Hoofdstuk 0 Samenvatting-Summary in Dutch Hoofdstuk 1: Inleiding Om de ontwikkelingskosten en -tijd voor nieuwe machines, waar udumstromingen een rol spelen, te kunnen drukken, is de interesse voor technieken, die de dierentiaalvergelijkingen die de stroming beschrijven (Navier-Stokes vergelijkingen) numeriek kunnen oplossen, sinds het ontstaan van computers gestadig gegroeid. Hoewel de numerieke stromingsmechanica reeds heel wat problemen aankan, zijn er nog altijd een aantal domeinen waar nog veel onderzoek nodig is. E en daarvan is het domein van de turbulentiemodellering. De meeste industriele stromingen zijn geheel of gedeeltelijk turbulent. Principieel wordt turbulentie beschreven door de Navier-Stokes vergelijkingen. Omwille van de computationele vereisten ten gevolge van hun complexiteit en kleine lengteschalen, kunnen praktische stromingen nog voor een aantal decennia niet m.b.v. DNS (Directe numerieke simulatie) berekend worden, en is deze methode alleen haalbaar voor academische testgevallen. Er is daarom behoefte aan adequate turbulentiemodellen, die ook na het verder doorbreken van DNS van betekenis zullen blijven voor een snelle inschatting van de stroming. De eerste ideeen betreende turbulentiemodellering zijn ondertussen een honderdtal jaar oud, en zijn sindsdien uiteraard sterk geevolueerd. De algebraische en e envergelijking modellen zijn vrijwel in onbruik geraakt, ten voordele van twee-vergelijkingen modellen die de huidige industriele standaard zijn. Veruit het meest populaire van deze modellen is het k- model, gevolgd door het k-! model. Meer complexe modellen stellen dierentiaalvergelijkingen op voor alle Reynoldsspanningen (Reynoldsspanningen modellen, RSM), en zijn daardoor in staat een aantal eecten te introduceren die de huidige, lineaire, twee-vergelijkingen modellen niet kunnen reproduceren. Gebruik van complexere methodes (LES en DNS) is momenteel nog niet haalbaar voor de aanpak van problemen van industriele complexiteit. De momenteel wijd verspreide twee-vergelijkingen modellen zijn gebaseerd op de 1
2
0. Samenvatting-Summary in Dutch
Boussinesq-hypothese, die de Reynoldsspanningen op een lineaire manier verbindt met de glijdingstensor. Deze aanpak faalt in niet-triviale stromingen, zoals over gekromde oppervlakken, bij rotatie of bij het optreden van afscheiding. De meeste van de tekortkomingen van dit type modellering kunnen verholpen worden door het gebruik van RSM, wat echter veel complexer en tijdrovender is. Een compromis tussen nauwkeurigheid en eenvoud kan bekomen worden door in een twee-vergelijkingen model de lineaire Boussinesq-hypothese te vervangen door een niet-lineaire constitutieve wet die de Reynoldsspanningen a.h.v. schijnbare viscositeiten verbindt met deformatie- en rotatie-componenten. Hoewel dit idee reeds een 20-tal jaar geleden ontstaan is, heeft het slechts recent aandacht gekregen. Auteurs zoals Speziale et al., Shih et al., Hirsch en Khodak 3, 4, 5, 6, 7, 8] hebben hoog-Reynolds niet-lineaire modellen ontwikkeld. Laag-Reynolds niet-lineaire turbulentiemodellering blijkt echter nog in de kinderschoenen te staan. Werken van Khodak en Hirsch 1], Abid et al. 9], Craft et al. 10, 11], Lien et al. 12] en Apsley en Leschziner 13] op dat vlak, zijn er slechts gedurende de vorige drietal jaren gekomen. In dit werk wordt een niet-lineair laag-Reynolds turbulentiemodel ontwikkeld, gebruik makend van DNS-data.
Hoofdstuk 2: De beginselen van turbulentiemodellering. Een aantal basisconcepten van turbulentiemodellering worden hier gentroduceerd. Alles gaat uit van de Navier-Stokes vergelijkingen, die de dierentiaalvergelijkingen zijn die de stroming beschrijven:
@ + r:(u) = 0 @t @u + r:(u u) + rp = f + r: @t @E + r:(Hu) = r:(:u) ; r:q + Q @t Belangrijk is ook de denitie van deformatie- en rotatietensor, als het symmetrische en asymmetrische deel van ru:
@ui + @uj ) = 1 ( @ui ; @uj ) Sij = 12 ( @x ij @x 2 @x @x j
i
j
i
Uitgaande van de Navier-Stokes vergelijkingen ontstaan de Reynoldsgemiddelde vergelijkingen (E.: Reynolds averaged Navier-Stokes, RANS) door het uitmiddellen van
3
grootheden over een tijdsperiode die enerzijds voldoende groot is t.o.v. de turbulente tijdsschalen en anderzijds voldoende klein is ten opzichte van de globale tijdsschalen in de stroming. De bekomen vergelijkingen (0.1) zien er formeel hetzelfde uit als de oorspronkelijke Navier-Stokes vergelijkingen het verschil bestaat enkel uit nieuwe termen in de momentumvergelijking, die functie zijn van de Reynoldsspanningen ;ui uj , samen met extra termen in de energievergelijking (turbulente warmteuxvector ;ui h). 00
00
00
@ + @u~i = 0 @t @xi @u~i + @u~iu~j = ; @ui uj ; @p + @ 2(Sij ; 31 ij Sii) @t @xj @xj @xi @xj " # ~ ~ @E + @u~j H = @ ;q ; u h + u ; u 1 u u j ij i j2 i i @t @xj @xj j h i + @x@ u~i(ij ; ui uj ) 00
00
00
00
j
00
00
00
00
00
00
00
(0.1)
Om met deze vergelijkingen turbulente stromingen te kunnen beschrijven is een model nodig voor de Reynoldsspanningen. Daarvoor kan men bvb. de dierentiaalvergelijkingen die de Reynoldsspanningen beschrijven opstellen, en de verschillende termen in deze dierentiaalvergelijkingen modelleren. Deze aanpak is de Reynoldsspanningen modellering (RSM), waarbij naast de transportvergelijkingen voor de Reynoldsspanningen ook een transportvergelijking voor de turbulente dissipatie gebruikt wordt. Een aanzienlijke vereenvoudiging ten opzichte van deze werkwijze wordt bekomen door de 6 dierentiaalvergelijkingen voor de Reynoldsspanningen te vervangen door slechts e en dierentiaalvergelijking voor de turbulente kinetische energie k = 21 ug i ui , naast de dierentiaalvergelijking voor de lengteschaal bepalende grootheid (gewoonlijk de turbulente dissipatie ). De benodigde Reynoldsspanningen worden vervolgens algebrasch verbonden met deformatie- en rotatiecomponenten, door het verwaarlozen van de convectieve termen en de transporttermen in de dierentiaalvergelijkingen voor de Reynoldsspanningen, en het introduceren van het pressure-strain model uit een bestaand Reynoldsspanningen model. De bekomen algebrasche vergelijking is echter een impliciete vergelijking, wat inhoudt dat op iedere tijdstap een sterk gekoppelde niet-lineaire set vergelijkingen moet opgelost worden. Door het ontbreken van dempings- en diusietermen in een dergelijke set vergelijkingen, ontstaan numerieke problemen onder de vorm van stabiliteitsproblemen en trage convergentie. De numerieke inspanning kan daardoor groter worden dan voor een RSM. Vandaar het ontstaan van interesse voor de expliciete vorm van de bekomen algebrasche relaties, die dan samen met de k- vergelijkingen oplossing toelaten. Dergelijke expliciete algebraische Reynoldsspanningen modellen (EARSM) worden afgeleid van de impliciete vergelijkingen door te onderstellen dat de componenten van de anisotropietensor, 00
00
4
0. Samenvatting-Summary in Dutch
gedenieerd als:
uu bij = 2ikj ; 13 ij 0
0
(0.2)
functie zijn van de deformatie- en rotatiecomponenten. De relatie b = f (S ) wordt vervolgens ingevuld in de impliciete vergelijkingen, en geeft aanleiding tot een expliciete , algebrasche vorm van een bestaand RSM. De aanpak gevolgd in dit werk, nl. niet-lineaire turbulente-viscositeit modellen, is zeer nauw verwant aan de EARSM techniek: in plaats van de relatie b = f (S ) in te vullen in een impliciet algebrasch model, om zo het equivalent van een bestaand RSM te bekomen, wordt deze relatie rechtstreeks geponeerd, en worden de erin optredende coe cienten rechtstreeks gekozen. De algemene vorm van een dergelijke constitutieve wet kan geschreven worden als (Shih and Lumley 6, 14], appendix A)
uiuj 2 k ; 3 ij ;2c(S~ij ; 13 ij S~ll) +c1(S~ik S~kj ; 31 ij S~lk S~kl) + c2(~ ik S~kj ; S~ik ~ kj ) +c3(~ ik ~ kj ; 13 ij ~ lk ~ kl ) +c4(~ ik S~klS~lj ; S~ik S~kl~ lj ) +c5(~ ik ~ klS~lj + S~ik ~ kl ~ lj ; ~ lk ~ kl S~ij ; 2 ~ kl S~lm~ mk ij ) 3 +c6(S~lk S~klS~ij ) + c7(~ lk ~ kl S~ij ) 0
2bij = =
0
(0.3)
waar de coe cienten ci functie zijn van de invarianten. S~ij en ~ ij zijn de dimensieloze deformatie- en rotatiecomponenten: S~ij = Sij en ~ ij = ij waarbij een turbulente tijdsschaal is. Lineaire twee-vergelijkingen modellen zijn gebaseerd op de Boussinesq-hypothese:
ijR = ;ui uj 00
00
1 = 2t Sij ; ij Sll ; 2 k ij 3 3
die eigenlijk kan gezien worden als een eerste-orde benadering van de algemene vorm (0.3). Deze hypothese wordt dan gebruikt in combinatie met twee dierentiaalvergelijkingen: naast een vergelijking voor de turbulente kinetische energie k wordt ook een vergelijking gebruikt voor het aeiden van de lengteschaal bepalende parameter, die in de meest populaire modellen de turbulente dissipatie is. In de plaats van
5
wordt soms ook de relatieve dissipatie van turbulente kinetische energie ! gebruikt. Het is van belang het asymptotisch gedrag in wandomgeving te kennen. In de viskeuze sublaag kan men stellen dat het snelheidsproel lineair varieert met de wandafstand, terwijl in de logarithmische laag, iets verder van de wand, de viskeuze spanningen verwaarloosbaar zijn t.o.v. de Reynoldsspanningen, wat leidt tot een logaritmisch snelheidsproel. Om nu de stroming te berekenen met een k- model, zijn twee strategieen mogelijk: hoog- en laag-Reynolds modellering. Bij de hoog-Reynolds aanpak wordt de stroming niet berekend tot op de wand, maar tot aan een punt dat zich in de logaritmische laag bevindt, en waar randvoorwaarden opgelegd worden die volgen uit de aannames van een logaritmisch snelheidsproel en equilibrium. Daartegenover staat de laag-Reynolds aanpak, die wel de berekeningen doorvoert tot op de wand, door het aanpassen van de k- vergelijkingen.
Hoofdstuk 3: Numerieke aspecten. Deel1: Eciente oplossingsmethodes Om in de knopen van een rekenrooster een benaderde oplossing voor de dierentiaalvergelijkingen te bekomen, worden deze laatste gereduceerd tot een stelsel algebrasche vergelijkingen m.b.v. een discretisatiemethode. Het is niet de bedoeling om in dit werk uit te wijden over discretisatiemethodes, wel is het van belang aandacht te schenken aan de gebruikte oplossingsmethode. Turbulente stromingen zijn immers complexe stromingen, die jne rekenroosters vereisen, met aanzienlijke stretching en aspect-verhoudingen. Als geen aandacht besteed wordt aan de oplossingsmethode, veroorzaken deze eecten typisch een drastische daling van convergentiesnelheid t.o.v. het berekenen van eenvoudiger stromingsproblemen. Alle in dit werk bestudeerde stromingen zijn twee-dimensionaal en hebben een steadystate oplossing, bijgevolg wordt een impliciete methode gebruikt. De in dit hoofdstuk gebruikte discretisatiemethode werd ontwikkeld door Dick en Steelant 15, 16]. Een eerste oorzaak van de dalende performantie is het toenemende aantal roosterpunten naarmate men complexere stromingen wenst te simuleren. Multigridmethodes bieden hiervoor een oplossing. Een tweede reden is het feit dat het oplossen van de stromingsvergelijkingen aanleiding geeft tot slecht geconditioneerde stelsels. Dit is het geval bij lage Machgetallen en bij gebruik van roosters waarvan de cellen grote aspect-verhoudingen vertonen. Door gebruik te maken van analytische preconditioners kan de stijfheid te wijten aan lage Machgetallen geelimineerd worden maar niet deze te wijten aan de aspectverhoudingen. Bovenvermelde problemen kunnen wel verholpen worden door over te gaan naar (semi)-impliciete methodes in combinatie met multigrid. Een e ciente multigridmethode vereist echter een goede smoother voor de demping van de hoogfrekwente componenten in de fout. Daar oplossingsmethodes gebaseerd op relaxatie meestal
6
0. Samenvatting-Summary in Dutch
goede smoothingeigenschappen vertonen, wordt bij deze analyse de studie beperkt tot deze klasse. De hier bestudeerde relaxatiemethodes zijn van het punt-, lijn- en bloktype, dit zowel voor eerste als tweede-orde discretisatie van de Navier-Stokes vergelijkingen. De invloed van verschillende mogelijke implementaties van de tweede-orde correctie in de multigrid werd bekeken. Tot hiertoe werden enkel de problemen opgesomd die bij laminaire stromingen optreden. Bij turbulente stromingen zorgen de brontermen voor een bijkomende stijfheid van het systeem, naast de reeds hoger vermelde oorzaken. Dit moet bijgevolg afzonderlijk behandeld worden in de analyse.
Geteste methodes. Puntmethodes:
Hierbij wordt sequentieel door het veld gelopen: de vergelijkingen worden opgelost in e en punt en daarna in het volgende punt. In tegenstelling tot Jacobimethodes wordt bij Gauss-Seidel methodes onmiddellijk gebruik gemaakt van de in de vorige punten nieuw bekomen resultaten. Hierbij bestaan verschillende mogelijke ordeningen van punten evenals verschillende mogelijke opeenvolgingen van dergelijk geordende berekeningen. De meest e ciente van deze methodes, hier genoteerd als PGS4 , is deze waarbij het veld 4 opeenvolgende keren doorlopen wordt, telkens met een ordening van de punten gestart uit een andere hoek van het veld.
Lijnmethodes:
Bij deze methode wordt een volledige lijn ineens op het nieuwe iteratieniveau geplaatst. Hierbij kan met verticale of met horizontale lijnen doorheen het rooster gestapt worden. De symmetrische werkwijze houdt in dat een voorwaarts doorlopen van het veld gevolgd wordt door een achterwaarts doorlopen. De alternerende werkwijze houdt in dat een voorwaarts stappen met verticale lijnen gevolgd wordt door een opwaarts stappen met horizontale lijnen. De meest robuuste lijnmethode blijkt deze te zijn waarin voorgaande methodes gecombineerd worden, namelijk deze bestaande uit een opeenvolging van voorwaartse verticale lijnen, opwaartse horizontale lijnen, achterwaartse verticale lijnen en tenslotte neerwaartse horizontale lijnen. Deze combinatie wordt verder genoteerd als ASLGS.
ILU-methodes:
Het gelineariseerde probleem kan beknopt geschreven worden als Ax=b, waarin A een ijle matrix is met 5 (co-) diagonalen. Bij ILU(Incomplete Lower Upper )methodes, wordt de matrix A opgesplitst als A=M-N, waarbij M een ijle matrix is die gemakkelijk kan gefactoriseerd worden in een benedendriehoeksmatrix (L) en een bovendriehoeksmatrix (U): A = M ; N = LU ; N. In het geval van een vijf- of een zeven-punts ILU, genoteerd als ILU(0) en ILU(1), heeft de restmatrix twee nevendiagonalen, zodat N kan gesplitst worden in de matrices N1 en N2,
7
met respectievelijk een sub- en een superdiagonaal. De elementen van N1 en N2, genoteerd als n1 en n2, zijn matrices (4x4 in het laminaire geval, 6x6 in het turbulente geval). Als de knopen van onder naar boven en van links naar rechts genummerd worden, dan ziet de stencil voor N er in het geval van ILU(0) en ILU(1) als volgt uit: 2
3
n1 6 7 6 0 0 7 n 1 0 6 7 6 7 7 : 0 0 0 4 0 0 0 5 en 6 6 7 6 0 n2 0 0 75 4 n2 2
3
Nummering van links naar rechts en van boven naar onder levert volgende stencils: 2 3 2 3 0 n1 0 0 n1 6 7 6 7 0 0 0 4 0 0 0 5 en 4 5 : n2 0 n2 0 0 Men spreekt van een alternerende ILU-methode (AILU) als beide knoopordeningen afgewisseld worden. Hoewel ILU-methodes meer elementen van de stencil verbinden, leidt dit niet noodzakelijk tot een betere smoothing. Zelfs de stabiliteit van een dergelijke methode is niet verzekerd. Om dit te verhelpen, worden de diagonaalelementen van M gedurende het factorisatieproces vermeerderd met behulp van een lumping matrix Nd. Men kan twee manieren bedenken om de in de literatuur bestaande modicatie, waar men zich beperkt tot e en enkele vergelijking, uit te breiden naar een set gekoppelde vergelijkingen. Daar waar in het geval van een enkele vergelijking nd = (jn1j + jn2j), kan men bij gekoppelde vergelijkingen hetzij een scalaire lumping toepassen, neq X
ndkk = (jn1j + jn2j) l=1 ndkl = 0
k = 1 ::: neq als k 6= l k l = 1 ::: neq
hetzij een matriciele lumping: neq X
ndkl = (n1kl + n2kl ) k = 1 ::: neq l=1
waarbij neq het aantal op te lossen vergelijkingen per knoop is. In beide gevallen moet de parameter gekozen worden met het oog op het bekomen van een goede smoothing. Deze aangepaste ILU leidt dan automatisch naar een restmatrix met 3 (co-)diagonalen N=N1+Nd+N2. In het vervolg wordt geopteerd voor een scalaire lumping, en een zeven-punts ILU. De resulterende methode wordt genoteerd als AMILU(1).
8
0. Samenvatting-Summary in Dutch
Blokmethodes.
De voorgaande methodes kunnen niet altijd op het volledige systeem toegepast worden, omwille van geheugenbeperkingen. Men is dan genoodzaakt het systeem op te delen in een aantal blokken, waarop men dan ILU, of een directe Gausseliminatie kan toepassen.
Laminaire resultaten. Eerste-orde resultaten.
Drie testgevallen werden bestudeerd (zie tabel 0.1). Testgeval Re Mach 1 Vlakke plaat 106 0.300 2 Vlakke plaat 106 0.010 3 BFS 300 0.015 Tabel 0.1: Gebruikte testgevallen.
Bij alle berekeningen werd multigrid toegepast met vier roosters in een W-cyclus en vier iteraties per niveau. Voor de vlakke plaat werd het rooster zowel in x- als in y- richting "gestretched". Voor het geval van de "backward facing step" (BFS, expansieverhouding 1:2) werd het Reynoldsgetal berekend m.b.v. de hoogte van het afwaartse kanaal. Aangezien het Machgetal bij het eerste testgeval redelijk hoog is, wordt een goede smoothing bekomen met ASLGS en AMILU(1) met = :1. De PGS4 is zoals men kan verwachten bij dergelijke hoge aspectverhoudingen (AR455), de minst performante. Bij vergelijking met de resultaten voor het tweede testgeval, kan duidelijk het verlies aan e cientie van de klassiek gebruikte PGS4, en de performantie van ASLGS vastgesteld worden. In dit testgeval is de AMILU(1) met = :1, even e cient als de ASLGS. Het is echter gebleken dat dit niet altijd het geval is. In sommige testgevallen moet verder verhoogd worden om stabiliteit te kunnen bekomen, met een tragere convergentie als gevolg. Tabel 0.2 toont de benodigde CPU-tijd om tot machineprecisie te komen voor de voorgaande testgevallen. Alle tijden worden uitgedrukt relatief t.o.v. de PGS4 methode voor het eerste testgeval. Men kan vaststellen vast dat de ASLGSmethode duidelijk de andere methodes overtreft. Onafhankelijk van de complexiteit van de stroming, gedraagt ASLGS zich even goed (voor eenzelfde roosterafmeting). Dit staat in tegenstelling tot het gedrag van PGS4 en AMILU(1) die daarvoor niet robuust genoeg blijken te zijn. Hoewel op basis van het aantal multigridcycli AMILU(1) even performant lijkt als ASLGS, verandert dit beeld volledig indien CPU-kost als referentie gebruikt wordt, vermits AMILU(1) meer tijd verbruikt per cyclus.
9
PGS4 ASLGS AMILU(1) 1 1 0.37 1.02 2 10.5 0.42 1.1 3 4.3 0.41 1.87 Tabel 0.2: Relatieve CPU-kost voor het bekomen van convergentie bij eerste-orde discretisatie.
PGS4 ASLGS ASLGS AMILU(1) DC DC MD MD 1 2.8 3.4 1.81 3.35 3 4.76 2 24.8 5.04 3 6.3 6.98 5.54 6.13 Tabel 0.3: Relatieve CPU-kost voor het bekomen van convergentie bij tweede-orde discretisatie.
Hogere-orde resultaten.
Het hier beschouwde hogere-orde schema is een TVD schema met een MinModlimiter. Hoewel de resultaten voor ASLGS bij de eerste-orde discretisatie merkelijk beter waren dan die voor PGS4, is het verschil hier niet meer zo uitgesproken bij gebruik van een defect-correctie aanpak (DC), waarbij de tweede-orde correctie e enmaal wordt toegepast per multigridcyclus. Gebruikt men echter een mixed discretisatie (MD) , waarbij tijdens iedere iteratie uitgevoerd op het jnste rooster de tweede-orde correctie wordt vernieuwd, dan wordt de toename van convergentiesnelheid wel signicant. Deze mixed discretisatie kan slechts gebruikt worden in het geval dat een goede smoother gebruikt wordt. Probeert men bijvoorbeeld deze werkwijze toe te passen op een PGS4 dan is de methode instabiel. Ook vernieuwen van de tweede-orde correctie op alle roosters, veroorzaakt instabiliteit. Verder kan nog opgemerkt worden dat AMILU(1) in dit geval, voor wat het aantal multigridcycli betreft, iets sneller convergeert dan de ASLGS methode. Voor het testgeval met lager Machgetal gelden dezelfde conclusies, alleen zijn de verschillen tussen de methodes veel meer uitgesproken. Tabel 0.3 geeft de relatieve CPU-kost weer voor de verschillende hogere-orde methodes, met dezelfde referentiewaarde als bij de eerste-orde discretisatie. Opnieuw is de vaststelling dat de AMILU(1) methode duurder is dan de ASLGS methode. Verder blijkt ook hier het nut van het gebruik van een mixed discretisatie.
10
0. Samenvatting-Summary in Dutch
Turbulente resultaten.
Het laag Reynolds turbulentiemodel van Yang-Shih 2] werd gebruikt. Een turbulente vlakke plaat en een turbulente BFS werden bestudeerd. Het meenemen van de turbulentievergelijkingen in de multigridcyclus is niet evident vermits correcties komende van de grove roosters aanleiding kunnen geven tot negatieve k en waarden. Twee mogelijkheden worden hier beschouwd. In de eerste versie wordt multigrid toegepast op de Navier-Stokes vergelijkingen, maar worden de turbulentievergelijkingen enkel op het jnste rooster opgelost. Bij de tweede methode worden de turbulentievergelijkingen ook in de multigridcyclus gebracht, maar worden de correcties komende van de grove roosters gedempt. Het toepassen van deze tweede methode blijkt noodzakelijk te zijn bij gebruik van een PGS4 methode om voor het geval van een turbulente vlakke plaat volledige convergentie te bekomen. Gaat men echter over tot betere smoothers zoals ASLGS of AMILU(1), dan blijkt de eerste methode even performant te zijn. Voor het complexere geval van de BFS blijkt de tweede methode zelfs de convergentie te verhinderen. AMILU(1) blijkt hier niet veel beter te werken dan ASLGS als men naar het aantal multigridcycli kijkt, wat betekent dat de ASLGS methode het zal halen als het op rekentijd aankomt.
Conclusie.
Voor het geval van lage Machgetallen werd een aanzienlijke verbetering bekomen t.o.v. PGS4 door het gebruik van ASLGS en AMILU(1). ASLGS blijkt hierbij het meest geschikt te zijn onafhankelijk van de complexiteit van stroming en geometrie. Toepassen van een mixed discretisatie verdubbelt de convergentiesnelheid t.o.v. een defect-correctie implementatie. Bij gebruik van goede smoothers is het inbrengen van de turbulentievergelijkingen in de multigridcyclus overbodig, of soms zelfs ongewenst. In de verdere berekeningen wordt bijgevolg geopteerd te werken met een ASLGS, gecombineerd met een mixed discretisatie, waarbij de turbulentievergelijkingen niet worden meegenomen in de multigridcyclus.
Hoofdstuk 4: Gebruik van laag-Reynolds turbulentiemodellering: motivering Het standaard k- model, dat een hoog-Reynolds model is, werd ontwikkeld voor zones met voldoend hoog Reynoldsgetal. Het gevolg is dat dit model niet geldig is in wandomgeving, waar viskeuze eecten belangrijk worden. Voor de berekening van wandgebonden stromingen zijn er twee aanpakken mogelijk. De eerste bestaat erin het k- systeem aan te passen aan laag-Reynolds situaties met behulp van empirische functies en wordt een laag-Reynolds model genoemd. De tweede aanpak komt erop neer de hoog-Reynolds vergelijkingen alleen vanaf de logarithmische laag te gebruiken, en de afstand tussen het eerste roosterpunt en de wand te overbruggen met empirische wandfuncties.
11
Recirculerende stromingen, e en van de belangrijke stromingen in dit werk, worden gewoonlijk met een hoog-Reynolds turbulentiemodel berekend. Men beweert dan systematisch gebruik te maken van de "standaard" aanpak, maar het is niet evident om erachter te komen wat men dan wel als "standaard" bedoelt. Bovendien blijken verschillende auteurs voor identieke testgevallen, bij toepassen van standaard hoog-Reynolds modellering tot verschillende resultaten te komen. In dit hoofdstuk wordt besproken waarom in dit werk geopteerd werd voor laag-Reynolds modellering. Berekeningen werden uitgevoerd die de grote invloed van de arbitraire keuze van het eerste roosterpunt bij hoog-Reynolds modellen illustreren. De standaard wandfuncties komen tot stand door in het eerste roosterpunt de equilibrium-hypothese (turbulente productie = turbulente dissipatie) te combineren met de aanname van een logaritmisch snelheidsproel, en de onderstelling dat de schuifspanning in het eerste punt gelijk is aan de wandschuifspanning. Combinatie van deze hypotheses met de denitie van de wrijvingssnelheid u en de modellen voor turbulente productie Pk3 en viscositeit t, levert de noodzakelijke randvoorwaarden: P = w , 2 u kP = c , P = uy . In deze randvoorwaarden wordt u bepaald uit de logaritmische wet: uu = 1 ln B2yu . Om deze wet te mogen toepassen, moet het eerste roosterpunt in de logarithmische zone gelegen zijn. Om hieraan te kunnen voldoen neemt men gewoonlijk 30 < y+ < 100 in het eerste roosterpunt. De randvoorwaarden impliceren nu echter dat k+ = 3:3 in het eerste roosterpunt. Inspectie van DNS-resultaten voor een kanaalstroming illustreert al dat deze aanname goed is als y+ = 43 in het eerste roosterpunt, maar ver van de werkelijkheid ligt als het eerste roosterpunt gekozen wordt op y+ = 80. Dit illustreert reeds de afhankelijkheid van de voorspellingen van de arbitraire keuze van het eerste roosterpunt, maar zelfs voor de keuze y+ = 43 die met voorkennis genomen is, is de vaststelling dat de berekeningsresultaten tamelijk afwijken van de DNS-data. Om aan deze afwijking te verhelpen is het aangewezen een meer gesostikeerde aanpak te hanteren. Voor deze stroming is de aanname dat de schuifspanning in het eerste roosterpunt gelijk is aan de wandschuifspanning immers te grof. Een betere aanpak bestaat erin de waarde van de schuifspanning in het eerste roosterpunt op te leggen aan de hand van de waarden op de wand en op de bovenwand van het eerste controlevolume: P1 = w + yy 21 (P2 ; w ). De k-vergelijking wordt in deze methode opgelost in het eerste roosterpunt, waarbij de waarde van de turbulente productie opgelegd wordt 3 3 4 2 als: Pk = 1 uy en de dissipatie in het eerste roosterpunt als: = c yk . Hierin worden wandschuifspanning1 en wrijvingssnelheid bepaald uitgaande van de logarithmische wet 1 1 4 4 2 met: u2 = = lnc(Bk2y+ ) u waarbij yP+ = c y 1 k . Berekeningen voor kanaalstroming met deze methode tonen aan dat de resultaten beter zijn dan met de oorspronkelijke hoog-Reynolds aanpak. Ze illustreren echter ook de afhankelijkheid van de resultaten van de keuze van het eerste roosterpunt. Bij een recirculerende stroming (BFS) bekijkt is voorgaande aanpak niet verantwoordbaar. Immers, het eerste roosterpunt moet in de logarithmische laag gelegen zijn, waarvoor de grenzen gegeven worden door: 30 < y+ < 100. Daarin is y+ = yu , p
P P
P
p
w
P
P
12
0. Samenvatting-Summary in Dutch
wat betekent dat een probleem optreedt daar waar u = 0, gezien dit resulteert in y+ = 0, waardoor het eerste roosterpunt onmogelijk tussen de opgegeven grenzen kan gelegen zijn. Er is trouwens geen logarithmisch snelheidsverloop binnen een recirculatiezone. Als het bovenstaande algoritme echter blindelings toegepast wordt, zonder kennis van de achterliggende hypotheses, merkt men geen implementatieprobleem: in 1p + 4 de denitie van yP werd u immers vervangen door c k, dus de logaritmische wet wordt niet singulier. Het is echter ongehoord een dergelijk algoritme blindelings toe te passen. Een betere aanpak bestaat erin een twee-lagen model te hanteren, waarbij de logarithmische wet opgelegd wordt als yP+ > 11:3, terwijl de wetten van de viskeuze sublaag gebruikt worden als yP+ < 11:3. Het alternatief bestaat erin gebruik te maken van een laag-Reynolds aanpak, die integratie tot op de wand toelaat door het introduceren van dempingsfuncties die verondersteld worden automatisch de viskeuze eecten in rekening te brengen. Het enige nadeel van deze aanpak is de nood aan jne roosters in wandomgeving, die een toename van rekentijd en geheugengebruik met zich meebrengt. Deze aanpak verwijdert echter de onzekerheid i.v.m. de keuze van het eerste roosterpunt. Gebruik makend van het testgeval van een stroming over een transitionele vlakke plaat, kan worden gellustreerd dat een hoog-Reynolds aanpak enkel te verantwoorden is bij voldoend hoge Reynolds-getallen, terwijl een laag-Reynolds aanpak het algemeen gezien behoorlijk doet. Het tweede testgeval is een BFS-stroming, bij Reh = 5100, waarvoor DNS-data beschikbaar zijn. Met dit testgeval kan de afhankelijkheid van de positie van het eerste roosterpunt bij een hoog-Reynolds aanpak duidelijk gellustreerd worden. Bovendien wordt de afhankelijkheid van deze methode van de detailimplementatie van de hoekpunten aangetoond.
Conclusies
Bij het toepassen van een hoog-Reynolds aanpak is het niet altijd duidelijk wat bedoeld wordt met "standaard" aanpak. Vooral in recirculerende stromingen is de implementatie niet triviaal, en zou een twee-lagen aanpak moeten gebruikt worden. Hoog-Reynolds modellen zijn alleen bruikbaar voor voldoend hoge Reynoldsgetallen. Bij verplaatsing van het eerste roosterpunt kunnen aanzienlijke verschillen ontstaan in de voorspellingen, die het meest uitgesproken zijn in gevallen waar het Reynoldsgetal niet extreem hoog is.
Hoofdstuk 5: Oorsprong van de constanten in het k - model De hoog-Reynolds vorm van de k- vergelijkingen is:
!
Dk = @ ( + t ) @k + P ; k Dt @xm
k @xm
13
!
D = @ ( + t ) @ + c1Pk ; c2 k Dt @xm
@xm De constanten in het standaard k- model zijn: c1 = 1:44, c2 = 1:92, k = 1:0,
= 1:3. De waarde voor de constante c2 kan afgeleid worden uit de afbraakwet voor homogene turbulentie: k t n met n = c 21 1 . Het is recent gebleken dat de waarde c2 = 1:83 beter geschikt is dan de gebruikelijke c2 = 1:92. De constante c1 volgt uit het beschouwen van de evenwichtstoestand van homogene afschuifstromingen, waar2 c 1 2 bij c1 = P = + 1. Tenslotte wordt de constante bekomen uit = (c 2 c 1 ) c die ontstaat door de wetten geldend in de logarithmische zone in de vergelijking in te vullen. In laag-Reynolds omstandigheden wordt de constante c2 vermenigvuldigd met een functie f2, gebaseerd op experimenten voor de afbraakwet bij verschillende Reynoldsgetallen. De constante c wordt eveneens gedempt, m.b.v een functie f , die gewoonlijk opgesteld wordt aan de hand van het wandgedrag van een eenvoudige afschuifstroming. Bovendien wordt in de -vergelijking vaak een bijkomende term ES = 2u 2u @ @ const t( @x @x )( @x @x ) toegevoegd om het gedrag in de buerzone aan te passen. ;
;
;
k
i
k
;
p
i
j
k
j
Hoofdstuk 6: Numerieke aspecten. Deel 2: Nauwkeurigheid. Hier wordt het oplossingsalgoritme dat in de rest van het werk zal gebruikt worden gekozen. Vermits alle beschouwde stromingen incompressibel zijn, is het aangewezen op een incompressibele aanpak over te stappen. Een tweede motivering voor de verandering in numerieke aanpak, is echter een nauwkeurigheidsaspect. Bij een laminaire, incompressibele BFS moet het stromingsbeeld onafhankelijk zijn van het Machgetal als het Reynoldsgetal behouden blijft. Gebruikt men echter de aanpak uit hoofdstuk 3, dan merkt men dat de recirculatiezone krimpt bij dalend Machgetal, totdat ze zelfs helemaal verdwijnt. Om deze redenen wordt overgegaan op een andere numerieke aanpak, nl. de methode ontwikkeld door Vierendeels et al. 17, 18, 19]. Deze methode kan op eenvoudige wijze uitgebreid worden voor turbulente stromingen. Gezien in hoofdstuk 3 werd geconstateerd dat het onnodig is multigrid toe te passen op het twee-vergelijkingen model die de turbulentie beschrijft, en aangezien multigrid wel degelijk de oplossing van de RANS vergelijkingen aanzienlijk kan versnellen, wordt hier geopteerd voor een ontkoppeling van het RANS-gedeelte en het tweevergelijkingen model. Een iteratie bestaat dan uit 1 multigridcyclus voor het RANSgedeelte, gevolgd door een iteratie op het jne rooster voor de twee turbulente vergelijkingen. Bij turbulente stromingen hebben de roosters soms extreme aspect-verhoudingen, zo-
14
0. Samenvatting-Summary in Dutch
dat het gebruik van een alternerende lijnmethode aangewezen is i.p.v. de lijnmethode die in 17, 18, 19] gebruikt wordt.
Hoofdstuk 7: Ontwikkeling van een niet-lineair, laagReynolds turbulentiemodel Tegenwoordig wordt algemeen aanvaard dat lineaire twee-vergelijkingen turbulentiemodellen slechts gebrekkige voorspellingen kunnen leveren voor complexe stromingen, waar afscheiding, kromming, rotatie of stagnatiezones een belangrijke rol spelen. Een aantal van die tekortkomingen kunnen verholpen worden door het gebruik van RSM, maar dit ten koste van veel meer berekeningstijd en complexiteit. Een compromis tussen nauwkeurigheid en eenvoud kan bekomen worden door het opstellen van een constitutieve relatie die de Reynoldsspanningen verbindt met nietlineaire expansies van deformatie en rotatie, door middel van schijnbare viscositeiten. Voorbeelden zijn de modellen van Shih et al. 6], Khodak en Hirsch 1] en Craft et al. 11]. De eerste twee modellen zijn kwadratische hoog-Reynolds modellen, terwijl de laatste twee laag-Reynolds modellen respectievelijk van tweede- en derde-orde zijn. Het cubisch model van Craft et al. is reeds zeer complex vermits het een extra transportvergelijking introduceert voor de A2-invariant. Het model van Khodak en Hirsch heeft als bijzonder kenmerk, dat kromming en rotatie expliciet in rekening gebracht worden door het invoeren van een Richardson-getal. In dit hoofdstuk wordt een niet-lineair, anisotroop model ontwikkeld volgens de ideeen van Speziale en Shih, maar uitgebreid voor laag-Reynolds eecten. Een bijkomende cubische term wordt ingevoerd om eecten van rotatie en kromming in rekening te brengen. Het ontwikkelde model wordt vervolgens getest voor de niet-triviale BFS stromingssituatie. Volgens Pope 20] en Lumley 21] kan een algemene, coordinaat-invariante betrekking tussen spanningen en snelheidsgradienten, tot derde-orde termen, geschreven worden als 2bij = =
uiuj 2 k ; 3 ij ;2c(S~ij ; 13 ij S~ll) +c1(S~ik S~kj ; 31 ij S~lk S~kl) + c2(~ ik S~kj ; S~ik ~ kj ) +c3(~ ik ~ kj ; 13 ij ~ lk ~ kl ) +c4(~ ik S~klS~lj ; S~ik S~kl~ lj ) +c5(~ ik ~ klS~lj + S~ik ~ kl ~ lj ; ~ lk ~ kl S~ij ; 32 ~ kl S~lm~ mk ij ) 0
0
15
+c6(S~lk S~klS~ij ) + c7(~ lk ~ kl S~ij )
(0.4)
Een laatste concept dat nog moet besproken worden vooraleer het model zelf kan opgesteld worden is realiseerbaarheid. Realiseerbaarheid, gedenieerd als het niet negatief zijn van de turbulente normaalspanningen, samen met de Schwarz ongelijkheid is een fysisch en mathematisch basisprincipe waaraan elk turbulentiemodel zou moeten voldoen. Bij de standaard k- formulering is hieraan evenwel niet voldaan. Vandaar dat een eerste stap in dit onderzoek een overgang is van de standaard, lineaire, eerste-orde formulering naar een realiseerbare eerste-orde formulering. Beschouw een situatie waarbij S22 = ;S11 en alle andere deformatie- en rotatiecomponenten nul zijn. De normale spanning u1u1 kan dan geschreven worden als: u21qku1 = 31 ; c~S~11. Fysisch geldt dat u1u1 daalt als S~11 toeneemt. Denieert men nu S~ = 2S~ij S~ij dan luiden de realiseerbaarheidsvoorwaarden hier: 0
0
0
0
0
0
u1u1 > 0 voor 0 < S~ < 1 2k u1u1 ! 0 voor S~ ! 1 2k ( u21ku1 )S~ ! 0 voor S~ ! 1 0
0
0
0
0
0
Aan deze voorwaarden kan voldaan worden door te stellen:
c~ =
1 A + 1:5S~
waarbij nu nog de constante A te bepalen valt. Daartoe wordt een kanaalstroming beschouwd, waarbij de evenwichtswaarde voor S~ 3:3. Daar het standaard k- model op deze evenwichtssituatie is afgestemd wordt de constante A zo gekozen dat c~ = 0:09, d.w.z. A = 6. Om het model uit te breiden voor gebruik tot op de wand, zijn laagReynolds aanpassingen vereist. De turbulente tijdsschaal wordt daarom genomen als: r k = +
in overeenstemming met het gebruikte laag-Reynolds twee-vergelijkingen model. De dempingsfuncties, ontwikkeld voor laag-Reynolds aanpassing van het standaard k- model kunnen niet gebruikt worden, vermits c vervangen werd door een niet-lineaire relatie. Daarom is het noodzakelijk een nieuwe functie f op te stellen om de turbulente viscositeit in wandomgeving gepast te dempen. Gebruik makend van de kenmerken van een volontwikkelde kanaalstroming, kan aangetoond worden dat de
16
0. Samenvatting-Summary in Dutch
tweede-orde termen geen invloed hebben op u1u2, wat toelaat een eerste-orde model te ontwikkelen zonder voorafgaande kennis van de vorm van de tweede-orde termen, vermits u1u2 de enige Reynoldsspanning is die deze stroming benvloedt. Door een gepaste keuze van de coe cienten (c6 = c7), kan er ook voor gezorgd worden dat de cubische termen geen invloed hebben op de stromingsvoorspellingen voor een eenvoudige kanaalstroming. De functie f kan dan verkregen worden door de werkelijke waarde voor u1u2 (zoals volgt uit DNS-data van Kim et al. 22]) te vergelijken met de voorspelling die bekomen wordt uit het hoog-Reynolds model: ftheor = 2kSu~121 uc2 . Om nu een betrekking op te stellen waarmee f kan bepaald worden, moet eerst een parameter gekozen worden, die dienst zal doen als wandindicator. Verschillende mogelijkheden zijn: Rt = k2 Rk = Sk Ry = ky . In dit werk wordt geopteerd voor de parameter Ry , die niet alleen de meest geschikte wandindicator is, maar bovendien ook numeriek gezien de meest stabiele is. De volgende functie werd dan bekomen door curve-tting: 0
0
0
0
0
0
;
0
0
p
f = 1 ; e(
:04Ry0:5 1:10 4 Ry 2 8:10
;
;
;
;
R
11 y 5 )
;
Bij het opstellen van deze functie werd er zorg voor gedragen dat het correcte asymptotische wandgedrag ontstaat. Het op deze manier ontstane eerste-orde model, wordt gebruikt in combinatie met het laag-Reynolds twee-vergelijkingen model van Yang en Shih 2]. Hierin wordt de turbulente viscositeit nu echter berekend met: t = cfk , waar c en f bepaald worden zoals in het nieuwe tweede-orde model, en wordt de turbulente productie berekend uit: Pk = ;uiuj Sij . Net zoals het lineaire laag-Reynolds model van Yang en Shih (LYS), levert het ontwikkelde niet-lineaire model van eerste orde (NL1), afgezien van de anisotropieen, uitstekende resultaten voor een kanaalstroming. Deze eerste-orde aanpak faalt echter van zodra een complexere stroming, zoals een BFS stroming beschouwd wordt. Abid et al. 23] stellen dat het falen van het model wat de voorspelling van de recirculatiezone van een BFS betreft, zou gelegen zijn aan de onbekwaamheid de anisotropieen correct te voorspellen. Door het invoeren van tweede-orde termen, wordt de mogelijkheid geboden anisotropieen voor te stellen. Resultaten, bekomen uit Rapid Distortion Theory door Reynolds 24] en Mansour 25], tonen aan dat er geen eect is van zuivere rotatie op initieel isotrope turbulentie. Als gevolg hiervan moet de coe cient c3 in vergelijking (0.4) nul zijn. De resterende tweede-orde termen kunnen gehergroepeerd worden tot: 0
0
c~1(2S~ik S~kj + ~ ik S~kj ; S~ik ~ kj ; 32 ij S~lk S~kl) c~2(2S~ik S~kj ; ~ ik S~kj + S~ik ~ kj ; 32 ij S~lk S~kl) :
17
Deze termen zorgen voor de herverdeling van de kinetische energie, en het zo creeren van anisotropie. Bij het opstellen van de tweede-orde termen, werd opnieuw rekening gehouden met het realiseerbaarheidsconcept, waaruit volgt dat deze termen naar 0 moeten gaan als S~ ! 1 en/of ~ ! 1. Een mogelijkheid om hieraan te voldoen, bestaat erin de coe cienten c~1 en c~2 op te bouwen als de inverse van een veelterm van derde orde in X~ = 21 (S~ + ~ ). Opnieuw werd gebruik gemaakt van de beschikbare DNS-data voor kanaalstroming om de benodigde coe cienten te bepalen via curvetting:
c~1 =
1 ;1 c ~ = : 2 17:41 + :5194X~ 2 + :006337X~ 3 27:38 + 4:09X~ 2 + :000619X~ 3
Een beoordelingsmethode voor opgestelde constitutieve relaties die in dit werk frequent gebruikt wordt, bestaat uit a priori testen. Hiermee wordt bedoeld dat de gegevens uit de DNS-databank ingevuld worden in de vooropgestelde constitutieve wet, en dat de Reynoldsspanningen (of anisotropieen) die op deze manier bekomen worden, vergeleken worden met hun DNS waarden. Wordt het voorgestelde tweede-orde model voor het kanaaltestgeval op die manier getest, dan kan men ondanks de behoorlijke kwaliteit van de anisotropieen 3 regio's onderscheiden waar de tweede-orde termen falen. Een eerste daarvan bevindt zich in het midden van het kanaal: daar waar de deformatie- en rotatiecomponenten nul zijn, zijn ook de anisotropieen nul, in tegenstelling tot de DNS waarden. Dit probleem is onvermijdelijk als een constitutieve wet wordt gebruikt die functie is van deformatie en rotatie. De tweede probleemzone bevindt zich in wandomgeving: de anisotropiewaarden blijken veel te klein te zijn in wandomgeving, wat kan verklaard worden door de kleine waarde van de gebruikte turbulente tijdsschaal daar. Een laatste probleemzone bevindt zich in de omgeving y+ 50, en kan verklaard worden door het feit dat de anisotropieen bij het naderen van de wand beginnen te veranderen vanaf y+ 75, terwijl de dimensieloze deformatie slechts begint te veranderen vanaf y+ 50. Het voorgestelde tweede-orde model (NL2S) is te schrijven als:
uiuj 2 1 = ij ; 2c (S~ij ; ij S~ll) k 3 3 + c1(2S~ik S~kj + ~ ik S~kj ; S~ik ~ kj ; 23 ij S~lk S~kl) + c2(2S~ik S~kj ; ~ ik S~kj + S~ik ~ kj ; 23 ij S~lk S~kl) 0
0
(0.5)
Het belang van niet-lineaire en anisotrope turbulentiemodellen, evenals het onderscheid tussen beiden kan gellustreerd worden met behulp van een anisotropiediagram. Op guur 0.1 worden de termen van de anisotropietensor bij voorgesteld, zoals ze volgen uit DNS-data voor kanaalstroming en homogene afschuiving en uit een experiment voor homogene afschuiving. Men kan reeds onmiddellijk de gebreken van de
18
0. Samenvatting-Summary in Dutch
0.6 0.5
g
0.4
d 0.3
bij
c
b
a
0.2 0.1 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.1 -0.2
f e
-0.3
h -0.4 Sτ
Figuur 0.1: Anisotropiediagram. a: DNS-data Kim et al. 22] voor kanaalstroming bij Re = 180 b: DNS-data Kim et al. 22] voor kanaalstroming bij Re = 395 c: Experimenten Tavoularis en Corrsin 26] voor homogene afschuiving d: DNS-data Lee et al. 27] voor homogene afschuiving e: b12 voor een lineair eerste-orde model f: b12 voor een niet-lineair eerste-orde model g: b11 voor het tweede-orde model h: b22 voor het tweede-orde model 3: b11 4: b22 +: b12
klassiek gebruikte modellen vaststellen. Enerzijds ligt het probleem bij het lineair zijn van de modellen: het gedrag van de experimentele b12 is allesbehalve lineair in S~ in tegenstelling tot de b12 die bekomen wordt met een lineair model (curve e). Overgang naar een niet-lineair eerste-orde model blijkt dus noodzakelijk (curve f), maar is onvoldoende om anisotropie te bekomen: zolang het model van eerste orde blijft zullen b11 en b22 nul blijven. Gaat men nu over naar een model waarin tweede-orde termen opgenomen worden, dan kan men anisotropie bekomen (curves g en h). Het moet benadrukt worden dat de coe cienten van de tweede-orde termen bekomen werden door enkel naar het anisotropiegedrag van een kanaalstroming te kijken, maar dat het bekomen model blijkbaar ook in andere afschuifstromingen behoorlijk presteert. Verder wordt nog een cubische term ingevoerd. De nood hiervoor is enerzijds te verklaren door het feit dat bij een BFS stroming, de ingevoerde ansiotropieen weliswaar een daling van de turbulente productieterm tot gevolg hebben, maar dat dit gunstige eect tegengewerkt wordt door het eect dat de tweede-orde termen in deze stroming hebben op u1u2. Het toevoegen van derde-orde termen die de voorspellingen voor simpele afschuifstromingen niet benvloeden, zou dit kunnen verhelpen. Afgezien van de vorige, meer praktische beweegreden, is een aanpassing onontbeerlijk indien men het eect van rotatie op bijvoorbeeld een kanaalstroming wil kunnen weergeven. De ontwikkeling van de additionele term is dan ook gebaseerd op dit laatste standpunt. Voor een kanaal roterend om de z-as, met een constante hoeksnelheid S = (0 0 S3 ) 0
0
19
is er slechts e en relevante momentumvergelijking: eff 2 0 = ; 1 dpdx ; dudyv + ddyu2 0
0
Hierbij is het centrifugaaleect opgenomen in de eectieve druk peff , terwijl het Corrioliseect geen component heeft in deze richting. Kenmerkend voor een dergelijk roterend kanaal, naast het Reynoldsgetal is ook het rotatiegetal Ro = 2U3 h . Net zoals bij een niet-roterende kanaalstroming is de voorspelde stroming ook hier onafhankelijk van de tweede-orde termen. Wegens het ontbreken van rotatie-eecten in de eersteorde term, zal bij restrictie tot een tweede-orde model de stromingsvoorspelling voor een roterend kanaal identiek zijn aan deze voor een niet-roterend. Bijgevolg is de invoering van cubische termen noodzakelijk om het asymmetrische snelheidsproel dat optreedt bij rotatie te kunnen weergeven. In de algemene wet (0.4), zijn de c4- en c5- termen nul voor een incompressibele 2D stroming. De keuze c6 = c7 verzekert dat de cubische termen geen invloed hebben op een eenvoudige afschuifstroming, maar slechts tussenkomen als kromming of rotatie een rol spelen. De termen met coe cienten c6 en c7 kunnen eigenlijk ook gezien worden als een eerste-orde term, vermits ze opgebouwd zijn als een product van een invariant en een eerste-orde term. Omwille van hun onderscheiden rol worden ze hier echter als een aparte term beschouwd. Voor 2D, incompressibele stromingen, kan de enige overblijvende derde-orde term herschreven worden als: S b
;2c3(S~2 ; ~ 2)(S~ij ; 31 ij S~ll) Om de coe cient c3 te bepalen werden DNS data van Andersson en Kristoersen 28, 29] voor een roterend kanaal gebruikt. Voor deze stroming worden de componenten van de rotatietensor uitgebreid met de componenten van de systeemrotatie: "
@ui ; @uj ) ; S ~ ij = 12 ( @x k ijk j @xi
#
Een poging om het algemene gedrag bij toename van het rotatiegetal weer te geven gaf aanleiding tot de volgende coe cient:
c3 =
1:2 : 80 + 5S~2 + 5~ 2 + 0:15jS~4 ; ~ 4j
Met dit derde-orde model kan het algemene gedrag voor een roterend kanaal weergegeven worden: toename van de turbulent kinetische energie aan de drukzijde, daling
20
0. Samenvatting-Summary in Dutch
aan de zuigzijde. Het eect wordt niet voor alle rotatiegetallen kwantitatief gereproduceerd, maar kwalitatief is de algemene trend bij toenemend rotatiegetal wel aanwezig. De turbulente stroming over een BFS is e en van de meest gebruikte testgevallen voor het uittesten van turbulentiemodellen voor afgescheiden stromingen. Het combineert eecten van tegenwerkende drukgradient, kromming van de stroomlijnen, ... waardoor het een strenge test vormt voor turbulentiemodellen. Als een model deze stroming correct kan simuleren is het waarschijnlijk dat het ook in andere complexe stromingen goed zal presteren. Met behulp van DNS hebben Le en Moin 30] een BFS berekend bij Reh = 5100. Dit vormt bijgevolg een uitstekend testgeval, en wordt dan ook in dit werk uitvoerig gebruikt, zowel voor a priori testen als voor validatie van berekeningsresultaten. De mogelijkheid om met tweede-orde termen anisotropieen te reproduceren in deze stroming komt naar voor bij het uitvoeren van a priori testen voor deze BFS. Enkel in de zone waar uy nul is, kunnen de tweede-orde termen niet tussenkomen. Ondanks de goede a priori resultaten , zijn de uitgevoerde berekeningen teleurstellend. Het invoeren van tweede-orde termen zorgt wel voor een langere secundaire recirculatiezone (kleine zone in de hoek), maar de primaire recirculatiezone wordt korter, zodat de totale recirculatielengte afneemt. Wat wel behoorlijk verbetert, is de sterkte van de recirculatiezone: het tweede-orde model NL2S voorspelt een minder sterke recirculatie (kleinere grootte van de minimum wrijvingscoe cient) dan de eersteorde modellen. Invoeren van cubische termen lijkt echter geen signicante invloed te hebben op de wrijvingscoe ent. Snelheidsproelen op verschillende stromingsgewijze locaties verbeteren wel bij gebruik van een complexer model, maar in wandomgeving blijkt de verbetering slechts marginaal te zijn. Wat wel markant verbetert, is de turbulente kinetische energie voorspelling: het invoeren van de hogere-orde termen geeft niet alleen een verschuiving van de piek naar de juiste locatie, maar ook een daling van de overschatting van de grootte. De tweede-orde termen hebben inderdaad de voorspellingen voor de normale Reynoldsspanningen verbeterd, maar de resultaten zijn minder goed dan volgt uit de a priori testen omwille van de nog steeds gebrekkige voorspellingen voor de snelheid en de turbulente kinetische energie.
Conclusies.
In dit hoofdstuk werd een nieuw niet-lineair, laag-Reynolds model ontwikkeld en getest. Gebruik makend van a priori testen werd aangetoond dat de anisotropievoorspellingen behoorlijk zouden zijn indien snelheden en turbulente grootheden correct voorspeld worden. Uit berekeningen blijkt echter dat, hoewel het model behoorlijk werkt voor een al dan niet roterend kanaal, de BFS-stroming nog altijd niet goed kan voorspeld worden. Hoewel het ontwikkelde model een aantal waardevolle aspecten in rekening brengt (realiseerbaarheid, anisotropie, rotatie-invloed), blijkt het niet geavanceerd genoeg om te dienen als werktuig voor voorspelling van recirculerende stromingen. Er werd opgemerkt dat de voorspellingen het slechtst zijn in wandomgeving. Vermits de tweede-orde termen niet het juiste gedrag hadden tot op de wand, is het noodzakelijk de implicaties van deze tekortkoming te onderzoeken.
21
Hoofdstuk 8: Verbetering van de tweede-orde termen. Als reactie op de conclusies van het vorige hoofdstuk wordt een aangepaste aanpak gezocht, waardoor de tweede-orde termen de anisotropieen tot op de wand kunnen weergeven. Daartoe is het zinvol eerst op te sommen wat precies de nadelen zijn van de voorgaande aanpak.
Bijna nulwaarde van wandanisotropie: door de kleine waarde van de gebruikte turbulente tijdsschaal op de wand is de dimensieloze deformatiewaarde, en bijgevolg ook de ansisotropie op de wand, bijzonder klein (of zelfs nul als de tijdsschaal t = k gebruikt wordt, zoals in sommige bestaande niet-lineaire modellen). Uit het asymptotisch gedrag van de Reynoldsspanningen is echter e en van de theoretische wandwaarden voor de anisotropie af te leiden, nl. bw22 = ; 31 .
Gedrag van S~ in wandomgeving: jammergenoeg is S~ in wandomgeving niet
monotoon stijgend, er ontstaat een piek. Bijgevolg is het onmogelijk een eenduidig verband te vinden tussen de te tten coe cienten en de parameter S~. Bij voorgaand model werd bijgevolg een tting uitgevoerd vanaf de piek naar de evenwichtszone toe. Zelfs voor deze zone was het niet mogelijk een perfecte overeenkomst te verkrijgen, vermits de anisotropieen reeds veranderen vanaf y+ 75 terwijl S~ slechts vanaf y+ 50 begint te veranderen als de wand genaderd wordt.
Gedrag als uy = 0: Daar waar de snelheidsafgeleiden verdwijnen, verdwijnt ook de anisotropie. Dit gebeurt bvb. in het midden van een kanaal, en is in tegenspraak met DNS-data. Een tweede probleemzone komt voor in de in de recirculatiezone, op die lokatie waar uy een nuldoorgang heeft: het model vertoont daar opnieuw een eerste-orde gedrag.
Voor de ontwikkeling van nieuwe tweede-orde termen is dus enerzijds gewenst dat er een e enduidig verband bestaat tussen de benodigde coe cienten en de dimensieloze deformatieparameter, en anderzijds dat het wandgedrag van de anisotropieen correct weergegeven wordt: bw11 6= 0, bw22 6= 0, bw12 = 0. De problemen als uy nul wordt zijn echter inherent aan het gebruik van een constitutieve wet die gebaseerd is op deformatie en rotatie. Een eerste mogelijkheid om wandanisotropieen te bekomen die van nul verschillen, bestaat erin gebruik te maken van "patronen" van deformatie en rotatie. Stelt men in de gebruikte vorm voor de coe cienten, a = b = 0: S 1 2 2 S2 S = ij 2 3 a + b(S ) + c(S ) + d(S ) c + d(S ) 2
ij
22
0. Samenvatting-Summary in Dutch
dan kan hiermee een anisotropiewaarde verschillend van nul bekomen worden, ook S2 al is = 0. De combinatie S2 kan gezien worden als een patroon dat toont welke componenten van de tensor S 2 van nul verschillen en dat het gewicht van deze componenten begroot. Aangezien dit eigenlijk nog altijd van dezelfde basisvorm is als de oorspronkelijke formulering, blijft het verband tussen de coe cienten en S~ nieteenduidig, en wordt het wandgedrag dus niet verbeterd. Een tweede mogelijkheid om wandanisotropieen te bekomen die verschillen van nul, bestaat erin alternatieve tijdsschalen te gebruiken in de tweede-orde termen, met het oog op het bekomen van een eenduidig verband tussen de dimensieloze deformatieparameter en de y+-waarde (voorwaarde waaraan S~ niet voldoet). 2 Een tijdsschaal van de vorm comb = + , bestaande uit een combinatie van de Kolq mogorov tijdsschaal k = en de turbulente tijdsschaal t = k voldoet niet, vermits ze sterk afhankelijk is van de Kolmogorov tijdsschaal in de equilibrium zone. Ook een tijdsschaal gebaseerd op menglengte (M = l k ), blijkt niet aan de vereisten te voldoen. Een aanpak die meer potentieel biedt, werd voorgesteld door Khodak et al. 1], en bestaat erin de turbulente tijdsschaal in de tweede-orde termen zodanig aan te passen, dat ze op de wand omgekeerd evenredig is met de deformatie: w = 10S . Khodak et al. maken echter geen gebruik van de bekomen constante wandwaarde van de dimensieloze deformatie om de wandwaarde van de anisotropieen vast te leggen. Genspireerd door de methode van Khodak et al., waar een constante dimensieloze deformatie op de wand opgelegd wordt, kan gedacht worden aan iets als: ij
t
k
k
M p
S~ijC = C (1 ; f) + f Sij waarbij f hier de dempingsfunctie uit de eerste-orde term is, maar in principe om het even welke functie zou kunnen zijn die nul wordt op de wand en eenheid ver van de wand. De waarde van de constante C wordt enerzijds begrensd door de eis voor een eenduidig verband tussen dimensieloze deformatie en y+, waarvoor een waarde van minstens C = 34 nodig is. Anderzijds bestaat er de wens een model te bekomen dat, eenmaal get voor kanaalstroming, ook kan functioneren voor homogene afschuifstromingen, waar S~C = S~ = S . Dit kan gecontroleerd worden door de DNS waarden voor de anisotropieen voor een kanaalstroming uit te zetten als een functie van S~C in hetzelfde diagram als die voor homogene afschuifstromingen. De waarde C = 34 blijkt hierbij het beste te voldoen. Hoewel deze procedure aanlokkelijk lijkt, wordt fysisch geen correct resultaat bekomen: de wandwaarden van S~11 en S~22 worden nu immers ook verschillend van nul, wat aanleiding geeft tot een wandwaarde voor b12 die verschillend is van nul. De voorgaande nefaste eecten verdwijnen indien de constante C vervangen wordt door een constante C , vermenigvuldigd met een deformatiepatroon:
S~ijP = 34 SSij (1 ; f) + Sij k f
23
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4 0.3
0.3
b11 b11, b22
b11,b22
0.1
0.1 0
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
-0.2
b22
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-0.1
-0.1 -0.2
b11
0.2
0.2
b22
-0.3 -0.3 -0.4 -0.4
Y/H
Figuur 0.2: Normale anisotropieen voor BFS stroming, Reh = 5100 Symbolen: DNS A priori resultaten: Lijnen: tweedeorde model gebruik makend van S~P .
Y/H
Figuur 0.3: Normale anisotropieen voor BFS stroming, Reh = 5100 Symbolen: DNS A priori resultaten: Lijnen: volle: model met S~ijWP , puntjes: model met hergroepering.
vermits op de wand S11 = S22 = 0, zodat b12 wel degelijk nul zal zijn. Met deze werkwijze van dimensieloos maken, kunnen coe cienten c1 en c2 opgesteld worden die de anisotropieen voor een kanaalstroming bijna perfect reproduceren. Als echter met deze aanpak a priori testen uitgevoerd worden voor BFS stroming, dan treden twee problemen naar voor, zoals te zien op guur 0.2. Ten eerste zal het gedrag van de patronen, daar waar S12 = 0 ( SS12 = 0 en SS11 SS22 6= 0), scherpe pieken produceren op de anisotropieverlopen. Ten tweede legt het model voor de BFS-stroming hetzelfde anisotropieverloop op naar de wand toe als voor een kanaal. Hoewel dit correct is voor b22, stemt dit voor b11 niet met de werkelijkheid overeen. Het eerst vernoemde probleem kan omzeild worden door het gebruik van de wandpatronen:
Sw S~ijWP = 34 Sijw (1 ; f ) + Sij k f waar Sijw de waarde Sij op de dichtsbijzijnde wand aanduid. Het wandgedrag van b11 van een kanaalstroming blijft echter opgelegd onder alle omstandigheden. Een totaal andere aanpak bestaat erin de tijdsschaal op te bouwen als een combinatie van de turbulente tijdsschaal t en een veelvoud van de Kolmogorovtijdsschaal, door bijvoorbeeld de dempingsfunctie van de eerste-orde term te gebruiken: r ~SijB = Sij (c (1 ; f) + k f )
24
0. Samenvatting-Summary in Dutch q
Ook hiermee gaan problemen gepaard: de wandwaarde van Sij zal in een willekeurige stroming verschillen van de waarde bij een kanaalstroming, wat gunstig is voor het bekomen van een verschillende b11, maar wat impliceert dat de limietwaarde b22 = ;1=3 niet onder alle omstandigheden kan opgelegd worden. Bovendien wordt weer geen monotoon gedrag bekomen, vermits de Kolmogorov tijdsschaal in wandomgeving sterker daalt dan dat de deformatie stijgt. Dit laatste probleem kan vermeden worden door opnieuw gebruik te maken van wandwaarden: r ~SijWB = fSij k + (1 ; f)(Sijw w c)
De voorgaande discussie van alternatieve tijdsschalen heeft duidelijk gemaakt dat het gedrag van de anisotropieen verschillend is voor de verschillende componenten. Op een horizontale wand geldt b22 ! ; 13 , terwijl b11 en b33 kunnen verschillen naargelang de stroming. De verschillende besproken tijdsschalen kunnen telkens maar e en van de bovengenoemde gedragingen toelaten. Ofwel wordt een constante ofwel een variabele waarde voor alle wandanisotropieen bekomen: geen enkele van de besproken aanpakken laat een constante waarde toe voor e en component (b22) en een variabele waarde voor de overige (b11 en b33). Om dit laatste gedrag te kunnen bekomen, zou een verschillende tijdsschaal kunnen gebruikt worden voor de termen die in de verschillende anisotropieen voorkomen. De tot nu toe gebruikte hergroepering van de tweede-orde termen was echter van zo'n vorm dat elke term ook elke anisotropie benvloedt. Een hergroepering van de tweede-orde termen, zodanig dat e en term slechts die anisotropieen benvloedt die een constant wandgedrag hebben, terwijl de andere term de variabele anisotropieen voorstelt, moet dus eerst gevonden worden. Een dergelijke hergroepering wordt gegeven door:
n o 2 1 2 T1 = c1 2S ; 3 S I ; 3 S ; S n o 6 2 2 T2 = c2 6S ; 3 S I + S ; S 2
De term T1 benvloedt het wandgedrag van b22 niet, maar voorziet enkel een herverdeling tussen de wandwaarden van b11 en b33, zodat geschikte formulering voor de coe cient c1 een variabele wandwaarde voor b11 en b33 kan voorzien. De term T2 benvloedt het wandgedrag van b11 niet, maar voorziet enkel een herverdeling tussen de wandwaarden van b22 en b33, zodat geschikte formulering voor de coe cient c2 een constante wandwaarde voor b22 kan realiseren. Om nu de constante b22 waarde en de variabele b11 en b33 waarde te bekomen wordt S~ijWB gebruikt in T1 en S~ijWP in T2. Zoals kan gezien worden op guur 0.3 (stippellijn) worden de anisotropieen op deze manier behoorlijk goed gereproduceerd.
25
Er moet ook opgemerkt worden dat het gebruik van w ~SijWP = 34 Sijw (1 ; f ) + Sij k f S
problemen zou kunnen geven wanneer SS12 < 0 terwijl S12 > 0, wat betekent dat S12WP nul kan worden. Een aangepaste versie die symmetrie in een kanaalstroming respecteert is: w
w
jS w j S~ijWP = 34 Sijw jSSij j (1 ; f ) + Sij k f ij r ~SijWB = 8:35jSijw j Sij w (1 ; f) + Sij k f : jS j ij
Het zijn eigenlijk deze formuleringen die gebruikt werden op guren 0.2 en 0.3. Samengevat wordt dus volgend tweede-orde model voorgesteld:
uiuj 2 1 = ij ; 2c (S~ij ; ij S~ll ) k 3 3 2 1 WB WB WB WB WB WB WB WB ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + c1 2Sik Skj ; 3 Sik kj ; ik Skj ; 3 ij Slk Skl WP S~WP ; 6 S~WP S~WP ~ + c2 6S~ikWP S~kjWP + S~ikWP ~ WP ; kj ik kj 3 ij lk kl 0
0
met c1 = f (S~WB ~ WB ) c2 = f (S~WP ~ WP ), w ~SijWP = 34 jSijw j Sij (1 ; f ) + Sij k f S jSij j r S S~ijWB = 8:35jSijw j jSij j w (1 ; f) + Sij k f ij w j j ~ WP = 34 ijw jij j (1 ; f) + ij k f ij ij r ij w ~WB = 8:35jij j j j w (1 ; f ) + ij k f ij ij
(0.6)
In deze methode blijft er echter nog een probleem over dat convergentie van een berekening zal verhinderen. Dit probleem situeert zich in het optreden van signumfuncties in de relaties (0.6), die in een recirculatiezone een discontinu gedrag van S~12WP ~ WP ij zullen veroorzaken onder de vorm van een bruuske tekenverandering, wat
26
0. Samenvatting-Summary in Dutch
resulteert in een onfysisch discontinu gedrag van de Reynoldsspanningen. Dit probleem kan omzeild worden door de besproken aanpassingen in het dimensieloos maken van de deformatie- en rotatiecomponenten rechtstreeks toe te passen op de tweedeorde producten van deformatie en rotatie, vermits het deze producten zijn die in de tweede orde termen voorkomen. Gebruikt men bvb.
S w w (S~ij ~ ij )WP = (34(1 ; f ))2 Sijw ijw + Sij ij ( k f)2 dan zal de wandterm overheersen in de probleemzone, waar Sij ij een tekenwissel ondergaat, Sijw wij > 0, en f klein is, en dus wordt verdwijnen van de tweede-orde termen verhinderd. Het aangepaste tweede-orde model kan nu samengevat geschreven worden als:
uiuj 2 k ; 3 ij = ; 2c f(S~ij ; 31 ij S~ll) h i + c1 6SikdSkj ; 2 ij SlkdSkl ; (Sikdkj ; ikd Skj ) d d d d d d d d + c2 6Sik Skj ; 2 ij Slk Skl + (Sik kj ; ik Skj )
2bij =
0
0
waarbij
Sikdkj = Sik kj ( k )2f
r r +(1 ; f)maxmin(12Sikw w wkj w 22) ;22] w w k d 2 2 Sik kj d Sik kj = Sik kj ( ) f + (1 ; f)(22) S w w
(0.7) (0.8)
Om de constante 2 te bepalen, worden de DNS-waarden voor de anisotropieen in een kanaalstroming (gaande van evenwichtszone tot wand) uitgezet als functie van r d Sbb (= 2Sd ij Sij ) in dezelfde graek als een aantal experimentele en DNS-waarden voor eenvoudige afschuifstromingen. Twee beperkingen leiden tot de keuze van de constante 2: het verband tussen Sbb en de anisotropieen moet eenduidig zijn, en de anisotropieen voor eenvoudige stromingen moeten nog altijd goed voorspeld worden. Deze beschouwingen leiden tot de keuze 2 = 14. Voor de keuze van 1 werd gesteld d dat in een kanaalstroming SikdSkj = Sikd Skj moet gelden, wat leidt tot de waarde 1 = 13:76 bij het gebruik van DNS-data. Indien de berekende waarde voor w gebruikt wordt, moet de waarde veranderd worden als 1 = 16:24. In vergelijking
27
(0.8), verzekert de limitering van de wandwaarde tussen de waarden ;22 en 22 dat de wandwaarde van Sb niet groter wordt dan de wandwaarde van Sbb, om te kleine waarden voor b11 te vermijden. Net zoals vroeger worden de realiseerbaarheidsvoorwaarden opgelegd, en worden de DNS-data voor kanaalstroming gebruikt voor het tten van de coe cienten. Een bijkomende restrictie voor c2 wordt gevormd door de vereiste ;1=3 limiet voor b22. De coe cienten werden bepaald als:
c1 = 1=maxp(x1) 5] c2 = 1=p(x2 ) p(x1) = ;4:679 + 2:349x1 + 0:7054x21 ; 0:01768x31 +(;2:55:10 5 + 9:6116:10 7 x1)e0:65062x1 p(x2) = 3(;17:995 + 8:7904x2 ; 5:8264x22 + 0:2419x32 ; 3:4922:10 3 x42) ;
;
;
b x2 met xr1 = 0:5(Sb + ),
bb b = 0:5(Sbb + ), S
q
= 2SijdSij , b =
q
2ijdij , Sbb
r
d = 2Sijd Sij , en
d ij . De verbeterde anisotropievoorpellingen voor dit model kunnen m.b.v. bb = 2ijd a priori testen aangetoond worden. Conclusie van dit hoofdstuk is dat verschillende alternatieven voor het dimensieloos maken van de tweede-orde termen bestudeerd zijn, en dat een model werd voorgesteld die betere a priori resultaten geeft dan het vorige voorstel.
Hoofdstuk 9: Gemplementeerde k- modellen: beschrijving en berekeningsresultaten. In dit hoofdstuk wordt het in hoofdstuk 8 voorgestelde niet-lineaire model getest voor niet-roterende en roterende kanaalstroming en BFS-stroming, waarbij het eect van de verschillende termen wordt besproken. Vervolgens wordt het model gecombineerd met verschillende alternatieve k- formuleringen. De geteste modellen (allen laag-Reynolds) worden voor de duidelijkheid eerst kort opgesomd. Allereerst wordt ter vergelijking een bestaand lineair laag-Reynolds model gebruikt, namelijk dat ontwikkeld door Yang en Shih 2]. Dit model zal aangeduid worden met LYS. Vervolgens worden dezelfde k- vergelijkingen als in het Yang en Shih model (weliswaar met de niet-lineaire turbulente viscositeit) gebruikt in combinatie met de voorgestelde niet-lineaire eerste-orde term. Deze combinatie wordt aangeduid met NL1. Wanneer het k--systeem van Yang en Shih gecombineerd wordt met het voorgestelde tweede-orde model, is de notatie NL2. Wordt tenslotte ook de cubische term toegevoegd in de constitutieve wet, dan wordt er gesproken van het model NL3. Naast deze reeks modellen, worden ook een aantal modellen uitgetest waarbij aan-
28
0. Samenvatting-Summary in Dutch
passingen gebeurd zijn in de k- vergelijkingen. De eerste aanpassing bestaat erin de waarde c2 = 1:83 te gebruiken i.p.v. de standaard k- waarde (1:92), wat gezien de discussie in hoofdstuk 5 een beter te verantwoorden waarde blijkt te zijn.1 Om de logarithmische wet correct te reproduceren, wordt aangepast als = 2=c2 (c2 ; c1) = 1:37. Verder wordt in het k- systeem de constante in de ES -term (laagReynolds aanpassing) nog aangepast om de kwaliteit van het (en dus k) proel vergelijkbaar te maken aan die bij het LYS model. Het bekomen k- systeem wordt gecombineerd met de voorgestelde cubische wet en het resulterende model wordt aangeduid als NL3I. Een bijkomende aanpassing bestaat erin de turbulente diffusieterm in de -term anisotroop te maken, en dus @x@ ( @x@ ) te vervangen door c @x@ ( k uk ul @x@ ), waarbij c = 0:16, en de overige constanten dezelfde zijn als in het NL3I model. Combinatie van deze k- vergelijkingen met de voorgestelde cubische relatie wordt NL3IE genoemd. Tenslotte, wordt nog het NL3IKE model getest, dat enkel van het NL3IE model verschilt wat betreft de turbulente diusieterm in de k-vergelijking, die hier ook anisotroop genomen wordt: @x@ ( @x@k ) vervangen door ck @x@ ( k uk ul @x@k ), waarbij ck = 0:22. De performantie van de ontwikkelde niet-lineaire relatie wordt eerst vergeleken met die van een gekend lineair model. Daarbij wordt ook gekeken naar de invloed van de verschillende termen. Dat betekent dat de modellen LYS, NL1, NL2 en NL3 met elkaar vergeleken worden. Aangezien v = 0 en @x@ = 0 voor een kanaalstroming, zijn de stromingsvoorspellingen voor de modellen NL1, NL2 en NL3 gelijk aan elkaar en bovendien ook gelijk aan deze bekomen in hoofdstuk 7 met de modellen NL1, NL2S en NL3S. Het verschil tussen de modellen vertoont zich bij de normale Reynoldsspanningen: de lineaire modellen zijn niet in staat de optredende anisotropie te reproduceren, terwijl het NL2 model in staat is de Reynoldsspanningen te voorspellen. Het goede gedrag van het model voor deze stroming is uiteraard het gevolg van het calibreren van het model voor deze stroming. Wat wel moet opgemerkt worden is dat de constante 1 in de tweede-orde termen niet de waarde kan aannemen die ontwikkeld werd a.h.v. DNSdata (1 = 13:2), maar moet aangepast worden naar 1 = 16:24 in de berekeningen, omwille van de overschatte wandwaarde van in het NL1 model, net zoals in het LYS model. Vermits ook voor een roterend kanaal de tweede-orde termen de stromingsvoorspellingen niet benvloeden, zijn deze ook hier voor de modellen NL1 en NL2 gelijk aan elkaar, en zijn de stromingsvoorspellingen dezelfde als voor de modellen besproken in hoofdstuk 7 (voorspellingen u+ , k+ en u v +: NL1= NL2= NL2S en NL3= NL3S). Net als daar geldt de vaststelling dat de modellen waarvan de orde kleiner of gelijk is aan twee, niet in staat zijn de asymmetrie die optreedt bij roteren van een kanaal te voorspellen. Het NL3 model slaagt erin asymmetrie voort te brengen, welke onderschat wordt voor de lagere rotatiegetallen en beter wordt voor toenemende rotatie. De kwaliteit van het asymmetrische snelheidsproel is vrij goed, behalve voor het hoogste rotatiegetal, waar relaminarizatie optreedt aan de zuigzijde. Het verschil t.o.v. de modellen van hoofdstuk 7 bestaat enkel uit een verschillende anisotropievoorspelling, 1
k
k
t
l
k
k
k
l
0
0
t k
k
29
0.005
0.004
0.004 0.003 0.003 0.002 0.002 0.001 Cf
Cf
0.001
0
0
-0.001
DNS LYS NL1 NL2 NL3
-0.002
-0.001
DNS NL3 NL3I NL3IE NL3IKE
-0.002 -0.003
-0.004
-0.003 0
2
4
6
8
10 x/h
12
14
16
18
Figuur 0.4: Cf voor BFS, Reh = 5100.
0
2
4
6
8
10 x/h
12
14
16
18
Figuur 0.5: Cf voor BFS, Reh = 5100.
ten gevolge van de aangepaste tweede-orde termen. Daarbij zijn de verschillen tussen de modellen NL2 en NL3 te wijten aan de veranderde stromingsvoorspellingen, gezien de cubische term zelf geen invloed heeft op de normale Reynoldsspanningen. De eerste normale Reynoldsspanning wordt gewoonlijk vrij goed gereproduceerd, maar de andere twee vertonen knikken in hun verloop. De oorzaak kan gevonden worden door de tweede-orde termen voor dit geval uit te werken: de eerste tweede-orde term, die voor een kanaal geen invloed had op b22, heeft nu wel degelijk invloed op b22, en dit tot op de wand. Het gevolg is dat afhankelijk van de rotatierichting, b22 op een van de wanden niet meer aan de realiseerbaarheidsvoorwaarden zal voldoen. Het voorgestelde model blijkt dus niet realiseerbaar in wandomgeving als externe rotatie opgelegd wordt. Voor het testgeval dat ons hier aanbelangt, nl. de BFS, wordt hier net zoals bij gebruik van de modellen uit hoofdstuk 7 de recirculatielengte sterk onderschat en wordt de wrijvingscoe cient na de recovery zone overschat door alle modellen (guur 0.4). Het gebruik van de aangepaste tweede-orde termen heeft wel een wat langere recirculatiezone, en een lager niveau van wrijvingscoe cient tot gevolg, maar de resultaten zijn nog altijd zeer slecht. Als een aantal grootheden zoals snelheid en turbulente kinetische energie bekeken worden op verschillende stromingsgewijze posities, kan wel een verbetering opgemerkt worden als het model complexer gemaakt wordt, maar ze is onvoldoende groot. De voorspellingen voor de normale anisotropieen zijn zoals verwacht beter bij gebruik van de (aangepaste) tweede-orde termen. In wandomgeving blijkt het u proel voor de hier gebruikte modellen vanaf tweede orde, een lokale toename te vertonen, die niet in de DNS-data terug te vinden is. De oorsprong van deze anomalie is toe te schrijven aan de tweede-orde term gebaseerd op SikdSkj , die wandwaarden van deformatie en bevat. In de berekening wordt immers niet alleen de wandwaarde van verkeerd ingeschat zoals bij een kanaalstroming, maar bovendien wordt in dit geval ook de deformatie niet gereproduceerd. Deze anomalie zou dus moeten verdwijnen 0
30
0. Samenvatting-Summary in Dutch
bij gebruik van een model dat de correcte waarden voor en deformatie geeft. v is niet door het probleem getroen, gezien deze grootheid voornamelijk bepaald wordt d door de tweede-orde term gebaseerd op Sikd Skj , die geen wandwaarden bevat, alleen wandpatronen. De conclusie op dit punt is dat het aangepaste wandgedrag van de meer complexe tweede-orde termen in het NL2 en NL3 model geen noemenswaardige verbetering teweeg brengt t.o.v. de eenvoudiger tweede-orde termen uit de modellen NL2S en NL3S. Door het vergelijken van de modellen NL3, NL3I, NL3IE en NL3IKE, kan de invloed bekeken worden die aanpassingen in het k- systeem hebben op de kwaliteit van de voorspellingen. Gezien de aanpassingen steeds gebeurd zijn met het oog op een goede voorspelling van de kanaalstroming, zijn de berekeningsresultaten voor alle beschouwde modellen hier uiteraard goed voor. Vermits voor het roterende kanaal de anisotropieen in het NL3 model te kampen hebben met een realiseerbaarheidsprobleem, is het zinloos anisotrope diusietermen te proberen invoeren. Bijgevolg worden voor dit testgeval alleen de resultaten voor de modellen NL3 en NL3I vergeleken. De rotatie-invloed in het NL3I model is iets kleiner dan in het NL3 model, maar het algemene gedrag is zeer vergelijkbaar. Hoewel voor een eenvoudige stroming zoals die in een kanaal, voor de verschillende modellen bijna identieke resultaten verkregen worden, wordt vastgesteld dat de vergelijking een zeer grote invloed heeft op de voorspellingen voor een BFS-stroming. Het veranderen van de constanten in de vergelijking van de NL3-set naar de NL3I set zorgt reeds voor een veel sterkere toename van de recirculatielengte dan deze veroorzaakt door het invoeren van hogere-orde termen (guur 0.5). Het niveau van de wrijvingscoe cient na recovery wordt beter bij gebruik van een anisotrope diffusieterm, zoals in het NL3IE model, maar indien de k en vergelijking op een consistente manier voorzien worden van een anisotrope turbulente diusieterm (NL3IKE), komt dit niveau opnieuw op het oorspronkelijke terecht. Als conclusie geldt dat de constanten in de -vergelijking een zeer grote invloed hebben op voorspellingen voor complexe stromingen. Alle geteste aanpassingen blijken betere resultaten op te leveren dan de oorspronkelijke versie. Het NL3IE model gedraagt zich beter in de zone na recovery, maar heeft de neiging de piek in de turbulent kinetische energie te onderschatten. Hoe dan ook, de turbulente diusietermen in k en vergelijking op een verschillende manier behandelen, zoals in NL3IE gebeurt is geen consistente aanpak. Van de twee overblijvende modellen NL3I en NL3IKE blijkt het anisotrope NL3IKE lichtjes betere resultaten op te leveren. 0
Conclusie
Van de in dit hoofdstuk beschouwde modellen levert het NL3IKE model de beste resultaten. Hoewel de stromingsvoorspellingen sterk verbeterd zijn, enerzijds door het gebruik van een cubisch, niet-lineair model, en anderzijds door aanpassingen in k en vergelijking, zijn er nog altijd een aantal onopgeloste problemen: 1) de hoekrecirculatiezone is te kort 2) de lengte van de recirculatiezone blijft onderschat 3) voorspellingen voor de situatie tijdens en na recovery blijven zeer slecht.
31
Hoofdstuk 10: Gemplementeerde k-! modellen: beschrijving en berekeningsresultaten. In de loop van het vorige hoofdstuk is duidelijk geworden dat het gebruik van nietlineaire constitutieve wetten slechts een secundaire rol speelt vergeleken met de invloed van het gebruikte twee-vergelijkingen model bij recirculerende stromingen. Gezien het niet-lineaire model ontwikkeld werd a.h.v. DNS-data, kan het gebruikt worden met eender welk twee-vergelijkingen model. Vermits de k- aanpak geen bevredigende voorspellingen toeliet voor de BFS, wordt het tweede meest gebruikte model, nl. het k-! model, beschouwd in dit hoofdstuk. Het uitstekende wandgedrag van een model van k-! type wordt vervolgens gecombineerd met de k- aanpak in de vrije stroming, door het gebruik van Menters's SST-model. Combinaties van deze twee-vergelijkingen modellen met de ontwikkelde niet-lineaire constitutieve relaties worden vervolgens beschouwd. Allereerst worden hoog-Reynolds k-! modellen beschouwd. Het oorspronkelijke hoogReynolds k-! model van Wilcox 31] wordt aangeduid met KO. Vervolgens wordt het niet-lineaire model van Gatski en Speziale 4] gecombineerd met het hoog-Reynolds k-! model van Wilcox op de manier die werd voorgesteld door Abid et al. 32]. Dit betekent dat in de k-! vergelijkingen de productietermen bepaald worden m.b.v. het niet-lineaire model, maar dat de turbulente diusieterm berekend wordt zoals in het Wilcox model. Het resulterende model wordt in de bespreking van resultaten KOGS genoemd. Alle overige geteste modellen zijn laag-Reynolds k-! modellen. Eerst worden een aantal lineaire laag-Reynolds modellen beschouwd, beginnend met dat van Wilcox 33] (KOL), waar de vorm van de k-! vergelijkingen dezelfde is als die in de KO versie. Het verschil is enkel te vinden onder de vorm van laag-Reynolds aanpassingen in de coe cienten als functie van een turbulent Reynoldsgetal. Het k-! model heeft het nadeel dat het sterk afhankelijk is van de opgelegde !-waarden in de vrije stroming. Aangezien het k- model niet te kampen heeft met dit probleem, werd het Baseline Model (BSL) voorgesteld door Menter 34]. Dit model gebruikt het KO model in wandomgeving, terwijl het overgaat naar een k- model buiten de grenslaag. Praktisch gezien wordt het k- model omgevormd tot een k-! formulering, en wordt het originele k-! model vermenigvuldigd met een functie F1, terwijl het getransformeerde k- model met (1 ; F1) wordt vermenigvuldigd. Optellen van dit geheel levert dan het model op. In dit werk wordt dezelfde overgangsfunctie F1 gebruikt als in het model van Menter. Ook wordt hier het standaard k- model gebruikt ver van de wand, maar in tegenstelling tot wat in Menters geval gebeurt, wordt hier het laag-Reynolds k-! model gebruikt in wandomgeving. Het zo bekomen model is BSLL. Door Menter werd nog een tweede model voorgesteld, nl. het Shear Stress Transport model 34]. Dit SST model vertoont twee verschillen t.o.v. het BSL model. Het eerste bestaat uit de aangepaste berekening van de turbulente viscositeit: t = min( !k aF12 ), waarin a1 = 0:31, en F2 opnieuw een functie is. Het tweede verschil behelst een aangepaste waarde voor de constante k1. In dit werk wordt opnieuw geopteerd voor de laag-Reynolds k-! aanpak in wandomgeving, het beschreven
32
0. Samenvatting-Summary in Dutch
model wordt hier aangeduid als SSTL. Verder wordt nog het geval bekeken waarbij het SSTL model gebruikt wordt met de waarde k1 uit het BSLL model: SSTLM. De laatste reeks geteste modellen bestaan uit combinaties van niet-lineaire modellen met twee-vergelijkingen modellen van het k-! type. De implementatie kan op verschillende manieren gebeuren, afhankelijk van welke turbulente viscositeit in de verschillende termen gebruikt wordt. Dit kan deze zijn uit het lineaire k-! model ( tl), ofwel deze uit het niet-lineaire model ( t). In tegenstelling tot de k- aanpak, kan bij gebruik van niet-lineaire modellen in combinatie met k-! gebaseerde modellen de DNS-gecalibreerde waarde voor 1 gebruikt worden (1 = 13:2), omwille van de betere inschatting van de wandwaarde. Naargelang de turbulente viscositeit in de turbulente diusietermen deze van het niet-lineaire of van het lineaire model is wordt de letter A of B meegegeven. Combinatie van de niet-lineaire constitutieve wet met het KOL model resulteert dan in de modellen KOLNL3A en KOLNL3B. Worden de voorgestelde tweede-orde termen in het SSTLM model toegevoegd, maar de eerste-orde term uit het SSTLM model behouden, dan wordt gesproken van het SSTLMNL2C model. Wordt de voorgestelde cubische niet-lineaire constitutieve wet gebruikt in combinatie met het SSTLM model, dan wordt dit aangeduid met SSTLMNL3A. Bij vergelijken van resultaten voor een kanaalstroming bij gebruik van een lineair (KO) of een niet-lineair k-! model (KOGS), stelt men vast dat een hoog-Reynolds k-! aanpak, in tegenstelling tot zijn k- tegenhanger in staat is het snelheidsproel tot op de wand te reproduceren. Om echter het wandgedrag van de turbulent kinetische energie en dissipatie te kunnen representeren, blijken laag-Reynolds aanpassingen noodzakelijk. De turbulente Reynoldsschuifspanning wordt iets beter gereproduceerd door het KOGS model. Dit model blijkt ook in staat enige anisotropie in de Reynoldsspanningen te introduceren, maar het niveau is onvoldoende. Wordt het kanaal geroteerd, dan zal het KO model geen rotatie-invloed kunnen geven, terwijl de invloed zeer sterk onderschat wordt in het KOGS model. Bij het beschouwen van berekeningsresultaten voor BFS stroming valt onmiddelijk op dat het k-! model zich veel beter gedraagt dan alle voorheen geteste k- varianten, wat in detail besproken wordt bij de vergelijking van de laag-Reynolds modellen. Zowel het KO als het KOGS model geven uitstekende resultaten voor het verloop van de wrijvingscoe cient: de vrij lange hoekrecirculatiezone wordt ook in de berekeningen bekomen en de primaire recirculatiezone wordt goed weergegeven. Het niveau van de wrijvingscoe cient na recovery ligt dicht bij wat het zou moeten zijn, net als de sterkte van de recirculatiezone. De sterkte van de hoekseparatie wordt wel onderschat. Vermits resultaten bekomen met beide modellen vrij goed zijn, en het KOGS model de mogelijkheid biedt anisotropie-eecten te introduceren zou dit laatste moeten verkozen worden. Vervolgens kunnen de resultaten voor de laag-Reynolds, lineaire modellen KOL, BSLL, SSTL en SSTLM vergeleken worden met deze voor het laag-Reynolds k model van Yang en Shih (LYS). Wordt een kanaalstroming beschouwd, dan geven de verschillende k-! varianten bijna hetzelfde snelheidsproel, dat net als het LYS k- model als zeer goed te bestempelen valt. De piek in de turbulent kinetische energie wordt door alle modellen goed weergegeven. Het SSTL model blijkt op de sym-
33
0.005
0.004
0.004 0.003 0.003 0.002 0.002 0.001 Cf
Cf
0.001
0
0
-0.001
DNS LYS KOL BSLL SSTL SSTLM
-0.002
-0.001
DNS SSTLM SSTLMNL2C SSTLMNL3A
-0.002 -0.003
-0.004
-0.003 0
2
4
6
8
10 x/h
12
14
16
18
Figuur 0.6: Cf voor BFS, Reh = 5100.
0
2
4
6
8
10 x/h
12
14
16
18
Figuur 0.7: Cf voor BFS, Reh = 5100.
metrielijn van het kanaal een k-waarde te voorspellen die veel hoger is dan gebruik makende van de overige modellen. Vergelijking met resultaten voor SSTLM toont aan dat deze afwijking te wijten is aan de waarde van k1 die in het SSTL model verschilt van de waarde voor de andere modellen. Op basis van deze stromingsresultaten kan besloten worden dat de modellen KOL, BSLL en SSTLM waardevolle k-! modellen zijn. Resultaten voor een roterend kanaal worden hier niet bekeken vermits gebruik makend van dit type modellen geen rotatie-invloed kan gereproduceerd worden, behalve met het SSTL of SSTLM model waarin de rotatie-invloed slechts uiterst klein is. Hoewel alle beschouwde modellen evenwaardige voorspellingen produceren in een eenvoudige stroming zoals de kanaalstroming, geven ze sterk verschillende resultaten bij het toepassen op een meer complexe stroming zoals de BFS-stroming. De superioriteit van de k-! formuleringen is overduidelijk als gekeken wordt naar de wrijvingscoe cient (guur 0.6). Recirculatielengte van zowel primaire als secundaire recirculatiezone evenals cf -niveau tijdens en na recovery, worden veel beter weergegeven door de k-! gebaseerde formuleringen dan door de k- gebaseerde waarvan LYS een voorbeeld is. Voor deze stroming geven de modellen SSTL en SSTLM die slechts in een constante verschillen nagenoeg hetzelfde resultaat voor cf . Het KOL model blijkt de afmeting van de recirculatiezone te overschatten. Het introduceren van de menging met het standaard k- model verkort de recirculatiezone. Het beste resultaat wordt bekomen met het SSTLM model. Enkel de turbulente schuifspanning blijkt door geen enkel van deze modellen behoorlijk gereproduceerd. Hiervoor wordt verbetering verwacht bij het introduceren van hogere-orde termen, wat tevens de voorspelling van de normale Reynoldsspanningen zou moeten kunnen verbeteren. De meest voor de hand liggende, maar ook de meest belangrijke conclusie uit deze vergelijking is de vaststelling dat de k-! gebaseerde formulering superieur is in recirculerende stroming, en dit zonder het gedrag in eenvoudige stromingen te verslechten.
34
0. Samenvatting-Summary in Dutch
Bij vergelijking van de modellen KOL, KOLNL3A en KOLNL3B voor een kanaalstroming wordt vastgesteld dat beide niet-lineaire implementaties nauwelijks verschillende resultaten geven, die zelfs beter zijn dan die voor het KOL model. Bovendien laat de aanwezigheid van tweede-orde termen in deze niet-lineaire modellen toe dat de anisotropieen kunnen gereproduceerd worden. Vermits het KOL model niet door rotatie benvloed wordt, zijn de voorspellingen voor verschillende rotatiegetallen identiek aan het niet-roterende geval voor dit model. Hoewel de derde-orde term in de modellen KOLNL3A en KOLNL3B ontwikkeld werd voor gebruik in combinatie met een k- model, worden ook behoorlijke resultaten bekomen bij gebruik in combinatie met een k-! model. De volledige discussie bij gebruik in combinatie met de k- aanpak is hier eveneens geldig. Bij de BFS-stroming stelt men vast dat de wrijvingscoe cient voor beide niet-lineaire versies van vergelijkbare kwaliteit is. De niet-lineaire modellen geven een kortere totale lengte van de recirculatiezone omwille van de verkorting van de hoekrecirculatiezone. De sterkte van de recirculatiezone wordt echter beter weergegeven. Ver van de wand zijn de snelheidsproelen voor de niet-lineaire versies beter dan voor KOL, terwijl het omgekeerde geldt dicht bij de wand. De invoering van hogere orde termen verschuift de piek in de turbulent kinetische energie naar de correcte positie, maar het niveau blijft hetzelfde als in het KOL model. Zoals werd verwacht verbetert de voorspelling van de turbulente schuifspanning bij gebruik van hogere-orde termen, en worden de normale Reynoldsspanningen beter gerepresenteerd. Net zoals het geval was bij het gebruik van k- is ook hier een wandanomalie te merken in u u , maar deze is hier minder erg omwille van de verbeterde voorspellingen voor wandwaarden van snelheid en turbulente dissipatie. Als conclusie van deze vergelijking geldt dat voor een eenvoudige stroming beide nietlineaire modellen van vergelijkbare kwaliteit zijn, en lichtjes beter zijn dan het lineaire KOL model. Ze laten ook toe anisotropie weer te geven (afgezien van het realiseerbaarheidsprobleem van de tweede-orde termen bij een roterend kanaal). Voor een BFS-stroming zijn beide versies opnieuw van vergelijkbare kwaliteit, die niet noodzakelijk beter is dan voor KOL (snelheidsproelen). Ze laten wel een betere representatie van zowel normale als schuif-Reynoldsspanningen toe en verschuiven de k-piek op de juiste manier. Bijgevolg moeten deze niet-lineaire modellen verkozen worden boven hun lineaire concurrenten. Tenslotte worden in dit hoofdstuk nog de resultaten vergeleken voor de modellen SSTLM, SSTLMNL2C en SSTLMNL3A. In de performantievergelijking van de lineaire modellen was SSTLM de beste aanpak. Het SSTLMNL3A model blijkt zelfs nog wat betere resultaten te geven voor kanaalstromingsberekeningen, met daarbij nog de uitstekende weergave van de anisotropieen. Wordt het kanaal geroteerd, dan is het SSTLM model (net zoals het SSTLMNL2C model dat enkel verschilt in de anisotropieen) al een beetje afhankelijk van de rotatie omwille van de t-denitie. Deze afhankelijkheid is echter sterk onvoldoende. Het SSTLMNL3A model, waarvan de cubische term ontwikkeld was voor gebruik met k-, is hier echter opnieuw in staat de rotatie-invloed behoorlijk weer te geven. Bij vergelijking van de resultaten in een BFS-stroming, kan worden vastgesteld dat de wrijvingscoe cient door alle modellen zeer goed weergegeven wordt (guur 0.7). Hoewel moet opgemerkt 0
0
35
worden dat de verschillen klein zijn, geeft het SSTLMNL2C model de beste snelheidsproelen: positieve eigenschappen van de SSTLM formulering worden bewaard terwijl zelfs enkele verbeteringen te merken zijn. Ook de turbulent kinetische energie is van vergelijkbare kwaliteit voor alle modellen, waarbij de niet-lineaire versies de gunstige verschuiving van de piek in turbulent kinetische energie vertonen. De beste turbulente schuifspanning wordt gegeven door het SSTLMNL3A model, terwijl de wandanomalie in u iets kleiner is voor SSTLMNL2C. Het SSTLMNL2C model kan geen realiseerbare Reynoldsspanningen geven omwille van de vorm van de eerste-orde term, terwijl het SSTLMNL3A model daar wel toe in staat is. Bovendien is het SSTLMNL2C model slechts van tweede orde en dus niet in staat rotatie-eecten correct weer te geven. 0
Conclusies.
De belangrijkste conclusie van dit hoofdstuk is het feit dat modellen gebaseerd op k-! superieur zijn aan de k- modellen in recirculerende stromingen. De voordelen van beide modellen kunnen gecombineerd worden door gebruik van gemengde modellen zoals het SST-model. Om de voorspellingen in wandomgeving te verbeteren blijkt een laag-Reynolds k-! model nodig in wandomgeving. Het niet-lineaire model dat in hoofdstuk 8 werd ontwikkeld, werd succesvol gemplementeerd in het SSTLM model. Het invoeren van niet-lineaire termen laat betere anisotropievoorspellingen toe, maar voor het BFS geval is de invloed van de niet-lineaire modellering op de stromingsvoorspellingen ondergeschikt aan de invloed van het gebruik van een k-! gebaseerd model. De tweede-orde termen, die voorgesteld werden in hoofdstuk 8 om het wandgedrag te verbeteren blijken een realiseerbaarheidsprobleem te vertonen bij het beschouwen van een roterend kanaal.
Hoofdstuk 11: Finaal model: beschrijving en berekeningsresultaten. De uiteindelijke modelkeuze kan gemotiveerd worden als volgt. Het SSTLM model, die kwaliteiten van k- en k-! formuleringen combineert is gebleken het beste te zijn binnen de klasse van lineaire twee-vergelijkingen modellen. De bekwaamheid van k-! modellen om recirculerende stromingen te voorspellen heeft de nood aan niet-lineaire termen in een ander perspectief gesteld. Om aan realiseerbaarheidsvoorwaarden te kunnen voldoen is een niet-lineaire eerste-orde term noodzakelijk. Tijdens de voorgaande besprekingen is duidelijk geworden dat de meer complexe tweede-orde termen uit hoofdstuk 8 niet in staat zijn veel betere resultaten te geven dan de eenvoudige tweede-orde termen uit hoofdstuk 7. Bovendien geven de complexe tweedeorde termen realiseerbaarheidsproblemen in roterende situaties en wordt het bepalen van wandwaarden niet-triviaal in een complexe geometrie. Om al deze redenen genieten de eenvoudiger tweede-orde termen de voorkeur. Tenslotte is een cubische term noodzakelijk om rotationele invloeden te voorzien. Deze term heeft eveneens voorde-
36
0. Samenvatting-Summary in Dutch
len bij het optreden van kromming. Dit alles leidt tot de keuze om het cubische, niet-lineaire model dat werd voorgesteld in hoofdstuk 7 te combineren met het SSTLM twee-vergelijkingen model. Deze modelleringsaanpak wordt aangeduid met SSTLMNL3S en kan samengevat worden als
Dk = R @ui ; !k + @ (( + ) @k ) k t ij @x Dt @xm @xm j D! = R @ui ; !2 + @ (( + ) @! ) + 2(1 ; F ) 1 @k @! ! t 1 !2 Dt tl ij @xj @xm @xm ! @xj @xj
met tl = min( !k aF12 ), waarin a1 = 0:31 en F2 gegeven wordt door:
p
): F2 = tanh(arg22) arg2 = max(2 0:09k!y 500 2 y! De constanten (bvb. , ...) in het model worden bepaald uit de constanten 1 en 2 gebruik makend van de functie F1 (Menter):
= F11 + (1 ; F1)2
p
) 4 !2k ] F1 = tanh(arg14) arg1 = minmax( 0:09k!y 500 2 y ! CDk! y2 @k @! 10 20 ) CDk! = max(2 !2 !1 @x j @xj ;
De constanten van set 1 (1) zijn (laag-Reynolds k-! model, Wilcox):
ReT =Rk = 5 0 + ReT =R! 1 = 10++Re 1 9 1 + ReT =R! T =Rk 4 (ReT =R ) 1 = 0:09 5=118++(Re T =R )4 1 = 3=40 k1 = 0:5 !1 = 0:5 0 = =3 0 = 1=10 R = 8 Rk = 6 R! = 27=10
waar ReT het turbulent Reynoldsgetal ReT = !k is. De constanten van set 2 (2) zijn (standaard k-):
2 = 1: k2 = 1:0 !2 = 0:856 2 = 0:0828 q 2 2 = 0:09 = 0:41 2 = 2=2 ; !2 = 2
37
De niet-lineaire constitutieve wet is:
; kij = 32 ij ; 2c (S~ij ; 31 ij S~ll) R
+ c1(2S~ik S~kj + ~ ik S~kj ; S~ik ~ kj ; 32 ij S~lk S~kl) + c2(2S~ik S~kj ; ~ ik S~kj + S~ik ~ kj ; 32 ij S~lk S~kl) ; 2c3(S~2 ; ~ 2)(S~ij ; 31 ij S~ll)
waarbij 1 f = 1 ; e( :04R 0 5 1:10 4R 2 8:10 11R 5) ~ 6 + 1:5S 1 ;1 = c 2 = 17:41 + 0:5194X~ 2 + 0:006337X~ 3 27:38 + 4:09X~ 2 + 0:000619X~ 3 1:2 = : 2 ~ ~ 80 + 5S + 52 + 0:15jS~4 ; ~ 4j
c = f c1 c3
;
y
:
;
;
y
;
;
y
met X~ = 12 (S~ + ~ ). Het gedrag van het naal voorgestelde model wordt tenslotte nog besproken voor de testgevallen die continu terugkomen in dit werk (kanaal, roterend kanaal, BFS bij Reh = 5100), evenals voor twee bijkomende testgevallen: een stroming over een bump zonder recirculatie en een BFS bij een hoger Reynoldsgetal (Reh = 37423). Aangezien het SSTLMNL3S model enkel van het SSTLMNL3A model verschilt in de tweede-orde termen, zijn de stromingsvoorspellingen voor een kanaal voor beide modellen identiek. Het enige verschil ligt in de normale Reynoldsspanningen, die ook hier uitstekend gereproduceerd worden (guur 0.8). Ook voor het roterende kanaal zijn de stromingsvoorspellingen voor SSTLMNL3S en SSTLMNL3A dezelfde (guur 0.10). Het verschil is enkel te vinden in de normale Reynoldsspanningen die nu (guur 0.11) geen realiseerbaarheidsprobleem meer vertonen. Figuur 0.9 illustreert de kwaliteit van het voorgestelde model voor BFS-stroming t.o.v. de uitgangssituatie. M.b.v. het voorgestelde model worden alle kenmerken gereproduceerd: lengte van zowel primaire als secundaire recirculatiezone, sterkte van de primaire recirculatiezone, niveau van de wrijvingscoe cient gedurende en na recovery. Het SSTLMNL3S model blijkt de sterkte van de recirculatiezone iets meer te onderschatten dan het SSTLM model, maar het resultaat blijft veel beter dan dat voor een lineair k- model zoals het LYS model. De turbulent kinetische energie wordt vrij goed voorspeld, net zoals de normale Reynoldsspanningen. De enige wandanomalie die zich nog voordoet, is de terugkeer naar isotrope toestand zeer dicht bij wand. De turbulente schuifspanning wordt best voorspeld door het SSTLMNL3S model.
38
0. Samenvatting-Summary in Dutch
400
0.005 DNS uu+ DNS vv+ DNS ww+ LYS SSTLMNL3S
350
0.004
0.003
300
0.002 250
Cf
y+
0.001 200
0 150 -0.001 100
DNS LYS SSTLM SSTLMNL3S
-0.002
50
-0.003
0
-0.004 0
1
2
3
4 uu+,vv+,ww+
5
6
7
8
2
0
4
6
8
10 x/h
12
14
16
18
Figuur 0.8: Normale Reynoldsspanningen Figuur 0.9: Cf voor BFS, Reh = 5100. voor kanaalstroming, Re = 395. In de beschouwde testgevallen stelt het roterend kanaal een stroming voor met rotatieeecten, terwijl de BFS recirculatie- en krommingseecten combineert. Om de kwaliteit van het voorgestelde model te kunnen beoordelen lijkt het interessant een testgeval te beschouwen waar krommingseecten een rol spelen, maar waar geen recirculatie optreedt en geen externe rotatie wordt opgelegd. Een dergelijk testgeval wordt gevormd door de tweedimensionale bump, die experimenteel bestudeerd werd door Webster et al. 35] (guur 0.12). Dit is een moeilijk testgeval vermits de stroming blootgesteld wordt aan afwisselende tekens van zowel drukgradient als kromming. Het beschouwde geval komt overeen met de experimenten voor Re = 4030. Vooraleer het voorgestelde model op dit probleem wordt losgelaten, worden eerst berekeningen uitgevoerd met k- modellen van toenemende complexiteit, om de rol van de verschillende niet-lineaire termen te illustreren en te tonen in hoeverre de k- formuleringen in staat zijn deze stroming te voorspellen. Dit betekent dat de modellen LYS, NL1, NL2S en NL3S hier vergeleken worden. De stromingsgewijze positie is aangegeven met: x = xLx0 , waarbij x0 overeenkomt met de aanvalsboord van de bump, terwijl Lc de bumplengte voorstelt. Op guur 0.13, die de wrijvingscoe cient toont, trekt de middenzone van de bump (x = 0:5) onmiddelijk de aandacht, vermits alle modellen daar de wrijvingscoe cient ernstig overschatten. De afwijking t.o.v. de experimenten neemt af naarmate een complexere niet-lineaire relatie gebruikt wordt. Daarbij blijkt de grootste aanpassing teweeg gebracht te worden door de tweede-orde termen. De cubische term heeft zoals verwacht de grootste invloed daar waar de geometrie het meest gekromd is. Ondanks de gebrekkige voorspelling voor de wrijvingscoe cient in het midden van de bump, wordt het snelheidsverloop daar vrij goed gereproduceerd, met beter wordende resultaten naarmate het model complexer wordt. Ook de voorspellingen voor turbulent kinetische energie worden beter bij gebruik van hogere orde modellen, dit in tegenstelling tot de turbulente 0
;
c
0
39
1.3
1 0.8
1.2
utp/ut DNS uts/ut DNS SSTLM SSTLMNL3A
0.6 0.4 0.2
1 y/h
utp/ut,uts/ut
1.1
DNS, uu+ DNS, vv+ DNS, ww+ LYS SSTLMNL3S
0.9
0 -0.2 -0.4
0.8
-0.6 0.7 -0.8 0.6
-1 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 Ro
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
1
2
3
4
5 6 uu+,vv+,ww+
7
8
9
10
Figuur 0.10: Wrijvingssnelheden in func- Figuur 0.11: Normale Reynoldsspantie van rotatiegetal. ningen voor roterende kanaalstroming, Re = 194, Ro=0.10.
Figuur 0.12: Bump geometrie. schuifspanning, die over het algemeen slechter wordt. Worden tenslotte de normale Reynoldsspanningen beschouwd, dan kan de bekwaamheid van de voorgestelde nietlineaire wet om de gewenste anisotropie-niveaus te bekomen vastgesteld worden. Vervolgens worden de resultaten voor de modellen LYS, SSTLM en SSTLMNL3S vergeleken. De voorspelde wrijvingscoe cient (guur 0.14), blijkt zeer slecht te zijn voor het SSTLM model: niet alleen wordt de wrijvingscoe cient in het midden van de bump nog sterker overschat dan met het LYS model, bovendien blijkt er aan het eind van de bump een recirculatiezone voorspeld te worden, die er in werkelijkheid niet is. Het voorgestelde SSTLMNL3S model geeft de beste voorspellingen in het midden van de bump, maar slaagt er niet in de recirculatiezone die door het SSTLM model voorspeld wordt te verwijderen, waardoor de wrijvingscoe cient in deze regio niet goed voorspeld wordt. Ook de snelheidsproelen zijn zeer slecht voor het SSTLM model, en dit voor alle beschouwde posities. Behalve voor de omgeving van de verkeerdelijk voorspelde recirculatiezone, geeft de SSTLMNL3S aanpak behoorlijk goede snelheidsproelen. De turbulent kinetische energie blijkt over het algemeen best voorspeld door SSTLMNL3S, maar de kwaliteit van de turbulente schuifspanning blijkt niet zo goed te zijn. Het SSTLMNL3S model is opnieuw in
40
0. Samenvatting-Summary in Dutch
0.007
0.007 EXP LYS NL1 NL2S NL3S
0.006
EXP LYS SSTLM SSTLMNL3S
0.006
0.005 0.005 0.004
Cf
Cf
0.004 0.003
0.003 0.002 0.002 0.001
0.001
0 -0.4
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8 x’
1
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.001 -0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x’
Figuur 0.13: Cf voor bump, Re = 4030. Figuur 0.14: Cf voor bump, Re = 4030. staat de anisotropieniveaus behoorlijk weer te geven. Voor dit testgeval is de conclusie dat geen enkel van de onderzochte modellen in staat is deze stroming correct te voorspellen. De k- gebaseerde modellen geven een aanzienlijke overschatting van de wrijvingscoe cient in het midden van de bump, die na het invoeren van hogere-orde termen voor een aanzienlijk deel blijft bestaan. De k-! gebaseerde modellen voorspellen verkeerdelijk de aanwezigheid van een recirculatiezone, die zelfs na het invoeren van de voorgestelde cubische wet blijft bestaan. Het feit dat het voorgestelde model verkeerdelijk een recirculatiezone voorspelt is verbonden aan de algemene neiging van de k-! modellen om langere recirculatiezones te voorspellen dan de op k- gebaseerde modellen. De resterende overschatting van de wrijvingsspanning in het midden van de bump kan misschien verklaard worden door een te kleine cubische term in die regio. Op stromingsgewijze posities die overeenkomen met het midden van de bump, zal de kromming van de stroomlijnen klein zijn. De cubische term werd ontwikkeld om de algemene tendens bij toenemende rotatie van een kanaal te kunnen weergeven. Hoewel deze tendens werd weergegeven, werd de invloed van kleine rotatiegetallen sterk onderschat. Deze kleine rotatiegetallen komen overeen met te kleine waarden voor S~2 ; ~ 2, die in de cubische term voorkomt, net zoals een kleine stroomlijncurvatuur overeenkomt met een kleine waarde voor S~2 ; ~ 2. De BFS die tot nu toe gebruikt werd om de modellen uit te testen, was de door Le en Moin m.b.v. DNS berekende, en heeft daarom geen extreem hoog Reynoldsgetal. Om een vollediger beeld te kunnen krijgen van de voorspellingskwaliteit van de voorgestelde modelleringsaanpak, wordt ook een BFS met hoger Reynoldsgetal beschouwd (Reh = 37423). Deze stroming werd experimenteel bestudeerd door Driver en Seegmiller 36]. De modellen LYS, SSTLM en SSTLMNL3S worden vergeleken. De guur 0.15 illustreert dat, net zoals bij de vorige BFS, het SSTLM model de recirculatiezone veel beter kan reproduceren dan het LYS model. Het voorgestelde
41
0.0025
0.002
0.0015
0.001 EXP LYS SSTLM SSTLMNL3S
cf
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002 0
5
10
15
20
25
30
35
x/h
Figuur 0.15: Cf voor BFS, Reh = 37423.
niet-lineaire model verbetert de wrijvingscoe cientvoorspellingen in de regio x=h 3. Het niveau van de wrijvingscoe cient na recovery wordt een beetje overschat door het LYS model, terwijl het onderschat wordt door de k-! gebaseerde modellen. Dit is consistent met de neiging van deze modellen lagere wrijvingscoe cienten na recovery op te leveren dan het LYS model, zoals werd opgemerkt bij de BFS met lager Reynoldsgetal. Hoewel alle modellen goede snelheidsvoorspellingen geven in de recirculatiezone, is de kwaliteit van de overige snelheidsproelen niet zo goed. Net zoals de voorheen beschouwde BFS, wordt u u over- en v v onderschat door de lineaire modellen. Gebruik makend van de voorgestelde niet-lineaire relatie wordt het gedrag weliswaar kwalitatief weergegeven (u u > v v ), maar niet kwantitatief: de u u -piek wordt overschat, terwijl de wandwaarde onderschat wordt. Het omgekeerde gebeurt voor v v . 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Conclusie
Het model heeft zijn kwaliteiten bewezen voor de voorspelling van al dan niet roterende kanaalstroming en BFS stroming bij matig Reynoldsgetal (Reh = 5100). Voor de bumpstroming voorspelt het voorgestelde model verkeerdelijk de aanwezigheid van een recirculatiezone, als gevolg van het gebruik van een k-! gebaseerd model. De voorspellingen voor de BFS die experimenteel werd onderzocht door Driver en Seegmiller zijn heel wat minder goed dan voor de BFS met lager Reynoldsgetal. Ondanks de juiste inschatting van de lengte van de recirculatie, wordt het niveau van de wrijvingscoe cient na recovery onderschat, worden de snelheidsproelen niet noodzakelijk beter dan bij gebruik van een lineair k- model en worden de anisotropieniveaus enkel nog kwalitatief, en niet meer kwantitatief gereproduceerd.
42
0. Samenvatting-Summary in Dutch
Hoofdstuk 12: Conclusies Het doel van dit werk was het onderzoeken van het potentieel van niet-lineaire tweevergelijkingen turbulentiemodellen. Om de nodige berekeningstijd voor de turbulente berekeningen te kunnen beperken waren enige numerieke beschouwingen nodig. Voor het RANS gedeelte van de op te lossen vergelijkingen is gebeleken dat de combinatie van een alternerende lijnmethode met multigrid een aanzienlijke verbetering kan teweeg brengen t.o.v. het gebruik van puntmethodes. Vermits de turbulentievergelijkingen voornamelijk brongedetermineerd zijn, is het gebruik van een alternerende lijnmethode zonder multigriding hiervoor de optimale keuze gebleken. Rekening houdend met de incompressibiliteit van de beschouwde stromingen en een aantal nauwkeurigheidsaspecten, werd een oplossingsmethode gekozen. De nood aan het gebruik van laag-Reynolds modellen werd gellustreerd door het beschouwen van een aantal hoog-Reynolds implementaties en door hun afhankelijkheid van de locatie van het eerste roosterpunt aan te tonen. Een nieuw niet-lineair, laag-Reynolds turbulentiemodel werd ontwikkeld, door het opleggen van realiseerbaarheidsvoorwaarden en het gebruik van DNS-data om de modelcoe cienten te tunen. Hoewel a priori testen voor dit model veelbelovend leken voor de BFS stroming, bleken de berekeningsresultaten teleurstellend. Het gebruik van het niet-lineaire model had uiteraard voordelen (dalen van de overschatting van k, verschuiven van de k-piek naar de juiste positie, betere anisotropieniveaus), maar de voorspelling van de recirculatiezone werd slechts marginaal verbeterd. Vermits het ontwikkelde model het nadeel vertoonde de anisotropieen niet tot op de wand te kunnen voorspellen, omwille van de tijdsschaal gebruikt voor het dimensieloos maken van de tweede-orde termen, werden alternatieve manieren onderzocht voor deze procedure van dimensieloos maken. Gebaseerd op deze studie werden nieuwe tweedeorde termen voorgesteld. Opnieuw waren de a priori testen voor BFS veelbelovend, en hoewel deze termen wel wat meer invloed leken te hebben dan de voorheen ontwikkelde, veroorzaakte de mogelijkheid om de anisotropieen tot op de wand te reproduceren niet de verhoopte verbetering van de voorspellingen wat de recirculatiezone betreft. Vermits de niet-lineaire constitutieve wet ontwikkeld werd a.h.v. DNS-data, kon deze met eender welk model gecombineerd worden. Er werd vastgesteld dat het aanbrengen van een aantal aanpassingen in de vergelijking, zoals het overschakelen op recent vaker gebruikte waarden voor constanten, of het gebruik van anisotrope diffusietermen, meer gevolgen had voor de stromingsvoorspellingen dan het gebruik van een meer complexe constitutieve wet. Hoewel de bekomen resultaten heel wat dichter bij de DNS-data lagen, was het resultaat nog steeds niet bevredigend. Daarom werd het k-! model als alternatief twee-vergelijkingen model onderzocht. Berekeningen hiermee toonden onmiddelijk de superioriteit aan van deze aanpak voor het voorspellen van de BFS stroming. Veelbelovende resultaten werden reeds bekomen met hoog-Reynolds k-! modellen. Om alles behoorlijk te kunnen representeren waren
43
laag-Reynolds versies noodzakelijk. Een selectie van bestaande lineaire modellen werd onderzocht, en het SSTLM model, bestaande uit een menging van een laag-Reynolds k-! model in wandomgeving met het standaard k- model in vrije stroming werd in zijn klasse de beste keuze bevonden. Vervolgens werd een combinatie van de ontwikkelde niet-lineaire relatie met het SSTLM model voorgesteld, om de vereniging van de voordelen van beide deelmodellen toe te laten. Er werd aangetoond dat de meer complexe tweede-orde termen, die op een aangepaste manier dimensieloos worden gemaakt, de BFS voorspellingen niet noemenswaardig verbeteren, en bovendien te kampen hebben met een realiseerbaarheidsprobleem voor roterende gevallen. Daarom schakelt het naal voorgestelde model terug over naar de eenvoudiger tweede-orde termen, en dus naar het cubisch model dat eerst ontwikkeld werd. Deze niet-lineaire constitutieve wet wordt gecombineerd met het SSTLM model en blijkt uitstekende resultaten te leveren voor kanaalstroming. Het model is eveneens instaat het algemene gedrag bij rotatie van een kanaal weer te geven, en geeft bovendien uitstekende resultaten voor de beschouwde BFS-stroming. De berekeningen uitgevoerd voor een bump-stroming hebben gellustreerd dat de modellen gebaseerd op SSTLM de neiging hebben te snel recirculatie te voorspellen. Deze resultaten illustreren eveneens dat voor deze stroming, de tweede-orde termen een signicante invloed kunnen hebben. Jammer genoeg illustreert dit testgeval ook dat de impact van de cubische term onvoldoende is in de zone waar de kromming van de stroomlijnen klein is, wat kon verwacht worden, vermits deze cubische term ook een te kleine impact heeft bij lage rotatiegetallen in het geval van een roterend kanaal. De berekeningen voor de BFS met het hoger Reynoldsgetal hebben gellustreerd dat een model dat getuned werd voor vrij lage Reynoldsgetallen, en daarvoor zelfs in een complexe stroming succesvol is gebleken, niet noodzakelijkerwijze goede resultaten zal geven bij toepassen op een stroming met veel hoger Reynoldsgetal. De nale conclusie is dat ondanks het feit dat niet-lineaire turbulentiemodellen zeer nuttige werktuigen zijn, die betere stromingsvoorspellingen toelaten door hun bekwaamheid voor het voorspellen van anisotropieen en door de inbreng van rotationele en krommingseecten, hun mogelijkheden niet mogen overschat worden. Een recirculerende stroming zal niet noodzakelijkerwijze goed voorgesteld worden omdat de anisotropieen correct gemodelleerd worden, de bijbehorende lengteschaal bepalende vergelijking in het gebruikte twee-vergelijkingen model is van het grootste belang. Het meest geschikte twee-vergelijkingen model is het SSTLM model. Combinatie van dit model met de voorgestelde niet-lineaire constitutieve wet voorziet een model die recirculatie, rotatie en kromming aankan. Vermits de cubische term in het voorgestelde model onvoldoende invloed geeft van lage rotatie en/of kromming, is dit een term die in de toekomst nog wat meer aandacht zou moeten krijgen, vooraleer het model met extra cubische termen wordt uitgebreid die accurate voorspellingen in stromingen met swirl moeten toelaten.
