Semestrální práce z předmětu
MM na téma
Model sněhové laviny
Jméno a příjmení: Osobní číslo:
Pavel Poláček A04446
OBSAH: Úvod……………..…….....Princip laviny(obecně) Sněhové laviny…………..Co to je? Vznik a princip uvolnění Základní typy lavin……………deskové prachové z mokrého sněhu ledové
Dynamika lavin……………Hnací síla a pohybový odpor Dynamické rovnice lavin Dopad lavin
Pohybový zákon…………...I) Konstantní hmotnost m 1) Konstantní sklon svahu a) Pro případ, že zanedbáme odpor vzduchu b) S odporem vzduchu
2) Proměnný sklon svahu
II) Proměnná hmotnost m
Bilance hmotnosti…………1)bilance hmotnosti laviny 2)bilance hmotnosti na svahu
Závěr Zdroje
Matematický model sněhové laviny
Pavel Poláček
Úvod Princip laviny (obecně): Lavinové procesy probíhají tak, že ve velkém mnohosložkovém dynamickém systému. Nemusí jít jen o sníh – funguje i v ekonomických, ekologických, biologických… systémech. nejprve probíhají jen pomalé lokální změny. Systém se zdá být stabilní. Ty však způsobí, že v systému postupně narůstá nestabilita, objevují se malé krize. Pak se ale v důsledku dalšího opět malého podnětu spustí lavina (může zasáhnout jen malou část, ale někdy i celý systém), která rychle obnoví stabilitu. Teorie samoorganizovaného kritického stavu: Vymysleli ji fyzikové Per Bak, Chao Tang a Kurt Wiesenfeld (1982). Teorie popisuje velké dynamické systémy skládající se z velkého množství prakticky identických částic. Jednotlivé částice na sebe navzájem působí jen na krátké vzdálenosti. Systém musí do jisté míry vzdorovat malým lokálním poruchám. Pomalým buzením systému a rychlými lokálními reakcemi (lavinami) se v systému po určitém čase vytvoří samoorganizovaný kritický stav – je to stacionární stav, tj. stav rovnováhy mezi buzením a lavinami, do kterého systém přejde bez ohledu na počáteční podmínky. Proces buzení musí být vůči procesu laviny extrémně pomalý. Lavina vzniká překročením nějaké lokální podmínky stability a opět obnoví rovnováhu. Při svém šíření ovlivňuje okolní částečky a může se dále zvětšovat, ale i postupně zaniknout (díky schopnosti systému vzdorovat malým poruchám). Velikost konkrétní laviny pak závisí na momentálních podmínkách v systému (mocninné pravděpodobnostní rozdělení velikosti lavin – menších bude více). Ale celkově i při opakování (ve stejném systému) s jinými počátečními podmínkami bude výsledek stejný – co se týče zastoupení různých velikostí lavin (statisticky – stejné pravděpodobnostní rozložení). Př.: Na stole máme rozsypáno trochu písku a postupně přidáváme na náhodná místa zrníčka písku. Vzniknou tak různé hromádky. Jakmile však sklon hromádky (přiložením dalšího zrnka) dosáhne určité kritické hodnoty, už nemůže unést další zátěž a při přiložení dalšího zrna na podobné místo se to utrhne. Ze začátku vznikají jen malé lokální laviny, protože v okolí ještě sklon není dost velký, ale časem se zvyšuje pravděpodobnost vzniku velké laviny, která může zasáhnout podstatnou část hromady. Je-li systém v samoorganizovaném kritickém stavu, pak přidáním jednoho zrnka můžeme způsobit lavinu, která zasáhne téměř celý systém.
Teorie samoorganizovaného kritického stavu ukazuje, že velké globální změny mohou být způsobeny i malým lokálním podnětem. Teorie byla úspěšně použita při studiích zemětřesení, v biologii – vývin nových zánik starých druhů, atd.
Sněhové laviny
Co to je? Sněhová lavina je náhlé uvolnění a následný rychlý sesuv sněhové hmoty po dráze delší než 50m – De Quervain (1965). Vznik laviny
Smykové napětí – důležitá je jeho schopnost přenést zvýšené zatížení (lyžařem, napadením nového sněhu) v rámci jednotlivých vrstev sněhu. Princip uvolnění: působení gravitační síly na sníh na svahu + a) zvýšené zatížení (např. působení lyžaře, pád převěje…), b) pokles pevnosti sněhového profilu (nebo některé jeho vrstvy). Pokud dosáhnou kritické hodnoty, dojde k překročení meze pevnosti sněhu v tahu i smyku. Tím dojde k porušení celistvé vrstvy, snížení stability a dojde k odtrhu laviny. Místem odtrhu může být jeden bod – bodový odtrh, nebo dojde k narušení (a následnému odtržení) sněhové vrstvy podél nějaké trajektorie – čárový odtrh (obvykle u deskových lavin). Místo odtrhu laviny nemusí být vždy totožné s místem, kde došlo k narušení silové rovnováhy celého lavinového pole. Oba případy mohou nastat buď v rámci nestabilní mezivrstvy, pak klouže pouze vrchní vrstva – povrchová lavina, nebo v rámci celého sněhového profilu – lavina klouže po základovém povrchu – základová lavina. Uvolnění laviny je samozřejmě ovlivněno (způsobeno) mnoha věcmi. Uvedu ty nejpodstatnější: terén – jeho orientace (světové strany), sklon svahu. Dále pak počasí a sněhové podmínky – vliv větru, teploty, sněžení…, množství a typ sněhu. Kromě toho často uvolnění laviny způsobí člověk – zatížením svahu např. při túře, nebo lyžování (95% lavin, kdy byl někdo zasypán uvolnil člověk).
Základní typy lavin: Deskové: Napadaný sníh postupně sesedá, vločky se spojují do krystalů a ty zas do celistvých desek. Ty se tvoří podle toho jak umrzaly jednotlivé vrstvy sněhu a také působením větru. Uvnitř může vzniknout nestabilní vrstva (třeba mokrý sníh) po které pak vrchní tvrdší desky sjedou. Špatně se odhaduje kdy hrozí nebezpečí. Jejich rychlost je obvykle 70 – 130 km/h.
Prachové: Padá nový suchý sníh za mrazu a malého nebo žádného větru. Po rychlém dlouhém sněžení, kdy sníh nestihne sesednout už je ho moc, na to aby se udržel na svahu a spadne. Mohou se pohybovat velmi rychle – až 300 km/h. U velkých prachových lavin je nebezpečná tlaková vlna – dokáže zbourat dům (někdy i dříve než se přivalí samotná lavina).
Laviny z mokrého sněhu: Mohou vzniknout kdykoliv, když jsou teploty > 0°C, většinou samozřejmě na jaře, kdy je sníh mokrý, těžký a je ho hodně. Obvykle vznikají díky odtržení velkých převějí, které se vytvořily během celé zimy. Většinou základové laviny – většinou i s kamením, hlínou, stromy… Menší rychlosti, ale velká hmotnost.
Ledové: Vznikají v hustě zaledněných oblastech při prudkém oteplení. Hlavně jižní svahy. Tající led se už neudrží na podkladu a sklouzne. Případně sjedou horní vrstvy ledu po hladkých natátých spodních vrstvách. Ještě uvedu De Quervainovu klasifikaci lavin (1981). S menšími úpravami ji používá i krkonošská horská služba.
Dynamika lavin pozn.: tato část. je tvořena především překladem článku od Art Marse. V současnosti bylo uděláno několik měření rychlosti lavin, dynamických tlaků, hustot, rozměrů toku, nebo délky cesty. Je obtížné shánět takováto data, ale jsou postupně shromažďována díky úsilí U. S. Forest Service, the National Research Council of Canada, a the Center of Snow Studies ve Francii. Kvůli nedostatku dat, současné diskuse nezahrnují přesný model toku laviny. Namísto toho shrnují existující informace a prezentují některé základní myšlenky o silách působících uvnitř laviny v závislosti na typu sněhu. Další výzkum a sbírání dat je nezbytný pro pochopení základních principů, protože jakákoliv teoretická úprava tohoto fenoménu bez ohledu na jeho komplexnost může produkovat zavádějící výsledky, pokud je analytické zpracování založeno na nerealistických předpokladech. Hnací síla a pohybový odpor Poté co se lavina ulomí a padá dolů ze svahu, se původně kompaktní deska rozbije na menší kusy. Pokud lavina padá dost daleko a rozbije se na dostatečně malé části, pohyb se dá považovat za tok. V tekoucí lavině se uplatňují dvě protikladné množiny sil: hnací síla a odporová síla. Hnací sílu má za následek tíha rovnoběžná se svahem. Odporová síla brzdí lavinu a skládá se z těchto složek: R1: Smykové tření mezi lavinou a podkladovým sněhem, případně zemí. R2: Vnitřní dynamický smykový odpor, způsobený kolizemi a změně hybnosti mezi částečkami či kusy sněhu. R3: Vířivé tření uvnitř suspenze (sníh a vzduch) R4: Smykové tření mezi lavinou a okolním vzduchem R5: Hydrodynamický tah na předku laviny
Lavina zrychluje, když je hnací síla větší než odporová (jejich výslednice směřuje dolů ze svahu). To je převážně v horní části cesty, kde je svah příkrý (kde sklon svahu hrubě převyšuje 30 stupňů). Cestou se může z blízkých svahů v této oblasti odtrhnout další sníh a přidat se k lavině, což zvyšuje její hmotnost. Této části cesty, včetně místa odtržení se říká startovní oblast. Lavina má konstantní rychlost když si jsou hnací a odporové síly rovny. To je (přibližně) splněno ve fázi, které se říká dráha (transportní oblast). Je mezi startovní a dopadovou oblastí. V této fázi lavina dosahuje maximální rychlosti. Ve skutečnosti se samozřejmě i v této fázi rychlost mění v závislosti na sklonu svahu, typu nového sněhu, a terénních překážkách. Lavina zpomaluje, když je hnací síla menší než odporová. To nastává v tzv. dopadové oblasti, kde je už menší sklon svahu. Ještě navíc podkladový sníh je zde již stabilní a kinetická energie laviny se rozptýlí. Také se vytvoří nánosy, které vytvoří hranici dopadové oblasti a jejichž rozložení závisí spíše na typu sněhu v lavině a charakteristice laviny, než na členitosti povrchu.
Toto platí pro všechny typy lavin bez ohledu na velikost. Ve všech případech typ a množství sněhu uvolněného do laviny určuje rovnováhu mezi silami, rychlost, rozměry, množství sněhu, který se ještě nabalí a místo dopadové oblasti.
Celková síla způsobující zrychlení (zpomalení) je součet všech působících sil: F* = F - R1 – R2 – R3 – R4 – R5, kde F je složka tíhové síly rovnoběžná s povrchem svahu. Velikosti jednotlivých složek odporové (třecí) síly jsou u každé laviny různé a závisí na typu sněhu. Typ sněhu v lavině závisí na vlastnostech sněhu před utržením laviny, na typu sněhu, který se přibalí cestou a na reliéfu svahu. a) Suchý sníh: velikost složek třecí síly závisí na hustotě a mechanické síle uvolněné desky. 1) Tvrdé desky: sníh je pevně spojen. Lavina se skládá z relativně velkých bloků (10100cm), které kloužou, nadskakují,valí se a navzájem se sráží, ale kvůli jejich velké velikosti a hmotnosti se nikdy pomocí turbulencí nedostanou dost vysoko nad zem. Místo toho se to pohybuje jako kaskáda oddělených bloků sněhu a nemůžeme to považovat za pravý tok. Proto čistě kapalný dynamický model pohybu nepopisuje přesně tento typ lavin. Třecí síla se skládá hlavně ze sil R1 a R2. 2) Měkké desky: Po odtržení se deska rychle rozpadne a velká část masy se rozptýlí do vzduchu. Díky větší vzdálenosti mezi částečky sněhu v suspenzi se zvětšuje výška proudící hmoty a rychlost laviny. Ta má nyní podobu “kapaliny“. Takže síly R1 a R2 ztrácí na důležitosti a hlavními odporovými silami jsou R3, R4 a R5. Lavina se může skládat z větších částic, které se drží blíže u země, tzv. proudící lavina. Nebo někdy je velké množství proudícího sněhu (malé částečky) vrženo vysoko nad zem, kde se udrží díky turbulencím a vznikne prachová lavina. Ta může dosahovat rychlostí i přes 200km/h a může dojet i velmi daleko i po mírném svahu. Většina lavin z měkkého suchého sněhu je kombinací proudící a prachové laviny. b) Mokrý sníh: Ať už se lavina utrhne od jednoho bodu, nebo od praskliny v desce, obvykle se rychle rozdrobí na mazlavou hmotu, která se pohybuje relativně pomalu a přesně kopíruje rokle. Protože vzduch částečky téměř vůbec neunáší, lavina nedosahuje velké výšky. Třecí síly R1 a R2 jsou mnohem významnější než R3, R4 a R5. Navzdory malým rychlostem, mokré laviny mohou být nebezpečné na dopadu, kvůli velké hustotě sněhu. Typické rychlosti lavin (km/h) (hodnoty jsou odhady z výzkumů v Evropě a Severní Americe) Typ malé střední velké mokré proudící do 36 36 až 72 72 až 126 suché proudící do 36 36 až 126 126 až 216 prachové do 90 90 až 216 216 až 324
Dynamické rovnice lavin Teoretický základ dynamiky lavin, který je nejčastěji použit k analýze v Evropě a Severní Americe poprvé odvodil Voellmy (r. 1955) – tekutý mechanický model. Jak již bylo řečeno dříve, ne všechny laviny se pohybují jako kapalina a mohou být adekvátně modelovány pomocí mechaniky kapalin, ale takovéto přiblížení je stejně vhodnější než čistě subjektivní modely. Časem bude posbíráno více dat, budou zpřesněna měření a případně vypracovány nové experimenty, které potvrdí, vyvrátí, nebo pozmění současný model. Zatím je současný model jen přibližný, ale územní rozhodnutí musí být dělána na základě toho, co považujeme za současný stav vývoje analýzy lavin. To je ve vědě normální postup a pokud funguje, tak postupně poskytne lepší modely s jistějšími odhady rozsahu lavinového nebezpečí. Voellmyho rovnice pro maximální rychlost v2max, kterou lavina dosáhne na rovnoměrné dráze nakloněné pod úhlem α: v2max = ε*h* (sin α – μ*cos α), kde h je výška proudu laviny, ε je koeficient turbulentního tření a μ je koeficient smykového tření. Pro laviny uzavřené v korytu je výška h nahrazena hydraulickým poloměrem R. Tato rovnice je rozumně spolehlivá, když je aplikována na suché proudící laviny, rozvinuté na svahu. Voellmyho rovnice je hodně závislá na hodnotách konstant ε, μ a h, ale jsou jen přibližná vodítka pro určení správných hodnot. ε se pravděpodobně liší s různou nerovností povrchu. Experimentálně zjištěné hodnoty ε: terén ε hrubý, kameny pokrytý nebo zalesněný svah: 300 až 500 průměrný volný svah: 500 až 800 hladký svah (na kompaktním starém sněhu): 800 až 1500 průměrná rokle: 500 až 800 μ závisí na rychlosti laviny a pravděpodobně leží mezi 0,1 a 0,3. Při větších rychlostech by měly být použity nižší hodnoty μ. Výška proudu h závisí na množství a typu uvolněného sněhu. Správné určení této hodnoty proto vyžaduje znalost předpokládaných sněhových podmínek v oblasti. Pro měkký sníh nebude kvůli vířivému pohybu, který desku rychle rozptýlí do vzduchu výška proudu úměrná výšce utrhlé desky. Tato rovnice nebude platit pro laviny z tvrdých desek, kde jsou jednotlivé bloky příliš velké a také pro laviny z mokrého sněhu, které se pohybují příliš pomalu. Tato rovnice (Voellmy (1955)) určuje vzdálenost S, kterou lavina urazí ve své brzdící fázi v dopadové oblasti nakloněné pod úhlem ß: v2 S= 2 × g × m × cos b - tgb + v 2 2 × e × h
(
)
Tato rovnice je opět velmi závislá na koeficientech ε, μ a h a také na v, takže, když počítáme efekty laviny je vhodné použít co nejvíce jiných ukazatelů (jako například rozložení suti). Určení vzdálenosti dojezdu S velkých lavin je velmi důležité pro územní plánování poblíž lavinových cest. Proto je správný výběr rozumných hodnot koeficientů pro tyto rovnice důležitý praktický problém.
Dopad lavin Laviny mohou vytvářet velké síly na objekty, které jim stojí v cestě. Znalost těchto sil je tedy důležitým kritériem pro stavbu objektů v lavinových cestách. 1) Řídké, suché laviny: Dosahují velkých rychlostí (rychlost > 75km/h, hustota < 200 kg/m3). Mohou objekty obtékat a přetékat, pohlcují je tak jako skutečná kapalina. To vytváří stálý hydrodynamický tlak (síla na jednotku plochy): P = 1/2*ρ*v2, kde P je tlak, ρ je hustota laviny a v její rychlost. Celková síla na objekt se skládá z unášecích (posuvných) sil - rovnoběžné se směrem toku laviny a vztlakových sil – kolmé na tok. Síly působí na objekt směrem vzhůru. Tyto síly dostaneme vynásobením tlaku velikostí vystavené plochy a koeficientem posunu nebo vztlaku (hodnoty těchto koeficientů – ve standardních textech o mechanice kapalin).
2) Hustší, pomaleji se pohybující laviny (případně z vlhčího sněhu): obvykle nepohltí objekt. Místo toho je část objemu nanesena proti objektu a část je odražena. V tomto případě je tlak: P = ρ*v2, (takže dvakrát větší než u rychlých řídkých lavin).
Pohybový zákon Model, kde se lavina pohybuje pouze v jednom rozměru (směru)
Fm = m*g F = Fm*sin α = m*g* sin α Fn = Fm * cos α = m*g*cos α F* = F - FT (= m*a – je-li m konst.) … celková urychlující (brzdící) síla I) Konstantní hmotnost m Jen přibližné. Pro část pohybu laviny, kde se nenabaluje nový sníh, ani se sníh neodděluje od laviny. 1) Konstantní sklon svahu Sklon se nemění – pro aproximaci střední části svahu.
a) Pro případ, že zanedbáme odpor vzduchu: bude přibližně platit pro ploché objekty (s malou výškou) – deskové laviny. FT = k*Fn = k*m*g*cos α … kde k je koeficient smykového tření dv(t ) m × g × (sin a - k × cos a ) = m × dt v ¢(t ) = g × (sin a - k × cos a ) => v(t ) = g × (sin a - k × cos a ) × t … závislost momentální rychlosti na čase. ds(t ) v(t ) = = s ¢(t ) => s (t ) = v × t dt … závislost momentální polohy na čase Soustava 2 diferenciálních rovnic (lin.)1. řádu. Předpokládáme že t0 = 0 a v(t0) = 0. s¢¢(t ) = g × (sin a - k × cos a ) … jedna rovnice 2. řádu
b) S odporem vzduchu: Čelní plocha objektu není zanedbatelná oproti ostatním rozměrům. Laviny, kde podstatná část sněhu „víří“ ve vzduchu (např. prachové) FT = k*m*g + q*S*v(t) ... kde q je koeficient odporu vzduchu, S je vystavená (čelní) plocha objektu a v(t) jeho rychlost. Potom: q ds (t ) v ¢(t ) + × S × v(t ) = g × (sin a - k × cos a ) a v(t ) = = s ¢(t ) m dt -lineární diferenciální rovnice s nenulovou pravou stranou 2) Proměnný sklon svahu 2D model
Když úhel α nebude konstantní – průřez svahu bude křivka… f(x). Směrnice její tečny v bodě x je rovna f´(x) = tg α => α = arctg f´(x)... úhel jako fce místa. Pak ale ryhchlost v bude záviset nejen na čase, ale i na poloze. v ¢( x, t ) = g × (sin(arctg f´(x)) - k × cos(arctg f´(x))) … bez odporu vzduchu q v ¢( x, t ) + × S × v( x, t ) = g × (sin(arctg f´(x)) - k × cos(arctg f´(x))) … s odporem vzduchu m II) Proměnná hmotnost m Lepší – k lavině se může v různých časech a na různých místech nabalovat další sníh, případně nějaký sníh zůstane ležet ve stopě. m = m(t), je- li sklon konstantní m = m(x, t), je- li sklon proměnný p(x,t) = m(x,t)*v(x,t)… hybnost æ ¶p( x, t ) ¶p ( xt ) ö grad ( p ( x, t )) = ç , ÷ = F * ( x, t ) ¶t ø è ¶x … změna hybnosti v okamžiku t a místě x je rovna působící síle. Takže: t 2 x2
p ( x2 , t 2 ) - p ( x1 , t1 ) = ò ò F * ( x, t )dx × dt t1 x1
… celková působící síla (na lavinu) od času t1 a místa x1 do času t2 a místa x2 je rovna rozdílu příslušných hybností.
Př.: Vezmeme-li jako časový úsek celou dobu pohybu laviny a jako oblast celou její dráhu, pak p ( x1 , t1 ) = 0 a p ( x2 , t 2 ) = 0… hybnost těsně před utržením a těsně po dopadu je nulová kvůli nulové rychlosti. To odpovídá tomu že během cesty laviny na ni nejprve působí síly ve směru pohybu (velký sklon svahu) a ke konci síly proti směru pohybu (malý sklon svahu v údolí, takže převládnou třecí síly). Součet všech těchto působících sil musí být roven nule. Ještě můžeme dosadit za sílu (s odporem vzduchu a s proměnným sklonem svahu – při konstantním sklonu by všechny funkce proměnných x a t byly funkce jen t. Při zanedbání odporu vzduchu vypadne poslední člen integrálu): t 2 x2
p( x2 , t 2 ) - p ( x1 , t1 ) = ò ò ( g × m( x, t ) × (sin( arctgf ¢( x)) - k × cos(arctgf ¢( x)) ) - q × S × v( x, t ) )dx × dt t1 x1
Pozn.: Toto je jen přiblížení. Obecně samozřejmě platí, že i čelní plocha S a koeficienty pro tření k a q nejsou konstantní – lavina může měnit tvar, různá členitost podkladu, různé typy sněhu během sesuvu, různá hustota vzduchu v různých nadmořských výškách.
Bilance hmotnosti: Budeme uvažovat 2D model. Ohraničená bilanční oblast WB tedy bude plocha. 1) Za oblast WB budeme považovat plochu pohybující se laviny (bilance hmotnosti laviny). Její hraniční křivkou tedy bude její okraj. Celkový tok hmotnosti oblastí bude:
r (x , t) × v (x , t) ò r ( x, t ) × v( x, t ) × n( x)dS = ò r ( x, t ) × v ( x, t ) × n( x)dS - S1×4 442444 3 1
¶W B
1444424444 3
2
¶W B
14444244443
Celkový _ tok
2
2
výtok
vtok
Hmotnost dovnitř oblasti může vtékat celkem jakýmkoliv místem na její hranici rychlost vtoku je v1, ale vytékat může pouze její zadní stranou o obsahu S (přibližně obdélníkového tvaru). Výtok hmotnosti je tedy hmotnost sněhu, který zůstává ležet za lavinou ve stopě za jednotku času. To samozřejmě nebude úplně přesně odpovídat skutečnosti, ale myslím, že je to dobré přiblížení. Rychlost výtoku je v2, x2 je jeho poloha. Hustota sněhu je ρ(x,t), n(x) je normálový vektor plochy. Vše viz. obrázek.
Bilance – celkový přírůstek hmotnosti v bilanční oblasti (lavině) za určitý časový úsek: t2
t2
t2
ò (r ( x, t ) - r ( x, t ))dx = ò ò r ( x, t )v ( x, t )n( x)dSdt -ò Sr ( x , t )v ( x , t )dt - ò ò f ( x, t )dxdt 2
¶WB
1
1
t1 ¶WB
2
t1
2
2
t1 ¶WB
Kde f(x,t) je funkce určující rozptylování (a následné zbrždění) sněhu do vzduchu – funkce úbytku (spotřeby) hmotnosti. Určuje hmotnost sněhu na jednotku objemu za jednotku času, který se rozptýlí do okolí a již dále nepokračuje v pohybu s lavinou – proto je v rovnosti s -. Př.: Zvolíme-li jako časové rozmezí celou dobu pohybu laviny, dostaneme jakožto celkový přírůstek hmotnosti hmotnost sněhu přineseného do nánosové oblasti, kde lavina skončí.
2) Za oblast WB budeme považovat určitou oblast svahu (bilance hmotnosti na svahu). Celkový tok hmotnosti oblastí bude:
ò r ( x, t ) × v( x, t ) × n( x)dS = ò r ( x, t ) × v ( x, t ) × n( x)dS - ò r ( x, t ) × v ( x, t ) × n( x)dS 1
¶W B
1444424444 3
2
¶W B +
¶W B -
14444244443 14444244443
Celkový _ tok
vtok
výtok
Vtok do oblasti je hmotnost, která do ní „teče“ za jednotku času lavinou – to je možné pouze přes část hranice oblasti, která je orientovaná směrem nahoru po svahu. Rychlost vtoku laviny je v1. Výtok laviny naopak probíhá přes jen přes část hranice orientované směrem dolů ze svahu. Jeho rychlost je v2. Viz. obrázek.
Bilance – celkový přírůstek hmotnosti v bilanční oblasti za určitý časový úsek: t2
t2
t2
ò (r( x, t ) - r(x, t ))dx = ò ò r(x, t)v ( x, t)n( x)dSdt -ò ò r(x, t)v (x, t)n(x)dSdt + ò ò f (x, t)dxdt 2
¶WB
1
1
t1 ¶WB +
2
t1 ¶WB -
t1 ¶WB
Kde f(x,t) je funkce produkce hmotnosti v bilanční oblasti – např. hmotnost sněhu rozprášeného ve vzduchu, který na tuto oblast dopadl, nebo přibyl v důsledku sněžení za jednotku času. Za vhodných podmínek ji můžeme považovat za konstantně nulovou. Pak dostáváme jako celkový přírůstek hmotnosti v oblasti, (všechno co lavina přinesla) – (všechno, co odnesla). Př.: Zvolíme-li jako bilanční oblast celý svah na kterém se lavina pohybuje a je-li produkční fce stále nulová, potom musí být celkový přírůstek hmotnosti roven nule (hmotnost se pouze přesunula seshora dolů). Zvolíme-li nánosovou oblast, je výtok z ní roven nule a dostáváme celkovou hmotnost sněhu (kamení…), který lavina přinesla.
Pozn.: Pro oba případy bilančních oblastí se jedná pouze o přibližnou aproximaci, která by se musela vyzkoušet, jestli odpovídá skutečnosti. Bude důležité experimentálně zjistit hodnoty rychlostí v1 a v2 – budou záviset na členitosti povrchu, typu sněhu, atd., dále pak s určit produkční (úbytkové) fce f(x,t) – opět bude závislá na typu sněhu, ale jistě i na rychlosti, sněžení a dalších faktorech. Plocha S zadní části laviny bude záviset na její velikosti a tvaru. Poloha a velikost částí hranice ∂WB+ a ∂WB- bude jistě záviset na tvaru terénu. Hustota ρ bude závislá především na typu sněhu...
Závěr: Tento model by mohl být užitečný pro popis chování lavin a jejich následků. Ale nejprve je třeba experimentálně zjistit výše popsané hodnoty (funkce) pro různé typy terénů, různé typy sněhu, apod. K tomu by jistě bylo třeba mnoho měření v terénu, což v praxi v praxi nebude jednoduché. To je důvodem proč nemám nějaké numerické výsledky. Ještě zde uvedu 13 fatálních omylů o lavinovém nebezpečí (podle Wernera Muntera): 1) Laviny se uvolňují někde vysoko nahoře a nás zasypou, protože jsme se naneštěstí v místě sesuvu zdržovali. 2) Za velkého mrazu žádné laviny nepadají. 3) Při tenké sněhové pokrývce to nemůže být nebezpečné. 4) Les chrání před lavinami. Pod pásmem lesa nehrozí žádné nebezpečí. 5) Stopy po lyžařích a zvířatech jsou bezpečné. 6) Nerovnosti terénu stabilizují sněhovou vrstvu. 7) Na tomhle malém svahu se přece nemůže tolik stát. 8) Za dva tři dny si nový sníh sedne a svahy tak jsou stabilní. 9) Deskové laviny jsou tvrdé a svah zní při průstupu dutě. 10) Je-li slyšet při průstupu svahem „VUUMM“, znamená to, že sníh si sedá a svah je stabilní. 11) Z tohohle svahu ještě nikdy žádná lavina nespadla. :) 12) Laviny padají jen za špatného počasí. Dnes je pěkně, tak se nemůže nic stát. :) 13) Zabodnutím Lyžařské hole do sněhu se zjistí kvalita sněhu a stabilita svahu.
Zdroje: Internet: http://www.avalanche.org/~moonstone/zoning/avalanche%20dynamics.htm http://www.freeskiing.cz/clanky/laviny_prevence_2005_03_07.pdf http://www.freeskiing.cz/clanky.asp?clanek=118&stat=0 http://www.freeride.cz/ski/clanky/31-dangeros-lavinos-iii http://hory.lezec.cz/clanky.php?xtem=&key=2812 Časopis Vesmír – 1997/11 Sešit MM Přehled středoškolské fyziky :)
