Rudi Susanto, M.Si
VEKTOR
BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Besaran Skalar
Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu, suhu, volume, laju, energi Catatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat Besaran Vektor
Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah. Contoh Catatan
: kecepatan, percepatan, gaya : vektor tergantung sistem koordinat
Sistem Koordinat z
y x
kartesius
polar
Catatan! a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama A
B
A=B
b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika : 1. Besar sama, arah berbeda A
B
A
B
A
B
A
B
2. Besar tidak sama, arah sama A
B
3. Besar dan arahnya berbeda
A
B
OPERASI MATEMATIK VEKTOR 1.JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR
Metode :
1. 2. 3. 4.
Jajaran Genjang Segitiga Poligon Uraian
1. Jajaran Genjang
A
+
=
Besarnya vektor R = | R | =
Besarnya vektor A+B = R = |R| = Besarnya vektor A-B = S = |S| =
A
R = A+ B
A 2 B 2 2 AB cos A 2 + B 2 + 2 AB cos θ A 2 + B 2 - 2 AB cos θ
Jika vektor A dan B searah θ = 0o : R = A + B Jika vektor A dan B berlawanan arah θ = 180o : R = A - B Jika vektor A dan B Saling tegak lurus θ = 90o : R = 0 Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik
2. Segitiga B
A
=
+
A
3. Poligon (Segi Banyak) D C
A +
+
+
=
D
A+B+C+D
A
B
Uraian! Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y) Y Ay
A B
By Ax
Bx
B = Bx.i + By.j
Ax = A cos θ ;
Bx = B cos θ
Ay = A sin θ ;
By = B sin θ
X
Besar vektor A + B = |A+B| = |R| |R| = |A + B| =
A = Ax.i + Ay.j ;
Rx = Ax + Bx
Rx 2 R y 2
Arah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ =
Ry = Ay + By
Ry Rx
θ = arc tg
Ry Rx
Contoh Soal
pembahasan
Contoh soal
pembahasan
pembahasan
2. PERKALIAN VEKTOR 1. Perkalian Skalar dengan Vektor
2. Perkalian vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product) b. Perkalian Silang (Cross Product) 1. Perkalian Skalar dengan Vektor
Hasilnya vektor
k : Skalar A : Vektor
C=kA
Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A Catatan
:
Jika k positif arah C searah dengan A
Jika k negatif arah C berlawanan dengan A k = 3,
A
C = 3A
2. Perkalian Vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product)
A B= C
Hasilnya skalar
C = skalar
Besarnya : C = |A||B| Cos θ A = |A| = besar vektor A B = |B| = besar vektor B Θ = sudut antara vektor A dan B θ B A cos θ
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) 1. Komutatif : A B = B A 2. Distributif : A (B+C) = (A B) + (A C)
Catatan :
1. Jika A dan B saling tegak lurus 2. Jika A dan B searah 3. Jika A dan B berlawanan arah
AB=0 AB=AB AB=-AB
b. Perkalian Silang (Cross Product)
Hasilnya vektor
C=AxB B
θ A B θ A C=BxA
Catatan : Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan
Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ Sifat-sifat : 1. Tidak komunikatif A x B = B x A 2. Jika A dan B saling tegak lurus A x B = B x A 3. Jika A dan B searah atau berlawan arah A x B = 0 2.11
VEKTOR SATUAN Vektor yang besarnya satu satuan
ˆA A A
Notasi
Aˆ Aˆ
A A
1
Besar Vektor
Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak) Z k
A j
i
Arah sumbu x
:
Arah sumbu y
:
iˆ ˆj
Arah sumbu z
:
kˆ
Y
X
A Axiˆ Ay ˆj Az kˆ
Penulisan dalam vektor satuan :
a x b (axiˆ ay ˆj az kˆ) x (bxiˆ by ˆj bz kˆ) ax iˆ x bxiˆ axbx (iˆ x iˆ) 0 axiˆ x by ˆj axby (iˆ x ˆj ) axby kˆ
Hasil akhir :
a x b (aybz by az )iˆ (azbx bz ax ) ˆj (axby bx a y )kˆ
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan
i i
=
j j =
kk
=
1
i j
=
j k =
k i
=
0
Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan ixi
jxj
=
ixj
=
k
jxk
=
i
kxi
=
j
=
kxk
=
0 k i
j 2.13
Latihan soal :
Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama saling mengapit dengan sudut . Jika besar a vektor dua kali vektor b dan a b 3 a b , hitung Jawab : a b a 2 b2 2 ab cos a b a 2 b 2 2 ab cos a 2 b2 2 ab cos
3 a 2 b2 2 ab cos
16 b2 cos 10 b2
51,320
!
• Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama. Jawab : r v12 v22 2 v1v2 cos 450 r
458, 7
r 21, 4 satuan
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus Dalil Cosinus : v22 v12 r 2 2v1r cos
297, 7 342, 4 cos =29,60 Dalil Sinus :
v2 r sin sin 1350 15(0, 707) sin =29,70 21, 4
Contoh Soal 2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ? Jawab : Vektor A = A =
2i – 3j + 4k A
=
2
2
2 + (-3) + 4
2
=
29
satuan
3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini : A = 2i – 2j + 4k B = i – 3j + 2k Jawab :
Perkalian titik : A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2 = 16
Perkalian silang :
AxB =
i 2 1
j - 2 - 3
k 4 2
= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k = (-4+12) i – (4-4) j + (-6+4) k = 8i – 0j – 2j = 8i – 2k
Kerjakan!
Terima Kasih
