Sezimovo Ústí. na VOŠ. Jirka Roubal

´ˇ ˇedn´ı ˇ Vyˇ sˇ s´ı odborna skola, Str skola, ´ pr ˇ´ıpravy Centrum odborne ´ ´ı Sezimovo Ust

Pˇ redn´ aˇ sky a pˇ r´ıklady k pˇ redmˇ et˚ um ˇ na VOS

Jirka Roubal

Posledn´ı aktualizace: 16. bˇrezna 2012

Autor:

Jirka Roubal

Pokud v tomto textu naleznete nˇejakou chybu, napˇr´ıklad ve v´ ysledc´ıch u ´loh nebo i sebemenˇs´ı pˇreklep, budu rád, kdyˇz mi o této chybˇe nap´ıˇsete, napˇr´ıklad na [email protected]. Dˇekuji!!!

Pˇ redmluva V tomto textu naleznete materiály k pˇrednáˇskám kurz˚ u Line´ arn´ı algebra a Matematická um kurzu Informaˇcn´ı technologie 1 pro Vyˇsˇs´ı odbornou analýza a materiály k semináˇr˚ ´ ı. C´ılem tˇechto kurz˚ ˇskolu v Sezimovˇe Ust´ u nen´ı nauˇcit studenta vysokoˇskolskou“ ma” tematiku n´ ybrˇz nauˇcit ho tvoˇ rit si vlastn´ı pozn´ amky, orientovat se a uˇ cit se ze sv´ ych pozn´ amek a vést ho k systematick´ emu a analytick´ emu postupov´ an´ı pˇ ri ˇ reˇ sen´ı probl´ em˚ u, coˇz je pro technika zásadn´ı a nezbytná dovednost. Tˇemto dovednostem odpov´ıdá klasifikaˇcn´ı stupeˇ n dobˇre (3). Pokud se bude student tˇemto kurz˚ um vˇenovat hloubˇeji (na u ´rovni klasifikaˇcn´ıho stupnˇe lepˇs´ı velmi dobˇre (2) ˇci dokonce výbornˇe (1)), mohou b´ yt tyto kurzy dobrou pˇr´ıpravou pro pˇr´ıpadné navazuj´ıc´ı vysokoˇskolské studium. Nepˇredpokládá se, ˇze by tento materiál slouˇzil student˚ um pro samostudium, nebot’ texty jsou zde psané velmi struˇcnˇe matematickou symbolikou. V materiálu je pouze pˇredtiˇstˇen´ y text s definicemi, vˇetami, pouˇckami a zadán´ımi pˇr´ıklad˚ u, aby je student nemusel zdlouhavˇe opisovat na pˇrednáˇskách z tabule. Tento ˇcas mnohem efektivnˇeji vyuˇzijeme k vysvˇetlen´ı a pochopen´ı dané látky. Nenechte se odradit matematickou symbolikou, která je zde hojnˇe pouˇz´ıvána. Nauˇc´ıme se ji ˇc´ıst (sami zjist´ıte, ˇze to nen´ı tak nároˇcné) a kaˇzdou definici a kaˇzdou vˇetu si vysvˇetl´ıme a ukáˇzeme si jej´ı vyuˇzit´ı na jednoduchém pˇr´ıkladˇe. Tak se nauˇc´ıme systematicky postupovat, coˇz je v matematice základ a v technick´ ych oborech nutnost. Vy si pak m˚ uˇzete své poznámky zapsat do vynechaného volného m´ısta v tomto materiálu. V´ ysledek Vaˇseho studia bude tedy plnˇe ve Vaˇsich rukou. Já Vám k u ´spˇechu pomohu, jak nejlépe um´ım! Hned na zaˇcátku ale ˇr´ıkám, ˇze bez Vaˇs´ı práce to nep˚ ujde. Pˇreˇctˇete si nˇeco o spolupr´ aci uˇcitele a studenta v (Roubal, J. et al., 2011, Pˇredmluva). Kaˇzdá kapitola tˇechto materiál˚ u je ukonˇcena sadou neˇreˇsen´ ych u ´loh, které budeme poˇc´ıtat na cviˇcen´ıch a které m˚ uˇzete vyuˇz´ıt k pr˚ ubˇeˇzné pˇr´ıpravˇe pˇri samostudiu. Na konci tˇechto materiál˚ u naleznete jejich ˇreˇsen´ı. Na ˇreˇsen´ı se pod´ıvejte aˇz poté, co daný pˇr´ıklad sami vyˇreˇs´ıte. Jinak to postrádá smysl. Pˇredem vidˇené ˇreˇsen´ı by Vás dopˇredu ovlivnilo. Mˇeli byste pocit, ˇze jste pˇr´ıklad samostatnˇe vyˇreˇsili a nebyla by to pravda. i

Proˇ c se vzdˇ el´ avat v oblasti matematiky? 1. Jako technici budete muset umˇet ˇreˇsit problémy (= myslet). Svou práci neokecáte“ ” jako napˇr´ıklad právn´ıci, u ´ˇredn´ıci, politici apod. Váˇs v´ ytvor“ bud’ bude fungovat, ” nebo nebude. Bud’ dostanete zaplaceno, nebo nedostanete. Matematika je ideáln´ı discipl´ınou k rozvoji analytického myˇslen´ı. 2. Myslet budete potˇrebovat i v soukromém ˇzivotˇe nebo si m˚ uˇzete zaplatit nˇekoho, kdo to bude dˇelat zadarmo“ za Vás. ” 3. V praxi budete s velkou pravdˇepodobnost´ı pracovat s poˇc´ıtaˇci. I kdyˇz si to tˇreba mysl´ıte, tak oni za Vás nemysl´ı a myslet nebudou. Pˇrestoˇze je v´ yrobci ˇcasto naz´ yvaj´ı inteligentn´ı, jsou to jen stroje! Kdyˇz budete umˇet myslet, mohou Vám v práci hodnˇe pomoci a naopak. 4. Ve vyˇsˇs´ıch roˇcn´ıc´ıch se budeme zab´ yvat návrhem ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u. Kdyˇz ty jsou dobˇre navrˇzené, tak vydˇelávaj´ı pen´ıze, ˇsetˇr´ı ˇzivotn´ı prostˇred´ı a tak dále. Tyto algoritmy nejsou nic jiného neˇz aplikovaná matematika v praxi. Vsad´ım se, ˇze Vás to bude bavit, ale k tomu budete muset umˇet myslet a umˇet pouˇz´ıvat pojmy z lineárn´ı algebry a matematické anal´ yzy alespoˇ n v rozsahu tohoto textu. To znamená, ˇze budete muset hodnˇe pracovat. 5. Jestliˇze Vás nic neoslovilo, tak alespoˇ n abyste udˇelali zkouˇsky z tˇechto kurz˚ u.

Jak studovat? Pˇredpokládejme, ˇze máte zájem se vzdˇel´ avat, ale nejde Vám to. D´ıváte se do uˇcebn´ıch materiál˚ u a pˇripadáte si jako Alenka v ˇr´ıˇsi div˚ u“? Máte pocit, ˇze je toto nad rámec ” Vaˇsich moˇznost´ı? Nesmysl, kdyby to bylo tak tˇeˇzké, nemohl bych to uˇcit já:-). Trocha pedagogick´ e teorie Pokud se chcete dobˇre vzdˇelávat, je tˇreba dodrˇzet správné postupy (dosahovat postupnˇe jednotliv´ ych poznávac´ıch c´ıl˚ u). Poznávac´ı c´ıle podle B. S. Blooma se skládaj´ı z následuj´ıc´ıch stupˇ n˚ u (v kontextu naˇsich pˇredmˇet˚ u): 1. Znalost – znát pojmy, definice, vˇety, matematické znaˇcky, pouˇcky, metody, postupy 2. Pozorumˇ en´ı – vysvˇetlit definice/vˇety vlastn´ımi slovy, uvést pˇr´ıklad, zd˚ uvodnit ii

3. Aplikace – správnˇe pouˇz´ıt nauˇcené poznatky ke splnˇen´ı u ´kolu (vypoˇc´ıtat jednoduch´ y a stˇrednˇe sloˇzit´ y pˇr´ıklad) 4. Anal´ yza – hlubˇs´ı objasnˇen´ı fakt˚ u, analytické myˇslen´ı (vypoˇc´ıtat sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıklad, odvodit pouˇcku na základˇe doposud nauˇcen´ ych vˇedomost´ı) 5. Synt´ eza – systematick´ y postup ˇreˇsen´ı problému (návrh matematicko fyzikáln´ıho modelu systému, návrh regulátoru) 6. Hodnot´ıc´ı posouzen´ı – posouzen´ı pˇresnosti, efektivnosti (vhodnost pouˇzit´ı metody pro dan´ y problém) Pro dosaˇzen´ı vyˇsˇs´ıho c´ılového stupnˇe poznán´ı je tˇreba zvládnout uˇcivo v rámci niˇzˇs´ıch stupn˚ u. To znamená, ˇze nepochop´ıte danou látku, dokud nez´ıskáte potˇrebné znalosti (nenauˇc´ıte se základn´ı pojmy), ˇze nedovedete aplikovat dané znalosti, dokud jim neporozum´ıte a tak dále. Nemá tedy smysl se snaˇzit nˇeˇcemu porozumˇet, dokud se nenauˇc´ıte základn´ı pojmy a tak dále. Pamatujte: Vid´ım a zapom´ın´ am, p´ıˇ si a pamatuji si, pracuji a rozv´ıj´ım se. Nˇ ekolik skromn´ ych rad 1. Dˇelejte si kvalitn´ı (barevné) pozn´ amky. Pravda, to je to nejtˇeˇzˇs´ı:-(. 2. D´ avejte pozor na hodin´ ach, soustˇred’te se na látku, komunikujte s uˇcitelem. 3. Pˇripravujte se pravidelnˇe po kratˇs´ıch intervalech. 4. Prostudujte si své pozn´ amky a dˇelejte si jejich korekturu v den, kdy probˇehla hodina. Druh´ y den uˇz nebudete vˇedˇet, co jste si to do seˇsitu psali (za prvn´ıch 24 hodin se zapomene nejv´ıce informac´ı). 5. Stále si opakujte: Nem˚ uˇze to být tak tˇeˇzké. Jen na to zrovna nemohu pˇrij´ıt.“ ” Pokud pracujete na klasifikaˇcn´ı stupeˇ n dobˇre (3), nenechte se zbyteˇcnˇe otrávit“ ” sloˇzitˇejˇs´ımi u ´lohami – nejsou urˇceny pro vás. 6. Pˇreˇctˇete si pozornˇe pˇr´ıklad (vˇcetnˇe zadán´ı), kter´ y jsme ˇreˇsili jako v´ ykladov´ y na pˇrednáˇsce (kdyˇz u nˇeho máte poznámky, p˚ ujde to lépe). Pak zavˇrete své pˇrednáˇsky iii

a zkuste si ho vyˇreˇsit sami. Pokud se zaseknete, pod´ıvejte se do pˇrednáˇsek. Pak ho opˇet zkuste vyˇreˇsit sami. Toto opakujte dokud ho nezvládnete sami cel´ y. Pokud to nejde, je potˇreba psát si kvalitnˇejˇs´ı poznámky. 7. Pokud jste proˇsli pˇredchoz´ım krokem, ˇreˇste jin´ y podobn´ y pˇr´ıklad (z konce kapitol) a pokuste se postupovat stejnˇe jako ve v´ ykladovém pˇr´ıkladu. Pokud se zaseknete, vrat’te se k v´ ykladovému pˇr´ıkladu a pokuste se pokraˇcovat dál. Tento bod opakujte tak dlouho, dokud nevyˇreˇs´ıte kaˇzd´ y“ podobn´ y pˇr´ıklad samostatnˇe. ” 8. Diskutujte o látce se svými kolegy, ptejte se uˇcitele, uˇcte se ve skupinách. 9. Pokud nˇeˇcemu neporozum´ıte, pˇrijd’te na konzultaci a pˇrijd’te hned , pokud to odloˇz´ıte, budou se Vám problémy kupit (v matematice a technick´ ych vˇedách souvis´ı vˇsechno se vˇs´ım). 10. Pokuste se hloubˇeji porozumˇet definic´ım a vˇetám. 11. Pokuste se o sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıklady (ty, kde je nutné kombinovat v´ıce vˇet a pravidel). 12. Má zkuˇsenost ˇr´ıká: Kdo pracuje je nakonec u ´spˇeˇsn´ y.“ To je, poˇca´teˇcn´ı talent nen´ı ” tak rozhoduj´ıc´ı.

Matematika a technika 6= talent, ale = pr´ ace, p´ıle, dˇ rina, soustavnost. To znamená, ˇze je irelevantn´ı vymlouvat se na nedostatek talentu. 13. NEVZDEJTE TO!!! Pˇreji Vám, abyste poznali krásu poznán´ı a proˇzili u ´spˇech at’ uˇz jakkoli velk´ y ˇci mal´ y plynouc´ı z Vaˇseho myˇslen´ı.

autor iv

Pov´ıd´ a jeden: Haló, pane. Váˇs pes támhle hon´ı nˇejakýho ” ˇclovˇeka na kole.“ Ten ˇr´ık´ a : Hmm, tak to náˇs pes nebude, ten v˚ ubec na ” kole jezdit neum´ı.“ Felix Holzmann

v

Obsah Pˇ redmluva

i

Seznam pouˇ zit´ ych symbol˚ u

I

xiii

Line´ arn´ı algebra

1

1 Matematick´ a logika

3

1.1

Logická v´ ystavba matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

V´ yroková logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

1.4

1.2.1

Pravdivostn´ı ohodnocen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Carnaughovy mapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.3 Negace v´ yrok˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.1

Logická v´ ystavba matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.2

V´ yroková logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Otázky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4.1

Jak se vyhnout testu z této kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4.2

Nutné znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4.3

Otázky na rozmyˇslenou pro jedniˇckáˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”

30

2 Vektorov´ a a maticov´ a algebra

23

33

2.1

Aritmetické vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2

Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3

Maticová algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ı soustav lineárn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Reˇ ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.4.1

62

2.4

Aritmetické vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

59 62

2.5

2.4.2

Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.4.3

Maticová algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65


67

2.5.1


67

2.5.2


67

3 Maticov´ y poˇ cet 3.1 3.2 3.3

3.4

3.5

73

Determinant matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ı soustav lineárn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Reˇ

74

Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ı soustav lineárn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Reˇ

86

Soustavy lineárn´ıch rovnic – pˇrehled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.3.1

Homogenn´ı soustavy lineárn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . .

94

3.3.2

Nehomogenn´ı soustavy lineárn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . .

98

3.3.3 Soustavy lineárn´ıch rovnic s parametrem . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

3.4.1

Determinant matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

3.4.2

Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

3.4.3

Soustavy rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107


109

3.5.1


109

3.5.2


109

4 Line´ arn´ı vektorov´ y prostor

85 92

105

113

4.1

Báze lineárn´ıho prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

4.2

Lineárn´ı zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

4.3.1

Báze lineárn´ıho prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

4.3.2

Lineárn´ı zobrazen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135


137

4.4.1


137

4.4.2


138

4.3

4.4

5 Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matic

131

143

5.1

Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

5.2

Nulov´ y prostor a obor hodnot matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

viii

5.3

´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

5.4


154

5.4.1


154

5.4.2


154

6 Vybran´ e kapitoly z line´ arn´ı algebry 6.1

Podobnost matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

6.2

Funkce matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

6.3

Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

6.4

II

159

Matematick´ a anal´ yza

168

175

7 Funkce, mnoˇ ziny, intervaly

177

7.1

Mnoˇziny a intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

7.2

Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182 187

7.3

7.2.1 Grafy elementárn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 7.3.1 Ulohy na tv˚ urˇc´ı myˇslen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otázky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

7.4.1

193

7.4


8 Spojitost a limita funkce

190 192

195

8.1

Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196

8.2

Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199 204

8.3

8.2.1 Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych v intervalu . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4


207

8.4.1

207


9 Derivace funkce 9.1

205

209 210

9.2

Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3


220

9.3.1

220

Nutné znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

217

10 Aproximace funkce a v´ yznam derivace

223

10.1 V´ yznam derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224

10.1.1 Smˇernice teˇcny v bodˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224

10.1.2 Rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

226

10.1.3 Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych v intervalu . . . . . . . . . . . . . . .

228

10.2 Aproximace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230

10.2.1 Linearizace dynamick´ ych systém˚ u 1. ˇra´du . . . . . . . . . . . . . ´ 10.3 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

10.4 Otázky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

239

10.4.1 Nutné znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

239

11 Anal´ yza funkce pomoc´ı derivace

236

243

11.1 Extrémy funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

244

11.2 Pr˚ ubˇeh funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

11.2.1 Anal´ yza funkce – shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 11.3 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251

11.4 Otázky ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258

11.4.1 Nutné znalosti ke zkouˇsce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258

12 Neurˇ cit´ y integr´ al

256

263

12.1 Primitivn´ı funkce a neurˇcit´ y integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 12.2 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Urˇ cit´ y integr´ al a jeho aplikace

264 269 273

13.1 Urˇcit´ y integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

274

13.1.1 Plocha pod kˇrivkou funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278

13.1.2 Délka kˇrivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 13.2 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279

14 Numerick´ e metody integrov´ an´ı a derivov´ an´ı

280 285

14.1 Numerické integrován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286

14.1.1 Obdéln´ıkové metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286

14.1.2 Lichobˇeˇzn´ıková metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

14.2 Numerické derivován´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

290

14.2.1 Aproximace pomoc´ı diference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 14.3 Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

290

x

292

´ 15 Uvod k diferenci´ aln´ım rovnic´ım

297

15.1 Odvozen´ı diferenciáln´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

Informaˇ cn´ı technologie

298

303

16 MatLab/SimuLink

305

16.1 Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306

16.2 Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

312

16.3 Otázky k zápoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

313

16.3.1 Semestráln´ı práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

313

16.3.2 Nutné znalosti k zápoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

313

16.3.3 Otázky na rozmyˇslenou pro jedniˇckáˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”

314

17 Algoritmizace 17.1 Jednoduché algoritmy

319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

320

17.2 Anal´ yza v´ yvojov´ ych diagram˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

324

17.3 Funkce v Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327

17.4 Dalˇs´ı algoritmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

17.5 Otázky k zápoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

330

17.5.1 Semestráln´ı práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

330

17.5.2 Nutné znalosti k zápoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

331

17.5.3 Otázky na rozmyˇslenou pro jedniˇckáˇre“ . . . . . . . . . . . . . . ”

331

ˇ ızen´ı a regulace R´

335

18 Modelov´ an´ı a ˇ r´ızen´ı syst´ em˚ u

337

IV

18.1 Modelován´ı systém˚ u – zápoˇcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura

337 340

V´ ysledky neˇ reˇ sen´ ych u ´ loh

I

Rejstˇ r´ık

IX

xi

xii

Seznam pouˇ zit´ ych symbol˚ u Mnoˇ ziny, intervaly Symbol

ˇ Cteme

{ }, ∅

prázdná mnoˇzina (neplést s nulou)

a∈A

prvek a náleˇz´ı mnoˇzinˇe A

a∈ /A

prvek a nenáleˇz´ı mnoˇzinˇe A

A = {x, y}

mnoˇzina prvk˚ u x, y (x ∈ A, y ∈ A)

A=B∩C

mnoˇzina A je rovna pr˚ uniku mnoˇzin B, C

A=B∪C

mnoˇzina A je rovna sjednocen´ı mnoˇzin B, C

A⊂B

mnoˇzina A je podmnoˇzina mnoˇziny B

C

mnoˇzina komplexn´ıch ˇc´ısel

I = h0; 6i

uzavˇren´ y interval od 0 do 6 (0 ∈ I ∧ 6 ∈ I)

I = (0; 6)

otevˇren´ y interval od 0 do 6 (0 ∈ /I ∧6∈ / I)

I = h0; 6)

zleva uzavˇren´ y zprava otevˇren´ y interval od 0 do 6 (0 ∈ I ∧ 6 ∈ / I)

I = (0; 6i

zleva otevˇren´ y zprava uzavˇren´ y interval od 0 do 6 (0 ∈ / I ∧ 6 ∈ I)

I = h0; ∞)

zleva uzavˇren´ y interval od 0 do ∞

I = (−∞; 6i

zprava uzavˇren´ y interval od −∞ do 6

L

lineárn´ı prosotr

N = N0 \{0}

mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel (bez nuly)

N0 = N ∪ {0}

mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel s nulou

Q

mnoˇzina racionáln´ıch ˇc´ısel

R

mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel

R+

mnoˇzina kladn´ ych reáln´ ych ˇc´ısel

−

R

mnoˇzina záporn´ ych reáln´ ych ˇc´ısel

R+ 0

mnoˇzina nezáporn´ ych reáln´ ych ˇc´ısel

R− 0

mnoˇzina nekladn´ ych reáln´ ych ˇc´ısel

Z

mnoˇzina cel´ ych ˇc´ısel xiii

Logick´ e (v´ yrokov´ e) znaˇ cky Symbol

ˇ Cteme

∃

existuje

∀

pro vˇsechna; kaˇzd´ y

¬

negace

∧

a souˇcasnˇe

∨

nebo

⇔

právˇe tehdy kdyˇz; tehdy a jen tehdy

⇒

jestliˇze ... pak ...

≡

ekvivalentn´ı; totoˇzn´ y

|=

sémantick´ y d˚ usledek; konsekvent

Algebraick´ e symboly Symbol

ˇ Cteme

=

rovná se

6= . =

nerovná se

≈

pˇribliˇznˇe se rovná; aproximace

a, α

skalár, nˇejaké ˇc´ıslo (konstanta)

a

vektor, sloupcov´ y vektor

a ∈ Rn , a ∈ Cn

n-rozmˇern´ y reáln´ y/komplexn´ı (sloupcov´ y) vektor

A

matice

A ∈ Rm×n

reálná matice s m ˇra´dky a n sloupci; reálná matice rozmˇeru m × n

A ∈ Cm×n

komplexn´ı matice s m ˇra´dky a n sloupci

n×n

ˇctvercová matice s n ˇrádky (a n sloupci)

po zaokrouhlen´ı se rovná

A∈R A

T

transponovaná matice k matici A

A−1

inverzn´ı matice k matici A

D

diagonáln´ı matice

det (A)

determinant matice A

hod (A)

hodnost matice A

I

jednotková matice

j

komplexn´ı (imaginárn´ı) jednotka

O

nulová matice

Re{c}, Im{c}

reálná a imaginárn´ı ˇcást komplexn´ıho ˇc´ısla c

λ, v

vlastn´ı vektor matice a vlastn´ı ˇc´ıslo matice xiv

Symboly z anal´ yzy f (x)

funkce; skalárn´ı funkce f skalárn´ı promˇenné x

f (x0 ), f (x = x0 )

hodnota funkce v bodˇe x0

f (x)

skalárn´ı funkce f vektorové promˇenné x

f (x)

vektorová funkce f skalárn´ı promˇenné x

f (x)

vektorová funkce f vektorové promˇenné x

df (t) ˙ , f (t) dt

derivace funkce f podle ˇcasu t

df (x) , f 0 (x) dx

derivace funkce f podle promˇenné x

F (x)

primitivn´ı funkce k f (x)

R

Rb

df (x) dx

neurˇcit´ y integrál funkce f podle promˇenné x

df (x) dx

(urˇcit´ y) integrál funkce f podle promˇenné x od a do b

a

ˇ Reck´ a abecena A, α

alfa

I, ι

ióta

P, ρ, %

ró

B, β

beta

K, κ

kapa

Σ, σ

sigma

Γ, γ

gama

Λ, λ

lambda

T, τ

tau

∆, δ

delta

M, µ

m´ y

Υ, υ

ypsilon

E, ε

epsilon

N, ν

n´ y

Φ, ϕ

f´ı

Z, ζ

dzéta

Ξ, ξ

ks´ı

X, χ

ch´ı

H, η

éta

O, o

omikron

Ψ, ψ

ps´ı

Θ, θ

théta

Π, π

p´ı

Ω, ω

omega

Jak se tyto symboly ˇctou v ciz´ıch jazyc´ıch si m˚ uˇzete pˇreˇc´ıst na (Roubal, J., 2010, Matematika v ciz´ıch jazyc´ıch).

xv

ˇ ast I C´ Line´ arn´ı algebra

1

Kapitola 1 Matematick´ a logika Prvn´ı parti´ı, kterou se budeme v tomto kurzu zab´ yvat, je matematická logika. Nejprve uved’me na pravou m´ıru to, ˇze

¬a ⇒ ( b ∧ c )

matematická logika nen´ı souˇca´st´ı lineárn´ı algebry. Nicménˇe alespoˇ n základy této matematické discipl´ıny jsou pro technicky vzdˇelaného ˇclovˇeka celkem d˚ uleˇzité, moˇzná zaj´ımavé a urˇcitˇe ne moc obt´ıˇzné. To znamená, ˇze tuto kapitolu vyuˇzijeme jako pozvoln´ y start do vyˇsˇs´ı matematiky, coˇz jistˇe ocen´ıte, nebot’ jste se s logikou uˇz setkali na stˇredn´ı ˇskole. My se na ni zde pod´ıváme malinko preciznˇeji“ a vyuˇzijeme ji k zaveden´ı nˇekolika formáln´ıch ” matematick´ ych znaˇcek, které budeme dále vyuˇz´ıvat. V této kapitole se nejprve zamˇeˇr´ıme na tak zvanou logickou výstavbou matematiky. Ukáˇzeme si, jak se matematika formálnˇe vytváˇr´ı. Vysvˇetl´ıme si, co jsou to definice, co jsou vˇety a co jsou matematické d˚ ukazy. Smyslem je, abyste tuto strukturu pochopili a nauˇcili se v n´ı orientovat, protoˇze si tak zjednoduˇs´ıme ˇzivot pro studium dalˇs´ıch kapitol. Ukáˇzeme si zde jen nˇekolik matematick´ ych d˚ ukaz˚ u sp´ıˇse proto, abychom se procviˇcili v matematickém myˇslenkovém formalismu, neˇz v samotném dokazován´ı. To je uˇz velmi nároˇcná discipl´ına, kterou si m˚ uˇzete vychutnat aˇz na vysoké ˇskole. V dalˇs´ı ˇcásti této kapitoly se budeme zab´ yvat výrokovou logiku, kterou uˇzijete napˇr´ıklad pˇri návrz´ıch jednoduch´ ych kombinaˇcn´ıch ˇci sekvenˇcn´ıch obvod˚ u, pˇri programován´ı PLC automat˚ u ale i v bˇeˇzn´ ych ˇzivotn´ıch situac´ıch, kdy se budete muset nˇejak rozhodovat na základˇe urˇcit´ ych pravidel, priorit apod. Vˇeˇr´ım, ˇze si aplikace tˇechto znalost´ı urˇcitˇe najdete. V této kapitole budeme ˇcerpat zejména z (Opava, Z., 1989; Velebil, J., 2007), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly nˇekolik neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. 3

´ LOGIKA KAPITOLA 1. MATEMATICKA

4

1.1

Logick´ a v´ ystavba matematiky

V ˇceském jazyce nemaj´ı bˇeˇznˇe pouˇz´ıvaná slova pˇresn´ y v´ yznam. Uved’me jednoduch´ y pˇr´ıklad dvou v´ yrok˚ u ze ˇzivota. V létˇe : Venku moc teplo nen´ı.“ ” V zimˇe : Venku je docela teplo.“ ” Matematika na druhé stranˇe hovoˇr´ı vˇzdy pˇresnˇe a pro ty, kteˇr´ı se v n´ı orientuj´ı, i jasnˇe:-). V matematice existuje tak zvaná logická v´ ystavba. Ta se skládá z axiom˚ u, definic, vˇet a d˚ ukaz˚ u. Axiomy (Postuláty) jsou v´ ychoz´ı matematické v´ yroky, které se prohlás´ı za pravdivé bez dokazován´ı. Axiomy mus´ı b´ yt: a) bezesporné to znamená, ˇze skupina axiom˚ u nem˚ uˇze obsahovat dva vzájemnˇe si protiˇreˇc´ıc´ı axiomy; b) u ´plné je moˇzné odvodit pravdivost nebo nepravdivost libovolného v´ yroku, kter´ y nen´ı axiomem; c) nez´ avislé to je, nelze odvodit axiom z jin´ ych axiom˚ u. Pˇr´ıklady axiom˚ u: • Pro kaˇzdé dvˇe mnoˇziny A, B existuje mnoˇzina C obsahuj´ıc´ı právˇe tyto mnoˇziny A, B. • ... Definice zavád´ı nov´ y pojem pomoc´ı pojm˚ u dˇr´ıve definovan´ ych. Pˇr´ıklady definic : • Troj´ uheln´ık, kter´ y má vˇsechny strany stejnˇe dlouhé, naz´ yváme rovnostrann´ y. • Rovnici pro neznámou x typu ax2 + bx + c = 0, kde známe a, b, c ∈ R, naz´ yváme kvadratickou rovnic´ı. • Termoska je . . .. Vˇeta je pravdiv´ y matematick´ y v´ yrok, kter´ y se dá odvodit (nebo dokázat) na základˇe axiom˚ u, definic a dˇr´ıve dokázan´ ych vˇet. Jsou ve tvaru pˇredpoklad → závˇer“. ” Pˇr´ıklady vˇet : • Kaˇzd´ y rovnostrann´ y troj´ uheln´ık má vˇsechny u ´hly stejné a to 60◦ . • Necht’ pro neznámou x plat´ı rovnice ax2 + bx + c = 0, kde známe a, b, c ∈ R, potom ˇreˇsen´ı je x1, 2 =

−b ±

√

b2 − 4ac . 2a

´ VYSTAVBA ´ 1.1. LOGICKA MATEMATIKY

5

Vˇety dále dˇel´ıme na tvrzen´ı (= menˇs´ı vˇeta, jednoduch´ y d˚ ukaz), pozorov´ an´ı (= nˇeco, ˇceho si lze vˇsimnout, primitivn´ı d˚ ukaz), d˚ usledky (= vˇeta plynouc´ı z jiné vˇety) a lemma (= pomocná vˇeta). My dále tyto pojmy nebudeme rozliˇsovat, p˚ ujde prostˇe o vˇety. D˚ ukaz demonstruje pravdivost dané vˇety a na rozd´ıl od jin´ ych discipl´ın nen´ı zaloˇzen na nˇeˇc´ım názoru nebo pocitu. Správn´ y matematick´ y d˚ ukaz je vˇzdy objektivn´ı. Rozliˇsujeme ˇctyˇri typy d˚ ukaz˚ u: • d˚ ukaz pˇr´ım´ y, • d˚ ukaz nepˇr´ım´ y, • d˚ ukaz sporem, • d˚ ukaz matematickou indukc´ı. Nyn´ı uvedeme ke kaˇzdému typu d˚ ukazu jeden pˇr´ıklad. Dále je budeme pouˇz´ıvat (v jednoduch´ ych pˇr´ıpadech) u vˇet v dalˇs´ıch kapitolách. Pˇ r´ıklad 1.1 (D˚ ukaz pˇ r´ım´ y): Dokaˇzte, ˇze druhá mocnina lichého ˇc´ısla je liché ˇc´ıslo. ˇ sen´ı: . Reˇ Definice 1.1: a ∈ Z nazveme liché, jestliˇze ¬∃b ∈ Z, ˇze a = 2b.

I

Vˇ eta 1.1: a ∈ Z nazveme liché, jestliˇze ∃b ∈ Z, ˇze a = 2b + 1.

Vˇ eta 1.2: Jestliˇze je a ∈ Z liché, potom a2 je také liché.

D˚ ukaz (pˇ r´ım´ y): Pˇredpokládejme, ˇze je vˇeta 1.1 jiˇz dokázaná a dokaˇzme pouze vˇetu 1.2. a2 =

.

.

X


6

Pˇ r´ıklad 1.2 (D˚ ukaz nepˇ r´ım´ y): Dokaˇzte, ˇze pokud je souˇcin dvou cel´ ych ˇc´ısel roven nule, pak je jedno nebo druhé ˇc´ıslo rovno také nule. ˇ sen´ı: . Reˇ Vˇ eta 1.3: ∀ a, b ∈ Z plat´ı, jestliˇze a · b = 0, potom a = 0 ∨ b = 0.

D˚ ukaz (nepˇ r´ım´ y): Pˇredchoz´ı vˇeta je ve tvaru Jestliˇze plat´ı pˇredpoklady, pak plat´ı zá” vˇer.“ My dokáˇzeme, ˇze Jestliˇze neplat´ı závˇer, pak neplat´ı alespoˇ n jeden z pˇredpoklad˚ u.“ ”

.

.

X

Pˇ r´ıklad 1.3 (D˚ ukaz sporem): Dokaˇzte, ˇze vˇsechna prvoˇc´ısla vˇetˇs´ı neˇz 2 jsou lichá. ˇ sen´ı: . Reˇ ˇ ıslo p ∈ N nazveme prvoˇc´ıslem, jestliˇze je beze zbytku dˇelitelné právˇe Definice 1.2: C´ dvˇema ˇc´ısly a to jedniˇckou a sebou sam´ ym.

I

Vˇ eta 1.4: Jestliˇze p je prvoˇc´ıslo ∧ p > 2, pak p je liché. D˚ ukaz (sporem): Pˇredpokládejme opak pˇredchoz´ı vˇety tedy, ˇze p > 2 je prvoˇc´ıslo, které je sudé.

.

.

X

´ VYSTAVBA ´ 1.1. LOGICKA MATEMATIKY

7

Pˇ r´ıklad 1.4 (D˚ ukaz matematickou indukc´ı): Chceme-li dokázat, ˇze vˇeta V (n) plat´ı ∀n ∈ N, staˇc´ı ukázat, ˇze plat´ı V (1), a ˇze z platnosti V (n) plyne platnost V (n + 1), tedy ∀n ∈ N. D˚ ukaz matematickou indukc´ı funguje podobnˇe jako domino. Dokaˇzte, ˇze ∀n ∈ N plat´ı 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n − 1) + n =

n(n + 1) . 2

ˇ sen´ı: . Reˇ Vˇ eta 1.5: ∀n ∈ N plat´ı 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n − 1) + n =

n(n + 1) . 2

D˚ ukaz (indukc´ı): Nejprve ukáˇzeme, ˇze pˇredchoz´ı vˇeta plat´ı pro n = 1.

Poté ukáˇzeme, ˇze z platnosti pˇredchoz´ı vˇety pro n plyne platnost pro n + 1.

. .

X


8

1.2

V´ yrokov´ a logika Matka ˇr´ıká synovi: Jdi do obchodu a kup dva bochn´ıky chleba a kdyˇz budou ” m´ıt vaj´ıˇcka, tak jich kup dvacet.“ Syn pˇrinese dom˚ u dvacet bochn´ık˚ u chleba.

Nejprve si uvedeme nˇekolik základn´ıch pojm˚ u: • symboly – ∀ – ∃ – ¬ – ∧ – ∨ – ⇔ – ⇒ • mnoˇziny objekt˚ u M • konstanty k – urˇcit´ y (jedin´ y) prvek dané mnoˇziny M • promˇenné x, y – symboly, které oznaˇcuj´ı kter´ ykoli objekt z dané mnoˇziny objekt˚ uM • výroky – tvrzen´ı, o kter´ ych lze rozhodnout, zda jsou pravdivá ˇci nepravdivá • hypotézy – v´ yroky, o kter´ ych jeˇstˇe nev´ıme, zda jsou pravdivé ˇci nepravdivé • výrokové formule α, β – viz definice 1.3. Pˇ r´ıklad 1.5: Uved’te nˇejaké pˇr´ıklady v´ yrok˚ u. ˇ sen´ı: Reˇ • Bav´ı mˇe matematika. • Mám rád pivo. • • X

´ ´ LOGIKA 1.2. VYROKOV A

9

Definice 1.3 (V´ yrokov´ a formule): Necht’ A je mnoˇzina elementárn´ıch v´ yrok˚ u (v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych a). Koneˇcnou posloupnost prvk˚ u z mnoˇziny A, logick´ ych spojek a závorek naz´ yváme výrokovou formul´ı, jestliˇze vznikla podle následuj´ıc´ıch pravidel: 1. Kaˇzdá v´ yroková promˇenná (elementárn´ı v´ yrok) a ∈ A je v´ yroková formule. 2. Jsou-li α, β v´ yrokové formule, pak (¬α), (α ∧ β), (α ∨ β), (α ⇔ β), (α ⇒ β) jsou také v´ yrokové formule. 3. Cokoli jiného neˇz to, co vzniklo pomoc´ı koneˇcnˇe mnoha pouˇzit´ı bod˚ u 1 a 2, nen´ı v´ yroková formule.

I

Pozn´ amka: Definice 1.3 je moˇzná na prvn´ı pohled trochu krkolomná ale, kdyˇz si ji pˇreˇcteme pozornˇe a pomalu, tak z n´ı plyne: • • • • 2 Pˇ r´ıklad 1.6: Uvaˇzujte, ˇze a, b, c jsou atomické formule At (dále nedˇelitelné). Je následuj´ıc´ı zápis v´ yrokovou formul´ı ? • ϕ = (a ∨ b) ⇔ c, • ϕ = (a ∧ d), • ϕ = (a ∪ c). ˇ sen´ı: Reˇ • • • X


10

Neˇz zaˇcneme vyhodnocovat v´ yrokové formule, prvn´ı, co mus´ıme udˇelat, je zjistit, zda je v´ yroková formule zapsaná syntakticky správnˇe . K tomu budeme vyuˇz´ıvat tak zvan´ y derivaˇcn´ı (syntaktický) strom. Uved’me si nejprve postup pˇri jeho vytváˇren´ı: 1. Pˇreˇcteme prvn´ı závorku zleva a hledáme odpov´ıdaj´ıc´ı závorku zprava. Nalezneme hlavn´ı spojku v této závorce a z jej´ı arity1 vytvoˇr´ıme zárodek syntaktického stromu. 2. Dále rekurzivnˇe vytváˇr´ıme syntaktické stromy, které v´ yˇse uvedená spojka váˇze. 3. Pokud na konci stromu jsou pouze atomické formule, pak je strom v poˇra´dku a v´ yroková formule je syntakticky správnˇe. Jasné to bude z následuj´ıc´ıho pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 1.7 (Syntaktick´ y strom): Ovˇeˇrte syntaktickou správnost formul´ı • ϕ1 = ¬a ⇒ ¬¬a, ¡ ¢ • ϕ2 = (a ∧ b) ∨ c ⇔ d ⇔ ¬e . kde a, b, c, d, e ∈ At. V pˇr´ıpadˇe chyby chybu opravte. ˇ sen´ı: Nejprve pro ϕ1 : Reˇ

Nyn´ı pro ϕ2 :

X 1

Arita spojky udává, kolik formul´ı daná spojka spoj´ı v novou formuli.


1.2.1

11

Pravdivostn´ı ohodnocen´ı

Definice 1.4 (Pravdivostn´ı ohodnocen´ı): Pravdivostn´ı ohodnocen´ı je zobrazen´ı u : P (A) → {0, 1}, které splˇ nuje pravidla • u(¬α) = 1 ⇔ u(α) = 0, • u(α ∧ β) = 1 ⇔ u(α) = 1 a u(β) = 1, • u(α ∨ β) = 0 ⇔ u(α) = 0 a u(β) = 0, • u(α ⇔ β) = 1 ⇔ u(α) = u(β), • u(α ⇒ β) = 0 ⇔ u(α) = 1 a u(β) = 0.

I

Tyto poznatky m˚ uˇzeme znázornit pomoc´ı pravdivostn´ı tabulky, viz tabulka 1.1. Tabulka 1.1: Pravdivostn´ı tabulka základn´ıch logick´ ych funkc´ı

α

β

0

0

0

1

1

0

1

1

negace

konjunkce

disjunkce

ekvivalence

implikace

¬α

α∧β

α∨β

α⇔β

α⇒β

Do ˇceˇstiny pˇrekládáme“ tyto spojky takto ” • negace: • konjunkce: • disjunkce: • ekvivalence: • implikace:


12

Pˇ r´ıklad 1.8 (Pravdivostn´ı ohodnocen´ı): Urˇcete pravdivostn´ı ohodnocen´ı formule ϕ = (¬a ∨ b) ⇒ (a ⇔ c) , kde a, b, c ∈ At. ˇ sen´ı: Reˇ ˇ sen´ı zap´ıˇseme rovnou do pravdivostn´ı tabulky 1.2. Reˇ Tabulka 1.2: Pravdivostn´ı tabulka pro formuli ϕ

a b

c

¬a

ϕ1 = ¬a ∨ b ϕ2 = a ⇔ c

ϕ = ϕ1 ⇒ ϕ2

Z této tabulky vid´ıme, ˇze formule ϕ je pravdivá pro

X Nyn´ı si ukáˇzeme na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe, jak to, co jsem se doposud nauˇcili, vyuˇz´ıt pro ˇreˇsen´ı reáln´ ych ˇzivotn´ıch situac´ı. Pˇ r´ıklad 1.9 (Matematizace re´ aln´ e situace): Do ˇskoly chod´ı tˇri ˇzáci (Adam, Bedˇrich a Cyril) podle tˇechto podm´ınek: • Je-li ve ˇskole Adam, pak je ve ˇskole i Bedˇrich. • Ve ˇskole je Bedˇrich nebo Cyril. • Nen´ı-li ve ˇskole Adam, nen´ı ve ˇskole ani Cyril. Rozhodnˇete, jaké moˇznosti mohou ve ˇskole nastat?


13

ˇ sen´ı: Reˇ ˇ sen´ı rozdˇel´ıme do tˇr´ı základn´ıch bod˚ Reˇ u: 1. Pˇrevedeme text z bˇeˇzného jazyka do jazyka v´ yrokové logiky. a) Zavedeme v´ yrokové promˇenné :

b) Podm´ınky ze zadán´ı vyjádˇr´ıme jako v´ yrokové formule:

2. Provedeme pravdivostn´ı ohodnocen´ı v´ yrokov´ ych formul´ı. Tabulka 1.3: Pravdivostn´ı tabulka pro formuli ϕ

3. V´ ysledek pˇrevedeme zpˇet do bˇeˇzného jazyka.

.

X


14

ˇ a nás nˇekolik jednoduch´ Nyn´ı si zavedeme nˇekolik nov´ ych pojm˚ u. Cek´ ych definic a pouˇcek, které budeme dále vyuˇz´ıvat zejména ke zjednoduˇsován´ı v´ yrokov´ ych formul´ı. Definice 1.5 (Tautologie, kontradikce): Formule ϕ se naz´ yvá : • Tautologie, jestliˇze je pravdivá ve vˇsech pravdivostn´ıch ohodnocen´ıch. • Kontradikce, jestliˇze je nepravdivá ve vˇsech pravdivostn´ıch ohodnocen´ıch. • Splniteln´ a , jestliˇze existuje alespoˇ n jedno ohodnocen´ı, ve kterém je pravdivá. I Pˇ r´ıklad 1.10 (Tautologie, kontradikce): Napiˇste nˇejakou v´ yrokovou formuli takovou, aby byla: • tautologi´ı, • kontradikc´ı, • splnitelnou, • nesplnitelnou. ˇ sen´ı: . Reˇ

X


15

ˇ Definice 1.6 (S´ emantick´ y d˚ usledek): Rekneme, ˇze formule ϕ je sémantickým d˚ usledkem (konsekventem) mnoˇziny formul´ı M , jestliˇze ϕ je pravdivá v kaˇzdém ohodnocen´ı, v nˇemˇz je pravdivá M . Zapisujeme M |= ϕ.

I

Pˇ r´ıklad 1.11 (S´ emantick´ y d˚ usledek): Rozhodnˇete zda plat´ı: • {a ⇒ b, b ⇒ c} |= (a ⇒ c), • {a ∨ b, ¬b ∧ ¬c} |= (a ⇒ c). ˇ sen´ı: Nejprve vyˇreˇs´ıme prvn´ı pˇr´ıpad: Reˇ Tabulka 1.4: Pravdivostn´ı tabulka pro prvn´ı pˇr´ıpad

Nyn´ı vyˇreˇs´ıme druh´ y pˇr´ıpad: Tabulka 1.5: Pravdivostn´ı tabulka pro prvn´ı pˇr´ıpad

X


16

ˇ Definice 1.7 (Tautologick´ a ekvivalence): Rekneme, ˇze formule ϕ1 a ϕ2 jsou tautologicky ekvivalentn´ı (sémanticky ekvivalentn´ı), jestliˇze plat´ı ϕ1 |= ϕ2 a souˇcasnˇe ϕ2 |= ϕ1 . Zapisujeme ϕ1 ≡ ϕ2 . Nˇekdy pouˇz´ıváme m´ısto znaku ≡ znak ... .

I

Nyn´ı si zavedeme nˇekolik pravidel, pomoc´ı kter´ ych budeme moci zjednoduˇsovat v´ yrokové formule. Tyto pravidla uvád´ı následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 1.6: Pro kaˇzdé formule α, β, γ, tautologie T (true) a kontradikce F (false) plat´ı: • idempotence

α∧α≡

.

α∨α≡

• komutativita

α∧β ≡

.

α∨β ≡

• asiciativita

α ∧ (β ∧ γ) ≡

.

α ∨ (β ∨ γ) ≡

• distributivita .

α ∧ (β ∨ γ) ≡ α ∨ (β ∧ γ) ≡

• absorbce .

α ∧ (α ∨ β) ≡ α ∨ (α ∧ β) ≡

• dvojn´ a negace

¬¬α ≡

• de Morganovy zákony . •

¬(α ∨ β) ≡ α ∧ ¬α ≡

. •

¬(α ∧ β) ≡

α ∨ ¬α ≡ T ∧α≡

.

T ∨α≡

.

F ∧α≡

.

F ∨α≡


17

Pˇ r´ıklad 1.12: Pomoc´ı pravidel z vˇety 1.6 zjednoduˇste následuj´ıc´ı v´ yrokové formule: ¡ ¢ • ¬α ∨ (¬α ∧ ¬β) ∧ α, ¡ ¢ • α ∨ (¬β ∧ ¬γ) ∧ β . kde α, β, γ ∈ At. ˇ sen´ı: Nejprve vyˇreˇs´ıme prvn´ı pˇr´ıpad: Reˇ

Nyn´ı vyˇreˇs´ıme druh´ y pˇr´ıpad:

X Nyn´ı se pod´ıváme na nˇekolik pojm˚ u, které vyuˇzijeme zejména pˇri návrhu logick´ ych obvod˚ u. Nejprve uved’me definici dvou nov´ ych pojm˚ u a následnˇe v tomto smˇeru velmi d˚ uleˇzitou vˇetu. Definice 1.8 (DNF, CNF): Liter´ al je logická promˇenná nebo negace logické promˇenˇ né. Rekneme, ˇze formule je v disjunktivn´ı normáln´ı formˇe (DNF), jestliˇze je disjunkc´ı ˇ jedné nebo nˇekolika formul´ı, z nichˇz kaˇzdá je literálem nebo konjunkc´ı literál˚ u. Rekneme, ˇze formule je v konjunktivn´ı normáln´ı formˇe (CNF), jestliˇze je konjunkc´ı jedné nebo nˇekolika formul´ı, z nichˇz kaˇzdá je literálem nebo disjunkc´ı literál˚ u.

I

Pˇ r´ıklad 1.13: Napiˇste nˇejakou formuli tak, aby byla • v disjunktivn´ı normáln´ı formˇe, • v konjunktivn´ı normáln´ı formˇe. ˇ sen´ı: Napˇr´ıklad Reˇ • • . Vˇ eta 1.7: Ke kaˇzdé formuli ϕ existuje formule ϕ, ¯ která je v DNF (CNF) a ϕ ≡ ϕ. ¯

X


18

1.2.2

Carnaughovy mapy

Alternativn´ı zp˚ usob pro zápis pravdivostn´ıho ohodnocen´ı v´ yrokové formule k pravdivostn´ı tabulce je tak zvaná Carnoughova [karnaughova] mapa. Ta má 2n pol´ı, kde n je poˇcet v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych dané v´ yrokové formule, jej´ıˇz ohodnocen´ı chceme do mapy zapsat. Kaˇzdé pole mapy vyjadˇruje jednu kombinaci v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych a jsou uspoˇrádány tak, ˇze pˇrejdeme-li z jednoho pole do jeho sousedn´ıho, tak se kombinace v´ yrokov´ ych promˇenn´ ych zmˇen´ı právˇe v jedné promˇenné. Ale ukaˇzme si to na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 1.14 (Carnaughova mapa): Zapiˇste pravdivostn´ı ohodnocen´ı formule z pˇr´ıkladu 1.8 ϕ = (¬a ∨ b) ⇒ (a ⇔ c) do Carnaughovy mapy. Poté zapiˇste v´ yrokovou formuli ϕ v u ´plné DNF a v u ´plné CNF. ˇ sen´ı: Pravdivostn´ı tabulku op´ıˇseme z pˇr´ıkladu 1.8 a pˇrep´ıˇseme ji do Carnaughovy Reˇ mapy, viz tab. 1.6(b). Tabulka 1.6: Pravdivostn´ı ohodnocen´ı pro formuli ϕ (a) pravdivostn´ı tabulka

a

b

c

(b) Carnaughova mapa

ϕ

Z Carnaughovy mapy m˚ uˇzeme psát v´ yrokovou formuli ϕ v u ´plné DNF (pokr´ yváme tam, kde u(ϕ) = 1) ϕDNF ≡ avu ´plné CNF (pokr´ yváme tam, kde u(ϕ) = 0 a k promˇenn´ ym p´ıˇseme negace) ϕCNF ≡ X


19

Vypsat u ´plnou DNF nebo u ´plnou CNF pro nás nemá tak velk´ y v´ yznam. D˚ uleˇzitˇejˇs´ı je, umˇet zapsat v´ yrokovou formuli v minimáln´ı DNF nebo minimáln´ı CNF. To dˇeláme tak, ˇze v Carnaughovˇe mapˇe pokr´ yváme jedniˇcky (pro pˇr´ıpad DNF) respektive nuly (pro pˇr´ıpad CNF) v tab. 1.6(b) pomoc´ı co nejvˇetˇs´ıch obdéln´ık˚ u, jejichˇz strany jsou mocniny ˇc´ısla dvˇe. Napˇr´ıklad 1 × 1, 1 × 2, 2 × 1, 2 × 2, 1 × 4, 2 × 4, 4 × 2, 4 × 4 a tak dále. Nelze tedy pokr´ yvat napˇr´ıklad obdéln´ıkem 1 × 3 a podobnˇe. Ukaˇzme si to na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 1.15 (Carnaughova mapa – minimalizace): Zapiˇste v´ yrokovou formuli ϕ z pˇr´ıkladu 1.8 ϕ = (¬a ∨ b) ⇒ (a ⇔ c) v minimáln´ı DNF a v minimáln´ı CNF. ˇ sen´ı: Nejprve si op´ıˇseme Carnaughovu mapu z tab. 1.6(b). Reˇ Tabulka 1.7: Carnaughova mapa pro formuli ϕ (a) pro DNF

(b) pro CNF

Z Carnaughovy mapy m˚ uˇzeme psát v´ yrokovou formuli ϕ v minimáln´ı DNF (pokr´ yváme tam, kde u(ϕ) = 1) ϕDNF ≡ a v minimáln´ı CNF (pokr´ yváme tam, kde u(ϕ) = 0 a k promˇenn´ ym p´ıˇseme negace) ϕCNF ≡ Ovˇeˇrme nyn´ı pomoc´ı pravdivostn´ı tabulky správnost naˇseho ˇreˇsen´ı.

X


20

1.2.3

Negace v´ yrok˚ u

Pˇ r´ıklad 1.16: Doplˇ nte sami následuj´ıc´ı tabulku (dopiˇste negaci daného v´ yroku). ˇ sen´ı: . Reˇ Tabulka 1.8: Negace v´ yrok˚ u

V´ yrok

Negace v´ yroku

Neprˇs´ı

Prˇs´ı

ˇ ıslo a je prvoˇc´ıslo ............................... C´

................................... ˇ ıslo a nen´ı prvoˇc´ıslo C´

...................................

........................ Kaˇzdé ˇc´ıslo a ∈ M1 je dˇelitelné 2

ˇ adné ˇc´ıslo a ∈ M1 nen´ı dˇelitelné 2 Z´

......................... ˇ adné ˇc´ıslo b ∈ M2 nen´ı dˇelitelné 5 Z´

Nˇejaké ˇc´ıslo b ∈ M2 je dˇelitelné 5

Kaˇzdé ˇc´ıslo c ∈ M3 je dˇelitelné 2 a zá-

......................... ˇ adné ˇc´ıslo c ∈ M3 nen´ı dˇelitelné 2 neZ´

roveˇ n nen´ı dˇeliteln´ı 5 Kaˇzdé ˇc´ıslo d ∈ M4 je dˇelitelné 2 nebo

bo je dˇelitelné 5 ˇ adné ˇc´ıslo d ∈ M4 nen´ı dˇelitelné 2 Z´

je dˇelitelné 7

a zároveˇ n nen´ı dˇelitelné 7

Petr má alespoˇ n 2 sourozence ............... ......................... Do vlakového kupé se vejde nejv´ yˇse 6 cestuj´ıc´ıch X Vyˇreˇsili jste pˇredchoz´ı pˇr´ıklad správnˇe? Povˇezme si nyn´ı nˇeco málo o negován´ı v´ yrok˚ u, abychom na tuto otázku mohli odpovˇedˇet. Uved’me nejprve definici a pak se vrát´ıme k pˇredchoz´ımu pˇr´ıkladu. Definice 1.9 (Negace v´ yroku): Negace v´ yroku ϕ je v´ yrok, kter´ y pop´ırá tvrzen´ı p˚ uvodn´ıho v´ yroku ϕ.

I

Pozn´ amka: Negace v´ yroku tedy zahrnuje vˇsechny zb´ yvaj´ıc´ı moˇznosti v´ yroku p˚ uvodn´ıho.

2


21

Vrat’me se tedy k pˇr´ıkladu 1.16 a ˇreknˇeme si správné ˇreˇsen´ı. Tabulka 1.9: Negace v´ yrok˚ u – správné ˇreˇsen´ı

V´ yrok

Negace v´ yroku

Neprˇs´ı

Prˇs´ı

ˇ ıslo a je prvoˇc´ıslo ............................... C´

................................... ˇ ıslo a nen´ı prvoˇc´ıslo C´

...................................

........................ Kaˇzdé ˇc´ıslo a ∈ M1 je dˇelitelné 2

ˇ adné ˇc´ıslo a ∈ M1 nen´ı dˇelitelné 2 Z´

......................... ˇ adné ˇc´ıslo b ∈ M2 nen´ı dˇelitelné 5 Z´

Nˇejaké ˇc´ıslo b ∈ M2 je dˇelitelné 5

Kaˇzdé ˇc´ıslo c ∈ M3 je dˇelitelné 2 a zá-

......................... ˇ adné ˇc´ıslo c ∈ M3 nen´ı dˇelitelné 2 neZ´

roveˇ n nen´ı dˇeliteln´ı 5 Kaˇzdé ˇc´ıslo d ∈ M4 je dˇelitelné 2 nebo

bo je dˇelitelné 5 ˇ adné ˇc´ıslo d ∈ M4 nen´ı dˇelitelné 2 Z´

je dˇelitelné 7

a zároveˇ n nen´ı dˇelitelné 7

Petr má alespoˇ n 2 sourozence ............... ......................... Do vlakového kupé se vejde nejv´ yˇse 6 cestuj´ıc´ıch Pozn´ amka: Uved’me si nyn´ı pouˇcky, jak správnˇe tvoˇrit negace v´ yrok˚ u. Tabulka 1.10: Negace v´ yrok˚ u

Výrok

Negace výroku

Kaˇzd´ y .......... je .......... Alespoˇ n jeden .......... je ..........

Alespoˇ n jeden .......... nen´ı .......... ˇ adn´ Z´ y (kaˇzd´ y) .......... nen´ı ..........

Alespoˇ n n .......... je ..........

Nejv´ yˇse n − 1 .......... je ..........

Nejv´ yˇse n .......... je ..........

Alespoˇ n n + 1 .......... je ..........

a∧b a∨b a⇒b a⇔b Negace výroku

Výrok


22

Nezdaj´ı se Vám pravidla o negac´ıch? Pojd’me si ukázat pˇr´ıklad, po kterém snad uvˇeˇr´ıte. Mˇejme mnoˇzinu ˇc´ısel M = {2, 8, 12}. Pro tuto mnoˇzinu je jistˇe pravdiv´ y v´ yrok ∀x ∈ M,

x je dˇelitelné 2 a souˇcasnˇe x nen´ı dˇelitelné 5.

(1.1)

Zmˇen ˇme nyn´ı v mnoˇzinˇe M jeden prvek tak, aby se v´ yˇse uveden´ y v´ yrok stal nepravdiv´ ym. Napiˇsme nˇekolik takov´ ych variant. M ={ ,

,

}

...

M ={ ,

,

}

...

M ={ ,

,

}

...

M ={ ,

,

}

...

M ={ ,

,

}

...

M ={ ,

,

}

...

Vˇsechny tyto moˇznosti pop´ıraj´ı pravdivost v´ yˇse uvedeného v´ yroku. Zap´ıˇseme-li v´ yrok, kter´ y je pravdiv´ y pro tˇechto 6 v´ yˇse uveden´ ych mnoˇzin, pak máme negaci p˚ uvodn´ıho v´ yroku, viz definice 1.9. .“

”

Pod´ıvejme se na tento pˇr´ıklad z jiného u ´hlu. Zaved’me si dvˇe v´ yrokové promˇenné d

...

p

...

Pak v´ yrok (1.1) m˚ uˇzeme zapsat ∀x ∈ M, plat´ı

...

Tuto v´ yrokovou formuli m˚ uˇzeme negovat pomoc´ı de Morganova pravidla z vˇety (1.6) ∃x ∈ M, pro kter´ y plat´ı

...

Tento zápis m˚ uˇzeme ˇcesky pˇreˇc´ıst takto ”

.“

´ 1.3. ULOHY

1.3 1.3.1

23

´ Ulohy Logick´ a v´ ystavba matematiky

´ Ulohy v této podkapitole jsou pouze pro jedniˇckáˇre, to znamená, ˇze se nepoˇc´ıtaj´ı do povinn´ ych pˇr´ıklad˚ u, které si mus´ıte vyˇreˇsit ke zkouˇsce. Pˇ r´ıklad 1.17 (Pˇ r´ım´ y d˚ ukaz): Dokaˇzte, ˇze koˇreny kvadratické rovnice ax2 +bx+c = 0, kde známe a, b, c ∈ R, jsou x1, 2 =

−b ±

√

b2 − 4ac . 2a

Pˇ r´ıklad 1.18 (Pˇ r´ım´ y d˚ ukaz): Dokaˇzte, ˇze pro ∀x ∈ R plat´ı (sin x)2 + (cos x)2 = 1. Pˇ r´ıklad 1.19 (Pˇ r´ım´ y d˚ ukaz): Dokaˇzte, ˇze pro ∀x, y ∈ R ∧ x 6= y plat´ı 2x2 − xy − y 2 − x = x + y. x−y Pˇ r´ıklad 1.20 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 1 1 1 1 1 n + + + ... + + = . 1·2 2·3 3·4 (n − 1)n n(n + 1) n+1 Pˇ r´ıklad 1.21 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 3)2 + (2n − 1)2 =

n(2n − 1)(2n + 1) . 3

Pˇ r´ıklad 1.22 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 4 9 (n − 1)2 n2 n(n + 1) 1 + + + ... + + = . 1·3 3·5 5·7 (2n − 3)(2n − 1) (2n − 1)(2n + 1) 2(2n + 1) Pˇ r´ıklad 1.23 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 2) + (n − 1) + n =

1 n(n + 1). 2

Pˇ r´ıklad 1.24 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n > 2, n ∈ N plat´ı 2n > 2n + 1.


24

Pˇ r´ıklad 1.25 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 62n + 3n+2 + 3n je dˇelitelné 11. Pˇ r´ıklad 1.26 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N a pro ∀x ∈ R plat´ı (sin x)2n + (cos x)2n ≤ 1. Pˇ r´ıklad 1.27 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ˇcleny rekurentnˇe zadané posloupnosti µ a1 = 1,

an+1 = an

kde n ∈ N, plat´ı vzorec an =

n n+1

¶2 ,

1 . n2

Pˇ r´ıklad 1.28 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ˇcleny rekurentnˇe zadané posloupnosti µ ¶ n an + 2 a1 = 1, an+1 = , n+1 kde n ∈ N, plat´ı vzorec an = 2 −

1 . n

Pˇ r´ıklad 1.29 (Indukc´ı): Dokaˇzte, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı 1 + 2 + 3 + ... +

1.3.2

³n

´ n n2 + n −1 + = . 2 2 8

V´ yrokov´ a logika

Pˇ r´ıklad 1.30: Uvaˇzujte následuj´ıc´ı v´ yrokové formule a) (a ∨ b) ∧ (¬b ∨ a), ¡ ¢ b) a ∧ b ⇒ (c ∨ a) , c) (a ⇒ b) ∧ c ⇔ d, d) (a ∧ ¬b) ⇔ (a ⇒ b), ¡ ¢ ¡ ¢ e) ¬(a ∧ b) ∨ c ⇔ (¬a ∨ c) ∧ (¬b ∨ c) ,

´ 1.3. ULOHY

25

f ) (a ∧ b) ⇒ (c ∧ d), ¢ ¡ g) (a ∨ b) ⇒ a ∨ c, ³¡ ´ ¢ h) (a ∨ b) ⇒ a ∨ c ∨ b, ¡ ¢ ¡ ¢ ch) (a ⇒ b) ∧ c ⇔ (a ∧ ¬b) ∨ ¬c , i) a ∧ b ∧ c ∧ d, kde a, b, c, d ∈ At (jsou atomické formule). Ovˇeˇrte syntaktickou správnost tˇechto formul´ı. Pˇ r´ıklad 1.31: Rozhodnˇete, zda jsou v´ yrokové formule z pˇr´ıkladu 1.30 pravdivé pro pravdivostn´ı ohodnocen´ı u(a) = 0, u(b) = 1, u(c) = 1 a u(d) = 0. Pˇ r´ıklad 1.32: Rozhodnˇete, zda jsou v´ yrokové formule z pˇr´ıkladu 1.30 pravdivé pro pravdivostn´ı ohodnocen´ı u(a) = 1, u(b) = 0, u(c) = 1 a u(d) = 0. Pˇ r´ıklad 1.33: Uvaˇzujte v´ yrokové formule z pˇr´ıkladu 1.30. Rozhodnˇete, zda je daná formule splnitelná, zda je tautologi´ı a zda je kontradikc´ı. Pˇ r´ıklad 1.34: Vytvoˇrte v´ yrokovou formuli minimálnˇe ze tˇr´ı atomick´ ych formul´ı tak, aby byla a) tautologi´ı, b) kontradikc´ı, c) nebyla tautologi´ı a zároveˇ n nebyla kontradikc´ı, d) byla tautologi´ı a zároveˇ n byla kontradikc´ı, e) byla splnitelnou a zároveˇ n byla kontradikc´ı, f ) byla tautologi´ı a zároveˇ n nebyla splnitelnou. Pˇ r´ıklad 1.35: Rozhodnˇete, zda plat´ı následuj´ıc´ı zápisy (zda je daná formule (vpravo) sémantick´ ym d˚ usledkem dané mnoˇziny formul´ı (vlevo) |=“). ” © ª a) a ∨ b, a ⇒ c, c ⇒ b |= c b)

© ª a ∨ ¬b, b ∧ ¬a, a ⇒ c |= b ∨ (c ⇒ a)


26 c)

© ª ¬(a ∧ b) |= ¬a ∨ ¬b

d)

© ª ¬(a ∨ b) |= ¬a ∧ ¬b

e)

© ª a ∨ b, a ⇒ c, c ⇒ b |= b

f) g) h)

©

ª a ∨ b, a ⇒ c, c ⇒ b |= a

©

ª a ∨ b, b ∧ c, c ∨ d, d ∧ a |= a ∨ ¬a

© ª a ∧ ¬a, ¬b ∧ b, c ∧ c |= a ∧ ¬a

Pˇ r´ıklad 1.36: Rozhodnˇete, zda plat´ı (zda jsou následuj´ıc´ı formule tautologicky ekvivalentn´ı ≡“). ” a) ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b b) ¬(a ∨ ¬b) ≡ ¬a ∧ b c) a ⇒ b ≡ ¬a ∨ b d) b ⇒ a ≡ ¬a ∨ b e) ¬(a ∧ b) ∨ c ≡ (¬a ∨ c) ∧ (¬b ∨ c) ¡ ¢ ¡ ¢ f ) ¬(a ∧ b) ∨ c ∧ d ≡ (¬a ∨ c) ∧ (¬b ∨ c) ∧ d g) h)

¡¡

¢ a ∨ b) ∨ b ∧ d ≡ b ∧ d

¡¡

¢ a ∨ b) ∧ b ∧ d ≡ b ∧ d

Pˇ r´ıklad 1.37: Vyjádˇrete následuj´ıc´ı v´ yrokové formule v u ´plné DNF (Disjunktivn´ı Normáln´ı Forma) a v u ´plné CNF (Konjunktivn´ı Normáln´ı Forma). Poté naleznˇete minimáln´ı DNF a CNF k tˇemto formul´ım. a) ϕ1 = (¬a ∧ ¬b ∧ ¬c) ∨ (¬a ∧ ¬b ∧ c) ∨ (¬a ∧ b ∧ c) ∨ (a ∧ b ∧ c) b) ϕ2 = (a ∨ ¬b ∨ c) ∧ (¬a ∨ b ∨ c) ∧ (¬a ∨ b ∨ ¬c) ∧ (¬a ∨ ¬b ∨ c) Pˇ r´ıklad 1.38: Uvaˇzujte následuj´ıc´ı pravdivostn´ı tabulku a zapiˇste v´ yrokovou formuli ϕ v minimáln´ı DNF a minimáln´ı CNF.

´ 1.3. ULOHY

27 Tabulka 1.11: Pravdivostn´ı tabulka pro v´ yrokovou formuli ϕ

a

0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1 1

1

b

0 0

0 0 1

1 1 1

0 0 0

0 1 1 1

1

c

0 0

1 1 0

0 1 1

0 0 1

1 0 0 1

1

d

0 1

0 1 0

1 0 1

0 1 0

1 0 1 0

1

ϕ

0 0

0 0 0

0 1 1

1 0 1

0 1 0 1

1

Pˇ r´ıklad 1.39: Uvaˇzujte v´ yrokové formule z pˇr´ıkladu 1.30. Zapiˇste je v minimáln´ı disjunktivn´ı normáln´ı formˇe a v minimáln´ı konjunktivn´ı normáln´ı formˇe. Pˇ r´ıklad 1.40: Negujte následuj´ıc´ı formule. a) a ∨ b b) a ∧ b c) (a ⇒ b) ∨ c d) a ∨ (b ∧ c) ¡ ¢ ¡ ¢ e) ¬(a ∧ b) ∨ c ⇔ (¬a ∨ c) ∧ (¬b ∨ c) f ) Dnes prˇs´ı a souˇcasnˇe nesv´ıt´ı slun´ıˇcko. g) Kaˇzd´ y student je pˇripraven na hodinu nebo nen´ı ve ˇskole. h) Kaˇzd´ y Spart’an nemá rád Slávii a alespoˇ n jeden Slávista fand´ı Bohemce. ch) Vˇetˇsina student˚ u, kteˇr´ı vlastn´ı notebook, ho neum´ı efektivnˇe vyuˇz´ıvat. i) Je-li student dobr´ y v matematice, pak je dobr´ y programátor. j) Kaˇzd´ y sluˇsn´ y ˇclovˇek je ohledupln´ ym ˇridiˇcem. k) Kaˇzd´ y tenista vyhraje za svoji kariéru alespoˇ n jeden turnaj. Napiˇste tyto negované formule pouze pomoc´ı negace, disjunkce a konjunkce. Pˇ r´ıklad 1.41: Pˇri stˇr´ıdán´ı hráˇc˚ u ve sportovn´ım utkán´ı se mˇel trenér rozhodnout, koho z hráˇc˚ u {A, B, C, D, E} má vyslat do hry, jestliˇze si byl vˇedom, ˇze a) B by mˇel hrát, kdyˇz bude hrát A,


28

b) kdyˇz bude hrát E, mˇeli by hrát hráˇci A a D, c) B a C by nemˇeli hrát spoleˇcnˇe, protoˇze nejsou sehran´ı, d) C a D by mˇeli spoleˇcnˇe hrát, nebo spoleˇcnˇe z˚ ustat na stˇr´ıdaˇcce, e) mˇel by hrát D nebo E. Které hráˇce mˇel trenér vyslat do hry. Pˇrevzato z (Opava, Z., 1989). Pˇ r´ıklad 1.42: Vyˇsetˇrován´ım dopravn´ı nehody bylo zjiˇstˇeno, ˇze a) nehodu zavinil ˇridiˇc B nebo C, b) jestliˇze nehodu zavinil ˇridiˇc C, zavinil ji i ˇridiˇc A, c) nehodu zavinil ˇridiˇc B, jestliˇze ji zavinil ˇridiˇc A, d) jestliˇze nehodu zavinil ˇridiˇc B, pak ji ˇridiˇc C nezavinil. Podaˇr´ı se Vám rozhodnout, kter´ y ˇridiˇc nehodu zavinil? Pˇrevzato z (Opava, Z., 1989). ˇ ıkaj´ı obˇe Pˇ r´ıklad 1.43: Nebude-li prˇset, nezmoknem. Bude prˇset nebo nezmoknem. R´ vˇety totéˇz. Pˇrevzato z (Opava, Z., 1989). Pˇ r´ıklad 1.44: Rozhodnˇete a zd˚ uvodnˇete, zda jsou následuj´ıc´ı u ´vahy správné. a) Jestliˇze jdu pozdˇe spát, ráno se nemohu probudit. Jdu pozdˇe spát. Tud´ıˇz ráno se nebudu moci probudit. b) Jestliˇze jdu pozdˇe spát, ráno se nemohu probudit. Ráno se nemohu probudit. Tud´ıˇz jsem ˇsel veˇcer pozdˇe spát. ˇ ıkaj´ı obˇe vˇety totéˇz. Pˇ r´ıklad 1.45: Dobré j´ıdlo nen´ı levné. Levné j´ıdlo nen´ı dobré. R´ Pˇrevzato z (Velebil, J., 2007). Pˇ r´ıklad 1.46: Kdyˇz turista spˇechal k nádraˇz´ı, pˇriˇsel na rozcest´ı, odkud vedla jedna cesta k nádraˇz´ı a druhá ne. Na rozcest´ı byli dva bratˇri, z nichˇz jeden mluvil vˇzdy pravdu a druh´ y vˇzdy lhal, na jakoukoli otázku odpov´ıdali jen ano“ nebo ne“ a oba znali správnou cestu ” ” k nádraˇz´ı. O tom vˇsem turista vˇedˇel, ale nevˇedˇel, která cesta vede k nádraˇz´ı a kdo z bratr˚ u mluv´ı pravdu a kdo lˇze. Turista ukázal na jednu z cest, poloˇzil jednomu z bratr˚ u jedinou otázku a z odpovˇedi vyvodil, která z cest vede k nádraˇz´ı. Je to moˇzné? Naleznete znˇen´ı této otázky? Pˇrevzato z (Opava, Z., 1989).

´ 1.3. ULOHY

29

Pˇ r´ıklad 1.47 (Test logick´ eho myˇ slen´ı od Allana Gintela): Následuj´ıc´ı test, kter´ y vypracoval psycholog Allan Gintel, by mˇel ukázat vaˇsi schopnost vyvodit správné ˇreˇsen´ı, které vypl´ yvá z urˇcit´ ych v´ yrok˚ u a zároveˇ n by mˇel provˇeˇrit rychlost vaˇseho uvaˇzován´ı. Následuj´ıc´ı v´ yroky jsou ve skuteˇcnosti nesmyslné, avˇsak je tˇreba vycházet z toho, ˇze prvn´ı dva v´ yroky z kaˇzdé u ´lohy jsou správné. Závˇer z nich vˇsak m˚ uˇze, anebo téˇz nemus´ı b´ yt správn´ y. Pokud se Vám zdá závˇer tˇret´ıho v´ yroku správn´ y, oznaˇcte ho slovem ANO, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe NE. Na vypracován´ı kaˇzdé z u ´loh máte k dispozici jen 20 sekund. 1. Vˇsechny ˇza´by jsou modré. Tento k˚ un ˇ je modr´ y. Proto tento k˚ un ˇ je ˇza´ba. 2. Vˇsichni ˇzáci jsou ryby. Nˇekteˇr´ı ˇzaći jsou mloci. Proto nˇekteˇr´ı mloci jsou ryby. ˇ e body maj´ı vˇsechny domy. Proto nˇekteré 3. Nˇekteré mraky maj´ı ˇcerné body. Cern´ mraky jsou domy. 4. Vˇsechny myˇsi jsou hranaté. Vˇsechno hranaté je modré. Proto vˇsechny myˇsi jsou modré. 5. Vˇsechny ovce jsou sloni. Nˇekteˇr´ı sloni jsou ˇcápi. Proto vˇsechny ovce jsou ˇca´pi. 6. Nˇekteˇr´ı lidé, kteˇr´ı maj´ı rádi Alici, nemaj´ı rádi Roberta. Proto lidé, kteˇr´ı maj´ı rádi Roberta, nemaj´ı rádi Alici. 7. Nˇekteˇr´ı psi rádi recituj´ı básnˇe. Vˇsichni psi jsou laviny. Proto nˇekteré laviny rády recituj´ı básnˇe. 8. Nikdo s ˇcerven´ ym nosem nem˚ uˇze b´ yt premiérem. Vˇsichni muˇzi maj´ı ˇcervené nosy. Proto ˇza´dn´ y muˇz nem˚ uˇze b´ yt premiérem. 9. Vˇsichni jezevci jsou sbˇeratelé umˇen´ı. Nˇekteˇr´ı sbˇeratelé umˇen´ı ˇzij´ı v norách. Proto nˇekteˇr´ı jezevci ˇzij´ı v norách. 10. Nikdo s fialov´ ymi vlasy nen´ı mlad´ y. Nˇekteˇr´ı lidé, kteˇr´ı maj´ı fialové vlasy, pij´ı mléko. Proto nˇekteˇr´ı lidé, kteˇr´ı pij´ı mléko, nejsou mlad´ı. Pˇ r´ıklad 1.48 (Hry na internetu): Zkuste si zahrát logické hry na internetu, napˇr´ıklad na hhttp://www.plastelina.net/games/i. Procviˇc´ıte se nejen v logice ale i v angliˇctinˇe.


30

1.4

Ot´ azky ke zkouˇ sce

1.4.1

Jak se vyhnout testu z t´ eto kapitoly

´ Vymyslete reálnou logickou u ´lohu (podobnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 1.9) a vyˇreˇste ji. Uloha mus´ı m´ıt alespoˇ n ˇctyˇri logické promˇenné a zadán´ı mus´ı obsahovat alespoˇ n ˇsest podm´ınek“. Vy” pracovanou u ´lohu odevzdejte ve formátu PDF prostˇrednictv´ım stránek pˇredmˇetu v daném term´ınu. Smyslem nen´ı, abyste mechanicky ˇreˇsili nˇejak´ y umˇel´ y“ pˇr´ıklad (to m˚ uˇzete pˇrij´ıt na ” ˇ ım reálnˇejˇs´ı a ˇc´ım zaj´ımavˇejˇs´ı u test), ale abyste projevili svoji tvoˇrivost. C´ ´loha bude a ˇc´ım v´ıce pojm˚ u z této kapitoly pouˇzijete a vyhodnot´ıte, t´ım bude u ´loha ohodnocena v´ıce body (maximum bod˚ u za u ´lohu je stejné jako maximum bod˚ u za test). Podm´ınkou je, ˇze dva studenti nebudou m´ıt stejnou nebo podobnou u ´lohu s ostatn´ımi ani se studenty z minul´ ych let.

1.4.2

Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce

• Orientovat se v pojmech definice, vˇeta, d˚ ukaz. • Znát základn´ı pojmy z v´ yrokové logiky (symboly, základn´ı logické spojky atd.). • Umˇet vyhodnotit pravdivostn´ı ohodnocená v´ yrokové formule do pravdivostn´ı tabulka a Carnaughovy mapy. • Umˇet urˇcit minimáln´ı DNF z Carnaughovy mapy. • Umˇet negovat logické v´ yroky.

1.4.3

Ot´ azky na rozmyˇ slenou pro jedniˇ ck´ aˇ re“ ”

ˇ sen´ı reáln´ • Reˇ ych logick´ ych situac´ı, viz pˇr´ıklady 1.40 aˇz 1.45 a jejich tvorba. • Pˇr´ıklady na d˚ ukazy.

´ ˇ 1.4. OTAZKY KE ZKOUSCE

31

32


Kapitola 2 Vektorov´ a a maticov´ a algebra V této kapitole se koneˇcnˇe dostáváme k lineárn´ı algebˇre. Nejprve si zavedeme pojem aritmetický vektor a operace s n´ım spojené, jako je sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı a násoben´ı konstantou. Dále se zamˇeˇr´ıme na vlast-

 a11 a  21  a31

a12 a22 a32

a13   x1   b1  a23   x2  = b2  a33   x3  b3 

nosti aritmetick´ ych vektor˚ u, jak´ ymi jsou napˇr´ıklad rovnost a nerovnost a na nejzásadnˇejˇs´ı pojem spojen´ y s aritmetick´ ymi vektory, kter´ ym je line´ arn´ı závislost respektive line´ arn´ı nez´ avislost vektor˚ u. V dalˇs´ı ˇca´sti této kapitoly si zavedeme pojem matice a pojmy s n´ı spojené : indexy prvk˚ u matice, nulov´ a matice, ˇctvercov´ a matice, jednotkov´ a matice, horn´ı respektive doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice, diagon´ aln´ı matice, transponovan´ a matice a tak dále. Nakonec si ukáˇzeme, jak pˇrepisovat soustavy lineárn´ıch rovnic do maticového tvaru a uvedeme v danou chv´ıli nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı vlastnost, kterou je hodnost matice. Ve tˇret´ı ˇcásti této kapitoly se seznám´ıme s maticovou algebrou. Nauˇc´ıme se, jak se matice mezi sebou n´ asob´ı, jak se násob´ı matice a vektory a jak toho m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇri ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. V souvislosti s t´ımto si uvedeme Frobeniovu vˇetu, která nám ˇr´ıká, kdy má soustava rovnic ˇreˇsen´ı a nauˇc´ıme se Gaussovu eliminaˇcn´ı metodu, která je jednou z nejzákladnˇejˇs´ıch a nejjednoduˇsˇs´ıch numerick´ ych metod pro ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. ˇ ´ , M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B., 2000; Krajn´ık, E., Cerpat budeme zejména z (Demlova 2004), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 33

´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA

34

2.1

Aritmetick´ e vektory

Definice 2.1 (Aritmetick´ y vektor): Necht’ n ∈ N a x1 , x2 , x3 , . . . , xn ∈ R, pak aritmetickým vektorem nazveme uspoˇrádanou n-tici   x1    x2      x =  x3  .  .   ..    xn

(2.1)

ˇ ıslo xi je i-t´ Mnoˇzinu vˇsech n-rozmˇern´ ych aritmetick´ ych vektor˚ u znaˇc´ıme Rn . C´ y ˇclen (prvek) aritmetického vektoru a ˇc´ıslo i naz´ yváme jeho indexem.

I

Pozn´ amka: Nam´ısto pojmu aritmetick´ y vektor, budeme zkrácenˇe ˇr´ıkat pouze vektor.2 Pozn´ amka: Pro u ´sporu m´ısta budeme vektor (2.1) zapisovat pomoc´ı transpozice takto h x=

x1 x2 x3 . . . x n

iT

.

2

Pˇ r´ıklad 2.1: Uved’te nˇekolik jedno-, dvou-, tˇr´ı-, ˇctyˇr- a pˇeti-rozmˇern´ ych vektor˚ u. ˇ sen´ı: . Reˇ

Obrázek 2.1: Rovina R2 s vektory xi

.

X

Pozn´ amka: Vektory a jejich prvky v Matlabu zadáváme takto:

.

2

´ VEKTORY 2.1. ARITMETICKE

35

ˇ ıkáme, ˇze Definice 2.2 (Rovnost vektor˚ u): Necht’ x, y ∈ Rn . R´ x=y

⇔

xi = yi

∀i = 1, 2, 3, . . . , n.

V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze jsou vektory r˚ uzné a zapisujeme x 6= y.

I

Pˇ r´ıklad 2.2 (Rovnost vektor˚ u): Uvaˇzujte vektory a = [1, −3, 2]T , b = [1, −3, b3 ]T a c = [1, c2 ]T , kde b3 , c2 ∈ R. Urˇcete b3 a c2 tak, aby platilo a = b, a = c. ˇ sen´ı: . Reˇ

.

X

Definice 2.3 (Souˇ cet a rozd´ıl vektor˚ u): Necht’ x, y ∈ Rn , pak u=x+y

⇔

ui = x i + y i ,

∀i = 1, 2, 3, . . . , n.

v =x−y

⇔

v i = xi − y i ,

∀i = 1, 2, 3, . . . , n. I

Pozn´ amka: Plat´ı x + y = y + x?

Obrázek 2.2: Rovina R2 – sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u

2


36

Pˇ r´ıklad 2.3 (Souˇ cet a rozd´ıl vektor˚ u): Uvaˇzujte vektory z R3 x = [x1 , −4, 2]T , y = [1, 3, y3 ]T a z = [1, z2 , 7]T , kde x1 , y3 , z2 ∈ R. Urˇcete x1 , y3 a z2 tak, aby platilo a) x + y = z, b) y − x = z. ˇ sen´ı: . Reˇ

.

X

Definice 2.4 (N´ asoben´ı skal´ arem): Necht’ x ∈ Rn a α ∈ R, pak u = αx

⇔

ui = αxi

∀i = 1, 2, 3, . . . , n.

Reáln´ ym ˇc´ısl˚ um α v souvislosti s vektory ˇr´ıkáme skaláry.

I

Pozn´ amka: Plat´ı αx = xα?

2

Obrázek 2.3: Rovina R2 – násoben´ı vektoru skal´ arem


37

Pˇ r´ıklad 2.4 (N´ asoben´ı skal´ arem): Uvaˇzujte vektory z ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 2.3a) a urˇcete v = −3y + 6x − z. ˇ sen´ı: Reˇ v = −3y + 6x − z =

.

X

Definice 2.5 (Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u): Necht’ a1 , a2 , a3 , . . . , am−1 , am ∈ Rn a x ∈ Rn . x je lineárn´ı kombinac´ı a1 , a2 , a3 , . . . , am−1 , am ⇔ ∃α1 , α2 , α3 , . . . , αm ∈ R tak, ˇze plat´ı x = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3 + . . . + αm−1 am−1 + αm am =

m X

αi ai .

i=1

I

Obrázek 2.4: Rovina R2 – lineárn´ı kombinace vektor˚ u


38

Pˇ r´ıklad 2.5 (Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u): Urˇcete, zda je vektor x = [0, 1]T lineárn´ı kombinac´ı vektor˚ u: a) a1 = [1, 2]T , a2 = [2, −1]T , b) b1 = [1, 2]T , b2 = [−1, −2]T . ˇ sen´ı: Nejprve vyˇreˇs´ıme variantu a). Reˇ

Obr´ azek 2.5: Rovina R2

Nyn´ı varianta b).

Obr´ azek 2.6: Rovina R2

X


39

Vˇ eta 2.1: Necht’ x ∈ Rn je lineárn´ı kombinac´ı a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn . Je-li ∀ai line´ arn´ı kombinac´ı b1 , b2 , . . . , bk ∈ Rn , potom je x lineárn´ı kombinac´ı b1 , b2 , . . . , bk . D˚ ukaz: .

Definice 2.6 (Nulov´ y vektor): Necht’ x ∈ Rn a plat´ı xi = 0

∀i = 1, 2, 3, . . . , n,

pak tento vektor naz´ yváme nulový a zapisujeme x = 0. Vektor, kter´ y nen´ı nulov´ y, naz´ yváme nenulov´ y.

I

Definice 2.7 (Nulov´ a line´ arn´ı kombinace vektor˚ u): Necht’ a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn a α1 , α2 , . . . , αm ∈ R. Jestliˇze plat´ı α1 a1 + α2 a2 + . . . + αm am =

m X

αi ai = 0,

i=1

potom tuto lineárn´ı kombinaci vektor˚ u a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn naz´ yváme nulovou. Pro αi = 0 ∀i = 1, 2, . . . , m ji naz´ yváme triviáln´ı. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe netriviáln´ı.

I

40


Definice 2.8 (Line´ arnˇ e nez´ avisl´ e vektory): Jestliˇze existuje netriviáln´ı nulová lineárn´ı kombinace vektor˚ u a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn , potom tyto vektory naz´ yváme line´ arnˇe závislé . V opaˇcném pˇr´ıpadˇe line´ arnˇe nezávislé .

I

Pˇ r´ıklad 2.6 (Line´ arnˇ e nez´ avisl´ e vektory): Uvaˇzujte vektory       5 3 1          x3 =  x2 =  x1 =   2 .  4 ,  0 , 7 0 2 Urˇcete, zda jsou tyto vektory lineárnˇe závislé ˇci nezávislé. ˇ sen´ı: . Reˇ

X Pˇ r´ıklad 2.7 (Line´ arnˇ e nez´ avisl´ e vektory):    3 1       x2 =  −4 x 1 =  1 , 0 2

Uvaˇzujte vektory    −6    .  , x = 9 3    2

Urˇcete, zda jsou tyto vektory lineárnˇe závislé ˇci nezávislé.


41

ˇ sen´ı: . Reˇ

ˇ sme rovnici Pod´ıvejme se na tento pˇr´ıklad jeˇstˇe z jiného pohledu. Reˇ α1 x1 + α2 x2 = x3 . Je moˇzné takto postupovat pˇri hledán´ı ˇreˇsen´ı?

X


42

Vˇ eta 2.2: Necht’ a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn . 1. Je-li m = 1, potom a1 je lineárnˇe závislý ⇔ a1 = 0. 2. Je-li m > 1, potom a1 , a2 , . . . , am jsou lineárnˇe závislé ⇔ ∃k (1 ≤ k ≤ m), ˇze ak je lineárn´ı kombinac´ı zbývaj´ıc´ıch vektor˚ u. D˚ ukaz: Tuto vˇetu jsme vlastnˇe jiˇz pouˇzili v pˇr´ıkladˇe 2.7. Nyn´ı si ji dokáˇzeme. Nejprve pro pˇr´ıpad m = 1.

Nyn´ı pro m ≥ 1.

Vˇ eta 2.3: Pˇrid´ ame-li k lineárnˇe závislým vektor˚ u dalˇs´ı vektory, dostaneme jiˇz jen vektory lineárnˇe závislé. D˚ ukaz: .


43

Pˇ r´ıklad 2.8: Otestujte platnost pˇredchoz´ı vˇety na nˇejakém pˇr´ıkladˇe. ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 2.4: Necht’ a1 , a2 , . . . , am ∈ Rn . Je-li n < m, potom jsou tyto vektory vˇzdy line´ arnˇe závislé. D˚ ukaz: .

Pˇ r´ıklad 2.9: Otestujte platnost pˇredchoz´ı vˇety na nˇejakém pˇr´ıkladˇe. ˇ sen´ı: Reˇ

X


44

2.2

Matice

Pˇ r´ıklad 2.10: Uvaˇzujte soustavu rovnic z pˇr´ıkladu 2.7 −6α3 + α1 + 3α2 = 0 −4α2 + α1 + 9α3 = 0 2α1 + 2α3 = 0 a zapiˇste ji do maticové podoby. ˇ sen´ı: Nejprve si rovnice porovnáme“. Reˇ ”

X Pozn´ amka: Matice a jejich prvky v Matlabu zadáváme takto:

.

2

2.2. MATICE

45

Definice 2.9 (Matice): Schéma sestavené z  a a12  11  a21 a22  A= . ..  .. .  am1 am2

reáln´ ych (komplexn´ıch) ˇc´ısel aij ∈ R (C)  . . . a1n  . . . a2n   , ..  .. . .   . . . amn

kde i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n, naz´ yváme reálnou (komplexn´ı) matic´ı typu m × n. Zapisujeme A ∈ Rm×n (Cm×n ). Uspoˇra´dané dvojici index˚ u [i, j] ˇr´ıkáme pozice v matici A, ˇc´ıslu aij ˇr´ıkáme prvek na m´ıstˇe [i, j]. Matici A m˚ uˇzeme struˇcnˇe zapsat takto A = [aij ] , kde i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n. Dále i-t´ y ˇra´dek a j-t´ y sloupec matice A znaˇc´ıme   a1j    a2j  h i   ai: = ai1 ai2 . . . ain , a:j =  . ,  ..    amj i je ˇra´dkov´ y index, j je sloupcov´ y index.

I

ˇ ıkáme, ˇze Definice 2.10 (Rovnost matic): Necht’ A, B ∈ Rm×n . R´ A=B

⇔

aij = bij

∀i = 1, 2, 3, . . . , m,

∀j = 1, 2, 3, . . . , n.

V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze jsou matice r˚ uzné a zapisujeme A 6= B.

I

Definice 2.11 (Nulov´ a matice): Necht’ A ∈ Rm×n a plat´ı aij = 0

∀i = 1, 2, 3, . . . , m,

∀j = 1, 2, 3, . . . , n,

pak tuto matici naz´ yváme nulovou a zapisujeme A = O. Matici, která nen´ı nulová, naz´ yváme nenulovou.

I


46

Definice 2.12 (Hodnost matice): Necht’ A ∈ Rm×n . Potom h ∈ N0 rovné maximáln´ımu poˇctu lineárnˇe nezávisl´ ych ˇra´dk˚ u A nazveme hodnost´ı A. Zapisujeme h = hod (A). Pokud h = m, ˇr´ıkáme, ˇze A má plnou hodnost.

I

Pˇ r´ıklad 2.11 (Hodnost matice): Urˇcete hodnosti následuj´ıc´ıch matic " A=

0 0 0 0

# ,

" B=

1 2 0 6

# ,

" C=

1

2

3

−4 −8 −12





#

1 2

,

  . D= 4 7   2 4

ˇ sen´ı: Matice A: Reˇ Matice B :

Matice C :

Matice D :

X

Urˇcovat hodnost matice pˇr´ımo z definice 2.12 je pro sloˇzitˇejˇs´ı matice obt´ıˇzné a poˇc´ıtán´ı, zda jsou ˇrádky lineárnˇe závislé ˇci nezávislé, zdlouhavé. Proto budeme pro urˇcen´ı hodnosti matic pˇreváˇznˇe vyuˇz´ıvat následuj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 2.5: Necht’ B ∈ Rm×n vznikla z A ∈ Rm×n nˇekterou z následuj´ıc´ıch u ´prav: ˇ adky A nap´ıˇseme v jiném poˇrad´ı. • R´ • Sloupce A nap´ıˇseme v jiném poˇrad´ı. • Nˇekterý ˇra´dek A vynásob´ıme nenulovým re´ alným ˇc´ıslem. • K jednomu ˇr´ adku A pˇriˇcteme skalárn´ı násobek jiného ˇr´ adku A. • V A vynech´ ame jej´ı nulový ˇr´ adek. Potom hod (A) = hod (B).

2.2. MATICE

47

D˚ ukaz: .

Pˇ r´ıklad 2.12 (Hodnost matice): Urˇcete hodnost matice z u ´vodu této kapitoly   1 3 −6    A =  1 −4 9  . 2 0 2 ˇ sen´ı: Budeme upravovat A tak, aby mˇela v prvn´ım sloupci samé nuly kromˇe prvn´ıho Reˇ ˇrádku, ve druhém sloupci samé nuly kromˇe prvn´ıch dvou ˇra´dk˚ u a tak dále.

Ovˇeˇrte sami toto ˇreˇsen´ı pomoc´ı testu lineárn´ı závislosti vektor˚ u.

X

48


Vˇ eta 2.6: Hodnost matice se nezmˇen´ı, jestliˇze v n´ı vynech´ ame ˇr´ adek, který je lineárn´ı kombinac´ı ostatn´ıch ˇr´ adk˚ u. D˚ ukaz: .

Pˇ r´ıklad 2.13 (Hodnost matice): Urˇcete hodnost matice   1 2 4   . A= 2 4 8   0 1 1 ˇ sen´ı: Postupujeme podle vˇety 2.6. Reˇ

ˇ sen´ı jeˇstˇe ovˇeˇr´ıme postupem z pˇr´ıkladu 2.12. Reˇ

X

2.2. MATICE

49

Urˇcit hodnost matice je velmi akademick´ y“ problém, ale z hlediska praxe je tato ” vlastnost celkem sloˇzitá. Ukáˇzeme si to na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 2.14 (Numerick´ y probl´ em s hodnost´ı matice): Uvaˇzujte matici # " 1 0 A= , a22 ∈ h0, 1i. 1 a22 Urˇcete hodnost matice v závislosti na parametru a22 . ˇ sen´ı: Pro a22 = 1 Reˇ Pro a22 = 1 Pro a22 = 10−3 Pro a22 = 10−10 Pro a22 = 10−16 X Definice 2.13 (Transponovan´ a matice): Necht’ A ∈ Rm×n . Matici B ∈ Rn×m nazveme transponovanou k A je-li ∀bi: = a:i . P´ıˇseme B = AT .

Vˇ eta 2.7: Necht’ A ∈ Rm×n má hod (A) = h. Pak hod (AT ) = h. D˚ ukaz: .

I


50

Pˇ r´ıklad 2.15 (Hodnost matice): Uvaˇzujte matici A z pˇr´ıkladu 2.13 a urˇcete hodnost matice AT . ˇ sen´ı: Reˇ AT =

X Vˇ eta 2.8: Necht’ A ∈ Rm×n . Pak plat´ı hod (A) ≤ min {m, n}. D˚ ukaz: .

Pˇ r´ıklad 2.16 (Hodnost matice): Ovˇeˇrte na nˇejakém pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 2.8. ˇ sen´ı: Zkusme urˇcit hodnost matice D z pˇr´ıkladu 2.11. Reˇ

X

2.2. MATICE

51

Zadefinujme si jeˇstˇe nˇekolik pojm˚ u t´ ykaj´ıc´ı se matic, které budeme vyuˇz´ıvat v dalˇs´ıch kapitolách. ˇ Definice 2.14 (Ctvercov´ a matice): A ∈ Rm×n nazveme ˇctvercovou ⇔ m = n. Také zapisujeme A ∈ Rn×n .

I

Definice 2.15 (Diagon´ aln´ı matice): Matici D ∈ Rn×n nazveme diagon´ aln´ı ⇔ dij = 0 ∀i 6= j.

I

Definice 2.16 (Troj´ uheln´ıkov´ a matice): Matici A ∈ Rn×n nazveme horn´ı troj´ uheln´ıkovou ⇔ aij = 0 ∀i > j. Matici A ∈ Rn×n nazveme doln´ı troj´ uheln´ıkovou ⇔ aij = 0 ∀i < j.

I

Definice 2.17 (Jednotkov´ a matice): Matici I ∈ Rn×n nazveme jednotkovou ⇔ iij = 1 ∀i = j ∧ iij = 0 ∀i 6= j.

I

Pozn´ amka: Poznamenejme, ˇze matematici obvykle znaˇc´ı jednotkovou matici p´ısmenem E. My zde ale budeme pouˇz´ıvat p´ısmeno I, které je obvyklé v technick´ ych literaturách.

2


52

2.3

Maticov´ a algebra

Definice 2.18 (Souˇ cet matic): Necht’ A = [aij ] ∈ Rm×n , B = [bij ] ∈ Rm×n . Potom pro souˇcet, rozd´ıl a α násobek plat´ı C =A+B

cij = aij + bij

∀i, ∀j ,

C =A−B

cij = aij − bij

∀i, ∀j ,

C = αA

cij = α aij

∀i, ∀j .

Pˇ r´ıklad 2.17: Uvaˇzujte matice " # 1 3 6 A= , 0 2 8

" B=

1 2 2 0 6 4

I

# ,

a urˇcete C = A − 2B. ˇ sen´ı: Reˇ

X Definice 2.19 (Souˇ cin matic): Necht’ A = [aij ] ∈ Rm×n , B = [bij ] ∈ Rn×p . Potom pro souˇcin C = [cij ] ∈ Rm×p plat´ı C = AB, cij =

n X

aik bkj =

∀i, ∀j .

k=1

I

´ ALGEBRA 2.3. MATICOVA

53

Pˇ r´ıklad 2.18: Uvaˇzujte matice A, B z pˇr´ıkladu 2.17 a urˇcete • C = AB, • D = AB T , • E = AT B. ˇ sen´ı: Reˇ C = AB =

D = AB T =

E = AT B =

X Pozn´ amka: Kdy je definovan´ y souˇcin matic? .

2

Pozn´ amka: Plat´ı obecnˇe AB = BA?

2


54

Vˇ eta 2.9: Necht’ A, B, C. Pak plat´ı (za pˇredpokladu správných rozmˇer˚ u matic): • asociativita . • distributivita .

(A + B) + C = (AB)C = A(B + C) = (A + B)C =

Pˇ r´ıklad 2.19: Ovˇeˇrte na nˇejakém pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 2.9. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pozn´ amka: Necht’ A ∈ Rm×n a B ∈ Rm×n . Je-li A = O ∨ B = O, pak AB = O. Existuj´ı vˇsak nenulové matice, jejichˇz souˇcin je matice nulová. Napˇr´ıklad # #" " 4 6 3 6 = −2 −3 2 4 Nenulov´ ym matic´ım, jejichˇz souˇcin je matice nulová, ˇr´ıkáme dˇelitelé nuly.

2


55

Vˇ eta 2.10: Necht’ A ∈ Rm×n . Pak plat´ı IA = A = AI , kde I maj´ı pˇr´ısluˇsné rozmˇery. Pˇ r´ıklad 2.20: Ovˇeˇrte na nˇejakém pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 2.10. ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 2.11: Necht’ A, B a α ∈ R. Pak plat´ı (za pˇredpokladu správných rozmˇer˚ u matic): • (A + B)T = • (αA)T = • (AB)T = Pˇ r´ıklad 2.21: Ovˇeˇrte na nˇejakém pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 2.11. ˇ sen´ı: Reˇ

X

56


Vˇ eta 2.12: Necht’ A ∈ Rm×n . Pak plat´ı hod (αA) = hod (A)

α ∈ R\{0}.

D˚ ukaz: .


X Vˇ eta 2.13: Kaˇzdou ˇr´ adkovou (sloupcovou) elementárn´ı u ´pravu A (kromˇe vynech´ an´ı nulového ˇr´ adku (sloupce)) lze provést tak, ˇze A vyn´ asob´ıme zleva (zprava) matic´ı P, která vznikla z I stejnou elementárn´ı u ´pravou.


57

Pˇ r´ıklad 2.23: Ovˇeˇrte na u ´pravách v pˇr´ıkladˇe 2.12 platnost vˇety 2.12. ˇ sen´ı: Reˇ

X


58

Pˇ r´ıklad 2.24 (Skl´ ad´ an´ı matic): Uvaˇzujte matice " # " # " # 1 1 3 2 7 1 2 1 A= , B= , C= , 1 5 3 4 1 2 6 5 Urˇcete

"

AB T O O

I

#"

C

" I=

1 0 0 1

# .

#

I

kde O je nulová matice pˇr´ısluˇsné dimenze. ˇ sen´ı: Nejprve dosad’me ˇc´ısla a poté vynásobme matice. Reˇ

Nyn´ı nejprve obecnˇe roznásob´ıme matice a aˇz poté dosad’me ˇc´ıselné hodnoty.

Nyn´ı zkuste cel´ y v´ yraz transponovat a dopoˇc´ıtat. Ã" #" #!T AB T O C = O I I

X


2.3.1

59

ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic

Zaˇcnˇeme nejprve dvˇema pˇr´ıklady. Pˇ r´ıklad 2.25: Uvaˇzujte soustavu rovnic x1 + 3y1 + 2y2 = 7 3y2 + 6x2 = 2 x1 + 4y2 + 3x2 = 3 5x2 + 2y2 + 2y1 = 8 a najdˇete jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ

Ukaˇzme si, jak vyˇreˇsit tuto soustavu pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody.

X

60


Pˇ r´ıklad 2.26: Uvaˇzujte soustavu rovnic x1 + 2x2 = 1 2x1 + 9x2 − 2x3 = 2 2x1 − x2 + 2x3 = 3 a najdˇete jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 2.14 (Frob´ eniova vˇ eta): Necht’ A ∈ Rm×n , b ∈ Rm×1 . Maticov´ a rovnice Ax = b má ˇreˇsen´ı ⇔

¡ ¢ ¡ ¢ hod A = hod [A b ] .

Nav´ıc jestliˇze hod (A) = n, pak má rovnice ˇreˇsen´ı jedno, jestliˇze hod (A) < n, pak má rovnice nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 2.27 (Frob´ eniova vˇ eta): Ovˇeˇrte platnost vˇety 2.14 na pˇr´ıkladech 2.25 a 2.26. ˇ sen´ı: Reˇ

X


61

Pˇ r´ıklad 2.28 (Frob´ eniova vˇ eta): Ovˇeˇrte platnost vˇety 2.14 pro soustavu rovnic x1 + 2x2 = 1 −4x1 − 18x2 + 4x3 = −4 3x1 + 11x2 − 2x3 = 3 3x1 + 16x2 − 4x3 = 3 . ˇ sen´ı: Reˇ

X


62

´ Ulohy

2.4 2.4.1

Aritmetick´ e vektory

Pˇ r´ıklad 2.29: Uvaˇzujte vektory h x1 =

2 1 0

iT

h ,

x2 =

−2,5 −3 5

iT

h ,

x3 =

1,5 2,5 −4

iT

a vypoˇc´ıtejte a) a = x1 − x2 + x3 , b) b = 2x1 − 2x2 + 2x3 , c) c = 4x1 − 3(x2 − 5x3 ), d) d = x2 − (x1 − x3 ), h ³ ¡ ¢í e) e = x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x1 − 5 (x2 + 6x3 ) . Pˇ r´ıklad 2.30: Zjistˇete, zda jsou vektory " # 1 a1 = , 0

" a2 =

0

#

1

lineárnˇe závislé. Zakreslete vektory do kartézsk´ ych souˇradnic a diskutujte Váˇs závˇer tohoto pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 2.31: Pˇridejte k vektor˚ um z pˇr´ıkladu 2.30 vektor " # 2 a3 = 1 a zjistˇete, zda jsou vektory a1 , a2 a a3 lineárnˇe závislé. Zakreslete vektory do kartézsk´ ych souˇradnic a diskutujte Váˇs závˇer tohoto pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 2.32: Naleznˇete vˇsechna t ∈ R tak, aby byly vektory " # " # 1 −2 a1 = , a2 = 2 t lineárnˇe závislé.

´ 2.4. ULOHY

63

Pˇ r´ıklad 2.33: Vyjádˇrete vektor x = [0, 2, −2]T jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u       −3 2 1            a1 =  9  , a2 =  0  , a3 =  −2  . −12 2 3 Pˇ r´ıklad 2.34: Vyjádˇrete vektor x = [4, −5, 5, 6]T jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u       −2 4 2        3   −3   1     .   a3 =  a2 =  a1 =   , , 1 1 0       −3 2 −3 Pˇ r´ıklad 2.35: Zjistˇete, zda jsou vektory     3 1      4   2  ,    , a2 =  a1 =     −1   −2  1 0



1





−2



   3    a4 =    3  −2

   5   a3 =   7 ,   0

lineárnˇe závislé. Pˇ r´ıklad 2.36: Zjistˇete, zda jsou vektory     2 1      7   3    a1 =  a2 =   −2  ,  −2  ,     1 5



1





   4   a3 =   1 ,   3

1



   5   a4 =   1    9

lineárnˇe závislé. Pˇ r´ıklad 2.37: Dokaˇzte, ˇze jsou vektory     1 s        a2 =  s  a1 =  1  , , t t





s    a3 =  t  , 0

kde s, t ∈ R, lineárnˇe závislé. Ovˇeˇrte ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u v Matlabu. Dalˇs´ı pˇr´ıklady si m˚ uˇzete vymyslet ˇ sen´ı lehce ovˇeˇr´ıte bud’ zkouˇskou nebo v poˇc´ıtaˇci. sami. Reˇ


64

2.4.2

Matice

Pˇ r´ıklad 2.38: Urˇcete hodnost následuj´ıc´ıch matic.      1 2 3 1 0 0 1 0 0        C= A= B=  0 0 0   0 4 5  0 1 0  0 0 6 0 0 1 0 0 1





 1 2 3

   D= 2 3 4   6 7 1

  

Pˇ r´ıklad 2.39: Urˇcete hodnost následuj´ıc´ıch matic.   2 3 −5        2 1 1 2 −1  1 0 4          G= 3 0 E= 2 2 1  F =  3 3 −1     1 3 −9  −5 4 1 4 0   5 6 −6    1 2 3 1       4 5 6   2 5 6 4 2 1           H= 5 7 9  K= 3 J = 7 5 9 4 4      6 9 12   4 9 6 12 3 6    2 4 6 5

 3

1

3

3

5

 6   −1 −9 −6

3 5

7

4 6

8

9



 10    5 7 9 1   6 8 10 2   7 9 1 3

Pˇ r´ıklad 2.40: Urˇcete takové r ∈ R, aby mˇely následuj´ıc´ı matice nejmenˇs´ı hodnost.     3 1 2 1 2 0        M =  3 + 3r 2 L =  2 r −2  4   9 + 3r 4 6 + 2r 2 −1 2 Pˇ r´ıklad 2.41: Urˇcete hodnost matice J v závislosti na parametru ϕ ∈ h0, π/2i, kde " # 1 0 N= . cos ϕ sin ϕ Zakreslujte pˇr´ısluˇsné vektory (tvoˇrené sloupci matice J ) do kartézsk´ ych souˇradnic a diskutujte hodnost matice J v závislosti na parametru ϕ. Pˇ r´ıklad 2.42:  1   4   P = 7   10  13

Urˇcete hodnost následuj´ıc´ıch   1 2 3    3 5 6      Q= 5 8 9     7 11 12    9 14 15

matic.  2  4    6   8   10



3 2 1 2 3

  2 1 0   R= 1 0 8   2 1 0  3 2 1



 1 2    0 1   1 2   2 3

´ 2.4. ULOHY 



 3    7 −11 9 11 4 8 0   4 −7 8 0 −1 8 5    1 −4 3 11 3 0 5    4 −7 8 0 −1 8 −3   0 0 0 0 0 0 0    1 2 3 4 5 6 7   −1 −2 −3 −4 −5 −6 0   1 −4 3 11 3 0 5

          T =          

           S=          

65

1

−4

3

11

3

0

3

−4

1

11

5

0

Pˇ r´ıklad 2.43: Urˇcete hodnost matic   1 6 3 4   , U = 0 s + 4 −2 s + 3   2 s + 12 10 s + 6

5

3

11

3

0

1

11

5

0



 3    9 11 4 8 0   8 0 −1 8 5    3 11 3 0 5    8 0 −1 8 −3   0 0 0 0 0    3 4 5 6 7   −3 −4 −5 −6 0   3 11 3 0 5





5



 3

1 2 3

4 1

  , W = s 2 0   s2 3 5

  , V = 3 2 1   s 5 8

kde s ∈ R. Ovˇeˇrte ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u v Matlabu. Pro v´ ypoˇcet hodnosti matice pouˇzijte jednak funkci rank, jednak funkci svd. Diskutujte odpovˇed’“ Matlabu v závislosti na ” nastavené toleranci ve funkci rank. Dalˇs´ı pˇr´ıklady si m˚ uˇzete vymyslet sami.

2.4.3

Maticov´ a algebra

Pˇ r´ıklad 2.44: Uvaˇzujte následuj´ıc´ı matice. " A=

2 4 4

#

" B=

1 2 3

" E=

1 2 2 1

1 1 2

#

4 5 3

#

" F =



 1 2

   C= 5 6   7 1

1 0 1 1

#





 1 1

   D= 2 0   1 2 

1    G=  4  3

Urˇcete A + B, C + D, E − F , AB, BC, AC, AD, BD, AE, EA, BF , F B, F D, AG, BG. Diskutujte vlastnosti maticové algebry.

66


Pˇ r´ıklad 2.45: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıkladu 2.44. Urˇcete A(EF ), (AE)F , C(BD), ¡ ¢T (CB)D, (AD)T , D T AT , (EF B)T , B T F T E T , (2A + B)T E, GT DE, (AT + 2C)E , F F T . Diskutujte vlastnosti maticové algebry. Pˇ r´ıklad 2.46: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıkladu 2.44. Urˇcete " # " # h i2 A A 2 3 2 C, D, E , E , F , , D G B GT " #" # " #" # F 0 CG E 0 CG , , 0 F GT 0 E GT " # h i F 0 T . GT C T G 0 F Diskutujte vlastnosti maticové algebry. ˇ ste ˇra´dkové a sloupcové u Pˇ r´ıklad 2.47: Reˇ ´pravy v pˇr´ıkladech 2.38 aˇz 2.43 pomoc´ı maticového násoben´ı (podobnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 2.23). Pˇ r´ıklad 2.48: Urˇcete kolik ˇreˇsen´ı má následuj´ıc´ı soustava rovnic. 2x1 + 3x3 + 6x2 = 5 5x2 + 6x3 = −8 x1 + x2 + x3 = 0 Pokud nˇejaká ˇreˇsen´ı existuj´ı, pak je najdˇete pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. Pˇ r´ıklad 2.49: Urˇcete kolik ˇreˇsen´ı má následuj´ıc´ı soustava rovnic. 2x1 + 2y1 + 3x2 = 7 6x2 + 3y2 = 2 4x1 − 6x2 + 4y1 − 6y2 = 10 −9x2 + 2y1 − 6y2 = 3 Pokud nˇejaká ˇreˇsen´ı existuj´ı, pak je najdˇete pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. Pˇ r´ıklad 2.50: Urˇcete kolik ˇreˇsen´ı má následuj´ıc´ı soustava rovnic. x1 + x2 + y1 + y2 = 4 −6x2 − 9y2 − 12y1 = −6 x1 − x2 − 3y1 − 2y2 = 3 Pokud nˇejaká ˇreˇsen´ı existuj´ı, pak je najdˇete pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody.


67

Pˇ r´ıklad 2.51: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıkladu 2.44 a urˇcete poˇcet ˇreˇsen´ı soustavy rovnic Cx = G pro neznámou x. Pˇ r´ıklad 2.52: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıkladu 2.44 a urˇcete poˇcet ˇreˇsen´ı soustavy rovnic h i C D x=G pro neznámou x. Ovˇeˇrte ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u v Matlabu. Dalˇs´ı pˇr´ıklady si m˚ uˇzete vymyslet sami, vyˇreˇsit je a poté zkontrolovat pomoc´ı zkouˇsky nebo napˇr´ıklad v Matlabu.

2.5 2.5.1

Ot´ azky ke zkouˇ sce Nutn´ e znalosti ke zkouˇ sce

• Umˇet urˇcit, zda jsou vektory lineárnˇe závislé ˇci nezávislé. • Umˇet urˇcit hodnost matice. • Umˇet pˇrepsat soustavu rovnic do maticového tvaru a naopak. • Umˇet sˇc´ıtat a násobit matice. • Znát a umˇet pouˇz´ıvat Frobéniovu vˇetu. • Umˇet pouˇz´ıvat Gaussovu eliminaˇcn´ı metodu.

2.5.2


• Dokaˇzte vˇetu 2.1. • Dokaˇzte vˇetu 2.3. • Dokaˇzte vˇetu 2.5. • Dokaˇzte vˇetu 2.10.

68

´ A MATICOVA ´ ALGEBRA KAPITOLA 2. VEKTOROVA • Dokaˇzte pomoc´ı vˇety 2.11, ˇze plat´ı následuj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 2.15: Necht’ A, B, C ∈ Rn×n , pak plat´ı (ABC)T = C T B T AT . Vˇ eta 2.16: Necht’ A, B, C ∈ Rn×n , pak plat´ı ¡

(A + B)C

¢T

= C T AT + C T B T .


69

70



71

72


Kapitola 3 Maticov´ y poˇ cet V kapitole 2 jsme se seznámili s pojmy vektor, matice, lineárn´ı závislost vektor˚ u, hodnost matice a tak dále. Na konci kapitoly jsme si ˇrekli Frobéniovu vˇetu, která nám ˇr´ıká, zda má daná soustava lineárn´ıch rovnic ˇreˇsen´ı a kolik jich je. Nakonec jsme se seznámili s Gaussovou eliminaˇcn´ı metodou, která

Ax = b ⇓ x = A−1b

je jednou z nejzákladnˇejˇs´ıch numerick´ ych metod pro ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. Tyto pojmy jsou základn´ımi stavebn´ımi kameny pro c´ıl lineárn´ı algebry, kter´ ym je ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. V této kapitole se nejprve zamˇeˇr´ıme na ty soustavy rovnic, které vedou na ˇctvercovou matici soustavy. Zavedeme si nové dva pojmy, kter´ ymi jsou determinant matice a inverzn´ı matice a nauˇc´ıme se je poˇc´ıtat. To samozˇrejmˇe v dobˇe v´ ypoˇcetn´ı techniky na dneˇsn´ı u ´rovni nemá velk´ y v´ yznam, ale je d˚ uleˇzité tyto principy pochopit právˇe proto, abychom s poˇc´ıtaˇci mohli efektivnˇe pracovat. V dalˇs´ı ˇca´sti si ukáˇzeme, jak vyuˇz´ıt tak zvané Cramerovo pravidlo. To je v´ yhodné pouˇz´ıt v momentˇe, kdy nás zaj´ımá jen nˇekterá neznámá v soustavˇe rovnic. V závˇeru kapitoly pˇrehlednˇe shrneme vˇsechny zp˚ usoby a moˇznosti, jak ˇreˇsit soustavy lineárn´ıch rovnic a nauˇc´ıme se systematick´ y postup, jak vˇzdy doj´ıt k c´ıli, to je k nalezen´ı vˇsech ˇreˇsen´ı dané soustavy lineárn´ıch rovnic. ˇ ´ , M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B., 2000; Krajn´ık, E., 2004), Cerpat budeme opˇet z (Demlova ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 73

´ POCET ˇ KAPITOLA 3. MATICOVY

74

3.1

Determinant matice

Zopakujme si nejprve pojmy ˇctvercová matice, hlavn´ı (vedlejˇs´ı) diagonála a plná hodnost matice. Dále zaˇcneme s pˇr´ıkladem, kter´ y moˇzná znáte. Pˇ r´ıklad 3.1: Uvaˇzujte, ˇze máte ˇsachovnici velikosti n × n, n ∈ N. Rozm´ıstˇete na tuto ˇsachovnici n vˇeˇz´ı tak, aby se vzájemnˇe neohroˇzovali“. Kolik je moˇznost´ı, jak vˇeˇze roz” m´ıstit? ˇ sen´ı: Zaˇcnˇeme s triviáln´ım pˇr´ıpadem, kdy n = 2. Reˇ

ˇ Obrázek 3.1: Sachovnice velikosti 2 × 2

Poˇcet moˇznost´ı, jak rozm´ıstit 2 vˇeˇze je ... . Nyn´ı pro n = 3.


Poˇcet moˇznost´ı, jak rozm´ıstit 3 vˇeˇze je ... . Dále pro n = 4.


Poˇcet moˇznost´ı, jak rozm´ıstit 4 vˇeˇze je ... . Obecnˇe m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze moˇznost´ı, jak rozm´ıstit n vˇeˇz´ı, je ... .

X

3.1. DETERMINANT MATICE

75

Proˇc jsme se t´ımto zab´ yvali? Pom˚ uˇze nám to zadefinovat následuj´ıc´ı pojem, kter´ ym je determinant ˇctvercové matice. Definice 3.1 (Determinant matice): Determinantem A ∈ Rn×n rozum´ıme reálné ˇc´ıslo znaˇcené det (A), které je souˇctem n souˇcin˚ u tvaru Y (−1)i+j aij , ij

kde v ˇzádném souˇcinu ˇc´ısel aij se nevyskytuj´ı dvˇe ˇc´ısla z téhoˇz ˇra´dku ani z téhoˇz sloupce.I Tato definice je asi ponˇekud krkolomná, proto si ˇrekneme vˇetu, podle které budeme determinanty matic poˇc´ıtat. Vˇ eta 3.1: Necht’ A ∈ Rn×n, n > 2, pak determinant A vypoˇc´ıt´ ame takto ¯ ¯ n n ¯ ¯ X X ¯ ¯ij )¯ = . . . = ¯ij )¯¯ det (A) = (−1)i+j aij det (A (−1)i+j aij det (A ¯ ¯ j=1

=

n X i=1

j=1

i=1

¯ ¯ ¯ij )¯¯ (−1)i+j aij det (A ¯

= ... = j=1

n X i=1

= (3.1) i=n

¯ ¯ ¯ij )¯¯ (−1)i+j aij det (A ¯

, j=n

¯ij je submatice, která vznikne vynech´ kde A an´ım i-tého ˇr´ adku a j-tého sloupce v matici A, 2×2 ¯∈R aˇz determinant submatice A je " # ¯ = a11 a12 ¯ = a11 a22 − a12 a21 . A ⇒ det (A) (3.2) a21 a22 D˚ ukaz: Dokaˇzme nejprve pravidlo (3.2).

Poté pravidlo (3.1), které si zjednoduˇs´ıme pro n = 3.


76 Pˇ r´ıklad 3.2: Urˇcete determinant matice 

 1 2 3

  . A= 5 8 1   2 3 1 ˇ sen´ı: Podle vˇety 3.1 m˚ Reˇ uˇzeme provést rozvoj podle libovolného ˇrádku ˇci sloupce. Zkusme tedy vypoˇc´ıtat determinant matice A rozvojem podle 1. ˇra´dku.

Nyn´ı zkus´ıme vypoˇc´ıtat determinant matice A rozvojem podle ... sloupce. V´ ysledek mus´ı b´ yt samozˇrejmˇe stejn´ y.


77

Zkuste si sami vypoˇc´ıtat determinant matice A rozvojem podle dalˇs´ıch ˇrádk˚ u ˇci sloupc˚ u. V´ ysledky mus´ı b´ yt opˇet stejné.

X


78

Vˇ eta 3.2: Necht’ A ∈ Rn×n je horn´ı nebo doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a nebo diagonáln´ı matice, potom det (A) =

n Y

aii

∀i = 1, 2, . . . , n.

i=1

D˚ ukaz:


X


79

Vˇ eta 3.3: Necht’ A ∈ Rn×n . Zamˇen´ıme-li v A libovolné dva ˇr´ adky, potom determinant vzniklé matice je roven − det (A). Pˇ r´ıklad 3.4: Ovˇeˇrte na nˇejakém pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.3. ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 3.4: Necht’ A ∈ Rn×n . Má-li A libovolné dva ˇr´ adky stejné, potom det (A) = 0. D˚ ukaz:


X

80


Vˇ eta 3.5: Necht’ A ∈ Rn×n . Vynásob´ıme-li jeden ˇrádek A ˇc´ıslem α ∈ R, potom determinant vzniklé matice je roven α det (A). D˚ ukaz:


X Vˇ eta 3.6: Necht’ A ∈ Rn×n . Jestliˇze k jednomu ˇr´ adku A pˇriˇcteme skalárn´ı násobek jiného ˇr´ adku A, potom se jej´ı determinant nezmˇen´ı. D˚ ukaz:


X


81

Z vˇety 3.6 pˇr´ımo plyne následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 3.7: Necht’ A ∈ Rn×n . Jestliˇze k jednomu ˇr´ adku A pˇriˇcteme lineárn´ı kombinaci ostatn´ıch ˇr´ adk˚ u A, potom se jej´ı determinant nezmˇen´ı. D˚ ukaz:


X Pozn´ amka: Jestliˇze ve vˇetách 3.3 aˇz 3.7 nahrad´ıme term´ın ˇra´dek“ term´ınem sloupec“, ” ” pak dostaneme pravdivá tvrzen´ı. Dále plat´ı det(A) = det(AT ). 2 Vˇ eta 3.8 (Laplaceova vˇ eta): Necht’ A, B ∈ Rn×n . Potom plat´ı det (AB) = det (A) det (B). D˚ ukaz:

82



X Pozn´ amka: Poznamenejme, ˇze obdobná vˇeta jako je vˇeta 3.9 pro souˇcet matic neplat´ı.2 Vˇ eta 3.9: Necht’ A ∈ Rn×n . Potom pro α ∈ R plat´ı det (αA) = αn det (A). D˚ ukaz:


X


83

Definice 3.2 (Regul´ arn´ı/singul´ arn´ı matice): Matici A ∈ Rn×n nazveme regul´ arn´ı ⇔ det (A) 6= 0. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ji nazveme singulárn´ı. Vˇ eta 3.10: Necht’ A ∈ Rn×n , potom jsou následuj´ıc´ı podm´ınky ekvivalentn´ı: • A je regul´ arn´ı, to je det (A) 6= 0, • hod (A) = n, • ˇr´ adky A jsou lineárnˇe nezávislé, • sloupce A jsou lineárnˇe nezávislé. D˚ ukaz:

Vˇ eta 3.11: Necht’ A ∈ Rn×n , potom jsou následuj´ıc´ı podm´ınky ekvivalentn´ı: • A je singulárn´ı, to je det (A) = 0, • hod (A) < n, • ˇr´ adky A jsou lineárnˇe závislé, • sloupce A jsou lineárnˇe závislé. D˚ ukaz: D˚ ukaz je analogick´ y s d˚ ukazem vˇety 3.10.

I

84


Pˇ r´ıklad 3.11: Ovˇeˇrte na nˇejakém pˇr´ıkladˇe platnost vˇety 3.10 nebo 3.11. ˇ sen´ı: Reˇ

X


3.1.1

85


V pˇredchoz´ım odstavci jsme si zadefinovali pojem determinant matice a uvedli jsme si nˇekolik pouˇcek. Nyn´ı si ukáˇzeme, jak tˇechto znalost´ı vyuˇz´ıt k ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. Nauˇc´ıme se tak zvané Cramerovo pravidlo. Vˇ eta 3.12 (Cramerovo pravidlo): Necht’ Ax = b je soustava lineárn´ıch rovnic s regul´ arn´ı A ∈ Rn×n . Potom pro ˇreˇsen´ı x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T plat´ı xi =

det (B i ) , det (A)

kde B i je matice, která vznikne z A nahrazen´ım i-tého sloupce sloupcem pravých stran b. Pˇ r´ıklad 3.12 (Cramerovo pravidlo): Uvaˇzujte soustavu rovnic x1 + 3x2 + x3 = 40 2x1 + 7x2 + 4x3 = 95 x1 + 4x2 + 4x3 = 75 a urˇcete x3 . ˇ sen´ı: Reˇ

X Pozn´ amka: Kdy je v´ yhodné pouˇz´ıt k ˇreˇsen´ı soustavy rovnic Cramerovo pravidlo?

2


86

3.2

Inverzn´ı matice

Zopakujme si nejprve, jak m˚ uˇzeme zapsat následuj´ıc´ı zlomky, pokud se jedná o ˇc´ısla: b 1 = = a a U matic je to podobné, jen mus´ıme nav´ıc zachovávat poˇrad´ı stejnˇe, jako tomu bylo u násoben´ı matic. Uved’me si definici inverzn´ı matice. Definice 3.3 (Inverzn´ı matice): Necht’ A ∈ Rn×n . Potom A−1 ∈ Rn×n nazveme inverzn´ı k A ⇔ AA−1 = I = A−1 A . ¡ ¢−1 Dále plat´ı A−1 = A.

I

Vˇ eta 3.13: Pokud k A ∈ Rn×n ∃A−1 ∈ Rn×n , pak A−1 je urˇcen´ a jednoznaˇcnˇe. D˚ ukaz (sporem): Pˇredpokládejme, ˇze X a Y jsou inverzn´ı k A a ˇze X 6= Y .

Vˇ eta 3.14: Necht’ A ∈ Rn×n má det (A), pak det (A−1 ) =

1 . det (A)

D˚ ukaz (pˇ r´ım´ y):

ˇ ıslo dij ∈ R nazveme doplˇ Definice 3.4 (Matice doplˇ nk˚ u): Necht’ A ∈ Rn×n . C´ nkem matice A pˇr´ısluˇsn´ ym pozici (i, j) ⇔ ¯ij ) , dij = (−1)i+j det (A ¯ij ∈ R(n−1)×(n−1) je submatice, která vznikla z A vynechán´ım i-tého ˇra´dku a j-tého kde A sloupce v A. Matici D A = [dij ] ∈ Rn×n naz´ yváme matic´ı doplˇ nk˚ u matice A.

I

3.2. INVERZNÍ MATICE

87

Vˇ eta 3.15: Necht’ A ∈ Rn×n . 1. Je-li A singul´ arn´ı, pak ¬∃A−1 . 2. Je-li A regul´ arn´ı, pak ∃A−1 ∈ Rn×n a plat´ı A−1 =

1 DA , det (A)

kde D A je matice doplˇ nk˚ u matice A. Pˇ r´ıklad 3.13: Vypoˇc´ıtejte inverzn´ı matici  3  A=  2 1 ˇ sen´ı: Nejprve spoˇc´ıtáme Reˇ det (A) =

Pak vyˇc´ısl´ıme jednotlivé doplˇ nky d11 =

k matici 1 −1 −2

−5



 0  . 1


88 Sestav´ıme matici doplˇ nk˚ u DA =

A nakonec vyˇc´ısl´ıme A−1 =

X Pˇ r´ıklad 3.14: Vypoˇc´ıtejte inverzn´ı matici k matici " # 3 −1 A= . −2 −1 ˇ sen´ı: Nejprve spoˇc´ıtáme Reˇ det (A) =

Pak vyˇc´ısl´ıme jednotlivé doplˇ nky d11 =

Sestav´ıme matici doplˇ nk˚ u DA =

A nakonec vyˇc´ısl´ıme A−1 = Odtud m˚ uˇzeme napsat následuj´ıc´ı pouˇcku.

X


89

Vˇ eta 3.16: Necht’ A ∈ R2×2 a ∃A−1 , pak plat´ı " " # # a −a a11 a12 1 22 12 A= ⇒ A−1 = det (A) −a21 a11 a21 a22


Vˇ eta 3.17: Necht’ A, B ∈ Rn×n . a) Je-li A singul´ arn´ı ∨ B singul´ arn´ı, potom AB je singulárn´ı. b) Je-li A regul´ arn´ı ∧ B regul´ arn´ı, potom AB je regul´ arn´ı a plat´ı (AB)−1 = B −1 A−1 .


(3.3)


90


X Vˇ eta 3.18: Necht’ A ∈ Rn×n a m ∈ N. • A0 =

Om =

• A1 = • A2 =

Im = ´m ³ = A−1

• Am =

´T ³ A−1 =

Pˇ r´ıklad 3.16: Vypoˇc´ıtejte A2i je-li " A1 =

1 0 0 1

# ,



 1 0 2

  . A2 =  3 6 5   0 3 2

ˇ sen´ı: Reˇ

X


91

Pˇ r´ıklad 3.17 (V´ ypoˇ cet inverzn´ı matice pomoc´ı ekvivalentn´ıch u ´ prav): Vypoˇc´ıtejte A−1 z pˇr´ıkladu 3.13 pomoc´ı ekvivalentn´ıch u ´prav. ˇ sen´ı: Nejprve zap´ıˇseme Reˇ ¯  ¯ 3 1 −5 ¯ ¯ £ ¤  ¯ A| I =  2 −1 0 ¯  ¯ 1 −2 1 ¯

matici A a vedle n´ı jednotkovou matici pˇr´ısluˇsn´ ych rozmˇer˚ u  1 0 0  0 1 0   0 0 1

Vzpomeˇ nme si na vˇetu 2.13 a vypoˇc´ıtejme A−1 t´ımto zp˚ usobem.

X


92

Pˇ r´ıklad 3.18: Vyjádˇrete z následuj´ıc´ı rovnice promˇennou x. y = A−1 (Bx + Cx) − x ˇ sen´ı: Upravy ´ Reˇ rovnice jsou stejné, jaké uˇz znáte ze základn´ı ˇskoly plus mus´ıme zachovat poˇrad´ı násoben´ı.

X Pˇ r´ıklad 3.19: Vyjádˇrete z následuj´ıc´ı rovnice promˇennou x. y = xA + xB − x ˇ sen´ı: Reˇ

X

3.2.1


V pˇredchoz´ım odstavci jsme si zadefinovali pojem inverzn´ı matice a uvedli jsme si nˇekolik pouˇcek. Nyn´ı si ukáˇzeme, jak vyuˇz´ıt inverzn´ı matice k ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. Vˇ eta 3.19: Necht’ Ax = b je soustava lineárn´ıch rovnic s regul´ arn´ı A ∈ Rn×n . Potom pro ˇreˇsen´ı plat´ı x = A−1 b . D˚ ukaz:


93

Pˇ r´ıklad 3.20: Uvaˇzujte soustavu rovnic z pˇr´ıkladu 3.12 x1 + 3x2 + x3 = 40 2x1 + 7x2 + 4x3 = 95 x1 + 4x2 + 4x3 = 75 a urˇcete jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pozn´ amka: Kdy je v´ yhodné pouˇz´ıt k ˇreˇsen´ı soustavy rovnic inverzn´ı matici?

2


94

3.3

Soustavy line´ arn´ıch rovnic – pˇ rehled

V pˇredchoz´ım textu jsme se se soustavami lineárn´ıch rovnic nˇekolikrát setkali. Nˇekdy jsme si i ukázali, jak se daná soustava ˇreˇs´ı. Zopakujme si, co jiˇz v´ıme: • • • • • V tomto odstavci si doposud nashromáˇzdˇené znalosti utˇr´ıd´ıme a to, co jeˇstˇe nev´ıme, si pov´ıme. Udˇeláme si zde kompletn´ı pˇrehled, jak ˇreˇsit soustavy rovnic ve vˇsech konkrétn´ıch pˇr´ıpadech.

3.3.1

Homogenn´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic

Definice 3.5 (Soustava line´ arn´ıch rovnic): Necht’ A ∈ Rm×n a b ∈ Rm , potom rovnici Ax = b

(3.4)

ˇ sen´ım soustavy (3.4) je naz´ yváme soustavou m linerán´ıch rovnic pro n neznám´ ych xi . Reˇ kaˇzd´ y vektor x, kter´ y vyhovuje rovnici (3.4).

I

Pozn´ amka: Z maticového násoben´ı v´ıme, ˇze m˚ uˇzeme rovnici (3.4) rozepsat takto = b1 = b2 .. . = bm−1 = bm

2

´ ÍCH ROVNIC – PREHLED ˇ 3.3. SOUSTAVY LINEARN

95

Definice 3.6 (Homogenn´ı soustava line´ arn´ıch rovnic): Soustavu rovnic (3.4) nazveme homogenn´ı ⇔ b = 0.

I

Vˇ eta 3.20: Homogenn´ı soustava lineárn´ıch rovnic Ax = 0 má vˇzdy alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı a to tak zvané triviáln´ı ˇreˇsen´ı x = 0.

D˚ ukaz: Nejprve ukáˇzeme pomoc´ı Frobéniovy vˇety, ˇze alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı existuje.

Poté ukáˇzeme, ˇze x = 0 je ˇreˇsen´ım rovnice Ax = 0.

Vˇ eta 3.21: Homogenn´ı soustava lineárn´ıch rovnic Ax = 0, kde A je regul´ arn´ı matice, m´ a pouze jedno ˇreˇsen´ı a to právˇe triviáln´ı ˇreˇsen´ı x = 0.

D˚ ukaz: K d˚ ukazu této vˇety vyuˇzijeme existenci A−1 .

Vˇ eta 3.22: Jsou-li u1 , u2 , . . . , uk ∈ Rn ˇreˇsen´ımi homogenn´ı soustavy lineárn´ıch rovk P nic Ax = 0, pak lineárn´ıch kombinace αi ui je také ˇreˇsen´ım této homogenn´ı soustavy. i=1

D˚ ukaz:


96

Nyn´ı si ukáˇzeme na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe, jak nalézt vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. Pˇ r´ıklad 3.21: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 7x1 + 10x2 + 4x3 − x4 = 0 x1 − 3x2 − 26x3 + 22x4 = 0 ˇ sen´ı: Nejprve pˇrep´ıˇseme soustavu rovnic do maticového tvaru Ax = 0. Reˇ

Dále uprav´ıme maticovou rovnici na horn´ı troj´ uheln´ıkovou“ pomoc´ı Gaussovy eli” minaˇcn´ı metody.

Je-li A regulárn´ı, pak x = 0. Nen´ı-li A regulárn´ı, pak pˇrep´ıˇseme maticov´ y tvar zpˇet na soustavu rovnic.

Vzniklou soustavu pˇrep´ıˇseme tak, aby vlevo bylo jen h neznám´ ych, kde h = hod {A}.


97

Za neznámé vpravo provedeme n − h libovoln´ ych voleb, aby tyto volby byly lineárnˇe nezávislé.

Pro kaˇzdou takovou volbu dopoˇc´ıtáme neznáme z levé strany.

Vˇsechna ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı soustavy rovnic zap´ıˇseme jako lineárn´ı kombinaci tˇechto nalezen´ ych ˇreˇsen´ıch x=

Ovˇeˇrte sami pomoc´ı zkouˇsky, ˇze tyto ˇreˇsen´ı vyhovuj´ı p˚ uvodn´ı soustavˇe rovnic.

Z ˇreˇsen´ı tohoto pˇr´ıkladu m˚ uˇzeme zapsat následuj´ıc´ı vˇetu.

X

Vˇ eta 3.23: Homogenn´ı soustava lineárn´ıch rovnic Ax = 0 m´ a n − h line´ arnˇe nezávislých ˇreˇsen´ı, kde h = hod (A) a n je poˇcet neznámých.


98

3.3.2

Nehomogenn´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic

Definice 3.7 (Nehomogenn´ı soustava line´ arn´ıch rovnic): Soustavu rovnic (3.4) nazveme nehomogenn´ı ⇔ b 6= 0. Soustavu rovnic, která vznikne ze soustavy (3.4) tak, ˇze poloˇz´ıme pravou stranu rovnu nule, to je Ax = 0, nazveme pˇridruˇzenou homogenn´ı soustavou k soustavˇe (3.4).

I

Zopakujme si (nehod´ıc´ı se ˇskrtnˇete): • Z Frobéniovy vˇety v´ıme, ˇze nehomogenn´ı soustava mus´ı/nemus´ı m´ıt ˇreˇsen´ı. • Nehomogenn´ı soustava má/nemá triviáln´ı ˇreˇsen´ı. • Lineárn´ı kombinace ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy mus´ı/nemus´ı b´ yt ˇreˇsen´ım této soustavy. • Pro regulárn´ı A plat´ı x = . . . . . .. Vˇ eta 3.24: Jsou-li x ˆ1 a x ˆ2 dvˇe ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy (3.4), pak x ˜=x ˆ1 − x ˆ2 je ˇreˇsen´ım pˇridruˇzené homogenn´ı soustavy.

D˚ ukaz:

Vˇ eta 3.25: Je-li x ˆ ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı soustavy (3.4) a x ˜ ˇreˇsen´ım pˇridruˇzené homogenn´ı soustavy, pak x ˆ+x ˜ je ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı soustavy.

D˚ ukaz:

Vˇ eta 3.26: Je-li x ˆ jedno ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy (3.4), potom vˇsechna ˇreˇsen´ı této soustavy dostaneme jako x = x ˆ+x ˜, kde x ˜ je libovolné ˇreˇsen´ı pˇridruˇzené homogenn´ı soustavy.


99

Pˇ r´ıklad 3.22: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 3 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 1 7x1 + 10x2 + 4x3 − x4 = −11 x1 − 3x2 − 26x3 + 22x4 = −37 ˇ sen´ı: Nejprve nalezneme jedno ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy rovnic. Reˇ A) Pˇrep´ıˇseme soustavu rovnic do maticového tvaru Ax = b.

B) Dále uprav´ıme maticovou rovnici na horn´ı troj´ uheln´ıkovou“ pomoc´ı Gaussovy eli” minaˇcn´ı metody.

C) Pˇrep´ıˇseme maticov´ y tvar zpˇet na soustavu rovnic.

D) Najdeme nˇejaké ˇreˇsen´ı této soustavy (nˇekteré promˇenné vol´ıme, druhé z nich dopoˇc´ıtáme).


100

Druh´ ym krokem je nalezen´ı vˇsech ˇreˇsen´ı pˇridruˇzené homogenn´ı soustavy Ax = 0. Ty jsme nalezli jiˇz v pˇr´ıkladˇe 3.21 x ˜=

Tˇret´ım krokem je, ˇze zap´ıˇseme vˇsechna ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı zadané soustavy x=x ˆ+x ˜=

Ovˇeˇrte sami pomoc´ı zkouˇsky, ˇze tyto ˇreˇsen´ı vyhovuj´ı p˚ uvodn´ı soustavˇe rovnic.

X


3.3.3

101

Soustavy line´ arn´ıch rovnic s parametrem

Nˇekdy jsme v situaci, kdy je tˇreba ˇreˇsit soustavu rovnic (3.4), v n´ıˇz nˇekteré prvky matice A nebo vektoru b nejsou udány jako ˇc´ısla, ale jako parametry, které mohou nab´ yvat libovoln´ ych hodnot z nˇejakého intervalu. Zopakujme si jen v rychlosti na následuj´ıc´ıch dvou pˇr´ıkladech, jak se ˇreˇs´ı rovnice a nerovnice s parametrem. V podstatˇe se na parametr d´ıváme jako na nˇejakou promˇennou, která m˚ uˇze nab´ yvat libovoln´ ych hodnot (z daného intervalu). Proto mus´ıme pˇri ˇreˇsen´ı rovnice s parametrem ohl´ıdat vˇsechny kritické u ´pravy“. U soustav lineárn´ıch rovnic je ” postup obdobn´ y. Pˇ r´ıklad 3.23 (Rovnice s parametrem): Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice p − 2x = 2p x − 1 , kde p je parametr. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 3.24 (Nerovnice s parametrem): Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı nerovnice p − 2x ≥ 2p x − 1 , kde p je parametr. ˇ sen´ı: Reˇ

X


102

Pˇ r´ıklad 3.25 (Soustava rovnic s parametrem): Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı soustavy rovnic −x1 + px2 + 3x3 = −1 −2x1 + x2 + px3 = −3 x1 − 5x2 − 7x3 = 0 ´, M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B., 2000). v závislosti na parametru p. Pˇrevzato z (Demlova ˇ sen´ı: Nejprve zjist´ıme, pro které hodnoty parametru p je matice soustavy regulárn´ı. Reˇ

Odtud vid´ıme, ˇze mus´ıme ˇreˇsit zvláˇst’ tˇri pˇr´ıpady. A) Prvn´ı pˇr´ıpad:

´ ÍCH ROVNIC – PREHLED ˇ 3.3. SOUSTAVY LINEARN B) Druh´ y pˇr´ıpad:

103

104


C) Tˇret´ı pˇr´ıpad:

X

´ 3.4. ULOHY

3.4 3.4.1

105

´ Ulohy Determinant matice

Pˇ r´ıklad 3.26: Urˇcete determinanty následuj´ıc´ıch matic. " # " # " # 1 2 1 1 2 1 5 A= B= C= 3 4 5 3 4 8 2 Pˇ r´ıklad 3.27: Urˇcete determinanty následuj´ıc´ıch matic. · ¸ h i h 3 3 3 i 1 0 3 4 1 2 4 5 6 0 2 E= 581 F = −6 −6 −9 G= 9815 1 2 3

1

1

2

" D=

1 0

#

0 1

· H=

1 0 2 3

1 0 4 2

1 2 0 0

0 0 3 0

1 5 0 4

¸

Pˇ r´ıklad 3.28: Ze znalosti ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.27 urˇcete determinanty následuj´ıc´ıch matic. · ¸ · ¸ h i h 1 1 2 i 5 6 0 2 2 0 0 4 1 2 4 1 0 3 4 0 2 0 5 J = 123 K = −6 −6 −9 L= 1023 M = 4030 5 8 1

3

3

3

9 8 1 5

1 1 0 1

Pˇ r´ıklad 3.29: Urˇcete determinanty následuj´ıc´ıch matic.   # " # " 1 2 2   1 5 1 2  Q= P = N=  3 4 3  8 2 1 2 1 2 2

" R=

1 5

#

9 7

Pˇ r´ıklad 3.30: Ze znalosti ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 3.27 urˇcete determinanty následuj´ıc´ıch matic. · ¸ · ¸ h i h 1 −6 3 i 5 1 1 9 2 0 4 1 1 1 5 6 0 0 8 0 2 0 1 S= 228 T = 1 −6 3 U = 0321 V = 0030 4 3 1

2 −9 3

2 4 3 5

4 5 0 1

Pˇ r´ıklad 3.31: Urˇcete determinanty následuj´ıc´ıch matic. h W =

1 1 5 0 2 8 0 0 1

i X=

h1

0 0 1 −6 0 2 −9 3

i Y =

h1

1 2 0 −6 −9 0 0 3

·

i Z=

5 0 0 0

0 3 0 0

0 0 2 0

0 0 0 5

¸

Pˇ r´ıklad 3.32: Uvaˇzujte matice z pˇr´ıklad˚ u 3.26 aˇz 3.31 a urˇcete determinanty následuj´ıc´ıch matic. BCD

EF

GH

J KLM

UT

W XY

Pˇ r´ıklad 3.33: Urˇcete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı Cramerova pravidla. 2x1 + 3x3 + 6x2 = 5 5x2 + 6x3 = −8 x1 + x2 + x3 = 0


106

Pˇ r´ıklad 3.34: Urˇcete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı Cramerova pravidla. 2x1 + 2y1 + 3x2 = 7 6x2 + 3y2 = 2 4x1 − 6x2 + 4y1 − 6y2 = 10 −9x2 + 2y1 − 6y2 = 3 Pˇ r´ıklad 3.35: Urˇcete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı Cramerova pravidla. x1 + x2 + y1 + y2 = 4 −6x2 − 9y2 − 12y1 = −6 x1 − x2 − 3y1 − 2y2 = 3

3.4.2

Inverzn´ı matice

Pˇ r´ıklad 3.36: Uvaˇzujte následuj´ıc´ı matice a urˇcete k nim matice inverzn´ı. " # " # " # " # 1 2 1 1 2 1 2 1 0 A= B= C= D= 3 4 5 2 4 2 5 0 1 ˇ sen´ı hledejte obˇema zp˚ Reˇ usoby (pˇres matici doplˇ nk˚ u i pˇres ekvivalentn´ı u ´pravy). Pˇ r´ıklad 3.37: Uvaˇzujte následuj´ıc´ı matice a urˇcete k nim matice inverzn´ı. · ¸ h 3 1 −5 i h i h i 1 0 0 0 1 2 3 1 0 0 0 2 0 0 E = 2 −1 0 F = 021 G= 010 H = 0030 1 −2 1

3 0 0

0 0 1

0 0 0 4

ˇ sen´ı hledejte obˇema zp˚ Reˇ usoby (pˇres matici doplˇ nk˚ u i pˇres ekvivalentn´ı u ´pravy). Pˇ r´ıklad 3.38: Vyjádˇrete z následuj´ıc´ıch rovnic promˇenou x. Pˇredpokládejte, ˇze rozmˇery matic a vektor˚ u jsou v poˇra´dku. • Ax + B T y + Cx = Dy + x • (x − y)A = x + By Pˇ r´ıklad 3.39: Uvaˇzujte následuj´ıc´ı soustavu rovnic, kde A je regulárn´ı matice, a vyjádˇrete y jako funkci u. 0 = Ax + Bu y = Cx + Du

´ 3.4. ULOHY

107

Pˇ r´ıklad 3.40: Urˇcete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı inverzn´ı matice. 2x1 + 3x3 + 6x2 = 5 5x2 + 6x3 = −8 x1 + x2 + x3 = 0 Pˇ r´ıklad 3.41: Urˇcete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı inverzn´ı matice. 2x1 + 2y1 + 3x2 = 7 6x2 + 3y2 = 2 4x1 − 6x2 + 4y1 − 6y2 = 10 −9x2 + 2y1 − 6y2 = 3 Pˇ r´ıklad 3.42: Urˇcete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy rovnic pomoc´ı inverzn´ı matice. x1 + x2 + y1 + y2 = 4 −6x2 − 9y2 − 12y1 = −6 x1 − x2 − 3y1 − 2y2 = 3

3.4.3

Soustavy rovnic

Pˇ r´ıklad 3.43: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 7x1 + 10x2 + 4x3 − 1x4 = 0 x1 − 13x2 − 26x3 + 22x4 = 0 Pˇ r´ıklad 3.44: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. x1 + 2x2 + 4x3 = 5 2x1 + 4x2 + 8x3 = 10 x1 + 7x2 + 9x3 = 10 Pˇ r´ıklad 3.45: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. x + 2y + 4z = 3 2x + 4y + 8z = 8 x − 3y − z = −2


108

Pˇ r´ıklad 3.46: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. x1 + 2x2 − x3 − x4 = 2 x1 − 7x2 + 2x3 + 4x4 = −1 7x1 − 4x2 − x3 + 3x4 = 8 Pˇ r´ıklad 3.47: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. x1 − 2x2 + 3x3 = 0 3x1 − 2x2 + 5x3 = 0 Pˇ r´ıklad 3.48: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. 6x1 + 4x2 + 6x3 + 4x4 = 4 −2x1 − 2x2 + 2x3 + 2x4 = −2 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 3 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 4 Pˇ r´ıklad 3.49: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic. 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = −2 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7 4x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 − 2x5 = 16 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 = 14 Pˇ r´ıklad 3.50: Urˇcete vˇsechna ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ı soustavy lineárn´ıch rovnic s parametrem p. x1 + x2 − px3 = 1 x1 − 2x2 + 3x3 = 2 x1 + px2 − x3 = 1 Pˇ r´ıklad 3.51: V následuj´ıc´ı soustavˇe lineárn´ıch rovnic urˇcete parametr p tak, aby soustava mˇela netriviáln´ı ˇreˇsen´ı. x1 + x2 − 5x3 + 3x4 = 0 4x1 + x3 + 3x4 = 0 px1 − 6x2 − 2x3 + 4x4 = 0 2x1 − x2 − 2x3 + x4 = 0


3.5

109


3.5.1


• Umˇet vypoˇc´ıtat determinant matice. • Znát vlastnosti singulárn´ı/regulárn´ı matice a umˇet je vyuˇz´ıvat. • Umˇet vypoˇc´ıtat inverzn´ı matici alespoˇ n jedn´ım ze dvou uveden´ ych zp˚ usob˚ u. • Umˇet upravovat maticové rovnice. • Umˇet ˇreˇsit soustavy lineárn´ıch rovnic.

3.5.2


• Dokaˇzte vˇetu 3.10 a vˇetu 3.11. • Dokaˇzte vˇetu 3.13. • Opravte následuj´ıc´ı vˇetu a poté ji dokaˇzte pomoc´ı vˇety 3.17. Vˇ eta 3.27: Necht’ A, B, C ∈ Rn×n , pak plat´ı (ABC)−1 = C −1 B −1 A−1 . • Dokaˇzte vˇetu 3.26.

110



111

112


Kapitola 4 Line´ arn´ı vektorov´ y prostor Doposud jsme se zab´ yvali maticemi a vektory a jejich vlastnostmi, které souvisej´ı s linearitou. V této kapitole si zavedeme pojem lineárn´ı prostor, respektive lineárn´ı vektorový prostor ´ era a podobnost jsou a lineárn´ı zobrazen´ı. Umˇ jedny z princip˚ u, kter´ ymi se lidstvo zab´ yvá uˇz celá stalet´ı. Vˇetˇsina fyzikáln´ıch zákon˚ u jsou sice zákony nelineárn´ı, ale v u ´zkém okol´ı pracovn´ıch podm´ınek je moˇzné tyto zákony linearizovat, to je zjednoduˇsovat (Roubal, J. et al., 2010). D˚ uvod je prost´ y, anal´ yza lineárn´ıch systém˚ u je mnohem jednoduˇsˇs´ı a v u ´zkém okol´ı pracovn´ıch podm´ınek dostateˇcnˇe pˇresná. Setkáme se s t´ım napˇr´ıklad v oblasti ˇr´ızen´ı aˇz budeme linearizovat dynamické systémy (Roubal, J. et al., 2011). V prvn´ı ˇcásti této kapitoly si zavedeme pojmy báze lineárn´ıho prostoru, dimenze lineárn´ıho prostoru a souˇradnice v bázi . Ukáˇzeme si, jak transformovat vektory do jin´ ych souˇradnic (do jin´ ych báz´ı). To je v´ yhodné proto, ˇze se v jin´ ych souˇradnic´ıch podstatnˇe zjednoduˇs´ı nˇekteré operace. Ve druhé ˇca´sti kapitoly si pov´ıme nˇeco málo o lineárn´ıch zobrazen´ıch a zavedeme si dva pojmy, kter´ ymi jsou jádro neboli nulový prosotor lineárn´ıho zobrazen´ı a obor hodnot lineárn´ıho zobrazen´ı. ˇ ´ , M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B., 2000; Krajn´ık, E., 2004), Cerpat budeme opˇet z (Demlova ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 113

´ Í VEKTOROVY ´ PROSTOR KAPITOLA 4. LINEARN

114

4.1

B´ aze line´ arn´ıho prostoru

Definice 4.1 (Line´ arn´ı prostor): Lineárn´ı prostorem rozum´ıme neprázdnou mnoˇzinu L, jej´ıˇz prvky naz´ yváme vektory a na které je definováno: 1. sˇc´ıtán´ı, to je zobrazen´ı +: L × L → L, 2. skalárn´ı násobek, to je zobrazen´ı · : R × L → L, pˇriˇcemˇz jsou splnˇeny následuj´ıc´ı vztahy • x + y = y + x, • (x + y) + z = x + (y + z), • α (β x) = (α β) x, • α (x + y) = α x + α y, • (α + β) x = α x + β x, • x + o = x (nulov´ y prvek), • 0x = 0y = 0, • 1x = x (jednotkov´ y prvek), • ∀x ∈ L ∃y ∈ L tak, ˇze x + y = 0, kde x, y, z ∈ L, α, β ∈ R.

I

Pˇ r´ıklad 4.1: Uved’te pˇr´ıklady lineárn´ıch prostor˚ u. ˇ sen´ı: Reˇ • LP Rn – vˇsech n-rozmˇern´ ych (aritmetick´ ych) vektor˚ u

• LP Rm×n – vˇsech matic typu m × n

• LP vˇsech funkc´ı se spoleˇcn´ ym D(f ) ˇ • LP vˇsech voln´ ych vektor˚ u (geometrie a fyzika na SS) • LP nulov´ y

X

´ ´ ÍHO PROSTORU 4.1. BAZE LINEARN

115

Pˇ r´ıklad 4.2: Vyjádˇrete matici D jako lineárn´ı kombinaci matic A, B, kde # " # " # " 1 2 2 3 5 9 A= , B= , D= . 0 3 5 8 5 17 ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 4.3: Rozhodnˇete zda funkce f (x) : y = sin x,

g(x) : y = cos x,

³ π´ h(x) : y = cos x + 4

jsou lineárnˇe závislé ¡ • na x ∈ − π2 ;

π 2

¢ ,

• na x ∈ (−π; π). Vyuˇzijte vztah cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y. ¡ ˇ sen´ı: Nejprve vyˇreˇs´ıme funkce na intervalu x ∈ − π ; Reˇ 2

π 2

¢

.

Poté na intervalu x ∈ (−π; π).

X Pozn´ amka: Tˇemito pˇr´ıklady jsme chtˇeli pouze ukázat, ˇze se tyto zákonitosti daj´ı rozˇs´ıˇrit mimo vektory. Dále se budeme zab´ yvat uˇz jen line´ arn´ım vektorovým prostorem.

2


116

Definice 4.2 (Line´ arn´ı obal): Necht’ ∅ 6= M ⊂ L. Line´ arn´ım obalem mnoˇziny M v L rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech lineárn´ıch kombinac´ı koneˇcného poˇctu vektor˚ u mnoˇziny M . Znaˇc´ıme ho hM i.

I

Pˇ r´ıklad 4.4: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u (" M=

1 3

# " ,

2

#)

5

a urˇcete jej´ı lineárn´ı obal. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pozn´ amka: Pojem lineárn´ı obal nebudeme dále rozv´ıjet. Zavedli jsme ho pouze pro potˇreby následuj´ıc´ı definice.

2

Definice 4.3 (B´ aze): Lineárnˇe nezávislou podmnoˇzinu B lineárn´ıho prostoru L nazveme b´ az´ı, je-li hBi = L.

I

(a) je báze

(b) nen´ı báze

Obrázek 4.1: Báze prostoru R2


117

Vˇ eta 4.1 (B´ aze): V koneˇcnˇe dimenzionáln´ı prostoru dimenze n je báz´ı kaˇzd´ a mnoˇzina obsahuj´ıc´ı n line´ arnˇe nezávislých vektor˚ u.

Pˇ r´ıklad 4.5: Napiˇste nˇekolik báz´ı prostoru R2 . ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 4.6: Je následuj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u báz´ı R2 ? (" # " #) 1 4 , 2 8 ˇ sen´ı: Reˇ

Obr´ azek 4.2: Báze prostoru R2

X

118


Pˇ r´ıklad 4.7: Je následuj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u báz´ı R2 ? (" # " #) 1 5 , 3 −2 ˇ sen´ı: Reˇ

Obrázek 4.3: Báze prostoru R2

X

Pˇ r´ıklad 4.8: Je následuj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u báz´ı R3 ?          1   2   2 ,  3          0 5  ˇ sen´ı: Reˇ

X


119

Definice 4.4 (Dimenze vektorov´ eho prostoru): Lineárn´ı prostor V , kter´ y má koneˇcnou bázi, nazveme vektorovým prostorem a poˇcet prvk˚ u jeho báze nazveme dimenz´ı vektorového prostoru, kterou znaˇc´ıme dim (V ).

I

Pˇ r´ıklad 4.9: Urˇcete dimenzi prostor˚ u R, R2 , R3 , Rn , n ∈ N. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 4.10: Urˇcete dimenzi prostor˚ u jejichˇz báze jsou v pˇr´ıkladech 4.6, 4.7 a 4.8. ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 4.2 (B´ aze): M´ a-li lineárn´ı prostor V koneˇcnou bázi, potom jsou vˇsechny jeho báze koneˇcné.

120


Pˇ r´ıklad 4.11: Urˇcete bázi vektorového prostoru V , kde V = hM i, kde           1   −3   1   ,  −4 ,  1  . M=  2           0 −10 5  ˇ sen´ı: Reˇ

X


121

Definice 4.5 (Standardn´ı b´ aze): Bázi B = {i1 , i2 , . . . , in } n-dimenzionáln´ıho vektorového prostoru V nazveme standardn´ı je-li     1 0      0   1          i1 =  0 , i2 =  0 ,  .   .   ..   ..      0 0



...

    in =    

0



 0    0 . ..  .   1

I

Definice 4.6 (Souˇ radnice v b´ azi): Je-li B = {b1 , b2 , . . . , bn } báz´ı n-dimenzionáln´ıho vektorového prostoru V , pak libovoln´ y vektor v ∈ V lze vyjádˇrit pomoc´ı jednoznaˇcnˇe urˇcen´ ych koeficient˚ u σi jako v=

n X

σi bi .

i=1

ˇ ısla σi se naz´ C´ yvaj´ı souˇradnice vektoru v v bázi B.

Obrázek 4.4: Rovina R2 – souˇradnice v bázi

I

122


Pˇ r´ıklad 4.12 (Souˇ radnice v b´ azi): Urˇcete souˇradnice vektoru a = [−2, −4]T nejprve ve standardn´ı bázi a poté v bázi (" B=

1 2

# " ,

0

#)

1

ˇ sen´ı: Reˇ


X


123

Pˇ r´ıklad 4.13 (Souˇ radnice v b´ azi): Urˇcete souˇradnice vektoru a = [1, −3, 2]T nejprve ve standardn´ı bázi a poté v bázi        1   0     B=   2 ,  0 ,    3 1

      2     1  

0

ˇ sen´ı: Reˇ


X


124

Nyn´ı si odvod´ıme transformaˇcn´ı matici.

Odtud m˚ uˇzeme zformulovat následuj´ıc´ı vˇetu. ¯ v n-rozmˇerném lineárn´ım Vˇ eta 4.3 (Transformaˇ cn´ı matice): Necht’ jsou báze B a B vektorovém prostoru B = {b1 , b2 , . . . , bn } ,

© ª ¯= ¯ B b1 , ¯ b2 , . . . , ¯ bn ,

¯ respektive z báze B ¯ do báze B plat´ı potom pro transformaˇcn´ı matici z báze B do báze B, ¯ −1 B, T B→B¯ = B kde

h i B = b1 , b2 , . . . , bn ,

¯ T B→B = B −1 B, ¯

h i ¯= ¯ B b1 , ¯ b2 , . . . , ¯ bn .


125

Pˇ r´ıklad 4.14 (Transformaˇ cn´ı matice): Uvaˇzujte vektor a = [−2, −4]T z pˇr´ıkladu 4.12 ve standardn´ı bázi a v bázi B (z pˇr´ıkladu 4.12). Urˇcete transformaˇcn´ı matici mezi obˇema bázemi. ˇ sen´ı: Reˇ

X

126

4.2


Line´ arn´ı zobrazen´ı

Definice 4.7 (Line´ arn´ı zobrazen´ı): Zobrazen´ı A lineárn´ıho prostoru L do lineárn´ıho prostoru L0 (zapisujeme A : L → L0 ) nazveme lineárn´ı, jestliˇze ∀x1 , x2 ∈ L a ∀α1 , α2 ∈ R plat´ı

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ A α1 x1 + α2 x2 = α1 A x1 + α2 A x2 .

I

Pˇ r´ıklad 4.15: Uved’te pˇr´ıklady lineárn´ıch zobrazen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 4.4: Necht’ L, L0 , L00 jsou lineárn´ı prostory a necht’ A : L → L0 , B : L0 → L00 jsou lineárn´ı zobrazen´ı. Potom BA : L → L00 je téˇz lineárn´ı.

Pˇ r´ıklad 4.16: Uved’te pˇr´ıklady sloˇzen´ ych lineárn´ıch zobrazen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ • systém: stejnosmˇern´ y motor – zubové ˇcerpadlo

• X

´ Í ZOBRAZENÍ 4.2. LINEARN

127

Vˇ eta 4.5 (Line´ arn´ı zobrazen´ı): Line´ arn´ı zobrazen´ı pˇriˇrazuje lineárnˇe závislým vektor˚ um opˇet vektory lineárnˇe závislé. D˚ ukaz:


X Pozn´ amka: Opaˇcná vˇeta k vˇetˇe 4.5 obecnˇe neplat´ı.

2

128


Pˇ r´ıklad 4.18: Necht’ A : R3 → R2 je lineárn´ı zobrazen´ı, pro které plat´ı       " # " # " # 2 0 −1       1 2 1       A A A  3  = 2 ,  1  = 3 ,  1  = 1 . 1 2 1 Naleznˇete vˇsechna x ∈ R3 , pro která plat´ı A(x) =

"

−3 2

# .

ˇ sen´ı: Reˇ

X Pozn´ amka: Dále, pokud budeme mluvit o lineárn´ım zobrazen´ı, tak budeme mluvit pouze o lineárn´ım maticovém zobrazen´ı typu y = Ax, kde y ∈ Rm , A ∈ Rm×n , x ∈ Rn . 2

´ Í ZOBRAZENÍ 4.2. LINEARN

129

Definice 4.8 (J´ adro line´ arn´ıho zobrazen´ı): Necht’ A : L → L0 je lineárn´ı maticové zobrazen´ı. Potom jádrem (nulovým prostorem) lineárn´ıho zobrazen´ı A rozum´ıme mnoˇzinu © ª N (A) = x ∈ Rnj | Ax = 0 . I Pozn´ amka: Nulov´ y prostor (jádro) nˇekdy oznaˇcujeme KerA = N (A).

2

Pˇ r´ıklad 4.19 (J´ adro line´ arn´ıho zobrazen´ı): Uvaˇzujte lineárn´ı zobrazen´ı y = Ax, kde





1 3 4    A= 0 2 5  . 2 4 3 Urˇcete nulov´ y prostor (jádro) tohoto zobrazen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ

X

130


Definice 4.9 (Obor hodnot line´ arn´ıho zobrazen´ı): Necht’ A : L → L0 je lineárn´ı maticové zobrazen´ı. Potom oborem hodnot (range) lineárn´ıho zobrazen´ı A rozum´ıme mnoˇzinu

© ª R(A) = y | y = Ax, ∀x ∈ L .

I

Pˇ r´ıklad 4.20 (Obor hodnot line´ arn´ıho zobrazen´ı): Uvaˇzujte lineárn´ı maticové zobrazen´ı y = Ax, kde



 1 3 4

   A=  0 2 5 . 2 4 3 Urˇcete obor hodnot (range) tohoto zobrazen´ı. ˇ sen´ı: Reˇ

X

´ 4.3. ULOHY

4.3 4.3.1

131

´ Ulohy B´ aze line´ arn´ıho prostoru

Pˇ r´ıklad 4.21: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u     1 M=   3    4

 2      ,  5      2   

a urˇcete jej´ı lineárn´ı obal. Pˇ r´ıklad 4.22: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u         1 2 1               M =  3 ,  5 ,  2       4 −2  2 a urˇcete jej´ı lineárn´ı obal. Pˇ r´ıklad 4.23: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u (" # " # " #) 1 2 9 M= , , . 3 −8 0 Plat´ı

" hM i = α

1

#

" +β

3

2 −8

# ,

α, β ∈ R?

Pˇ r´ıklad 4.24: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u # " #) (" # " 1 −2 9 M= , , . 3 −6 0 Plat´ı

" hM i = α

1 3

#

" +β

Pˇ r´ıklad 4.25: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u      1   M=   1 ,    0

−2 −9

# ,

α, β ∈ R?

        3 ,  0  .      0  3  



2

1

132


Plat´ı







1

 2

     + β  3 , hM i = α  1     0 3 Pˇ r´ıklad 4.26: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u       1   2   M=   1 ,  3    0 3 Plat´ı





α, β ∈ R?

        ,  0 ,  −4  .       0 −5   

 

1

−3



 2

1

     + β  3 , hM i = α  1     3 0 Pˇ r´ıklad 4.27: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u     1 3       M=   −1 ,  3    0 0 Plat´ı









      1  .    0 

 

  0

   ,  0 ,    1 7

           hM i = α   −1  + β  3  + γ  1 , 0 0 0 Pˇ r´ıklad 4.28: Uvaˇzujte mnoˇzinu vektor˚ u          2   1   1       M=   3 ,  5 ,  −9 ,    −1 7 −23 Plat´ı



 2



 1

7





1

3

α, β ∈ R?

α, β, γ ∈ R?

 0 0        −14 ,  0  .      −30 1  

 



 1

       + β  5  + γ  −9 , hM i = α  3       −23 7 −1

α, β, γ ∈ R?

Pˇ r´ıklad 4.29: Je následuj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u báz´ı prostoru R2 ? (" # " #) 1 0 M= , 2 1

´ 4.3. ULOHY

133

Pˇ r´ıklad 4.30: Je následuj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u báz´ı prostoru R2 ? (" # " #) 0 0 M= , 2 1 Pˇ r´ıklad 4.31: Je následuj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u báz´ı prostoru R3 ?             1   0   0         M =  2 ,  1 ,  0       3 0 1  Pˇ r´ıklad 4.32: Je následuj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u báz´ı prostoru R3 ?              1   0   1       , , M=   2   1   1      1 1  0 Pˇ r´ıklad 4.33: Je následuj´ıc´ı mnoˇzina vektor˚ u báz´ı prostoru R3 ?              1   0   2        M =  2 ,  1 ,  2       1 2  0 Pˇ r´ıklad 4.34: Urˇcete bázi vektorového prostoru V , kde V = hM i, kde (" # " # " # " # " # " #) 1 0 5 0 1 2 M= , , , , , . 0 1 0 3 1 3 Pˇ r´ıklad 4.35: Urˇcete bázi vektorového prostoru V ,           1   1   1         M=   2 ,  2 ,  2 ,     3 5 4

kde V = hM i, kde    2  0        0 ,  8  .   5  1

Pˇ r´ıklad 4.36: Urˇcete bázi vektorového prostoru V , kde V = hM i, kde        0 1 2           1   4   1       M=   0 ,  5 ,  0 ,            0 8 2

         5   1   ,   .  5   0         1 9 

2

 

1

134


Pˇ r´ıklad 4.37: Vyjádˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı bázi a v bázi B, kde " # (" # " #) 1 1 1 , B= , . x= 2 2 −1 Ukaˇzte ˇreˇsen´ı na obrázku. Pˇ r´ıklad 4.38: Vyjádˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı bázi a v bázi B, kde " # (" # " #) −2 1 1 x= , B= , . 2 1 −1 Ukaˇzte ˇreˇsen´ı na obrázku. Pˇ r´ıklad 4.39: Vyjádˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı bázi a v bázi B, kde         2    1   1          B =  1 ,  0  . x =  1 ,      1 0  0 Pˇ r´ıklad 4.40: Vyjádˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı bázi a v bázi B, kde         2    1   1     1 ,  0  . , B = x= 1           0  1 3 Pˇ r´ıklad 4.41: Vyjádˇrete souˇradnice vektoru x ve standardn´ı bázi a v bázi B, kde           −3    1   1   1            B =  1 ,  1 ,  0  . x =  −2 ,      1 0  0 −1 Pˇ r´ıklad 4.42: Uvaˇzujte dvˇe báze v R2 (" # " #) 1 0 B1 = , , 0 1

(" B2 =

2 1

# " ,

4

#)

3

,

a vektor x = [2, −1]T . Vyjádˇrete souˇradnice vektoru x v obou báz´ıch a urˇcete transformaˇcn´ı matici mezi tˇemito bázemi. Urˇcete pomoc´ı n´ı vektor x v obou báz´ıch. Pˇ r´ıklad 4.43: Uvaˇzujte dvˇe báze v R3            1   0   0  ,  1 ,  0  , B1 =  0           0 1  0

       1   1     B2 =   0 ,  1 ,    0 0

 1      1  ,    1  

a vektor x = [3, 4, −2]T . Vyjádˇrete souˇradnice vektoru x v obou báz´ıch a urˇcete transformaˇcn´ı matici mezi tˇemito bázemi. Urˇcete pomoc´ı n´ı vektor x v obou báz´ıch.

´ 4.3. ULOHY

4.3.2

135

Line´ arn´ı zobrazen´ı

Pˇ r´ıklad 4.44: Necht’ A : R2 → R2 je lineárn´ı zobrazen´ı, pro které plat´ı Ã" #! " # Ã" #! " # 1 1 −3 2 A = , A = . 2 2 1 5 Naleznˇete vˇsechna x ∈ R2 , pro která plat´ı " A(x) =

−1

# .

−2

Pˇ r´ıklad 4.45: Vypoˇctˇete hodnotu lineárn´ıho zobrazen´ı #! Ã" 4 , y=A 11 jestliˇze Ã" A

2 3

#!





Ã"

−1

  , = 2   1

A

1 −1

#!



 0

   =  3 . 2

Pˇ r´ıklad 4.46: Necht’ A : R2 → R2 je lineárn´ı zobrazen´ı, pro které plat´ı       " # " # " # 0 1 1       −1 2 1       . A A A  1  =  0  = 3 ,  1  = −1 , 0 1 1 0 Naleznˇete vˇsechna x ∈ R2 , pro která plat´ı " A(x) =

1 1

# .

Pˇ r´ıklad 4.47: Uvaˇzujte lineárn´ı zobrazen´ı z pˇr´ıkladu 4.46 a urˇcete     1 1         y2 = A  y1 = A   0 .  2 , 0 3 Pˇ r´ıklad 4.48: Uvaˇzujte lineárn´ı maticové zobrazen´ı y = Ax, kde # " 2 3 . A= 1 8 Urˇcete nulov´ y prostor (jádro) a obor hodnot tohoto zobrazen´ı.

136


Pˇ r´ıklad 4.49: Uvaˇzujte lineárn´ı maticové zobrazen´ı y = Ax, kde " # 2 3 A= . −4 −6 Urˇcete nulov´ y prostor (jádro) a obor hodnot tohoto zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 4.50: Uvaˇzujte lineárn´ı maticové zobrazen´ı y = Ax, kde   2 4 6   . A= 3 8 3   7 10 3 Urˇcete nulov´ y prostor (jádro) a obor hodnot tohoto zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 4.51: Uvaˇzujte lineárn´ı maticové zobrazen´ı y = Ax, kde   1 8 2   . A= 3 24 4   2 16 2 Urˇcete nulov´ y prostor (jádro) a obor hodnot tohoto zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 4.52: Uvaˇzujte dvˇe báze prostoru R2 ( " # " # ) 1 0 Ba = , , 0 1

( " Bb =

2 1

#

"

,

4

#) .

3

Uvaˇzujte lineárn´ı operátor (zobrazen´ı) v bázi Ba popsan´ y matic´ı " # 8 −2 Aa = 4 −2 a naleznˇete reprezentaci tohoto operátoru v bázi Bb . Dále uvaˇzujte vektor x = [2, −1]BTa v bázi Ba a urˇcete jeho reprezentaci v bázi Bb . Pˇrevzato z (Roubal, J. et al., 2011). Pˇ r´ıklad 4.53: Uvaˇzujte         1   0  0 ,  1 Ba =       0 0

dvˇe báze prostoru R3      0      ,  0  ,       1

       1   0 , Bb =      0

        1 ,  1  .      1  0 



1



1


137

Uvaˇzujte lineárn´ı operátor (zobrazen´ı) v bázi Ba popsan´ y matic´ı 



1 0 0    Aa =  0 1 0   0 0 1 a naleznˇete reprezentaci tohoto operátoru v bázi Bb . Dále uvaˇzujte vektor x = [1, 1, 1]BTa v bázi Ba a urˇcete jeho reprezentaci v bázi Bb . Pˇ r´ıklad 4.54: Uvaˇzujte dvˇe báze prostoru R3       1  0 Ba =     0

   1 1        ,  1 ,  1  ,         1 0 





      1  1 Bb =     1



 1 1        ,  1 ,  0  .       0  0 







Uvaˇzujte lineárn´ı operátor (zobrazen´ı) v bázi Ba popsan´ y matic´ı 



2 1 0    Aa =  0 3 1   0 0 2 a naleznˇete reprezentaci tohoto operátoru v bázi Bb . Dále uvaˇzujte vektor x = [1, 2, 3]BTa v bázi Ba a urˇcete jeho reprezentaci v bázi Bb .

4.4 4.4.1


• Umˇet rozhodnout zda mnoˇzina vektor˚ u je nebo nen´ı báze daného prostoru. • Umˇet urˇcit dimenzi lineárn´ıho prostoru. • Umˇet vypoˇc´ıtat souˇradnice vektor˚ u v dané bázi. • Umˇet vypoˇc´ıtat jádro lineárn´ıho maticového zobrazen´ı.


138

4.4.2


• Umˇet vypoˇc´ıtat transformaˇcn´ı matici mezi dvˇema dan´ ymi bázemi. • Umˇet urˇcit matici lineárn´ıho zobrazen´ı v jiné bázi. • Dokaˇzte vˇetu 4.4. • Dokaˇzte vˇetu 4.5. • Dokaˇzte, ˇze pro transformaˇcn´ı matice z vˇety 4.3 plat´ı T B→B¯ = T −1 . ¯ B→B


139

140



141

142


Kapitola 5 Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matic V této kapitole si pov´ıme nˇeco málo o tak zvan´ ych vlastn´ıch ˇc´ıslech a vlastn´ıch vektorech matic. Jsou to jisté charakteristiky matic, které znázorˇ nuj´ı jejich zvláˇstn´ı vlastnosti a chován´ı napˇr´ıklad pˇri násoben´ı

Av = λ v

a podobnˇe. Na poˇc´ıtán´ı tu mnoho typ˚ u pˇr´ıklad˚ u nenaleznete, jako tomu bylo v pˇredchoz´ıch kapitolách. V tomto ohledu je tato kapitola velice krátká. Mˇela by Vám sp´ıˇse doplnit chybˇej´ıc´ı kousky v mozaice zvané lineárn´ı algebra (´ urovnˇe naˇseho kurzu) a t´ım ucelit a spojit doposud nabyté dovednosti a vˇedomosti. Proto se pod´ıváme jeˇstˇe jednou na násoben´ı matice a vektoru a pov´ıme si o této discipl´ınˇe nˇeco málo v´ıce do hloubky právˇe v souvislosti s vlastn´ımi ˇc´ısly a vlastn´ımi vektory matice. Odtud uvid´ıme souvislosti s nulov´ ym prostorem a oborem hodnot lineárn´ıho maticového zobrazen´ı. Vyuˇzitelnost znalost´ı vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u matic je pro nás zejména pˇri ˇreˇsen´ı lineárn´ıch maticov´ ych diferenciáln´ıch rovnic, které budeme pouˇz´ıvat aˇz pˇri modelován´ı a anal´ yze lineárn´ıch dynamick´ ych systém˚ u v regulaˇcn´ı technice. Tam se dozv´ıme napˇr´ıklad to, ˇze systém, kter´ y má komplexn´ı vlastn´ı ˇc´ısla, má kmitavou odezvu, ˇze systém, kter´ y má vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla se zápornou reálnou ˇca´st´ı, má stabiln´ı odezvu a podobnˇe. Ale to aˇz ve druhém roˇcn´ıku. ˇ Cerpat budeme z (Krajn´ık, E., 2004; Roubal, J. et al., 2011), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 143

144

5.1

ˇ ÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY MATIC KAPITOLA 5. VLASTNÍ C

Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory matice

Pˇ r´ıklad 5.1: Uvaˇzujte matici A a vektory x1 , x2 , x3 , x4 , kde " # " # " # " # 1 2 1 2 0 A= , x1 = , x2 = , x3 = , 0 3 0 2 3

" x4 =

−1 1

# .

Vypoˇctˇete vektory y i = Axi pro i = 1, 2, 3, 4. Poté zakreslete vˇsech osm vektor˚ u do roviny R2 na obr. 5.1. Co pozorujete? ˇ sen´ı: Nejprve provedeme v´ Reˇ ypoˇcty " #" # 1 2 1 y 1 = Ax1 = = 0 3 0 #" # " 2 1 2 = y 2 = Ax2 = 2 0 3 " #" # 1 2 0 y 3 = Ax3 = = 0 3 3 " #" # 1 2 −1 y 4 = Ax4 = = 0 3 1

Obrázek 5.1: Rovina R2 s vektory xi a y i

ˇ ÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY MATICE 5.1. VLASTNÍ C

145

Závˇery z pozorován´ı na obr. 5.1:

X ˇ ıslo λ ∈ C Definice 5.1 (Vlastn´ı ˇ c´ısla, vlastn´ı vektory matice): Necht’ A ∈ Cn×n . C´ naz´ yváme vlastn´ım ˇc´ıslem A, jestliˇze ∃v 6= 0, v ∈ Cn tak, ˇze plat´ı Av = λv. v naz´ yváme vlastn´ım vektorem A s vlastn´ım ˇc´ıslem λ.

I

Pozn´ amka: M´ısto pojm˚ u vlastn´ı ˇc´ıslo a vlastn´ı vektor matice se m˚ uˇzete setkat s pojmy charakteristické ˇc´ıslo a charakteristick´ y vektor matice.

2

Nyn´ı se pod´ıvejme, jak vypoˇc´ıtat vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice.

Odtud m˚ uˇzeme formulovat vˇetu, pomoc´ı které budeme poˇc´ıtat vlastn´ı ˇc´ısla matice. ˇ ıslo λ je vlastn´ım ˇc´ıslem A ⇔ Vˇ eta 5.1: C´ det (A − λI) = 0. Tuto rovnici nazýv´ ame charakteristickou rovnic´ı A. Výraz det (A − λI) nazýv´ ame charakteristickým polynomem A.

146


Pˇ r´ıklad 5.2: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice

"

A=

1 2 3 2

# .

ˇ sen´ı: Reˇ

Matice A má vlastn´ı ˇc´ısla: λ1 =

, λ2 =

.

X

Pˇ r´ıklad 5.3: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice   2 −1 −1   . B= 0 −1 0   0 2 1 ˇ sen´ı: Reˇ

Matice B má vlastn´ı ˇc´ısla: λ1 =

, λ2 =

, λ3 =

.

X

Z pˇr´ıklad˚ u 5.2 a 5.3 vid´ıme, ˇze vlastn´ıch ˇc´ısel je tolik, kolik je ˇra´d pˇr´ısluˇsné matice. Toto pravidlo plat´ı obecnˇe pro kaˇzdou matici.

ˇ ÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY MATICE 5.1. VLASTNÍ C

147

Pod´ıvejme se nyn´ı, jak je to s vlastn´ımi ˇc´ısly speciáln´ıch matic (doln´ı troj´ uheln´ıkové, horn´ı troj´ uheln´ıkové a diagonáln´ı). Vyslovme rovnou vˇetu, kterou si následnˇe dokáˇzeme. Vˇ eta 5.2: Necht’ A ∈ Cn×n je doln´ı troj´ uheln´ıkov´ a, nebo horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a, nebo diagon´ aln´ı matice. Potom vlastn´ı ˇc´ısla A jsou rovny prvk˚ um hlavn´ı diagonály. D˚ ukaz:

Nyn´ı se pod´ıvejme na to, jak se poˇc´ıtaj´ı vlastn´ı vektory matice k pˇr´ısluˇsn´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um. Protoˇze uˇz v´ıme, ˇze poˇcet vlastn´ıch ˇc´ısel matice se rovná ˇra´du matice, bude i poˇcet vlastn´ıch vektor˚ u matice roven ˇrádu matice, nebot’ ke kaˇzdému vlastn´ımu ˇc´ıslu existuje vlastn´ı vektor1 .

1

Ve skuteˇcnosti pro nˇekteré matice existuj´ı tzv. ˇretˇezce vlastn´ıch vektor˚ u, ale s takov´ ymi maticemi

se nebudeme obvykle v tomto kurzu setkávat. Budeme se zab´ yvat pouze maticemi s r˚ uzn´ ymi vlastn´ımi ˇc´ısly a pro ty tato vlastnost plat´ı.

148


Pˇ r´ıklad 5.4: Urˇcete vlastn´ı vektory matice z pˇr´ıkladu 5.2. ˇ sen´ı: Podle ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu 5.2 v´ıme, ˇze λ1 = Reˇ

. Podle v´ yˇse uvedeného postupu

urˇc´ıme tedy nejprve vlastn´ı vektor v 1 .

Nyn´ı vypoˇcteme vlastn´ı vektor v 2 pro vlastn´ı ˇc´ıslo λ2 =

Vlastn´ımu ˇc´ıslu λ1 = λ2 =

odpov´ıdá vlastn´ı vektor v 1 = [


]T .

Pˇ r´ıklad 5.5: Urˇcete vlastn´ı vektory matice z pˇr´ıkladu 5.3. ˇ sen´ı: . Reˇ

.

.

]T a vlastn´ımu ˇc´ıslu X

´ PROSTOR A OBOR HODNOT MATICE 5.2. NULOVY

149

.

Vlastn´ımu ˇc´ıslu λ1 = lu λ2 =

]T , vlastn´ımu ˇc´ıs-




]T a vlastn´ımu ˇc´ıslu λ3 =

]T .

X

Pozn´ amka: Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory m˚ uˇzeme poˇc´ıtat v Matlabu takto:

.

5.2

2

Nulov´ y prostor a obor hodnot matice

Pod´ıvejme se nyn´ı na souvislost mezi vlastn´ımi ˇc´ısly a nulov´ ym prostorem matice a na souvislost mezi vlastn´ımi ˇc´ısly a oborem hodnot matice. Definice tˇechto pojm˚ u jsme si uvedli v pˇredchoz´ı kapitole. Neˇz se dostaneme k tˇemto souvislostem, pod´ıvejme se nyn´ı na násoben´ı matice a vektoru trochu z jiného pohledu. Protoˇze mnoˇzina vˇsech vlastn´ıch vektor˚ u dané matice (s r˚ uzn´ ymi vlastn´ımi ˇc´ısly) tvoˇr´ı bázi v daném prostoru, m˚ uˇzeme kaˇzd´ y vektor rozepsat do souˇradnic v bázi vlastn´ıch vektor˚ u dané matice.   x  1   x2    x= . =  ..    xn

150


Nyn´ı vynásob´ıme vektor x ∈ Rn matic´ı A ∈ Rn×n Ax =

Odtud m˚ uˇzeme napsat následuj´ıc´ı dvˇe vˇety. Vˇ eta 5.3: Nulový prostor A ∈ Rn×n je mnoˇzina ¯ ( k ) ¯ X ¯ N (A) = αi v i ¯ Av i = λi v i ∧ v i 6= 0 ∧ λi = 0, αi ∈ R . ¯ i=1

Vˇ eta 5.4: Obor hodnot A ∈ Rn×n je mnoˇzina ¯ ) ( k ¯ X ¯ R(A) = αi v i ¯ Av i = λi v i ∧ v i 6= 0 ∧ λi 6= 0, αi ∈ R . ¯ i=1

´ PROSTOR A OBOR HODNOT MATICE 5.2. NULOVY Pˇ r´ıklad 5.6: Urˇcete nulov´ y prostor matice  2  A=  0 0

151

maticového zobrazen´ı y = Ax, kde  3 4  0 7  . 0 1

ˇ sen´ı: Reˇ

Nulov´ y prostor maticového zobrazen´ı y = Ax je ( N (A) = .

) . X


152

Pˇ r´ıklad 5.7: Urˇcete obor hodnot maticového zobrazen´ı y = Ax z pˇr´ıkladu 5.6. ˇ sen´ı: Reˇ

Obor hodnot maticového zobrazen´ı y = Ax je ( R(A) = .

) . X

´ 5.3. ULOHY

153

´ Ulohy

5.3

Pˇ r´ıklad 5.8: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matic # " # " 1 2 7 0 , B= , A= 0 3 4 1 Pˇ r´ıklad 5.9: Urˇcete  1 2   E= 0 3 0 0

" C=

5 0

# ,

0 3

vlastn´ı ˇc´ısla matic    3 1 0 0      F =  −2 2 0  2 , , 5 11 23 4

" D=

H=

2

3

−3 2

# ,

" K=

−4 −5 5

−4

# ,

" L=



−1 4 5   , N = 0 −3 0   0 2 −6



.



1 0 0    G =  0 −3 0  . 0 0 −2

−4 −5 5

4

Pˇ r´ıklad 5.11: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matic 

#

6 2



Pˇ r´ıklad 5.10: Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matic "

1 2



1 0 2   , O= 11 −5 13   6 0 2





#

−1

,

3

4

  . M = 0 −5 0   −4 2 −1 

1 2

0

0

  6 2 0 0 P =  0 0 −3 1  0 0 −1 −3

   .  

Pˇ r´ıklad 5.12: Urˇcete vlastn´ı vektory matic z pˇr´ıklad˚ u 5.8, 5.9 a 5.11. Pˇ r´ıklad 5.13: Urˇcete nulov´ y prostor matic (maticového zobrazen´ı) z pˇr´ıklad˚ u 5.8, 5.9 a 5.11. Pˇ r´ıklad 5.14: Urˇcete obor hodnot matic (maticového zobrazen´ı) z pˇr´ıklad˚ u 5.8, 5.9 a 5.11. Pˇ r´ıklad 5.15: Urˇcete nulov´ y prostor a obor hodnot matice (maticového zobrazen´ı) " # 1 2 Q= . 1,5 3 Pˇ r´ıklad 5.16: Urˇcete nulov´ y prostor a obor hodnot  1 2 −3  R=  −3 −6 9 −4 −8 12

matice (maticového zobrazen´ı)   . 


154

5.4


5.4.1


• Znát, co je vlastn´ı ˇc´ıslo a vlastn´ı vektor matice dle definice 5.1 a umˇet vysvˇetlit podobnˇe jako na obr. 5.1. • Umˇet spoˇc´ıtat vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory matice. • Umˇet urˇcit nulov´ y prostor matice z vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u.

5.4.2


• Dokaˇzte vˇetu 5.1. • Dokaˇzte vˇetu 5.3. • Dokaˇzte vˇetu 5.4. • Dokaˇzte, ˇze plat´ı následuj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 5.5: Necht’ λ je vlastn´ı ˇc´ıslo A, pak λ2 je vlastn´ı ˇc´ıslo A2 . Vˇ eta 5.6: Necht’ λ je vlastn´ı ˇc´ıslo A, pak λn je vlastn´ı ˇc´ıslo An . • Dokaˇzte, ˇze plat´ı následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 5.7: Necht’ v je vlastn´ı vektor A, pak v je vlastn´ı vektor A2 .


155

156



157

158


Kapitola 6 Vybran´ e kapitoly z line´ arn´ı algebry V této kapitole, pokud se k n´ı z ˇcasov´ ych d˚ uvod˚ u v˚ ubec dostaneme, si udˇeláme opravdu struˇcn´ yu ´vod do vyˇsˇs´ı matematiky. Proto berte tuto kapitolu pouze jako informativn´ı seznámen´ı s dalˇs´ımi moˇznostmi, jak vyuˇz´ıt

c b a

poznatk˚ u, které jsme se v tomto kurzu nauˇcili. Nebudeme zde zkoumat vlastnosti pˇr´ıliˇs do hloubky, jen si na nˇekolika pˇr´ıkladech ukáˇzeme metody, které se nám mohou hodit v dalˇs´ıch kurzech. Podrobnˇeji se s pojmy z této kapitoly m˚ uˇzete seznámit napˇr´ıklad na vysoké ˇskole. Nejprve si pov´ıme o podobnosti matic, ne proto, abychom tuto vlastnost zkoumali do hloubky, ale proto, abychom se nauˇcili poˇc´ıtat funkce matic, které se nám mohou hodit pro anal´ yzu ˇcasov´ ych odezev dynamick´ ych systém˚ u v kurzu Modelován´ı a ˇr´ızen´ı systém˚ u. Poté se pod´ıváme na metodu nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u, která se nám bude hodit pˇri identifikaci neznám´ ych parametr˚ u model˚ u dynamick´ ych systém˚ u nebo pˇri návrhu kvadraticky optimáln´ıch regulátor˚ u. Pˇr´ıklady a texty v této kapitole jsou pˇrevzaty z (Roubal, J. et al., 2011). Texty v této kapitole jsou velmi struˇcné. Proto pokud budete cht´ıt tyto metody ˇ pouˇz´ıvat ve sloˇzitˇejˇs´ıch aplikac´ıch, mˇeli byste si je prostudovat v´ıce do hloubky. Cerpat m˚ uˇze napˇr´ıklad z (Krajn´ık, E., 2004; Horn, R. A. a Johnson, Ch. R., 1985; Luenberger, D. G., 1996). 159

´ KAPITOLY Z LINEARN ´ Í ALGEBRY KAPITOLA 6. VYBRANE

160

6.1

Podobnost matic

Definice 6.1 (Algebraick´ a a geometrick´ a n´ asobnost vlastn´ıho ˇ c´ısla): n×n

matice A ∈ C

Necht’

a λ je k-násobn´ ym koˇrenem charakteristické rovnice, viz vˇeta 5.1, pak na = k,

ng = n − hod (A − λI),

kde na ∈ N naz´ yváme algebraickou násobnost´ı a ng ∈ N geometrickou násobnost´ı vlastn´ıho ˇc´ısla λ.

I

Definice 6.2 (Zobecnˇ el´ y vlastn´ı vektor): Vektor v 6= 0, v ∈ Cn naz´ yváme zobecnˇelým vlastn´ım vektorem A ∈ Cn×n , jestliˇze ∃λ ∈ C a k ∈ N tak, ˇze (A − λI)k v = 0.

I

Definice 6.3 (Podobnost diagon´ aln´ı matici): Necht’ A ∈ Cn×n . Jestliˇze ∀λi plat´ı na = ng , pak plat´ı A = V DV −1 , kde



    D=  

λ1

   ,  

λ2 ...

¤ £ V = v1, v2, . . . , vn

λn kde v 1 , v 2 , . . . , v n jsou vlastn´ı vektory (nebo ˇretˇezce vlastn´ıch vektor˚ u) matice A odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ım ˇc´ısl˚ um λi . O matici A pak ˇr´ıkáme, ˇze je podobná diagonáln´ı matici D.

I

6.1. PODOBNOST MATIC

161

Pˇ r´ıklad 6.1: Ovˇeˇrte platnosti definice 6.3 na pˇr´ıkladˇe 5.4. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 6.2: Ovˇeˇrte platnosti definice 6.3 na pˇr´ıkladˇe 5.5. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pozn´ amka: Pokud nen´ı splnˇena podm´ınka rovnosti algebraické a geometrické násobnosti vˇsech vlastn´ıch ˇc´ısel matice A, nen´ı matice A podobná ˇzádné diagonáln´ı matici. V takovém pˇr´ıpadˇe je moˇzné rozepsat matici A do tvaru A = V J V −1 , kde J je matice v Jordanovˇe kanonickém tvaru (Krajn´ık, E., 2004). To uˇz je ale nad rámec tohoto kurzu. D˚ uvodem, proˇc jsme zde uvádˇeli transformaci matice do diaonáln´ı formy, je následuj´ıc´ı definice 6.4.

2


162

6.2

Funkce matic

Definice 6.4: Necht’ A ∈ Cn×n je podobná nˇejaké diagonáln´ı D, pak funkci f (A) urˇc´ıme podle vztahu f (A) = V f (D)V −1 , kde



    f (D) =   

f (λ1 )

   .  

f (λ2 ) ... f (λn )

Pˇ r´ıklad 6.3: Uvaˇzujte matici z pˇr´ıkladu 5.3 a urˇcete matici B 3 . ˇ sen´ı: Nejprve budeme u Reˇ ´lohu ˇreˇsit postupn´ ym násoben´ım B 3 = BBB = B(BB) =

I

6.2. FUNKCE MATIC

163

Nyn´ı zkusme k ˇreˇsen´ı vyuˇz´ıt definici 6.4.

X Pˇ r´ıklad 6.4: Uvaˇzujte matici z pˇr´ıkladu 5.3 a urˇcete matici eB . ˇ sen´ı: Reˇ

X


164

6.3

Metoda nejmenˇ s´ıch ˇ ctverc˚ u

Pˇ r´ıklad 6.5: Uvaˇzujte, ˇze byly namˇeˇreny body v rovinˇe x-y, viz obr. 6.1(a). Proloˇzte tˇemito body pˇr´ımku metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u (Roubal, J. et al., 2011) tak, jak je ukázáno na obr. 6.1(b). Naprogramujte algoritmus do Matlabu.

2.5

2.5

2

2 y

3

y

3

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

[xi,yi] ei y = 0.341 x + 0.371

0 −1

0

1

2

3

4

5

6

x

(a) namˇeˇrené body v rovinˇe

7

8

0 −1

0

1

2

3

4

5

.

7

(b) proloˇzen´ı namˇeˇren´ ych bod˚ u pˇr´ımkou

Obrázek 6.1: Proloˇzen´ı namˇeˇren´ ych bod˚ u metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u

ˇ sen´ı: . Reˇ

6

x

8

ˇ ˚ 6.3. METODA NEJMENSˇÍCH CTVERC U .

.

165

166


.

X

ˇ ˚ 6.3. METODA NEJMENSˇÍCH CTVERC U

167

Pˇ r´ıklad 6.6: Uvaˇzujte, ˇze byly namˇeˇreny body v rovinˇe x-y, viz obr. 6.1(a). Proloˇzte tˇemito body parabolu metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. ˇ sen´ı: Reˇ

X


168

6.4

´ Ulohy

Pˇ r´ıklad 6.7: Uvaˇzujte, ˇze byly zmˇeˇreny vzájemné vzdálenosti hvˇezd (v rovinˇe) v prstenci souhvˇezd´ı Oriona a = 1,1, b = 1,2 a c = 2,2, viz obr. 6.2 (hodnoty a, b, c nejsou skuteˇcné, byly vymyˇsleny). Spoˇctˇete metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u vzdálenosti a a b.

c b a

Obrázek 6.2: Souhvˇezd´ı Orion

Pˇ r´ıklad 6.8: Dokaˇzte Frobéniovu vˇetu 2.14. Vyuˇzijte znalosti o souvilosti vlastn´ıch ˇc´ısel a oboru hodnot lineárn´ıho maticového zobrazen´ı. Pˇ r´ıklad 6.9: Uvaˇzujte ˇctvercovou matici A ∈ Rn×n s nenásobn´ ymi vlastn´ımi ˇc´ısly λi . Dokaˇzte, ˇze v´ yraz V −1AV , kde matice V = [v 1 , v 2 , . . . , v n ] je sloˇzená z vlastn´ıch vektor˚ u matice A, se rovná diagonáln´ı matici D = diag([λ1 , λ2 , . . . , λn ]) sloˇzené z vlastn´ıch ˇc´ısel λi matice A. Pˇ r´ıklad 6.10: Odvod’te vztah pro derivaci ∂ ¡ T ¢ x Ay , ∂x kde x a y jsou vektory promˇenn´ ych x = [x1 , x2 , x3 ]T a y = [y1 , y2 , y3 ]T a A je nˇejaká konstantn´ı matice





a11 a12 a13    A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 Pro vektorovou derivaci plat´ı ∂ = ∂x

·

∂ ∂ ∂ , , ∂x1 ∂x2 ∂x3

¸T .

Nápovˇeda: Roznásobte v´ yraz xTAy, proved’te skalárn´ı derivace a nakonec sloˇzte v´ ysledek zpˇet do maticového zápisu.

´ 6.4. ULOHY

169

Pˇ r´ıklad 6.11: Odvod’te vztah pro derivaci ∂ ¡ T ¢ x Ay , ∂y kde x a y jsou vektory promˇenn´ ych x = [x1 , x2 , x3 ]T a y = [y1 , y2 , y3 ]T a A je nˇejaká konstantn´ı matice





a11 a12 a13    A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 Pro vektorovou derivaci plat´ı ∂ = ∂y

·

∂ ∂ ∂ , , ∂y1 ∂y2 ∂y3

¸T .

Pˇ r´ıklad 6.12: Odvod’te vztah pro derivaci ∂ ¡ T ¢ x Ax , ∂x kde x je vektor promˇenn´ ych x = [x1 , x2 ]T a A je nˇejaká konstantn´ı matice " # a11 a12 A= . a21 a22 Pro vektorovou derivaci plat´ı ∂ = ∂x

·

∂ ∂ , ∂x1 ∂x2

¸T .

Pˇ r´ıklad 6.13: Naleznˇete bod [x, y]T, pro kter´ y nab´ yvá funkce f (x, y) = x2 + y 2 − 6xy + 5 svého minima a vyˇc´ıslete hodnotu tohoto minima (vyuˇzijte toho, ˇze funkce m˚ uˇze nab´ yvat lokáln´ıho extrému tam, kde se jej´ı derivace rovná nule). Poté pˇrepiˇste funkci f (x, y) do maticového zápipu jako funkci vektorového argumentu z, kde z = [x, y ]T f (z) = z TAz =

h

i x y

"

a11 a12 a21 a22

#"

x

#

y

a naleznˇete minimum této vektorové funkce s vyuˇzit´ım vztahu pro derivaci podle vektoru z pˇr´ıkladu 6.12. Porovnejte oba zp˚ usoby ˇreˇsen´ı.

170


ˇ Pˇ r´ıklad 6.14: Ctvercov´ a matice A má vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice M , jestliˇze plat´ı M = I + A, kde I je jednotková matice pˇr´ısluˇsn´ ych rozmˇer˚ u. ˇ Pˇ r´ıklad 6.15: Ctvercov´ a matice A má vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice M , jestliˇze plat´ı M = I + A + A2 , kde I je jednotková matice pˇr´ısluˇsn´ ych rozmˇer˚ u. ˇ Pˇ r´ıklad 6.16: Ctvercov´ a matice A má vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice M , jestliˇze plat´ı M=

n X

Aj .

j=0

ˇ a matice A má vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla maPˇ r´ıklad 6.17: Ctvercov´ tice M , jestliˇze plat´ı M = eA . ˇ Pˇ r´ıklad 6.18: Ctvercov´ a matice A má vlastn´ı ˇc´ısla λi {A}. Urˇcete vlastn´ı ˇc´ısla matice M , jestliˇze plat´ı M = I + eA .

´ 6.4. ULOHY

171

172


´ 6.4. ULOHY

173

174


ˇ ast II C´ Matematick´ a anal´ yza

175

Kapitola 7 Funkce, mnoˇ ziny, intervaly V této kapitole zopakujeme základn´ı pojmy, kte-

15

ré jsou standardn´ım obsahem stˇredoˇskolské ma-

10

tematiky. Zamˇeˇr´ıme se zejména na mnoˇziny, in-

b´ yt s tˇemito pojmy jiˇz seznámen, proto tuto ka-

5 f(x)

tervaly a funkce, protoˇze s nimi budeme dále ˇ aˇr by mˇel pracovat v matematické anal´ yze. Cten´

0

−5

pitolu pojmeme jen jako rychlé opakován´ı. Zavedeme si jednotné znaˇcen´ı a názvoslov´ı a vstoup´ı-

−10 −4

−3

−2

−1

0 x

1

2

3

4

me pomalu do svˇeta matematick´ ych definic a vˇet tak, jak je to ve vyˇsˇs´ım a vysokoˇskolském vzdˇelán´ı standardn´ı. Pokud budete m´ıt v nˇekter´ ych parti´ıch mezery, bude pro Vás dobré, kdyˇz je doˇzenete ihned, nebot’ by se Vám kupily ´, M. a pozdˇeji byste jiˇz látku nemuseli dohnat. Studovat m˚ uˇzete napˇr´ıklad z (Hudcova ˇ´ıkova ´ , L., 2009; Calda, E. et al., 2007; Odva ´ rko, O. et al., 2006) nebo a Kubic hledat na internetu (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). Pˇri opakován´ı se nejprve zamˇeˇr´ıme na pojem mnoˇzina a zopakujeme zejména to, jak´ ymi zp˚ usoby je moˇzné mnoˇziny zapisovat. Dále si ukáˇzeme základn´ı operace s mnoˇzinami, to je pr˚ unik, sjednocen´ı a rozd´ıl dvou mnoˇzin. Podobnˇe se budeme vˇenovat interval˚ um. Nakonec se pod´ıváme na funkce, jejich grafy a vlastnosti. Literatura, ze které m˚ uˇzete studovat, je uvedena v´ yˇse. Mé zkuˇsenosti jsou ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u takové, ˇze student nemá problémy s matematickou analýzou, ale má problémy se stˇredoˇskolskou matematikou, na kterou navazujeme. I kdyˇz toto na konci kurzu uzná vˇetˇsina student˚ u, stejnˇe tomu na zaˇc´ atku kurzu skoro nikdo nevˇeˇr´ı. Zkuˇsenost je nepˇrenositeln´ a, kaˇzdý si ji asi mus´ı proˇz´ıt. Ale co kdyby jste mi pro jednou vˇeˇrili ...? Vydˇel´ ate na tom! 177

ˇ KAPITOLA 7. FUNKCE, MNOZINY, INTERVALY

178

7.1

Mnoˇ ziny a intervaly

ˇ Pojem mnoˇzina je asi kaˇzdému intuitivnˇe znám uˇz od prvn´ı tˇr´ıdy základn´ı ˇskoly. Reknˇ eme si jej´ı formáln´ı definici. Definice 7.1 (Mnoˇ zina): Mnoˇzina je soubor urˇcit´ ych objekt˚ u chápan´ ych jako celek. ymi p´ısmeny a prvky mnoˇzin Objekty naz´ yváme prvky mnoˇziny. Mnoˇziny znaˇc´ıme velk´ zapisujeme do sloˇzen´ ych závorek { }. Náleˇzitost prvku k mnoˇzinˇe zapisujeme symbolem ∈, kter´ y ˇcteme je prvkem mnoˇziny“ nebo náleˇz´ı mnoˇzinˇe“. Naopak symbol ∈ / ” ” znamená nen´ı prvkem mnoˇziny“ nebo nenáleˇz´ı mnoˇzinˇe“. I ” ”

Definice 7.2 (Pr´ azdn´ a mnoˇ zina): Mnoˇzina, která neobsahuje ani jeden prvek, se naz´ yvá prázdná. Znaˇc´ıme ji ∅ nebo { }.

I

Definice 7.3 (Podmnoˇ zina): Necht’ A, B jsou nˇejaké mnoˇziny. Mnoˇzinu B nazveme podmnoˇzinou mnoˇziny A ⇔ vˇsechny prvky mnoˇziny B jsou také prvky mnoˇziny A. Tuto skuteˇcnost zapisujeme B ⊂ A.

I

Definice 7.4 (Pr˚ unik, sjednocen´ı a rozd´ıl mnoˇ zin): Necht’ A, B jsou nˇejaké mnounikem mnoˇzin A a B ⇔ ∀x ∈ C plat´ı x ∈ A ∧ x ∈ B. ˇziny. Mnoˇzinu C nazveme pr˚ Zapisujeme C = A ∩ B. Mnoˇzinu D nazveme sjednocen´ım mnoˇzin A a B ⇔ ∀x ∈ D plat´ı x ∈ A ∨ x ∈ B. Zapisujeme D = A ∪ B. Mnoˇzinu E nazveme rozd´ılem (doplˇ nkem) mnoˇzin A a B ⇔ ∀x ∈ E plat´ı x ∈ A ∧ x ∈ / B. Zapisujeme E = A \ B.

I

Pojmy z pˇredchoz´ıch dvou definic m˚ uˇzeme znázornit pomoc´ı tak zvan´ ych Vennových diagram˚ u:

ˇ 7.1. MNOZINY A INTERVALY

179

V matematice zavád´ıme základn´ı typy ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin, z nichˇz pro nás nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı jsou mnoˇziny: N = {1, 2, 3, . . . }

.........

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }

.........

R = (−∞; ∞)

.........

C=R×R

.........

Pozn´ amka: Mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel vˇcetnˇe nuly b´ yvá v literatuˇre obvykle znaˇcena N0 = N ∪ {0}. Poznamenejme ale, ˇze nˇekteˇr´ı autoˇri toto nerozliˇsuj´ı a pouˇz´ıvaj´ı symbol N i pro mnoˇzinu pˇrirozen´ ych ˇc´ısel vˇcetnˇe nuly.

2

Pˇ r´ıklad 7.1 (Mnoˇ ziny): Urˇcete jaké jsou vztahy mezi mnoˇzinami N, Z, R a C. Znázornˇete je pomoc´ı Vennov´ ych diagram˚ u. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pozn´ amka: Mnoˇziny m˚ uˇzeme zapisovat takto: • Graficky

• V´ yˇctem prvk˚ u

• Pomoc´ı vlastnost´ı prvk˚ u

2

180


Pˇ r´ıklad 7.2 (Mnoˇ ziny): Zapiˇste následuj´ıc´ı mnoˇziny jin´ ym zp˚ usobem. • A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} • B = {x | x < 15 ∧ x ∈ N} • C = {1, 2, 3, . . . , 30} • D = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} • E = {x | x ∈ Z ∧ | x| ≥ 3} • F = {y | y = x2 − 4 ∧ y < 0 ∧ x ∈ Z} • G = {y | y = x2 − 4 ∧ y < 0 ∧ x ∈ N} ˇ sen´ı: Reˇ

X

ˇ 7.1. MNOZINY A INTERVALY

181

Definice 7.5 (Interval): Necht’ a, b ∈ R. Uzavˇren´ y interval ha, bi, respektive otevˇren´ y interval (a, b), respektive polouzavˇren´ y interval ha, b), respektive polootevˇren´ y interval (a, bi je mnoˇzina ∀x ∈ R, pro která plat´ı a ≤ x ≤ b,

respektive a < x < b ,

respektive a ≤ x < b ,

respektive a < x ≤ b . I

Pˇ r´ıklad 7.3 (Intervaly): Zapiˇste intervaly I1 = h−3, 10i, I2 = (0, 22), I3 = h−12, 0), I4 = (−100, 200i jako mnoˇziny. ˇ sen´ı: Reˇ

X S intervaly m˚ uˇzeme provádˇet stejné operace, jaké jsme si uvedli u mnoˇzin v definici 7.4. Ukaˇzme si to na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe. Pˇ r´ıklad 7.4 (Intervaly): Uvaˇzujte intervaly z pˇr´ıkladu 7.3 a urˇcete následuj´ıc´ı intervaly. Intervaly zapiˇste také pomoc´ı mnoˇzinového zápisu. • I1 ∩ I2 • I2 ∪ I3 • I2 ∩ I3 • (I2 ∪ I4 ) ∩ I3


182 ˇ sen´ı: Reˇ

X

7.2

Funkce

Definice 7.6 (Funkce): Funkce jedné promˇenné x je zobrazen´ı f (x) : D(f ) → H(f ), které ∀x ∈ D(f ) pˇriˇrazuje nejv´ yˇse jedno y ∈ H(f ). Zapisujeme f (x) : y = f (x) ,

x ∈ D(f ) .

Mnoˇzinu D(f ) naz´ yváme definiˇcn´ım oborem funkce f a mnoˇzinu H(f ) naz´ yváme oborem hodnot funkce f © ª D(f ) = x | ∃f (x) ,

© ª H(f ) = y | y = f (x), ∀x ∈ D(f ) .

Grafem funkce rozum´ıme mnoˇzinu bod˚ u © ª [x, y] ∈ R2 | y = f (x), ∀x ∈ D(f ) .

I

Pozn´ amka: Funkce m˚ uˇze b´ yt zadána: • analytick´ ym pˇredpisem, • grafem, • v´ yˇctem prvk˚ u (tabulkou).

2

7.2. FUNKCE

183

Pˇ r´ıklad 7.5: Sestrojte graf funkce f (x) : y = x2 − 3x + 2 ,

D(f ) : x ∈ h−3, 4) .

Urˇcete pr˚ useˇc´ıky grafu funkce s osami Px , Py . ˇ sen´ı: Reˇ

Obrázek 7.1: Graf funkce f (x)

X

184


Pozn´ amka: Obvykle pouˇz´ıváme slovo funkce jako synonymum souslov´ı re´ aln´ a funkce jedné re´ alné promˇenné , pak D(f ) ⊂ R a H(f ) ⊂ R. M˚ uˇzeme m´ıt ale napˇr´ıklad komplexn´ı funkci komplexn´ı promˇenné, nebo reálnou funkci v´ıce promˇenn´ ych a podobnˇe.

2

Pozn´ amka: Pokud nen´ı definiˇcn´ı obor u analytického pˇredpisu funkce uveden, pak pˇredpokládáme, ˇze definiˇcn´ı obor je nejvˇetˇs´ı moˇzná podmnoˇzina R, která má smysl do funkˇcn´ıho pˇredpisu dosadit.

2

Pˇ r´ıklad 7.6: Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f (x) : y =

r

x+1 . x−1

ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 7.7: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 7.6. Urˇcete funkˇcn´ı hodnotu v bodˇe x0 , kde x0 je libovoln´ y bod z D(f ). ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 7.8: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 7.6. Urˇcete zda je y = 1 funkˇcn´ı hodnotou této funkce. ˇ sen´ı: Reˇ

X

7.2. FUNKCE

185

Pˇ r´ıklad 7.9: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 7.6 a sestrojte jej´ı graf. ˇ sen´ı: Reˇ


V Matlabu m˚ uˇzeme graf vykreslit takto:

X

186


Jak jsme uvedli v u ´vodu této kapitoly, zde pouze opakujeme stˇredoˇskolské pojmy z matematiky. Proto si následuj´ıc´ı definice doplˇ nte sami. Definice 7.7 (Funkce lich´ a/sud´ a):

I Definice 7.8 (Funkce periodick´ a):

I Definice 7.9 (Funkce omezen´ a):

I Definice 7.10 (Funkce sloˇ zen´ a):

I Definice 7.11 (Funkce prost´ a):

I Definice 7.12 (Funkce inverzn´ı):

I

7.2. FUNKCE

7.2.1

187

Grafy element´ arn´ıch funkc´ı Tabulka 7.1: Konstantn´ı a lineárn´ı funkce

Název funkce

konstantn´ı

lineárn´ı

f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :

Tabulka 7.2: Funkce s absolutn´ı hodnotou a kvadratick´ a funkce

Název funkce f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :

s absolutn´ı hodnotou

kvadratická


188

Tabulka 7.3: Goniometrické funkce

Název funkce

sinus

kosinus

f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :

Tabulka 7.4: Goniometrické funkce


tangens

kotangens

7.2. FUNKCE

189 Tabulka 7.5: Exponenciáln´ı a logaritmick´ a funkce

Název funkce

exponenciáln´ı

logaritmická

f (x) : D(f ) : H(f ) : Px : Py :

Tabulka 7.6: Mocninné funkce



190

7.3

´ Ulohy

´ , M. a Kubic ˇ´ıkova ´ , L., 2009). PoOpakujte si dle Vaˇs´ı potˇreby napˇr´ıklad z (Hudcova kud nestaˇc´ıte, zapiˇste si pˇredmˇet Semináˇr z matematiky. Dále je uvedeno nˇekolik pˇr´ıklad˚ u, které by mˇel student vyˇsˇs´ı odborné ˇskoly s jistotou vyˇreˇsit. Pˇ r´ıklad 7.10: Uvaˇzujte funkci dle následuj´ıc´ıho obrázku. 100

50

y

0

−50

−100

−150

−4

−3

−2

−1

0 x

1

2

3

4

5


Urˇcete f (−4) = . . . . . ., f (−1) = . . . . . ., f (1) = . . . . . ., f (2) = . . . . . ., f (3) = . . . . . .. Dále urˇcete f (x) = −50 ⇔ x = . . . . . ., f (x) = 50 ⇔ x = . . . . . .. Poté urˇcete, kde je funkce rostouc´ı, kde je klesaj´ıc´ı, kde je nerostouc´ı, kde je neklesaj´ıc´ı, zda je funkce periodická, zda je sudá, zda je lichá, zda je omezená, zda je prostá a zda k n´ı existuje funkce inverzn´ı. Pokud inverzn´ı funkce existuje, naˇcrtnˇete ji do v´ yˇse uvedeného grafu. Pˇ r´ıklad 7.11: Urˇcete rovnice vˇsech pˇr´ımek, které procházej´ı dvˇema r˚ uzn´ ymi body na následuj´ıc´ım obrázku. Kolik takov´ ychto pˇr´ımek m˚ uˇze b´ yt (vzpomeˇ nte si na kombinatoriku). Zapiˇste rovnice vˇsech pˇr´ımek ve tvaru y = k x + y0 a také ve tvaru y = k(x + x0 ) ,

´ 7.3. ULOHY

191

kde k, y0 , x0 ∈ R. Neˇz zaˇcnete poˇc´ıtat, zamyslete se, zda budou smˇernice k jednotliv´ ych pˇr´ımek záporné, nulové nebo kladné. Zakreslete ˇc´ısla y0 , x0 do následuj´ıc´ıho obrázku a diskutujte vlastnosti tˇechto parametr˚ u. 5 4

C 3 2

F 1 y

B 0

D −1 −2

A

E

−3 −4 −3

−2

−1

0 x

1

2

3

Obrázek 7.4: Souˇradnicov´ y systém x-y

Pˇ r´ıklad 7.12: Naˇcrtnˇete teˇcny k funkci f (x) v bodech A, B, C, D, E na následuj´ıc´ım obrázku.

1

0.5

E

y

0

B

−0.5

C −1

A D

−1.5

−2 −3

−2

−1

0 x


1

2


192

Urˇcete rovnice vˇsech teˇcen ve tvaru y = k x + y0 a také ve tvaru y = k(x + x0 ) , kde k, y0 , x0 ∈ R. Neˇz zaˇcnete poˇc´ıtat, zamyslete se, zda budou smˇernice k jednotliv´ ych teˇcen záporné, nulové nebo kladné. Zakreslete ˇc´ısla y0 , x0 do obrázku a diskutujte vlastnosti tˇechto parametr˚ u. Pˇ r´ıklad 7.13: Sestrojte graf funkce, která vyjadˇruje utracené pen´ıze v závislosti na provolan´ ych minutách mobiln´ım telefonem • a) pro tarif, • b) pro pˇredplacenou kartu. Proved’te anal´ yzu a rozhodnˇete, za jaké situace se vyplat´ı tarif a za jaké situace se vyplat´ı pˇredplacená karta. Pˇ r´ıklad 7.14: Proved’te anal´ yzy hypoteˇcn´ıch splátek. Pˇredstavte si, ˇze si p˚ ujˇc´ıte x penˇez s p procentrn´ım u ´rokem. Vykreslete graf funkce, vyjadˇruj´ıc´ı závislost dluˇzen´ ych penˇez na ˇcase pˇri splátkách o hodnotˇe s m mˇes´ıc˚ u. Naprogramujte tuto kalkulaˇcku“. ”

7.3.1

´ Ulohy na tv˚ urˇ c´ı myˇ slen´ı

Pokud máte dobré analytické a tv˚ urˇc´ı myˇslen´ı, nebo pokud se v nˇem chcete procviˇcit, pokuste se vyˇreˇsit následuj´ıc´ı pˇr´ıklady. Jejich ˇreˇsen´ı má praktické vyuˇzit´ı napˇr´ıklad na stránkách hhttp://apps.copsu.cz/moodleVOS/i pˇri vyhodnocován´ı Vaˇsich známek. Pˇ r´ıklad 7.15: Vytvoˇrte funkci, pro kterou plat´ı ( 0 pro x ∈ {0, 1, 2, 3} f (x) = 1 pro x ∈ {4, 5, . . . , 12} K dispozici máte elementárn´ı funkce sin x, cos x, |x|,

√

x, ln x, log x, ex , round(x), které

m˚ uˇzete r˚ uznˇe kombinovat (násobit konstantou, sˇc´ıtat, násobit, dˇelit, vnoˇrovat atd.). Funkce round zaokrouhluje.


193

Pˇ r´ıklad 7.16: Vytvoˇrte funkci, pro kterou plat´ı ( 0 pro x ∈ {0, 1, 2} f (x) = 1 pro x ∈ {3, 4, . . . , 13} K dispozici máte elementárn´ı funkce sin x, cos x, |x|,

√


m˚ uˇzete r˚ uznˇe kombinovat (násobit konstantou, sˇc´ıtat, násobit, dˇelit, vnoˇrovat atd.). Funkce round zaokrouhluje. Pˇ r´ıklad 7.17: Vytvoˇrte funkci, pro kterou plat´ı ( 0 pro x ∈ {0, 1, . . . , 14} f (x) = 1 pro x ∈ {15, 16, . . . , 60} K dispozici máte elementárn´ı funkce sin x, cos x, |x|,

√


m˚ uˇzete r˚ uznˇe kombinovat (násobit konstantou, sˇc´ıtat, násobit, dˇelit, vnoˇrovat atd.). Funkce round zaokrouhluje. Pˇ r´ıklad 7.18: Vytvoˇrte funkci, pro kterou plat´ı ( 0 pro x ∈ {−30, −29, . . . , −1} f (x) = 1 pro x ∈ {0, 1, . . . , 30} K dispozici máte elementárn´ı funkce sin x, cos x, |x|,

√


m˚ uˇzete r˚ uznˇe kombinovat (násobit konstantou, sˇc´ıtat, násobit, dˇelit, vnoˇrovat atd.). Funkce round zaokrouhluje. Pˇ r´ıklad 7.19: Urˇcete funkci, jak´ ym zp˚ usobem se mˇen´ı pr˚ uˇrez otevˇren´ı ventilu S [m2 ] (trubiˇcky) v závislosti na v´ yˇsce klapky v [m] (viz obrázek ventilu s noˇzovou klapkou). Vykreslete graf této funkce.

7.4 7.4.1


• Orientovat se ve stˇredoˇskolské matematice v oblasti funkc´ı, mnoˇzin a interval˚ u. • Znát vˇsechny definice uvedené v této kapitole a rozumˇet jim.


194 • Umˇet ˇc´ıst z grafu funkce.

• Umˇet urˇcit definiˇcn´ı obor dané funkce. • Umˇet urˇcit pr˚ useˇc´ıky dané funkce s osami. • Umˇet naˇcrtnout grafy elementárn´ıch funkc´ı. • Umˇet naˇcrtnout grafy jednoduch´ ych sloˇzen´ ych funkc´ı. • Umˇet z grafu lineárn´ı funkce napsat jej´ı funkˇcn´ı pˇredpis (umˇet napsat rovnici pˇr´ımky).

Kapitola 8 Spojitost a limita funkce Spojitost a limita funkce jsou dvˇe nejzákladnˇejˇs´ı vlast-

2 1.5

nosti pˇri analyzován´ı funkc´ı, ze kter´ ych budeme vycházet tegrálu funkce. Nen´ı tedy bezpodm´ıneˇcnˇe nutné umˇet urˇcit spojitost ˇci spoˇc´ıtat limitu jakékoli funkce, to je ˇreknˇeme sp´ıˇse pro vysoké ˇskoly. D˚ uleˇzitˇejˇs´ı je pochopen´ı základn´ıch

y

v dalˇs´ıch kapitolách, kde si pov´ıme nˇeco o derivaci a in-

1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −4

−3

−2

−1

0 x

1

2

3

4

myˇslenek této kapitoly a souvislost´ı tˇechto pojm˚ u s grafy jednotliv´ ych funkc´ı. Spojitost funkce je pro nás zásadn´ı v tom smˇeru, ˇze nám garantuje“ to, ˇze pokud se ” nˇejak málo mˇen´ı nezávislá promˇenná, pak se málo ˇci v´ıce (ale stále nˇejak u ´mˇernˇe – ne skokovˇe) mˇen´ı závislá promˇenná. Napˇr´ıklad zkoumáme-li spotˇrebu benz´ınu v závislosti na rychlosti automobilu, v´ıme, ˇze se s mˇen´ıc´ı se rychlost´ı mˇen´ı u ´mˇernˇe (tedy spojitˇe) i spotˇreba. Naopak zkoumáme-li mechanické napˇet´ı v pruˇzinˇe v závislosti na jej´ım nataˇzen´ı, pak zjist´ıme, ˇze pˇri urˇcitém nataˇzen´ı dojde k pˇretrˇzen´ı pruˇziny. Zde dojde ke skokové zmˇenˇe závislé veliˇciny, funkce je tedy v tomto pˇr´ıpadˇe nespojitá. U funkc´ı nás také ˇcasto nezaj´ımaj´ı konkrétn´ı hodnoty pro konkrétn´ı x (tˇech je nekoneˇcnˇe mnoho), ale mnohdy nás zaj´ımá k jaké hodnotˇe se bl´ıˇz´ı funkˇcn´ı hodnota, kdyˇz se nezávislá promˇenná bl´ıˇz´ı nˇejakému specifikovanému bodu. K tomuto se nauˇc´ıme vyuˇz´ıvat právˇe limitu funkce. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejména z (Jankovsky ucha, L., 1998), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 195

196

8.1

KAPITOLA 8. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE

Spojitost funkce

Pˇ r´ıklad 8.1: Sestrojte graf následuj´ıc´ıch dvou funkc´ı a diskutujte v ˇcem se tyto funkce zejména liˇs´ı. f1 (x) : y = x3

f2 (x) : y = 5 sing(x)

ˇ sen´ı: Nejprve urˇc´ıme definiˇcn´ı obory obou funkc´ı Reˇ D(f1 ) :

,

D(f2 ) :

.

Sestrojit grafy zadan´ ych funkc´ı by jste jistˇe pomoc´ı tabulky dokázali jiˇz sami. 10 8

f1: y = x3 f2: y = 5sing(x)

6 4

y

2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −4

−3

−2

−1

0 x

1

2

3

4

Obrázek 8.1: Grafy funkc´ı f1 (x) a f2 (x)

Co na obr. 8.1 pozorujete za v´ yznamn´ y rozd´ıl?

X

8.1. SPOJITOST FUNKCE

197

Definice 8.1 (Okol´ı bodu): Necht’ x0 ∈ R a ε > 0, pak ε-okol´ım bodu x0 naz´ yváme mnoˇzinu (interval) Uε (x0 ) =

©

¯ ª ¡ ¢ x ¯ | x − x0 | < ε = x0 − ε, x0 + ε .

ε naz´ yváme polomˇer okol´ı.

I

Pozn´ amka: Okol´ı bodu budeme oznaˇcovat velk´ ymi p´ısmeny U , V , W , . . . a pokud nebude záleˇzet na velikosti ˇc´ısla ε, pak budeme struˇcnˇe mluvit o okol´ı U (x0 ), V (x0 ), W (x0 ) a tak dále.

2

Definice 8.2 (Prstencov´ e okol´ı bodu): Necht’ x0 ∈ R a ε > 0, pak prstencovým ε-okol´ım bodu x0 naz´ yváme mnoˇzinu © ¯ ª ¡ ¢ ¡ ¢ Pε (x0 ) = x ¯ 0 < | x − x0 | < ε = x0 − ε, x0 ∪ x0 , x0 + ε .

I

ˇ ıkáme, ˇze f (x) je spojit´ Definice 8.3 (Funkce spojit´ a v bodˇ e): R´ a v x0 , jestliˇze plat´ı a) x0 ∈ D(f ), ¡ ¢ b) ∀U f (x0 ) ∃V (x0 ) takové, ˇze ¡ ¢ ∀x ∈ V (x0 ), x ∈ D(f ) ⇒ f (x) ∈ U f (x0 ) . V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze f (x) je nespojit´ a v x0 .

I

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

0

y

y

Ukaˇzme si vysvˇetlen´ı této definice na funkc´ıch z pˇr´ıkladu 8.1.

0

−2

−2

−4

−4

−6

−6

−8

−8

−10 −4

−10 −4

−3

−2

−1

0 x

1

(a) graf f1 (x)

2

3

4

−3

−2

−1

0 x

1

(b) graf f2 (x)

Obrázek 8.2: Grafy funkc´ı f1 (x) a f2 (x) z pˇr´ıkladu 8.1

2

3

4

198


Protoˇze ukazovat podle definice 8.3, zda je funkce spojitá ˇci nikoliv, je mnohdy velmi pracné, vyuˇz´ıváme ˇcasto následuj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 8.1 (Vlastnosti spojit´ ych funkc´ı): Necht’ f1 (x) a f2 (x) jsou spojité v x0 , pak plat´ı a) f1 (x) + f2 (x), f1 (x) · f2 (x), |f1 (x)| jsou spojité v x0 , b) je-li f2 (x0 ) 6= 0 ⇒ f1 (x)/f2 (x) je spojit´ a v x0 , c) ∃U (x0 ) takové, ˇze f1 (x) je omezená na U (x0 ), d) je-li f (x0 ) > 0, pak ∃U (x0 ) takové, ˇze f1 (x) > 0 na U (x0 ).

Vˇ eta 8.2 (Spojitost sloˇ zen´ e funkce): Je-li f1 (x) spojit´ a v x0 a je-li f2 (x) spojit´ a ¡ ¢ v f1 (x0 ) ⇒ f2 f1 (x) je spojit´ a v x0 .

Vˇ eta 8.3 (Spojitost element´ arn´ıch funkc´ı): Vˇsechny elementárn´ı funkce (konstantn´ı, lineárn´ı, mocninné, goniometrické, exponenci´ aln´ı a logaritmické) jsou spojité vˇsude tam, kde jsou definované. Definice 8.4 (Funkce spojit´ a): Je-li f (x) spojitá v ∀x ∈ D(f ), pak ˇr´ıkáme, ˇze je f (x) spojit´ a , v opaˇcném pˇr´ıpadˇe nespojitá. Body, kde je f (x) nespojitá, naz´ yváme body nespojitosti .

I

Pˇ r´ıklad 8.2: S vyuˇzit´ım pˇredchoz´ıch vˇet ukaˇzte, ˇze funkce z pˇr´ıkladu 7.6 je spojitá. ˇ sen´ı: Reˇ

X

8.2. LIMITA FUNKCE

8.2

199

Limita funkce

Definice 8.5 (Limita funkce): Necht’ f (x) je definovaná na U (x0 ) s vyj´ımkou nejv´ yˇse ˇ bodu x0 . Rekneme, ˇze f (x) má v x0 limitu L ∈ R, jestliˇze plat´ı ∀V (L) ∃U (x0 ) takové, ˇze ∀x ∈ U (x0 ), x ∈ D(f ), x 6= x0

⇒

f (x) ∈ V (L) .

Zapisujeme lim f (x) = L ,

(8.1)

x→x0

nebo f (x) → L pro x → x0 .

I

Obrázek 8.3: Limita funkce

Pozn´ amka: Nahrad´ıme-li v pˇredchoz´ı definici okol´ı bodu x0 lev´ ym respektive prav´ ym prstencov´ ym okol´ım, pak mluv´ıme o jednostrann´ ych limitách zleva respektive zprava. Zapisujeme lim f (x) ,

x→x0−

lim f (x) .

x→x0+

Je-li x0 = ±∞, mluv´ıme o limitˇe v nevlastn´ım bodˇe. Je-li L = ±∞, mluv´ıme o nevlastn´ı limitˇe.

2

200


Pˇ r´ıklad 8.3: Uvaˇzujte funkci f (x) jej´ıˇz graf je na následuj´ıc´ım obrázku. 100

4 3

50

2 1 0

y

y

0

[−2.25, −0.56]

−1 [−2.25, −2]

−2

−50

−3 −4 −100

−5 −6

−150

−4

−3

−2

−1

0 x

1

2

3

4

5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

x

(a) graf funkce

(b) detail


Urˇcete lim f (x), kde x0 = {−∞, −2,25, −1, 0, 1, 1,5, 2, ∞}. x→x0

ˇ sen´ı: Nejprve urˇc´ıme D(f ) : Reˇ lim f (x) =

x→−∞

lim f (x) =

x→−2,25

lim f (x) =

x→−1

lim f (x) =

x→0

lim f (x) =

x→1

lim f (x) =

x→1,5

lim f (x) =

x→2

lim f (x) =

x→∞

Vrat’me se nyn´ı ke graf˚ um elementárn´ıch funkc´ı v kapitole 7.2.1 a dopiˇsme k nim pˇr´ısluˇsné limity.

X

8.2. LIMITA FUNKCE

201

Vˇ eta 8.4 (Spojitost a limita funkce): f (x), která je definovaná na U (x0 ), je v x0 spojit´ a⇔ lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

Pˇ r´ıklad 8.4: Uvaˇzujte funkci

    0

f (x) : y =

x≤0

ax + b    6

x ∈ (0; 3) x≥3

Urˇcete ˇc´ısla a, b tak, aby byla funkce f (x) spojitá. ˇ sen´ı: Reˇ

X Protoˇze urˇcován´ı limit pˇr´ımo z definice je pomˇerné pracné a velmi zdlouhavé, pouˇz´ıváme ˇcasto následuj´ıc´ı pouˇcky. Vˇ eta 8.5 (Vlastnosti limit): 1. f (x) m´ a v daném bodˇe nejvýˇse jednu limitu. 2. Jestliˇze lim f (x) = L, L ∈ R, pak ∃P (x0 ), ve kterém je f (x) omezen´ a. x→x0

3. lim f (x) = L

⇔

x→x0

4.

lim f (x) = lim f (x) = L

x→x0−

x→x0+

(8.2)

¡ ¢ lim f1 (x) + f2 (x) = lim f1 (x) + lim f2 (x),

(8.3)

lim f1 (x)f2 (x) = lim f1 (x) · lim f2 (x),

(8.4)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ lim ¯f (x)¯ = ¯¯ lim f (x)¯¯ ,

(8.5)

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

lim f1 (x) f1 (x) x→x0 lim = , x→x0 f2 (x) lim f2 (x) x→x0

pokud limity vpravo existuj´ı a výrazy vpravo maj´ı smysl.

(8.6)

202


Definice 8.6 (Rozˇ s´ıˇ ren´ı mnoˇ ziny re´ aln´ ych ˇ c´ısel): R∗ = R ∪ {−∞; +∞} = (−∞; +∞) Je-li L ∈ R, pak definujeme L+∞=∞ L·∞=∞

L − ∞ = −∞

L · (−∞) = −∞

pro

L>0

L · ∞ = −∞

L · (−∞) = ∞ pro L<0 L L = =0 ∞ −∞ ∞+∞=∞ − ∞ − ∞ = −∞

∞·∞=∞

(−∞)(−∞) = ∞

(∞)(−∞) = −∞

I

Pozn´ amka: Necht’ L ∈ R. Nedefinujeme v´ yrazy (neurˇcité v´ yrazy) L , 0

∞ , 0

−∞ , 0

∞ , ∞

−∞ , ∞

∞ , −∞

∞ − ∞,

Pˇ r´ıklad 8.5: Vypoˇc´ıtejte limity lim

5x − 6 +x−2

x→x0 x2

ˇ sen´ı: Nejprve urˇc´ıme D(f ) : Reˇ lim

5x − 6 = +x−2

lim

5x − 6 = +x−2

x→0 x2

x→∞ x2

lim

x→1

5x − 6 = +x−2

x2

Zkuste sami vypoˇc´ıtat. lim

5x − 6 = +x−2

x→−∞ x2

lim

x→−2

5x − 6 = +x−2

x2

x0 = {0, ∞, 1}.

0 · ∞.

2

8.2. LIMITA FUNKCE

203

Vykreslete graf funkce v Matlabu a ovˇeˇrte na nˇem vypoˇctené limity.

Obrázek 8.5: Limita funkce

X

V tomto kurzu se limitami zab´ yváme pouze okrajovˇe, ale moˇzná byste mohli nˇekdy vyuˇz´ıt následuj´ıc´ı dvˇe vˇety. Vˇ eta 8.6 (Vlastnosti limit): 1. Necht’ v P (x0 ) je f1 (x) ≤ f (x) ≤ f2 (x) a lim f1 (x) = lim f2 (x) = L, pak x→x0

x→x0

lim f (x) = L .

x→x0

2. Necht’ lim f1 (x) = 0 a necht’ f2 (x) je na P (x0 ) omezená, pak lim f1 (x)f2 (x) = 0. x→x0

x→x0

3. Necht’ v P (x0 ) je f1 (x) ≤ f2 (x), pak lim f1 (x) ≤ lim f2 (x), pokud limity existuj´ı. x→x0

x→x0

4. Necht’ lim f (x) = L, L > 0. Potom ∃P (x0 ) takové, ˇze ∀x ∈ P (x0 ) ⇒ f (x) > 0. x→x0

Vˇ eta 8.7 (Vlastnosti limit): Plat´ı sin(x) ex − 1 ln(1 + x) = 1, lim = 1, lim = 1, x→0 x→0 x→0 x x x ln x ax − 1 = ln a , a > 0 , lim x ln x = 0 , lim = 0, lim x→0+ x→0+ x x→0 x µ ¶x 1 lim 1 + = e. x→∞ x lim

204

8.2.1


Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych v intervalu

ˇ Reknˇ eme, ˇze pojmy uvedené v této kapitole byly dosti akademické. Ukaˇzme si v této podkapitole ryze praktickou aplikaci tˇechto pojm˚ u, ke které nám poslouˇz´ı následuj´ıc´ı pouˇcka. Vˇ eta 8.8: Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a na ha, bi, potom plat´ı 1. f (x) je omezená a nabýv´ a své nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnoty. 2. Necht’ f (x = a) · f (x = b) < 0, potom ∃c ∈ (a, b) takový, ˇze f (x = c) = 0. 3. Je-li m = min{f (x) | x ∈ ha, bi} a M = max{f (x) | x ∈ ha, bi}, pak H(f ) = hm, M i.

Pˇ r´ıklad 8.6 (Metoda p˚ ulen´ı interval˚ u): Ukaˇzte, ˇze rovnice 10x3 − 85x2 + 185x − 111 = 0 má koˇren v intervalu (5, 6) a urˇcete jej s pˇresnost´ı 10−2 . ˇ sen´ı: Nejprve ovˇeˇr´ıme, zda je levá ˇca´st zadané rovnice spojitá. Reˇ Dále zjist´ıme, zda je f (x = 5) · f (x = 6) < 0. Podle vlastnosti 2 z vˇety 8.8 v´ıme, ˇze existuje/neexistuje ˇreˇsen´ı rovnice v intervalu (5, 6).

X

´ 8.3. ULOHY

8.3

205

´ Ulohy

Pˇ r´ıklad 8.7: Urˇcete ˇc´ısla a, b ∈ R tak, aby byly následuj´ıc´ı funkce spojité.   x≤0   −1 a) f (x) : y =

ax + b    3 (

b) f (x) : y =

x≥2

0

x≤0

a + e−x

x>0

 2    x c) f (x) : y =

x ∈ (0; 2)

x≤0

ax + b    +√x

x ∈ (0; 1i x≥1

Pˇ r´ıklad 8.8: Rozhodnˇete, zda jsou následuj´ıc´ı funkce spojité.   x≤0  x2  a) f (x) : y = 0 x ∈ (0; 1)  ¡ ¢   sin π x x≥1 2   x≤0   0 b) f (x) : y =

x    2−x (

c) f (x) : y =

0

x ∈ (0; 1) x ∈ h1; 2i x≤0

−x

1−e

    cos x d) f (x) : y = 1    π−x  2    x e) f (x) : y = 1    sin ¡ π x¢ 2

x>0 x≤0 x ∈ (0; π) x≥π x≤0 x ∈ (0; 1) x≥1

Pˇ r´ıklad 8.9: Dodefinujte následuj´ıc´ı funkce v bodˇe x0 tak, aby v nˇem byly spojité. a) f (x) : y =

x−1 , x0 = 1 x3 − 1

b) f (x) : y =

sin(x) , x0 = 0 x3

c) f (x) : y =

| x| , x0 = 0 x

206


Pˇ r´ıklad 8.10: Urˇcete limity následuj´ıc´ıch funkc´ı. a) lim (2x + 1)

b) lim x(5 − x)

x→2

d) lim

¡

x→+∞

x→−∞

¢ 10ex − sin(x)

x3 + 4x − 3 x→−∞ x2 − 5

g) lim

x2 + x − 2 x→−∞ −x − 1

¡

c) lim

x→−∞

¡

¢ e) lim 8ex cos(x)

¡ ¢ f) lim 4ex sin(x)

x→0

r h) lim

x→1+

¢ 10ex + sin(x) x→∞

x2 − 4 x→−1 x + 1

x+1 x−1

ch) lim

1 x→0 1 − cos(x)

i) lim

j) lim

Pˇ r´ıklad 8.11: Urˇcete limity následuj´ıc´ıch funkc´ı. ¡ ¢2 pro x0 ∈ {0; π/2; π; +∞} a) lim ln 1 + cos(x) x→x0

b) lim

x→x0

ex + e−x ex − e−x

pro x0 ∈ {+∞; −∞; 0}

c) lim

x→x0

x−1 x2 − 1

x2 + x − 2 ex pro x ∈ {+1; −1; 2} e) lim 0 x→x0 x→x0 x + 1 x2 − 1 Pˇ r´ıklad 8.12: Urˇcete limity následuj´ıc´ıch funkc´ı. d) lim

2x2 + 1 x→+∞ 3x3 − 4x + 5 ¡ ¢ d) lim e−x cos(x) a) lim

6x4 − 2x + 3 x→−∞ 4x3 + 5

b) lim

pro x0 ∈ {−1; +1} pro x0 ∈ {0; −∞; −1+ }

c) lim

x→+∞

¡

¢ 3x3 − 2x2 + 5x − 1

5x − 6 sin(x) f) lim x→+∞ x→0 +x−2 x2 Pˇ r´ıklad 8.13: Naˇctnˇete grafy ke vˇsem v´ yˇse zadan´ ym funkc´ım a ovˇeˇrte na nich vypoˇc´ıe) lim

x→−2 x2

tané limity a spojitost. Pˇ r´ıklad 8.14: Metodou p˚ ulen´ı interval˚ u urˇcete s pˇresnost´ı 10−3 koˇreny následuj´ıc´ıch funkc´ı v daném intervalu. a) f (x) : y = x2 + 3x + 2,

x ∈ (−1,7; −0,1)

b) f (x) : y = x3 + 3x2 + 2x + 1,

x ∈ (−3; −2)

c) f (x) : y = x3 − 5x2 + 2x − 1,

x ∈ (4; 5)

d) f (x) : y = x3 − 5x2 + 7x − 1,

x ∈ (0; 1)

e) f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,

x ∈ (0; 1)

f) f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,

x ∈ (3; 4)

Pˇ r´ıklad 8.15: Naprogramujte v Matlabu algoritmus, kter´ y hledá koˇren rovnice pomoc´ı metody p˚ ulen´ı interval˚ u. Rozˇsiˇrte algoritmus o grafické zobrazován´ı jednotliv´ ych iterac´ı.


8.4 8.4.1


• Urˇcit, zda je funkce spojitá z grafu funkce. • Urˇcit limity na grafu funkce. • Vypoˇc´ıtat jednoduché limity funkce podobnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 8.5.

207

208


Kapitola 9 Derivace funkce Derivace funkce je nov´ y a velmi zásadn´ı pojem matematické anal´ yzy. Studenti ho obvykle shledávaj´ı jako zaj´ımavˇejˇs´ı a snáze pochopiteln´ y pojem neˇz byla limita funkce. Také vyuˇzit´ı derivac´ı, nebo téˇz diferenci´ aln´ıho poˇctu, je pro nás mnohem v´ yznamnˇejˇs´ı, at’ uˇz p˚ ujde o pouhé vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce, se kter´ ym se setkáme v následuj´ıc´ıch kapitolách matematické anal´ yzy, nebo o modelován´ı dynamick´ ych systém˚ u, se kter´ ym se budeme setkávat v kurzu Modelován´ı a ˇr´ızen´ı systém˚ u. V této kapitole si zavedeme nˇekolik definic a vˇet, pomoc´ı kter´ ych budeme poˇc´ıtat pˇr´ısluˇsné derivace. Pov´ıme si, jak derivovat souˇcet, souˇcin a pod´ıl funkc´ı, jak derivovat sloˇzenou funkci (pˇri tom dˇelaj´ı studenti ˇcasto chyby). Dále se seznám´ıme s derivacemi vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u, s parciáln´ımi derivacemi a s L’hospitalov´ ym [lopital] pravidlem pro v´ ypoˇcet limit. Nauˇc´ıme se mechanicky poˇc´ıtat pˇr´ıklady a na aplikace této partie anal´ yzy se pod´ıváme aˇz v navazuj´ıc´ıch kapitolách. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejména z (Jankovsky ucha, L., 1998), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 209

210

9.1

KAPITOLA 9. DERIVACE FUNKCE

Z´ akladn´ı pojmy

Pˇ r´ıklad 9.1: Uvaˇzujte profil terénu podle následuj´ıc´ıho obrázku a urˇcete, jak se mˇen´ı jeho stoupán´ı (jak hodnˇe energie spotˇrebujete na zdolán´ı tohoto pˇrev´ yˇsen´ı). ˇ sen´ı: Reˇ

Obrázek 9.1: Profil terénu

X

´ Í POJMY 9.1. ZAKLADN

211

Pˇ r´ıklad 9.2: Nakreslete graf funkce f (x) : y = x2 − 4, x ∈ (−2,5, 2,5) a urˇcete jej´ı zmˇenu pro ∆x = 1, ∆x = 0,5, ∆x = 0,1, ∆x → 0. ˇ sen´ı: Reˇ

Tabulka 9.1: Zmˇena f (x)

x

−2

−1

0

1

2

∆y/∆x pro ∆x = 1 ∆y/∆x pro ∆x = 0,5 ∆y/∆x pro ∆x = 0,1 ∆y/∆x pro ∆x → 0

Obrázek 9.2: f (x) : y = x2 , x ∈ (−2,5, 2,5)

X

212


ˇ ıkáme, Definice 9.1 (Derivace funkce v bodˇ e): Necht’ f (x) je definovaná na U (x0 ). R´ ˇze f (x) má vlastn´ı, respektive nevlastn´ı derivaci 1. ˇr´ adu v x0 , ⇔ ∃ vlastn´ı, respektive nevlastn´ı limita

¯ df (x) ¯¯ f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = = lim . dx ¯x=x0 x→x0 x − x0 0

Pro UL (x0 ), respektive UP (x0 ) mluv´ıme o derivaci zleva f−0 (x0 ), respektive zprava f+0 (x0 ). Derivaci podle ˇcasu znaˇc´ıme také df (t) = f˙(t) . dt

I

Vˇ eta 9.1: f (x) má f 0 (x0 ) ⇔ ∃f−0 (x0 ) ∧ ∃f+0 (x0 ) a plat´ı f−0 (x0 ) = f+0 (x0 ) = f 0 (x0 ) .

ˇ ıkáme, ˇze f (x) má f 0 (x) na (a, b) ⇔ ∀x ∈ (a, b) Definice 9.2 (Derivace funkce): R´ ˇ ıkáme, ˇze f (x) má f 0 (x) na ha, bi ⇔ ∀x ∈ (a, b) ∃f 0 (x) ∃f 0 (x) podle definice 9.1. R´ a ∃f+0 (a) a ∃f−0 (b).

I

¯ ¯ Vˇ eta 9.2 (Derivace funkce a jej´ı spojitost): ∃f 0 (x0 ) takov´ a, ˇze ¯f 0 (x0 )¯ < ∞, pak je f (x) v x0 spojit´ a.

Pozn´ amka: Plat´ı opaˇcná vˇeta?

2


213

Pˇ r´ıklad 9.3: Pomoc´ı definice 9.2 odvod’te vztah pro derivaci f (x) : y = xn , n ∈ N. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 9.4: Urˇcete f 0 (x0 ) je-li f (x) : y = x2 , x0 = 3. ˇ sen´ı: Reˇ

X Poˇc´ıtat derivace funkc´ı z definice by bylo ˇcasovˇe nev´ yhodné, proto si nyn´ı uvedeme tabulku derivac´ı elementárn´ıch funkc´ı a vˇetu o derivaci souˇctu, souˇcinu a pod´ılu funkc´ı. Tabulka 9.2: Derivace element´ arn´ıch funkc´ı

f (x)

f 0 (x)

f (x)

y = xn , n ∈ N

y = c, c ∈ R

y = ex

y = ax , a ∈ R+

y = ln|x|

y = loga |x|, a ∈ R+ \{1}

y = sin(x)

y = cos(x)

y = tg(x)

y = cotg(x)

y = arcsin(x)

y = arccos(x)

y = arctg(x)

y = arccotg(x)

y = sinh(x)

y = cosh(x)

y = tgh(x)

y = cotgh(x)

y = arcsinh(x)

y = arccosh(x)

y = arctgh(x)

y = arccotgh(x)

f 0 (x)

214


Vˇ eta 9.3 (Derivace souˇ ctu, souˇ cinu a pod´ılu): Necht’ f1 (x) a f2 (x) maj´ı derivace a k ∈ R, pak plat´ı [kf1 (x)]0 = k [f1 (x)]0 ,

(9.1)

[f1 (x) + f2 (x)]0 = [f1 (x)]0 + [f2 (x)]0 ,

(9.2)

[f1 (x) · f2 (x)]0 = [f1 (x)]0 · [f2 (x)] + [f1 (x)] · [f2 (x)]0 ,

(9.3)

·

f1 (x) f2 (x)

¸0 =

[f1 (x)]0 · [f2 (x)] − [f1 (x)] · [f2 (x)]0 . £ ¤2 f2 (x)

(9.4)

Pˇ r´ıklad 9.5 (Derivace souˇ ctu, souˇ cinu a pod´ılu): Urˇcete derivace funkc´ı f1 (x) : y = 2 sin(x) + 3x2 , f2 (x) : y = 2ln(x) + 4x2 cos(x) , f3 (x) : y = 4ex + 3

sin(x) . cos(x)

ˇ sen´ı: Reˇ

X


215

¡ ¢ Vˇ eta 9.4 (Derivace sloˇ zen´ e funkce): Necht’ f1 f2 (x) a ∃f20 (x) v x, ∃f10 (x) v f2 (x), pak

£ ¡ ¢¤0 f1 f2 (x) = f10 (x) · f20 (x) .

Pˇ r´ıklad 9.6 (Derivace sloˇ zen´ e funkce): Urˇcete derivaci následuj´ıc´ı funkce 2 +3

f (x) : y = e2x

.

ˇ sen´ı: Reˇ

X Definice 9.3 (Derivace n-t´ eho ˇ r´ adu): Derivac´ı n-tého ˇra´du, struˇcnˇe n-tou derivac´ı f (x) na mnoˇzinˇe M naz´ yváme derivaci (n − 1)-n´ı derivace f (x) na mnoˇzinˇe M . Znaˇc´ıme ji f

(n)

£

(x) = f

(n−1)

¤0 (x) ,

dn f (x) d = n dx dx

µ

dn−1 f (x) dxn−1

¶ .

I

Pˇ r´ıklad 9.7 (Derivace n-t´ eho ˇ r´ adu): Urˇcete ˇctvrtou derivaci funkce f (x) : y = x4 + x + sin(x) . ˇ sen´ı: Reˇ

X

216


Definice 9.4 (Prvn´ı parci´ aln´ı derivace): Necht’ f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) definovaná na U (x0 ), kde x0 = [x10 , x20 , . . . , xn0 ]T . Prvn´ı parci´ aln´ı derivac´ı f (x) v bodˇe x0 podle xk , kde k = 1, 2, . . . , n je ∂f (x) f (x10 , x20 , . . . , xk , . . . , xn0 ) − f (x10 , x20 , . . . , xk0 , . . . , xn ) = lim . xk →x0k ∂xk xk − xk0

I

Pˇ r´ıklad 9.8 (Parci´ aln´ı derivace): Urˇcete vˇsechny parciáln´ı derivace funkce f (x1 , x2 ) : y = 2x41 + 4x21 x2 + sin(3x1 − 2x2 ) . ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 9.5 (L’Hospitalovo pravidlo): Necht’ f1 (x) a f2 (x) a ∃f10 (x), f20 (x) na P (x0 ) a plat´ı lim f1 (x) = lim f2 (x) = 0

x→x0

f10 (x) 0 x→x0 f2 (x)

Jestliˇze ∃ lim

x→x0

∨

lim f1 (x) = lim f2 (x) = ∞ .

x→x0

, pak lim

x→x0

f1 (x) f 0 (x) = lim 10 . x→x0 f2 (x) f2 (x)

x→x0

´ 9.2. ULOHY

217

Pˇ r´ıklad 9.9 (L’Hospitalovo pravidlo): Vypoˇc´ıtejte limitu ln(x) x→1 x2 − 1 lim

ˇ sen´ı: Reˇ

X

9.2

´ Ulohy

Pˇ r´ıklad 9.10: Urˇcete derivace následuj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x) : y = 3x2 −5x+6

b) f (x) : y = 15x3 +6x2 +2

d) f (x) : y = 2x3 −5 sin x+6 cos x g) f (x) : y = 2 ln x + 5 ax ch) f (x) : y = 2x x , e 2

k) f (x) : y = sin2 x

e) f (x) : y = 2x2 sin x

sin x + 6x3 − 15x + 2 cos x a>0

c) f (x) : y = sin x+3x2 2x2 sin x

h) f (x) : y = 6 sin x + 2 cos x sin x

i) f (x) : y = ex ex

l) f (x) : y = cos3 x

f) f (x) : y =

j) f (x) : y = e2x

m) f (x) : y = e3x

n) f (x) : y =

sin2 x cos3 x

Pˇ r´ıklad 9.11: Urˇcete derivace následuj´ıc´ıch funkc´ı. Poté zakreslete grafy tˇechto funkc´ı spoleˇcnˇe s pr˚ ubˇehy jejich derivac´ı napˇr´ıkad v Matlabu. a) f (x) :

y = sin x,

c) f (x) :

y = x3 ,

e) f (x) :

y = sin(2x),

x ∈ h−π, πi x ∈ h−3, 3i

b) f (x) : d) f (x) :

y = x2 , y = ex ,

x ∈ h−3, 3i x ∈ h−5, 5i

x ∈ h−π, πi

Zamyslete se nad souvislostmi mezi funkcemi a jejich derivacemi. Dále si rozmyslete pojem derivace funkce, kdyˇz se na tyto pr˚ ubˇehy pod´ıváte.

218


Pˇ r´ıklad 9.12: Urˇcete derivace následuj´ıc´ıch funkc´ı. Pouˇzijte nejprve pravidlo pro derivaci souˇcinu (9.3) a poté vˇetu o pro derivaci sloˇzené funkce 9.4. Porovnejte oba zp˚ usoby. a) f (x) :

y = sin2 x

b) f (x) :

y = cos2 x

c) f (x) :

y = e2x

d) f (x) :

y = sin3 x

e) f (x) :

y = cos3 x

f) f (x) :

y = e3x

Pˇ r´ıklad 9.13: Urˇcete derivace následuj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x) :

y = sin(2x2 + 3x + 4)

d) f (x) :

y = esin(2x

g) f (x) : y =

3)

e) f (x) :

sin(e3x + 6x2 ) 6x

c) f (x) :

y = e cos x

y = esin(3x) sin(2x)

f) f (x) :

y = ln sin(x2 )

¡ ¢ ch) f (x) : y = ln ln(x3 )

h) f (x) : y = sin2 (3x4 )

Pˇ r´ıklad 9.14: Urˇcete 1. aˇz 5. derivace následuj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x) :

y = x5 + sin(x)

c) f (x) :

y = 16x3 + 2x2 + 3x + 4

e) f (x) :

y = 6e−2x sin(2x)

b) f (x) :

y = sin(nx), d) f (x) :

f) f (x) :

y=

n∈N

y = 6e−2x + sin(2x)

6e−2x sin(2x)

Pˇ r´ıklad 9.15: Urˇcete vˇsechny 1. parciáln´ı derivace následuj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x, y) = 2x2 + 3xy + 4y 2 + 2y + 1 b) f (x1 , x2 , x3 ) = 2x21 x32 + 3x2 x23 + x3 sin(x1 ) µ c) f (x1 , x2 , x3 ) = sin x1 sin x2 sin x3 +

x31

x22

x3 +

x1 x2

¶2

µ ¶2 x d) f (x, y, z) = sin x sin y sin z + x y z + y 3

e) f (N, ♠, ¤) = ¤3 sin 2N + f) f (N, ♠) = ¤3 sin 2N +

sin x

y = e4x

b) f (x) :

2

♠2 cos N

♠2 cos N

¡ ¢ g) f F, ¥ = F3 (t) + 7¥2 (t) + sin F(t)¥3 (t) ¡ ¢ h) f x(t), u(t) = x3 (t) + 7u2 (t) + sin x(t)u3 (t) ¡ ¢ i) f x(t), u(t), x(t) ˙ = 5x(t) ˙ + 4x2 (t) + 2x(t)u(t) + 2u2 (t) + u(t) + 3

´ 9.2. ULOHY

219

¡ ¢ 1 j) f x(t), u(t), x(t) ˙ = 3x(t)x(t)u(t) ˙ + 6x2 (t)u(t) + u2 (t) + 2 2 ¡ ¢ k) f x(t), u(t), x(t), ˙ t = 3t2 x(t) ˙ + 6u(t) + 7x(t) Pˇ r´ıklad 9.16: Urˇcete pomoc´ı L’hospitalova pravidla (pokud lze) následuj´ıc´ı limity. √ 3 ln(x2 + 1) x4 + 2x3 − 21x2 − 22x + 40 x2 − 1 b) lim c) lim a) lim x→1 x − 1 x→∞ x2 − 2x + 4 x→1 x4 − 5x2 + 4 3x2 + 2x + 1 x→∞ 2x + 1

2x + 1 x→∞ 3x2 + 2x + 1

d) lim

2−x x→2 2

h) lim

e) lim 2−x x→2 x − 2

ch) lim

f) lim

x→0

sin x arcsin x

g) lim

x→1

1 x−1

x4 − 5x2 + 4 x→1 x4 + 2x3 − 21x2 − 22x + 40

i) lim

2x + x2 x→−2 x2 + 2x

j) lim

Pˇ r´ıklad 9.17: Uvaˇzujte funkci f (x) jej´ıˇz graf je na následuj´ıc´ım obrázku. Urˇcete pˇribliˇznˇe derivace této funkce v bodech x0 = {−7,5, −6, −1,8, 0, 1,4, 2, 2,5, 3, 4, 5, 9}.

1.5 1.25 1 0.75

y

0.5 0.25 0 −0.25 −0.5 −0.75 −1 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Obrázek 9.3: Graf funkce f (x)

220


Poté zkuste naˇcrtnout pr˚ ubˇeh derivace této funkce. Diskutujte tento v´ ysledek v souvislosti s definic´ı derivace. Pˇ r´ıklad 9.18: Vymyslete alespoˇ n 5 poˇzadavk˚ u na tvar nˇejaké funkce. Poté naˇcrtnˇete ˇ ste tento pr˚ ubˇeh této funkce. Nakonec naˇcrtnˇete pr˚ ubˇeh 1. a 2. derivace dané funkce. Reˇ pˇr´ıklad pro nˇekolik zadán´ı (dle vaˇs´ı potˇreby tak, abyste dosáhli dobré dovednosti). Pˇ r´ıklad 9.19: Nauˇcte se v Matlabu pouˇz´ıvat pro derivován´ı symbolick´ y toolbox. Seznamte se s funkcemi syms, diff, subs, pˇr´ıpadnˇe solve a nauˇcte se je vyuˇz´ıvat. Poté ovˇeˇrte ˇreˇsen´ı vˇsech v´ yˇse uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u.

9.3


9.3.1


• Vypoˇc´ıtat derivaci jakékoli funkce (umˇet pouˇz´ıvat pravidla o derivován´ı souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu funkc´ı a umˇet derivovat sloˇzenou funkci). • Vypoˇc´ıtat derivaci funkce v zadaném bodˇe. • Urˇcit pˇribliˇznˇe derivaci funkce z grafu funkce.


221

222


Kapitola 10 Aproximace funkce a v´ yznam derivace Nyn´ı se dostáváme k praktick´ ym aplikac´ım dife-

1.5

renciáln´ıho poˇctu. V této kapitole si ukáˇzeme, ˇze

1

v´ yznam derivace funkce v daném bodˇe je smˇer0.5

lost ˇci zrychlen´ı. Dále se nauˇc´ıme, jak pˇribliˇznˇe vypoˇc´ıtat hodnoty funkc´ı bez kalkulaˇcky pomoc´ı tak zvaného diferenciálu funkce, jak zjednoduˇsit sloˇzitou funkci v okol´ı nˇejakého bodu pomoc´ı tak zvaného Taylorova polynomu a tak dále.

f(x)

nice teˇcny grafu této funkce nebo aktuáln´ı rych0

−0.5

f(x) = sin(x) x0 = 0 T1(x) T3(x)

−1

T5(x) T (x) 7

−1.5

−10

−5

0 x

5

10

Celá tato kapitola smˇeˇruje k jedinému c´ıl, k tomu, abychom se nauˇcili zjednoduˇsovat (linearizovat) matematické modely reáln´ ych dynamick´ ych systém˚ u, se kter´ ymi se seznám´ıme v kurzu Modelován´ı a ˇr´ızen´ı systém˚ u. To nám umoˇzn ˇuje velmi jednoduˇse analyzovat vlastnosti i sloˇzitˇejˇs´ıch dynamick´ ych systém˚ u, byt’ jen v u ´zkém okol´ı pracovn´ıch podm´ınek. I to je v´ yznamné, nebot’ se vˇetˇsina systém˚ u pohybuje v daném stabiln´ım reˇzimu. V tomto kurzu si ukáˇzeme linearizaci pouze systém˚ u prvn´ıho ˇrádu, tedy tˇech nejjednoduˇsˇs´ıch. Sloˇzitˇejˇs´ı systémy si necháme aˇz do daného kurzu. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejména z (Jankovsky ucha, L., 1998; Roubal, J. et al., 2011), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 223

224

´ KAPITOLA 10. APROXIMACE FUNKCE A VYZNAM DERIVACE

10.1

V´ yznam derivace funkce

10.1.1

Smˇ ernice teˇ cny v bodˇ e

Obrázek 10.1: Smˇernice teˇcny v bodˇe

Vˇ eta 10.1: Necht’ f (x) a ∃f 0 (x0 ), pak smˇernice teˇcny funkce f (x) v bodˇe x0 je ¯ df (x) ¯¯ . k= dx ¯x=x0

´ 10.1. VYZNAM DERIVACE FUNKCE

225

Pˇ r´ıklad 10.1: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = cos(x) a urˇcete rovnice teˇcen této funkce v bodech x0 = {0, π/2}. ˇ sen´ı: Reˇ

Obrázek 10.2: Funkce f (x) a jej´ı teˇcny

X

226

10.1.2


Rychlost

Obrázek 10.3: Ujet´ a dráha za ˇcas

Vˇ eta 10.2: Necht’ f (t) ud´ av´ a ujetou vzdálenost x za ˇcas t a ∃f 0 (t0 ), pak rychlost v ˇcase t0 je

¯ df (t) ¯¯ = x(t ˙ 0 ). v(t0 ) = dx ¯t=t0


227

Pˇ r´ıklad 10.2: Uvaˇzujte, ˇze ujetá dráha vlaku se dá zapsat funkc´ı £ ¤ f (t) : x(t) = 100 1 − e−0,1t , kde t [s] je ˇcas a x [m] je dráha. Urˇcete rychlost vlaku v ˇcasech t = {0, 1, 10, 100} s. ˇ sen´ı: Reˇ

Obrázek 10.4: Ujet´ a dráha vlaku x(t) a jeho rychlost v(t)

X


228

10.1.3

Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych v intervalu

Vzpomeˇ nme si na metodu p˚ ulen´ı interval˚ u, pomoc´ı které jsme hledali koˇreny dané rovnice v pˇr´ıklad 8.6. Kdyˇz nyn´ı um´ıme urˇcit rovnici teˇcny k dané funkci, ukaˇzme si efektivnˇejˇs´ı metodu tohoto v´ ypoˇctu pomoc´ı tak zvané Newtonovy metody teˇcen.

Obrázek 10.5: Newtonova metoda teˇcen

Odtud m˚ uˇzeme vyslovit následuj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 10.3 (Newtonova metoda teˇ cen): Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a na ha, bi a f (x = a) · f (x = b) < 0 a f 00 (x) je kladná nebo záporn´ a v intervalu (a, b). Jestliˇze zvol´ıme za x1 ten z bod˚ u a ˇci b, ve kterém je f 0 (x1 ) · f 00 (x1 ) > 0, pak posloupnost {xn } definovaná pˇredpisem xn+1 = xn −

f (xn ) , f 0 (xn )

n = 1, 2, 3, . . .

má limitu lim xn = x0 , kde x0 ∈ (a, b) a f (x0 ) = 0. n→∞

(10.1)


229

Pˇ r´ıklad 10.3 (Newtonova metoda teˇ cen): Ukaˇzte pomoc´ı vˇety 10.3, ˇze rovnice 10x3 − 85x2 + 185x − 111 = 0 má koˇren v intervalu (5, 6) a urˇcete jej s pˇresnost´ı 10−3 . ˇ sen´ı: Nejprve ovˇeˇr´ıme, zda je levá ˇca´st zadané rovnice spojitá. Reˇ Dále zjist´ıme, zda je f (x = 5) · f (x = 6) < 0 a jaká je f 00 (x) v intervalu (a, b)

Zvol´ıme x1 = 6 a zjist´ıme, zda f 0 (x1 ) · f 00 (x1 ) > 0

Pokud ano, urˇc´ıme x2 podle (10.1) x2 =

X


230

10.2

Aproximace funkce

Definice 10.1 (Diferenci´ al funkce): Diferenci´ alem 1. ˇr´ adu f (x) v x0 ∈ D(f ) nazveme funkci df (x0 )(∆x) = f 0 (x0 ) ∆x , pokud plat´ı

f (x) − f (x0 ) − df (x0 )(∆x) = 0, x→x0 x − x0 kde ∆x = x − x0 naz´ yváme diferenc´ı souˇradnice x a pevného bodu x0 . lim

I

Obrázek 10.6: Diferenciál funkce

Pˇ r´ıklad 10.4 (Diferenci´ al funkce): Urˇcete diferenciál funkce f (x) : y =

√

x.

ˇ sen´ı: Reˇ

X √ Pˇ r´ıklad 10.5 (Diferenci´ al funkce v bodˇ e): Urˇcete diferenciál funkce f (x) : y = x v x0 = 1. ˇ sen´ı: Reˇ X

10.2. APROXIMACE FUNKCE

231

Pˇ r´ıklad 10.6 (Pˇ ribliˇ zn´ a hodnota funkce): Urˇcete pomoc´ı diferenciálu pˇribliˇznˇe hod√ notu 16,06. Poté porovnejte pˇribliˇznou hodnotu s pˇresnou hodnotou. ˇ sen´ı: Reˇ

Obrázek 10.7: Pˇribliˇzn´ a hodnota funkce

f (x) = x0 =

∆x =

f (x0 ) = ¯ df (x) ¯¯ = dx ¯x=x0 df (x0 )(∆x) = f (x) ≈ f (x0 ) + df (x0 )(∆x) =

X


232

Definice 10.2 (Tot´ aln´ı diferenci´ al funkce):

Necht’ f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) má

v okol´ı x0 = [x10 , x20 , . . . , xn0 ]T 1. parciáln´ı derivace, které jsou spojité, pak totáln´ım (´ uplným) diferenci´ alem f (x) v x0 nazveme funkci df (x0 )(∆x) =

∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ∆x1 + ∆x2 + . . . + ∆xd n , ∂x1 ∂x2 ∂xn

kde ∆xi = xi − xi0 , i = 1, 2, . . . , n. M˚ uˇzeme také psát df (x0 )(∆x) =

∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) dx1 + dx2 + . . . + dxn . ∂x1 ∂x2 ∂xn

I

Pˇ r´ıklad 10.7 (Tot´ aln´ı diferenci´ al funkce): Urˇcete u ´pln´ y diferenciál funkce f (x, y) = x2 + 3xy . ˇ sen´ı: Reˇ ∂f (x, y) = ∂x ∂f (x, y) = ∂y df (x0 , y0 )(∆x, ∆y) =

X


233

Definice 10.3 (Taylor˚ uv polynom): Necht’ f (x) má v x0 derivace do ˇra´du n, potom polynom Tn (x) =

n X f (k) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k

naz´ yváme Taylor˚ uv polynom stupnˇe n funkce f (x) v bodˇe x0

I

Pozn´ amka: Je-li x0 = 0, pak se Tn (x) nˇekdy naz´ yvá Maclaurin˚ uv polynom.

2

Pˇ r´ıklad 10.8 (Taylor˚ uv polynom): Urˇcete Taylor˚ uv polynom pro funkci f (x) : y = sin(x) , v bodˇe x0 = 0. ˇ sen´ı: Reˇ T0 (x) =

T1 (x) =

T2 (x) =

.


234

T3 (x) =

T4 (x) =

T5 (x) =

Obrázek 10.8: Graf funkce a jej´ı aproximace Taylorov´ ym polynomem

X


10.2.1

235

Linearizace dynamick´ ych syst´ em˚ u 1. ˇ r´ adu

Pˇ r´ıklad 10.9 (Linearizace syst´ em˚ u): Uvaˇzujte dynamick´ y systém popisuj´ıc´ı napouˇstˇen´ı nádrˇze

p ˙ h(t) = −a h(t) + b q(t) ,

kde h [m] je v´ yˇska hladiny v nádrˇzi, q [m s−1 ] je objemov´ y pˇr´ıtok do nádrˇze a a, b jsou konstanty. Linearizujte systém pro v´ yˇsku hladiny h0 = 4 m. ˇ sen´ı: Reˇ

X

236

10.3


´ Ulohy

Pˇ r´ıklad 10.10: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = sin(2x) a urˇcete rovnice teˇcen této funkce v bodech x0 = {0, π/4, π/2}. Znázornˇete ˇreˇsen´ı graficky. Pˇ r´ıklad 10.11: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = x2 + 3x + 2 a urˇcete rovnice teˇcen této funkce v bodech x0 = {−1, 0, 1, 2}. Znázornˇete ˇreˇsen´ı graficky. Pˇ r´ıklad 10.12: Uvaˇzujte funkci jej´ıˇz graf je na následuj´ıc´ım obrázku. Naˇcrtnˇete do to-

f(x)

hoto obrázku pr˚ ubˇeh prvn´ı a druhé derivace této funkce. 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 0

0.5

1

1.5

2 x

2.5

3

3.5

4


Pˇ r´ıklad 10.13: Uvaˇzujte funkci jej´ıˇz graf je na následuj´ıc´ım obrázku. Naˇcrtnˇete do tohoto obrázku pr˚ ubˇeh prvn´ı a druhé derivace této funkce.

´ 10.3. ULOHY

237 5 4 3 2 f(x)

1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −10 −9

−8

−7

−6

−5 x

−4

−3

−2

−1

0

Obr´ azek 10.10: Graf funkce f (x)

Pˇ r´ıklad 10.14: Uvaˇzujte, ˇze ujetá dráha automobilu se dá zapsat funkc´ı f (t) : x(t) = 2t2 + 3t + 1 , kde t [h] je ˇcas a x [km] je dráha. Urˇcete rychlost automobilu v ˇcase 1h a v momentˇe, kdy automobil ujel vzdálenost 10km. Zakreslete do jednoho obrázku pr˚ ubˇeh dráhy a rychlosti automobilu a diskutujte toto ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 10.15: Uvaˇzujte, ˇze ujetá dráha tˇelesa se dá zapsat funkc´ı f (t) : x(t) = e−0,2t sin(0,5t) , kde t [s] je ˇcas a x [m] je dráha. Urˇcete zrychlen´ı tˇelesa v momentˇe, kdy mˇelo tˇeleso rychlost 0m s−1 . Zakreslete do jednoho obrázku pr˚ ubˇeh dráhy, rychlosti a zrychlen´ı tˇelesa a diskutujte toto ˇreˇsen´ı. Pˇ r´ıklad 10.16: Newtonovou metodou teˇcen urˇcete s pˇresnost´ı 10−3 koˇreny následuj´ıc´ıch funkc´ı v daném intervalu. a) f (x) : y = x2 + 3x + 2,

x ∈ (−1,7; −0,1)

b) f (x) : y = x3 + 3x2 + 2x + 1,

x ∈ (−3; −2)

c) f (x) : y = x3 − 5x2 + 2x − 1,

x ∈ (4; 5)


238

d) f (x) : y = x3 − 5x2 + 7x − 1,

x ∈ (0; 1)

e) f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,

x ∈ (0; 1)

f) f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,

x ∈ (3; 4)

Pˇ r´ıklad 10.17: Naprogramujte v Matlabu algoritmus, kter´ y hledá koˇren rovnice pomoc´ı Newtonovy metody teˇcen. Rozˇsiˇrte algoritmus o grafické zobrazován´ı jednotliv´ ych iterac´ı. Uˇzivatel zadá libovolnou funkci, oznaˇc´ı nezávislou promˇennou, uvede interval, na kterém má b´ yt koˇren hledán. Nakonec zadá poˇzadovanou pˇresnost hledaného koˇrene. Program ovˇeˇr´ı vˇsechny nutné podm´ınky a poté urˇc´ı koˇren s pˇr´ısluˇsnou pˇresnost´ı. Pˇ r´ıklad 10.18: Urˇcete diferenciály následuj´ıc´ıch funkc´ı. 1 4x4

a) f (x) :

y=

b) f (x) :

d) f (x) :

y = ex

g) f (x) :

y = cos 2x3

e) f (x) :

y=

1 √ 2 x 2

y = e3x

y = 2x3

c) f (x) : f) f (x) :

y = sin x

y = 5ln sin x

h) f (x) :

Pˇ r´ıklad 10.19: Vypoˇctˇete pˇribliˇznˇe pomoc´ı diferenciálu a poté porovnejte s pˇresn´ ymi hodnotami. a)

√

4,04

g) 4,013

b)

√

4,4

h) 4,053

c)

√

5

d) sin(60◦ 30 )

ch) 4,13

i) e0,01

e) sin(60◦ 590 ) j) e0,05

f) sin(63◦ )

k) e0,1

Znázornˇete princip v´ ypoˇctu na obrázc´ıch. Bude odchylka od pˇresné hodnoty kladná nebo záporná? Pˇ r´ıklad 10.20: Urˇcete totáln´ı diferenciály následuj´ıc´ıch funkc´ı. √

√

a) f (x, y) = exy sin(x)

b) f (x, y) =

d) f (x, y) = ex cos(y)

e) f (x, y) = sin(x) cos(y)

x+

y

c) f (x, y) = e2xy f) f (x1 , x2 ) = x21 e2x1 x2 + x32

g) f (x1 , x2 , x3 ) = ex1 x2 x3 sin(3x1 + 2x2 ) Pˇ r´ıklad 10.21: Urˇcete Taylor˚ uv polynom pro následuj´ıc´ı funkce v okol´ı bodu x0 = 0. a) f (x) : y = ex

b) f (x) : y = sin(2x)

d) f (x) : y = x2

e) f (x) : y = x3

c) f (x) : y = cos(x) f) f (x) : y = ln(x)


239

Pˇ r´ıklad 10.22: Aproximujte funkce z pˇr´ıkladu 10.17 Taylorov´ ym polynomem prvn´ıho, druhého, tˇret´ıho, ˇctvrtého a pátého ˇra´du v okol´ı bodu x0 = 0. Znázornˇete v´ ysledky pomoc´ı graf˚ u. ˇ ste pˇr´ıklad 10.20 pro jin´ Pˇ r´ıklad 10.23: Reˇ y bod x0 6= 0. Znázornˇete v´ ysledky pomoc´ı graf˚ u. Pˇ r´ıklad 10.24: Linearizujte následuj´ıc´ı dynamické systémy v pracovn´ıch bodech x0 , respektive u0 a) x(t) ˙ = u(t) sin x(t) + 3u2 (t) , b) x(t) ˙ = −x2 (t) + 2u2 (t) sin x(t) , c) x(t) ˙ = −x2 (t) + 2x(t)u(t) ,

x0 =

π 2

x0 =

, π 2

,

u0 = 1 ,

kde x(t) je stavová veliˇcina a u(t) je vstupn´ı veliˇcina.

10.4


10.4.1


• Urˇcit smˇernici teˇcny k funkci v daném bodˇe (z pˇredpisu funkce i z grafu funkce). • Urˇcit rychlost a zrychlen´ı tˇelesa z pˇredpisu pro dráhu. • Urˇcit prvn´ı diferenciál funkce, urˇcit diferenciál v konkrétn´ım bodˇe a jeho hodnotu pro zadanou odchylku.

240



241

242


Kapitola 11 Anal´ yza funkce pomoc´ı derivace V této kapitole si ukáˇzeme, jak vyuˇz´ıvat do6

posud nabyté znalosti, to je spojitost funkce, limitu funkce a derivaci funkce, k rozboru dané

4

funkce. Samozˇrejmˇe se m˚ uˇzete ptát: Proˇc ne” vykresl´ıme rovnou graf zadané funkce?“. To ale

2 f(x)

x→∞

0

znamená vyˇc´ıslit funkˇcn´ı hodnoty v nekoneˇcnˇe

−2

mnoha bodech daného definiˇcn´ıho oboru za-

−4

dané funkce. To jsme doposud obcházeli tak, ˇze

−6

jsme vyˇc´ıslili funkˇcn´ı hodnoty v koneˇcnˇe mno-

lim f(x) = ∞

e

e

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

ha bodech definiˇcn´ıho oboru (vyplnili jsme tabulku) a tyto body jsme zanesli do grafu. Nakonec jsme body v grafu propojili (interpolovali) nˇejakou kˇrivkou. V tom je ale ten zásadn´ı problém: Jak zvolit body do tabulky?“ ” Co kdyˇz bychom provedli tak neˇst’astnou volbu, ˇze by sestrojen´ y graf funkce neobsahoval nˇejakou podstatnou ˇcást funkce. To by mohlo vést aˇz k nevyˇc´ısliteln´ ym ˇskodám. Proto v matematické anal´ yze vyuˇz´ıváme k vykreslen´ı grafu funkce tˇri v´ yˇse uvedené vlastnosti, coˇz je tˇeˇziˇstˇem této kapitoly. Ukáˇzeme si zde, jak vyˇsetˇrit monotónost funkce, jak naj´ıt extrémy funkce (to je minima a maxima), jak naj´ıt body nespojitosti funkce, jak vyˇsetˇrit chován´ı funkce v nekoneˇcnu, jak urˇcit asymptoty funkce a tak dále. ˇ ´, Z. a Pr˚ Cerpat budeme opˇet zejména z (Jankovsky ucha, L., 1998), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet mnoho neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 243

´ KAPITOLA 11. ANALYZA FUNKCE POMOCÍ DERIVACE

244

11.1

Extr´ emy funkc´ı

Definice 11.1: Necht’ f (x) : (a, b) → R a necht’ pro x0 ∈ (a, b) ∃U (x0 ) takové, ˇze ∀x ∈ U (x0 ) plat´ı: a) x > x0 ⇒ f (x) > f (x0 ) a x < x0 ⇒ f (x) < f (x0 ), pak je f (x) rostouc´ı v x0 , b) x > x0 ⇒ f (x) < f (x0 ) a x < x0 ⇒ f (x) > f (x0 ), pak je f (x) klesaj´ıc´ı v x0 , c) x 6= x0 ⇒ f (x) < f (x0 ), pak ˇr´ıkáme, ˇze f (x) má v x0 (ostré) lokáln´ı maximum, d) x 6= x0 ⇒ f (x) > f (x0 ), pak ˇr´ıkáme, ˇze f (x) má v x0 (ostré) lokáln´ı minimum.

I

Pozn´ amka: Je-li v definici 11.1 v bodech c) a d) f (x) ≤ f (x0 ), respektive f (x) ≥ f (x0 ), pak mluv´ıme o neostrém lokáln´ım maximu, respektive minimu. Vˇ eta 11.1: Necht’ f (x) : (a, b) → R m´ a v x0 ∈ (a, b) derivaci, pak plat´ı a) je-li f 0 (x0 ) > 0, je funkce f (x) rostouc´ı v x0 , b) je-li f 0 (x0 ) < 0, je funkce f (x) klesaj´ıc´ı v x0 , c) má-li f (x) v x0 lok´ aln´ı extrém (i neostrý), je f 0 (x) = 0. D˚ ukaz:

2

´ 11.1. EXTREMY FUNKCÍ

245

Pˇ r´ıklad 11.1: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = ex − x a urˇcete, zda je v x0 = {−1, 1} rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı. ˇ sen´ı: Reˇ

X Definice 11.2: Necht’ f (x) : (a, b) → R. f (x) je rostouc´ı, respektive klesaj´ıc´ı v (a, b) ⇔ f (x) je rostouc´ı, respektive klesaj´ıc´ı ∀x ∈ (a, b).

I

Vˇ eta 11.2: Necht’ f (x) : (a, b) → R má derivaci ∀x ∈ (a, b). Je-li f 0 (x) > 0, respektive f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (a, b), pak f (x) je rostouc´ı, respektive klesaj´ıc´ı v (a, b).

Pˇ r´ıklad 11.2: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 11.1 a urˇcete, kde je tato funkce rostouc´ı a kde je klesaj´ıc´ı. ˇ sen´ı: Reˇ

X

246


Vˇ eta 11.3 (Postaˇ cuj´ıc´ı podm´ınka pro extr´ em): Necht’ f (x) : (a, b) → R má derivaci ∀x ∈ (a, b) a f 0 (x0 ) = 0, kde x0 ∈ (a, b). Body, ve kterých je f 0 (x) = 0, nazýv´ ame stacionárn´ı. Jestliˇze f 0 (x) mˇen´ı v x0 znaménko, má f (x) v x0 lok´ aln´ı extrém (ostrý). Jestliˇze nastáv´ a zmˇena z + na −, jedn´ a se o lokáln´ı maximum, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe se jedn´ a o lokáln´ı minimum. Pˇ r´ıklad 11.3: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 11.1 a urˇcete, kde má tato funkce extrém a jakého je charakteru. ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 11.4: Necht’ f (x) : (a, b) → R má v x0 ∈ (a, b) derivaci 2. ˇr´ adu a f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) 6= 0, potom má f (x) v x0 ostrý lokáln´ı extrém. Je-li f 00 (x0 ) > 0 nastáv´ a lokáln´ı minimum, je-li f 00 (x0 ) < 0 nastáv´ a lokáln´ı maximum. D˚ ukaz:

Pˇ r´ıklad 11.4: Uvaˇzujte funkci z pˇr´ıkladu 11.1 a ovˇeˇrte na této funkci platnost pˇredchoz´ı vˇety. ˇ sen´ı: Reˇ

X

´ 11.1. EXTREMY FUNKCÍ

247

Pozn´ amka (Absolutn´ı extr´ em): Je-li f (x) : ha, bi → R spojitá, pak podle vˇety 8.8 nab´ yvá svého (globáln´ıho) maxima M a (globáln´ıho) minima m. Pak plat´ı ∀x ∈ ha, bi m ≤ f (x) ≤ M.

2

Vˇ eta 11.5: Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a. Oznaˇcme P mnoˇzinu bod˚ u x ∈ ha, bi, které maj´ı jednu z následuj´ıc´ıch vlastnost´ı: x = a, x = b, f 0 (x) = 0, ¬∃f 0 (x). Potom M = max{f (x) | x ∈ ha, bi} = max{f (x) | x ∈ P } , m = min{f (x) | x ∈ ha, bi} = min{f (x) | x ∈ P } .

Pˇ r´ıklad 11.5: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = 1,5x4 + 2x3 − 18x2 a urˇcete jej´ı globáln´ı extrémy. ˇ sen´ı: Reˇ

X


248

11.2

Pr˚ ubˇ eh funkc´ı

Najdˇete si sami definice konkávn´ı a konvexn´ı funkce a inflexn´ıho bodu a dopiˇste si ji do následuj´ıc´ıch odstavc˚ u. Definice 11.3 (Konk´ avn´ı, konvexn´ı funkce):

I Definice 11.4 (Inflexn´ı bod):

I

Vˇ eta 11.6 (Podm´ınka pro inflexn´ı bod): Necht’ f (x) : (a, b) → R m´ a derivaci v intervalu (a, b), potom plat´ı: 1. Je-li f 0 (x) rostouc´ı v (a, b), je f (x) konvexn´ı v (a, b). 2. Je-li f 0 (x) klesaj´ıc´ı v (a, b), je f (x) konk´ avn´ı v (a, b). 3. Má-li f 0 (x) v x0 ∈ (a, b) lok´ aln´ı extrém, je x0 inflexn´ım bodem f (x).

˚ EH ˇ FUNKCÍ 11.2. PRUB

249

Vˇ eta 11.7: Necht’ f (x) : (a, b) → R m´ a 2. derivaci v (a, b), potom plat´ı: 1. Je-li f 00 (x) > 0 v (a, b), je f (x) konvexn´ı v (a, b). 2. Je-li f 00 (x) < 0 v (a, b), je f (x) konk´ avn´ı v (a, b). 3. Je-li f 00 (x0 ) = 0 a tato derivace mˇen´ı znaménko, má f (x) v x0 inflexn´ı bod.

Pˇ r´ıklad 11.6: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = x3 − 4x2 + 3x − 1,

x ∈ (3, 4)

a urˇcete, kde je tato funkce konvexn´ı, kde je konkávn´ı a kde má inflexn´ı bod. ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 11.8: Necht’ f (x) : (a, b) → R a ∃f 00 (x) v (a, b). Jestliˇze f 00 (x0 ) = 0 a f 000 (x) 6= 0, m´ a f (x) v x0 inflexn´ı bod. Pˇ r´ıklad 11.7: Ovˇeˇrte platnost vˇety 11.8 na pˇr´ıkladˇe 11.6. ˇ sen´ı: Reˇ

X


250

Vˇ eta 11.9 (Asymptotick´ e chov´ an´ı funkce): 1. Jestliˇze f (x) má v x0 nevlastn´ı limitu, a to tˇreba jen jednostrannou, pak ˇr´ık´ ame, ˇze graf f (x) má v x0 svislou asymptotu x = x0 . 2. Jestliˇze f (x) m´ a v −∞ nebo ∞ vlastn´ı limitu y0 ∈ R, pak ˇr´ık´ ame, ˇze graf f (x) má v −∞ nebo ∞ vodorovnou asymptotu y = y0 . 3. Necht’ ∃k 6= 0, q ∈ R takov´ a, ˇze plat´ı ¢ ¡ lim f (x) − kx − q = 0 , respektive x→−∞

¢ ¡ lim f (x) − kx − q = 0 ,

x→∞

pak ˇr´ık´ ame, ˇze f (x) má v −∞, respektive v ∞, ˇsikmou asymptotu y = kx + q . Pˇ r´ıklad 11.8: Urˇcete svislé asymptoty grafu funkce f (x) : y = ln(x − 3) . ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 11.9: Urˇcete vodorovné asymptoty grafu funkce f (x) : y = ex−3 + 1 . ˇ sen´ı: Reˇ

X


251

Vˇ eta 11.10: Graf f (x) má v x0 = −∞ nebo x0 = ∞ ˇsikmou asymptotu y = kx + q ,

k 6= 0

⇔ a)

lim f (x) = ±∞ ,

x→x0

b)

lim

x→x0

f (x) = k, x

c)

¢ ¡ lim f (x) − kx = q .

x→x0

Pˇ r´ıklad 11.10: Urˇcete ˇsikmé asymptoty grafu funkce f (x) : y = ex − x . ˇ sen´ı: Reˇ

X

11.2.1

Anal´ yza funkce – shrnut´ı

• Z y = f (x) urˇc´ıme D(f ), H(f ), Px , Py , intervaly, kde je f (x) kladná/záporná, sudost/lichost, periodiˇcnost, intervaly spojitosti, limity v bodech nespojitosti a v krajn´ıch bodech interval˚ u D(f ). • Z y 0 = f 0 (x) urˇc´ıme intervaly monotonie, lokáln´ı a globáln´ı extrémy, limitn´ı polohy teˇcen v bodech nespojitosti. • Z y 00 = f 00 (x) urˇc´ıme intervaly konvexity/konkávity, inflexn´ı body. • Asymptoty grafu funkce. • Funkˇcn´ı hodnoty v lokáln´ıch extrémech a inflexn´ıch bodech. Smˇernice teˇcen v inflexn´ıch bodech.


252

Pˇ r´ıklad 11.11: Proved’te anal´ yzu funkce ex−2 − 1 . e−x ˇ sen´ı: Zkusme nejprve vykreslit graf pomoc´ı tabulky, viz následuj´ıc´ı obrázek. Tak byReˇ f (x) : y =

chom postupovali na stˇredn´ı ˇskole. Nyn´ı provedeme kompletn´ı anal´ yzu funkce.

2500 2000

f(x)

1500 1000 500 0 −500 −1000 −5

0 x


• Urˇc´ıme D(f ).

• Pr˚ useˇc´ıky Px , Py .

• Intervaly, kde je f (x) kladná a kde je záporná.

5

˚ EH ˇ FUNKCÍ 11.2. PRUB • Sudost, lichost, periodiˇcnost.

• Intervaly spojitosti.

• Limity v bodech nespojitosti a v krajn´ıch bodech interval˚ u D(f ).

• Extrémy.

• Intervaly monotonie.

253

254


• Limitn´ı polohy teˇcen v bodech nespojitosti.

• Intervaly konvexity/konvávity, inflexn´ı body.

• Asymptoty grafu funkce.

• Funkˇcn´ı hodnoty v lokáln´ıch extrémech a inflexn´ıch bodech.

• Smˇernice teˇcen v inflexn´ıch bodech.


255

Toto vˇse zap´ıˇseme pˇrehlednˇe do následuj´ıc´ı tabulky a zakresl´ıme do grafu na obr. 11.2. Tabulka 11.1: Pr˚ ubˇeh funkce f (x)

x f (x) f 0 (x) f (x) f 00 (x) f (x) asym.


X


256

11.3

´ Ulohy

Pˇ r´ıklad 11.12: Uvaˇzujte následuj´ıc´ı funkce a urˇcete, zda jsou rostouc´ı ˇci klesaj´ıc´ı v bodech x0 = {−2 − 1, 0, 1, 2}. a) f (x) : y = xe−x d) f (x) : y = xln2 x

b) f (x) : y = x2 e−x

e) f (x) : y = x4 − 5x2 + 1

g) f (x) : y = x3 − 5x2 + 6x j) f (x) : y =

1 +x x

m) f (x) : y = ln

c) f (x) : y = x2 − 3x + 2

h) f (x) : y = xln x

k) f (x) : y =

1+x 1−x

f) f (x) : y = x5 − 2x2 − 4

x 1 + x2

n) f (x) : y = |x2 − 16|

i) f (x) : y = x − cos(x)

l) f (x) : y = e−2x sin(x) o) f (x) : y = e−|x|

Pˇ r´ıklad 11.13: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 11.12 a urˇcete, kde jsou funkce rostouc´ı a kde klesaj´ıc´ı. Pˇ r´ıklad 11.14: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 11.12 a urˇcete jejich lokáln´ı extrémy. Pˇ r´ıklad 11.15: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 11.12 a urˇcete jejich globáln´ı extrémy. Pˇ r´ıklad 11.16: Pro které ˇc´ıslo x je jeho rozd´ıl s jeho druhou mocninou maximáln´ı? Pˇ r´ıklad 11.17: Pro které ˇc´ıslo x je jeho souˇcin s jeho pˇrirozen´ ym logaritmem minimáln´ı? Pˇ r´ıklad 11.18: Pro které ˇc´ıslo x je jeho souˇcin s jeho dekadick´ ym logaritmem minimáln´ı? Pˇ r´ıklad 11.19: Kter´ y obdéln´ık vepsan´ y do kruˇznice o polomˇeru r má nejvˇetˇs´ı moˇzn´ y obsah a kolik tento obsah je? Pˇ r´ıklad 11.20: Kter´ y obdéln´ık vepsan´ y do ˇctvrtkruhu o polomˇeru r má nejvˇetˇs´ı moˇzn´ y obsah a kolik tento obsah je? Pˇ r´ıklad 11.21: Jak´ y válec vepsan´ y do koule o polomˇeru r má nejvˇetˇs´ı moˇzn´ y objem a jak´ y má nejmenˇs´ı moˇzn´ y povrch? Pˇ r´ıklad 11.22: Na parabole x2 + 3x = −2 naleznˇete bod, kter´ y je nejbl´ıˇze poˇca´tku souˇradnicového systému.

´ 11.3. ULOHY

257

Pˇ r´ıklad 11.23: Uvaˇzujte funkci f (x) : y = x5 − 2x4 + 2x3 − 4 a urˇcete extrémy jej´ı prvn´ı derivace. Pˇ r´ıklad 11.24: Uvaˇzujte následuj´ıc´ı funkce a urˇcete jejich inflexn´ı body a konvexnost a konkávnost. a) f (x) : y = x4 − 4x2 + 6 ln x d) f (x) : y = √ x g) f (x) : y =

e) f (x) : y = e1/x

4x x−2

j) f (x) : y = ln(1 + e−x ) m) f (x) : y = ln

b) f (x) : y = x4 + x2 + ex

1 + x2 1 − x2

f) f (x) : y = ln(5 + x3 )

h) f (x) : y = xln x

i) f (x) : y = ln

k) f (x) : y = e−x + 2x n) f (x) : y =

c) f (x) : y = ex (x2 + 1)

ex 1+x

1−x 1+x

l) f (x) : y = e−2x sin(x) o) f (x) : y = ln x +

1 x

Pˇ r´ıklad 11.25: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 11.24 a urˇcete vˇsechny jejich asymptoty. Pˇ r´ıklad 11.26: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıklad˚ u 11.12 a 11.24, naˇcrtnˇete jejich grafy a vyznaˇcte na nich vˇsechny v´ yznamné body. Dále do tˇechto graf˚ u dokreslete pr˚ ubˇehy prvn´ıch ˇ sen´ı ovˇeˇrte v Matlabu. a druh´ ych derivac´ı. Reˇ Pˇ r´ıklad 11.27: Nakreslete graf funkce, pro kterou plat´ı vˇsechny následuj´ıc´ı podm´ınky: • D(f ) : x ∈ R • H(f ) : y ∈ (−10, 5) • ∀x < 3 f 0 (x) < 0, ∀x > 3 f 0 (x) > 0 • f 00 (x) zmˇen´ı dvakrát znaménko • lim f (x) = 0 x→∞

Pˇ r´ıklad 11.28: Nakreslete graf funkce, pro kterou plat´ı vˇsechny následuj´ıc´ı podm´ınky: • D(f ) : x ∈ R • H(f ) : y ∈ (−2, 2)


258 • ∀x f 0 (x) > 0

• f 00 (x) zmˇen´ı znaménko jen jednou • lim f (x) = −1 x→∞

Pˇ r´ıklad 11.29: Nakreslete graf funkce, pro kterou plat´ı vˇsechny následuj´ıc´ı podm´ınky: • D(f ) : x ∈ (−10, −2i ∪ h0, ∞) • H(f ) : y ∈ (0, 5) • ∀x f (x) > 0 • ∀x ∈ D(f ) ∃f 0 (x) • f (−2) = 2, f (0) = 1 • ∀x < 0 f 0 (x) > 0, f 0 (−2) = 10, f 0 (0) = −1, f 0 (5) = 0, f 0 (10) = 0, f 0 (11) = 0 • ∀x < 0 f 00 (x) nemˇen´ı znaménko, ¬∃f 00 (−2), ¬∃f 00 (0), f 00 (5) = 2, f 00 (10) = 0, f 00 (11) = −2 • lim f (x) = 5 x→∞

11.4


11.4.1


• Urˇcit definiˇcn´ı obor funkce a základn´ı (stˇredoˇskolské) vlastnosti funkce. • Urˇcit intervaly monotónosti funkce. • Urˇcit lokáln´ı extrémy funkce.


259

260



261

262


Kapitola 12 Neurˇ cit´ y integr´ al V kapitole 9 jsme se nauˇcili pro danou funkci naj´ıt jej´ı derivaci. Zde si ukáˇzeme opaˇcn´ y postup. Pro známou derivaci nˇejaké funkce budeme hledat tuto funkci.

F ( x ) = ∫ f ( x) dx

Tento opaˇcn´ y postup k derivován´ı se naz´ yvá integrov´ an´ı. V této kapitole budeme tedy hledat integr´ aly zadan´ ych funkc´ı. Nejprve se seznám´ıme se základn´ımi pojmy v oblasti integráln´ıho poˇctu (primitivn´ı funkce a neurˇcitý integr´ al ). Poté se nauˇc´ıme jednoduché postupy integrován´ı (vˇeta o linearitˇe , integrov´ an´ı per partes a integrov´ an´ı pomoc´ı substituce). Porovnáme-li obt´ıˇznost derivován´ı a integrován´ı, mus´ıme hned na zaˇca´tku ˇr´ıci, ˇze integrován´ı je mnohonásobnˇe obt´ıˇznˇejˇs´ı u ´loha. Zat´ımco vypoˇc´ıtat derivaci byste mˇeli b´ yt schopni podle v´ yˇse uveden´ ych vˇet a definic pro jakoukoli funkci (metodika je vˇzdy jednoznaˇcná a pˇr´ımoˇcará), urˇcen´ı integrálu uˇz tak jednoduché nen´ı. Integrován´ı je tak trochu duchaˇrina“, protoˇze postup integrován´ı uˇz relativnˇe jednoduch´ ych funkc´ı nen´ı na prvn´ı ” pohled jasn´ y a algoritmizovateln´ y. U nˇekter´ ych funkc´ı dokonce ani analytick´ y integrál neexistuje. Proto se analytick´ ym integrován´ım nebudeme zab´ yvat pˇr´ıliˇs dlouho. T´ım ale nechceme ˇr´ıci, ˇze integrován´ı je k niˇcemu. Naopak, aplikace integráln´ıho poˇctu je velmi ˇsiroká a tam, kde nen´ı moˇzné analytick´ ym zp˚ usoben integrál nalézt, se pouˇz´ıvaj´ı numerické metody. Ty maj´ı v praxi zásadn´ı v´ yznam a mi se s nimi seznám´ıme v kapitole 14, protoˇze je budeme vyuˇz´ıvat v kurzu Modelován´ı a ˇr´ızen´ı systém˚ u. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejména z (Jankovsky ucha, L., 1996), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet nˇekolik neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 263

ˇ Y ´ INTEGRAL ´ KAPITOLA 12. NEURCIT

264

12.1

Primitivn´ı funkce a neurˇ cit´ y integr´ al

Zaˇcnˇeme tentokrát následuj´ıc´ım pˇr´ıkladem. Pˇ r´ıklad 12.1: Je dána okamˇzitá rychlost pohybuj´ıc´ıho se vozidla jako funkce ˇcasu v(t) = 4t + 2 m s−1 ,

t ∈ h0, 100) s.

Urˇcete pˇredpis pro okamˇzitou dráhu vozidla x(t), jestliˇze v´ıte, ˇze v ˇcase t = 0 s byla dráha x(0) = 0 m. ˇ sen´ı: Z kapitoly 10.1 v´ıme, ˇze rychlost je Reˇ v(t) = Hledáme tedy takovou funkci x(t), pro kterou plat´ı x(t) ˙ =

dx(t) = dt

∀t ∈ h0, 100) s.

Protoˇze uˇz jsme se uˇcili derivovat, tak ˇreˇsen´ı dokáˇzeme naj´ıt x(t) = Nakonec z podm´ınky x(0) = 0 urˇc´ıme neznámou konstantu x(0) =

⇒

Hledan´ y pˇredpis pro dráhu tedy je x(t) = Sami si ovˇeˇrte zkouˇskou, ˇze plat´ı x(t) ˙ = v(t), ∀t ∈ h0, 100) s.

X

V tomto pˇr´ıkladˇe jsme potˇrebovali udˇelat jakousi opaˇcnou (inverzn´ı) derivaci“, aby” chom urˇcili dráhu z rychlosti. Zadefinujeme si nyn´ı nˇekolik pojm˚ u aˇz dojdeme k pojmu integr´ al , respektive neurˇcit´ y integrál, coˇz nen´ı vlastnˇe nic jiného neˇz ona opaˇcná deri” vace“. Zadefinujme nejprve pojem primitivn´ı funkce. Definice 12.1 (Primitivn´ı funkce): F (x) : (a, b) → R je primitivn´ı funkc´ı k f (x) v intervalu (a, b), jestliˇze ∀x ∈ (a, b) plat´ı dF (x) = f (x) . dx

I

ˇ Y ´ INTEGRAL ´ 12.1. PRIMITIVNÍ FUNKCE A NEURCIT

265

Pozn´ amka: Pˇredeˇslou definici lze rozˇs´ıˇrit i pro funkce definované na uzavˇreném, respektive polouzavˇreném, respektive polootevˇreném intervalu. Sami si tyto definice dohledejte.

2

Pˇ r´ıklad 12.2: Urˇcete primitivn´ı funkci k funkci f (x) : y = 3x2 . ˇ sen´ı: Zaˇcnˇeme obrácenˇe. Urˇceme nejprve derivace následuj´ıc´ıch funkc´ı Reˇ ¡ 3 ¢0 x = ¡

¢0 x3 + 1 = ¡ 3 ¢0 x −7 = ¡ 3 ¢0 x +c = kde c ∈ R je libovolná konstanta. Odtud vid´ıme, ˇze primitivn´ı funkce k zadané funkci je ...

X

Pozn´ amka: Z tohoto pˇr´ıkladu je vidˇet, ˇze pokud existuje k dané funkci primitivn´ı funkce, pak tˇechto primitivn´ıch funkc´ı existuje nekoneˇcnˇe mnoho.

2

Definice 12.2 (Neurˇ cit´ y integr´ al): Pokud existuje alespoˇ n jedna primitivn´ı funkce F (x) k f (x) na intervalu I, nazveme mnoˇzinu vˇsech primitivn´ıch funkc´ı k f (x) na I Z f (x) dx = {F (x) + c | c ∈ R} . neurˇcitým integr´ alem. Historicky se vˇzilo oznaˇcen´ı Z f (x) dx = F (x) + c , kde c ∈ R.

Vˇ eta 12.1: Necht’ f (x) je na I ⊂ R spojit´ a, ⇒ ∃ primitivn´ı funkce F (x) na I.

I


266

Doplˇ nte si sami následuj´ıc´ı tabulku integrál˚ u elementárn´ıch funkc´ı vˇcetnˇe interval˚ u, kde v´ yrazy plat´ı. R R R R R R R R

Tabulka 12.1: Integr´ al element´ arn´ıch funkc´ı

xn dx = ex dx = sin x dx = 1 cos2 x

dx =

√ 1 1−x2

dx =

sinh x dx = √ 1 x2 +1 1 1−x2

dx =

dx =

R R R R R R R R

1 x

dx =

ax dx = cos x dx = 1 sin2 x

dx =

1 1+x2

dx =

cosh x dx = √ 1 x2 −1 1 1−x2

dx =

dx =

Vˇ eta 12.2 (Vˇ eta o linearitˇ e): Necht’ k1 , k2 ∈ R a necht’ existuj´ı neurˇcité integr´ aly funkc´ı f1 (x) a f2 (x) na intervalu I. Pak na I plat´ı Z Z Z k1 f1 (x) + k2 f2 (x) dx = k1 f1 (x) dx + k2 f2 (x) dx .

(12.1)

Pˇ r´ıklad 12.3 (Jednoduch´ e integr´ aly): Urˇcete následuj´ıc´ı integrály. ˇ sen´ı: Reˇ Z sin x dx = Z 5 sin x dx = Z 5 sin x − 4ex + 3x2 dx = Sami proved’te zkouˇsku správnosti v´ ysledk˚ u.

X

ˇ Y ´ INTEGRAL ´ 12.1. PRIMITIVNÍ FUNKCE A NEURCIT

267

Vˇ eta 12.3 (Integrace per partes“): Necht’ f1 (x) a f2 (x) maj´ı spojité derivace na ” intervalu I, potom na I plat´ı Z Z 0 f1 (x)f2 (x) dx = f1 (x)f2 (x) − f10 (x)f2 (x) dx . D˚ ukaz:

Metodika integrován´ı per partes má tˇri základn´ı pouˇzit´ı. Ukáˇzeme si je na následuj´ıc´ıch pˇr´ıkladech. Pˇ r´ıklad 12.4 (Integrace per partes“): Vypoˇctˇete ” ˇ sen´ı: Reˇ Z x cos x dx =

R

x cos x dx.

X Pˇ r´ıklad 12.5 (Integrace per partes“): Vypoˇctˇete ” ˇ sen´ı: Reˇ Z ln x dx =

R

ln x dx.

X


268

Pˇ r´ıklad 12.6 (Integrace per partes“): Vypoˇctˇete ”

R

sin2 x dx.

ˇ sen´ı: Reˇ Z sin2 x dx =

X Vˇ eta 12.4 (Integrace pomoc´ı substituce): Necht’ funkce f (x) : If → R je spojit´ a na If a necht’ ϕ(t) : Iϕ → If má spojitou derivaci ϕ 0 na Iϕ , pak plat´ı na If Z

Z f (x) dx =

¡ ¢ f ϕ(τ ) ϕ0 (τ ) dτ .

D˚ ukaz: h ¡ ¢i0 F ϕ(τ ) =

Pˇ r´ıklad 12.7 (Integrace pomoc´ı substituce): Vypoˇctˇete

R

sin2 x cos x dx.

ˇ sen´ı: Reˇ Z sin2 x cos x dx =

X

´ 12.2. ULOHY

12.2

269

´ Ulohy

Pˇ r´ıklad 12.8: Urˇcete neurˇcit´ y integrál následuj´ıc´ıch funkc´ı. a) f (x) :

y = 3x2 − 5x + 6

c) f (x) :

y = sin x + 3x2

e) f (x) :

y = 6 sin x + 2 cos x + sin 3x

g) f (x) :

y=

i) f (x) :

y=

√ 1 x

d) f (x) :

√ 4 x3 + 6 x5

+ x−1

y = 2x3 − 5 sin x + 6 cos x

b) f (x) :

y = 2 ln x + 5 sin 2x + 6x3 − 15x + 2

y = 3e4x

h) f (x) : j) f (x) :

y = 15x3 + 6x2 + 5x + 2

f) f (x) :

1 x3

ch) f (x) : y =

+ x12 + x1

2

y = ex

Pˇ r´ıklad 12.9: Urˇcete neurˇcit´ y integrál následuj´ıc´ıch funkc´ı pomoc´ı metody per partes. y = x sin x,

d) f (x) :

y = xln x

g) f (x) :

y = sin6 x cos x

h) f (x) :

y = x2 ex

i) f (x) : y = (x + 5) cos x

j) f (x) :

y = (x − 1)ex

l) f (x) :

b) f (x) :

y = x2 sin x

a) f (x) :

e) f (x) :

y = sin9 x cos x

y = x2 ln x

m) f (x) :

c) f (x) : f) f (x) :

y = x3 sin x

y = cos2 x

ch) f (x) : y = (x − 5) sin x k) f (x) :

y = ex (x + 1)

y = cos3 x sin x

Pˇ r´ıklad 12.10: Urˇcete neurˇcit´ y integrál následuj´ıc´ıch funkc´ı pomoc´ı substituce. a) f (x) :

y = sin(5x + 4)

b) f (x) :

y = (2x + 3) sin(x2 + 3x + 2)

c) f (x) :

y = cos(2x − 5)

d) f (x) :

y = (2x − 3) cos(x2 − 3x + 2)

e) f (x) :

y = e3x+7

h) f (x) :

y = sin6 x cos x

i) f (x) :

y=

k) f (x) :

y = sin9 x cos x

l) f (x) :

y = cos3 x sin x

f) f (x) :

Pro kontrolu proved’te zkouˇsku.

y = 2xex

2

g) f (x) : 1 xln x

3 +2x2

y = (3x2 + 4x)ex j) f (x) :

y=

cos x 5 + sin x

270


´ 12.2. ULOHY

271

272


Kapitola 13 Urˇ cit´ y integr´ al a jeho aplikace Xn

Pˇredchoz´ı kapitola o integrován´ı b´ yvá obvykle v kurzech matematické anal´ yzy mnohem delˇs´ı,

Xi +1

rozˇs´ıˇrená o integrován´ı komplikovanˇejˇs´ıch funk-

Xi -1

∆s

to taková duchaˇrina“. Pro naˇse studijn´ı u ´ˇcely ” a následné aplikace nám doposud nauˇcené po-

i

Xi

c´ı. Jak uˇz jsme uvedly v pˇredchoz´ı kapitole, je

B

γ

znatky postaˇc´ı. V této kapitole se nejprve seznám´ıme s po-

X0

A

jmem urˇcit´ y integrál a ukáˇzeme si, jak ho vyˇc´ıslit pomoc´ı integrálu neurˇcitého. Poté se pod´ıváme na jeho nejjednoduˇsˇs´ı aplikace, kter´ ymi jsou obsah plochy pod kˇrivkou a délka kˇrivky. Opˇet nep˚ ujdeme do velké hloubky, sp´ıˇse si jen vysvˇetl´ıme principy na jednoduch´ ych pˇr´ıkladech. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech zjist´ıme, ˇze se v´ ysledku nikdy nedobereme. Analytick´ y integrál nebude jednoduˇse existovat. Napˇr´ıklad pˇri v´ ypoˇctu délky sinusoidy se nám nepodaˇr´ı nalézt primitivn´ı funkci pˇr´ısluˇsného integrálu. U takov´ ychto pˇr´ıklad˚ u si budeme muset poˇckat na ˇreˇsen´ı do následuj´ıc´ı kapitoly, kde se seznám´ıme s numerick´ ymi metodami integrován´ı, které maj´ı zásadn´ı praktick´ y v´ yznam. ˇ ´, Z. a Pr˚ Cerpat budeme opˇet zejména z (Jankovsky ucha, L., 1996), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Pro procviˇcen´ı naleznete na konci kapitoly opˇet nˇekolik neˇreˇsen´ ych u ´loh pro domác´ı pˇr´ıpravu. Mnoho dalˇs´ıch podobn´ ych pˇr´ıklad˚ u si m˚ uˇzete vymyslet sami a ˇreˇsen´ı ovˇeˇrit pomoc´ı zkouˇsky ˇci nˇejakého softwaru. 273

274

13.1

ˇ Y ´ INTEGRAL ´ A JEHO APLIKACE KAPITOLA 13. URCIT

Urˇ cit´ y integr´ al

Zaˇcnˇeme tentokrát následuj´ıc´ım problémem. Budeme cht´ıt urˇcit obsah plochy mezi osou x a kˇrivkou f (x) na intervalu ha, bi, viz následuj´ıc´ı obrázek.

Obrázek 13.1: Obsah plochy pod kˇrivkou

Definice 13.1 (Rieman˚ uv integr´ al hRiemann integrali): Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojitá funkce definovaná ∀x ∈ ha, bi ⊂ R. Jestliˇze pro libovolné dˇelen´ı intervalu ha, bi m P a kaˇzd´ y v´ ybˇer bod˚ u xi ∈ ha, bi pro i = 1, 2, . . . , m maj´ı integráln´ı souˇcty f (xi )∆xi , i=1

kde ∆xi = xi − xi−1 , tutéˇz limitu pro max(∆xi ) → 0 (tedy m → ∞), pak tuto limitu naz´ yváme urˇcitým (Riemannovým) integr´ alem funkce f na intervalu ha, bi a zapisujeme Zb f (x) dx. a

I

ˇ Y ´ INTEGRAL ´ 13.1. URCIT

275

Urˇcit´ y integrál v praxi obvykle nepoˇc´ıtáme podle v´ yˇse uvedené definice, n´ ybrˇz pomoc´ı neurˇcitého integrálu podle následuj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 13.1 (Newtonova Leibnitzova formule): Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a a necht’ F (x) je jej´ı primitivn´ı funkce, potom Zb

h ib f (x) dx = F (x) = F (x = b) − F (x = a) . a

a

Pˇ r´ıklad 13.1 (Newtonova Leibnizova formule): Vypoˇc´ıtejte

R1

2x dx. Poté nakres-

0

lete graf funkce a diskutujte v´ ysledek integrálu. ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 13.2 (Integrace per partes): Vypoˇc´ıtejte

Rπ

ex sin x dx.

0

ˇ sen´ı: Reˇ

X Pˇ r´ıklad 13.3 (Integrace pomoc´ı substituce): Vypoˇc´ıtejte

Rπ

sin 2x dx.

0

ˇ sen´ı: Reˇ

X


276

Pozn´ amka: Z vˇety 13.1 pˇr´ımo plynou následuj´ıc´ı dvˇe vlastnosti. Zb

Za f (x) dx = −

a

Za f (x) dx ,

f (x) dx = 0 . a

b

Pokuste se sami tyto vztahy dokázat.

2

Vˇ eta 13.2: Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a, pak pro c ∈ ha, bi plat´ı Zb

Zc f (x) dx =

a

Zb f (x) dx +

a

f (x) dx . c

Pˇ r´ıklad 13.4: Ovˇeˇrte na nˇejakém pˇr´ıkladˇe platnost pˇredchoz´ı vˇety. ˇ sen´ı: Reˇ

X Vˇ eta 13.3 (Vˇ eta o stˇ redn´ı hodnotˇ e): Necht’ f (x) : ha, bi → R je spojit´ a, pak ∃c ∈ ha, bi takový, ˇze 1 f (x = c) = b−a

Zb f (x) dx , a

kde f (x = c) nazýv´ ame stˇredn´ı hodnotou funkce f (x). Pˇ r´ıklad 13.5: Urˇcete stˇredn´ı hodnotu funkce z pˇr´ıkladu 13.1 a znázornˇete v´ ysledek do grafu funkce. ˇ sen´ı: Reˇ

X


277

Doposud jsme se bavili jen o integrován´ı spojit´ ych funkc´ı. Nyn´ı rozˇs´ıˇr´ıme naˇse u ´vahy i na takové funkce, které jsou spojité pouze po ˇca´stech. Definice 13.2 (Integr´ al nespojit´ ych“ funkc´ı): Necht’ f (x) : ha, bi → R je po u ´se” c´ıch spojitá funkce a necht’ v bodech nespojitosti má koneˇcné jednostranné limity. Jestliˇze oznaˇc´ıme body nespojitosti x1 , x2 , . . . , xn−1 a poloˇz´ıme x0 = a, xn = b, pak definujeme Zb f (x) dx =

n Zxi X i=1 x

a

kde fi∗ (x) =

    f (xi−1+ ), f (x),    f (x ), i−

fi∗ (x) dx ,

i−1

x = xi−1 x ∈ (xi−1 , xi ) x = xi

Pˇ r´ıklad 13.6 (Integr´ al nespojit´ ych“ funkc´ı): Vypoˇc´ıtejte ” ( sin x, x ∈ h0, π) , f (x) = 1, x ∈ hπ, 2π) .

I

R 2π 0

f (x) dx, kde

Nakreslete graf funkce f (x) a diskutujte zadan´ y integrál. ˇ sen´ı: Reˇ

X


278

13.1.1

Plocha pod kˇ rivkou funkce

Pro v´ ypoˇcet plochy pod danou kˇrivkou nen´ı potˇreba uvádˇet dalˇs´ı teorii, mˇela by b´ yt jasná z pˇredchoz´ıch odstavc˚ u. Proto se rovnou dáme do pˇr´ıklad˚ u. Pˇ r´ıklad 13.7 (Plocha pod kˇ rivkou): Urˇcete velikost plochy pod kˇrivkou funkce sinus na intervalu a) x ∈ h0, πi, b) x ∈ h0, 2πi. Nakreslete grafy funkc´ı a diskutujte oba v´ ysledky. ˇ sen´ı: Nejprve pˇr´ıpad a) x ∈ h0, πi. Reˇ

Nyn´ı pˇr´ıpad b) x ∈ h0, 2πi.

Odtud vid´ıme, ˇze . . .

X Vˇ eta 13.4 (Plocha mezi funkcemi): Necht’ f1 (x) : ha, bi → R a f2 (x) : ha, bi → R jsou spojité a f1 (x) ≥ f2 (x) ∀x, pak obsah plochy mezi tˇemito funkcemi je Zb S=

f1 (x) − f2 (x) dx . a


13.1.2

279

D´ elka kˇ rivky

Odvod’me nyn´ı, jak pomoc´ı urˇcitého integrálu vypoˇc´ıtat délku kˇrivky zadané funkˇcn´ım pˇredpisem.

Obr´ azek 13.2: Délka kˇrivky

Odtud m˚ uˇzeme napsat následuj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 13.5: Necht’ kˇrivka γ je dána funkc´ı f (x) : ha, bi → R, která má spojitou derivaci. Potom délku kˇrivky γ vypoˇc´ıt´ ame pomoc´ı vztahu Zb q £ ¤2 sγ = 1 + f 0 (x) dx . a


280

Pˇ r´ıklad 13.8: Urˇcete délku paraboly y = x2 + 1 pro x ∈ (−2, 2). ˇ sen´ı: Reˇ

X

13.2

´ Ulohy

Pˇ r´ıklad 13.9: Urˇcete integrál následuj´ıc´ıch funkc´ı na intervalu h−1, 1i. a) f (x) :

y=5

d) f (x) :

y = −x2 + 4

g) f (x) :

y = ln x

i) f (x) :

y=

√

b) f (x) :

x

y = −5

y = x3

e) f (x) : h) f (x) :

c) f (x) :

y=

1 x

y = −3x + 1

f) f (x) : ch) f (x) :

y = x4 − x2 + 4

y=

1 x+5

y = e−x

j) f (x) :

Pˇ r´ıklad 13.10: Urˇcete integrál následuj´ıc´ıch funkc´ı a) f (x) :

y = sin x

b) f (x) :

d) f (x) :

y = e−x sin 2x

y = cos x

e) f (x) :

c) f (x) :

y = cos 2x

y = e−x cos 2x

na intervalech h0, hi, kde h = {0, π, 2π, 3π, 4π}. Pˇ r´ıklad 13.11: Urˇcete integrál následuj´ıc´ıch funkc´ı na intervalu h0, ∞i. a) f (x) :

y=5

d) f (x) :

y=

√

b) f (x) : x

e) f (x) :

y=

1 x

y = e−x

c) f (x) :

y=

1 x+5

´ 13.2. ULOHY

281

Pˇ r´ıklad 13.12: Urˇcete integrál

Z10 f (x)dx , 0

kde

(

a) f (x) =

( c) f (x) =

cos x,

x ∈ h0, π) ,

x2 ,

x ∈ hπ, 10) .

x2 ,

x ∈ h0, 4) ,

−x2 ,

x ∈ h4, 10) .

( b) f (x) =

x2 ,

x ∈ h0, 5) ,

−x2 ,

x ∈ h5, 10) .

 2    2−x , d) f (x) =

ln x,    0,

x ∈ h0, 1) , x ∈ h1, e) , x ∈ he, 10) .

Pˇ r´ıklad 13.13: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 13.9 a urˇcete obsahy ploch ohraniˇcen´ ych danou funkc´ı a osou x na intervalu h−1, 1i. Neˇz zaˇcnete poˇc´ıtat, udˇelejte odhad daného obsahu. Nakreslete grafy tˇechto funkc´ı a diskutujte rozd´ıly od v´ ysledk˚ u z pˇr´ıkladu 13.9. Pˇ r´ıklad 13.14: Uvaˇzujte funkce z pˇr´ıkladu 13.9 a urˇcete délky tˇechto kˇrivek na intervalu h−1, 1i. Neˇz zaˇcnete poˇc´ıtat, udˇelejte odhad dané délky. Pˇ r´ıklad 13.15: Odvod’te vztah pro v´ ypoˇcet objemu rotaˇcn´ıho tˇelesa, jehoˇz v´ yˇskov´ y“ ” tvar pláˇstˇe je dán funkc´ı f (x) : ha, bi → R. Pˇ r´ıklad 13.16: Odvod’te vztah pro v´ ypoˇcet povrchu pláˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa, jehoˇz v´ y” ˇskov´ y“ tvar pláˇstˇe je dán funkc´ı f (x) : ha, bi → R. Pˇ r´ıklad 13.17: Urˇcete délku sinusoidy na jedné periodˇe.

282


´ 13.2. ULOHY

283

284


Kapitola 14 Numerick´ e metody integrov´ an´ı a derivov´ an´ı V pˇredchoz´ı kapitole jsme ˇcasto narazili na integrály, ke kter´ ym neexistovala primitivn´ı funkce. To znamená, ˇze jsme nebyli schopni vyjádˇrit neurˇcit´ y in-

f(t) f(t )∆t i

f(t )

i

i

tegrál a tedy pouˇz´ıt k v´ ypoˇctu urˇcitého integrálu Newtonovu Leibnizovu formuli. Na druhou stranu v´ıme, ˇze integrál je vlastnˇe jakási plocha pod kˇrivkou, která je dána funkˇcn´ım pˇredpisem. Asi si dovedete

a

t t i-1

i

b

t

pˇredstavit, ˇze taková plocha existuje a mˇela by se tedy dát nˇejak´ ym zp˚ usobem vypoˇc´ıtat. V této kapitole si ukáˇzeme základn´ı numerické metody integrován´ı a derivován´ı, které vyuˇzijeme právˇe ve chv´ıli, kdy nebudeme moci pouˇz´ıt analytick´ y postup. Tyto metody jsou d˚ uleˇzité pro v´ ypoˇcetn´ı techniku, nebot’ poˇc´ıtaˇce pracuj´ı s ˇc´ısly nikoli s analytick´ ymi v´ yrazy. Numerické metody se vyuˇz´ıvaj´ı vˇsude tam, kde se nˇeco poˇc´ıtá online z právˇe namˇeˇren´ ych dat. Napˇr´ıklad mˇeˇr´ıme-li ujetou vzdálenost nˇejakého tˇelesa, poˇc´ıtáme rychlost rovnou z tˇechto dat. Teoreticky sice plat´ı, ˇze se rychlost rovná derivaci ujeté dráhy, ale tu obvykle nemáme v ˇza´dném funkˇcn´ım pˇredpisu a nem˚ uˇzeme ji tedy k v´ ypoˇctu pouˇz´ıt. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme zejména z (Jankovsky ucha, L., 1996), ale mnoho informac´ı naleznete dnes i na internetu, napˇr´ıklad na (Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online], 2010; The MathWorld [online], 2010). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Procviˇcovat nen´ı vlastnˇe co, protoˇze k tˇemto metodám staˇc´ı umˇet pouˇz´ıvat sˇc´ıtán´ı a násoben´ı na kalkulaˇcce. Numerické metody byly vyvinuty pro potˇreby poˇc´ıtaˇc˚ u a proto, sp´ıˇse neˇz poˇc´ıtán´ı na pap´ıˇre, si je zkus´ıme naprogramovat v Matlabu. 285

286

14.1

´ METODY INTEGROVAN ´ Í A DERIVOVAN ´ Í KAPITOLA 14. NUMERICKE

Numerick´ e integrov´ an´ı

Jak uˇz jsme uvedli v´ yˇse, tyto metody jsou velice jednoduché, proto i tato kapitola nebude pˇr´ıliˇs dlouhá. Vˇzdy budeme pˇredpokládat, ˇze f (x) : ha, bi → R je spojitá.

14.1.1

Obd´ eln´ıkov´ e metody

(a) v´ ypoˇcet zleva

(b) v´ ypoˇcet zprava

Obrázek 14.1: Numerick´ a integrace – obdéln´ıkov´ a metoda

Za hodnotu integrálu vol´ıme integráln´ı souˇcet odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotám funkce v lev´ ych kraj´ıch interval˚ u, to je Rl (∆x) =

(14.1)

nebo integráln´ı souˇcet odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotám funkce v prav´ ych kraj´ıch interval˚ u, to je Rr (∆x) =

(14.2)

´ INTEGROVAN ´ Í 14.1. NUMERICKE

287

Pˇ r´ıklad 14.1: Urˇcete pomoc´ı dvou v´ yˇse uveden´ ych obdéln´ıkov´ ych metod pˇrihliˇznˇe hodR2 2 notu integrálu x dx. Nakreslete graf funkce a znázornˇete na nˇem oba v´ ypoˇcty. Nakonec −1

srovnejte v´ ysledek s pˇresnou hodnotou. ˇ sen´ı: Nejprve zvol´ıme krok ∆x = 1. Reˇ



Obrázek 14.2: Graf funkce y = x2

Nyn´ı zvol´ıme krok ∆x = 0,5.

Nakonec analytick´ ym zp˚ usobem Z2 x2 dx = −1

X

288


Obrázek 14.3: Numerická integrace – obdéln´ıkov´ a metoda – v´ ypoˇcet ze stˇredu

Za hodnotu integrálu vol´ıme integráln´ı souˇcet odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotám funkce uprostˇred interval˚ u, to je Rc (∆x) =

(14.3)

Pˇ r´ıklad 14.2: Urˇcete pomoc´ı v´ yˇse uvedené obdéln´ıkové metody pˇrihliˇznˇe hodnotu inR2 2 tegrálu x dx. Nakreslete graf funkce a znázornˇete na nˇem v´ ypoˇcet. Nakonec srovnejte −1

v´ ysledek s pˇr´ıkladem 14.1. ˇ sen´ı: Nejprve zvol´ıme krok ∆x = 1. Reˇ



X

´ INTEGROVAN ´ Í 14.1. NUMERICKE

14.1.2

289

Lichobˇ eˇ zn´ıkov´ a metoda

Obrázek 14.5: Numerick´ a integrace – lichobˇeˇzn´ıkov´ a metoda

Za hodnotu integrálu vol´ıme integráln´ı souˇcet odpov´ıdaj´ıc´ı pr˚ umˇeru hodnot funkce v kraj´ıch interval˚ u, to je T (∆x) =

(14.4)

Pˇ r´ıklad 14.3: Urˇcete pomoc´ı v´ yˇse uvedené lichobˇeˇzn´ıkové metody pˇrihliˇznˇe hodnotu R2 2 integrálu x dx. Nakreslete graf funkce a znázornˇete na nˇem oba v´ ypoˇcty. Nakonec −1

srovnejte v´ ysledek s pˇr´ıkladem 14.1. ˇ sen´ı: Nejprve zvol´ıme krok ∆x = 1. Reˇ



290


X

14.2

Numerick´ e derivov´ an´ı

14.2.1

Aproximace pomoc´ı diference



Obrázek 14.7: Numerická derivace – aproximace pomoc´ı diference

Za hodnotu derivace vol´ıme diferenci poˇc´ıtanou zleva, to je df (x) . = dx

(14.5)

nebo diferenci poˇc´ıtanou zprava, to je df (x) . = dx

(14.6)

´ DERIVOVAN ´ Í 14.2. NUMERICKE

291

Pˇ r´ıklad 14.4: Urˇcete pomoc´ı dvou v´ yˇse uveden´ ych metod pˇrihliˇznˇe pr˚ ubˇeh derivace funkce x2 . Nakreslete graf funkce a znázornˇete na nˇem oba v´ ypoˇcty. Nakonec srovnejte v´ ysledek s pˇresnou hodnotou. ˇ sen´ı: Nejprve zvol´ıme krok ∆x = 1. Reˇ



Obrázek 14.8: Graf funkce y = x2 a jej´ı pˇribliˇzn´ a derivace


Nakonec analytick´ ym zp˚ usobem d 2 (x ) = dx X

292

14.3


´ Ulohy

f(x)

Pˇ r´ıklad 14.5: Urˇcete integrál funkce z následuj´ıc´ıho obrázku. 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 0

0.5

1

1.5

2 x

2.5

3

3.5

4

−1

0


Pˇ r´ıklad 14.6: Urˇcete integrál funkce z následuj´ıc´ıho obrázku. 5 4 3 2 f(x)

1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −10 −9

−8

−7

−6

−5 x

−4

−3


−2

´ 14.3. ULOHY

293

Pˇ r´ıklad 14.7: Urˇcete integrály z kapitoly 13 pomoc´ı numerick´ ych metod pro r˚ uznˇe velké kroky ∆x. Porovnejte jednotlivé metody v´ ypoˇctu z hlediska obt´ıˇznosti a pˇresnosti. Pˇ r´ıklad 14.8: Urˇcete pr˚ ubˇeh derivace funkc´ı z obr. 14.9 a obr. 14.10. Pˇ r´ıklad 14.9: Naprogramujte v Matlabu algoritmy pro v´ ypoˇcet integrálu pomoc´ı vˇsech v´ yˇse uveden´ ych metod. Pˇ r´ıklad 14.10: Naprogramujte v Matlabu algoritmy pro v´ ypoˇcet derivace pomoc´ı v´ yˇse uveden´ ych metod.

294


´ 14.3. ULOHY

295

296


Kapitola 15 ´ Uvod k diferenci´ aln´ım rovnic´ım Diferenciáln´ı rovnice jsou uˇz celkem pokroˇcilé partie matematiky. My je zde nebudeme nijak teoreticky studovat ani analyzovat, to si m˚ uˇzete uˇz´ıt na

dx (t ) + ax (t ) = u (t ) dt

vysoké ˇskole do sytosti. Zde si jen ˇrekneme, co je to diferenciáln´ı rovnice, kde se vezme, k ˇcemu slouˇz´ı a jak ji vyˇreˇsit pomoc´ı poˇc´ıtaˇce. To vˇse je celkem jednoduché a my se s touto oblast´ı matematiky seznám´ıme, protoˇze tyto poznatky budeme vyuˇz´ıvat v kurzu Modelován´ı a ˇr´ızen´ı systém˚ u. Diferenciáln´ı rovnice je taková rovnice, kde se vedle bˇeˇzn´ ych neznám´ ych veliˇcin a konstant vyskytuje i derivace (prvn´ı nebo i vyˇsˇs´ı) neznámé veliˇciny. Vyˇreˇsit ji znamená nalézt neznámou veliˇcinu, která této rovnici vyhovuje. Tato neznámá veliˇcina je obvykle funkce dalˇs´ı promˇenné, nejˇcastˇeji ˇcasu. Diferenciáln´ı rovnici m˚ uˇzeme, v souvislosti s reáln´ ym svˇetem a fyzikáln´ımi zákony, naz´ yvat pohybovou rovnic´ı, protoˇze obvykle popisuje nˇejak´ y pohyb (zmˇena objemu kapaliny v nádrˇzi, zmˇena polohy tˇelesa, zmˇena otáˇcek motoru, zmˇena napˇet´ı na kondenzátoru, zmˇena proudu c´ıvkou a tak dále). Uˇz je jasné, ˇze tyto rovnice vznikaj´ı z fyzikáln´ıch zákon˚ u popisuj´ıc´ı nˇejak´ y reáln´ y systém (nádrˇz, automobil, motor, RLC ˇclánek a tak dále). Vyˇreˇsit diferenciáln´ı rovnici znamená urˇcit pr˚ ubˇeh dané veliˇciny (zmˇena objemu kapaliny v nádrˇzi, zmˇena polohy tˇelesa, zmˇena otáˇcek motoru, zmˇena napˇet´ı na kondenzátoru, zmˇena proudu c´ıvkou a tak dále) v závislosti na poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınce nebo vstupn´ım signálu. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Cerpat budeme z (Roubal, J. et al., 2011; Jankovsky ucha, L., 1998; ´ , Z. a Pr˚ Jankovsky ucha, L., 1996). V´ıce viz pˇrednáˇsky. Procviˇcovat budeme zejména na poˇc´ıtaˇci, teoretické postupy vedouc´ı k ˇreˇsen´ı se dozv´ıte aˇz na vysoké ˇskole. 297

´ ´ ÍM ROVNICÍM KAPITOLA 15. UVOD K DIFERENCIALN

298

15.1

Odvozen´ı diferenci´ aln´ı rovnice

Nejprve si ukáˇzeme, jak se diferenciáln´ı rovnice z´ıská. Odvod´ıme ji pro systém vodn´ı nádrˇze z obr. 15.1. Do nádrˇze pˇritéká mnoˇzstv´ı vody qi [m3 s−1 ], které je umˇerné napˇet´ı na ˇcerpadle qi (t) = ku(t) . Vstupem tohoto systému je tedy napˇet´ı na ˇcerpadle u [V]. Voda z nádrˇze m˚ uˇze volnˇe vytékat

Obr´ azek 15.1: Systém vodn´ı nádrˇz

otvorem o ploˇse So [m2 ]. Z Bernouliho rovnice (Feynman, R. P. et al., 2001) v´ıme, ˇze v´ ytoková rychlost je v(t) =

p

2gh(t) .

´ Í ROVNICE 15.1. ODVOZENÍ DIFERENCIALN

299

300


´ Í ROVNICE 15.1. ODVOZENÍ DIFERENCIALN

301

302


ˇ ast III C´ Informaˇ cn´ı technologie

303

Kapitola 16 MatLab/SimuLink Kurz informaˇcn´ı technologie je ve své prvn´ı ˇca´sti zamˇeˇren na prostˇred´ı MatLab/SimuLink (The Mathworks, 2009), které vyuˇzijeme v dalˇs´ıch kurzech hlavnˇe pro modelován´ı dynamick´ ych systém˚ u, k jejich vizualizaci a zejména k návrhu ˇr´ızen´ı návrhu regulátor˚ u). Nakonec pˇripoj´ıme reálnou technologii (laboratorn´ı model) k poˇc´ıtaˇci a vyuˇzijeme toto prostˇred´ı k aplikaci navrˇzeného regulátoru. Na nˇekolik video záznam˚ u z regulaˇcn´ıch pochod˚ u poˇr´ızen´ ych v Laboratoˇri teorie automatického ˇr´ızen´ı ˇ CVUT FEL se m˚ uˇzete pod´ıvat na stránkách (Roubal, J. et al., 2009). Neˇz se ovˇsem k tˇemto dovednostem dopracujeme, mus´ıme se v tomto prostˇred´ı nauˇcit orientovat a efektivnˇe ho vyuˇz´ıvat. Proto se snaˇzte k hodinám aktivnˇe pˇristupovat. Piˇste si poznámky k v´ ykladu, sami si zkouˇsejte, co jednotlivé bloˇcky v Simulinku um´ı, jak se nastavuj´ı jejich parametry a co tyto parametry v simulaci zp˚ usobuj´ı. Také si osvojte zásady uvedené v (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıloha G). V této kapitole nebudeme uvádˇet ˇza´dné v´ ykladové“ texty. Proto si na hodinách ” piˇste kvalitnˇe poznámky, experimentujte s jednotliv´ ymi bloky a jejich nastaven´ı, ptejte se vyuˇcuj´ıc´ıho, hledejte na internetu (The Mathworks, 2009) ˇci v samotné nápovˇedˇe MatLab/Simulinku. Pomoc naleznete také napˇr´ıklad v (Kupka, L., 2007) a velice struˇcn´ y u ´vod k prostˇred´ı MatLab/SimuLink je i v (Roubal, J. et al., 2011). Dále v této kapitole naleznete jen nˇekolik u ´loh, které by pro Vás mohly b´ yt vod´ıtkem pˇri domác´ı pˇr´ıpravˇe na hodiny. Snaˇzte se neˇreˇsit u ´lohy pouze mechanicky, ale sami experimetujte a t´ım se v tomto prostˇred´ı zdokonalujte. Moˇznost´ı jeho vyuˇzit´ı je opravdu mnoho, a abychom z nich mohli vyuˇz´ıt alespoˇ n nˇekteré, je potˇreba Váˇs aktivn´ı pˇr´ıstup v tomtu kurzu! 305

306

16.1

KAPITOLA 16. MATLAB/SIMULINK

Simulink

Pˇ r´ıklad 16.1 (Z´ akladn´ı bloˇ cky Simulinku): Seznamte se se základn´ımi bloˇcky, které jsou uvedeny na následuj´ıc´ım obrázku (po sloupci: vstupy (Sources), matematické funkce (Math Operations), spoje (Signal Routing), v´ ystupy (Sinks)). Seznamte se s nastavován´ım jejich parametr˚ u, s jejich vlastnostmi a s anglick´ ymi v´ yrazy, které u nich najdete (ˇctˇete nápovˇedy k tˇemto bloˇck˚ um).

Obrázek 16.1: Uˇziteˇcné bloˇcky ze Simulinku

Seznamte se s nastavován´ım parametr˚ u simulace, zejména s nastaven´ım délky simulace a pˇresnosti simulace (menu Simulation/Configuration Parameters – poloˇzka Max step size).

16.1. SIMULINK

307

Pˇ r´ıklad 16.2 (Generov´ an´ı sign´ al˚ u): Pouˇzijte bloˇcky z obr. 16.1 a zapojte je tak, abyste vygenerovali ˇcasové pr˚ ubˇehy, jaké jsou na následuj´ıc´ım obrázku.

3.5

0.5

3 0

2.5 2

−0.5

y [−]

y [−]

1.5 1

−1

0.5 −1.5

0 −0.5

−2

−1 −1.5 0

2

4

6 t [s]

8

10

−2.5 0

12

2

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

0

−2

−4

−4

−6

−6

−8

−8

−10 0

−10 0

4

8

10

12

0

−2

2

6 t [s]

(b)

y [−]

y [−]

(a)

4

6

8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

t [s]

(c) lineárn´ı nár˚ ust amplitudy

(d) exponenciáln´ı pokles amplitudy

ˇ Obr´ azek 16.2: Casov´ e pr˚ ubˇehy

Pˇ r´ıklad 16.3 (Vkl´ ad´ an´ı sch´ emat do refer´ at˚ u): Nauˇcte se vkládat schémata do referát˚ u ve vektorovém formátu (menu Edit/Copy Model To Clipboard).

Pˇ r´ıklad 16.4 (Dalˇ s´ı bloˇ cky Simulinku): Seznamte se s dalˇs´ımi bloˇcky, které jsou uvedeny na následuj´ıc´ım obrázku (po sloupci: Virtual reality toolbox, nelinearity (nespojitosti) (Discontinuities), spoje (Signal Routing), v´ ystupy (Sinks) a vstupy (Sources)). Seznamte se s nastavován´ım jejich parametr˚ u, s jejich vlastnostmi a s anglick´ ymi v´ yrazy, které u nich najdete (ˇctˇete nápovˇedy k tˇemto bloˇck˚ um).

308


Obrázek 16.3: Dalˇs´ı bloˇcky ze Simulinku

Pˇ r´ıklad 16.5 (Anal´ yza virtu´ aln´ıho modelu kuliˇ cka na tyˇ ci): Stáhnˇete si virtuáln´ı model kuliˇcka na tyˇci (Roubal, J. et al., 2009; Roubal, J. et al., 2011). Pˇreˇctˇete si nápovˇedu k tomuto modelu, seznamte se s jeho vlastnostmi a proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı jeho chován´ı. Poté zjistˇete, v jak´ ych rozsaz´ıch se mohou pohybovat vstupn´ı a v´ ystupn´ı veliˇciny (náklon tyˇce a poloha kuliˇcky). Dále odpovˇezte na otázky nebo proved’te simulace podle následuj´ıc´ıch poˇzadavk˚ u: a) Urˇcete, za jak dlouho a na jaké hodnotˇe se ustál´ı náklon tyˇce, pˇrivedete-li na vstup modelu signál u(t) = 4 · 1(t) (skok o velikosti 4). b) Urˇcete, za jak dlouho a na jaké hodnotˇe se ustál´ı náklon tyˇce, pˇrivedete-li na vstup modelu signál u(t) = 4 · 1(t − 1) (skok o velikosti 4 posunut´ y v ˇcase do 1 s). c) Urˇcete, za jak dlouho a na jaké hodnotˇe se ustál´ı náklon tyˇce, pˇrivedete-li na vstup modelu signál u(t) = t/2 (rampa se sklonem 1/2). Vysvˇetlete. d) Urˇcete, za jak dlouho a na jaké hodnotˇe se ustál´ı náklon tyˇce, pˇrivedete-li na vstup modelu signál u(t) = −t (rampa se sklonem −1). Vysvˇetlete. e) Zmˇeˇrte, za jak dlouho pˇrejede kuliˇcka z jednoho kraje tyˇce na druh´ y, je-li tyˇc naklonˇena 1◦ od vodorovné polohy. f) Zmˇeˇrte, za jak dlouho pˇrejede kuliˇcka z jednoho kraje tyˇce na druh´ y, je-li tyˇc naklonˇena 5◦ od vodorovné polohy. Je ˇcas 5 krát kratˇs´ı neˇz v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe? Vysvˇetlete. g) Kuliˇcka je od zaˇca´tku simulace (t = 0 s) uprostˇred tyˇce. V ˇcase t = 1 s se zaˇcne pohybovat v pravo a zastav´ı se ve vzdálenosti 20 cm od stˇredu.

16.1. SIMULINK

309

Pˇ r´ıklad 16.6 (Anal´ yza laboratorn´ıho modelu): Vyberte si nˇekter´ y z pˇripojen´ ych laboratorn´ıch model˚ u k poˇc´ıtaˇci v Laboratoˇri aplikované informatiky a fyziky. Pˇreˇctˇete si nápovˇedu k tomuto modelu, seznamte se s jeho vlastnostmi a proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı jeho chován´ı. Poté zjistˇete, v jak´ ych rozsaz´ıch se mohou pohybovat vstupn´ı a v´ ystupn´ı veliˇciny (pokud je vstup˚ u a v´ ystup˚ u v´ıce, postaˇc´ı vhodnˇe zvolit 3 veliˇciny r˚ uzné povahy, to je jeden vstup a dva v´ ystupy, nebo dva vstupy a jeden v´ ystup). Dále proved’te anal´ yzu laboratorn´ıho modelu podobnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 16.5. Pˇ r´ıklad 16.7 (Syst´ em vod´ arny se zubov´ ym ˇ cerpadlem): Vytvoˇrte si simulinkov´ y model systému vodárny se zubov´ ym ˇcerpadlem a v´ ytokov´ ym ventilem (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıklad 11.2). Seznamte se s jeho vlastnostmi a nastavte si vaˇse vlastn´ı (reálné) parametry systému. Proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı správného chován´ı modelu. Poté proved’te simulace podle následuj´ıc´ıch poˇzadavk˚ u: a) Hladina nádrˇze lineárnˇe roste od zaˇcátku simulace (t = 0 s) osm sekund, kdy dosáhne v´ yˇsky 10 cm. Na této hladinˇe setrvá dalˇs´ıch deset sekund. b) Hladina nádrˇze je od zaˇcátku simulace (t = 0 s) nulová a od ˇcasu t = 2 s roste aˇz do v´ yˇsky 12 cm. V´ ytokov´ y ventil je pˇritom celou dobu otevˇren na 50%. c) Hladina nádrˇze je od zaˇca´tku simulace (t = 0 s) ve v´ yˇsce 15 cm a v ˇcase t = 3 s zaˇcne exponenciálnˇe klesat tak, ˇze v ˇcase t = 17 s je nádrˇz prázdná. d) Urˇcete vliv velikosti plochy nádrˇze S na odezvu systému (rychlost, doba ustálen´ı, hodnota ustálen´ı). e) Urˇcete vliv velikosti v´ ytokového potrub´ı So na odezvu systému. f) Urˇcete vliv pˇrevodn´ı konstanty ˇcerpadla na odezvu systému. Vytvoˇrte 3D scénu a masku systému podle návodu v (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıloha: VR Toolbox Water.pdf). Pˇ r´ıklad 16.8 (Syst´ em z´ avaˇ z´ı na pruˇ zinˇ e): Vytvoˇrte si simulinkov´ y model systému závaˇz´ı na pruˇzinˇe (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıklad 11.4) – zjednoduˇste systém pro pevn´ y závˇes a pohyb ve vodorovné ose (zanedbejte tˇren´ı o podloˇzku). Seznamte se s jeho vlastnostmi a nastavte si vaˇse vlastn´ı (reálné) parametry systému. Proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı správného chován´ı modelu. Poté proved’te simulace podle následuj´ıc´ıch poˇzadavk˚ u:

310


a) Na závaˇz´ı p˚ usob´ı s´ıla F (t) = 5 N. b) S´ıla F (t) = 0 a závaˇz´ı bylo na poˇcátku simulace vych´ yleno o x(0) = 1 cm vpravo od rovnováˇzné polohy. c) S´ıla F (t) = 0 a závaˇz´ı mˇelo na poˇca´tku simulace ruchlost o v(0) = −2 cm s−1 . d) Urˇcete vliv tuhosti pruˇziny k na odezvu systému (rychlost, doba ustálen´ı, hodnota ustálen´ı). e) Urˇcete vliv koeficientu tlumen´ı b na odezvu systému. f) Urˇcete vliv velikosti hmotnosti závaˇz´ı m na odezvu systému. Pˇ r´ıklad 16.9 (Syst´ em RLC ˇ cl´ anek): Vytvoˇrte si simulinkov´ y model systému RLC ˇclánek (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıklad 3.1). Seznamte se s jeho vlastnostmi a nastavte si vaˇse vlastn´ı (reálné) parametry systému. Proved’te nˇekolik simulac´ı pro ovˇeˇren´ı správného chován´ı modelu. Poté proved’te simulace podle následuj´ıc´ıch poˇzadavk˚ u: a) Systém je odpojen od zdroje a v ˇcase 1 s je pˇrivedeno na vstup napˇet´ı u(t) = 10·1(t−1) (skok o velikosti 10 posunut´ y v ˇcase do 1 s). b) Na vstup systému je pˇrivedeno sinusové napˇet´ı o amplitudˇe 5 V s periodou T = 1 .5 s. Diskutujte vliv amplitudu a vliv periody sinusového signálu na odezvu systému. c) Vstup systému (zdroj u(t)) je zkratován a na zaˇca´tku simulace je na kondenzátoru napˇet´ı uC = 10 V. d) Vstup systému je zkratován a na zaˇcátku simulace protéká c´ıvkou proud iL = 1 A. e) Urˇcete vliv velikosti odporu R na odezvu systému (rychlost, doba ustálen´ı, hodnota ustálen´ı). f) Urˇcete vliv velikosti indukˇcnosti L na odezvu systému. g) Urˇcete vliv velikosti kapacity C na odezvu systému. Pˇ r´ıklad 16.10 (Syst´ em n´ adrˇ z´ı se zubov´ ym ˇ cerpadlem): Uvaˇzujte systém se dvˇema nádrˇzemi dle obr. 16.4. Vstupem systému je napˇet´ı u ∈ h0, 12i V na motoru zubového

16.1. SIMULINK

311

ˇcerpadla a m´ıra otevˇren´ı v´ ytokového ventilu v ∈ h0, 1i. ˇ Cerpadlo produkuje objemov´ y tok qin [m3 s−1 ] u ´mˇern´ y vstupn´ımu napˇet´ı qin (t) = ku(t), kde k je konstanta ˇ ˇcerpadla. Cerpadlo pln´ı vodou horn´ı nádrˇz, která je vysoká 5 m a má plochu podstavy S1 = 10 dm2 . Z této nádrˇze voda volnˇe vytéká otvorem u dna nádrˇze o pr˚ uˇrezu So1 = 5 cm2 do doln´ı nádrˇze, která má plochu podstavy S2 = 5 dm2 a v´ yˇsku 6 m. Z doln´ı nádrˇze vede

Obrázek 16.4: Systém nádrˇz´ı

2

u dna potrub´ı o pr˚ uˇrezu So2 = 4 cm , které je ˇskrceno v´ ytokov´ ym ventilem s lineárn´ı charakteristikou. Rovnice takového systému jsou i p 1 h h˙ 1 (t) = −So1 2gh1 (t) + ku(t) , S1 i p 1 h p h˙ 2 (t) = So1 2gh1 (t) − v(t)So2 2gh2 (t) , S2 kde h1 , h2 [m] jsou v´ yˇsky hladin v jednotliv´ ych nádrˇz´ıch. Vytvoˇrte simulinkov´ y model tohoto systému podle v´ yˇse uveden´ ych informac´ı. Zvolte konstantu ˇcerpadla k tak, aby se pˇri maximáln´ım vstupn´ım napˇet´ı horn´ı nádrˇz naplnila po ustálen´ı pˇrechodového dˇeje na 75% své v´ yˇsky. Dále proved’te následuj´ıc´ı experimenty a odpovˇezte na otázky: a) Urˇcete, za jak dlouho a na jak´ ych hodnotách se ustál´ı hladiny v obou nádrˇz´ıch, jestliˇze je v´ ytokov´ y ventil ze 75% otevˇren a na ˇcerpadle je konstantn´ı napˇet´ı u = 7 V. b) Urˇcete, za jak dlouho se vyprázdn´ı plná doln´ı nádrˇz, jestliˇze horn´ı nádrˇz je prázdná, do systému ˇza´dná voda nepˇritéká a v´ ytokov´ y ventil je naplno otevˇren. c) Urˇcete, za jak dlouho se vyprázdn´ı obˇe nádrˇze, jestliˇze byla horn´ı nádrˇz plná, doln´ı nádrˇz byla prázdná, do systému ˇzádná voda nepˇritéká a v´ ytokov´ y ventil je naplno otevˇren. ˇ d) Cerpadlo je vypnuté a v´ ytokov´ y ventil na polovinu otevˇren´ y. Urˇcete maximáln´ı poˇca´teˇcn´ı v´ yˇsku hladiny doln´ı nádrˇze tak, aby tato nádrˇz nepˇretekla, jestliˇze horn´ı nádrˇz byla na zaˇcátku naplnˇena ze 75%. e) Rozˇsiˇrte model tak, aby nereagoval na napˇet´ı menˇs´ı neˇz 1,5 V a na napˇet´ı vˇetˇs´ı neˇz 1,5 V se choval stejnˇe jako pˇred touto zmˇenou. f) Vytvoˇrte masku systému a virtuáln´ı realitu.

312


16.2

Matlab

´ Pˇ r´ıklad 16.11 (Uvod do MatLabu): Seznamte se se základn´ımi pojmy z prostˇred´ı MatLab dle (Kupka, L., 2007). Pˇ r´ıklad 16.12 (Uˇ ziteˇ cn´ e funkce): Seznamte se s funkcemmi Matlabu: clc, clear, close, rank, svd, eye, zeros, ones, diag, rand, randn, size, det, inv, disp, pause, figure, plot, hold, grid, sprintf, print. Nápovˇedu k funkc´ım vyvoláte tak, ˇze nap´ıˇsete v pˇr´ıkazové ˇra´dce help název funkce. Také vám mohou pomoci ukázkové pˇr´ıklady na stránkách pˇredmˇetu. Pˇ r´ıklad 16.13 (Line´ arn´ı algebra): Vyˇreˇste z kaˇzdé kapitoly pˇredmˇetu Lineárn´ı algeˇ sen´ı porovnejte s ruˇcn´ım bra alespoˇ n 3 pˇr´ıklady (z pˇrednáˇsek i cviˇcen´ı) v Matlabu. Reˇ v´ ypoˇctem. Pˇ r´ıklad 16.14 (Dvojteˇ ckov´ a konvence): Vygenerujte si libovolnou matici A ∈ R5×5 a vyˇreˇste následuj´ıc´ı u ´koly v Matlabu: 1. Do nˇejaké promˇenné pˇriˇrad’te • prvek a11 matice A, • druh´ y ˇra´dek matice A, • tˇret´ı sloupec matice A, • prvn´ı dva ˇra´dky matice od druhého sloupce aˇz do posledn´ıho sloupce matice A. 2. Prvky a23 , a24 , a33 a a34 matice A pˇrepiˇste nulami. 3. Do matice B vloˇzte matici A rozˇs´ıˇrenou o libovoln´ y sloupec. 4. Do matice C vloˇzte matici A rozˇs´ıˇrenou o dva libovolné ˇrádky. 5. Vypoˇc´ıtejte • inverzn´ı matici matice A, • transponovanou matici k matici A, • vlastn´ı ˇc´ısla matice A, • vlastn´ı vektory matice A, • determinant matice A.

´ ´ ˇ 16.3. OTAZKY K ZAPO CTU

313

Pˇ r´ıklad 16.15 (Tvorba graf˚ u): Odsimulujte nˇekter´ y ze simulinkov´ ych model˚ u z pˇr´ıklad˚ u 16.5 aˇz 16.9 a vykreslete vˇsechny grafy v Matlabu (figury s b´ıl´ ym pozad´ım). Grafy upravte tak, aby byly pouˇzitelné do referát˚ u a podobnˇe.

16.3

Ot´ azky k z´ apoˇ ctu

16.3.1

Semestr´ aln´ı pr´ ace

Pˇ r´ıklad 16.16 (Simulinkov´ y model): Vytvoˇrte simulinkov´ y model Vámi zvoleného reálného systému alespoˇ n druhého ˇra´du nebo alespoˇ n se dvˇema vstupy nebo alespoˇ n se dvˇema v´ ystupy a vytvoˇrte k tomuto modelu virtuáln´ı scénu (pokud lze). Opatˇrete model maskou s nápovˇedou a s moˇznost´ı zadávat jednotlivé parametry systému. Proved’te anal´ yzu jeho chován´ı (ˇcasové odezvy na kombinace vstupn´ıch posloupnost´ı a ˇcasové odezvy na poˇcáteˇcn´ı podm´ınky) a diskutujte správnost chován´ı Vaˇseho modelu. Vypracujte k modelu dokumentaci.

16.3.2

Nutn´ e znalosti k z´ apoˇ ctu

SimuLink • Orientovat se v SimuLinku, nastavovat parametry simulace, nastavovat parametry vstupn´ıch a v´ ystupn´ıch bloˇck˚ u. • Simulovat a následnˇe analyzovat dynamick´ y systém. • Vytvoˇrit model zadaného systému (diferenciáln´ı rovnice). • Vytvoˇrit Masku zadaného jednoduchého systému a nastavit ji. • Vytvoˇrit vizualizaci zadaného jednoduchého systému a nastavit ji. • Umˇet pˇrenést data ze Simulinku do Matlabu a zpˇet. Matlab • Vytvoˇrit a upravit graf. • Pracovat s vektory a maticemi v rozsahu kurzu Lineárn´ı algebra.

314

16.3.3



• Viz pˇr´ıklady z (Roubal, J. et al., 2011, pˇr´ıloha G).


315

316



317

318


Kapitola 17 Algoritmizace Ve druhé ˇcásti kurzu informaˇcn´ı technologie se budeme zab´ yvat algoritmizac´ı. C´ıle máme dva. Nauˇcit se vytváˇret jednoduché algoritmy a zapisovat je pomoc´ı vývojových diagram˚ u proto, abyste je ve druhém roˇcn´ıku mohli pouˇz´ıvat pˇri klasickém programován´ı. Nebudeme algoritmy pouze vym´ yˇslet, ale také se budeme uˇcit orientovat se v jiˇz vytvoˇren´ ych v´ yvojov´ ych diagramech a pˇr´ıpadnˇe je opravovat. Druh´ ym c´ılem je nauˇcit se jednoduché algoritmy pˇrepisovat do Matlabu a pˇri tom se seznámit s jeho základn´ımi funkcemi, které vyuˇzijeme pro zefektivnˇen´ı zejména matematick´ ych v´ ypoˇct˚ u a operac´ı v tomto prostˇred´ı. To nám poslouˇz´ı ve druhém roˇcn´ıku v kurzu Modelován´ı a ˇr´ızen´ı systém˚ u. ´ e na zaˇcátku si pov´ıme, co to vlastnˇe algoritmus je Uplnˇ a jaké mus´ı m´ıt vlastnosti (elementárnost, determinovanost, koneˇcnost, rezultativnost, hromadnost) – pˇredpokládáme, ˇze jste tyto pojmy jiˇz slyˇseli. Dále se seznám´ıme se tˇremi základn´ımi strukturami, pomoc´ı kter´ ych lze kaˇzd´ y algoritmus sestavit: posloupnost (sekvenci), vˇetven´ı (rozhodován´ı) a cykly (opakován´ı). V této kapitole nebudeme uvádˇet ˇza´dné v´ ykladové“ texty. Proto si na hodinách piˇste ” ˇ kvalitnˇe poznámky a vypracovávejte domác´ı u ´lohy. Cerpat budeme zejména z (Trete´ , E., 2003). Dále naleznete jen nˇekolik u rova ´loh, které by pro Vás mohly b´ yt vod´ıtkem pˇri domác´ı pˇr´ıpravˇe na hodiny. Snaˇzte se neˇreˇsit u ´lohy pouze mechanicky, ale pˇrem´ yˇslejte nad nimi, testujete Vaˇse ˇreˇsen´ı a tak dále. 319

320

17.1

KAPITOLA 17. ALGORITMIZACE

Jednoduch´ e algoritmy

Pˇ r´ıklad 17.1 (Posloupnost): Vstupem program jsou dvˇe ˇc´ısla. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y tyto dvˇe ˇc´ısla seˇcte. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu (uˇzijte funkce input a sprintf). Pˇ r´ıklad 17.2 (Posloupnost): Vstupem program jsou dvˇe ˇc´ısla, která jsou uloˇzena ve dvou promˇenn´ ych. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y vymˇen´ı obsah tˇechto dvou promˇenn´ ych. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.3 (Vˇ etven´ı): Vstupem program jsou dvˇe ˇc´ısla a a b. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y vyˇreˇs´ı rovnici ax+b = 0. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.4 (Vˇ etven´ı): Vstupem program jsou dvˇe ˇc´ısla. Prvn´ı ˇc´ıslo je poˇcet bod˚ u, které jste z´ıskali v kurzu Lineárn´ı algebra v zimn´ım obdob´ı, druhé ˇc´ıslo je poˇcet bod˚ u, které jste z´ıskali v témˇze kurzu v letn´ım obdob´ı. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı a vyp´ıˇse, jaká v´ ysledná známka Vám bude zapsána do indexu dle pravidel daného kurzu (podm´ınky na minima z jednotliv´ ych test˚ u neuvaˇzujte – vlastnˇe je ani uˇz´ıt nem˚ uˇzete). Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.5 (Vˇ etven´ı): Vstupem programu je 7 ˇc´ısel odpov´ıdaj´ıc´ı bod˚ um ze zimn´ıho obdob´ı v kurzu Lineárn´ı algebra (body z testu 1 aˇz 3, body za u ´kol z kapitoly matematická logika a body za aktivitu 1 aˇz 3). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı a vyp´ıˇse, zda máte, dle pravidel daného kurzu, nárok na zápoˇcet ˇci nikoli. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.6 (Vˇ etven´ı): Vyˇreˇste pˇredchoz´ı pˇr´ıklad s t´ım omezen´ım, ˇze v programovac´ım jazyce máte k dispozici pouze následuj´ıc´ı funkce: • if() pozná pouze to, zda hodnota nˇejaké promˇenné je rovna nule nebo jedniˇcce, • sum() um´ı seˇc´ıst libovoln´ y poˇcet ˇc´ısel, • * um´ı vynásobit libovoln´ y poˇcet ˇc´ısel,

´ ALGORITMY 17.1. JEDNODUCHE

321

• abs() um´ı urˇcit absolutn´ı hodnotu daného ˇc´ısla, • max() um´ı vybrat maximáln´ı ˇc´ıslo z dané mnoˇziny, • min() um´ı vybrat minimáln´ı ˇc´ıslo z dané mnoˇziny, • round() um´ı zaokrouhlit ˇc´ıslo na celé ˇc´ıslo. Taková situace je v MOODLE 2.0. Je toto v˚ ubec ˇreˇsitelná u ´loha? Pˇ r´ıklad 17.7 (Vˇ etven´ı): Vstupem programu je 13 ˇc´ısel odpov´ıdaj´ıc´ı bod˚ um z kurzu Lineárn´ı algebra (body z testu 1 aˇz 5, body za aktivitu 1 aˇz 5, body za u ´kol z kapitoly matematická logika, body z p´ısemné zkouˇsky a body z u ´stn´ı zkouˇsky). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı a vyp´ıˇse, jaká v´ ysledná známka Vám bude zapsána do indexu dle pravidel daného kurzu. Nezapomeˇ nte na podm´ınku nutn´ ych bod˚ u u jednotliv´ ych test˚ u, na podm´ınku zápoˇctu a podm´ınku nutn´ ych bod˚ u u p´ısemné zkouˇsky. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.8 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou):

Vstupem programu je libovoln´ y vek-

tor x (sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı a vyp´ıˇse souˇcet prvk˚ u vektoru x. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, 4, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu (pro zjiˇstˇen´ı velikosti vektoru uˇzijte funkci size). Pˇ r´ıklad 17.9 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou):


tor x (sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı pozici a hodnotu nejvˇetˇs´ıho prvku vektoru x. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, 9, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.10 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou):


tor x (sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı pozici a hodnotu nejmenˇs´ıho a nejvˇetˇs´ıho prvku vektoru x. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, 9, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.11 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou):


tor x (ˇra´dkov´ y nebo sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı, kolik prvk˚ u vektoru x je kladn´ ych, kolik záporn´ ych a kolik nulov´ ych. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, −4, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu.

322


Pˇ r´ıklad 17.12 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou): Vstupem programu je libovolná matice A. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı hodnotu a pozici nejvˇetˇs´ıho prvku dané matice. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro   −4 5 −9    0 11 13  . A=    −10 23 0  5 2 0 Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.13 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou): Vstupem programu je libovolná matice A. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y seˇcte prvky dané matice v jednotliv´ ych ˇrádc´ıch (vznikne sloupcov´ y vektor tˇechto souˇct˚ u). Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro



  A= 

−4

5

−9

 11 13  . −10 23 0 0

Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.14 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou): Vstupem programu je libovolná matice A. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı hodnotu a pozici nejvˇetˇs´ıho a nejmenˇs´ıho prvku dané matice. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro

  A= 

 −4

5

−9

 11 13  . −10 23 0 0

Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.15 (Cyklus s ˇ r´ıdic´ı promˇ ennou): Vstupem programu je libovolná matice A. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı hodnotu a pozici prvku, kter´ y je nejbl´ıˇze pr˚ umˇerné hodnotˇe prvk˚ u dané matice. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro



  A= 

Naprogramujte algoritmus v Matlabu.

−4

5

−9

 11 13  . −10 23 0 0

´ ALGORITMY 17.1. JEDNODUCHE

323

Pˇ r´ıklad 17.16 (Cyklus s podm´ınkou na zaˇ c´ atku): Vstupem programu je libovoln´ y vektor x (ˇra´dkov´ y nebo sloupcov´ y libovolnˇe velk´ y). Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı, zda vektor obsahuje záporn´ y prvek. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro x = [3, 0, 5, −4, 6]T . Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.17 (Cyklus s podm´ınkou na zaˇ c´ atku): Vyˇreˇste pˇr´ıklad 17.8 ale tentokrát pouˇzijte cyklus s podm´ınkou na zaˇca´tku. Pˇ r´ıklad 17.18 (Cyklus s podm´ınkou na zaˇ c´ atku): Vstupem programu je postupnˇe zadávaná posloupnost známek, o které dopˇredu nev´ıme, jak bude dlouhá. Jen v´ıme, ˇze zadáván´ı známek se ukonˇc´ı, kdyˇz uˇzivatel zadá nulu. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y vypoˇc´ıtá aritmetick´ y pr˚ umˇer zadan´ ych známek. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro Z = {5, 4, 2, 2, 1, 3, 0}. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.19 (Cyklus s podm´ınkou na zaˇ c´ atku): Vstupem programu je posloupnost ˇc´ısel. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y vyp´ıˇse hodnoty posloupnosti dokud posloupnost roste. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro P = {−7, −3, 0, 1, 1, 0, 2}. Naprogramujte algoritmus v Matlabu.

324

17.2


Anal´ yza v´ yvojov´ ych diagram˚ u

Pˇ r´ıklad 17.20: Bude algoritmus na obr. 17.1(a) pracovat správnˇe? Pokud ne, opravte ho. Dále vyplˇ nte tabulku hodnot pro tento algoritmus. Co tento algoritmus provád´ı? Naprogramujte algoritmus v Matlabu.

x

N

j

(a) v´ yvojov´ y diagram

(b) tabulka hodnot

Obrázek 17.1: V´ yvojov´ y diagram a tabulka hodnot algoritmu

i

p

´ ´ ´ ˚ 17.2. ANALYZA VYVOJOV YCH DIAGRAMU

325

Pˇ r´ıklad 17.21: Bude algoritmus na obr. 17.2(a) pracovat správnˇe? Pokud ne, opravte ho. Dále vyplˇ nte tabulku hodnot pro tento algoritmus. Co tento algoritmus provád´ı? Naprogramujte algoritmus v Matlabu.

x

N

j

(a) v´ yvojov´ y diagram

(b) tabulka hodnot

Obrázek 17.2: V´ yvojov´ y diagram a tabulka hodnot algoritmu

i

p Z

326


Pˇ r´ıklad 17.22: Bude algoritmus na obr. 17.3 pracovat správnˇe? Pokud ne, opravte ho. Dále vyplˇ nte tabulku hodnot pro tento algoritmus. Co tento algoritmus provád´ı? Naprogramujte algoritmus v Matlabu.

Obrázek 17.3: V´ yvojov´ y diagram algoritmu

Tabulka 17.1: Tabulka hodnot algoritmu z obr. 17.3

a b x N i j

17.3. FUNKCE V MATLABU

17.3

327

Funkce v Matlabu

Pˇ r´ıklad 17.23 (Aritmetick´ y a v´ aˇ zen´ y pr˚ umˇ er): Naprogramujte v Matlabu funkci, která poˇc´ıtá aritmetick´ y a váˇzen´ y pr˚ umˇer známek a jejich rozptyly (pˇr´ıpadnˇe smˇerodatné odchylky). Vstupem funkce je vektor známek a vektor vah jednotliv´ ych známek. V´ ystupem funkce jsou oba pr˚ umˇery a obˇe smˇerodatné odchylky. Pouˇzijte funkce mean a conv. Otestujte funkci pro nˇekolik variant vstup˚ u. Vytvoˇrte nápovˇedu funkce. Oˇsetˇrete chybné zadán´ı vstup˚ u do funkce. Dále pokud nebude zadán vektor vah, bude se poˇc´ıtat pouze aritmetick´ y pr˚ umˇer (vˇsechny váhy budou jednotkové). Pokud nebude v´ ystup funkce pˇriˇrazen do nˇejaké promˇenné, pak funkce vykresl´ı histogram známek a znázorn´ı do nˇeho vypoˇc´ıtané pr˚ umˇery a smˇerodatné odchylky. Pˇ r´ıklad 17.24 (Kreslen´ı ˇ casov´ ych pr˚ ubˇ eh˚ u): Naprogramujte v Matlabu funkci, která vykresl´ı a pop´ıˇse graf nˇejakého signálu. Vstupy funkce jsou • matice vzork˚ u (prvn´ı sloupec je ˇcas, dalˇs´ı sloupce jsou jednotlivé signály), • tlouˇst’ka ˇcar signál˚ u, • popis vodorovné osy a popis svislé osy a velikost tˇechto popis˚ u, • barva a styl ˇcar jednotliv´ ych signál˚ u (-, --, .-, :, .), • legenda, pokud je v´ıce signál˚ u v jednom grafu, • název a typ souboru pro pˇr´ıpadn´ y export obrázku (pouˇzijte funkci print). V´ ystupem funkce je dan´ y graf. Otestujte funkci pro nˇekolik variant vstup˚ u. Vytvoˇrte nápovˇedu funkce. Oˇsetˇrete chybné zadán´ı vstup˚ u do funkce a podobnˇe. Pokud nebude zadána tlouˇst’ka ˇcár, pouˇzije se tlouˇst’ka 1. Pokud nebude zadán popis os, budou osy popsány t [s] a y [-]. Pokud nebudou zadány barvy ˇcar, budou pouˇzity barvy (modrá, zelená, ˇcervená, fialová, ˇcerná, atd.). Pokud nebudou zadány styly ˇcar, budou vˇsechny ˇcáry vykresleny plnou ˇcarou. Pokud nebude zadána legenda, tak se nebude legenda kreslit a pokud nebude zadán název exportovaného souboru, pak k tomuto exportu nedojde. Pˇ r´ıklad 17.25 (Line´ arn´ı z´ avislost vektor˚ u): Naprogramujte v Matlabu funkci, která urˇc´ı zda jsou zadané vektory lineárnˇe závislé a pokud ano, pak z nich vybere vˇsechny kombinace lineárnˇe nezávisl´ ych vektor˚ u (viz Lineárn´ı algebra, vˇeta 2.8). Vstupem funkce

328


je mnoˇzina vektor˚ u a v´ ystupem funkce je odpovˇed’ vektory jsou lineárnˇe ne/závislé“ ” a druh´ ym v´ ystupem je mnoˇzina vˇsech kombinac´ı lineárnˇe nezávisl´ ych vektor˚ u. Otestujte funkci pro nˇekolik variant vstup˚ u. Vytvoˇrte nápovˇedu funkce. Oˇsetˇrete chybné zadán´ı vstup˚ u do funkce a podobnˇe. Pˇ r´ıklad 17.26 (Horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice):

Naprogramujte v Matlabu funkci,

která vytvoˇr´ı z libovolné matice matici horn´ı troj´ uheln´ıkovou“ pro urˇcen´ı jej´ı hodnosti ” ystupem funkce (viz Lineárn´ı algebra, vˇeta 2.5). Vstupem funkce je libovolná matice a v´ je odpov´ıdaj´ıc´ı horn´ı troj´ uheln´ıková“ matice a jej´ı hodnost poˇc´ıtaná z poˇctu nenulov´ ych ” ˇrádk˚ u. Otestujte funkci pro nˇekolik variant vstup˚ u. Vytvoˇrte nápovˇedu funkce. Oˇsetˇrete chybné zadán´ı vstup˚ u do funkce a podobnˇe.

17.4

Dalˇ s´ı algoritmy

Pˇ r´ıklad 17.27 (H´ ad´ an´ı ˇ c´ısel): Vstupem programu je náhodné ˇc´ıslo x ∈ h0, 100i. Hráˇc hádá toto ˇc´ıslo – zadává své odhady. Program mu vˇzdy ˇrekne, zda je jeho odhad vˇetˇs´ı nebo menˇs´ı neˇz ˇc´ıslo x. Jakmile je odhad zadán s pˇresnost´ı ±3, vyp´ıˇse program poˇcet pokus˚ u a ˇc´ıslo x. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k tomuto algoritmu. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.28: Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program rozhodne, zda zadané ˇc´ıslo je nebo nen´ı prvoˇc´ıslo. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.29: Vstupem programu je posloupnost nˇekolika cel´ ych ˇc´ısel. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program rozhodne a vyp´ıˇse, zda zadaná posloupnost je nebo nen´ı rostouc´ı. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.30: Vstupem programu je ˇc´ıslo a a posloupnost nˇekolika ˇc´ısel. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program nalezne to ˇc´ıslo ze zadané posloupnosti, které je hodnotou nejdále od ˇc´ısla a. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu.

17.4. DALSˇÍ ALGORITMY

329

Pˇ r´ıklad 17.31: Vstupem programu je posloupnost ˇc´ısel. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, kter´ y urˇc´ı, kde daná posloupnost nejv´ıce roste a kde nejv´ıce klesá. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.32: Vstupem programu je libovolné ˇc´ıslo z intervalu h0, 100i a pˇresnost se kterou se má urˇcit jeho druhá odmocnina. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k tomuto algoritmu. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.33: Vstupem programu jsou koeficienty polynomiáln´ı rovnice, interval, kde se bude hledat koˇren této rovnice a poˇzadovaná pˇresnost, se kterou se má koˇren urˇcit. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı se zadanou pˇresnost´ı koˇren zadané polynomiáln´ı rovnice metodou p˚ ulen´ı interval˚ u. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.34: Vstupem programu jsou koeficienty polynomiáln´ı rovnice, interval, kde se bude hledat koˇren této rovnice a poˇzadovaná pˇresnost, se kterou se má koˇren urˇcit. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı se zadanou pˇresnost´ı koˇren zadané polynomiáln´ı rovnice Newtonovou metodou teˇcen. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.35: Vstupem programu je libovolná funkce respektive hodnoty této funkce v libovoln´ ych seˇrazen´ ych bodech. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı obsah plochy pod kˇrivkou pomoc´ı obdéln´ıkové integrace (aproximace). Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.36: Vstupem programu je libovolná funkce respektive hodnoty této funkce v libovoln´ ych seˇrazen´ ych bodech. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı obsah plochy pod kˇrivkou pomoc´ı lichobˇeˇzn´ıkové integrace (aproximace). Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu. Pˇ r´ıklad 17.37: Vstupem programu je libovolná funkce respektive hodnoty této funkce v libovoln´ ych seˇrazen´ ych bodech. Sestavte v´ yvojov´ y diagram k algoritmu, podle kterého program urˇc´ı pˇribliˇznˇe délku kˇrivky. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu.

330


Pˇ r´ıklad 17.38: Sestavte algoritmus, kter´ y vypoˇc´ıtá ˇc´ıslo π metodou Monte Carlo. Princip této metody je následuj´ıc´ı. Stˇr´ıl´ıte na terˇc ve tvaru ˇctverce bez m´ıˇren´ı (matematicky to znamená náhodnˇe generovat dvourozmˇerné vektory, které padnou do daného ˇctverce). Po pokusu na terˇci vyznaˇc´ıte jeho vepsanou kruˇznici a oznaˇc´ıte body, které jsou uvnitˇr kruˇznice. Poté pomoc´ı vzorc˚ u pro obsah ˇctverce a vepsané kruˇznice urˇc´ıte ˇc´ıslo π. Vyplˇ nte tabulku obsahu promˇenn´ ych pro nˇejak´ y Vámi zvolen´ y vstup. Naprogramujte algoritmus v Matlabu (uˇzijte funkci rand).

17.5

Ot´ azky k z´ apoˇ ctu

17.5.1

Semestr´ aln´ı pr´ ace

Vypracujte u ´lohu, na které prokáˇzete dovednosti a schopnosti z tvorby a simulace reáln´ ych systém˚ u v Simulinku (typové zadán´ı dle pˇr´ıkladu 16.16) a dovednosti z oblasti algoritmizace (typové zadán´ı dle pˇr´ıkladu 17.39). Simulace v simulinku budeme vyuˇz´ıvat ve druhém roˇcn´ıku pˇri návrhu regulátor˚ u v pˇredmˇetu Modelován´ı a ˇr´ızen´ı systém˚ u a na algoritmizaci budete navazovat pˇri programován´ı v pˇredmˇetu Informaˇcn´ı technologie 2. Proto se doporuˇcuje soustˇredit se na obˇe téma. Pˇ r´ıklad 17.39 (Algoritmus): Vytvoˇrte program v Matlabu (s pouˇzit´ım m-funkc´ı), kter´ y bude ˇreˇsit nˇejakou komplexnˇejˇs´ı u ´lohu (sloˇzitˇejˇs´ı algoritmus). Sestavte zadán´ı u ´lohy, proved’te jej´ı rozbor, nakreslete v´ yvojov´ y diagram a pˇrepiˇste ho do programu. Vypracujte k nˇemu dokumentaci. Pˇr´ıklady zadán´ı: • Algoritmus ˇreˇs´ı soustavu libovolného poˇctu lineárn´ıch rovnic dle postupu z kapitoly 3.3. • Hra, kde se stˇr´ıl´ı na náhodnˇe um´ıstˇen´ y objekt. Program náhodnˇe um´ıst´ı c´ıl a hráˇc zadá poˇca´teˇcn´ı rychlost a u ´hel stˇrely, program vykresl´ı trajektorii (ˇsikm´ y vrh) a oznám´ı, zda byl c´ıl zasaˇzen ˇci nikoliv. • Dále lze po u ´pravˇe ˇcerpat z pˇr´ıklad˚ u 17.27 aˇz 17.38.


17.5.2

331

Nutn´ e znalosti k z´ apoˇ ctu

Matlab • Vytvoˇrit jednoduch´ y program (m-soubor). • Vytvoˇrit jednoduchou funkci (m-soubor). Algoritmizace • Znát základn´ı struktury algoritmu (posloupnost, vˇetven´ı, cyklus) a umˇet je pouˇz´ıvat v jednoduch´ ych aplikac´ıch (poznat je ve v´ yvojovém diagramu nebo programu). • Znát základn´ı znaˇcky v´ yvojov´ ych diagram˚ u. • Umˇet ˇc´ıst ve v´ yvojov´ ych diagramech (umˇet vyplnit tabulku hodnot). • Sestavit v´ yvojov´ y diagram pro jednoduché algoritmy.

17.5.3 ...


332



333

334


ˇ ast IV C´ ˇ ızen´ı a regulace R´

335

Kapitola 18 Modelov´ an´ı a ˇ r´ızen´ı syst´ em˚ u 18.1

Modelov´ an´ı syst´ em˚ u – z´ apoˇ cet

Pˇ r´ıklad 18.1 (Anal´ yza syst´ emu): Uvaˇzujte systém z pˇr´ıkladu 16.9. 1. Vytvoˇrte simulinkov´ y model systému a pomoc´ı simulace ovˇeˇrte správnost jeho chován´ı.

[10%]

2. Vytvoˇrte virtuáln´ı realitu.

[3%]

3. Urˇcete stavov´ y popis tohoto systému.

[6%]

4. Urˇcete vˇsechny pracovn´ı body systému a ovˇeˇrte jejich správnost pomoc´ı simulinkového modelu.

[13%]

5. Pokud existuje v´ıce pracovn´ıch bod˚ u, zvolte jeden (rozumn´ y) a dále pracujte jen s n´ım.

[0%]

6. Navrhnˇete PID regulátor metodou cyklické optimalizace konstant tak, aby se systém choval dle rozumn´ ych poˇzadavk˚ u na regulaˇcn´ı dˇej.

[16%]

7. Proved’te linearizaci modelu ve zvoleném pracovn´ım bodˇe.

[13%]

8. Ovˇeˇrte správnost linearizovaného modelu pomoc´ı simulace.

[19%]

9. Analyzujte vlastnosti linearizovaného stavového modelu (ˇrád systému, póly systému, stabilita, statické zes´ılen´ı, ˇra´d astatismu).

[10%]

10. Urˇcete pˇrenos(y) linearizovaného modelu a analyzujte jeho vlastnosti (ˇrád pˇrenosu, póly pˇrenosu, stabilita, nuly pˇrenosu, statické zes´ılen´ı, ˇrád astatismu). 337

[10%]

338

´ Í A R ˇ ÍZENÍ SYSTEM ´ U ˚ KAPITOLA 18. MODELOVAN

Literatura ˇ ´ nek, O. a Repov ´ , J. (2007), Matematika pro stˇredn´ı odborné Calda, E., Petra a ˇskoly a studijn´ı obory stˇredn´ıch odborných uˇciliˇst’ (1. ˇc´ ast), 6 edn, Prometheus. ISBN 978-80-7196-041-6. ´ ˇ ´ , M. a Ponde ˇl´ıc ˇek, B. (2000), Uvod Demlova do algebry, Praha: Vydavatelstv´ı CVUT. ISBN 80-01-01408-8. Feynman, R. P., Leighton, R. B. a Sands, M. (2001), Feynmanovy pˇredn´ aˇsky z fyziky 2/3, Fragment. ISBN 80-7200-420-4. Horn, R. A. a Johnson, Ch. R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, United Kingdom. ISBN 0-521-30586-1. ˇ studijn´ı ´ , M. a Kubic ˇ´ıkova ´ , L. (2009), Sb´ırka u Hudcova ´loh z matematiky pro SOS, obory SOU a nástavbové studium, 2 edn, Prometheus. ISBN 978-80-7196-318-9. ´ , Z. a Pr˚ Jankovsky ucha, L. (1998), Diferenci´ aln´ı poˇcet 1, Praha: Vydavatelstv´ı ˇ CVUT. ISBN 80-01-01782-6. ˇ ´ , Z. a Pr˚ Jankovsky ucha, L. (1996), Integr´ aln´ı poˇcet I, Praha: Vydavatelstv´ı CVUT. ISBN 80-01-01242-5. ˇ Krajn´ık, E. (2004), Maticový poˇcet, Praha: Vydavatelstv´ı CVUT. ISBN 80-01-01723-0. Kupka, L. (2007), Matlab & Simulink u ´vod do pouˇz´ıv´ an´ı, 1 edn, JS PRINT CZ s.r.o., Lanˇskroun. ISBN 978-80-239-8871-0. Luenberger, D. G. (1996), Optimization by Vector Space Methods, Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18117-X. 339

340

LITERATURA

ˇ ´ rko, O., Repov ´ , J. a Skr ˇ´ıc ˇek, L. (2006), Matematika pro stˇredn´ı odborné Odva a ˇskoly a studijn´ı obory stˇredn´ıch odborných uˇciliˇst’ (2. ˇc´ ast), 6 edn, Prometheus. ISBN 80-7196-042-X. Opava, Z. (1989), Matematika kolem nás, Praha: Nakladatelstv´ı Albatros. Roubal, J. (2010), Jirkovy stránky [online]. [cit. 2010-06-16], hhttp://www.copsu.cz/skola/roubal/i. ˇek, J. a Ha ´ jek, J. (2009), Laboratoˇr teorie automatického ˇr´ızen´ı Roubal, J., Holec [online]. [cit. 2009-06-16], hhttp://support.dce.felk.cvut.cz/lab26/i. Roubal, J., Huˇ sek, P. a kol. (2011), Regulaˇcn´ı technika v pˇr´ıkladech, Praha: BEN – technická literatura. ISBN 978-80-7300-260-2. ˇ Roubal, J., Huˇ sek, P. a Stecha, J. (2010), ‘Linearization: Students Forget Operating Points’, IEEE Transaction on Education 53(3), 413–418. In English. The Mathworks (2009), The Mathworks [online]. [cit. 2009-06-16], hhttp://www.mathworks.com/i. ´ , E. (2003), N´ Treterova avrh a vývoj algoritm˚ u: Modul – Vývojov´ı diagramy a pˇr´ıkazy jazyka Borland PAscal, Ostrava: Ediˇcn´ı stˇredisko CIT OU. hhttp://informatikaou.wz.cz/1–algoritmy a datove struktury 1–treterova– navrh a vyvoj algoritmu.pdfi. Velebil, J. (2007), Velmi jemný u ´vod do matematické logiky [online]. [cit. 2009-09-19], hhttp://math.feld.cvut.cz/i. The MathWorld [online] (2010). [cit. 2010-06-16], hhttp://mathworld.wolfram.com/i. Wikipedie – Otevˇren´ a encyklopedie [online] (2010). [cit. 2010-06-16], hhttp://wikipedia.org/i.

V´ ysledky neˇ reˇ sen´ ych u ´ loh ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 1, podkapitoly 1.3.1 Logick´ a v´ ystavba matematiky 1.17: plat´ı; 1.18: plat´ı; 1.19: plat´ı; 1.20: plat´ı; 1.21: d˚ ukaz pomoc´ı Pythagorovy vˇety; 1.22: plat´ı; 1.23: plat´ı; 1.24: plat´ı; 1.25: plat´ı; 1.26: plat´ı; 1.27: neplat´ı; 1.28: neplat´ı; 1.29: neplat´ı; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 1, podkapitoly 1.3.2 V´ yrokov´ a logika 1.30: a) syntakticky správnˇe; b) syntakticky správnˇe; c) syntakticky nesprávnˇe (chyb´ı závorky); d) syntakticky správnˇe; e) syntakticky správnˇe; f) syntakticky správnˇe; g) syntakticky správnˇe; h) syntakticky správnˇe; ch) syntakticky správnˇe; i) syntakticky správnˇe ; 1.31: a) nepravdivá; b) nepravdivá; c) syntakticky nesprávnˇe ⇒ nelze vyhodnotit; d) nepravdivá; e) pravdivá; f) pravdivá; g) pravdivá; h) pravdivá; ch) nepravdivá; i) nepravdivá ; 1.32: a) pravdivá; b) pravdivá; c) syntakticky nesprávnˇe ⇒ nelze vyhodnotit; d) nepravdivá; e) pravdivá; f) pravdivá; g) pravdivá; h) pravdivá; ch) nepravdivá; i) nepravdivá ; 1.33: a) formule je splnitelná, nen´ı tautologie, nen´ı kontradikce; b) formule je splnitelná, nen´ı tautologie ani kontradikce; c) syntakticky nesprávnˇe ⇒ nelze vyhodnotit; d) formule nen´ı splnitelná, nen´ı tautologie, je kontradikce; e) formule je splnitelná, je tautologie, nen´ı kontradikce; f) formule je splnitelná, nen´ı tautologie, nen´ı kontradikce; g) formule je splnitelná, nen´ı tautologie, nen´ı kontradikce; h) formule je splnitelná, je tautologie, nen´ı kontradikce; ch) formule nen´ı splnitelná, nen´ı tautologie, je kontradikce; i) formule je splnitelná, nen´ı tautologie, nen´ı kontradikce;; 1.34: a) formule mus´ı b´ yt pravdivá ve vˇsech ohodnocen´ıch; b) formule mus´ı b´ yt nepravdivá ve vˇsech ohodnocen´ıch; c) formule mus´ı b´ yt pravdivá v nˇekter´ ych ohodnocen´ıch a nepravdivá v jin´ ych ohodnocen´ıch; d) nelze; e) nelze; f) nelze; 1.35: a) neplat´ı (v´ yrok c nen´ı sémantick´ ym d˚ usledkem dané mnoˇziny); b) plat´ı (v´ yroková formule b ∨ (c ⇒ a) je sémantick´ ym d˚ usledkem dané mnoˇziny); c) plat´ı; d) plat´ı; e) plat´ı; f) neplat´ı; g) plat´ı; h) plat´ı; 1.36: a) plat´ı; b) plat´ı; c) plat´ı; d) neplat´ı; e) plat´ı; f) plat´ı; g) neplat´ı; h) plat´ı; 1.37: a) je v DNF, CNF I

II

´ ˇ SEN ˇ YCH ´ ´ VYSLEDKY NERE ULOH

forma k ϕ1 je ϕ2 , minimáln´ı DNF ϕ1 min = (¬a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ c); b) je v CNF, DNF forma k ϕ2 je ϕ1 , minimáln´ı CNF ϕ2 min = (¬a ∨ b) ∧ (¬b ∨ c); 1.38: a) minimáln´ı DNF ϕmin = (b ∧ c) ∨ (a ∧ ¬d); b) minimáln´ı CNF ϕmin = (a ∨ b) ∧ (c ∨ ¬d) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ ¬d); 1.39: a), b) c) aˇz i) vytvoˇr´ıme Carnaughovu mapu, pro DNF pokr´ yváme 1, pro CNF nuly, ˇreˇsen´ı si sami zkontrolujete pomoc´ı pravdivostn´ı tabulky, kde vyhodnot´ıte nalezenou DNF nebo CNF; c) syntakticky nesprávnˇe ⇒ nelze vyhodnotit;; 1.40: a) ¬a ∧ ¬b; b) ¬a ∨ ¬b; c) ¬(a ⇒ b) ∧ ¬c nebo a ∧ ¬b ∧ ¬c; d) ¬a ∧ (¬b ∨ ¬c); e) F ; f) Dnes neprˇs´ı nebo sv´ıt´ı slun´ıˇcko. g) Alespoˇ n jeden student nen´ı pˇripraven na hodinu a souˇcasnˇe je ve ˇskole. h) Alespoˇ n jeden Spart’an má rád Slávii nebo kaˇzd´ y Slávista nefand´ı Bohemce. ch) Kaˇzd´ y student, kter´ y vlastn´ı notebook, ho um´ı efektivnˇe vyuˇz´ıvat. i) Student je dobr´ y v matematice a souˇcasnˇe nen´ı dobr´ y programátor. j) Alespoˇ n jeden sluˇsn´ y ˇclovˇek nen´ı ohledupln´ ym ˇridiˇcem. k) Alespoˇ n jeden tenista nevyhraje za svoji kariéru ˇza´dn´ y turnaj.; 1.41: Trenér by mˇel vyslat hráˇce c a d.; 1.42: Nehodu zavinil bud’ sám ˇridiˇc b, nebo ˇridiˇc b s ˇridiˇcem a.; 1.43: Ano, obˇe vˇety ˇr´ıkaj´ı totéˇz.; 1.44: a) ano, b) ne; 1.45: Ano, obˇe vˇety ˇr´ıkaj´ı totéˇz.; 1.46: Správná otázka je jedna z následuj´ıc´ıch: Je pravda, ˇze ” tato cesta nevede k nádraˇz´ı?“, Co by ˇrekl bratr, kdybych se ho zeptal, zda tato cesta ” vede k nádraˇz´ı?“, V´ı tv˚ uj bratr, ˇze tato cesta vede urˇcitˇe k nádraˇz´ı?“ ; 1.47: ANO: ” v otázkách 2, 4, 7, 8, 10; NE: v otázkách 1, 3, 5, 6, 9; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 2, podkapitoly 2.4.1 Aritmetick´ e vektory 2.29: a) a = [6 6,5 − 9]T , b) b = [12 13 − 18]T , c) c = [38 50,5 − 75]T , d) d = [−3 − 1,5 1]T , e) d = [1330 1396 − 2246]T ; 2.30: vektory nejsou lineárnˇe závislé ; 2.31: vektory jsou lineárnˇe závislé ; 2.32: vektory jsou lineárnˇe závislé pro t = −4; 2.33: koeficienty α1 = −2, α1 = 2, α3 = −10; 2.34: koeficienty α1 = −2, α1 = 3, α3 = 2; 2.35: vektory jsou lineárnˇe závislé ; 2.36: vektory nejsou lineárnˇe závislé ; 2.37: postup jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 2, podkapitoly 2.4.2 Matice 2.38: hod (A) = 3, hod (B) = 2, hod (C) = 3, hod (D) = 3; 2.39: hod (E) = 3, hod (F ) = 2, hod (G) = 2, hod (H) = 2, hod (J ) = 2, hod (K) = 4; 2.40: r = 9, hod (L) = 2, r = 1, hod (M ) = 1; 2.41: hod (N ) = 1 pro ϕ = 0 jinak hod (J ) = 2; 2.42: hod (P ) = 3, hod (Q) = 2, hod (R) = 3, hod (S) = 5 , hod (T ) = 5; 2.43: pro s 6= −8/3 je hod (U ) = 3, pro s = −8/3 je hod (U ) = 2, pro s 6= 2 je hod (V ) = 3, pro s = 2 je hod (V ) = 2, pro s 6= 10 ∧ s 6= −1,5 je hod (W ) = 3, pro s = 10 ∨ s = −1,5 je


III

hod (W ) = 2; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 2, podkapitoly 2.4.3 Maticov´ a algebra 2.44: ˇreˇsen´ı lehce ovˇeˇr´ıte napˇr´ıklad v Matlabu; 2.45: ˇreˇsen´ı lehce ovˇeˇr´ıte napˇr´ıklad v Matlabu; 2.46: ˇreˇsen´ı lehce ovˇeˇr´ıte napˇr´ıklad v Matlabu; 2.47: pomoc´ı vˇety 2.13; 2.48: soustava má jedno ˇreˇsen´ı x1 = 1, x2 = 2, x3 = −3; 2.49: soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı; 2.50: soustava nemá ˇreˇsen´ı; 2.51: soustava nemá ˇreˇsen´ı; 2.52: soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 3, podkapitoly 3.4.1 Determiant matice 3.26: det (A) neexistuje, matice A nen´ı ˇctvercová; det (B) = −2; det (C) = −38; det (D) = 1; 3.27: det (E) = 2; det (F ) = 0; det (G) = −6; det (H) = 42; 3.28: det (J ) = −2; det (K) = 0; det (L) = −24; det (M ) = −42; 3.29: det (N ) = 0; det (P ) = 0; det (Q) = −38; det (R) = −38; 3.30: det (S) = 2; det (T ) = 0; det (U ) = −24; det (V ) = 42; 3.31: det (W ) = 2; det (X) = −18; det (Y ) = −18; det (Z) = 150; 3.32: det (BCD) = 76; det (EF ) = 0; det (GH) = −1008; det (JKLM ) neexistuje, matice JKLM neexistuje; det (U T ) = 0; det (W XY ) = 648; 3.33: x1 = 1, x2 = 2, x3 = −3; 3.34: ˇreˇsen´ı nelze pomoc´ı Cramerova pravidla nalézt; 3.35: ˇreˇsen´ı nelze pomoc´ı Cramerova pravidla nalézt; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 3, podkapitoly 3.4.2 Inverzn´ı matice 3.36: A−1 neexistuje, matice A nen´ı ˇctvercová; B −1 neexistuje, matice ·B je singulárn´ ¸ı; h −0,1 0,9 −0,5 i 0 0 1/3 £ ¤ −1 5 −2 = [ 10 01 ]; 3.37: E −1 = −0,2 0,8 −1 ; F −1 = −1/4 3/4 1/12 ; C −1 = −2 1 ; D −0,3 0,7 −0,5 1/2 −1/2 −1/6 · ¸ h i 24 0 0 0 ¡ ¢ 1 0 0 1 0 12 0 0 ; 3.38: x = (A + C − I)−1 D − B T y; x = G−1 = 0 1 0 ; H −1 = 24 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0¡6 ¢ (yA + By) (A − I)−1 ; 3.39: y = −CA−1 B + D u; 3.40: x1 = 1, x2 = 2, x3 = −3; 3.41: ˇreˇsen´ı nelze pomoc´ı inverzn´ı matice nalézt; 3.42: ˇreˇsen´ı nelze pomoc´ı inverzn´ı matice nalézt; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 3, podkapitoly 3.4.3 Soustavy rovnic 3.43: α1 [8 − 6 1 0]T +α2 [−7 5 0 1]T , α1 , α2 ∈ R; 3.44: x = [3 1 0]T +[−2 − 1 1]T t, t ∈ R; 3.45: Soustava nemá ˇreˇsen´ı; 3.46: x = [2 1 2 0]T +[1 1 3 0]T t+[−1 5 0 9]T s, t, s ∈ R; 3.47: x = [−1 1 1]T t, t ∈ R; 3.48: x = [0 1 0 0]T + [1 − 1 − 1 1]T t, t ∈ R; 3.49: x = [−16 23 0 0 0]T + [1 − 2 1 0 0]T t + [5 − 6 0 0 1]T s, t, s ∈ R;


IV

3.50: pro p 6= 1 ∧ p 6= −6 má soustava jedno ˇreˇsen´ı x =

1 p+6

[2p + 7 − 1 1]T , pro p = 1

má soustava ˇreˇsen´ı x = [1 1 1]T + [−1 4 3]T t, t ∈ R, pro p = 6 nemá soustava ˇreˇsen´ı; 3.51: pro p = 11; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 4, podkapitoly 4.3.1 B´ aze line´ arn´ıho prostoru 4.21: α1 [1, 3, 4]T +α2 [2, 5, 2]T , α1 , α2 ∈ R; 4.22: α1 [1, 3, 4]T +α2 [2, 5, 2]T , α1 , α2 ∈ R; 4.23: plat´ı; 4.24: neplat´ı; 4.25: plat´ı; 4.26: neplat´ı; 4.27: neplat´ı; 4.28: neplat´ı; 4.29: ano; 4.30: ne; 4.31: ano; 4.32: ne; 4.33: ne; 4.34: napˇr´ıklad B = {[1, 0]T , [0, 1]T }; 4.35: napˇr´ıklad B = {[0, 0, 1]T , [1, 2, 3]T , [1, 2, 5]T }; 4.36: napˇr´ıklad B = {[1, 0, 0, 1]T , [1, 4, 5, 8]T , [0, 1, 0, 0]T }; 4.37: x = [1, 2]T , x = [1, 0]B T ; 4.38: x = [−2, 2]T , x = [0, −2]B T ; 4.39: x = [2, 1, 0]T , x = [1, 1]B T ; T 4.40: nelze; 4.41: x = [−3, h−2, −1] , x = [−1, −1, −1]B T ; 4.42: x = [2, −1]B1 T , i 1,5 −2 T T x = [5, −2]B2 T , T = B −1 2 = −0,5 1 ; 4.43: x = [3, 4, −2]B1 , x = [−1, 6, −2]B2 , h 1 −1 0 i T = B −1 2 = 0 1 −1 ; 0 0

1

ˇ sen´ı u arn´ı zobrazen´ı Reˇ ´ loh z kapitoly 4, podkapitoly 4.3.2 Line´ 4.44: x = [1, −2]T ; 4.45: y = [−3, 0, −1]T ; 4.46: x = [0, −1/3, −1/3]T +[4, 8, 6]T t, t ∈ R; 4.47: y 1 = [0, 3]T , y 2 = [2, 1]T ; 4.48: N (A) = {[0, 0]T }, R(A) = R2 ; 4.49: N (A) = {[−3/2, 1]T t, t ∈ R}, R(A) = {[2, −4]T t, t ∈ R}; 4.50: N (A) = {[0, 0, 0]T }, R(A) = R3 ; 4.51: N (A) {[−8, 1, 0]T t, t ∈ R}, R(A) = {[1,i 3, 2]T t h+ [0, 1, 1]T s, i h 9= h i 19 1 0 0 0 5 t, s ∈ R}; 4.52: T b = −1 −3 , xb = [ −2 ]Bb ; 4.53: T b = 0 1 0 , xb = 0 ; 4.54: 0 0 1 1 Bb h i h i 2 0 0 3 T b = 1 3 0 , xb = 2 ; 0 1 2

1 Bb

ˇ sen´ı u c´ısla a vlastn´ı vektory matic Reˇ ´ loh z kapitoly 5 Vlastn´ı ˇ 5.8: A: λ1 = 1, λ2 = 3; B: λ1 = 1, λ2 = 7; C: λ1 = 3, λ2 = 5; D: λ1 = −2, λ2 = 5; 5.9: E: λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = 5; F : λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 4; G: λ1 = −3, λ2 = −2, λ3 = 1; 5.10: H: λ1,2 = 2 ± 3j; K: λ1,2 = −4 ± 5j; L: λ1,2 = ±3j; M : λ1,2 = −1 ± 4j, λ3 = −5; 5.11: N : λ1 = −6, λ2 = −2, λ3 = −1; N : λ1 = −5, λ2 = −2, λ3 = 5; P : λ1,2 = −3 ± j, λ3 = −2, λ4 = 5; 5.12: A: v 1 = [1 0]T , v 2 = [1 1]T ; B: v 1 = [0 1]T , v 2 = [3 2]T ; C: v 1 = [0 1]T , v 2 = [1 0]T ; D: v 1 = [2 − 3]T , v 2 = [1 2]T ; E: v 1 = [1 0 0]T , v 2 = [1 1 0]T , v 3 = [5 4 4]T ; F : v 1 = [0 0 1]T , v 2 = [0 1 − 11]T , v 3 = [1 2 − 19]T ; G: v 1 = [0 1 0]T , v 2 = [0 0 1]T , v 3 = [1 0 0]T ; N : v 1 = [−1 0 1]T , v 2 = [−11 3 2]T , v 3 = [1 0 0]T ; O: v 1 = [0 1 0]T , v 2 = [6 − 17 − 9]T , v 3 =


V

[10 37 20]T ; P : v 1 = [0 0 1 1j]T , v 2 = [0 0 1 − 1j]T , v 3 = [2 − 3 0 ]T , v 4 = [1 2 0 0]T ; 5.13: Nulov´ y prostor je mnoˇzina vektor˚ u daná lineárn´ı kombinac´ı vlastn´ıch vektor˚ u, které odpov´ıdaj´ı nulov´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um, viz ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u. V tˇechto pˇr´ıpadech jsou to jen nulové vektory pˇr´ısluˇsné dimenze (ˇzádná z matic nemá nulové vlastn´ı ˇc´ıslo).; 5.14: Obor hodnot je mnoˇzina vektor˚ u daná lineárn´ı kombinac´ı vlastn´ıch vektor˚ u, které odpov´ıdaj´ı nenulov´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um, viz ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u.; 5.15: N (Q) = {[−2 1]T t | t ∈ R}, R(Q) = {[2 3]T t | t ∈ R}; 5.16: N (R) = {[−2 1 0]T t | t ∈ R}, R(R) = {[1 0 0]T t + [3 36 20]T s | t, s ∈ R}; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 8 Limita a spojitost funkce 8.7: a) a = 2, b = 1, b) a = −1, c) a = 1, b = 0; 8.8: a) v 0 spojitá a v 1 nespojitá, b) spojitá, c) spojitá, d) v 0 spojitá a v π nespojitá, e) v 0 nespojitá a v 1 spojitá ; 8.9: a) f (1) =

1 3

, b) nelze, c) nelze; 8.10: a) 5, b) −∞, c) neexistuje,

d) +∞, e) 8, f) neexistuje (z grafu funkce), g) −∞, h) ∞, ch) neexistuje, +∞ pro x → 1− , −∞ pro x → 1+ , i) ∞, j) ∞; 8.11: a) L = {2 ln(2); 0; +∞; neexistuje}, b) L = {1; −1; neexistuje}, c) L = {−∞ pro x → −1− ; +∞ pro x → −1+ ; 1/2} d) L = {3/2; −∞ pro x → −1− ; +∞ pro x → −1+ ; 4/3} e) L = {0; −∞; −1+ }; 8.12: a) 0, b) −∞, c) +∞, d) 0, e) neexistuje (jen z leva −∞ a z prava +∞, f) neexistuje (jen z leva −∞ a z prava +∞; 8.13: napˇr´ıklad v Matlabu; 8.14: a) −1, b) −2,3247, c) 4,6135, d) 0,1607, e) neexistuje, f) 3,1479; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 9 Derivace funkce 9.10: a) y 0 = 6x − 5, b) y 0 = 45x2 + 12x, c) y 0 = cos x + 6x, d) y 0 = 6x2 − 5 cos x − 6 sin x, e) y 0 = 4x sin x + 2x2 cos x, f) y 0 = 0

2 x

5 cos2 x

2

4x sin x−2x2 cos x (sin x)2 0

, x 6=

π 2

+ kπ, k ∈ Z, g)

y = + + 18x − 15, x 6= kπ, k ∈ Z, h) y = 6 cos x + 2 cos 2x, ch) y 0 = ¢ ax ¡ 2 4x + 2x (lna − 1) , a > 0, i) y 0 = 2e2x , j) y 0 = 2e2x , k) y 0 = sin 2x, l) y 0 = ex 2 x+3 sin3 x ˇ ste −3 cos2 x sin x, m) y 0 = 3e3x , n) y 0 = 2 sin x cos , x 6= k π2 , k ∈ Z ; 9.11: Reˇ cos4 x u ´lohy v Matlabu; 9.12: a)y 0 = 2 sin x cos x = 2 sin 2x, b) y 0 = −2 sin x cos x = −2 sin 2x, c) y 0 = 2e2x , d) y 0 = 3 sin2 x cos x, e) y 0 = −3 cos2 x sin x, f) y 0 = 3e3x ; 9.13: a) y 0 = (4x + 3) cos(2x2 + 3x + 4), b) y 0 = 4e4x , c) y 0 = 3

1 cos2 x

sin x

e cos x , x 6= kπ, k ∈ Z, d) y 0 =

6x2 cos(2x3 )esin(2x ) , e) y 0 = esin(3x) [3 cos(3x) sin(2x) + 2 cos(2x)], f) y 0 = 2x tg(x2 ), g) y 0 = £ ¤ 1 6x (3e3x +12x) cos (e3x +6x2 ) − 6 sin(e3x +6x2 ) , x 6= 0 h) y 0 = 24x3 sin(3x4 ) cos(3x4 ), 36x2 1 , x 6= 0 ∧ x 6= 1; 9.14: uvedeme jen páté derivace: a) y (5) = 120 + ch) y 0 = xlnx3 cos x, a) y (5) = n5 cos(nx), c) y (5) = 0, d) y (5) = 32 (−6e−2x + cos(2x)) e) y (5) =


VI

£ ¤ 768e−2x sin(2x) − cos(2x) f) y (5) = ...; 9.15: a) ∂f (x1 ,x2 ,x3 ) = 4x1 x32 ∂x1 1 ,x2 ,x3 ) sin(x1 ), c) ∂f (x∂x 1

8y + 2, b) 6x2 x3 +

+

(x,y) ∂f (x,y) = 4x + 3y, ∂f∂y = 3x ∂x 1 ,x2 ,x3 ) 1 ,x2 ,x3 ) x3 cos(x1 ), ∂f (x∂x = 18x21 x22 + 3x23 , ∂f (x∂x 2 3 ¡ ¢ ∂f (x1 ,x2 ,x3 ) 2x1 2 2 cos x1 sin x2 sin x3 + 3x1 x2 x3 + x2 , ∂x2 2

= ¡ 2x2 ¢

1 ,x2 ,x3 ) = sin x1 sin x2 cos x3 +x31 x22 , d) sin x1 cos x2 sin x3 +2x31 x2 x3 − x31 , ∂f (x∂x 3 ³ ´2 ³ 2´ ∂f (x,y,z) 2x 3 cos x sin y sin z + 3x2 y 2 z + 2x , = sin x cos y sin z + 2x y z − , y2 ∂y y3

∂f (x,y,z) ∂x ∂f (x,y,z) ∂z

+ = = = =

∂f (...) ∂f (...) (...) 2♠ sin N = 2¤3 cos 2N+♠2 cos = cos , ∂f∂¤ = 3¤2 sin 2N, 2N , ∂N ∂♠ N (...) ∂f (...) (...) 2♠ sin N f) ∂f∂N = 2¤3 cos 2N + ♠2 cos = cos , ∂f∂¤ = 0, g) ∂f (F,¥) = 3F2 + ¥3 cos F, 2N , ∂♠ N ∂F ∂f (F,¥) = 14¥ + 3¥2 sin F, h) ∂f (x(t),u(t)) = 3x2 (t) + u3 (t) cos x(t), ∂f (x(t),u(t)) = 14u(t) + ∂¥ ∂x(t) ∂u(t) ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ 2 3u (t) sin x(t), i) = 8x(t) + 2u(t), = 2x(t) + 4u(t) + 1, ∂x(t) ∂u(t) ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ ∂f (x(t),u(t),x(t)) ˙ = 5, j) = 3x(t)u(t) ˙ + 12x(t)u(t), = 3x(t)x(t) ˙ + ∂ x(t) ˙ ∂x(t) ∂u(t) x(t)) ˙ x(t),t) ˙ x(t),t) ˙ 6x2 (t) + u(t), ∂f (x(t),u(t), = 3x(t)u(t), k) ∂f (x(t),u(t), = 7, ∂f (x(t),u(t), = 6, ∂ x(t) ˙ ∂x(t) ∂u(t) ∂f (x(t),u(t),x(t),t) ˙ ∂f (x(t),u(t), x(t),t) ˙ = 3t2 , = 6tx(t) ˙ + 3t2 x¨(t) + 6u(t) ˙ + 7x(t); ˙ 9.16: a) L = 9, ∂ x(t) ˙ ∂t

sin x sin y cos z+x3 y 2 , e)

b) L = 1,5, c) L = 0, d) L = 0, e) L = ∞, f) L = 1, g) nelze pomoc´ı LP a limita neexistuje, h) L = 0 ale nelze pomoc´ı LP, ch) L = −1, i) L = 1/9, j) L = 1; 9.17: f 0 (−7,5) . neexistuje ale f+0 (−7,5) = 0, f 0 (−6) = 0, f 0 (−1,8) = 0, f 0 (0) = 1,25, f 0 (1,4) = 0, f 0 (2) neexistuje ale f 0 + (2) = 1, f 0 (2,5) = 1, f 0 (3) neexistuje ale f−0 (3) = 1, f−0 (3) = −1, . . f 0 (4) = −1, f 0 (5) neexistuje ale f−0 (5) = −1, f+0 (5) = 0, f 0 (9) = 0,3;

ˇ sen´ı u yznam derivace Reˇ ´ loh z kapitoly 10 Aproximace funkce a v´ 10.10: t1 : y = 2x, t2 : y = 1, t3 : y = −2x + π ; 10.11: t1 : y = x + 1, t2 : y = 3x + 2, t3 : y = 5x + 1, t4 : y = 7x − 2; 10.12: viz pˇr´ıklad 9.2; 10.13: viz pˇr´ıklad 9.2; 10.14: v(1 h) = 7 km/h, v(x = 10 km) = v(t = 1,5 h) = 9 km/h, ; 10.15: v = 0 m/s pro t = 2 arctan 25 + kπ, k ∈ Z, pro vˇsechna tato t vyˇc´ısl´ıme zrychlen´ı dle a(t) = e−0,2t (−0,21 sin 0,5t − 0,2 cos 0,5t) m/s2 , vˇse je lépe vidˇet z grafu funkc´ı; 10.16: a) −1, b) −2,3247, c) 4,6135, d) 0,1607, e) neexistuje, f) 3,1479; 10.17: viz Matlab; 10.18: a) − x15 ∆x, x 6= 0, b) − 4√1x3 ∆x, x > 0, c) 6x2 ∆x, d) ex ∆x, e) 2

6xe3x ∆x, f) cos x∆x, g) −6x2 sin 2x3 ∆x, h) (ln5)cotgx 5ln sin x ∆x, x 6= kπ, k ∈ Z; 10.19: a) 2,01, b) 2,1000, c) 2,2500, d) 0,86646, e) 0,87461, f) 0,89221, g) 64,4800, h) 66,4000, ch) 68,7999, i) 1,0100, j) 1,0500, k) 1,10000; 10.20: ; 10.21: ; 10.22: ; 10.23: ; 10.24: a) PV1 : [x0 , u0 ] = [π/2, 0], x(t) ˙ = ∆u(t), PV0 : [x0 , u0 ] = [π/2, −1/3], x(t) ˙ = −∆u(t); b) PV: [x0 , u0 ] = [π/2,

π √ 2 2

], x(t) ˙ = −π∆x(t) +

π √ 2

∆u(t); c) PV1 : [x0 , u0 ] = [0, 1],

x(t) ˙ = 2∆x(t), PV0 : [x0 , u0 ] = [−2, 1], x(t) ˙ = −2∆x(t) − 4∆u(t);


VII

ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 11 Anal´ yza funkce pomoc´ı derivace 11.12: ; 11.13: ; 11.14: ; 11.15: ; 11.16: ; 11.17: ; 11.18: ; 11.19: ; 11.20: ; 11.21: ; 11.22: ; 11.23: ; 11.24: ; 11.25: ; 11.26: ; 11.27: ; 11.28: ; 11.29: ; ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 12 Neurˇ cit´ y integr´ al 12.8: a) x3 − 25 x2 +6x+c, c ∈ R, b) 12 x4 +5 cos x+6 sin x+c, c ∈ R, c) − cos x+x3 +c, c ∈ R, d) 2x ln x− 52 cos 2x+ 32 x4 − 15 x2 +c, c ∈ R, x > 0, e) −6 cos x+2 sin x− 31 cos 3x+c, c ∈ 2 √ √ 5 2 2 4 3 5 + 8 4 x9 + c, c ∈ R, h) 3 e4x + c, c ∈ R, x + 2x + x + 2x + c, c ∈ R, g) x R, f) 15 4 2 5 3 4 ch) − 2x12 −

1 x

+ ln|x| + c, x 6= 0, c ∈ R, i) 2ln|x| + c, x 6= 0, c ∈ R, j) neum´ıme pomoc´ı

elementárn´ıch funkc´ı; 12.9: a) −x cos x+sin x+c, c ∈ R, b) −x2 cos x+2x sin x+2 cos x+ c, c ∈ R, c) −x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + c, c ∈ R, d) e)

x3 3 x

ln x −

x3 9

+ c, c ∈ R, f)

cos x sin x 2

+ x2 c, c ∈ R, g)

sin7 x 7

x2 2

2

ln x − x4 + c, c ∈ R,

+ c, c ∈ R, h) x2 ex − 2xex +

2e + c, c ∈ R, ch) (5 − x) cos x + sin x + c, c ∈ R, i) (x + 5) sin x + cos x + c, c ∈ R, j) (x−2)ex +c, c ∈ R, k) xex +c, c ∈ R, l) a) e)

− 51 cos(5x + 4) + c, 1 3x+7 e + c, c ∈ R, 3

sin10 x 10

c ∈ R, b) +c, c ∈ R, f) e

x2

4

+c, c ∈ R, m) − cos4

c) 12 sin(2x x3 +2x2

+ c, c ∈ R, g) e

i) ln(ln x)+c, c ∈ R, x > 1, j) ln(5+sin x), c ∈ R, k)

x

+c, c ∈ R; 12.10:

− 5) + c, c ∈ R, d) +c, c ∈ R,

+ c, c ∈ R, h)

sin10 x 10

+c, c ∈ R, l)

sin7 x + c, c ∈ R, 7 4 − cos4 x +c, c ∈ R;

ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 13 Urˇ cit´ y integr´ al a jeho aplikace 13.9: a) 10, b) −10, c) 2, d) 22 , e) 0, f) 116 , g) neexistuje protoˇze ln x nen´ı v bodˇe 3 15 R1 R1 −1 definován, 0 ln x = −1, −1 ln |x| = −2, h) nelze vypoˇc´ıtat pomoc´ı vˇety 13.1, pole R1 √ 1 definice 13.1 plat´ı −1 x1 = 0, ch) − ln 2 + ln 3, i) 23 pro e ; 13.10: n y = + π x, j) e − e , 2 −1+e2π , 2 −1+e3π , a) {0, 2, 0, 2, 0}, b) {0, 0, 0, 0, 0}, c) {0, 0, 0, 0, 0}, d) 0, 52 −1+ π e 5 5 e2π e3π o 4π π 2π 3π 4π 2 −1+e e , −1+e , −1+e , −1+e }; 13.11: a) ∞, b) ∞, c) ∞, d) ∞, , e) {0, −1+ 5 5eπ e4π 5e2π 5e3π 5e4π 3 e) 1; 13.12: a) 1000−π , b) −250, c) , d) ; 13.13: a) 10, b) 10, c) 10 , d) 22 , e) 12 , 3 3 3 √ √ 3 2 1 f) 116 , g) 1, h) ∞, ch) ln , i) pro y = + x, j) e − ; 13.14: a) 2, b) 2, c) 2 10, 15 2 3 e √ √ 1 d) 5 + ln √ 2+ √ , e) analyticky nelze, f) analyticky nelze, g) ∞, h ∞, ch) ?, i) (−2+ 5) √ Rb Rb √ 1 ln(3 + 2 2) pro y = + x, j) ; 13.15: V = π a [f (x)]2 dx; 13.16: V = 2π a f (x)dx; 2 13.17: 7,640395 viz (Roubal, J. et al., 2011); ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 14 Numerick´ e metody integrov´ an´ı a derivov´ an´ı V´ ypoˇcty viz Matlab.

VIII


Rejstˇ r´ık anal´ yza funkce, 243

inverzni matice, 86

aplikace integr´ alu, 273 j´ adro line´ arn´ıho zobrazen´ı, 129

aproximace funkce, 223, 230 aritmetick´ y vektor, 34

konjunktivn´ı norm´ aln´ı forma, 17

atomick´ e formule, 9

kontradikce, 14

b´ aze, 114, 116

L’Hospitalovo pravidlo, 216 limita funkce, 195, 199, 204

Carnaughova mapa, 18

Line´ arn´ı kombinace vektor˚ u, 37

minimalizace, 19

line´ arn´ı nez´ avisl´ e vektory, 39

charakteristick´ y polynom, 145

line´ arn´ı obal, 116

definice, 4

line´ arn´ı prostor, 114

derivace

line´ arn´ı zobrazen´ı, 126 logick´ a v´ ystavba matematiky, 4

parci´ aln´ı, 216

LS – metoda nejmenˇs´ıch ˇ ctverc˚ u, 164, 167

derivace n-t´ eho ˇr´ adu, 215 derivace funkce, 209, 210, 212, 224, 228

matice, 44, 45

derivace funkce v bodˇ e, 212

charakteristick´ y polynom, 145

derivace sloˇ zen´ e funkce, 215

determinant, 75

determinant matice, 74, 75

diagon´ aln´ı, 51, 160

diferenci´ al funkce, 230

doplˇ nk˚ u, 86

diferenci´ aln´ı rovnice, 297

hodnost, 46

dimenze vektorov´ eho prostoru, 119

pln´ a, 46

disjunktivn´ı norm´ aln´ı forma, 17

inverzn´ı, 86

d˚ ukaz, 4

jednotkov´ a, 51 Jordan˚ uv kanonick´ y tvar, 161

extr´ emy funkce, 244

j´ adro, 150 nulov´ a, 45

funkce, 177, 182

nulov´ y prostor, 150 obor hodnot, 150

hodnost matice, 46

podobnost matic, 160

pln´ a, 46

regul´ arn´ı, 83 integrace per partes, 267

rovnost, 45

integrace pomoc´ı substituce, 268

rozd´ıl, 52

integr´ al

singul´ atrn´ı, 83

nespojit´ e funkce, 277

souˇ cet, 52

Newtonova Leibnizova formule, 275

souˇ cin, 52

Riemann˚ uv, 274

transponovan´ a, 49

interval, 181

troj´ uheln´ıkov´ a

otevˇren´ y, 181

doln´ı, 51

polootevˇren´ y, 181

horn´ı, 51

uzavˇren´ y, 181

vlastn´ı vektor, 145

intervaly, 177

vlastn´ı ˇ c´ıslo, 145

IX

ˇ ÍK REJSTR

X algebraick´ a n´ asobnost, 160 geometrick´ a n´ asobnost, 160 zobecnˇ el´ y vlastn´ı vektor, 160

urˇ cit´ y integr´ al, 273, 274 d´ elka kˇrivky, 279 plocha pod kˇrivkou, 278

ˇ ctvercov´ a, 51 maticov´ a algebra, 52

vektor, 34

metoda nejmenˇs´ıch ˇ ctverc˚ u (LS), 164, 167

line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, 39

mnoˇ zina, 178

line´ arn´ı kombinace vektor˚ u, 37 nulov´ a, 39

cel´ ych ˇc´ısel, 179 komplexn´ıch ˇ c´ısel, 179

nulov´ y, 39

pˇrirozen´ ych ˇ c´ısel, 179

n´ asoben´ı skal´ arem, 36

re´ aln´ ych ˇ c´ısel, 179

rovnost, 35

mnoˇ ziny, 177 modelov´ an´ı dynamick´ ych syst´ em˚ u, 337

rozd´ıl, 35 souˇ cet, 35 Vennovy diagramy, 178

negace v´ yrok˚ u, 20

vlastn´ı vektory matice, 144

Nerovnice s parametrem, 101, 102

vlastn´ı ˇc´ısla matice, 144

neurˇ cit´ y integr´ al, 263–265

vˇ eta, 4

numerick´ e metody

v´ yrokov´ a formule, 9

derivov´ an´ı, 285

v´ yrokov´ a logika, 8

integrov´ an´ı, 285 ˇr´ızen´ı, 337 obor hodnot line´ arn´ıho zobrazen´ı, 130 okol´ı bodu, 197 parci´ aln´ı derivace, 216 podmnoˇ ziny, 178 podobnost matic, 160 pravdivostn´ı ohodnocen´ı, 11 pravdivostn´ı tabulka, 11 primitivn´ı funkce, 264 prstencov´ e okol´ı bodu, 197 prvek mnoˇ ziny, 178 pr´ azdn´ a mnoˇ zina, 178 pr˚ ubˇ eh funkce, 248 pr˚ unik mnoˇ zin, 178 regulace, 337 rovnice s parametrem, 101 rozd´ıl mnoˇ zin, 178 sjednocen´ı mnoˇ zin, 178 soustava line´ arn´ıch rovnic, 94 homogenn´ı, 95 nehomogenn´ı, 98 soustavy line´ arn´ıch rovnic, 94 souˇradnice v b´ azi, 121 spojitost funkce, 195–198 standardn´ı b´ aze, 120 s´ emantick´ y d˚ usledek, 15 tautologicky ekvivalentn´ı, 16 tautologie, 14 Taylor˚ uv polynom, 233 tot´ aln´ı diferenci´ al funkce, 232

Sezimovo Ústí. na VOŠ. Jirka Roubal

Recommend Documents