2015.03.02.
Henger körüli áramlás y/R 1.5 1 0.5 0 -0.5
x/R
-1 -1.5 -3
-2
-1
0
R2 w = c∞ z + z
1
2
3
R2 c = c∞ 1 − 2 z
R2 c r = R = c∞ 1 − 2 e −2 iϑ = c∞ (1 − cos 2ϑ + i sin 2ϑ ) R
Henger körüli áramlás c r = R = c∞ (1 − cos 2ϑ + i sin 2ϑ )
[
c r = R = (c c )r = R = c∞2 (1 − cos 2ϑ ) + sin 2 2ϑ 2
2
]
2 c r = R = c∞2 1 − 2 cos 2ϑ + cos 2 2ϑ + sin 2 2ϑ 1 4 4 2 4 4 3 1 c r = R = 2c∞2 [1 − cos 2ϑ ] 2
2 2 2 c r = R = 2c∞2 cos ϑ2 +4 sin4 ϑ − cos 2 ϑ − sin 2 ϑ 144 3 1
(
)
c r = R = 2c∞ sin ϑ
2
c r = R = 4c∞2 sin 2 ϑ
Henger körüli áramlás A
Maximális sebesség:
c∞
c A = 2c∞ ϑ
p∞
Nyomásmegoszlás: Nyomástényező
1
p∞ +
0.5
ρ 2
0
ρ
cp -0.5 -1
cp =
-1.5 -2
2
-2.5 -3
p − p∞
ρ
0
1
2
3
4
5
2
c p = 1 − 4 sin ϑ
6
c∞2
ρ
c∞2 = p +
= 2
2
c∞2 −
ρ 2
c c p = 1 − c∞
c
ρ 2
2
c
2
c∞2
2
1
2015.03.02.
Henger körüli áramlás
A legtöbb mozgó járműre felhajtóerő hat.
Flettner rotor R2 Γ w = c∞ z + + i 2 π ln z z 1.5
-
-
Γ +
Γ = 1.6 c∞ 2 Rπ
-
1
-
0.5
Ff +
0
y/R
-0.5 -1 -1.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
x/R Mindkét torlópont eltolódik lefelé. A cirkulációval arányos felhajtóerő keletkezik.
Magnus-hatás Kutta-Zsukovszkij tétel:
N F f = ρ c∞ Γ m
c∞
[http://hu.wikipedia.org/wiki/Magnus-effektus]
2
2015.03.02.
A torlópont A felületi sebesség 0:
Γ =0 c∞ 2 sin ϑ0 + 1424 3 { 2 Rπ henger
örvény
Mekkora cirkuláció szükséges, hogy éppen ϑ0 szöggel tolódjanak lejjebb a torlópontok?
Γ = −c∞ R 4π sin ϑ0 <2
Γ c∞ 2 Rπ
két torlópont
=1
egy torlópont
>2
nincs torlópont a henger felületén
Komplex leképzések w más pontokban fogja fölvenni ugyanazokat az érékeket:
w( z ) = w( ζ )
ζ = f (z ) z
z = f −1 (ζ )
ζ
Pl. egy forgó henger körüli áramlásból szárny körüli áramlást csinálhatunk.
Zsukovszkij transzformáció Egy komplex leképzést konform, ha nem módosítja a függvény távoltéri jellemzőit. Az ilyen transzformációk a következő alakban írhatók fel általánosan:
ζ = f (z ) = z +
a1 a2 a3 + + + ... z z2 z3
ahol a1 , a2 , a3 , ... komplex számok.
A legegyszerűbb változatot a Zsukovszkij transzformáció:
ζ = z+
a10 z
ahol
a10 valós.
3
2015.03.02.
Szinguláris pontok Ahol a transzformációs összefüggés deriváltja 0, a transzformáció inverze nem egyértelmű. Egy valós függvénnyel szemléltetve: ξ
f ' (x ) =
dξ =0 dx
x
ζ = z+
dζ a = 1 − 10 =0 dz z2
a10 z
A Zsukovszkij transzformáció szinguláris pontjai:
z = ± a10
Szinguláris pontok A szinguláris pontok transzformált képei:
ζ = ± a10 + y
a10 = ±2 a10 ± a10 η
z
ζ
x
− a10
+ a10
− 2 a10
+ 2 a10
ξ
A Zsukovszkij szárnyszelvények olyan körök képei, melyek legalább az egyik szinguláris ponton áthaladnak.
Zsukovszkij profilok Hogyan írható fel egy ε középpontú,
a10
-en áthaladó kör egyenlete?
Ha ε zérus, akkor:
zc = a10 ei ϑ a10 − ε
Nem zérus ε esetén:
ε a10
zc =
(
)
a10 − ε eiϑ + ε
4
2015.03.02.
Zsukovszij profilok ε
z sík
a10
1
=
ζ sík 1
0.5
0.5
0
0
0
-0.5
-0.5
-1 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -3
1.5
1
1
0.5
0.5
0.05
0 -0.5
-2
-1
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
0 -0.5
-1 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -3
1.5
Zsukovszkij profilok ε
z sík
a10
1
=
0.5
ζ sík 1
0.2
0.5
0.1i
0 -0.5
0 -0.5
-1 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -3
1.5
1
1
0.5
0.5
0.05+0.1i
0 -0.5
-2
-1
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
0 -0.5
-1 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1 -3
Cirkuláció nélkül … így néz ki a henger körüli áramlás képe:
Hele-Show kísérlet: egy 13°állásszögű szárny körüli áramlás képe. Ilyen áramlásban nem lenne felhajtóerő! Végtelen sebesség jön létre itt A cirkuláció meghatározásához fel kell használnunk a szélcsatornás tapasztalatokat!
[An album of fluid motion]
5
2015.03.02.
Kutta feltétel A valóságban a hátsó torlópont mindig a kilépő élbe kerül. A torlópont eltolódásának szöge alapján a cirkuláció kiszámítható!
ϑ0 ε
ε, α → ϑ0 → Γ α β
c∞ Állásszög: α
α+β szöggel kell eltolni a hátsó torlópontot.
Ívelt lap Becsüljük meg cf felhajtóerő-tényező értékét ívelt lap esetén! Feltételezhető, hogy α, f, h adottak, továbbá α és f/h értékei kicsik.
f
cf = h
Ff
ρ 2
c∞
c∞2 h
α
Ívelt lap A torlópont eltolásának szöge:
ϑ0 = −(α + β )
f h
melyből a cirkuláció:
Γ = c∞ 4 Rπ sin (α + β )
c∞ α
α β
Γ ≈ c∞ hπ (α + β ) f / 2 2f ≈ h/ 4 h
β = atg
cf =
ρ c∞ Γ 2 Γ 2f = ≈ 2π α + ρ 2 h c h c∞ h 2
∞
6
2015.03.02.
Ívelt lap cl
2f/h
α
Pl. α=2°:
cf=0.219
Mért érték:
cf=0.200
Mérésekkel összevetve Ff
Fe
c∞ α
cf =
Ff
ρ 2
ce =
c∞2 A
Fe
ρ 2
c∞2 A
Egy Zsukovszkij felhajtóerő- és ellenállás-tényezője. [Schlichting 1.11]
3. szorgalmi feladat Határozza meg analitikusan cp nyomástényező változását az ábrán látható ε=0.05+0.1i komplex paraméterű Zsukovszkij profil felületén! Ábrázolja cp értékét ξ függvényében a szárny teljes felületén (szívott és nyomott oldalakon)! η 1 0.5 0
ξ
-0.5 -1 -3
-2
-1
0
1
2
3
Kérem, hogy a válaszát képletekkel, ábrával és néhány mondatos indoklással max. 5 oldalas PPT fájlban adja meg a Poseidon rendszerben kiírt feladatra! Helyes megoldással 2 vizsgapont szerezhető.
7
2015.03.02.
Alkalmazási példák BME Áramlástan Tanszék
Olajtermelés vízszintes kúttal
gáz olaj víz
Olajtermelés vízszintes kúttal Hele-Show kísérlet
[Dr. Lajos Tamás kutatási jelentéséből]
8
2015.03.02.
Partiszűrés
A kút termelőkapacitása függ: 1. A folyó szintjétől és a part alakjától (lásd fenti ábra); 2. A maximális megengedhető beszivárgási sebességtől; 3. A kavicságyban megengedhető maximális sebességtől.
Guber József víztároló A Fővárosi Vízművek 1970-ben átvette egy modern müncheni víztároló terveit.
2 zongora alakú, 40.000 m3 kapacitású tároló.
Eltérő üzemeltetés Münchenben Átfolyásos tároló. A teljes termelt vízmennyiség áthalad rajta, mindig van áramlás.
Budapesten Ellennyomó tároló. A hálózat nyomását stabilizálja, éjszaka töltődik, nappal ürül. A víz vagy csak be, vagy csak ki áramlik.
r ∇×v = 0 !
t1
t2=t1
9
2015.03.02.
Gruber József (1915-1972) Javasolta, hogy a potenciálos áramképet kellene megközelíteni. Szintén javaslatot tett az analitikus megoldás módszerére:
A BME Áramlástan Tanszék tanszékvezetője: 1950-1972
Végtelen nyelősor körüli áramvonalak
Laborkísérletek Variábilis vízelosztó rács
Kísérleti berendezés Egyenletes perforációval A müncheni változat A budapesti változat
10
