Pružnost Pružné deformace (pružiny, podložky) Tuhost systému (nežádoucí průhyb) Kmitání systému (vlastní frekvence)
R. Hook: „ut tensio, sic vis“
(1676) 1
2
3
Pružnost 1) 2) 3) 4) 5)
Modul pružnosti Vazby mezi atomy Uspořádání atomů v tuhých látkách Fyzikální základ modulu pružnosti (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací)
4
Modul pružnosti
Elastické charakteristiky materiálu Měření elastických charakteristik Hodnoty modulu E
Téma 1
5
Zobecněný Hookův zákon Anisotropní materiál (Anisotropie = závislost fyzikálních vlastností látek na směru, ve kterém se měří)
ε x ε y ε z = γ yz γ zx γ xy
S11S12S13S14S15S16 σ x S S S S S S σ 21 22 23 24 25 26 y S31S32S33S34S35S36 σ z * τ S41S42S43S44S45S46 yz S51S52S53S54S55S56 τ zx S61S62S63S64S65S66 τ xy
Matice sice obsahuje 36 prvků, ale díky symetrii indexů je pouze 21 nezávislých
Tenzor napětí
Tenzor deformací
Elastické koeficienty
6
Zobecněný Hookův zákon Se zvyšováním symetrie (zavádíme osy x,y,z) se snižuje počet nezávislých elastických koeficientů
Orthotropní materiál µ yx 1 µ zx ,− ,− ,0 ,0 , 0 E E E y z x µ xy µ zy 1 − , ,− , 0 , 0 ,0 Ez Ex Ey µ − µ xz , − yz , 1 , 0 , 0 , 0 E x Ey Ez 1 0 , 0 , 0 , , 0 , 0 G yz 1 0 , 0 , 0 , 0 , , 0 G zx 1 0 , 0 , 0 ,0 ,0 , G xy
Orthotropie = pravoúhlá anisotropie
Monokrystal, textura Kompozit – matrice + vlákno (zanedbáváme osu „z“)
ε x ε y γ xy
=
µ yx 1 ,− ,0 Ey E x µ 1 xy , ,0 − E E x y 1 0,0, G xy
σ x * σ y τ xy 7
Zobecněný Hookův zákon Orthotropní materiál monokrystaly a) Al (lom. napětí) b) Al (tažnost) c) Al (E) d) Fe (E) e) Fe (G) f) Mg (E) 8
Isotropní materiál
Zobecněný Hookův zákon
Isotropie = vlastnosti jsou na směru nezávislé (opak anisotropie) Polykrystalické materiály – kov, keramika částečně i polymery µ µ 1
E ,− E , − E ,0 ,0 ,0 Amorfní látky – sklo, některé polymery − µ , 1 ,− µ ,0 ,0 ,0 E E JEN DVĚ NEZÁVISLÉ E E G= CHARAKTERISTIKY 2(1 + µ ) − µ ,− µ , 1 ,0 ,0 ,0 E E E 1 0 ,0 ,0 , ,0 ,0 1 τ xy G εx = σ x − µ (σ y + σ z γ xy = E G 1 0 ,0 ,0 ,0 , ,0 1 τ yz G ε y = σ y − µ (σ x + σ z γ yz = G E 1 0 ,0 ,0 ,0 ,0 , τ zx 1 γ = G ε z = σ z − µ (σ x + σ y zx
[
]
[ [ E
] ]
G
9
Další elastické charakteristiky, jen dvě jsou nezávislé
σ = Eε τ = Gγ ∆V p = −K V
µ
modul v tahu modul ve smyku objemový modul Poissonův poměr 10
Další elastické charakteristiky, jen dvě jsou nezávislé
E = 2G (1 + µ ) E K= 3(1 − 2 µ ) E µ= −1 2G 11
Další elastické charakteristiky, jen dvě jsou nezávislé Isotropní materiál: µ a E Poissonův poměr µ – poměr poměrného příčného zkrácení k poměrnému podélnému prodloužení v oblasti pružných deformací. Hodnota µ vyjadřuje pružnou stlačitelnost tělesa t. j. schopnost zmenšovat (při stlačení), nebo zvětšovat (při tahu) svůj objem během pružné deformace. Otázka zvědavého studenta
Proč se pro oceli uvádí vždy hodnota µ = 0,33?
12
Definice µ
∆d µ=
∆l
d0 l0
∆d =−
∆l
d0 l0
ε3 ε2 =− =− ε1 ε1
ε 3 = ε 2 = −µε1 13
Definice µ Jaké hodnoty µ nabývá?
(1 + ∆ V ) = (1 + ε 1 )(1 + ε 2 )(1 + ε 3 ) = (1 + ε 1 )(1 − µε 1 )(1 − µε 1 ) =
{ zanedbáme
členy s ε , ε
= 1 + ε 1 (1 − 2 µ )
2
3
}
Objem roste ⇒⇒ 1 − 2 µ > 0 ⇒⇒ µ < 0 ,5 Objem je konstantní µ = 0 ,5 14
Vztah mezi K a E K je u kovů prakticky rovno E
15
Jakých hodnot nabývá µ u kovů? E K= 3(1 − 2µ )
E≈K
1 = 3(1 − 2µ ) µ = 0 ,33 3 G= E 8 K=
E = 2.105 MPa = 200 GPa G = 7,5.10 MPa = 75 GPa 4
E 3(1 − 2µ )
16
Měření elastických charakteristik
Kvazistatické metody (pomalé) Dynamické metody
nízkofrekvenční vysokofrekvenční
17
Kvazistatické metody
Poissonův poměr – z definice; tenzometry příp. snímače podélného prodloužení a příčného zúžení Modul E – zkouška tahem – zkouška ohybem Modul G – zkouška krutem
18
Kvazistatické metody
19
Kvazistatické metody
0.35
0.3 0,287 0.25
0.4
0.2
0.15 12
16
20
24
čas t [ s ]
28
Poissonova konstanta µ [ - ]
Poissonova konstanta µ [ - ]
0.4
0.35 32
0,307 0,299 36
0.3 0,303 0,296
0.25
0.2
0.15 12
16
20
24
28
32
36
čas t [ s ]
40
44
48
52 20
Kvazistatické metody
21
Kvazistatické metody 60
3000 -5 0°C epoxy243_ 3 epoxy115_ 3
2500
2000
40
Stress [MPa]
Load [N]
-5 0°C ep oxy243_ 3 ep oxy115_ 3
50
1500
30
1000
20
500
10
0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0
500
0
Time [s]
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Strain [%]
1600
50 60 °C epoxy115_ 2 epoxy315_ 5 epoxy243_ 4
1400
60°C e poxy243_ 4 e poxy315_ 5 e poxy115_ 2
40
1200
Stress [MPa]
Load [N]
1000 800 600
30
20
400 10
200 0 0
20
40
60
80
100
120
Time [s]
140
160
180
200
0 0
0,2
0,4
0,6
Strain [%]
0,8
1
22
Kvazistatické metody 15 243_3 115_3
315_1 115_1 X_4 X_3 243_1 X_5
9
0.50
315_5 115_2
115_5 243_5
243_4
0.46
6
115_4
failed during cycling
315_3 failed during cycling
3 315_3
115_4 243_5
115_5
0 -80
-40
0
40
80
120
Poisson's ratio [-]
Young's modulus [GPa]
12
Z_3 243_2 315_4
0.42 315_5
0.38 X_5 X_4
0.34
243_4 X_3
Temperature [°C]
115_2 243_3
0.30
Z_3 315_4 243_2
115_1 243_1 315_1
115_3
0.26 -80
-40
0
40
Temperature [°C]
80
120
23
Torzní kyvadlo
Dynamické metody
G = 128π.Ja.l.f /d 2
4
d - průměr vzorku l - délka vzorku Ja - osový moment setrvačnosti f - vlastní frekvence kmitů kyvadla 24
vD = (E/ρ)
½
Dynamické metody - vysokofrekvenční rychlost šíření podélných vln
Pro těleso délky l0, vlastní frekvencí kmitů f a n-tou harmonickou vlnu platí:
vDn = 2l0fn/n, (n = 2,3,4…) Potom: 2
2
E = 4.l0.ρ.fn/n
2
Grindosonic 25
Měření elastických charakteristik
Mezi hodnotami E určenými při pomalém a rychlém zatěžování jsou rozdíly (asi 10% u kovů, keramiky; u plastů může být i několik řádů)
26
Moduly pružnosti materiálů KOMPOZITY
POLYMERY
KOVY
KERAMIKA
27
Moduly pružnosti materiálů
KAUČUK 10 MPa
DIAMANT 1 000 000 MPa
28
Moduly pružnosti materiálů
29
Moduly pružnosti materiálů
kovy, keramika, skla
(
4
)
(10
4
6
)
až 10 MPa
plasty 1 až 10 MPa elastická deformace závislost modulu na
- vazbách mezi atomy - uspořádání atomů v prostoru
30
Pružnost
Modul pružnosti 2) 3) 4) 5)
Vazby mezi atomy Uspořádání atomů v tuhých látkách Fyzikální základ modulu pružnosti (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací)
31
Vazby mezi atomy
Vazby mezi atomy – primární (Tm 1000K až 5000K) – sekundární (Tm 100K až 500K)
U = −
A r
m
B + n r
m < n
32
Vazby mezi atomy Díky vazbám vzniká kondenzovaný stav látek
Kovová - ionty kovů v moři elektronů, těsné uspořádání = největší hustota Iontová - využití oktaedrických a tetraedrických poloh Kovalentní - komplikovaná mřížka, nejpevnější 33
Vazby mezi atomy
34
Kondenzované stavy
Stav
1 2 3 4 5
Vazby Rozrušené Pevné Kapalina * Tekutý krystal * Pryž Sekundární Primární Sklo * Krystal *
K
E
Velké Nula Velké Malé ≠ 0 Velké E< <
35
Pružnost
Modul pružnosti Vazby mezi atomy 3) 4) 5)
Uspořádání atomů v tuhých látkách Fyzikální základ modulu pružnosti (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací)
36
Uspořádání atomů
37
Těsné uspořádání - kovy
38
Struktura hcp –Mg, Zn, Co, a - Ti hexagonal - close – packed structure
39
Těsné uspořádání - kovy
40
Struktura fcc – Al, Cu, Au, Ag, Pt, Ni, γ-Fe face – centred – cubic structure
41
Struktura bcc – α-Fe, Mo, W, Ta body – centred - cubic structure
Polymorfie – změna mřížky s teplotou,
železo α – γ – δ (910/1400)°C
42
Iontová vazba - keramika
43
Iontová vazba - keramika
44
Kovalentní vazba - keramika
Diamant Křemen Mřížka se vzdaluje od těsného uspořádání 45
Kovalentní vazba - sklo
Křemenné sklo – teplota tavení 1200°C Na, Ca, Fe – terminátoři – 700°C 46
Kovalentní vazba – polymery (plasty)
Termoplasty – PE, PP, PS, PMMA Termosety (reaktoplasty) Elastomery (pryže, gumy)
47
H H | | C=C | | H H
Etylén Počet monomérů (n) 1
monomér
teplota měknutí °C
charakter při +20°C
-167
plyn
6
-12
kapalina
35
37
tuk
140
93
vosk
430
109
pevná látka
Stupeň polymerizace
103 ≈ 105
48
Polymery (plasty)
H | C| H R ---R ---R ---R ----
H CH3 Cl C6H5
H H H H H H H | | | | | | | C-C-C-C-C-C- C | | | | | | | R H R H R H R
polyetylén (odpadní trubky, isolátory) polypropylén (odolnější vůči světlu, auto) polyvinylchlorid (střešní a podlahové krytiny) polystyrén (gram desky, příbory, izolace)
49
Polymery (plasty) Tvary molekul plastů
50
Polymery (plasty) Krystaly plastu - sferolity
51
Pružnost
Modul pružnosti Vazby mezi atomy Uspořádání atomů v tuhých látkách 4) 5)
Fyzikální základ modulu pružnosti (Příklad návrhu konstrukce s uvážením elastických deformací)
52
Fyzikální podstata modulu pružnosti
tuhost vazby d 2U S0 = 2 dr
r = r0 53
Tuhost vazby Typ vazby
S0 [N/m]
Modul pružnosti
E ≈ S0 r0
[MPa]
C-C
180
1 000 000
iontová Na-Cl
9 - 21
(0,3 – 0,7) 100 000
kovová Cu-Cu
15 - 40
(0,3 - 1,5) 100 000
H - můstek
2
8 000
Van der Waals
1
2 000
S0 S0 E≈ r0 S0
Teorie platí u kovů a keramiky; modul pružnosti některých plastů (kaučuk, pryž) je až o tři řády nižší ve srovnání s teorií.
54
Polymery v závislosti na teplotě
Skelná oblast
55
Polymery v závislosti na teplotě
Oblast skelného přechodu -Tg Sekundární vazby začínají tát
56
Polymery v závislosti na teplotě
Kaučukovitá oblast Pryže - pružná deformace, kde µ = 0,5
57
Polymery v závislosti na teplotě
Příklady teplotní závislosti E
58
Modul pružnosti kompozitu Materiál složený ze dvou materiálů, který má lepší vlastnosti než jednotlivé složky Částicové kompozity Polyetylén + živice WC + Co SiC + Al Vláknové kompozity GFRP – glass fiber reinforced polymer CFRP – carbon BFRP – boron Mg + vlákna Al2O3 (blok motoru) Celulóza + lignin SiC (Nicalon)/glass 59
Modul pružnosti kompozitu napětí působí rovnoběžně s vlákny – deformace vláken f i matrice m je stejná
Vláknové kompozity
σ = V f .σ f + (1 − V f ).σ m
σ = Ekomp .ε = V f .E f .ε + (1 − V f ).Em .ε E komp = V f .E f + (1 − V f ).Em napětí působí kolmo na vlákna - vlákna i matrice přenáší stejné napětí
σ E komp E komp
=Vf
σ Ef
+ (1 − V f )
V f (1 − V f = + Em E f
)
ε = Vf .ε f + (1 − Vf ).ε m
σ Em
−1 60
Skelná matrice s vlákny (Shott Glass Meinz) borosilikátové sklo (DURAN) vlákna SiC (NICALON) Young’s modulus [GPa]
Poisson’ s ratio
Thermal exp. coeff. [K-1]
Tensile strength [MPa]
Fracture toughness [MPam0.5]
Glass matrix DURAN®
63
0.22
3.25.10-6
60
0.6
Fibre SiC Nicalon®
198
0.20
3.0 .10-6
2750
??
Composite
118
0.21
3.1 .10-6
600-700
~ 26
61
Skelná matrice s vlákny
62
63
