REFRACTIE VAN DEININGSSPECTRA D. VAN DEN EYNDE, assistent, Ministerie van Votksgezondheid en Leefmilieu, Beheerseenheid Mathematisch Model Noordzee en Schelde-estuarium (B.M.M.) Prof. J. BERLAMONT en J. MONBALIU. K.U.Leuven, Faculteit Toegepaste Wetenschappen, Dept. Bouwkunde. Laboratorium voor Hydraulica.
1. INLEIDING· CONTEXT
De Belgische havens hebben sinds eeuwen met verzanding en toeslibbing af te rekenen. De laatste jaren echter worden de problemen steeds indrukwekkender. Immers, de groter en zwaarder wordende zeesche· pen hebben een steeds grotere diepgang zodat men enerzijds dieper moet baggeren en er anderzijds een betere kennis en voorspelling van het zeeniveau nodig wordt, wil men de nodige waterdiepte en kielspeling vrijwaren. In verband met het zeeniveau. zjjn er twee fysische fenomenen van groot belang. Vooreerst zijn er de laagfrequente getijdegolven met een periode van ongeveer twaalf uren, die een hoogteverschil van vier à vijf meter veroorzaken. Op de tweede plaats zijn er ook de hoogfrequente windgolven met een periode van twee tot twintig seconden. Tijdens stormen kan de significante golfhoogte van deze windgolven (cfr. infra) oplopen tot zeven à acht meter met maximale golfhoogten tot meer dan tien meter! Het is dus duidelijk dat dit fenomeen niet over het hoofd mag gezien worden. Verder blijkt voor de scheepsbewegingen. vooral de laagfrequente energie van de zeegolven, de zgn. 'deining' (cfr. infra), belangrijk te zijn. De herkomst van deze deining vanuit open zee naar de kust loe, langs de zgn. 'golfstralen' . en het verloop van de energie langs die stralen zijn voor de scheepvaart dus van een groot belang. Ook voor de stranderosie bijvoorbeeld zijn deze gegevens belangrijk. Daarom werd aan het departement Bouwkunde van de K.U.Leuven. recent een nieuw 'spectraal refractiemodel' ontwikkeld. Het is dit model (en zijn toepassingen) dat nader zal worden besproken. 2. ALGEMENE BEGRIPPEN Het begrip golven doet meestal denken aan de zgn. enkelvoudige golfbeweging, die we kunnen voorstellen door een serie evenwijdige golfkammen, die allen even hoog zijn en die op een gelijke afstand van elkaar en met con.stante snelheid voortlopen in de
168
richting loodrecht op de richting van de golfkammen, waarbij ze hun vorm bewaren. In de realiteit echter zien de golven er niet zo eenvoudig uit, maar bestaan ze uit een onregelmatige opeenvolging van bulten en holten. Dergelijke golfpatronen zijn het best te beschrijven door de superpositie van een zeer groot aantal enkelvoudige golven componenten genoemd -, die allen een verschillende frequentie, een verschillende richting en een verschillende golfhoogte hebben. Deze golfhoogte, die gedefinieerd wordt als het hoogteverschil tussen top en dal van een enkelvoudige golf, is evenredig met de vierkantswortel van de energieinhoud per oppervlakte-eenheid van die component. De verdeling van de totale energie-inhoud van een golf over alle componenten, gekarakteriseerd door frequentie en richting. noemen we het tweedimensionale energiespectrum van de golven. Het frequentie- en het richtingsspectrum zijn respectievelijk de verdeling van energie over de componenten met een bepaalde frequentie of met een bepaalde richting. Het tweedimensionale spectrum wordt dan over de richtingen of over de frequenties geïntegreerd. De significante golfhoogte wordt dan gedefinieerd als het gemiddelde van het hoogste derde deel van alle golfhoogten over een voldoende grote tijd. Benaderend is ze gelijk aan viermaal de vierkantswortel uit de totale energie-inhoud van de golven. Golven worden in de eerste plaats veroorzaakt door de wind. Wanneer de golven nog onderhevig zijn aan deze stuwende wind, spreekt men van zeegang. Er bestaat dan een voortdurende interactie tussen de verschillende golfcomponenten. Wanneer de wind gaat liggen of de golven lopen uit het windveld, noemt men de resterende golven deining. Men veronderstelt dat in dit geval de golfcomponenten onafhankelijk van elkaar zijn geworden en dat men van elke golfcomponent afzonderlijk de vooruitgang (langs de golfstralen) kan volgen. Wanneer de golven nu de kust naderen en in 'ondiep water' (relatief Lo.v. de golflengte) terecht komen. treden er verschillende verschijnselen op waarvan shoaling en re-
fractie de belangrijkste zijn in de zuidelijke Noordzee. Onder refractie verstaan we het zwenken van de golven onder invloed van een snelheidsgradiënt over een golfkam. Deze snelheidsverandering kan in een eerste geval veroorzaakt worden door een ondiepe, niethorizontale bodem. Uit de dispersierelatie (cfr. infra) volgt immers dat de golfsnelheid zowel afhankelijk is van de frequentie (d.i. dispersie) als van de waterdiepte (indien deze klein genoeg is). Hoe dieper het water, hoe sneller de golf met een bepaalde frequentie zich voortplant. Wanneer een golfkam dan de kust nadert onder een bepaalde hoek met de (veronderstel evenwijdige) dieptelijnen· zie figuur 1 -, zal hetlandwaartse gedeelte van de golf meer vertragen dan het zeewaartse gedeelte. Dit laatste bevindt zich dan nog in dieper water en blijft met een grotere snelheid doorlopen. Het landwaartse gedeelte zal de bodem sneller voelen en zal achterblijven t.o.v. het zeewaartse gedeelte. Daardoor zal het golffront aan de kust zwenken. Dit noemt men diepterefractie. Het verschijnsel wordt vergeleken met de breking van licht, wanneer het in een ander medium doordringt. Ook daar is de 'refractie' het gevolg van de verandering van de snelheid onder invloed van het medi-
um. Een tweede oorzaak van refractie is een stromingsgradiënt. De golven worden a.h.W. weggeduwd of meegesleurd (het zgn. 'Doppler-effect' voor zeegolven). We noemen dit stromingsrefraclie. Het is duidelijk dat in beide gevallen de getijden een belangrijke rol spelen aangezien zij zowel de stromingen als de waterdiepten in de zee beïnvloeden. Moeilijkheden ontstaan wanneer twee golfstralen. die initieel evenwijdig lopen. door het refractieëffect zo afgebogen worden dat ze elkaar snijden. Immers, wanneer we veronderstellen dat de energieflux tussen twee stralen constant blijft, impliceert dit dat op de plaats van zulk een snijpunt de energie per oppervlakteëenheid oneindig wordt. wat natuurlijk onmogelijk is. Ook kunnen er dan moeilijkheden optreden bij het interpreteren
Water nr. 52· mei/juni 1990
Fig. 1: Refractie van golfstralen (naar Groen en Dorrestein. 1976)
Cg = n.c = 112 (1 + 2 kD/sinh 2kD).c
/
"Golfkammen /
/
/
-~
/
met Cg: de groepssnelheid voor golfgetal k /
Dieptelijnen / j
,
c.
\
Het feit dat de golfsnelheid functie van de waterdiepte is, zoals gezegd, essentieel voor het refractieverschijnsel. Een derde belangrijke vergelijking is de vergelijking van het verloop (tracé) van een golfstraal. Hiervoor geldt: dadds = -1OI.\7c / met
Kust
van de resultaten. De omhullenden van dergelijke snijpunten noemt men 'CBUSticS' of brandlijnen. Het shoaling-effect betreft de veranderingen, die een golf ondergaat wanneer deze in ondiep water terecht komt. Aangezien de golfsnelheid van een golfcomponent en daardoor ook zijn energiesnelheid afhankelijk zijn van de waterdiepte, terwijl daarentegen de periode van die component constant blijft, zal ook de golfhoogte en de bijhorende energie-inhoud per oppervlakte-eenheid veranderen als gevolg van veranderlijke waterdiepte. 3. SPECTRALE REFRACTIE VAN EEN DEININGSSPECTRUM Bij het opstellen van een nieuw model om de refractie van deining uit te rekenen, werd ernaar gestreefd de problematische 'caustics' te vermijden. Op basis van een bondige literatuurstudie (zie Van den Eynde. 1988) werd besloten de refractie methode toe te passen, zoals voorgesteld door Abernethy en Gilbert (1975). Deze methode neemt. in tegenstelling tot de klassieke refractiemethoden die slechts betrekking hebben op één golfcomponent, een heel spectrum van golfcomponenten in rekening en vermijdt op die manier het voorkomen van caustics (zie Abernethy en Gilbert, 1975). Er wordl nagegaan hoe de karakteristieken van een geheel spectrum van golfcomponenten veranderen wanneer deze van 'diep' ('offshore') naar 'ondiep' ('inshore') water uitlopen. Er kunnen in deze methode, ruw beschouwd, vier basisvergelijkingen onderscheiden worden.
(2)
met g: de val versnelling = 9.81 m/s 2 k: het golfgetal van de golfcomponent = 2 1r / golflengle c: de fasesnelheid van een golfcomponent met golfgetal k 0: de waterdiepte Deze vergelijking illustreert duidelijk dat de golfsnelheid afhankelijk is van de frequentie (via het golfgetal) - er is dus dispersie - en van de waterdiepte. De dispersie brengt mee dat het golfbeeld (samengesteld uit meerdere componenten) verandert wanneer de golven voortlopen, zodat de energievoortplantingssnelheid van een goJfcomponent, zijnde de groepssneJheid bij een gegeven frequentie, niet meer gelijk is aan de fasesnelheid van die component maar kan geschreven worden als:
C
(3)
de hoek van de straal Lo.v. een vaste referentierichting s de afstand gemeten langs een straal ti een eenheidsvector normaal op een straal en naar de linkerkant gericht t.o.v. de richting van de straal \7 : (ó /óx,ó /óy) : de nabla- of gradiëntoperator. 0.
In wezen is deze vergelijking slechts een uitbreiding van de bekende brekingswet van Snellius (voor de breking van licht). Een laatste essentiële vergelijking voor de refractie van deiningsspectra is de wet van Longuet-Higgins - zie Longuet-Higgins, 1957 -, die het verband aangeeft tussen spectrumordinaten in punten langs een straal. We kunnen deze schrijven als: S(I.,,) = S'(I,a.). F S'(I,,,.). cgoc. / Cg C met S(f ,a)
S'(f,ao)
F co' c
(4)
de spectrumordinaat van het 'inshore'-spectrum voor frequentie = f en richting = a de spectrumordinaat van het 'offshore'-spectrum voorfrequentie = f en richting = a o de transformatiefactor. de zgn. 'F-factor' de fasesnelheid (van de
Fig. 2: Refractiemethode volgens Abernethy en Gilbert (1975).' berekenen van het verloop van een golfstraal in omgekeerde richting.
r-------------------(XE,YE) ------l
I I I
b
De eerste is de reeds eerder genoemde dispersievergelijking. die rechtstreeks volgt uit de hydrodynamica van een enkelvoudige golf (de lineaire theorie van Airy-Stokes). Men kan ze schrijven: C'
= glk.tanh k.D
Water nr. 52 - mei/juni 1990
(1 )
169
de hoger uiteengezette formules, werd een volledig operationeel rekenmodel uitgewerkt. Voor de programma's ter berekening van het verloop van een straal, kon worden uitgegaan van programma's van het Hydraulic Research Station (HRS), zie Brampton. 1981. Problemen bij het operationeel maken op het beschikbare computersysteem leidden er uiteindelijk toe dat een eigen bewerking van deze programma's werd geïmplementeerd. Het rekenmodel berekent in elk willekeurig punt het volledige tweedimensionale deiningsspectrum (de energie als functie van frequentie en richting). Vooraf dient men het ruimtelijke rooster te specifiëren (uitgebreidheid. roosterafstand en bathymetrie). alsook het punt waarvoor men de berekening wil uitvoeren. Bovendien moet men ook het bekend veronderstelde spectrum in diep water en de gewenste (nodige) nauwkeurigheid van het te berekenen spectrum specifiëren, Als resultaten krijgt men, naast het tweedimensionaal spectrum in het gevraagde punt, ook enkele afgeleide grootheden waaronder de ééndimensionale geïntegreerde spectra over frequentie en richting,
Fig. 3: Ligging van 4 punten in de zuidelijke Noordzee. voorde kusten van (1) België, (2) Nederland, (3) Frankrijk en (4) Engeland, die gebruikt worden in toepassing ,. 260 2'0 220
tJ
2:0
~
'80
W ~
~
"0 "0
1
r
1 I
G"
c-
'20
,.J
"'"80J60l
"j 20
o~
0
NL
2/
J
,
C-
I =
= '00
:;~-
" 300
20C
400
tT~~~a"os)
''1f'1''e:e'
golfcomponent met frequentie = f) in een offshore en een inshore punt (van de straal). respectievelijk de groepssnelheid (of energievoortplantingssnelheid) voor frequentie = f, in een offshore en een inshore punt. respectievelijk.
Fig. 4: Gerefracteerde goffspectra in 4 punten in de zuidelij'ke Noordzee (zie fig. 3),
•
De kombinatie van deze vier vergelijkingen, geeft een methode om het spectrum in een punt in ondiep water uit te rekenen. Kort samengevat ziet de methode er als volgt uit· zie figuur 2. Vertrekkende vanuit het beschouwde punt dat langs de kust is gelegen ('inshore') berekent men, in omgekeerde richting, het verloop van een golfstraal onder een bepaalde hoek ofwel totdat men in diep water ('offshore') komt (d.i. de rand van de beschouwde zone waarvan men het refractie-effect wil nagaan), waar de golfenergiespectra gekend verondersteld worden (geval b in fig. 2). ofwel totdat de golfstraalland bereikt. waar de golfenergie nul verondersteld wordt (geval 1). Dit verloop is afhankelijk van de frequentie waarop men de energie laat voortplanten langs de straal. Het wordt berekend met (3). waarbij 'V c en c volgen uit (1) en uit de bathymetrie, Wanneer we aldus de straal terug geconstrueerd hebben tot in een punt waar het spectrum gekend is, kunnen we door vergelijkingen (1). (2) en (4) te combineren de spectrumordinaat in ondiep water bij die frequentie en bij die beginrichting berekenen. Wanneer we dit herhalen voor alle combinaties van een aantal frequenties en richtingen. wordt op die manier in het gekozen punt in ondiep water het volledig spectrum geconstrueerd,
170
o
NI'O
x
Ga
x
Ga
RICMT "CSSI'ECTRUM Elncn)
4. HET REKENPROGRAMMA SPECIN Uitgaande van de bestudeerde methode en
.• (Hl)
~~~.~l
a.
,
...
Water nr. S2 . mei/juni 1990
Fig. Sa: Goffstralen, wanneer refractie niet in rekening wordt gebracht.
"" ~--~--~--~-,..
~--~--~~-,
'" 200
I'"
'"' '"
J
OB
'"
'" '"' " "
/
. '"
I
]
,
__r
'"'
!t, 200
lT~~llr!OSl
,n me181
""
.".
Fig. 5b: Golfstralen. wanneer refractie wel in rekening wordt gebracht. De periode is gelijk aan 9 seconden.
"'~--~-------------~~--~=~
,., '" 200
f l
'"
'" '"
OB
'"
."
': ~
"1
.. J
"
f
l B
,
,,,.
""
'0'
Fig. Sc: Golfstralen, wanneer refractie wel in rekening wordt gebracht. De periode is gelijk aan 15 seconden.
26'
,.. ". 200
'"'
i~
'"
J
OB
'"
"j /
H"
" "
:~ ,
,
•
Water nr. 52 - mei/juni 1990
]
B
.t<
""
'0'
de gemiddelde golfrichting, de gemiddelde periode en de significante golfhoogte, voor zowel het 'inshore'· als het 'offshore'·spectrum. Aldus kan men gemakkelijk een vergelijking maken en dus de invloed van de refractie nagaan. Ook de zogenaamde golf· hoogtecoëfficiënl, d.W.Z. de verhouding van de golfhoogte 'inshore' ten opzichte van de golfhoogte 'offshore', wordt berekend. Het model is op het ogenblik operationeel voor stationaire gevallen waarbij het gekende input spectrum op de rand van het roos· ter (in diep water) wordt ingegeven. In principe bestaan er geen problemen om de programma's voor niet-stationaire gevallen aan te passen. Het model brengt geen energiedissipatie in rekening (bv. door wrijving met de bodem), noch wordt er atmosferische energieaanvulling beschouwd, welke van· wege hun relatief lage frequentie overigens klein is voor deiningsgolven. Veranderingen in waterhoogte of stromingsrefractie (bv. door getijden), die voor de Belgische kust belangrijk zou kunnen zijn, worden ook niet in rekening gebracht. 5. TOEPASSINGEN EN VOORBEELDEN Bij wijze van voorbeeld werd het model toegepast op vier punten in de zuidelijke Noordzee, voor de kusten van België, Ne· derland, Frankrijk en Engeland. De zuidelij· ke Noordzee werd hiervoor gediscretiseerd in een gebied van 0° tot 6" 0 en van 51" tot 53°30' N, met sferische roosterafstanden van 1/8 0 in de x-richting (:t 8700 m) en 1/12 in de y-richting (± 9000 ml. De ligging van de punten in dit rooster is in figuur 3 weergegeven. Op de open randen van dit rooster is het spectrum gekend en wordt het constant verondersteld. De 2D·spectra worden dan berekend (m.b.v. 1599 spectrumordinaten) en worden samen met het 'diepwaterspectrum' voorgesteld d.m.v. een frequentie· en een richtingsspectrum (zie figuur 4). Uit de resultaten blijkt dat de Nederlandse kusten (punt 2) veruit het minst beschermd zijn tegen hoge golfhoogten (golfhoogtecoëfficiënt Kw = 0.97). De Engelse kust (voor de haven van Londen) is daarentegen zeer goed beschermd (I<., = 0.34). Dit is ongetwijfeld het gevolg van de 'beschermende baai' aan de noordkant, waardoor ook de gemiddelde golfrichting verschuift van <0'0> = 270" naar <0'> = 205°. Ook de Belgische kusten (punt 3) zijn, topogra· fisch gezien, goed gelegen. Door de onre· gelmatige bodem (zie het richtingsspectrum) wordt de golfhoogtecoëfficiënt be· perkt lot 0.48. In een tweede toepassing werd de invloed nagegaan van het refractie· en shoalingeffect in de zuidelijke Noordzee· waar de maximum diepte in het gemodelliseerde gebied 48 m is. Men kan zien - zie figuur 5 en 6· dat ze een belangrijke invloed hebben op het deiningsspectrum. Wanneer er geen refractie of shoaling in rekening gebracht wordt, blijkt dat de significante golfhoogte met een factor 1.76 vergroot, waarbij ook de gemiddelde golfrichting sterk verandert. Re· fractie heeft voor de Belgische kust dus een niet te verwaarlozen invloed op het deiningsspectrum, wat zijn belang heeft bij het voorspellen van het dynamische gedrag van schepen die de Belgische havens aanlopen.
171
Verder onderzoek zal erop gericht zijn om energiedissipatie en atmosferische energieInput in rekening te brengen enlof om het deiningsrefractiemodel te koppelen aan een getijdemodel, waarbij dan ook stromingsrefractie in rekening wordt gebracht. Toch worden met het huidige model reeds zeer vruchtbare resultaten verkregen. Het model wordt o.a. operationeel gebruikt op de Be· heerseenheid van de Mathematische Mo· dellen van de Noordzee (BMM) in kombinatie met een deiningspredictiemodel, zie Van den Eynde en Monbaliu, 1989.
Fig. 6a: De distorsie op een goffspectrum veroorzaakt door refractie: frequentiespectrum. FREOUENTIESPECTRUM EI')
2" 22
200
~
S ~
.., ..'", 120
7. DANKWOORD >0,
..
Dankbaarheid wordt uitgedrukt aan ir. I. Hermans en Or. F. Volkaert voor hun stimulerende raadgevingen bij het nalezen van de tekst, aan Y. Maes en B. Ryckebusch voor hun hulp bij het typwerk en aan D. Uten voor het maken van een van de tekeningen.
\
60
'",-
., 20
'.'
0075
005
t,eq!#f~:'e
0125
,Hz) I'\;ef
'"
gerei'
Fig. 6b: De distorlie van een golfspectrum veroorzaakt door refractie: richtingsspecrrum. RICHTINGSSPECTRUJ.4 ElfOC"1
Prof. J. BERLAMONT J. MONBALIU
K.u.L.
7
TI
•
!
i: J
ij
I I, I ,
•s
I
~
"
I !
J
\)
2
3.1416
\! \\
47124 f~I'lQI'aó}
0
g&r."
6. BESLUIT EN VERDERE ONTWIKKELINGEN Er werd in de loop van 1988 aan de K.U.Leuven een 'spectraal refractie model' ontwik-
172
D. VAN DEN EYNDE Ministerie van Volksgezondheid en Leefmilieu Beheerseenheid van het Mathematisch Model van de Noordzee en het ScheIdeestuarium (BMM) Guttede//e tOD 1200 Brussel
,..81 ",relr
keld, gebaseerd op de methode van Aber· nethy en Gilbert. Het model is vlot toe te passen en de resultaten zijn gemakkelijk te interpreteren, ondanks een aantal beperkingen die aan het model werden opgelegd.
De Gray/aan 2 3030 Heverlee REFERENTIES - ABERNETHY. C.L., en GILBERT. G., 1975. Refraction ol Wave Spectra, Hydraulics Research Station, Report INT 117. - BRAMPTON. A.H., 1981. a computer method lor wave refraction, Hydraulics Research Station, Report IT 172. - GROEN. P. en DORRESTEIN. R.. 1976. Zeegolven, Staatsdrukkerij en Uitgeverijbedrijf, 's Gravenhage. 126 pp. - KINSMAN. B.. 1965, Wind Waves: their Generation and Propagation on the Ocean Surface. Prentice-Hall. Englewood Cliffs. New Jersey.
676 pp. - LONGUET-HIGGINS. M.S.. 1957. On the transformation of a continuous spectrum by relraction, Proc. Camb. Phil. soc., Vol. 53. no. 1. pp. 226-229. - VAN DEN EYNDE, D.. 1988. Refractie van deiningspectra. Thesis. K.U.Leuven. Fac. Toeg. Wet.. Dept. Bouwkunde. Laboratorium voor Hydraulica. 215 pp. - VAN DEN EYNDE. D. en MONBALlU, J.. 1989. On the effects of refraction in wave prediction modeis. Progress in Belgian Oceanographic Research. 1989, ed. (G. Pichot MUMM and Science Policy Office (BMM en DPWB). Brussels. pp 111-128).
Water nr. 52 - mei/juni 1990
