Sepsey Csaba—Molnár S. Verona EGY HÚSIPARI TERMELÉSI TERV ELKÉSZÍTÉSE A MATEMATIKAI PROGRAMOZÁS ESZKÖZEIVEL
A z élelmiszer-termelés, v a l a m i n t a z integrációs folyamatök terén .történő műszaki-technológiai fejlődés oda vezetett, 'hogy nagyméretű m u n k a szervezetek alakultak, m i n d kapacitás, m i n d pedig a befektetett eszközök szempontjából. A termelés mechanizációja és automatizációja jelentősen megnöveli a fix költségek r e l a t í v részvételét a t m a s z önköltségében, m á s részt pedig a beépített kapacitásokkal csökken a piac i r á n y á b a m u t a t ó elaszticitás. Mindemellett a gazdasági fejlődés üteme olyan, hogy az ügy viteli döntéseket az előirányzott fejlődéssel összhangban kell meghozni. A szervezés és döntéshozatal szempontjából a h ú s i p a r n a k különösen je lentős helye van a gazdasági életben. Ugyanis m i n t végső termelő k ö z vetlenül a nyersanyagtermelők és a realizációs folyamatok k ö z ö t t v a n . Ebből pedig az következik, hogy a .termelési-pénzügyi t e r v n a g y m é r t é k ben h a t a többi résztvevő hasonló tervére, de u g y a n a k k o r legalább olyan mértékben függ is t ő l ü k . É p p e n e z é r t jelentős a k u t a t á s kiszélesítése a húsfeldolgozási folyamat m i n d e n műszaki-technológiai és szervezési ele mére. A z egyik ilyen probléma a húsipari t e r m é k e k előállítása az előírt minőségi szinten úgy, h o g y azzal maximális hatékonyság legyen elérhető. E z a s z e m p o n t az állattenyésztési termékek szűkös feltételei mellett ne hezen teljesíthető. M i n t ismeretes, a klasszikus k a l k u l a t í v módszerékkel nehezen állítható össze olyan termelési t e r v , amely m i n d e n rendelkezésre álló nyersanyag figyelembevételével maximális hatékonyságot biztosít. M i n t h o g y az össze függések lineárisnak is tekinthetők, célszerű a lineáris programozás al kalmazása. A m i k o r azonban valamilyen alternatív lehetőségeket kell fi gyelembe venni, lineáris összefüggések mellett, a k k o r némely változó csak m e g h a t á r o z o t t diszkrét értékeket vehet fel, s a p r o b l é m a m á r n e m o l d h a t ó m e g a lineáris programozás módszereivel. Bbben az esetben a vegyes-egészértékű p r o g r a m o z á s i módszereket kell használni, melyeknek alkalmazása összetettebb.
Az optimális
termelési
program
modellje
A húsipari termelés o p t i m á l á s á n a k egyik -szempontja az, h o g y a r e n delkezésre álló és optimálisan szétosztott n y e r s a n y a g segítségével o l y a n termékválasztékot állítunk elő, amely maximális célfüggvényértéket biztosít. A modell általános lineáris alakja a k ö v e t k e z ő :
Ax^jb
E g y olyan m a x i m u m problémával állunk szemben, ahol az A, b és c elemek konstansok, az x elemei pedig változók. A szimbólumok jelentése a k ö v e t k e z ő : A — műszaki-technológiai e g y ü t t h a t ó k m á t r i x a b — j o b b o l d a l , a rendelkezésre álló n y e r s a n y a g o k v e k t o r a c — a célfüggvény-koefficiensek vektora. A modell ismeretlenéi a késztermékek 'termelendő mennyiségei. A célfüggvényben a c é s x v e k t o r o k s o r o z a t a t a l á l h a t ó . A z ismeret leneket szorzó e g y ü t t h a t ó k m i n t hatékonysági m u t a t ó k nem a klasszikus értelembe v e t t árak, hanem- az árkülönbségek, amelyeket a z egyes eladási árakból k a p u n k a d i r e k t költségek kivonása u t á n . A d i r e k t költségek a nyersanyag- és egyéb anyagi költségekből á l l n a k . E k k o r g y a k r a n meg esik, h o g y az egyes termékeknél az árkülönbségek n e g a t í v a k . A műszaki-technológiai e g y ü t t h a t ó k m á t r i x a a n y e r s a n y a g v a g y k a p a citás egységnyi, ráfordításait t a r t a l m a z z a egységnyi késztermék előállí tására, v a l a m i n t lehetnek bizonyos pénzügyi jellegű e g y ü t t h a t ó k . T e h á t az említett m á t r i x oszlopok szerint termékeket, sorok szerint p e d i g e r ő forrásokat, k ü l ö n b ö z ő (pl. piaci) 'előírásokat t a r t a l m a z . A rendelkezésre álló erőforrások v e k t o r a az egyes n y e r s a n y a g o k ren delkezésre álló mennyiségeit t a r t a l m a z z a kg-ban, a m e l y e k a m á t r i x sorai ban definiáltak.
Optimális
termelési
program
E g y vágóhíd évi termelési-pénzügyi tervének kidolgozása keretében egy o l y a n kedvező termelési p r o g r a m o t kell összeállítani-, amely m a x i mális árkülönbséget biztosít. A z egyszerűség k e d v é é r t csak k é t termelő v o n a l a t v e t t ü n k figyelembe, mégpedig: a t a r t ó s kolbászokat 5 termékkel és-- a tartós k o n z e r v e k csoportját 18 termékkel. M i n d k é t termékcsoport részben azonos erőforrásokat használ, á m a parciális optimálás szuboptim u m h o z vezetne, vagyis az egyik csoport optimális t e r m é k v á l a s z t é k á t csak a m á s i k terhére t u d n á megvalósítani.
C s a k a kulcsfontosságú n y e r s a n y a g o k a t v e t t ü k figyelembe, m í g a se g é d a n y a g o k a t k i h a g y t u k . A rendelkezésre álló k ü l ö n b ö z ő n y e r s a n y a g o k listáját és k g - b a n kifejezett (mennyiségek a k ö v e t k e z ő t á b l á z a t t a r t a l mazza: 1. sz. táblázat Nyersanyagok*
Rendelkezésre álló mennyiségek
1. Meso 1 2. Gomeso 1 3. Tkivo 4. So 5. GDL 6. Loj 7. Masnoća 8. Meso 2 9. Gomeso 10. Emui 11. Glava 12. Svjetra 13. Slezina 14. Krv 15. Zivmeso 16. Živjetra 17. Divljač 18. Škemba
550 000 550 000 500 000 82 000 20 000 110 000 650 000 120 000 100 000 85 000 155 000 140 000 55 000 21 000 30 000 8 000 3 800 4 200
* A modellban szereplő és a számítógépbe betáplált eredeti elnevezések. A következő táblázat a késztermékekre vonatkozó adatokat
tartalmazza: 2. sz. táblázat
1. csoport: TARTÓS KOLBÁSZOK A termék neve xl x2 x3 x4 x5
A célfüggvény koefficiense
Čajna Sremska Kulen Sudiuk Budimska
25,20 19,50 33,42 41,26 76,21
Felső korlát 550 000 370 000 37 000 170 000 37 000
2. csoport: TARTÓS KONZERVEK A termék neve
x6 x7 x8 x9 xlO xll xl2 xl3
Jetr 50 Jetr 75 Jetr 150 Jetr 200 Jetr 900 Spec 75 Spec 140 Ziv 50
A célfüggvény koefficiense
15,20 17,12 12.42 12,18 8,71 28,42 22,63 19,35
Felső korlát
400 400 76 45 40 42 140 85
000 000 000 000 000 000 000 000
x l 4 Ziv 75 x l 5 Ziv 140
x l 6 Fazan 75 x l 7 Fazan 140 x l 8 Vik 100 x l 9 Vik 150 x20 Vik 200 x21 Narezak x22 Minced x23 Čoped
22,35 17,31 18,23 12,76 7,45 3,12 0,32 —4,26 2,36 8,63
85 000 36 000 43 000 19 000 75 000 350 000 320 000 80 000 20 000 32 000
M i n d e n nyersanyagra felállítható egy anyagmérleg. P L : A Meso 1 n y e r s a n y a g anyagmérlege a 'következő: 0,6639 x l + 0,67621 x 2 + 0,3915 x 3 + 0,6615 x 5 + 0,1723 x l 8 + + 0,1712 x l 9 + 0,1716 x20 + 0,0332 x 2 1 + 0,6823 x22 + 0,6815 x23 £ 550.000 A z Ismeretlenek együtthatói az egyes n y e r s a n y a g o k (erőforrások) h á n y a d á t jelölik az 1 kg x l , x 2 , . . . , x 2 3 késztermékekben, az egyenlőtlen ség jobb o l d a l á n pedig a •rendelkezésre álló nyersanyagmennyiségek áll nak. A műszaki-technológiai e g y ü t t h a t ó k , amelyek az említett m ó d o n a nyersanyagok részarányát m u t a t j á k iaz egyes egységnyi súlyú végtermékek ben ú g y v a n n a k meghatározva, hogy m a g u k b a foglalják az értékcsök kenést ás az esetleges hulladékot is, a m e l y a termelési f o l y a m a t szüksé ges velejárója. A z o n egyenlőtlenségek mellett, a m e l y e k a nyersanyagok k o r l á t o l t mennyiségét jelölik, a modell m é g piaci követelményeket kifejező k o r l á t o k a t is t a r t a l m a z . Ilyenek pl. azok a k o r l á t o k , amelyek az egyes .termék csoportokra v o n a t k o z ó a n e l ő í r n a k egy bizonyos szintű termelést: x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x l O ^ 820 000 x l 3 + x l 4 + 15x ^ 120 000 E k o r l á t o k értelmében p l . a májpástétomból legalább 820 000 k g , m í g a baromfípástétomból legalább 120 000 k g - o t kell leszállítani. A m o d e l l n e m t a r t a l m a z z a a termélővonalak k a p a c i t á s á r a v o n a t k o z ó k o r l á t o k a t , m e r t ebben a k o n k r é t esetben n e m jelentettek szűk garatot. A célfüggvény az egyes árkülönbségek és ismeretlenek s z o r z a t á n a k összege: 25,2 x l + 19,5 x 2 + 33,42 x 3 + 41,26 x 4 + . . . — 4 , 2 6 x 2 1 + + 2,36 x22 + 8,63 x23 -> m a x . A b e m u t a t o t t modellt az F M P S ( F u n k t i o n a l MatJhematical P r o g r a m ming System) programcsomaggal o l d o t t u k meg, a S z a b a d k a i I n f o r m a t i kai és Szervezési K u t a t ó i n t é z e t U N I V A C 1100 számítógépén. A z o p t i m u m h o z 18 iteráció u t á n j u t o t t u n k , a célfüggvény értéke pedig 47 063 000,00 din. A z optimális e r e d m é n y t a k ö v e t k e z ő t á b l á z a t t a r talmazza:
4. sz. táblázat
A termék neve
Mennyiség
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
550 197 37 170 37 400 400
Čajna Sremska Kulen Sudžuk Budimska Jetr 50 Tetr 75 Tetr 150 Jetr 200 Tetr 9 0 0 Špec 75
12. Spec 140 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.
Ž i v 50 Ž i v 75 Ž i v 140 Fazan 75 Fazan 140 Vik 100 V i k 150 Vik 2 0 0 Narezak Minced Čoped
000 822,80 000 000 000 000 000 0 20 000 0 4 2 000 37 253,15 35 0 0 0 85 0 0 0 0 14 457,67 0 75 0 0 0 0 0 0 0 0
A termelési p r o g r a m b a n nem k a p o t t helyet m i n d e n t e r m é k . E n n e k leg főbb oka a nyersanyag-erőforrás k o r l á t o k mennyisége. A modell elsősor b a n a z o k a t a termékeket favorizálja, amelyek 'nagyobb árkülönbséget biztosítanak, illetve amelyek nagyobb m é r t é k b e n h a t n a k a célfüggvény növelésére. Ezen termékeknél a termelési lehetőség a felső h a t á r o n v a l ó sul meg. É p p e n ezen termékeknek v a n n a k p o z i t í v á r n y é k á r a i k . A z illető termiek mennyiségét növelve tehát a célfüggvény értéke is növelhető, mégpedig annyi pénzegységgel, amennyi az á r n y é k á r . A z á r n y é k á r a k elemzésével k i m u t a t h a t ó , hogy m e l y termékeknél érdemes növelni, ill. csökkenteni a termelt mennyiséget a n a g y o b b hatékonyság érdekében. A programcsomag által t ö r t é n t optimálással az erőforrás kihasználtsá gáról is n y e r ü n k k i m u t a t á s t . 3. Vegyes-egészértékű p r o g r a m o z á s i modell A. g y a k o r l a t b a n szükség lehet o l y a n k o r l á t o k bevezetésére is, amelyeket csak 0—1 értékű változók segítségével lehet kifejezni. A z ilyen m o d e l lek m á r klasszikus .lineáris programozási módszerekkel nem o l d h a t ó k meg. A gyakorlatiban leginkább a k o r l á t o z á s és szétválasztás módszerét használják. Ezzel a módszerrel dolgozik az F M P S programcsomag is. A z előzőekben b e m u t a t o t t lineáris modellhez új k o r l á t o k a t a d t u n k hozzá. A L o G l , L o G 2 , . . . , L 0 G I 8 k o r l á t o k az x6, x 7 , . . . , x 2 3 folyto nos v á l t o z ó k a t kötik össze az 1x6, 1 x 7 , . . . , 1x23 egészértékű v á l t o z ó k kal, s u g y a n a k k o r az egyes felső k o r l á t o k a t is t a r t a l m a z z á k . Pl. L o G l : x6 —400.000 1x6 <; 0.
E z a k o r l á t azt .biztosítja, hogy amint az 1x6 = 1, tehát a m i n t termel h e t ő az x 6 az legfeljebb 400 000 k g lőhet. A t ö b b i k o r l á t is hasonló tartalmú. A L o G 1 9 , L o G 2 0 , L o G 2 1 , L o G 2 2 k o r l á t o k azt biztosítják, h o g y az egyes termékcsoportokon belül legalább 1, ¿11. 2 t e r m é k e t állítsunk elő. Pl.: L 0 G I 8 : 1x6 + 1x7 +
1x8 + 1x9 + 1x10 ^
2
L o G 2 0 : I x l l + 1x12 ^ 1 L o G 2 1 : 1x13 + 1x14 + 1x15 ^ 1 L o G 2 2 : 1x16 4- 1x17 ^ 1 L o G 2 3 : 1x18 + 1x19 + 1x20 ^ 2 A L o G 2 4 k o r l á t az x 6 , . . . , x 2 3 termékcsoportból legfeljebb 10 féle termék előállítását engedélyezi: L o G 2 4 : 1x6 + 1x7 -1- 1x8 + . . . + 1x23 £ 10. A modell t a r t a l m a z z a m é g azt a .lehetőséget is, hogy a rendelkezésre álló nyersanyagmennyiséget növeljük, mégpedig utólagos vásárlással, de u g y a n a k k o r bizonyos pénzügyi eszközök befektetésével. A Mesol n y e r s a n y a g esetében 20 000 kg-mal növelhető a rendelkezésre álló mennyiség 300 000 din. befektetéssel, amely a maximális árkülönbséget egyébként csökkenti, v a l a m i n t 30 000 kg-os növelés 400 000 din. befektetéssel jár, az 50 000 kg-os növelés p e d i g 600 000 d i n . befektetéssel. M i n t h o g y b á r mely v á l t o z a t megvalósulása esetében a p é n z ü g y i eredmény csökken, ezért a megfelelő összegek e célfüggvényben n e g a t í v előjellel szerepelnek. H a a Mesol erőforrás-növelés v á l t o z a t a i t I M I , I M 2 , ill. I M 3 - m a l jelöljük, a k k o r a Mesol k o r l á t a k ö v e t k e z ő : 0,6639x1 + 0,6721x2 +• . . . + 0,6815x23 ^ 550 000 + 20 000 I M I + f 30 000 I M 2 + 50 000 I M 3 A célfüggvény megfelelő koefficiensei az I M I , I M 2 , és I M 3 v á l t o z ó k r a v o n a t k o z ó a n — 2 0 000, — 3 0 000 és — 5 0 000. H a a Mesol kapacitásnövelés valamely v á l t o z a t a megvalósul, a k k o r a megfelelő I M I , I M 2 , ill. I M 3 egészértékű v á l t o z ó értéke 1, h a azonban a növekedés n e m valósul meg, az értékek 0. U g y a n a k k o r a célfüggvény pénzügyi h a t é k o n y s á g a a befektetés értékével csökken, v a g y v á l t o z a t l a n marad. A Svjetra nyersanyagmérleg jobb o l d a l a az előzőekhez hasonlóan: . . . ^ 140 000 -f 5000 I J 1 + 10 000 I J 2 b + 15 000 I J 3 , a megfelelő célfüggvény-koefficiensek pedig — 5 0 0 000, — 9 0 0 000 .és — 1 200 000. A Zivmeso esetében egy v á l t o z a t .esedékes, mégpedig 300 000 d i n , b e fektetéssel' j á r ó 15 000 kg-os növelést: . . . ^ 30 000 4- 15 000 1 2 . M é g egy L o G 2 5 k o r l á t is létezik, amellyel az össz befektetés értéke k o r l á t o l h a t ó . A z össz befektethető eszközök értéke n e m haladhatja meg a 3 000 000 d i n á r t : L o G 2 5 : 300 000 I M I + 400 000 I M 2 + 600 000 I M 3 + 500 000 I J 1 -f + 900 000 I J 2 + 1 200 000 I J 3 + 300 000 I Z £ 3 000 000. A b e m u t a t o t t modellt az F M P S p r o g r a m c s o m a g segítségével o p t k n a l i -
z á k u k . A z o p t i m u m o t 149 iteráció u t á n k a p t u k ímeg 8 ágaztatás u t á n . A célfüggvény értéke 49 658 000,00 d i n . A lineáris v á l t o z a t t a l szemben a k a p o t t hatékonyság n a g y o b b . T e h á t a befektetéssel járó nyersanyag készlet növelése mindenképpen kifizetődött. A z o p t i m á l á s eredményét a következő t á b l á z a t t a r t a l m a z z a : 5. sz. táblázat
A termćk 1 2. 3. 4. 5. 6 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.
neve
Čajna .Sremsba Kulen Surižuk Budimska Jetr 5 0 Jetr 75 Jetr 150 Jetr 200 Jetr 900 Spec 75 Spec 140 Živ 50 Ž i v 75 Živ 140 F a z a n 75 F a z a n 140 V i k 100 V i k 150 Vik 2 0 0 Narezak Minced Coped 1x6 1x7 1x8 1x9 1x10 Ixll 1x12 1x13 1x14 1x15 1x16 1x17 1x18 1x19 1x20 1x21 1x22 1x23 IM1 IM2 IM3 IJ1 112 IJ3 IZ
Mennyiség 550 316 37 170 37 400 400
000 850 000 000 000 000 000 0 2 0 000 0 4 2 000 117 540 83-834 85 0 0 0 0 4 2 553 0 75 000 0 0 0 0 0 1,0 1,0 0 1,0 0 1,0 1,0 1,0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 0 0 0 1,0 1,0 1,0 0 1,0 1,0
A termelésprogram n e m t a r t a l m a z minden terméket. E n n e k o k a egy részt az egyes n y e r s a n y a g o k k o r l á t o l t mennyiségében v a n , másrészt pedig a termelésre v o n a t k o z ó k o r l á t o k b a n . A nyersanyagkészlet növelésének le hetősége m i a t t a pénzügyi e r e d m é n y n a g y o b b a lineáris v á l t o z a t n á l , füg getlenül attól, hogy ez m á s költségeket is előidézett. Természetesen a k o r l á t o l t eszközök m i a t t n e m valósulhatott m e g m i n d e n bővítési v á l tozat.
összefoglalás A z évi, negyedévi v a g y h a v i o p e r a t í v termelési t e r v e k készítésénél a matematikai modellek alkalmazása' igen hasznosnak m u t a t k o z i k . Segít ségükkel, a d o t t körülmények k ö z ö t t a legrövidebb idő alatt m e g t a l á l h a t ó a legjobb termelési p r o g r a m , de az egyes k o r l á t o z ó t é n y e z ő k és feltételek hatásköre is t a n u l m á n y o z h a t ó . M i n d e n n a g y o b b számítógép kész programcsomaggal rendelkezik, olyannal, amely a m a t e m a t i k a i p r o g r a m o z á s r a is alkalmas. Mindenesetre ez a k ö r ü l m é n y nagymértékben megkönnyíti és meggyorsítja a termelési tervek készítését több ízben és t ö b b v á l t o z a t b a n , amelyek alapján o l y a n döntések h o z h a t ó k , amelyeknek eleve n a g y o b b esélyük v a n a sikerre.
Rezime
I z r a d a p r o i z v o d n o g p l a n a u klaničnoj industriji p r i m e n o m m a t e m a t i č k o g programiranja Prilikom planiranja i upravljanja u klaničnoj industriji celishodno je primeniti metode linearnog programiranja. Ima međutim slučajeva, kada treba uzeti u obzir npr. neke alternativne mogućnosti ulaganja. Neke promenljive tada mogu imati samo diskretne vrednosti, odnosno vrednosti 0—1. Takvi problemi se rešavaju metodom separiranja i limitiranja. U radu je prikazan jedan manji praktičan primer iz prakse klanične industrije, sa ograničenjima karakteristič nim za ovu industriju. Daju se dve varijante zadatka: prvi je linearni model, a drugi je problem •mešovito-celobrojnog programiranja. Analiza rezultata je dokazala da je sva kako vredelo na ovaj način ispitivati mogućnost proširenja kapaciteta uz do datna ulaganja, i da to može poslužiti kao objektivna podloga za donošenje odluka.
Summary Application of M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g for Production Plans an Meat-packing I n d u s t r y When planning and managing in meat-packing industry it is suitable to apply the method of linear programming. There are cases though, when we should take into consideration for exemple some alternative possibilities of investments. Some variables in those cases can have only discrete values, t h a t is the value of 0 — 1 . These problems can be solved by 'the method of separation and limi tation. In this paper a practical example from meat-packing industry is pre sented, with limitations characteristic for this industry. Two variants of models are given: 'the first is the linear model and the second is the problem of mixed-integer programming. The analyses of the re sults has prooven that it is more than worthwhile to investigate, using these models — the possibility of widening 'the capacity by. additional investments, and that this investigation can be an objective source for decision-making. E. A.
