Harmonogram výuky předmětu
Rovnice matematické fyziky – cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra matematiky FJFI ČVUT, Trojanova 13, Praha 2 e-mail: klika~it.cas.cz, milan.krbalek~fjfi.cvut.cz url: www.krbalek.cz/For_students/rmf
Kritéria pro udělení zápočtu (bodovací systém): • 2 písemné práce: – cca v půlce a na konci semestru (ohlášeny předem) – každá s maximem 40 bodů – trvání: 120 minut • 6 minitestů: – ohlášeny předem – náplň: definice a základní věty, popř. jednoduché příklady – každý s maximem 4 body • Aktivita na cvičení a přednáškách: – za vyřešení speciálních úloh (popř. za výraznou aktivitu na cvičení) má cvičící možnost rozdělit mezi N účastníků cvičení N bodů (maximálně) – body lze získávat také za aktivitu na přednášce (podle rozhodnutí přednášejícího) – jeden student může touto formou získat maximálně 10 bodů (bude uzavřeno k 20.12.2013) • Absence: – 4 absence jsou povoleny bez bodových srážek – za každou absenci nad povolený limit se odečítají 3 body – absence omlouvat nelze – za neúčast na řádném termínu zápočtové práce se odečítají 3 body – neúčasti na řádných termínech zápočtových prácí se do absencí na cvičení nezapočítávají • Kritéria: – zápočet se uděluje za 50 bodů a více – získá-li student 30 bodů a více (avšak méně než 50), musí pro získání zápočtu absolvovat opravnou písemnou práci alespoň s polovičním počtem bodů – student, který získal méně než 30 bodů, ztrácí nárok na zápočet – za každých 5 bodů nad hranicí 50 bodů se k bodovému hodnocení zkouškové písemné práce (v libovolném z platných termínů) připočítává 1 bod
Literatura pro přednášku: • M. Krbálek: Úlohy matematické fyziky, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2012 • opravy ke skriptům: www.krbalek.cz/For_students/Files_to_load/chyby_skripta_RMF_2012.pdf • Č. Burdík a O. Navrátil : Rovnice matematické fyziky, Česká technika nakladatelství ČVUT, 2008 • Z. Pírko a J. Veit: Laplaceova transformace, SNTL, Praha 1970 • P. Šťovíček: Metody matematické fyziky I - Teorie zobecněných funkcí, Česká Technika - nakladatelství ČVUT, 2006 • V.S. Vladimirov: Uravnenija matematičeskoj fyziky, Nauka, Moskva 1976
Literatura pro cvičení: • P. Doktor: Příklady z matematické analýzy VI - parciální diferenciální rovnice, SPN, Praha 1983 • P. Čihák: Příklady z matematiky pro fyziky V, Matfyzpress, Praha 2003 • F. Jirásek: Funkce komplexní proměnné a Laplaceova transformace, Ediční středisko ČVUT, Praha 1983 • M. Krbálek: Úlohy matematické fyziky – cvičení, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008 • J. Moravčík: Matematika - vybrané části III, Alfa, Bratislava 1984 • Z. Pírko a J. Veit: Laplaceova transformace, SNTL, Praha 1970 • M. Virius: Cvičení z metod matematické fyziky I, Ediční středisko ČVUT, Praha 1988 • M. Virius: Cvičení z metod matematické fyziky II, Ediční středisko ČVUT, Praha 1988 • V.S. Vladimirov: Sbornik zadač po uravnenijam matematičeskoj fyziky, Nauka, Moskva 1974
1. cvičení: Integrace s parametry • Gaussův integrál • Gamma funkce • věta o záměně limity a Lebesgueova integrálu – příklady • věta o záměně derivace a Lebesgueova integrálu – příklady R∞ 2 • integrál 0 e−ax cos(bx) dx R∞ 2 • integrál 0 xn e−ax dx R • definice hlavní hodnoty integrálu (VP) J⊂R f (x) dx a některé výpočty 2. cvičení: Operace konvoluce a její vlastnosti • definice pojmu konvoluce • výpočty jednorozměrných konvolucí • výpočty vícerozměrných konvolucí • existenční věta pro konvoluci • důkaz některých vlastností konvoluce • definice pojmu hustota pravděpodobnosti a nástin pravděpodobnostní interpretace operace konvoluce • věta o konvoluci dvou hustot pravděpodobnosti • věta o derivaci konvoluce
3. a 4. cvičení: Hilbertovy prostory funkcí a lineární operátory na těchto prostorech • faktorový prostor funkcí • Hilbertův prostor funkcí • pojem báze v Hilbertově prostoru • Besselova nerovnost a její důkaz • věta o Fourierově rozvoji libovolné funkce z Hilbertova prostoru a její důkaz • Parsevalova rovnost a její důkaz • ortogonální polynomy (Legendreovy, Hermiteovy, Laguerreovy polynomy) • Rodriguesova diferenciální formule pro ortogonální polynomy • hermiteovské operátory na Hilbertových prostorech a některé jejich vlastnosti
5. a 6. a 7. cvičení: Integrální rovnice • Fredholmova rovnice prvního a druhého druhu • řešení integrálních rovnic se separovatelným jádrem přímou metodou • řešení Fredholmových integrálních rovnic metodou postupných aproximací • řešení Fredholmových integrálních rovnic metodou iterovaných jader • Volterova rovnice druhého druhu a její řešení metodou postupných aproximací • Volterova rovnice druhého druhu a její řešení metodou iterovaných jader • důkazy některých vět z teorie
8. a 9. cvičení: Parciální diferenciální rovnice a jejich normalizace • kvazi-parciální diferenciální rovnice • definice a normální tvar parciální diferenciální rovnice • převody rovnic s konstantními koeficienty na normální tvar • eliptické, hyperbolické a parabolické rovnice • odvození tvaru převodních vztahů pro parabolickou nebo eliptickou rovnici (doplněk k přednášce) • transformace rovnic s nekonstantními koeficienty na normální tvary
10., 11. a 12. cvičení: Teorie zobecněných funkcí • definice distribucí – podrobný rozbor • δ−funkce δ(~x) a centrovaná δ−funkce δµ~ (~x) • věta o derivaci skokové funkce a její použití • Heavisideova funkce Θ(~x) a centrovaná Heavisideova funkce Θµ~ (~x) a jejich vztah k delta-funkci • základní a pokročilé operace ve třídě D 0 (Er ) • konvergence ve třídě D 0 (Er ) • Sochockého distribuce a konečná část (partie finie) • Sochockého vzorce
13.–15. cvičení: Tenzorový součin a konvoluce zobecněných funkcí • tenzorový součin a důkazy jeho vlastností
• rozklad prostoru D(Er+s ) • konvergence k jedničce (výklad) • konvoluce ve třídě D 0 (Er ) • důkazy základních vztahů • propojení pojmu klasické konvoluce s pojmem zobecněné konvoluce
16. a 17. cvičení: Laplaceova transformace • definice • obrazy základních funkcí • základní pravidla pro Laplaceovu transformaci (důkazy) • výpočty Laplaceových obrazů • řešení obyčejných diferenciálních rovnic Laplaceovou transformací • řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic Laplaceovou transformací • výpočty integrálů pomocí Laplaceovy transformace • Laplaceův obraz δ−funkce (diskuse) • řešení integrodiferenciálních rovnic užitím Laplaceovy transformace
18.–20. cvičení: Fourierova transformace • definice na S , L1 , resp. S 0 • obrazy základních funkcí a distribucí • základní pravidla pro Fourierovu transformaci (důkazy) • inverzní transformace • Fourierův obraz δ−funkce • výpočty obrazů funkcí
21. a 22. cvičení: Fundamentální řešení operátorů • obyčejný diferenciální operátor • základní operátory • definice fundamentálního řešení • určení fundamentálního řešení obyčejného diferenciálního operátoru žitím pomocné věty
• určení fundamentálního řešení užitím integrálních transformací • fundamentální řešení základních parciálních diferenciálních operátorů
23. a 24. cvičení: Řešení rovnic matematické fyziky • řešení obyčejných diferenciálních rovnic s nulovými okrajovými podmínkami • řešení obyčejných diferenciálních rovnic s nenulovými okrajovými podmínkami • rovnice vedení tepla a její řešení • vlnová rovnice a její řešení • Burgersova rovnice a její řešení
25. a 26. cvičení: Eliptické diferenciální rovnice • eliptický diferenciální operátor a jeho vlastní hodnoty • odvození Greenových formulí • okrajová úloha pro eliptickou rovnici • Sturm-Liouvilleova úloha • řešení úlohy na vlastní hodnoty metodou separace proměnných
27. cvičení: Kvantový harmonický oscilátor a jeho řešení • aplikace probírané teorie na kvantový LHO
