´ ykaj´ıc´ı se matic, kter´e budeme vyuˇz´ıvat v dalˇs´ıch kapitol´ach. ˇ Definice 2.14 (Ctvercov´ a matice): A ∈ Rm×n nazveme ˇctvercovou ⇔ m = n. Tak´e zapisujeme A ∈ Rn×n .
I
Definice 2.15 (Diagon´ aln´ı matice): Matici D ∈ Rn×n nazveme diagon´ aln´ı ⇔ dij = 0 ∀i 6= j.
I
Definice 2.16 (Troj´ uheln´ıkov´ a matice): Matici A ∈ Rn×n nazveme horn´ı troj´ uheln´ıkovou ⇔ aij = 0 ∀i > j. Matici A ∈ Rn×n nazveme doln´ı troj´ uheln´ıkovou ⇔ aij = 0 ∀i < j.
I
Definice 2.17 (Jednotkov´ a matice): Matici I ∈ Rn×n nazveme jednotkovou ⇔ iij = 1 ∀i = j ∧ iij = 0 ∀i 6= j.
I
Pozn´ amka: Poznamenejme, ˇze matematici obvykle znaˇc´ı jednotkovou matici p´ısmenem E. My zde ale budeme pouˇz´ıvat p´ısmeno I, kter´e je obvykl´e v technick´ ych literatur´ach.
2
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
52
2.3
Maticov´ a algebra
Definice 2.18 (Souˇ cet matic): Necht’ A = [aij ] ∈ Rm×n , B = [bij ] ∈ Rm×n . Potom pro souˇcet, rozd´ıl a α n´asobek plat´ı C =A+B
cij = aij + bij
∀i, ∀j ,
C =A−B
cij = aij − bij
∀i, ∀j ,
C = αA
cij = α aij
∀i, ∀j .
Pˇ r´ıklad 2.17: Uvaˇzujte matice " # 1 3 6 A= , 0 2 8
" B=
1 2 2 0 6 4
I
# ,
a urˇcete C = A − 2B. ˇ sen´ı: Reˇ
X Definice 2.19 (Souˇ cin matic): Necht’ A = [aij ] ∈ Rm×n , B = [bij ] ∈ Rn×p . Potom pro souˇcin C = [cij ] ∈ Rm×p plat´ı C = AB, cij =
n X
aik bkj =
∀i, ∀j .
k=1
I
´ ALGEBRA 2.3. MATICOVA
53
Pˇ r´ıklad 2.18: Uvaˇzujte matice A, B z pˇr´ıkladu 2.17 a urˇcete • C = AB, • D = AB T , • E = AT B. ˇ sen´ı: Reˇ C = AB =
D = AB T =
E = AT B =
X Pozn´ amka: Kdy je definovan´ y souˇcin matic? .
2
Pozn´ amka: Plat´ı obecnˇe AB = BA?
2
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
54
Vˇ eta 2.9: Necht’ A, B, C. Pak plat´ı (za pˇredpokladu spr´avn´ych rozmˇer˚ u matic): • asociativita . • distributivita .
(A + B) + C = (AB)C = A(B + C) = (A + B)C =
Pˇ r´ıklad 2.19: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 2.9. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: Necht’ A ∈ Rm×n a B ∈ Rm×n . Je-li A = O ∨ B = O, pak AB = O. Existuj´ı vˇsak nenulov´e matice, jejichˇz souˇcin je matice nulov´a. Napˇr´ıklad # #" " 4 6 3 6 = −2 −3 2 4 Nenulov´ ym matic´ım, jejichˇz souˇcin je matice nulov´a, ˇr´ık´ame dˇelitel´e nuly.
2
´ ALGEBRA 2.3. MATICOVA
55
Vˇ eta 2.10: Necht’ A ∈ Rm×n . Pak plat´ı IA = A = AI , kde I maj´ı pˇr´ısluˇsn´e rozmˇery. Pˇ r´ıklad 2.20: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 2.10. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 2.11: Necht’ A, B a α ∈ R. Pak plat´ı (za pˇredpokladu spr´avn´ych rozmˇer˚ u matic): • (A + B)T = • (αA)T = • (AB)T = Pˇ r´ıklad 2.21: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 2.11. ˇ sen´ı: Reˇ
X
56
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
Vˇ eta 2.12: Necht’ A ∈ Rm×n . Pak plat´ı hod (αA) = hod (A)
α ∈ R\{0}.
D˚ ukaz: .
Pˇ r´ıklad 2.22: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 2.12. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 2.13: Kaˇzdou ˇr´ adkovou (sloupcovou) element´arn´ı u ´pravu A (kromˇe vynech´ an´ı nulov´eho ˇr´ adku (sloupce)) lze prov´est tak, ˇze A vyn´ asob´ıme zleva (zprava) matic´ı P, kter´a vznikla z I stejnou element´arn´ı u ´pravou.
´ ALGEBRA 2.3. MATICOVA
57
Pˇ r´ıklad 2.23: Ovˇeˇrte na u ´prav´ach v pˇr´ıkladˇe 2.12 platnost vˇety 2.12. ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
58
Pˇ r´ıklad 2.24 (Skl´ ad´ an´ı matic): Uvaˇzujte matice " # " # " # 1 1 3 2 7 1 2 1 A= , B= , C= , 1 5 3 4 1 2 6 5 Urˇcete
"
AB T O O
I
#"
C
" I=
1 0 0 1
# .
#
I
kde O je nulov´a matice pˇr´ısluˇsn´e dimenze. ˇ sen´ı: Nejprve dosad’me ˇc´ısla a pot´e vyn´asobme matice. Reˇ
Nyn´ı nejprve obecnˇe rozn´asob´ıme matice a aˇz pot´e dosad’me ˇc´ıseln´e hodnoty.
Nyn´ı zkuste cel´ y v´ yraz transponovat a dopoˇc´ıtat. Ã" #" #!T AB T O C = O I I
X
´ ALGEBRA 2.3. MATICOVA
2.3.1
59
ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic
Zaˇcnˇeme nejprve dvˇema pˇr´ıklady. Pˇ r´ıklad 2.25: Uvaˇzujte soustavu rovnic x1 + 3y1 + 2y2 = 7 3y2 + 6x2 = 2 x1 + 4y2 + 3x2 = 3 5x2 + 2y2 + 2y1 = 8 a najdˇete jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ
Ukaˇzme si, jak vyˇreˇsit tuto soustavu pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody.
X
60
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
Pˇ r´ıklad 2.26: Uvaˇzujte soustavu rovnic x1 + 2x2 = 1 2x1 + 9x2 − 2x3 = 2 2x1 − x2 + 2x3 = 3 a najdˇete jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 2.14 (Frob´ eniova vˇ eta): Necht’ A ∈ Rm×n , b ∈ Rm×1 . Maticov´ a rovnice Ax = b m´a ˇreˇsen´ı ⇔
¡ ¢ ¡ ¢ hod A = hod [A b ] .
Nav´ıc jestliˇze hod (A) = n, pak m´a rovnice ˇreˇsen´ı jedno, jestliˇze hod (A) < n, pak m´a rovnice nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 2.27 (Frob´ eniova vˇ eta): Ovˇeˇrte platnost vˇety 2.14 na pˇr´ıkladech 2.25 a 2.26. ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ ALGEBRA 2.3. MATICOVA
61
Pˇ r´ıklad 2.28 (Frob´ eniova vˇ eta): Ovˇeˇrte platnost vˇety 2.14 pro soustavu rovnic x1 + 2x2 = 1 −4x1 − 18x2 + 4x3 = −4 3x1 + 11x2 − 2x3 = 3 3x1 + 16x2 − 4x3 = 3 . ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
62
´ Ulohy
2.4 2.4.1
Aritmetick´ e vektory
Pˇ r´ıklad 2.29: Uvaˇzujte vektory h x1 =
2 1 0
iT
h ,
x2 =
−2,5 −3 5
iT
h ,
x3 =
1,5 2,5 −4
iT
a vypoˇc´ıtejte a) a = x1 − x2 + x3 , b) b = 2x1 − 2x2 + 2x3 , c) c = 4x1 − 3(x2 − 5x3 ), d) d = x2 − (x1 − x3 ), h ³ ¡ ¢´i e) e = x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x1 − 5 (x2 + 6x3 ) . Pˇ r´ıklad 2.30: Zjistˇete, zda jsou vektory " # 1 a1 = , 0
" a2 =
0
#
1
line´arnˇe z´avisl´e. Zakreslete vektory do kart´ezsk´ ych souˇradnic a diskutujte V´aˇs z´avˇer tohoto pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 2.31: Pˇridejte k vektor˚ um z pˇr´ıkladu 2.30 vektor " # 2 a3 = 1 a zjistˇete, zda jsou vektory a1 , a2 a a3 line´arnˇe z´avisl´e. Zakreslete vektory do kart´ezsk´ ych souˇradnic a diskutujte V´aˇs z´avˇer tohoto pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 2.32: Naleznˇete vˇsechna t ∈ R tak, aby byly vektory " # " # 1 −2 a1 = , a2 = 2 t line´arnˇe z´avisl´e.
´ 2.4. ULOHY
63
Pˇ r´ıklad 2.33: Vyj´adˇrete vektor x = [0, 2, −2]T jako line´arn´ı kombinaci vektor˚ u −3 2 1 a1 = 9 , a2 = 0 , a3 = −2 . −12 2 3 Pˇ r´ıklad 2.34: Vyj´adˇrete vektor x = [4, −5, 5, 6]T jako line´arn´ı kombinaci vektor˚ u −2 4 2 3 −3 1 . a3 = a2 = a1 = , , 1 1 0 −3 2 −3 Pˇ r´ıklad 2.35: Zjistˇete, zda jsou vektory 3 1 4 2 , , a2 = a1 = −1 −2 1 0
1
−2
3 a4 = 3 −2
5 a3 = 7 , 0
line´arnˇe z´avisl´e. Pˇ r´ıklad 2.36: Zjistˇete, zda jsou vektory 2 1 7 3 a1 = a2 = −2 , −2 , 1 5
1
4 a3 = 1 , 3
1
5 a4 = 1 9
line´arnˇe z´avisl´e. Pˇ r´ıklad 2.37: Dokaˇzte, ˇze jsou vektory 1 s a2 = s a1 = 1 , , t t
s a3 = t , 0
kde s, t ∈ R, line´arnˇe z´avisl´e. Ovˇeˇrte ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u v Matlabu. Dalˇs´ı pˇr´ıklady si m˚ uˇzete vymyslet ˇ sen´ı lehce ovˇeˇr´ıte bud’ zkouˇskou nebo v poˇc´ıtaˇci. sami. Reˇ
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
64
2.4.2
Matice
Pˇ r´ıklad 2.38: Urˇcete hodnost n´asleduj´ıc´ıch matic. 1 2 3 1 0 0 1 0 0 C= A= B= 0 0 0 0 4 5 0 1 0 0 0 6 0 0 1 0 0 1
1 2 3
D= 2 3 4 6 7 1
Pˇ r´ıklad 2.39: Urˇcete hodnost n´asleduj´ıc´ıch matic. 2 3 −5 2 1 1 2 −1 1 0 4 G= 3 0 E= 2 2 1 F = 3 3 −1 1 3 −9 −5 4 1 4 0 5 6 −6 1 2 3 1 4 5 6 2 5 6 4 2 1 H= 5 7 9 K= 3 J = 7 5 9 4 4 6 9 12 4 9 6 12 3 6 2 4 6 5
3
1
3
3
5
6 −1 −9 −6
3 5
7
4 6
8
9
10 5 7 9 1 6 8 10 2 7 9 1 3
Pˇ r´ıklad 2.40: Urˇcete takov´e r ∈ R, aby mˇely n´asleduj´ıc´ı matice nejmenˇs´ı hodnost. 3 1 2 1 2 0 M = 3 + 3r 2 L = 2 r −2 4 9 + 3r 4 6 + 2r 2 −1 2 Pˇ r´ıklad 2.41: Urˇcete hodnost matice J v z´avislosti na parametru ϕ ∈ h0, π/2i, kde " # 1 0 N= . cos ϕ sin ϕ Zakreslujte pˇr´ısluˇsn´e vektory (tvoˇren´e sloupci matice J ) do kart´ezsk´ ych souˇradnic a diskutujte hodnost matice J v z´avislosti na parametru ϕ. Pˇ r´ıklad 2.42: 1 4 P = 7 10 13
Urˇcete hodnost n´asleduj´ıc´ıch 1 2 3 3 5 6 Q= 5 8 9 7 11 12 9 14 15
matic. 2 4 6 8 10
3 2 1 2 3
2 1 0 R= 1 0 8 2 1 0 3 2 1
1 2 0 1 1 2 2 3
´ 2.4. ULOHY
3 7 −11 9 11 4 8 0 4 −7 8 0 −1 8 5 1 −4 3 11 3 0 5 4 −7 8 0 −1 8 −3 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 −1 −2 −3 −4 −5 −6 0 1 −4 3 11 3 0 5
T =
S=
65
1
−4
3
11
3
0
3
−4
1
11
5
0
Pˇ r´ıklad 2.43: Urˇcete hodnost matic 1 6 3 4 , U = 0 s + 4 −2 s + 3 2 s + 12 10 s + 6
5
3
11
3
0
1
11
5
0
3 9 11 4 8 0 8 0 −1 8 5 3 11 3 0 5 8 0 −1 8 −3 0 0 0 0 0 3 4 5 6 7 −3 −4 −5 −6 0 3 11 3 0 5
5
3
1 2 3
4 1
, W = s 2 0 s2 3 5
, V = 3 2 1 s 5 8
kde s ∈ R. Ovˇeˇrte ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u v Matlabu. Pro v´ ypoˇcet hodnosti matice pouˇzijte jednak funkci rank, jednak funkci svd. Diskutujte odpovˇed’“ Matlabu v z´avislosti na ” nastaven´e toleranci ve funkci rank. Dalˇs´ı pˇr´ıklady si m˚ uˇzete vymyslet sami.
2.4.3
Maticov´ a algebra
Pˇ r´ıklad 2.44: Uvaˇzujte n´asleduj´ıc´ı matice. " A=
2 4 4
#
" B=
1 2 3
" E=
1 2 2 1
1 1 2
#
4 5 3
#
" F =
1 2
C= 5 6 7 1
1 0 1 1
#
1 1
D= 2 0 1 2
1 G= 4 3
Urˇcete A + B, C + D, E − F , AB, BC, AC, AD, BD, AE, EA, BF , F B, F D, AG, BG. Diskutujte vlastnosti maticov´e algebry.
66
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
Pˇ r´ıklad 2.45: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıkladu 2.44. Urˇcete A(EF ), (AE)F , C(BD), ¡ ¢T (CB)D, (AD)T , D T AT , (EF B)T , B T F T E T , (2A + B)T E, GT DE, (AT + 2C)E , F F T . Diskutujte vlastnosti maticov´e algebry. Pˇ r´ıklad 2.46: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıkladu 2.44. Urˇcete " # " # h i2 A A 2 3 2 C, D, E , E , F , , D G B GT " #" # " #" # F 0 CG E 0 CG , , 0 F GT 0 E GT " # h i F 0 T . GT C T G 0 F Diskutujte vlastnosti maticov´e algebry. ˇ ste ˇra´dkov´e a sloupcov´e u Pˇ r´ıklad 2.47: Reˇ ´pravy v pˇr´ıkladech 2.38 aˇz 2.43 pomoc´ı maticov´eho n´asoben´ı (podobnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 2.23). Pˇ r´ıklad 2.48: Urˇcete kolik ˇreˇsen´ı m´a n´asleduj´ıc´ı soustava rovnic. 2x1 + 3x3 + 6x2 = 5 5x2 + 6x3 = −8 x1 + x2 + x3 = 0 Pokud nˇejak´a ˇreˇsen´ı existuj´ı, pak je najdˇete pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. Pˇ r´ıklad 2.49: Urˇcete kolik ˇreˇsen´ı m´a n´asleduj´ıc´ı soustava rovnic. 2x1 + 2y1 + 3x2 = 7 6x2 + 3y2 = 2 4x1 − 6x2 + 4y1 − 6y2 = 10 −9x2 + 2y1 − 6y2 = 3 Pokud nˇejak´a ˇreˇsen´ı existuj´ı, pak je najdˇete pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. Pˇ r´ıklad 2.50: Urˇcete kolik ˇreˇsen´ı m´a n´asleduj´ıc´ı soustava rovnic. x1 + x2 + y1 + y2 = 4 −6x2 − 9y2 − 12y1 = −6 x1 − x2 − 3y1 − 2y2 = 3 Pokud nˇejak´a ˇreˇsen´ı existuj´ı, pak je najdˇete pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody.
´ ˇ 2.5. OTAZKY KE ZKOUSCE
67
Pˇ r´ıklad 2.51: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıkladu 2.44 a urˇcete poˇcet ˇreˇsen´ı soustavy rovnic Cx = G pro nezn´amou x. Pˇ r´ıklad 2.52: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıkladu 2.44 a urˇcete poˇcet ˇreˇsen´ı soustavy rovnic h i C D x=G pro nezn´amou x. Ovˇeˇrte ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u v Matlabu. Dalˇs´ı pˇr´ıklady si m˚ uˇzete vymyslet sami, vyˇreˇsit je a pot´e zkontrolovat pomoc´ı zkouˇsky nebo napˇr´ıklad v Matlabu.
2.5 2.5.1
Ot´ azky ke zkouˇ sce Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Umˇet urˇcit, zda jsou vektory line´arnˇe z´avisl´e ˇci nez´avisl´e. • Umˇet urˇcit hodnost matice. • Umˇet pˇrepsat soustavu rovnic do maticov´eho tvaru a naopak. • Umˇet sˇc´ıtat a n´asobit matice. • Zn´at a umˇet pouˇz´ıvat Frob´eniovu vˇetu. • Umˇet pouˇz´ıvat Gaussovu eliminaˇcn´ı metodu.
2.5.2
Ot´ azky na rozmyˇ slenou pro jedniˇ ck´ aˇ re“ ”
• Dokaˇzte vˇetu 2.1. • Dokaˇzte vˇetu 2.3. • Dokaˇzte vˇetu 2.5. • Dokaˇzte vˇetu 2.10.
68
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA • Dokaˇzte pomoc´ı vˇety 2.11, ˇze plat´ı n´asleduj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 2.15: Necht’ A, B, C ∈ Rn×n , pak plat´ı (ABC)T = C T B T AT . Vˇ eta 2.16: Necht’ A, B, C ∈ Rn×n , pak plat´ı ¡
(A + B)C
¢T
= C T AT + C T B T .
´ ˇ 2.5. OTAZKY KE ZKOUSCE
69
70
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
´ ˇ 2.5. OTAZKY KE ZKOUSCE
71
72
´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA
Kapitola 3 Maticov´ y poˇ cet V kapitole 2 jsme se sezn´amili s pojmy vektor, matice, line´arn´ı z´avislost vektor˚ u, hodnost matice a tak d´ale. Na konci kapitoly jsme si ˇrekli Frob´eniovu vˇetu, kter´a n´am ˇr´ık´a, zda m´a dan´a soustava line´arn´ıch rovnic ˇreˇsen´ı a kolik jich je. Nakonec jsme se sezn´amili s Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou, kter´a
Ax = b ⇓ x = A−1b
je jednou z nejz´akladnˇejˇs´ıch numerick´ ych metod pro ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic. Tyto pojmy jsou z´akladn´ımi stavebn´ımi kameny pro c´ıl line´arn´ı algebry, kter´ ym je ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic. V t´eto kapitole se nejprve zamˇeˇr´ıme na ty soustavy rovnic, kter´e vedou na ˇctvercovou matici soustavy. Zavedeme si nov´e dva pojmy, kter´ ymi jsou determinant matice a inverzn´ı matice a nauˇc´ıme se je poˇc´ıtat. To samozˇrejmˇe v dobˇe v´ ypoˇcetn´ı techniky na dneˇsn´ı u ´rovni nem´a velk´ y v´ yznam, ale je d˚ uleˇzit´e tyto principy pochopit pr´avˇe proto, abychom s poˇc´ıtaˇci mohli efektivnˇe pracovat. V dalˇs´ı ˇca´sti si uk´aˇzeme, jak vyuˇz´ıt tak zvan´e Cramerovo pravidlo. To je v´ yhodn´e pouˇz´ıt v momentˇe, kdy n´as zaj´ım´a jen nˇekter´a nezn´am´a v soustavˇe rovnic. V z´avˇeru kapitoly pˇrehlednˇe shrneme vˇsechny zp˚ usoby a moˇznosti, jak ˇreˇsit soustavy line´arn´ıch rovnic a nauˇc´ıme se systematick´ y postup, jak vˇzdy doj´ıt k c´ıli, to je k nalezen´ı vˇsech ˇreˇsen´ı dan´e soustavy line´arn´ıch rovnic. ˇ ´ , M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B., 2000; Krajn´ık, E., 2004), Cerpat budeme opˇet z (Demlova ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 73
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
74
3.1
Determinant matice
Zopakujme si nejprve pojmy ˇctvercov´a matice, hlavn´ı (vedlejˇs´ı) diagon´ala a pln´a hodnost matice. D´ale zaˇcneme s pˇr´ıkladem, kter´ y moˇzn´a zn´ate. Pˇ r´ıklad 3.1: Uvaˇzujte, ˇze m´ate ˇsachovnici velikosti n × n, n ∈ N. Rozm´ıstˇete na tuto ˇsachovnici n vˇeˇz´ı tak, aby se vz´ajemnˇe neohroˇzovali“. Kolik je moˇznost´ı, jak vˇeˇze roz” m´ıstit? ˇ sen´ı: Zaˇcnˇeme s trivi´aln´ım pˇr´ıpadem, kdy n = 2. Reˇ
ˇ Obr´azek 3.1: Sachovnice velikosti 2 × 2
Poˇcet moˇznost´ı, jak rozm´ıstit 2 vˇeˇze je ... . Nyn´ı pro n = 3.
ˇ Obr´azek 3.2: Sachovnice velikosti 3 × 3
Poˇcet moˇznost´ı, jak rozm´ıstit 3 vˇeˇze je ... . D´ale pro n = 4.
ˇ Obr´azek 3.3: Sachovnice velikosti 4 × 4
Poˇcet moˇznost´ı, jak rozm´ıstit 4 vˇeˇze je ... . Obecnˇe m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze moˇznost´ı, jak rozm´ıstit n vˇeˇz´ı, je ... .
X
3.1. DETERMINANT MATICE
75
Proˇc jsme se t´ımto zab´ yvali? Pom˚ uˇze n´am to zadefinovat n´asleduj´ıc´ı pojem, kter´ ym je determinant ˇctvercov´e matice. Definice 3.1 (Determinant matice): Determinantem A ∈ Rn×n rozum´ıme re´aln´e ˇc´ıslo znaˇcen´e det (A), kter´e je souˇctem n souˇcin˚ u tvaru Y (−1)i+j aij , ij
kde v ˇz´adn´em souˇcinu ˇc´ısel aij se nevyskytuj´ı dvˇe ˇc´ısla z t´ehoˇz ˇra´dku ani z t´ehoˇz sloupce.I Tato definice je asi ponˇekud krkolomn´a, proto si ˇrekneme vˇetu, podle kter´e budeme determinanty matic poˇc´ıtat. Vˇ eta 3.1: Necht’ A ∈ Rn×n, n > 2, pak determinant A vypoˇc´ıt´ ame takto ¯ ¯ n n ¯ ¯ X X ¯ ¯ij )¯ = . . . = ¯ij )¯¯ det (A) = (−1)i+j aij det (A (−1)i+j aij det (A ¯ ¯ j=1
=
n X i=1
j=1
i=1
¯ ¯ ¯ij )¯¯ (−1)i+j aij det (A ¯
= ... = j=1
n X i=1
= (3.1) i=n
¯ ¯ ¯ij )¯¯ (−1)i+j aij det (A ¯
, j=n
¯ij je submatice, kter´a vznikne vynech´ kde A an´ım i-t´eho ˇr´ adku a j-t´eho sloupce v matici A, 2×2 ¯∈R aˇz determinant submatice A je " # ¯ = a11 a12 ¯ = a11 a22 − a12 a21 . A ⇒ det (A) (3.2) a21 a22 D˚ ukaz: Dokaˇzme nejprve pravidlo (3.2).
Pot´e pravidlo (3.1), kter´e si zjednoduˇs´ıme pro n = 3.
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
76 Pˇ r´ıklad 3.2: Urˇcete determinant matice
1 2 3
. A= 5 8 1 2 3 1 ˇ sen´ı: Podle vˇety 3.1 m˚ Reˇ uˇzeme prov´est rozvoj podle libovoln´eho ˇr´adku ˇci sloupce. Zkusme tedy vypoˇc´ıtat determinant matice A rozvojem podle 1. ˇra´dku.
Nyn´ı zkus´ıme vypoˇc´ıtat determinant matice A rozvojem podle ... sloupce. V´ ysledek mus´ı b´ yt samozˇrejmˇe stejn´ y.
3.1. DETERMINANT MATICE
77
Zkuste si sami vypoˇc´ıtat determinant matice A rozvojem podle dalˇs´ıch ˇr´adk˚ u ˇci sloupc˚ u. V´ ysledky mus´ı b´ yt opˇet stejn´e.
X
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
78
Vˇ eta 3.2: Necht’ A ∈ Rn×n je horn´ı nebo doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a nebo diagon´aln´ı matice, potom det (A) =
n Y
aii
∀i = 1, 2, . . . , n.
i=1
D˚ ukaz:
Pˇ r´ıklad 3.3: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.2. ˇ sen´ı: Reˇ
X
3.1. DETERMINANT MATICE
79
Vˇ eta 3.3: Necht’ A ∈ Rn×n . Zamˇen´ıme-li v A libovoln´e dva ˇr´ adky, potom determinant vznikl´e matice je roven − det (A). Pˇ r´ıklad 3.4: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.3. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 3.4: Necht’ A ∈ Rn×n . M´a-li A libovoln´e dva ˇr´ adky stejn´e, potom det (A) = 0. D˚ ukaz:
Pˇ r´ıklad 3.5: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.4. ˇ sen´ı: Reˇ
X
80
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
Vˇ eta 3.5: Necht’ A ∈ Rn×n . Vyn´asob´ıme-li jeden ˇr´adek A ˇc´ıslem α ∈ R, potom determinant vznikl´e matice je roven α det (A). D˚ ukaz:
Pˇ r´ıklad 3.6: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.5. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 3.6: Necht’ A ∈ Rn×n . Jestliˇze k jednomu ˇr´ adku A pˇriˇcteme skal´arn´ı n´asobek jin´eho ˇr´ adku A, potom se jej´ı determinant nezmˇen´ı. D˚ ukaz:
Pˇ r´ıklad 3.7: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.6. ˇ sen´ı: Reˇ
X
3.1. DETERMINANT MATICE
81
Z vˇety 3.6 pˇr´ımo plyne n´asleduj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 3.7: Necht’ A ∈ Rn×n . Jestliˇze k jednomu ˇr´ adku A pˇriˇcteme line´arn´ı kombinaci ostatn´ıch ˇr´ adk˚ u A, potom se jej´ı determinant nezmˇen´ı. D˚ ukaz:
Pˇ r´ıklad 3.8: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.7. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: Jestliˇze ve vˇet´ach 3.3 aˇz 3.7 nahrad´ıme term´ın ˇra´dek“ term´ınem sloupec“, ” ” pak dostaneme pravdiv´a tvrzen´ı. D´ale plat´ı det(A) = det(AT ). 2 Vˇ eta 3.8 (Laplaceova vˇ eta): Necht’ A, B ∈ Rn×n . Potom plat´ı det (AB) = det (A) det (B). D˚ ukaz:
82
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
Pˇ r´ıklad 3.9: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.8. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: Poznamenejme, ˇze obdobn´a vˇeta jako je vˇeta 3.9 pro souˇcet matic neplat´ı.2 Vˇ eta 3.9: Necht’ A ∈ Rn×n . Potom pro α ∈ R plat´ı det (αA) = αn det (A). D˚ ukaz:
Pˇ r´ıklad 3.10: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.9. ˇ sen´ı: Reˇ
X
3.1. DETERMINANT MATICE
83
Definice 3.2 (Regul´ arn´ı/singul´ arn´ı matice): Matici A ∈ Rn×n nazveme regul´ arn´ı ⇔ det (A) 6= 0. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ji nazveme singul´arn´ı. Vˇ eta 3.10: Necht’ A ∈ Rn×n , potom jsou n´asleduj´ıc´ı podm´ınky ekvivalentn´ı: • A je regul´ arn´ı, to je det (A) 6= 0, • hod (A) = n, • ˇr´ adky A jsou line´arnˇe nez´avisl´e, • sloupce A jsou line´arnˇe nez´avisl´e. D˚ ukaz:
Vˇ eta 3.11: Necht’ A ∈ Rn×n , potom jsou n´asleduj´ıc´ı podm´ınky ekvivalentn´ı: • A je singul´arn´ı, to je det (A) = 0, • hod (A) < n, • ˇr´ adky A jsou line´arnˇe z´avisl´e, • sloupce A jsou line´arnˇe z´avisl´e. D˚ ukaz: D˚ ukaz je analogick´ y s d˚ ukazem vˇety 3.10.
I
84
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
Pˇ r´ıklad 3.11: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.10 nebo 3.11. ˇ sen´ı: Reˇ
X
3.1. DETERMINANT MATICE
3.1.1
85
ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic
V pˇredchoz´ım odstavci jsme si zadefinovali pojem determinant matice a uvedli jsme si nˇekolik pouˇcek. Nyn´ı si uk´aˇzeme, jak tˇechto znalost´ı vyuˇz´ıt k ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic. Nauˇc´ıme se tak zvan´e Cramerovo pravidlo. Vˇ eta 3.12 (Cramerovo pravidlo): Necht’ Ax = b je soustava line´arn´ıch rovnic s regul´ arn´ı A ∈ Rn×n . Potom pro ˇreˇsen´ı x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T plat´ı xi =
det (B i ) , det (A)
kde B i je matice, kter´a vznikne z A nahrazen´ım i-t´eho sloupce sloupcem prav´ych stran b. Pˇ r´ıklad 3.12 (Cramerovo pravidlo): Uvaˇzujte soustavu rovnic x1 + 3x2 + x3 = 40 2x1 + 7x2 + 4x3 = 95 x1 + 4x2 + 4x3 = 75 a urˇcete x3 . ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: Kdy je v´ yhodn´e pouˇz´ıt k ˇreˇsen´ı soustavy rovnic Cramerovo pravidlo?
2
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
86
3.2
Inverzn´ı matice
Zopakujme si nejprve, jak m˚ uˇzeme zapsat n´asleduj´ıc´ı zlomky, pokud se jedn´a o ˇc´ısla: b 1 = = a a U matic je to podobn´e, jen mus´ıme nav´ıc zachov´avat poˇrad´ı stejnˇe, jako tomu bylo u n´asoben´ı matic. Uved’me si definici inverzn´ı matice. Definice 3.3 (Inverzn´ı matice): Necht’ A ∈ Rn×n . Potom A−1 ∈ Rn×n nazveme inverzn´ı k A ⇔ AA−1 = I = A−1 A . ¡ ¢−1 D´ale plat´ı A−1 = A.
I
Vˇ eta 3.13: Pokud k A ∈ Rn×n ∃A−1 ∈ Rn×n , pak A−1 je urˇcen´ a jednoznaˇcnˇe. D˚ ukaz (sporem): Pˇredpokl´adejme, ˇze X a Y jsou inverzn´ı k A a ˇze X 6= Y .
Vˇ eta 3.14: Necht’ A ∈ Rn×n m´a det (A), pak det (A−1 ) =
1 . det (A)
D˚ ukaz (pˇ r´ım´ y):
ˇ ıslo dij ∈ R nazveme doplˇ Definice 3.4 (Matice doplˇ nk˚ u): Necht’ A ∈ Rn×n . C´ nkem matice A pˇr´ısluˇsn´ ym pozici (i, j) ⇔ ¯ij ) , dij = (−1)i+j det (A ¯ij ∈ R(n−1)×(n−1) je submatice, kter´a vznikla z A vynech´an´ım i-t´eho ˇra´dku a j-t´eho kde A sloupce v A. Matici D A = [dij ] ∈ Rn×n naz´ yv´ame matic´ı doplˇ nk˚ u matice A.
I
3.2. INVERZN´I MATICE
87
Vˇ eta 3.15: Necht’ A ∈ Rn×n . 1. Je-li A singul´ arn´ı, pak ¬∃A−1 . 2. Je-li A regul´ arn´ı, pak ∃A−1 ∈ Rn×n a plat´ı A−1 =
1 DA , det (A)
kde D A je matice doplˇ nk˚ u matice A. Pˇ r´ıklad 3.13: Vypoˇc´ıtejte inverzn´ı matici 3 A= 2 1 ˇ sen´ı: Nejprve spoˇc´ıt´ame Reˇ det (A) =
Pak vyˇc´ısl´ıme jednotliv´e doplˇ nky d11 =
k matici 1 −1 −2
−5
0 . 1
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
88 Sestav´ıme matici doplˇ nk˚ u DA =
A nakonec vyˇc´ısl´ıme A−1 =
X Pˇ r´ıklad 3.14: Vypoˇc´ıtejte inverzn´ı matici k matici " # 3 −1 A= . −2 −1 ˇ sen´ı: Nejprve spoˇc´ıt´ame Reˇ det (A) =
Pak vyˇc´ısl´ıme jednotliv´e doplˇ nky d11 =
Sestav´ıme matici doplˇ nk˚ u DA =
A nakonec vyˇc´ısl´ıme A−1 = Odtud m˚ uˇzeme napsat n´asleduj´ıc´ı pouˇcku.
X
3.2. INVERZN´I MATICE
89
Vˇ eta 3.16: Necht’ A ∈ R2×2 a ∃A−1 , pak plat´ı " " # # a −a a11 a12 1 22 12 A= ⇒ A−1 = det (A) −a21 a11 a21 a22
D˚ ukaz (pˇ r´ım´ y):
Vˇ eta 3.17: Necht’ A, B ∈ Rn×n . a) Je-li A singul´ arn´ı ∨ B singul´ arn´ı, potom AB je singul´arn´ı. b) Je-li A regul´ arn´ı ∧ B regul´ arn´ı, potom AB je regul´ arn´ı a plat´ı (AB)−1 = B −1 A−1 .
D˚ ukaz (pˇ r´ım´ y):
(3.3)
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
90
Pˇ r´ıklad 3.15: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.17. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 3.18: Necht’ A ∈ Rn×n a m ∈ N. • A0 =
Om =
• A1 = • A2 =
Im = ´m ³ = A−1
• Am =
´T ³ A−1 =
Pˇ r´ıklad 3.16: Vypoˇc´ıtejte A2i je-li " A1 =
1 0 0 1
# ,
1 0 2
. A2 = 3 6 5 0 3 2
ˇ sen´ı: Reˇ
X
3.2. INVERZN´I MATICE
91
Pˇ r´ıklad 3.17 (V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice pomoc´ı ekvivalentn´ıch u ´ prav): Vypoˇc´ıtejte A−1 z pˇr´ıkladu 3.13 pomoc´ı ekvivalentn´ıch u ´prav. ˇ sen´ı: Nejprve zap´ıˇseme Reˇ ¯ ¯ 3 1 −5 ¯ ¯ £ ¤ ¯ A| I = 2 −1 0 ¯ ¯ 1 −2 1 ¯
matici A a vedle n´ı jednotkovou matici pˇr´ısluˇsn´ ych rozmˇer˚ u 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Vzpomeˇ nme si na vˇetu 2.13 a vypoˇc´ıtejme A−1 t´ımto zp˚ usobem.
X
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
92
Pˇ r´ıklad 3.18: Vyj´adˇrete z n´asleduj´ıc´ı rovnice promˇennou x. y = A−1 (Bx + Cx) − x ˇ sen´ı: Upravy ´ Reˇ rovnice jsou stejn´e, jak´e uˇz zn´ate ze z´akladn´ı ˇskoly plus mus´ıme zachovat poˇrad´ı n´asoben´ı.
X Pˇ r´ıklad 3.19: Vyj´adˇrete z n´asleduj´ıc´ı rovnice promˇennou x. y = xA + xB − x ˇ sen´ı: Reˇ
X
3.2.1
ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic
V pˇredchoz´ım odstavci jsme si zadefinovali pojem inverzn´ı matice a uvedli jsme si nˇekolik pouˇcek. Nyn´ı si uk´aˇzeme, jak vyuˇz´ıt inverzn´ı matice k ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic. Vˇ eta 3.19: Necht’ Ax = b je soustava line´arn´ıch rovnic s regul´ arn´ı A ∈ Rn×n . Potom pro ˇreˇsen´ı plat´ı x = A−1 b . D˚ ukaz:
3.2. INVERZN´I MATICE
93
Pˇ r´ıklad 3.20: Uvaˇzujte soustavu rovnic z pˇr´ıkladu 3.12 x1 + 3x2 + x3 = 40 2x1 + 7x2 + 4x3 = 95 x1 + 4x2 + 4x3 = 75 a urˇcete jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: Kdy je v´ yhodn´e pouˇz´ıt k ˇreˇsen´ı soustavy rovnic inverzn´ı matici?
2
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
94
3.3
Soustavy line´ arn´ıch rovnic – pˇ rehled
V pˇredchoz´ım textu jsme se se soustavami line´arn´ıch rovnic nˇekolikr´at setkali. Nˇekdy jsme si i uk´azali, jak se dan´a soustava ˇreˇs´ı. Zopakujme si, co jiˇz v´ıme: • • • • • V tomto odstavci si doposud nashrom´aˇzdˇen´e znalosti utˇr´ıd´ıme a to, co jeˇstˇe nev´ıme, si pov´ıme. Udˇel´ame si zde kompletn´ı pˇrehled, jak ˇreˇsit soustavy rovnic ve vˇsech konkr´etn´ıch pˇr´ıpadech.
3.3.1
Homogenn´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic
Definice 3.5 (Soustava line´ arn´ıch rovnic): Necht’ A ∈ Rm×n a b ∈ Rm , potom rovnici Ax = b
(3.4)
ˇ sen´ım soustavy (3.4) je naz´ yv´ame soustavou m liner´an´ıch rovnic pro n nezn´am´ ych xi . Reˇ kaˇzd´ y vektor x, kter´ y vyhovuje rovnici (3.4).
I
Pozn´ amka: Z maticov´eho n´asoben´ı v´ıme, ˇze m˚ uˇzeme rovnici (3.4) rozepsat takto = b1 = b2 .. . = bm−1 = bm
2
´ ´ICH ROVNIC – PREHLED ˇ 3.3. SOUSTAVY LINEARN
95
Definice 3.6 (Homogenn´ı soustava line´ arn´ıch rovnic): Soustavu rovnic (3.4) nazveme homogenn´ı ⇔ b = 0.
I
Vˇ eta 3.20: Homogenn´ı soustava line´arn´ıch rovnic Ax = 0 m´a vˇzdy alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı a to tak zvan´e trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı x = 0.
D˚ ukaz: Nejprve uk´aˇzeme pomoc´ı Frob´eniovy vˇety, ˇze alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı existuje.
Pot´e uk´aˇzeme, ˇze x = 0 je ˇreˇsen´ım rovnice Ax = 0.
Vˇ eta 3.21: Homogenn´ı soustava line´arn´ıch rovnic Ax = 0, kde A je regul´ arn´ı matice, m´ a pouze jedno ˇreˇsen´ı a to pr´avˇe trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı x = 0.
D˚ ukaz: K d˚ ukazu t´eto vˇety vyuˇzijeme existenci A−1 .
Vˇ eta 3.22: Jsou-li u1 , u2 , . . . , uk ∈ Rn ˇreˇsen´ımi homogenn´ı soustavy line´arn´ıch rovk P nic Ax = 0, pak line´arn´ıch kombinace αi ui je tak´e ˇreˇsen´ım t´eto homogenn´ı soustavy. i=1
D˚ ukaz:
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
96
Nyn´ı si uk´aˇzeme na n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe, jak nal´ezt vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. Pˇ r´ıklad 3.21: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 7x1 + 10x2 + 4x3 − x4 = 0 x1 − 3x2 − 26x3 + 22x4 = 0 ˇ sen´ı: Nejprve pˇrep´ıˇseme soustavu rovnic do maticov´eho tvaru Ax = 0. Reˇ
D´ale uprav´ıme maticovou rovnici na horn´ı troj´ uheln´ıkovou“ pomoc´ı Gaussovy eli” minaˇcn´ı metody.
Je-li A regul´arn´ı, pak x = 0. Nen´ı-li A regul´arn´ı, pak pˇrep´ıˇseme maticov´ y tvar zpˇet na soustavu rovnic.
Vzniklou soustavu pˇrep´ıˇseme tak, aby vlevo bylo jen h nezn´am´ ych, kde h = hod {A}.
´ ´ICH ROVNIC – PREHLED ˇ 3.3. SOUSTAVY LINEARN
97
Za nezn´am´e vpravo provedeme n − h libovoln´ ych voleb, aby tyto volby byly line´arnˇe nez´avisl´e.
Pro kaˇzdou takovou volbu dopoˇc´ıt´ame nezn´ame z lev´e strany.
Vˇsechna ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı soustavy rovnic zap´ıˇseme jako line´arn´ı kombinaci tˇechto nalezen´ ych ˇreˇsen´ıch x=
Ovˇeˇrte sami pomoc´ı zkouˇsky, ˇze tyto ˇreˇsen´ı vyhovuj´ı p˚ uvodn´ı soustavˇe rovnic.
Z ˇreˇsen´ı tohoto pˇr´ıkladu m˚ uˇzeme zapsat n´asleduj´ıc´ı vˇetu.
X
Vˇ eta 3.23: Homogenn´ı soustava line´arn´ıch rovnic Ax = 0 m´ a n − h line´ arnˇe nez´avisl´ych ˇreˇsen´ı, kde h = hod (A) a n je poˇcet nezn´am´ych.
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
98
3.3.2
Nehomogenn´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic
Definice 3.7 (Nehomogenn´ı soustava line´ arn´ıch rovnic): Soustavu rovnic (3.4) nazveme nehomogenn´ı ⇔ b 6= 0. Soustavu rovnic, kter´a vznikne ze soustavy (3.4) tak, ˇze poloˇz´ıme pravou stranu rovnu nule, to je Ax = 0, nazveme pˇridruˇzenou homogenn´ı soustavou k soustavˇe (3.4).
I
Zopakujme si (nehod´ıc´ı se ˇskrtnˇete): • Z Frob´eniovy vˇety v´ıme, ˇze nehomogenn´ı soustava mus´ı/nemus´ı m´ıt ˇreˇsen´ı. • Nehomogenn´ı soustava m´a/nem´a trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı. • Line´arn´ı kombinace ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy mus´ı/nemus´ı b´ yt ˇreˇsen´ım t´eto soustavy. • Pro regul´arn´ı A plat´ı x = . . . . . .. Vˇ eta 3.24: Jsou-li x ˆ1 a x ˆ2 dvˇe ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy (3.4), pak x ˜=x ˆ1 − x ˆ2 je ˇreˇsen´ım pˇridruˇzen´e homogenn´ı soustavy.
D˚ ukaz:
Vˇ eta 3.25: Je-li x ˆ ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı soustavy (3.4) a x ˜ ˇreˇsen´ım pˇridruˇzen´e homogenn´ı soustavy, pak x ˆ+x ˜ je ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı soustavy.
D˚ ukaz:
Vˇ eta 3.26: Je-li x ˆ jedno ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy (3.4), potom vˇsechna ˇreˇsen´ı t´eto soustavy dostaneme jako x = x ˆ+x ˜, kde x ˜ je libovoln´e ˇreˇsen´ı pˇridruˇzen´e homogenn´ı soustavy.
´ ´ICH ROVNIC – PREHLED ˇ 3.3. SOUSTAVY LINEARN
99
Pˇ r´ıklad 3.22: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 3 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 1 7x1 + 10x2 + 4x3 − x4 = −11 x1 − 3x2 − 26x3 + 22x4 = −37 ˇ sen´ı: Nejprve nalezneme jedno ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy rovnic. Reˇ A) Pˇrep´ıˇseme soustavu rovnic do maticov´eho tvaru Ax = b.
B) D´ale uprav´ıme maticovou rovnici na horn´ı troj´ uheln´ıkovou“ pomoc´ı Gaussovy eli” minaˇcn´ı metody.
C) Pˇrep´ıˇseme maticov´ y tvar zpˇet na soustavu rovnic.
D) Najdeme nˇejak´e ˇreˇsen´ı t´eto soustavy (nˇekter´e promˇenn´e vol´ıme, druh´e z nich dopoˇc´ıt´ame).
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
100
Druh´ ym krokem je nalezen´ı vˇsech ˇreˇsen´ı pˇridruˇzen´e homogenn´ı soustavy Ax = 0. Ty jsme nalezli jiˇz v pˇr´ıkladˇe 3.21 x ˜=
Tˇret´ım krokem je, ˇze zap´ıˇseme vˇsechna ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı zadan´e soustavy x=x ˆ+x ˜=
Ovˇeˇrte sami pomoc´ı zkouˇsky, ˇze tyto ˇreˇsen´ı vyhovuj´ı p˚ uvodn´ı soustavˇe rovnic.
X
´ ´ICH ROVNIC – PREHLED ˇ 3.3. SOUSTAVY LINEARN
3.3.3
101
Soustavy line´ arn´ıch rovnic s parametrem
Nˇekdy jsme v situaci, kdy je tˇreba ˇreˇsit soustavu rovnic (3.4), v n´ıˇz nˇekter´e prvky matice A nebo vektoru b nejsou ud´any jako ˇc´ısla, ale jako parametry, kter´e mohou nab´ yvat libovoln´ ych hodnot z nˇejak´eho intervalu. Zopakujme si jen v rychlosti na n´asleduj´ıc´ıch dvou pˇr´ıkladech, jak se ˇreˇs´ı rovnice a nerovnice s parametrem. V podstatˇe se na parametr d´ıv´ame jako na nˇejakou promˇennou, kter´a m˚ uˇze nab´ yvat libovoln´ ych hodnot (z dan´eho intervalu). Proto mus´ıme pˇri ˇreˇsen´ı rovnice s parametrem ohl´ıdat vˇsechny kritick´e u ´pravy“. U soustav line´arn´ıch rovnic je ” postup obdobn´ y. Pˇ r´ıklad 3.23 (Rovnice s parametrem): Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice p − 2x = 2p x − 1 , kde p je parametr. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 3.24 (Nerovnice s parametrem): Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı nerovnice p − 2x ≥ 2p x − 1 , kde p je parametr. ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
102
Pˇ r´ıklad 3.25 (Soustava rovnic s parametrem): Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı soustavy rovnic −x1 + px2 + 3x3 = −1 −2x1 + x2 + px3 = −3 x1 − 5x2 − 7x3 = 0 ´, M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B., 2000). v z´avislosti na parametru p. Pˇrevzato z (Demlova ˇ sen´ı: Nejprve zjist´ıme, pro kter´e hodnoty parametru p je matice soustavy regul´arn´ı. Reˇ
Odtud vid´ıme, ˇze mus´ıme ˇreˇsit zvl´aˇst’ tˇri pˇr´ıpady. A) Prvn´ı pˇr´ıpad:
´ ´ICH ROVNIC – PREHLED ˇ 3.3. SOUSTAVY LINEARN B) Druh´ y pˇr´ıpad:
103
104
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
C) Tˇret´ı pˇr´ıpad:
X
´ 3.4. ULOHY
3.4 3.4.1
105
´ Ulohy Determinant matice
Pˇ r´ıklad 3.26: Urˇcete determinanty n´asleduj´ıc´ıch matic. " # " # " # 1 2 1 1 2 1 5 A= B= C= 3 4 5 3 4 8 2 Pˇ r´ıklad 3.27: Urˇcete determinanty n´asleduj´ıc´ıch matic. · ¸ h i h 3 3 3 i 1 0 3 4 1 2 4 5 6 0 2 E= 581 F = −6 −6 −9 G= 9815 1 2 3
1
1
2
" D=
1 0
#
0 1
· H=
1 0 2 3
1 0 4 2
1 2 0 0
0 0 3 0
1 5 0 4
¸
Pˇ r´ıklad 3.28: Ze znalosti ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.27 urˇcete determinanty n´asleduj´ıc´ıch matic. · ¸ · ¸ h i h 1 1 2 i 5 6 0 2 2 0 0 4 1 2 4 1 0 3 4 0 2 0 5 J = 123 K = −6 −6 −9 L= 1023 M = 4030 5 8 1
3
3
3
9 8 1 5
1 1 0 1
Pˇ r´ıklad 3.29: Urˇcete determinanty n´asleduj´ıc´ıch matic. # " # " 1 2 2 1 5 1 2 Q= P = N= 3 4 3 8 2 1 2 1 2 2
" R=
1 5
#
9 7
Pˇ r´ıklad 3.30: Ze znalosti ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.27 urˇcete determinanty n´asleduj´ıc´ıch matic. · ¸ · ¸ h i h 1 −6 3 i 5 1 1 9 2 0 4 1 1 1 5 6 0 0 8 0 2 0 1 S= 228 T = 1 −6 3 U = 0321 V = 0030 4 3 1
2 −9 3
2 4 3 5
4 5 0 1
Pˇ r´ıklad 3.31: Urˇcete determinanty n´asleduj´ıc´ıch matic. h W =
1 1 5 0 2 8 0 0 1
i X=
h1
0 0 1 −6 0 2 −9 3
i Y =
h1
1 2 0 −6 −9 0 0 3
·
i Z=
5 0 0 0
0 3 0 0
0 0 2 0
0 0 0 5
¸
Pˇ r´ıklad 3.32: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıklad˚ u 3.26 aˇz 3.31 a urˇcete determinanty n´asleduj´ıc´ıch matic. BCD
EF
GH
J KLM
UT
W XY
Pˇ r´ıklad 3.33: Urˇcete ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı Cramerova pravidla. 2x1 + 3x3 + 6x2 = 5 5x2 + 6x3 = −8 x1 + x2 + x3 = 0
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
106
Pˇ r´ıklad 3.34: Urˇcete ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı Cramerova pravidla. 2x1 + 2y1 + 3x2 = 7 6x2 + 3y2 = 2 4x1 − 6x2 + 4y1 − 6y2 = 10 −9x2 + 2y1 − 6y2 = 3 Pˇ r´ıklad 3.35: Urˇcete ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı Cramerova pravidla. x1 + x2 + y1 + y2 = 4 −6x2 − 9y2 − 12y1 = −6 x1 − x2 − 3y1 − 2y2 = 3
3.4.2
Inverzn´ı matice
Pˇ r´ıklad 3.36: Uvaˇzujte n´asleduj´ıc´ı matice a urˇcete k nim matice inverzn´ı. " # " # " # " # 1 2 1 1 2 1 2 1 0 A= B= C= D= 3 4 5 2 4 2 5 0 1 ˇ sen´ı hledejte obˇema zp˚ Reˇ usoby (pˇres matici doplˇ nk˚ u i pˇres ekvivalentn´ı u ´pravy). Pˇ r´ıklad 3.37: Uvaˇzujte n´asleduj´ıc´ı matice a urˇcete k nim matice inverzn´ı. · ¸ h 3 1 −5 i h i h i 1 0 0 0 1 2 3 1 0 0 0 2 0 0 E = 2 −1 0 F = 021 G= 010 H = 0030 1 −2 1
3 0 0
0 0 1
0 0 0 4
ˇ sen´ı hledejte obˇema zp˚ Reˇ usoby (pˇres matici doplˇ nk˚ u i pˇres ekvivalentn´ı u ´pravy). Pˇ r´ıklad 3.38: Vyj´adˇrete z n´asleduj´ıc´ıch rovnic promˇenou x. Pˇredpokl´adejte, ˇze rozmˇery matic a vektor˚ u jsou v poˇra´dku. • Ax + B T y + Cx = Dy + x • (x − y)A = x + By Pˇ r´ıklad 3.39: Uvaˇzujte n´asleduj´ıc´ı soustavu rovnic, kde A je regul´arn´ı matice, a vyj´adˇrete y jako funkci u. 0 = Ax + Bu y = Cx + Du
´ 3.4. ULOHY
107
Pˇ r´ıklad 3.40: Urˇcete ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı inverzn´ı matice. 2x1 + 3x3 + 6x2 = 5 5x2 + 6x3 = −8 x1 + x2 + x3 = 0 Pˇ r´ıklad 3.41: Urˇcete ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı inverzn´ı matice. 2x1 + 2y1 + 3x2 = 7 6x2 + 3y2 = 2 4x1 − 6x2 + 4y1 − 6y2 = 10 −9x2 + 2y1 − 6y2 = 3 Pˇ r´ıklad 3.42: Urˇcete ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı inverzn´ı matice. x1 + x2 + y1 + y2 = 4 −6x2 − 9y2 − 12y1 = −6 x1 − x2 − 3y1 − 2y2 = 3
3.4.3
Soustavy rovnic
Pˇ r´ıklad 3.43: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 7x1 + 10x2 + 4x3 − 1x4 = 0 x1 − 13x2 − 26x3 + 22x4 = 0 Pˇ r´ıklad 3.44: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. x1 + 2x2 + 4x3 = 5 2x1 + 4x2 + 8x3 = 10 x1 + 7x2 + 9x3 = 10 Pˇ r´ıklad 3.45: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. x + 2y + 4z = 3 2x + 4y + 8z = 8 x − 3y − z = −2
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
108
Pˇ r´ıklad 3.46: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. x1 + 2x2 − x3 − x4 = 2 x1 − 7x2 + 2x3 + 4x4 = −1 7x1 − 4x2 − x3 + 3x4 = 8 Pˇ r´ıklad 3.47: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. x1 − 2x2 + 3x3 = 0 3x1 − 2x2 + 5x3 = 0 Pˇ r´ıklad 3.48: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. 6x1 + 4x2 + 6x3 + 4x4 = 4 −2x1 − 2x2 + 2x3 + 2x4 = −2 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 3 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 4 Pˇ r´ıklad 3.49: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic. 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = −2 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7 4x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 − 2x5 = 16 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 = 14 Pˇ r´ıklad 3.50: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic s parametrem p. x1 + x2 − px3 = 1 x1 − 2x2 + 3x3 = 2 x1 + px2 − x3 = 1 Pˇ r´ıklad 3.51: V n´asleduj´ıc´ı soustavˇe line´arn´ıch rovnic urˇcete parametr p tak, aby soustava mˇela netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı. x1 + x2 − 5x3 + 3x4 = 0 4x1 + x3 + 3x4 = 0 px1 − 6x2 − 2x3 + 4x4 = 0 2x1 − x2 − 2x3 + x4 = 0
´ ˇ 3.5. OTAZKY KE ZKOUSCE
3.5
109
Ot´ azky ke zkouˇ sce
3.5.1
Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Umˇet vypoˇc´ıtat determinant matice. • Zn´at vlastnosti singul´arn´ı/regul´arn´ı matice a umˇet je vyuˇz´ıvat. • Umˇet vypoˇc´ıtat inverzn´ı matici alespoˇ n jedn´ım ze dvou uveden´ ych zp˚ usob˚ u. • Umˇet upravovat maticov´e rovnice. • Umˇet ˇreˇsit soustavy line´arn´ıch rovnic.
3.5.2
Ot´ azky na rozmyˇ slenou pro jedniˇ ck´ aˇ re“ ”
• Dokaˇzte vˇetu 3.10 a vˇetu 3.11. • Dokaˇzte vˇetu 3.13. • Opravte n´asleduj´ıc´ı vˇetu a pot´e ji dokaˇzte pomoc´ı vˇety 3.17. Vˇ eta 3.27: Necht’ A, B, C ∈ Rn×n , pak plat´ı (ABC)−1 = C −1 B −1 A−1 . • Dokaˇzte vˇetu 3.26.
110
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
´ ˇ 3.5. OTAZKY KE ZKOUSCE
111
112
´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY
Kapitola 4 Line´ arn´ı vektorov´ y prostor Doposud jsme se zab´ yvali maticemi a vektory a jejich vlastnostmi, kter´e souvisej´ı s linearitou. V t´eto kapitole si zavedeme pojem line´arn´ı prostor, respektive line´arn´ı vektorov´y prostor ´ era a podobnost jsou a line´arn´ı zobrazen´ı. Umˇ jedny z princip˚ u, kter´ ymi se lidstvo zab´ yv´a uˇz cel´a stalet´ı. Vˇetˇsina fyzik´aln´ıch z´akon˚ u jsou sice z´akony neline´arn´ı, ale v u ´zk´em okol´ı pracovn´ıch podm´ınek je moˇzn´e tyto z´akony linearizovat, to je zjednoduˇsovat (Roubal, J. et al., 2010). D˚ uvod je prost´ y, anal´ yza line´arn´ıch syst´em˚ u je mnohem jednoduˇsˇs´ı a v u ´zk´em okol´ı pracovn´ıch podm´ınek dostateˇcnˇe pˇresn´a. Setk´ame se s t´ım napˇr´ıklad v oblasti ˇr´ızen´ı aˇz budeme linearizovat dynamick´e syst´emy (Roubal, J. et al., 2011). V prvn´ı ˇc´asti t´eto kapitoly si zavedeme pojmy b´aze line´arn´ıho prostoru, dimenze line´arn´ıho prostoru a souˇradnice v b´azi . Uk´aˇzeme si, jak transformovat vektory do jin´ ych souˇradnic (do jin´ ych b´az´ı). To je v´ yhodn´e proto, ˇze se v jin´ ych souˇradnic´ıch podstatnˇe zjednoduˇs´ı nˇekter´e operace. Ve druh´e ˇca´sti kapitoly si pov´ıme nˇeco m´alo o line´arn´ıch zobrazen´ıch a zavedeme si dva pojmy, kter´ ymi jsou j´adro neboli nulov´y prosotor line´arn´ıho zobrazen´ı a obor hodnot line´arn´ıho zobrazen´ı. ˇ ´ , M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B., 2000; Krajn´ık, E., 2004), Cerpat budeme opˇet z (Demlova ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 113
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
114
4.1
B´ aze line´ arn´ıho prostoru
Definice 4.1 (Line´ arn´ı prostor): Line´arn´ı prostorem rozum´ıme nepr´azdnou mnoˇzinu L, jej´ıˇz prvky naz´ yv´ame vektory a na kter´e je definov´ano: 1. sˇc´ıt´an´ı, to je zobrazen´ı +: L × L → L, 2. skal´arn´ı n´asobek, to je zobrazen´ı · : R × L → L, pˇriˇcemˇz jsou splnˇeny n´asleduj´ıc´ı vztahy • x + y = y + x, • (x + y) + z = x + (y + z), • α (β x) = (α β) x, • α (x + y) = α x + α y, • (α + β) x = α x + β x, • x + o = x (nulov´ y prvek), • 0x = 0y = 0, • 1x = x (jednotkov´ y prvek), • ∀x ∈ L ∃y ∈ L tak, ˇze x + y = 0, kde x, y, z ∈ L, α, β ∈ R.
I
Pˇ r´ıklad 4.1: Uved’te pˇr´ıklady line´arn´ıch prostor˚ u. ˇ sen´ı: Reˇ • LP Rn – vˇsech n-rozmˇern´ ych (aritmetick´ ych) vektor˚ u
• LP Rm×n – vˇsech matic typu m × n
• LP vˇsech funkc´ı se spoleˇcn´ ym D(f ) ˇ • LP vˇsech voln´ ych vektor˚ u (geometrie a fyzika na SS) • LP nulov´ y
X
´ ´ ´IHO PROSTORU 4.1. BAZE LINEARN
115
Pˇ r´ıklad 4.2: Vyj´adˇrete matici D jako line´arn´ı kombinaci matic A, B, kde # " # " # " 1 2 2 3 5 9 A= , B= , D= . 0 3 5 8 5 17 ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 4.3: Rozhodnˇete zda funkce f (x) : y = sin x,
g(x) : y = cos x,
³ π´ h(x) : y = cos x + 4
jsou line´arnˇe z´avisl´e ¡ • na x ∈ − π2 ;
π 2
¢ ,
• na x ∈ (−π; π). Vyuˇzijte vztah cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y. ¡ ˇ sen´ı: Nejprve vyˇreˇs´ıme funkce na intervalu x ∈ − π ; Reˇ 2
π 2
¢
.
Pot´e na intervalu x ∈ (−π; π).
X Pozn´ amka: Tˇemito pˇr´ıklady jsme chtˇeli pouze uk´azat, ˇze se tyto z´akonitosti daj´ı rozˇs´ıˇrit mimo vektory. D´ale se budeme zab´ yvat uˇz jen line´ arn´ım vektorov´ym prostorem.
2
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
116
Definice 4.2 (Line´ arn´ı obal): Necht’ ∅ 6= M ⊂ L. Line´ arn´ım obalem mnoˇziny M v L rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech line´arn´ıch kombinac´ı koneˇcn´eho poˇctu vektor˚ u mnoˇziny M . Znaˇc´ıme ho hM i.
I
Pˇ r´ıklad 4.4: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u (" M=
1 3
# " ,
2
#)
5
a urˇcete jej´ı line´arn´ı obal. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: Pojem line´arn´ı obal nebudeme d´ale rozv´ıjet. Zavedli jsme ho pouze pro potˇreby n´asleduj´ıc´ı definice.
2
Definice 4.3 (B´ aze): Line´arnˇe nez´avislou podmnoˇzinu B line´arn´ıho prostoru L nazveme b´ az´ı, je-li hBi = L.
I
(a) je b´aze
(b) nen´ı b´aze
Obr´azek 4.1: B´aze prostoru R2
´ ´ ´IHO PROSTORU 4.1. BAZE LINEARN
117
Vˇ eta 4.1 (B´ aze): V koneˇcnˇe dimenzion´aln´ı prostoru dimenze n je b´az´ı kaˇzd´ a mnoˇzina obsahuj´ıc´ı n line´ arnˇe nez´avisl´ych vektor˚ u.
Pˇ r´ıklad 4.5: Napiˇste nˇekolik b´az´ı prostoru R2 . ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 4.6: Je n´asleduj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u b´az´ı R2 ? (" # " #) 1 4 , 2 8 ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´ azek 4.2: B´aze prostoru R2
X
118
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Pˇ r´ıklad 4.7: Je n´asleduj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u b´az´ı R2 ? (" # " #) 1 5 , 3 −2 ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´azek 4.3: B´aze prostoru R2
X
Pˇ r´ıklad 4.8: Je n´asleduj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u b´az´ı R3 ? 1 2 2 , 3 0 5 ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ ´ ´IHO PROSTORU 4.1. BAZE LINEARN
119
Definice 4.4 (Dimenze vektorov´ eho prostoru): Line´arn´ı prostor V , kter´ y m´a koneˇcnou b´azi, nazveme vektorov´ym prostorem a poˇcet prvk˚ u jeho b´aze nazveme dimenz´ı vektorov´eho prostoru, kterou znaˇc´ıme dim (V ).
I
Pˇ r´ıklad 4.9: Urˇcete dimenzi prostor˚ u R, R2 , R3 , Rn , n ∈ N. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 4.10: Urˇcete dimenzi prostor˚ u jejichˇz b´aze jsou v pˇr´ıkladech 4.6, 4.7 a 4.8. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 4.2 (B´ aze): M´ a-li line´arn´ı prostor V koneˇcnou b´azi, potom jsou vˇsechny jeho b´aze koneˇcn´e.
120
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Pˇ r´ıklad 4.11: Urˇcete b´azi vektorov´eho prostoru V , kde V = hM i, kde 1 −3 1 , −4 , 1 . M= 2 0 −10 5 ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ ´ ´IHO PROSTORU 4.1. BAZE LINEARN
121
Definice 4.5 (Standardn´ı b´ aze): B´azi B = {i1 , i2 , . . . , in } n-dimenzion´aln´ıho vektorov´eho prostoru V nazveme standardn´ı je-li 1 0 0 1 i1 = 0 , i2 = 0 , . . .. .. 0 0
...
in =
0
0 0 . .. . 1
I
Definice 4.6 (Souˇ radnice v b´ azi): Je-li B = {b1 , b2 , . . . , bn } b´az´ı n-dimenzion´aln´ıho vektorov´eho prostoru V , pak libovoln´ y vektor v ∈ V lze vyj´adˇrit pomoc´ı jednoznaˇcnˇe urˇcen´ ych koeficient˚ u σi jako v=
n X
σi bi .
i=1
ˇ ısla σi se naz´ C´ yvaj´ı souˇradnice vektoru v v b´azi B.
Obr´azek 4.4: Rovina R2 – souˇradnice v b´azi
I
122
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Pˇ r´ıklad 4.12 (Souˇ radnice v b´ azi): Urˇcete souˇradnice vektoru a = [−2, −4]T nejprve ve standardn´ı b´azi a pot´e v b´azi (" B=
1 2
# " ,
0
#)
1
ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´azek 4.5: Rovina R2 – souˇradnice v b´azi
X
´ ´ ´IHO PROSTORU 4.1. BAZE LINEARN
123
Pˇ r´ıklad 4.13 (Souˇ radnice v b´ azi): Urˇcete souˇradnice vektoru a = [1, −3, 2]T nejprve ve standardn´ı b´azi a pot´e v b´azi 1 0 B= 2 , 0 , 3 1
2 1
0
ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´azek 4.6: Rovina R3 – souˇradnice v b´azi
X
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
124
Nyn´ı si odvod´ıme transformaˇcn´ı matici.
Odtud m˚ uˇzeme zformulovat n´asleduj´ıc´ı vˇetu. ¯ v n-rozmˇern´em line´arn´ım Vˇ eta 4.3 (Transformaˇ cn´ı matice): Necht’ jsou b´aze B a B vektorov´em prostoru B = {b1 , b2 , . . . , bn } ,
© ª ¯= ¯ B b1 , ¯ b2 , . . . , ¯ bn ,
¯ respektive z b´aze B ¯ do b´aze B plat´ı potom pro transformaˇcn´ı matici z b´aze B do b´aze B, ¯ −1 B, T B→B¯ = B kde
h i B = b1 , b2 , . . . , bn ,
¯ T B→B = B −1 B, ¯
h i ¯= ¯ B b1 , ¯ b2 , . . . , ¯ bn .
´ ´ ´IHO PROSTORU 4.1. BAZE LINEARN
125
Pˇ r´ıklad 4.14 (Transformaˇ cn´ı matice): Uvaˇzujte vektor a = [−2, −4]T z pˇr´ıkladu 4.12 ve standardn´ı b´azi a v b´azi B (z pˇr´ıkladu 4.12). Urˇcete transformaˇcn´ı matici mezi obˇema b´azemi. ˇ sen´ı: Reˇ
X
126
4.2
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Line´ arn´ı zobrazen´ı
Definice 4.7 (Line´ arn´ı zobrazen´ı): Zobrazen´ı A line´arn´ıho prostoru L do line´arn´ıho prostoru L0 (zapisujeme A : L → L0 ) nazveme line´arn´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ L a ∀α1 , α2 ∈ R plat´ı
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ A α1 x1 + α2 x2 = α1 A x1 + α2 A x2 .
I
Pˇ r´ıklad 4.15: Uved’te pˇr´ıklady line´arn´ıch zobrazen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 4.4: Necht’ L, L0 , L00 jsou line´arn´ı prostory a necht’ A : L → L0 , B : L0 → L00 jsou line´arn´ı zobrazen´ı. Potom BA : L → L00 je t´eˇz line´arn´ı.
Pˇ r´ıklad 4.16: Uved’te pˇr´ıklady sloˇzen´ ych line´arn´ıch zobrazen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ • syst´em: stejnosmˇern´ y motor – zubov´e ˇcerpadlo
• X
´ ´I ZOBRAZEN´I 4.2. LINEARN
127
Vˇ eta 4.5 (Line´ arn´ı zobrazen´ı): Line´ arn´ı zobrazen´ı pˇriˇrazuje line´arnˇe z´avisl´ym vektor˚ um opˇet vektory line´arnˇe z´avisl´e. D˚ ukaz:
Pˇ r´ıklad 4.17: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 4.5. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: Opaˇcn´a vˇeta k vˇetˇe 4.5 obecnˇe neplat´ı.
2
128
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Pˇ r´ıklad 4.18: Necht’ A : R3 → R2 je line´arn´ı zobrazen´ı, pro kter´e plat´ı " # " # " # 2 0 −1 1 2 1 A A A 3 = 2 , 1 = 3 , 1 = 1 . 1 2 1 Naleznˇete vˇsechna x ∈ R3 , pro kter´a plat´ı A(x) =
"
−3 2
# .
ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: D´ale, pokud budeme mluvit o line´arn´ım zobrazen´ı, tak budeme mluvit pouze o line´arn´ım maticov´em zobrazen´ı typu y = Ax, kde y ∈ Rm , A ∈ Rm×n , x ∈ Rn . 2
´ ´I ZOBRAZEN´I 4.2. LINEARN
129
Definice 4.8 (J´ adro line´ arn´ıho zobrazen´ı): Necht’ A : L → L0 je line´arn´ı maticov´e zobrazen´ı. Potom j´adrem (nulov´ym prostorem) line´arn´ıho zobrazen´ı A rozum´ıme mnoˇzinu © ª N (A) = x ∈ Rnj | Ax = 0 . I Pozn´ amka: Nulov´ y prostor (j´adro) nˇekdy oznaˇcujeme KerA = N (A).
2
Pˇ r´ıklad 4.19 (J´ adro line´ arn´ıho zobrazen´ı): Uvaˇzujte line´arn´ı zobrazen´ı y = Ax, kde
1 3 4 A= 0 2 5 . 2 4 3 Urˇcete nulov´ y prostor (j´adro) tohoto zobrazen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ
X
130
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Definice 4.9 (Obor hodnot line´ arn´ıho zobrazen´ı): Necht’ A : L → L0 je line´arn´ı maticov´e zobrazen´ı. Potom oborem hodnot (range) line´arn´ıho zobrazen´ı A rozum´ıme mnoˇzinu
© ª R(A) = y | y = Ax, ∀x ∈ L .
I
Pˇ r´ıklad 4.20 (Obor hodnot line´ arn´ıho zobrazen´ı): Uvaˇzujte line´arn´ı maticov´e zobrazen´ı y = Ax, kde
1 3 4
A= 0 2 5 . 2 4 3 Urˇcete obor hodnot (range) tohoto zobrazen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ 4.3. ULOHY
4.3 4.3.1
131
´ Ulohy B´ aze line´ arn´ıho prostoru
Pˇ r´ıklad 4.21: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u 1 M= 3 4
2 , 5 2
a urˇcete jej´ı line´arn´ı obal. Pˇ r´ıklad 4.22: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u 1 2 1 M = 3 , 5 , 2 4 −2 2 a urˇcete jej´ı line´arn´ı obal. Pˇ r´ıklad 4.23: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u (" # " # " #) 1 2 9 M= , , . 3 −8 0 Plat´ı
" hM i = α
1
#
" +β
3
2 −8
# ,
α, β ∈ R?
Pˇ r´ıklad 4.24: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u # " #) (" # " 1 −2 9 M= , , . 3 −6 0 Plat´ı
" hM i = α
1 3
#
" +β
Pˇ r´ıklad 4.25: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u 1 M= 1 , 0
−2 −9
# ,
α, β ∈ R?
3 , 0 . 0 3
2
1
132
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Plat´ı
1
2
+ β 3 , hM i = α 1 0 3 Pˇ r´ıklad 4.26: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u 1 2 M= 1 , 3 0 3 Plat´ı
α, β ∈ R?
, 0 , −4 . 0 −5
1
−3
2
1
+ β 3 , hM i = α 1 3 0 Pˇ r´ıklad 4.27: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u 1 3 M= −1 , 3 0 0 Plat´ı
1 . 0
0
, 0 , 1 7
hM i = α −1 + β 3 + γ 1 , 0 0 0 Pˇ r´ıklad 4.28: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u 2 1 1 M= 3 , 5 , −9 , −1 7 −23 Plat´ı
2
1
7
1
3
α, β ∈ R?
α, β, γ ∈ R?
0 0 −14 , 0 . −30 1
1
+ β 5 + γ −9 , hM i = α 3 −23 7 −1
α, β, γ ∈ R?
Pˇ r´ıklad 4.29: Je n´asleduj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u b´az´ı prostoru R2 ? (" # " #) 1 0 M= , 2 1
´ 4.3. ULOHY
133
Pˇ r´ıklad 4.30: Je n´asleduj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u b´az´ı prostoru R2 ? (" # " #) 0 0 M= , 2 1 Pˇ r´ıklad 4.31: Je n´asleduj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u b´az´ı prostoru R3 ? 1 0 0 M = 2 , 1 , 0 3 0 1 Pˇ r´ıklad 4.32: Je n´asleduj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u b´az´ı prostoru R3 ? 1 0 1 , , M= 2 1 1 1 1 0 Pˇ r´ıklad 4.33: Je n´asleduj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u b´az´ı prostoru R3 ? 1 0 2 M = 2 , 1 , 2 1 2 0 Pˇ r´ıklad 4.34: Urˇcete b´azi vektorov´eho prostoru V , kde V = hM i, kde (" # " # " # " # " # " #) 1 0 5 0 1 2 M= , , , , , . 0 1 0 3 1 3 Pˇ r´ıklad 4.35: Urˇcete b´azi vektorov´eho prostoru V , 1 1 1 M= 2 , 2 , 2 , 3 5 4
kde V = hM i, kde 2 0 0 , 8 . 5 1
Pˇ r´ıklad 4.36: Urˇcete b´azi vektorov´eho prostoru V , kde V = hM i, kde 0 1 2 1 4 1 M= 0 , 5 , 0 , 0 8 2
5 1 , . 5 0 1 9
2
1
134
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Pˇ r´ıklad 4.37: Vyj´adˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı b´azi a v b´azi B, kde " # (" # " #) 1 1 1 , B= , . x= 2 2 −1 Ukaˇzte ˇreˇsen´ı na obr´azku. Pˇ r´ıklad 4.38: Vyj´adˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı b´azi a v b´azi B, kde " # (" # " #) −2 1 1 x= , B= , . 2 1 −1 Ukaˇzte ˇreˇsen´ı na obr´azku. Pˇ r´ıklad 4.39: Vyj´adˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı b´azi a v b´azi B, kde 2 1 1 B = 1 , 0 . x = 1 , 1 0 0 Pˇ r´ıklad 4.40: Vyj´adˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı b´azi a v b´azi B, kde 2 1 1 1 , 0 . , B = x= 1 0 1 3 Pˇ r´ıklad 4.41: Vyj´adˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı b´azi a v b´azi B, kde −3 1 1 1 B = 1 , 1 , 0 . x = −2 , 1 0 0 −1 Pˇ r´ıklad 4.42: Uvaˇzujte dvˇe b´aze v R2 (" # " #) 1 0 B1 = , , 0 1
(" B2 =
2 1
# " ,
4
#)
3
,
a vektor x = [2, −1]T . Vyj´adˇrete souˇradnice vektoru x v obou b´az´ıch a urˇcete transformaˇcn´ı matici mezi tˇemito b´azemi. Urˇcete pomoc´ı n´ı vektor x v obou b´az´ıch. Pˇ r´ıklad 4.43: Uvaˇzujte dvˇe b´aze v R3 1 0 0 , 1 , 0 , B1 = 0 0 1 0
1 1 B2 = 0 , 1 , 0 0
1 1 , 1
a vektor x = [3, 4, −2]T . Vyj´adˇrete souˇradnice vektoru x v obou b´az´ıch a urˇcete transformaˇcn´ı matici mezi tˇemito b´azemi. Urˇcete pomoc´ı n´ı vektor x v obou b´az´ıch.
´ 4.3. ULOHY
4.3.2
135
Line´ arn´ı zobrazen´ı
Pˇ r´ıklad 4.44: Necht’ A : R2 → R2 je line´arn´ı zobrazen´ı, pro kter´e plat´ı Ã" #! " # Ã" #! " # 1 1 −3 2 A = , A = . 2 2 1 5 Naleznˇete vˇsechna x ∈ R2 , pro kter´a plat´ı " A(x) =
−1
# .
−2
Pˇ r´ıklad 4.45: Vypoˇctˇete hodnotu line´arn´ıho zobrazen´ı #! Ã" 4 , y=A 11 jestliˇze Ã" A
2 3
#!
Ã"
−1
, = 2 1
A
1 −1
#!
0
= 3 . 2
Pˇ r´ıklad 4.46: Necht’ A : R2 → R2 je line´arn´ı zobrazen´ı, pro kter´e plat´ı " # " # " # 0 1 1 −1 2 1 . A A A 1 = 0 = 3 , 1 = −1 , 0 1 1 0 Naleznˇete vˇsechna x ∈ R2 , pro kter´a plat´ı " A(x) =
1 1
# .
Pˇ r´ıklad 4.47: Uvaˇzujte line´arn´ı zobrazen´ı z pˇr´ıkladu 4.46 a urˇcete 1 1 y2 = A y1 = A 0 . 2 , 0 3 Pˇ r´ıklad 4.48: Uvaˇzujte line´arn´ı maticov´e zobrazen´ı y = Ax, kde # " 2 3 . A= 1 8 Urˇcete nulov´ y prostor (j´adro) a obor hodnot tohoto zobrazen´ı.
136
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Pˇ r´ıklad 4.49: Uvaˇzujte line´arn´ı maticov´e zobrazen´ı y = Ax, kde " # 2 3 A= . −4 −6 Urˇcete nulov´ y prostor (j´adro) a obor hodnot tohoto zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 4.50: Uvaˇzujte line´arn´ı maticov´e zobrazen´ı y = Ax, kde 2 4 6 . A= 3 8 3 7 10 3 Urˇcete nulov´ y prostor (j´adro) a obor hodnot tohoto zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 4.51: Uvaˇzujte line´arn´ı maticov´e zobrazen´ı y = Ax, kde 1 8 2 . A= 3 24 4 2 16 2 Urˇcete nulov´ y prostor (j´adro) a obor hodnot tohoto zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 4.52: Uvaˇzujte dvˇe b´aze prostoru R2 ( " # " # ) 1 0 Ba = , , 0 1
( " Bb =
2 1
#
"
,
4
#) .
3
Uvaˇzujte line´arn´ı oper´ator (zobrazen´ı) v b´azi Ba popsan´ y matic´ı " # 8 −2 Aa = 4 −2 a naleznˇete reprezentaci tohoto oper´atoru v b´azi Bb . D´ale uvaˇzujte vektor x = [2, −1]BTa v b´azi Ba a urˇcete jeho reprezentaci v b´azi Bb . Pˇrevzato z (Roubal, J. et al., 2011). Pˇ r´ıklad 4.53: Uvaˇzujte 1 0 0 , 1 Ba = 0 0
dvˇe b´aze prostoru R3 0 , 0 , 1
1 0 , Bb = 0
1 , 1 . 1 0
1
1
´ ˇ 4.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
137
Uvaˇzujte line´arn´ı oper´ator (zobrazen´ı) v b´azi Ba popsan´ y matic´ı
1 0 0 Aa = 0 1 0 0 0 1 a naleznˇete reprezentaci tohoto oper´atoru v b´azi Bb . D´ale uvaˇzujte vektor x = [1, 1, 1]BTa v b´azi Ba a urˇcete jeho reprezentaci v b´azi Bb . Pˇ r´ıklad 4.54: Uvaˇzujte dvˇe b´aze prostoru R3 1 0 Ba = 0
1 1 , 1 , 1 , 1 0
1 1 Bb = 1
1 1 , 1 , 0 . 0 0
Uvaˇzujte line´arn´ı oper´ator (zobrazen´ı) v b´azi Ba popsan´ y matic´ı
2 1 0 Aa = 0 3 1 0 0 2 a naleznˇete reprezentaci tohoto oper´atoru v b´azi Bb . D´ale uvaˇzujte vektor x = [1, 2, 3]BTa v b´azi Ba a urˇcete jeho reprezentaci v b´azi Bb .
4.4 4.4.1
Ot´ azky ke zkouˇ sce Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Umˇet rozhodnout zda mnoˇzina vektor˚ u je nebo nen´ı b´aze dan´eho prostoru. • Umˇet urˇcit dimenzi line´arn´ıho prostoru. • Umˇet vypoˇc´ıtat souˇradnice vektor˚ u v dan´e b´azi. • Umˇet vypoˇc´ıtat j´adro line´arn´ıho maticov´eho zobrazen´ı.
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
138
4.4.2
Ot´ azky na rozmyˇ slenou pro jedniˇ ck´ aˇ re“ ”
• Umˇet vypoˇc´ıtat transformaˇcn´ı matici mezi dvˇema dan´ ymi b´azemi. • Umˇet urˇcit matici line´arn´ıho zobrazen´ı v jin´e b´azi. • Dokaˇzte vˇetu 4.4. • Dokaˇzte vˇetu 4.5. • Dokaˇzte, ˇze pro transformaˇcn´ı matice z vˇety 4.3 plat´ı T B→B¯ = T −1 . ¯ B→B
´ ˇ 4.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
139
140
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
´ ˇ 4.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
141
142
´ ´I VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN
Kapitola 5 Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matic V t´eto kapitole si pov´ıme nˇeco m´alo o tak zvan´ ych vlastn´ıch ˇc´ıslech a vlastn´ıch vektorech matic. Jsou to jist´e charakteristiky matic, kter´e zn´azorˇ nuj´ı jejich zvl´aˇstn´ı vlastnosti a chov´an´ı napˇr´ıklad pˇri n´asoben´ı
Av = λ v
a podobnˇe. Na poˇc´ıt´an´ı tu mnoho typ˚ u pˇr´ıklad˚ u nenaleznete, jako tomu bylo v pˇredchoz´ıch kapitol´ach. V tomto ohledu je tato kapitola velice kr´atk´a. Mˇela by V´am sp´ıˇse doplnit chybˇej´ıc´ı kousky v mozaice zvan´e line´arn´ı algebra (´ urovnˇe naˇseho kurzu) a t´ım ucelit a spojit doposud nabyt´e dovednosti a vˇedomosti. Proto se pod´ıv´ame jeˇstˇe jednou na n´asoben´ı matice a vektoru a pov´ıme si o t´eto discipl´ınˇe nˇeco m´alo v´ıce do hloubky pr´avˇe v souvislosti s vlastn´ımi ˇc´ısly a vlastn´ımi vektory matice. Odtud uvid´ıme souvislosti s nulov´ ym prostorem a oborem hodnot line´arn´ıho maticov´eho zobrazen´ı. Vyuˇzitelnost znalost´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u matic je pro n´as zejm´ena pˇri ˇreˇsen´ı line´arn´ıch maticov´ ych diferenci´aln´ıch rovnic, kter´e budeme pouˇz´ıvat aˇz pˇri modelov´an´ı a anal´ yze line´arn´ıch dynamick´ ych syst´em˚ u v regulaˇcn´ı technice. Tam se dozv´ıme napˇr´ıklad to, ˇze syst´em, kter´ y m´a komplexn´ı vlastn´ı ˇc´ısla, m´a kmitavou odezvu, ˇze syst´em, kter´ y m´a vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla se z´apornou re´alnou ˇca´st´ı, m´a stabiln´ı odezvu a podobnˇe. Ale to aˇz ve druh´em roˇcn´ıku. ˇ Cerpat budeme z (Krajn´ık, E., 2004; Roubal, J. et al., 2011), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 143
144
5.1
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATIC KAPITOLA 5. VLASTN´I C
Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matice
Pˇ r´ıklad 5.1: Uvaˇzujte matici A a vektory x1 , x2 , x3 , x4 , kde " # " # " # " # 1 2 1 2 0 A= , x1 = , x2 = , x3 = , 0 3 0 2 3
" x4 =
−1 1
# .
Vypoˇctˇete vektory y i = Axi pro i = 1, 2, 3, 4. Pot´e zakreslete vˇsech osm vektor˚ u do roviny R2 na obr. 5.1. Co pozorujete? ˇ sen´ı: Nejprve provedeme v´ Reˇ ypoˇcty " #" # 1 2 1 y 1 = Ax1 = = 0 3 0 #" # " 2 1 2 = y 2 = Ax2 = 2 0 3 " #" # 1 2 0 y 3 = Ax3 = = 0 3 3 " #" # 1 2 −1 y 4 = Ax4 = = 0 3 1
Obr´azek 5.1: Rovina R2 s vektory xi a y i
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATICE 5.1. VLASTN´I C
145
Z´avˇery z pozorov´an´ı na obr. 5.1:
X ˇ ıslo λ ∈ C Definice 5.1 (Vlastn´ı ˇ c´ısla, vlastn´ı vektory matice): Necht’ A ∈ Cn×n . C´ naz´ yv´ame vlastn´ım ˇc´ıslem A, jestliˇze ∃v 6= 0, v ∈ Cn tak, ˇze plat´ı Av = λv. v naz´ yv´ame vlastn´ım vektorem A s vlastn´ım ˇc´ıslem λ.
I
Pozn´ amka: M´ısto pojm˚ u vlastn´ı ˇc´ıslo a vlastn´ı vektor matice se m˚ uˇzete setkat s pojmy charakteristick´e ˇc´ıslo a charakteristick´ y vektor matice.
2
Nyn´ı se pod´ıvejme, jak vypoˇc´ıtat vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice.
Odtud m˚ uˇzeme formulovat vˇetu, pomoc´ı kter´e budeme poˇc´ıtat vlastn´ı ˇc´ısla matice. ˇ ıslo λ je vlastn´ım ˇc´ıslem A ⇔ Vˇ eta 5.1: C´ det (A − λI) = 0. Tuto rovnici naz´yv´ ame charakteristickou rovnic´ı A. V´yraz det (A − λI) naz´yv´ ame charakteristick´ym polynomem A.
146
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATIC KAPITOLA 5. VLASTN´I C
Pˇ r´ıklad 5.2: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice
"
A=
1 2 3 2
# .
ˇ sen´ı: Reˇ
Matice A m´a vlastn´ı ˇc´ısla: λ1 =
, λ2 =
.
X
Pˇ r´ıklad 5.3: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice 2 −1 −1 . B= 0 −1 0 0 2 1 ˇ sen´ı: Reˇ
Matice B m´a vlastn´ı ˇc´ısla: λ1 =
, λ2 =
, λ3 =
.
X
Z pˇr´ıklad˚ u 5.2 a 5.3 vid´ıme, ˇze vlastn´ıch ˇc´ısel je tolik, kolik je ˇra´d pˇr´ısluˇsn´e matice. Toto pravidlo plat´ı obecnˇe pro kaˇzdou matici.
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATICE 5.1. VLASTN´I C
147
Pod´ıvejme se nyn´ı, jak je to s vlastn´ımi ˇc´ısly speci´aln´ıch matic (doln´ı troj´ uheln´ıkov´e, horn´ı troj´ uheln´ıkov´e a diagon´aln´ı). Vyslovme rovnou vˇetu, kterou si n´aslednˇe dok´aˇzeme. Vˇ eta 5.2: Necht’ A ∈ Cn×n je doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a, nebo horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a, nebo diagon´ aln´ı matice. Potom vlastn´ı ˇc´ısla A jsou rovny prvk˚ um hlavn´ı diagon´aly. D˚ ukaz:
Nyn´ı se pod´ıvejme na to, jak se poˇc´ıtaj´ı vlastn´ı vektory matice k pˇr´ısluˇsn´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um. Protoˇze uˇz v´ıme, ˇze poˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel matice se rovn´a ˇra´du matice, bude i poˇcet vlastn´ıch vektor˚ u matice roven ˇr´adu matice, nebot’ ke kaˇzd´emu vlastn´ımu ˇc´ıslu existuje vlastn´ı vektor1 .
1
Ve skuteˇcnosti pro nˇekter´e matice existuj´ı tzv. ˇretˇezce vlastn´ıch vektor˚ u, ale s takov´ ymi maticemi
se nebudeme obvykle v tomto kurzu setk´avat. Budeme se zab´ yvat pouze maticemi s r˚ uzn´ ymi vlastn´ımi ˇc´ısly a pro ty tato vlastnost plat´ı.
148
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATIC KAPITOLA 5. VLASTN´I C
Pˇ r´ıklad 5.4: Urˇcete vlastn´ı vektory matice z pˇr´ıkladu 5.2. ˇ sen´ı: Podle ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 5.2 v´ıme, ˇze λ1 = Reˇ
. Podle v´ yˇse uveden´eho postupu
urˇc´ıme tedy nejprve vlastn´ı vektor v 1 .
Nyn´ı vypoˇcteme vlastn´ı vektor v 2 pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ2 =
Vlastn´ımu ˇc´ıslu λ1 = λ2 =
odpov´ıd´a vlastn´ı vektor v 1 = [
odpov´ıd´a vlastn´ı vektor v 2 = [
]T .
Pˇ r´ıklad 5.5: Urˇcete vlastn´ı vektory matice z pˇr´ıkladu 5.3. ˇ sen´ı: . Reˇ
.
.
]T a vlastn´ımu ˇc´ıslu X
´ PROSTOR A OBOR HODNOT MATICE 5.2. NULOVY
149
.
Vlastn´ımu ˇc´ıslu λ1 = lu λ2 =
]T , vlastn´ımu ˇc´ıs-
odpov´ıd´a vlastn´ı vektor v 1 = [
odpov´ıd´a vlastn´ı vektor v 2 = [
odpov´ıd´a vlastn´ı vektor v 3 = [
]T a vlastn´ımu ˇc´ıslu λ3 =
]T .
X
Pozn´ amka: Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory m˚ uˇzeme poˇc´ıtat v Matlabu takto:
.
5.2
2
Nulov´ y prostor a obor hodnot matice
Pod´ıvejme se nyn´ı na souvislost mezi vlastn´ımi ˇc´ısly a nulov´ ym prostorem matice a na souvislost mezi vlastn´ımi ˇc´ısly a oborem hodnot matice. Definice tˇechto pojm˚ u jsme si uvedli v pˇredchoz´ı kapitole. Neˇz se dostaneme k tˇemto souvislostem, pod´ıvejme se nyn´ı na n´asoben´ı matice a vektoru trochu z jin´eho pohledu. Protoˇze mnoˇzina vˇsech vlastn´ıch vektor˚ u dan´e matice (s r˚ uzn´ ymi vlastn´ımi ˇc´ısly) tvoˇr´ı b´azi v dan´em prostoru, m˚ uˇzeme kaˇzd´ y vektor rozepsat do souˇradnic v b´azi vlastn´ıch vektor˚ u dan´e matice. x 1 x2 x= . = .. xn
150
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATIC KAPITOLA 5. VLASTN´I C
Nyn´ı vyn´asob´ıme vektor x ∈ Rn matic´ı A ∈ Rn×n Ax =
Odtud m˚ uˇzeme napsat n´asleduj´ıc´ı dvˇe vˇety. Vˇ eta 5.3: Nulov´y prostor A ∈ Rn×n je mnoˇzina ¯ ( k ) ¯ X ¯ N (A) = αi v i ¯ Av i = λi v i ∧ v i 6= 0 ∧ λi = 0, αi ∈ R . ¯ i=1
Vˇ eta 5.4: Obor hodnot A ∈ Rn×n je mnoˇzina ¯ ) ( k ¯ X ¯ R(A) = αi v i ¯ Av i = λi v i ∧ v i 6= 0 ∧ λi 6= 0, αi ∈ R . ¯ i=1
´ PROSTOR A OBOR HODNOT MATICE 5.2. NULOVY Pˇ r´ıklad 5.6: Urˇcete nulov´ y prostor matice 2 A= 0 0
151
maticov´eho zobrazen´ı y = Ax, kde 3 4 0 7 . 0 1
ˇ sen´ı: Reˇ
Nulov´ y prostor maticov´eho zobrazen´ı y = Ax je ( N (A) = .
) . X
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATIC KAPITOLA 5. VLASTN´I C
152
Pˇ r´ıklad 5.7: Urˇcete obor hodnot maticov´eho zobrazen´ı y = Ax z pˇr´ıkladu 5.6. ˇ sen´ı: Reˇ
Obor hodnot maticov´eho zobrazen´ı y = Ax je ( R(A) = .
) . X
´ 5.3. ULOHY
153
´ Ulohy
5.3
Pˇ r´ıklad 5.8: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matic # " # " 1 2 7 0 , B= , A= 0 3 4 1 Pˇ r´ıklad 5.9: Urˇcete 1 2 E= 0 3 0 0
" C=
5 0
# ,
0 3
vlastn´ı ˇc´ısla matic 3 1 0 0 F = −2 2 0 2 , , 5 11 23 4
" D=
H=
2
3
−3 2
# ,
" K=
−4 −5 5
−4
# ,
" L=
−1 4 5 , N = 0 −3 0 0 2 −6
.
1 0 0 G = 0 −3 0 . 0 0 −2
−4 −5 5
4
Pˇ r´ıklad 5.11: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matic
#
6 2
Pˇ r´ıklad 5.10: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matic "
1 2
1 0 2 , O= 11 −5 13 6 0 2
#
−1
,
3
4
. M = 0 −5 0 −4 2 −1
1 2
0
0
6 2 0 0 P = 0 0 −3 1 0 0 −1 −3
.
Pˇ r´ıklad 5.12: Urˇcete vlastn´ı vektory matic z pˇr´ıklad˚ u 5.8, 5.9 a 5.11. Pˇ r´ıklad 5.13: Urˇcete nulov´ y prostor matic (maticov´eho zobrazen´ı) z pˇr´ıklad˚ u 5.8, 5.9 a 5.11. Pˇ r´ıklad 5.14: Urˇcete obor hodnot matic (maticov´eho zobrazen´ı) z pˇr´ıklad˚ u 5.8, 5.9 a 5.11. Pˇ r´ıklad 5.15: Urˇcete nulov´ y prostor a obor hodnot matice (maticov´eho zobrazen´ı) " # 1 2 Q= . 1,5 3 Pˇ r´ıklad 5.16: Urˇcete nulov´ y prostor a obor hodnot 1 2 −3 R= −3 −6 9 −4 −8 12
matice (maticov´eho zobrazen´ı) .
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATIC KAPITOLA 5. VLASTN´I C
154
5.4
Ot´ azky ke zkouˇ sce
5.4.1
Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Zn´at, co je vlastn´ı ˇc´ıslo a vlastn´ı vektor matice dle definice 5.1 a umˇet vysvˇetlit podobnˇe jako na obr. 5.1. • Umˇet spoˇc´ıtat vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice. • Umˇet urˇcit nulov´ y prostor matice z vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u.
5.4.2
Ot´ azky na rozmyˇ slenou pro jedniˇ ck´ aˇ re“ ”
• Dokaˇzte vˇetu 5.1. • Dokaˇzte vˇetu 5.3. • Dokaˇzte vˇetu 5.4. • Dokaˇzte, ˇze plat´ı n´asleduj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 5.5: Necht’ λ je vlastn´ı ˇc´ıslo A, pak λ2 je vlastn´ı ˇc´ıslo A2 . Vˇ eta 5.6: Necht’ λ je vlastn´ı ˇc´ıslo A, pak λn je vlastn´ı ˇc´ıslo An . • Dokaˇzte, ˇze plat´ı n´asleduj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 5.7: Necht’ v je vlastn´ı vektor A, pak v je vlastn´ı vektor A2 .
´ ˇ 5.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
155
156
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATIC KAPITOLA 5. VLASTN´I C
´ ˇ 5.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
157
158
ˇ ´ISLA A VLASTN´I VEKTORY MATIC KAPITOLA 5. VLASTN´I C
Kapitola 6 Vybran´ e kapitoly z line´ arn´ı algebry V t´eto kapitole, pokud se k n´ı z ˇcasov´ ych d˚ uvod˚ u v˚ ubec dostaneme, si udˇel´ame opravdu struˇcn´ yu ´vod do vyˇsˇs´ı matematiky. Proto berte tuto kapitolu pouze jako informativn´ı sezn´amen´ı s dalˇs´ımi moˇznostmi, jak vyuˇz´ıt
c b a
poznatk˚ u, kter´e jsme se v tomto kurzu nauˇcili. Nebudeme zde zkoumat vlastnosti pˇr´ıliˇs do hloubky, jen si na nˇekolika pˇr´ıkladech uk´aˇzeme metody, kter´e se n´am mohou hodit v dalˇs´ıch kurzech. Podrobnˇeji se s pojmy z t´eto kapitoly m˚ uˇzete sezn´amit napˇr´ıklad na vysok´e ˇskole. Nejprve si pov´ıme o podobnosti matic, ne proto, abychom tuto vlastnost zkoumali do hloubky, ale proto, abychom se nauˇcili poˇc´ıtat funkce matic, kter´e se n´am mohou hodit pro anal´ yzu ˇcasov´ ych odezev dynamick´ ych syst´em˚ u v kurzu Modelov´an´ı a ˇr´ızen´ı syst´em˚ u. Pot´e se pod´ıv´ame na metodu nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u, kter´a se n´am bude hodit pˇri identifikaci nezn´am´ ych parametr˚ u model˚ u dynamick´ ych syst´em˚ u nebo pˇri n´avrhu kvadraticky optim´aln´ıch regul´ator˚ u. Pˇr´ıklady a texty v t´eto kapitole jsou pˇrevzaty z (Roubal, J. et al., 2011). Texty v t´eto kapitole jsou velmi struˇcn´e. Proto pokud budete cht´ıt tyto metody ˇ pouˇz´ıvat ve sloˇzitˇejˇs´ıch aplikac´ıch, mˇeli byste si je prostudovat v´ıce do hloubky. Cerpat m˚ uˇze napˇr´ıklad z (Krajn´ık, E., 2004; Horn, R. A. a Johnson, Ch. R., 1985; Luenberger, D. G., 1996). 159
´ KAPITOLY Z LINEARN ´ ´I ALGEBRY KAPITOLA 6. VYBRANE
160
6.1
Podobnost matic
Definice 6.1 (Algebraick´ a a geometrick´ a n´ asobnost vlastn´ıho ˇ c´ısla): n×n
matice A ∈ C
Necht’
a λ je k-n´asobn´ ym koˇrenem charakteristick´e rovnice, viz vˇeta 5.1, pak na = k,
ng = n − hod (A − λI),
kde na ∈ N naz´ yv´ame algebraickou n´asobnost´ı a ng ∈ N geometrickou n´asobnost´ı vlastn´ıho ˇc´ısla λ.
I
Definice 6.2 (Zobecnˇ el´ y vlastn´ı vektor): Vektor v 6= 0, v ∈ Cn naz´ yv´ame zobecnˇel´ym vlastn´ım vektorem A ∈ Cn×n , jestliˇze ∃λ ∈ C a k ∈ N tak, ˇze (A − λI)k v = 0.
I
Definice 6.3 (Podobnost diagon´ aln´ı matici): Necht’ A ∈ Cn×n . Jestliˇze ∀λi plat´ı na = ng , pak plat´ı A = V DV −1 , kde
D=
λ1
,
λ2 ...
¤ £ V = v1, v2, . . . , vn
λn kde v 1 , v 2 , . . . , v n jsou vlastn´ı vektory (nebo ˇretˇezce vlastn´ıch vektor˚ u) matice A odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ım ˇc´ısl˚ um λi . O matici A pak ˇr´ık´ame, ˇze je podobn´a diagon´aln´ı matici D.
I
6.1. PODOBNOST MATIC
161
Pˇ r´ıklad 6.1: Ovˇeˇrte platnosti definice 6.3 na pˇr´ıkladˇe 5.4. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 6.2: Ovˇeˇrte platnosti definice 6.3 na pˇr´ıkladˇe 5.5. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: Pokud nen´ı splnˇena podm´ınka rovnosti algebraick´e a geometrick´e n´asobnosti vˇsech vlastn´ıch ˇc´ısel matice A, nen´ı matice A podobn´a ˇz´adn´e diagon´aln´ı matici. V takov´em pˇr´ıpadˇe je moˇzn´e rozepsat matici A do tvaru A = V J V −1 , kde J je matice v Jordanovˇe kanonick´em tvaru (Krajn´ık, E., 2004). To uˇz je ale nad r´amec tohoto kurzu. D˚ uvodem, proˇc jsme zde uv´adˇeli transformaci matice do diaon´aln´ı formy, je n´asleduj´ıc´ı definice 6.4.
2
´ KAPITOLY Z LINEARN ´ ´I ALGEBRY KAPITOLA 6. VYBRANE
162
6.2
Funkce matic
Definice 6.4: Necht’ A ∈ Cn×n je podobn´a nˇejak´e diagon´aln´ı D, pak funkci f (A) urˇc´ıme podle vztahu f (A) = V f (D)V −1 , kde
f (D) =
f (λ1 )
.
f (λ2 ) ... f (λn )
Pˇ r´ıklad 6.3: Uvaˇzujte matici z pˇr´ıkladu 5.3 a urˇcete matici B 3 . ˇ sen´ı: Nejprve budeme u Reˇ ´lohu ˇreˇsit postupn´ ym n´asoben´ım B 3 = BBB = B(BB) =
I
6.2. FUNKCE MATIC
163
Nyn´ı zkusme k ˇreˇsen´ı vyuˇz´ıt definici 6.4.
X Pˇ r´ıklad 6.4: Uvaˇzujte matici z pˇr´ıkladu 5.3 a urˇcete matici eB . ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ KAPITOLY Z LINEARN ´ ´I ALGEBRY KAPITOLA 6. VYBRANE
164
6.3
Metoda nejmenˇ s´ıch ˇ ctverc˚ u
Pˇ r´ıklad 6.5: Uvaˇzujte, ˇze byly namˇeˇreny body v rovinˇe x-y, viz obr. 6.1(a). Proloˇzte tˇemito body pˇr´ımku metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (Roubal, J. et al., 2011) tak, jak je uk´az´ano na obr. 6.1(b). Naprogramujte algoritmus do Matlabu.
2.5
2.5
2
2 y
3
y
3
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
[xi,yi] ei y = 0.341 x + 0.371
0 −1
0
1
2
3
4
5
6
x
(a) namˇeˇren´e body v rovinˇe
7
8
0 −1
0
1
2
3
4
5
.
7
(b) proloˇzen´ı namˇeˇren´ ych bod˚ u pˇr´ımkou
Obr´azek 6.1: Proloˇzen´ı namˇeˇren´ ych bod˚ u metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u
ˇ sen´ı: . Reˇ
6
x
8
ˇ ˚ 6.3. METODA NEJMENSˇ´ICH CTVERC U .
.
165
166
´ KAPITOLY Z LINEARN ´ ´I ALGEBRY KAPITOLA 6. VYBRANE
.
X
ˇ ˚ 6.3. METODA NEJMENSˇ´ICH CTVERC U
167
Pˇ r´ıklad 6.6: Uvaˇzujte, ˇze byly namˇeˇreny body v rovinˇe x-y, viz obr. 6.1(a). Proloˇzte tˇemito body parabolu metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ KAPITOLY Z LINEARN ´ ´I ALGEBRY KAPITOLA 6. VYBRANE
168
6.4
´ Ulohy
Pˇ r´ıklad 6.7: Uvaˇzujte, ˇze byly zmˇeˇreny vz´ajemn´e vzd´alenosti hvˇezd (v rovinˇe) v prstenci souhvˇezd´ı Oriona a = 1,1, b = 1,2 a c = 2,2, viz obr. 6.2 (hodnoty a, b, c nejsou skuteˇcn´e, byly vymyˇsleny). Spoˇctˇete metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u vzd´alenosti a a b.
c b a
Obr´azek 6.2: Souhvˇezd´ı Orion
Pˇ r´ıklad 6.8: Dokaˇzte Frob´eniovu vˇetu 2.14. Vyuˇzijte znalosti o souvilosti vlastn´ıch ˇc´ısel a oboru hodnot line´arn´ıho maticov´eho zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 6.9: Uvaˇzujte ˇctvercovou matici A ∈ Rn×n s nen´asobn´ ymi vlastn´ımi ˇc´ısly λi . Dokaˇzte, ˇze v´ yraz V −1AV , kde matice V = [v 1 , v 2 , . . . , v n ] je sloˇzen´a z vlastn´ıch vektor˚ u matice A, se rovn´a diagon´aln´ı matici D = diag([λ1 , λ2 , . . . , λn ]) sloˇzen´e z vlastn´ıch ˇc´ısel λi matice A. Pˇ r´ıklad 6.10: Odvod’te vztah pro derivaci ∂ ¡ T ¢ x Ay , ∂x kde x a y jsou vektory promˇenn´ ych x = [x1 , x2 , x3 ]T a y = [y1 , y2 , y3 ]T a A je nˇejak´a konstantn´ı matice
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 . a31 a32 a33 Pro vektorovou derivaci plat´ı ∂ = ∂x
·
∂ ∂ ∂ , , ∂x1 ∂x2 ∂x3
¸T .
N´apovˇeda: Rozn´asobte v´ yraz xTAy, proved’te skal´arn´ı derivace a nakonec sloˇzte v´ ysledek zpˇet do maticov´eho z´apisu.
´ 6.4. ULOHY
169
Pˇ r´ıklad 6.11: Odvod’te vztah pro derivaci ∂ ¡ T ¢ x Ay , ∂y kde x a y jsou vektory promˇenn´ ych x = [x1 , x2 , x3 ]T a y = [y1 , y2 , y3 ]T a A je nˇejak´a konstantn´ı matice
a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 . a31 a32 a33 Pro vektorovou derivaci plat´ı ∂ = ∂y
·
∂ ∂ ∂ , , ∂y1 ∂y2 ∂y3
¸T .
Pˇ r´ıklad 6.12: Odvod’te vztah pro derivaci ∂ ¡ T ¢ x Ax , ∂x kde x je vektor promˇenn´ ych x = [x1 , x2 ]T a A je nˇejak´a konstantn´ı matice " # a11 a12 A= . a21 a22 Pro vektorovou derivaci plat´ı ∂ = ∂x
·
∂ ∂ , ∂x1 ∂x2
¸T .
Pˇ r´ıklad 6.13: Naleznˇete bod [x, y]T, pro kter´ y nab´ yv´a funkce f (x, y) = x2 + y 2 − 6xy + 5 sv´eho minima a vyˇc´ıslete hodnotu tohoto minima (vyuˇzijte toho, ˇze funkce m˚ uˇze nab´ yvat lok´aln´ıho extr´emu tam, kde se jej´ı derivace rovn´a nule). Pot´e pˇrepiˇste funkci f (x, y) do maticov´eho z´apipu jako funkci vektorov´eho argumentu z, kde z = [x, y ]T f (z) = z TAz =
h
i x y
"
a11 a12 a21 a22
#"
x
#
y
a naleznˇete minimum t´eto vektorov´e funkce s vyuˇzit´ım vztahu pro derivaci podle vektoru z pˇr´ıkladu 6.12. Porovnejte oba zp˚ usoby ˇreˇsen´ı.
170
´ KAPITOLY Z LINEARN ´ ´I ALGEBRY KAPITOLA 6. VYBRANE
ˇ Pˇ r´ıklad 6.14: Ctvercov´ a matice A m´a vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice M , jestliˇze plat´ı M = I + A, kde I je jednotkov´a matice pˇr´ısluˇsn´ ych rozmˇer˚ u. ˇ Pˇ r´ıklad 6.15: Ctvercov´ a matice A m´a vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice M , jestliˇze plat´ı M = I + A + A2 , kde I je jednotkov´a matice pˇr´ısluˇsn´ ych rozmˇer˚ u. ˇ Pˇ r´ıklad 6.16: Ctvercov´ a matice A m´a vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice M , jestliˇze plat´ı M=
n X
Aj .
j=0
ˇ a matice A m´a vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla maPˇ r´ıklad 6.17: Ctvercov´ tice M , jestliˇze plat´ı M = eA . ˇ Pˇ r´ıklad 6.18: Ctvercov´ a matice A m´a vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice M , jestliˇze plat´ı M = I + eA .
´ 6.4. ULOHY
171
172
´ KAPITOLY Z LINEARN ´ ´I ALGEBRY KAPITOLA 6. VYBRANE
´ 6.4. ULOHY
173
174
´ KAPITOLY Z LINEARN ´ ´I ALGEBRY KAPITOLA 6. VYBRANE
ˇ ast II C´ Matematick´ a anal´ yza
175
Kapitola 7 Funkce, mnoˇ ziny, intervaly V t´eto kapitole zopakujeme z´akladn´ı pojmy, kte-
15
r´e jsou standardn´ım obsahem stˇredoˇskolsk´e ma-
10
tematiky. Zamˇeˇr´ıme se zejm´ena na mnoˇziny, in-
b´ yt s tˇemito pojmy jiˇz sezn´amen, proto tuto ka-
5 f(x)
tervaly a funkce, protoˇze s nimi budeme d´ale ˇ aˇr by mˇel pracovat v matematick´e anal´ yze. Cten´
0
−5
pitolu pojmeme jen jako rychl´e opakov´an´ı. Zavedeme si jednotn´e znaˇcen´ı a n´azvoslov´ı a vstoup´ı-
−10 −4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
me pomalu do svˇeta matematick´ ych definic a vˇet tak, jak je to ve vyˇsˇs´ım a vysokoˇskolsk´em vzdˇel´an´ı standardn´ı. Pokud budete m´ıt v nˇekter´ ych parti´ıch mezery, bude pro V´as dobr´e, kdyˇz je doˇzenete ihned, nebot’ by se V´am kupily ´, M. a pozdˇeji byste jiˇz l´atku nemuseli dohnat. Studovat m˚ uˇzete napˇr´ıklad z (Hudcova ˇ´ıkova ´ , L., 2009; Calda, E. et al., 2007; Odva ´ rko, O. et al., 2006) nebo a Kubic hledat na internetu (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). Pˇri opakov´an´ı se nejprve zamˇeˇr´ıme na pojem mnoˇzina a zopakujeme zejm´ena to, jak´ ymi zp˚ usoby je moˇzn´e mnoˇziny zapisovat. D´ale si uk´aˇzeme z´akladn´ı operace s mnoˇzinami, to je pr˚ unik, sjednocen´ı a rozd´ıl dvou mnoˇzin. Podobnˇe se budeme vˇenovat interval˚ um. Nakonec se pod´ıv´ame na funkce, jejich grafy a vlastnosti. Literatura, ze kter´e m˚ uˇzete studovat, je uvedena v´ yˇse. M´e zkuˇsenosti jsou ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u takov´e, ˇze student nem´a probl´emy s matematickou anal´yzou, ale m´a probl´emy se stˇredoˇskolskou matematikou, na kterou navazujeme. I kdyˇz toto na konci kurzu uzn´a vˇetˇsina student˚ u, stejnˇe tomu na zaˇc´ atku kurzu skoro nikdo nevˇeˇr´ı. Zkuˇsenost je nepˇrenositeln´ a, kaˇzd´y si ji asi mus´ı proˇz´ıt. Ale co kdyby jste mi pro jednou vˇeˇrili ...? Vydˇel´ ate na tom! 177
ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY
178
7.1
Mnoˇ ziny a intervaly
ˇ Pojem mnoˇzina je asi kaˇzd´emu intuitivnˇe zn´am uˇz od prvn´ı tˇr´ıdy z´akladn´ı ˇskoly. Reknˇ eme si jej´ı form´aln´ı definici. Definice 7.1 (Mnoˇ zina): Mnoˇzina je soubor urˇcit´ ych objekt˚ u ch´apan´ ych jako celek. ymi p´ısmeny a prvky mnoˇzin Objekty naz´ yv´ame prvky mnoˇziny. Mnoˇziny znaˇc´ıme velk´ zapisujeme do sloˇzen´ ych z´avorek { }. N´aleˇzitost prvku k mnoˇzinˇe zapisujeme symbolem ∈, kter´ y ˇcteme je prvkem mnoˇziny“ nebo n´aleˇz´ı mnoˇzinˇe“. Naopak symbol ∈ / ” ” znamen´a nen´ı prvkem mnoˇziny“ nebo nen´aleˇz´ı mnoˇzinˇe“. I ” ”
Definice 7.2 (Pr´ azdn´ a mnoˇ zina): Mnoˇzina, kter´a neobsahuje ani jeden prvek, se naz´ yv´a pr´azdn´a. Znaˇc´ıme ji ∅ nebo { }.
I
Definice 7.3 (Podmnoˇ zina): Necht’ A, B jsou nˇejak´e mnoˇziny. Mnoˇzinu B nazveme podmnoˇzinou mnoˇziny A ⇔ vˇsechny prvky mnoˇziny B jsou tak´e prvky mnoˇziny A. Tuto skuteˇcnost zapisujeme B ⊂ A.
I
Definice 7.4 (Pr˚ unik, sjednocen´ı a rozd´ıl mnoˇ zin): Necht’ A, B jsou nˇejak´e mnounikem mnoˇzin A a B ⇔ ∀x ∈ C plat´ı x ∈ A ∧ x ∈ B. ˇziny. Mnoˇzinu C nazveme pr˚ Zapisujeme C = A ∩ B. Mnoˇzinu D nazveme sjednocen´ım mnoˇzin A a B ⇔ ∀x ∈ D plat´ı x ∈ A ∨ x ∈ B. Zapisujeme D = A ∪ B. Mnoˇzinu E nazveme rozd´ılem (doplˇ nkem) mnoˇzin A a B ⇔ ∀x ∈ E plat´ı x ∈ A ∧ x ∈ / B. Zapisujeme E = A \ B.
I
Pojmy z pˇredchoz´ıch dvou definic m˚ uˇzeme zn´azornit pomoc´ı tak zvan´ ych Vennov´ych diagram˚ u:
ˇ 7.1. MNOZINY A INTERVALY
179
V matematice zav´ad´ıme z´akladn´ı typy ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin, z nichˇz pro n´as nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı jsou mnoˇziny: N = {1, 2, 3, . . . }
.........
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
.........
R = (−∞; ∞)
.........
C=R×R
.........
Pozn´ amka: Mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel vˇcetnˇe nuly b´ yv´a v literatuˇre obvykle znaˇcena N0 = N ∪ {0}. Poznamenejme ale, ˇze nˇekteˇr´ı autoˇri toto nerozliˇsuj´ı a pouˇz´ıvaj´ı symbol N i pro mnoˇzinu pˇrirozen´ ych ˇc´ısel vˇcetnˇe nuly.
2
Pˇ r´ıklad 7.1 (Mnoˇ ziny): Urˇcete jak´e jsou vztahy mezi mnoˇzinami N, Z, R a C. Zn´azornˇete je pomoc´ı Vennov´ ych diagram˚ u. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pozn´ amka: Mnoˇziny m˚ uˇzeme zapisovat takto: • Graficky
• V´ yˇctem prvk˚ u
• Pomoc´ı vlastnost´ı prvk˚ u
2
180
ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY
Pˇ r´ıklad 7.2 (Mnoˇ ziny): Zapiˇste n´asleduj´ıc´ı mnoˇziny jin´ ym zp˚ usobem. • A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} • B = {x | x < 15 ∧ x ∈ N} • C = {1, 2, 3, . . . , 30} • D = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} • E = {x | x ∈ Z ∧ | x| ≥ 3} • F = {y | y = x2 − 4 ∧ y < 0 ∧ x ∈ Z} • G = {y | y = x2 − 4 ∧ y < 0 ∧ x ∈ N} ˇ sen´ı: Reˇ
X
ˇ 7.1. MNOZINY A INTERVALY
181
Definice 7.5 (Interval): Necht’ a, b ∈ R. Uzavˇren´ y interval ha, bi, respektive otevˇren´ y interval (a, b), respektive polouzavˇren´ y interval ha, b), respektive polootevˇren´ y interval (a, bi je mnoˇzina ∀x ∈ R, pro kter´a plat´ı a ≤ x ≤ b,
respektive a < x < b ,
respektive a ≤ x < b ,
respektive a < x ≤ b . I
Pˇ r´ıklad 7.3 (Intervaly): Zapiˇste intervaly I1 = h−3, 10i, I2 = (0, 22), I3 = h−12, 0), I4 = (−100, 200i jako mnoˇziny. ˇ sen´ı: Reˇ
X S intervaly m˚ uˇzeme prov´adˇet stejn´e operace, jak´e jsme si uvedli u mnoˇzin v definici 7.4. Ukaˇzme si to na n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 7.4 (Intervaly): Uvaˇzujte intervaly z pˇr´ıkladu 7.3 a urˇcete n´asleduj´ıc´ı intervaly. Intervaly zapiˇste tak´e pomoc´ı mnoˇzinov´eho z´apisu. • I1 ∩ I2 • I2 ∪ I3 • I2 ∩ I3 • (I2 ∪ I4 ) ∩ I3
ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY
182 ˇ sen´ı: Reˇ
X
7.2
Funkce
Definice 7.6 (Funkce): Funkce jedn´e promˇenn´e x je zobrazen´ı f (x) : D(f ) → H(f ), kter´e ∀x ∈ D(f ) pˇriˇrazuje nejv´ yˇse jedno y ∈ H(f ). Zapisujeme f (x) : y = f (x) ,
x ∈ D(f ) .
Mnoˇzinu D(f ) naz´ yv´ame definiˇcn´ım oborem funkce f a mnoˇzinu H(f ) naz´ yv´ame oborem hodnot funkce f © ª D(f ) = x | ∃f (x) ,
© ª H(f ) = y | y = f (x), ∀x ∈ D(f ) .
Grafem funkce rozum´ıme mnoˇzinu bod˚ u © ª [x, y] ∈ R2 | y = f (x), ∀x ∈ D(f ) .
I
Pozn´ amka: Funkce m˚ uˇze b´ yt zad´ana: • analytick´ ym pˇredpisem, • grafem, • v´ yˇctem prvk˚ u (tabulkou).
2
7.2. FUNKCE
183
Pˇ r´ıklad 7.5: Sestrojte graf funkce f (x) : y = x2 − 3x + 2 ,
D(f ) : x ∈ h−3, 4) .
Urˇcete pr˚ useˇc´ıky grafu funkce s osami Px , Py . ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´azek 7.1: Graf funkce f (x)
X
184
ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY
Pozn´ amka: Obvykle pouˇz´ıv´ame slovo funkce jako synonymum souslov´ı re´ aln´ a funkce jedn´e re´ aln´e promˇenn´e , pak D(f ) ⊂ R a H(f ) ⊂ R. M˚ uˇzeme m´ıt ale napˇr´ıklad komplexn´ı funkci komplexn´ı promˇenn´e, nebo re´alnou funkci v´ıce promˇenn´ ych a podobnˇe.
2
Pozn´ amka: Pokud nen´ı definiˇcn´ı obor u analytick´eho pˇredpisu funkce uveden, pak pˇredpokl´ad´ame, ˇze definiˇcn´ı obor je nejvˇetˇs´ı moˇzn´a podmnoˇzina R, kter´a m´a smysl do funkˇcn´ıho pˇredpisu dosadit.
2
Pˇ r´ıklad 7.6: Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x) : y =
r
x+1 . x−1
ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 7.7: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 7.6. Urˇcete funkˇcn´ı hodnotu v bodˇe x0 , kde x0 je libovoln´ y bod z D(f ). ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 7.8: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 7.6. Urˇcete zda je y = 1 funkˇcn´ı hodnotou t´eto funkce. ˇ sen´ı: Reˇ
X
7.2. FUNKCE
185
Pˇ r´ıklad 7.9: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 7.6 a sestrojte jej´ı graf. ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´azek 7.2: Graf funkce f (x)
V Matlabu m˚ uˇzeme graf vykreslit takto:
X
186
ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY
Jak jsme uvedli v u ´vodu t´eto kapitoly, zde pouze opakujeme stˇredoˇskolsk´e pojmy z matematiky. Proto si n´asleduj´ıc´ı definice doplˇ nte sami. Definice 7.7 (Funkce lich´ a/sud´ a):
I Definice 7.8 (Funkce periodick´ a):
I Definice 7.9 (Funkce omezen´ a):
I Definice 7.10 (Funkce sloˇ zen´ a):
I Definice 7.11 (Funkce prost´ a):
I Definice 7.12 (Funkce inverzn´ı):
I
7.2. FUNKCE
7.2.1
187
Grafy element´ arn´ıch funkc´ı Tabulka 7.1: Konstantn´ı a line´arn´ı funkce
N´azev funkce
konstantn´ı
line´arn´ı
f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :
Tabulka 7.2: Funkce s absolutn´ı hodnotou a kvadratick´ a funkce
N´azev funkce f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :
s absolutn´ı hodnotou
kvadratick´a
ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY
188
Tabulka 7.3: Goniometrick´e funkce
N´azev funkce
sinus
kosinus
f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :
Tabulka 7.4: Goniometrick´e funkce
N´azev funkce f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :
tangens
kotangens
7.2. FUNKCE
189 Tabulka 7.5: Exponenci´aln´ı a logaritmick´ a funkce
N´azev funkce
exponenci´aln´ı
logaritmick´a
f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :
Tabulka 7.6: Mocninn´e funkce
N´azev funkce f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :
ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY
190
7.3
´ Ulohy
´ , M. a Kubic ˇ´ıkova ´ , L., 2009). PoOpakujte si dle Vaˇs´ı potˇreby napˇr´ıklad z (Hudcova kud nestaˇc´ıte, zapiˇste si pˇredmˇet Semin´aˇr z matematiky. D´ale je uvedeno nˇekolik pˇr´ıklad˚ u, kter´e by mˇel student vyˇsˇs´ı odborn´e ˇskoly s jistotou vyˇreˇsit. Pˇ r´ıklad 7.10: Uvaˇzujte funkci dle n´asleduj´ıc´ıho obr´azku. 100
50
y
0
−50
−100
−150
−4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
5
Obr´azek 7.3: Graf funkce f (x)
Urˇcete f (−4) = . . . . . ., f (−1) = . . . . . ., f (1) = . . . . . ., f (2) = . . . . . ., f (3) = . . . . . .. D´ale urˇcete f (x) = −50 ⇔ x = . . . . . ., f (x) = 50 ⇔ x = . . . . . .. Pot´e urˇcete, kde je funkce rostouc´ı, kde je klesaj´ıc´ı, kde je nerostouc´ı, kde je neklesaj´ıc´ı, zda je funkce periodick´a, zda je sud´a, zda je lich´a, zda je omezen´a, zda je prost´a a zda k n´ı existuje funkce inverzn´ı. Pokud inverzn´ı funkce existuje, naˇcrtnˇete ji do v´ yˇse uveden´eho grafu. Pˇ r´ıklad 7.11: Urˇcete rovnice vˇsech pˇr´ımek, kter´e proch´azej´ı dvˇema r˚ uzn´ ymi body na n´asleduj´ıc´ım obr´azku. Kolik takov´ ychto pˇr´ımek m˚ uˇze b´ yt (vzpomeˇ nte si na kombinatoriku). Zapiˇste rovnice vˇsech pˇr´ımek ve tvaru y = k x + y0 a tak´e ve tvaru y = k(x + x0 ) ,
´ 7.3. ULOHY
191
kde k, y0 , x0 ∈ R. Neˇz zaˇcnete poˇc´ıtat, zamyslete se, zda budou smˇernice k jednotliv´ ych pˇr´ımek z´aporn´e, nulov´e nebo kladn´e. Zakreslete ˇc´ısla y0 , x0 do n´asleduj´ıc´ıho obr´azku a diskutujte vlastnosti tˇechto parametr˚ u. 5 4
C 3 2
F 1 y
B 0
D −1 −2
A
E
−3 −4 −3
−2
−1
0 x
1
2
3
Obr´azek 7.4: Souˇradnicov´ y syst´em x-y
Pˇ r´ıklad 7.12: Naˇcrtnˇete teˇcny k funkci f (x) v bodech A, B, C, D, E na n´asleduj´ıc´ım obr´azku.
1
0.5
E
y
0
B
−0.5
C −1
A D
−1.5
−2 −3
−2
−1
0 x
Obr´azek 7.5: Graf funkce f (x)
1
2
ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY
192
Urˇcete rovnice vˇsech teˇcen ve tvaru y = k x + y0 a tak´e ve tvaru y = k(x + x0 ) , kde k, y0 , x0 ∈ R. Neˇz zaˇcnete poˇc´ıtat, zamyslete se, zda budou smˇernice k jednotliv´ ych teˇcen z´aporn´e, nulov´e nebo kladn´e. Zakreslete ˇc´ısla y0 , x0 do obr´azku a diskutujte vlastnosti tˇechto parametr˚ u. Pˇ r´ıklad 7.13: Sestrojte graf funkce, kter´a vyjadˇruje utracen´e pen´ıze v z´avislosti na provolan´ ych minut´ach mobiln´ım telefonem • a) pro tarif, • b) pro pˇredplacenou kartu. Proved’te anal´ yzu a rozhodnˇete, za jak´e situace se vyplat´ı tarif a za jak´e situace se vyplat´ı pˇredplacen´a karta. Pˇ r´ıklad 7.14: Proved’te anal´ yzy hypoteˇcn´ıch spl´atek. Pˇredstavte si, ˇze si p˚ ujˇc´ıte x penˇez s p procentrn´ım u ´rokem. Vykreslete graf funkce, vyjadˇruj´ıc´ı z´avislost dluˇzen´ ych penˇez na ˇcase pˇri spl´atk´ach o hodnotˇe s m mˇes´ıc˚ u. Naprogramujte tuto kalkulaˇcku“. ”
7.3.1
´ Ulohy na tv˚ urˇ c´ı myˇ slen´ı
Pokud m´ate dobr´e analytick´e a tv˚ urˇc´ı myˇslen´ı, nebo pokud se v nˇem chcete procviˇcit, pokuste se vyˇreˇsit n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklady. Jejich ˇreˇsen´ı m´a praktick´e vyuˇzit´ı napˇr´ıklad na str´ank´ach hhttp://apps.copsu.cz/moodleVOS/i pˇri vyhodnocov´an´ı Vaˇsich zn´amek. Pˇ r´ıklad 7.15: Vytvoˇrte funkci, pro kterou plat´ı ( 0 pro x ∈ {0, 1, 2, 3} f (x) = 1 pro x ∈ {4, 5, . . . , 12} K dispozici m´ate element´arn´ı funkce sin x, cos x, |x|,
√
x, ln x, log x, ex , round(x), kter´e
m˚ uˇzete r˚ uznˇe kombinovat (n´asobit konstantou, sˇc´ıtat, n´asobit, dˇelit, vnoˇrovat atd.). Funkce round zaokrouhluje.
´ ˇ 7.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
193
Pˇ r´ıklad 7.16: Vytvoˇrte funkci, pro kterou plat´ı ( 0 pro x ∈ {0, 1, 2} f (x) = 1 pro x ∈ {3, 4, . . . , 13} K dispozici m´ate element´arn´ı funkce sin x, cos x, |x|,
√
x, ln x, log x, ex , round(x), kter´e
m˚ uˇzete r˚ uznˇe kombinovat (n´asobit konstantou, sˇc´ıtat, n´asobit, dˇelit, vnoˇrovat atd.). Funkce round zaokrouhluje. Pˇ r´ıklad 7.17: Vytvoˇrte funkci, pro kterou plat´ı ( 0 pro x ∈ {0, 1, . . . , 14} f (x) = 1 pro x ∈ {15, 16, . . . , 60} K dispozici m´ate element´arn´ı funkce sin x, cos x, |x|,
√
x, ln x, log x, ex , round(x), kter´e
m˚ uˇzete r˚ uznˇe kombinovat (n´asobit konstantou, sˇc´ıtat, n´asobit, dˇelit, vnoˇrovat atd.). Funkce round zaokrouhluje. Pˇ r´ıklad 7.18: Vytvoˇrte funkci, pro kterou plat´ı ( 0 pro x ∈ {−30, −29, . . . , −1} f (x) = 1 pro x ∈ {0, 1, . . . , 30} K dispozici m´ate element´arn´ı funkce sin x, cos x, |x|,
√
x, ln x, log x, ex , round(x), kter´e
m˚ uˇzete r˚ uznˇe kombinovat (n´asobit konstantou, sˇc´ıtat, n´asobit, dˇelit, vnoˇrovat atd.). Funkce round zaokrouhluje. Pˇ r´ıklad 7.19: Urˇcete funkci, jak´ ym zp˚ usobem se mˇen´ı pr˚ uˇrez otevˇren´ı ventilu S [m2 ] (trubiˇcky) v z´avislosti na v´ yˇsce klapky v [m] (viz obr´azek ventilu s noˇzovou klapkou). Vykreslete graf t´eto funkce.
7.4 7.4.1
Ot´ azky ke zkouˇ sce Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Orientovat se ve stˇredoˇskolsk´e matematice v oblasti funkc´ı, mnoˇzin a interval˚ u. • Zn´at vˇsechny definice uveden´e v t´eto kapitole a rozumˇet jim.
ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY
194 • Umˇet ˇc´ıst z grafu funkce.
• Umˇet urˇcit definiˇcn´ı obor dan´e funkce. • Umˇet urˇcit pr˚ useˇc´ıky dan´e funkce s osami. • Umˇet naˇcrtnout grafy element´arn´ıch funkc´ı. • Umˇet naˇcrtnout grafy jednoduch´ ych sloˇzen´ ych funkc´ı. • Umˇet z grafu line´arn´ı funkce napsat jej´ı funkˇcn´ı pˇredpis (umˇet napsat rovnici pˇr´ımky).
Kapitola 8 Spojitost a limita funkce Spojitost a limita funkce jsou dvˇe nejz´akladnˇejˇs´ı vlast-
2 1.5
nosti pˇri analyzov´an´ı funkc´ı, ze kter´ ych budeme vych´azet tegr´alu funkce. Nen´ı tedy bezpodm´ıneˇcnˇe nutn´e umˇet urˇcit spojitost ˇci spoˇc´ıtat limitu jak´ekoli funkce, to je ˇreknˇeme sp´ıˇse pro vysok´e ˇskoly. D˚ uleˇzitˇejˇs´ı je pochopen´ı z´akladn´ıch
y
v dalˇs´ıch kapitol´ach, kde si pov´ıme nˇeco o derivaci a in-
1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
myˇslenek t´eto kapitoly a souvislost´ı tˇechto pojm˚ u s grafy jednotliv´ ych funkc´ı. Spojitost funkce je pro n´as z´asadn´ı v tom smˇeru, ˇze n´am garantuje“ to, ˇze pokud se ” nˇejak m´alo mˇen´ı nez´avisl´a promˇenn´a, pak se m´alo ˇci v´ıce (ale st´ale nˇejak u ´mˇernˇe – ne skokovˇe) mˇen´ı z´avisl´a promˇenn´a. Napˇr´ıklad zkoum´ame-li spotˇrebu benz´ınu v z´avislosti na rychlosti automobilu, v´ıme, ˇze se s mˇen´ıc´ı se rychlost´ı mˇen´ı u ´mˇernˇe (tedy spojitˇe) i spotˇreba. Naopak zkoum´ame-li mechanick´e napˇet´ı v pruˇzinˇe v z´avislosti na jej´ım nataˇzen´ı, pak zjist´ıme, ˇze pˇri urˇcit´em nataˇzen´ı dojde k pˇretrˇzen´ı pruˇziny. Zde dojde ke skokov´e zmˇenˇe z´avisl´e veliˇciny, funkce je tedy v tomto pˇr´ıpadˇe nespojit´a. U funkc´ı n´as tak´e ˇcasto nezaj´ımaj´ı konkr´etn´ı hodnoty pro konkr´etn´ı x (tˇech je nekoneˇcnˇe mnoho), ale mnohdy n´as zaj´ım´a k jak´e hodnotˇe se bl´ıˇz´ı funkˇcn´ı hodnota, kdyˇz se nez´avisl´a promˇenn´a bl´ıˇz´ı nˇejak´emu specifikovan´emu bodu. K tomuto se nauˇc´ıme vyuˇz´ıvat pr´avˇe limitu funkce. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejm´ena z (Jankovsky ucha, L., 1998), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 195
196
8.1
KAPITOLA 8. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE
Spojitost funkce
Pˇ r´ıklad 8.1: Sestrojte graf n´asleduj´ıc´ıch dvou funkc´ı a diskutujte v ˇcem se tyto funkce zejm´ena liˇs´ı. f1 (x) : y = x3
f2 (x) : y = 5 sing(x)
ˇ sen´ı: Nejprve urˇc´ıme definiˇcn´ı obory obou funkc´ı Reˇ D(f1 ) :
,
D(f2 ) :
.
Sestrojit grafy zadan´ ych funkc´ı by jste jistˇe pomoc´ı tabulky dok´azali jiˇz sami. 10 8
f1: y = x3 f2: y = 5sing(x)
6 4
y
2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
Obr´azek 8.1: Grafy funkc´ı f1 (x) a f2 (x)
Co na obr. 8.1 pozorujete za v´ yznamn´ y rozd´ıl?
X
8.1. SPOJITOST FUNKCE
197
Definice 8.1 (Okol´ı bodu): Necht’ x0 ∈ R a ε > 0, pak ε-okol´ım bodu x0 naz´ yv´ame mnoˇzinu (interval) Uε (x0 ) =
©
¯ ª ¡ ¢ x ¯ | x − x0 | < ε = x0 − ε, x0 + ε .
ε naz´ yv´ame polomˇer okol´ı.
I
Pozn´ amka: Okol´ı bodu budeme oznaˇcovat velk´ ymi p´ısmeny U , V , W , . . . a pokud nebude z´aleˇzet na velikosti ˇc´ısla ε, pak budeme struˇcnˇe mluvit o okol´ı U (x0 ), V (x0 ), W (x0 ) a tak d´ale.
2
Definice 8.2 (Prstencov´ e okol´ı bodu): Necht’ x0 ∈ R a ε > 0, pak prstencov´ym ε-okol´ım bodu x0 naz´ yv´ame mnoˇzinu © ¯ ª ¡ ¢ ¡ ¢ Pε (x0 ) = x ¯ 0 < | x − x0 | < ε = x0 − ε, x0 ∪ x0 , x0 + ε .
I
ˇ ık´ame, ˇze f (x) je spojit´ Definice 8.3 (Funkce spojit´ a v bodˇ e): R´ a v x0 , jestliˇze plat´ı a) x0 ∈ D(f ), ¡ ¢ b) ∀U f (x0 ) ∃V (x0 ) takov´e, ˇze ¡ ¢ ∀x ∈ V (x0 ), x ∈ D(f ) ⇒ f (x) ∈ U f (x0 ) . V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze f (x) je nespojit´ a v x0 .
I
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
y
y
Ukaˇzme si vysvˇetlen´ı t´eto definice na funkc´ıch z pˇr´ıkladu 8.1.
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−8
−8
−10 −4
−10 −4
−3
−2
−1
0 x
1
(a) graf f1 (x)
2
3
4
−3
−2
−1
0 x
1
(b) graf f2 (x)
Obr´azek 8.2: Grafy funkc´ı f1 (x) a f2 (x) z pˇr´ıkladu 8.1
2
3
4
198
KAPITOLA 8. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE
Protoˇze ukazovat podle definice 8.3, zda je funkce spojit´a ˇci nikoliv, je mnohdy velmi pracn´e, vyuˇz´ıv´ame ˇcasto n´asleduj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 8.1 (Vlastnosti spojit´ ych funkc´ı): Necht’ f1 (x) a f2 (x) jsou spojit´e v x0 , pak plat´ı a) f1 (x) + f2 (x), f1 (x) · f2 (x), |f1 (x)| jsou spojit´e v x0 , b) je-li f2 (x0 ) 6= 0 ⇒ f1 (x)/f2 (x) je spojit´ a v x0 , c) ∃U (x0 ) takov´e, ˇze f1 (x) je omezen´a na U (x0 ), d) je-li f (x0 ) > 0, pak ∃U (x0 ) takov´e, ˇze f1 (x) > 0 na U (x0 ).
Vˇ eta 8.2 (Spojitost sloˇ zen´ e funkce): Je-li f1 (x) spojit´ a v x0 a je-li f2 (x) spojit´ a ¡ ¢ v f1 (x0 ) ⇒ f2 f1 (x) je spojit´ a v x0 .
Vˇ eta 8.3 (Spojitost element´ arn´ıch funkc´ı): Vˇsechny element´arn´ı funkce (konstantn´ı, line´arn´ı, mocninn´e, goniometrick´e, exponenci´ aln´ı a logaritmick´e) jsou spojit´e vˇsude tam, kde jsou definovan´e. Definice 8.4 (Funkce spojit´ a): Je-li f (x) spojit´a v ∀x ∈ D(f ), pak ˇr´ık´ame, ˇze je f (x) spojit´ a , v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe nespojit´a. Body, kde je f (x) nespojit´a, naz´ yv´ame body nespojitosti .
I
Pˇ r´ıklad 8.2: S vyuˇzit´ım pˇredchoz´ıch vˇet ukaˇzte, ˇze funkce z pˇr´ıkladu 7.6 je spojit´a. ˇ sen´ı: Reˇ
X
8.2. LIMITA FUNKCE
8.2
199
Limita funkce
Definice 8.5 (Limita funkce): Necht’ f (x) je definovan´a na U (x0 ) s vyj´ımkou nejv´ yˇse ˇ bodu x0 . Rekneme, ˇze f (x) m´a v x0 limitu L ∈ R, jestliˇze plat´ı ∀V (L) ∃U (x0 ) takov´e, ˇze ∀x ∈ U (x0 ), x ∈ D(f ), x 6= x0
⇒
f (x) ∈ V (L) .
Zapisujeme lim f (x) = L ,
(8.1)
x→x0
nebo f (x) → L pro x → x0 .
I
Obr´azek 8.3: Limita funkce
Pozn´ amka: Nahrad´ıme-li v pˇredchoz´ı definici okol´ı bodu x0 lev´ ym respektive prav´ ym prstencov´ ym okol´ım, pak mluv´ıme o jednostrann´ ych limit´ach zleva respektive zprava. Zapisujeme lim f (x) ,
x→x0−
lim f (x) .
x→x0+
Je-li x0 = ±∞, mluv´ıme o limitˇe v nevlastn´ım bodˇe. Je-li L = ±∞, mluv´ıme o nevlastn´ı limitˇe.
2
200
KAPITOLA 8. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE
Pˇ r´ıklad 8.3: Uvaˇzujte funkci f (x) jej´ıˇz graf je na n´asleduj´ıc´ım obr´azku. 100
4 3
50
2 1 0
y
y
0
[−2.25, −0.56]
−1 [−2.25, −2]
−2
−50
−3 −4 −100
−5 −6
−150
−4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
(a) graf funkce
(b) detail
Obr´azek 8.4: Graf funkce f (x)
Urˇcete lim f (x), kde x0 = {−∞, −2,25, −1, 0, 1, 1,5, 2, ∞}. x→x0
ˇ sen´ı: Nejprve urˇc´ıme D(f ) : Reˇ lim f (x) =
x→−∞
lim f (x) =
x→−2,25
lim f (x) =
x→−1
lim f (x) =
x→0
lim f (x) =
x→1
lim f (x) =
x→1,5
lim f (x) =
x→2
lim f (x) =
x→∞
Vrat’me se nyn´ı ke graf˚ um element´arn´ıch funkc´ı v kapitole 7.2.1 a dopiˇsme k nim pˇr´ısluˇsn´e limity.
X
8.2. LIMITA FUNKCE
201
Vˇ eta 8.4 (Spojitost a limita funkce): f (x), kter´a je definovan´a na U (x0 ), je v x0 spojit´ a⇔ lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0
Pˇ r´ıklad 8.4: Uvaˇzujte funkci
0
f (x) : y =
x≤0
ax + b 6
x ∈ (0; 3) x≥3
Urˇcete ˇc´ısla a, b tak, aby byla funkce f (x) spojit´a. ˇ sen´ı: Reˇ
X Protoˇze urˇcov´an´ı limit pˇr´ımo z definice je pomˇern´e pracn´e a velmi zdlouhav´e, pouˇz´ıv´ame ˇcasto n´asleduj´ıc´ı pouˇcky. Vˇ eta 8.5 (Vlastnosti limit): 1. f (x) m´ a v dan´em bodˇe nejv´yˇse jednu limitu. 2. Jestliˇze lim f (x) = L, L ∈ R, pak ∃P (x0 ), ve kter´em je f (x) omezen´ a. x→x0
3. lim f (x) = L
⇔
x→x0
4.
lim f (x) = lim f (x) = L
x→x0−
x→x0+
(8.2)
¡ ¢ lim f1 (x) + f2 (x) = lim f1 (x) + lim f2 (x),
(8.3)
lim f1 (x)f2 (x) = lim f1 (x) · lim f2 (x),
(8.4)
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ lim ¯f (x)¯ = ¯¯ lim f (x)¯¯ ,
(8.5)
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
lim f1 (x) f1 (x) x→x0 lim = , x→x0 f2 (x) lim f2 (x) x→x0
pokud limity vpravo existuj´ı a v´yrazy vpravo maj´ı smysl.
(8.6)
202
KAPITOLA 8. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE
Definice 8.6 (Rozˇ s´ıˇ ren´ı mnoˇ ziny re´ aln´ ych ˇ c´ısel): R∗ = R ∪ {−∞; +∞} = (−∞; +∞) Je-li L ∈ R, pak definujeme L+∞=∞ L·∞=∞
L − ∞ = −∞
L · (−∞) = −∞
pro
L>0
L · ∞ = −∞
L · (−∞) = ∞ pro L<0 L L = =0 ∞ −∞ ∞+∞=∞ − ∞ − ∞ = −∞
∞·∞=∞
(−∞)(−∞) = ∞
(∞)(−∞) = −∞
I
Pozn´ amka: Necht’ L ∈ R. Nedefinujeme v´ yrazy (neurˇcit´e v´ yrazy) L , 0
∞ , 0
−∞ , 0
∞ , ∞
−∞ , ∞
∞ , −∞
∞ − ∞,
Pˇ r´ıklad 8.5: Vypoˇc´ıtejte limity lim
5x − 6 +x−2
x→x0 x2
ˇ sen´ı: Nejprve urˇc´ıme D(f ) : Reˇ lim
5x − 6 = +x−2
lim
5x − 6 = +x−2
x→0 x2
x→∞ x2
lim
x→1
5x − 6 = +x−2
x2
Zkuste sami vypoˇc´ıtat. lim
5x − 6 = +x−2
x→−∞ x2
lim
x→−2
5x − 6 = +x−2
x2
x0 = {0, ∞, 1}.
0 · ∞.
2
8.2. LIMITA FUNKCE
203
Vykreslete graf funkce v Matlabu a ovˇeˇrte na nˇem vypoˇcten´e limity.
Obr´azek 8.5: Limita funkce
X
V tomto kurzu se limitami zab´ yv´ame pouze okrajovˇe, ale moˇzn´a byste mohli nˇekdy vyuˇz´ıt n´asleduj´ıc´ı dvˇe vˇety. Vˇ eta 8.6 (Vlastnosti limit): 1. Necht’ v P (x0 ) je f1 (x) ≤ f (x) ≤ f2 (x) a lim f1 (x) = lim f2 (x) = L, pak x→x0
x→x0
lim f (x) = L .
x→x0
2. Necht’ lim f1 (x) = 0 a necht’ f2 (x) je na P (x0 ) omezen´a, pak lim f1 (x)f2 (x) = 0. x→x0
x→x0
3. Necht’ v P (x0 ) je f1 (x) ≤ f2 (x), pak lim f1 (x) ≤ lim f2 (x), pokud limity existuj´ı. x→x0
x→x0
4. Necht’ lim f (x) = L, L > 0. Potom ∃P (x0 ) takov´e, ˇze ∀x ∈ P (x0 ) ⇒ f (x) > 0. x→x0
Vˇ eta 8.7 (Vlastnosti limit): Plat´ı sin(x) ex − 1 ln(1 + x) = 1, lim = 1, lim = 1, x→0 x→0 x→0 x x x ln x ax − 1 = ln a , a > 0 , lim x ln x = 0 , lim = 0, lim x→0+ x→0+ x x→0 x µ ¶x 1 lim 1 + = e. x→∞ x lim
204
8.2.1
KAPITOLA 8. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE
Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych v intervalu
ˇ Reknˇ eme, ˇze pojmy uveden´e v t´eto kapitole byly dosti akademick´e. Ukaˇzme si v t´eto podkapitole ryze praktickou aplikaci tˇechto pojm˚ u, ke kter´e n´am poslouˇz´ı n´asleduj´ıc´ı pouˇcka. Vˇ eta 8.8: Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a na ha, bi, potom plat´ı 1. f (x) je omezen´a a nab´yv´ a sv´e nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnoty. 2. Necht’ f (x = a) · f (x = b) < 0, potom ∃c ∈ (a, b) takov´y, ˇze f (x = c) = 0. 3. Je-li m = min{f (x) | x ∈ ha, bi} a M = max{f (x) | x ∈ ha, bi}, pak H(f ) = hm, M i.
Pˇ r´ıklad 8.6 (Metoda p˚ ulen´ı interval˚ u): Ukaˇzte, ˇze rovnice 10x3 − 85x2 + 185x − 111 = 0 m´a koˇren v intervalu (5, 6) a urˇcete jej s pˇresnost´ı 10−2 . ˇ sen´ı: Nejprve ovˇeˇr´ıme, zda je lev´a ˇca´st zadan´e rovnice spojit´a. Reˇ D´ale zjist´ıme, zda je f (x = 5) · f (x = 6) < 0. Podle vlastnosti 2 z vˇety 8.8 v´ıme, ˇze existuje/neexistuje ˇreˇsen´ı rovnice v intervalu (5, 6).
X
´ 8.3. ULOHY
8.3
205
´ Ulohy
Pˇ r´ıklad 8.7: Urˇcete ˇc´ısla a, b ∈ R tak, aby byly n´asleduj´ıc´ı funkce spojit´e. x≤0 −1 a) f (x) : y =
ax + b 3 (
b) f (x) : y =
x≥2
0
x≤0
a + e−x
x>0
2 x c) f (x) : y =
x ∈ (0; 2)
x≤0
ax + b +√x
x ∈ (0; 1i x≥1
Pˇ r´ıklad 8.8: Rozhodnˇete, zda jsou n´asleduj´ıc´ı funkce spojit´e. x≤0 x2 a) f (x) : y = 0 x ∈ (0; 1) ¡ ¢ sin π x x≥1 2 x≤0 0 b) f (x) : y =
x 2−x (
c) f (x) : y =
0
x ∈ (0; 1) x ∈ h1; 2i x≤0
−x
1−e
cos x d) f (x) : y = 1 π−x 2 x e) f (x) : y = 1 sin ¡ π x¢ 2
x>0 x≤0 x ∈ (0; π) x≥π x≤0 x ∈ (0; 1) x≥1
Pˇ r´ıklad 8.9: Dodefinujte n´asleduj´ıc´ı funkce v bodˇe x0 tak, aby v nˇem byly spojit´e. a) f (x) : y =
x−1 , x0 = 1 x3 − 1
b) f (x) : y =
sin(x) , x0 = 0 x3
c) f (x) : y =
| x| , x0 = 0 x
206
KAPITOLA 8. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE
Pˇ r´ıklad 8.10: Urˇcete limity n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. a) lim (2x + 1)
b) lim x(5 − x)
x→2
d) lim
¡
x→+∞
x→−∞
¢ 10ex − sin(x)
x3 + 4x − 3 x→−∞ x2 − 5
g) lim
x2 + x − 2 x→−∞ −x − 1
¡
c) lim
x→−∞
¡
¢ e) lim 8ex cos(x)
¡ ¢ f) lim 4ex sin(x)
x→0
r h) lim
x→1+
¢ 10ex + sin(x) x→∞
x2 − 4 x→−1 x + 1
x+1 x−1
ch) lim
1 x→0 1 − cos(x)
i) lim
j) lim
Pˇ r´ıklad 8.11: Urˇcete limity n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. ¡ ¢2 pro x0 ∈ {0; π/2; π; +∞} a) lim ln 1 + cos(x) x→x0
b) lim
x→x0
ex + e−x ex − e−x
pro x0 ∈ {+∞; −∞; 0}
c) lim
x→x0
x−1 x2 − 1
x2 + x − 2 ex pro x ∈ {+1; −1; 2} e) lim 0 x→x0 x→x0 x + 1 x2 − 1 Pˇ r´ıklad 8.12: Urˇcete limity n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. d) lim
2x2 + 1 x→+∞ 3x3 − 4x + 5 ¡ ¢ d) lim e−x cos(x) a) lim
6x4 − 2x + 3 x→−∞ 4x3 + 5
b) lim
pro x0 ∈ {−1; +1} pro x0 ∈ {0; −∞; −1+ }
c) lim
x→+∞
¡
¢ 3x3 − 2x2 + 5x − 1
5x − 6 sin(x) f) lim x→+∞ x→0 +x−2 x2 Pˇ r´ıklad 8.13: Naˇctnˇete grafy ke vˇsem v´ yˇse zadan´ ym funkc´ım a ovˇeˇrte na nich vypoˇc´ıe) lim
x→−2 x2
tan´e limity a spojitost. Pˇ r´ıklad 8.14: Metodou p˚ ulen´ı interval˚ u urˇcete s pˇresnost´ı 10−3 koˇreny n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı v dan´em intervalu. a) f (x) : y = x2 + 3x + 2,
x ∈ (−1,7; −0,1)
b) f (x) : y = x3 + 3x2 + 2x + 1,
x ∈ (−3; −2)
c) f (x) : y = x3 − 5x2 + 2x − 1,
x ∈ (4; 5)
d) f (x) : y = x3 − 5x2 + 7x − 1,
x ∈ (0; 1)
e) f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,
x ∈ (0; 1)
f) f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,
x ∈ (3; 4)
Pˇ r´ıklad 8.15: Naprogramujte v Matlabu algoritmus, kter´ y hled´a koˇren rovnice pomoc´ı metody p˚ ulen´ı interval˚ u. Rozˇsiˇrte algoritmus o grafick´e zobrazov´an´ı jednotliv´ ych iterac´ı.
´ ˇ 8.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
8.4 8.4.1
Ot´ azky ke zkouˇ sce Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Urˇcit, zda je funkce spojit´a z grafu funkce. • Urˇcit limity na grafu funkce. • Vypoˇc´ıtat jednoduch´e limity funkce podobnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 8.5.
207
208
KAPITOLA 8. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE
Kapitola 9 Derivace funkce Derivace funkce je nov´ y a velmi z´asadn´ı pojem matematick´e anal´ yzy. Studenti ho obvykle shled´avaj´ı jako zaj´ımavˇejˇs´ı a sn´aze pochopiteln´ y pojem neˇz byla limita funkce. Tak´e vyuˇzit´ı derivac´ı, nebo t´eˇz diferenci´ aln´ıho poˇctu, je pro n´as mnohem v´ yznamnˇejˇs´ı, at’ uˇz p˚ ujde o pouh´e vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ ubˇehu funkce, se kter´ ym se setk´ame v n´asleduj´ıc´ıch kapitol´ach matematick´e anal´ yzy, nebo o modelov´an´ı dynamick´ ych syst´em˚ u, se kter´ ym se budeme setk´avat v kurzu Modelov´an´ı a ˇr´ızen´ı syst´em˚ u. V t´eto kapitole si zavedeme nˇekolik definic a vˇet, pomoc´ı kter´ ych budeme poˇc´ıtat pˇr´ısluˇsn´e derivace. Pov´ıme si, jak derivovat souˇcet, souˇcin a pod´ıl funkc´ı, jak derivovat sloˇzenou funkci (pˇri tom dˇelaj´ı studenti ˇcasto chyby). D´ale se sezn´am´ıme s derivacemi vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u, s parci´aln´ımi derivacemi a s L’hospitalov´ ym [lopital] pravidlem pro v´ ypoˇcet limit. Nauˇc´ıme se mechanicky poˇc´ıtat pˇr´ıklady a na aplikace t´eto partie anal´ yzy se pod´ıv´ame aˇz v navazuj´ıc´ıch kapitol´ach. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejm´ena z (Jankovsky ucha, L., 1998), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 209
210
9.1
KAPITOLA 9. DERIVACE FUNKCE
Z´ akladn´ı pojmy
Pˇ r´ıklad 9.1: Uvaˇzujte profil ter´enu podle n´asleduj´ıc´ıho obr´azku a urˇcete, jak se mˇen´ı jeho stoup´an´ı (jak hodnˇe energie spotˇrebujete na zdol´an´ı tohoto pˇrev´ yˇsen´ı). ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´azek 9.1: Profil ter´enu
X
´ ´I POJMY 9.1. ZAKLADN
211
Pˇ r´ıklad 9.2: Nakreslete graf funkce f (x) : y = x2 − 4, x ∈ (−2,5, 2,5) a urˇcete jej´ı zmˇenu pro ∆x = 1, ∆x = 0,5, ∆x = 0,1, ∆x → 0. ˇ sen´ı: Reˇ
Tabulka 9.1: Zmˇena f (x)
x
−2
−1
0
1
2
∆y/∆x pro ∆x = 1 ∆y/∆x pro ∆x = 0,5 ∆y/∆x pro ∆x = 0,1 ∆y/∆x pro ∆x → 0
Obr´azek 9.2: f (x) : y = x2 , x ∈ (−2,5, 2,5)
X
212
KAPITOLA 9. DERIVACE FUNKCE
ˇ ık´ame, Definice 9.1 (Derivace funkce v bodˇ e): Necht’ f (x) je definovan´a na U (x0 ). R´ ˇze f (x) m´a vlastn´ı, respektive nevlastn´ı derivaci 1. ˇr´ adu v x0 , ⇔ ∃ vlastn´ı, respektive nevlastn´ı limita
¯ df (x) ¯¯ f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = = lim . dx ¯x=x0 x→x0 x − x0 0
Pro UL (x0 ), respektive UP (x0 ) mluv´ıme o derivaci zleva f−0 (x0 ), respektive zprava f+0 (x0 ). Derivaci podle ˇcasu znaˇc´ıme tak´e df (t) = f˙(t) . dt
I
Vˇ eta 9.1: f (x) m´a f 0 (x0 ) ⇔ ∃f−0 (x0 ) ∧ ∃f+0 (x0 ) a plat´ı f−0 (x0 ) = f+0 (x0 ) = f 0 (x0 ) .
ˇ ık´ame, ˇze f (x) m´a f 0 (x) na (a, b) ⇔ ∀x ∈ (a, b) Definice 9.2 (Derivace funkce): R´ ˇ ık´ame, ˇze f (x) m´a f 0 (x) na ha, bi ⇔ ∀x ∈ (a, b) ∃f 0 (x) ∃f 0 (x) podle definice 9.1. R´ a ∃f+0 (a) a ∃f−0 (b).
I
¯ ¯ Vˇ eta 9.2 (Derivace funkce a jej´ı spojitost): ∃f 0 (x0 ) takov´ a, ˇze ¯f 0 (x0 )¯ < ∞, pak je f (x) v x0 spojit´ a.
Pozn´ amka: Plat´ı opaˇcn´a vˇeta?
2
´ ´I POJMY 9.1. ZAKLADN
213
Pˇ r´ıklad 9.3: Pomoc´ı definice 9.2 odvod’te vztah pro derivaci f (x) : y = xn , n ∈ N. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 9.4: Urˇcete f 0 (x0 ) je-li f (x) : y = x2 , x0 = 3. ˇ sen´ı: Reˇ
X Poˇc´ıtat derivace funkc´ı z definice by bylo ˇcasovˇe nev´ yhodn´e, proto si nyn´ı uvedeme tabulku derivac´ı element´arn´ıch funkc´ı a vˇetu o derivaci souˇctu, souˇcinu a pod´ılu funkc´ı. Tabulka 9.2: Derivace element´ arn´ıch funkc´ı
f (x)
f 0 (x)
f (x)
y = xn , n ∈ N
y = c, c ∈ R
y = ex
y = ax , a ∈ R+
y = ln|x|
y = loga |x|, a ∈ R+ \{1}
y = sin(x)
y = cos(x)
y = tg(x)
y = cotg(x)
y = arcsin(x)
y = arccos(x)
y = arctg(x)
y = arccotg(x)
y = sinh(x)
y = cosh(x)
y = tgh(x)
y = cotgh(x)
y = arcsinh(x)
y = arccosh(x)
y = arctgh(x)
y = arccotgh(x)
f 0 (x)
214
KAPITOLA 9. DERIVACE FUNKCE
Vˇ eta 9.3 (Derivace souˇ ctu, souˇ cinu a pod´ılu): Necht’ f1 (x) a f2 (x) maj´ı derivace a k ∈ R, pak plat´ı [kf1 (x)]0 = k [f1 (x)]0 ,
(9.1)
[f1 (x) + f2 (x)]0 = [f1 (x)]0 + [f2 (x)]0 ,
(9.2)
[f1 (x) · f2 (x)]0 = [f1 (x)]0 · [f2 (x)] + [f1 (x)] · [f2 (x)]0 ,
(9.3)
·
f1 (x) f2 (x)
¸0 =
[f1 (x)]0 · [f2 (x)] − [f1 (x)] · [f2 (x)]0 . £ ¤2 f2 (x)
(9.4)
Pˇ r´ıklad 9.5 (Derivace souˇ ctu, souˇ cinu a pod´ılu): Urˇcete derivace funkc´ı f1 (x) : y = 2 sin(x) + 3x2 , f2 (x) : y = 2ln(x) + 4x2 cos(x) , f3 (x) : y = 4ex + 3
sin(x) . cos(x)
ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ ´I POJMY 9.1. ZAKLADN
215
¡ ¢ Vˇ eta 9.4 (Derivace sloˇ zen´ e funkce): Necht’ f1 f2 (x) a ∃f20 (x) v x, ∃f10 (x) v f2 (x), pak
£ ¡ ¢¤0 f1 f2 (x) = f10 (x) · f20 (x) .
Pˇ r´ıklad 9.6 (Derivace sloˇ zen´ e funkce): Urˇcete derivaci n´asleduj´ıc´ı funkce 2 +3
f (x) : y = e2x
.
ˇ sen´ı: Reˇ
X Definice 9.3 (Derivace n-t´ eho ˇ r´ adu): Derivac´ı n-t´eho ˇra´du, struˇcnˇe n-tou derivac´ı f (x) na mnoˇzinˇe M naz´ yv´ame derivaci (n − 1)-n´ı derivace f (x) na mnoˇzinˇe M . Znaˇc´ıme ji f
(n)
£
(x) = f
(n−1)
¤0 (x) ,
dn f (x) d = n dx dx
µ
dn−1 f (x) dxn−1
¶ .
I
Pˇ r´ıklad 9.7 (Derivace n-t´ eho ˇ r´ adu): Urˇcete ˇctvrtou derivaci funkce f (x) : y = x4 + x + sin(x) . ˇ sen´ı: Reˇ
X
216
KAPITOLA 9. DERIVACE FUNKCE
Definice 9.4 (Prvn´ı parci´ aln´ı derivace): Necht’ f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) definovan´a na U (x0 ), kde x0 = [x10 , x20 , . . . , xn0 ]T . Prvn´ı parci´ aln´ı derivac´ı f (x) v bodˇe x0 podle xk , kde k = 1, 2, . . . , n je ∂f (x) f (x10 , x20 , . . . , xk , . . . , xn0 ) − f (x10 , x20 , . . . , xk0 , . . . , xn ) = lim . xk →x0k ∂xk xk − xk0
I
Pˇ r´ıklad 9.8 (Parci´ aln´ı derivace): Urˇcete vˇsechny parci´aln´ı derivace funkce f (x1 , x2 ) : y = 2x41 + 4x21 x2 + sin(3x1 − 2x2 ) . ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 9.5 (L’Hospitalovo pravidlo): Necht’ f1 (x) a f2 (x) a ∃f10 (x), f20 (x) na P (x0 ) a plat´ı lim f1 (x) = lim f2 (x) = 0
x→x0
f10 (x) 0 x→x0 f2 (x)
Jestliˇze ∃ lim
x→x0
∨
lim f1 (x) = lim f2 (x) = ∞ .
x→x0
, pak lim
x→x0
f1 (x) f 0 (x) = lim 10 . x→x0 f2 (x) f2 (x)
x→x0
´ 9.2. ULOHY
217
Pˇ r´ıklad 9.9 (L’Hospitalovo pravidlo): Vypoˇc´ıtejte limitu ln(x) x→1 x2 − 1 lim
ˇ sen´ı: Reˇ
X
9.2
´ Ulohy
Pˇ r´ıklad 9.10: Urˇcete derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x) : y = 3x2 −5x+6
b) f (x) : y = 15x3 +6x2 +2
d) f (x) : y = 2x3 −5 sin x+6 cos x g) f (x) : y = 2 ln x + 5 ax ch) f (x) : y = 2x x , e 2
k) f (x) : y = sin2 x
e) f (x) : y = 2x2 sin x
sin x + 6x3 − 15x + 2 cos x a>0
c) f (x) : y = sin x+3x2 2x2 sin x
h) f (x) : y = 6 sin x + 2 cos x sin x
i) f (x) : y = ex ex
l) f (x) : y = cos3 x
f) f (x) : y =
j) f (x) : y = e2x
m) f (x) : y = e3x
n) f (x) : y =
sin2 x cos3 x
Pˇ r´ıklad 9.11: Urˇcete derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. Pot´e zakreslete grafy tˇechto funkc´ı spoleˇcnˇe s pr˚ ubˇehy jejich derivac´ı napˇr´ıkad v Matlabu. a) f (x) :
y = sin x,
c) f (x) :
y = x3 ,
e) f (x) :
y = sin(2x),
x ∈ h−π, πi x ∈ h−3, 3i
b) f (x) : d) f (x) :
y = x2 , y = ex ,
x ∈ h−3, 3i x ∈ h−5, 5i
x ∈ h−π, πi
Zamyslete se nad souvislostmi mezi funkcemi a jejich derivacemi. D´ale si rozmyslete pojem derivace funkce, kdyˇz se na tyto pr˚ ubˇehy pod´ıv´ate.
218
KAPITOLA 9. DERIVACE FUNKCE
Pˇ r´ıklad 9.12: Urˇcete derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. Pouˇzijte nejprve pravidlo pro derivaci souˇcinu (9.3) a pot´e vˇetu o pro derivaci sloˇzen´e funkce 9.4. Porovnejte oba zp˚ usoby. a) f (x) :
y = sin2 x
b) f (x) :
y = cos2 x
c) f (x) :
y = e2x
d) f (x) :
y = sin3 x
e) f (x) :
y = cos3 x
f) f (x) :
y = e3x
Pˇ r´ıklad 9.13: Urˇcete derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x) :
y = sin(2x2 + 3x + 4)
d) f (x) :
y = esin(2x
g) f (x) : y =
3)
e) f (x) :
sin(e3x + 6x2 ) 6x
c) f (x) :
y = e cos x
y = esin(3x) sin(2x)
f) f (x) :
y = ln sin(x2 )
¡ ¢ ch) f (x) : y = ln ln(x3 )
h) f (x) : y = sin2 (3x4 )
Pˇ r´ıklad 9.14: Urˇcete 1. aˇz 5. derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x) :
y = x5 + sin(x)
c) f (x) :
y = 16x3 + 2x2 + 3x + 4
e) f (x) :
y = 6e−2x sin(2x)
b) f (x) :
y = sin(nx), d) f (x) :
f) f (x) :
y=
n∈N
y = 6e−2x + sin(2x)
6e−2x sin(2x)
Pˇ r´ıklad 9.15: Urˇcete vˇsechny 1. parci´aln´ı derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x, y) = 2x2 + 3xy + 4y 2 + 2y + 1 b) f (x1 , x2 , x3 ) = 2x21 x32 + 3x2 x23 + x3 sin(x1 ) µ c) f (x1 , x2 , x3 ) = sin x1 sin x2 sin x3 +
x31
x22
x3 +
x1 x2
¶2
µ ¶2 x d) f (x, y, z) = sin x sin y sin z + x y z + y 3
e) f (N, ♠, ¤) = ¤3 sin 2N + f) f (N, ♠) = ¤3 sin 2N +
sin x
y = e4x
b) f (x) :
2
♠2 cos N
♠2 cos N
¡ ¢ g) f F, ¥ = F3 (t) + 7¥2 (t) + sin F(t)¥3 (t) ¡ ¢ h) f x(t), u(t) = x3 (t) + 7u2 (t) + sin x(t)u3 (t) ¡ ¢ i) f x(t), u(t), x(t) ˙ = 5x(t) ˙ + 4x2 (t) + 2x(t)u(t) + 2u2 (t) + u(t) + 3
´ 9.2. ULOHY
219
¡ ¢ 1 j) f x(t), u(t), x(t) ˙ = 3x(t)x(t)u(t) ˙ + 6x2 (t)u(t) + u2 (t) + 2 2 ¡ ¢ k) f x(t), u(t), x(t), ˙ t = 3t2 x(t) ˙ + 6u(t) + 7x(t) Pˇ r´ıklad 9.16: Urˇcete pomoc´ı L’hospitalova pravidla (pokud lze) n´asleduj´ıc´ı limity. √ 3 ln(x2 + 1) x4 + 2x3 − 21x2 − 22x + 40 x2 − 1 b) lim c) lim a) lim x→1 x − 1 x→∞ x2 − 2x + 4 x→1 x4 − 5x2 + 4 3x2 + 2x + 1 x→∞ 2x + 1
2x + 1 x→∞ 3x2 + 2x + 1
d) lim
2−x x→2 2
h) lim
e) lim 2−x x→2 x − 2
ch) lim
f) lim
x→0
sin x arcsin x
g) lim
x→1
1 x−1
x4 − 5x2 + 4 x→1 x4 + 2x3 − 21x2 − 22x + 40
i) lim
2x + x2 x→−2 x2 + 2x
j) lim
Pˇ r´ıklad 9.17: Uvaˇzujte funkci f (x) jej´ıˇz graf je na n´asleduj´ıc´ım obr´azku. Urˇcete pˇribliˇznˇe derivace t´eto funkce v bodech x0 = {−7,5, −6, −1,8, 0, 1,4, 2, 2,5, 3, 4, 5, 9}.
1.5 1.25 1 0.75
y
0.5 0.25 0 −0.25 −0.5 −0.75 −1 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Obr´azek 9.3: Graf funkce f (x)
220
KAPITOLA 9. DERIVACE FUNKCE
Pot´e zkuste naˇcrtnout pr˚ ubˇeh derivace t´eto funkce. Diskutujte tento v´ ysledek v souvislosti s definic´ı derivace. Pˇ r´ıklad 9.18: Vymyslete alespoˇ n 5 poˇzadavk˚ u na tvar nˇejak´e funkce. Pot´e naˇcrtnˇete ˇ ste tento pr˚ ubˇeh t´eto funkce. Nakonec naˇcrtnˇete pr˚ ubˇeh 1. a 2. derivace dan´e funkce. Reˇ pˇr´ıklad pro nˇekolik zad´an´ı (dle vaˇs´ı potˇreby tak, abyste dos´ahli dobr´e dovednosti). Pˇ r´ıklad 9.19: Nauˇcte se v Matlabu pouˇz´ıvat pro derivov´an´ı symbolick´ y toolbox. Seznamte se s funkcemi syms, diff, subs, pˇr´ıpadnˇe solve a nauˇcte se je vyuˇz´ıvat. Pot´e ovˇeˇrte ˇreˇsen´ı vˇsech v´ yˇse uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u.
9.3
Ot´ azky ke zkouˇ sce
9.3.1
Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Vypoˇc´ıtat derivaci jak´ekoli funkce (umˇet pouˇz´ıvat pravidla o derivov´an´ı souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu funkc´ı a umˇet derivovat sloˇzenou funkci). • Vypoˇc´ıtat derivaci funkce v zadan´em bodˇe. • Urˇcit pˇribliˇznˇe derivaci funkce z grafu funkce.
´ ˇ 9.3. OTAZKY KE ZKOUSCE
221
222
KAPITOLA 9. DERIVACE FUNKCE
Kapitola 10 Aproximace funkce a v´ yznam derivace Nyn´ı se dost´av´ame k praktick´ ym aplikac´ım dife-
1.5
renci´aln´ıho poˇctu. V t´eto kapitole si uk´aˇzeme, ˇze
1
v´ yznam derivace funkce v dan´em bodˇe je smˇer0.5
lost ˇci zrychlen´ı. D´ale se nauˇc´ıme, jak pˇribliˇznˇe vypoˇc´ıtat hodnoty funkc´ı bez kalkulaˇcky pomoc´ı tak zvan´eho diferenci´alu funkce, jak zjednoduˇsit sloˇzitou funkci v okol´ı nˇejak´eho bodu pomoc´ı tak zvan´eho Taylorova polynomu a tak d´ale.
f(x)
nice teˇcny grafu t´eto funkce nebo aktu´aln´ı rych0
−0.5
f(x) = sin(x) x0 = 0 T1(x) T3(x)
−1
T5(x) T (x) 7
−1.5
−10
−5
0 x
5
10
Cel´a tato kapitola smˇeˇruje k jedin´emu c´ıl, k tomu, abychom se nauˇcili zjednoduˇsovat (linearizovat) matematick´e modely re´aln´ ych dynamick´ ych syst´em˚ u, se kter´ ymi se sezn´am´ıme v kurzu Modelov´an´ı a ˇr´ızen´ı syst´em˚ u. To n´am umoˇzn ˇuje velmi jednoduˇse analyzovat vlastnosti i sloˇzitˇejˇs´ıch dynamick´ ych syst´em˚ u, byt’ jen v u ´zk´em okol´ı pracovn´ıch podm´ınek. I to je v´ yznamn´e, nebot’ se vˇetˇsina syst´em˚ u pohybuje v dan´em stabiln´ım reˇzimu. V tomto kurzu si uk´aˇzeme linearizaci pouze syst´em˚ u prvn´ıho ˇr´adu, tedy tˇech nejjednoduˇsˇs´ıch. Sloˇzitˇejˇs´ı syst´emy si nech´ame aˇz do dan´eho kurzu. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejm´ena z (Jankovsky ucha, L., 1998; Roubal, J. et al., 2011), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 223
224
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
10.1
V´ yznam derivace funkce
10.1.1
Smˇ ernice teˇ cny v bodˇ e
Obr´azek 10.1: Smˇernice teˇcny v bodˇe
Vˇ eta 10.1: Necht’ f (x) a ∃f 0 (x0 ), pak smˇernice teˇcny funkce f (x) v bodˇe x0 je ¯ df (x) ¯¯ . k= dx ¯x=x0
´ 10.1. VYZNAM DERIVACE FUNKCE
225
Pˇ r´ıklad 10.1: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = cos(x) a urˇcete rovnice teˇcen t´eto funkce v bodech x0 = {0, π/2}. ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´azek 10.2: Funkce f (x) a jej´ı teˇcny
X
226
10.1.2
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
Rychlost
Obr´azek 10.3: Ujet´ a dr´aha za ˇcas
Vˇ eta 10.2: Necht’ f (t) ud´ av´ a ujetou vzd´alenost x za ˇcas t a ∃f 0 (t0 ), pak rychlost v ˇcase t0 je
¯ df (t) ¯¯ = x(t ˙ 0 ). v(t0 ) = dx ¯t=t0
´ 10.1. VYZNAM DERIVACE FUNKCE
227
Pˇ r´ıklad 10.2: Uvaˇzujte, ˇze ujet´a dr´aha vlaku se d´a zapsat funkc´ı £ ¤ f (t) : x(t) = 100 1 − e−0,1t , kde t [s] je ˇcas a x [m] je dr´aha. Urˇcete rychlost vlaku v ˇcasech t = {0, 1, 10, 100} s. ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´azek 10.4: Ujet´ a dr´aha vlaku x(t) a jeho rychlost v(t)
X
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
228
10.1.3
Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych v intervalu
Vzpomeˇ nme si na metodu p˚ ulen´ı interval˚ u, pomoc´ı kter´e jsme hledali koˇreny dan´e rovnice v pˇr´ıklad 8.6. Kdyˇz nyn´ı um´ıme urˇcit rovnici teˇcny k dan´e funkci, ukaˇzme si efektivnˇejˇs´ı metodu tohoto v´ ypoˇctu pomoc´ı tak zvan´e Newtonovy metody teˇcen.
Obr´azek 10.5: Newtonova metoda teˇcen
Odtud m˚ uˇzeme vyslovit n´asleduj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 10.3 (Newtonova metoda teˇ cen): Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a na ha, bi a f (x = a) · f (x = b) < 0 a f 00 (x) je kladn´a nebo z´aporn´ a v intervalu (a, b). Jestliˇze zvol´ıme za x1 ten z bod˚ u a ˇci b, ve kter´em je f 0 (x1 ) · f 00 (x1 ) > 0, pak posloupnost {xn } definovan´a pˇredpisem xn+1 = xn −
f (xn ) , f 0 (xn )
n = 1, 2, 3, . . .
m´a limitu lim xn = x0 , kde x0 ∈ (a, b) a f (x0 ) = 0. n→∞
(10.1)
´ 10.1. VYZNAM DERIVACE FUNKCE
229
Pˇ r´ıklad 10.3 (Newtonova metoda teˇ cen): Ukaˇzte pomoc´ı vˇety 10.3, ˇze rovnice 10x3 − 85x2 + 185x − 111 = 0 m´a koˇren v intervalu (5, 6) a urˇcete jej s pˇresnost´ı 10−3 . ˇ sen´ı: Nejprve ovˇeˇr´ıme, zda je lev´a ˇca´st zadan´e rovnice spojit´a. Reˇ D´ale zjist´ıme, zda je f (x = 5) · f (x = 6) < 0 a jak´a je f 00 (x) v intervalu (a, b)
Zvol´ıme x1 = 6 a zjist´ıme, zda f 0 (x1 ) · f 00 (x1 ) > 0
Pokud ano, urˇc´ıme x2 podle (10.1) x2 =
X
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
230
10.2
Aproximace funkce
Definice 10.1 (Diferenci´ al funkce): Diferenci´ alem 1. ˇr´ adu f (x) v x0 ∈ D(f ) nazveme funkci df (x0 )(∆x) = f 0 (x0 ) ∆x , pokud plat´ı
f (x) − f (x0 ) − df (x0 )(∆x) = 0, x→x0 x − x0 kde ∆x = x − x0 naz´ yv´ame diferenc´ı souˇradnice x a pevn´eho bodu x0 . lim
I
Obr´azek 10.6: Diferenci´al funkce
Pˇ r´ıklad 10.4 (Diferenci´ al funkce): Urˇcete diferenci´al funkce f (x) : y =
√
x.
ˇ sen´ı: Reˇ
X √ Pˇ r´ıklad 10.5 (Diferenci´ al funkce v bodˇ e): Urˇcete diferenci´al funkce f (x) : y = x v x0 = 1. ˇ sen´ı: Reˇ X
10.2. APROXIMACE FUNKCE
231
Pˇ r´ıklad 10.6 (Pˇ ribliˇ zn´ a hodnota funkce): Urˇcete pomoc´ı diferenci´alu pˇribliˇznˇe hod√ notu 16,06. Pot´e porovnejte pˇribliˇznou hodnotu s pˇresnou hodnotou. ˇ sen´ı: Reˇ
Obr´azek 10.7: Pˇribliˇzn´ a hodnota funkce
f (x) = x0 =
∆x =
f (x0 ) = ¯ df (x) ¯¯ = dx ¯x=x0 df (x0 )(∆x) = f (x) ≈ f (x0 ) + df (x0 )(∆x) =
X
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
232
Definice 10.2 (Tot´ aln´ı diferenci´ al funkce):
Necht’ f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) m´a
v okol´ı x0 = [x10 , x20 , . . . , xn0 ]T 1. parci´aln´ı derivace, kter´e jsou spojit´e, pak tot´aln´ım (´ upln´ym) diferenci´ alem f (x) v x0 nazveme funkci df (x0 )(∆x) =
∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ∆x1 + ∆x2 + . . . + ∆xd n , ∂x1 ∂x2 ∂xn
kde ∆xi = xi − xi0 , i = 1, 2, . . . , n. M˚ uˇzeme tak´e ps´at df (x0 )(∆x) =
∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) dx1 + dx2 + . . . + dxn . ∂x1 ∂x2 ∂xn
I
Pˇ r´ıklad 10.7 (Tot´ aln´ı diferenci´ al funkce): Urˇcete u ´pln´ y diferenci´al funkce f (x, y) = x2 + 3xy . ˇ sen´ı: Reˇ ∂f (x, y) = ∂x ∂f (x, y) = ∂y df (x0 , y0 )(∆x, ∆y) =
X
10.2. APROXIMACE FUNKCE
233
Definice 10.3 (Taylor˚ uv polynom): Necht’ f (x) m´a v x0 derivace do ˇra´du n, potom polynom Tn (x) =
n X f (k) (x0 ) k=0
k!
(x − x0 )k
naz´ yv´ame Taylor˚ uv polynom stupnˇe n funkce f (x) v bodˇe x0
I
Pozn´ amka: Je-li x0 = 0, pak se Tn (x) nˇekdy naz´ yv´a Maclaurin˚ uv polynom.
2
Pˇ r´ıklad 10.8 (Taylor˚ uv polynom): Urˇcete Taylor˚ uv polynom pro funkci f (x) : y = sin(x) , v bodˇe x0 = 0. ˇ sen´ı: Reˇ T0 (x) =
T1 (x) =
T2 (x) =
.
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
234
T3 (x) =
T4 (x) =
T5 (x) =
Obr´azek 10.8: Graf funkce a jej´ı aproximace Taylorov´ ym polynomem
X
10.2. APROXIMACE FUNKCE
10.2.1
235
Linearizace dynamick´ ych syst´ em˚ u 1. ˇ r´ adu
Pˇ r´ıklad 10.9 (Linearizace syst´ em˚ u): Uvaˇzujte dynamick´ y syst´em popisuj´ıc´ı napouˇstˇen´ı n´adrˇze
p ˙ h(t) = −a h(t) + b q(t) ,
kde h [m] je v´ yˇska hladiny v n´adrˇzi, q [m s−1 ] je objemov´ y pˇr´ıtok do n´adrˇze a a, b jsou konstanty. Linearizujte syst´em pro v´ yˇsku hladiny h0 = 4 m. ˇ sen´ı: Reˇ
X
236
10.3
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
´ Ulohy
Pˇ r´ıklad 10.10: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = sin(2x) a urˇcete rovnice teˇcen t´eto funkce v bodech x0 = {0, π/4, π/2}. Zn´azornˇete ˇreˇsen´ı graficky. Pˇ r´ıklad 10.11: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = x2 + 3x + 2 a urˇcete rovnice teˇcen t´eto funkce v bodech x0 = {−1, 0, 1, 2}. Zn´azornˇete ˇreˇsen´ı graficky. Pˇ r´ıklad 10.12: Uvaˇzujte funkci jej´ıˇz graf je na n´asleduj´ıc´ım obr´azku. Naˇcrtnˇete do to-
f(x)
hoto obr´azku pr˚ ubˇeh prvn´ı a druh´e derivace t´eto funkce. 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 0
0.5
1
1.5
2 x
2.5
3
3.5
4
Obr´azek 10.9: Graf funkce f (x)
Pˇ r´ıklad 10.13: Uvaˇzujte funkci jej´ıˇz graf je na n´asleduj´ıc´ım obr´azku. Naˇcrtnˇete do tohoto obr´azku pr˚ ubˇeh prvn´ı a druh´e derivace t´eto funkce.
´ 10.3. ULOHY
237 5 4 3 2 f(x)
1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −10 −9
−8
−7
−6
−5 x
−4
−3
−2
−1
0
Obr´ azek 10.10: Graf funkce f (x)
Pˇ r´ıklad 10.14: Uvaˇzujte, ˇze ujet´a dr´aha automobilu se d´a zapsat funkc´ı f (t) : x(t) = 2t2 + 3t + 1 , kde t [h] je ˇcas a x [km] je dr´aha. Urˇcete rychlost automobilu v ˇcase 1h a v momentˇe, kdy automobil ujel vzd´alenost 10km. Zakreslete do jednoho obr´azku pr˚ ubˇeh dr´ahy a rychlosti automobilu a diskutujte toto ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 10.15: Uvaˇzujte, ˇze ujet´a dr´aha tˇelesa se d´a zapsat funkc´ı f (t) : x(t) = e−0,2t sin(0,5t) , kde t [s] je ˇcas a x [m] je dr´aha. Urˇcete zrychlen´ı tˇelesa v momentˇe, kdy mˇelo tˇeleso rychlost 0m s−1 . Zakreslete do jednoho obr´azku pr˚ ubˇeh dr´ahy, rychlosti a zrychlen´ı tˇelesa a diskutujte toto ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 10.16: Newtonovou metodou teˇcen urˇcete s pˇresnost´ı 10−3 koˇreny n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı v dan´em intervalu. a) f (x) : y = x2 + 3x + 2,
x ∈ (−1,7; −0,1)
b) f (x) : y = x3 + 3x2 + 2x + 1,
x ∈ (−3; −2)
c) f (x) : y = x3 − 5x2 + 2x − 1,
x ∈ (4; 5)
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
238
d) f (x) : y = x3 − 5x2 + 7x − 1,
x ∈ (0; 1)
e) f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,
x ∈ (0; 1)
f) f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,
x ∈ (3; 4)
Pˇ r´ıklad 10.17: Naprogramujte v Matlabu algoritmus, kter´ y hled´a koˇren rovnice pomoc´ı Newtonovy metody teˇcen. Rozˇsiˇrte algoritmus o grafick´e zobrazov´an´ı jednotliv´ ych iterac´ı. Uˇzivatel zad´a libovolnou funkci, oznaˇc´ı nez´avislou promˇennou, uvede interval, na kter´em m´a b´ yt koˇren hled´an. Nakonec zad´a poˇzadovanou pˇresnost hledan´eho koˇrene. Program ovˇeˇr´ı vˇsechny nutn´e podm´ınky a pot´e urˇc´ı koˇren s pˇr´ısluˇsnou pˇresnost´ı. Pˇ r´ıklad 10.18: Urˇcete diferenci´aly n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. 1 4x4
a) f (x) :
y=
b) f (x) :
d) f (x) :
y = ex
g) f (x) :
y = cos 2x3
e) f (x) :
y=
1 √ 2 x 2
y = e3x
y = 2x3
c) f (x) : f) f (x) :
y = sin x
y = 5ln sin x
h) f (x) :
Pˇ r´ıklad 10.19: Vypoˇctˇete pˇribliˇznˇe pomoc´ı diferenci´alu a pot´e porovnejte s pˇresn´ ymi hodnotami. a)
√
4,04
g) 4,013
b)
√
4,4
h) 4,053
c)
√
5
d) sin(60◦ 30 )
ch) 4,13
i) e0,01
e) sin(60◦ 590 ) j) e0,05
f) sin(63◦ )
k) e0,1
Zn´azornˇete princip v´ ypoˇctu na obr´azc´ıch. Bude odchylka od pˇresn´e hodnoty kladn´a nebo z´aporn´a? Pˇ r´ıklad 10.20: Urˇcete tot´aln´ı diferenci´aly n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. √
√
a) f (x, y) = exy sin(x)
b) f (x, y) =
d) f (x, y) = ex cos(y)
e) f (x, y) = sin(x) cos(y)
x+
y
c) f (x, y) = e2xy f) f (x1 , x2 ) = x21 e2x1 x2 + x32
g) f (x1 , x2 , x3 ) = ex1 x2 x3 sin(3x1 + 2x2 ) Pˇ r´ıklad 10.21: Urˇcete Taylor˚ uv polynom pro n´asleduj´ıc´ı funkce v okol´ı bodu x0 = 0. a) f (x) : y = ex
b) f (x) : y = sin(2x)
d) f (x) : y = x2
e) f (x) : y = x3
c) f (x) : y = cos(x) f) f (x) : y = ln(x)
´ ˇ 10.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
239
Pˇ r´ıklad 10.22: Aproximujte funkce z pˇr´ıkladu 10.17 Taylorov´ ym polynomem prvn´ıho, druh´eho, tˇret´ıho, ˇctvrt´eho a p´at´eho ˇra´du v okol´ı bodu x0 = 0. Zn´azornˇete v´ ysledky pomoc´ı graf˚ u. ˇ ste pˇr´ıklad 10.20 pro jin´ Pˇ r´ıklad 10.23: Reˇ y bod x0 6= 0. Zn´azornˇete v´ ysledky pomoc´ı graf˚ u. Pˇ r´ıklad 10.24: Linearizujte n´asleduj´ıc´ı dynamick´e syst´emy v pracovn´ıch bodech x0 , respektive u0 a) x(t) ˙ = u(t) sin x(t) + 3u2 (t) , b) x(t) ˙ = −x2 (t) + 2u2 (t) sin x(t) , c) x(t) ˙ = −x2 (t) + 2x(t)u(t) ,
x0 =
π 2
x0 =
, π 2
,
u0 = 1 ,
kde x(t) je stavov´a veliˇcina a u(t) je vstupn´ı veliˇcina.
10.4
Ot´ azky ke zkouˇ sce
10.4.1
Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Urˇcit smˇernici teˇcny k funkci v dan´em bodˇe (z pˇredpisu funkce i z grafu funkce). • Urˇcit rychlost a zrychlen´ı tˇelesa z pˇredpisu pro dr´ahu. • Urˇcit prvn´ı diferenci´al funkce, urˇcit diferenci´al v konkr´etn´ım bodˇe a jeho hodnotu pro zadanou odchylku.
240
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
´ ˇ 10.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
241
242
´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE
Kapitola 11 Anal´ yza funkce pomoc´ı derivace V t´eto kapitole si uk´aˇzeme, jak vyuˇz´ıvat do6
posud nabyt´e znalosti, to je spojitost funkce, limitu funkce a derivaci funkce, k rozboru dan´e
4
funkce. Samozˇrejmˇe se m˚ uˇzete pt´at: Proˇc ne” vykresl´ıme rovnou graf zadan´e funkce?“. To ale
2 f(x)
x→∞
0
znamen´a vyˇc´ıslit funkˇcn´ı hodnoty v nekoneˇcnˇe
−2
mnoha bodech dan´eho definiˇcn´ıho oboru za-
−4
dan´e funkce. To jsme doposud obch´azeli tak, ˇze
−6
jsme vyˇc´ıslili funkˇcn´ı hodnoty v koneˇcnˇe mno-
lim f(x) = ∞
e
e
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
ha bodech definiˇcn´ıho oboru (vyplnili jsme tabulku) a tyto body jsme zanesli do grafu. Nakonec jsme body v grafu propojili (interpolovali) nˇejakou kˇrivkou. V tom je ale ten z´asadn´ı probl´em: Jak zvolit body do tabulky?“ ” Co kdyˇz bychom provedli tak neˇst’astnou volbu, ˇze by sestrojen´ y graf funkce neobsahoval nˇejakou podstatnou ˇc´ast funkce. To by mohlo v´est aˇz k nevyˇc´ısliteln´ ym ˇskod´am. Proto v matematick´e anal´ yze vyuˇz´ıv´ame k vykreslen´ı grafu funkce tˇri v´ yˇse uveden´e vlastnosti, coˇz je tˇeˇziˇstˇem t´eto kapitoly. Uk´aˇzeme si zde, jak vyˇsetˇrit monot´onost funkce, jak naj´ıt extr´emy funkce (to je minima a maxima), jak naj´ıt body nespojitosti funkce, jak vyˇsetˇrit chov´an´ı funkce v nekoneˇcnu, jak urˇcit asymptoty funkce a tak d´ale. ˇ ´, Z. a Pr˚ Cerpat budeme opˇet zejm´ena z (Jankovsky ucha, L., 1998), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 243
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
244
11.1
Extr´ emy funkc´ı
Definice 11.1: Necht’ f (x) : (a, b) → R a necht’ pro x0 ∈ (a, b) ∃U (x0 ) takov´e, ˇze ∀x ∈ U (x0 ) plat´ı: a) x > x0 ⇒ f (x) > f (x0 ) a x < x0 ⇒ f (x) < f (x0 ), pak je f (x) rostouc´ı v x0 , b) x > x0 ⇒ f (x) < f (x0 ) a x < x0 ⇒ f (x) > f (x0 ), pak je f (x) klesaj´ıc´ı v x0 , c) x 6= x0 ⇒ f (x) < f (x0 ), pak ˇr´ık´ame, ˇze f (x) m´a v x0 (ostr´e) lok´aln´ı maximum, d) x 6= x0 ⇒ f (x) > f (x0 ), pak ˇr´ık´ame, ˇze f (x) m´a v x0 (ostr´e) lok´aln´ı minimum.
I
Pozn´ amka: Je-li v definici 11.1 v bodech c) a d) f (x) ≤ f (x0 ), respektive f (x) ≥ f (x0 ), pak mluv´ıme o neostr´em lok´aln´ım maximu, respektive minimu. Vˇ eta 11.1: Necht’ f (x) : (a, b) → R m´ a v x0 ∈ (a, b) derivaci, pak plat´ı a) je-li f 0 (x0 ) > 0, je funkce f (x) rostouc´ı v x0 , b) je-li f 0 (x0 ) < 0, je funkce f (x) klesaj´ıc´ı v x0 , c) m´a-li f (x) v x0 lok´ aln´ı extr´em (i neostr´y), je f 0 (x) = 0. D˚ ukaz:
2
´ 11.1. EXTREMY FUNKC´I
245
Pˇ r´ıklad 11.1: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = ex − x a urˇcete, zda je v x0 = {−1, 1} rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı. ˇ sen´ı: Reˇ
X Definice 11.2: Necht’ f (x) : (a, b) → R. f (x) je rostouc´ı, respektive klesaj´ıc´ı v (a, b) ⇔ f (x) je rostouc´ı, respektive klesaj´ıc´ı ∀x ∈ (a, b).
I
Vˇ eta 11.2: Necht’ f (x) : (a, b) → R m´a derivaci ∀x ∈ (a, b). Je-li f 0 (x) > 0, respektive f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (a, b), pak f (x) je rostouc´ı, respektive klesaj´ıc´ı v (a, b).
Pˇ r´ıklad 11.2: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 11.1 a urˇcete, kde je tato funkce rostouc´ı a kde je klesaj´ıc´ı. ˇ sen´ı: Reˇ
X
246
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
Vˇ eta 11.3 (Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka pro extr´ em): Necht’ f (x) : (a, b) → R m´a derivaci ∀x ∈ (a, b) a f 0 (x0 ) = 0, kde x0 ∈ (a, b). Body, ve kter´ych je f 0 (x) = 0, naz´yv´ ame stacion´arn´ı. Jestliˇze f 0 (x) mˇen´ı v x0 znam´enko, m´a f (x) v x0 lok´ aln´ı extr´em (ostr´y). Jestliˇze nast´av´ a zmˇena z + na −, jedn´ a se o lok´aln´ı maximum, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se jedn´ a o lok´aln´ı minimum. Pˇ r´ıklad 11.3: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 11.1 a urˇcete, kde m´a tato funkce extr´em a jak´eho je charakteru. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 11.4: Necht’ f (x) : (a, b) → R m´a v x0 ∈ (a, b) derivaci 2. ˇr´ adu a f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) 6= 0, potom m´a f (x) v x0 ostr´y lok´aln´ı extr´em. Je-li f 00 (x0 ) > 0 nast´av´ a lok´aln´ı minimum, je-li f 00 (x0 ) < 0 nast´av´ a lok´aln´ı maximum. D˚ ukaz:
Pˇ r´ıklad 11.4: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 11.1 a ovˇeˇrte na t´eto funkci platnost pˇredchoz´ı vˇety. ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ 11.1. EXTREMY FUNKC´I
247
Pozn´ amka (Absolutn´ı extr´ em): Je-li f (x) : ha, bi → R spojit´a, pak podle vˇety 8.8 nab´ yv´a sv´eho (glob´aln´ıho) maxima M a (glob´aln´ıho) minima m. Pak plat´ı ∀x ∈ ha, bi m ≤ f (x) ≤ M.
2
Vˇ eta 11.5: Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a. Oznaˇcme P mnoˇzinu bod˚ u x ∈ ha, bi, kter´e maj´ı jednu z n´asleduj´ıc´ıch vlastnost´ı: x = a, x = b, f 0 (x) = 0, ¬∃f 0 (x). Potom M = max{f (x) | x ∈ ha, bi} = max{f (x) | x ∈ P } , m = min{f (x) | x ∈ ha, bi} = min{f (x) | x ∈ P } .
Pˇ r´ıklad 11.5: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = 1,5x4 + 2x3 − 18x2 a urˇcete jej´ı glob´aln´ı extr´emy. ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
248
11.2
Pr˚ ubˇ eh funkc´ı
Najdˇete si sami definice konk´avn´ı a konvexn´ı funkce a inflexn´ıho bodu a dopiˇste si ji do n´asleduj´ıc´ıch odstavc˚ u. Definice 11.3 (Konk´ avn´ı, konvexn´ı funkce):
I Definice 11.4 (Inflexn´ı bod):
I
Vˇ eta 11.6 (Podm´ınka pro inflexn´ı bod): Necht’ f (x) : (a, b) → R m´ a derivaci v intervalu (a, b), potom plat´ı: 1. Je-li f 0 (x) rostouc´ı v (a, b), je f (x) konvexn´ı v (a, b). 2. Je-li f 0 (x) klesaj´ıc´ı v (a, b), je f (x) konk´ avn´ı v (a, b). 3. M´a-li f 0 (x) v x0 ∈ (a, b) lok´ aln´ı extr´em, je x0 inflexn´ım bodem f (x).
˚ EH ˇ FUNKC´I 11.2. PRUB
249
Vˇ eta 11.7: Necht’ f (x) : (a, b) → R m´ a 2. derivaci v (a, b), potom plat´ı: 1. Je-li f 00 (x) > 0 v (a, b), je f (x) konvexn´ı v (a, b). 2. Je-li f 00 (x) < 0 v (a, b), je f (x) konk´ avn´ı v (a, b). 3. Je-li f 00 (x0 ) = 0 a tato derivace mˇen´ı znam´enko, m´a f (x) v x0 inflexn´ı bod.
Pˇ r´ıklad 11.6: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,
x ∈ (3, 4)
a urˇcete, kde je tato funkce konvexn´ı, kde je konk´avn´ı a kde m´a inflexn´ı bod. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 11.8: Necht’ f (x) : (a, b) → R a ∃f 00 (x) v (a, b). Jestliˇze f 00 (x0 ) = 0 a f 000 (x) 6= 0, m´ a f (x) v x0 inflexn´ı bod. Pˇ r´ıklad 11.7: Ovˇeˇrte platnost vˇety 11.8 na pˇr´ıkladˇe 11.6. ˇ sen´ı: Reˇ
X
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
250
Vˇ eta 11.9 (Asymptotick´ e chov´ an´ı funkce): 1. Jestliˇze f (x) m´a v x0 nevlastn´ı limitu, a to tˇreba jen jednostrannou, pak ˇr´ık´ ame, ˇze graf f (x) m´a v x0 svislou asymptotu x = x0 . 2. Jestliˇze f (x) m´ a v −∞ nebo ∞ vlastn´ı limitu y0 ∈ R, pak ˇr´ık´ ame, ˇze graf f (x) m´a v −∞ nebo ∞ vodorovnou asymptotu y = y0 . 3. Necht’ ∃k 6= 0, q ∈ R takov´ a, ˇze plat´ı ¢ ¡ lim f (x) − kx − q = 0 , respektive x→−∞
¢ ¡ lim f (x) − kx − q = 0 ,
x→∞
pak ˇr´ık´ ame, ˇze f (x) m´a v −∞, respektive v ∞, ˇsikmou asymptotu y = kx + q . Pˇ r´ıklad 11.8: Urˇcete svisl´e asymptoty grafu funkce f (x) : y = ln(x − 3) . ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 11.9: Urˇcete vodorovn´e asymptoty grafu funkce f (x) : y = ex−3 + 1 . ˇ sen´ı: Reˇ
X
˚ EH ˇ FUNKC´I 11.2. PRUB
251
Vˇ eta 11.10: Graf f (x) m´a v x0 = −∞ nebo x0 = ∞ ˇsikmou asymptotu y = kx + q ,
k 6= 0
⇔ a)
lim f (x) = ±∞ ,
x→x0
b)
lim
x→x0
f (x) = k, x
c)
¢ ¡ lim f (x) − kx = q .
x→x0
Pˇ r´ıklad 11.10: Urˇcete ˇsikm´e asymptoty grafu funkce f (x) : y = ex − x . ˇ sen´ı: Reˇ
X
11.2.1
Anal´ yza funkce – shrnut´ı
• Z y = f (x) urˇc´ıme D(f ), H(f ), Px , Py , intervaly, kde je f (x) kladn´a/z´aporn´a, sudost/lichost, periodiˇcnost, intervaly spojitosti, limity v bodech nespojitosti a v krajn´ıch bodech interval˚ u D(f ). • Z y 0 = f 0 (x) urˇc´ıme intervaly monotonie, lok´aln´ı a glob´aln´ı extr´emy, limitn´ı polohy teˇcen v bodech nespojitosti. • Z y 00 = f 00 (x) urˇc´ıme intervaly konvexity/konk´avity, inflexn´ı body. • Asymptoty grafu funkce. • Funkˇcn´ı hodnoty v lok´aln´ıch extr´emech a inflexn´ıch bodech. Smˇernice teˇcen v inflexn´ıch bodech.
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
252
Pˇ r´ıklad 11.11: Proved’te anal´ yzu funkce ex−2 − 1 . e−x ˇ sen´ı: Zkusme nejprve vykreslit graf pomoc´ı tabulky, viz n´asleduj´ıc´ı obr´azek. Tak byReˇ f (x) : y =
chom postupovali na stˇredn´ı ˇskole. Nyn´ı provedeme kompletn´ı anal´ yzu funkce.
2500 2000
f(x)
1500 1000 500 0 −500 −1000 −5
0 x
Obr´azek 11.1: Graf funkce f (x)
• Urˇc´ıme D(f ).
• Pr˚ useˇc´ıky Px , Py .
• Intervaly, kde je f (x) kladn´a a kde je z´aporn´a.
5
˚ EH ˇ FUNKC´I 11.2. PRUB • Sudost, lichost, periodiˇcnost.
• Intervaly spojitosti.
• Limity v bodech nespojitosti a v krajn´ıch bodech interval˚ u D(f ).
• Extr´emy.
• Intervaly monotonie.
253
254
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
• Limitn´ı polohy teˇcen v bodech nespojitosti.
• Intervaly konvexity/konv´avity, inflexn´ı body.
• Asymptoty grafu funkce.
• Funkˇcn´ı hodnoty v lok´aln´ıch extr´emech a inflexn´ıch bodech.
• Smˇernice teˇcen v inflexn´ıch bodech.
˚ EH ˇ FUNKC´I 11.2. PRUB
255
Toto vˇse zap´ıˇseme pˇrehlednˇe do n´asleduj´ıc´ı tabulky a zakresl´ıme do grafu na obr. 11.2. Tabulka 11.1: Pr˚ ubˇeh funkce f (x)
x f (x) f 0 (x) f (x) f 00 (x) f (x) asym.
Obr´azek 11.2: Graf funkce f (x)
X
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
256
11.3
´ Ulohy
Pˇ r´ıklad 11.12: Uvaˇzujte n´asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete, zda jsou rostouc´ı ˇci klesaj´ıc´ı v bodech x0 = {−2 − 1, 0, 1, 2}. a) f (x) : y = xe−x d) f (x) : y = xln2 x
b) f (x) : y = x2 e−x
e) f (x) : y = x4 − 5x2 + 1
g) f (x) : y = x3 − 5x2 + 6x j) f (x) : y =
1 +x x
m) f (x) : y = ln
c) f (x) : y = x2 − 3x + 2
h) f (x) : y = xln x
k) f (x) : y =
1+x 1−x
f) f (x) : y = x5 − 2x2 − 4
x 1 + x2
n) f (x) : y = |x2 − 16|
i) f (x) : y = x − cos(x)
l) f (x) : y = e−2x sin(x) o) f (x) : y = e−|x|
Pˇ r´ıklad 11.13: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 11.12 a urˇcete, kde jsou funkce rostouc´ı a kde klesaj´ıc´ı. Pˇ r´ıklad 11.14: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 11.12 a urˇcete jejich lok´aln´ı extr´emy. Pˇ r´ıklad 11.15: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 11.12 a urˇcete jejich glob´aln´ı extr´emy. Pˇ r´ıklad 11.16: Pro kter´e ˇc´ıslo x je jeho rozd´ıl s jeho druhou mocninou maxim´aln´ı? Pˇ r´ıklad 11.17: Pro kter´e ˇc´ıslo x je jeho souˇcin s jeho pˇrirozen´ ym logaritmem minim´aln´ı? Pˇ r´ıklad 11.18: Pro kter´e ˇc´ıslo x je jeho souˇcin s jeho dekadick´ ym logaritmem minim´aln´ı? Pˇ r´ıklad 11.19: Kter´ y obd´eln´ık vepsan´ y do kruˇznice o polomˇeru r m´a nejvˇetˇs´ı moˇzn´ y obsah a kolik tento obsah je? Pˇ r´ıklad 11.20: Kter´ y obd´eln´ık vepsan´ y do ˇctvrtkruhu o polomˇeru r m´a nejvˇetˇs´ı moˇzn´ y obsah a kolik tento obsah je? Pˇ r´ıklad 11.21: Jak´ y v´alec vepsan´ y do koule o polomˇeru r m´a nejvˇetˇs´ı moˇzn´ y objem a jak´ y m´a nejmenˇs´ı moˇzn´ y povrch? Pˇ r´ıklad 11.22: Na parabole x2 + 3x = −2 naleznˇete bod, kter´ y je nejbl´ıˇze poˇca´tku souˇradnicov´eho syst´emu.
´ 11.3. ULOHY
257
Pˇ r´ıklad 11.23: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = x5 − 2x4 + 2x3 − 4 a urˇcete extr´emy jej´ı prvn´ı derivace. Pˇ r´ıklad 11.24: Uvaˇzujte n´asleduj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich inflexn´ı body a konvexnost a konk´avnost. a) f (x) : y = x4 − 4x2 + 6 ln x d) f (x) : y = √ x g) f (x) : y =
e) f (x) : y = e1/x
4x x−2
j) f (x) : y = ln(1 + e−x ) m) f (x) : y = ln
b) f (x) : y = x4 + x2 + ex
1 + x2 1 − x2
f) f (x) : y = ln(5 + x3 )
h) f (x) : y = xln x
i) f (x) : y = ln
k) f (x) : y = e−x + 2x n) f (x) : y =
c) f (x) : y = ex (x2 + 1)
ex 1+x
1−x 1+x
l) f (x) : y = e−2x sin(x) o) f (x) : y = ln x +
1 x
Pˇ r´ıklad 11.25: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 11.24 a urˇcete vˇsechny jejich asymptoty. Pˇ r´ıklad 11.26: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıklad˚ u 11.12 a 11.24, naˇcrtnˇete jejich grafy a vyznaˇcte na nich vˇsechny v´ yznamn´e body. D´ale do tˇechto graf˚ u dokreslete pr˚ ubˇehy prvn´ıch ˇ sen´ı ovˇeˇrte v Matlabu. a druh´ ych derivac´ı. Reˇ Pˇ r´ıklad 11.27: Nakreslete graf funkce, pro kterou plat´ı vˇsechny n´asleduj´ıc´ı podm´ınky: • D(f ) : x ∈ R • H(f ) : y ∈ (−10, 5) • ∀x < 3 f 0 (x) < 0, ∀x > 3 f 0 (x) > 0 • f 00 (x) zmˇen´ı dvakr´at znam´enko • lim f (x) = 0 x→∞
Pˇ r´ıklad 11.28: Nakreslete graf funkce, pro kterou plat´ı vˇsechny n´asleduj´ıc´ı podm´ınky: • D(f ) : x ∈ R • H(f ) : y ∈ (−2, 2)
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
258 • ∀x f 0 (x) > 0
• f 00 (x) zmˇen´ı znam´enko jen jednou • lim f (x) = −1 x→∞
Pˇ r´ıklad 11.29: Nakreslete graf funkce, pro kterou plat´ı vˇsechny n´asleduj´ıc´ı podm´ınky: • D(f ) : x ∈ (−10, −2i ∪ h0, ∞) • H(f ) : y ∈ (0, 5) • ∀x f (x) > 0 • ∀x ∈ D(f ) ∃f 0 (x) • f (−2) = 2, f (0) = 1 • ∀x < 0 f 0 (x) > 0, f 0 (−2) = 10, f 0 (0) = −1, f 0 (5) = 0, f 0 (10) = 0, f 0 (11) = 0 • ∀x < 0 f 00 (x) nemˇen´ı znam´enko, ¬∃f 00 (−2), ¬∃f 00 (0), f 00 (5) = 2, f 00 (10) = 0, f 00 (11) = −2 • lim f (x) = 5 x→∞
11.4
Ot´ azky ke zkouˇ sce
11.4.1
Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce
• Urˇcit definiˇcn´ı obor funkce a z´akladn´ı (stˇredoˇskolsk´e) vlastnosti funkce. • Urˇcit intervaly monot´onosti funkce. • Urˇcit lok´aln´ı extr´emy funkce.
´ ˇ 11.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
259
260
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
´ ˇ 11.4. OTAZKY KE ZKOUSCE
261
262
´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOC´I DERIVACE
Kapitola 12 Neurˇ cit´ y integr´ al V kapitole 9 jsme se nauˇcili pro danou funkci naj´ıt jej´ı derivaci. Zde si uk´aˇzeme opaˇcn´ y postup. Pro zn´amou derivaci nˇejak´e funkce budeme hledat tuto funkci.
F ( x ) = ∫ f ( x) dx
Tento opaˇcn´ y postup k derivov´an´ı se naz´ yv´a integrov´ an´ı. V t´eto kapitole budeme tedy hledat integr´ aly zadan´ ych funkc´ı. Nejprve se sezn´am´ıme se z´akladn´ımi pojmy v oblasti integr´aln´ıho poˇctu (primitivn´ı funkce a neurˇcit´y integr´ al ). Pot´e se nauˇc´ıme jednoduch´e postupy integrov´an´ı (vˇeta o linearitˇe , integrov´ an´ı per partes a integrov´ an´ı pomoc´ı substituce). Porovn´ame-li obt´ıˇznost derivov´an´ı a integrov´an´ı, mus´ıme hned na zaˇca´tku ˇr´ıci, ˇze integrov´an´ı je mnohon´asobnˇe obt´ıˇznˇejˇs´ı u ´loha. Zat´ımco vypoˇc´ıtat derivaci byste mˇeli b´ yt schopni podle v´ yˇse uveden´ ych vˇet a definic pro jakoukoli funkci (metodika je vˇzdy jednoznaˇcn´a a pˇr´ımoˇcar´a), urˇcen´ı integr´alu uˇz tak jednoduch´e nen´ı. Integrov´an´ı je tak trochu duchaˇrina“, protoˇze postup integrov´an´ı uˇz relativnˇe jednoduch´ ych funkc´ı nen´ı na prvn´ı ” pohled jasn´ y a algoritmizovateln´ y. U nˇekter´ ych funkc´ı dokonce ani analytick´ y integr´al neexistuje. Proto se analytick´ ym integrov´an´ım nebudeme zab´ yvat pˇr´ıliˇs dlouho. T´ım ale nechceme ˇr´ıci, ˇze integrov´an´ı je k niˇcemu. Naopak, aplikace integr´aln´ıho poˇctu je velmi ˇsirok´a a tam, kde nen´ı moˇzn´e analytick´ ym zp˚ usoben integr´al nal´ezt, se pouˇz´ıvaj´ı numerick´e metody. Ty maj´ı v praxi z´asadn´ı v´ yznam a mi se s nimi sezn´am´ıme v kapitole 14, protoˇze je budeme vyuˇz´ıvat v kurzu Modelov´an´ı a ˇr´ızen´ı syst´em˚ u. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejm´ena z (Jankovsky ucha, L., 1996), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet nˇekolik neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 263
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 12. NEURCIT
264
12.1
Primitivn´ı funkce a neurˇ cit´ y integr´ al
Zaˇcnˇeme tentokr´at n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladem. Pˇ r´ıklad 12.1: Je d´ana okamˇzit´a rychlost pohybuj´ıc´ıho se vozidla jako funkce ˇcasu v(t) = 4t + 2 m s−1 ,
t ∈ h0, 100) s.
Urˇcete pˇredpis pro okamˇzitou dr´ahu vozidla x(t), jestliˇze v´ıte, ˇze v ˇcase t = 0 s byla dr´aha x(0) = 0 m. ˇ sen´ı: Z kapitoly 10.1 v´ıme, ˇze rychlost je Reˇ v(t) = Hled´ame tedy takovou funkci x(t), pro kterou plat´ı x(t) ˙ =
dx(t) = dt
∀t ∈ h0, 100) s.
Protoˇze uˇz jsme se uˇcili derivovat, tak ˇreˇsen´ı dok´aˇzeme naj´ıt x(t) = Nakonec z podm´ınky x(0) = 0 urˇc´ıme nezn´amou konstantu x(0) =
⇒
Hledan´ y pˇredpis pro dr´ahu tedy je x(t) = Sami si ovˇeˇrte zkouˇskou, ˇze plat´ı x(t) ˙ = v(t), ∀t ∈ h0, 100) s.
X
V tomto pˇr´ıkladˇe jsme potˇrebovali udˇelat jakousi opaˇcnou (inverzn´ı) derivaci“, aby” chom urˇcili dr´ahu z rychlosti. Zadefinujeme si nyn´ı nˇekolik pojm˚ u aˇz dojdeme k pojmu integr´ al , respektive neurˇcit´ y integr´al, coˇz nen´ı vlastnˇe nic jin´eho neˇz ona opaˇcn´a deri” vace“. Zadefinujme nejprve pojem primitivn´ı funkce. Definice 12.1 (Primitivn´ı funkce): F (x) : (a, b) → R je primitivn´ı funkc´ı k f (x) v intervalu (a, b), jestliˇze ∀x ∈ (a, b) plat´ı dF (x) = f (x) . dx
I
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ 12.1. PRIMITIVN´I FUNKCE A NEURCIT
265
Pozn´ amka: Pˇredeˇslou definici lze rozˇs´ıˇrit i pro funkce definovan´e na uzavˇren´em, respektive polouzavˇren´em, respektive polootevˇren´em intervalu. Sami si tyto definice dohledejte.
2
Pˇ r´ıklad 12.2: Urˇcete primitivn´ı funkci k funkci f (x) : y = 3x2 . ˇ sen´ı: Zaˇcnˇeme obr´acenˇe. Urˇceme nejprve derivace n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı Reˇ ¡ 3 ¢0 x = ¡
¢0 x3 + 1 = ¡ 3 ¢0 x −7 = ¡ 3 ¢0 x +c = kde c ∈ R je libovoln´a konstanta. Odtud vid´ıme, ˇze primitivn´ı funkce k zadan´e funkci je ...
X
Pozn´ amka: Z tohoto pˇr´ıkladu je vidˇet, ˇze pokud existuje k dan´e funkci primitivn´ı funkce, pak tˇechto primitivn´ıch funkc´ı existuje nekoneˇcnˇe mnoho.
2
Definice 12.2 (Neurˇ cit´ y integr´ al): Pokud existuje alespoˇ n jedna primitivn´ı funkce F (x) k f (x) na intervalu I, nazveme mnoˇzinu vˇsech primitivn´ıch funkc´ı k f (x) na I Z f (x) dx = {F (x) + c | c ∈ R} . neurˇcit´ym integr´ alem. Historicky se vˇzilo oznaˇcen´ı Z f (x) dx = F (x) + c , kde c ∈ R.
Vˇ eta 12.1: Necht’ f (x) je na I ⊂ R spojit´ a, ⇒ ∃ primitivn´ı funkce F (x) na I.
I
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 12. NEURCIT
266
Doplˇ nte si sami n´asleduj´ıc´ı tabulku integr´al˚ u element´arn´ıch funkc´ı vˇcetnˇe interval˚ u, kde v´ yrazy plat´ı. R R R R R R R R
Tabulka 12.1: Integr´ al element´ arn´ıch funkc´ı
xn dx = ex dx = sin x dx = 1 cos2 x
dx =
√ 1 1−x2
dx =
sinh x dx = √ 1 x2 +1 1 1−x2
dx =
dx =
R R R R R R R R
1 x
dx =
ax dx = cos x dx = 1 sin2 x
dx =
1 1+x2
dx =
cosh x dx = √ 1 x2 −1 1 1−x2
dx =
dx =
Vˇ eta 12.2 (Vˇ eta o linearitˇ e): Necht’ k1 , k2 ∈ R a necht’ existuj´ı neurˇcit´e integr´ aly funkc´ı f1 (x) a f2 (x) na intervalu I. Pak na I plat´ı Z Z Z k1 f1 (x) + k2 f2 (x) dx = k1 f1 (x) dx + k2 f2 (x) dx .
(12.1)
Pˇ r´ıklad 12.3 (Jednoduch´ e integr´ aly): Urˇcete n´asleduj´ıc´ı integr´aly. ˇ sen´ı: Reˇ Z sin x dx = Z 5 sin x dx = Z 5 sin x − 4ex + 3x2 dx = Sami proved’te zkouˇsku spr´avnosti v´ ysledk˚ u.
X
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ 12.1. PRIMITIVN´I FUNKCE A NEURCIT
267
Vˇ eta 12.3 (Integrace per partes“): Necht’ f1 (x) a f2 (x) maj´ı spojit´e derivace na ” intervalu I, potom na I plat´ı Z Z 0 f1 (x)f2 (x) dx = f1 (x)f2 (x) − f10 (x)f2 (x) dx . D˚ ukaz:
Metodika integrov´an´ı per partes m´a tˇri z´akladn´ı pouˇzit´ı. Uk´aˇzeme si je na n´asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklad 12.4 (Integrace per partes“): Vypoˇctˇete ” ˇ sen´ı: Reˇ Z x cos x dx =
R
x cos x dx.
X Pˇ r´ıklad 12.5 (Integrace per partes“): Vypoˇctˇete ” ˇ sen´ı: Reˇ Z ln x dx =
R
ln x dx.
X
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 12. NEURCIT
268
Pˇ r´ıklad 12.6 (Integrace per partes“): Vypoˇctˇete ”
R
sin2 x dx.
ˇ sen´ı: Reˇ Z sin2 x dx =
X Vˇ eta 12.4 (Integrace pomoc´ı substituce): Necht’ funkce f (x) : If → R je spojit´ a na If a necht’ ϕ(t) : Iϕ → If m´a spojitou derivaci ϕ 0 na Iϕ , pak plat´ı na If Z
Z f (x) dx =
¡ ¢ f ϕ(τ ) ϕ0 (τ ) dτ .
D˚ ukaz: h ¡ ¢i0 F ϕ(τ ) =
Pˇ r´ıklad 12.7 (Integrace pomoc´ı substituce): Vypoˇctˇete
R
sin2 x cos x dx.
ˇ sen´ı: Reˇ Z sin2 x cos x dx =
X
´ 12.2. ULOHY
12.2
269
´ Ulohy
Pˇ r´ıklad 12.8: Urˇcete neurˇcit´ y integr´al n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x) :
y = 3x2 − 5x + 6
c) f (x) :
y = sin x + 3x2
e) f (x) :
y = 6 sin x + 2 cos x + sin 3x
g) f (x) :
y=
i) f (x) :
y=
√ 1 x
d) f (x) :
√ 4 x3 + 6 x5
+ x−1
y = 2x3 − 5 sin x + 6 cos x
b) f (x) :
y = 2 ln x + 5 sin 2x + 6x3 − 15x + 2
y = 3e4x
h) f (x) : j) f (x) :
y = 15x3 + 6x2 + 5x + 2
f) f (x) :
1 x3
ch) f (x) : y =
+ x12 + x1
2
y = ex
Pˇ r´ıklad 12.9: Urˇcete neurˇcit´ y integr´al n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı pomoc´ı metody per partes. y = x sin x,
d) f (x) :
y = xln x
g) f (x) :
y = sin6 x cos x
h) f (x) :
y = x2 ex
i) f (x) : y = (x + 5) cos x
j) f (x) :
y = (x − 1)ex
l) f (x) :
b) f (x) :
y = x2 sin x
a) f (x) :
e) f (x) :
y = sin9 x cos x
y = x2 ln x
m) f (x) :
c) f (x) : f) f (x) :
y = x3 sin x
y = cos2 x
ch) f (x) : y = (x − 5) sin x k) f (x) :
y = ex (x + 1)
y = cos3 x sin x
Pˇ r´ıklad 12.10: Urˇcete neurˇcit´ y integr´al n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı pomoc´ı substituce. a) f (x) :
y = sin(5x + 4)
b) f (x) :
y = (2x + 3) sin(x2 + 3x + 2)
c) f (x) :
y = cos(2x − 5)
d) f (x) :
y = (2x − 3) cos(x2 − 3x + 2)
e) f (x) :
y = e3x+7
h) f (x) :
y = sin6 x cos x
i) f (x) :
y=
k) f (x) :
y = sin9 x cos x
l) f (x) :
y = cos3 x sin x
f) f (x) :
Pro kontrolu proved’te zkouˇsku.
y = 2xex
2
g) f (x) : 1 xln x
3 +2x2
y = (3x2 + 4x)ex j) f (x) :
y=
cos x 5 + sin x
270
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 12. NEURCIT
´ 12.2. ULOHY
271
272
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 12. NEURCIT
Kapitola 13 Urˇ cit´ y integr´ al a jeho aplikace Xn
Pˇredchoz´ı kapitola o integrov´an´ı b´ yv´a obvykle v kurzech matematick´e anal´ yzy mnohem delˇs´ı,
Xi +1
rozˇs´ıˇren´a o integrov´an´ı komplikovanˇejˇs´ıch funk-
Xi -1
∆s
to takov´a duchaˇrina“. Pro naˇse studijn´ı u ´ˇcely ” a n´asledn´e aplikace n´am doposud nauˇcen´e po-
i
Xi
c´ı. Jak uˇz jsme uvedly v pˇredchoz´ı kapitole, je
B
γ
znatky postaˇc´ı. V t´eto kapitole se nejprve sezn´am´ıme s po-
X0
A
jmem urˇcit´ y integr´al a uk´aˇzeme si, jak ho vyˇc´ıslit pomoc´ı integr´alu neurˇcit´eho. Pot´e se pod´ıv´ame na jeho nejjednoduˇsˇs´ı aplikace, kter´ ymi jsou obsah plochy pod kˇrivkou a d´elka kˇrivky. Opˇet nep˚ ujdeme do velk´e hloubky, sp´ıˇse si jen vysvˇetl´ıme principy na jednoduch´ ych pˇr´ıkladech. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech zjist´ıme, ˇze se v´ ysledku nikdy nedobereme. Analytick´ y integr´al nebude jednoduˇse existovat. Napˇr´ıklad pˇri v´ ypoˇctu d´elky sinusoidy se n´am nepodaˇr´ı nal´ezt primitivn´ı funkci pˇr´ısluˇsn´eho integr´alu. U takov´ ychto pˇr´ıklad˚ u si budeme muset poˇckat na ˇreˇsen´ı do n´asleduj´ıc´ı kapitoly, kde se sezn´am´ıme s numerick´ ymi metodami integrov´an´ı, kter´e maj´ı z´asadn´ı praktick´ y v´ yznam. ˇ ´, Z. a Pr˚ Cerpat budeme opˇet zejm´ena z (Jankovsky ucha, L., 1996), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet nˇekolik neˇreˇsen´ ych u ´loh pro dom´ac´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejak´eho softwaru. 273
274
13.1
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ A JEHO APLIKACE KAPITOLA 13. URCIT
Urˇ cit´ y integr´ al
Zaˇcnˇeme tentokr´at n´asleduj´ıc´ım probl´emem. Budeme cht´ıt urˇcit obsah plochy mezi osou x a kˇrivkou f (x) na intervalu ha, bi, viz n´asleduj´ıc´ı obr´azek.
Obr´azek 13.1: Obsah plochy pod kˇrivkou
Definice 13.1 (Rieman˚ uv integr´ al hRiemann integrali): Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´a funkce definovan´a ∀x ∈ ha, bi ⊂ R. Jestliˇze pro libovoln´e dˇelen´ı intervalu ha, bi m P a kaˇzd´ y v´ ybˇer bod˚ u xi ∈ ha, bi pro i = 1, 2, . . . , m maj´ı integr´aln´ı souˇcty f (xi )∆xi , i=1
kde ∆xi = xi − xi−1 , tut´eˇz limitu pro max(∆xi ) → 0 (tedy m → ∞), pak tuto limitu naz´ yv´ame urˇcit´ym (Riemannov´ym) integr´ alem funkce f na intervalu ha, bi a zapisujeme Zb f (x) dx. a
I
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ 13.1. URCIT
275
Urˇcit´ y integr´al v praxi obvykle nepoˇc´ıt´ame podle v´ yˇse uveden´e definice, n´ ybrˇz pomoc´ı neurˇcit´eho integr´alu podle n´asleduj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 13.1 (Newtonova Leibnitzova formule): Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a a necht’ F (x) je jej´ı primitivn´ı funkce, potom Zb
h ib f (x) dx = F (x) = F (x = b) − F (x = a) . a
a
Pˇ r´ıklad 13.1 (Newtonova Leibnizova formule): Vypoˇc´ıtejte
R1
2x dx. Pot´e nakres-
0
lete graf funkce a diskutujte v´ ysledek integr´alu. ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 13.2 (Integrace per partes): Vypoˇc´ıtejte
Rπ
ex sin x dx.
0
ˇ sen´ı: Reˇ
X Pˇ r´ıklad 13.3 (Integrace pomoc´ı substituce): Vypoˇc´ıtejte
Rπ
sin 2x dx.
0
ˇ sen´ı: Reˇ
X
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ A JEHO APLIKACE KAPITOLA 13. URCIT
276
Pozn´ amka: Z vˇety 13.1 pˇr´ımo plynou n´asleduj´ıc´ı dvˇe vlastnosti. Zb
Za f (x) dx = −
a
Za f (x) dx ,
f (x) dx = 0 . a
b
Pokuste se sami tyto vztahy dok´azat.
2
Vˇ eta 13.2: Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a, pak pro c ∈ ha, bi plat´ı Zb
Zc f (x) dx =
a
Zb f (x) dx +
a
f (x) dx . c
Pˇ r´ıklad 13.4: Ovˇeˇrte na nˇejak´em pˇr´ıkladˇe platnost pˇredchoz´ı vˇety. ˇ sen´ı: Reˇ
X Vˇ eta 13.3 (Vˇ eta o stˇ redn´ı hodnotˇ e): Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a, pak ∃c ∈ ha, bi takov´y, ˇze 1 f (x = c) = b−a
Zb f (x) dx , a
kde f (x = c) naz´yv´ ame stˇredn´ı hodnotou funkce f (x). Pˇ r´ıklad 13.5: Urˇcete stˇredn´ı hodnotu funkce z pˇr´ıkladu 13.1 a zn´azornˇete v´ ysledek do grafu funkce. ˇ sen´ı: Reˇ
X
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ 13.1. URCIT
277
Doposud jsme se bavili jen o integrov´an´ı spojit´ ych funkc´ı. Nyn´ı rozˇs´ıˇr´ıme naˇse u ´vahy i na takov´e funkce, kter´e jsou spojit´e pouze po ˇca´stech. Definice 13.2 (Integr´ al nespojit´ ych“ funkc´ı): Necht’ f (x) : ha, bi → R je po u ´se” c´ıch spojit´a funkce a necht’ v bodech nespojitosti m´a koneˇcn´e jednostrann´e limity. Jestliˇze oznaˇc´ıme body nespojitosti x1 , x2 , . . . , xn−1 a poloˇz´ıme x0 = a, xn = b, pak definujeme Zb f (x) dx =
n Zxi X i=1 x
a
kde fi∗ (x) =
f (xi−1+ ), f (x), f (x ), i−
fi∗ (x) dx ,
i−1
x = xi−1 x ∈ (xi−1 , xi ) x = xi
Pˇ r´ıklad 13.6 (Integr´ al nespojit´ ych“ funkc´ı): Vypoˇc´ıtejte ” ( sin x, x ∈ h0, π) , f (x) = 1, x ∈ hπ, 2π) .
I
R 2π 0
f (x) dx, kde
Nakreslete graf funkce f (x) a diskutujte zadan´ y integr´al. ˇ sen´ı: Reˇ
X
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ A JEHO APLIKACE KAPITOLA 13. URCIT
278
13.1.1
Plocha pod kˇ rivkou funkce
Pro v´ ypoˇcet plochy pod danou kˇrivkou nen´ı potˇreba uv´adˇet dalˇs´ı teorii, mˇela by b´ yt jasn´a z pˇredchoz´ıch odstavc˚ u. Proto se rovnou d´ame do pˇr´ıklad˚ u. Pˇ r´ıklad 13.7 (Plocha pod kˇ rivkou): Urˇcete velikost plochy pod kˇrivkou funkce sinus na intervalu a) x ∈ h0, πi, b) x ∈ h0, 2πi. Nakreslete grafy funkc´ı a diskutujte oba v´ ysledky. ˇ sen´ı: Nejprve pˇr´ıpad a) x ∈ h0, πi. Reˇ
Nyn´ı pˇr´ıpad b) x ∈ h0, 2πi.
Odtud vid´ıme, ˇze . . .
X Vˇ eta 13.4 (Plocha mezi funkcemi): Necht’ f1 (x) : ha, bi → R a f2 (x) : ha, bi → R jsou spojit´e a f1 (x) ≥ f2 (x) ∀x, pak obsah plochy mezi tˇemito funkcemi je Zb S=
f1 (x) − f2 (x) dx . a
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ 13.1. URCIT
13.1.2
279
D´ elka kˇ rivky
Odvod’me nyn´ı, jak pomoc´ı urˇcit´eho integr´alu vypoˇc´ıtat d´elku kˇrivky zadan´e funkˇcn´ım pˇredpisem.
Obr´ azek 13.2: D´elka kˇrivky
Odtud m˚ uˇzeme napsat n´asleduj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 13.5: Necht’ kˇrivka γ je d´ana funkc´ı f (x) : ha, bi → R, kter´a m´a spojitou derivaci. Potom d´elku kˇrivky γ vypoˇc´ıt´ ame pomoc´ı vztahu Zb q £ ¤2 sγ = 1 + f 0 (x) dx . a
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ A JEHO APLIKACE KAPITOLA 13. URCIT
280
Pˇ r´ıklad 13.8: Urˇcete d´elku paraboly y = x2 + 1 pro x ∈ (−2, 2). ˇ sen´ı: Reˇ
X
13.2
´ Ulohy
Pˇ r´ıklad 13.9: Urˇcete integr´al n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı na intervalu h−1, 1i. a) f (x) :
y=5
d) f (x) :
y = −x2 + 4
g) f (x) :
y = ln x
i) f (x) :
y=
√
b) f (x) :
x
y = −5
y = x3
e) f (x) : h) f (x) :
c) f (x) :
y=
1 x
y = −3x + 1
f) f (x) : ch) f (x) :
y = x4 − x2 + 4
y=
1 x+5
y = e−x
j) f (x) :
Pˇ r´ıklad 13.10: Urˇcete integr´al n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı a) f (x) :
y = sin x
b) f (x) :
d) f (x) :
y = e−x sin 2x
y = cos x
e) f (x) :
c) f (x) :
y = cos 2x
y = e−x cos 2x
na intervalech h0, hi, kde h = {0, π, 2π, 3π, 4π}. Pˇ r´ıklad 13.11: Urˇcete integr´al n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı na intervalu h0, ∞i. a) f (x) :
y=5
d) f (x) :
y=
√
b) f (x) : x
e) f (x) :
y=
1 x
y = e−x
c) f (x) :
y=
1 x+5
´ 13.2. ULOHY
281
Pˇ r´ıklad 13.12: Urˇcete integr´al
Z10 f (x)dx , 0
kde
(
a) f (x) =
( c) f (x) =
cos x,
x ∈ h0, π) ,
x2 ,
x ∈ hπ, 10) .
x2 ,
x ∈ h0, 4) ,
−x2 ,
x ∈ h4, 10) .
( b) f (x) =
x2 ,
x ∈ h0, 5) ,
−x2 ,
x ∈ h5, 10) .
2 2−x , d) f (x) =
ln x, 0,
x ∈ h0, 1) , x ∈ h1, e) , x ∈ he, 10) .
Pˇ r´ıklad 13.13: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 13.9 a urˇcete obsahy ploch ohraniˇcen´ ych danou funkc´ı a osou x na intervalu h−1, 1i. Neˇz zaˇcnete poˇc´ıtat, udˇelejte odhad dan´eho obsahu. Nakreslete grafy tˇechto funkc´ı a diskutujte rozd´ıly od v´ ysledk˚ u z pˇr´ıkladu 13.9. Pˇ r´ıklad 13.14: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 13.9 a urˇcete d´elky tˇechto kˇrivek na intervalu h−1, 1i. Neˇz zaˇcnete poˇc´ıtat, udˇelejte odhad dan´e d´elky. Pˇ r´ıklad 13.15: Odvod’te vztah pro v´ ypoˇcet objemu rotaˇcn´ıho tˇelesa, jehoˇz v´ yˇskov´ y“ ” tvar pl´aˇstˇe je d´an funkc´ı f (x) : ha, bi → R. Pˇ r´ıklad 13.16: Odvod’te vztah pro v´ ypoˇcet povrchu pl´aˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa, jehoˇz v´ y” ˇskov´ y“ tvar pl´aˇstˇe je d´an funkc´ı f (x) : ha, bi → R. Pˇ r´ıklad 13.17: Urˇcete d´elku sinusoidy na jedn´e periodˇe.
282
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ A JEHO APLIKACE KAPITOLA 13. URCIT
´ 13.2. ULOHY
283
284
ˇ Y ´ INTEGRAL ´ A JEHO APLIKACE KAPITOLA 13. URCIT
Kapitola 14 Numerick´ e metody integrov´ an´ı a derivov´ an´ı V pˇredchoz´ı kapitole jsme ˇcasto narazili na integr´aly, ke kter´ ym neexistovala primitivn´ı funkce. To znamen´a, ˇze jsme nebyli schopni vyj´adˇrit neurˇcit´ y in-
f(t) f(t )∆t i
f(t )
i
i
tegr´al a tedy pouˇz´ıt k v´ ypoˇctu urˇcit´eho integr´alu Newtonovu Leibnizovu formuli. Na druhou stranu v´ıme, ˇze integr´al je vlastnˇe jak´asi plocha pod kˇrivkou, kter´a je d´ana funkˇcn´ım pˇredpisem. Asi si dovedete
a
t t i-1
i
b
t
pˇredstavit, ˇze takov´a plocha existuje a mˇela by se tedy d´at nˇejak´ ym zp˚ usobem vypoˇc´ıtat. V t´eto kapitole si uk´aˇzeme z´akladn´ı numerick´e metody integrov´an´ı a derivov´an´ı, kter´e vyuˇzijeme pr´avˇe ve chv´ıli, kdy nebudeme moci pouˇz´ıt analytick´ y postup. Tyto metody jsou d˚ uleˇzit´e pro v´ ypoˇcetn´ı techniku, nebot’ poˇc´ıtaˇce pracuj´ı s ˇc´ısly nikoli s analytick´ ymi v´ yrazy. Numerick´e metody se vyuˇz´ıvaj´ı vˇsude tam, kde se nˇeco poˇc´ıt´a online z pr´avˇe namˇeˇren´ ych dat. Napˇr´ıklad mˇeˇr´ıme-li ujetou vzd´alenost nˇejak´eho tˇelesa, poˇc´ıt´ame rychlost rovnou z tˇechto dat. Teoreticky sice plat´ı, ˇze se rychlost rovn´a derivaci ujet´e dr´ahy, ale tu obvykle nem´ame v ˇza´dn´em funkˇcn´ım pˇredpisu a nem˚ uˇzeme ji tedy k v´ ypoˇctu pouˇz´ıt. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejm´ena z (Jankovsky ucha, L., 1996), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Procviˇcovat nen´ı vlastnˇe co, protoˇze k tˇemto metod´am staˇc´ı umˇet pouˇz´ıvat sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı na kalkulaˇcce. Numerick´e metody byly vyvinuty pro potˇreby poˇc´ıtaˇc˚ u a proto, sp´ıˇse neˇz poˇc´ıt´an´ı na pap´ıˇre, si je zkus´ıme naprogramovat v Matlabu. 285
286
14.1
´ METODY INTEGROVAN ´ ´I A DERIVOVAN ´ ´I KAPITOLA 14. NUMERICKE
Numerick´ e integrov´ an´ı
Jak uˇz jsme uvedli v´ yˇse, tyto metody jsou velice jednoduch´e, proto i tato kapitola nebude pˇr´ıliˇs dlouh´a. Vˇzdy budeme pˇredpokl´adat, ˇze f (x) : ha, bi → R je spojit´a.
14.1.1
Obd´ eln´ıkov´ e metody
(a) v´ ypoˇcet zleva
(b) v´ ypoˇcet zprava
Obr´azek 14.1: Numerick´ a integrace – obd´eln´ıkov´ a metoda
Za hodnotu integr´alu vol´ıme integr´aln´ı souˇcet odpov´ıdaj´ıc´ı hodnot´am funkce v lev´ ych kraj´ıch interval˚ u, to je Rl (∆x) =
(14.1)
nebo integr´aln´ı souˇcet odpov´ıdaj´ıc´ı hodnot´am funkce v prav´ ych kraj´ıch interval˚ u, to je Rr (∆x) =
(14.2)
´ INTEGROVAN ´ ´I 14.1. NUMERICKE
287
Pˇ r´ıklad 14.1: Urˇcete pomoc´ı dvou v´ yˇse uveden´ ych obd´eln´ıkov´ ych metod pˇrihliˇznˇe hodR2 2 notu integr´alu x dx. Nakreslete graf funkce a zn´azornˇete na nˇem oba v´ ypoˇcty. Nakonec −1
srovnejte v´ ysledek s pˇresnou hodnotou. ˇ sen´ı: Nejprve zvol´ıme krok ∆x = 1. Reˇ
(a) v´ ypoˇcet zleva
(b) v´ ypoˇcet zprava
Obr´azek 14.2: Graf funkce y = x2
Nyn´ı zvol´ıme krok ∆x = 0,5.
Nakonec analytick´ ym zp˚ usobem Z2 x2 dx = −1
X
288
´ METODY INTEGROVAN ´ ´I A DERIVOVAN ´ ´I KAPITOLA 14. NUMERICKE
Obr´azek 14.3: Numerick´a integrace – obd´eln´ıkov´ a metoda – v´ ypoˇcet ze stˇredu
Za hodnotu integr´alu vol´ıme integr´aln´ı souˇcet odpov´ıdaj´ıc´ı hodnot´am funkce uprostˇred interval˚ u, to je Rc (∆x) =
(14.3)
Pˇ r´ıklad 14.2: Urˇcete pomoc´ı v´ yˇse uveden´e obd´eln´ıkov´e metody pˇrihliˇznˇe hodnotu inR2 2 tegr´alu x dx. Nakreslete graf funkce a zn´azornˇete na nˇem v´ ypoˇcet. Nakonec srovnejte −1
v´ ysledek s pˇr´ıkladem 14.1. ˇ sen´ı: Nejprve zvol´ıme krok ∆x = 1. Reˇ
Obr´azek 14.4: Graf funkce y = x2
Nyn´ı zvol´ıme krok ∆x = 0,5.
X
´ INTEGROVAN ´ ´I 14.1. NUMERICKE
14.1.2
289
Lichobˇ eˇ zn´ıkov´ a metoda
Obr´azek 14.5: Numerick´ a integrace – lichobˇeˇzn´ıkov´ a metoda
Za hodnotu integr´alu vol´ıme integr´aln´ı souˇcet odpov´ıdaj´ıc´ı pr˚ umˇeru hodnot funkce v kraj´ıch interval˚ u, to je T (∆x) =
(14.4)
Pˇ r´ıklad 14.3: Urˇcete pomoc´ı v´ yˇse uveden´e lichobˇeˇzn´ıkov´e metody pˇrihliˇznˇe hodnotu R2 2 integr´alu x dx. Nakreslete graf funkce a zn´azornˇete na nˇem oba v´ ypoˇcty. Nakonec −1
srovnejte v´ ysledek s pˇr´ıkladem 14.1. ˇ sen´ı: Nejprve zvol´ıme krok ∆x = 1. Reˇ
Obr´azek 14.6: Graf funkce y = x2
´ METODY INTEGROVAN ´ ´I A DERIVOVAN ´ ´I KAPITOLA 14. NUMERICKE
290
Nyn´ı zvol´ıme krok ∆x = 0,5.
X
14.2
Numerick´ e derivov´ an´ı
14.2.1
Aproximace pomoc´ı diference
(a) v´ ypoˇcet zleva
(b) v´ ypoˇcet zprava
Obr´azek 14.7: Numerick´a derivace – aproximace pomoc´ı diference
Za hodnotu derivace vol´ıme diferenci poˇc´ıtanou zleva, to je df (x) . = dx
(14.5)
nebo diferenci poˇc´ıtanou zprava, to je df (x) . = dx
(14.6)
´ DERIVOVAN ´ ´I 14.2. NUMERICKE
291
Pˇ r´ıklad 14.4: Urˇcete pomoc´ı dvou v´ yˇse uveden´ ych metod pˇrihliˇznˇe pr˚ ubˇeh derivace funkce x2 . Nakreslete graf funkce a zn´azornˇete na nˇem oba v´ ypoˇcty. Nakonec srovnejte v´ ysledek s pˇresnou hodnotou. ˇ sen´ı: Nejprve zvol´ıme krok ∆x = 1. Reˇ
(a) v´ ypoˇcet zleva
(b) v´ ypoˇcet zprava
Obr´azek 14.8: Graf funkce y = x2 a jej´ı pˇribliˇzn´ a derivace
Nyn´ı zvol´ıme krok ∆x = 0,5.
Nakonec analytick´ ym zp˚ usobem d 2 (x ) = dx X
292
14.3
´ METODY INTEGROVAN ´ ´I A DERIVOVAN ´ ´I KAPITOLA 14. NUMERICKE
´ Ulohy
f(x)
Pˇ r´ıklad 14.5: Urˇcete integr´al funkce z n´asleduj´ıc´ıho obr´azku. 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 0
0.5
1
1.5
2 x
2.5
3
3.5
4
−1
0
Obr´azek 14.9: Graf funkce f (x)
Pˇ r´ıklad 14.6: Urˇcete integr´al funkce z n´asleduj´ıc´ıho obr´azku. 5 4 3 2 f(x)
1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −10 −9
−8
−7
−6
−5 x
−4
−3
Obr´azek 14.10: Graf funkce f (x)
−2
´ 14.3. ULOHY
293
Pˇ r´ıklad 14.7: Urˇcete integr´aly z kapitoly 13 pomoc´ı numerick´ ych metod pro r˚ uznˇe velk´e kroky ∆x. Porovnejte jednotliv´e metody v´ ypoˇctu z hlediska obt´ıˇznosti a pˇresnosti. Pˇ r´ıklad 14.8: Urˇcete pr˚ ubˇeh derivace funkc´ı z obr. 14.9 a obr. 14.10. Pˇ r´ıklad 14.9: Naprogramujte v Matlabu algoritmy pro v´ ypoˇcet integr´alu pomoc´ı vˇsech v´ yˇse uveden´ ych metod. Pˇ r´ıklad 14.10: Naprogramujte v Matlabu algoritmy pro v´ ypoˇcet derivace pomoc´ı v´ yˇse uveden´ ych metod.
294
´ METODY INTEGROVAN ´ ´I A DERIVOVAN ´ ´I KAPITOLA 14. NUMERICKE
´ 14.3. ULOHY
295
296
´ METODY INTEGROVAN ´ ´I A DERIVOVAN ´ ´I KAPITOLA 14. NUMERICKE
Kapitola 15 ´ Uvod k diferenci´ aln´ım rovnic´ım Diferenci´aln´ı rovnice jsou uˇz celkem pokroˇcil´e partie matematiky. My je zde nebudeme nijak teoreticky studovat ani analyzovat, to si m˚ uˇzete uˇz´ıt na
dx (t ) + ax (t ) = u (t ) dt
vysok´e ˇskole do sytosti. Zde si jen ˇrekneme, co je to diferenci´aln´ı rovnice, kde se vezme, k ˇcemu slouˇz´ı a jak ji vyˇreˇsit pomoc´ı poˇc´ıtaˇce. To vˇse je celkem jednoduch´e a my se s touto oblast´ı matematiky sezn´am´ıme, protoˇze tyto poznatky budeme vyuˇz´ıvat v kurzu Modelov´an´ı a ˇr´ızen´ı syst´em˚ u. Diferenci´aln´ı rovnice je takov´a rovnice, kde se vedle bˇeˇzn´ ych nezn´am´ ych veliˇcin a konstant vyskytuje i derivace (prvn´ı nebo i vyˇsˇs´ı) nezn´am´e veliˇciny. Vyˇreˇsit ji znamen´a nal´ezt nezn´amou veliˇcinu, kter´a t´eto rovnici vyhovuje. Tato nezn´am´a veliˇcina je obvykle funkce dalˇs´ı promˇenn´e, nejˇcastˇeji ˇcasu. Diferenci´aln´ı rovnici m˚ uˇzeme, v souvislosti s re´aln´ ym svˇetem a fyzik´aln´ımi z´akony, naz´ yvat pohybovou rovnic´ı, protoˇze obvykle popisuje nˇejak´ y pohyb (zmˇena objemu kapaliny v n´adrˇzi, zmˇena polohy tˇelesa, zmˇena ot´aˇcek motoru, zmˇena napˇet´ı na kondenz´atoru, zmˇena proudu c´ıvkou a tak d´ale). Uˇz je jasn´e, ˇze tyto rovnice vznikaj´ı z fyzik´aln´ıch z´akon˚ u popisuj´ıc´ı nˇejak´ y re´aln´ y syst´em (n´adrˇz, automobil, motor, RLC ˇcl´anek a tak d´ale). Vyˇreˇsit diferenci´aln´ı rovnici znamen´a urˇcit pr˚ ubˇeh dan´e veliˇciny (zmˇena objemu kapaliny v n´adrˇzi, zmˇena polohy tˇelesa, zmˇena ot´aˇcek motoru, zmˇena napˇet´ı na kondenz´atoru, zmˇena proudu c´ıvkou a tak d´ale) v z´avislosti na poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınce nebo vstupn´ım sign´alu. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme z (Roubal, J. et al., 2011; Jankovsky ucha, L., 1998; ´ , Z. a Pr˚ Jankovsky ucha, L., 1996). V´ıce viz pˇredn´aˇsky. Procviˇcovat budeme zejm´ena na poˇc´ıtaˇci, teoretick´e postupy vedouc´ı k ˇreˇsen´ı se dozv´ıte aˇz na vysok´e ˇskole. 297
´ ´ ´IM ROVNIC´IM KAPITOLA 15. UVOD K DIFERENCIALN
298
15.1
Odvozen´ı diferenci´ aln´ı rovnice
Nejprve si uk´aˇzeme, jak se diferenci´aln´ı rovnice z´ısk´a. Odvod´ıme ji pro syst´em vodn´ı n´adrˇze z obr. 15.1. Do n´adrˇze pˇrit´ek´a mnoˇzstv´ı vody qi [m3 s−1 ], kter´e je umˇern´e napˇet´ı na ˇcerpadle qi (t) = ku(t) . Vstupem tohoto syst´emu je tedy napˇet´ı na ˇcerpadle u [V]. Voda z n´adrˇze m˚ uˇze volnˇe vyt´ekat
Obr´ azek 15.1: Syst´em vodn´ı n´adrˇz
otvorem o ploˇse So [m2 ]. Z Bernouliho rovnice (Feynman, R. P. et al., 2001) v´ıme, ˇze v´ ytokov´a rychlost je v(t) =
p
2gh(t) .
´ ´I ROVNICE 15.1. ODVOZEN´I DIFERENCIALN
299
300
´ ´ ´IM ROVNIC´IM KAPITOLA 15. UVOD K DIFERENCIALN
´ ´I ROVNICE 15.1. ODVOZEN´I DIFERENCIALN
301
302
´ ´ ´IM ROVNIC´IM KAPITOLA 15. UVOD K DIFERENCIALN
ˇ ast III C´ Informaˇ cn´ı technologie
303
Kapitola 16 MatLab/SimuLink Kurz informaˇcn´ı technologie je ve sv´e prvn´ı ˇca´sti zamˇeˇren na prostˇred´ı MatLab/SimuLink (The Mathworks, 2009), kter´e vyuˇzijeme v dalˇs´ıch kurzech hlavnˇe pro modelov´an´ı dynamick´ ych syst´em˚ u, k jejich vizualizaci a zejm´ena k n´avrhu ˇr´ızen´ı n´avrhu regul´ator˚ u). Nakonec pˇripoj´ıme re´alnou technologii (laboratorn´ı model) k poˇc´ıtaˇci a vyuˇzijeme toto prostˇred´ı k aplikaci navrˇzen´eho regul´atoru. Na nˇekolik video z´aznam˚ u z regulaˇcn´ıch pochod˚ u poˇr´ızen´ ych v Laboratoˇri teorie automatick´eho ˇr´ızen´ı ˇ CVUT FEL se m˚ uˇzete pod´ıvat na str´ank´ach (Roubal, J. et al., 2009). Neˇz se ovˇsem k tˇemto dovednostem dopracujeme, mus´ıme se v tomto prostˇred´ı nauˇcit orientovat a efektivnˇe ho vyuˇz´ıvat. Proto se snaˇzte k hodin´am aktivnˇe pˇristupovat. Piˇste si pozn´amky k v´ ykladu, sami si zkouˇsejte, co jednotliv´e bloˇcky v Simulinku um´ı, jak se nastavuj´ı jejich parametry a co tyto parametry v simulaci zp˚ usobuj´ı. Tak´e si osvojte z´asady uveden´e v (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıloha G). V t´eto kapitole nebudeme uv´adˇet ˇza´dn´e v´ ykladov´e“ texty. Proto si na hodin´ach ” piˇste kvalitnˇe pozn´amky, experimentujte s jednotliv´ ymi bloky a jejich nastaven´ı, ptejte se vyuˇcuj´ıc´ıho, hledejte na internetu (The Mathworks, 2009) ˇci v samotn´e n´apovˇedˇe MatLab/Simulinku. Pomoc naleznete tak´e napˇr´ıklad v (Kupka, L., 2007) a velice struˇcn´ y u ´vod k prostˇred´ı MatLab/SimuLink je i v (Roubal, J. et al., 2011). D´ale v t´eto kapitole naleznete jen nˇekolik u ´loh, kter´e by pro V´as mohly b´ yt vod´ıtkem pˇri dom´ac´ı pˇr´ıpravˇe na hodiny. Snaˇzte se neˇreˇsit u ´lohy pouze mechanicky, ale sami experimetujte a t´ım se v tomto prostˇred´ı zdokonalujte. Moˇznost´ı jeho vyuˇzit´ı je opravdu mnoho, a abychom z nich mohli vyuˇz´ıt alespoˇ n nˇekter´e, je potˇreba V´aˇs aktivn´ı pˇr´ıstup v tomtu kurzu! 305
306
16.1
KAPITOLA 16. MATLAB/SIMULINK
Simulink
Pˇ r´ıklad 16.1 (Z´ akladn´ı bloˇ cky Simulinku): Seznamte se se z´akladn´ımi bloˇcky, kter´e jsou uvedeny na n´asleduj´ıc´ım obr´azku (po sloupci: vstupy (Sources), matematick´e funkce (Math Operations), spoje (Signal Routing), v´ ystupy (Sinks)). Seznamte se s nastavov´an´ım jejich parametr˚ u, s jejich vlastnostmi a s anglick´ ymi v´ yrazy, kter´e u nich najdete (ˇctˇete n´apovˇedy k tˇemto bloˇck˚ um).
Obr´azek 16.1: Uˇziteˇcn´e bloˇcky ze Simulinku
Seznamte se s nastavov´an´ım parametr˚ u simulace, zejm´ena s nastaven´ım d´elky simulace a pˇresnosti simulace (menu Simulation/Configuration Parameters – poloˇzka Max step size).
16.1. SIMULINK
307
Pˇ r´ıklad 16.2 (Generov´ an´ı sign´ al˚ u): Pouˇzijte bloˇcky z obr. 16.1 a zapojte je tak, abyste vygenerovali ˇcasov´e pr˚ ubˇehy, jak´e jsou na n´asleduj´ıc´ım obr´azku.
3.5
0.5
3 0
2.5 2
−0.5
y [−]
y [−]
1.5 1
−1
0.5 −1.5
0 −0.5
−2
−1 −1.5 0
2
4
6 t [s]
8
10
−2.5 0
12
2
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
−2
−4
−4
−6
−6
−8
−8
−10 0
−10 0
4
8
10
12
0
−2
2
6 t [s]
(b)
y [−]
y [−]
(a)
4
6
8
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t [s]
t [s]
(c) line´arn´ı n´ar˚ ust amplitudy
(d) exponenci´aln´ı pokles amplitudy
ˇ Obr´ azek 16.2: Casov´ e pr˚ ubˇehy
Pˇ r´ıklad 16.3 (Vkl´ ad´ an´ı sch´ emat do refer´ at˚ u): Nauˇcte se vkl´adat sch´emata do refer´at˚ u ve vektorov´em form´atu (menu Edit/Copy Model To Clipboard).
Pˇ r´ıklad 16.4 (Dalˇ s´ı bloˇ cky Simulinku): Seznamte se s dalˇs´ımi bloˇcky, kter´e jsou uvedeny na n´asleduj´ıc´ım obr´azku (po sloupci: Virtual reality toolbox, nelinearity (nespojitosti) (Discontinuities), spoje (Signal Routing), v´ ystupy (Sinks) a vstupy (Sources)). Seznamte se s nastavov´an´ım jejich parametr˚ u, s jejich vlastnostmi a s anglick´ ymi v´ yrazy, kter´e u nich najdete (ˇctˇete n´apovˇedy k tˇemto bloˇck˚ um).
308
KAPITOLA 16. MATLAB/SIMULINK
Obr´azek 16.3: Dalˇs´ı bloˇcky ze Simulinku
Pˇ r´ıklad 16.5 (Anal´ yza virtu´ aln´ıho modelu kuliˇ cka na tyˇ ci): St´ahnˇete si virtu´aln´ı model kuliˇcka na tyˇci (Roubal, J. et al., 2009; Roubal, J. et al., 2011). Pˇreˇctˇete si n´apovˇedu k tomuto modelu, seznamte se s jeho vlastnostmi a proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı jeho chov´an´ı. Pot´e zjistˇete, v jak´ ych rozsaz´ıch se mohou pohybovat vstupn´ı a v´ ystupn´ı veliˇciny (n´aklon tyˇce a poloha kuliˇcky). D´ale odpovˇezte na ot´azky nebo proved’te simulace podle n´asleduj´ıc´ıch poˇzadavk˚ u: a) Urˇcete, za jak dlouho a na jak´e hodnotˇe se ust´al´ı n´aklon tyˇce, pˇrivedete-li na vstup modelu sign´al u(t) = 4 · 1(t) (skok o velikosti 4). b) Urˇcete, za jak dlouho a na jak´e hodnotˇe se ust´al´ı n´aklon tyˇce, pˇrivedete-li na vstup modelu sign´al u(t) = 4 · 1(t − 1) (skok o velikosti 4 posunut´ y v ˇcase do 1 s). c) Urˇcete, za jak dlouho a na jak´e hodnotˇe se ust´al´ı n´aklon tyˇce, pˇrivedete-li na vstup modelu sign´al u(t) = t/2 (rampa se sklonem 1/2). Vysvˇetlete. d) Urˇcete, za jak dlouho a na jak´e hodnotˇe se ust´al´ı n´aklon tyˇce, pˇrivedete-li na vstup modelu sign´al u(t) = −t (rampa se sklonem −1). Vysvˇetlete. e) Zmˇeˇrte, za jak dlouho pˇrejede kuliˇcka z jednoho kraje tyˇce na druh´ y, je-li tyˇc naklonˇena 1◦ od vodorovn´e polohy. f) Zmˇeˇrte, za jak dlouho pˇrejede kuliˇcka z jednoho kraje tyˇce na druh´ y, je-li tyˇc naklonˇena 5◦ od vodorovn´e polohy. Je ˇcas 5 kr´at kratˇs´ı neˇz v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe? Vysvˇetlete. g) Kuliˇcka je od zaˇca´tku simulace (t = 0 s) uprostˇred tyˇce. V ˇcase t = 1 s se zaˇcne pohybovat v pravo a zastav´ı se ve vzd´alenosti 20 cm od stˇredu.
16.1. SIMULINK
309
Pˇ r´ıklad 16.6 (Anal´ yza laboratorn´ıho modelu): Vyberte si nˇekter´ y z pˇripojen´ ych laboratorn´ıch model˚ u k poˇc´ıtaˇci v Laboratoˇri aplikovan´e informatiky a fyziky. Pˇreˇctˇete si n´apovˇedu k tomuto modelu, seznamte se s jeho vlastnostmi a proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı jeho chov´an´ı. Pot´e zjistˇete, v jak´ ych rozsaz´ıch se mohou pohybovat vstupn´ı a v´ ystupn´ı veliˇciny (pokud je vstup˚ u a v´ ystup˚ u v´ıce, postaˇc´ı vhodnˇe zvolit 3 veliˇciny r˚ uzn´e povahy, to je jeden vstup a dva v´ ystupy, nebo dva vstupy a jeden v´ ystup). D´ale proved’te anal´ yzu laboratorn´ıho modelu podobnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 16.5. Pˇ r´ıklad 16.7 (Syst´ em vod´ arny se zubov´ ym ˇ cerpadlem): Vytvoˇrte si simulinkov´ y model syst´emu vod´arny se zubov´ ym ˇcerpadlem a v´ ytokov´ ym ventilem (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıklad 11.2). Seznamte se s jeho vlastnostmi a nastavte si vaˇse vlastn´ı (re´aln´e) parametry syst´emu. Proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı spr´avn´eho chov´an´ı modelu. Pot´e proved’te simulace podle n´asleduj´ıc´ıch poˇzadavk˚ u: a) Hladina n´adrˇze line´arnˇe roste od zaˇc´atku simulace (t = 0 s) osm sekund, kdy dos´ahne v´ yˇsky 10 cm. Na t´eto hladinˇe setrv´a dalˇs´ıch deset sekund. b) Hladina n´adrˇze je od zaˇc´atku simulace (t = 0 s) nulov´a a od ˇcasu t = 2 s roste aˇz do v´ yˇsky 12 cm. V´ ytokov´ y ventil je pˇritom celou dobu otevˇren na 50%. c) Hladina n´adrˇze je od zaˇca´tku simulace (t = 0 s) ve v´ yˇsce 15 cm a v ˇcase t = 3 s zaˇcne exponenci´alnˇe klesat tak, ˇze v ˇcase t = 17 s je n´adrˇz pr´azdn´a. d) Urˇcete vliv velikosti plochy n´adrˇze S na odezvu syst´emu (rychlost, doba ust´alen´ı, hodnota ust´alen´ı). e) Urˇcete vliv velikosti v´ ytokov´eho potrub´ı So na odezvu syst´emu. f) Urˇcete vliv pˇrevodn´ı konstanty ˇcerpadla na odezvu syst´emu. Vytvoˇrte 3D sc´enu a masku syst´emu podle n´avodu v (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıloha: VR Toolbox Water.pdf). Pˇ r´ıklad 16.8 (Syst´ em z´ avaˇ z´ı na pruˇ zinˇ e): Vytvoˇrte si simulinkov´ y model syst´emu z´avaˇz´ı na pruˇzinˇe (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıklad 11.4) – zjednoduˇste syst´em pro pevn´ y z´avˇes a pohyb ve vodorovn´e ose (zanedbejte tˇren´ı o podloˇzku). Seznamte se s jeho vlastnostmi a nastavte si vaˇse vlastn´ı (re´aln´e) parametry syst´emu. Proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı spr´avn´eho chov´an´ı modelu. Pot´e proved’te simulace podle n´asleduj´ıc´ıch poˇzadavk˚ u:
310
KAPITOLA 16. MATLAB/SIMULINK
a) Na z´avaˇz´ı p˚ usob´ı s´ıla F (t) = 5 N. b) S´ıla F (t) = 0 a z´avaˇz´ı bylo na poˇc´atku simulace vych´ yleno o x(0) = 1 cm vpravo od rovnov´aˇzn´e polohy. c) S´ıla F (t) = 0 a z´avaˇz´ı mˇelo na poˇca´tku simulace ruchlost o v(0) = −2 cm s−1 . d) Urˇcete vliv tuhosti pruˇziny k na odezvu syst´emu (rychlost, doba ust´alen´ı, hodnota ust´alen´ı). e) Urˇcete vliv koeficientu tlumen´ı b na odezvu syst´emu. f) Urˇcete vliv velikosti hmotnosti z´avaˇz´ı m na odezvu syst´emu. Pˇ r´ıklad 16.9 (Syst´ em RLC ˇ cl´ anek): Vytvoˇrte si simulinkov´ y model syst´emu RLC ˇcl´anek (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıklad 3.1). Seznamte se s jeho vlastnostmi a nastavte si vaˇse vlastn´ı (re´aln´e) parametry syst´emu. Proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı spr´avn´eho chov´an´ı modelu. Pot´e proved’te simulace podle n´asleduj´ıc´ıch poˇzadavk˚ u: a) Syst´em je odpojen od zdroje a v ˇcase 1 s je pˇrivedeno na vstup napˇet´ı u(t) = 10·1(t−1) (skok o velikosti 10 posunut´ y v ˇcase do 1 s). b) Na vstup syst´emu je pˇrivedeno sinusov´e napˇet´ı o amplitudˇe 5 V s periodou T = 1 .5 s. Diskutujte vliv amplitudu a vliv periody sinusov´eho sign´alu na odezvu syst´emu. c) Vstup syst´emu (zdroj u(t)) je zkratov´an a na zaˇca´tku simulace je na kondenz´atoru napˇet´ı uC = 10 V. d) Vstup syst´emu je zkratov´an a na zaˇc´atku simulace prot´ek´a c´ıvkou proud iL = 1 A. e) Urˇcete vliv velikosti odporu R na odezvu syst´emu (rychlost, doba ust´alen´ı, hodnota ust´alen´ı). f) Urˇcete vliv velikosti indukˇcnosti L na odezvu syst´emu. g) Urˇcete vliv velikosti kapacity C na odezvu syst´emu. Pˇ r´ıklad 16.10 (Syst´ em n´ adrˇ z´ı se zubov´ ym ˇ cerpadlem): Uvaˇzujte syst´em se dvˇema n´adrˇzemi dle obr. 16.4. Vstupem syst´emu je napˇet´ı u ∈ h0, 12i V na motoru zubov´eho
16.1. SIMULINK
311
ˇcerpadla a m´ıra otevˇren´ı v´ ytokov´eho ventilu v ∈ h0, 1i. ˇ Cerpadlo produkuje objemov´ y tok qin [m3 s−1 ] u ´mˇern´ y vstupn´ımu napˇet´ı qin (t) = ku(t), kde k je konstanta ˇ ˇcerpadla. Cerpadlo pln´ı vodou horn´ı n´adrˇz, kter´a je vysok´a 5 m a m´a plochu podstavy S1 = 10 dm2 . Z t´eto n´adrˇze voda volnˇe vyt´ek´a otvorem u dna n´adrˇze o pr˚ uˇrezu So1 = 5 cm2 do doln´ı n´adrˇze, kter´a m´a plochu podstavy S2 = 5 dm2 a v´ yˇsku 6 m. Z doln´ı n´adrˇze vede
Obr´azek 16.4: Syst´em n´adrˇz´ı
2
u dna potrub´ı o pr˚ uˇrezu So2 = 4 cm , kter´e je ˇskrceno v´ ytokov´ ym ventilem s line´arn´ı charakteristikou. Rovnice takov´eho syst´emu jsou i p 1 h h˙ 1 (t) = −So1 2gh1 (t) + ku(t) , S1 i p 1 h p h˙ 2 (t) = So1 2gh1 (t) − v(t)So2 2gh2 (t) , S2 kde h1 , h2 [m] jsou v´ yˇsky hladin v jednotliv´ ych n´adrˇz´ıch. Vytvoˇrte simulinkov´ y model tohoto syst´emu podle v´ yˇse uveden´ ych informac´ı. Zvolte konstantu ˇcerpadla k tak, aby se pˇri maxim´aln´ım vstupn´ım napˇet´ı horn´ı n´adrˇz naplnila po ust´alen´ı pˇrechodov´eho dˇeje na 75% sv´e v´ yˇsky. D´ale proved’te n´asleduj´ıc´ı experimenty a odpovˇezte na ot´azky: a) Urˇcete, za jak dlouho a na jak´ ych hodnot´ach se ust´al´ı hladiny v obou n´adrˇz´ıch, jestliˇze je v´ ytokov´ y ventil ze 75% otevˇren a na ˇcerpadle je konstantn´ı napˇet´ı u = 7 V. b) Urˇcete, za jak dlouho se vypr´azdn´ı pln´a doln´ı n´adrˇz, jestliˇze horn´ı n´adrˇz je pr´azdn´a, do syst´emu ˇza´dn´a voda nepˇrit´ek´a a v´ ytokov´ y ventil je naplno otevˇren. c) Urˇcete, za jak dlouho se vypr´azdn´ı obˇe n´adrˇze, jestliˇze byla horn´ı n´adrˇz pln´a, doln´ı n´adrˇz byla pr´azdn´a, do syst´emu ˇz´adn´a voda nepˇrit´ek´a a v´ ytokov´ y ventil je naplno otevˇren. ˇ d) Cerpadlo je vypnut´e a v´ ytokov´ y ventil na polovinu otevˇren´ y. Urˇcete maxim´aln´ı poˇca´teˇcn´ı v´ yˇsku hladiny doln´ı n´adrˇze tak, aby tato n´adrˇz nepˇretekla, jestliˇze horn´ı n´adrˇz byla na zaˇc´atku naplnˇena ze 75%. e) Rozˇsiˇrte model tak, aby nereagoval na napˇet´ı menˇs´ı neˇz 1,5 V a na napˇet´ı vˇetˇs´ı neˇz 1,5 V se choval stejnˇe jako pˇred touto zmˇenou. f) Vytvoˇrte masku syst´emu a virtu´aln´ı realitu.
312
KAPITOLA 16. MATLAB/SIMULINK
16.2
Matlab
´ Pˇ r´ıklad 16.11 (Uvod do MatLabu): Seznamte se se z´akladn´ımi pojmy z prostˇred´ı MatLab dle (Kupka, L., 2007). Pˇ r´ıklad 16.12 (Uˇ ziteˇ cn´ e funkce): Seznamte se s funkcemmi Matlabu: clc, clear, close, rank, svd, eye, zeros, ones, diag, rand, randn, size, det, inv, disp, pause, figure, plot, hold, grid, sprintf, print. N´apovˇedu k funkc´ım vyvol´ate tak, ˇze nap´ıˇsete v pˇr´ıkazov´e ˇra´dce help n´azev funkce. Tak´e v´am mohou pomoci uk´azkov´e pˇr´ıklady na str´ank´ach pˇredmˇetu. Pˇ r´ıklad 16.13 (Line´ arn´ı algebra): Vyˇreˇste z kaˇzd´e kapitoly pˇredmˇetu Line´arn´ı algeˇ sen´ı porovnejte s ruˇcn´ım bra alespoˇ n 3 pˇr´ıklady (z pˇredn´aˇsek i cviˇcen´ı) v Matlabu. Reˇ v´ ypoˇctem. Pˇ r´ıklad 16.14 (Dvojteˇ ckov´ a konvence): Vygenerujte si libovolnou matici A ∈ R5×5 a vyˇreˇste n´asleduj´ıc´ı u ´koly v Matlabu: 1. Do nˇejak´e promˇenn´e pˇriˇrad’te • prvek a11 matice A, • druh´ y ˇra´dek matice A, • tˇret´ı sloupec matice A, • prvn´ı dva ˇra´dky matice od druh´eho sloupce aˇz do posledn´ıho sloupce matice A. 2. Prvky a23 , a24 , a33 a a34 matice A pˇrepiˇste nulami. 3. Do matice B vloˇzte matici A rozˇs´ıˇrenou o libovoln´ y sloupec. 4. Do matice C vloˇzte matici A rozˇs´ıˇrenou o dva libovoln´e ˇr´adky. 5. Vypoˇc´ıtejte • inverzn´ı matici matice A, • transponovanou matici k matici A, • vlastn´ı ˇc´ısla matice A, • vlastn´ı vektory matice A, • determinant matice A.
´ ´ ˇ 16.3. OTAZKY K ZAPO CTU
313
Pˇ r´ıklad 16.15 (Tvorba graf˚ u): Odsimulujte nˇekter´ y ze simulinkov´ ych model˚ u z pˇr´ıklad˚ u 16.5 aˇz 16.9 a vykreslete vˇsechny grafy v Matlabu (figury s b´ıl´ ym pozad´ım). Grafy upravte tak, aby byly pouˇziteln´e do refer´at˚ u a podobnˇe.
16.3
Ot´ azky k z´ apoˇ ctu
16.3.1
Semestr´ aln´ı pr´ ace
Pˇ r´ıklad 16.16 (Simulinkov´ y model): Vytvoˇrte simulinkov´ y model V´ami zvolen´eho re´aln´eho syst´emu alespoˇ n druh´eho ˇra´du nebo alespoˇ n se dvˇema vstupy nebo alespoˇ n se dvˇema v´ ystupy a vytvoˇrte k tomuto modelu virtu´aln´ı sc´enu (pokud lze). Opatˇrete model maskou s n´apovˇedou a s moˇznost´ı zad´avat jednotliv´e parametry syst´emu. Proved’te anal´ yzu jeho chov´an´ı (ˇcasov´e odezvy na kombinace vstupn´ıch posloupnost´ı a ˇcasov´e odezvy na poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky) a diskutujte spr´avnost chov´an´ı Vaˇseho modelu. Vypracujte k modelu dokumentaci.
16.3.2
Nutn´ e znalosti k z´ apoˇ ctu
SimuLink • Orientovat se v SimuLinku, nastavovat parametry simulace, nastavovat parametry vstupn´ıch a v´ ystupn´ıch bloˇck˚ u. • Simulovat a n´aslednˇe analyzovat dynamick´ y syst´em. • Vytvoˇrit model zadan´eho syst´emu (diferenci´aln´ı rovnice). • Vytvoˇrit Masku zadan´eho jednoduch´eho syst´emu a nastavit ji. • Vytvoˇrit vizualizaci zadan´eho jednoduch´eho syst´emu a nastavit ji. • Umˇet pˇren´est data ze Simulinku do Matlabu a zpˇet. Matlab • Vytvoˇrit a upravit graf. • Pracovat s vektory a maticemi v rozsahu kurzu Line´arn´ı algebra.
314
16.3.3
KAPITOLA 16. MATLAB/SIMULINK
Ot´ azky na rozmyˇ slenou pro jedniˇ ck´ aˇ re“ ”
• Viz pˇr´ıklady z (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıloha G).
´ ´ ˇ 16.3. OTAZKY K ZAPO CTU
315
316
KAPITOLA 16. MATLAB/SIMULINK
´ ´ ˇ 16.3. OTAZKY K ZAPO CTU
317
318
KAPITOLA 16. MATLAB/SIMULINK
Kapitola 17 Algoritmizace Ve druh´e ˇc´asti kurzu informaˇcn´ı technologie se budeme zab´ yvat algoritmizac´ı. C´ıle m´ame dva. Nauˇcit se vytv´aˇret jednoduch´e algoritmy a zapisovat je pomoc´ı v´yvojov´ych diagram˚ u proto, abyste je ve druh´em roˇcn´ıku mohli pouˇz´ıvat pˇri klasick´em programov´an´ı. Nebudeme algoritmy pouze vym´ yˇslet, ale tak´e se budeme uˇcit orientovat se v jiˇz vytvoˇren´ ych v´ yvojov´ ych diagramech a pˇr´ıpadnˇe je opravovat. Druh´ ym c´ılem je nauˇcit se jednoduch´e algoritmy pˇrepisovat do Matlabu a pˇri tom se sezn´amit s jeho z´akladn´ımi funkcemi, kter´e vyuˇzijeme pro zefektivnˇen´ı zejm´ena matematick´ ych v´ ypoˇct˚ u a operac´ı v tomto prostˇred´ı. To n´am poslouˇz´ı ve druh´em roˇcn´ıku v kurzu Modelov´an´ı a ˇr´ızen´ı syst´em˚ u. ´ e na zaˇc´atku si pov´ıme, co to vlastnˇe algoritmus je Uplnˇ a jak´e mus´ı m´ıt vlastnosti (element´arnost, determinovanost, koneˇcnost, rezultativnost, hromadnost) – pˇredpokl´ad´ame, ˇze jste tyto pojmy jiˇz slyˇseli. D´ale se sezn´am´ıme se tˇremi z´akladn´ımi strukturami, pomoc´ı kter´ ych lze kaˇzd´ y algoritmus sestavit: posloupnost (sekvenci), vˇetven´ı (rozhodov´an´ı) a cykly (opakov´an´ı). V t´eto kapitole nebudeme uv´adˇet ˇza´dn´e v´ ykladov´e“ texty. Proto si na hodin´ach piˇste ” ˇ kvalitnˇe pozn´amky a vypracov´avejte dom´ac´ı u ´lohy. Cerpat budeme zejm´ena z (Trete´ , E., 2003). D´ale naleznete jen nˇekolik u rova ´loh, kter´e by pro V´as mohly b´ yt vod´ıtkem pˇri dom´ac´ı pˇr´ıpravˇe na hodiny. Snaˇzte se neˇreˇsit u ´lohy pouze mechanicky, ale pˇrem´ yˇslejte nad nimi, testujete Vaˇse ˇreˇsen´ı a tak d´ale. 319
320
17.1
KAPITOLA 17. ALGORITMIZACE
Jednoduch´ e algoritmy
Pˇ r´ıklad 17.1 (Posloupnost): Vstupem program jsou dvˇe ˇc´ısla. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y tyto dvˇe ˇc´ısla seˇcte. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu (uˇzijte funkce input a sprintf). Pˇ r´ıklad 17.2 (Posloupnost): Vstupem program jsou dvˇe ˇc´ısla, kter´a jsou uloˇzena ve dvou promˇenn´ ych. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y vymˇen´ı obsah tˇechto dvou promˇenn´ ych. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.3 (Vˇ etven´ı): Vstupem program jsou dvˇe ˇc´ısla a a b. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y vyˇreˇs´ı rovnici ax+b = 0. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.4 (Vˇ etven´ı): Vstupem program jsou dvˇe ˇc´ısla. Prvn´ı ˇc´ıslo je poˇcet bod˚ u, kter´e jste z´ıskali v kurzu Line´arn´ı algebra v zimn´ım obdob´ı, druh´e ˇc´ıslo je poˇcet bod˚ u, kter´e jste z´ıskali v t´emˇze kurzu v letn´ım obdob´ı. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı a vyp´ıˇse, jak´a v´ ysledn´a zn´amka V´am bude zaps´ana do indexu dle pravidel dan´eho kurzu (podm´ınky na minima z jednotliv´ ych test˚ u neuvaˇzujte – vlastnˇe je ani uˇz´ıt nem˚ uˇzete). Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.5 (Vˇ etven´ı): Vstupem programu je 7 ˇc´ısel odpov´ıdaj´ıc´ı bod˚ um ze zimn´ıho obdob´ı v kurzu Line´arn´ı algebra (body z testu 1 aˇz 3, body za u ´kol z kapitoly matematick´a logika a body za aktivitu 1 aˇz 3). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı a vyp´ıˇse, zda m´ate, dle pravidel dan´eho kurzu, n´arok na z´apoˇcet ˇci nikoli. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.6 (Vˇ etven´ı): Vyˇreˇste pˇredchoz´ı pˇr´ıklad s t´ım omezen´ım, ˇze v programovac´ım jazyce m´ate k dispozici pouze n´asleduj´ıc´ı funkce: • if() pozn´a pouze to, zda hodnota nˇejak´e promˇenn´e je rovna nule nebo jedniˇcce, • sum() um´ı seˇc´ıst libovoln´ y poˇcet ˇc´ısel, • * um´ı vyn´asobit libovoln´ y poˇcet ˇc´ısel,
´ ALGORITMY 17.1. JEDNODUCHE
321
• abs() um´ı urˇcit absolutn´ı hodnotu dan´eho ˇc´ısla, • max() um´ı vybrat maxim´aln´ı ˇc´ıslo z dan´e mnoˇziny, • min() um´ı vybrat minim´aln´ı ˇc´ıslo z dan´e mnoˇziny, • round() um´ı zaokrouhlit ˇc´ıslo na cel´e ˇc´ıslo. Takov´a situace je v MOODLE 2.0. Je toto v˚ ubec ˇreˇsiteln´a u ´loha? Pˇ r´ıklad 17.7 (Vˇ etven´ı): Vstupem programu je 13 ˇc´ısel odpov´ıdaj´ıc´ı bod˚ um z kurzu Line´arn´ı algebra (body z testu 1 aˇz 5, body za aktivitu 1 aˇz 5, body za u ´kol z kapitoly matematick´a logika, body z p´ısemn´e zkouˇsky a body z u ´stn´ı zkouˇsky). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı a vyp´ıˇse, jak´a v´ ysledn´a zn´amka V´am bude zaps´ana do indexu dle pravidel dan´eho kurzu. Nezapomeˇ nte na podm´ınku nutn´ ych bod˚ u u jednotliv´ ych test˚ u, na podm´ınku z´apoˇctu a podm´ınku nutn´ ych bod˚ u u p´ısemn´e zkouˇsky. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.8 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou):
Vstupem programu je libovoln´ y vek-
tor x (sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı a vyp´ıˇse souˇcet prvk˚ u vektoru x. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, 4, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu (pro zjiˇstˇen´ı velikosti vektoru uˇzijte funkci size). Pˇ r´ıklad 17.9 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou):
Vstupem programu je libovoln´ y vek-
tor x (sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı pozici a hodnotu nejvˇetˇs´ıho prvku vektoru x. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, 9, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.10 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou):
Vstupem programu je libovoln´ y vek-
tor x (sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı pozici a hodnotu nejmenˇs´ıho a nejvˇetˇs´ıho prvku vektoru x. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, 9, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.11 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou):
Vstupem programu je libovoln´ y vek-
tor x (ˇra´dkov´ y nebo sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı, kolik prvk˚ u vektoru x je kladn´ ych, kolik z´aporn´ ych a kolik nulov´ ych. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, −4, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu.
322
KAPITOLA 17. ALGORITMIZACE
Pˇ r´ıklad 17.12 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou): Vstupem programu je libovoln´a matice A. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı hodnotu a pozici nejvˇetˇs´ıho prvku dan´e matice. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro −4 5 −9 0 11 13 . A= −10 23 0 5 2 0 Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.13 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou): Vstupem programu je libovoln´a matice A. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y seˇcte prvky dan´e matice v jednotliv´ ych ˇr´adc´ıch (vznikne sloupcov´ y vektor tˇechto souˇct˚ u). Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro
A=
−4
5
−9
11 13 . −10 23 0 0
Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.14 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou): Vstupem programu je libovoln´a matice A. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı hodnotu a pozici nejvˇetˇs´ıho a nejmenˇs´ıho prvku dan´e matice. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro
A=
−4
5
−9
11 13 . −10 23 0 0
Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.15 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou): Vstupem programu je libovoln´a matice A. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı hodnotu a pozici prvku, kter´ y je nejbl´ıˇze pr˚ umˇern´e hodnotˇe prvk˚ u dan´e matice. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro
A=
Naprogramujte algoritmus v Matlabu.
−4
5
−9
11 13 . −10 23 0 0
´ ALGORITMY 17.1. JEDNODUCHE
323
Pˇ r´ıklad 17.16 (Cyklus s podm´ınkou na zaˇ c´ atku): Vstupem programu je libovoln´ y vektor x (ˇra´dkov´ y nebo sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı, zda vektor obsahuje z´aporn´ y prvek. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, −4, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.17 (Cyklus s podm´ınkou na zaˇ c´ atku): Vyˇreˇste pˇr´ıklad 17.8 ale tentokr´at pouˇzijte cyklus s podm´ınkou na zaˇca´tku. Pˇ r´ıklad 17.18 (Cyklus s podm´ınkou na zaˇ c´ atku): Vstupem programu je postupnˇe zad´avan´a posloupnost zn´amek, o kter´e dopˇredu nev´ıme, jak bude dlouh´a. Jen v´ıme, ˇze zad´av´an´ı zn´amek se ukonˇc´ı, kdyˇz uˇzivatel zad´a nulu. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y vypoˇc´ıt´a aritmetick´ y pr˚ umˇer zadan´ ych zn´amek. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro Z = {5, 4, 2, 2, 1, 3, 0}. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.19 (Cyklus s podm´ınkou na zaˇ c´ atku): Vstupem programu je posloupnost ˇc´ısel. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y vyp´ıˇse hodnoty posloupnosti dokud posloupnost roste. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro P = {−7, −3, 0, 1, 1, 0, 2}. Naprogramujte algoritmus v Matlabu.
324
17.2
KAPITOLA 17. ALGORITMIZACE
Anal´ yza v´ yvojov´ ych diagram˚ u
Pˇ r´ıklad 17.20: Bude algoritmus na obr. 17.1(a) pracovat spr´avnˇe? Pokud ne, opravte ho. D´ale vyplˇ nte tabulku hodnot pro tento algoritmus. Co tento algoritmus prov´ad´ı? Naprogramujte algoritmus v Matlabu.
x
N
j
(a) v´ yvojov´ y diagram
(b) tabulka hodnot
Obr´azek 17.1: V´ yvojov´ y diagram a tabulka hodnot algoritmu
i
p
´ ´ ´ ˚ 17.2. ANALYZA VYVOJOV YCH DIAGRAMU
325
Pˇ r´ıklad 17.21: Bude algoritmus na obr. 17.2(a) pracovat spr´avnˇe? Pokud ne, opravte ho. D´ale vyplˇ nte tabulku hodnot pro tento algoritmus. Co tento algoritmus prov´ad´ı? Naprogramujte algoritmus v Matlabu.
x
N
j
(a) v´ yvojov´ y diagram
(b) tabulka hodnot
Obr´azek 17.2: V´ yvojov´ y diagram a tabulka hodnot algoritmu
i
p Z
326
KAPITOLA 17. ALGORITMIZACE
Pˇ r´ıklad 17.22: Bude algoritmus na obr. 17.3 pracovat spr´avnˇe? Pokud ne, opravte ho. D´ale vyplˇ nte tabulku hodnot pro tento algoritmus. Co tento algoritmus prov´ad´ı? Naprogramujte algoritmus v Matlabu.
Obr´azek 17.3: V´ yvojov´ y diagram algoritmu
Tabulka 17.1: Tabulka hodnot algoritmu z obr. 17.3
a b x N i j
17.3. FUNKCE V MATLABU
17.3
327
Funkce v Matlabu
Pˇ r´ıklad 17.23 (Aritmetick´ y a v´ aˇ zen´ y pr˚ umˇ er): Naprogramujte v Matlabu funkci, kter´a poˇc´ıt´a aritmetick´ y a v´aˇzen´ y pr˚ umˇer zn´amek a jejich rozptyly (pˇr´ıpadnˇe smˇerodatn´e odchylky). Vstupem funkce je vektor zn´amek a vektor vah jednotliv´ ych zn´amek. V´ ystupem funkce jsou oba pr˚ umˇery a obˇe smˇerodatn´e odchylky. Pouˇzijte funkce mean a conv. Otestujte funkci pro nˇekolik variant vstup˚ u. Vytvoˇrte n´apovˇedu funkce. Oˇsetˇrete chybn´e zad´an´ı vstup˚ u do funkce. D´ale pokud nebude zad´an vektor vah, bude se poˇc´ıtat pouze aritmetick´ y pr˚ umˇer (vˇsechny v´ahy budou jednotkov´e). Pokud nebude v´ ystup funkce pˇriˇrazen do nˇejak´e promˇenn´e, pak funkce vykresl´ı histogram zn´amek a zn´azorn´ı do nˇeho vypoˇc´ıtan´e pr˚ umˇery a smˇerodatn´e odchylky. Pˇ r´ıklad 17.24 (Kreslen´ı ˇ casov´ ych pr˚ ubˇ eh˚ u): Naprogramujte v Matlabu funkci, kter´a vykresl´ı a pop´ıˇse graf nˇejak´eho sign´alu. Vstupy funkce jsou • matice vzork˚ u (prvn´ı sloupec je ˇcas, dalˇs´ı sloupce jsou jednotliv´e sign´aly), • tlouˇst’ka ˇcar sign´al˚ u, • popis vodorovn´e osy a popis svisl´e osy a velikost tˇechto popis˚ u, • barva a styl ˇcar jednotliv´ ych sign´al˚ u (-, --, .-, :, .), • legenda, pokud je v´ıce sign´al˚ u v jednom grafu, • n´azev a typ souboru pro pˇr´ıpadn´ y export obr´azku (pouˇzijte funkci print). V´ ystupem funkce je dan´ y graf. Otestujte funkci pro nˇekolik variant vstup˚ u. Vytvoˇrte n´apovˇedu funkce. Oˇsetˇrete chybn´e zad´an´ı vstup˚ u do funkce a podobnˇe. Pokud nebude zad´ana tlouˇst’ka ˇc´ar, pouˇzije se tlouˇst’ka 1. Pokud nebude zad´an popis os, budou osy pops´any t [s] a y [-]. Pokud nebudou zad´any barvy ˇcar, budou pouˇzity barvy (modr´a, zelen´a, ˇcerven´a, fialov´a, ˇcern´a, atd.). Pokud nebudou zad´any styly ˇcar, budou vˇsechny ˇc´ary vykresleny plnou ˇcarou. Pokud nebude zad´ana legenda, tak se nebude legenda kreslit a pokud nebude zad´an n´azev exportovan´eho souboru, pak k tomuto exportu nedojde. Pˇ r´ıklad 17.25 (Line´ arn´ı z´ avislost vektor˚ u): Naprogramujte v Matlabu funkci, kter´a urˇc´ı zda jsou zadan´e vektory line´arnˇe z´avisl´e a pokud ano, pak z nich vybere vˇsechny kombinace line´arnˇe nez´avisl´ ych vektor˚ u (viz Line´arn´ı algebra, vˇeta 2.8). Vstupem funkce
328
KAPITOLA 17. ALGORITMIZACE
je mnoˇzina vektor˚ u a v´ ystupem funkce je odpovˇed’ vektory jsou line´arnˇe ne/z´avisl´e“ ” a druh´ ym v´ ystupem je mnoˇzina vˇsech kombinac´ı line´arnˇe nez´avisl´ ych vektor˚ u. Otestujte funkci pro nˇekolik variant vstup˚ u. Vytvoˇrte n´apovˇedu funkce. Oˇsetˇrete chybn´e zad´an´ı vstup˚ u do funkce a podobnˇe. Pˇ r´ıklad 17.26 (Horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice):
Naprogramujte v Matlabu funkci,
kter´a vytvoˇr´ı z libovoln´e matice matici horn´ı troj´ uheln´ıkovou“ pro urˇcen´ı jej´ı hodnosti ” ystupem funkce (viz Line´arn´ı algebra, vˇeta 2.5). Vstupem funkce je libovoln´a matice a v´ je odpov´ıdaj´ıc´ı horn´ı troj´ uheln´ıkov´a“ matice a jej´ı hodnost poˇc´ıtan´a z poˇctu nenulov´ ych ” ˇr´adk˚ u. Otestujte funkci pro nˇekolik variant vstup˚ u. Vytvoˇrte n´apovˇedu funkce. Oˇsetˇrete chybn´e zad´an´ı vstup˚ u do funkce a podobnˇe.
17.4
Dalˇ s´ı algoritmy
Pˇ r´ıklad 17.27 (H´ ad´ an´ı ˇ c´ısel): Vstupem programu je n´ahodn´e ˇc´ıslo x ∈ h0, 100i. Hr´aˇc h´ad´a toto ˇc´ıslo – zad´av´a sv´e odhady. Program mu vˇzdy ˇrekne, zda je jeho odhad vˇetˇs´ı nebo menˇs´ı neˇz ˇc´ıslo x. Jakmile je odhad zad´an s pˇresnost´ı ±3, vyp´ıˇse program poˇcet pokus˚ u a ˇc´ıslo x. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k tomuto algoritmu. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.28: Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program rozhodne, zda zadan´e ˇc´ıslo je nebo nen´ı prvoˇc´ıslo. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.29: Vstupem programu je posloupnost nˇekolika cel´ ych ˇc´ısel. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program rozhodne a vyp´ıˇse, zda zadan´a posloupnost je nebo nen´ı rostouc´ı. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.30: Vstupem programu je ˇc´ıslo a a posloupnost nˇekolika ˇc´ısel. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program nalezne to ˇc´ıslo ze zadan´e posloupnosti, kter´e je hodnotou nejd´ale od ˇc´ısla a. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu.
17.4. DALSˇ´I ALGORITMY
329
Pˇ r´ıklad 17.31: Vstupem programu je posloupnost ˇc´ısel. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y urˇc´ı, kde dan´a posloupnost nejv´ıce roste a kde nejv´ıce kles´a. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.32: Vstupem programu je libovoln´e ˇc´ıslo z intervalu h0, 100i a pˇresnost se kterou se m´a urˇcit jeho druh´a odmocnina. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k tomuto algoritmu. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.33: Vstupem programu jsou koeficienty polynomi´aln´ı rovnice, interval, kde se bude hledat koˇren t´eto rovnice a poˇzadovan´a pˇresnost, se kterou se m´a koˇren urˇcit. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı se zadanou pˇresnost´ı koˇren zadan´e polynomi´aln´ı rovnice metodou p˚ ulen´ı interval˚ u. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.34: Vstupem programu jsou koeficienty polynomi´aln´ı rovnice, interval, kde se bude hledat koˇren t´eto rovnice a poˇzadovan´a pˇresnost, se kterou se m´a koˇren urˇcit. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı se zadanou pˇresnost´ı koˇren zadan´e polynomi´aln´ı rovnice Newtonovou metodou teˇcen. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.35: Vstupem programu je libovoln´a funkce respektive hodnoty t´eto funkce v libovoln´ ych seˇrazen´ ych bodech. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı obsah plochy pod kˇrivkou pomoc´ı obd´eln´ıkov´e integrace (aproximace). Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.36: Vstupem programu je libovoln´a funkce respektive hodnoty t´eto funkce v libovoln´ ych seˇrazen´ ych bodech. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı obsah plochy pod kˇrivkou pomoc´ı lichobˇeˇzn´ıkov´e integrace (aproximace). Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.37: Vstupem programu je libovoln´a funkce respektive hodnoty t´eto funkce v libovoln´ ych seˇrazen´ ych bodech. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kter´eho program urˇc´ı pˇribliˇznˇe d´elku kˇrivky. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu.
330
KAPITOLA 17. ALGORITMIZACE
Pˇ r´ıklad 17.38: Sestavte algoritmus, kter´ y vypoˇc´ıt´a ˇc´ıslo π metodou Monte Carlo. Princip t´eto metody je n´asleduj´ıc´ı. Stˇr´ıl´ıte na terˇc ve tvaru ˇctverce bez m´ıˇren´ı (matematicky to znamen´a n´ahodnˇe generovat dvourozmˇern´e vektory, kter´e padnou do dan´eho ˇctverce). Po pokusu na terˇci vyznaˇc´ıte jeho vepsanou kruˇznici a oznaˇc´ıte body, kter´e jsou uvnitˇr kruˇznice. Pot´e pomoc´ı vzorc˚ u pro obsah ˇctverce a vepsan´e kruˇznice urˇc´ıte ˇc´ıslo π. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y V´ami zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu (uˇzijte funkci rand).
17.5
Ot´ azky k z´ apoˇ ctu
17.5.1
Semestr´ aln´ı pr´ ace
Vypracujte u ´lohu, na kter´e prok´aˇzete dovednosti a schopnosti z tvorby a simulace re´aln´ ych syst´em˚ u v Simulinku (typov´e zad´an´ı dle pˇr´ıkladu 16.16) a dovednosti z oblasti algoritmizace (typov´e zad´an´ı dle pˇr´ıkladu 17.39). Simulace v simulinku budeme vyuˇz´ıvat ve druh´em roˇcn´ıku pˇri n´avrhu regul´ator˚ u v pˇredmˇetu Modelov´an´ı a ˇr´ızen´ı syst´em˚ u a na algoritmizaci budete navazovat pˇri programov´an´ı v pˇredmˇetu Informaˇcn´ı technologie 2. Proto se doporuˇcuje soustˇredit se na obˇe t´ema. Pˇ r´ıklad 17.39 (Algoritmus): Vytvoˇrte program v Matlabu (s pouˇzit´ım m-funkc´ı), kter´ y bude ˇreˇsit nˇejakou komplexnˇejˇs´ı u ´lohu (sloˇzitˇejˇs´ı algoritmus). Sestavte zad´an´ı u ´lohy, proved’te jej´ı rozbor, nakreslete v´ yvojov´ y diagram a pˇrepiˇste ho do programu. Vypracujte k nˇemu dokumentaci. Pˇr´ıklady zad´an´ı: • Algoritmus ˇreˇs´ı soustavu libovoln´eho poˇctu line´arn´ıch rovnic dle postupu z kapitoly 3.3. • Hra, kde se stˇr´ıl´ı na n´ahodnˇe um´ıstˇen´ y objekt. Program n´ahodnˇe um´ıst´ı c´ıl a hr´aˇc zad´a poˇca´teˇcn´ı rychlost a u ´hel stˇrely, program vykresl´ı trajektorii (ˇsikm´ y vrh) a ozn´am´ı, zda byl c´ıl zasaˇzen ˇci nikoliv. • D´ale lze po u ´pravˇe ˇcerpat z pˇr´ıklad˚ u 17.27 aˇz 17.38.
´ ´ ˇ 17.5. OTAZKY K ZAPO CTU
17.5.2
331
Nutn´ e znalosti k z´ apoˇ ctu
Matlab • Vytvoˇrit jednoduch´ y program (m-soubor). • Vytvoˇrit jednoduchou funkci (m-soubor). Algoritmizace • Zn´at z´akladn´ı struktury algoritmu (posloupnost, vˇetven´ı, cyklus) a umˇet je pouˇz´ıvat v jednoduch´ ych aplikac´ıch (poznat je ve v´ yvojov´em diagramu nebo programu). • Zn´at z´akladn´ı znaˇcky v´ yvojov´ ych diagram˚ u. • Umˇet ˇc´ıst ve v´ yvojov´ ych diagramech (umˇet vyplnit tabulku hodnot). • Sestavit v´ yvojov´ y diagram pro jednoduch´e algoritmy.
17.5.3 ...
Ot´ azky na rozmyˇ slenou pro jedniˇ ck´ aˇ re“ ”
332
KAPITOLA 17. ALGORITMIZACE
´ ´ ˇ 17.5. OTAZKY K ZAPO CTU
333
334
KAPITOLA 17. ALGORITMIZACE
ˇ ast IV C´ ˇ ızen´ı a regulace R´
335
Kapitola 18 Modelov´ an´ı a ˇ r´ızen´ı syst´ em˚ u 18.1
Modelov´ an´ı syst´ em˚ u – z´ apoˇ cet
Pˇ r´ıklad 18.1 (Anal´ yza syst´ emu): Uvaˇzujte syst´em z pˇr´ıkladu 16.9. 1. Vytvoˇrte simulinkov´ y model syst´emu a pomoc´ı simulace ovˇeˇrte spr´avnost jeho chov´an´ı.
[10%]
2. Vytvoˇrte virtu´aln´ı realitu.
[3%]
3. Urˇcete stavov´ y popis tohoto syst´emu.
[6%]
4. Urˇcete vˇsechny pracovn´ı body syst´emu a ovˇeˇrte jejich spr´avnost pomoc´ı simulinkov´eho modelu.
[13%]
5. Pokud existuje v´ıce pracovn´ıch bod˚ u, zvolte jeden (rozumn´ y) a d´ale pracujte jen s n´ım.
[0%]
6. Navrhnˇete PID regul´ator metodou cyklick´e optimalizace konstant tak, aby se syst´em choval dle rozumn´ ych poˇzadavk˚ u na regulaˇcn´ı dˇej.
[16%]
7. Proved’te linearizaci modelu ve zvolen´em pracovn´ım bodˇe.
[13%]
8. Ovˇeˇrte spr´avnost linearizovan´eho modelu pomoc´ı simulace.
[19%]
9. Analyzujte vlastnosti linearizovan´eho stavov´eho modelu (ˇr´ad syst´emu, p´oly syst´emu, stabilita, statick´e zes´ılen´ı, ˇra´d astatismu).
[10%]
10. Urˇcete pˇrenos(y) linearizovan´eho modelu a analyzujte jeho vlastnosti (ˇr´ad pˇrenosu, p´oly pˇrenosu, stabilita, nuly pˇrenosu, statick´e zes´ılen´ı, ˇr´ad astatismu). 337
[10%]
338
´ ´I A R ˇ ´IZEN´I SYSTEM ´ U ˚ KAPITOLA 18. MODELOVAN
Literatura ˇ ´ nek, O. a Repov ´ , J. (2007), Matematika pro stˇredn´ı odborn´e Calda, E., Petra a ˇskoly a studijn´ı obory stˇredn´ıch odborn´ych uˇciliˇst’ (1. ˇc´ ast), 6 edn, Prometheus. ISBN 978-80-7196-041-6. ´ ˇ ´ , M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B. (2000), Uvod Demlova do algebry, Praha: Vydavatelstv´ı CVUT. ISBN 80-01-01408-8. Feynman, R. P., Leighton, R. B. a Sands, M. (2001), Feynmanovy pˇredn´ aˇsky z fyziky 2/3, Fragment. ISBN 80-7200-420-4. Horn, R. A. a Johnson, Ch. R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, United Kingdom. ISBN 0-521-30586-1. ˇ studijn´ı ´ , M. a Kubic ˇ´ıkova ´ , L. (2009), Sb´ırka u Hudcova ´loh z matematiky pro SOS, obory SOU a n´astavbov´e studium, 2 edn, Prometheus. ISBN 978-80-7196-318-9. ´ , Z. a Pr˚ Jankovsky ucha, L. (1998), Diferenci´ aln´ı poˇcet 1, Praha: Vydavatelstv´ı ˇ CVUT. ISBN 80-01-01782-6. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Jankovsky ucha, L. (1996), Integr´ aln´ı poˇcet I, Praha: Vydavatelstv´ı CVUT. ISBN 80-01-01242-5. ˇ Krajn´ık, E. (2004), Maticov´y poˇcet, Praha: Vydavatelstv´ı CVUT. ISBN 80-01-01723-0. Kupka, L. (2007), Matlab & Simulink u ´vod do pouˇz´ıv´ an´ı, 1 edn, JS PRINT CZ s.r.o., Lanˇskroun. ISBN 978-80-239-8871-0. Luenberger, D. G. (1996), Optimization by Vector Space Methods, Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18117-X. 339
340
LITERATURA
ˇ ´ rko, O., Repov ´ , J. a Skr ˇ´ıc ˇek, L. (2006), Matematika pro stˇredn´ı odborn´e Odva a ˇskoly a studijn´ı obory stˇredn´ıch odborn´ych uˇciliˇst’ (2. ˇc´ ast), 6 edn, Prometheus. ISBN 80-7196-042-X. Opava, Z. (1989), Matematika kolem n´as, Praha: Nakladatelstv´ı Albatros. Roubal, J. (2010), Jirkovy str´anky [online]. [cit. 2010-06-16], hhttp://www.copsu.cz/skola/roubal/i. ˇek, J. a Ha ´ jek, J. (2009), Laboratoˇr teorie automatick´eho ˇr´ızen´ı Roubal, J., Holec [online]. [cit. 2009-06-16], hhttp://support.dce.felk.cvut.cz/lab26/i. Roubal, J., Huˇ sek, P. a kol. (2011), Regulaˇcn´ı technika v pˇr´ıkladech, Praha: BEN – technick´a literatura. ISBN 978-80-7300-260-2. ˇ Roubal, J., Huˇ sek, P. a Stecha, J. (2010), ‘Linearization: Students Forget Operating Points’, IEEE Transaction on Education 53(3), 413–418. In English. The Mathworks (2009), The Mathworks [online]. [cit. 2009-06-16], hhttp://www.mathworks.com/i. ´ , E. (2003), N´ Treterova avrh a v´yvoj algoritm˚ u: Modul – V´yvojov´ı diagramy a pˇr´ıkazy jazyka Borland PAscal, Ostrava: Ediˇcn´ı stˇredisko CIT OU. hhttp://informatikaou.wz.cz/1–algoritmy a datove struktury 1–treterova– navrh a vyvoj algoritmu.pdfi. Velebil, J. (2007), Velmi jemn´y u ´vod do matematick´e logiky [online]. [cit. 2009-09-19], hhttp://math.feld.cvut.cz/i. The MathWorld [online] (2010). [cit. 2010-06-16], hhttp://mathworld.wolfram.com/i. Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online] (2010). [cit. 2010-06-16], hhttp://wikipedia.org/i.
V´ ysledky neˇ reˇ sen´ ych u ´ loh ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 1, podkapitoly 1.3.1 Logick´ a v´ ystavba matematiky 1.17: plat´ı; 1.18: plat´ı; 1.19: plat´ı; 1.20: plat´ı; 1.21: d˚ ukaz pomoc´ı Pythagorovy vˇety; 1.22: plat´ı; 1.23: plat´ı; 1.24: plat´ı; 1.25: plat´ı; 1.26: plat´ı; 1.27: neplat´ı; 1.28: neplat´ı; 1.29: neplat´ı; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 1, podkapitoly 1.3.2 V´ yrokov´ a logika 1.30: a) syntakticky spr´avnˇe; b) syntakticky spr´avnˇe; c) syntakticky nespr´avnˇe (chyb´ı z´avorky); d) syntakticky spr´avnˇe; e) syntakticky spr´avnˇe; f) syntakticky spr´avnˇe; g) syntakticky spr´avnˇe; h) syntakticky spr´avnˇe; ch) syntakticky spr´avnˇe; i) syntakticky spr´avnˇe ; 1.31: a) nepravdiv´a; b) nepravdiv´a; c) syntakticky nespr´avnˇe ⇒ nelze vyhodnotit; d) nepravdiv´a; e) pravdiv´a; f) pravdiv´a; g) pravdiv´a; h) pravdiv´a; ch) nepravdiv´a; i) nepravdiv´a ; 1.32: a) pravdiv´a; b) pravdiv´a; c) syntakticky nespr´avnˇe ⇒ nelze vyhodnotit; d) nepravdiv´a; e) pravdiv´a; f) pravdiv´a; g) pravdiv´a; h) pravdiv´a; ch) nepravdiv´a; i) nepravdiv´a ; 1.33: a) formule je splniteln´a, nen´ı tautologie, nen´ı kontradikce; b) formule je splniteln´a, nen´ı tautologie ani kontradikce; c) syntakticky nespr´avnˇe ⇒ nelze vyhodnotit; d) formule nen´ı splniteln´a, nen´ı tautologie, je kontradikce; e) formule je splniteln´a, je tautologie, nen´ı kontradikce; f) formule je splniteln´a, nen´ı tautologie, nen´ı kontradikce; g) formule je splniteln´a, nen´ı tautologie, nen´ı kontradikce; h) formule je splniteln´a, je tautologie, nen´ı kontradikce; ch) formule nen´ı splniteln´a, nen´ı tautologie, je kontradikce; i) formule je splniteln´a, nen´ı tautologie, nen´ı kontradikce;; 1.34: a) formule mus´ı b´ yt pravdiv´a ve vˇsech ohodnocen´ıch; b) formule mus´ı b´ yt nepravdiv´a ve vˇsech ohodnocen´ıch; c) formule mus´ı b´ yt pravdiv´a v nˇekter´ ych ohodnocen´ıch a nepravdiv´a v jin´ ych ohodnocen´ıch; d) nelze; e) nelze; f) nelze; 1.35: a) neplat´ı (v´ yrok c nen´ı s´emantick´ ym d˚ usledkem dan´e mnoˇziny); b) plat´ı (v´ yrokov´a formule b ∨ (c ⇒ a) je s´emantick´ ym d˚ usledkem dan´e mnoˇziny); c) plat´ı; d) plat´ı; e) plat´ı; f) neplat´ı; g) plat´ı; h) plat´ı; 1.36: a) plat´ı; b) plat´ı; c) plat´ı; d) neplat´ı; e) plat´ı; f) plat´ı; g) neplat´ı; h) plat´ı; 1.37: a) je v DNF, CNF I
II
´ ˇ SEN ˇ YCH ´ ´ VYSLEDKY NERE ULOH
forma k ϕ1 je ϕ2 , minim´aln´ı DNF ϕ1 min = (¬a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ c); b) je v CNF, DNF forma k ϕ2 je ϕ1 , minim´aln´ı CNF ϕ2 min = (¬a ∨ b) ∧ (¬b ∨ c); 1.38: a) minim´aln´ı DNF ϕmin = (b ∧ c) ∨ (a ∧ ¬d); b) minim´aln´ı CNF ϕmin = (a ∨ b) ∧ (c ∨ ¬d) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ ¬d); 1.39: a), b) c) aˇz i) vytvoˇr´ıme Carnaughovu mapu, pro DNF pokr´ yv´ame 1, pro CNF nuly, ˇreˇsen´ı si sami zkontrolujete pomoc´ı pravdivostn´ı tabulky, kde vyhodnot´ıte nalezenou DNF nebo CNF; c) syntakticky nespr´avnˇe ⇒ nelze vyhodnotit;; 1.40: a) ¬a ∧ ¬b; b) ¬a ∨ ¬b; c) ¬(a ⇒ b) ∧ ¬c nebo a ∧ ¬b ∧ ¬c; d) ¬a ∧ (¬b ∨ ¬c); e) F ; f) Dnes neprˇs´ı nebo sv´ıt´ı slun´ıˇcko. g) Alespoˇ n jeden student nen´ı pˇripraven na hodinu a souˇcasnˇe je ve ˇskole. h) Alespoˇ n jeden Spart’an m´a r´ad Sl´avii nebo kaˇzd´ y Sl´avista nefand´ı Bohemce. ch) Kaˇzd´ y student, kter´ y vlastn´ı notebook, ho um´ı efektivnˇe vyuˇz´ıvat. i) Student je dobr´ y v matematice a souˇcasnˇe nen´ı dobr´ y program´ator. j) Alespoˇ n jeden sluˇsn´ y ˇclovˇek nen´ı ohledupln´ ym ˇridiˇcem. k) Alespoˇ n jeden tenista nevyhraje za svoji kari´eru ˇza´dn´ y turnaj.; 1.41: Tren´er by mˇel vyslat hr´aˇce c a d.; 1.42: Nehodu zavinil bud’ s´am ˇridiˇc b, nebo ˇridiˇc b s ˇridiˇcem a.; 1.43: Ano, obˇe vˇety ˇr´ıkaj´ı tot´eˇz.; 1.44: a) ano, b) ne; 1.45: Ano, obˇe vˇety ˇr´ıkaj´ı tot´eˇz.; 1.46: Spr´avn´a ot´azka je jedna z n´asleduj´ıc´ıch: Je pravda, ˇze ” tato cesta nevede k n´adraˇz´ı?“, Co by ˇrekl bratr, kdybych se ho zeptal, zda tato cesta ” vede k n´adraˇz´ı?“, V´ı tv˚ uj bratr, ˇze tato cesta vede urˇcitˇe k n´adraˇz´ı?“ ; 1.47: ANO: ” v ot´azk´ach 2, 4, 7, 8, 10; NE: v ot´azk´ach 1, 3, 5, 6, 9; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 2, podkapitoly 2.4.1 Aritmetick´ e vektory 2.29: a) a = [6 6,5 − 9]T , b) b = [12 13 − 18]T , c) c = [38 50,5 − 75]T , d) d = [−3 − 1,5 1]T , e) d = [1330 1396 − 2246]T ; 2.30: vektory nejsou line´arnˇe z´avisl´e ; 2.31: vektory jsou line´arnˇe z´avisl´e ; 2.32: vektory jsou line´arnˇe z´avisl´e pro t = −4; 2.33: koeficienty α1 = −2, α1 = 2, α3 = −10; 2.34: koeficienty α1 = −2, α1 = 3, α3 = 2; 2.35: vektory jsou line´arnˇe z´avisl´e ; 2.36: vektory nejsou line´arnˇe z´avisl´e ; 2.37: postup jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 2, podkapitoly 2.4.2 Matice 2.38: hod (A) = 3, hod (B) = 2, hod (C) = 3, hod (D) = 3; 2.39: hod (E) = 3, hod (F ) = 2, hod (G) = 2, hod (H) = 2, hod (J ) = 2, hod (K) = 4; 2.40: r = 9, hod (L) = 2, r = 1, hod (M ) = 1; 2.41: hod (N ) = 1 pro ϕ = 0 jinak hod (J ) = 2; 2.42: hod (P ) = 3, hod (Q) = 2, hod (R) = 3, hod (S) = 5 , hod (T ) = 5; 2.43: pro s 6= −8/3 je hod (U ) = 3, pro s = −8/3 je hod (U ) = 2, pro s 6= 2 je hod (V ) = 3, pro s = 2 je hod (V ) = 2, pro s 6= 10 ∧ s 6= −1,5 je hod (W ) = 3, pro s = 10 ∨ s = −1,5 je
´ ˇ SEN ˇ YCH ´ ´ VYSLEDKY NERE ULOH
III
hod (W ) = 2; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 2, podkapitoly 2.4.3 Maticov´ a algebra 2.44: ˇreˇsen´ı lehce ovˇeˇr´ıte napˇr´ıklad v Matlabu; 2.45: ˇreˇsen´ı lehce ovˇeˇr´ıte napˇr´ıklad v Matlabu; 2.46: ˇreˇsen´ı lehce ovˇeˇr´ıte napˇr´ıklad v Matlabu; 2.47: pomoc´ı vˇety 2.13; 2.48: soustava m´a jedno ˇreˇsen´ı x1 = 1, x2 = 2, x3 = −3; 2.49: soustava m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı; 2.50: soustava nem´a ˇreˇsen´ı; 2.51: soustava nem´a ˇreˇsen´ı; 2.52: soustava m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 3, podkapitoly 3.4.1 Determiant matice 3.26: det (A) neexistuje, matice A nen´ı ˇctvercov´a; det (B) = −2; det (C) = −38; det (D) = 1; 3.27: det (E) = 2; det (F ) = 0; det (G) = −6; det (H) = 42; 3.28: det (J ) = −2; det (K) = 0; det (L) = −24; det (M ) = −42; 3.29: det (N ) = 0; det (P ) = 0; det (Q) = −38; det (R) = −38; 3.30: det (S) = 2; det (T ) = 0; det (U ) = −24; det (V ) = 42; 3.31: det (W ) = 2; det (X) = −18; det (Y ) = −18; det (Z) = 150; 3.32: det (BCD) = 76; det (EF ) = 0; det (GH) = −1008; det (JKLM ) neexistuje, matice JKLM neexistuje; det (U T ) = 0; det (W XY ) = 648; 3.33: x1 = 1, x2 = 2, x3 = −3; 3.34: ˇreˇsen´ı nelze pomoc´ı Cramerova pravidla nal´ezt; 3.35: ˇreˇsen´ı nelze pomoc´ı Cramerova pravidla nal´ezt; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 3, podkapitoly 3.4.2 Inverzn´ı matice 3.36: A−1 neexistuje, matice A nen´ı ˇctvercov´a; B −1 neexistuje, matice ·B je singul´arn´ ¸ı; h −0,1 0,9 −0,5 i 0 0 1/3 £ ¤ −1 5 −2 = [ 10 01 ]; 3.37: E −1 = −0,2 0,8 −1 ; F −1 = −1/4 3/4 1/12 ; C −1 = −2 1 ; D −0,3 0,7 −0,5 1/2 −1/2 −1/6 · ¸ h i 24 0 0 0 ¡ ¢ 1 0 0 1 0 12 0 0 ; 3.38: x = (A + C − I)−1 D − B T y; x = G−1 = 0 1 0 ; H −1 = 24 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0¡6 ¢ (yA + By) (A − I)−1 ; 3.39: y = −CA−1 B + D u; 3.40: x1 = 1, x2 = 2, x3 = −3; 3.41: ˇreˇsen´ı nelze pomoc´ı inverzn´ı matice nal´ezt; 3.42: ˇreˇsen´ı nelze pomoc´ı inverzn´ı matice nal´ezt; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 3, podkapitoly 3.4.3 Soustavy rovnic 3.43: α1 [8 − 6 1 0]T +α2 [−7 5 0 1]T , α1 , α2 ∈ R; 3.44: x = [3 1 0]T +[−2 − 1 1]T t, t ∈ R; 3.45: Soustava nem´a ˇreˇsen´ı; 3.46: x = [2 1 2 0]T +[1 1 3 0]T t+[−1 5 0 9]T s, t, s ∈ R; 3.47: x = [−1 1 1]T t, t ∈ R; 3.48: x = [0 1 0 0]T + [1 − 1 − 1 1]T t, t ∈ R; 3.49: x = [−16 23 0 0 0]T + [1 − 2 1 0 0]T t + [5 − 6 0 0 1]T s, t, s ∈ R;
´ ˇ SEN ˇ YCH ´ ´ VYSLEDKY NERE ULOH
IV
3.50: pro p 6= 1 ∧ p 6= −6 m´a soustava jedno ˇreˇsen´ı x =
1 p+6
[2p + 7 − 1 1]T , pro p = 1
m´a soustava ˇreˇsen´ı x = [1 1 1]T + [−1 4 3]T t, t ∈ R, pro p = 6 nem´a soustava ˇreˇsen´ı; 3.51: pro p = 11; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 4, podkapitoly 4.3.1 B´ aze line´ arn´ıho prostoru 4.21: α1 [1, 3, 4]T +α2 [2, 5, 2]T , α1 , α2 ∈ R; 4.22: α1 [1, 3, 4]T +α2 [2, 5, 2]T , α1 , α2 ∈ R; 4.23: plat´ı; 4.24: neplat´ı; 4.25: plat´ı; 4.26: neplat´ı; 4.27: neplat´ı; 4.28: neplat´ı; 4.29: ano; 4.30: ne; 4.31: ano; 4.32: ne; 4.33: ne; 4.34: napˇr´ıklad B = {[1, 0]T , [0, 1]T }; 4.35: napˇr´ıklad B = {[0, 0, 1]T , [1, 2, 3]T , [1, 2, 5]T }; 4.36: napˇr´ıklad B = {[1, 0, 0, 1]T , [1, 4, 5, 8]T , [0, 1, 0, 0]T }; 4.37: x = [1, 2]T , x = [1, 0]B T ; 4.38: x = [−2, 2]T , x = [0, −2]B T ; 4.39: x = [2, 1, 0]T , x = [1, 1]B T ; T 4.40: nelze; 4.41: x = [−3, h−2, −1] , x = [−1, −1, −1]B T ; 4.42: x = [2, −1]B1 T , i 1,5 −2 T T x = [5, −2]B2 T , T = B −1 2 = −0,5 1 ; 4.43: x = [3, 4, −2]B1 , x = [−1, 6, −2]B2 , h 1 −1 0 i T = B −1 2 = 0 1 −1 ; 0 0
1
ˇ sen´ı u arn´ı zobrazen´ı Reˇ ´ loh z kapitoly 4, podkapitoly 4.3.2 Line´ 4.44: x = [1, −2]T ; 4.45: y = [−3, 0, −1]T ; 4.46: x = [0, −1/3, −1/3]T +[4, 8, 6]T t, t ∈ R; 4.47: y 1 = [0, 3]T , y 2 = [2, 1]T ; 4.48: N (A) = {[0, 0]T }, R(A) = R2 ; 4.49: N (A) = {[−3/2, 1]T t, t ∈ R}, R(A) = {[2, −4]T t, t ∈ R}; 4.50: N (A) = {[0, 0, 0]T }, R(A) = R3 ; 4.51: N (A) {[−8, 1, 0]T t, t ∈ R}, R(A) = {[1,i 3, 2]T t h+ [0, 1, 1]T s, i h 9= h i 19 1 0 0 0 5 t, s ∈ R}; 4.52: T b = −1 −3 , xb = [ −2 ]Bb ; 4.53: T b = 0 1 0 , xb = 0 ; 4.54: 0 0 1 1 Bb h i h i 2 0 0 3 T b = 1 3 0 , xb = 2 ; 0 1 2
1 Bb
ˇ sen´ı u c´ısla a vlastn´ı vektory matic Reˇ ´ loh z kapitoly 5 Vlastn´ı ˇ 5.8: A: λ1 = 1, λ2 = 3; B: λ1 = 1, λ2 = 7; C: λ1 = 3, λ2 = 5; D: λ1 = −2, λ2 = 5; 5.9: E: λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = 5; F : λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 4; G: λ1 = −3, λ2 = −2, λ3 = 1; 5.10: H: λ1,2 = 2 ± 3j; K: λ1,2 = −4 ± 5j; L: λ1,2 = ±3j; M : λ1,2 = −1 ± 4j, λ3 = −5; 5.11: N : λ1 = −6, λ2 = −2, λ3 = −1; N : λ1 = −5, λ2 = −2, λ3 = 5; P : λ1,2 = −3 ± j, λ3 = −2, λ4 = 5; 5.12: A: v 1 = [1 0]T , v 2 = [1 1]T ; B: v 1 = [0 1]T , v 2 = [3 2]T ; C: v 1 = [0 1]T , v 2 = [1 0]T ; D: v 1 = [2 − 3]T , v 2 = [1 2]T ; E: v 1 = [1 0 0]T , v 2 = [1 1 0]T , v 3 = [5 4 4]T ; F : v 1 = [0 0 1]T , v 2 = [0 1 − 11]T , v 3 = [1 2 − 19]T ; G: v 1 = [0 1 0]T , v 2 = [0 0 1]T , v 3 = [1 0 0]T ; N : v 1 = [−1 0 1]T , v 2 = [−11 3 2]T , v 3 = [1 0 0]T ; O: v 1 = [0 1 0]T , v 2 = [6 − 17 − 9]T , v 3 =
´ ˇ SEN ˇ YCH ´ ´ VYSLEDKY NERE ULOH
V
[10 37 20]T ; P : v 1 = [0 0 1 1j]T , v 2 = [0 0 1 − 1j]T , v 3 = [2 − 3 0 ]T , v 4 = [1 2 0 0]T ; 5.13: Nulov´ y prostor je mnoˇzina vektor˚ u dan´a line´arn´ı kombinac´ı vlastn´ıch vektor˚ u, kter´e odpov´ıdaj´ı nulov´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um, viz ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u. V tˇechto pˇr´ıpadech jsou to jen nulov´e vektory pˇr´ısluˇsn´e dimenze (ˇz´adn´a z matic nem´a nulov´e vlastn´ı ˇc´ıslo).; 5.14: Obor hodnot je mnoˇzina vektor˚ u dan´a line´arn´ı kombinac´ı vlastn´ıch vektor˚ u, kter´e odpov´ıdaj´ı nenulov´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um, viz ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u.; 5.15: N (Q) = {[−2 1]T t | t ∈ R}, R(Q) = {[2 3]T t | t ∈ R}; 5.16: N (R) = {[−2 1 0]T t | t ∈ R}, R(R) = {[1 0 0]T t + [3 36 20]T s | t, s ∈ R}; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 8 Limita a spojitost funkce 8.7: a) a = 2, b = 1, b) a = −1, c) a = 1, b = 0; 8.8: a) v 0 spojit´a a v 1 nespojit´a, b) spojit´a, c) spojit´a, d) v 0 spojit´a a v π nespojit´a, e) v 0 nespojit´a a v 1 spojit´a ; 8.9: a) f (1) =
1 3
, b) nelze, c) nelze; 8.10: a) 5, b) −∞, c) neexistuje,
d) +∞, e) 8, f) neexistuje (z grafu funkce), g) −∞, h) ∞, ch) neexistuje, +∞ pro x → 1− , −∞ pro x → 1+ , i) ∞, j) ∞; 8.11: a) L = {2 ln(2); 0; +∞; neexistuje}, b) L = {1; −1; neexistuje}, c) L = {−∞ pro x → −1− ; +∞ pro x → −1+ ; 1/2} d) L = {3/2; −∞ pro x → −1− ; +∞ pro x → −1+ ; 4/3} e) L = {0; −∞; −1+ }; 8.12: a) 0, b) −∞, c) +∞, d) 0, e) neexistuje (jen z leva −∞ a z prava +∞, f) neexistuje (jen z leva −∞ a z prava +∞; 8.13: napˇr´ıklad v Matlabu; 8.14: a) −1, b) −2,3247, c) 4,6135, d) 0,1607, e) neexistuje, f) 3,1479; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 9 Derivace funkce 9.10: a) y 0 = 6x − 5, b) y 0 = 45x2 + 12x, c) y 0 = cos x + 6x, d) y 0 = 6x2 − 5 cos x − 6 sin x, e) y 0 = 4x sin x + 2x2 cos x, f) y 0 = 0
2 x
5 cos2 x
2
4x sin x−2x2 cos x (sin x)2 0
, x 6=
π 2
+ kπ, k ∈ Z, g)
y = + + 18x − 15, x 6= kπ, k ∈ Z, h) y = 6 cos x + 2 cos 2x, ch) y 0 = ¢ ax ¡ 2 4x + 2x (lna − 1) , a > 0, i) y 0 = 2e2x , j) y 0 = 2e2x , k) y 0 = sin 2x, l) y 0 = ex 2 x+3 sin3 x ˇ ste −3 cos2 x sin x, m) y 0 = 3e3x , n) y 0 = 2 sin x cos , x 6= k π2 , k ∈ Z ; 9.11: Reˇ cos4 x u ´lohy v Matlabu; 9.12: a)y 0 = 2 sin x cos x = 2 sin 2x, b) y 0 = −2 sin x cos x = −2 sin 2x, c) y 0 = 2e2x , d) y 0 = 3 sin2 x cos x, e) y 0 = −3 cos2 x sin x, f) y 0 = 3e3x ; 9.13: a) y 0 = (4x + 3) cos(2x2 + 3x + 4), b) y 0 = 4e4x , c) y 0 = 3
1 cos2 x
sin x
e cos x , x 6= kπ, k ∈ Z, d) y 0 =
6x2 cos(2x3 )esin(2x ) , e) y 0 = esin(3x) [3 cos(3x) sin(2x) + 2 cos(2x)], f) y 0 = 2x tg(x2 ), g) y 0 = £ ¤ 1 6x (3e3x +12x) cos (e3x +6x2 ) − 6 sin(e3x +6x2 ) , x 6= 0 h) y 0 = 24x3 sin(3x4 ) cos(3x4 ), 36x2 1 , x 6= 0 ∧ x 6= 1; 9.14: uvedeme jen p´at´e derivace: a) y (5) = 120 + ch) y 0 = xlnx3 cos x, a) y (5) = n5 cos(nx), c) y (5) = 0, d) y (5) = 32 (−6e−2x + cos(2x)) e) y (5) =
´ ˇ SEN ˇ YCH ´ ´ VYSLEDKY NERE ULOH
VI
£ ¤ 768e−2x sin(2x) − cos(2x) f) y (5) = ...; 9.15: a) ∂f (x1 ,x2 ,x3 ) = 4x1 x32 ∂x1 1 ,x2 ,x3 ) sin(x1 ), c) ∂f (x∂x 1
8y + 2, b) 6x2 x3 +
+
(x,y) ∂f (x,y) = 4x + 3y, ∂f∂y = 3x ∂x 1 ,x2 ,x3 ) 1 ,x2 ,x3 ) x3 cos(x1 ), ∂f (x∂x = 18x21 x22 + 3x23 , ∂f (x∂x 2 3 ¡ ¢ ∂f (x1 ,x2 ,x3 ) 2x1 2 2 cos x1 sin x2 sin x3 + 3x1 x2 x3 + x2 , ∂x2 2
= ¡ 2x2 ¢
1 ,x2 ,x3 ) = sin x1 sin x2 cos x3 +x31 x22 , d) sin x1 cos x2 sin x3 +2x31 x2 x3 − x31 , ∂f (x∂x 3 ³ ´2 ³ 2´ ∂f (x,y,z) 2x 3 cos x sin y sin z + 3x2 y 2 z + 2x , = sin x cos y sin z + 2x y z − , y2 ∂y y3
∂f (x,y,z) ∂x ∂f (x,y,z) ∂z
+ = = = =
∂f (...) ∂f (...) (...) 2♠ sin N = 2¤3 cos 2N+♠2 cos = cos , ∂f∂¤ = 3¤2 sin 2N, 2N , ∂N ∂♠ N (...) ∂f (...) (...) 2♠ sin N f) ∂f∂N = 2¤3 cos 2N + ♠2 cos = cos , ∂f∂¤ = 0, g) ∂f (F,¥) = 3F2 + ¥3 cos F, 2N , ∂♠ N ∂F ∂f (F,¥) = 14¥ + 3¥2 sin F, h) ∂f (x(t),u(t)) = 3x2 (t) + u3 (t) cos x(t), ∂f (x(t),u(t)) = 14u(t) + ∂¥ ∂x(t) ∂u(t) ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ 2 3u (t) sin x(t), i) = 8x(t) + 2u(t), = 2x(t) + 4u(t) + 1, ∂x(t) ∂u(t) ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ = 5, j) = 3x(t)u(t) ˙ + 12x(t)u(t), = 3x(t)x(t) ˙ + ∂ x(t) ˙ ∂x(t) ∂u(t) x(t)) ˙ x(t),t) ˙ x(t),t) ˙ 6x2 (t) + u(t), ∂f (x(t),u(t), = 3x(t)u(t), k) ∂f (x(t),u(t), = 7, ∂f (x(t),u(t), = 6, ∂ x(t) ˙ ∂x(t) ∂u(t) ∂f (x(t),u(t),x(t),t) ˙ ∂f (x(t),u(t), x(t),t) ˙ = 3t2 , = 6tx(t) ˙ + 3t2 x¨(t) + 6u(t) ˙ + 7x(t); ˙ 9.16: a) L = 9, ∂ x(t) ˙ ∂t
sin x sin y cos z+x3 y 2 , e)
b) L = 1,5, c) L = 0, d) L = 0, e) L = ∞, f) L = 1, g) nelze pomoc´ı LP a limita neexistuje, h) L = 0 ale nelze pomoc´ı LP, ch) L = −1, i) L = 1/9, j) L = 1; 9.17: f 0 (−7,5) . neexistuje ale f+0 (−7,5) = 0, f 0 (−6) = 0, f 0 (−1,8) = 0, f 0 (0) = 1,25, f 0 (1,4) = 0, f 0 (2) neexistuje ale f 0 + (2) = 1, f 0 (2,5) = 1, f 0 (3) neexistuje ale f−0 (3) = 1, f−0 (3) = −1, . . f 0 (4) = −1, f 0 (5) neexistuje ale f−0 (5) = −1, f+0 (5) = 0, f 0 (9) = 0,3;
ˇ sen´ı u yznam derivace Reˇ ´ loh z kapitoly 10 Aproximace funkce a v´ 10.10: t1 : y = 2x, t2 : y = 1, t3 : y = −2x + π ; 10.11: t1 : y = x + 1, t2 : y = 3x + 2, t3 : y = 5x + 1, t4 : y = 7x − 2; 10.12: viz pˇr´ıklad 9.2; 10.13: viz pˇr´ıklad 9.2; 10.14: v(1 h) = 7 km/h, v(x = 10 km) = v(t = 1,5 h) = 9 km/h, ; 10.15: v = 0 m/s pro t = 2 arctan 25 + kπ, k ∈ Z, pro vˇsechna tato t vyˇc´ısl´ıme zrychlen´ı dle a(t) = e−0,2t (−0,21 sin 0,5t − 0,2 cos 0,5t) m/s2 , vˇse je l´epe vidˇet z grafu funkc´ı; 10.16: a) −1, b) −2,3247, c) 4,6135, d) 0,1607, e) neexistuje, f) 3,1479; 10.17: viz Matlab; 10.18: a) − x15 ∆x, x 6= 0, b) − 4√1x3 ∆x, x > 0, c) 6x2 ∆x, d) ex ∆x, e) 2
6xe3x ∆x, f) cos x∆x, g) −6x2 sin 2x3 ∆x, h) (ln5)cotgx 5ln sin x ∆x, x 6= kπ, k ∈ Z; 10.19: a) 2,01, b) 2,1000, c) 2,2500, d) 0,86646, e) 0,87461, f) 0,89221, g) 64,4800, h) 66,4000, ch) 68,7999, i) 1,0100, j) 1,0500, k) 1,10000; 10.20: ; 10.21: ; 10.22: ; 10.23: ; 10.24: a) PV1 : [x0 , u0 ] = [π/2, 0], x(t) ˙ = ∆u(t), PV0 : [x0 , u0 ] = [π/2, −1/3], x(t) ˙ = −∆u(t); b) PV: [x0 , u0 ] = [π/2,
π √ 2 2
], x(t) ˙ = −π∆x(t) +
π √ 2
∆u(t); c) PV1 : [x0 , u0 ] = [0, 1],
x(t) ˙ = 2∆x(t), PV0 : [x0 , u0 ] = [−2, 1], x(t) ˙ = −2∆x(t) − 4∆u(t);
´ ˇ SEN ˇ YCH ´ ´ VYSLEDKY NERE ULOH
VII
ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 11 Anal´ yza funkce pomoc´ı derivace 11.12: ; 11.13: ; 11.14: ; 11.15: ; 11.16: ; 11.17: ; 11.18: ; 11.19: ; 11.20: ; 11.21: ; 11.22: ; 11.23: ; 11.24: ; 11.25: ; 11.26: ; 11.27: ; 11.28: ; 11.29: ; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 12 Neurˇ cit´ y integr´ al 12.8: a) x3 − 25 x2 +6x+c, c ∈ R, b) 12 x4 +5 cos x+6 sin x+c, c ∈ R, c) − cos x+x3 +c, c ∈ R, d) 2x ln x− 52 cos 2x+ 32 x4 − 15 x2 +c, c ∈ R, x > 0, e) −6 cos x+2 sin x− 31 cos 3x+c, c ∈ 2 √ √ 5 2 2 4 3 5 + 8 4 x9 + c, c ∈ R, h) 3 e4x + c, c ∈ R, x + 2x + x + 2x + c, c ∈ R, g) x R, f) 15 4 2 5 3 4 ch) − 2x12 −
1 x
+ ln|x| + c, x 6= 0, c ∈ R, i) 2ln|x| + c, x 6= 0, c ∈ R, j) neum´ıme pomoc´ı
element´arn´ıch funkc´ı; 12.9: a) −x cos x+sin x+c, c ∈ R, b) −x2 cos x+2x sin x+2 cos x+ c, c ∈ R, c) −x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + c, c ∈ R, d) e)
x3 3 x
ln x −
x3 9
+ c, c ∈ R, f)
cos x sin x 2
+ x2 c, c ∈ R, g)
sin7 x 7
x2 2
2
ln x − x4 + c, c ∈ R,
+ c, c ∈ R, h) x2 ex − 2xex +
2e + c, c ∈ R, ch) (5 − x) cos x + sin x + c, c ∈ R, i) (x + 5) sin x + cos x + c, c ∈ R, j) (x−2)ex +c, c ∈ R, k) xex +c, c ∈ R, l) a) e)
− 51 cos(5x + 4) + c, 1 3x+7 e + c, c ∈ R, 3
sin10 x 10
c ∈ R, b) +c, c ∈ R, f) e
x2
4
+c, c ∈ R, m) − cos4
c) 12 sin(2x x3 +2x2
+ c, c ∈ R, g) e
i) ln(ln x)+c, c ∈ R, x > 1, j) ln(5+sin x), c ∈ R, k)
x
+c, c ∈ R; 12.10:
− 5) + c, c ∈ R, d) +c, c ∈ R,
+ c, c ∈ R, h)
sin10 x 10
+c, c ∈ R, l)
sin7 x + c, c ∈ R, 7 4 − cos4 x +c, c ∈ R;
ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 13 Urˇ cit´ y integr´ al a jeho aplikace 13.9: a) 10, b) −10, c) 2, d) 22 , e) 0, f) 116 , g) neexistuje protoˇze ln x nen´ı v bodˇe 3 15 R1 R1 −1 definov´an, 0 ln x = −1, −1 ln |x| = −2, h) nelze vypoˇc´ıtat pomoc´ı vˇety 13.1, pole R1 √ 1 definice 13.1 plat´ı −1 x1 = 0, ch) − ln 2 + ln 3, i) 23 pro e ; 13.10: n y = + π x, j) e − e , 2 −1+e2π , 2 −1+e3π , a) {0, 2, 0, 2, 0}, b) {0, 0, 0, 0, 0}, c) {0, 0, 0, 0, 0}, d) 0, 52 −1+ π e 5 5 e2π e3π o 4π π 2π 3π 4π 2 −1+e e , −1+e , −1+e , −1+e }; 13.11: a) ∞, b) ∞, c) ∞, d) ∞, , e) {0, −1+ 5 5eπ e4π 5e2π 5e3π 5e4π 3 e) 1; 13.12: a) 1000−π , b) −250, c) , d) ; 13.13: a) 10, b) 10, c) 10 , d) 22 , e) 12 , 3 3 3 √ √ 3 2 1 f) 116 , g) 1, h) ∞, ch) ln , i) pro y = + x, j) e − ; 13.14: a) 2, b) 2, c) 2 10, 15 2 3 e √ √ 1 d) 5 + ln √ 2+ √ , e) analyticky nelze, f) analyticky nelze, g) ∞, h ∞, ch) ?, i) (−2+ 5) √ Rb Rb √ 1 ln(3 + 2 2) pro y = + x, j) ; 13.15: V = π a [f (x)]2 dx; 13.16: V = 2π a f (x)dx; 2 13.17: 7,640395 viz (Roubal, J. et al., 2011); ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 14 Numerick´ e metody integrov´ an´ı a derivov´ an´ı V´ ypoˇcty viz Matlab.
VIII
´ ˇ SEN ˇ YCH ´ ´ VYSLEDKY NERE ULOH
Rejstˇ r´ık anal´ yza funkce, 243
inverzni matice, 86
aplikace integr´ alu, 273 j´ adro line´ arn´ıho zobrazen´ı, 129
aproximace funkce, 223, 230 aritmetick´ y vektor, 34
konjunktivn´ı norm´ aln´ı forma, 17
atomick´ e formule, 9
kontradikce, 14
b´ aze, 114, 116
L’Hospitalovo pravidlo, 216 limita funkce, 195, 199, 204
Carnaughova mapa, 18
Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u, 37
minimalizace, 19
line´ arn´ı nez´ avisl´ e vektory, 39
charakteristick´ y polynom, 145
line´ arn´ı obal, 116
definice, 4
line´ arn´ı prostor, 114
derivace
line´ arn´ı zobrazen´ı, 126 logick´ a v´ ystavba matematiky, 4
parci´ aln´ı, 216
LS – metoda nejmenˇs´ıch ˇ ctverc˚ u, 164, 167
derivace n-t´ eho ˇr´ adu, 215 derivace funkce, 209, 210, 212, 224, 228
matice, 44, 45
derivace funkce v bodˇ e, 212
charakteristick´ y polynom, 145
derivace sloˇ zen´ e funkce, 215
determinant, 75
determinant matice, 74, 75
diagon´ aln´ı, 51, 160
diferenci´ al funkce, 230
doplˇ nk˚ u, 86
diferenci´ aln´ı rovnice, 297
hodnost, 46
dimenze vektorov´ eho prostoru, 119
pln´ a, 46
disjunktivn´ı norm´ aln´ı forma, 17
inverzn´ı, 86
d˚ ukaz, 4
jednotkov´ a, 51 Jordan˚ uv kanonick´ y tvar, 161
extr´ emy funkce, 244
j´ adro, 150 nulov´ a, 45
funkce, 177, 182
nulov´ y prostor, 150 obor hodnot, 150
hodnost matice, 46
podobnost matic, 160
pln´ a, 46
regul´ arn´ı, 83 integrace per partes, 267
rovnost, 45
integrace pomoc´ı substituce, 268
rozd´ıl, 52
integr´ al
singul´ atrn´ı, 83
nespojit´ e funkce, 277
souˇ cet, 52
Newtonova Leibnizova formule, 275
souˇ cin, 52
Riemann˚ uv, 274
transponovan´ a, 49
interval, 181
troj´ uheln´ıkov´ a
otevˇren´ y, 181
doln´ı, 51
polootevˇren´ y, 181
horn´ı, 51
uzavˇren´ y, 181
vlastn´ı vektor, 145
intervaly, 177
vlastn´ı ˇ c´ıslo, 145
IX
ˇ ´IK REJSTR
X algebraick´ a n´ asobnost, 160 geometrick´ a n´ asobnost, 160 zobecnˇ el´ y vlastn´ı vektor, 160
urˇ cit´ y integr´ al, 273, 274 d´ elka kˇrivky, 279 plocha pod kˇrivkou, 278
ˇ ctvercov´ a, 51 maticov´ a algebra, 52
vektor, 34
metoda nejmenˇs´ıch ˇ ctverc˚ u (LS), 164, 167
line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, 39
mnoˇ zina, 178
line´ arn´ı kombinace vektor˚ u, 37 nulov´ a, 39
cel´ ych ˇc´ısel, 179 komplexn´ıch ˇ c´ısel, 179
nulov´ y, 39
pˇrirozen´ ych ˇ c´ısel, 179
n´ asoben´ı skal´ arem, 36
re´ aln´ ych ˇ c´ısel, 179
rovnost, 35
mnoˇ ziny, 177 modelov´ an´ı dynamick´ ych syst´ em˚ u, 337
rozd´ıl, 35 souˇ cet, 35 Vennovy diagramy, 178
negace v´ yrok˚ u, 20
vlastn´ı vektory matice, 144
Nerovnice s parametrem, 101, 102
vlastn´ı ˇc´ısla matice, 144
neurˇ cit´ y integr´ al, 263–265
vˇ eta, 4
numerick´ e metody
v´ yrokov´ a formule, 9
derivov´ an´ı, 285
v´ yrokov´ a logika, 8
integrov´ an´ı, 285 ˇr´ızen´ı, 337 obor hodnot line´ arn´ıho zobrazen´ı, 130 okol´ı bodu, 197 parci´ aln´ı derivace, 216 podmnoˇ ziny, 178 podobnost matic, 160 pravdivostn´ı ohodnocen´ı, 11 pravdivostn´ı tabulka, 11 primitivn´ı funkce, 264 prstencov´ e okol´ı bodu, 197 prvek mnoˇ ziny, 178 pr´ azdn´ a mnoˇ zina, 178 pr˚ ubˇ eh funkce, 248 pr˚ unik mnoˇ zin, 178 regulace, 337 rovnice s parametrem, 101 rozd´ıl mnoˇ zin, 178 sjednocen´ı mnoˇ zin, 178 soustava line´ arn´ıch rovnic, 94 homogenn´ı, 95 nehomogenn´ı, 98 soustavy line´ arn´ıch rovnic, 94 souˇradnice v b´ azi, 121 spojitost funkce, 195–198 standardn´ı b´ aze, 120 s´ emantick´ y d˚ usledek, 15 tautologicky ekvivalentn´ı, 16 tautologie, 14 Taylor˚ uv polynom, 233 tot´ aln´ı diferenci´ al funkce, 232