RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd

RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah” Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.

Universitas Negeri Surabaya

Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2014

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

…………………………………………………………………….

i

DAFTAR ISI

……………………………………………………………………………

ii

BAB XIII VEKTOR

……………………………………………………………………………

1

13.1 Translasi dari Sebuah Bidang …………………………………………… 1 13.2 Vektor Aljabar

……………………………...…………………………..

13.3 Vektor Satuan Dasar

3

…………………………………………………… 6

13.4 Vektor Posisi …………………………………………………………… 7 13.5 Aljabar dengan Vektor Posisi …..………………………………………… 9 13.6 Vektor dalam Dimensi Tiga …..………………………………………… 9 13.7 Besaran Vektor ….…………..…………………………………………… 15 13.8 Produk Skalar ……………….…………………………………………… 15 13.9 Produk Skalar dalam Bentuk Komponen ..……………………………… 18 13.10 Aturan Distributif (p + q).r = p.r + q.r ………………………………… 21

DAFTAR PUSTAKA

…………………………………………………………………. 24

ii

BAB XIII VEKTOR Bab ini memperkenalkan gagasan vektor sebagai sebuah cara untuk mengerjakan geometri dalam dua atau tiga dimensi. Ketika anda telah selesai, anda harus: 

Memahami gagasan terjemahan, dan bagaimana ia dapat diungkapkan baik dalam bentuk kolom atau dalam hal unit dasar vektor



Tahu dan dapat menggunakan aturan vector aljabar



Memahami gagasan perpindahan dan posisi vektor, dan menggunakannya untuk membuktikan geometris hasil



Menghargai persamaan dan perbedaan antara geometri dalam dua dan tiga dimensi



Tahu ,definisi di setiap scalar produk, dan ekspresi dalam istilah komponen



Dapat menggunakan aturan vector aljabar yang melibatkan scalar produk



Dapat menggunakan scalar produk untuk memecahkan masalah dalam dua bentuk geometris dan tiga dimensi, menggunakan vector aljabar umum atau komponen.

13.1. Translasi dari sebuah bidang Dalam Bagian 3.6 Anda melihat bahwa jika Anda menerjemahkan grafik y = ax2 bx melalui jarak c ke arah-y persamaan barunya adalah y = ax2 + bx + c. Secara umum, jika Anda menerjemahkan grafik y = f (x) dengan jarak c satuan ke arah y, persamaannya menjadi y = f (x) + c. Sebuah cara praktis untuk melakukan hal ini adalah dengan menggambar grafik pada lembar transparan ditempatkan di atas koordinat grid, dan kemudian memindahkan lembar ini diatas grid hingga c satuan. Fitur penting dari translasi adalah bahwa lembaran bergerak melebihi grid tanpa berputar. Sebuah translasi umum akan memindahkan lembaran melampaui k satuan dan l satuan diatas grid. Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 13.1, di mana Chapter 13_Vektor_2014

1

beberapa titik bergerak dalam arah yang sama melalui jarak yang sama. Translasi seperti ini disebut vektor, dan ditulis

.

Misalnya, translasi dari y = f (x) yang dijelaskan di atas akan dilakukan oleh vektor

; sama halnya vektor

melakukan translasi dari k satuan ke arah x.

Dalam prakteknya, menggambar beberapa panah, seperti pada Gambar. 13.1, bukanlah cara yang nyaman untuk mewakili vektor. Hal ini biasanya hanya digambarkan dengan panah tunggal, seperti pada Gambar. 13.2. Tapi Anda harus memahami bahwa posisi anak panah di bidang-(x, y) adalah tidak penting. Panah ini

hanyalah

salah

satu

dari

tak

terhingga

banyaknya

yang

dapat ditarik untuk mewakili vektor.

Anda mungkin menemukan penggunaan vektor dalam konteks lain. Misalnya, mekanik menggunakan vektor kecepatan, vektor percepatan, vektor gaya, dan sebagainya. Bila Anda ingin membuat perbedaan, vektor yang dijelaskan di sini disebut vektor translasi. Ini adalah satu-satunya vektor yang digunakan dalam buku ini.

Chapter 13_Vektor_2014

2

13.2 Vektor aljabar Sering digunakan satu huruf untuk memisalkan vektor. Dalam cetakan huruf tebal digunakan untuk membedakan vektor-vektor dari bilangan. Misalnya, dalam =

, p adalah vektor tapi k dan l adalah angka, yang disebut komponen

vektor p dalam arah-x dan arah-y. Dalam tulisan tangan vektor ditandai dengan garis bergelombang di bawah huruf: ~

=

. Penting untuk membiasakan menulis vektor dengan cara ini, sehingga

cukup jelas dalam pekerjaan Anda tulisan yang mana yang memisalkan vektor dan yang memisalkan bilangan. Jika s adalah sebarang bilangan dan p adalah sembarang vektor, maka sp adalah vektor lain. Jika s > 0, vektor sp merupakan translasi dengan arah yang sama dengan p tapi s kali lebih besar; jika s < 0 translasi itu dalam arah yang berlawanan dan | s | kali lebih besar. Bilangan seperti s sering disebut skalar, karena biasanya mengubah skala vektor. Segitiga yang sama pada Gambar. 13.3 menunjukkan bahwa khusus, (−1) =

=

. Secara

, yang merupakan translasi yang sama besarnya dengan p

tetapi dalam arah yang berlawanan. Hal ini dilambangkan dengan − .

Vektor ditambahkan dengan melakukan transformasi satu demi satu. Dalam Gambar. 13.4, p dan q adalah dua vektor. Untuk membentuk jumlah, misalkan vektor tersebut sebagai sepasang anak panah yang dapat menggambarkan jalur titik tertentu dari perpindahan lembar melalui dua panah tersebut. Dalam Gambar.


3

13.5, p ditunjukkan oleh panah dari U ke V, dan q oleh panah dari V ke W. Kemudian ketika translasi digabungkan, titik dari lembar yang semula di U akan bergerak duluan ke V dan kemudian ke W. Jadi jumlah p + q diwakili oleh panah dari U ke W. Gambar. 13.5 juga menunjukkan bahwa: Jika

=

=

dan

, maka

+

=

Untuk membentuk penjumlahan q + p translasi dilakukan dalam urutan terbalik. Dalam Gambar. 13.6, q diwakili oleh panah dari U ke Z; dan karena UVWZ adalah jajargenjang, p diwakili oleh panah dari Z ke W. Hal ini menunjukkan bahwa p + q = q + p. Ini disebut aturan komutatif untuk penambahan vektor. contoh 13.2.1 Jika

=

,

=

dan

=

, tunjukkan bahwa ada bilangan s sedemikian

rupa sehingga p + sq = r. Anda dapat menulis p + sq = r dalam bentuk vektor kolom sebagai 2 + −3

1 2 = + 2 −3 2

=

2+ −3 + 2

Jika vwktor kolom ini sama dengan r, maka baik komponen-x dan komponen-y dari dua vektor harus sama. Hal ini memberikan dua persamaan 2 + s = 5 dan -3 + 2s = 3.


4

Kedua persamaan ini dipenuhi oleh s = 3, sehingga p + 3q = r. Ide penambahan dapat diperpanjang untuk tiga atau lebih vektor. Tetapi ketika Anda menulis p + q + r tidaklah jelas apakah Anda menambahkan p dan q terlebih dahulu dan kemudian menambahkan r untuk hasilnya, atau apakah Anda menambahkan p ke hasil penambahan q dan r. Gambar. 13.7 menunjukkan bahwa tidaklah masalah, karena hasilnya adalah sama bagaimanapun caranya. Artinya, (p + q) + r = p + (q + r).

Ini disebut aturan asosiatif untuk penambahan vektor. Untuk melengkapi aljabar vektor penjumlahan, simbol 0 dibutuhkan untuk vektor nol, translasi ‘tetap-tinggal’, yang memiliki sifat-sifat yang ; untuk setiap vektor p, 0 + p = 0, p + 0 = p, dan p + (-p) = 0. Vector penjumlahan dan perkalian dengan skalar dapat dikombinasikan sesuai dengan dua aturan distributif untuk vektor: s(p + q) = sp + sq (dari segitiga yang sama pada Gambar. 13,8) dan (s + t)p = sp + tp (lihat Gambar, 13.9)


5

Pengurangan vektor didefinisikan oleh p+x=q⇔x=q-p Hal ini diilustrasikan pada Gambar. 13.10. Perhatikan bahwa untuk menunjukkan q – p, p dan q dimisalkan dengan panah yang berawal dari titik yang sama; ini berbeda dari penambahan, panah q berawal di mana panah p berakhir. Membandingkan Gambar. 13.10 dengan Gambar. 13.11 menunjukkan bahwa q - p = q + (-p).

Singkatnya, aturan vektor penjumlahan, pengurangan dan perkalian dengan skalar terlihat sangat mirip dengan aturan penambahan bilangan, pengurangan dan perkalian. Namun diagram-diagram menunjukkan bahwa aturan untuk vektor diinterpretasikan secara berbeda dari aturan untuk bilangan. 13.3 Vektor satuan dasar Jika Anda menerapkan aturan vektor aljabar untuk vektor dalam bentuk kolom, Anda bisa. melihat bahwa


6

= Vektor

dan

=

+0 0 = + = 0+ 0

1 + 0

0 1

yang muncul dalam ekspresi terakhir ini disebut vektor

satuan dasar dalam arah-x dan arah-y. Dilambangkan dengan huruf i dan j, sehingga p = ki + lj. Hal ini diilustrasikan oleh Gambar. 13.12. Persamaan ini menunjukkan bahwa setiap vektor dalam bidang dapat dibangun sebagai jumlah kelipatan dari dua vektor dasar i dan j. Vektor ki dan lj disebut vektor komponen p dalam arah-x dan arah-y; Terdapat dua notasi alternatif untuk mengerjakan aljabar dengan vektor. Misalnya, jika Anda ingin mencari 3p - 2q, dimana p adalah

dan q adalah

, Anda

dapat menulis : 3

2 1 6 2 6−2 4 −2 = − = = 5 −3 15 −6 15 − (−6) 21

atau 3(2i 5j) - 2(i - 3j) = (6i + 15j) - (2i - 6j) = 6i + 15j - 2i + 6j = 4i + 21j. Anda akan menemukan bahwa kadang-kadang salah satu dari bentuk ini lebih mudah daripada yang lain, tetapi biasanya tidak ada bedanya mana yang Anda gunakan. 13.4 Vektor posisi Jika E dan F adalah dua titik pada grid, ada translasi yang unik yang akan membawa Anda dari E ke F. Translasi ini dapat diwakili oleh panah yang dimulai dari E dan berakhir di F, dan dilambangkan dengan simbol

⃗.

Beberapa buku menggunakan EF dalam huruf tebal daripada

⃗ untuk

menekankan bahwa itu adalah vektor.


7

Namun, meskipun translasi ini unik, namanya tidak. Jika G dan H adalah dua titik lainnya di grid sehingga garis EF dan GH paralel dan sama panjang (sehingga EFGH adalah jajar genjang, lihat Gambar. 13.13), maka translasi membawa Anda dari G ke H, sehingga bisa juga dilambangkan oleh ⃗ bisa digantikan oleh

persamaan vektor

⃗ juga ⃗. Dalam

⃗ tanpa mempengaruhi kebenaran

pernyataan tersebut.

Vektor yang ditulis seperti ini kadang-kadang disebut vektor perpindahan. Tapi vektor-vektor ini bukanlah jenis vector yang berbeda, hanya vector translasinya ditulis dengan cara yang berbeda. Namun ada, satu vektor perpindahan yang sangat penting. Vektor perpindahan ini adalah translasi yang dimulai pada titik asal O dan berakhir pada titik A ( ⃗ pada ⃗=

Gambar. 13.13), sehingga

⃗=

⃗. Translasi dari O sampai A disebut

vektor posisi A. Ada hubungan erat antara koordinat A dan komponen-komponen vektor posisinya. Jika A memiliki koordinat (u,v), kemudian untuk mendapatkan dari O ke A Anda harus memindahkan u dalam arah-x dan unit v dalam arah-y, sehingga vektor

⃗

memiliki komponen u dan v. Vektor posisi dari titik A dengan koordinat (u,v) adalah ⃗=

=

+

.

Sebuah konvensi yang berguna adalah dengan menggunakan tulisan yang sama untuk titik dan vektor posisinya. Misalnya, vektor posisi titik A dapat


8

dilambangkan dengan a. 'alfabet-konvensi' ini akan digunakan dalam buku ini. Ini memiliki keuntungan yang ekonomis pada huruf abjad dan menghindari kebutuhan untuk definisi berulang. 13.5 Aljabar dengan vektor posisi Perkalian dengan skalar memiliki interpretasi sederhana dalam hal vektor posisi. Jika vektor sa adalah vektor posisi titik D, maka: • Jika s > 0, D terletak pada arah garis OA (diproduksi jika perlu) sehingga OD = sOA. • Jika s < 0, D terletak pada arah garis AO diproduksi sedemikian rupa sehingga OD

=

|

Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 13.14 untuk

s

|OA.

= dan = − .

Untuk mengidentifikasi titik dengan vektor posisi a + b tidak begitu mudah, karena anak panah dari O ke A dan dari O ke B tidak berhubungan dengan cara yang dibutuhkan untuk penambahan (lihat Gambar. 13.5). Oleh karena itu diperlukan untuk menyelesaikan jajar genjang OACB, seperti pada Gambar. 13.15.

kemudian


9

a+b=

⃗+

⃗=

⃗+

⃗=

⃗

Ini disebut aturan jajar genjang penjumlahan untuk vektor posisi. Pengurangan dapat ditampilkan dalam salah satu dari dua cara. Jika Anda membandingkan Gambar. 13.16 dengan Gambar. 13.10, Anda akan melihat bahwa b - a adalah vektor perpindahan

⃗ . Untuk menafsirkan ini sebagai vektor ⃗=

posisi, tarik garis OE sama dan sejajar dengan AB, sehingga

⃗ . Kemudian

E adalah titik dengan vektor posisi b - a. Atau, Anda dapat menulis b - a sebagai b + (-a), dan kemudian terapkan aturan jajar genjang penjumlahan ke titik-titik dengan vektor posisi b dan -a. Dengan membandingkan Gambar. 13.16 dan 13.17 Anda dapat melihat bahwa ini mengarah ke titik yang sama E.

Contoh 13.5.1 Titik A dan B memiliki vektor posisi a dan b. Cari vektor posisi dari (a) titik tengah M dari AB, (b) titik tiga bagian T sehingga

=

(a) Metode 1. Perpindahan vector

. ⃗=

− , jadi

⃗ = ( − ).

Oleh karena itu =

⃗=


⃗+

⃗=

+ ( − )=

+

.

10

Metode 2 Jika jajar genjang OACB diselesaikan (lihat Gambar. 13.15) maka c = a + b. Karena Diagonal OACB membagi dua sama lain, titik tengah M dari AB juga merupakan titik tengah dari OC. Oleh karena itu =

1 1 1 = ( + )= 2 2 2

+

1 . 2

(b) Metode pertama dari (a) dapat dimodifikasi. Vektor perpindahan ⃗= =

⃗ = ( − ), sehingga ⃗+

⃗=

+ ( − )=

+

.

Hasil contoh ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema penting tentang segitiga. Contoh 13.5.2 Dalam segitiga ABC pertengahan titik dari BC, CA dan AB adalah D, E dan F. Buktikan bahwa garis AD, BE, dan CF (disebut median) bertemu pada titik G, yang merupakan titik tiga bagian dari masing-masing median (lihat Gambar. 13.18).

Dari contoh 13.5.1,

=

+

, dan titik tiga bagian pada median AD dekat ke

D memiliki vektor posisi 1 3 Chapter 13_Vektor_2014

+

2 3

=

1 3

+

2 1 1 + 3 2 2 11

=

1 3

+

1 3

+

1 3

Ekspresi terakhir ini simetris dalam a, b dan c. Oleh karena itu juga merupakan titik tiga bagian pada median BE dekat dengan E, dan titik tiga bagian pada CF dekat dengan F. Oleh karena itu tiga median saling bertemu pada suatu titik G, dengan vektor posisi

= ( +

+ ). Titik ini disebut pusat massa segitiga.

13.6 Vektor dalam dimensi tiga Kekuatan metode vektor paling dihargai ketika mereka digunakan untuk mengerjakan geometri dalam tiga dimensi. Hal ini memerlukan pengaturan sumbu dalam tiga arah, seperti pada Gambar. 13.19. Konvensi biasa adalah untuk menentukan sumbu-x dan sumbu-y pada bidang horizontal (yang diarsir), dan menambahkan sumbu-z menunjuk vertikal ke atas. Sumbu ini dikatakan 'tangan kanan': jika jari telunjuk terentang, tangan kanan Anda menunjuk ke arah-x, dan Anda membungkukkan jari tengah Anda untuk menunjuk dalam arah y, maka ibu jari Anda secara alami dapat menunjuk sampai di arah-z. Posisi titik diberikan oleh tiga koordinat (x, y, z). Sebuah vektor p dalam dimensi tiga adalah terjemahan dari seluruh ruang relatif terhadap koordinat kerangka tetap. (Anda bisa bayangkan Gambar. 13.1 sebagai hujan badai, dengan panah yang menunjukkan .suatu translasi tetesan individu.) Hal ini ditulis sebagai

, yang merupakan translasi dari l, m dan n satuan dalam

arah-x ,arah-y dan arah-z. Hal ini juga dapat ditulis dalam bentuk li + mj + nk, dimana =

, =

,

=

adalah vektor-vektor dasar dalam arah-x, arah-y

dan arah-z.


12

Hampir segala sesuatu yang Anda tahu tentang koordinat dalam dimensi dua dibawa lebih ke dalam dimensi tiga dengan cara yang jelas, tetapi Anda harus melihat beberapa perbedaan: • Sumbu dapat diambil dalam pasangan-pasangan untuk menentukan koordinat bidang. Misalnya, sumbu-x dan sumbu-y mrupakan bidang horizontal, yang disebut bidang-xy. Semua titik dalam bidang ini memiliki koordinat-z nol, sehingga persamaan bidangnya adalah z = 0. Demikian pula bidang-xz dan bidang-yz memiliki persamaan y = 0 dan x = 0; kedua merupakan bidang vertikal. • Ide gradien garis tidak terbawa ke dalam dimensi tiga. Namun, Anda masih dapat menggunakan vektor untuk menggambarkan arah garis. Ini adalah salah satu alasan utama mengapa vektor berguna dalam tiga dimensi. • Dalam dimensi tiga garis yang tidak sejajar mungkin atau mungkin tidak bertemu. Garis Non-paralel yang tidak memenuhi dikatakan condong. contoh 13.6.1 Poin A dan B memiliki koordinat (-5,3,4) dan (-2,9,1). Selidiki apakah titik C dengan koordinat (-4,5,2) terletak pada garis yang melewati A dan B. Perpindahan vektor

− Vektor perpindahan

⃗ adalah

=

⃗ adalah

−


−2 3 1 −5 − = = 3 6 9 3 2 1 −3 −1 4

=

−4 1 −5 5 − 3 = 2 2 −2 4

13

c - a adalah bukan kelipatan dari b - a, tidak sejajar dengan b - a. Titik B dan C tidak dalam arah yang sama (atau berlawanan arah) dari A, sehingga C tidak terletak pada garis yang melewati A dan B. Perhatikan bahwa jika Anda mengubah C pada koordinat-z ke 3, maka C akan terletak pada garis AB. Contoh 13.6.2 Titik P, Q dan R memiliki koordinat (1,3,2); (3, l; 4) dan (4,1, -5) masing-masing (a) Tentukan vektor perpindahan

⃗ dan

⃗ yang berkenaan dengan vektor dasar

i, j dan k. (b) Cari 2 ⃗ −

⃗+

⃗ yang berkenaan dengan vektor dasar i, j dan k, dan

koordinat titik tercapai jika Anda mulai di R dan melakukan teranslasi 2 ⃗ − ⃗+

⃗.

(a) ⃗ = q - p = (3i + j + 4k) - (i + 3j + 2k) = 2i - 2j + 2k. ⃗ = r - q = (4i + j - 5k) - (3i + j + 4k) = i - 9k. (b) Catatan pertama bahwa Then 2 ⃗ −

⃗+

⃗ = r - p = (4i + j - 5k) - (i + 3j + 2k) = 3i - 2j - 7k.

⃗ = 2 (2i - 2j + 2k) − (3i - 2j - 7k) + (i - 9k) = 4i - 4j + 4k - i + j + k + i - k = 3i - 3j + 3k.

Jika Anda mulai dari R, maka titik yang telah dicapai memiliki vektor posisi r + (3i - 3j + k) = (4i + j - 5k) + (3i - 3j + 3k) = 7i - 2j - 2k. Oleh karena itu titiknya adalah (7, -2, -2).


14

13.7 Besaran vektor Setiap translasi dapat dijelaskan dengan memberikan besar dan arah. Notasi yang digunakan untuk besarnya vektor p, mengabaikan arahnya, adalah | p | . Jika Anda memiliki dua vektor p dan q yang tidak sama, tetapi memiliki besaran yang sama, maka Anda dapat menulis | p | = | Q |. Jika s merupakan kelipatan skalar dari p, maka berikut dari definisi sp (lihat Bagian 13.2) yang | sp | = | s || p |. Hal ini berlaku meskipun s positif atau negatif (atau nol). Simbol untuk besarnya vektor sama dengan simbol untuk modulus bilangan real, karena konsepnya serupa. Bahkan, bilangan real x berperilaku seperti vektor xi dalam dimensi satu, di mana i adalah vektor satuan dasar. Vektor xi merupakan perpindahan pada garis bilangan, dan modulus | x | mengukur besarnya perpindahan, apakah itu dalam positif atau arah negatif. Sebuah vektor besarnya 1 disebut vektor satuan. Vektor satuan dasar i, j, k adalah contoh dari vektor satuan, tetapi ada yang lain: ada vektor satuan di setiap arah. Vektor satuan kadang-kadang dibedakan dengan Accenta sirkumfleksa ^ diatas huruf. Sebagai contoh, sebuah vektor satuan dalam arah r dapat dinotasikan dengan ̂ . Notasi ini terutama sering digunakan pada mekanika, tetapi tidak akan digunakan dalam bab ini. 13.8 Produk skalar Sejauh ini vektor telah ditambahkan, dikurangi dan dikalikan dengan skalar, tetapi belum dikalikan bersama-sama. Langkah berikutnya adalah untuk menentukan produk dari dua vektor: Produk skalar, atau dot produk, dari vektor p dan q adalah jumlah (atau skalar) | p || q | cos θ, di mana θ adalah sudut antara arah p dan q. Hal ini ditulis p.q dan diucapkan 'p dot q'. Chapter 13_Vektor_2014

15

Sudut θ mungkin lancip atau tumpul, tetapi penting bahwa sudut itu adalah sudut antara p dan q, dan bukanlah (misalnya) sudut antara p dan -q. Cara terbaik untuk menunjukkan θ dalam diagram di mana vektor-vektor diwakili oleh panah dengan ekornya pada titik yang sama, seperti pada Gambar. 13.20.

Alasan untuk menyebutnya 'produk skalar', bukan hanya produk, adalah bahwa matematikawan juga menggunakan produk lain, yang disebut 'vector produk'. Tetapi penting untuk membedakan produk skalar dari 'perkalian dengan skalar'. Untuk menghindari kebingungan, banyak orang lebih suka menggunakan nama alternatif 'dot product'. Untuk alasan yang sama, Anda harus selalu memasukkan 'titik' antara p dan q untuk produk skalar, tetapi Anda tidak harus menyisipkan titik antara s dan p ketika mengalikan dengan skalar. Misalnya, Anda tidak dapat memiliki produk skalar dari tiga vektor, p .q .r. Lihatlah dalam Bagian 13.2 bahwa jumlah ketiga vektor tersebut dapat dianggap sebagai (p + q) + r atau sebagai p + (q + r), dan ungkapan-ungkapan ini adalah sama. Tapi (p.q).r tidak ada artinya: p.q adalah skalar, dan Anda tidak dapat membentuk produk titik dari sebuah skalar dengan vektor r. Demikian pula, p.(q.r) tidak ada artinya. Namun, s(p.q), dimana s adalah skalar, tidak memiliki arti; seperti yang Anda harapkan, s(p.q) = (sp) .q Buktinya tergantung pada ‘apakah s positif (lihat Gambar. 13.21) atau negatif (lihat Gambar. 13.22)’.


16

Jika s > 0, maka sudut antara sp dan q adalah θ, sehingga (sp).q = | sp || q | cos θ = | s || p | q | cos θ = | s | (| p || q | cos θ) = s(p.q). Jika s < 0, maka sudut antara sp dan q adalah π - θ, dan s = -| s |, sehingga (sp).q = | spl || q | cos (π - θ) = | s || p || q | (-cos θ) = - | s | (| p || q | cos θ) = s(p.q) Properti lain dari produk skalar adalah bahwa p.q = q.p, yang langsung mengikuti definisi. Ini disebut aturan komutatif untuk produk skalar.

Ada dua kasus khusus yang sangat penting, yang Anda dapatkan dengan mengambil θ = 0 dan menempatkan p = q , dan mengambil θ = π, dalam definisi produk skalar. p•p = | p |2 (p•p kadang-kadang ditulis sebagai p2). Jika p atau q bukan vektor nol, p.q = 0 jika dan hanya jika p dan q dalam arah tegak lurus. Properti ini memungkinkan Anda untuk menggunakan vektor untuk menemukan panjang dan untuk mengidentifikasi sudut yang benar.


17

13.9 Produk skalar dalam bentuk komponen Aturan di bagian terakhir menunjukkan bahwa aljabar dengan produk skalar lebih seperti aljabar biasa, kecuali untuk beberapa ekspresi (seperti produk skalar dari tiga vektor) tidak memiliki makna. Anda perlu satu aturan yang lebih untuk dapat menggunakan vektor-vektor untuk mendapatkan hasil geometris. Ini adalah aturan distributif untuk mengalikan kurung: (p + q).r = p.r + q.i Untuk saat ini, ini akan dianggap benar.

Dalam kasus-kasus khusus pada akhir Bagian 13.8, ambil p dan q menjadi vektor satuan dasar. Anda kemudian mendapatkan: Untuk vektor satuan dasar i, j, k, i.i = j.j = k.k = 1 dan j.k = k.i = i.j = 0 Oleh karena itu, jika vektor p dan q ditulis dalam bentuk komponen sebagai p = li + mj + nk dan q = ui + vj + wk, maka p.q = (li + mj + nk). (ui + vj + wk) = lui.i + lvi.j + lwi.k + muj.i + mvj.j + mwj.k + nuk.i + nvk.j + nwk.k (menggunakan aturan distributif) = lu x 1 + lv x 0 + lw x 0 + mu x 0 + mv x 1 + mw x 0 + nu x 0 + nv x 0 + nw x1 = lu + mv + nw. Dalam bentuk komponen, produk scalar adalah


18

∙

= (li + mj + nk). (ui + vj + wk) = lu + mv + nw.

Hasil ini memiliki banyak aplikasi. Secara khusus, p.p = l2 + m2 + n 2, memberikan panjang p: | p | = √ +

+

.

Dalam dimensi dua, jika p = li + mj dan q = ui + vj, maka p.q = lu + mv Jadi dalam bentuk komponen .

=

+

Contoh 13.9.1 Tunjukkan bahwa vektor

dan

Menulis p =

, dan gunakan p.q = lu + mv

p.q =

.

dan q =

tegak lurus.

= 3 x (- 2) + 2 x 3 = -6 + 6 = 0,

Karena baik p maupun q adalah vektor nol dan p.q = 0, maka vektor ini tegak lurus. Contoh 13.9.2 Cari sudut antara vektor p = 2i - 2j + k dan q = 12i + 4j - 3k, berikan jawaban benar Anda untuk kesepuluh derajat terdekat. Besaran p dan q diberikan oleh | |=

2 + (−2) + 1 = √4 + 4 + 1 = √9 = 3

dan | |=

12 + 4 + (−3) = √144 + 16 + 9 = √169 = 1


19

Menggunakan p.q = | p || q | cos θ = lu + mv + nw, di mana θ° adalah sudut antara p and q, 3 x l3 x cos θ° = 2 x l2 + (-2) x 4 + l x (-3) = 24 – 8 - 3 = 13, memberikan cos θ° =

= , dan θ = 70.5

Sudut yang dibutuhkan adalah 70.5 °. Vektor dapat memberikan metode yang baik untuk menemukan sudut antara dua garis lurus, di mana hal itu mungkin tidak mudah atau tidak mungkin untuk menggambar segitiga yang berisi dua baris. Contoh 13.9.3

Sebuah gudang (Gambar. 13.23) memiliki lantai persegi panjang ABCD dari dimensi 6 m dengan 12 m. Tepi AP, BQ, CR dan DS masing-masing vertikal dan tinggi 5 m. Punggungan UV simetris ditempatkan di atas PQRS, dan tinggi 7 m di atas ABCD. Hitung kesepuluh derajat sudut terdekat antara garis AS dan UR. Ambil vektor satuan i, j dan k dalam arah BC, BA dan BQ. Misalkan

⃗ = e dan

⃗ = f.

Kemudian e = 12i + 5k dan f = 12i - 3j - 2k,


20

jadi | e | = √12 + 0 + 5 = √169 = 13 dan | f | =

12 + (−3) + (−2) = √157.

Menunjukkan sudut antara garis dengan θ°. Kemudian 13 x √157 cosθ° = 12 x l2 + 0 x (-3) + 5 x (-2) = 134, memberikan θ = 34.6, benar untuk tempat desimal 1. Jadi sudut antara AS dan UR adalah 34.6°. Dalam contoh ini AS dan UR adalah garis miring. Karena AS sejajar dengan BR, sudut antara AS dan UR sama dengan sudut antara AS dan BR. 13.10* Aturan distributif (p + q).r = p.r + q.r Bukti ini membutuhkan hasil awal. Gambar. 13.24 menunjukkan arah garis l dan dua titik A dan B (dalam dimensi tiga). Jika garis AD dan BE ditarik tegak lurus terhadap l, arah panjang DE disebut proyeksi vektor perpindahan

⃗ pada l.

Berikut kata 'diarahkan' berarti bahwa arah positif dipilih pada l, dan itu (dalam diagram ini) DE positif dan ED negatif. Teorema Jika p adalah vektor perpindahan arah l, maka proyeksi

⃗ , dan u adalah vektor satuan dalam

⃗ ke l adalah p.u.


21

Bukti Anda mungkin akan menemukan bukti paling mudah untuk diikuti jika saya ditarik garis vertikal, seperti pada Gambar. 13.25. Ingat bahwa AD dan BE tegak lurus terhadap l, dan juga horisontal. Bayangan segitiga ADM dan NEB terletak pada bidang horisontal melalui D dan E. Titik N adalah sedemikian rupa sehingga AN sejajar dengan l dan tegak lurus terhadap NB. Kemudian DE = AN, dan u adalah vektor satuan dalam arah AN. Jika sudut BAN dilambangkan dengan θ, maka p.u = | p | x 1 x cosθ = AB cosθ = AN = DE, • - yang merupakan proyeksi

⃗ pada l.

Perhatikan bahwa, jika B berada di bawah A, maka sudut antara p dan u akan tumpul, sehingga p.u akan negatif. Pada l, E akan berada di bawah D, sehingga panjang arah DE juga akan negatif. Teorema Untuk setiap vektor p, q dan r, (p + q) .r = p.r + p.q;

Bukti

Dalam

Gambar.

13.26

perpindahan

vektor

⃗,

⃗

dan

⃗

merepresentasikan p, q dan p + q. Garis l dalam arah r; menunjukkan garis vertikal. Bidang-bidang horisontal melalui A, B dan C memotong l di D, E dan F masing-masing, sehingga AD, BE dan CF tegak lurus terhadap l. Misalkan u adalah vektor satuan dalam arah r, dan dinotasikan | r | oleh s, sehingga r = su.


22

Kemudian p.r = p.(su) = s(p.u) = s x DE, dan juga q.r = s x EF dan (p + q).r = s x DF. Karena DE, EF dan DF arah panjang, maka selalu benar bahwa DE + EF = DF, apapun urutan titik D, E dan F pada l. Oleh karena itu (p + q).r = s x DF = s x (DE + EF) = s x DE + s x EF = p.r + q.r.


23

DAFTAR PUSTAKA Neill, Hugh dan Douglas Quadling. 2002. Advance Level Mathematics: Pure Mathematics 1. Cambridge: Cambridge University Press.


24

RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd

Recommend Documents