RENDSZERMODELLEK - RENDSZERANALÍZIS (PROCESS ANALYSIS)

VESZPRÉMI EGYETEM VEGYÉSZMÉRNÖKI KIBERNETIKA TANSZÉK

VEGYIPARI KIBERNETIKA (CHEMICAL PROCESS ENGINEERING) (1.1.2.)

RENDSZERMODELLEK - RENDSZERANALÍZIS (PROCESS ANALYSIS)

Szeifert Ferenc Chován Tibor Nagy Lajos Almásy Gedeon (Sztochasztikus modellek)

A PRO RENOVANDA CULTURA HUNGARIAE alapítvány és a Felsőoktatási Fejlesztési Program támogatásával készült

VESZPRÉM 1998.

Tartalomjegyzék Előszó Bevezetés 1. RENDSZERTECHNIKAI ÁTTEKINTÉS........................................... 1.1 1.1. Általános fogalmak ........................................................................ 1.1 1.2. Verbális rendszerdefiníciók ........................................................... 1.5 1.3. Formális rendszerdefiníciók........................................................... 1.13 1.3.1. Relációs rendszerek................................................................. 1.13 1.3.2. A KALMAN - féle rendszerdefiníció ..................................... 1.23 1.4. Rendszertulajdonságok .................................................................. 1.24 2. RENDSZERMODELLEK................................................... ................. 2.1 2.1. Csoportosítás (osztályok)............................................................... 2.2 2.2. Összehasonlítások .......................................................................... 2.3 2.3. Definíciók, alkalmazások............................................................... 2.18 2.3.1. Absztrakt automaták ............................................................... 2.18 2.3.2. Bemenet - kimenet modellek .................................................. 2.34 2.3.3. Állapottér modellek ................................................................ 2.41 2.3.4. Időben folytonos és diszkrét rendszerek................................. 2.51 2.3.5. Idő versus transzformált tartomány......... ............................... 2.60 2.3.6. Lineáris és nemlineáris modellek............................................ 2.73 2.3.7. Neurális hálózati modell (NN)................................................ 2.75 2.3.8. Sztochasztikus modellek ......................................................... 2.81 2.3.9. Fuzzy modellek ....................................................................... 2.94 3. IDENTIFIKÁLÁS................................................................................. 3.1 4. RENDSZERANALÍZIS........................................................................ 4.1 4.1. A modellek megoldása................................................................... 4.2 4.2. Stabilitás......................................................................................... 4.18 4.3. Megfigyelhetőség........................................................................... 4.30 4.4. Irányíthatóság................................................................................. 4.31 Irodalomjegyzék

ELŐSZÓ

"Úgy gondolom, hogy nem létezik semmi, ami ne lenne megérthető; a megértéshez vezető úton a külsőségeket lehántva jutunk el a lényeghez. Ez a lényeg mindig páratlanul egyszerű." P.W.Atkins: Teremtés

Jelenlegi oktatásunk velejárója az állandó változás. Évenként új szakokon indul képzés, a hagyományos szakokon új akkreditált tantervek formálódnak, a szaktárgyak ismeretköreit évről - évre kötelességünk frissíteni. A tömegesen elterjedő új technikai eszközök (számítástechnika, információtechnológia) nem csak tartalmi, hanem formai változtatásokat is kikényszerítenek. Tartalmi szempontból ezen jegyzet ismeretköreit a vegyészmérnökképzésben formáltuk ki, a rendszer- és irányításelmélet, a folyamatirányítás és vegyészmérnöki tudományok sajátos szemléleteinek erőtereiben. Ugyanakkor úgy gondoljuk, hogy ez a témakör nem vegyészmérnök specifikus, s így az "anyag" a Mérnöki Kar többi szakán is igény szerint kiegészítésekkel oktatható. A formai szempontokat tekintve mi is új utakat keresünk azzal a szándékkal, hogy az oktatási folyamatban optimálisan használjuk fel a rendelkezésre álló erőforrásokat. A gyors változások, a szakterületünkön napról napra megjelenő új konstruktív eszközök és módszerek oktatásba való gyors beépítésének igénye, gátolják a hagyományos értelembe vett tankönyv megírását ! A gyors adaptációra az előadások alkalmasak, s ezen munkafüzet anyaga az előadásokkal együtt szolgálja a szükséges szakismeretek elsajátítását. Ezen jegyzet használatánál az alábbi szempontokat kérjük mérlegelni: • a jegyzet az előadáshoz kötődő segédeszköz, egyéni

tanuláshoz csak korlátozottan használható; • a jegyzet elektronikus formában is tárolt, a tanszéken

engedéllyel használható illetve másolható; • a kiadott (vagy a kinyomtatott) jegyzet az előadási

jegyzetfüzet funkcióját is ellátja;

• a

jegyzet anyaga a rendszermodellezés fogalmainak elmélyítését szolgálja, a szakterület készségszintű (gyakorlati) elsajátítását a VEGYIPARI KIBERNETIKA sorozat további kötetei biztosíthatják;

• az egyes rendszermodellek (különböző okok miatt) nem

azonos mélységben kerültek bemutatásra. Remélem, hogy ezen közreadott jegyzet, hallgatóinknak hasznos segédeszközül szolgál, s a közös kritikai elemzés során mind tartalmában, mind formájában tökéletesedni fog!

Veszprém, 1994. március Szeifert Ferenc egyetemi docens

Az 1.1.2. verzió, az előzőnek a “2.3.9 Fuzzy modellek” című fejezettel való kibővítésével készült. Veszprém, 1998. szeptember

5

BEVEZETÉS

A modell és a rendszer fogalmának használata a különböző szakterületeken [1] Mit értünk modellen ? "Szó szerinti fordításban a latin modus, modulus szó mértéket, módot, módozatot jelent. A mindennapi életben azonban ennél jóval szélesebb körű az értelmezése. A modell szóval jelölik például − − − − −

azt a rendszert, amely egy másik rendszerben (a modellezettben) végbemenő jelenséghez hasonló jelenséget valósít meg; egyes termékek mintáit (ruhamodell, gépmodell); közlekedési eszközök kicsinyített másolatát (pl. Matchbox); épületek geometriailag hű kisebbítését, amelyek rendszerint szemléltető célt szolgálnak és inkább makettnak nevezik; az olyan szemléltető eszközöket, amelyek valamely nagyon nagy (vagy nagyon kicsiny) objektum oktatási bemutatására szolgálnak (pl. a hidrogénatom modellje, vagy a planetárium).

Gyakran szinonimaként használják a jel és a modell szót. Speciálisan értelmezik a modellt egyes matematikai diszciplínákban".

A modell szó szinonimái[1]: − −

− − − − − − − − − − − − −

agyag-forma; axiómarendszert kielégítő matematikai objektumok rendszere; elmélet; élő alak; folyamat; forma; formula; főbb tulajdonságok tükrözése; gipsz alak; hasonló viselkedésű eszköz; helyettesítő objektum; képlet; képmás; kicsinyített más; leképezés;

− − − − − − − − − − − − − − − − −

makett; matematikai leírás; matematikai kifejezés; minta; mintadarab; munkaeszköz; munkatárgy; rendszer tudományos leírása; ruhaminta; séma; szabásminta; személy; szemléltető leírás; tevékenység; űrlap; verbális kifejezés; viasz-forma.

-6-

Rendszer és modell kapcsolata[1] Rendszertípusok [International Institute for Applied System Analysis, IIASA]: Közgazdasági rendszerek: − − −

nemzetközi kereskedelem és gazdaság, nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás, ágazati és ipari tervezés.

Emberi és társadalmi rendszerek: − − − − − − − − −

népesség, városi és regionális tervezés,fejlesztés és vezetés lakáshelyzet, oktatás, képzés, egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása, társadalmi és jóléti szolgáltatások, munkaerőképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások, igazságszolgáltatás.

Erőforrások és környezeti rendszerek: − − − − − −

ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat, vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat, éghajlat, környezet, ökológia, mezőgazdaság, beleértve az erdőgazdaságot és állattenyésztést.

-7-

Ipari rendszerek: − − − − − − − − − −

kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat), tervezés és irányítás, termelés és elosztás, energiaágazat, petrolkémia, elektronika, szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülőgép), élelmiszerelosztás, textil- és ruházati ipar, nukleáris energia.

Biológiai rendszerek: − − −

elemi biológiai rendszerek, humán biológia és pszichológia, bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése.

Információs és számítógéprendszerek: − − − −

távközlési és számítógépes hálózatok, információtárolás és -visszakeresés, számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás, vezetési információs rendszerek.

Külön említik az ún. integrált rendszereket: − − − − −

mezőgazdaság - élelmiszer - népesség, energia - környezet - ipar, ipar - környezet - egészségügy, területi ipari komplexumok, globális és regionális rendszerek.

-8-

Csoportosítás I. (a modell és a modellezett hasonlósága, [1] ) a hasonlóság szempontja

szerkezeti mûködési formai

elektromos mechanikus termikus szimbolikus verbális ikonikus

anyagi

MODELLEK a modell típusa

gondolati termelési társadalmi pszichikai fizikai stb.

a modellezett rendszer

Csoportosítás II. [1] funkció

MODELLEK

problémamegoldó leíró elõíró szemléltetõ

struktúra

ikonikus analóg szimbolikus

szempont

mûködési szerkezeti formai

folyamat

statikus dinamikus kvalitatív

gondolati verbális

kvantitatív

szimulációs sztochasztikus heurisztikus

jelleg

Típusok [1] geometriai

anyagi

fizikai természetes

TELJES MODELLEK

fogalmi gondolati jelképes

RÉSZLEGES matematikai

sík tér idõ tér tér-idõ kísérlet tapasztalat megfigyelés hipotézis analógia séma rendszerezõ topológiai grafikus analóg szerkezeti számítógépi kibernetikai helyettesítõ séma program

-9-

VEGYIPARI RENDSZEREK technológiai folyamatábra

(vegyészmérnök)

reakciókinetika

dc I = −r dt

(vegyész)

I

3 komponens +

dc II = rI − rII dt

2 reakció

dc III = rII dt

rI = k I CI rII = k II CII

,

- 10 -

ABSZTRAKCIÓ

- 11 -

A KTO JELLEMZÉSE

DINAMIKUS - SZTOCHASZTIKUS - KOMPLEX

•

kémiai változások

•

térben jól elhatárolható elemek (szakaszos - időben is)

•

kapcsolat: anyag-, energia- és impulzusáramok

•

térben (-időben) összetett, recirkuláció

•

elem is bonyolult, nemlineáris

•

nagyszámú szabadsági fok (30-100)

•

gazdasági cél → döntési rendszer → folyamatirányítás

•

hierarchikus felépítés

•

sztochasztikus

•

hibával terhelt információ, nem vagy csak drágán mérhető mennyiségek (térbeli, időbeli inhomogenitás, mérési hiba)

•

dinamikus - stacioner - kvázistacioner

- 12 -

VEGYÉSZMÉRNÖKI FELADATOK

A feladat megfogalmazása

MEGISMERÉS

IRÁNYÍTÁS

TERVEZÉS

(modellen keresztül) adott a KTO (amit vizsgálunk),

(üzemeltetés) adott: a MŰKÖDŐKÉPES KTO ↔ (M matematikai modell)

(fejlesztés) adott egy FUNKCIÓ létrehozandó a megfelelő KTO

meghatározandó: mely (vegyészmérnöki) MENNYISÉGEK és TÖRVÉNYSZERŰSÉGEK alkalmasak -az elvégzendő FELADAT szempontjából- az objektum hű VISSZATÜKRÖZÉSÉRE?

Absztrakció

(vegyészmérnöki) MENNYISÉGEK → matematikai VÁLTOZÓK(V) TÖRVÉNYSZERŰSÉGEK → ÖSSZEFÜGGÉSEK (F)

MATEMATIKAI MODELL: M=

a gazdasági célt kitűző CÉLFÜGGVÉNY (G) feladat: az OPTIMÁLIS működés biztosítása M-analízise: SZABADSÁGI FOK (n≥1) ↓ IRÁNYÍTÁSI VÁLTOZÓK (U) extr G U feltételek: M FELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉK PROBLÉMA (matematika,számítástechnika)

probléma: ugyanazon FUNKCIÓ ellátására számtalan KTO alkalmas, minden KTO sokféleképpen működhet. a funkció ellátására alkalmas objektumok OPTIMÁLIS ÁLLAPOTAIT kell összehasonlítani (irányított KTO), s a gazdasági szempontból a LEGJOBBAT kell választani! KOMBINATORIKUS ROBBANÁS! (intuíció, próbálgatás, evolúció, tapasztalat) A KOMPLEXITÁS ELLENSZERE: RENDSZERELMÉLET + SZÁMÍTÓGÉP (SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY)

- 13 -

A MODELLEZÉS FÁZISAI

1. mérnöki [2]

2. vegyészmérnöki

Kémiai Technológiai Objektum KTO

MODELL ALKOTÁS

Matematikai modell VERIFIKÁLT, FELADATtól függõ

ALGORITMUS ALGORITMIZÁLÁS

(szimulációs, identifikációs, irányítási stb.)

PROGRAM (realizáció a megfelelõ számítógépen)

Mérnöki feladat megoldás - közvetlen tapasztalatszerzéssel - a részek modellezésével - szimulációval (teljes modell)

SZIMULÁCIÓS VIZSGÁLATOK

- 1.1 -

1. RENDSZERTECHNIKAI ÁTTEKINTÉS

1.1. Általános fogalmak

Objektum A megismerési folyamat objektum

szubjektum

A vizsgálat tárgya

A megismerõ

Modell: a. a megismerés eszköze O Objektum megfelelõ visszatükrözése

b. reláció

S

M

homomorf

A

A`

modell

izomorf

B

homomorf

B`

Matematikai modell: változók + a változók halmazán értelmezett relációk

- 1.2 -

Megismerési folyamat

R formális rendszer definíció

O MM több-több értelmûség

rendszer (verbális, formális) rendszer modell (pl. állapottér, kimenet - bemenet)

általános egyes

modell rendszer: ugyanazon objektum (rendszer) különböző információ tartalmú modelljeinek rendszere

- 1.3 -

A TECHNOLÓGIA mint hierarchikus rendszer

valóság (technológia)

Rendszer KTR (definitív)

KTO bonyolult

Matematikai modell HIERARCHIKUS MODELLRENDSZER

A TECHNOLÓGIA - "totális" leírása (Vegyészmérnöki) TUDÁSBÁZIS (az akármilyen célú SZAKÉRTŐI RENDSZERHEZ, az INTEGRÁLT INFORMÁCIÓS RENDSZERHEZ, ..!)

- 1.4 -

A MODELLEZÉS SZEREPE NŐ !

A szimuláció ma már egyre szélesebb területen kerül alkalmazásra [5]

- 1.5 -

1.2. Verbális rendszer definíciók Mit nevezünk RENDSZERnek ?

(rendszer specifikumok, generáló elemek)

1. A RENDSZER EGY TAGOLT EGÉSZ

részekre bontható illetve részekből összeállítható

absztrakció: H halmaz H ={rész1, rész2,..., részn}

- 1.6 -

2. A RENDSZER KÖLCSÖNHATÁSBAN ÁLLÓ EL EMEK ÖSSZESSÉGE

absztrakció:

elemek

H halmaz, H={e1,..., e5}

kölcsönhatás R ⊆ H x H reláció R ={(e1,e2),(e1,e3),(e2,e3),(e1,e4),(e4,e1), (e3,e5),(e5,e4),(e4,e3)}

- 1.7 -

3. A RENDSZER EGY EGYSÉG

funkció "rendszer alkotó tényező" mi tartozik a rendszerhez és mi nem ?

A környezet hatása a rendszerre

bemenet (input)

Rendszer

kimenet (output)

környezet

a rendszer kimenete függ • a bemenettől (heteronóm) • a rendszer belső tulajdonságaitól (autonóm)

A rendszer hatása a környezetre

- 1.8 -

4. A RENDSZER ELEME IS RENDSZER (HIERARCHIA)

verbális rendszer definíciók: az 1-4, valamint további specifikumok különböző súlyú kombinációi.

- 1.9 -

HIERARCHIKUS RENDSZEREK Általános séma:

A teljes rendszer (al)rendszer n (al)rendszer (n - 1) Bemenetek . . .

. beavatkozás . (intervenció) .

. . visszajelzés . (információ)

Kimenetek

(al)rendszer 1

Típusok: • strata - a leírás mélysége (részletessége) szerint • layers - a döntés összetettsége szerint • echelons - prioritások szerint

. . .

- 1.10 -

Hierarchikus struktúrák egymásba fonódása

A teljes rendszer "Strata" típusú beosztása

A teljes rendszer "Layers" típusú beosztása

Önszervezés

Tanulás és adaptáció

"Echelons" Szabályozás Folyamat

- 1.11 -

A DEKOMPOZíCIÓ - KOORDINÁCIÓ ELVE

Az összetett (bonyolult) PROBLÉMA megoldásának menete:

Az összetett probléma (egyszerûbb) rész problémákká való felbontása (DEKOMPOZICIÓ)

A részproblémák közötti kapcsolatok becslése ( s ezzel a probléma szétdarabolása egyszerûbb feladatokra ) (KOORDINÁLÓ PARAMÉTEREK BECSLÉSE)

A kapcsolatok

A részproblémák egymás utáni

újra becslése (ITERÁCIÓ)

(vagy melletti) megoldása (FÜGGETLEN RÉSZPROBLÉMÁK MEGOLDÁSA)

nem

A megoldás után teljesülnek-e a kapcsolatok ?

igen Az összetett probléma MEGOLDÁSA

- 1.12 -

A szintek közötti kapcsolat hierarchikus felbontásnál

(

extr [L , π i ( λ) , L ] = π λ

π 1 ( λ)

λ

π i ( λ)

)

λ

π n ( λ)

extr π′i ( λ, mi ) = π i ( λ) mi

Legnagyobb emelkedés (gradiens) Szerpentin út Az elvégezhetőség érdekében - KERÜLŐ ÚT (kisebb teljesítmény - TÖBB MUNKA)

λ

- 1.13 -

1.3. Formális rendszerdefiníciók

1.3.1 Relációs rendszerek (kölcsönhatásban álló elemek halmaza)

Definíció:

S ∆ 〈 E, R1 ,..., R n 〉 , ahol

E ≠ 0 az elemek halmaza (értelmezési tartomány)

R i ⊆ x E ij , / E ij ⊆ E , mi ∈ P, P = {1, 2,...} j∈Pm i

∀ i ∈ Pn − re,

/ Pn = {1, 2,.., n}

(Ri az E halmazon értelmezett mi változós reláció) egyszerűbb forma:

S ∆ E, R /R ⊆ E x E

- 1.14 -

Tulajdonságok:

A,

Típus: s = 〈 m1 ,..., mn 〉

B,

Hasonlóság: azonos típus

C,

Homomorfia

legyen:

Si ∆ 〈 E i , R1i , ..., R in 〉

/ i ∈ P2

f: E1 → E2 (egy - több értelmű) S1-el S2 homomorf, ha hasonlóak és tetszőleges 〈e1,..., em i 〉 sorozatra / e j ∈ E1 , j ∈ Pm i

( e ,..., e ) ∈ R ⇒ ( f (e ),..., f (e )) ∈ R , 1

D,

mi

1 i

1

mi

2 i

Izomorfia:

S1 és S2 izomorf, ha f bijekció (egy - egy értelmű 〈e1 ,..., e mi 〉 / e j ∈ E1 , j ∈ Pmi leképezés) és tetszőleges sorozatra

(

( ))

(e1 ,..., e mi ) ∈ R1i ⇔ f (e1 ),..., f e mi ∈ R 2i kölcsönös implikáció TARSKI : logika, nyelvészet

/ ∀i ∈ Pn − re

- 1.15 -

Példák 1. Ha Ri (matematikai) művelet ⇒ algebrai struktúra 2. Dialektika

D ∆ 〈 E1 , E 2 , R 1 〉 E1, E2 két dialektikus ellentétpár R1 reláció: kizárás, feltételezés, áthatás, átcsapás 3. Matematikai modell:

M ∆ 〈 v, f 〉 Alkalmazások: 1. A kölcsönhatásokra tett megkötés

rendszer : b., e. nem rendszer : a., c., d.

- 1.16 -

Formalizálás:

E az elemek halmaza R ⊆ E x E kapcsolatok halmaza

S ∆ 〈 E, R 〉

s = 〈2〉

Megkötés:

∀ H ∈( P( E ) \ {0, E}) − ra ∃ e i ∈ H és ∃ e j ∈ E \ H úgy, hogy

(

(

)

)

vagy e i , e j ∈ R vagy e j ,e i ∈ R

2. Kimenetek, bemenetek, belső kapcsolatok

e0

a környezet kódja

S ∆ E' ∆ E ∪ {e 0 }, R ' ⊆ E' x E'

A rendszer bemenetei

U ∆ {(e 0 , e), / ( e 0 , e) ∈ R '},

kimenetei

Y ∆ {(e, e 0 ) / (e, e 0 ) ∈ R '},

belső

{( )

( ) }

X ∆ e i e j , / i, j ∈ P, e i e j ∈ R X ≡ R '\( U ∪ Y)

kapcsolatai

- 1.17 -

Kölcsönhatást jellemző rendszertulajdonságok:

(BERTALANFFY [6]) A.

B.

Totalitás:

bármely elem megváltozása az egész rendszer megváltozását eredményezi maximális sűrűségű kapcsolat

Szummativitás: bármely elem megváltozása csak magától függ minimális (zérus) sűrűségű kapcsolat

C.

Mechanizáció:

D.

Centralizáció: a kölcsönhatások sűrűségének növekedése a rendszer egy részében vagy egy elemében

Totalitás → Szummativitás

- 1.18 -

3. Rendszerek kompozíciója legyen:

S1 ∆ A ∪ B, R1 R1 ⊆ A x B S 2 ∆ B ∪ C, R 2 R2 ⊆ B x C

S1 és S2 kompozíciója: S = S1 oS2 ∆ A ∪ C, R1 oR 2

Példa:

S egyértelműen meghatározott!

- 1.19 -

4. Rendszerek dekompozíciója

Adott S és S2, meghatározandó

H s ∆ {S1 ,

/ S1 ° S2 = S}

Példa:

S, S2 lásd előbb ! R 1,1

R1, 2

S1,1

S1, 2

R 1, 3

R1, 4

S1, 3

S1, 4

R1,1={(a1,b1),(a2,b1),(a1,b2),(a3,b2)}=R1 R1,2={(a1,b1),(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2)} R1,3={(a1,b1),(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3)} R1,4={(a1,b1),(a2,b1),(a1,b3),(a3,b3)} Megoldás: Hs={〈A∪Β,Rl,i〉}i∈Ρ4 s(Hs)〉 1 ⇒ többértelműség !

- 1.20 -

5. Nomenklatúra hierarchikus rendszerekben

legyen:

S ∆ E, R ahol E a hierarchikus rendszer részeit jelölő kódok halmaza, R ⊆ E x E tartalmazási reláció (ei,ej) ∈R ⇔ ej része ei-nek

R tulajdonságai: 1. Irreflexív e ∈E, (e,e) ∉R 2. Tranzitív ei , e j, ek ∈ E ha (ei,ej) ∈R és (ej,ek) ∈R ⇒ (ei,ek) ∈R 3. Ha

[ (e1 , e) ∈ R] ∧ [ (e2 , e) ∈ R] igaz ⇒ ⇒ e1 e 2 ([ (e1 , e 2 ) ∈ R ] ∨ [ (e 2 , e1 ) ∈ R ] ) ∧ ∧ ¬([ ( e1 , e 2 ) ∈ R ] ∧ [ (e 2 , e1 ) ∈ R ] ) igaz ∆

(összehasonlíthatóság) 4. A H ∆ E , R rendezett halmaznak van maximális eleme e0 ∈E maximális elem ⇔ ∀e ∈E \ {e0} ⇒ (e0,e)∈R

- 1.21 -

< E, R > farendezés

redukció R * ∆ R \ R 2 , <E,R* >

e

Nomenklatúra: ∀ e ∈ E \ min (E) rendszer pozíció

e2 eleme e1-nek ha e1,e2, ∈E és (e1,e2) ∈R∗

e

e.....

........

e

.... e2

e

......

e1 ......

...... e2

e

- 1.22 -

e2 alrendszere e1-nek ha e1,e2 ∈E és (e1,e2) ∈R

e1

e2

e1 és e2 részrendszerek, ha e1, e2 ∈ E és ∃ e ∈ E ⇒ ⇒ (e,e1) ∈R∗ és (e,e2) ∈R∗

............. e

...............

2

..........

e2

...............e

e1

.............

..........

e2 ..........

e atom pozíciójú ha e ∈E és ∃ e1 ∈E úgy, hogy (e,e1) ∈R

........... .........

(e ∈ min (E))

e

........ e

e

- 1.23 -

1.3.2. A KALMAN - féle rendszer definíció x(t)

BEMENET

. . .

u(t) (idõfüggvény)

belsõ ÁLLAPOT (idõfüggvény)

. . .

KIMENET y(t) (idõfüggvény)

IDŐBEN és (térben) lejátszódó FOLYAMATOK

& = F (X,U) X

ÁLLAPOT ÁTMENETI FÜGGVÉNY

Y = G (X,U) KIMENETI FÜGGVÉNY (mérés) differenciális leírás (DAE) integrális leírás (integrál egyenlet)

KERET LEÍRÁS (definitív jelleg !)

z

Az állapottér leírás szemléltetése

- 1.24 -

1.4. Rendszertulajdonságok a rendszeranalízis tárgya STRUKTÚRA Minőségi változók részhalmaza STABILITÁS (Robosztusság)

STABILIS t R u(t)

y(t)

Kis változtatás (INGER)

VÁLASZ

INSTABIL

MEGFIGYELHETŐSÉG

u(t)

y(t) x(0) ⇑

IRÁNYÍTHATÓSÁG

Létezik-e olyan bemenet, amely a rendszert specifikált állapotba viszi vagy olyan bemenet, amely a rendszeren specifikált kimenetet ad ? (véges időintervallum)

- 2.1 -

2. RENDSZERMODELLEK

Különböző mérnöki szakterület: KÖZÖS NYELV

Definitív jelleg (verbális, formális) Konstruktivitás (→ formalizálás) Széles spektrum (sokféle modelltípus) Széleskörű alkalmazhatóság (minden leírható !) Kölcsönös átalakíthatóság (nem minden szempont szerint egyértelmű!) Modell -

verbális (leírás szöveggel ) formális ( → matematikai modell / változók

\ összefüggések)

2.1. Csoportosítás (osztályok) Csoportosítási szempont 1. Modellezési filozófia (megközelítés)

Rendszermodell típusok

A priori (fehér doboz, elméleti modell)

A posteriori (fekete doboz, kísérleti modell)

Kísérlettervezés

Adatmodellek

Determinisztikus

Sztochasztikus

Fuzzy

Minőségi

3. Rendszertechnika

Bemenet-kimenet modell (BKM)

Állapottér - modell (ÁTM)

Konvolúciós - modell

Neurális - hálózat (NH)

4. Térbeli homogenitás

Koncentrált paraméterű modell

Elosztott paraméretű modell

2. A változók,

Jelmodellek (jelanalízis)

összefüggések típusa

5. Időbeli homogenitás

Genetikus modell

Inhomogén (diszkrét idejű események)

(homogén)

Absztrakt automaták

6. Időbeli összefüggés

(Időben)Folytonos

(Időben) Diszkrét

7. Időbeli viselkedés

Statikus

Dinamikus

8. Vizsgálati tartomány

Időtartomány

Transzformált tartomány → (ÁTVITELI FÜGGVÉNY)

9. Matematikai sajátosság

Lineáris

Nem lineáris

→

Petri-hálók

Vezérlő tábla

Létra diagram

Instacioner

Kvázistacioner

Stacioner

Differenciál illetve Laplace illetve Zdifferencia - operátor transzformált

Fouriertranszformált

- 2.3 -

2.2. Összehasonlítások

Az a priori illetve a posteriori modellek kapcsolata A priori : •

visszatükrözi a modellezett objektum (belső) struktúráját,

•

a változói fizikai értelemmel bírnak ill. az összefüggései fizikai kémiai törvényszerűségből adódnak

más elnevezés: • • •

fehér doboz (white box) elméleti modell (first principle model, realistic model) rigorózus modell, stb

A VEGYÉSZMÉRNÖK szemléletét az ilyen jellegű modell használata jellemzi!

modell M= < v, f >

/ \ fizikai értelműek

fizikai-kémiai törvényszerűségek

- 2.4 -

A posteriori : •

az objektum belső struktúrájára nincs semmiféle információ,

•

csak az úgynevezett bemeneti és kimeneti változóknak van fizikai értelme illetve az összefüggések csupán az összetartozó bemenet - kimenet értékeket tükrözik vissza

más elnevezés: •

fekete doboz (black box),

•

kísérleti modell, stb

A VILLAMOSMÉRNÖK (CONTROL ENGINEER) szemléletét az ilyen jellegű modellek használata jellemzi!

f:

U ∪ P ∩ paraméter

(X) (állapot)

→

Y

fizikai értelme nincs Tételezett (LEGYEN !, leginkább lineáris) összefüggés

- 2.5 -

MILYEN MÉRTÉKBEN TÜKRÖZIK A VALÓSÁGOT ?

A MODELL

JÓSÁGA (PONTOSSÁGA) ADEKVÁTSÁGA VALIDÁLÁSA

A priori : •

minél inkább részleteiben tükrözi a valóságot, annál bonyolultabb (,de nem biztos, hogy pontosabb is!),

•

pontos paraméterek kellenek (irodalmi adatok vagy "illesztés" a mérési adatokhoz)

•

információátvitel lehetséges !

A posteriori : • csak

az input-output adatok mérésével együtt használható

• információátvitel

• MÉRÉS

nem lehetséges !,

- IDENTIFIKÁLÁS (struktúra ill. modell paraméter)

A két modell kapcsolata: a fizikai értelemmel nem bíró változók értelmezése az a priori modell alapján. SZÜRKE DOBOZ (gray box)

- 2.6 -

Extrapoláció képesség[3]

PRATER-elv [3]

∞

- 2.7 -

A determinisztikus és sztochasztikus modellek összehasonlítása

DETERMINISZTIKUS

SZTOCHASZTIKUS

Statisztikus sokaság : 1. Egy realizáció különböző időpontbeli értékei 2. Ugyanazon időpontnál a különböző realizációk értékei

- 2.8 -

Fuzzy modellek

fuzzy halmazelmélet - ZADEH [4]

" ... a rendszerelemzés hagyományos mennyiségi módszerei ... alkalmatlanok a humán vagy bármely olyan rendszer vizsgálatára, amelynek komplexitása összehasonlítható a humán rendszerekével."

Az összeférhetetlenség elve

"... minél inkább növekszik egy rendszer komplexitása, annál jobban csökken az a képességünk, hogy annak viselkedéséről pontos és lényeges megállapításokat tegyünk ... elérünk egy olyan küszöböt, amelyen túl a pontosság és a fontosság egymást majdnem kölcsönösen kizáró tulajdonsággá válnak."

"... olyan módszerekre van szükség, amelyek nem bálványozzák a pontosságot, a merevséget és a matematikai formalizmust, hanem ... olyan módszertani kereteket alkalmaznak, amelyek elbírják a pontatlanságot és a részigazságokat."

- 2.9 -

Elemek :

1. Úgynevezett nyelvi változók használata numerikus változók helyett, illetve azokkal együtt az információtömörítő képesség alapvető szerepet játszik a komplex jelenségek jellemzésében

2. Változók közötti egyszerű összefüggések jellemzésére életlen (fuzzy) feltételes állításokkal ha x=5, akkor y=10 helyett ha x kicsi, akkor y nagyon nagy formula

3. Komplex összefüggések jellemzése életlen algoritmusokkal növeljük x-et nagyon kicsit, ha y nem nagyon nagy és nem nagyon kicsi

Kapcsolat a nem fuzzy rendszerrel: "fuzzyfikálás" "defuzzyfikálás"

- 2.10 -

Térbeli homogenitás

- 2.11 -

Időbeli viselkedés

Objektum RENDSZER

DINAMIKUS

STATIKUS (idõtõl független)

INSTACIONER ÁLLAPOT (dinamikus)

KVÁZISTACIONER ÁLLAPOT

STACIONER ÁLLAPOT bemenet idõben állandosult ha t

∞

az

(állapot és) kimenet is állandósul (stabil rendszer)

az idõben lassan változó (állapot, és) kimenet, az aktuális bemenethez tartozó stacioner (állapot, és) kimenet sorozatával egyenlõ

- 2.12 -

Példa: A priori modellalkotás (üstreaktor modellezése) PFD (Process Flow Diagram)

A reagens TW

TC

Hûtõ víz

B reagens

LC

C termék

Matematikai modell : M = < v, f > Struktúra

REAKCIÓ: A + B → C

- 2.13 -

Változók:

Rendszer és környezet kapcsolata (extenzív mennyiségek áramai)

bemenet: A reagens árama: BA

BA

BA C A ,be

C A,be

( )

BA ρc p

A TA

TA

B reagens árama: BB , C B, be , TB hűtőközeg áram: BH , TH , be

kimenet:

termék áram: B, CA , C B , CC , T hűtőközeg áram: BH , TH

rendszer (állapot) (extenzív mennyiség (térbeli eloszlása)) tökéletesen kevert - a tér homogén reakció elegy: V V

VC A VC B VCC Vρc pT hűtőközeg:

VH VH ( ρc p ) H TH

CA CB CC T VH TH

- 2.14 -

Mérlegkészítés az extenzív mennyiségekre (reakció elegy)

J E L E N S É G (f o l y a m a t ) Extenzív mennyiség Térfogat

A betáplálás BA

BB

A komponens tömeg

BACA,be

B komponens tömeg

-

C komponens tömeg Hő (Entalpia)

B betáplálás

-

BBCB,be -

BA(rcp)ATA

BB(rcp)BTB

Elvétel

Reakció

Hőátadás

-B

0

-

-BCA

-Vr

-

- BCB -BCC - BrcpT

-Vr Vr (DH)Vr

-aF(T-TH)

/r = kCACB reakció sebesség B komponens tömeg - Elvétel

Sebesség :

d( VC B ) = − BC B dt

Dekompozíció → szuperpozíció !

- 2.15 -

Mérlegek:

dV = BA + B B − B dt

d ( VC A ) = BA C A ,be − BC A − Vr dt

d ( VC B ) = BBC B,be − BC B − Vr dt

d ( VC C ) = − BC C + Vr dt

Vρc p

( )

( )

dT = BA ρc p A TA + BB ρc p dt + ( − ∆H ) Vr − αF(T − TH )

( )

VH ρc p

H

dTH = B H ρc p dt

( ) (T H

H ,be

B TB

( )

− B ρc p T +

− TH ) + αF(T − TH )

t = 0, V, C A , C B , C C , T, TH adott értékek

- 2.16 -

KALMAN - féle rendszerként

[

u = BA , C A ,be , TA , B B , C B,be , TB , B H , TH ,be

]

bemenet - a környezet hatása a reaktorra

y = [ B,C A , C B , C C , T,B H , TH ] kimenet - a reaktor hatása a környezetre

x = [ V, C A , C B , C C , T,TH ] állapot - a bemeneten kívül ez determinálja a kimenetet

Többi változó - PARAMÉTER (p)

(

)

dx dt = f x, u, p t = 0, x( 0) adott

állapot-átmeneti függvény

y = g( x, u)

kimeneti függvény

- 2.17 -

SZIMULÁCIÓ(s algoritmusok) Dinamikus (instacioner)

Adott: u (t) x (0) p

Számítható: x(t) y(t)

Stacioner (flow sheeting)

Adott : u p

számítandó : y

- 2.18 -

2.3. Definíciók, alkalmazások 2.3.1. Absztrakt automaták (véges állapotú rendszerek)

a relációs rendszer konkretizálása (állapottér rendszer)

Definíció:

M ∆ 〈 U,Y,S, f , g〉 , ahol: U = {α1,α2,.....,αp} nem üres, véges halmaz, az M bemeneti abc-je; αi ∈ U bemeneti szimbólum, Y = {β1,β2,.....,βq} nem üres, véges halmaz, az M kimeneti abc-je; β i ∈ Y kimeneti szimbólum, S = {δ1,δ2,.....,δn}nem üres, véges halmaz, az M állapot halmaza; δi ∈ S állapot, f : S x U → S állapotátmeneti függvény, g : S x U → Y kimeneti függvény.

- 2.19 -

Néhány típus: TURING-gép (lásd később!) MEALY - automata: absztrakt, determinisztikus automata MOORE - automata: g(s,u) ≡ h(f(s,u)) LETISEVSZKIJ - automata : S ≡ Y Teljes VR: f és g

(

)

∀ δi , α j ∈ S x U -ra

Determinisztikus VR : f és g egyértékű REPREZENTÁCIÓ:

A., Felsorolás, . . . f: (δ i,α j) → δ k . . . . . . g: (δ i,αj) → β1 . .

- 2.20 -

B., Átviteli táblázat S \ U α1 α2 ... αp δ1 δ2 . S értékei . . δn

α1

α2 ... αp

Y értékei

C., Állapot gráf

Realizáció : bináris hálózattal

k ' ∆ log 2 k ,

/ k ∈{p, q , n}

(szekvenciális logikai hálózat)

- 2.21 -

Példa: S (t+1) s(t) \ u(t) 00 01 10 11

0 00 00 01 11

1 00 00 00 00

y(t) 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1

- 2.22 -

Példa: Szakaszos reaktor vezérlése (Sequence Control)

T

F

L L2

L betáplálás 1

betáplálás 2

P

kondenzátor

reagens és oldószer tartályok

hûtõvíz

vákum

V2 CV

L

Tank 1

L

T1

T

P1

T L

Tank 2

T

T

L

termék

Autoklav

fûtõ - hûtõ közeg

L

Tank 3 fûtõ - hûtõ közeg

L

Tank 4

L

Tank 5

L

termék és oldószer tartályok

Receptúra (részlet) • • •

i lépés: reagens adagolás ha L2 szintjelző jelez állítsd le a P1 szivattyút, nyisd ki a V2 csapot és a CV szelepet, indítsd el az M motort (i+1) lépés: reagáltatás ha a T1 hőmérséklet eléri a 80 °C-ot fejezd be a reagens adagolását és kevertesd 1 órán keresztül • • •

Tank 6

- 2.23 -

- 2.24 -

Az absztrakt automata inputja U={..., L2, T1, órajel,...}

a technológia mérőműszereinek jelei illetve az időzítést vezérlő órajel outputja Y= {..., P1, V2, CV, M,....}

a technológia beavatkozó szervei ⎧0 ha a sz int mérõ nem jelez

L2 = ⎨ ⎩1 ha jelez

⎧0 ha a mért hõmérséklet kisebb min t 80 C

T1 = ⎨ ⎩1 ha egyenlõ vagy nagyobb • • •

⎧0 ha a szelep zárva

CV = ⎨ ⎩1 ha nyitva

⎧0 ha a motor áll

M= ⎨ ⎩1 habekapcsolt állapotban van • • •

állapothalmaza

S = {..., adagolás, reagáltatás, ...} a receptúra lépései

- 2.25 -

állapot-átmeneti gráfja (részlet):

{..,1,0,0,..}

REAGÁL-

{...,0,1,0,...}

ADAGOLÁS

{...,0,1,1,1,..}

{...,0,0,1,...}

TATÁS

{..,0,0,0,1,..}

..........

Ugyanezen feladat megoldása vezérlőtáblával

...

I3

I4

I5

...

..

O3

O4

O5

O6

...

then

else

...

...

...

...

...

...

..

...

...

...

...

...

5

4

5

...

1

0

0

...

...

0

1

1

1

...

6

5

6

...

0

1

0

...

...

0

0

0

1

...

7

6

...

...

0

0

1

...

...

...

...

...

...

...

...

...

létradiagrammal

03

I3

O4

I4

O5

I5 O6

(lásd még PETRI-HÁLÓ!)

- 2.26 -

Az absztrakt automaták tulajdonságai

1. Izomorfia

legyen:

M i ∆ U i , Yi , Si , fi , g i , / i ∈ P2 M1 és M2 kompatibilis /U1=U2=U azonos bemenetek S1 ↔S2 bijektív megfeleltetés ha δ1 ↔δ2

/ δ1 ∈ S1 , δ2 ∈ S2

akkor f1(δ1,αi) ↔f2(δ2,αi) és g1(δ1,αi) = g2(δ2,αi) ∀αi ∈ U − ra. Izomorf rendszerek - az állapotok különböző jelöléseitől eltekintve - azonosak. 2. Összefüggés

M δi állapotra összefüggő, ha ∀δ j ∈ S állapot δi -ből véges hosszúságú bemeneti sorozattal elérhető (önmagát zérus hosszúságúval) M szigorúan összefüggő, ha ∀δ j ∈ S állapotára összefüggő. (Tétel: s(S)=n, (n-1)-nél nem hosszabb sorozat)

- 2.27 -

3. Állapot ekvivalencia

Kiterjesztett karakterisztikus függvények: F(δ i,u)

állapot függvény (“integrális” forma)

G(δi,u)

kimenet függvény

ahol u

bemeneti sorozat (lásd szegmens)

δi

kezdő állapot

legyen Uk = {u

Mi ,

/ u legfeljebb k hosszúságú}

/ i ∈ P2 kompatibilisek δi ∈ S1

M2 ha G1(δ i, u ) = G2(δ j, u ) ∀ u ∈ Uk-ra M1

k-ekvivalens

δ j ∈ S2 -vel,

egyébként k - megkülönböztethetők Ha k tetszőleges ⇒ δi és δ j ekvivalens (ekkor külső megfigyeléssel nem dönthető el, hogy δi állapotú M1 vagy δ j állapotú M2 )

- 2.28 -

4. Ekvivalens partíció

M1 és M2 kompatibilis, S1 ∩ S2 = 0 , S = S1 ∪ S2 πk k - ekvivalens partíció: S osztályozása a k-ekvivalencia alapján. π ekvivalencia partíció Tétel: Ha π r az első, amelyre π r −1 = π r , akkor π r −1 = π , r ≤ s ( S) Példa [7]:

U = {0,1, 2} S= {1, 2,..., 9} Y = {0,1}

π 1 = {1, 3, 5, 7, 8}, {2, 4, 6, 9}, π 2 = {1, 3, 5, 7, 8}, {2, 4, 6}, {9}, π 3 = {1, 3, 5, 7, 8}, {2, 4}, {6}, {9}, π 4 = {1, 3, 8}, {2, 4}, {5, 7}, {6}, {9}, π4 = π5 = π

- 2.29 -

5. Rendszerek ekvivalenciája

M1 és M2 kompatibilis M1 ≈ M2 ekvivalens, ha ∀δi ∈ S1-nek van legalább egy δ j ∈ S2 ekvivalens állapota és

∀δ j ∈ S2 -nek van legalább egy δi ∈ S1 ekvivalens állapota. Ha M1 ≈ M2 ⇔ külső megfigyeléssel a két gép nem megkülönböztethető izomorfia ⇒ ekvivalencia 6. Minimál alak

M=< U, Y, S, f, g > ekvivalencia osztályai legyenek C1, C2,....,Cm

minimál alak

( ( ( ( M ∆ U ,Y , S , f , g ,

ahol Ha

{∑ , ∑ ,..., ∑ }, C ← ∑ ( f (δ ,α ) ∈ C ⇒ f ( ∑ ,α ) = ∑ , ( S= i

(

1

j

2

k

m

i

1

j

k

1

,..., Cm ← ∑ m megfeleltetés / δi ∈ Ci

)

Ha g δ i , α j = βk ⇒ g((∑ i , α j ) = βk ,

∀δi ∈ Ci -re és ∀Ci ∈ {C1,..., C m} -re.

- 2.30 -

( M tulajdonságai:

1. Egyértelműen szerkeszthető M-ből (

2. M -ben nincs két ekvivalens állapot (

3. M ≈M (

4. az M-mel ekvivalens gépek közül M -nek minimális az állapot száma.

Példa[7]: az előző minimál alakja

- 2.31 -

7. Memória

Egy M véges memóriájú, ha kimenete felírható az alábbi módon: y( t ) = g( u( t ) , u( t − 1) ,..., u( t − µ ) , y( t − 1) , y( t − 2) ,..., y( t − µ ) ) ahol µ rögzített szám, t a diszkrét időpontokban mért idő,

µ az M memóriája, ha teljesül az alábbi: y( t ) ≠ ~ g ( u( t ) ,..., u( t − µ + 1) , y( t − 1) ,..., y( t − µ + 1) ).

A memória fogalma "végtelen" állapotú rendszereknél is konstruktívan használható ! (lásd tartózkodási idő) 8. Automaták összege

M i ∆ U, Yi , Si , fi , g i kompatibilis automaták összege:

M1 + M 2 ∆ U, Y1 ∪ Y2 , S1 ∪ S2 , f , g , ahol

S1 ∩ S2 = 0 és

∀α i ∈ U -ra:

( ) f k ( δ j , α i ), g(δ j , α i ) g k (δ j , α i ) f δ j,αi

∆

∆

⎧1, ha δ j ∈S1

/k = ⎨ ⎩2 , ha δ j ∈S2 M1+M2 gráfja: M1 és M2 gráfjainak egyesítése

/ i ∈ P2

- 2.32 -

9. Kísérletek

{u r,y r} → M struktúrája A. Előre determinált kísérlet: ur adott. B. ρ - iterációs indexű adaptív kísérlet: ρ számú részsorozatnál mindegyiket az előző sorozat alapján határozzuk meg. C. Egyszeres kísérlet: egy M D. ξ multiplicitású többszörös kísérlet: ξ számú izomorf automata (azonos kezdeti állapottal) A kísérlet hossza: a bemeneti jelek száma. A kísérlet realizálható, ha véges hosszúságú. TURING gép [8]

Automata:

- 2.33 -

Definíció:

T ∆ A , S, γ , ξ, δ ahol A = {γ0,γ1,....,γ m} szalag jelek véges halmaza (input, output), S = {δ0,δ1,....,δ n} állapotok véges halmaza, γ: S x A →S

állapotátmeneti függvény

ξ: S x A →A

kimeneti függvény

δ: Sx A →{balra, jobbra, állj} léptető függvény A T gyakran hatékonyabb M-nél, de az M feladatát mindig képes elvégezni: Bizonyítás:

A ∆ U ∪ Y ∪ {0} γ(δ i,αj) = f(δ i,αj), γ(δi,0) = δ i ε(δi,αj) = g(δi,α j), γ(δi,0) = 0 δ(δ i,αj) = jobbra, δ(δi,0) = állj Algoritmus elmélet:

Minden algoritmus megadható Turing függvény séma alakjában és megvalósítható Turing-géppel (TURING, CHURCH).

- 2.34 -

2.3.2. Bemenet - kimenet modellek

Bemenet

FEKETE DOBOZ

u(t)

Kimenet y(t)

Fizikai értelemmel bíró változók (mért illetve mérhetõ)

SISO

egy bemenet - egy kimenet

MIMO több bemenet - több kimenet Definíció :

dny d n−1y d mu d m−1u a 0 n + a 1 n−1 +.... a n y = b 0 m + b1 m−1 +...+ b m u (+ bias) dt dt dt dt ↑ lineáris összefüggés

n

m

inhomogenitás

i

dy du = b ∑ dt i i=0 m−i dt i ⇑ ↑

∑ a n− i

i=0

i

n-rendű GERJESZTÉS RENDSZER output input

homogén lineáris (stacionertől való eltérés)

- 2.35 -

VÁLTOZÓK :

u(t), y(t), t bemenet, kimenet, idő

PARAMÉTEREK:

n rendűség m≤ n a 0 ( = 1), a1 ,..., a n b0 , b1 ,...., bm

Funkcionális leírás : bemenet

kimenet RENDSZER

u(t)

y(t)

u (t) változik (a környezet determinálja), hogyan változik y(t) (a vizsgált rendszer determinálja) ?

Vizsgáló jelek (gerjesztés) DIRAC - delta (disztribúció elmélet) K (t)

~~

⎧∞ ,ha t = 0

δ(t) = ⎨ ⎩0 egyébként ∞

0

t

"injektálás"

és ∫ δ (t) dt = 1 0

- 2.36 -

HEAVISIDE-függvény (egységugrás) ⎧1 ha t ≥ 0 h(t)= ⎨ ⎩0 egyébként

h(t)

t

h(t)= ∫ δ (τ )dτ

1

0

δ (t ) = 0

TRIGONOMETRIKUS

SZTOCHASZTIKUS

t

dh ( t ) dt

- 2.37 -

Példák: Elsőrendű

dy + a1y = b0u dt

n =1 m=0

Másodrendű

n=2

dy d2y + a1 + a 2 y = b0u 2 dt dt

m=0

Integráló

dy = b0u dt

n =1 m=0

t

y = b 0 ∫ u ( τ ) dτ + y ( o )

a1 = 0

0

u=K(t)

u=h(t)

y(t)

y(t)

t

t

- 2.38 -

Általánosítás:

önbeálló

integráló

0-ad rendû (arányos), elsõrendû, másodrendû, Példa: A másodrendű rendszer vizsgálata.

Speciális alak:

d2y dy τ + 2 ξτ + y = Kpu dt 2 dt 2

τ periódus idő ξ csillapítási tényező Kp erősítési tényező

Egységugrás bemenetre adott válasz

- 2.39 -

Analitikus megoldás:

ξ 〉1

t ⎡ −ξ ⎛ t⎞ t ⎞⎞ ⎤ ⎛ ⎛ τ y( t ) = K p ⎢1 − e ⎜ cosh⎜ ξ 2 − 1 ⎟ + sinh⎜ ξ 2 − 1 ⎟ ⎟ ⎥ ⎝ ⎝ ⎝ τ⎠ τ⎠ ⎠ ⎦ ⎣ eα − e − α eα + e − α / sinh α = , cosh = 2 2

ξ =1 t ⎡ ⎛ t ⎞ −τ ⎤ y( t ) = K p ⎢1 − ⎜ 1 + ⎟ e ⎥ ⎣ ⎝ τ⎠ ⎦

ξ〈1 t ⎡ ⎤ −ξ 1 τ + Φ y( t ) = K p ⎢1 − e sin t ω ( )⎥ 2 − 1 ξ ⎢⎣ ⎥⎦

⎡ 1 − ξ2 ⎤ 1 − ξ2 /ω = , Φ = arctg ⎢ ⎥ τ ξ ⎥⎦ ⎢⎣ HOLTIDŐS RENDSZEREK

leírás:

d i u( t −TH ) d i y( t ) m = ∑ bm− i ∑ a n−i i dt dt i i=0 i=0 n

- 2.40 -

NEM - MINIMÁL FÁZISÚ RENDSZEREK (fordított válaszú - inverse response system)

A reagens TW

Hûtõ víz

TC

B reagens

LC

C termék

- 2.41 -

2.3.3. Állapottér modellek (ÁTM)

KALMAN-féle rendszer definíció

•

x = F ( x,u )

állapot-átmeneti függvény

y = G ( x, u)

kimeneti függvény

−

MIMO rendszerek

"belső " struktúráltság x állapot nincs fizikai értelme !

- 2.42 -

Lineáris ÁTM

x& = Ax + Bu y = Cx + Du

u = [ u1, u2 ,..., u m] x = [ x1, x2 ,..., x n ]

[

T

T

] A = [ a ij] n, n B = [ bij] n, m C = [ cij] p, n D = [ d ij] p, m

y = y1, y2 ,..., y p

T

bemeneti vektor állapot vektor kimeneti vektor rendszer mátrix bemeneti mátrix kimeneti mátrix előrecsatolási (feed forward) mátrix

A( t ) , B( t ) , C( t ) , D( t ) időben változó együtthatós

A, B, C, D

konstans együtthatós

- 2.43 -

A bemenet - kimenet modell átalakítása ÁTM -lé n

∑a i=0

n−i

diy m diu b = − ∑ m i dt i i =0 dt i (a0=1, m=n)

•

x = A x + Bu −

y = Cx + Du Első kanonikus forma ⎡ −a1 1 ⎢−a 1 0 ⎢ 2 . ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎢ . . ⎢ 1 A = ⎢ −a i ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ . 0 ⎢ ⎢ . ⎢−a ⎣ n

C = [1, 0,...,0] , D = b

0

. . .

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1⎥ 0⎥⎦

⎡ b1 − a 1 b 0 ⎤ ⎢b − a b ⎥ 2 0⎥ ⎢ 2 ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ B= ⎢ ⎥ b a b − i 0 ⎥ ⎢ i ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ b n − a n b 0 ⎥⎦

- 2.44 -

Bizonyítás:

y

( n)

= − a 1y t

t

0

0

∫ ...∫

( n− 1)

− a2y

( n− 2)

− ...− a n y + b 0 u

( n)

+ b1 u

1

1

n

y−...−a n ∫ ... ∫ 1

n

y + b1 ∫ u+...+b n ∫1... ∫nu

•

x 1 = −a1y−a2 ∫ y −...−a n ∫ ... ∫ 1

n −1

y +b1u+...b n ∫ ... ∫ u ≡ 1

n −1

≡ −a1y + b1u + x2 ≡ −a1x1 + x2 + (b1 − a1b0)u

/ x2 = ...... . . . •

x i = −ai y +biu + xi+1 ≡ −a ix1 + xi+1 + (bi − a ib0)u . . . •

+ ...+ b n u

n-szer integrálva

y = −a1 ∫ y−...−a n ∫ ... ∫ y + b0u + b1 ∫ u+...+b n ∫ ... ∫ /x = −a1 ∫

( n− 1)

x n = −any + bnu = −anx1 + (bn − anb0)u

n

u≡ x1 + b0u

- 2.45 -

2. Kanonikus alak (phase variable form)

1 0 ⎡0 ⎢. . ⎢ ⎢. . ⎢ 0 0 . 1 0 A = ⎢ ⎢. . ⎢ . ⎢. ⎢ 0 1 ⎢ ⎢⎣− an − an − 1 . . − ai . . − a1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ , B= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎡ 0⎤ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦

C = [(b n −a n b 0 ),...,(b i −a i b 0 ),...,(b 1 − a 1 b 0 )] D = [b 0 ]

- 2.46 -

Reguláris transzformáció

x = L ⋅ z → z = L −1 ⋅ x • • x = A x + B u → z = L −1 A L z + − − ~ −1 A = L A L az új rendszermátrix

L

−1

Bu

A és A~ sajátértékei megegyeznek ! λ E − A = 0 → λ1 , λ 2 ,..., λ i ,..., λ n Gyakran előnyös alak: átlós mátrix !

⎡λ1 ⎢ ⎢ . ⎢ . ~ ⎢ λi A=⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 . .

λn

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

minden λ i egyszeres gyök!

Átalakítás: L = [m1 m2...mn]

m

i

saját vektor → (λ i E − A )m i = 0

Fázisváltós alak átalakítása : VANDERMONDE- mátrix

L=

⎡1 ⎢λ ⎢ 1 ⎢λ12 ⎢ ⎢. ⎢. ⎢ ⎢⎣λ1n −1

1 . . .

1

λ2

λn

λ22

λn2

.

.

.

.

λ2n −1

λnn −1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

- 2.47 -

JORDAN- féle kanonikus alak

A többszörös sajátérték, de szimmetrikus és valós, kvázi átlós mátrix J=L AL −1

Jordan-féle kanonikus alak tulajdonságai 1. A főátlóban a sajátértékek szerepelnek 2. A főátló alatti elemek zérusok 3. A főátló többszörös sajátértékei felett egyesek helyezkednek el 4. Az egyesek a sajátértékekkel együtt tipikus ún.elemi Jordan-mátrixokat alkotnak 5. Ha az A nem szimmetrikus és többszörös sajátértékei vannak, akkor a sajátvektorai lineárisan nem függetlenek ( r < n lineárisan független sajátvektor) 6. Az elemi Jordan mátrixok száma r 7. A főátló felett n-r számú egyes van ⎡λ ⎢ 1 ⎢0 ⎢ J = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

1

0

0

λ1

1

0

0

λ1

0

0

0

λ2

0

0

0

⎤ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ λ3 ⎥⎦

- 2.48 -

Az ÁTM átalakítása BKM-lé

Adott: •

x = A x + Bu −

y=Cx+Du / A = ai j

n,n

a BKM legyen:

di y n diu a n −i i = ∑ b n −i i , / a 0 = 1 ∑ dt dt i =1 i =1 (meghatározandók a paraméterei!) n

Az ehhez tartozó 1. kanonikus forma: •

x1 = A 1 x 1 + B 1 u −

y = C1 x1 + D1 u

⎡ − a1 ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ −a i A1 = ⎢ ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ ⎢ ⎣−a n

1

0 . .

0

.

1 .

0

. 0 0

C1 = [1 0 . . . 0], D1 = b 0

⎤ ⎡ b1 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ 0⎥ ⎢ , B1 = ⎢ b i ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . 1⎥ ⎢⎣ b n ⎥ 0⎦

− a 1b 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − a i b 0 ⎥, ⎥ ⎥ ⎥ − a n b 0 ⎥⎦

- 2.49 -

legyen

x = L x1 L−1 A L = A1

ekkor:

C L = C1

L−1 B = B1 D = D1 Átalakítás

A L = L A1

⎡ E⎤ A[ l 1 l 2 .... l n ] = L ⎢−a ⎥ ⎣ O⎦ ahol

[

l i = l 1 i l 2 i .... l n i a = [ a1 a 2 .... a n ] E

]

T

T

( n − 1) × ( n − 1) méretű egység mátrix

O = [ 0.......0] Az a meghatározása

A l 1 = −L a

(n-1) elemű zérus sorvektor (L függvényében)

⇒ a = − L −1 A l 1

/ L (ezen belül l 1 ) meghatározását lásd később !

- 2.50 -

A BKM további paraméterei:

b0 = D

(

b = [ b1 b 2 .... b n ] = L−1 B + a b 0 = L−1 B − A l 1 b 0 T

Az L meghatározása:

A [ l 2 l 3... l n ] = [ l 1 l 2 ... l n −1] rekurzív összefüggés:

l i = A l i +1

, i = 1,...., n − 1

további összefüggés:

C [ l 1 l 2 .... l n ] = [1 0.....0] ⎡ C A n −1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎢0⎥ n−2 ⎥ C A ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ln=⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ C A ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢ C ⎥ ⎢⎣0⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎡ CA n −1 ⎤ ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ln = . ⎥ ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ C ⎥ ⎣ ⎦

−1

∗

⎡1⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎢⎣0⎥⎦

)

- 2.51 -

2.3.4. (Időben) Folytonos és diszkrét rendszerek

KAPCSOLAT: t = k To ,

To mintavételezési idő (esetleg h)

⎡t⎤ k = ent ⎢ ⎥ ⎣T ⎦

NEM EGY-EGYértelmű! Jelölés:

x(t) = x(kT0)( ≡ x(k) ≡ x k)

- 2.52 -

ÁTALAKÍTÁSOK

F O L Y T

Mintavételezés (SHANNON) Diszkretizálás (különbözõ közelítés)

O N O S

Shannon-féle rekonstrukció Tartószerv (0-ad rendû, elsõrendû,..) Approximáció (Spline)

Két különböző frekvenciájú (0.1 Hz, 0.9 Hz) jelet mintavételezve ugyanazt a diszkrét jelet kaphatjuk!

D I S Z K R É T

- 2.53 -

MINTAVÉTELEZÉS

Fourier-sor a *0 ∞ * f ( t ) = + ∑[ a k cos( kωt ) + b*k sin( kωt )] 2 k =1 ω=

ak∗ =

bk∗ =

2π ⎛ − T T⎞ , t ∈⎜ , ⎟ ⎝ 2 2⎠ T 2 T

2 T

T 2

∫ f ( t ) cos( kωt )dt

−T 2

T 2

∫ f (t ) sin(kωt )dt

−T 2

SHANNON-féle mintavételezési szabály: Átvitel:

ω′ ∈ [ 0, ω0 ] ↑ maximális frekvencia

mintavételezési frekvencia:

ω s 〉 2ω 0

mintavételezési idő: T0 =

2π ωs

- 2.54 -

Differenciálás a kezdőpontban (mintavételezési idő h) [9]

Differenciálás a középpontban [9]

- 2.55 -

SHANNON- féle rekonstrukció

INTERPOLÁCIÓ szükséges!

f ( t) =

∞

∑ f ( kT0 )

k =−∞

sin[ωs ( t − kT0 ) / 2] ωs ( t − kT0 ) / 2

/ ωs =

2π T0

- 2.56 -

Tartószerv

0-ad rendű (zero order hold, ZOH)

f(t) = f(kTo), ha t ∈ [ kT 0,(k+1)T0) becsült maximális hiba: df e ZOH = max fk +1 − fk ≤ T0 max ( t ) t dt k

Elsőrendű tartó (FOH)

f(t) = f k +

e FOH

fk − fk − 1 (t − kT0), To

t ∈ [ kT0,(k+1)T0)

becsült maximális hiba: f −f d2f = max max f ( t ) − fk − k k −1 ( t − kT0 ) ≤ T02 max 2 T0 t t dt k

(mérési hiba!)

- 2.57 -

Példa:

Alakítsuk át az időben folytonos dy2 dy + 3 + 0.5y = 12 u 2 dt dt bemenet- kimenet modellt (BKM) időben diszkrét modellé: közelítés - többértelműség ! y k + 1 − 2 y k + yk − 1 y −y + 3 k + 1 k − 1 + 0.5yk = 12 uk , 2 T0 2 T0

(1+ 15. T ) y 0

k +1

− ( 2 − 0.5T02 ) yk + (1− 15 . T0 ) yk − 1 = 12 T02 uk ,

2 − 0.5T02 1− 15 . T0 12 T02 yk + 1 − y + y = u , 1+ 15 . T0 k 1+ 15 . T0 k − 1 1+ 15 . T0 k

időben eltolva: y k + a1y k− 1 + a 2 y k− 2 = b1u k− 1

2 − 0.5 T02 / a1 = − ,.... 1+ 1.5 T0 ÁLTALÁNOSÍTÁS (differencia - egyenlet): n

m

i= 0

j= 0

∑ a i yk − i = ∑ b j uk − j

( + bias)

DISZKRÉT (idejű) BEMENET - KIMENET MODELL

- 2.58 -

Diszkrét bemenet - kimenet modell átalakítása DÁTM -lé n

m

i =0

j =0

∑ ai yk −i = ∑ b j uk − j

(a0=1 m=n) x(k + 1) = A x(k) + B u(k) y(k) = C x(k) + D u(k) Első kanonikus forma

⎡ − a1 ⎢−a ⎢ 2 ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ A = ⎢ −a i ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢−a ⎣ n

1 1

0 . . . 1 . . 0

C = [1,0,...,0], D = [ b 0 ]

.

⎤ ⎡ b1 − a1b 0 ⎤ ⎥ ⎢b − a b ⎥ ⎥ 2 0⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢. ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢. ⎥ = , B ⎥ ⎢ ⎥ − b a b 0 i i ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢. ⎥ ⎥ ⎢ 1⎥ − b a b ⎢ ⎦ ⎣ n n 0⎥ 0⎥⎦

- 2.59 -

A kimenet számítása:

FOLYTONOSNÁL: 1. Analitikus megoldás y(t)-re (ha lehetséges !) 2. Numerikus megoldás (DE vagy DER megoldása kezdeti feltételekkel - EULER, RUNGE - KUTTA, stb.) DISZKRÉTNÉL: yk =

n ⎤ 1⎡m ⎢∑ bj uk − j + (bias) − ∑ ai yk − i ⎥ a0 ⎣ j = 0 i =1 ⎦

Vizsgáló jelek:

(DIRAC - δ ) ↓

KRONECKER - delta függvény: ⎧1 ha k = j ⎩0 egyébként

δ j (k ) = ⎨

1 k

Egység impulzus: u(k)=δ o(k)

u(0)=1, u(1)=0,....

k

Egység ugrás:

∞

u( k ) = ∑ Kj ( k ) j= 0

u(0)=1, u(1)=1,....

- 2.60 -

2.3.5. Idő versus transzformált tartomány IDÕTARTOMÁNY diszkrét

folytonos

Differenciálegyenlet-rendszer (DER) Közönséges ( koncentrált paraméterû )

Differenciaegyenlet-rendszer

parciális (elosztott paraméterû)

TRANSZFORMÁLT TARTOMÁNY Algebrai egyenletrendszer (AER) folytonos

Differenciál operátor: d p(...) = (...) dt

LAPLACE - transzformált: ∞

L[x(t)] = ∫ x ( t ) e− st dt 0

FOURIER - transzformált: ∞

F[x(t)] = ∫ x ( t ) e− jωt dt 0

diszkrét

Differencia (shift) operátor:

q −1x k = x k −1

Z-transzformált:

−k

Z[ x( kT0 ) ] = ∑ z x k ∞

k =0

- 2.61 -

Differenciál-operátor tulajdonságai

Definíció

p[ x( t)] =

d [ x( t)] dt

Néhány tulajdonság: 1. p

m

[ p ( x)] = p n

m+ n

d n+ m ( x) = n+ m dt

2. p m ( c1x1 + c 2 x 2 ) = c1p m x1 + c 2 p m x 2

[

]

3. ( p + c1 )( p + c 2 ) x = p 2 + ( c1 + c 2 ) p + c1c 2 x

Vigyázat:

p( tx) ≠ tpx ⇒ p( tx) = tpx + x p( x1x 2 ) ≠ x1px 2 ⇒ p( x1x 2 ) = ( px1 ) x 2 + x1( px 2 )

- 2.62 -

Laplace- transzformáció fontosabb szabályai

Tételszám

⎛ f ( t ) = 0⎞ f ( t ); ⎜ ⎟ ⎝ ha t 〈 0 ⎠

1.

⎛ t⎞ f⎜ ⎟ ⎝ a⎠

2. 3. 4. 5.

Hasonlósági tétel

⎛ f (t − a ) = 0,⎞ f(t-a); ⎜ ⎟ ⎝ ha t 〈a ⎠

e− asF( s)

Eltolás az időtartományban

e− at f ( t )

F( s + a )

d f ( t) dt dn f ( t) dt n

sF( s) − f ( 0)

8.

sn F( s) − − sn− 1f ( 0) − ( ) ( ) − sn− 2 f 1 ( 0) − f n− 1 ( 0)

∫ ... ∫ f (t ) (dt )

n

0

t n f ( t ) ( n > 0)

t f ( t ) ( n > 0) −n

s− n F( s)

Integrálási tétel

dn F( s) dsn

∫ ... ∫ F (s) (ds) n

Súlyozás az idő hatványával Súlyozás az idő negatív hatványával

F1( s)

Szuperpozíció az időtartományban

(− 1) n ∞

∞

s

s

t

9.

∫ f (t − ϑ ) f 1

2

(ϑ ) dϑ

0

10.

11. 12.

Csillapítási tétel Differenciálási tételek

t

0

7.

Megjegyzés

a F( as)

t

6.

F( s)

f1( t )

f2 ( t )

1 2π j

F2 ( s) j∞

∫ F1 (s − p) F2 ( p)dp

j∞

f ( 0 + ) = lim f ( t )

f ( 0+ ) = lim sF( s)

f (∞ ) = lim f ( t )

f (∞ ) = lim sF( s)

t→0+

t→∞

s→∞

s→0

(F(s)-nek csak bal oldali pólusa lehet)

Szuperpozíció az operátor tartományban Kezdeti érték tétel Végérték tétel

- 2.63 -

Z-transzformált tulajdonságai Definíció

Z[ f ( kTo) ] =

∞

∑ f ( kTo) z − k (≡ F( z) )

k =0

Tulajdonságok: 1. Linearitás Z[α f + β g] = α Z[ f ] + β Z[g]

2. Időeltolás

[

]

Z q − n f = Z[ f ( k − n) ] = z − n F( z) (right shift - időben vissza) n −1 ⎡ ⎤ Z [ q n f ] = Z [ f ( k + n )] = z n ⎢ F ( z ) − ∑ f ( j ) z − j ⎥ j=0 ⎣ ⎦

(left shift - időben előre) retrográd differencia (backward) Z[ f k − f k −1 ] = 1 − z −1 F( z)

(

)

progresszív differencia (forward) Z[ f k +1 − f k ] = ( z − 1) F( z) − z f ( 0)

- 2.64 -

3. Kezdeti érték tétel lim f ( k ) = lim F( z) k →0 z →∞

4. Végérték tétel lim f(k) = lim (1−z −1 ) F(z) (ha (1−z −1 ) F(z)-nek nincs pólusa az egységsugarú körön kívül !)

5. Konvolúciós tétel ⎡

∞

⎤

Z[f ∗ g] = Z ⎢∑ f ( n ) g ( k − n)⎥ = F ( z)∗ G ( z) ⎣n = 0

6. Összegzési tétel ⎡

k

⎤

z F ( z) ⎦ z−1

Z ⎢∑ f ( j )⎥ = ⎣ j=0

7. Súlyozás ⎛ z⎞ Z [ α k f ( k )] = F ⎜ ⎟ ⎝α⎠

⎦

- 2.65 -

Néhány függvény transzformáltja [11]

Időtartomány Impulzus: δ( t ) = 1 Egységugrás "ramp": f ( t ) = at

f ( t) = t n exponenciális:

f ( t) = e

f ( t) = te −at f ( t ) = sinω t f ( t) = cosω t f ( t) = 1 − e −at

f ( t) = e −at sinω t f ( t ) = e − at cosω t

− at

Laplacetranszformált 1

1 s a s2 n! sn+1 1 s+ a 1 ( s + a) 2 ω s2 + ω2 s s2 + ω2 a s( s + a) ω ( s + a) 2 + ω2 s+ a ( s + a) 2 + ω2

Z-transzformált 1

1 1 − z −1 aTz −1 ( 1 − z −1 ) 2 ( −1) n lim a →0

∂n 1 n ∂ a 1 − e −aT z −1

1 1 − e −aT z −1 Te −aT z −1 (1 − e − aT z −1 ) 2 z −1 sin ωT 1 − 2z −1 cos ωT + z −2 1 − z −1 cos ωT 1 − 2z −1 cos ωT + z −2 (1 − e −aT ) z −1 (1 − z −1 )(1 − e −aT z −1 ) z−1e−aT sin ωT 1 − 2z−1e−aT cosωT + e−2aT z−2 1 − z−1e−aT cosωT 1 − 2z−1e−aT cosωT + e−2aT z−2

- 2.66 -

AZ ÁTVITELI FÜGGVÉNY

n

diy m diu ∑ a i dt i = ∑ bi dt i i =0 i=0

FOLYTONOS u(t)

y(t)

RENDSZER (lineáris)

uk

DISZKRÉT

(zérus kezdeti feltételekkel!)

U(s) -1 U(z )

y T R N S Z F O R M Á C I Ó

m

i=0

i=0

∑ a i y k − i = ∑ bi u k − i

k

⎛n ⎞ ⎛m ⎞ Y( s)⎜ ∑ a i s i ⎟ = U( s)⎜ ∑ b i s i ⎟ ⎝ i= 0 ⎠ ⎝ i= 0 ⎠

Y(s)

B(...) G= A(...)

n

-1 Y(z )

⎛n ⎞ ⎛m ⎞ Y( z -1 )⎜ ∑ a i z -i ⎟ = U( z -1 )⎜ ∑ b i z -i ⎟ ⎝ i=0 ⎠ ⎝ i=0 ⎠

Y(....) = G(....) * U(...)

FOLYTONOS

G(s) =

B ( s) A( s )

ÁTVITELI FÜGGVÉNY polinomok −1

DISZKRÉT

G(z −1 ) =

B (z ) A( z − 1 )

IMPULZUS ÁTVITELI FÜGGVÉNY

- 2.67 -

Pólus helyek (nevező)

A(s) = 0 A(z −1 ) = 0

Megoldások

S1,S2 ,.....,Sn Z1, Z2 ,....., Z n

Megoldások

S1,S2 ,.....,Sm Z1, Z2 ,....., Z m

Zérus helyek (számláló)

B(s) = 0 B(z −1

)

Gyöktényezős forma

(S − S1)(S − S2).....(S − S i)..... (Z − Z1)(Z − Z i).....(Z − Z i).... Résztörtekre való felbontás Összetett rendszer

Y=W a zárt kör átviteli függvénye

- 2.68 -

KAPCSOLATOK (idő és transzformált tartomány) 1. FOLYTONOS RENDSZER (lineáris) OPERÁTOR TARTOMÁNY (Átviteli operátor) AER

p - differenciál operátor IDŐTARTOMÁNY DER

u(t)=δ(t) g(t)=y(t)

FOURIER-traszf. LAPLACE-transzf. u(t)

y(t)

SÚLYFÜGGVÉNY g(t) t

ÁTVITELI s=jϖ FÜGGVÉNY G(s)

df dt

∫ g (τ )dτ 0

ÁTMENETI FÜGGVÉNY f(t)

zérus kezdeti feltételek

u(t)=h(t) f(t)=y(t)

KONVOLÚCIÓS - modell ∞

y ( t ) = ∫ g (τ ) u ( t − τ ) dτ ≡ g(t) ∗ u (t) 0

↓ transzformáció

Y(s)= L [g(t)] * U(s) ≡ G( s) U( s)

FREKVENCIA FÜGGVÉNY f(jϖ) Amplitudó fázis jelleggörbe NIQUIST-diagramm BODE-diagramm NICHOLS-diagramm

u(t)=1 sin ϖ t y(t)=A(ϖ)∗ ∗ sin(ϖt+ϕ(ϖ))

- 2.69 -

2. DISZKRÉT RENDSZER (lineáris)

∞

u k = ∑ δi ( k ) i =0 fk = y k

k

∑g i =0

i

k

f k = ∑ gi i=0

gk = fk − fk −1

átmeneti függvény

súlyfüggvény

- 2.70 -

DISZKRÉT KONVOLÚCIÓS MODELL

∞

k

k

i=0

i= 0

i= 0

y( k ) = ∑ g( i) u( k − i) ≡ ∑ g( i) u( k − i) ≡ ∑ g( k − i) u( i) konvolúciós összeg ha k nő → nagy számú tagból áll ! [0,k]

csonkítás

⇒

[1,N] , / N 〈〈 k

N

y (k ) =

∑ h(i )u(k − i ) i =1

NEM PARAMETRIKUS LEÍRÁS !

h i ≈ gi

Más forma (differenciális): N

y k = y k −1 + ∑ h( i) ∆u( k − i) i=1

/ ∆u( k ) = u( k ) − u( k -1)

- 2.71 -

A folytonos és diszkrét kapcsolata a transzformált tartományban

f ( t) , / t ≥ 0

→

∞

L[ f ] = ∫ e − st f ( t ) dt 0

fk ,

/k≥0

→

∞

Z[ f ] = ∑ z − k f k k=0

FÜGGETLENÜL értelmezve ! Ha f(t) ⇒ f k ⇒ L [ ...] ↔ Z [ ...] f(kTo) f(t)

t valóság (folytonos)

“fizikai” mintavételezés (inpulzusok)

0 1 2 k “matematikai” mintavételezés (absztrakció) ∞

f (t ) = ∑ f k δ (t − kTo) ∗

k =0

∗

f(t)≠f (t)

mintavételezett (folytonos idő) függvény ∞

∞

L[ f ∗ (t )] = ∑ f k e − kTos

z[ f ( kTo)] = ∑ z − k f k k =0

k =0

z=exp(T0s) 1 s= | n z T0

- 2.72 -

KÖZELÍTÉSEK Differenciál - differencia operátor (lásd diszkretizálás) forward difference dx( t ) x( t + T0 ) − x( t ) q − 1 x( t ) p x( t ) ≡ = = (Euler - módszer) dt T0 T0

=

x( t ) − x( t − T0 ) q − 1 x( t ) = qT0 T0

s - z kapcsolat z = exp( sT0 )

→ s=

backward

1 ln z T0

⎧z − 1 z − 1 ⎫ ⎬ s≈⎨ , (lásd differenciál-differencia operátor) ⎩ T0 zT0 ⎭ ⎧ 1 ⎫ ⎬ (Euler, backward) z ≈ ⎨1 + sT0 , 1 − sT0 ⎭ ⎩ sT0 2 z≈ sT 1− 0 2 1+

s≈

2 z−1 T0 z + 1

(trapéz módszer, Tustin-approximáció, bilineáris forma) (Tustin)

Holtidős tag → polinomiális

PÁDE - approximáció T 1− h s 2 e −Ths ≈ T 1+ h s 2 e

− Th s

Th2 s2 − 6Th s + 12 ≈ 2 2 Th s + 6Th s + 12

elsőrendű

másodrendű

- 2.73 -

2.3.6. Lineáris és nemlineáris modellek

Az eredendően nemlineáris átalakítása:

LINEARIZÁLÁS

Cél: A (gyakran a priori jellegű) nemlineáris modell átalakítása lineáris modellé A nemlineáris modell: dy = f ( y, u) dt ↑ bemenet Sorbafejtés a stacioner munkapont ( y, u) környezetben: ⎛∂ f ⎞ ⎛∂ f ⎞ ⎟ ( y − y) + ⎜ ⎟ (u − u ) ⎝ ∂ y ⎠ y ,u ⎝ ∂ u ⎠ y ,u

f(y,u) ≈ f( y , u ) + ⎜ 123

123 ↑

123 ↑

0

y′

u′

A linearizált modell ( y′ , u′ perturbált változó)

dy′ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ = ⎜ ⎟ y′ + ⎜ ⎟ u′ ⎝ ∂u ⎠y , u dt ⎝ ∂y ⎠y , u

- 2.74 -

NEMLINEÁRIS MODELLEK (diszkrét)[12] Hammerstein modell (egyszerű) B( q −1 ) v k , v k = C 0 + C1u k + C 2 u 2k yk = −1 A( q ) Wiener modell (egyszerű) y k = C0 + C1v k +

általános: yk = C0 +

B( q −1 ) vk = uk A( q −1 )

C2 v 2k ,

B1( q −1 )

A1( q −1 )

uk +

B2 ( q −1 )

A2 ( q −1 )

uk2

Paraméterben lineáris általános:

( )

(

)

A1 q −1 y k + A 2 q1−1 , q 2−1 y2k =

( )

(

)

(

)

= C0 + B1 q −1 u k + B2 q1−1 , q 2−1 u 2k + C2 q1−1 , q 2−1 u k y k

( ) = 1+ ∑a q

A1 q

n

−1

( )

i =1

i

−i

n

B1 q −1 = ∑ bi q − i i =1

(

)

(

)

(

)u

n

n

A 2 q1−1 , q 2−1 y 2k = ∑ ∑ a 2ij y k −i y k − j i =1 j= i n

n

B2 q 1−1 , q 2−1 u 2k = ∑ ∑ b 2ij u k −i u k − j C 2 q 1−1 , q 2−1

i =1 j= i

n

k

n

y k = ∑ ∑ c 2ij u k −i y k − j i =1 j=1

Különböző esetek

Sorszám 1 2 3 4 ...

Modellnév Parametrikus Volterra Volterra sor Bilineáris Bemenetre lineáris

Feltételek A1

0

A2

B1

B2

C2

0 0

0

0

0

0 0 C 2 ( q −1 )

- 2.75 -

2.3.7. Neurális hálózati modell (NN) Az idegrendszer építő eleme

NN architektúra

Számító elem I j = ∑ W ji X i összegzés

X0 Wj0

X1 X2

( )

k

Y j = f I j transzformáció

Wj1 Wj2 összegzés

súlyok Wjn Xn

transzformáció

YJ kimenet

- 2.76 -

GYAKORI STRUKTÚRA

Leírás: REJTETT RÉTEG .

j

xj

m

szummázás

Sj = ∑ bijui

szigmoid függvény (nincs időkésleltetés!)

xj =

i =1

1 1 + e− s

j

KIMENETI RÉTEG .

n

Sk = ∑ a jk x j j=1

yk =

1 1 + e− sk

k

yk

- 2.77 -

Paraméterek: m,n,p a jk bi j

n∗ p darab ⎫⎪ ⎬ súlyok m∗ n darab⎪⎭

Egyszerű számítás !

SZIMULÁCIÓ Adott:

u[1:m] bemenet a[1:n,1:p] b[1:m,1:n] paraméterek

Algoritmus:

J=1→ N (J ciklus) (S=0 (I ciklus) I=1→ M (S=S+b[I,J]*u[I]) 1 x[ J] = ) 1 + exp(−S) K=1→ P (K ciklus) (S=0 (J ciklus) J=1→ N (S=S+a[J,K]*x(J]) 1 y[ K] = ) 1 + exp(−S) Kimenet y[1:P], (x[1:N] is )

- 2.78 -

IDŐBELI VISELKEDÉS

az idő explicite nem szerepel !

- 2.79 -

TANULÁS

(Back Propagation) ⎡Y1 ⎤ ⎢Y ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ . KIMENET ⎢⎢ ⎥⎥ YK ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣YP ⎥⎦

diszkrét idő: 0,1,2,....,t-1,t,....

⎡V1 ⎤ ⎢V ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ . ⇐ ⎢⎢ ⎥⎥ MINTA (a kívánt kimenet) Vk ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣Vp ⎥⎦

(felső index)

HIBAFÜGGVÉNY t

p

(

E = ∑ ∑ v(ki ) − y(ki ) i = 0 k =1

)

2

MINIMALIZÁLNI a súlyok variálásával ! Feltételes szélsőérték feladat (nem lineáris): m i n E(t) a jk , b ij , / i = 1,...., m j = 1,..., n k = 1,..., p Feltétel: az NN modell MEGOLDÁS: gradiens módszerrel

- 2.80 -

LÉPTETÉS: (rekurzív formula)

[

a jkt = a jkt−1 + η x j y k (1 − y k )( v k − y k ) ( )

( ) b ijt

(

=

)

( t −1) b ij

[ (

) ]

+ η x j 1 − x j ui

]

(t)

∑[ y(kt ) (1 − y(kt ) ) a (jkt−1) ( v(kt ) − y(kt ) )]

( t) p

k =1

η > 0 lépésköz Számítás Adott:

a[1:n , 1:p] , b[1:m , 1:n]

előző időpontbeli

u[1:m] , x[1:n] , y[1:p] aktuális v[1:p]

aktuális minta

Algoritmus:

J=1→ N

(J ciklus)

(S=0 K=1→ P

(K ciklus)

(S1=x[J] y[K] (1-y[K]) (v[K]-y[K]) S=S+a[J,K] S1 a[J,K]=a[J,K]+h S1) Z[J]=(1-x[J]) S

)

J=1→ N

(J ciklus)

(I=1→ M

(I ciklus)

(b[I,J]=b[I,J]+ h u[I] z[J]

Kimenet:

)

a[1:n,1:p] , b[1:m,1:n] új értékek!)

- 2.81 -

2.3.8. Sztochasztikus modellek Bevezetés Mire használunk matematikai modelleket?

⋅ ⋅

tervezésre üzemeltetés segítésére

A felhasználás módja:

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

szimuláció paraméterbecslés állapotbecslés statisztikák becslése tervezési optimálás üzemeltetési optimálás

Mit kívánunk a modelltől?

Legyen ⋅ pontos

⋅ ⋅

kiterjedt érvényű egyszerű

Ezek ellentmondó igények. Hogyan kezdjük a modellalkotást?

⋅ ⋅

Fiziko-kémiai, modellek Fekete doboz (black box) modellek

Egyszerűsítési lehetőségek fiziko-kémiai modelleknél

⋅ ⋅ ⋅

állandósult állapot feltételezése (vegyipari modellekben gyakori) egyszerűsítő feltevések az üzemi körülményekre: kapcsolás egyszerűsítése, a kevésbé lényeges áramok elhagyása a csak kis mértékben változó mennyiségeket állandónak lehet tekinteni, a kevésbé lényeges független változók hatását egyes összefüggésekben figyelmen kívül lehet hagyni, vagy közelítő, egyszerűsített összefüggésekkel lehet leírni.

- 2.82 -

⋅

meg lehet kísérelni a matematikai struktúrát egyszerűsíteni (a bonyolultabb függvénykapcsolatokat egyszerűbbekkel (lineárisakkal, polinomokkal, stb.) közelíteni.

Dinamikus matematikai modellek

A dinamikus modell az időbeli változásokat írja le. Mikor fontos az időbeli változások figyelembevétele? ⋅ szakaszos üzemű technológia esetén

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a környezeti hatások erős ingadozásakor jelentős üzemállapot változtatáskor (indulás, leállás, termelési előírások megváltoztatása) irányító rendszerek tervezésekor irányítási feladatok megvalósításakor (számítógépes irányítás!)

A dinamikus modellre kevésbé van szükség folytonos üzemeltetés állandósult állapotában. De szükséges lehet rá olyankor is, ha pl., a rendszer szabályozás nélkül instabil, vagy a stabilitás határán működik. Determinisztikus vagy sztochasztikus leírás? Determinisztikus modellel jó közelítéssel leírható

⋅ ⋅ ⋅

a gyors üzemállapot váltás: a beavatkozó változó változása ugrás függvénnyel írható le. a fokozatos, egyenletes sebességű üzemállapot váltás két érték között: a beavatkozó változó változása az ún. rámpa függvénnyel írható le. a rövid ideig tartó, majd az eredetire újra visszaálló üzemállapot változás.

Sztochasztikus leírásmódot igényel, ha előre pontosan nem látható véletlen eseményeket is számításba kívánunk venni. Egy ilyen folyamatot az adott deteminisztikus függvény és egy sztochasztikus folyamat összegének szokás tekinteni. Az utóbbit folyamatzajnak is nevezik. Determinisztikus modellekkel a tanulmányok során gyakran találkoztunk. Most a sztochasztikus folyamatok modelljeiről lesz szó. Sztochasztikus folyamatok

A sztochasztikus folyamatok olyan, a véletlentől is függő függvények, amelyeknek a lefutását elvileg lehetetlen pontosan előre ismerni.

- 2.83 -

2.3.8.1. Sztochasztikus folyamatok matematikai leírása

A diszkrétidejű sztochasztikus folyamatokat beszéljük meg. A folytonos idejű folyamatok tárgyalása matematikailag komplikáltabb, ezért azt nem tárgyaljuk. Szokás a sztochasztikus folyamatot {x (t,ω);t ∈ℑ, ω∈Ω}-val jelölni. Ebben x(t,ω)-ben t a független változó, ami leggyakrabban ⎯ de nem feltétlenül ⎯ az idő, ℑ az értelmezett időpontok halmaza, ω a véletlen elemi esemény és Ω az elemi események halmaza. Diszkrétidejű folyamatoknál ℑ ⊆ ϑ , ahol ϑ az egész számok halmaza, folytonos idejű folyamatoknál ℑ ⊆ ℜ, ahol ℜ a valós számok halmaza. {x(t,ω);t ∈ ℑ, ω ∈ Ω} rögzített t-re {x (·, ω); ω ∈ Ω} valószínűségi változó, egy-egy {x(t,·); t ∈ ℑ} minta rögzített ω-val függvény. A sztochasztikus folyamatok lehetnek skalár vagy vektor értékűek: x(t,ω) ⊆ ℜn, minden t ∈ ℑ és ω ∈ Ω -ra, ahol n t-től és ω-tól független pozitív egész szám. Hogy lehet diszkrétidejű sztochasztikus folyamatokat specifikálni?

⋅ ⋅

statisztikákkal elemi sztochasztikus folyamatok (elsősorban fehér zaj folyamatok) lineáris transzformációival

Specifikáció statisztikákkal

Egy véges szakaszon értelmezett diszkrétidejű sztochasztikus folyamat úgy is tekinthető mint valamennyi értelmezett időpontjához hozzárendelt valószínűségi változók összessége. Egy ilyen eseménysorozat statisztikája megfeleltethető ezen valószínűségi változók együttes eloszlásának. Várható érték függvény

Egy sztochasztikus folyamat várható értéke determinisztikus függvény. Diszkrét idejű sztochasztikus folyamat esetén a várható érték függvény m( t ) = Mω ( x ( t ,ω )) =

∑ x ( t ,ω ) ⋅ P ( t ,ω )

, t ∈ℑ ⊆ ϑ

ω ∈Ω

ahol P(t,ω) az ω ∈ Ω az elemi esemény valószínűsége a t időpontban (feltéve, hogy az létezik; ha nem, nem lehet így m(t)-t értelmezni!). M(⋅) a várható érték képzést jelöli, M ω (⋅ ) speciálisan az ω valószínűségi változó szerint.

- 2.84 -

Másod- és magasabbrendű centrális momentumok

A centrális momentumok a matematikai statisztikában megszokott értelemben értendők az előbbi definíciók analógiájára. Jelöljük V(x(t))-vel a folyamat másodrendű centrális momentum függvényét, amit a folyamat varianciafüggvényének is nevezhetünk, akkor

(

V ( x ( t )) = Mω x ( t ,ω ) − m( t )

2

) = ∑ x (t ,ω ) − m(t )

2

⋅ P ( t ,ω ) , t ∈ ℑ ∈ ϑ .

ω ∈Ω

A centrális r-edrendű momentum függvény tetszőleges r-re

(

Mω x ( t ,ω ) − m( t )

r

) = ∑ x(t ,ω ) − m(t )

r

⋅ P ( t ,ω ) , t ∈ ℑ ∈ ϑ

ω ∈Ω

A kovariancia függvények és vegyes magasabbrendű centrális momentumok definíciója C(t+s;s1,s2,...,sS,r0,r1,r2,...,rS)= r r r =Mω x ( t ,ω ) − m( t ) ⋅ x ( t + s1 ,ω ) − m( t + s1 ) ⋅...⋅ x ( t + sS ,ω ) − m( t + sS ) ,

(

1

0

S

)

Itt si az i-edik időeltolást, ri az i-edik kitevőt jelöli, ahol (t+si) ∈ ℑ. Időátlag

Az időátlag valószínűségi változó. Diszkrétidejű sztochasztikus folyamat időátlaga m(ω ) = M t ( x ( t ,ω )) = T→ℑ lim

∑ x ( t ,ω ) ⋅ P ( t ,ω )

t ∈T

∑ P ( t ,ω )

, ω ∈Ω

t ∈T

ahol ℑ az értelmezett diszkrét időpontok halmaza, t∈ℑ a független változó, Ω az elemi események halmaza, ω ∈ Ω az elemi esemény, P(t,ω) az ω elemi esemény valószínűsége a t időpontban (feltéve, hogy az létezik; ha nem, nem lehet m(ω)-t így értelmezni!). Szokás az időátlagot az előzőnél általánosabban, tetszőleges f(x(t,ω)) statisztikára is értelmezni: m( f (ω )) = M t ( f ( x ( t ,ω ))) = T→ℑ lim

∑ f (x (t ,ω )) ⋅ P (t ,ω )

t ∈T

∑ P ( t ,ω )

t ∈T

, ω ∈Ω ,

- 2.85 -

2.3.8.2. Sztochasztikus folyamat modellek

Néhány elemi sztochasztikus folyamat modell Gauss folyamatok

Gauss folyamatnak nevezik azt a {x(t,ω);t∈ℑ,ω∈Ω} sztochasztikus folyamatot, amelynek tetszőleges x(t1),x(t2),...,x(tk-1),x(tk), t1,t2,...,tk-1,tk∈ℑ elemeinek együttes eloszlása sokdimenziós Gauss eloszlás. Fehér zaj folyamatok

Az {x(t,ω);t∈ℑ,ω∈Ω} diszkrétidejű sztochasztikus folyamatot fehér zaj folyamatnak nevezzük, ha minden lehetséges t1,t2∈ℑ, t1≠t2, ω∈Ω-re x(t1,ω) és x(t2,ω) statisztikusan függetlenek. Folytonos idejű fehér zaj folyamat nem definiálható. Néhány speciális sztochasztikus folyamat: Stacionárius folyamatok

Stacionáriusnak, vagy időinvariánsnak nevezünk egy {x(t,ω);t∈ℑ,ω∈Ω} sztochasztikus folyamatot, ha annak minden statisztikája független az időtől, azaz, ha a folyamat az időeltolásra invariáns, tehát, ha m(t+s)=m(t) , t,(t+s)∈ℑ, és minden kovariancia függvényére C(t;s1,s2,...,sS,r0,r1,r2,...,rS)=C(t+s;s1,s2,...,sS,r0,r1,r2,...,rS) , minden t,(t+si)∈ℑ , és ri∈ϑ-re, ami magában foglalja természetesen V( t + s) = V( t ) -t is.

Ergodikus folyamatok Ergodikusnak nevezünk egy {x(t,ω);t∈ℑ,ω∈Ω} stacionárius sztochasztikus folyamatot, ha (matematikai értelemben) majdnem minden ω1 ∈ Ω realizációra fennáll, hogy m(ω1)=Mω(m(ω)), tehát ha majdnem mindegyik realizáció időátlaga egyenlő a várható érték függvény időátlagával.

Markov folyamatok Legyen t1< t2< ...< tk-1< tk. Markov típusúnak neveznek egy diszkrétidejű {x(t,ω);t∈ℑ,ω∈Ω} sztochasztikus folyamatot, ha P(x(tk,ω)≤ξ⏐x(t1,ω),x(t2,ω),...,x(tk-1,ω))=

- 2.86 -

=P(x(tk,ω)≤ξ⏐x(tk-1,ω)) , ω∈Ω ahol P(θ(ω)⏐x(t1,ω),x(t2,ω),...,x(tk-1,ω)) , ω∈Ω az ω-tól függô θ(ω) esemény feltételes valószínűsége ha x(t1,ω),x(t2,ω),...,x(tk1,ω) ismert. Ebből a Bayes tétel ismételt alkalmazásával belátható, hogy ha adott a kezdeti FI(ξ1;t1)=P(x(t1)≤ξ1) és az

FT ( ξk , k ξk −1 ,k − 1) = P( ( x( k ) ≤ ξk ) ( x( k − 1) = ξk −1 ) )

ún. átmeneti valószínűségi eloszlás eloszlásfüggvénye, akkor az a teljes sztochasztikus folyamatot meghatározza és ξ1,ξ2,...,ξk-1,ξk együttes eloszlásfüggvénye F(ξ1,ξ2,...,ξk-1,ξk;t1,t2,...,tk-1,tk)= =FT(ξk,tk⏐ξk-1,tk-1).FT(ξk-1,tk-1⏐ξk-2,tk-2)·... . ...·FT(ξ2,t2⏐ξ1,t1)·FI(ξ1,t1)

Független növekményű folyamatok Tekintsük az {x(t,ω);t,t–1∈ℑ,ω∈Ω} diszkrétidejű sztochasztikus folyamatot és jelöljük az 1,2,...,k-1,k,k+1,...-adik időpontokat t1< t2< ...< tk-1< tk< tk+1<...-gyel. A folyamatot független növekményűnek nevezzük, ha az x(t,ω) elemekből képezett y( t , ω) = x( t , ω) − x( t − 1, ω) t,t−1∈ℑ,ω∈Ω sztochasztikus folyamat fehér zaj folyamat. Sztochasztikus modellként gyakran alkalmazzák az ún. Wiener folyamatot, ami a független növekményű Gauss folyamat speciális elnevezése. Ebben tehát {y(t,ω), t∈ℑ, ω∈Ω} Gauss típusú fehér zaj folyamat. Stacionárius dinamikus rendszermodell típusok

A dinamikus modellek a rendszerek bemenet és kimenet folyamatai közötti kapcsolatokat írják le. Mind a bemenet, mind a kimenet lehet egyetlen vagy több változó, eszerint beszélünk egy vagy több bemenetű, ill. egy vagy több kimenetű rendszerekről. Egyik esetben a változók skalárok, ill. skalár idősorok, a másikban vektorok, ill. vektor idősorok. Sztochasztikus rendszermodellekben a determinisztikusnak tekintett bemeneteken kívül a véletlen változások eredetét az ún. "forrászaj"-jal szokás leírni. Ez szintén lehet egy vagy többdimenziós, azaz skalár vagy vektor sztochasztikus folyamat.

- 2.87 -

Sztochasztikus folyamatok esetén a megoldás nem függvény, vagy függvénysereg, hanem ilyenek végtelen sokaságának "eloszlása", aminek meghatározására numerikus módszert nem alkalmazhatunk. Ezért sztochasztikus folyamatok leírásához igen egyszerű esetektől eltekintve általában meg kell elégedni a lineáris közelítésekkel. A diszkrétidejű rendszereket a differenciálegyenlet leírás analógiájára differencia(!)egyenletekkel célszerű leírni. A lineáris rendszerek tárgyalása explicit módszerekkel is lehetséges, míg a nemlineáris rendszerek működésének egy-egy realizációját általában csak lépésenkénti kiszámítással lehet vizsgálni. A következőkben a lineáris diszkrétidejű rendszerek modelljeit ismertetjük.

Jelölések Valamennyi itt felsorolt változó lehet skalár vagy vektor. A skalároknál szokásos jelölést adjuk meg. Vektoroknál értelemszerűen a vastagbetűs vektor jelölés használandó. A rendszer bemenetek idősorait {u(t), t∈ℑ}-vel jelöljük, ahol u(t) a t időponthoz tartozó bemenet értéke. Hasonlóképpen a kimenetek idősorait {y(t, ω), t∈ℑ, ω∈Ω}-vel jelöljük, ahol y(t) a t időponthoz tartozó kimenet értéke. Az állapottér modellekben (lásd később!) szereplő rendszer állapot idősorait {x(t,ω), t∈ℑ, ω∈Ω}-vel jelöljük, ahol x(t) a t időponthoz tartozó állapot értéke. Forrászajnak minden itt következő modellben a normális, stacioner, standard (0 várható értékű, egység varianciájú) {e(t,ω), t∈ℑ, ω∈Ω} fehér zaj sztochasztikus folyamatot tekintjük. Specifikáció diszkrétidejű fehér zaj folyamatok lineáris transzformációiként

Linearitás A rendszerek linearitásának van egy, az itt következőnél általánosabb definíciója is. Most egyszerűség kedvéért a linearitásnak egy köznapibb, bár nem teljes definícióját közöljük. Lineárisnak akkor nevezünk egy rendszermodellt, ha változói lineáris vektorteret képeznek, azaz, ha benne csak a változók lineáris kombinációja van értelmezve, mint művelet (tehát a változók konstanssal való szorzása és azok összeadása), és csak lineáris operátorokat (mátrixszal való szorzás, deriválás, integrálás, időeltolás, differenciaképzés) tartalmaz. A vegyiparban nincs igazán lineáris rendszer! Csak jobb-rosszabb lineáris közelítésről lehet szó!

- 2.88 -

Lineáris sztochasztikus rendszermodellek Kétféle diszkrétidejű lineáris sztochasztikus modell típus használatos: ⋅ a differenciaegyenlet és

⋅

az állapottér modellek.

Differenciaegyenlet ("z"-transzformációs) modellek A "z"-transzformáció diszkrétidejű megfelelője a lineáris differenciálegyenletek megoldása során alkalmazható ⎯ már ismert ⎯ Laplace transzformációnak. Ennek elméleti tárgyalására itt nincs módunk kitérni. Csak annyit említünk meg nagy vonalakban, hogy ahogyan a Laplace transzformáltak "s" változóval való szorzása a független változó szerinti deriválásnak felel meg, a "z"-transzformáltak "z"-vel való szorzása az egységnyi idővel való eltolás megfelelője. Ennek megfelelően egy változó "z" transzformált polinomja az adott változó egy ekvidisztáns idősorának felel meg. A "z"-transzformációs írásmód előnye, hogy ⎯ bizonyos feltételek teljesülése esetén ⎯ z" polinomjaira a polinomok algebrájának műveletei alkalmazhatók a modellek átalakítása és alkalmazása során. A továbbiakban elkerüljük az elviekben itt nem tárgyalt "z" transzformált jelölést és a modelleket explicit idősorokkal adjuk meg. A differenciaegyenlet modellt szokás "bemenet ⎯ kimenet" modellnek is nevezni. Az alábbi modell típusok használatosak:

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

MA (mozgó átlag) AR (autoregressziós) ARMA (autoregressziós és mozgó átlag) és ARMAX (gerjesztett ARMA)

MA (mozgó átlag) modell Tekintsük az {e(t),t∈ℑ,ω∈Ω} standard normális (0 várható értékű, egység varianciájú) fehér zaj folyamatot, mint forrászajt. Az y (t ) =

n

∑c k=0

k

⋅ e( t − k ) , t ,..., t − k ∈ ℑ

transzformációval definiált {y(t),t∈ℑ,ω∈Ω} sztochasztikus folyamatot nedrendű mozgó átlag (MA) folyamatnak nevezzük.

- 2.89 -

AR (autoregressziós) modell Tekintsük ismét az {e (t),t∈ℑ,ω∈Ω}standard normális fehér zaj folyamatot, mint forrászajt. Az n

e( t ) =

∑a k=0

k

⋅ y ( t − k ) , t ,..., t − k ∈ ℑ , a0 = 1

transzformációval definiált {y(t),t∈ℑ,ω∈Ω} sztochasztikus folyamatot nedrendű autoregressziós (AR) folyamatnak nevezzük. A folyamat nem feltétlenül stabil. A stabilitás feltétele, hogy az a k , k = 1,..., n együtthatókkal képzett zn+a1 · zn-1+...+an-1 · z+an=0 polinom valamennyi gyökének abszolút értéke 1-nél kisebb legyen. A definiáló összefüggésből nyilvánvaló, hogy a folyamat az együtthatókon kívül egy kezdeti n elemű részsorozatától is függ. ARMA (autoregressziós és mozgó átlag) modell Tekintsük ismét az {e (t),t∈ℑ,ω∈Ω} standard normális fehér zaj folyamatot, mint forrászajt. A n

∑a k=0

k ⋅ y (t − k ) =

m

∑c k=0

k

⋅ e( t − k ) , t ,..., t − k ∈ ℑ , a0 = 1

transzformációval definiált {y(t),t∈ℑ,ω∈Ω} sztochasztikus folyamatot kimenetében n-edrendű, gerjesztésében m-edrendű autoregressziós mozgó átlag (ARMA) folyamatnak nevezzük. ARMAX (determinisztikusan is gerjesztett autoregressziós és mozgó átlag) modell Az előzőkben definiált modellek nem tartalmaznak determinisztikus bemenetet, azaz determinisztikus gerjesztést. Az ARMAX modell az ARMA modell kiterjesztése determinisztikus bemenet idősorozattal. A forrászaj ismét az {e (t),t∈ℑ,ω∈Ω} standard normális fehér zaj folyamat, az a k , k = 1,..., n bemenet adott determinisztikus sorozat. A n

∑ ak ⋅ y (t − k ) = k=0

1

m

k =1

k=0

∑ bk u(t − k ) + ∑ ck ⋅ e(t − k ) , t ,..., t − k ∈ ℑ , a0 = 1

transzformációval definiált {y(t),t∈ℑ,ω∈Ω} sztochasztikus folyamatot n-edrendű, determinisztikus bemenetében l-edrendű, kimenetében sztochasztikus gerjesztésében m-edrendű autoregressziós mozgó átlag (ARMAX) folyamatnak nevezzük.

- 2.90 -

A folyamat stabilitásának feltétele azonos az autoregressziós folyamatéval. Ha a bemenet és a zaj független y-tól és korlátos, akkor azok nem befolyásolják a stabilitást. Ha viszont szabályozással a bemenetet a kimenettôl függővé tesszük, a szabályozott rendszer stabilitása a bk együtthatókkal képzett polinom gyökeitől is függ. Állapottér modell

Mint már említettük, az állapottér modell a magasabbrendű differenciaegyenletek helyett elsőrendű egyenletek rendszeréből áll. Míg az előzőkben csak bemenetek és kimenetek szerepeltek, az állapottér modell a leírandó rendszert független növekményű Markov típusúnak tekintve bevezeti az állapotváltozók fogalmát. Állapotváltozóknak nevezzük az olyan változókat amelyek adott időpontbeli értéke a determinisztikus és sztochasztikus bemenetek ismertében egyértelműen meghatározza a rendszer későbbi állapotainak sorozatát. Az eddig alkalmazott jelölésekkel a diszkrétidejű dinamikus lineáris sztochasztikus rendszerek állapottér modellje a következő. x( t + 1) = Φ ⋅ x( t ) + Γ ⋅ u( t ) + Ψ ⋅ e( t ) és

y( t ) = Θ ⋅ x( t ) + H⋅ d( t ) , Ebben a modellben {x(t,ω),t∈ℑ,ω∈Ω} a rendszer állapot folyamat, {u(t),t∈ℑ}a determinisztikus bemenet, {y(t,ω,ωd),t∈ℑ,ω∈Ω,ωd∈Ωd} a kimenet, {e(t,ω),t∈ℑ,ω∈Ω} a rendszer véletlen működését gerjesztô forrászaj folyamat. Az újonnan bevezetett {d(t,ωd),t∈ℑ,ω∈Ωd} folyamat a megfigyelési hiba folyamat forrászaja. A rendszerzaj és megfigyelési hiba folyamatokról feltételezzük, hogy függetlenek. Az összefüggésekben ezen idősorok egy reprezentációjának t, ill. t+1 időpontokban felvett értékei szerepelnek, mint változók. A Φ, Γ, Ψ, Θ és H valós együtthatómátrixok rendszerspecifikusak és méretük a változó vektorok méretének felel meg: soraik száma az összefüggés baloldalán szereplő változó vektor mérete, oszlopaik száma az őket jobbról szorzó változó vektor mérete. A két modell egyenletből az elsőt állapot-átmeneti egyenletnek, a benne szereplő Φ együtthatómátrixot állapot-átmeneti mátrixnak nevezik. A második az ún. megfigyelési egyenlet. A rendszer akkor stabil, ha Φ valamennyi sajátértékének abszolút értéke kisebb 1-nél. Az ARMAX modellek mindig leképezhetők állapottér modellekre, az utóbbiak az előbbiekre nem.

- 2.91 -

Mivel az állapotvektor, bemenet és kimenetvektor méretére (dimenziószámára) nem tettünk megkötést, fontos kérdés, hogy egy adott modell szerinti rendszer hogy viselked(-ik)-ne a gyakorlatban. Ezzel kapcsolatban a két legfontosabb kérdés a rendszer irányíthatósága és megfigyelhetősége. A megfigyelhetőség és az irányíthatóság a modellben szereplő együtthatók összességétől függ. Meghatározásuk módja megtalálható a szakmai irodalomban, itt nem ismertetjük. A forrászajokat standard Gauss típusúnak szokás tekinteni. Ebből többek közt az is következik, hogy determinisztikus bemenet nélkül a felsorolt modellek mindegyike 0 várható értékű kimenetet ad. 2.3.8.3. A lineáris dinamikus rendszermodellek főbb alkalmazási területei

Modellből és megfigyelésből

⋅ ⋅

becsülhetjük a folyamat kimenetét és/vagy állapotát és azok statisztikáját (visszamenőleg vagy előre), "optimális" értéktartó vagy más szabályozást vagy vezérlést tervezhetünk

Néhány egyszerű alkalmazás A lineáris sztochasztikus folyamat állapotának statisztikája

Az állapot várható érték függvénye Legyen a determinisztikus bemenet állandó 0. Válasszuk a k-adik időpontot. A k állapot várható értéke legyen M(x(k))=m( k ) . A rendszerzaj folyamat forrászaja legyen standard Gauss fehér zaj. Mivel a várható érték képzés lineáris művelet, a várható érték függvény a t=k+1 időpontban

m(k+1)=M(x(k+1)= =M(Φ·x(k))+M(Ψ·e(k))=Φ·m(k) Ugyanez tetszőleges k+l időpontban nyilvánvalóan

m( k + l) = Φ l ⋅ m( k ) .

- 2.92 -

Ha a rendszer stabil, abból, hogy Φ minden sajátértékének abszolút értéke 1nél kisebb, következik, hogy m(k)-tól függetlenül

(

)

lim M ( x ( l )) = 0 . l→∞

Az állapot centrális momentum függvényei. Varianciafüggvény

Egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy m( k ) =0 és ebből következően m( l ) =0 minden l-re. Ettől eltekintve az előző feltételek mellett a V(k+1) varianciafüggvény az ismert összefüggés szerint

V(k+1)=M(x(k+1) · x(k+1)’)= =M(Φ · x(k) · x(k)’· Φ’)+M(Ψ · e(k) · e(k)’· Ψ’) amiből

V( k + 1) = . = Φ ⋅ V( k ) ⋅ Φ′+ Ψ ⋅ Ψ′ Nem annyira erre az eredményre vagyunk kíváncsiak, mint a variancia állandósult határértékére. Ezt könnyen megkapjuk, ha feltételül éppen azt szabjuk, hogy V ne változzék. Legyen

V∞ = lim V( k + 1) = lim V( k ) , k →∞

k →∞

amiből V∞ = Φ ⋅ V∞ ⋅ Φ′+ Ψ ⋅ Ψ′ .

Ez általános lineáris mátrixegyenlet, amelyre ismeretesek megoldási módszerek, ezek ismertetését itt mellőzzük. Autokovarianciafüggvény Az előzőkkel azonos feltételek mellett, azzal analóg módon képezzük a

(

C( k + 1, k ) = M ( x( k ) − m( k ) ) ⋅ ( x( k + l ) − m( k + l ) )

′

)

autokovarianciafüggvényt. Mivel a feltevés szerint m( k ) =0 minden k-ra, felhasználva x(k) és e(k) függetlenségét, C(k+1,k)=M(x(k+1)·x(k)’)= = Φ·M(x(k)·x(k)’)+Ψ·M(e(k)·x(k)’)= = Φ·V(k)

- 2.93 -

Állapotbecslés A lineáris dinamikus rendszermodellek egyik leggyakrabb alkalmazása az állapotbecslés. A feladat a következő. Ismerjük a rendszer modelljét és vannak hibával terhelt megfigyeléseink egy 0 kezdő időponttól a jelen k időpontig. A 0 állapot várható értéke legyen M(x(0))=m(0). Mind a rendszerzaj, mind a megfigyelési hiba folyamat forrászaja standard Gauss fehér zaj. Keressük az állapot vagy kimenet valamilyen értelemben optimális becslését. Becslési elvnek választható a becslési hiba varianciák súlyozott összegének minimalizálása, vagy a Maximum Likelihood elv, vagyis a "legnagyobb valószínűségű" állapot meghatározása. Lineáris rendszer és Gauss típusú forrászaj esetében mind a két becslés ugyanazt az eredményt adja. Az ilyen alapon kialakított becslő algoritmust nevezik Kalman szűrőnek. Lényege, hogy mind a megfigyelésekből, mind a modell ismeretéből származó információt felhasználjuk. A kétféle becslés különbsége y(k)-Θ· x$ (k) .

Ennek és a modellből adódó becslésnek a lineáris kombinációját képezve: x$ (k+1)=Φ· x$ (k)+Γ· u(k)+K·(y(k) − Θ· x$ (k)) (*)

A K visszacsatoló mátrix együttható (nevezik Kalman nyereségnek, Kalman gain-nek is) még ismeretlen. Úgy határozzuk meg, hogy a becslés hibája minimális legyen. Az optimális K időfüggő. Értéke K(k) = Φ · P(k) · Θ′· (H · H′ + Θ · P(k) · Θ′)-1

ahol P(k) a becslési hiba varianciamátrixa. Ez rekurzív módon számítható a P(k) = Φ · P(k−1) · Φ′ + ΨΨ′ + + Φ · P(k−1) · Θ′ · (H · H′ + Θ · P(k−1) · Θ′)-1 · Θ · P(k−1) · Φ′

összefüggéssel. K(k) határértékhez tart. Ez a határérték vagy iterált számítással, vagy másodfokú mátrix egyenlettel, az ún. mátrix Riccati egyenlettel számítható ki. K(k) ismeretében az állapot a (*)-gal jelzett képlettel becsülhető.

Szabályozás minimális varianciára Ez a feladat megoldható mind a differenciaegyenlet modell, mind az állapottér modell alapján[ 12-15]. A dinamikus modellekre épülő optimális irányítás érzékeny lehet a modellhibákra, így alkalmazásuk elkészítése különös gondot és esetleg a hibákra kevésbé érzékeny szuboptimális algoritmust igényel.

- 2.94 -

2.3.9. FUZZY MODELLEK

M = v, f v fuzzy változók f fuzzy függvények Pl. Hőmérséklet

T ∈ [T0, T3] ⊆ IR , K mennyiségi (folytonos)

minőségi

T ∈ {HIDEG, LANGYOS, MELEG} HIDEG:

T ∈[T0, T1)

LANGYOS:

T ∈[T1, T2)

MELEG

T ∈[T2, T3] , T0
HIDEG

T0

MELEG

LANGYOS

T1

T2

T3

T

- 2.95 -

-2.97fuzzy 1 HIDEG

MELEG

LANGYOS

T1

T0

A = { x x > 6}

T2

a 6-nál nagyobb valós számok éles halmaz

F=

{(u,µ

F

( u ))

µ F : U → [ 0,1] ,

T3

}

u ∈U

fuzzy halmaz tagsági függvény

T

- 2.96 -

-2.98Fuzzy változók megadása Diszkrét

Pl.: drága autók 1/Ferrari+1/Rolls Royce+0.8/Mercedes+0.7/BMW+0.4/Buick Általánosan

F = µ F ( u 1 ) / u 1 +...+ µ F ( u n ) / u n vagy n

∑ µ (u ) / u F

i =1

i

i

vagy

∑ µ ( u) / u F

u∈U

Folytonos

Pl. öreg emberek

, ha ⎧0 ⎪⎪ u − 60 , µ öreg ( u) = ⎨ 20 ⎪ , ⎪⎩1

u ∈[ 0 , 60] u ∈[ 60, 80] u ∈[ 80,120]

általánosan

F = {µ F ( u) / u vagy

∫ µ ( u) / u F

u

u ∈ U}

sorszám 1.

2.

3.

4.

5.

Név Γ -függvény

Zadeh-féle Sfüggvény

L-függvény

Λ-függvény

Π-függvény

Definíció ⎧0 , u < α ⎪⎪ u − α Γ( u; α , β) = ⎨ ,α ≤ u≤β ⎪β − α ⎪⎩1 , u > β ⎧0 , x ≤ α 2 ⎪ ⎪2⎛⎜ x − α ⎞⎟ , α < x ≤ β ⎪ ⎝ γ −a⎠ S( x; α , β, τ) = ⎨ 2 ⎛ x − α⎞ ⎪ ⎪1 − 2⎜⎝ γ − α ⎟⎠ , β < x ≤ γ ⎪ ⎩1 , x > γ

Alak 1 α

1 1/2 α γβ

⎧1 , u < α ⎪⎪ α − u L( u; α , β) = ⎨ ,α ≤ u≤β ⎪β − α ⎪⎩0 , u > β ⎧0 , u < α ⎪u − α ,α ≤ u≤β ⎪ ⎪β − α Λ( u; α , β, γ ) = ⎨ α−u ⎪ ,β < u ≤ γ ⎪β − α ⎪⎩1 , u > γ ⎧0 , u < α ⎪u − α ,α ≤ u≤β ⎪ − β α ⎪⎪ Π( u; α , β, γ , δ ) = ⎨1 , β ≤ u ≤ γ ⎪γ − u ,γ < u ≤ δ ⎪ − δ γ ⎪ ⎪⎩0 , u > δ

β

1 α

β

1 α

β

γ

1 α

β

γ

δ

- 2.100 Tagsági függvények a MATLAB-ban

- 2.101 -2.101-

Fuzzy szabályok

Az unió ( ∪ ), metszet ( ∩) és komplementer (`) képzéssel analóg műveletek:

∀x ∈ X: µ A ∪ B ( x) = max(µ A ( x) , µ B ( x) ) ∀x ∈ X: µ A ∩ B ( x) = min(µ A ( x) , µ B ( x) ) ∀x ∈ X: µ A ′ = 1 − µ A ( x) . Általános műveletek T-norma

µ A∩B ( x) = T(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ⊗ µ B ( x)

Tulajdonságok:

határolt T(0,0)=0, T(a,1)=T(1,a)=a monotonítás T(a,b)≤T(c,d), ha a ≤c és b≤d felcserélhetőség T(a,b)=T(b,a) asszociatív T(a,T(b,c)=T(T(a,b),c) S-norma

µ A ∪ B ( x) = S(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ⊕ µ B ( x)

Tulajdonságok:

határolt S(1,1)=1, S(a,0)=S(0,a)=a monotonítás S(a,b)≤S(c,d), ha a ≤c és b≤d felcserélhetőség S(a,b)=S(b,a) asszociatív S(a,S(b,c))=S(S(a,b),c)

- 2.102 -2.102-

Fuzzy logikai műveletek

Alkalmazás: pl. szabályozás

- 3.1 -

3. IDENTIFIKÁLÁS cél: adekvát modell előállítása A rendszermodell identifikálásának lépései: 1. változók megválasztása - leírás mélysége (kísérlet tervezés) 2. modell struktúra választás - struktúra identifikáció 3. paraméter becslés - grafikus, numerikus paraméter identifikálás 4. modell ellenőrzése

PARAMÉTER IDENTIFIKÁLÁS a MODELL illesztése a VALÓSÁGhoz

GRAFIKUS módszer

- 3.2 -

Feltételezett modell:

Elsőrendű holtidős

dt ( t ) + y ( t ) = K u ( t − TH ) τ dt e− TH s G ( s) = K τ s+1

ILLESZTÉS: B A TH = C K=

τ = D−C

Numerikus módszer (legkisebb négyzetek módszere, LKN) időben diszkrét mérési adatok:

u0,u1,u2,...,uk y0,y1,y2,...,yk Feltételezett modell (legyen!): yk − ayk − 1 = b uk − 1− d / d ≥ 0 diszkrét holtidõ ⎛T ⎞ d = ent ⎜ H ⎟ ⎝ TO ⎠

Cél: a és b paraméterek meghatározása úgy, hogy a modell jól tükrözze a valóságot (ADEKVÁTSÁG !) A k időpontban az yk-1 és uk-1-d mérési adatok birtokában a modell által számítható kimenet:

~ y = ayk −1 + buk −1− d Ezt a tényleges yk mérési adathoz viszonyítva a modellhiba: ek = yk − ~ yk ≡ yk − ( ayk − 1 + buk − 1− )

- 3.3 -

Az a és b modell paramétereket úgy kell meghatározni, hogy a [0,k] időintervallum felett összegzett modellhiba négyzet MINIMÁLIS legyen!

Szélsőérték feladat: ⎧ min ⎨g ≡ ⎩

∑ [ y − ( ay k

i −1

i

i =1

/2 ⎫ + bui /1/ d ) ⎬ ⎭

]

Szükséges (és elégséges) feltételek: k ∂g = −2∑ yi − 1 yi − ( ayi − 1 + bui − 1− d ) = 0 ∂a i =1 k ∂g = −2∑ ui − 1− d yi − ( ayi − 1 + bui − 1− d ) = 0 ∂b i =1

[

]

[

]

Lineáris egyenletrendszer a-ra és b-re:

⎛ k 2 ⎞ ⎛ k ⎞ y a + ⎜ ∑ i − 1⎟ ⎜ ∑ yi − 1ui − 1− d ⎟ b = ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠

k

∑(y

⎛ k ⎞ ⎛ k 2 ⎞ ⎜ ∑ yi − 1ui − 1− d ⎟ a + ⎜ ∑ ui −1− d ⎟ b = ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠

Megoldás:

y)

i −1 i

i =1

k

∑ (u i =1

i − 1− d

yi )

(∑ y y )(∑ u ) − (∑ y u )(∑ u y ) a= (∑ y )(∑ u ) − (∑ y u ) (∑ y )(∑ u y ) − (∑ y y )(∑ y u ) b= (∑ y )(∑ u ) − (∑ y u ) 2 i − 1− d

i −1 i

2 i −1

2 i −1

i − 1 i − 1− d

2 i − 1− d

i − 1− d i

2 i −1

2 i − 1− d

i − 1− d i 2

i − 1 i − 1− d

i −1 i

i − 1 i − 1− d 2

i − 1 i − 1− d

- 3.4 -

ÁLTALÁNOS ALGORITMUS (LKN) Modell: diszkrét bemenet-kimenet modell Mérés:

bemenet és kimenet Mindkettő hibával terhelt !

zaj (ARMA formában): (ν1 , ν2 : fehérzaj) C ( q −1 ) e1 ( k ) = v (k ) D ( q −1 ) 1

u~ ( k ) = u ( k ) + e1 ( k ) ~ y ( k ) = y ( k ) + e2 ( k )

e2 ( k ) =

E ( q −1 ) v (k ) F ( q −1 ) 2

„2

„1

C

E

D

+

~u

+

~y

+

+ u

F

B

y A

mérési modell: C ( q −1 ) ⎞ E ( q −1 ) B ( q −1 ) ⎛ ~ ~ y (k ) = ⎜ u (k ) − v⎟+ v A( q − 1 ) ⎝ D ( q − 1 ) 1⎠ F ( q − 1 ) 2

- 3.5 egyszerűsített mérési modell (csak a kimeneten van zaj): B ( q −1 ) ~ ~ y (k ) = u (k ) + v (k ) A( q − 1 ) azaz n

m

n

y ( k ) = − ∑ ai y ( k − i ) + ∑ bi u ( k − i ) + v ( k ) + ∑ ai v ( k − i ) 1 444 i =1 i=0 i =2 1444 3

e(k): MA zajmodell A paraméter identifikálási probléma általánosítása:

PARAMÉTERBEN LINEÁRIS MODELL: y ( k ) = θ1 x1 ( k ) + θ2 x2 ( k ) + K + θn xn ( k ) + e( k ) ahol

x ( k ) = −y ( k−1), −y ( k−2 ), K , −y ( k−n ), u ( k−1), u ( k−2 ), K , u ( k−m ) (megfigyelési vektor)

θ = a1 , a2 , K , an , b1 , b2 , K , bm

y = y ( 0 ), K , y ( N ) e = e ( 0 ), K , e ( N )

T

(paraméter vektor)

T

(kimenet vektor)

T

(zaj vektor)

legyen ⎡ x− ( 0) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x− (1) ⎥ ⎢ ⎥ . ⎥ ⎢ X (N) = ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ x ( N )⎥ ⎣⎢ − ⎦⎥

RENDSZER: y = Xθ + e

(megfigyelési mátrix)

MODELLJE: $ y$ = X ∅ −

LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE (LKN, off-line)

- 3.6 -

Határozzuk meg a paramétereket úgy, hogy a becslés hibájának négyzet összege minimális legyen ! becslés hibája: e$ =

y- X

$ ∅

szélsőérték probléma:

min[y- X megoldás:

(

$ ] T [y- X ∅ $] ∅

$ = XT X ∅

)

−1

XTy

REKURZÍV LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE (RLKN) -

működő folyamattal párhuzamosan (on-line)

-

minden lépésben újabb becslés

-

az előző becslés eredményét használja

-

időben változó paraméterű folyamatok követése

ALGORITMUS:

(

$ ( N + 1) = ∅ $ ( N ) + 1 P( N ) x T ( N + 1) y ( N + 1) − x ( N + 1)∅ $ (N ) ∅

α

)

1 ⎛ ⎞ P ( N + 1) = P ( N ) ⎜ E − x T ( N + 1) x ( N + 1) P ( N )⎟ / λ ⎝ ⎠ α T

α = λ + x ( N + 1) P ( N ) x ( N + 1) −

index: N - becslési (illetve mérési) lépés

(

P( N ) = X T ( N ) X ( N )

λ ∈ ( 0,1]

)

−1

(felejtési tényező)

- 3.7 -

Kezdőértékek meghatározása az RLKN módszerhez: 1. Off-line LKN alkalmazása

( P ( 0) = ( X

) ( N ) X ( N ))

$ ( 0) = X T ( N ) X ( N ) ∅ 0 0 T

−1

X T ( N0 ) y( N0 )

−1

0

0

y ( N 0 ) = [ y ( 0), y (1),..., y ( N 0 )]

T

N 0:

kez det i mérések száma

2. Becsült kezdőérték alkalmazása $ ( 0) = 0 ∅ P ( 0) = α E

α legyen nagy ( pl. 10000)

VIZSGÁLÓJEL: Fedje le a vizsgált tartományt és legyen elég "gazdag" dinamikájú. Például:

PRBS (bináris álvéletlen számsorozat) 1 0

4. RENDSZERANALÍZIS Tulajdonságok: STABILITÁS MEGFIGYELHETŐSÉG IRÁNYÍTHATÓSÁG

.

- 3.8 -

. . Vizsgálati lehetőségek: ANALITIKUS SZIMULÁCIÓS FIZIKAI KÍSÉRLET

VÁLASZ

INGER RENDSZER

(Gerjesztés)

TULAJDONSÁG

LINEÁRIS

Gerjesztéstõl független Tartományra jellemzõ (Teljes értelmezési tartomány) Közvetlenül megállapítható

NEMLINEÁRIS

Gerjesztéstõl függõ "Munkapont"ra jellemzõ

(Az értelmezési tartomány egy pontja) Közvetetten, linearizálás útján vizsgálható

- 3.9 -

4.1. A modellek megoldása Analitikus - numerikus FOLYTONOS RENDSZEREK

u(t)

y(t)

n

∑a i=0

n−i

diy = ϕ ( u ( t )) dt i

⇑ gerjesztés bemenet − kimenet

⇒ DE (n-ed rendű)

•

x = Ax + Bu ⇐ gerjesztés −

y = Cx + Du állapottér

konvolúciós ∞

y ( t ) = ∫ g ( t − τ ) u (τ ) dτ 0

⇒ DER (n ismeretlenes)

- 3.10 -

Analitikus megoldás

konstans együtthatós eset

Általános megoldás

= homogén általános + inhomogén partikuláris

Általános megoldás

}⇒megoldás

+kezdeti fetételek

Homogén DE: n di y ∑ an −i i = 0 dt i=0 y(t) = e

λt

di y = λi eλ t i dt n

∑ a n −1 λi eλ t = 0

i=0 n

∑ a n − i λi = 0

i=0

↑ karakterisztikus egyenlet

⇒

λi

/ i = 1,..., n

gyökök

- 3.11 -

Konstans együtthatós n-ed rendű differenciálegyenlet megoldása

Gyökök

Hozzájárulás a megoldáshoz

egyszeres valós

λ1≠λ2≠...≠λn-1≠λn

yc = C1eλ1t + C2eλ 2t +L + Cn eλ n t

ismétlődő valós

λ1=λ2=...=λn-1=λn

y c = ( C1 + C2 t + C3t 2 +....+ Cn t n /1 ) e

λt

egyszeres komplex párok

λ1 = α + βi

λ 2 = α − βi

..................................................

λ n −1 = γ + δi

λ n = γ − δi

yc = eα t ( C1 cos β t + C2 sin β t ) +...+ eγ t ( Cn − 1 cosδ t + Cn sin δ t )

ismétlődő komplex párok

λ1=λ3=...λn-1 = α+βi λ2=λ4=...λn = α−βi

yc = eα t ( C1 + C3t +...+ Cn − 1t n / 2 − 1 ) cos β t + eα t ( C2 + C4 t +...+ Cn t n / 2 ) sin β t

- 3.12 -

Homogén egyenlet általános megoldása n

∑ C exp(λ t ) i

i =1

i

lineáris kombináció λ i = λ j akkor és csak akkor ha i=j (egyszeres gyökök) ha λ l = λ k ≡ λ akkor Cl exp(λ t) + Ck t exp(λ t) alak kétszeres gyökök Cl exp(λ t ) +...+ Cp t m− 1 exp(λ t )

m-szeres gyökök Inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása

próbálgatás nem rögzített együtthatókkal - kielégíti a DE-t p(t) A DE általános megoldása n

∑ C exp(λ t ) + p(t ) i =1

i

i

A kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris:

/ i = 1,..., n meghatározása a kezdeti feltételekből

Ci n

∑C i =1

i

= y ( 0) − p ( 0)

n

∑λC i =1

i

i

=

dy ( 0) − p′ ( 0) dt

. .

d n −1y n −1 λi Ci = n −1 ( 0) − p ( n −1) ( 0) ∑ dt i =1 n

← partikuláris megoldás

LER C-re

- 3.13 -

Ha minden λ valós

Ha λ i komplex

exp j x = cos x + j sin x

λi = αi + βi j ⇒ ci exp(αi t) cos(βi t) tag

- 3.14 -

Homogén DER

•

x = Ax _

x(t) = exp [ A (t − to) ] x (to) •

(x = A x

t = to

x = x(to)

x(t )

t

dx = A ∫ dt ∫ x x (t0 ) t0 ln

x (t ) = A( t − t 0 ) x ( t0)

x( t) = exp[ A( t − t 0 )] x( t 0 )

)

Hogyan értelmezhető az exp (A) függvény ? - egy mátrix ∞

f ( A) =

∑c A

i

i =1

i

végtelen sorral

- 3.15 -

Zárt alakban is megadható a Lagrange-féle interpolációs képlethez hasonló formulával λ − λj j=1 λi − λ j n

Pi ( λ) = Π

j≠ i

Lagrange-féle interpolációs képlet

⇓

n A − λ jE P i (A ) = Π j=1 λ i − λ j j≠i ahol λ i K( λ ) = A − λ E ,

K( λ ) = 0 ⇒ λ i

/ i = 1,..., n gyökök, az A saját-értékei.

Sylvester-féle kifejtési tétel: n

f ( A) = ∑ f ( λ i ) ⋅ P i ( A) i =1

ha λ i ,

/ i = 1,2,..., n egyszeres gyökök

- 3.16 -

A Sylvester-féle kifejtési tétel másik alakja:

f (λ i ) Adj [λ i E − A ] ⎛ dK( λ ) ⎞ i =1 ⎜ ⎟ ⎝ dλ ⎠ λ = λ n

f (A ) = ∑

i

Adjungált (társ) mátrix

[ ]

Adj ( A) = A∗

T

= [ AT ]

∗

A = a i j ≡ α i j + βi j i A ∗ = a ∗i j ≡ α i j − β i j i

az A konjugáltja

- 3.17 -

Többszörös gyökök esetén λ i legyen k i -szeres

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ( k i −1) f ( λ ) Adj λ E − A ⎥ η ⎢ 1 [ ] d f (A ) = ∑ ⎥ ⎢ k i −1 n kj i =1 ( k i − 1)! ⎢ d λ ⎥ Π λ − λj ⎥ ⎢ j=1 ⎥ ⎢ j≠i ⎦ λ =λ ⎣

(

)

i

az összegzés a többszörös gyökökre csak egyszer (η a különböző gyökök száma) ! más alakban: η

f ( A) =

ki

∑∑

f k − 1 (λi ) P ( ki − k ) ( A)

i =1 k =1

i

( k − 1)!

ahol

⎛ d k f (λ ) ⎞ f (λ i ) = ⎜ k ⎟ ⎝ d λ ⎠ λ =λ k

⎡ ⎢ ⎢ 1 ⎢ dk k Pi (A ) = ⎢ k k! ⎢ d λ ⎢ ⎢ ⎣

i

⎤ ⎥ ⎥ Adj[λ E − A ] ⎥ ⎥ n k j Π λ − λj ⎥ ⎥ j=1 ⎥ j≠i ⎦ λ =λ

(

)

j

- 3.18 -

Gerjesztéssel

•

x = Ax + Bu _

e

−At •

x− e

−At

_

(

Ax = e

−At

Bu

)

d −A t e x = e− A t B u dt

e

−A t

t

x( t ) = x0 + ∫ e − A τ B u dτ 0

x( t ) = e

t

At

x 0 + ∫ e A ( t − τ ) B u dτ 0

- 3.19 -

DISZKRÉT RENDSZEREK

Általános megoldás

= homogén általános + inhomogén partikuláris

Általános megoldás +kezdeti fetételek

}⇒ megoldás

Bemenet - kimenet modell n

m

∑ a y (k − i ) = ∑ b u(k − i ) i =1

i

i=0

i

↑ f ( k ) ( forced response)

léptetés: ∗q

n

n

m

i=0

i=0

∑ a i y( k + n − i) = ∑ b i u( k + n − i)

- 3.20 -

n

∑ a y (k + n − i) = 0

homogén (free response)

legyen a megoldás:

y(k) = hk alakú:

i=0

i

⎛ n ⎞ ∑ a i y( k + n − i) ≡ ⎜⎝ ∑ a i h n − i ⎟⎠ ⋅ h k = 0 i=0 i=0 n

h≠0

a0 hn + a1 hn-1 + ... + an-1 h + an = 0 karakterisztikus egyenlet

megoldás: h1, h2, ..., hn homogén általános megoldás: n

yh ( k ) =

∑Ch i =1

hi

k i i

ha egyszeres valós gyökök

lehet komplex is lehet többszörös gyök is

- 3.21 -

Konstans együtthatós n-ed rendű differenciaegyenlet megoldása

Hozzájárulás a homogén megoldáshoz

A gyök típusa

1. egyszeres valós gyök h 2. egyszeres komplex pár

h1 ± i h 2

chk

[

R k C1 cos( kΘ ) + C2 sin( kΘ )

]

/R = h12 + h22 ⎛h ⎞ Θ = t a n −1⎜ 2 ⎟ ⎝ h1 ⎠

3. p-szeres valós gyök h

h k ( C1k p − 1 + C2 k p − 2 +...+ + Cp − 1k + Cp )

R k [ ( C1k p −1 +...+ Cp ) cos(Θk ) + 4. p-szeres komplex pár

h1 ± i h 2

+ ( d1k p −1 +...+ d p ) sin(Θk ) ]

/ R = h12 + h 22 Θ = t a n −1 ( h2 / h1 )

- 3.22 -

Inhomogén partikuláris

Határozatlan együtthatók módszere (korlátozott)

gerjesztő függvény f(k)

"próba alak"

βk

A βk

sin(α k) vagy cos(α k)

A cos(α k) + B sin(α k)

m

∑αj kj

j= 0 m k

β ∑αj kj j= 0

β sin(α k ) vagy

m

∑Aj kj

j= 0 m k

β ∑Aj kj j= 0

k

β k cos(α k )

β k [ A cos(α k ) + B sin(α k )]

A, B, A0, A1.... határozatlan konstansok Megoldás: a továbbiakban mint folytonos rendszereknél

- 3.23 -

Állapottér modell

x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )

k=0

x (0)

ismert

u( 0) , u(1) ,..., u( k) ,... ismert Homogén

x ( k + 1) = Ax ( k ) x (1) = Ax ( 0) x ( 2 ) = Ax (1) = A ⋅ Ax ( 0)

. . . x ( k ) = Ak x ( 0)

homogén

- 4.1 -

Inhomogén

x (1) = Ax ( 0) + Bu ( 0) x ( 2 ) = Ax (1) + Bu (1) = A2 x ( 0) + A Bu ( 0) + Bu (1)

. . . k −1

x ( k ) = A x ( 0) + ∑ Ak − j − 1 Bu ( j ) = k

j=0

k

= Ak x ( 0) + ∑ Ak − j Bu ( j − 1) j =1

legyen φ ( k , j ) = Ak − j diszkrét állapot átviteli mátrix k −1

x( k ) = φ( k ,0) x( 0) + ∑ φ( k − 1 − j) B u( j) j= 0

az állapot egyenlet általános megoldása A kimenet:

k −1

y( k) = C φ( k,0) x( 0) + ∑ C φ( k − 1 − j) B u( j) + D u( k) j= 0

- 4.2 -

4.2. Stabilitás Bevezetés NEWTON: A stabilitás felvetése (1686) (a Naprendszer bolygóinak mozgása)

EULER LAGRANGE LAPLACE

⎫ a stabilitás vizsgálatok megalapozása ⎬ a DER megoldása ⎭

LAGRANGE:

Ha a mozgás teljes energiája állandó (konzervatív rendszer) maximális potenciális energia ⇒ a mozgás labilis minimális potenciális energia ⇒ a mozgás stabilis

MAXWELL:

linearizálás, karakterisztikus gyökök (gőzgépek szabályozása)

ROUTH (1877) HURWITZ (1895)

POINCARE:

}

a megoldás és a gyökök kiszámítása nélkül

LAGRANGE-módszer kiterjesztés ⇒ fázis-sík módszer

NYQUIST (1932): visszacsatolásos szabályozás LJAPUNOV (1857-1918): közvetett közvetlen módszer LETOV, KALMAN, stb.

- 4.3 -

y

u

Általánosan:

Rendszer

∆y < M > 0 ⇒ stabil ∆u

NEMLINEÁRIS u

x

LINEÁRIS

y

uv

•

xv

•

y

x v = f ( xv , uv ) vonatkozási xv = xv ( x ( 0), t , uv )

x = f (x , u)

∆x ( t ) ∆ x ( t ) − xv

↑ ↑ perturbált vonatkozási trajektória

VONATKOZTATÁS (PERTURBÁLÁS)

• ⎛∂ f ⎞ ⎛∂ f ⎞ ⎟ ∆x + ⎜ ⎟ ∆u + f ( xv , uv ) x=⎜ ⎝ ∂ x⎠ ⎝ ∂ u⎠

LINEARIZÁLÁS • ⎛∂ f ⎞ ∆x = ⎜ ⎟ ⎝ ∂ x⎠x

v

,uv

⎛∂ f ⎞ ∆x + ⎜ ⎟ ⎝ ∂ u⎠x

∆u v

, uv

TRANSZFORMÁCIÓ •

(GERJESZTÉS MENTESSÉG) x = A x

↑ PERTURBÁLÁSI

- 4.4 -

Stabilitás definíciója

Az x(t) perturbálási trajektória LJAPUNOV-i értelemben stabilis a vonatkoztatási trajektóriához képest, ha bármely ε > 0 értékhez meghatározható egy δ (ε) > 0 érték úgy, hogy x (0) ≤ δ teljesülésével

x( t ) < ε, ∀ t > 0

Ha lim x ( t ) = 0 t→∞

[

ε értékétől függően

teljesül ⇒

ASZIMPTOTIKUS STABILITÁS

kicsiben stabil (lokális) nagyban stabil (globális)

]

- 4.5 -

LJAPUNOV közvetett módszere A MEGOLDÁS ELŐÁLLÍTÁSA a karakterisztikus egyenlet gyökei a rendszer mátrix saját értékei az átviteli függvény pólus helyei Tételek:

1. A lineáris (és a hozzátartozó nemlineáris) rendszer asziptotikusan stabil, ha a gyökök baloldaliak lm

Re

Lim x = 0 t→∞

2. ...... labilis ha legalább egy gyök jobboldali lm

Re

3. Ha valamely gyök a képzetes tengelyre esik → további vizsgálat lm

Re

- 4.6 -

Folytonos rendszer stabilitása (a traszformált tartományban)

Pólushelyek: S1,S2,...,Si,....,Sn

- 4.7 -

Diszkrét rendszerek stabilitása Analitikus megoldás (a hi gyökök elhelyezkedése a komplex számításokon)

Stabilitás a transzformált tartományban

Pólushelyek: z1,...zn egységsugarú

-1

z +1 z −1 w +1 z= w −1 w=

Bilineáris transzformáció

- 4.8 -

LJAPUNOV közvetlen módszere közvetlen - nem kell a gyököket előállítani LJAPUNOV függvény: V(x)

1. x állapot trajektória ha x = 0 → V(x) ≡ 0 2. V( x) → ∞ ha x i → ∞ / x i ∈ x Definitség definíciója (előjel meghatározottság)

V(x) pozitív (illetve negatív) definit az origót körülvevő tartományban, ha: 1. az origót kivéve nem zérus 2. csak pozitív (csak negatív) szemidefinit: indefinit:

ha az 1. nem teljesül ha egyik sem (előjel váltás)

Ljapunov függvény deriváltja •

V (x ) =

∂V • ∂V T ∂V = W (x ) T x = T A x ≡ ( A x) ∂x ∂x ∂x

V(x) = W(x) W(0) = 0

állapot függvény kezdeti érték

- 4.9 -

Tételek (elégséges, de nem szükséges feltételek)

1. A rendszer stabilis:

lim||x||= véges, t→∞

ha megválasztható egy definit V(x) LJAPUNOV függvény és W(x) deriváltja pedig ellentétes értelemben szemidefinit

2. A rendszer aszimptotikusan stabilis:

lim x ( t ) = 0, t→∞

ha W(x) ellentétes értelemben definit

3. A rendszer labilis: ha V(x) és W(x) azonos értelemben definit.

lim x ( t ) = 0, t→∞

- 4.10 -

A LJAPUNOV-függvény megválasztása: (gyakran a teljes "energia" ⇒ LAGRANGE)

Legyen V ( x ) = x T Px kvadratikus alak P szimmetrikus, pozitív definit

PT ≡ P W ( x ) = V& ( x ) = x& T Px + x T Px& = x T AT Px + x T P Ax =

(

)

= x T AT P + P A x = x T N x 14243 N

ha N negatív definit mátrix → a rendszer aszimptotikusan stabil Egy mátrix definitségének megállapítása (SYLVESTER-tétel)

pozitív definit , ha mindegyik fődetermináns pozitív ⎡ a11 . . . a1n ⎤ ⎢ ⎥ . ⎥ ⎢. ⎢. . ⎥ 〉 0 a11 〉 0, ⎢ ⎥ . ⎥ ⎢. ⎢a . . . a ⎥ nn ⎦ ⎣ n1

a11 a12 〉 0, a21 a22

... 〉 0

- 4.11 -

Példa: Másodrendű rendszer vizsgálata

τ2

d2y dy + 2 ξτ +y=ku dt dt 2 A( s) = τ 2 s 2 + 2ξ τ s + 1 = 0

s1,2

−2ξτ ± 4ξ2 τ 2 − 4τ 2 −ξ ± ξ2 − 1 = ≡ 2τ 2 τ

A megoldás jellege (teljes analitikus megoldás)

ξ 〉1

→

valós

0〈 ξ 〈1

→

komplex →

csillapodó lengés

−1 〈 ξ 〈 0 →

komplex →

instabil lengés

ξ 〈 −1

valós

instabil aperiodikus

→

→

→

aperiodikus

- 4.12 -

Példa: Stabilitás vizsgálat Folytonos elsőrendű rendszer:

τ

dy +y=Ku dt

/ τ időállandó K erősítő tényező A(s) = τ s + 1 = 0

pólushely: s = −

1 τ

Im (s) = 0 ⇒ valós megoldás RE (s) < 0 ⇒ STABIL ! Diszkretizálás:

τ

y k+1 − y k + yk = K uk T0 ⇓ átrendezés(,léptetés

T⎞ ⎛ yk − ⎜ 1 − 0 ⎟ ⎝ τ3⎠ 12 4 4

a∈(0,1)

yk −1 = K

mert

T0

τ

uk −1

T0<τ

⇓ Z-transzformáció

A( z −1 ) = 1 − a z −1 = 0

pólushely: z = a ⇒ − 1 〈 z 〈 1 STABIL (Analitikus megoldás : kons * ak)

- 4.13 -

REAKTOR STABILITÁS (fázissík) [ 16 ]

(elsőrendű irreverzibilis reakció, CSTR)

csillag pont (valós,-)

nyereg pont

fókusz pont (komplex,-)

- 4.14 -

4.3. Megfigyelhetőség

u(t)

u( t ) y( t )

y(t)

x(t)

a kimenőjelek mennyire vannak kapcsolatban minden állapotváltozóval ?

/ t ∈[ t 0 , t1 ] véges / t ∈[ t 0 , t 1 ] véges

}⇒ x( t ) 0

∀ t 0 -ra

Gerjesztetlen rendszer

x( t) = e At x 0 y( t) = C e At x 0 a t 0 , t1 intervallumban a mátrix sorai lineárisan függetlenek ! Állandó paraméterű lineáris rendszerre: •

x = Ax + B u

y=Cx+Du s(x) = n s(u) = m s(y) = p

QM = [ C T , AT C T ,...,( AT ) n − 1 C T ]

megfigyelhetőségi mátrix n × (n · p) Megfigyelhetőség:

rang(QM) = n

- 4.15 -

4.4. Irányíthatóság állapot irányíthatóság: létezik olyan u(t) / t ∈ [ t0,t1 ] véges, amely a rendszert x(t0)-ból egy előre specifikált x(t1)-be viszi, kimenet irányíthatóság: létezik olyan u(t) / t ∈ [ t0,t1 ] véges, amely az x(t0)-ban levő rendszert olyan állapotba viszi, hogy y(t1) kimenete előre specifikált értékű lesz.

Konstans együtthatós rendszerre:

[

QI = B , A,.., An −1 B

]

n × ( n ⋅ m)

irányíthatósági hiper mátrix Állapot irányíthatóság

rang( Q I ) = n

[

QK = C B , C A B , C A 2 B ,..., C An − 1B

]

(gerjesztés nélküli rendszer) Kimenet irányíthatóság

rang( Q K ) = p

p × ( n ⋅ m)

- 4.16 -

Irodalomjegyzék

[1] Szűcs Ervin : Rendszer és modell II., Tankönyvkiadó, Bp. 1990. [2] Almásy Gedeon: A Kalman féle rendszermodell és rendszerek osztályozásának néhány szempontja, Kézirat, Veszprém, 1975. [3] Carberry, J.J.: Chemical and Catalytic Reaction Engineering, McGraw Hill, New York, 1976. [4] Fogalmi rendszerekről, szerkezetekről és szervezetekről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1979. [5] Winter,P.: Computer-Aided Process Engineering: The Evolution Continues, Chem.,Eng.,Prog. 76 (1992) [6] Bertalanffy,L.: The General System Theory, Braziller, New York, 1968. [7] Zadeh,L.A.,Polak E.: Rendszerelmélet, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972. [8] Birkhoff - Bartee : A modern algebra a számítógép tudományban, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974. [9] Korn,G.A., Korn,T.M.:Matematikai kézikönyv műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975. [10] Fodor Gy.: Lineáris rendszerek analízise, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1967. [11] Stephanopoulos,G.:Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1984. [12] Aström, K.J.: Introduction to Stochastic Control Theory, Akademic Press, New York, 1960. [13] Aström, K.J., Wittenmark, B.: Computer Controlled Systems: Theory and Design, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, [14] Almásy G., Nagy D.: Vegyipari rendszertan, Jegyzet, Veszprémi Egyetem, 1974. [15] Csáky F.: Fejezetek a szabályozástechnikából. Állapotegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. [16] Vajda S.: Vegyipari folyamatok dinamikája és irányítása, Tudományszervezési és Informatikai Intézet, Budapest, 1984. [17] Matlab Fuzzy Logic Toolbox, Users Guide, MathWorks Inc., 1995.