Segédlet: Kihajlás
Készítette: Dr. Kossa Attila (
[email protected]) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2012. május 15. Jelen segédlet célja tömören összefoglalni a hosszú nyomott rudak kihajlásra történő ellenőrzését. A segédlet nem tér ki a részletes levezetésekre, ehelyett a végképletek gyakorlati alkalmazását mutatja be. A kihajláshoz tartozó részletes levezetések szakkönyvekben megtalálhatóak1 . A következőkben bemutatott összefüggések középpontosan terhelt nyomott rudakra vonatkoznak. Elsőként a rúd karcsúságát (karcsúsági tényező) definiáljuk. Ez egy olyan dimenzótlan skalár szám aminek segítségével el tudjuk dönteni, hogy a vizsgált nyomott rúd esetén melyik elméletet kell alkalmaznunk a törőerő számításához. A karcsúságot rendszerint λ-val jelöljük és az alábbiak szerint számítjuk: l0 λ= , (1) i2 ahol l0 [m] a kihajló hosszúság, i2 [m] pedig a keresztmetszet minimális inerciasugara.
1. ábra. A kihajló hosszúság változása a megfogási módoktól függően Az l0 értéke a rúd hosszától és a rúdvégek megfogásától függ, számítása: l0 = c · l ,
(2)
ahol l a vizsgált rúd tényleges hossza, c pedig a rúdvégek megtámasztásától függő konstans, melynek értékét különböző esetekre a 1. ábra foglalja össze. 1.a esetén alul befogás van, felül pedig szabad vég. 1.b-nél alul és felül is csuklós megfogás szerepel, vagyis a keresztmetszet a végeknél elfordulhat. 1.c annyiban különbözik a b) esettől, hogy alul befogás kényszer van, vagyis a végkeresztmetszet elfordulása zérus kell legyen. Legvégül, a d) esetén alul befogás, míg Például: Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981., Sz. D. Ponomarjov: Szilárdsági számítások a gépészetben, 7. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966., Pattantyús Á. G.: Gépész- és villamosmérnökök kézikönyve, 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961. 1
1
felül egy olyan jellegű megvezetést alkalmazunk, hogy a keresztmetszet ne tudjon elfordulni a rúdvégnél. A keresztmetszet minimális inerciasugarának számítása: i2 =
r
I2 , A
(3)
ahol I2 a keresztmetszet 2-es főtengelyére számított másodrendű nyomaték, vagyis a fő másodrendű nyomatékokból a kisebb. Azért ezzel kell számolni mert a rúd a kisebb ellenállás "irányába" fog kihajlani, ez pedig a legkisebb másodrendű nyomatékkal rendelkező tengely. (3)-ban A jelenti a keresztmetszet területét. Mindezek után a karcsúság (λ) és a rúd anyagának ismeretében eldönthető, hogy melyik elméletet kell alkalmaznunk a törőerő számításához. Ehhez a 2.ábrát kell megvizsgálnunk. Az ábrán bemutatott 3 különböző esetet az 1. táblázat foglalja össze.
2. ábra. A különböző elméletek érvényességi tartománya
1. táblázat. A különböző elméletek érvényességi tartománya
λ < λF λF < λ < λ0 λ0 < λ
Alkalmazandó elmélet Folyáshatár Tetmajer-egyenes Euler-hiperbola
A λF és λ0 karcsúságok a rúd anyagától függő értékek, néhány anyag esetére a 2. táblázat ad iránymutatást2 .
A táblázat adatai a Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. könyv 305-306. oldaláról származnak. 2
2
2. táblázat. Kihajlással kapcsolatos anyagjellemzők néhány anyag esetén Anyag Szénacél Ötvözött acél Dúralumínium Öntöttvas Fenyőfa Tölgyfa
Szakítószilárdság σsz [MPa] 370 480 520 650 420 − − −
Folyáshatár σF [MPa] 240 310 360 420 − − − −
Tetmajer-képlet [MPa] 308 − 1, 14λ 467 − 2, 62λ 589 − 3, 82λ 470 − 2, 3λ 380 − 2, 2λ 0, 053λ2 − 12λ + 776 30 − 0, 2λ 37, 5 − 0, 25λ
λF 60 60 60 22 00 5 0 0
λ0 105 100 100 86 50 80 100 100
λ < λF Ebben az esetben a rúd karcsúsága olyan kicsi (zömök rúd), hogy a kihajlás jelensége nem számottevő, emiatt a törőfeszültség értéke az anyag folyáshatárával egyenlő, vagyis σt = σF .
(4)
λF < λ < λ0 Létezik egy átmeneti tartomány a karcsú (λ0 < λ) és zömök (λ < λF ) rudak között, ahol a törőfeszültséget a Tetmajer-féle képlettel számítjuk, ami egy egyenesnek az egyenlete: σt = a − bλ. (5)
A fenti egyenletben szereplő a és b paraméterek az anyagtól függő konstansok. Néhány anyag esetére a 2. táblázat közli a Tetmajer-egyenes egyenletét3 . λ0 < λ Ebbe a tartományba tartoznak a karcsú rudak. Ebben az esetben a törőfeszültséget az Euler-féle képlettel számítjuk: π 2 E, σt = (6) λ
ahol E az anyag rugalmassági modulusa.
A törőfeszültség ismeretében a törőerő az Ft = σt ·A összefüggéssel számítható. Az Euler-féle számítás esetén a törőerő számítható közvetlenül a 2 π Ft = I2 E (7) l0 összefüggéssel is. Az ellenőrzés utolsó lépése, hogy a kiszámított törőerőt összehasonlítjuk a rúd tényleges terhelésével (F ). Ha F ≥ Ft , akkor a rúd kihajlás szempontjából nem felel meg. 3
Öntöttvas esetén a Tetmajer-képlet egy parabolát definiál, nem egyenest.
3
Az ellenőrzés algoritmusának rövid összefoglalása: 1. A keresztmetszet geometria adatainak meghatározása: I2 , A, i2 . 2. A rúdvégek megfogásának jellegének vizsgálata, ennek ismeretében a kihajló hosszúság számítása: l0 . 3. A karcsúság számítása: λ. 4. Karcsúság ismeretében a megfelelő számítási képlet kiválasztása: Folyáshatár vagy Tetmajer-képlet vagy Euler-képlet. 5. Törőerő számítása. 6. Törőerő összehasonlítása a tényleges nyomóterheléssel. Kihajlás szempontjából megfelel vagy nem felel meg?
Példa Két rúd a B csuklón keresztül csatlakozik. Az egyik rúd másik végén (C) befogást alkalmazunk, míg a másik rúdnál görgős támaszt (A). Az elrendezést és a kiindulási adatokat a 3. ábra mutatja. A BC rúd keresztmetszete a × b méretű téglalap.
3. ábra. A kihajló hosszúság változása a megfogási módoktól függően Feladatok: a) Határozzuk meg a BC-rúd kihajlással szembeni biztonsági tényezőjét! b) Hogyan változik a biztonsági tényező értéke ha h értékét 20 %-kal csökkentjük? c) Hogyan változik a biztonsági tényező értéke ha b értékét a háromszorosára vesszük? d) Hogyan változik a biztonsági tényező ha h értéket a duplájára növeljük és az A helyen csuklós támaszt alkalmazunk a görgős helyett? e) Legyen a BC-rúd keresztmetszete kör. Mekkora legyen a d átmérő, ha a kihajlással szemben 3x-os biztonságot szeretnénk elérni? 4
Megoldás A BC rudat terhelő nyomóerő értéke az A pontra felírt nyomatéki egyenletből kifejezhető: F =
pt = 100 kN. 2
(8)
a) A keresztmetszet geometria adatainak számítása: A = ab = 1 000 mm2 , ab3 100 000 I2 = = = 33 333, 333 mm4 , 12 3 r I2 b = √ = 5, 7735 mm. i2 = A 12
(9) (10) (11)
A BC rudat a C keresztmetszetben befogtuk, viszont a B végének oldalirányú mozgása nem gátolt. Emiatt a 1.a ábra szerinti esettel van dolgunk, vagyis a kihajló hosszúság értéke: l0 = 2h = 640 mm.
(12)
A karcsúsági tényező számítása:
l0 = 110, 851. (13) i2 Mivel λ > λ0 , emiatt az Euler-féle képletet kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően a törőerő számítása: 2 π Ft = I2 E = 160, 638 kN. (14) l0 λ=
Tehát a kihajlással szembeni biztonsági tényező: n=
Ft = 1, 60638. F
(15)
b) A megváltozott kihajló hosszúság számítása: l0 = 2 (0, 8h) = 512 mm.
(16)
A karcsúsági tényező értéke ez esetben: λ=
l0 = 88, 681. i2
(17)
Mivel λ0 < λ < λ0 , emiatt ennél az esetnél már nem az Euler-féle képletet, hanem a Tetmajerféle képletet kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően a törőfeszültség számítása: σt = 308 − 1, 14 λ = 206, 904 MPa.
(18)
Ft = σt A = 206, 904 kN.
(19)
Vagyis a törőerő: Tehát a kihajlással szembeni biztonsági tényező ebben az esetben: n=
Ft = 2, 06904. F
(20) 5
c) A b növelésével változnak a keresztmetszet geometriai adatai. Fontos észrevenni, hogy az előző esetekhez képesti merőleges tengely lesz most a 2-es tengely, vagyis ennek megfelelően kell I2 -t számolni: A = a (3b) = 3 000 mm2 , 3b (a)3 I2 = = 625 000 mm4 , 12 r I2 = 14, 439 mm. i2 = A
(21) (22) (23)
A karcsúsági tényező értéke:
l0 = 44, 3405. i2 Mivel λ < λF , emiatt a törőfeszültség értéke a folyáshatárral egyenlő: λ=
σt = σF = 240 MPa.
(24)
(25)
A törőerő számítása ennek megfelelően: Ft = σt A = 720 kN.
(26)
Tehát a kihajlással szembeni biztonsági tényező: n=
Ft = 7, 2. F
(27)
d) Ha az A helyen csuklós támaszt alkalmazunk, akkor a BC-rúd B vége nem tud vízszintes irányba elmozdulni, vagyis az a 1.c ábra szerinti eset áll elő. A kihajló hosszúság - figyelembe véve, hogy a h hosszt pedig a duplájára növeljük - ez esetben: l0 = 0, 7 (2h) = 448 mm.
(28)
A keresztmetszet geometria jellemzői nem változtak. A karcsúsági tényező értéke: λ=
l0 448 = = 77, 596. i2 5, 7735
(29)
Mivel λ0 < λ < λ0 , emiatt ennél az esetnél a Tetmajer-féle képletet kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően a törőfeszültség számítása: σt = 308 − 1, 14 λ = 219, 541 MPa.
(30)
Ft = σt A = 219, 541 kN.
(31)
Vagyis a törőerő: Tehát a kihajlással szembeni biztonság: n=
Ft = 2, 19541. F
(32)
6
e) Ha 3x-os biztonságot szeretnénk elérni akkor a törőerő értéke Ft = nF = 3 · 100 = 300 kN
(33)
kell legyen. Méretezés során viszont előre nem tudjuk megmondani, hogy a meghatározni kívánt keresztmetszet esetén melyik elméletet kell alkalmaznunk a törőerő számítására. Emiatt iterációra van szükség. Vagyis feltételezzük például, hogy Euler-féle képletet kell használni, és ennek alapján számítjuk a d-t. Ezután, a keresztmetszet geometriájának ismeretében, már számítható a karcsúság (amit az elején még nem ismertünk). Amennyiben λ > λF értéket kapunk akkor jogos volt a feltételezés. Ha nem, akkor hasonló gondolatmenet alapján vizsgáljuk a Tetmajer-képlet érvényességét és a folyáshatárra való ellenőrzést. A fenti gondolatmenetet követve feltételezzük elsőként, hogy az Euler-képletet kell használnunk. A (7) képletből a szükséges I2 kifejezhető: 2 2 Ft l0 640 mm 300 000 N I2 = = = 62 251, 735 mm4 . (34) E π 200 000 MPa π Ebből számítható a keresett átmérő: d=
r 4
64I2 = 33, 558 mm. π
Az átmérő ismeretében már számítható a rúd karcsúsága: r I2 d2 π 2 = 884, 468 mm , i2 = = 8, 3895 mm, A= 4 A
(35)
λ=
2h l0 = = 76, 285. i2 i2
(36)
Mivel a λ > λF feltétel nem teljesül, emiatt nem az Euler-képletet kell alkalmazni! Vizsgáljuk meg, hogy a Tetmajer-féle képlet alkalmazása esetén milyen eredményre jutunk. A megadott biztonság esetén a törőfeszültség értéke: σt = n
F 100 000 300 000 1 200 000 381 971, 863 =3 = = = . 2 A A A dπ d2
(37)
Az anyagra megadott Tetmajer-képletből is felírhatjuk a törőfeszültség értékét: σt = 308 − 1, 14λ,
(38)
ahol a karcsúsági tényező:
4l0 l0 l0 2560 =r = = . (39) i2 d d I2 A A fenti egyenletbe d-t mm-ben kell behelyettesíteni. Visszaírva λ-t (38)-ba kapjuk, hogy λ=
σt = 308 −
2918, 4 . d
(40)
Egyenlővé téve a (37) és (40) egyenleteket, d-re vonatkozólag egy másodfokú egyenletet kapunk: 381 971, 863 2918, 4 = 308 − , d2 d
(41)
308d2 − 2918, 4d − 381 971, 863 = 0,
(42) 7
melynek megoldásai: d1 = 40, 2709,
d1 = −30, 7956.
(43)
Tehát a keresett átmérő értéke d = 40, 2709 mm. A karcsúság értéke számítható (39) segítségével: λ = 63, 57. Mivel a karcsúság a λF < λ < λ0 tartományba esik emiatt a Tetmajer-képletet kell alkalmazni, vagyis a d-re kapott érték a keresett megoldás. Megjegyzés: A fenti, e) pontbeli méretezési feladat paraméteresen is elvégezhető. Vezessük le általános esetre a méretezést. Legyen a rúd terhelése F , az elérni kívánt biztonsági tényező n, a Tetmajer-képlet alakja σt = a − bλ, a rúd hossza l, a megfogás módját jellemző konstans c. Határozzuk meg a szükséges d átmérőt mind az Euler-féle képlet, mind a Tetmajer-féle képlet alkalmazásával! Vizsgáljuk elsőként az Euler-féle képletet. A szükséges törőerő értéke a biztonsági tényező figyelembe vételével: Ft = nF. (44) A törőerő felírása az Euler-féle képlet segítségével: 2 π Ft = I2 E. l0
(45)
Egyenlővé téve a fenti két egyenletet, és beírva I2 képletét kapjuk, hogy 2 π I2 E, nF = l0 r 2 π 2 d4 π 4 4nF (cl) E ⇒ nF = d=2 . cl 64 π3E
(46) (47)
A Tetmajer-képlet alkalmazása esetén a törőerő értéke:
(48)
Ft = (a − bλ) A, ahol a karcsúság számítása:
l0 cl 4cl =r = . (49) i2 d I2 A Egyenlővé téve (44) és (48) egyenleteket, d-re vonatkozólag egy másodfokú egyenletet kapunk: λ=
nF = (a − bλ) A, 4bcl 4nF = a− , 2 dπ d 4nF = 0, ad2 − 4bcld − π
(50) (51) (52)
melynek a pozitív megoldása 2bcl + d= a
s
2bcl a
2
+
4nF . aπ
(53)
A két megoldás a hozzájuk kapcsolódó elméletek érvényességi tartományán belül alkalmazható. Vagyis a (47) szerinti megoldás akkor adja a tényleges megoldást ha a vele számolt karcsúságra teljesül, hogy λ > λF . A (53) megoldás pedig akkor szolgáltatja a tényleges megoldást, ha a vele számított karcsúságra teljesül, hogy λF < λ < λ0 . 8
