RINGKASAN MATERI PENCERMINAN

RINGKASAN MATERI PENCERMINAN

Definisi: Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut: a. jika P  s maka M s (P) = P b. jika P  s maka M s (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP' . Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu pencerminan / singkat cermin.

Teorema Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. Bukti: Ms: V → V I. Akan dibuktikan Ms surjektif.  Ambil Sebarang X ' V  X '  Ms( X ) . Menurut definisi jika X  S maka Ms( X )  X '  X Jadi X ' V , X '  X  Ms( X ), X  S  X ' V , X '  X  Ms( X ) dengan S sumbu XX’ Jadi Ms surjektif. II. Akan dibuktikan Ms injektif.  Kasus 1 Misalkan A1  A2 Untuk

A1  S maka Ms( A1 )  A1 '  A1 . A2  S maka Ms( A2 )  A2 '  A2

Jadi A1 '  A2 '  Kasus 2 Ambil A1  S , A2  S maka

i).

Ms ( A 1 )  A 1 '  A 1

ii). A2  Ms( A2 )  A2 ' , yakni S sumbu dari A2 A2 ' . Karena A1  S dan A2  S maka A1 '  A2 '  Kasus 3 Untuk A1  S , A2  S , A1  A2  A1 '  A2 ' Andaikan Ms( A1 )  Ms( A2 ) . Maka dipenuhi :

A1 A1 ' adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya A1 A1 '  S . A2 A2 ' adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya A2 A2 '  S . Andaikan A1  A2 , maka menurut teorema tidak ada 2 buah garis yang tegak lurus terhadap garis sumbu S yang melalui titik yang sama. Artinya jika Ms( A1 )  Ms( A2 ) maka haruslah A1  A2 . Padahal diketahui A1  A2 . Jadi haruslah A1  A2  Ms( A1 )  Ms( A2 ) . Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.

Definisi: Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).

Teorema: Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri. Jadi kalau A’ = Ms(A), B = Ms(B) maka AB = A’B’. Bukti: Ambil Semarang A, B, A’, B’  V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan A’B’ = AB. Kasus I Jika A, B  S maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B. Jadi AB = A’B’  Ms(A)Ms(B) = AB. Kasus II

S A = A’

Jika A  S, B  S dan Ms(A) = A’ = A dan Ms (B) = B’ Akan ditunjukkan AB = A’B’ Perhatikan ABC & AB ' C AC = AC (berimpit)

mABC  mACB' (karena siku-siku) BC = B’C (karena S sumbu simetri) Menurut teorema karena ABC & AB ' C mempunyai sifat S Sd S yang sama, maka

ABC  AB' C . Jadi AB = A’B’. Kasus III

S

Jika A, B  S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’. A

Akan ditunjukkan AB = A’B’

A’

Perhatikan BDC & B ' DC . DC = DC (berimpit)

mDCB  mDCB' (karena siku-siku) BC = B’C (karena S sumbu simetri)

B

C

B’

Menurut teorema karena BDC & B' DC mempunyai sifat S Sd S yang sama maka

BDC  B' DC . Jadi BD = B’D dan mBDC  mB ' DC . Karena mBDC  mB' DC dan mADC  mA' DC (90 0) mADB  90 0  mBDC

Maka mADB  90 0  mB' DC mABD  mA' DB' Perhatikan BAD & B' AD AD = A’D (berimpit) mADB  mA' DB (dari pernyataan 1)

DB = DB’ (diketahui) Menurut teorema karena BAD & B' AD mempunyai sifat S Sd S yang sama maka BAD  B ' AD .

Jadi AB = A’B’.

SOAL LATIHAN

1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B).

●

●

A

B

Mg(A) = B dan Mg(B) = A

2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B! Diket : A (1,3), B (-2,-1) Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B Y

Jawab : Persamaan garis AB y  y1 x  x1  y 2  y1 x2  x1

3 2

y 3 x 1  1  3  2 1  3( y  3)  4( x  1) 

1 -2 -1 -1

 3 y  9  4 x  4  4x  3 y  5  0

Gradien m =

4 3

Gradien yang tegak lurus garis AB, m2 = -

3 4

(1,3)  ( 2,1) (1,2) 1   ( ,1) 2 2 2 1 Persamaan garis yang melalui ( ,1) dengan m = 3 adalah 2 y – y1 = m (x – x1)

Titik tengah AB =

y–1=-

3 1 (x + ) 4 2

1

X

y=-

3 3 x- +1 4 8

y=-

3 5 x+ 4 8

8y + 6x – 5 = 0 6x - 8y – 5 = 0 Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0

3. Diketahui: g =

x, y  x  -3

Ditanya: a. Mg(A), bila A(2,1). b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . . c. P(x,y), maka Mg(P) = . . . Jawab: a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1. B (-3,1) adalah titik tengah AA' ,  x  x A ' y A  y A'   2  x A 1  y A '  Maka (-3,1) =  A , ,   2 2 2     2

Jelas  6,2   ( 2  x A' ,2  y A ' )

 x A' , y A'    8,1 Jadi A’ = (-8,1) b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7. D(-3,7) adalah titik tengah AA' ,  x  xC ' y C  y C '   xC  1 y C  7  Maka (-3,7) =  C , ,   2 2 2     2

Jelas  6,14  ( xC  1, yC  7)

 xC , yC    5,7 Jadi C = (-5,7)

c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP ' .  x p  x p' y p  y p'   Jelas Q = (-3, yp) =  , 2 2     6,2 y p   ( x p  x p ' , y p  y p ' )  x p , y p '    6  x p , y p 

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y). 4. Diketahui g =

x, y  y  2

Ditanya:





a. Jika A = 3, 2 , tentukan A’ = Mg(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg. c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P) Jawab:





a. Persamaan garis yang melalui A 3, 2 dan tegak lurus g adalah x = 3. Misal B (3,2) adalah titik tengah AA' ,

 x  x A ' y A  y A '   3  x A 2  y A'  Maka (3,2) =  A , ,   2 2 2    2  Jelas 6,4   (3  x A' , 2  y A' )

 x A' , y A'   3,4 

2



Jadi A’ = (3, 4  2 ) b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2. Misal C(2,2) adalah titik tengah DD' ,  x  x D ' y D  y D '   x D  2 y D  ( 4)  Maka (2,2) =  D , ,   2 2 2    2 

Jelas 4,4   ( x D  2, y D  4)

 x D , y D   2,8 Jadi Prapeta D oleh Mg = (2,8) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP ' .

 x p  x p' y p  y p'   Jelas Q = (xQ, 2) =  , 2 2   x p  x p' y p  y p ' , ) 2 2  2 x p ,4   x p  x p ' , y p  y p '   x p , 2   (

 x p , y p   x p ,4  y p 

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-x, 4 - y). 5. Diketahui h =

x, y  y  x

Ditanya: a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh. c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P) Jawab: a. Dicari gradien garis y = x, yaitu m = 1 Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah

y  y1  m( x  x1 ) y  3  1( x  2) y  x  2  3 y  x 1 Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 dengan mensubstitusikannya. y=y x = -x – 1 2x = -1 x=-

1 2

substitusikan x = diperoleh y = -

1 ke persamaan y = x 2

1 . 2

Jadi titik tengah AA' (-

1 1 ,- ). 2 2

Jelas (-

1 1 ,- ) titik tengah AA' , maka 2 2

 1 1   x A  x A' y A  y A'   2  x A  3  y A '  , ,     ,    2 2 2  2 2    2 

Jelas  1,1  (2  x A' ,3  y A' )

 x A' , y A'    3,2 Jadi A’ = (-3,2) b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1 Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah

y  y1  m( x  x1 ) y  5  1( x  3) y  x  3  5 y  x  2 Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara substitusi. y=y x = -x + 2 2x = 2 x=1 substitusikan x = 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 1. Jadi titik tengah BB' (1,1). Jelas (1,1) titik tengah BB' , maka

1,1   x B  x B' , y B  y B '    x B  (3) , y B  5  

2

2





2

2



Jelas 2,2   ( x B  3, y B  5)

 x A' , y A'   5,3 Jadi A’ = (5,-3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah y  y p  m( x  x p ) y  x  xp  yp

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP ' .

 x p  x p' y p  y p'   Jelas Q = (xQ, yQ) =  , 2 2    2 xQ ,2 yQ   ( x p  x p ' , y p  y p ' )  x p ' , y p '   x p  2 x Q , y p  2 y Q  Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

6. Diketahui k = Ditanya:

x, y  x  y  0

a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk. c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P) Jawab: a. Dicari gradien garis k  x  y  0  y   x Jadi mk = -1 Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah

y  y1  m( x  x1 ) y  3  1( x  2) y  x23 y  x5 Mencari perpotongan y = -x dengan y = x - 5 dengan cara substitusi. y=y -x = x – 5 2x = 5 x=

5 2

substitusikan x = diperoleh y = -

5 ke persamaan y = -x 2

5 . 2

Jadi titik potongnya (

5 5 ,- ) 2 2

5 5 Karena ( , - ) titik tengah AA' , maka 2 2

 5 5   x A  x A ' y A  y A'   2  x A'  3  y A'  , ,    2 , 2    2 2 2    2 

Jelas 5,5  ( 2  x A ' ,3  y A' )

 x A' , y A'   3,2 Jadi A’ = (3,-2) b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1 Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

y  y1  m( x  x1 ) y  5  1( x  3) y  x 35 y  x8 Mencari perpotongan y = -x dengan y = x +8 dengan cara substitusi. y=y -x = x + 8 2x = -8 x = -4 substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x diperoleh y = 4. Jadi titik potongnya (-4,4). Karena (-4,4) titik tengah BB' , maka

 4,4   x B  x B' , y B  y B'    x B  (3) , y B  5  

2

2





2

2



Jelas  8,8  ( x B  3, y B  5)

 x A' , y A'    5,3 Jadi A’ = (-5, 3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah y  y p  m( x  x p ) y  x  xp  yp

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP ' .

 x p  x p' y p  y p' Jelas Q = (xQ, yQ) =  , 2 2 

  

 2 x Q ,2 y Q   ( x p  x p ' , y p  y p ' )  x p ' , y p '   x p  2 x Q , y p  2 y Q 

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

7. Diketahui g =

x, y  x  y  1

Ditanya: a. Mg(0) b. Mg(A) dengan A(1,2). c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P. Jawab: a. Dipunyai g =

x, y  x  y  1, dari x + y = 1  y = 1 – x.

Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1 Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

y  y1  m( x  x1 ) y  0  1( x  0) yx Jadi h  y  x Titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu y=y 1–x=x 2x = 1 x=

1 2

substitusikan x = diperoleh y =

1 ke persamaan y = x 2

1 . 2

Jadi titik potongnya (

1 1 , ) 2 2

1 1 Karena ( , ) titik tengah OO' , maka 2 2

 1 1   x 0  x 0' y 0  y 0 '   0  x 0' 0  y 0 '  , ,    ,  2   2 2  2 2  2

Jelas 1,1  ( x0' , y0 ' )

 x0' , y 0'   1,1 Jadi Mg(O) = (1,1) b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

y  y1  m( x  x1 ) y  2  1( x  1) y  x  2 1 y  x 1 Jadi h  y  x +1 Mencari perpotongan g dengan h. y=y 1-x=x+1 2x = 0 x=0 substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x diperoleh y = 1. Jadi titik potongnya (0,1). Karena (0,1) titik tengah OO ' , maka

0,1   xo  xo' , y o  yo '    1  x B' , 2  y B '  

2

2





2

2



Jelas 0.2   (1  xo ' ,2  y o ' )

 xo , y o'    1,0 Jadi A’ = (-1,0) c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g =

x, y  x  y  1

Karena Mg(P) = P, maka P  P( x, x  1) Diperoleh x + y = 1 x  y  1  x  ( x  1)  1  x  0

Dan y = 0 + 1 = 1 Jadi Mg(P) = (0,1). 8. Diketahui g =

x, y  x - 3y  1  0, dan A (2,k).

Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0, Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g. Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g. Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0  2 - 3y = -1  3y = 3  y = 1 Jadi nilai k = 1. 9. Diketahui k =

x, y  ax - 3 y  1  0, B = (3,-1)

Tentukan a apabila Mk(B) = B! Karena Mk(B) = B, maka B = (3,-1) terletak pada garis k. Diperoleh

a.3 – 3(-1) + 1 = 0  3a +3 +1 = 0  3a = - 4 4  a=3

4 . 3 10. Dipunyai T(P) = (x-5, y+3) Jadi nilai a = -

P = (x, y)  V Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri? Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri. Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2  V maka P1‘P2’ = P1P2 Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2) T(P1) = P1’ = (x 1-5, y1+3) T(P2) = P2’ = (x 2-5, y2+3) P1 P2 

P1 ' P2 ' 

x 2  x1 2   y 2  y1 2 x 2 ' x1 '2   y 2 ' y1 '2

P1 ' P2 ' 

( x 2  5)  ( x1  5)2  ( y 2  3)  ( y1  3)2

P1 ' P2 ' 

x 2  5  x1  52   y 2  3  y1  3)2

P1 ' P2 ' 

x 2  x1 2   y 2  y1 2

Maka P1‘P2’ = P1P2. karena P1‘P2’ = P1P 2, maka T suatu isometri.