Renteanalyse technieken voor woningcorporaties Naar een nieuw modelmatig ontwerp
Masterproof K. de Wit MRE-opleiding jaargang 2004 - 2006 o.l.v. G.A. Vos Amsterdam School of Real Estate Amsterdam September 2008
1
1. 2.
Inleiding ............................................................................................................................. 3 Gap analyse ........................................................................................................................ 5 2.1. WsW-systematiek....................................................................................................... 5 2.2. Maturity gap model .................................................................................................... 6 2.3. Het cumulatieve gap model........................................................................................ 7 2.4. Voor- en nadelen van gap analyse.............................................................................. 8 3. Duration analyse............................................................................................................... 11 3.1. Definitie duration ..................................................................................................... 11 3.2. De bepaling van de marktwaarde ten behoeve van een duration analyse ................ 14 3.3. Opslagen op de yield curve ...................................................................................... 18 3.4. Het vraagstuk van onafhankelijkheid van de stochasten.......................................... 21 3.5. Voor- en nadelen van het hanteren van duration analyse......................................... 24 3.6. Duration analyse: een voorbeeld .............................................................................. 25 4. Value at Risk analyse ....................................................................................................... 27 4.1. Definitie Value at Risk............................................................................................. 27 4.2. Methoden om VaR te bepalen.................................................................................. 30 4.3. De VaR voor een enkelvoudige rentepositie; een 1e-orde benadering..................... 32 4.4. De VaR voor een enkelvoudige rentepositie; een 2e orde benadering ..................... 34 4.5. De VaR voor een meervoudige rentepositie ............................................................ 35 4.6. Value at Risk: een voorbeeld ................................................................................... 38 4.7. Value at Risk: de voor- en nadelen .......................................................................... 39 5. Scenario analyse............................................................................................................... 42 5.1. Scenario analyse: de voor- en nadelen ..................................................................... 42 6. Conclusies en aanbevelingen ........................................................................................... 44 6.1. Conclusies ................................................................................................................ 44 6.2. Aanbevelingen.......................................................................................................... 45 7. Samenvatting.................................................................................................................... 46 Literatuurlijst………………………………………………………………………………….49 Bijlage I: Convexiteit……………………………………………………………………….51 Bijlage II: Voorbeeld Duartion……………………………………………………………....57 Bijlage III: Onderzoek swapkoersen………………………………………………………….61 Noten .………………………………………………………………………………………..66
2
1. Inleiding De rentekosten van woningcorporaties vormen nog steeds het grootste deel van de uitgaven die verricht worden door de woningcorporaties. Zo wordt er per woning over het verslagjaar 2005 € 1.339,- uitgegeven aan rentelasten 1 op een huuropbrengst van € 4.534,-. Afgerond is dit 30% van de bruto huuropbrengsten. Het resultaat uit gewone bedrijfsuitoefening (dit is het resultaat voor verkoop onroerende zaken en buitengewone baten en lasten) bedraagt over 2005 € 139 per woning. Er staat per woning € 24.910 uit aan leningen 2 . Dit impliceert dat het gemiddelde rentepercentage circa 5,38% over het verslagjaar 2005 bedroeg. Een stijging van de rente naar een niveau boven de 5,94% betekent dan dat het resultaat uit gewone bedrijfsvoering nihil zou hebben bedragen over het verslagjaar 2005. Andere omvangrijke lasten die de woningcorporaties verantwoorden in hun Winst- en verliesrekening worden gevormd door onderhoud (€ 1.163,- per woning) en overige bedrijfslasten (€ 1.014,- per woning). Deze lasten zijn overigens beter beïnvloedbaar door de woningcorporaties dan de rentekosten. Bovenstaande inleidende gegevens maken duidelijk wat het belang is van het beheersen van rentelasten voor een woningcorporatie. Door de geringe marge uit gewone bedrijfsuitoefening en de beperkte beïnvloedbaarheid van rentekosten is het van eminent belang voor een woningcorporatie om de rentelasten te beheersen. Renteontwikkelingen vormen de belangrijkste exogene variabele die door woningcorporaties “gemanaged” dienen te worden. Het onderwerp van deze masterproof is gericht op de tools die woningcorporaties hanteren bij het managen van hun renterisico’s. Het strategisch rentemanagement ziet er als volgt uit:
3
Het is mij in deze masterproof voornamelijk te doen om de meetinstrumenten die inzicht verschaffen in de omvang van het renterisico. In het strategisch rentemanagementproces komt dit voor in het deelproces meten. Hedgingstrategieën als zodanig vallen buiten het kader van dit onderzoek. Het is mijn opdracht om een meetinstrument te ontwikkelen ter meting van het renterisico dat gehanteerd kan worden door woningcorporaties die niet beschikken over een professioneel treasurysysteem. De voorkeur gaat daarbij uit naar een systeem dat eenvoudig toepasbaar is maar tevens een voldoende inzicht verschaft om op een meer professionele wijze eventuele renterisico’s af te kunnen dekken. Mijn probleemstelling luidt als volgt: Welke meetinstrumenten ter meting van het renterisico zijn theoretisch voorhanden voor woningcorporaties? Welke voor- en nadelen brengen deze meetinstrumenten met zich mee en welke kunnen worden gehanteerd door woningcorporaties? Definieer daarnaast een outline voor een dergelijk systeem dat leidt tot een voldoende professioneel inzicht in bestaande renterisico’s ten aanzien van de bestaande portefeuille vastgoed en de leningenportefeuille.. Dit onderzoek is als volgt opgebouwd: In hoofdstuk 2 wordt gap analyse behandeld. Onder gap analyse valt ook de zogenaamde WsW systematiek ter meting van het renterisico. Het Waarborgfonds sociale Woningbouw (WsW) stelt zich borg “voor de nakoming van verplichtingen die deelnemers aangaan of zijn aangegaan jegens geldgevers” 3 . Met deelnemers wordt bedoeld de Toegelaten Instellingen zoals omschreven in de Woningwet. In het vervolg zal ik deze deelnemers omschrijven met de term woningcorporaties (hoewel niet alle woningcorporaties ook lid zijn van het WsW). In hoofdstuk 3 komt duration analyse aan de beurt. Duration is een veel gebruikte maatstaf ter definiëring van renterisico. De omvang van het renterisico wordt in 1 getal samengevat en gedefinieerd. In hoofdstuk 4 wordt de Value at Risk methode behandeld. Value at Risk (VaR) is een verzamelnaam voor allerlei technieken die hun oorsprong vinden in de oorspronkelijk door J.P. Morgan ontwikkelde methode genaamd RiskMetrics om financieel portefeuillerisico te definiëren en te kwantificeren 4 . Deze methodiek stelt deelnemers aan de financiële markten in staat om hun exposure ten aanzien van marktrisico in te schatten. Hoofdstuk 5 staat vervolgens in het teken van scenario analyse. Scenario analyse wordt met name gehanteerd om het marktrisico in de tijd dynamisch in te kunnen schatten op basis van een set van (historische dan wel zelf bedachte) parameters. Scenario analyse geeft daarmee dus inzicht in de ontwikkeling van renterisico gedurende de tijd. Hoofdstuk 6 geeft een opsomming van de conclusies en in hoofdstuk 7 wordt een en ander nog eens samengevat.
4
2. Gap analyse Gap analyse vormt de eerste door mij besproken methodiek ter meting van renterisico’s en rente-exposures. Een rente-exposure kan worden omschreven als een nominaal bedrag dat aan toekomstige renteveranderingen blootstaat. Gap analyse is gebaseerd op het idee dat door het in kaart brengen van deze toekomstige rente-exposures inzicht verkregen wordt in het renterisico. Rente-exposures kunnen rentedragende leningen (og/ug) zijn met een toekomstige renteherziening (de zogenaamde renteconversie) dan wel herfinancieringen van leningen die afgelost worden op een toekomstig tijdstip waarvoor nieuwe rentedragende financiering aangetrokken dan wel uitgezet dient te worden. Gap analyse groepeert deze nominale bedragen op looptijd in zogenaamde rente-buckets. De WsW-systematiek groepeert de renteexposures in rente-buckets van opvolgende jaren. Deze rente-exposures worden vervolgens gerelateerd aan de totale omvang van de vreemd vermogen financiering zodat er een renteexposure percentage wordt berekend per toekomstig jaar. Het maturity gap model hanteert een eenvoudige tweedeling tussen vastrentend en variabelrentend. Vastrentende bedragen worden geacht niet gevoelig te zijn voor renteveranderingen terwijl variabelrentende bedragen wel gevoelig zijn voor renteveranderingen. Het cumulatieve gap model is een uitbreiding van deze methode en onderscheidt meerdere looptijden. Gap analyse kent aldus verschillende verschijningsvormen die gemeen hebben dat zij op basis van nominale waarden afgeleid uit de balans het verschil in euro’s meten oftewel de gap tussen de absolute waarde van rentegevoelige activa en passiva. Volgens deze benadering kan men rentegevoelige activa omschrijven als activa waarvan verwacht wordt dat zich aanpassingen in de contractueel vastgelegde rente gedurende een voorgeschreven "gapping periode" zullen voordoen. Het is belangrijk op te merken dat de bepaling van de gapping periode niet universeel is en varieert van organisatie tot organisatie. Als een algemene regel kan opgemerkt worden dat de gapping periode een functie is van de rentegevoeligheid van de passiva van de woningbouwcorporatie. 2.1.
WsW-systematiek
De WsW-systematiek is een systematiek van renterisicometing waarbij op basis van een meerjaren cashflow planning de toekomstige additionele financieringsbehoefte per jaar in kaart wordt gebracht. Daarbij wordt opgeteld de nominale omvang van de leningen die blootstaan aan een renteconversie in desbetreffende jaar. De toekomstige financieringsbehoefte plus de schuldrestant bij renteconversie vormen tezamen de renteexposure. De rente-exposure wordt genormeerd door deze te relateren aan de totale omvang van de vreemd vermogen financiering in desbetreffende jaar ( welke gelijk is aan de schuldrestant van de leningenportefeuille + saldo liquide middelen van het desbetreffende jaar). De rente-exposure in enig jaar mag de 15% niet overschrijden 5 . In een voorbeeld ziet een en ander er als volgt uit:
5
Rente-exposure analyse 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0 2007
2008
2009
2010
financieringsbehoefte
2011
2012
2013
2014
2015
schuldrest bij renteconversie
2016
2017
2018
2019
2020
WsW norm
Daarnaast hanteert het WsW de volgende richtlijnen 6 : • De zogenaamde eenderde richtlijn die betekent dat maximaal eenderde van de leningenportefeuille op enig moment mag worden afgedicht (toelichting kdw: door middel van derivaten) • De maximale renterichtlijn, welke momenteel op 5,5% staat. Deze richtlijn geeft aan dat financieringen (ook de zogenaamde forward fixing) slechts afgesloten mogen worden tegen een maximaal rentetarief van 5,5%. • De 7,5% renterichtlijn, welke inhoudt dat maximaal 7,5% van het balanstotaal met kort geld gefinancierd mag worden. • De 3-jaars periode. Voor nieuwe leningen stelt het WsW de eis dat deze nieuwe leningen een storting moeten hebben van maximaal 3 jaar vooruit vanaf het ondertekenen van het leningscontract. Het eerste dat opvalt is dat de totale rente-exposure in de WsW-systematiek afgezet wordt tegen de totale vreemd vermogen financiering in enig jaar. Renterisiconormering heeft zodoende alleen een relatie tot de passiefzijde van de woningcorporatie. De relatie tot de looptijden van de cashflows die uit het vastgoed van de organisatie gegenereerd worden en eventuele rentedragende uitzettingen die door de woningcorporatie zijn verricht ontbreekt volledig. Dit kan gedeeltelijk ondervangen worden door een tweetal methoden die door Bhattacharya en Foley 7 onderscheiden zijn. Deze worden achtereenvolgens kort besproken. 2.2.
Maturity gap model
Het maturity gap model meet het verschil in euro’s oftewel de gap tussen de absolute waarde van rentegevoelige activa en passiva. Volgens deze benadering kan men rentegevoelige activa omschrijven als activa waarvan verwacht wordt dat zich aanpassingen in de contractueel vastgelegde rente gedurende een voorgeschreven "gapping periode" zullen voordoen. Voor woningcorporaties betreft dit meestal rekening courant faciliteiten en andere rentedragende uitzettingen. In het maturity gap model wordt meestal slechts een onderscheid gemaakt tussen enerzijds variabelrentende activa en passiva en anderzijds vastrentende activa en passiva. Het verschil tussen variabel- en vastrentend is afhankelijk van de gapping periode. Indien activa en passiva, naar verwachting, rente-aanpassingen ondergaan gedurende de gapping periode dan worden zij benoemd tot variabelrentend. Is dit niet het geval dan spreken we over vastrentend.
6
2.3.
Het cumulatieve gap model
Een cumulatieve gap analyse begint met een zogenaamd static gap-report. Hierbij wordt uitgegaan van een rentebalans in tegenstelling tot een liquiditeitsbalans. Dit wil zeggen dat activa en passiva, inclusief off-balance operaties, ingedeeld worden in zogenaamde rentebuckets. Deze rente-buckets worden gecreëerd op basis van de termijnen waarbinnen aanpassingen in de contractuele rente kunnen worden doorgevoerd in de actief- of passiefposten. Met andere woorden; de balans wordt opgesteld op basis van de rentetypische looptijd van de activa en passiva. Behalve de rentetypiciteit heeft een static gap-report nog enkele andere kenmerken: • Het gaat bij de indeling om de resterende rentetypische looptijd en niet om de oorspronkelijke; • Balansposten met een variabele rente of een variabele looptijd (rekening courant, bepaalde spaarrekeningen, etc.) worden ingedeeld onder de rubriek "direct aanpasbaar". Per onderscheiden rente-bucket kan nu worden bepaald wat de omvang is van het verschil tussen de uitzettingen en aantrekkingen in deze bucket. Dit verschil wordt gedefinieerd als de gap. Omdat er normaliter sprake is van meerdere rente-buckets en aldus van meerdere gaps spreken we van een gap-structuur. Het is van belang dat we ook off-balance posten zoals Interest Rate Swaps (IRS), Forward Rate Agreements (FRA) en Forward fixings, in de static gap-rapportage opnemen. Deze posten, die met name veroorzaakt worden door het afdekken van on-balance renterisico's, kunnen een dermate grote omvang hebben dat zij in relatie tot de on-balance transacties een majeure omvang hebben. In deze context wordt er een onderscheid gemaakt tussen bruto-gaps en netto-gaps; de eerste bestaan puur uit on-balance posities terwijl bij de tweede tevens de off-balance posities in overweging genomen worden. Uiteraard geven de netto-gaps een meer gedetailleerde indicatie van het renterisico en voorkomen een dubbele afdekking van het renterisico. Door de gaps per rente-bucket op te tellen berekenen we de cumulatieve gap. Deze cumulatieve gap wordt gebruikt als indicator voor de rentepositie binnen een bepaalde periode. Bepaling van cumulatieve gaps zijn met name zinvol indien men het renterisico wenst te elimineren. Een eenvoudig voorbeeld kan dit verduidelijken. Stel dat de volgende gap-structuur bekend is: <1 jr
1- 2 jr
2- 3 jr
3-4 jr.
4-5 jr.
+5 jr.
Totaal
Activa Belegging 3Meuribor
50
50
Vastgoed Totaal
50
0
0
0
100
100
100
0
1280
1280
1280
1330
880
1180
150
150
1030
1330
Passiva Onderhandse leningen Eigen vermogen Totaal
0
100
100
100
0
7
Bruto-gaps
50
-100
-100
-100
0
100
IRS
250
0
-100
0
netto gaps
50
0
-100
-100
0
150
0
cumulatieve gaps
50
50
-50
-150
-150
0
0
Uit het overzicht blijkt dat de woningcorporatie haar vastgoedportefeuille grotendeels heeft gefinancierd met langlopende leningen. Ter gedeeltelijke afdekking kan de woningcorporatie nu bijvoorbeeld de eerste positieve gap (de belegging in 3 maands euribor) uitruilen tegen de eerste negatieve gap ( in de bucket 2 – 3 jaar) door middel van een IRS. Dit levert dan de volgende gap structuur op: Bruto-gaps
50
-100
-100
-100
IRS
-50
100
+50
netto gaps
0
0
-100
-100
cumulatieve gaps
0
0
-50
-150
250
0
-100
0
0
150
0
-150
0
0
0
Verdere afdekking kan plaatsvinden door middel van het elimineren van de renteposities in de verschillende buckets. 2.4.
Voor- en nadelen van gap analyse
Gap analyse stelt een woningcorporatie in staat om op basis van een eenvoudige grafische weergave inzicht te krijgen in het renterisico en vormt zodoende een startpunt voor het renterisicomanagement in het algemeen. Daarnaast is het noodzakelijk om deze analyse te verrichten in het kader van on-balance financieringsactiviteiten indien gebruik gemaakt wordt van een borgingfaciliteit van het WsW. Tevens geeft gap analyse een duidelijk beeld omtrent de timing van het renterisico (omvang en richting is echter minder eenduidig vast te stellen). De nadelen zijn echter talrijker, te weten: • Gap analyse gaat uit van boekwaarden van de activa en passiva in plaats van marktwaarden. Het veronachtzaamt het effect van renteontwikkelingen op de marktwaarden van activa en passiva in het algemeen en op de marktwaarde van het vastgoed in het bijzonder. • Gap analyse houdt op geen enkele wijze rekening met de kasstromen die worden gegenereerd door de vastgoedportefeuille van de woningcorporatie. Omdat deze geen aanpassingen kennen in de contractuele rente worden deze niet meegenomen in de analyse. Dit wil overigens niet zeggen dat het vastgoed niet gevoelig zou zijn voor renteontwikkelingen. In treasury begrippen kan de waarde van het vastgoed worden beschouwd als de Netto Contante Waarde van toekomstige netto kasstromen die door het vastgoed worden gegenereerd.
8
In formulevorm: n
NCFt t t =1 (1 + Y ) waarbij: V= waarde van het vastgoed NCFt = netto kasstroom tijdvak t t= termijn waarbinnen de kasstroom vervalt Y= Yield waartegen de kasstromen worden verdisconteerd V =∑
•
•
•
•
•
Het is aannemelijk dat bij een hogere rente ook de yield zou moeten toenemen. Bij een gelijkblijvende netto kasstroom impliceert dit een lagere waarde van het vastgoed. Gap analyse is niet in staat de richting en omvang van het renterisico in één getal weer te geven en is derhalve minder geschikt als risiconorm. Uit het gegeven voorbeelden ten aanzien van cumulatieve gap analyse en de WsW systematiek komen er meerdere getallen (in de voorbeelden: per jaar) uit de analyse. Met name bij sterk fluctuerende renteposities (positieve en negatieve gaps) leidt dit tot het probleem dat deze niet in 1 getal zijn samen te vatten zodat een enkele risiconorm voor de totale organisatie ontbreekt. Positieve en negatieve rente-exposures die jaaropvolgend zijn geven op deze manier nauwelijks inzicht in het totale renterisico op portefeuilleniveau. Gap analyse houdt geen rekening met mismatches die binnen de verschillende rentebuckets/jaargangen voorkomen. Uit het bovenstaande voorbeeld blijkt dat de rente-buckets relatief ruim zijn gedefinieerd (op jaargangen). Voor het globale inzicht is dit noodzakelijk. Echter; er kan sprake zijn van een mismatch in de rente-bucket zelf. Zo kan bijvoorbeeld een 2-jaars belegging (+ 1 dag) gefinancierd zijn door een 3-jaars rentedragende lening. Deze lopen in de analyse tegen elkaar weg en komen niet in de berekening van de gaps tot uitdrukking, terwijl er wel sprake is van een renterisico. Verschillende activa en passiva hebben geen gegeven rentetypische looptijden (denk daarbij aan de portefeuille vastgoed). De verwerking van deze activa en passiva in het model kan niet eenduidig plaatsvinden. De rentetypische looptijd van een vastgoedportefeuille is onbekend omdat de vastgoedportefeuille geen renteherziening kent tijdens de looptijd. Het is immers geen rentedragende uitzetting. Door het gebruik van nominale waarden leidt een renteverandering niet tot een aanpassing van de waardering van de vastgoedportefeuille. In een gap analyse is het dus mogelijk om de vastgoedportefeuille in meerdere buckets te plaatsen en dit leidt tot zeer verschillende uitkomsten. Verschillende afdekkingproducten bezitten optiekenmerken waardoor de cash flows verschillen vertonen afhankelijk van de richting van de renteverandering. Deze producten kunnen niet ingepast worden in de analyse. De uitwerking op de gap is niet in te schatten. Zo zal een renteoptie (bijvoorbeeld een geschreven optie op een swap) zeer verschillend kunnen uitwerken op de gapstructuur. De ontvangen premie is bekend maar de eventuele pay-off onbekend. Deze is namelijk afhankelijk van de omvang van de renteverandering. Ten aanzien van de WsW-systematiek kan bovendien nog opgemerkt worden dat indien een woningcorporatie een minder omvangrijke leningportefeuille ontwikkeld in de tijd, deze woningcorporatie door de normering van het WsW (een maximale rente-exposure van 15% per jaar van de totale omvang vreemd vermogen financiering) tevens de absolute rente-exposure dient te verlagen, terwijl het totale renterisico voor de organisatie juist minder omvangrijk is als gevolg van de relatief lagere omvang leningenportefeuille. Een woningcorporatie die volledig met eigen vermogen is gefinancierd zou, strikt genomen, als gevolg van de WsW-richtlijn geen enkele rente-exposure meer mogen hebben, terwijl de
9
organisatie relatief gezien een zeer beperkt renterisico loopt als gevolg van de relatief omvangrijke eigen vermogen financiering. Resumerend is te stellen dat gap analyse een te beperkt zicht geeft op renterisico voor een woningcorporatie. Het vastgoed (bezien vanuit de optiek van een belegger als een set toekomstige cashflows waarvan de huidige marktwaarde kan worden vastgesteld) komt onvoldoende in de methodiek voor. In de WsW-systematiek wordt alleen naar de liability zijde van de balans gekeken. Wel vormt het een uitstekend startpunt voor renterisicomanagement in het algemeen. Het is echter niet verstandig om gap analyse als enig meetinstrument ter meting van het renterisico te hanteren.
10
3. Duration analyse Duration analyse geeft een woningcorporatie de mogelijkheid om het renterisico in één getal weer te geven. Bovendien kan de rentegevoeligheid van het vastgoed (bezien als een set van toekomstige cashflows) in de analyse worden meegenomen. Bij een woningcorporatie gaat het dan om met name de impact van een renteverandering op de marktwaarde van het vastgoed en op de marktwaarde van de leningenportefeuille. Bezien vanuit de optiek van een belegger, die optimalisatie van de marktwaarde van het eigen vermogen nastreeft om zodoende een optimaal rendement te kunnen creëren voor de aandeelhouder, vindt dit plaats door of de marktwaarde van de activa te verhogen (onder een gelijkblijvende marktwaarde van de rentedragende passiva) of door het verlagen van de marktwaarde van de rentedragende passiva (onder een gelijkblijvende marktwaarde van de activa). Voor woningcorporaties geldt dat de actiefzijde van de balans bijna volledig uit vastgoed bestaat (vooral als men op marktwaarde waardeert). De passiefzijde bestaat voornamelijk uit de leningenportefeuille en het eigen vermogen. Indien een woningcorporatie bezien wordt als een belegger, die primair gericht is op het optimaliseren van de marktwaarde van het eigen vermogen om zodoende maximaal in staat te zijn om het rendement voor haar stakeholders te optimaliseren, dan rest een woningcorporatie niets anders na te streven dan hetgeen een belegger zou doen. Namelijk optimalisatie van de marktwaarde van het eigen vermogen door middel van het verhogen van de marktwaarde van het vastgoed dan wel het verlagen van de marktwaarde van de rentedragende passiva (= de leningenportefeuille). Optimalisatie van het eigen vermogen wordt overigens in deze masterproof beschouwd als een optimalisatie van de risicorendementsverhouding van de organisatie en is dus niet per definitie gelijk aan maximalisatie van de waarde van het eigen vermogen. Vastgoed wordt in dit kader dus ook niet beschouwd als de waarde van de stenen, zoals een taxichauffeur zijn taxi ook niet ziet als een onafhankelijke waarde, maar als een contante waarde van de toekomstige kasstromen die dus gevoelig zijn voor een renteverandering (In vergelijking voor de taxichauffeur; de contante waarde van de verdiensten die hij kan realiseren met zijn taxi). Door het verhogen van de marktwaarde van het vastgoed c.p., dan wel het verlagen van de marktwaarde van de leningenportefeuille c.p. verhoogt de woningcorporatie de marktwaarde van haar eigen vermogen (als saldo van de marktwaarde van het vastgoed minus de marktwaarde van de leningenportefeuille). Dit eigen vermogen kan vervolgens worden aangewend om de maatschappelijke taken van een woningcorporatie te kunnen vervullen en wordt zodoende uitgekeerd aan de stakeholders van de organisatie. 3.1.
Definitie duration
De duration van een financiële waarde wordt door Sharpe en Alexander 8 omschreven als een maatstaf voor de gemiddelde looptijd van een set toekomstige kasstromen. Meer specifiek; het is het gewogen gemiddelde van de tijdsintervallen van de resterende inkomende of uitgaande cashflows. In het kader van deze bijdrage is duration voornamelijk van belang omdat duration een indicatie geeft omtrent de elasticiteit van de marktwaarde van een financiële waarde (dan wel set toekomstige kasstromen) als gevolg van een renteverandering (d.w.z. de mate waarin de marktwaarde van een financiële waarde verandert als gevolg van een renteverandering).
11
De afleiding van de duration formule In het algemeen kan de marktwaarde van een vastrentend actief, bijvoorbeeld een obligatie, weergegeven worden door: n
V =∑ t =1
Ct t (1 + Y )
(1)
waarbij: V = marktwaarde van de financiële waarde n = looptijd van de financiële waarde Y = internal yield. Ct = cash flow tijdstip t Herschreven in een makkelijker hanteerbare formule levert dit op: n
V = ∑ C t (1 + Y ) -t
(2)
t =1
In dit geval kunnen we rentegevoeligheid omschrijven als de mate waarin de marktwaarde van een financieel actief verandert als gevolg van een renteverandering. In wiskundige vorm kunnen we dit uitdrukken door middel van:
δV
= de relatieve verandering van de marktwaarde V δ (1 + y ) = de relatieve verandering van de rentevoet (1 + y )
(3)
Herschreven leidt dit tot:
δV V
×
(1 + y ) en tot: δ (1 + y )
(4)
(1 + y ) δV × V δ (1 + y )
(5)
waarbij δV/δ(1 + Y) de eerste afgeleide van formule (2) naar het interne rendement voorstelt. Deze eerste afgeleide van de marktwaarde naar het interne rendement geeft:
δV δ (1 + Y )
n
= - ∑ t C t (1 + Y ) -t -1
(6)
t =1
Formule (6) ingevuld in formule (5) levert zodoende op: -t n (1 + y) δV C t (1 + Y ) =- t =-D × V δ (1 + Y) ∑ V t=1
waarbij D de duration is. Wanneer we nu
(7) C t (1+Y)-t definiëren als Wt dan kan bovenstaande V
formule (7) herschreven worden als:
12
n
D =∑tWt
(8)
t =1
De duration wordt aldus gedefinieerd als de optelsom van de tijdstippen waarop een kasstroom plaatsvindt waarbij de tijdstippen gewogen worden naar het aandeel van de kasstroom in de totale waarde van de kasstromen. Wanneer we nu ook nog formule (7): (1 + y ) δV × =-D V δ (1 + Y )
(9)
vermenigvuldigen met Y en delen door (1 + Y) dan ontstaat:
δV V
×
Y YD =δ (1 + Y ) 1 + Y
(10)
Formule (10) vermenigvuldigd met δ(1 + Y)/Y levert vervolgens op:
δV V
=-
D × δ (1 + Y ) 1+ Y
(11)
waarbij δ(1 + Y) gelijkgesteld kan worden met δY (De raaklijn bepalen van een functie 1 + Y levert immers dezelfde functie op als de raaklijn van de functie Y). Zodat we krijgen:
δV
D × δ (Y ) V 1+ Y Herschreven leidt dit tot de volgende formule: =-
-D * δ (Y ) 1+ Y Indien we nu Modified Duration definiëren als:
δV = V ×
-D 1+ Y dan kunnen we formule (13) herschrijven tot:
(12)
(13)
MD =
(14)
δ V = V × MD × δ (Y )
(15)
De marktwaardeverandering van een vastrentend actief of passief als gevolg van een renteverandering, kan nu gedefinieerd worden als de oorspronkelijke marktwaarde van een actief/passief vermenigvuldigd met de negatieve duration gedeeld door 1 plus de oorspronkelijke rente maal de renteverandering. Uit de wiskunde weten we echter dat het hier een puntafgeleide betreft; dus dat deze formule slechts geldig is voor situaties waarin de renteverandering slechts oneindig klein is. (In feite tendeert de renteverandering asymptotisch naar 0). Indien we bovenstaande formule willen hanteren voor grotere renteveranderingen dan oneindig kleine, dan moeten we in formule (13) het "= teken" vervangen door een "≈ teken i ". De schatting van de marktwaardeverandering van een financiële waarde als gevolg van een renteverandering wordt beter naarmate de renteverandering kleiner is. Voor oneindig kleine veranderingen in de rente bestaat er een exacte relatie. Kortom, formule (13) geeft in geval van omvangrijkere renteveranderingen nog slechts een schatting van de mate van marktwaardei
Voor grotere renteveranderingen kan via een Taylor reeks expansie de tweede afgeleide van de marktwaardefunctie meegenomen worden. Deze wordt convexity genoemd. Een 2-factor Taylor reeks geeft een meer nauwkeurige schatting van de marktwaardeverandering van een financiële waarde als gevolg van een renteverandering.
13
verandering als gevolg van een renteverandering. De modified duration kan desgewenst gedefinieerd worden, in het kader van dit onderzoek, als de procentuele waardeverandering van een financiële waarde als gevolg van een verandering van de rente met 1%. Indien de renteverandering wordt uitgedrukt in basispunten kan de modified duration worden omschreven als de waardeverandering in basispunten van een financiële waarde als gevolg van een verandering van de rente met 1 basispunt. Dus een modified duration van bijvoorbeeld 8 leidt tot de conclusie dat de waardeverandering van een financiële waarde 8% bedraagt bij een 1% renteverandering en 8 basispunten bij een renteverandering van 1 basispunt. Uit formule (13) kunnen we afleiden dat de duration de bepalende factor is voor wat betreft de rentegevoeligheid van een financiële waarde. Indien 2 financiële waarden met eenzelfde marktwaarde (dit is eenvoudig te bereiken d.m.v. het kopen of verkopen van een deel van een financiële waarde) geconfronteerd worden met eenzelfde renteverandering zal de geschatte marktwaardeverandering nog slechts afhankelijk zijn van de duration van de financiële waarden. In formule (13) zijn we uitgegaan van een renteverandering die uitgedrukt wordt in een verandering van de internal yield van een financiële waarde. In de praktijk echter zal bij een verandering van de internal yield tevens de termijnstructuur van de rente, qua niveau en vorm veranderen. Dit heeft geleid tot de definitie van een aantal andere durationmaatstaven zoals die van Fisher-Weil en Cox, Ingersoll, Ross. Verschillende auteurs, waaronder Haugen9 , Bierwag 10 en van Horne 11 concluderen dat geen van de andere durationmaatstaven significant beter de marktwaardeverandering van een financiële titel inschat als gevolg van een renteverandering dan de durationmaatstaf ontwikkeld door Macaulay. Een additioneel voordeel is dat Macaulay's duration een eenvoudig te hanteren en te berekenen maatstaf is. Tevens wordt gewezen op het feit dat Macaulay's duration wijdverbreid is binnen de financiële wereld en min of meer tot norm is verheven. In het kader van strategisch rentemanagement bij woningbouwcorporaties kan men nog opmerken dat duration veelvuldig gebruikt wordt als een schatter van het renterisico, waarbij duration slechts een indicatie hoeft te geven over de omvang en de richting van het renterisico. Daartoe kan een vrij eenvoudige duration, zoals die van Macaulay volstaan. 3.2.
De bepaling van de marktwaarde ten behoeve van een duration analyse
De marktwaarde van de activa, en dan met name, de marktwaarde van het vastgoed is een essentieel onderdeel van de toepassing van de duration analyse. De marktwaarde van de financiële passiva (de leningenportefeuille) van een woningcorporatie is eenvoudig te bepalen door middel van het verdisconteren van de kasstromen (rentebetalingen plus aflossingen) met behulp van de contante (= huidige) zero yield curve gebaseerd op de swapcurve. Dit is de meest wijd verbreide en belangrijkste yield curve die gehanteerd wordt in de financiële markten 12 . De zero yield curve is de yield curve die volledig is gebaseerd op financiële titels die slechts eenmalig een kasstroom genereren aan het einde van de betreffende looptijd. De zero yield curve kan worden afgeleidt uit de full coupon yield curve door middel van een zogenaamde bootstrapping 13 . De swap curve is de curve die kan worden afgeleidt uit de swapprijzen (de interest rate swap) voor verschillende looptijden vigerend op de markt. De marktwaarde van de leningenportefeuille kan op basis van deze zero yield swap curve worden gewaardeerd zonder opslag omdat de opslag slechts een zeer beperkt aantal basispunten
14
bedraagt ii en er vanuit een risico-optiek (voorzichtigheidsbeginsel) zodoende de hoogste waarde voor de leningenportefeuille uit de berekening komt. Voor wat betreft de waardering van het vastgoed (normaliter onder de balanspost Materiele Vaste Activa opgenomen) is een grotere verscheidenheid aan waardebegrippen mogelijk 14 . De belangrijkste van deze waardebegrippen zijn, mijns inziens: • Historische kostprijs dan wel vervaardigingprijs • WsW-bedrijfswaarde • Economische marktwaardebegrippen waaronder: o Marktwaarde van de netto kasstromen bij doorexploitatie en gedeeltelijke verkoop of preciezer geformuleerd de netto kasstromen bij doorexploitatie van de kernvoorraad en verkoop van de niet-kernvoorraad o De marktwaarde in verhuurde staat zoals gehanteerd door Aedex/IPD (= de zogenaamde uitpondwaarde) o De marktwaarde in onverhuurde staat (= de zogenaamde leegwaarde) • Fiscaal juridische waardebegrippen, waaronder: o Woz-waarde o Waarde in het economisch verkeer De historische kostprijs dan wel vervaardigingprijs is een niet ter zake doende waarde ten aanzien van een duration analyse. Deze waarde is namelijk ongevoelig voor renteontwikkelingen aangezien deze volledig op oorspronkelijke vervaardigingprijs minus afschrijvingen gebaseerd is. Deze waarde reflecteert, mijns inziens, op geen enkele wijze de huidige economische waarde 15 noch is deze waarde afhankelijk van (toekomstige) renteontwikkelingen. De fiscaal juridische waardebegrippen komen ook niet in aanmerking om te worden gehanteerd in een duration analyse. De waarde in het economisch verkeer moet worden bepaald met inachtneming van twee ficties, de overdrachtsfictie en de verkrijgingfictie 16 . Deze beide ficties sluiten een geheel objectieve economische waardering van het vastgoed uit. De WsW-bedrijfswaardewaardering hanteert bij de waardering van het vastgoed van de corporatie de zogenaamde minimum waarderingsregel. Het Waarborgfonds vergelijkt de boekwaarde op basis van de historische kostprijs minus de afschrijvingen met de bedrijfswaarde. De bedrijfswaarde wordt dan gedefinieerd als de contant gemaakte waarde van de kasstromen die de woningen volgens het beleid van de betreffende corporatie (daarom ook wel beleidswaarde genoemd) in de toekomst nog aan huur en/of verkoop zal opbrengen vermeerderd met de eventuele restwaarde en verminderd met de uitgaven die voor het beheer van de woning worden gemaakt. “De bedrijfswaarde staat dus gelijk aan de toekomstige verdiencapaciteit” 17 . Het WsW hanteert zogenaamde parameters om de uitkomsten onderling vergelijkbaar te maken. Deze hebben betrekking op: • Huurstijging: corporatieafhankelijk voor de jaren 1 tot en met, vanaf jaar 6 maximaal 2,25% • Overige variabele uitgaven: corporatieafhankelijk voor de jaren 1 tot en met, vanaf jaar 6 minimaal 2,25% • Stijging onderhoudsuitgaven: 3,25% • Disconteringspercentage: 6,00%
ii
Deze bedroeg over het jaar 2006 circa 2 basispunten zie hiervoor het jaarverslag WsW 2006, p. 15.
15
Voor de WsW-benadering geldt, mijns inziens, dat dit waardebegrip niet optimaal geschikt is voor een duration analyse. De WsW-bedrijfswaarde veronderstelt 1 disconteringfactor. Alle toekomstige netto kasstromen worden verdisconteerd tegen een en dezelfde rentevoet ongeacht de looptijd van de kasstroom. Dit impliceert een vlakke termijnstructuur van de rente. Dit is niet gebruikelijk. Een gebruikelijke yield curve wordt gekenmerkt door een afnemende positieve raaklijn naarmate de looptijd van de financiële waarde toeneemt 18 . Het WsW hanteert momenteel 6% als disconteringfactor. Dit impliceert tevens dat vrijvallende kasstromen herbelegd zouden kunnen worden tegen een rendement van 6%. Immers; de yield curve is vlak hetgeen impliceert dat toekomstige spot rates (de zogenaamde forward spot rates) ook gelijk zijn aan 6%, op basis van de pure verwachtingswaardetheorie 19 . Ook vanuit de optiek van risicometing is het hanteren van één disconteringfactor ongewenst. Immers; gegeven 2 woningcorporaties A en B met een gelijke bedrijfswaarde waarbij de ene woningcorporatie slechts 1 kasstroom kent na 1 jaar en de andere 1 kasstroom kent op een termijn van 50 jaar dan lijkt het intuïtief logisch om een hogere disconteringfactor te hanteren voor B aangezien het risico als gevolg van het tijdselement omvangrijker is voor B.
T=1 T = 50 Bedrijfswaarde @ 6%
Kasstroom Corporatie A 1060 0 1.000
Kasstroom Corporatie B 0 18.420,15 1.000
Voor een correcte waardebepaling van het vastgoed is het dus noodzakelijk om de contante termijnstructuur van de rente als uitgangspunt te hanteren bij het verdisconteren van de netto kasstromen. Als extra nadeel van de bedrijfswaardeberekening van het WsW kan bovendien nog opgemerkt worden dat deze gebruik maakt van de minimumwaarderingsregel (zie de hierboven gemaakte opmerkingen ten aanzien van de historische kostprijs). De economische marktwaardebegrippen zijn, mijns inziens, goed toepasbaar in een duration analyse. De Aedex/IPD waarde bepaalt de waarde van vastgoed op basis van de marktwaarde in verhuurde staat (Gross Open Market Value); het bedrag dat de onroerende zaak bij onderhandse verkoop naar schatting zal opbrengen, nadat de verkoper de onroerende zaak na de beste voorbereiding op de gebruikelijke wijze op de markt heeft aangeboden en waarbij de koper de onroerende zaak aanvaardt met alle daaraan verbonden rechten en verplichtingen van welke aard dan ook, waaronder met name de verplichting tot gestanddoening van de lopende huurovereenkomsten 20 . Dit houdt in dat van de aanname wordt uitgegaan dat de koper van de onroerende zaak zal streven naar – gegeven de omstandigheden op de markt en met inachtneming van de restricties voortvloeiende uit algemeen geldende wet- en regelgeving – optimalisatie van de inkomsten die met de onroerende zaak kunnen worden gerealiseerd. Concreet betekent dit dat de koper zo snel als mogelijk is – binnen de vigerende wet- en regelgeving – de huur zal optrekken naar de zogenaamde markthuur. In één contante waardeberekening wordt het verdienpotentieel van een woning in de verhuur en bij verkoop bepaald. De huurovereenkomst wordt gestand gedaan maar de vraaghuur wordt zo snel mogelijk gebracht naar het markthuurniveau. Bij verkoop ga je er vanuit dat verkoop plaatsvindt zodra een woning kan worden verkocht aan de zittende huurder of wanneer de huurder opzegt leeg en onverhuurd aan iemand anders. (inkomstenoptimalisatie zolang de woning wordt verhuurd en inkomstenoptimalisatie bij verkoop, zodra verkoop zich voor kan doen). Deze kasstromen (uit verhuur en verkoop) worden voor een termijn van 15 jaar bepaald, waarna een restwaarde op basis van een exit yield in het overzicht wordt meegenomen. Interessant aspect van deze benadering is dat tevens het zogenaamde 16
maatschappelijk rendement zichtbaar gemaakt kan worden. “Commerciële exploitanten van vastgoed sturen uitsluitend op basis van marktwaarde in verhuurde staat. Corporaties doen dat niet, maar weten daardoor niet hoeveel opbrengsten zij “laten liggen”. Als je marktwaarde in verhuurde staat neemt als ijking van je beleid kun je zichtbaar maken wat je vanuit maatschappelijk oogpunt aan opbrengst laat liggen in vergelijking met een vastgoedondernemer die vanuit slechts commerciële motieven handelt”….. “Corporaties kunnen dus het begrip beleidswaarde gaan hanteren: dat is de bedrijfswaarde van de woning gegeven het beleid dat de corporatie voert. Het verschil tussen deze bedrijfswaarde en de marktwaarde in verhuurde staat is wat de corporatie vanwege zijn maatschappelijke doelstellingen “laat liggen”. Dat verschil kan ook als het maatschappelijk dividend worden gezien” 21 . De marktwaarde in onverhuurde staat kan op eenzelfde wijze in een netto contante waarde berekening gegoten worden met dien verstande dat niet aan de zittende huurders verkocht wordt maar enkel op het moment van mutatie aan een derde tegen de ingeschatte leegwaarde. Beide benaderingswijzen zullen, mijns inziens, geen omvangrijke waarderingsverschillen met zich mee brengen. De marktwaarde van de netto kasstromen bij doorexploitatie en gedeeltelijke verkoop maakt een onderscheid tussen de waardering van de zogenaamde kernvoorraad en de marktvoorraad van woningcorporaties. In tegenstelling tot de Aedex/IPD waardering, waar de fictie overheerst van inkomstenoptimalisatie en verkoop aan derden, gaat deze benadering primair uit van doorexploiteren van de kernvoorraad, hetgeen betekent dat de kernvoorraad op basis van een netto cash flow benadering gewaardeerd wordt, vergelijkbaar met de bedrijfswaardebenadering. De marktvoorraad wordt analoog aan de Aedex/IPD waarderingsgrondslagen gewaardeerd. Deze benadering heeft veel weg van de beleidswaardebepaling. In tegenstelling tot de Aedex/IPD waardering, de bedrijfswaardebenadering en de beleidswaardebenadering zou ik er voor willen pleiten om bij deze benadering niet slechts 1 disconteringfactor toe te passen maar de netto kasstromen te verdisconteren op basis van de contante zero swap yield curve, zodat de termijnstructuur van de rente volledig meegenomen wordt in de waardering van het vastgoed. De geschetste marktwaarderingen zijn allen geschikt voor een duration analyse, aangezien: • Het toepassen van een duration analyse per definitie het gebruik van marktwaarden veronderstelt. Uit de afleiding van de duration formule blijkt dit. Andere waarderingsgrondslagen komen niet in aanmerking. • De rentegevoeligheid van het vastgoed komt tot uitdrukking in de modified duration van het aanwezige vastgoed (standing investments). Allereerst wordt daartoe de duration bepaald waarna deze door middel van een deling door 1 + Y wordt geconverteerd naar een modified duration. Voor het bepalen van de duration is een prognose van toekomstige kasstromen noodzakelijk omdat zonder deze kasstroomprognose geen duration bepaald kan worden 22 . Alle geschetste marktwaardebenaderingen maken gebruik van een kasstroomprognose. Enige vorm van voorzichtigheid is overigens wel noodzakelijk bij het bepalen van een duration ten aanzien van de Aedex/IPD waardering. De Aedex/IPD waardering veronderstelt namelijk een maximale looptijd van kasstromen gelijk aan 15 jaar. Aan het einde van deze periode wordt een restwaarde bepaald op basis van een zogenaamde exit yield. Deze restwaarde wordt in de berekening gepresenteerd als een eenmalige (rest-)kasstroom Rechttoe rechtaan toepassen van de durationformule leidt dus per definitie tot een te lage inschatting
17
van de werkelijke rentegevoeligheid van het vastgoed. Immers; de toepassing van de Aedex/IPD benadering impliceert dat er geen kasstromen zichtbaar zijn na afloop van de 15jaars termijn. Dit zal in geval van uitponding meestal niet het geval zijn. De mutatiegraad is hierbij bepalend. Bij een mutatiegraad/verkoopgraad van 6% per jaar en de premisse dat al het onroerend goed wordt uitgepond, blijkt uit een eenvoudige rekensom dat na 15 jaar nog altijd iets minder dan 40% van het vastgoed in bezit is van de corporatie. Bij een mutatiegraad/verkoopgraad van zelfs10% per jaar is dit nog altijd ruim 20%. Ten einde toch in staat te zijn een duration van de vastgoedportefeuille te bepalen is het noodzakelijk om een indirecte bepaling van de duration te doen. Dus niet via de duration (als gewogen gemiddelde economische looptijd van de kasstromen) de modified duration bepalen maar via een rentewijziging van bijvoorbeeld 1 basispunt op de yield curve het opnieuw waarderen van de marktwaarde van het vastgoed, waarna de rentegevoeligheid (de modified duration) hieruit afgeleid kan worden. In de treasurywereld wordt daartoe veelvuldig het concept van de Present Value of a Basispoint (PVBP) gehanteerd 23 . Uitgangspunt daarbij is de huidige marktwaardebepaling en de huidige yield curve (bij de Aedex/IPD benadering 1 enkel rentetarief gebaseerd op het 15-jaars swaptarief). Door nu de yield met 1 basispunt te laten stijgen, evenals de gehanteerde exit yield kan een nieuwe contante waarde worden bepaald (oftewel de marktwaarde bij een 1 basispunt hogere yield). De absolute wijziging van de marktwaarde, als gevolg van een yield shift met 1 basispunt wordt beschouwd als de PVBP. Door nu de PVBP te relateren aan de oorspronkelijke marktwaarde en deze te vermenigvuldigen met 100 verkrijgt men op indirecte wijze de modified duration. Dus: PVBP Voorspronkelijk
×100 = MD
MD × (1 + Y ) = D waarbij: Voorspronkelijk = Oorspronkelijke marktwaarde (voor opslag met 1 basispunt) MD = Modified duration bij een rentewijziging van 1%. 3.3.
(16)
(17)
Opslagen op de yield curve
In het voorgaande is steeds uitgegaan van de contante zero swap yield curve ter verdiscontering van de toekomstige kasstromen die worden gegenereerd uit de vastgoedportefeuille dan wel de leningenportefeuille. Een relevant vraagstuk in dit kader is of er opslagen op de swap curve toegepast zouden moeten worden om het risico van (de belegging in) het vastgoed tot uitdrukking te brengen in de analyse. Daartoe is een theorie relevant. Dat is de theorie omtrent het Capital Asset Pricing Model (CAPM). Het Capital Asset Pricing Model is een veelvuldig gehanteerd model 24 . De basis van het model wordt gevormd door de volgende formule: rj = rf + β (rm − rf )
(18)
waarbij: Verwacht rendement op een belegging rj = rf = Risicovrije rentevoet β= Het systematisch risico van de belegging rm = Verwacht rendement op de zogenaamde marktportefeuille 18
De bèta wordt gedefinieerd als:
βj =
Cov( R j , RM )
(19)
σ M2
waarbij: Cov(Rj,RM) = σ 2M =
De covariantie van belegging j met de marktportefeuille De variantie van de marktportefeuille
De beta geeft aldus een uitdrukking voor het systematisch risico van een belegging en reflecteert de mate waarin het rendement van de belegging fluctueert ten opzichte van de rendementen van de marktportefeuille (een volledig gediversificeerde portefeuille waaruit al het uniek risico verdwenen is als gevolg van diversificatie). Beleggers worden dus alleen vergoed voor het lopen van systematisch risico. Het unieke (of niet-systematisch) risico wordt niet beloond in een hoger rendement omdat het unieke risico nu eenmaal te vermijden is door middel van diversificatie van de portefeuille. Ter bepaling van de bèta is het noodzakelijk om de vastgoedrendementen te relateren aan de rendementen op de marktportefeuille. Het volgende overzicht geeft, op jaarbasis, aan welke rendementen gerealiseerd zijn.
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Aedex/IPD rendement Standing Investments 15,6% 1,9% 3,0% 6,7% 7,0% 8,8% 8,6% 6,1%
MSCI EFA index 26,96% -14,17% -21,44% -15,94% 38,59% 20,25% 13,54% 26,34%
De Aedex/IPD index wordt gehanteerd om het rendement van het vastgoed van woningcorporaties te benaderen. De MSCI EFA index is een proxy voor de ontwikkeling van rendementen uit de marktportefeuille. Deze index is gebaseerd op circa 85% van de marktkapitalisatie van 21 ontwikkelde markten. Morgan Stanley berekent de index sinds 1969. Het is waarschijnlijk de meest gebruikte benchmark voor Europese aandelenfondsen 25 . Op basis van deze waarnemingen kan met behulp van formule (19) de bèta bepaald worden. De belangrijkste onderzoeksbevindingen zijn samengevat in onderstaande tabel. Gemiddeld rendement Aedex/IPD Standaarddeviatie rendement Aedex/IPD
7,2125% 4,18%
Gemiddeld rendement MSCI EFA Standaarddeviatie rendement MSCI EFA
9,2663% 23,09%
Covariantie Correlatiecoëfficiënt
51,665 0,535379 19
Bèta R2 Regressiefunctie
0,096936 0,286631 Y = 6,314265 + 0,096936X
De bèta lijkt een te vlak verloop te hebben om het risico van een vastgoedportefeuille goed tot uitdrukking te brengen in een CAPM context. Bovendien is het snijpunt van de regressiefunctie met de y-as (6,31%) te hoog in relatie tot de risicovrije rente van de afgelopen 8 jaar. Deze laatste heeft een gemiddelde van 4,61% op basis van de dagelijkse10jaars swap rates tegen middenkoersen iii . Theoretisch zou het snijpunt dus op 4,61% dienen te liggen. Alhoewel dit eenvoudig tot de conclusie zou kunnen leiden dat het CAPM niet geschikt is om gehanteerd te worden bij de bepaling van de rendementseis die gehanteerd zou moeten worden, blijkt uit verschillend onderzoeken dat deze conclusie te kort door de bocht is. Een vlakke bèta is geen uitzondering blijkt ondermeer uit onderzoek van Lintner 26 . Volgens Arnold 27 blijken de testen van het CAPM een gemend resultaat op te leveren ten aanzien van de validiteit van deze theorie. Kwalitatief lijkt het CAPM te kloppen maar empirische testen valideren niet de kwantitatieve voorspellingen van het CAPM. Zoals blijkt uit de bovenstaande opstelling is slechts 28,66% verklaarbaar vanuit de regressie analyse. Het voorhanden cijfermateriaal is dusdanig beperkt qua omvang (n=8) dat de validiteit van een en ander zeer beperkt is. Vervolgonderzoek in de komende jaren en decennia is noodzakelijk om op basis van het CAPM model tot een valide uitspraak te kunnen komen ten aanzien van rendementseisen op beleggingen in corporatievastgoed. Om het voorbeeld toch af te ronden dient de marktrisicopremie (= rm – rf) nader bepaald te worden. Volgens Pijpers 28 beweegt deze premie in ontwikkelde landen zich tussen de 5% en de 6%. Chen 29 komt op een hogere marktrisicopremie van 7,93%. Fama en French 30 komen voor de periode van 1950 tot 1999 uit op een marktrisicopremie van 8,41%. Gebruikmakend van formule (18) en de marktrisicopremie zoals bepaald door Chen komt de rendementseis voor een belegging in vastgoed voor woningcorporaties uit op: rj = rf + β (rm − rf ) rj = 4,11% + 0, 096936 × 7,93% = 4,88%
(20)
Het rentepercentage is het 1-maands Euribor tarief op 25 juli 2007, zoals genoteerd op NOS teletekst. Gekozen is voor het hanteren van de 1-maands Euribor om zodoende aansluiting te houden met het onderzoek van Chen die in zijn onderzoek de 1-maands T-bill tarieven hanteert als risicovrije rente. Geconcludeerd kan worden, op basis van dit (niet statistisch valide) onderzoek dat de opslagen op de risicovrije rentevoet (1-Maands Euribor) circa 77 basispunten zouden moeten bedragen. Dit is gelijk aan de totale rendementseis voor een belegging minus de risicovrije rentevoet, oftewel 4,88% - 4,11% uit formule (20). Als uitgegaan wordt van de marktrisicopremie van Pijpers, gemakshalve gesteld op 5,5% komt de rendementseis te liggen op een niveau van rond de 4,64% (= 4,11% + 0,096936 × 5,5%). Dit zou een opslag impliceren van 53 basispunten op de 1-Maands Euribor (4,64% - 4,11%). Voorlopig, in afwachting van verder onderzoek, kan worden geconcludeerd dat de opslag op de swap curve, ter bepaling van de netto contante waarde van de kasstromen (en dus ter vaststelling van de marktwaarde van het vastgoed) ergens tussen de 55 en de 75 basispunten iii
Deze rentevoeten zijn met behulp van datastream bepaald. Het gemiddelde bedraagt hier het gemiddelde van de gemiddelde jaarrentes.
20
ligt. Dit komt in grote lijnen overeen met het onderzoek van Tazelaar 31 dat uitkomt, overigens zonder bedrijfseconomische onderbouwing, op een opslag van circa 1%. 3.4.
Het vraagstuk van onafhankelijkheid van de stochasten
Naast de opslagen die gehanteerd zouden moeten op de swap curve is nog een ander element van belang bij het toepassen van durationanalyse. Duration is een maatstaf om de impact van een renteverandering op de marktwaarde van een financiële waarde in kaart te brengen. Voor een woningcorporatie gaat het dan met name op de impact van een renteverandering op de marktwaarde van een tweetal financiële waarden, te weten de materiële vaste activa (= het vastgoed) en de rentedragende passiva (= de leningenportefeuille). Grofweg kan het verschil tussen beide marktwaarden worden aangeduid met de term marktwaarde van het eigen vermogen iv . Als het marktwaarde van het vastgoed van de woningcorporatie wordt gedefinieerd als de contante waarde van de netto toekomstige kasstromen die door het vastgoed worden gegenereerd dan zouden deze kasstromen als gevolg van een renteverandering, op termijn, wel eens kunnen veranderen als gevolg van de renteverandering. De netto kasstromen worden bepaald door van de toekomstige verwachte huurinkomsten de verwachte toekomstige uitgaven af te trekken (onderhoudsuitgaven, beheerlasten, overhead, etc.). Het vraagstuk dat nu voorligt luidt: Leidt of kan een renteverandering leiden tot een wijziging van deze toekomstige kasstromen? Deze vraag moet theoretisch worden beantwoord met een ja. Immers; een renteverandering kan voortkomen uit een verwachte stijging van de inflatie, het zogenaamde Fisher effect 32 . Een renteverandering die alleen voortkomt uit een verwachte wijziging van de inflatievoet zou dus ook effect moeten hebben op de omvang van de toekomstige kasstromen (bijvoorbeeld de onderhoudsuitgaven). Daarnaast kan nog worden opgemerkt dat er ook een relatie bestaat tussen rente- en huurontwikkelingen. Deze kan zich indirect voordoen via de inflatiefactor maar ook rechtstreeks. Interessant is derhalve de vraag of rente-, inflatie en huurontwikkeling gecorreleerd zijn. Op basis van een aantal gegevensbronnen 33 is een onderzoek verricht naar deze correlatiecoëfficiënten.
iv
De marktwaarde van de overige activa en overige passiva zijn meestal in marktwaarde gemeten verwaarloosbaar. Indien deze toch meegenomen worden in de analyse, geschiedt dit tegen de nominale waarde.
21
Huur - inflatie
Huur - rente
Inflatie - rente
29
16
16
0,795500 0,632820 0,851517
0,901652 0,812977 0,695749
0,610151 0,372284 0,361798
0,851517 2,10637
Y =a + bx 0,695749 - 0,23239
0,361798 0,150359
N Correlatie R2 β Regressie b= a=
Regressiefuncties Huur – inflatie Huur – rente Inflatie - rente
Huur = 2,10637% + 0,851517 Inflatie Huur = - 0,23239% + 0,695749 Rente Inflatie = 0,150359% + 0,361798 Rente
Inverse regressiefuncties Inflatie - huur Rente - huur Rente - inflatie
Inflatie = -0,60312% + 0,743168 Huur Rente = 1,35050% + 1,168492 Huur Rente = 3,46646% + 1,028985 Inflatie
De waarnemingen zijn allen gebaseerd op jaartermijnen tot en met het jaar 2006. De relatie van de huurontwikkeling met de inflatie is dus genomen vanaf het jaar 1978 tot en met het jaar 2006. De relaties met de renteontwikkeling zijn gebaseerd op de jaren 1991 tot en met 2006. Hierbij is het rentetarief in enig jaar gelijkgesteld aan het gemiddelde van de dagkoersen van een 10-jaars swaprente. Opvallend is, op het eerste gezicht, dat de correlatiecoëfficiënt tussen de huurontwikkeling en de inflatie alsmede de correlatiecoëfficiënt tussen de huurontwikkeling en de renteontwikkeling een grotere omvang kent dan deze tussen de renteontwikkeling en de inflatie. Opvallend is bovendien dat de correlatiecoëfficiënt tussen de huur- en renteontwikkeling op een bijzonder hoog niveau ligt. Met een R2 van 0,81 en een correlatie van 0,90 is dit, mijns inziens, een opvallend sterke relatie. Dit impliceert dat 81% van de variatie in de huurontwikkeling kan worden verklaard door de kleinste-kwadratenregressie van de huurontwikkeling ten opzichte van de renteontwikkelingen en slechts 19% niet te verklaren is vanuit de factor rente. In dit onderzoek is het mij te doen om het effect van renteveranderingen op de kasstromen van de corporatie te verduidelijken. Derhalve heb ik ervoor gekozen om de regressiefunctie zo te formuleren dat de renteontwikkeling een exogene factor betreft en derhalve een verklarende variabele vormt. Deze relatie is ook omgekeerd weergegeven, in een meer traditionele vorm, waarbij inflatie de verklarende variabele vormt en rente de te verklaren variabele. In deze laatste regressiefunctie in bovenstaande tabel is duidelijk de Fisher relatie te zien. Met een bèta van 1,03 betekent dit dat de rente vrijwel in dezelfde omvang varieert als de inflatie. De α bedraagt hier 3,47% en kan worden beschouwd als de reële rentevoet. Indien we de bèta’s beschouwen kunnen we de conclusie trekken dat een renteverandering tevens gepaard gaat met een verandering van de huuropbrengsten en de inflatie. Hierbij dient wel bedacht te worden dat dit een lange termijn relatie is. Huurprijsaanpassingen kunnen slechts wettelijk gezien eenmaal per jaar plaatsvinden, uitzonderingen daargelaten, zoals
22
bijvoorbeeld bij mutatie. Op basis van de bovenstaande regressieanalyse komen we tot de volgende lange termijn verbanden tussen de renteontwikkeling en de ontwikkeling van de huurprijzen respectievelijk de inflatie: • Als de rente met 1% toeneemt, neemt de huurprijs gemiddeld met 0,6957% toe. Ruim 81% van de variatie in de huurontwikkeling kan vanuit de renteontwikkeling worden verklaard. • Als de rente met 1% toeneemt, neemt de inflatie gemiddeld met 0,3618% toe. Deze regressie is zwakker dan de voorgaande. Ruim 37% van de variatie van de inflatie kan vanuit de renteontwikkeling worden verklaard. • Als de inflatie met 1% toeneemt, neemt de huurprijs gemiddeld met 0,8515% toe. Ruim 63% van de variatie van de huurontwikkeling kan vanuit de inflatieontwikkeling worden verklaard. Voor het toepassen van een durationanalyse zijn dit zinvolle uitspraken. Als de rente met 1% stijgt impliceert dit dat gemiddeld genomen op langere termijn de huurprijs en de inflatie toenemen. Deze toenames hebben een effect op de geprognosticeerde kasstromen van de woningcorporatie en deze dienen derhalve aangepast te worden in de cashflow prognose met de daarbij behorende percentages. Dit lijkt evident. Maar neem nu bijvoorbeeld een renteverandering met 1%. Op basis van de voorgaande uitspraak dienen de toekomstige huurinkomsten in de cashflow prognose met gemiddeld ruim 0,69% te stijgen. Echter een toekomstige stijging van de huren leidt op haar beurt ook weer tot een stijging van de rente, op basis van de berekende regressie. Uit de inverse regressiefuncties blijkt dat een stijging van de huurprijzen met 1% gepaard zal gaan met een renteverhoging van 1,17%. Voor de gegeven huurprijsstijging van 0,69% leidt dit derhalve tot een stijging van de 10-jaars rentevoet met 1,17% × 0,69% = 0,81%. Hetgeen weer een tot een huurprijsstijging leidt, etcetera. Voor de invloed van een renteverandering op de inflatie kan hetzelfde worden vermeld. Een 1% rentestijging leidt tot een stijging van de inflatie met 0,36%. Deze inflatiestijging leidt tot een renteverhoging van 1,03% × 0,36% = 0,37% (afgerond). Uit de inverse regressiefuncties blijkt dat de bèta’s die uitgerekend zijn voor de twee regressiefuncties waarbij de rente de te verklaren variabele vormt, beide boven de 1 uitkomen. Dit impliceert dat op langere termijn de rentewijziging als gevolg van een wijziging in de inflatie of een wijziging in de huurprijzen een grotere omvang kent dan de onderliggende verklarende variabelen. Voor de toepassing van de duration analyse kunnen we derhalve veronderstellen, op basis van de uitkomsten van deze regressieanalyse, dat de toekomstige geprognosticeerde kasstromen niet aangepast hoeven te worden als gevolg van een rentewijziging. Met andere woorden; de rentestochast wordt verondersteld onafhankelijk te zijn van de inflatiestochast en de huurontwikkelingsstochast. Een sterke vereenvoudiging van het model zou overigens gevonden kunnen worden in het opstellen van een cashflow prognose die geheel op reële kasstromen is gebaseerd in plaats van nominale kasstromen. Dientengevolge is het noodzakelijk om ook de gehanteerde disconteringsfactoren op reële rentes te baseren. Dit kan eenvoudig gebeuren door van de marktrente (plus eventuele opslag voor risico) de verwachte inflatie af te trekken v . v
v
Volgens Irving Fisher kan de nominale rentevoet bepaald worden door:
1 + r = (1 + R)(1 + α) r = R + α + Rα waarbij:
r = nominale rentevoet R = reële rentevoet α = verwachte inflatievoet gedurende de levensduur van het instrument. Omdat de term Rα, bij een kleine R en een kleine α, van te verwaarlozen betekenis is wordt de formule van Fisher vaak afgebeeld als:
23
3.5.
Voor- en nadelen van het hanteren van duration analyse
Het hanteren van duration analyse kent een grote verscheidenheid aan voordelen. Alvorens daarop in te gaan, lijkt het noodzakelijk om eerst nog een aantal nadelen ten aanzien van duration, in het kort, aan te stippen. De belangrijkste beperkingen/nadelen die zich voordoen bij het toepassen van duration analyse worden gevormd door: • Het yield curve risico, ook wel basisrisico genoemd. Het betreft hier het risico dat ontstaat als gevolg van het niet parallel bewegen van de yieldcurve. In een duration analyse wordt verondersteld dat de omvang en de richting van een yieldshift gelijk is ongeacht de looptijd. Echter verschillende looptijdsectoren van de markt bewegen afwijkend qua yieldshift (denk hierbij aan een wijziging van de Euribor zonder dat de 10-jaars Swap rente wijzigt). Dit verschil staat bekend als het basisrisico tussen de sectoren. Met andere woorden; basisrisico is de wijziging van de verhouding tussen verschillende (verschillend qua looptijd) rentevoeten. Basisrisico dat betrekking heeft op verschillende looptijdsectoren staat bekend als yield curve risico. • Het stochastisch proces risico. Dit is het risico dat de termijnstructuur niet evolueert volgens het stochastisch proces dat veronderstelt wordt bij de durationberekening. De duration maatstaf van Macaulay wordt dan ook met stochastisch proces risico geconfronteerd indien de termijnstructuur in werkelijkheid niet vlak is en niet evenwijdig verschuift. De evenwijdige verschuivingen vallen bij Macaulay dus niet onder het stochastisch proces risico. Het stochastisch proces risico speelt in de praktijk niet een hele belangrijke rol vi . • De convexiteit. Convexiteit houdt in dat de marktwaardeverandering als gevolg van een renteverandering niet lineair verloopt zoals de duration zou vermoeden. De werkelijke waardeveranderingen zijn in het algemeen gunstiger dan de duration aangeeft 34 . Een manier om het convexiteitsprobleem op te lossen bestaat uit het berekenen van de convexiteit en deze berekeningen te hanteren in de duration analyse. • Duration analyse is statisch van aard. Het houdt geen rekening met veranderende omstandigheden. Dit kan echter opgelost worden door duration analyse te koppelen aan scenario analyse. • In sommige producten zitten optiekarakteristieken opgesloten. Een verwerking van calladjusted duration en convexiteit in de duration analyse kan uitkomst bieden. Bij woningcorporaties kan dit met name voorkomen indien de woningen volgens het “te woon” concept dan wel in enige vorm tussen koop en huur worden aangeboden. De toekomstige kasstromen uit hoofde van het vastgoed zijn dan niet meer eenduidig vast te stellen. Immers; deze zijn afhankelijk van de keus van de klant (die een optierecht verkregen heeft, waarbij de corporatie deze optie geschreven heeft). • Duration analyse is een momentopname. Iedere rentewijziging leidt weer tot een wijziging van de duration. Aangezien renteveranderingen zeer veelvuldig voorkomen moet er, voor een nauwkeurige renterisicometing veelvuldig een duration analyse worden uitgevoerd. • Als laatste nadeel van duration analyse geldt dat een behoorlijk niveau van expertise benodigd is betreffende termijnstructuur van de rente en yield curve dynamiek.
vi
r ≈ R+α
Indien dit wel het geval is kan gekozen worden voor een andere durationmaatstaf zoals die van Fisher-Weil. Meer hierover is te vinden bij Stulz [2003], pp. 280 - 285
24
De voordelen van het gebruik van duration analyse zijn: • Duration analyse is in staat de omvang en de richting van de rente-exposure van een woningcorporatie in één getal samen te vatten, namelijk als de rentegevoeligheid (= de MD) van het eigen vermogen (als verschil tussen de marktwaarde van de activa minus de marktwaarde van de leningenportefeuille) van de corporatie. • Duration analyse houdt rekening met de grootte, de timing en de herinvestering van alle kasstromen. Dit in tegenstelling tot gap analyse die slechts rekening houdt met de aflossingen. • Duration analyse houdt rekening met marktwaarden in plaats van boekwaarden. • Het (in een bepaalde mate) voorkomen van een waardeverandering van de marktwaarde van het eigen vermogen van een woningcorporatie als gevolg van een renteverandering zou de centrale doelstelling dienen te zijn voor een woningcorporatie die bezig is met renterisicomanagement. Duration analyse meet dit beter dan gap analyse. • Bij het formuleren en implementeren van een renterisicobeleid kan duration analyse een belangrijke en eenduidige rol spelen. Het management van een woningcorporatie kan een risicobeleid formuleren met behulp van duration door bijvoorbeeld te stellen dat de modified duration van het eigen vermogen niet hoger mag zijn dan X. Afdekkingstrategieën kunnen vervolgens eenvoudig onderling worden vergeleken door middel van de bepaling in welke omvang de voorgestelde hedge leidt tot een wijziging in de modified duration van het eigen vermogen van de corporatie. De daarbij horende kosten van afdekking kunnen uiteraard ook meegenomen worden, alhoewel deze in marktwaardetermen vrijwel verwaarloosbaar zijn (De netto contante waarde van iedere afdekkingstrategie is, afgezien van de bid-ask spread, per definitie in marktwaardetermen nihil). Resumerend kunnen we stellen dat duration analyse, ondanks een aantal beperkingen en nadelen de voorkeur geniet boven een gap analyse. Het inzicht in renterisico (door het hanteren van één centrale renterisiconorm (de MD van het eigen vermogen) en één gemeten waarde is omvattender dan bij een gap analyse. De relatieve eenvoud waarmee beoordeeld kan worden welke afdekkingstrategie gevolgd dient te worden is een ander groot voordeel. Om nog maar te zwijgen over de conceptuele/theoretische voordelen van duration zoals het feit dat duration analyse volledig op marktwaarde gebaseerd is en rekening houdt met de grootte, de timing en de herinvestering van kasstromen. Kortom; een duration analyse is, mijns inziens, noodzakelijk in een voldoende professionele meting van het renterisico en geniet derhalve de voorkeur boven een gap analyse. 3.6.
Duration analyse: een voorbeeld
In onderstaande tabel is een fictief voorbeeld van een uitkomst van een duration analyse opgenomen. In bijlage II vindt u de gehanteerde gegevens en de relevante berekeningen. De kasstromen die gegenereerd worden door het materieel vast actief (de vastgoedportefeuille) zijn meegenomen tot aan het verstrijken van de economische levensduur van het vastgoed. Deze kasstromen zijn contant gemaakt met behulp van de contante zero swap curve met een opslag van 75 basispunten. De marktwaarde van de beleggingsportefeuille is bepaald door middel van de vigerende obligatiekoersen. De marktwaarde van de leningenportefeuille is bepaald door de contante waarde van de toekomstige kasstromen te bepalen met behulp van de actuele zero coupon swap curve zonder opslag. De marktwaarde van het vastgoed plus de marktwaarde van de beleggingsportefeuille tezamen bepalen in dit geval de marktwaarde van de activa. Door op dit bedrag de marktwaarde van de leningenportefeuille en de marktwaarde 25
van de vlottende passiva in mindering te brengen verkrijgen we de marktwaarde van het eigen vermogen. Doordat alle kasstromen bekend zijn kunnen we op basis van de kasstroomprognose (in combinatie met de disconteringsfactoren) de duration en de modified duration bepalen (van de vastgoed-, de beleggings- en de leningenportefeuille). Door vermenigvuldiging van de marktwaarde met de modified duration per balanspost en deze te salderen voor de actiefzijde van de balans verkrijgen we op deze wijze een totaal voor de actiefzijde van de balans. Dit dient gelijk te zijn aan het totaal van dezelfde exercitie aan de passiefzijde van de balans. Dit totaal minus de marktwaarde van de leningenportefeuille vermenigvuldigd met de MD van de leningenportefeuille bepaalt het totaal voor de post eigen vermogen. Door eenvoudig dit restant te delen door de marktwaarde van het eigen vermogen, bepalen we zo per saldo de modified duration (=MD) van het eigen vermogen.
Marktwaardebalans per 1 januari 2007 in € 1.000 Marktwaarde MVA MD MVA Marktwaarde beleggingsportefeuille MD beleggingsportefeuille Marktwaarde vlottende activa MD vlottende activa
376.593 Marktwaarde eigen vermogen 9,01 MD eigen vermogen 7.463 Marktwaarde leningenportefeuille 8,1 MD leningenportefeuille 0 Marktwaarde vlottende passiva 0 MD vlottende passiva 384.056
178.523 12,86 179.533 6,44 26.000 0 384.056
Uit de tabel blijkt dat deze fictieve woningcorporatie gevoelig is voor een rentestijging. Een 1% rentestijging leidt tot een ingeschatte marktwaardedaling van het eigen vermogen van 12,86% van 178.523 = 22.951. Vanuit het oogpunt van risicomanagement kunnen we concluderen dat deze woningcorporatie haar langlopende activa financiert met korter lopende leningen. Deze corporatie heeft derhalve een mismatch op haar balans. De gemiddelde MD van de actiefzijde bedraagt 8,99. De corporatie heeft nu verschillende mogelijkheden om het renterisico (gedeeltelijk) te immuniseren. De eerste voor de hand liggende immunisatiestrategie bestaat uit het verlengen van de leningenportefeuille en dus het verhogen van de MD van de leningenportefeuille door bijvoorbeeld het aangaan van een forward starting swap of een forward fixatie die ertoe leidt dat de MD van de leningenportefeuille op een niveau komt van 8,99 (gelijk aan de gemiddelde MD van de activa). Deze transactie leidt overigens niet tot een wijziging van de marktwaarde van de leningenportefeuille. Per definitie is de marktwaarde van een (derivaten-)transactie nihil op het moment van afsluiten. De MD van het eigen vermogen daalt dan tot 10,30. Dit betekent dat de woningcorporatie nog altijd gevoelig is voor een rentestijging. Een 1% rentestijging leidt dan tot een ingeschatte marktwaardedaling van het eigen vermogen van 10,30% van 178.523 = 18.388. Volledige immunisatie kan slechts worden verkregen door de MD van de leningenportefeuille te verhogen naar 19,23. Als gevolg van deze verlenging is de MD van het eigen vermogen gelijk aan 0.
26
4. Value at Risk analyse Value at Risk (VaR) is een verzamelnaam voor allerlei technieken die hun oorsprong vinden in de oorspronkelijk door J.P. Morgan ontwikkelde methode genaamd RiskMetrics om financieel portefeuillerisico te definiëren en te kwantificeren 35 . Deze methodiek stelt deelnemers aan de financiële markten in staat om hun exposure ten aanzien van marktrisico in te schatten. Andersoortige risico’s, zoals kredietwaardigheidrisico’s, liquiditeitsrisico’s, etc. maken dus geen onderdeel uit van deze risicometingsmethodiek. Met behulp van VaR wordt dus uitsluitende het marktrisico gemeten in termen van potentieel verlies op een positie of portefeuille. De VaR geeft daarmee een uitdrukking aan het neerwaarts risico. In tegenstelling tot durationanalyse (die tweezijdig een uitdrukking geeft aan risico) brengt VaR “slechts” het maximale verlies tot uitdrukking en is daarmee volledig gericht op het berekenen van het neerwaarts risico. In het kader van dit onderzoek, merk ik op dat ik met name geïnteresseerd ben in het doormeten van renterisico’s, als belangrijkste bron van financieel risico voor een woningcorporatie. Het marktrisico van bijvoorbeeld aandelenportefeuilles is voor dit onderzoek nauwelijks relevant te noemen, aangezien woningcorporaties in slechts zeer beperkte mate aandelenportefeuilles in bezit hebben. Een Value at Risk berekening kan losgelaten worden op de individuele waardecomponenten van een woningcorporatie, waarvan de belangrijkste onderdelen worden gevormd door de marktwaarde van de vastgoedportefeuille op de actiefzijde en de (marktwaarde van de) leningenportefeuille en de per saldo bepaalde marktwaarde van het eigen vermogen op de passiefzijde van de balans. Analoog aan de duration analyse kan de VaR ten aanzien van het eigen vermogen van de corporatie worden beschouwd als de centrale maatstaf voor renterisico die uitdrukking geeft aan het neerwaarts renterisico voor de gehele organisatie. Het management van een corporatie kan, desgewenst, meerdere VaR-limieten bepalen (bijvoorbeeld ten aanzien van de vastgoedportefeuille en de leningenportefeuille) maar kan ook kiezen voor één centrale risicolimiet die dan is gedefinieerd ten aanzien van het eigen vermogen. 4.1.
Definitie Value at Risk
Een veel in de literatuur gehanteerde definitie 36 benadrukt vier kernelementen van het concept: Het maximale verlies dat kan ontstaan op (1) een positie door (2) normale marktbewegingen in (3) een bepaalde periode, gebaseerd op een time to close benadering, uitgaande van (4) een vastgesteld waarschijnlijkheidsinterval. Ad 1: Een positie Een positie wordt bepaald in termen van marktwaarde. Dit kan op twee manieren geschieden: • Toekomstige kasstromen worden teruggerekend naar tijdstip 0 met behulp van een disconteringsvoet (de zogenaamde indirecte methode). De RiskMetrics methode hanteert hiervoor zogenaamde cash flow vertices, waarbij alle toekomstige kasstromen worden ingedeeld in 14 vaststaande looptijdbuckets ( 1 maand, 3 maanden, 6 maanden, 12 maanden, 2 jaar, 3 jaar, 4 jaar, 5 jaar, 7 jaar, 9 jaar, 10 jaar, 15 jaar, 20 jaar, 30 jaar). Simpelweg gesteld wordt zo bijvoorbeeld een kasstroom die over 9 maanden vervalt voor een gedeelte geplaatst op 6 maanden looptijd en voor het overige gedeelte in 12 maanden. 27
•
De notering op de beurs geeft direct de marktwaarde (directe methode). Een en ander is toepasbaar voor een enkel risicodragend element of een portfolio van dergelijke elementen.
Alle risicodragende activa, passiva en off-balance instrumenten (de derivaten) komen in principe in aanmerking voor een VaR bepaling. Ad 2.: Normale marktbewegingen Bij de bepaling van VaR wordt gesproken over ‘normale marktbewegingen’. Hiermee wordt bedoeld dat slechts indien de markt niet significant anders beweegt dan in een zekere periode in het verleden is gebeurd, de VaR kan worden bepaald. In de VaR methode wordt gebruik gemaakt van de normale verdeling. Dit impliceert dat de VaR methode veronderstelt dat de rendementen, en ook de veranderingen in de yield curve, normaal zijn verdeeld. De geobserveerde data dienen dus aan de eisen van een normale verdeling te voldoen. De belangrijkste hiervan zijn: • De verdeling is volledig symmetrisch en kent derhalve geen scheefheid • Binnen 1 keer de standaarddeviatie van het gemiddelde ligt 68% van de waarnemingen, binnen 2 keer de standaarddeviatie van het gemiddelde ligt ruim 95%, etc. • Het derde centrale moment is gelijk aan 0 door de symmetrie • Het vierde centrale moment (de zogenaamde kurtosis) is 3 keer de variantie in het kwadraat vii . De kurtosis geeft aan welke vorm de staart van de verdeling heeft. Verdelingen met veel kansdichtheid in hun staart (de zogenaamde fat tails) hebben een kurtosis die groter is dan 3 keer de variantie in het kwadraat. Deze ‘normale marktbewegingen’ worden in de VaR methode vertaald naar de standaarddeviatie van het element of de portfolio. Deze standaarddeviatie geeft inzicht in de volatiliteit. De basis hiervoor wordt gevormd door het geobserveerde (historische) verloop van de waarde van het element. In het geval dat er sprake is van een portefeuille worden ook de correlaties tussen de verschillende rendementsvectoren meegenomen in een correlatie/covariantiematrix.. Ad 3: De time to close periode Het risico wordt gemeten over de periode waarop het gelopen wordt (‘holding period’ of ‘time to close period’). Hiermee wordt in het algemeen bedoeld de periode die nodig is om de risicodragende positie volledig af te bouwen. Dit zou, in het kader van dit onderzoek, impliceren dat de time to close periode voor de vastgoedportefeuille van een woningcorporatie ten minste gelijk zou moeten zijn aan de periode die benodigd is om al het vastgoed te verkopen. Dit zou wel eens in de jaren kunnen lopen. Hetzelfde zou gelden voor de leningenportefeuille. Kocken 37 stelt dat het in risicomanagement niet over de liquidatietijd van een product gaat maar om de liquidatietijd van het risico. Zoals we hebben gezien in het duration voorbeeld gaat het dan met name om de rentegevoeligheid van de marktwaarde van het eigen vermogen van een woningcorporatie. In het voorbeeld is aangegeven dat het vii
Het vierde centrale moment is als volgt af te leiden. Voor de eenvoud wordt de verwachtingswaarde op nul gesteld.
E{x 4 } = E{x 4 } =
∞
1 2πσ 2
4
e
2
x2
σ
2
−∞ ∞
1 2πσ
∫x
−0,5
∫ 3σ
4
− 0,5
e
=
1 2πσ 2
∞
∫ 3x σ 2
2
−0,5
e
x2
σ2
−∞
x2
σ2
= 3σ 4
−∞
28
afsluiten van een (forward starting) swap (of een forward fixatie) die de leningenportefeuille verlengt naar een MD van 19,23, de rentegevoeligheid van het eigen vermogen reduceert naar nihil. Een dergelijke transactie is in de regel op zeer korte termijn af te sluiten. Met name de swaptransactie is als gevolg van de zeer omvangrijke liquiditeit op de swapmarkt in de regel binnen 1 dag af te sluiten. Zoals is besproken in het voortgaande hoofdstuk maken we bij het verdisconteren van de kasstromen uit de vastgoedportefeuille gebruik van de zero swap curve met een opslag. Deze opslagen kunnen variëren in de tijd. Door het renterisico te hedgen door middel van een swaptransactie blijft de woningcorporatie nog wel gevoelig voor zogenaamde spreadrisico’s. Een spreadrisico is het risico dat de opslagen op de swapcurve variëren in de tijd en dus een andere omvang kunnen hebben. Spreadrisico’s kunnen desgewenst worden afgedekt door middel van credit swaps. Per saldo kan de time to close period voor woningcorporaties dus op 1 dag worden gesteld. De definitie van VaR staat echter toe om een VaR te berekenen over een langere termijn dan 1 dag. Zo kan men VaR’s uitrekenen over bijvoorbeeld een termijn van 1 jaar en eventueel opvolgende termijnen om zodoende inzicht te verkrijgen in de strategische risico’s van een portefeuille 38 . De Var methode maakt gebruik van de zogenaamde Wortel-t formule om van een 1-dag time to close period om te schakelen naar een langere time to close period. De formule hiervoor luidt 39 : σ 1,2t +T ]t = T σ 1,2t +1]t of σ 1,t +T ]t = T σ 1,t +1]t
(21)
en
σ 122 ,t +T ]t = Tσ 122 ,t +1]t
(22)
waarbij: σ 12,t +T ]t = Variantie van een stochast met een time to close van T handelsdagen
σ 12,t +1]t = Variantie van een stochast met een time to close van 1 handelsdag σ 122 ,t +T ]t = Covariantie van een stochast met een time to close van T handelsdagen σ 122 ,t +1]t = Covariantie van een stochast met een time to close van 1 handelsdag Dit betekent het volgende; een bepaling van een VaR met een time to close van bijvoorbeeld 25 handelsdagen is een eenvoudige vermenigvuldiging met de factor 25 van de VaR met een time to close period van 1 handelsdag. In dit onderzoek ben ik met name geïnteresseerd in de strategische risico’s van de portefeuille en minder in de zogenaamde DEaR (Daily Earnings at Risk), het marktwaardeverlies dat met een zekere betrouwbaarheid kan worden ingeschat voor een holding period van 1 handelsdag. In de aard van de corporatie ligt besloten dat zij over een langere periode risicoposities aanhoudt. Hoewel de mogelijkheid bestaat om binnen 1 handelsdag het renterisico te elimineren, is het voor het inzicht in het renterisico nuttig om ook een termijn van 1 jaar als time to close door te rekenen. Bovendien blijkt uit de data-analyse die verderop in dit hoofdstuk plaatsvindt dat een eenvoudige scaling van 1 handelsdag naar 1 jaar, via de wortel-t formule tot een andere uitkomst leidt dan het gebruik van 1-jaars revolving rentevoeten. Deze laatste methode heeft mijn voorkeur omdat het gebruik van een scaling factor slechts een benadering is van de werkelijk waargenomen rentemutaties die zich in een jaarperiode hebben voorgedaan. Rechtstreekse bepaling van deze rentemutaties (in de vorm van 1-jaars revolving rentevoeten) geeft aldus een betere benadering van de VaR dan het hanteren van de wortel-t formule.
29
Ad 4: Een vastgesteld waarschijnlijkheidsinterval (α) Het is niet mogelijk om een uitspraak te doen omtrent het maximale potentiële verlies met een zekerheid van 100%, zonder in te boeten aan de realiteitsgehalte van de uitkomst. Door de veronderstelling van een normale verdeling van rendementen lijkt het logisch om met het zogenaamde kwantielbegrip uit de kansverdeling te werken. De keuze voor de waarde van α (het waarschijnlijkheidsinterval) bij de Value at Risk metingen is arbitrair, en wordt in de praktijk veelal tussen de 90% en de 99% genomen 40 . De waarde van α dient niet te klein te zijn omdat gezocht wordt naar een verlieswaarde die niet erg waarschijnlijk is, om deze zodoende te kunnen limiteren. Daar staat tegenover dat er redenen zijn deze ook niet al te groot te kiezen. Een van de redenen is dat het VaR model via een zogenaamde backtesting getoetst wordt op betrouwbaarheid van het model. In het geval dat α op 95% wordt gesteld moet uit backtesting in 5 op de 100 gevallen blijken dat het verlies omvangrijker is geweest dan de VaR. Om betrouwbare toetsen te kunnen doen dienen redelijk veel overschrijdingen te zijn gerealiseerd. Daarnaast heeft de waarde van α ook een relatie tot de mate van risicoaversie die gewenst is. Met name de toezichthoudende instanties zoals bijvoorbeeld de BIS hanteren een zeer hoge α om de kapitaalvereisten voor banken op een hoog niveau te kunnen plaatsen. 4.2.
Methoden om VaR te bepalen
Er zijn vele methoden ontwikkeld om de VaR van een portefeuille te kunnen bepalen. Ik volg de indeling van Kocken die onderscheid maakt naar de wijze waarop er verschillend met marktinformatie wordt omgegaan 41 . Hij onderscheidt een tweetal basismethoden aangeduid met de termen historische simulatie en gestructureerde Value at Risk. Historische simulatie In geval van historische simulatie worden de in het verleden geobserveerde gelijktijdig optredende bewegingen in marktvariabelen simpelweg gehanteerd als mogelijke scenario’s voor toekomstige bewegingen. Deze scenario’s worden toegepast op de portefeuille waarna wordt geanalyseerd wat de waardeverandering is bij de diverse scenario’s. Deze waardeveranderingen worden in frequentietabellen verwerkt waarna een benaderende kansverdeling resulteert voor de waarde van de portefeuille. De VaR is dan gelijk aan die waarde waarbij exact (100-α)% van de scenario-uitkomsten lager is. Voor het beoogde doel van deze masterproof (het maken van een eenvoudig risicomodel voor woningcorporaties) lijkt deze methode zeer geschikt. Voor een groot aantal yieldcurves die zich in het verleden voorgedaan hebben dient voor iedere handelsdag de marktwaarde van het eigen vermogen bepaalt te worden. Deze dienen vervolgens in een kansverdeling verwerkt te worden zodat een VaR kan worden bepaald. De rekenintensiteit van deze methodiek is dus weliswaar zeer omvangrijk. Het grootste voordeel van deze variant is overigens dat geen enkele veronderstelling ten aanzien van de te hanteren verdeling noodzakelijk is. Lucas 42 noemt deze methode een niet-parametrische schattingsmethode. Een aantal beperking die gesteld moeten worden aan deze benadering, ondanks de geringe hoeveelheid veronderstellingen die worden gemaakt, zijn: • De steekproef dient homogeen te zijn. Indien er tijdsvariatie (de markt ontwikkelt zich anders dan verwacht zou mogen worden op basis van historische waarnemingen) zit in het datagenererend proces kan het zijn dat historische rendementen weinig zeggen over de toekomstige rendementen. Tijdsvariatie kan zich voordoen als gevolg van een structurele wijziging van de markt maar zich ook voordoen in het optreden van clusters van volatiliteit. In financiële markten vindt men dat in de regel onrustige perioden gevolgd
30
worden door onrustige perioden terwijl rustige perioden gevolg worden door rustige. Dit vergt een lagere weging van meer in het verleden gerealiseerde rendementen ten opzichte van de meer actuele rendementen. Een lagere weging kan bijvoorbeeld gedaan worden T
door het hanteren van een zogenaamde decay factor zoals 1-λ ∑ λ t-1 waarbij λ tussen de 0 t=1
en 1 ligt. Het laatst waargenomen (meest actuele rendement) heeft dan de waarde t =1 en krijgt een zwaardere weging dan de meer in het verleden waargenomen rendementen. De betrouwbaarheid van de VaR schattingen. Jorion 43 is van mening dat de betrouwbaarheid van VaR schattingen verkregen met (mogelijk incorrecte) parametrische modellen groter is dan de VaR verkregen met de niet-parametrische aanpak.
•
Gestructureerde Value at Risk De aanpak van gestructureerde Value at Risk is gericht op het maken van een stochastisch model dat het proces van de bewegingen in de marktvariabelen beschrijft. Dit wiskundige model bevat diverse parameters die worden ingeschat op basis van beschikbare historische informatie omtrent de bewegingen in de markt. Het model heeft de markt in een structuur gegoten op basis waarvan verdere berekeningen kunnen worden gemaakt. Voor het bepalen van een gestructureerde VaR dient naar de statistische eigenschappen en relaties van diverse marktvariabelen te worden gekeken en dus is het noodzakelijk om enkele statistische aannames te doen. De belangrijkste hiervan zijn: • Normaliteit: de kansverdeling van de diverse stochasten zijn normaal verdeeld. • Afwezigheid van drift (= de neiging een variabele om naar een bepaalde (evenwichts-) waarde te tenderen). Voor een korte horizon wordt verondersteld dat drift ontbreekt, hetgeen betekent dat de kans op een stijging van een marktvariabele net zo groot is als de kans op een daling. Met name ten aanzien van renteontwikkelingen op langere termijn kunnen hierbij vraagtekens worden geplaatst, aangezien de rente onderhevig is aan meanreversion 44 . Bij hoge renteniveaus is de kans op daling richting een lange termijn gemiddelde groter dan de kans op een rentestijging en vice versa. De oplossing van dit vraagstuk kan liggen in het stellen van de time to close period op 1 handelsdag. • Afwezigheid autocorrelatie. Verondersteld wordt dat er geen correlatie bestaat tussen de beweging op dag t van een variabele en de beweging op de dagen daarvoor. Uit onderzoek 45 blijkt dat dagelijkse rendementen nauwelijks leiden onder het fenomeen van autocorrelatie. Dit is echter anders voor de variantie van de rendementen. Deze kent een statistisch significante mate van autocorrelatie. In de vakliteratuur wordt veelvuldig een zogenaamde GARCH viii model toegepast om het fenomeen van autocorrelatie in kaart te brengen. Volatiliteit wordt als een tijdsafhankelijk proces beschouwd. Clustering van volatiliteit wordt met behulp van dit model ondervangen. Een andere wijze waarmee volatiliteitsclustering ondervangen kan worden is door het bepalen van een tijdsgewogen correlatiecoëfficiënt (ook wel exponentiële correlatiecoëfficiënt genoemd) . Deze laatste methode wordt toegepast door RiskMetrics. Kocken 46 is van mening dat autocorrelatie wel gevonden wordt in de praktijk, maar niet erg stabiel en lang niet altijd significant. Voor marktrisicometingen wordt het dan ook in het algemeen, uit praktische overwegingen, afwezig verondersteld.
viii
GARCH is een afkorting van Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity. Een GARCH model veronderstelt autoregressie en impliceert derhalve dat de huidige volatiliteit een functie is van de in het verleden waargenomen volatiliteitsontwikkeling. Volatiliteit is derhalve tijdsafhankelijk. Een voorbeeld van een GARCH model is bijvoorbeeld het model van Ruiz die de volgende volatiliteitsfunctie heeft gedfinieerd: 2
2
2
σ t =0,0147+0,881σ t-1 +0,0828 rt-1 . Volatiliteit is hierbij afhankelijk van de vorige waargenomen volatiliteit en het voorlaatst waargenomen rendement.
31
Volgens Kocken 47 zijn beide varianten mogelijk en goed te gebruiken. In de context van complexe portefeuilles (met name optieportefeuilles) met veel onderliggende stochastische variabelen is wel een groot aantal simulaties noodzakelijk om een redelijk deel van de stochastische uitkomstenruimte te dekken. Bij een te beperkt aantal scenario’s is het mogelijk dat bij het herhalen van de simulatie een geheel andere uitkomst wordt gepresenteerd. Kocken geeft aan in dat geval een voorkeur te hebben voor een Monte Carlo simulatie, op basis van het feit dat zeer vele scenario’s kunnen worden gegenereerd, gebaseerd op een dataset die slechts beperkt terug hoeft te gaan in de historie 48 . In het kader van dit onderzoek kunnen wij volstaan met de opmerking dat de portefeuilles van woningcorporaties nauwelijks optiekenmerken vertonen ten aanzien van renteopties. De tussenvormen tussen huur en koop, en Maatschappelijk Gebonden Eigendomsvarianten (MGE) kunnen, mijns inziens, op basis van eigen stochastische inschattingen van de corporatie direct in de kasstroomprognose worden verwerkt. Deze benadering leidt dus tot de conclusie dat beide varianten mogelijk zijn. 4.3.
De VaR voor een enkelvoudige rentepositie; een 1e-orde benadering
De VaR van een enkelvoudige rentepositie, op basis van een 1e-orde benadering kan eenvoudig worden bepaald door middel van de volgende formule: (23) VaRt ,T = σ t −1 × Z × CWt −1 × MD waarbij: Value at Risk geschat op tijdstip t, met een tijdshorizon van T VaRt,T = σt-1 = Standaarddeviatie van de zero yield Z = # standaarddeviaties dat behoort bij het gekozen waarschijnlijkheidsinterval CWt-1 = Marktwaarde van de positie op tijdstip t-1 MD = Modified duration van de rentepositie De Value at Risk van een rentedragende positie is afhankelijk van de modified duration, de huidige marktwaarde, de standaarddeviatie van de rente en het gekozen waarschijnlijkheidsinterval. Duration analyse geeft een indicatie omtrent de gevoeligheid van een marktwaarde ten aanzien van rentewijzigingen (de laatste twee termen in de vergelijking) en drukt niet uit wat de omvang van een rentewijziging zou kunnen zijn. De VaR bepaalt naast de rentegevoeligheid ook de maximale ongunstige rentewijziging die zich kan voordoen gegeven een bepaald waarschijnlijkheidsinterval (de eerste twee termen). De gevoeligheid van een marktwaarde voor rentewijzigingen wordt zodoende gecombineerd met een maximale omvang rentewijziging om het renterisico volledig inzichtelijk te maken. Om een eenvoudig voorbeeld te hanteren, neme men een positie waarvan de volgende gegevens bekend zijn: Marktwaarde = € 100.000,- Sd 8-jaars zero yield (per dag) = 3,90 basispunten Duration = 8 jaar Z = 1,65 sd dus een VaR met 95% waarschijnlijkheid 8 Zero yield = 4,693% MD = = 7,64% 1,04693 Ingevuld in de formule levert dit het volgende op: VaRt ,T = σ t −1 × Z × CWt −1 × MD
VaR1,1 = 0, 039 ×1, 65 × 100.000 × 7, 64% = 491, 63
32
Dus: de marktwaardedaling van deze positie binnen 1 handelsdag, is met een waarschijnlijkheid van 95%, in te schatten op maximaal € 491,63 Interessant is nu om in de beschouwing mee te nemen wat de omvang is van de VaR gegeven een tijdshorizon van 1 jaar. Ik maak hierbij gebruik van gegevens verkregen uit datastream. Van de laatste 10 jaar zijn alle dagkoersen voor een 8-jaars swap bepaald. In totaal resulteert dit in 2.610 waargenomen dagkoersen (middenkoers bepaald op het einde van de handelsdag). Het is mij primair te doen om de rentemutaties die zich voorgedaan hebben in deze periode (dus niet de absolute rentes). Deze rentemutaties zijn berekend. Op basis van deze rentemutaties (N = 2.609) is de omvang van de standaarddeviatie berekend en tevens de meest relevante percentielen (90%, 95%, 97,5% en 99%). Vervolgens zijn de revolving rentemutaties op jaarbasis bepaald door middel van het vergelijken van de rentestanden op dezelfde datum in opeenvolgende jaren. Dit resulteert in 2.349 berekende jaarmutaties qua rente. Ook voor deze jaarkoersen is de standaarddeviatie bepaald alsmede de relevante percentielen. In Bijlage III treft u een overzicht aan van de resultaten van een onderzoek dat ik verricht heb naar de koersbewegingen (en dus de rentewijzigingen) van swaps met looptijden van 1 jaar tot 30 jaar. Zowel de dagmutaties als de jaarmutaties qua rente zijn in het overzicht opgenomen op basis van een standaardnormale verdeling en op basis van werkelijke waarnemingen. Er zijn vier methoden aanwezig om van een VaR van 1 dag te komen naar een VaR voor 1 jaar, te weten: − Gegeven de standaarddeviatie van de dagkoersen, deze via de scalingfactor 260 om te rekenen naar een VaR op jaarbasis. Via de wortel-t formule (met 260 handelsdagen) komen we op: VaR1,260 = 260 × 491, 63 = 7.927,36
− Gegeven de zich werkelijk voorgedane dagmutaties in de rente, bepalen van een 95% percentiel, welke via de scalingfactor 260 wordt omgerekend naar een VaR op jaarbasis. Dit is een systematiek waarbij gebruik gemaakt wordt van de werkelijke historische waarnemingen 49 qua rentemutaties op dagbasis. De 8-jaars zero swap curve heeft volgens mijn waarneming een 95% percentiel van 6,26 basispunten op dagbasis. Dit levert de volgende berekening op: VaR1,260 = 260 × 0, 0626 ×100.000 × 7, 64% = 7.711, 78 − Bepaling van de jaarmutaties qua rente, waarvan vervolgens de standaarddeviatie wordt bepaald. Deze wordt vervolgens in de gebruikelijke formule voor een VaR bepaling gehanteerd, ter bepaling van de VaR op jaarbasis. De standaarddeviatie van de 8-jaars zero swap curve bedraagt 81,03 basispunten op jaarbasis. Deze ingevuld in de algemene formule levert op: VaR1,260 = 0,8103 × 1, 65 ×100.000 × 7, 64% = 10.214, 64 of anders gesteld: VaR1,260 = 1,3370 ×100.000 × 7, 64% = 10.214, 64 . Deze laatste formule drukt uit dat de renteverandering in absolute zin gelijk is aan 133,7 basispunten. − Bepaling van de jaarmutaties qua rente, waarna vervolgens op basis van de werkelijk waargenomen mutaties het 95% percentiel wordt bepaald. Deze rentemutatie is dan de maximale rentemutatie die zich voorgedaan heeft in de populatie met een 95% waarschijnlijkheid. Deze wordt vervolgens in de VaR bepaling gehanteerd. Het 95% percentiel van de waargenomen jaarmutaties in de 8-jaars zero swap curve bedraagt 136 basispunten. Dit levert de volgende VaR op jaarbasis op: VaR1,260 = 1,36 × 100.000 × 7, 64% = 10.390, 40 .
33
Zoals we, op basis van voorgaande berekeningen, kunnen constateren is dat het verschil tussen de hoogst berekende VaR en de laagste ruim € 2.678,- bedraagt. Dit verschil is omvangrijk en is wellicht gedeeltelijk te verklaren door het gebruik van Modified Duration in de formule. De Modified duration is een 1e-orde benadering van de marktwaardeverandering van een financiële waarde als gevolg van een renteverandering. Interessant is nu de vraag hoe bovenstaande berekening, en dan met name de berekening van de VaR op jaarbasis uitwerkt indien naast de Modified duration tevens de Convexiteit wordt meegenomen. 4.4.
De VaR voor een enkelvoudige rentepositie; een 2e orde benadering
De tweede afgeleide van de marktwaardefunctie wordt de convexiteit genoemd. Duration is de eerste afgeleide van de marktwaardefunctie. Deze eerste afgeleide is een lineaire functie en vormt derhalve slechts een benadering van de werkelijke waardeverandering van een financiële titel als gevolg van een renteverandering. De marktwaardefunctie is namelijk een convexe functie. Convexiteit houdt rekening met de kromming van de marktwaardefunctie en zorgt zodoende in combinatie met duration voor een betere benadering van de marktwaardemutatie als gevolg van een renteverandering. Voor een uitgebreid voorbeeld en de berekeningswijze verwijs ik naar bijlage I. Hantering van de Modified duration leidt slechts bij zeer geringe veranderingen van de rente tot een goede schatting van de marktwaardeverandering. Bij omvangrijkere yieldshifts, zoals de rentemutaties die zich voordoen op jaarbasis leidt toepassing van duration plus convexiteit tot een betere schatting van de werkelijke waardeverandering van de financiële titel. Toepassing van een en ander leidt in het voorgaande voorbeeld tot de volgende berekening: 1. Gegeven de standaarddeviatie van de dagkoersen, deze via de scalingfactor 260 om te rekenen naar een VaR op jaarbasis. Impliciet wordt hier een renteverandering verondersteld van 260 × 0, 039 ×1, 65 = 1, 0376% 2. Gegeven de zich werkelijk voorgedane mutaties in de rente, bepalen van een 95% percentiel, welke via de scalingfactor 260 wordt omgerekend naar een VaR op jaarbasis. De 8-jaars zero swap curve heeft volgens mijn waarneming een 95% percentiel van 6,26 basispunten op dagbasis. Dit levert de volgende impliciete renteverandering op: 260 × 0, 0626 = 1, 0094% 3. Bepaling van de jaarmutaties qua rente, waarvan vervolgens de standaarddeviatie wordt bepaald. De standaarddeviatie van de 8-jaars zero swap curve bedraagt 81,03 basispunten op jaarbasis. Dit levert de volgende impliciete renteverandering op: 0,8103 × 1, 65 = 1,3370% 4. Bepaling van de jaarmutaties qua rente, waarna vervolgens op basis van de werkelijk waargenomen mutaties het 95% percentiel wordt bepaald. Het 95% percentiel van de waargenomen jaarmutaties in de 8-jaars zero swap curve bedraagt 136 basispunten. Dit leidt dan tot de volgende tabel (afgerond op gehele Euro’s): Methode 1 2 3 4
Impliciete Yieldshift 1,0376% 1,0094% 1,3370% 1,3600%
1e ordeVaR 7.927 7.712 10.215 10.390
2e orde VaR 7.575 7.379 9.629 9.785
Werkelijk 7.587 7.389 9.654 9.810
34
Het verschil tussen de hoogste en de laagste waarde bedraagt nog steeds € 2.421,-. Het geconstateerde verschil is dus niet verklaarbaar uit het slechts toepassen van een 1e-orde benadering. Het toepassen van een 2e-orde benadering leidt echter wel tot een aanmerkelijk verbetering van de betrouwbaarheid van de schatting van VaR (afgezet tegen de werkelijke waardeontwikkeling gegeven de impliciete yieldshifts). De conclusie luidt derhalve dat bij iedere VaR analyse in ieder geval een 2e-orde benadering gehanteerd dient te worden ten einde de betrouwbaarheid van de VaR bepaling op een acceptabel niveau te krijgen. Een 2eorde benadering benadert, in mijn optiek, in voldoende mate de werkelijke waardeverandering als gevolg van een renteverandering. Resteert de vraag welke methode überhaupt superieur is in de bepaling van een VaR op jaarbasis. De eerste twee methoden dienen, mijns inziens, per definitie af te vallen. Het opschalen door middel van de scaling factor van een 1-dags VaR naar een VaR op jaarbasis leidt, in relatie tot de daadwerkelijk gevonden rentemutaties op jaarbasis tot een onderschatting van de VaR op jaarbasis. Rekentechnisch is het niet bijster ingewikkeld om op jaarbasis de renteveranderingen te bepalen. Bovendien zijn dit dan werkelijk waargenomen waarden. Directe bepaling via jaarmutaties in de rente in plaats van het hanteren van een opschalingsfactor verdient dus de voorkeur. Resteren nog 2 methoden; methode 3 die van een standaardnormaalverdeling uitgaat en methode 4 (het rangschikken van de daadwerkelijke jaarlijkse rentemutaties op omvang, waarna het 95% percentiel wordt bepaald). Deze laatste methode verdient mijns inziens de voorkeur. We weten inmiddels dat rendementen over het algemeen gesproken niet voldoen aan de eisen van een normaalverdeling 50 . Dit geldt ook voor de renteontwikkelingen. In bijlage III is een overzicht opgenomen waaruit blijkt dat de renteontwikkeling niet voldoet aan de voorwaarde van een normale verdeling (De scheefheid van de renteverdelingen is ongelijk aan nul en het vierde moment (de kurtosis) is niet gelijk aan 3). De vraag is dan gerechtvaardigd waarom überhaupt de normale verdeling gehanteerd zou moeten worden indien er voldoende historische data voorhanden zijn om een goede bepaling van het 95% percentiel te kunnen verrichten. Bovendien levert het 95% percentiel (uitgezonderd situaties waarin geïnterpoleerd moet worden) over het algemeen een waarde op die daadwerkelijk gerealiseerd is in de markt. Deze conclusies worden overigens ook toegepast op de bepaling van een VaR op dagbasis. De historische renteontwikkeling dient dus ook als basis voor de bepaling van een VaR op dagbasis en niet de standaarddeviatie van de dagelijkse rentemutaties. Voorwaarde voor het toepassen van deze systematiek is overigens wel dat de toekomstige renteontwikkelingen door structurele oorzaken of volatiliteitclustering niet sterk afwijkt van de historische renteontwikkeling. Zoals we reeds hebben gezien kan dit probleem ten dele ondervangen worden door het toepassen van een tijdsafhankelijke weging van de historische renteontwikkelingen en correlatiecoëfficiënten. 4.5.
De VaR voor een meervoudige rentepositie
In het voorgaande is steeds gesproken over een enkelvoudige rentepositie. Als voorbeeld hiervoor is een 8-jaars zero coupon bond genomen. Dit berust niet op toeval. Een coupondragende obligatie heeft namelijk meer kasstromen dan slechts een aan het einde van de looptijd. Rentebetalingen vinden namelijk tussentijds plaats. Voor een juiste berekening van een VaR is het noodzakelijk om alle kasstromen te splitsen naar enkelvoudige kasstromen die vervolgens door contantmaking met de zero-yield curve gewaardeerd kunnen worden. Een coupondragende obligatie heeft meerdere kasstromen die gedurende de looptijd vervallen. Al deze individuele kasstromen worden dus beschouwd als enkelvoudige renteposities. De kasstroom vormt zodoende het enkelvoudige element van analyse. Belangrijkste argument
35
voor deze aanpak is dat achter de contante waarde van een kasstroom één zero yieldwaarde zit, waarvan de stochastiek door middel van schatting is te achterhalen. Een renteproduct bestaande uit meerdere kasstromen heeft ook een bepaald stochastisch gedrag, maar deze wordt bepaald door het gedrag van de achterliggende yieldcurve, dus in feite door meer stochastische variabelen 51 . Een alternatieve benadering zou kunnen zijn om van alle producten direct, op basis van de bewegingen in de marktprijzen of marktwaarden, de onderlinge correlaties te berekenen. Het gehele product wordt dan als 1 stochastische variabele gezien. Alhoewel deze methode in principe niet verkeerd is, levert dit in de praktijk een aantal problemen op die veelal onoverkomelijk zijn. Met name de hoeveelheid onderlinge correlaties vormt hierbij een probleem ix . Bij omvangrijke portefeuilles van meer dan circa 50 producten levert dit al niet te overkomen rekentechnische problemen op. De methode om een VaR van een renteportefeuille te berekenen bestaat dus uit het bepalen van de standaarddeviatie van de bij de kasstromen behorende yields en de correlatiecoëfficiënten tussen de yields, waarna deze worden omgerekend naar standaarddeviatie van de contante waarde van de kasstromen en de correlatie tussen de contante waarden van de kasstromen. We weten uit de gangbare beleggingstheorie van Markowitz dat de standaarddeviatie van een portefeuille bestaande uit een tweetal beleggingen wordt bepaald door:
σ p = w12σ 12 + w22σ 22 + 2 ρ1, 2 w1 w2σ 1σ 2 waarbij: wn = σn = ρ1,2 =
(24)
het aandeel dat de financiële waarde n inneemt in de totale contante waarde de standaarddeviatie van de financiële waarde n de correlatiecoëfficiënt tussen de financiële waarden
Verondersteld wordt dat de beide financiële titels normaal verdeelde variabelen zijn. De Value at Risk wordt dan gedefinieerd als:
VaR = Zσ p = Z w12σ 12 + w22σ 22 + 2 ρ1, 2 w1 w2σ 1σ 2
(25)
waarbij Z het aantal standaarddeviaties weergeeft voor het betrouwbaarheidsinterval. Aangepast voor rentedragende titels kunnen we voorgaande formule herdefiniëren tot:
VaR = Zσ p = Z cw12σ 12 + cw22σ 22 + 2 ρ1, 2 cw1cw2σ 1σ 2 waarbij: ρ1,2 = cw = σn =
(26)
de correlatiecoëfficiënt tussen yield met looptijd t1 en de yield met looptijd t2 de contante waarde van de kasstromen de standaarddeviatie van de procentuele beweging in de contante waarde van de kasstroom.
De procentuele beweging in de contante waarde van de kasstroom is, zoals eerder besproken, te benaderen door het hanteren van MD. De formule verder uitgeschreven levert dan op:
VaR = Zσ p = Z cw12 MD1σ 12 + cw22 MD2σ 22 + 2 ρ1, 2 cw1cw2 MD1 MD2σ 1σ 2 ix
(27)
De hoeveelheid correlaties bedraagt 0,5 × N × (N-1). Bij 50 producten kom je zo tot 1225 onderlinge correlaties.
36
waarbij de standaarddeviatie nu wordt gedefinieerd als de standaarddeviatie van de zero yield behorende bij de looptijd van de kasstroom. Voor de goede orde wijs ik er op dat hier sprake is van een 1e-orde benadering. Voor omvangrijke yieldshifts is het, zoals eerder besproken, van eminent belang om ook de 2e-ordebenadering (convexiteit) toe te passen x .
Voorbeeld Uit bijlage III blijken ondermeer de volgende gegevens: Standaarddeviatie 1-jaars zero yield: 2,80 basispunten per dag Standaarddeviatie 30-jaars zero yield: 4,10 basispunten per dag Correlatie tussen 1-jaars en 30-jaars yield 0,63 1-jaars zero yield : 4,599% 30-jaars zero yield: 4,813% De standaarddeviaties zijn bepaald op basis van de swapkoersen van de afgelopen 10 jaar welke met behulp van Datastream zijn gegenereerd. De correlaties (zie voor de overige correlaties tussen de swaprentes ook bijlage III) zijn vervolgens berekend. Stel dat we nu een rentepositie hebben van 2 zero coupon obligaties met een looptijd van 1 jaar en van 30 jaar. De marktwaarde van de 1-jaars zero coupon obligatie en de 30-jaars bedragen respectievelijk € 250,- en € 100,-. Z = 1,65 sd. Allereerst dien we MD uit te rekenen van beide obligaties. De durations van beide obligaties zijn gelijk aan de looptijd. De MD bedraagt derhalve 1/1,04599 = 0,9560 voor de 1 –jaars en 30/1,04813 = 28,6224 voor de 30jaars obligatie. We krijgen derhalve de volgende VaR (op dagbasis) voor de beide enkelvoudige renteposities: VaR1− jaars = 1,65 × 250 × 0,956 × 0,028% = 1,65 × 250 × 0,02677% = 0,1104
VaR30− jaars = 1,65 × 100 × 28,6224 × 0,041% = 1,65 × 100 × 1,1735% = 1,9363 Voor de VaR van de portefeuille geldt dan:
VaR = 1,65
250 2 × 0,0002677 2 + 100 2 × 0,011735 2 + 2 × 0,63 × 250 × 100 × = 2,01 0,0002677 × 0,011735
Als de correlatiecoëfficiënt exact gelijk zou zijn geweest aan 1 dan zou de samengestelde rentepositie een VaR gehad hebben van 0,1104 + 1,9363 = 2,05 (gelijk aan de optelsom van de individuele VaR’s). Voor meer dan twee risicoposities kan de VaR met behulp van de volgende formule worden bepaald:
Var = Z
N
i =1
x
N
N
∑ (cwi MDiσ i ) 2 + 2 ∑∑ cwi cw j MDi MD j ρ i, jσ iσ j
(28)
j =i +1 i =1
Zie bijlage I voor een bespreking van convexiteit
37
4.6.
Value at Risk: een voorbeeld
Dit voorbeeld is volledig gebaseerd op het duration voorbeeld uit hoofdstuk 3. Dezelfde gegevens worden gehanteerd in dit voorbeeld. In Bijlage II treft u de gegevens aan. De eenvoudigste wijze om de VaR te bepalen voor deze woningcorporatie is door een volledige herwaardering van de kasstromen plaats te laten vinden tegen de yieldcurve zoals die tot stand zou kunnen komen binnen een jaartermijn indien uitgegaan wordt van de maximale rentemutatie op jaarbasis met een waarschijnlijkheid van 95%. De oorspronkelijke marktwaarde wordt vervolgens vergeleken met de marktwaarde die gebaseerd is op de yield curve met een maximaal negatieve rentemutatie. Ik veronderstel een Z-waarde van 1,65 dus een waarschijnlijkheid van 95%. De time-to-close period bedraagt 1 jaar. Ik hanteer de historisch waargenomen rentemutaties op jaarbasis om de VaR te bepalen. Deze vormen de opslagen op de yieldcurve die ik hanteer. In dit voorbeeld wordt de beleggingsportefeuille niet meegenomen evenals de marktwaarde van de vlottende passiva. De volgende gegevens zijn bekend (zie ondermeer bijlage III):
Modified duration Marktwaarde
Vastgoedportefeuille 9,01% 376.593
Leningenportefeuille 6,44% 179.533
Eigen vermogen 12,86% 178.523
Uit de berekeningen komt het navolgende:
Z-waarde Gehanteerde opslagen Oorspronkelijke marktwaarde Marktwaarde na herwaardering VaR als verschil
Vastgoedportefeuille Leningenportefeuille Eigen vermogen 1,65 1,65 1,65 Zie bijlage III jaarkoersen 95% percentiel 376.593 179.533 178.523 339.165
165.795
152.544
37.428
13.738
25.979
Het maximale verlies, ingeschat met een waarschijnlijkheid van 95%, voor deze corporatie op de vastgoedportefeuille bedraagt ruim € 37 miljoen binnen een termijn van 1 jaar. Ten aanzien van de leningenportefeuille is dit ruim € 13 miljoen. Het eigen vermogen (als centrale renterisiconorm) heeft een VaR van bijna € 26 miljoen op jaarbasis. Dit impliceert tevens dat in 5% van de gevallen het verlies op jaarbasis groter zal zijn dan € 26 miljoen. Veronderstel dat het management van de corporatie dit een onacceptabel risicoprofiel vindt. Afdekking van het risico kan wederom plaatsvinden door middel van een IRS die de leningenportefeuille verlengt tot een MD van 19,23. In het duration voorbeeld gaf deze IRS een volledige immunisatie van het renterisico. Deze IRS heeft een tegengestelde VaR van € 23.797. De VaR van het eigen vermogen daalt hierdoor met € 23.797 naar € 2.182. Een iets andere uitkomst dan in het voorbeeld van duration analyse. De uitkomst komt wel redelijk in de buurt van hetgeen we gevonden hebben bij de duration analyse. Ik wil graag opmerken dat de bepaling van de VaR op deze wijze niet geheel gebruikelijk is. De correlatiecoëfficiënten tussen de yields van verschillende looptijden zijn niet meegenomen in deze berekening. Met andere woorden; de correlatiecoëfficiënten worden allen geacht
38
gelijk te zijn aan 1. Hierdoor is het mogelijk om de verschillende VaR’s op te tellen en af te trekken. Ze zijn hierdoor additief. Dit is niet gebruikelijk. Om het voorbeeld enigszins eenvoudig te houden heb ik gemeend deze veronderstelling te moeten toepassen. 4.7.
Value at Risk: de voor- en nadelen
De nadelen van een Value at Risk benadering laten zich eenvoudig beschrijven. De, in mijn optiek, belangrijkste zijn: • Het VaR concept is volledig gebaseerd op variantie als risicomaatstaf. Dit is een valide maatstaf als de veronderstelling van normaal verdeelde rendementen houdbaar is. Dit is niet houdbaar 52 . De variantie is een symmetrische maatstaf en daarmee niet altijd geschikt om de percepties van beleggers, die risico meestal percipiëren als asymmetrisch, in te vangen. • Indien er tijdsvariatie zit in het datagenererend proces kan het zijn dat historische rendementen weinig zeggen over de toekomstige rendementen. Tijdsvariatie kan zich voordoen als gevolg van het optreden van clusters van volatiliteit. Een betrouwbaar VaR model dient, in het algemeen, voldoende historische waarnemingen te hanteren bij het schatten van volatiliteit en correlatie, maar weer niet zo veel dat in tijden van volatiliteitsclustering het model “achter de feiten” aanloopt en onvoldoende snel reageert op nieuwe marktomstandigheden. Tijdsgewogen volatiliteiten en correlaties kunnen een en ander wel (gedeeltelijk) ondervangen, maar de perfecte schatter voor toekomstige volatiliteit en correlatie is nog niet gevonden. In het algemeen kan men stellen dat het VaR concept dus meer informatie verschaft over hetgeen zich heeft voorgedaan in het verleden dan dat het een goede voorspeller is van toekomstige marktomstandigheden. • De VaR geeft een schatting van het maximale verlies met een bepaalde waarschijnlijkheid binnen een bepaalde periode. Maar wat is het maximale verlies buiten de gekozen waarschijnlijkheidszone. Stel dat het maximale verlies 0 bedraagt op basis van een 95% waarschijnlijkheid. Dit zegt weinig over het maximale verlies. Het risico zit namelijk volledig in de 5% categorie. Als daar extreme waarden in gevonden worden kan dit vergaande consequenties hebben voor de financiële continuïteit van de organisatie. Stresstesting is derhalve noodzakelijk om ook een beeld te krijgen van de meer extreme waarden. • Het probleem van schijnzekerheid. Het rapporteren van een hard getal als VaR suggereert veelal ten onrechte een bepaalde mate van zekerheid omtrent de genomen risico’s. De VaR is onderhevig aan schattingsfouten en misspecificatiefouten 53 . Deze kunnen een aanzienlijke omvang hebben. Voorzichtigheid ten aanzien van de interpretatie van de gegeven VaR is noodzakelijk. • Een bezwaar tegen het hanteren van VaR is een meer conceptueel bezwaar. Het VaR concept bestraft wel het optreden van een verlies, maar weegt daarin niet de omvang mee van het verlies. Alternatieve maatstaven voor neerwaarts risico, bijvoorbeeld de semivariantie (=het bepalen van de eenzijdige variantie in neerwaartse zin) hebben deze tekortkomingen niet 54 . • Voor het meten van risico’s op langere termijn is de VaR minder geschikt. De betrouwbaarheid vermindert door een grotere mate van complexiteit van de schattingen in het model. Het lijkt daarmee meer een model te zijn om risico’s van handelsposities door te rekenen dan een model dat risicomanagement vanuit een strategische invalshoek aanvliegt. • Ondanks het simpele concept, blijkt de implementatie van VaR vaak niet eenvoudig. Het definiëren van het model, het maken van aanvaardbare veronderstellingen, de keuze voor 39
een methodiek, de keuze van de benodigde hard- en software en het verkrijgen van volledige en betrouwbare data zijn hiervan voorbeelden. De voordelen van het toepassen van VaR zijn: • De eenvoud van het concept is het belangrijkste voordeel van VaR. Door middel van een enkel getal wordt een beeld gecreëerd van het verlies dat kan optreden in de betreffende periode. • VaR biedt de mogelijkheid om het risico te meten op organisatieniveau. De organisatie kan gezien worden als een grote portfolio van activa en passiva, waarvan de marktwaarde voortdurend aan verandering onderhevig is. In principe kunnen alle risicodragers die kwantificeerbaar zijn, worden meegenomen in de berekening. • Het effect van hedging is direct waarneembaar doordat het hedgingsinstrument kan worden opgenomen in de nieuwe berekening van VaR. • De flexibiliteit van VaR is hoog. Afhankelijk van de gekozen methode kan de invulling van het concept sterk organisatie- of situatiespecifiek worden gemaakt. • De renteposities die aangehouden worden door woningcorporaties zijn, in mijn waarneming, niet bijzonder complex. Dit vereenvoudigt het hanteren van VaR. Met name de methodiek waarbij op basis van historische waarnemingen omtrent de ontwikkelingen van de relevante yield-curves de VaR wordt ingeschat is een model dat niet gekenmerkt wordt door een enorme rekenintensiteit en complexiteit. Value at Risk kan een welkome aanvulling vormen voor duration analyse. Indien wordt verondersteld dat de duration de marktwaardeverandering als gevolg van een yieldshift goed inschat dan nog geldt dat de duration methodiek geen uitspraak doet over de waarschijnlijkheid waarmee zich een renteverandering kan voordoen. Zelfs de meest eenvoudige opzet van een VaR concept, waarbij duration wordt gehanteerd plus een simpele frequentieverdeling van de rentemutaties die waargenomen zijn bij bijvoorbeeld de 10-jaars swap curve (of een andere swap curve die in de buurt van de berekende duration ligt), geeft, mijns inziens, al veel extra informatie. Risico, heb ik ooit eens geleerd, is gelijk aan de omvang maal de kans dat het zich voordoet. Duration (eventueel aangevuld met convexiteit) geeft een goede schatting van de impact van een adverse rentebeweging op de marktwaarde van het eigen vermogen van de woningcorporatie. Met VaR wordt ook de kans dat deze zich voordoet ingeschat (alhoewel de inschatting op zich zelf genomen niet betrouwbaar hoeft te zijn). Belangrijk is wel om op te merken dat de resultaten van een VaR analyse met voorzichtigheid geïnterpreteerd dienen te worden. Bovendien dient regelmatig de ontwikkeling van VaR geëvalueerd te worden om een goed inzicht te krijgen in welke factoren nu een verschuiving van de VaR bewerkstelligt hebben. Dit kan het inzicht in renterisico’s en de drivers van renterisico aanmerkelijk verbeteren. Zodat de algehele betrokkenheid van het managen van renterisico’s in de organisatie verbetert. Zoals in de inleiding van deze masterproof geschetst, is de probleemstelling gericht op het verkrijgen van een systeem dat eenvoudig toepasbaar is maar tevens een voldoende inzicht verschaft om op een meer professionele wijze eventuele renterisico’s af te kunnen dekken. Toepassing van VaR voldoet aan deze criteria, mits het systeem relatief eenvoudig wordt opgezet. Dit betekent, mijns inziens, dat historische yieldcurve bewegingen de basis van het systeem vormen. Op basis van de daadwerkelijk waargenomen rentemutaties (op dagbasis en eventueel op jaarbasis) in combinatie met het hanteren van duration en eventueel convexiteit kan een eenvoudig systeem, ter bepaling van de VaR, worden gebouwd. Deze opzet verdient 40
bovendien de voorkeur omdat geen veronderstellingen ten aanzien van de verdeling van rentemutaties benodigd zijn. Uiteraard is de betrouwbaarheid van dit systeem moeilijk in te schatten. In de dagelijkse praktijk van een corporatie zal door middel van backtesting (= het achteraf toetsen van het model met behulp van werkelijke waarnemingen om zo te bezien of het aantal werkelijk waargenomen overschrijdingen gelijk is aan het gekozen waarschijnlijkheidsinterval) moeten blijken of de gerapporteerde VaR overeenkomt met de werkelijke waardeontwikkeling van de leningenportefeuille en de vastgoedportefeuille.
41
5. Scenario analyse Na de voorgaande hoofdstukken waarin duration analyse en de Value at Risk methode behandeld zijn, komt nu scenario analyse in het kort aan bod. Kort aangezien scenario analyse, in mijn optiek een zeer omvangrijke beperking kent, te weten dat wat men erin stopt komt eruit. Oftewel garbage in, garbage out. Desalniettemin heeft scenario analyse een aantal voordelen die ondersteunend kunnen zijn in het verkrijgen van inzicht in renterisico. Derhalve kies ik ervoor om scenario analyse slechts zeer beperkt te behandelen en slechts de voor- en nadelen in het kort te beschrijven. Scenario analyse wordt door Gruis 55 gedefinieerd als het opstellen naast elkaar van verschillende verwachtingen waarna de uitkomst bij elk van deze verwachtingspatronen wordt bepaald. Het scenario met de meest negatieve uitkomst wordt vervolgens als uitgangspunt gekozen voor de omvang van de negatieve risico’s. Ze variëren van het doen van aannames voor een aantal parameters, zoals de huurstijging, rente en lastenontwikkelingen, tot scenario’s voor mogelijke toekomstige ontwikkelingen die zijn gebaseerd op uitgebreide causale modellen. Het is in feite een “What-if”analyse, 5.1.
Scenario analyse: de voor- en nadelen
De belangrijkste nadelen van scenario analyse zijn, in mijn optiek: • Scenario analyse is sterk afhankelijk van de gedefinieerde scenario’s en de waarschijnlijkheid van deze scenario’s. Het risico van misspecificatie van het model is aanzienlijk. Bovendien is een behoorlijk volume aan gedetailleerde informatie en aannames benodigd. Dit maakt scenario analyse lastig implementeerbaar. • De gedefinieerde scenario’s hebben vaak een relatie met diegene die ze opstelt. Oftewel de bestaande risicoperceptie van de organisatie wordt veelvuldig vertaald in een model waarmee vervolgens wordt “bewezen” dat het allemaal wel meevalt. Out-of-the-box ontwikkelen van scenario’s blijkt lastig te zijn. • Het aantal aannames benodigd voor een goed werkend model is zeer omvangrijk. Het toekomstig voorraadbeleid, de toekomstige renteontwikkelingen, huurverhogingen, e.d. dienen allen goed ingeschat worden, inclusief de onderlinge samenhang, om tot een goed werkend te kunnen komen. • Omdat men in staat is om talloze scenario's te laten doorrekenen bestaat het gevaar van een informatie-overkill. De hoeveelheid uitkomsten kan dermate groot van omvang zijn dat de analist door de bomen het bos niet meer ziet. • Scenario analyse is vaak zeer kostbaar door de complexiteit van het te bouwen systeem. De belangrijkste voordelen van scenario analyse zijn: • Het belangrijkste voordeel van scenario analyse is het vermogen om de ontwikkeling van de rente exposure vooraf te analyseren bij verschillende rente- en portefeuillescenario's. Deze methode is derhalve toekomstgericht. • Tevens geldt dat de uitkomsten voortvloeiende uit de analyse eenvoudig interpreteerbaar en eenduidig van aard zijn. Indien het streven van de woningbouwcorporatie gericht is op het voorkomen van een waardedaling van het eigen vermogen kan de analyse volstaan
42
•
•
met het genereren van marktwaarden van het eigen vermogen voor alle scenario's. Deze uitkomsten zijn eenduidig en eenvoudig te interpreteren. Behalve voor diagnose en probleemidentificatie inzake renterisico's kan deze methode ook worden gebruikt voor probleemoplossing. Bij geïdentificeerde rente exposures en risico's en gegeven formele doelstellingen, ten aanzien van het maximum niveau van renterisico, kan er worden gezocht naar specifieke acties en maatregelen om de doelstellingen te realiseren. Scenario analyse is zeer dynamisch van aard. Het is mogelijk om in de analyse rekening te houden met bijvoorbeeld veranderende marktomstandigheden en een ander voorraadbeleid.
Scenario analyse kan ook gehanteerd worden in combinatie met VaR. Het zogenaamde stresstesten is een belangrijk en noodzakelijk onderdeel van het toepassen van het VaR concept. Scenario analyse kan tevens zijn meerwaarde hebben indien de woningcorporatie verwacht in de nabije toekomst een omvangrijke wijziging door te voeren in bijvoorbeeld de vastgoedportefeuille. Met behulp van scenario analyse kan er zodoende goed voorgesorteerd worden. Voor het meten van renterisico, als probleemstelling van dit onderzoek, voldoet scenario analyse niet.
43
6. Conclusies en aanbevelingen In dit hoofdstuk worden de conclusies en aanbevelingen nog eens herhaald. Doelstelling van dit onderzoek is het definiëren van een model ter meting van renterisico dat gehanteerd kan worden door woningcorporaties. Een model dat bij voorkeur eenvoudig van aard is maar wel voldoende inzicht verschaft ten aanzien van bestaande renterisico’s ten aanzien van de portefeuille vastgoed en de leningenportefeuille. De conclusies en aanbevelingen in dit hoofdstuk dienen te worden beschouwd vanuit deze probleemstelling. 6.1.
Conclusies
Gap analyse geeft een te beperkt zicht op renterisico voor een woningcorporatie. Het vastgoed (bezien vanuit de optiek van een belegger als een set toekomstige cashflows waarvan de huidige marktwaarde kan worden vastgesteld) komt onvoldoende in de methodiek voor. In de WsW-systematiek wordt alleen naar de liability zijde van de balans gekeken. Wel vormt het een uitstekend startpunt voor renterisicomanagement in het algemeen. Het is echter niet verstandig om gap analyse als enig meetinstrument ter meting van het renterisico te hanteren. De duration analyse meet de rentegevoeligheid van de marktwaarde van het eigen vermogen van de woningcorporatie. Ter bepaling van de marktwaarde van de vastgoedportefeuille is het noodzakelijk om marktwaardes te hanteren ter bepaling van de duration en modified duration. De opslag op de zero yield curve ter bepaling van de marktwaarde van het vastgoed bedraagt circa tussen de 50 en de 75 basispunten. De rentestochast wordt verondersteld onafhankelijk te zijn van de inflatiestochast en de huurontwikkelingsstochast. Dit blijkt uit de regressieanalyse die is verricht. Dit impliceert dat toekomstige kasstromen niet aangepast hoeven te worden voor inflatie en huurontwikkeling. Duration analyse is superieur aan het enkelvoudig toepassen van gap-analyse. Het inzicht in renterisico (door het hanteren van één centrale renterisiconorm (de MD van het eigen vermogen) en één gemeten waarde is omvattender dan bij een gap analyse. Afdekking van het renterisico kan eenvoudig plaatsvinden door middel van het bepalen van de modified duration van het afdekkingsinstrument en deze in de berekening van de modified duration van het eigen vermogen mee te nemen. Value at Risk kan een welkome aanvulling vormen voor duration analyse. De duration methodiek doet geen uitspraak over de waarschijnlijkheid waarmee zich een renteverandering kan voordoen. Duration (eventueel aangevuld met convexiteit) geeft een goede schatting van de impact van een adverse rentebeweging op de marktwaarde van het eigen vermogen van de woningcorporatie. Met VaR wordt ook de kans dat deze zich voordoet ingeschat. De beide varianten (historische simulatie en gestructureerde VaR) van VaR zijn te hanteren en goed te gebruiken. De VaR op dagbasis kan worden gehanteerd ter inschatting van het renterisico dat zich voordoet bij woningcorporaties. Woningcorporaties kunnen het voor hen relevante renterisico eenvoudig via de derivatenmarkt (met een aanzienlijke liquiditeit) eenvoudig afdekken. Deze transacties kunnen in principe binnen 1 handelsdag afgesloten worden. Voor de strategische aspecten van risicomanagement kan ook gekozen worden voor een VaR op jaarbasis. Deze kan niet bepaald worden door een wortel-t benadering maar dient direct uit de jaarkoersen te 44
worden afgeleid. Bij een bepaling van een VaR op jaarbasis dient in ieder geval een 2e-orde benadering toegepast te worden. Voor het meten van renterisico, als probleemstelling van dit onderzoek, voldoet scenario analyse niet. Wel voor eventuele stress-testing van het VaR concept. 6.2.
Aanbevelingen
Op basis van dit onderzoek kan ik, kort samengevat de volgende aanbevelingen doen: • Gebruik gap analyse slechts als start van het strategisch rentemanagementproces. • Duration analyse geeft een goed inzicht in de omvang van het renterisico maar heeft als grootste conceptueel probleem dat de kans dat zich dit voordoet (= de kans op een yieldshift) niet meeneemt in de bepaling van het renterisico. • Voor een voldoende professionele inschatting van het renterisico is het derhalve noodzakelijk om, naast de duration analyse (aangevuld met convexiteit) ook de VaR te bepalen. Dit kan relatief eenvoudig door gebruikmaking van de duration (+ convexiteit) en een bepaling van de kans op adverse rentebewegingen. Deze laatste kunnen worden bepaald door middel van het analyseren van de historische bewegingen van de relevante yieldcurves. Voor jaarbewegingen in de yield is het, mijn inziens, noodzakelijk om gebruik te maken van directe historische waarnemingen. De wortel-t formule leidt in het algemeen tot een onderschatting van het werkelijk renterisico in vergelijking met historische waarnemingen die een omvangrijkere renteverandering op jaarbasis laten zien. Dit maakt toepassing van het VaR concept eenvoudiger. Meer complexe systemen zoals Monte Carlo simulatie zijn niet noodzakelijk om het renterisico goed in te kunnen schatten. Daarnaast moeten we ook niet vergeten dat het slechts om een inschatting van het renterisico gaat. Een relatief grove risicomaat kan toereikend zijn om voldoende inzicht te verstrekken in het renterisico. • Noodzakelijk is het wel om regelmatig de gerapporteerde renterisico’s te analyseren en met name de veranderingen die zich hebben voorgedaan. Voor het inzicht in renterisico en de drivers achter renterisico is dit noodzakelijk. • Stress testing is noodzakelijk om de waarnemingen buiten de α-waarde te analyseren. Analyse van de omvang van deze risico’s is noodzakelijk om inzicht te krijgen in de omvang en frequentie van deze renterisico’s. • Backtesting is noodzakelijk om het te ontwikkelen model voor renterisico te testen op betrouwbaarheid. • Renterisico is slechts 1 onderdeel van het totale risicoprofiel van een woningcorporatie. Het managen van dit risico is van groot belang, maar andere risico’s zijn ook van majeur belang. • Vervolgonderzoek is noodzakelijk. Met name het onderzoek van van Vliet 56 geeft, mijn inziens, interessante aanknopingspunten voor vervolgonderzoek. Downside risk en het tekortschieten van variantie als risicomaat staat centraal in zijn onderzoek. Toepassing van zijn concepten op woningcorporaties lijkt mij zeer interessant evenals de toepassing van zogenaamde GARCH-analyses.
45
7. Samenvatting Mijn probleemstelling luidt als volgt:
Welke meetinstrumenten ter meting van het renterisico zijn theoretisch voorhanden voor woningcorporaties? Welke voor- en nadelen brengen deze meetinstrumenten met zich mee en welke kunnen worden gehanteerd door woningcorporaties? Definieer daarnaast een outline voor een dergelijk systeem dat leidt tot een voldoende professioneel inzicht in bestaande renterisico’s ten aanzien van de bestaande portefeuille vastgoed. Gap analyse geeft een te beperkt zicht op renterisico voor een woningcorporatie. Het vastgoed (bezien vanuit de optiek van een belegger als een set toekomstige cashflows waarvan de huidige marktwaarde kan worden vastgesteld) komt onvoldoende in de methodiek voor. In de WsW-systematiek wordt alleen naar de liability zijde van de balans gekeken. Wel vormt het een uitstekend startpunt voor renterisicomanagement in het algemeen. Het is echter niet verstandig om gap analyse als enig meetinstrument ter meting van het renterisico van te hanteren. Uit de duration formule kunnen we afleiden dat de duration de bepalende factor is voor wat betreft de rentegevoeligheid van een financiële waarde. In het kader van strategisch rentemanagement bij woningbouwcorporaties kan men opmerken dat duration veelvuldig gebruikt wordt als een schatter van het renterisico, waarbij duration slechts een indicatie hoeft te geven over de omvang en de richting van het renterisico. Geconcludeerd kan worden dat een vrij eenvoudige duration, zoals die van Macaulay volstaat. Van alle genoemde waardebegrippen voldoen alleen die waardebegrippen die gebaseerd zijn op marktwaarde. Deze zijn allen geschikt voor een duration analyse. In geval dat de Aedex/IPD waarde wordt gehanteerd in de duration analyse is het wel noodzakelijk om een indirecte wijze te hanteren voor de bepaling van de duration van het vastgoed. Hiertoe kan de Present Value of a Basispoint (PVBP) benadering worden gehanteerd. In een duration analyse moet een opslag gehanteerd worden bovenop de zogenaamde contante zero coupon swap curve. Op basis van een (niet statistich valide) onderzoek kom ik voorlopig, in afwachting van nader onderzoek, tot de conclusie dat deze opslag ergens tussen de 50 en 75 basispunten ligt. Uit een door mij uitgevoerde regressieanalyse wordt het vraagstuk omtrent de onderlinge onafhankelijkheid van de 3 meest belangrijke statistische stochasten voor woningcorporaties, relevant voor dit onderzoek, onder de loep genomen. Een renteverandering leidt tot een wijziging van de huurprijs die op haar beurt weer de rente beïnvloedt. Er is onderzocht wat de omvang is van de diverse correlatiecoëfficiënten en de bèta’s van de regressiefuncties die voor de relatie rente – huur, rente – inflatie en inflatie – huur bepaald zijn. Door de omvang van de bèta’s, die ruim boven de 1 bedragen, uit de inverse regressiefuncties waarbij rente de te verklaren variabele is, heb ik geconcludeerd dat een aanpassing van de geprognosticeerde kasstromen niet nodig is voor de toepassing van een duration analyse. Wel lijkt het voor de hand te liggen om de kasstroomprognose op reële waarden te baseren in plaats van op nominale bedragen. Ondanks een aantal beperkingen van de duration methodiek (Het yield curve risico, stochastisch proces risico, de convexiteit, optie-elementen) en een aantal nadelen (statisch, momentopname en een behoorlijk niveau van expertise is benodigd) geniet duration analyse de voorkeur boven gap analyse. Het inzicht in renterisico (door het hanteren van één centrale 46
renterisiconorm (de MD van het eigen vermogen) en één gemeten waarde is omvattender dan bij een gap analyse. De relatieve eenvoud waarmee beoordeeld kan worden welke afdekkingstrategie gevolgd dient te worden is een ander groot voordeel. Om nog maar te zwijgen over de conceptuele/theoretische voordelen van duration zoals het feit dat duration analyse volledig op marktwaarde gebaseerd is en rekening houdt met de grootte, de timing en de herinvestering van kasstromen. Kortom; een duration analyse is, mijns inziens, noodzakelijk in een voldoende professionele meting van het renterisico. Value at Risk (VaR) is een verzamelnaam voor allerlei technieken die hun oorsprong vinden in de oorspronkelijk door J.P. Morgan ontwikkelde methode genaamd RiskMetrics om financieel portefeuillerisico te definiëren en te kwantificeren. Deze methodiek stelt deelnemers aan de financiële markten in staat om hun exposure ten aanzien van marktrisico in te schatten. Een veel in de literatuur gehanteerde definitie benadrukt vier kernelementen van het concept: Het maximale verlies dat kan ontstaan op (1) een positie door (2) normale marktbewegingen in (3) een bepaalde periode, gebaseerd op een time to close benadering, uitgaande van (4) een vastgesteld waarschijnlijkheidsinterval. De tweetal basismethoden aangeduid met de termen historische simulatie en gestructureerde Value at Risk zijn beide toepasbaar en zeer goed te gebruiken. De voorwaarden die gesteld worden aan een gestructureerde VaR analyse zijn vrij stringent, zoals normaliteit van de verdeling, afwezigheid van drift en afwezigheid van autocorrelatie. Deze voorwaarden zijn lastig in te vullen voor yieldcurve bewegingen. Derhalve spreek ik in dit onderzoek een voorkeur uit voor het rechtstreeks hanteren van historische waarnemingen ter bepaling van de VaR. Dit systeem sluit het meest aan bij een “eenvoudig” renterisicometingssysteem. Het toepassen van een 2e-orde benadering leidt in alle gevallen tot een aanmerkelijk verbetering van de betrouwbaarheid van de schatting van VaR. De conclusie luidt derhalve dat bij de bepaling van de VaR in ieder geval een 2e-orde benadering toegepast dient te worden. Deze benadert, in mijn optiek, in voldoende mate de werkelijke waardeverandering als gevolg van een renteverandering. Omrekening van een VaR op dagbasis naar een VaR op jaarbasis door middel van de wortel-t formule dient bij voorkeur niet plaats te vinden. Directe bepaling van rentewijzigingen die zich in een jaar hebben voorgedaan is eenvoudig en kunnen rechtstreeks worden gehanteerd in de bepaling van een VaR op jaarbasis. Historisch waargenomen rentewijzigingen als basis voor de bepaling van VaR verdient mijn voorkeur. Nadat de bepalingen van de VaR voor een enkelvoudige positie en een meervoudige positie worden behandeld, sluit dit hoofdstuk af met de voordelen en nadelen die kleven aan de toepassing van VaR. De conclusie van deze opsomming luidt dat Value at Risk een welkome aanvulling kan vormen voor duration analyse. Duration (eventueel aangevuld met convexiteit) geeft een goede schatting van de impact van een adverse rentebeweging op de marktwaarde van het eigen vermogen van de woningcorporatie. Met VaR wordt ook de kans dat deze zich voordoet ingeschat. Belangrijk is wel om op te merken dat de resultaten van een VaR analyse met voorzichtigheid geïnterpreteerd dienen te worden. Bovendien dient regelmatig de ontwikkeling van VaR geëvalueerd te worden om een goed inzicht te krijgen in welke factoren nu een verschuiving van de VaR bewerkstelligt hebben. Scenario analyse kan ook gehanteerd worden in combinatie met VaR. Het zogenaamde stresstesten is een belangrijk en noodzakelijk onderdeel van het toepassen van het VaR concept. Scenario analyse kan tevens zijn meerwaarde hebben indien de woningcorporatie verwacht in de nabije toekomst een omvangrijke wijziging door te voeren in bijvoorbeeld de
47
vastgoedportefeuille. Met behulp van scenario analyse kan er zodoende goed voorgesorteerd worden. Voor het meten van renterisico, als probleemstelling van dit onderzoek, voldoet scenario analyse niet.
48
Literatuurlijst − Aedes Magazine, Dossier Vastgoedwaardering bij woningcorporaties, Aedes, 2004 − Bartram, S.M., Corporate Risk Management as a Lever for Shareholder Value Creation, in Financial Markets, Institutions & Instruments, Volume 9, Number 5, Blackwell Publishers, 2000. − Bhattacharya, A.K., en J.C. Foley, Overview of Asset/Liability Management Models and Interest Rate Risk Control in Asset/Liability Management, − Berndt, A., R. Douglas, D. Duffie, M. Ferguson en D. Schranz, Measuring default risk premia from default swap rates and EDF’s, BIS Working Papers no. 173, Bank for International Settlements, 2005. − Bierwag, G.O., Duration Analysis, Managing Interest Rate Risk, Cambridge: Ballinger Publishing Company, 1987. − Bodie, Z.V.I., A. Kane en A.J. Marcus, Investments, International edition, McGraw-Hill Higher Education, 2002 − Cohen, Ruben D., A VAR-Based Model for the Yield Curve, in Wilmott Magazine, May Issue. − Fama, E. and K. French, The Equity Premium, Working Paper, The University of Chicago Graduate School of Business, July 2000. − Giot, P. en S. Laurent, Modelling Daily Value-at-Risk Using Realized Volatility and Arch Type Models, 2001, Meteor.(a) − Giot, P. en S. Laurent, Value-at-Risk for Long and Short Trading Positions, 2001, Meteor.(b) − Goorbergh, R.W.J. van den en P.J.G. Vlaar, Value-at Risk Analysis of Stock Returns Historical Simulation, Variance Techniques or Tail Index Estimation, DNB Staff Reports 1999, No. 40, De Nederlandsche Bank NV, 1999. − Gruis, V.H., Financieel-economische grondslagen voor woningcorporaties, Volkshuisvestingsbeleid en Woningmarkt 30, DUP Science, 2000. − Have, George G.M. ten, Taxatieleer vastgoed 1, derde druk, Wolters-Noordhoff, 2002. − Haugen, R.A., Modern investment theory, Prentice-Hall International, 1986. − Horne, J.C. van, Financial market rates and flows, Prentice-Hall International, 1990. − Jorion, Philippe, Value at Risk: the new benchmark for managing financial risk, McGrawHill, 2nd edition, 2001. − Keown, A.J., J.D. Martin, J.W. Petty and D.F. Scott, Jr., Financial Management: Principles and Applications, Ninth Edition, Pearson Education Inc., 2002. − Klieverik, H. en W. Nijeboer, Van boekwaarde tot marktwaarde, in Dossier Vastgoedwaardering bij woningcorporaties, Aedes Magazine, 2004. − Kocken,T., Financial Risk Management Theorie en praktijk voor financiële en nietfinanciële instellingen, Tutein Nolthenius, 1997. − Lay, David C., Lineair Algebra and its Applications, Addison Wesley Longman, Inc. 2nd edition update, 2000. − Lintner, John, Security prices, Risk and Maximal Gains from Diversification, Journal of Finance 20 (december 1965). − Lucas, André, Nut, Gebruik, en Beperkingen van Value-at-Risk voor Risicomanagement, Serie Research Memoranda, Research Memorandum 1998-6, december 1998. − Pijpers, R.W.J., Een vermogensstructuur om op te bouwen; De optimale vermogensstructuur van dochterondernemingen van woningcorporaties, TiasNimbas Business School, Masterthesis in het kader van de MRE-opleiding, 2007.
49
− Salomons, R. en H. Grootveld, The equity risk premium: emerging versus developed markets, Research Report 02E45, SOM, 2002. − Sharpe, W.F. en G.J. Alexander, Investments, Prentice-Hall, Inc., 1990. − Schwartz, R.J. en C.W. Smith. Jr., editors, The Handbook of Currency and Interest Rate Risk Management, New York Institute of Finance, 1990. − Sorge, M., Stress-testing financial systems: an overview of current methodologies, BIS Working Papers no. 165, Bank for International Settlements, 2004. − Smithson, C.W., Managing Financial Risk: a quide to derivative products, financial engineering, and value maximization, 3rd edition, McGraw-Hill, 1998. − Stulz, René M., Risk Management & Derivatives, Thomson South-Western, 2003. − Tazelaar, P.A.C., Risico als maat voor rendement; Een onderzoek naar de rendementseisen van vastgoed, Masterproof in het kader van de Postdoctorale Opleiding Vastgoedkunde, 2002. − Vlaar, P.J.G., Value at Risk models for Dutch bond portfolios, DNB Staff Reports 1998, No. 21, De Nederlandsche Bank NV, 1998. − Vliet, P. van, Downside Risk and Empirical Asset Pricing, 2004, ERIM Ph.D. Series Research in Management, 49, 2004. − Vrijmoeth, R., Value-at-Risk bij corporates, Conceptversie scriptie in het kader van het afstuderen aan de Vrije Universiteit, mei 1997. − Waarborgfonds Sociale Woningbouw, Jaarverslag 2006, Waarborgfonds Sociale Woningbouw, 2007. − Waarborgfonds sociale woningbouw, Cijfermatig perspectief woningcorporaties, Verslagjaar 2005, 2006. − Statuten Waarborgfonds sociale woningbouw, http://www.wsw.nl/publicaties/wswdocumenten/statuten − Waarborgfonds Sociale Woningbouw, WsW Actueel, 11e jaargang 2006, nummer 1. − Waarborgfonds Sociale Woningbouw, Informatiemap 2006, Waarderingsprotocol, 2006.
50
Bijlage I: Convexiteit Convexiteit houdt in dat de marktwaardeverandering als gevolg van een rentemutatie niet lineair verloopt zoals de duration zou vermoeden. De werkelijke waardeveranderingen zijn in het algemeen gunstiger dan de duration aangeeft. Een manier om het convexiteitsprobleem op te lossen bestaat uit het berekenen van de convexiteit en deze berekeningen te hanteren in de durationanalyse. We hebben reeds gezien dat duration aangeeft hoeveel de waarde van een portefeuille relatief verandert als gevolg van een relatieve verandering van de yield. Hoe groter de duration, hoe gevoeliger de waarde voor een yieldverandering. Grafisch is het effect weer te geven in onderstaande afbeelding door in de prijscurve van bijvoorbeeld een obligatie, gegeven de huidige yield, de raaklijn aan de curve te tekenen. De obligatie heeft de volgende kenmerken: Coupon
5,00
Looptijd
30,00
Marktrente
5,00
Marktwaarde
100,00
De grafische weergave ziet er dan als volgt uit: 180,00 160,00 140,00
Marktwaarde
120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00 -20,00 2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10% 11% 12%
Yield Marktwaarde
Marktwaarde o.b.v. duration
51
Evident is dat duration de waardeverandering van de obligatie niet juist inschat voor omvangrijke renteveranderingen. Duration is gelijk aan de eerste afgeleide van de marktwaarde van een financiële waarde. Deze eerste afgeleide van de functie geeft de verandering in de functiewaarde in één punt. De relatie tussen de yield en de waarde is echter gekromd. Met deze kromming houdt de eerste afgeleide geen rekening. Om rekening te houden met de kromming van de relatie tussen yield en marktwaarde dient nu een Taylor-reeks expansie plaats te vinden. Een Taylor expansie geeft een polynome benadering van een functie; in dit geval een benadering van de waardeverandering van een financiële titel als gevolg van een renteverandering. Voor een vastrentende titel, met een gespecificeerde rente opbrengst en looptijd, berekenen we de marktwaardeverandering van V naar Q voor een verwaarloosbaar kleine verandering in de yield Y. De Taylor expansie kan dan, in deze situatie, als volgt worden weergegeven:
dV 1 d 2V 1 d nV 2 ( ΔY )n ΔY + Q =V + ( ΔY ) + ....+ 2 n dY 2 dY n! d Y We mogen in deze Taylor-reeks expansie uitgaan van de eerste twee afgeleiden indien dit voor een voldoende mate van nauwkeurigheid zorgt. We kunnen in dit geval de formule dus beperken tot:
Q =V +
dV 1 2V ΔY + d 2 ( ΔY )2 dY 2 dY
Indien we nu de volgende definities hanteren: 1 dV V dY 1 2V Modified convexity MC = d 2 V dY Modified duration MD = -
dan kunnen we de formule herschrijven als volgt:
Q -V = -V x -
1 dV 1 1 2V x ΔY + V x d 2 x ( ΔY )2 V dY 2 V dY
We kunnen nu bovenstaande formule met behulp van de bovenstaande definities herschrijven als: 1 ΔV = - V x MD x ΔY + V x MC x ( ΔY )2 2 De marktwaardeverandering van een vastrentende financiële titel is dus nu afhankelijk van de: • de modified duration • de modified convexity • de verandering van de yield
52
Bovenstaande formule geeft aan hoe groot de absolute marktwaardeverandering van een rentedragende titel is. Willen we echter de relatieve waardeverandering weten dan moet de formule gedeeld worden door de oorspronkelijke marktwaarde. Aldus krijgen we: ΔV = V
1 2 - V x MD x ΔY + V x MC x ( ΔY ) 2 V 1 2 = - MD x ΔY + MC x ( ΔY ) 2
De gemodificeerde convexiteit van een financiële titel hebben we reeds gedefinieerd als: d2 V 1 d 2V waarbij de tweede afgeleide is van de marktwaarde Modified convexity MC = d Y2 V dY 2 naar de yield. De relatie tussen marktwaarde en yield kan als volgt weergegeven worden: n
V = ∑ C t (1 + Y )-t t=1
De eerste afgeleide van deze functie (= de duration) kan gedefinieerd worden als:
δV n = ∑ - t C t (1 + Y )-(t+1) δY t=1 De tweede afgeleide van de marktwaardeformule is nu gelijk aan:
δ 2V = t(t + 1) (1 + Y -(t+2) = 1 x ∑ t(t + 1) C t (1 +Y )-t ) Ct ∑ 2 2 δY (1 + Y ) t=1 t=1 n
n
In een iets makkelijker vorm herschreven krijgen we voor de tweede afgeleide van de marktwaarde naar de yield: n 1 δ 2V = Ct x t(t + 1) ∑ 2 2 δ Y (1 + Y ) t=1 (1 + Y )t Deze formule ingevuld in de definitie van de modified convexity levert dan voor de gemodificeerde convexiteit op: n t(t + 1) C t t ∑ 2 1 V 1 (1 + Y ) MC = δ 2 = x t=1 2 V δY V (1 + Y ) waarbij de term aan de rechterzijde van het vermenigvuldigingsteken veelal aangeduid wordt met de term convexiteit. Dus de convexiteit van een financiële titel is: n
∑ t(t+1)C (1+Y)
-t
t
C= MC =
t=1
V
zodat de Modified convexity gedefinieerd kan worden als:
C 2 (1 + Y)
53
Het blijkt dat de waardeverandering op basis van duration en convexity tezamen een betere schatting geeft omtrent de waardeverandering van een obligatie op basis van duration. Het volgende overzicht geeft een voorbeeld van een berekening van een convexity. De daarna volgende figuur geeft aan hoe groot de werkelijke marktwaarde is en de omvang van de afwijkingen tussen de werkelijke marktwaarde en de geschatte marktwaarde indien enerzijds de duration gehanteerd wordt en anderzijds zowel duration alsmede convexity gehanteerd worden. Coupon Yield
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Totaal Duration MD
5% 5% Cash flow 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 105
16,14 15,37
CW @ 5% 4,76 4,54 4,32 4,11 3,92 3,73 3,55 3,38 3,22 3,07 2,92 2,78 2,65 2,53 2,41 2,29 2,18 2,08 1,98 1,88 1,79 1,71 1,63 1,55 1,48 1,41 1,34 1,28 1,21 24,29 100,00
Nominaal
100
Duration 4,76 9,07 12,96 16,45 19,59 22,39 24,87 27,07 29,01 30,70 32,16 33,41 34,47 35,35 36,08 36,65 37,09 37,40 37,59 37,69 37,69 37,60 37,44 37,21 36,91 36,56 36,16 35,71 35,23 728,84 1.614,11
Convexity 9,52 27,21 51,83 82,27 117,53 156,71 198,99 243,66 290,07 337,65 385,89 434,33 482,59 530,32 577,22 623,03 667,53 710,54 751,89 791,47 829,16 864,88 898,58 930,20 959,73 987,15 1.012,47 1.035,68 1.056,82 22.594,01 38.638,95
Convexity MC
386,39 350,47
54
Yield 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12%
Markt waarde 167,19 139,20 117,29 100,00 86,24 75,18 66,23 58,91 52,87 47,84 43,61
Markt waarde duration 146,12 130,74 115,37 100,00 84,63 69,26 53,88 38,51 23,14 7,77 -7,61
Marktwaarde Duration + Convexity 161,89 137,75 117,12 100,00 86,38 76,26 69,65 66,55 66,95 70,85 78,26
Afwijking -12,60% -6,07% -1,64% 0,00% -1,86% -7,88% -18,64% -34,62% -56,23% -83,77% -117,44%
Afwijking -3,17% -1,04% -0,14% 0,00% 0,17% 1,44% 5,17% 12,97% 26,63% 48,10% 79,43%
Evident is dat duration alleen een mindere schatting geeft van de waardeverandering, als gevolg van een renteverandering dan duration en convexity tezamen. Grafisch kan één en ander als volgt worden weergegeven: 40,00% 30,00% 20,00%
Verschi
10,00% 0,00% -10,00% -20,00% -30,00% -40,00% -50,00% -60,00% -70,00% 2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
Yield Duration
Duration + Convexity
Marktwaarde
Normaliter geeft een combinatie van duration en convexiteit een voldoende mate van nauwkeurigheid omtrent de omvang van de marktwaardeverandering van een financiële titel in geval van een rentewijziging. In het geval dat een woningcorporatie een transactie entameert met een bijzonder grote omvang of in het geval men verwacht dat een rentewijziging zeer groot van omvang zou kunnen zijn, kan het noodzakelijk zijn de Taylor-reeks te expanderen naar 3 factoren. In dit geval krijgen we, zonder verdere afleiding, als 3-factor model voor de marktwaardeverandering:
1 1 ΔV = - V x MD x ΔY + V x MC x ( ΔY )2 - V x MC 2 x ( ΔY )3 2 6
55
waarbij MC2 staat voor de gekwadrateerde Modified convexity. De gekwadrateerde Modified convexity wordt gedefinieerd als: n t(t + 1)(t + 2) C t t ∑ 3 1δ V 1 (1 + Y ) 2 = x t=1 MC = 3 3 V δ Y (1 + Y ) V De waardeverandering op basis van een 3-factor Taylor-reeks expansie geeft een betere schatting omtrent de waardeverandering van een obligatie dan op basis van duration of een combinatie van duration en convexity te samen. Echter de praktische werkzaamheid van een 3factor Taylor-reeks is over het algemeen niet erg groot (De verschillen tussen een 2-factor en een 3-factor model zijn over het algemeen, in deze context, verwaarloosbaar klein).
56
Bijlage II: Voorbeeld Duration De onderstaande yield curve is gehanteerd bij de berekeningen. De zero swap curve is afgeleid uit de full coupon yield curve door middel van bootstrapping. De zero swap tarieven worden gehanteerd. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
1-jan-07 1-jan-08 1-jan-09 1-jan-10 1-jan-11 1-jan-12 1-jan-13 1-jan-14 1-jan-15 1-jan-16 1-jan-17 1-jan-18 1-jan-19 1-jan-20 1-jan-21 1-jan-22 1-jan-23 1-jan-24 1-jan-25 1-jan-26 1-jan-27 1-jan-28 1-jan-29 1-jan-30 1-jan-31 1-jan-32 1-jan-33 1-jan-34 1-jan-35 1-jan-36 1-jan-37 1-jan-38 1-jan-39 1-jan-40 1-jan-41 1-jan-42 1-jan-43 1-jan-44 1-jan-45 1-jan-46 1-jan-47 1-jan-48 1-jan-49 1-jan-50 1-jan-51 1-jan-52 1-jan-53 1-jan-54 1-jan-55 1-jan-56
swapcurve 4,1100% 4,5990% 4,6310% 4,6380% 4,6430% 4,6430% 4,6610% 4,6770% 4,6930% 4,7130% 4,7320% 4,7510% 4,7690% 4,7840% 4,7990% 4,8140% 4,8190% 4,8250% 4,8300% 4,8360% 4,8410% 4,8400% 4,8380% 4,8370% 4,8350% 4,8340% 4,8300% 4,8260% 4,8210% 4,8170% 4,8130% 4,8230% 4,8330% 4,8430% 4,8530% 4,8630% 4,8730% 4,8830% 4,8930% 4,9030% 4,9130% 4,9230% 4,9330% 4,9430% 4,9530% 4,9630% 4,9730% 4,9830% 4,9930% 5,0030%
Zero Yield curve 4,1100% 4,5990% 4,6317% 4,6388% 4,6440% 4,6438% 4,6639% 4,6819% 4,7002% 4,7237% 4,7463% 4,7693% 4,7914% 4,8100% 4,8290% 4,8485% 4,8537% 4,8607% 4,8665% 4,8742% 4,8805% 4,8769% 4,8718% 4,8685% 4,8635% 4,8605% 4,8517% 4,8430% 4,8322% 4,8234% 4,8146% 4,8367% 4,8593% 4,8823% 4,9059% 4,9301% 4,9549% 4,9805% 5,0068% 5,0341% 5,0622% 5,0914% 5,1217% 5,1533% 5,1861% 5,2204% 5,2563% 5,2940% 5,3335% 5,3751%
57
50
1-jan-57
5,0130%
5,4191%
De leningenportefeuille is geïnventariseerd en leidt tot het volgende overzicht qua kasstromen. jaar 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045 2046 2047 2048 2049 2050 2051 2052 2053 2054 2055 2056 2057
cash-flow 14.424.881 19.147.271 24.961.883 34.463.203 14.445.544 17.637.959 10.845.679 11.303.752 8.626.460 13.198.437 5.563.330 19.767.368 6.274.795 4.676.275 5.897.954 3.636.359 3.704.383 3.133.264 2.930.226 2.714.144 2.348.309 2.342.517 1.979.281 1.973.252 1.967.250 1.960.805 1.955.000 1.939.805 1.934.626 1.929.391 1.905.885 1.597.298 3.890.849 1.482.728 677.068 331.325 331.325 331.325 331.325 289.402 289.402 213.783 146.867 141.585 141.571 141.571 141.571 141.571 0 0 0
reguliere aflossing 3.066.182 3.060.231 3.279.769 3.291.501 2.231.404 2.116.965 1.949.818 2.002.214 2.043.715 1.240.097 1.252.866 1.295.455 1.108.929 1.052.006 1.067.988 1.070.121 1.072.812 1.075.108 1.020.542 1.026.037 1.076.270 1.138.814 847.893 895.185 945.494 998.536 1.055.585 1.106.845 1.171.328 1.239.831 1.294.398 1.067.315 812.939 683.354 371.867 195.403 207.719 220.814 234.736 207.617 220.631 158.845 101.996 103.343 110.047 117.200 124.818 132.931 0 0 0
DKP-klim -1.311.337 -1.113.269 -744.176 -395.828 -258.508 17.734 -6.161 1.361 33.519 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
aflossing ineens 1.932.156 6.686.430 12.564.315 23.196.021 6.094.410 9.715.047 4.114.953 4.815.247 2.487.693 8.138.441 962.309 15.245.703 2.831.363 1.467.175 2.816.992 766.024 948.679 504.550 456.558 329.513 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 2.614.537 555.895 139.243 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
rente 10.737.881 10.513.877 9.861.976 8.343.382 6.278.131 5.451.588 4.335.603 3.886.339 3.394.695 3.018.339 2.427.133 2.197.725 951.766 578.761 180.349 80.407 75.419 70.325 65.121 63.154 61.110 59.013 56.831 54.560 52.204 49.755 47.228 44.590 42.461 40.209 37.829 35.332 32.691 29.924 27.008 23.922 20.656 17.200 13.542 9.671 5.575 1.239 1 1 0 0 0 0 0 0 0
rente na conversie 0 2 0 28.126 100.107 336.625 451.466 598.591 666.838 801.560 921.020 1.028.486 1.382.736 1.578.332 1.832.626 1.719.807 1.607.472 1.483.281 1.388.005 1.295.440 1.210.929 1.144.690 1.074.556 1.023.506 969.553 912.513 852.188 788.370 720.837 649.350 573.658 494.651 430.682 213.554 138.951 112.000 102.949 93.311 83.046 72.114 63.196 53.699 44.870 38.242 31.525 24.372 16.754 8.640 0 0 0
58
De marktwaarde en de MD van de leningenportefeuille kan als volgt worden bepaald: Jaar 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045 2046 2047 2048 2049 2050 2051 2052 2053 2054 Totaal Duration MD
CF 14.424.881 19.147.271 24.961.883 34.463.203 14.445.544 17.637.959 10.845.679 11.303.752 8.626.460 13.198.437 5.563.330 19.767.368 6.274.795 4.676.275 5.897.954 3.636.359 3.704.383 3.133.264 2.930.226 2.714.144 2.348.309 2.342.517 1.979.281 1.973.252 1.967.250 1.960.805 1.955.000 1.939.805 1.934.626 1.929.391 1.905.885 1.597.298 3.890.849 1.482.728 677.068 331.325 331.325 331.325 331.325 289.402 289.402 213.783 146.867 141.585 141.571 141.571 141.571 141.571
Zero yield 4,110% 4,599% 4,632% 4,639% 4,644% 4,644% 4,664% 4,682% 4,700% 4,724% 4,746% 4,769% 4,791% 4,810% 4,829% 4,848% 4,854% 4,861% 4,866% 4,874% 4,880% 4,877% 4,872% 4,869% 4,864% 4,860% 4,852% 4,843% 4,832% 4,823% 4,815% 4,837% 4,859% 4,882% 4,906% 4,930% 4,955% 4,980% 5,007% 5,034% 5,062% 5,091% 5,122% 5,153% 5,186% 5,220% 5,256% 5,294% 4,883%
Contante waarde 14.137.285,45 17.898.456,94 22.290.443,40 29.405.640,92 11.776.596,60 13.741.193,54 8.064.493,47 8.020.198,53 5.838.190,31 8.513.266,78 3.418.847,42 11.567.990,45 3.495.642,20 2.480.067,81 2.976.600,91 1.745.640,98 1.694.675,17 1.365.444,87 1.216.527,50 1.072.993,95 884.127,12 841.522,28 678.719,76 645.689,31 614.555,06 584.561,92 557.048,04 528.354,22 504.080,70 480.727,36 454.182,25 360.754,58 832.380,34 300.287,01 129.729,15 60.021,38 56.709,20 53.540,67 50.509,98 41.587,21 39.166,34 27.222,62 17.578,86 15.912,06 14.921,83 13.977,19 13.074,72 12.212,68 179.533.351,01
6,76 6,44
Duration = 1.213.523.171/179.533.351 = 6,76
Duration 7.068.642,73 26.847.685,42 55.726.108,50 102.919.743,21 52.994.684,68 75.576.564,46 52.419.207,53 60.151.488,97 49.624.617,60 80.876.034,38 35.897.897,91 133.031.890,18 43.695.527,52 33.480.915,50 43.160.713,13 27.057.435,15 27.962.140,37 23.895.285,19 22.505.758,71 20.923.382,05 18.124.605,97 18.092.728,93 15.271.194,53 15.173.698,86 15.056.598,97 14.906.328,91 14.761.773,11 14.529.741,02 14.366.300,06 14.181.457,19 13.852.558,74 11.363.769,22 27.052.361,07 10.059.614,91 4.475.655,64 2.130.758,95 2.069.885,97 2.007.775,21 1.944.634,15 1.642.694,62 1.586.236,65 1.129.738,56 747.101,60 692.174,68 664.021,58 635.961,97 607.974,29 580.102,20 1.213.523.170,70 Convexity MC
Convexity 10.602.964,09 67.119.213,54 195.041.379,73 463.138.844,43 291.470.765,76 491.247.668,98 393.144.056,50 511.287.656,24 471.433.867,19 849.198.361,04 412.825.825,91 1.662.898.627,29 589.889.621,46 485.473.274,74 668.991.053,47 446.447.679,90 489.337.456,42 442.062.775,95 438.862.294,76 428.929.332,09 389.679.028,39 407.086.400,92 358.873.071,40 371.755.622,12 383.943.273,71 395.017.716,15 405.948.760,43 414.097.618,99 423.805.851,78 432.534.444,15 436.355.600,34 369.322.499,62 906.254.095,85 347.056.714,31 158.885.775,28 77.772.701,78 77.620.723,86 77.299.345,40 76.813.049,05 66.529.132,07 65.828.820,87 48.013.888,59 32.498.919,58 30.801.773,20 30.212.981,67 29.572.231,71 28.878.778,70 28.134.956,80 16.679.996.496,21 92,91 84,46
MD = 6,76/1,04883 = 6,44 59
De kasstromen uit de vastgoedportefeuille zijn in onderstaand overzicht weergegeven: Jaar 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045 Totaal Duration MD
Huur 66.888.733 68.092.730 69.318.400 70.566.131 68.471.697 69.704.187 70.958.863 69.993.039 71.252.914 72.535.466 69.915.710 71.174.192 67.408.391 68.621.742 65.931.539 59.267.516 60.334.331 59.177.266 60.242.457 51.232.948 49.912.058 50.810.475 40.509.649 38.995.740 39.697.663 35.169.974 35.803.033 32.578.170 33.164.577 24.228.437 24.664.548 25.108.510 23.317.381 23.737.093 18.556.654 16.647.591 12.461.400 0 0
Onderhoud 20.360.815 32.187.054 27.919.391 48.944.719 39.197.646 26.915.077 27.722.530 25.189.581 25.945.269 26.723.627 24.160.711 24.885.532 25.519.944 26.285.542 23.709.484 21.616.915 22.265.423 22.036.152 22.697.237 20.013.529 18.370.852 18.921.978 15.564.242 16.031.169 14.829.792 15.274.686 15.732.927 15.083.373 15.535.874 12.637.326 13.016.446 13.406.939 12.687.606 13.068.234 9.534.886 8.979.776 7.230.395 0 0
Overige uitgaven 9.730.984 10.022.913 10.323.601 10.633.309 10.627.239 11.143.085 11.683.970 11.870.688 12.446.891 13.051.063 12.957.090 13.586.027 13.253.211 13.896.522 13.752.283 12.733.141 13.351.208 13.488.019 14.142.727 12.388.453 12.431.125 13.034.531 10.703.797 10.612.893 11.128.043 10.154.607 10.647.511 9.979.119 10.463.505 7.873.455 8.255.633 8.656.361 8.280.020 8.681.932 6.990.782 6.459.735 4.980.309 0 0
CF 36.796.934 25.882.763 31.075.408 10.988.103 18.646.812 31.646.025 31.552.363 32.932.771 32.860.755 32.760.777 32.797.909 32.702.633 28.635.236 28.439.678 28.469.771 24.917.460 24.717.701 23.653.095 23.402.493 18.830.966 19.110.081 18.853.966 14.241.610 12.351.678 13.739.828 9.740.681 9.422.595 7.515.678 7.165.197 3.717.656 3.392.470 3.045.210 2.349.755 1.986.927 2.030.986 1.208.079 250.696 0 0
Zero yield 4,860% 5,349% 5,382% 5,389% 5,394% 5,394% 5,414% 5,432% 5,450% 5,474% 5,496% 5,519% 5,541% 5,560% 5,579% 5,598% 5,604% 5,611% 5,616% 5,624% 5,630% 5,627% 5,622% 5,619% 5,614% 5,610% 5,602% 5,593% 5,582% 5,573% 5,565% 5,587% 5,609% 5,632% 5,656% 5,680% 5,705% 5,730% 5,757% 5,633%
9,51 9,01
Contante waarde 35.934.095 23.936.740 27.258.592 9.144.117 14.720.871 23.704.823 22.397.315 22.148.151 20.930.231 19.746.289 18.700.639 17.630.572 14.591.943 13.698.823 12.957.158 10.710.538 10.053.215 9.099.126 8.515.799 6.478.715 6.217.031 5.810.984 4.160.142 3.418.502 3.604.565 2.421.356 2.222.733 1.682.689 1.523.684 750.599 650.438 549.444 398.755 316.950 304.351 169.958 33.088 0 0 376.593.020
Duration
Convexity
17.967.048 35.905.111 68.146.480 32.004.409 66.243.920 130.376.524 145.582.545 166.111.133 177.906.967 187.589.747 196.356.707 202.751.579 182.399.289 184.934.114 187.878.788 166.013.334 165.878.044 159.234.703 157.542.286 126.334.944 127.449.136 124.936.160 93.603.190 80.334.806 88.311.849 61.744.569 58.902.436 46.273.939 43.424.998 22.142.671 19.838.344 17.307.478 12.959.522 10.617.812 10.500.104 6.033.506 1.207.722 0 0 3.582.745.914
26.950.571 89.762.776 238.512.679 144.019.840 364.341.557 847.447.407 1.091.869.086 1.411.944.634 1.690.116.183 1.969.692.346 2.258.102.135 2.534.394.737 2.462.390.402 2.681.544.655 2.912.121.214 2.739.220.018 2.902.865.770 2.945.842.001 3.072.074.578 2.589.866.348 2.740.156.430 2.811.063.601 2.199.674.972 1.968.202.735 2.251.952.161 1.636.231.076 1.619.816.976 1.318.807.267 1.281.037.445 675.351.451 624.907.851 562.493.030 434.143.994 366.314.505 372.753.702 220.222.969 45.289.591 0 0 56.101.498.697
Convexity MC
148,97 133,51
De opslag op de rente bedraagt 75 basispunten. Duration, MD Convexity en MC worden uitgerekend zoals bekend mag worden gesteld.
60
Bijlage III: Onderzoek swapkoersen 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Absoluut N
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
u
3,42
3,65
3,85
4,02
4,02
4,30
4,42
4,53
4,61
4,68
4,74
4,79
4,84
4,89
4,94
sd
0,89
0,87
0,83
0,81
0,81
0,78
0,77
0,76
0,75
0,75
0,73
0,72
0,72
0,72
0,73
Scheefheid
0,20
0,11
0,09
0,08
0,08
0,07
0,05
0,04
0,03
0,01
-0,02
-0,05
-0,06
-0,07
-0,07
Kurtosis
-0,92
-1,01
-1,04
-1,05
-1,05
-1,06
-1,06
-1,06
-1,06
-1,05
-1,06
-1,04
-1,05
-1,05
-1,04
N
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
u
0,04
0,02
0,01
0,00
0,00
-0,02
-0,02
-0,03
-0,03
-0,04
-0,03
-0,03
-0,03
-0,04
-0,05
sd in basispunten
2,80
3,77
4,03
4,12
4,12
4,11
3,95
3,90
3,89
3,86
3,86
4,05
3,92
3,88
3,93
Scheefheid
0,34
0,49
0,44
0,42
0,42
0,66
0,38
0,37
0,40
0,38
0,41
0,85
0,47
0,59
1,29
Kurtosis
3,91
2,47
2,00
1,79
1,79
4,69
1,47
1,47
1,68
1,52
1,67
5,87
2,36
4,43
15,80
90% percentiel
3,00
4,10
5,00
5,00
5,00
5,00
4,80
4,70
4,50
4,50
4,50
4,50
4,50
4,50
4,50
95% percentiel
4,50
6,06
6,60
7,00
7,00
6,60
6,46
6,26
6,30
6,18
6,25
6,16
6,20
6,19
6,00
97,5% percentiel
6,00
8,00
9,00
9,30
9,30
9,00
8,50
8,50
8,50
8,30
8,50
8,70
8,50
8,24
8,00
99% percentiel
8,00
11,00
11,99
12,00
12,00
11,00
11,00
11,00
11,00
11,00
11,46
11,50
11,41
11,00
11,00
90,00%
3,59
4,82
5,16
5,27
5,27
5,26
5,05
4,99
4,98
4,94
4,94
5,18
5,01
4,96
5,03
95,00%
4,63
6,21
6,65
6,79
6,79
6,78
6,51
6,44
6,41
6,37
6,37
6,68
6,46
6,40
6,49
97,50%
5,50
7,38
7,90
8,07
8,07
8,06
7,74
7,65
7,62
7,56
7,57
7,94
7,68
7,60
7,70
99,00%
7,23
9,72
10,40
10,62
10,62
10,61
10,19
10,07
10,03
9,95
9,96
10,45
10,11
10,00
10,14
Relatief dagkoersen
o.b.v. waarnemingen
o.b.v. normaal verdeling
61
1
2
3
4
5
6
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
Jaarkoersen N u in basispunten
2,05
-1,15
-3,89
-6,05
-6,05
-9,25
-10,43
-11,37
-12,08
-12,67
-12,47
-12,27
-12,79
-13,31
-13,83
100,77
100,80
98,12
94,55
94,55
87,45
84,14
81,03
78,10
75,87
73,27
70,88
69,63
68,49
67,47
0,21
0,11
0,13
0,19
0,19
0,29
0,33
0,37
0,40
0,42
0,47
0,50
0,51
0,52
0,51
-0,66
-0,63
-0,63
-0,62
-0,62
-0,59
-0,55
-0,51
-0,47
-0,43
-0,37
-0,30
-0,29
-0,28
-0,27
90% percentiel
139,50
139,00
131,00
123,00
123,00
109,00
101,46
96,00
92,00
87,60
85,00
81,14
78,75
77,03
75,00
95% percentiel
170,40
162,00
164,60
158,60
158,60
148,00
143,00
136,00
132,00
128,00
126,30
124,00
122,20
120,00
117,00
97,5% percentiel
209,50
191,30
180,30
181,15
181,15
178,00
172,30
167,00
160,00
153,00
147,50
142,00
138,33
135,33
132,00
99% percentiel
217,50
213,04
206,52
201,00
201,00
193,00
188,00
180,00
175,52
172,52
170,00
167,52
164,19
162,01
160,52
90,00%
128,99
129,02
125,60
121,03
121,03
111,93
107,70
103,72
99,97
97,11
93,78
90,73
89,13
87,67
86,36
95,00%
166,28
166,32
161,90
156,01
156,01
144,29
138,84
133,70
128,87
125,18
120,89
116,96
114,89
113,01
111,32
97,50%
197,52
197,56
192,32
185,32
185,32
171,40
164,92
158,82
153,08
148,70
143,60
138,93
136,48
134,25
132,23
99,00%
259,99
260,06
253,16
243,94
243,94
225,61
217,09
209,06
201,51
195,74
189,03
182,88
179,65
176,71
174,06
sd Scheefheid Kurtosis o.b.v. waarnemingen
o.b.v. normaal verdeling
62
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Absoluut N
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
2.610
u
4,96
4,98
5,01
5,03
5,06
5,07
5,08
5,09
5,10
5,11
5,11
5,12
5,12
5,12
5,12
sd
0,72
0,72
0,71
0,71
0,71
0,71
0,70
0,70
0,70
0,70
0,70
0,70
0,70
0,70
0,70
Scheefheid
-0,09
-0,11
-0,13
-0,15
-0,17
-0,18
-0,19
-0,20
-0,21
-0,22
-0,23
-0,23
-0,23
-0,24
-0,24
Kurtosis
-1,04
-1,04
-1,03
-1,02
-1,01
-1,01
-1,01
-1,01
-1,01
-1,00
-1,00
-1,00
-1,00
-1,01
-1,01
N
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
2.609
u
Relatief dagkoersen -0,05
-0,04
-0,04
-0,04
-0,03
-0,04
-0,04
-0,04
-0,04
-0,04
-0,04
-0,04
-0,04
-0,04
-0,04
sd in basispunten
3,88
3,88
3,93
4,03
4,18
4,04
3,97
3,96
4,01
4,13
4,12
4,11
4,11
4,10
4,10
Scheefheid
0,83
0,71
1,06
1,88
3,09
1,84
1,07
0,96
1,46
2,40
2,39
2,38
2,37
2,35
2,33
Kurtosis
7,67
4,89
9,28
22,89
46,69
22,40
9,77
8,91
18,59
36,97
36,73
36,45
36,13
35,76
35,36
90% percentiel
4,46
4,44
4,40
4,35
4,30
4,33
4,35
4,38
4,38
4,38
4,37
4,40
4,40
4,40
4,50
95% percentiel
6,05
6,13
6,08
6,08
6,00
6,08
6,08
6,00
6,00
6,00
6,00
6,00
6,00
6,00
6,00
o.b.v. waarnemingen
97,5% percentiel
8,19
8,29
8,34
8,28
8,25
8,28
8,33
8,20
8,06
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
10,98
10,93
10,80
10,74
10,50
10,74
10,73
10,74
10,80
10,57
10,60
10,56
10,38
10,20
10,00
90,00%
4,97
4,97
5,03
5,16
5,35
5,18
5,08
5,07
5,14
5,28
5,27
5,26
5,26
5,25
5,25
95,00%
6,40
6,40
6,48
6,65
6,89
6,67
6,55
6,54
6,62
6,81
6,80
6,79
6,78
6,77
6,77
97,50%
7,60
7,60
7,70
7,90
8,19
7,93
7,78
7,76
7,87
8,09
8,07
8,06
8,05
8,04
8,04
99,00%
10,01
10,01
10,14
10,40
10,78
10,44
10,25
10,22
10,35
10,65
10,63
10,61
10,60
10,59
10,58
99% percentiel o.b.v. normaal verdeling
63
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
2.349
-13,87
-13,90
-13,94
-13,98
-14,01
-14,11
-14,21
-14,31
-14,42
-14,52
-14,66
-14,80
-14,94
-15,09
-15,23
66,22
65,01
63,85
62,75
61,70
61,01
60,34
59,69
59,05
58,44
58,06
57,68
57,30
56,93
56,57
0,51
0,52
0,51
0,50
0,49
0,48
0,47
0,45
0,44
0,42
0,41
0,40
0,39
0,38
0,37
-0,27
-0,26
-0,26
-0,25
-0,25
-0,25
-0,26
-0,27
-0,28
-0,28
-0,30
-0,31
-0,32
-0,34
-0,35
Jaarkoersen N u in basispunten sd Scheefheid Kurtosis o.b.v. waarnemingen 90% percentiel
73,18
72,14
70,30
68,87
67,00
65,94
64,95
63,84
62,73
61,68
60,91
60,29
59,60
59,02
58,50
95% percentiel
114,40
112,32
109,60
106,80
104,60
102,72
100,84
98,84
96,72
95,00
93,44
92,12
90,92
89,52
88,00
97,5% percentiel
128,60
125,20
122,06
119,00
116,30
113,92
111,60
109,70
108,20
106,00
104,80
103,46
101,72
100,20
99,00
99% percentiel
157,41
154,43
151,91
149,51
147,52
145,82
144,11
142,30
140,41
138,52
137,12
135,72
134,32
132,92
131,52
o.b.v. normaal verdeling 90,00%
84,76
83,21
81,73
80,32
78,98
78,10
77,24
76,40
75,59
74,80
74,31
73,83
73,35
72,87
72,41
95,00%
109,26
107,27
105,36
103,54
101,80
100,67
99,56
98,49
97,44
96,42
95,79
95,17
94,55
93,94
93,34
97,50%
129,78
127,42
125,15
122,99
120,93
119,58
118,27
116,99
115,75
114,54
113,79
113,05
112,31
111,59
110,87
99,00%
170,84
167,73
164,74
161,89
159,18
157,41
155,68
154,00
152,36
150,77
149,78
148,81
147,84
146,89
145,95
64
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
1,00
0,99
0,96
0,93
0,93
0,87
0,84
0,81
0,79
0,77
0,76
0,74
0,73
0,72
0,70
0,70
0,69
0,68
0,68
0,67
0,66
0,66
0,65
0,65
0,64
0,64
0,64
0,64
0,63
0,63
2
0,99
1,00
0,99
0,97
0,97
0,93
0,90
0,88
0,86
0,84
0,83
0,82
0,80
0,79
0,78
0,77
0,77
0,76
0,75
0,74
0,74
0,73
0,73
0,72
0,72
0,71
0,71
0,71
0,71
0,70
3
0,96
0,99
1,00
0,99
0,99
0,97
0,95
0,93
0,91
0,90
0,89
0,87
0,86
0,85
0,84
0,84
0,83
0,82
0,82
0,81
0,80
0,80
0,79
0,79
0,78
0,78
0,78
0,78
0,77
0,77
4
0,93
0,97
0,99
1,00
1,00
0,99
0,97
0,96
0,95
0,94
0,93
0,92
0,91
0,90
0,89
0,89
0,88
0,87
0,87
0,86
0,85
0,85
0,85
0,84
0,84
0,84
0,83
0,83
0,83
0,83
5
0,93
0,97
0,99
1,00
1,00
0,99
0,97
0,96
0,95
0,94
0,93
0,92
0,91
0,90
0,89
0,89
0,88
0,87
0,87
0,86
0,85
0,85
0,85
0,84
0,84
0,84
0,83
0,83
0,83
0,83
6
0,87
0,93
0,97
0,99
0,99
1,00
1,00
0,99
0,99
0,98
0,97
0,97
0,96
0,96
0,95
0,95
0,94
0,94
0,93
0,92
0,92
0,92
0,92
0,91
0,91
0,91
0,90
0,90
0,90
0,90
7
0,84
0,90
0,95
0,97
0,97
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,98
0,98
0,97
0,97
0,96
0,96
0,96
0,95
0,95
0,94
0,94
0,94
0,93
0,93
0,93
0,93
0,93
0,92
0,92
8
0,81
0,88
0,93
0,96
0,96
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,97
0,97
0,97
0,96
0,96
0,96
0,95
0,95
0,95
0,95
0,95
0,94
0,94
0,94
9
0,79
0,86
0,91
0,95
0,95
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,98
0,97
0,97
0,97
0,97
0,96
0,96
0,96
0,96
0,96
0,95
0,95
10
0,77
0,84
0,90
0,94
0,94
0,98
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,98
0,97
0,97
0,97
0,97
0,97
0,97
0,96
0,96
0,96
11
0,76
0,83
0,89
0,93
0,93
0,97
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
0,97
0,97
0,97
0,97
0,97
12
0,74
0,82
0,87
0,92
0,92
0,97
0,98
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
13
0,73
0,80
0,86
0,91
0,91
0,96
0,98
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
0,98
0,98
14
0,72
0,79
0,85
0,90
0,90
0,96
0,97
0,98
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,98
0,98
0,98
15
0,70
0,78
0,84
0,89
0,89
0,95
0,97
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,98
16
0,70
0,77
0,84
0,89
0,89
0,95
0,96
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
17
0,69
0,77
0,83
0,88
0,88
0,94
0,96
0,97
0,98
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
18
0,68
0,76
0,82
0,87
0,87
0,94
0,96
0,97
0,98
0,98
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
0,99
0,99
0,99
19
0,68
0,75
0,82
0,87
0,87
0,93
0,95
0,97
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,99
20
0,67
0,74
0,81
0,86
0,86
0,92
0,95
0,96
0,97
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
21
0,66
0,74
0,80
0,85
0,85
0,92
0,94
0,96
0,97
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
22
0,66
0,73
0,80
0,85
0,85
0,92
0,94
0,96
0,97
0,97
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
23
0,65
0,73
0,79
0,85
0,85
0,92
0,94
0,95
0,97
0,97
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
24
0,65
0,72
0,79
0,84
0,84
0,91
0,93
0,95
0,96
0,97
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
25
0,64
0,72
0,78
0,84
0,84
0,91
0,93
0,95
0,96
0,97
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
26
0,64
0,71
0,78
0,84
0,84
0,91
0,93
0,95
0,96
0,97
0,97
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
27
0,64
0,71
0,78
0,83
0,83
0,90
0,93
0,95
0,96
0,97
0,97
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
28
0,64
0,71
0,78
0,83
0,83
0,90
0,93
0,94
0,96
0,96
0,97
0,98
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
29
0,63
0,71
0,77
0,83
0,83
0,90
0,92
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
30
0,63
0,70
0,77
0,83
0,83
0,90
0,92
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,98
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
Correlatiecoëfficenten tussen de yields
65
Noten 1
Waarborgfonds sociale woningbouw, Cijfermatig perspectief woningcorporaties Verslagjaar 2005, pag. 13 Waarborgfonds sociale woningbouw, Cijfermatig perspectief woningcorporaties Verslagjaar 2005, pag. 12 3 Statuten Waarborgfonds sociale woningbouw, http://www.wsw.nl/publicaties/wswdocumenten/statuten blad 3 4 RiskMetrics TM Technical document, Fourth edition (december 1996), pag 3 e.v. 5 Waarborgfonds sociale woningbouw, WsW Actueel, 11e jaargang 2006, nummer 1, pag. 2 6 Ibid., pag. 2 7 Bhattacharya, A.K., en J.C. Foley, Overview of Asset/Liability Management Models and Interest Rate Risk Control in Asset/Liability Management, pag. 99 e.v 8 Sharpe en Alexander, Investments, pag. 384 9 Haugen, R.A., Modern investment theory, pag. 400 10 Bierwag, G.O., Duration Analysis, Managing Interest Rate Risk, pag. 271 e.v 11 van Horne, J.C., Financial Market Rates & Flows, pp. 141-143 12 http://en.wikipedia.org/wiki/Yield_curve, 2007 13 Schwartz en Smith, p. 7-13 14 Zie hiervoor ondermeer Aedes Magazine, 2004, Dossier Vastgoedwaardering bij woningcorporaties, p.3-28 en V.H. Gruis [2000] pp 38-65 15 Kees Tegel en Rob Rötscheid delen blijkbaar deze mening. Zie hun uitspraken in Dossier Vastgoedwaardering bij woningcorporaties, p. 5. 16 G.G.M. ten Have, 2002, Taxatieleer Vastgoed I, p. 302 17 Ibid., p. 5 18 Zie bijvoorbeeld Keown, Martin, Petty, Scott, 2002, p. 173 en Van Horne, 1990, p. 103. 19 Van Horne, 1990, pp. 104-110 20 WsW, Informatiemap 2006, Waarderingsprotocol, p. 1 21 Klieverik en Nijeboer, 2004, p. 12. 22 Zie ook hiervoor de afleiding van de durationformule op pagina 10 - 11 23 Kocken [1997], p. 64 24 Arnold [2002], pp. 295 - 314 25 http://en.wikipedia.org/wiki/MSCI_EAFE 26 John Lintner [1965] 27 Arnold [2002], p. 390 28 Pijpers [2007], p. 39 29 Chen [2007], p. 44 30 Fama en French [2000] 31 Tazelaar [2002] 32 Van Horne [1990], p. 86 33 Bronnen: Cijfers over Wonen 2006 [2006] Kerngegevens VROM 1989 – 1993 [1994] Volkshuisvesting in Cijfers [1989] Centraal Bureau voor de Statistiek, www.statline-cbs.nl Rentevoeten bepaald op basis van gegevens uit datastream 34 Zie bijlage I voor een nadere kennismaking met convexiteit 35 RiskMetrics TM Technical document, Fourth edition (december 1996), pag 3 e.v. 36 Jorion [2001] p. xxii en Vrijmoeth [1997] 37 Kocken [1997], p. 128 38 Lucas [1998], p. 8 39 Risk Metrics, Technical Document [1996], pp. 84-88 40 Kocken [1997], p. 79 41 Kocken [1997], p. 81 42 Lucas [1998], pp. 9-10 43 Jorion [2001] 44 Zie bijvoorbeeld de 30-jaars yield curve in Technical document Riskmetrics [1996] 45 Riskmetrrics technical document, chapter 4, pp. 45-74 46 Kocken [1997], p. 85 47 Kocken [1997], p. 82 48 Kocken [1997], p. 194 49 Rentetarieven via datastream opgehaald 2
66
50
Zie hiervoor bijvoorbeeld Giot en Laurent [2001] a Kocken [1997], p. 99 52 Lucas [1998], p. 5 53 Jorion [2001] 54 Van Vliet [2004] 55 Gruis [2000], p. 95 56 Van Vliet [2004] 51
67
