2012.12.05.
RENDSZERELMÉLET Környezetgazdálkodási Agrármérnök MSc Szak 3. félév
1
A rendszer fogalma • • •
•
A rendszer egymással kölcsönhatásban álló elemek együttese A rendszer és környezete: a rendszer határvonalának kijelölése, ill. körülhatárolása a feladattól függ. A rendszer jellemzői: rendeltetése és funkciói, a határvonalán megfigyelhető anyag-, energia-, információ be- és kiáramlása, struktúrája, állapottere, teljesítőképessége; a rendszer és környezete közti kölcsönhatások, eleminek tulajdonságai és azok kölcsönhatásai. A rendszer környezete tartalmazza azokat jelenségeket, összefüggéseket, amelyek a vizsgált rendszeren kívül vannak, de valamilyen összefüggésben állnak azzal, befolyásolják a rendszert, vagy éppen az hat rájuk.
Bemenet: A környezet hatása a rendszerre
Környezet
Rendszer
Kimenet: a rendszer válasza a környezeti hatásra 2
1
2012.12.05.
3
A rendszertechnika kapcsolata más tudományokkal
4
2
2012.12.05.
Módszerek, eljárások a rendszertechnikában • A rendszertechnikai vizsgálat a bonyolultból halad az egyszerűbb struktúrák felé. • A reális rendszerek elméleti vizsgálatát a róluk készült elvont modellek segítségével végezzük. A rendszermodell olyan absztrakt elemekből áll, amelyek mindegyike fontos rendszertulajdonságok potenciális hordozója. • A modell olyan mértékig sikeres, amilyen mértékig sikeres volt a lényeges tulajdonságok kiemelése. • Ha kihagytunk olyan hatást, amely jelentős, a kapott elvont modell hibásan fogja a rendszer viselkedését leírni. Ilyen esetben felül kell vizsgálni, és javítani rajta. 5
A rendszervizsgálat elvi menete • • • • • • • • •
1. A reális rendszer egészének vizsgálata, körülhatárolása, a környezeti hatások tisztázása. 2. A rendszernek a szükséges mértékig történő részrendszerekre tagolása. 3. A részrendszerek kapcsolódásának, a rendszer strukturális felépítésének tisztázása 4. A részrendszerek lényeges tulajdonságainak kiemelése és absztrakt elemekkel való leírása. 5. (3) és (4) alapján a rendszer viselkedését leíró modell összeállítása. 6. A rendszeregyenlet megoldása, a viselkedés elméleti meghatározása. 7. A modell ellenőrzése reális modellen végzett méréssel. 8. Lényeges eltérés esetén vissza kell lépni a (4)-re, esetleg a (3)ra, azaz a modellt finomítani kell. 9. Ha az eltérés a mért és számított értékek közt megengedhető szint alatt marad a modell elfogadható. 6
3
2012.12.05.
Rendszerek osztályozása (1) • • • • • • • •
STATIKUS RENDSZER: a vázak struktúrák szintje. Csak az egyes elemek geometria elrendeződése érdekes. DINAMIKUS RENDSZER: a rendszerben anyag és energiaáramlás van. A technikai rendszerek nagy csoportja tartozik ide (gépek). IRÁNYÍTOTT RENDSZEREK: Információ áramlás. Ez teszi lehetővé a szabályozást (automaták). ADAPTÍV (alkalmazkodó) RENDSZER: tanuló automaták (sejtek szintje). REGENERATÍV RENDSZEREK: regenerálódásra képesek (növények). REFLEKTÍV RENDSZEREK: a környezethez való alkalmazkodás (állatok). MAGASABB RENDŰ RENDSZER: az öntudat megjelenése (ember). TÁRSADALMI RENDSZEREK 7
Rendszerek osztályozása (2): technikai rendszerek • KONCENTRÁLT PARAMÉTERŰ RENDSZEREK: Ezek viselkedését időkoordinátával írjuk le. A rendszer elemeire jellemző paraméterek időbeli viselkedését akarjuk ismerni. A rendszer közönséges differenciál egyenlettel írható le. • ELOSZTOTT PARAMÉTERŰ RENDSZEREK: viselkedésüket az idő és a helykoordináta segítségével lehet leírni. 8
4
2012.12.05.
Rendszerek osztályozása (3): a jelleggörbe alapján • A jelleggörbe két összetartozó paraméter függvénykapcsolatát jelenti. • LINEÁRIS KARAKTERISZTIKÁJÚ elemekből álló rendszer: legjobban kihasználható tulajdonság a hatások szuperpozíciója. • NEM LINEÁRIS KARAKTERISZTIKÁJÚ elemekből álló rendszer. – A modellezés során jól közelíthetők lineáris jellegvonallal, vagy – A munkapontban jól helyettesíthetők a jelleggörbe érintőjével. 9
Példa technikai rendszerre: energiaellátás
10
5
2012.12.05.
A fizikai mennyiségek áttekintése •
A fizikai mennyiségek meghatározása során az alábbi mozzanatokon kell végighaladni. – – – –
Az egyenlőség feltételeinek megállapítása A kisebb-nagyobb vonatkozás megállapítása A mértékegység megadása vagy megválasztása (rendszerint önlényes) A nullpont rögzítése (önkényes, de léteznek természeti adottságok amelyek célszerűen választhatók) – A skálatörvény meghatározása: Ha egy x változó által jellemzett mennyiség egy adott fizikai mennyiség skálája akkor f(x) szintén skálaként használható, ha – – – –
f(x1)=f(x2), ha x1=x2 f(x1)
– A skálatörvény vonatkoztatási rendszertől való függésének vizsgálata. Mind a skálatörvény, mind az egység különféle transzformációkra nézve invariáns legyen.
11
Extenzív és intenzív mennyiségek •
Extenzív mennyiségek (Ψ) azok, amelyek additíven kezelhetők (fizikában a tömeg, töltés, erő, nyomaték, térfogat, darabszám, hosszméret, stb). ΣΨi=Ψ
Az áramerősség definíciója:
•
I=
∆Ψ dΨ vagy I = ∆t dt
Intenzív mennyiségek (χ) a kiterjedéstől független, lokális jellegű mennyiségek, amelyek az extenzívek eloszlását szabják meg. (sebesség, nyomás, hőmérséklet, feszültség, koncentráció) Pl. egydimenziós, stacionárius esetben
∆χ dχ vagy I = L ⋅ A ⋅ ∆x dx ∆χ dχ j = L⋅ vagy j = L ⋅ ∆x dx
I = L ⋅ A⋅
Ahol L a vezetési tényező Ahol j az áramsűrűség 12
6
2012.12.05.
Mérlegegyenletek Iv Q
Isz
dΨ = − I sz − I v + Q dt dρi + div( jsz + jv ) = qi dt
13
Állapotváltozók • • •
A rendszer mozgását, állapotátmeneteit leíró jellemzőket nevezzük állapotváltozóknak. Az állapotváltozókból képezhető az ún. állapotvektor. Az átmeneti folyamatot egy elsőrendű vektor-differenciálegyenlet írja le:
dX = f ( X ,U , t ) dt Ahol X az állapotváltozó vektor, U a bemenővektor A differenciálegyenlet megoldása útján az állapotvektort az idő függvényében kapjuk meg. Az állapotvektorból és a bemenő vektorból a kimenőjelek vektorát az alábbi közönséges vektoregyenlet adja, ugyancsak az idő függvényében.
V = g ( X ,U , t ) Ahol V a kimenővektor 14
7
2012.12.05.
Koncentrált paraméterű rendszerek változói • •
•
•
Elemeinek tulajdonságait kiterjedés nélküli módon (koncentráltan) értelmezi. Az elemeket idealizáló modell két ponton csatlakozik a többi elemhez. A végződések száma mindig páros. Az elemek végződésein mindig azonos értékük van, átfolynak az elemen. Ezek az átmenőváltozók. Az elemek végződésein különböző értéket vehetnek fel. Ezeket a változókat kapocsváltozónak, vagy keresztváltozónak nevezik. Koncentrált paraméterű rendszerek esetén a rendszerelemeket jellemző egyenletek egy átmenő és egy keresztváltozó közt adnak meg kapcsolatot.
15
A jel fogalma és szerepe Jel: fizikai állapothordozó minden olyan értéke, amely információ szerzésére, továbbítására vagy tárolására alkalmas.
Értékkészlet: folytonos (a,b), szakaszos (c, d, e), időbeli lefolyás szerint folytonos (a, b, c), szaggatott (d,e).
A jel lehet analóg (közvetlenül képviseli az információt) digitális (kód)
Ért. készlet meghatározottsá ga alapján determinisztikus és sztohasztikus 16
8
2012.12.05.
Néhány információelméleti fogalom
17
Idealizált koncentrált paraméterű rendszerelemek • A koncentrált paraméterű rendszerek modellezéséhez szükséges idealizált elemek, fizikai egyenletük, impedanciájuk – Általánosítható elemrendszer, bővíthető elemkészlettel • A rendszerelemek típusai: – Aktívak: energiát vezetnek a rendszerbe – passzívak: tárolják, átalakítják az energiát
18
9
2012.12.05.
Passzív rendszerelemek/ Mechanikai rendszerelemek •
•
•
•
A rendszer valamely elemének vizsgálatához a többi rendszerelem hatását a csatlakozási pontokon (terminálokon) jelentkező erőhatással (nyomatékkal) helyettesítjük. Az elmozdulás létrehozásához szükséges teljesítmény: P=F·v [W] A mozgás meghatározott ideig való fenntartásához szükséges munka W=∫F·v dt
19
Mechanikai rendszerelemek/Egyenesvonalú mozgást végző tömeg modellje • •
•
•
F=m·a=m·dv/dt=m·d2x/dt2 A kölcsönhatás jellemző extenzív mennyisége az impulzus, intenzív mennyisége a sebesség. A görbe alatti terület a kiegészítő energia vagy exergia A tömeg a sebesség révén tárol energiát, vagyis ún. keresztváltozóval tároló passzív elem, röviden K típusú tároló. Tömbvázlatbeli ábrázolása 20
10
2012.12.05.
Mechanikai rendszerelemek/Ideális rugó •
x=F/k, de a rendszertechnikában
v=
1 dF ⋅ k dt
v a keresztváltozó, és F az átmenő változó
Az összenyomáshoz, vagy a kihúzáshoz szükséges munka a satírozott területtel arányos tb
Wa ,b = ∫ F ⋅ vdt ta
A rugóban tárolt energia a rugóerőtől függ, vagyis a rugó az erő révén azaz az átmenő változóval tárol energiát; röviden Á típusú tároló
21
Mechanikai rendszerelemek/Mechanikus csillapítók • • • •
Energiát nyel el Disszipatív elem A csillapító erő: F=k·v21 A rendszerből távozó mechanikai munka: – W ab= ∫k·v2 dt • Mivel energia távozik a rendszerből, ezeket D típusú elemeknek nevezik.
Ideális csillapítás
Progresszív csillapítás súrlódás
22
11
2012.12.05.
Mechanikai rendszerelemek/Rotációs rendszerelemek •
A transzlációs elemekhez hasonlóan K típusú tároló. – Extenzív mennyiség az imp. momentum, – Intenzív mennyiség a szögsebesség, ami egyben keresztváltozó is, – Az átmenő változó a forgatónyomaték
M = Θ⋅ •
dω dt
Á típusú tároló a rotációs rugó (pl. spirálrugó vagy torziós rugó)
dM = K ⋅ω dt •
D típusú elem a rotációs csillapítás
M = B ⋅ω 23
Mechanikus átalakítók • Az energiát átalakítják, miközben veszteségmentesen továbbítják; ezek az átalakítók – Transzformátor: a bemeneten és a kimeneten ugyanaz a változótípus jelenik meg, és ugyanolyan fizikai fajtájú (pl. keresztváltozó, egyenesvonalú mozgás) – Váltó: ugyanolyan típusú változó, de eltérő fajtájú (pl. egyenesvonalú mozgás→forgómozgás) – Fordító-átalakító: Keresztváltozóból átmenő változó lesz, és fordítva (pl. sebességből erő)
24
12
2012.12.05.
Mechanikus átalakítók/Fogaskerékpár • A bemeneti szögsebesség ω2, a kimeneti ω4, az őket összefogó keret szögsebessége ω1, ami megegyezhet az ω3=0 referencia szögsebességgel (ez a négy szögsebesség felel meg egy vill. transzformátor négy kapcsán megjelenő potenciálértéknek) • A szögsebességek aránya n, az átviteli együttható. • Az elem működtetéséhez ideális (veszteségmentes) esetben nem szükséges teljesítmény. 25
Mechanikus átalakítók/mechanikus mozgásváltó (fogaskerék-fogasléc) • • • •
v/ω=ra=nv Fb/Ma=-1/ra=-1/nv Ideális esetben ennek az elemnek a teljesítmény igénye is zérus. Ezekben az elemekben nem lett figyelembe véve – – – – – –
•
Súrlódás, Tehtetlenség, Rugalmasság, Fogdeformáció, Fogcsúszás, Kotyogás, stb.
Ezek figyelembe vételéhez további idealizált elemeket kell kapcsolni a modellhez. 26
13
2012.12.05.
Passzív villamos rendszerelemek • •
Jellemző extenzív mennyiség a töltés, intenzív mennyiség a feszültség, ami keresztváltozó is, az átmenőváltozó az áram K típusú tároló a kapacitás:
•
Á típusú tároló az önindukciós tekercs:
– I=C·dU/dt – U=L·dI/dt – A mágneses telítődés miatt gyakori a nemlineáris rendszerelem
•
D típusú elem az ellenállás: – U=R·I – R több mennyiségtől függhet (pl. hőmérséklet, feszültségi állapot), ezért nemlineáris rendszerelem használata gyakori.
•
A transzformátor idealizált modelljének egyenletei a fogaskerekes hajtómű egyenleteihez hasonlóak. Az ideális transzformátor is veszteségmentes. A reális transzformátor vas- és rézveszteségét az átalakítóhoz csatolt passzív idealizált elemekkel lehet figyelembe venni. 27
Áramlásos rendszerelemek (hidraulika) • Alapegyenlet a veszteségi taggal kiegészített Bernoulli egyenlet • Jellemző extenzív mennyiség a térfogat, intenzív mennyiség a nyomás, ami egyben keresztváltozó is, átmenőváltozó a térfogatáram. • K típusú tároló a tartály folyadék kapacitása – IV=Cf·dp/dt, ahol Cf=A/ρ·g, A tartály keresztmetszete
• Á típusú tároló a folyadék inertivitása
∆ p= If·dIV/dt, ahol If=4·ρ·l/d2·π, a folyadék induktivitás
• D típusú elem a folyadékellenállás ∆ p=Rf·IV
28
14
2012.12.05.
Akusztikus rendszerelemek • •
• •
Lényeges eltérés a hidraulikus elemektől csak a kapacitásnál van. Az akusztikus kapacitás egy légkamrából áll, melynek térfogata nem állandó (pl. szivattyú légüstje, néhány mikrofon fajta). Az Á típusú tároló ugyanolyan, mint a hidraulikus. D típusú elem szinte kizárólag lamináris jellegű, azaz lineáris, a hidraulikus D elemmel azonos.
29
Termikus rendszerelemek • • • •
Á típusú tároló nincs K típusú tároló a hőkapacitás: ΦE=Ct·dT/dt D típusú elem a termikus ellenállás: R=DT/ΦE Hőátadás történhet – Vezetéssel Φ E=λ·A·∆T/l – Áramlással Φ E=α·A·∆T – Sugárzással Φ E=e·C·A·[T24-T14] 30
15
2012.12.05.
Általánosított passzív rendszerelemek
31
Általánosított ellenállás
32
16
2012.12.05.
Átalakítók
33
Kereszteffektusok transzport jelenségekben ∆p
∆c
∆T
∆U
H-P, vagy térfogatáram Darcy törvény Fick I.
Termodiffúzió
Elektrolízis Faraday
Inverz termodiffúzió
Fourier
Peltier effektus
ülepedés
Seebeck effektus
Ohm
anyagáram
hőáram elektromos áram
34
17
2012.12.05.
Aktív rendszerelemek - forráselemek Az olyan egységeket, amelyek kimenetét a bemenet vezérli, ún. függő forrásokkal modellezünk. Az eddigi passzív elemek egy kimenettel és egy bemenettel rendelkeztek, egy energia kapus elemek. Az átalakítók négy végződésűek, vagyis két energia kapus elemek. A függő források többsége további energia kaput tartalmaz, ez az ún. moduláló kapu.
35
Idealizált rendszerelemek energia- és teljesítmény viszonyai
36
18
2012.12.05.
Gerjesztőjelek/Exponenciális gerjesztések f (t ) = e s⋅t s lehet valós, képzetes vagy komplex s valós s képzetes
f (t ) = e i⋅ω ⋅t
s komplex
f (t ) = e (σ +i⋅ω )⋅t = eσ ⋅t ⋅ e i⋅ω ⋅t = eσ ⋅t ⋅ (cos ω ⋅ t + sin ω ⋅ t )
37
Gerjesztőjelek/szinguláris jelek • a: egységlökés, b: egységugrás, c: egységsebességugrás, d: egység-gyorsulásugrás
38
19
2012.12.05.
Az impedancia fogalma •
Az általánosított átmenőváltozó:
Φ = Φ 0 ⋅ e s⋅t
Az általánosított keresztváltozó:
χ = χ 0 ⋅ e s⋅t
Az általánosított kétvégződésű elemek ismert egyenletei:
dχ = s ⋅ C ⋅ χ 0 ⋅ e s⋅t dt
Innen:
Φ0=s·C·χ0
Z=1/s·C
dΦ = s ⋅ L ⋅ Φ 0 ⋅ e s⋅t dt
Innen:
χ0=s·L·Φ0
Z=s·L
Innen:
χ0=R·Φ0
Z=R
Φ 0 ⋅ e s⋅t = C ⋅
χ 0 ⋅ e s⋅t = L ⋅
χ 0 ⋅ e s⋅t = R ⋅ Φ 0 ⋅ e s⋅t
Az általános impedancia: Z=χ/Φ, az admittancia Y=Φ/χ=1/Z 39 χ 0 ⋅ e s⋅t = R ⋅ Φ 0 ⋅ e s⋅t
Impedanciák
40
20
2012.12.05.
Rendszerek dinamikus vizsgálata •
Cél – A rendszer kimenőjelének időbeli lefutása – A kimenőjel(ek) alapján az ismeretlen gerjesztés(ek) – A bemenő- és kimenőjelek frekvenciától függő amplitúdó- és fázisviszonya – A rendszer dinamikai stabilitása – Állandósult állapota – Jelkövetési tulajdonságai
•
A vizsgálat legfontosabb mozzanatai – A műszaki cél elemzése; az egyenletek felírása célra irányítottan történik – Modellalkotás; a fizikai és matematikai modell lényeges viselkedése az eredeti rendszerrel megegyező maradjon – A rendszeregyenlet • Elsődleges rendszeregyenlet • Állapottér modell • Átviteli függvény
– Megoldás és szimuláció – ellenőrzés 41
Energiamódszerek Lagrange egyenlet; az energia mérlegen alapul
d ∂T ∂T ∂U − + = Fi dt ∂q&i ∂qi ∂qi
T a teljes kinetikus energia, U a teljes potenciális energia, q az általános független koordináták, F az általános külső erő A módszer előnyei: - mechanikai rendszerek esetén sebességkoordinátákat használ - skalár egyenlet - gerjesztetlen rendszereknél az erőket nem kell figyelembe venni nem kell a belső erőkkel foglalkozni - a szükséges egyenletek száma automatikusan adódik, ha független koordináták számát helyesen választottuk meg
42
21
2012.12.05.
Példa a Lagrange egyenlet alkalmazására •
Egydimenziós két szabadságfokú lengő rendszer A két független koordináta x1 és x2. Alaphelyzetben x1=x2
•
A teljes kinetikai energia
T=
1 1 m1 ⋅ x&12 + m2 ⋅ x&22 2 2
A teljes potenciális energia
U=
1 2 k ⋅ ( x2 − x1 ) 2
A rendszeregyenlet
m1 ⋅ &x&1 − k ⋅ ( x2 − x1 ) = 0 m2 ⋅ &x&2 + k ⋅ ( x2 − x1 ) = 0
43
Negyedrendű lengő rendszer •
A teljes kinetikai energia 1 1 m1 ⋅ x&12 + ⋅ m2 ⋅ x&22 2 2 A teljes potenciális energia T=
U=
1 1 2 k ⋅ ( x1 − x2 ) + k ⋅ x22 2 2
A súrlódási erők
F2 = b1 ⋅ ( x&1 − x&2 ) F4 = b2 ⋅ x&2
44
22
2012.12.05.
Energiamérleg felírása a felvett, tárolt és disszipált energia egyensúlyával •
A kondenzátorban tárolt energia
1 Et = C ⋅U 2 2
U2 R
A disszipált teljesítmény
Pd =
Az áramforrásból felvett teljesítmény
Pf = U ⋅ I
A tárolt energia idő szerinti deriválásával felírható a teljesítmények egyensúlya
I ⋅U =
d C 2 U2 ⋅U + dt 2 R
Deriválás és U-val való egyszerűsítés után
C⋅
dU U + =I dt R 45
Hálózati módszerek •
•
•
• •
Koncentrált paraméterű, kétvégződésű elemekből álló rendszerekben az átmenő változóra a kontinuitási törvény áll fenn: A rendszer csomópontjaiban az átmenőváltozók irányított összege nulla, vagyis ΣΦn=ΣΦm . n számú csomópont esetén a független egyenletek száma n-1 A keresztváltozókra az összeférhetőségi törvény áll fenn: egy zárt hurokra a potenciálkülönbségek előjeles összege zérus, vagyis ΣEn=Σ∆χm=0 n csomópontú, b élszámú rendszergráfra bn+1 független hurok egyenlet írható fel, ha a rendszer kétvégződésű energitárolókat, energiaátalakítókat, és forrásokat tartalmaz. Átmenő jellemzők meghatározásához a hurok egyenletek és az elemi fizikai egyenletek szükségesek A keresztváltozók csomóponti egyenletekkel és az elemi fizikai összefüggésekkel adhatók meg.
Elemi egyenletek száma: b-s Csomópont
n-1
Hurok
b-n+1
Összesen
2b-s
s a források száma 46
23
2012.12.05.
Csomóponti módszer • A csomóponti módszert alkalmazzuk, ha valamely elem végpontjain fellépő keresztváltozó különbségre akarunk egyenletet felírni (pl. v, ω, U, p, T). • A szelvényhatárokat célszerű úgy kijelölni, hogy a szelvényen belül passzív elem ne maradjon. • Olyan csomópontra, melyhez keresztváltozó forrás közvetlenül nem csatlakozik, nem írunk fel kontinuitási egyenletet.
47
− Φ R1 + Φ C + Φ L = 0 − ΦL + Φ R2 − Φ0 = 0
−
χ 0 − χ1 R1
dχ 1 + ⋅ (χ1 − χ 2 )dt = 0 dt L ∫0 t
+C⋅
1 χ ⋅ ∫ (χ1 − χ 2 )dt + 2 − Φ 0 = 0 L 0 R2 t
−
48
24
2012.12.05.
Hurokmódszer
− χ 0 + χ R1 + χ L = 0 − χC + χ L + χ R2 = 0 − χ 0 + Φ1 ⋅ R1 +
t
1 ⋅ (Φ1 − Φ 2 )dt = 0 C ∫0
1 dΦ 2 ⋅ (Φ1 − Φ 2 )dt + L ⋅ + R2 ⋅ (Φ 2 + Φ 0 ) = 0 C ∫0 dt t
−
49
Általános impedanciák alkalmazása a rendszeregyenletek felírásához Impedancia hálózatok; áttekintés Sorosan kapcsolt impedanciák eredője: Ze(s)=Z1(s)+Z2(s)+…+Zn(s) Párhuzamosan kapcsolt impedanciák eredője:
Z e (s ) =
1 1
Z1 ( s )
+
1
Z 2 (s )
+ ... +
1 Z 2 ( s)
Keresztváltozó osztó képlet:
χ 2 ( s) = χ 0 (s)
Z 2 (s) Z1 ( s ) + Z 2 ( s )
Átmenőváltozó osztó képlet:
Φ 2 ( s) = Φ 0 (s)
Z1 ( s ) Z1 ( s ) + Z 2 ( s )
50
25
2012.12.05.
Gerjesztő források ekvivalenciája
Transzformátor: azonos típusú be- és kimenőjel, azonos fajtájú fizikai változó (pl. vill. transzformátor, hajtómű, emelőkar) Váltó: azonos típusú be- és kimenőjel, különböző fajtájú fizikai változó (pl. elektrodinamikus átalakító, fogaskerék-fogasléc) Átfordító: különböző típusú be- és kimenőjel, különböző fajtájú fizikai változó (pl.51 pezoelektromos átalakító, nyomás-erő átalakító)
Analógia felhasználása hálózategyeszerűsítésre váltó esetén M = Θ⋅
dω dM ; = K ⋅ ω; M = B ⋅ ω dt dt
Forgó rendszerek általánosított impedanciái: K típ. tároló: 1/s·Θ; D típ. Fogyasztó: 1/B; Á típ. tároló: S/K
Z (s )vill =
U ( s) n ⋅ ω ( s) = v = nv2 ⋅ Z ( s ) mech 1 I (s) ⋅ M (s) nv
Rm = nv2 ⋅
1 s 1 1 ; s ⋅ Lk = nv2 ⋅ ; = nv2 ⋅ B K s ⋅ CΘ s ⋅Θ
52
26
2012.12.05.
Dualógia felhasználása hálózategyeszerűsítésre átfordító esetén Fbe: átmenő változó, Ube: keresztváltozó
Z ( s ) vill =
U ( s ) nF ⋅ F ( s ) 1 = = nF2 ⋅ = nF2 ⋅ G ( s ) mech 1 I (s) Z ( s ) mech ⋅ v( s) nF
s ⋅ Lm = nF2 ⋅ s ⋅ m ;
1 k = nF2 ⋅ ; Rb = nF2 ⋅ b s ⋅ CK s 53
Impedanciamódszer • • •
• •
A végeredményként keresett változó típusát (átmenő- vagy keresztváltozó) szem előtt tartjuk. Hány forrás hatása érvényesül a rendszerben? A szuperpozíció elvét kihasználjuk. Ha a rendszerben transzformátor, váltó, vagy átfordító van, az átalakító célszerűen kiválasztott oldalára transzformáljuk a többi impedanciát (ld. előző két dia). Ezzel a lépéssel a vegyes rendszert megszüntetjük., és egységes típusú rendszert állítunk elő. Körülhatárolt rendszerrészek impedancia összevonása indokolt lehet, ha az összevont elemek egyikén sem keresünk időbeli változást. Az impedanciák, és a változók általában a komplex frekvencia függvényei.
54
27
2012.12.05.
Impedanciamódszer/rendszeren belüli keresztváltozó meghatározása •
Alkalmazott módszerek – Forrástranszformáció: Thevenin ekvivalanens képzése – Impedancia összevonások – szuperpozíció
χ 2 = Φ 0,1 ⋅
Z1 ⋅ Z 2 Zb Zb ⋅ + Φ 0, 2 ⋅ Z1 + Z 2 Z b + Z 4 Zb + Z 4
ahol
Zb = Z3 +
Z1 ⋅ Z 2 Z1 + Z 2
55
Impedanciamódszer/rendszeren belüli átmenőváltozó meghatározása két forrás esetén Φ Z=ΦZ1-ΦZ2
Φ Z 1 = Φ 01 ⋅
Ze Z3 + Z4 + Ze
Φ Z 2 = Φ 02 ⋅
Z4 Z3 + Z 4 + Ze
56
28
2012.12.05.
Aktív rész keresztváltozó-forrás ekvivalense és belső impedanciája
57
Aktív rész átmenőváltozó-forrás ekvivalense és belső impedanciája
58
29
2012.12.05.
Analógia a gyakorlatban v& = − L⋅
k b b k ⋅ x − ⋅ x& + F (t ) vagy &x& + ⋅ x& + ⋅ x = F (t ) m m m m
dI Q d 2Q dQ Q + R ⋅ I + = U (t ) vagy L ⋅ 2 + R ⋅ + = U (t ) dt C dt dt C t
UL+UR+UC=U(t)
L ⋅ C ⋅ I&& + R ⋅ C ⋅ I& +
m d 2 F m dF d 2v ⋅ 2 + ⋅ + F = m⋅ 2 k dt b dt dt
T2 ⋅
1 Idt = U (t ) C ∫0
m m ⇔ L ⋅ C ⇔ T 2 ; ⇔ R ⋅ C ⇔ 2 ⋅ξ ⋅T k b
d 2Φ dΦ dχ + 2 ⋅ξ ⋅T ⋅ +Φ =C⋅ dt 2 dt dt 59
Analógia a gyakorlatban (folyt.) t
IL+IR+IC=I(t)
L ⋅C ⋅
1 1 dU ⋅U + ⋅ ∫ Udt + C ⋅ = I (t ) R L 0 dt
d 2U L dU dI (t ) + ⋅ +U = L ⋅ dt 2 R dt dt
A mechanikai rendszerre vonatkozóan
m d 2 v b dv 1 dF (t ) ⋅ + ⋅ +v = ⋅ k dt 2 k dt k dt T2⋅
m b L ⇔ L ⋅ C ⇔ T 2 ; ⇔ ⇔ 2 ⋅ξ ⋅T k k R
d 2χ dχ dΦ + 2 ⋅ξ ⋅T ⋅ + χ = L⋅ 2 dt dt dt
Megfeleltetések: L=1/k; C=m; R=1/b
60
30
2012.12.05.
A rendszeregyenletek megoldásának módszerei • • • • • • •
A rendszer dinamikáját leíró függvény megkeresése a rendszeregyenlet megoldása. Grafikus Analitikus Analóg számítógépes Numerikus Laplace transzformáció A rendszeregyenlet ellenőrzése
•
Kezdeti értékek
– Ellenőrizendő legalább az egyenlet dimenzió helyessége – A dinamikai vizsgálatokat mindig a t=0 időpontban kezdjük
61
Műszaki rendszerek vizsgálata periodikus vizsgálójellel •
Bemenőjel: U(t)=U0·sin(ωt)
•
Kimenőjel: V(t)=V0(ω)·sin(ωt+φ(ω))
•
Az Euler formula felhasználásával
•
Ez az Y(j·ω) függvény a rendszer frekvencia függvénye
•
Ebben az A(ω)=V0(ω)/U0 az átviteli tényező
•
A(ω) az amplitúdó erősítés
Y ( j ⋅ω) =
V0 (ω ) ⋅ e j ⋅(ω ⋅t +φ (ω )) V0 (ω ) j ⋅φ = ⋅e U 0 ⋅ e j⋅ω ⋅t U0
φ (ω) a fáziseltolás 62
31
2012.12.05.
A rendszert leíró differenciálegyenlet n
∑a i = i0
i
m d (i )V d ( k )U = ∑ bk i dt dt k k = k0
Ebbe behelyettesítve a kimenőjel harmonikus alakját n
∑ a ( j ⋅ω ) i = i0
i
j
⋅V (t ) =
m
∑ b ( j ⋅ω)
k = k0
k
j
⋅U (t )
A baloldalon V(t), a jobboldalon U(t) kiemelhető, és felírható a frekvencia függvény
Y ( jω ) =
V (t ) bm ( jω ) m + ... + b1 ( jω ) + b0 = U (t ) an ( jω ) + ... + a1 ( jω ) + a0
63
NYQUIST diagram •
A frekvencia függvény imaginárius részét ábrázoljuk a reális rész függvényében. ω=0. Ha a0 nem nulla, Y(0)=b0/a0
•
Ha a0=0, akkor az ω →0 vizsgálatot kell elvégezni ω →∞, akkor a legnagyobb fokszámú tag lesz a domináns, tehát
bm ( jω ) m bm = ( jω ) − ( n − m ) a n ( jω ) n a n
n>m, a kitevő negatív, a kifejezés nullához tart n<m, a ktevő pozitív, a kifejezés a végtelenhez tart
64
32
2012.12.05.
BODE diagram(ok) • • • •
Az Y abszolút értéke 10-es alapú logaritmusának 20-szorosát, és a fázist külön diagramon ábrázoljuk ω>0-ra lg ω függvényében. a(ω)=20·lg(A) A diagramon a tendenciákat mutató aszimptotákat ábrázolunk, amelyen a meredekséget is feltüntetjük, pl. 20 dB/dek(ád) Sorba kapcsolt rendszerelemek eredő frekvencia függvénye a tagok frekvencia függvényének a szorzata. Ebből következik, hogy a sorba kapcsolt tagok eredő BODE diagramja a tagok diagramjának összegeként adódik (grafikus összegzés).
65
Arányos tag (P) diagramjai • • •
Leíró egyenlet:V(t)=A·U(t) Átviteli függvény: Y(s)=A Frekvencia függvény:Y(jω)=A
66
33
2012.12.05.
Differenciáló tag (D) diagramjai • • • •
Leíró egyenlet: V(t)=TD·dU/dt Átviteli függvény: Y(s)=s·TD Frekvencia függvény: Y(jω)=jωTD a(ω)=20·lg(TDω)=20·lgTD+20·lgω
67
Integráló Tag (I) diagramjai • • • • •
Leíró egyenlet: TI·dV/dt=A·U V(t)=A/TI·∫ U(t)dt+V0 Átviteli függvény: Y(s)=1/TI·s Frekvencia függvény:Y(jω)=1/jωTI a(ω)=20·lg1/Tiω=-20·lgTI-20·lgω
68
34
2012.12.05.
Arányos differenciáló tag (PD) diagramjai • • • •
Egyenlet: V(t)=A·(1+TDdU/dt) Átviteli függvény Y(s)=A·(1+s·TD) Frekvencia függvény Y(jω)=A·(1+jωTD)=A+j·A·ωTD
a (ω ) = 20 ⋅ lg A2 + A2 ⋅ ω 2 ⋅ TD2 a(ω ) = 20 ⋅ lg A + 20 ⋅ lg 1 + ω 2 ⋅ TD2 ω =0: a(ω)=20·lg A ω =∞ a(ω)=20·lg A+20·lgω+20·lgTD φ (ω)=arc tg ATDω/A=arc tg(TDω)
69
Arányos integráló tag (PI) diagramjai • • • •
Egyenlet: V(t)=A+A/TI·∫ U(t)dt+V0 Átviteli függvény:Y(s)=A·(1+1/TI·s) Frekvencia függvény: Y(jω)=A·(1+1/Tijω)
Y ( jω ) = A ⋅
TI ⋅ jω + 1 1 = A· ⋅ (1 + TI ⋅ jω ) TI ⋅ jω TI ⋅ jω
70
35
2012.12.05.
Rendszerszimuláció analóg számítógéppel • • •
Analóg számítógép alapegysége a műveleti erősítő Invertáló – nem invertáló bemenet Alapkapcsolási módok – Differencia bemenet – Invertáló kapcsolás – Nem invertáló kapcsolás
71
Műveleti erősítő kapcsolás összegzésre és állandóval való szorzásra •
•
A visszacsatoló Zv impedancia értékétől és típusától függ, hogy az erősítő milyen értékű állandóval szorozza meg a bemenő jelet. Ha a visszacsatoló ágba kondenzátort kapcsolunk, akkor több bemenő jel integráljának összegét képezhetjük.
72
36
2012.12.05.
Nemlineáris függvénykapcsolatok előállítása •
•
Küszöbérték beállítás: a bemeneti dióda záró irányban van előfeszítve. A kimeneten addig nincs jel, amíg a zárófeszültség értéket el nem érjük. Nem lineáris görbe közelítés: az Ri2/Ri, Rj2/Rj feszültségosztók közös vezetékkel negatív irányban feszítik elő a diódákat. Ube>0 feltétel mellett a diódák egymást követve nyitnak ki.
73
Nemlineáris függvénykapcsolatok előállítása (folyt.) • •
Abszolút érték képzés Jelkorlátozás: a bemenőjel meghatározott értéke után a kimenőjel változatlan marad
74
37
2012.12.05.
Exponenciális és logaritmáló kapcsolás •
•
Felső ábra: A kimenet a bement exponenciális függvénye Alsó ábra: a kimenet a bemenet logaritmusa
75
38
