Náhradní ohybová tuhost nosníku Autoři: Doc. Ing. Jiří PODEŠVA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB - Technická univerzita Ostrava, e-mail:
[email protected]
Anotace: Výpočty ocelových výztuží vodorovných důlních děl lze provádět speciálním programem, vyvinutým na katedře stavební mechaniky Fakulty stavební, VŠB-TU Ostrava v prostředí MS Excel. Výpočet umožňuje zahrnout geometrickou nelinearitu. Za účelem zahrnutí dalších vlivů, jako je materiálová nelinearita a zejména ztráta stability tvaru, bylo třeba stanovit ohybovou tuhost nosníku jako proměnnou veličinu, závislou na zatížení ohybovým momentem. Tato byla stanovena výpočtovým modelováním MKP.
Annotation: The calculation of the horizontal mine opening steel support can be performed by the special program, developed on the Department of civil mechanics. The important data is the bending stiffness E•J. It is calculated from the load-deformation dependence. The external load leads to the bending moment and bending angle. Both must be investigated from the results of the FEM modeling.
Úvod Na katedře stavební mechaniky Fakulty stavební VŠB - Technické univerzity Ostrava byl vyvinut výpočtový program v prostředí MS Excel, umožňující provádění výpočtů deformace a namáhání obloukových ocelových výztuží vodorovných důlních děl silovou metodou. Kromě lineární statiky program umožňuje zahrnout do modelu i geometrickou nelinearitu. Program však neumožňuje zahrnout materiálovou nelinearitu (plasticita) ani pokles ohybové tuhosti vlivem změny nosného profilu, vedoucí až ke ztrátě stability tvaru. Problém je řešen zavedením a použitím pojmu „ohybová tuhost“ E•J, jež je zde funkcí zatížení. Pro zjištění této ohybové tuhosti je nutno provést rozsáhlé výpočtové modelování metodou konečných prvků. Výstupem tohoto modelování je ohybově namáhaný nosník, u něhož je třeba zjistit vnitřní statické účinky a jeho deformaci. Ty jsou pak vstupem pro zjištění ohybové tuhosti..
Výpočet ohybové tuhosti Základem výpočtu ohybové tuhosti je „numerický experiment“. Byl vytvořen 3D model profilu výztuže. Ten byl zatížen ohybovým momentem a normálovou silou. Výpočtový model zahrnuje materiálovou nelinearitu - plastický materiálový model, geometrickou nelinearitu změna tuhosti vlivem deformace. ANSYS konference 2010 Frymburk 6. - 8. října 2010 1
Ze své podstaty (3D model) rovněž zahrnuje vliv změny profilu při deformaci. Na takto zatíženém nosníku byla zjištěna jeho deformace - úhel natočení profilu, a vnitřní statické účinky - zejména ohybový moment. Ohybová tuhost E•J pak byla určena jako závislost na ohybovém momentu Mo, resp. na úhlu natočení φ.
Obr. 1 - Tzv. „konečnoprvkový“ model profilu.
l M φ
E·J
Obr. 2 - Ohyb dokonale vetknutého nosníku, 3D model a jeho deformace.
Deformace Na deformaci je zřejmé jak při větším zatížení se výrazně mění profil výztuže. To způsobuje jisté problémy. Lineární teorie nosníků vychází z předpokladu zachování rovinnosti průřezu. Tato premisa ale u deformovaného 3D modelu nemusí být a ani není splněna, zejména v oblasti velké deformace, jak je vidět např. na obr. 2. a obr. 3.
půdorys
zborcená řezová plocha
bokorys
Obr. 3 - Velmi krátký úsek nosníku - MKP model a deformace.
Důležitou roli zde hraje vhodný výběr délky nosníku, na němž bude deformace a vnitřní statické účinky vyšetřovány. Na obr. 4 je krátký úsek nosníku. Řezové plochy na obou ANSYS konference 2010 Frymburk 6. - 8. října 2010 2
koncích lze považovat za téměř rovinné. Ovšem uvnitř materiálu dochází ke složité 3D deformaci. Tento úsek nosníku představuje jakýsi „kloub“. posunutí bodů průřezu lineární aproximace posunutí - úhel ohnutí
Obr. 4 - Krátký úsek nosníku - deformace.
Obr. 5 - Natočení řezové roviny.
Samotný úhel natočení byl určen takto : Pro všechny uzly profilu byly z výsledkového souboru vyčteny hodnoty jejich posunutí. Ze souřadnic uzlů v nedeformovaném stavu a jejich změn - posunutí, byly určeny souřadnice deformovaného profilu. Lineární aproximací těchto souřadnic byl určen úhel natočení.
Vnitřní statické účinky Standardním výsledkem počítačového modelování je rozložení napětí. Při malém zatížení v lineární oblasti odráží velmi přesně řešení dle lineární teorie nosníků - lineárně rozložené napětí s maximálním tlakem na jedné straně profilu a maximálním tahem na druhé straně profilu. Při vyšším zatížení již rozložení napětí není lineární. Z výsledků výpočtového modelu lze vyčíst tzv. uzlové síly. Jde o síly, přenášené v jednotlivých uzlových bodech profilu z jedné části nosníku na druhou. Ohybový moment byl zjištěn jako součet momentů těchto sil k neutrální ose.
maximální tlak -454.965 -354.29 -253.614 -152.939 -52.263 48.413 149.088 249.764 350.439 451.115 [MPa] maximální tah
Obr. 6 - Osové napětí na ploše profilu.
Výsledkem je množství dat, určujících závislost úhlu natočení φ na ohybovém momentu Mo při různých hodnotách normálové síly. Tato závislost se vynáší do ohybové charakteristiky. Charakteristika má lineární (poměrně strmý) úsek, kdy s narůstajícím ohybovým momentem narůstá úhel natočení profilu lineárně a jen velmi pomalu. Následuje nelineární úsek, kdy v důsledku plasticity a posléze změny profilu dochází k podstatně výraznějšímu nárůstu úhlu natočení. Konečně po překročení jistého limitu dochází k nárůstu úhlu natočení i při poklesu ohybového momentu. Tento „bod zvratu“ znamená ztrátu stability tvaru.
ANSYS konference 2010 Frymburk 6. - 8. října 2010 3
přibližně lineární rozložení
nelineární rozložení
neutrální osa
Obr. 7 - Uzlové síly. 60000
ztráta stability
ohybový moment Mo [N•m]
50000
nelineární úsek 40000
30000
lineární úsek 20000
10000
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
úhe l fi [s t]
Obr. 8 - Ohybová charakteristika.
Z ohybové charakteristiky je konečně vyhodnocena ohybová tuhost E·J v závislosti na ohybovém momentu Mo pro různé hodnoty normálové síly N. Tyto údaje jsou již přímým vstupem do výpočtového programu, zmíněného v úvodu.
ANSYS konference 2010 Frymburk 6. - 8. října 2010 4
,
lineární úsek
800000
y
700000
E•J [N•m^2]
600000
nelineární úsek
500000
N=0 N = 200 kN N = 400 kN N = 600 kN
400000
N = 800 kN N = 1000 kN N = 1200 kN
300000 200000 100000 ztráta stability
0 0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Mo [N•m]
Obr. 9 - Ohybová tuhost E·J.
Závěr Řada výpočtových postupů, týkajících se nosníků, operují pojmy „normálová síla“, „posouvající síla“ a „ohybový moment“, souhrnně nazývané „vnitřní statické účinky“. Nahlédneme-li však na těleso jako na obecný 3D objekt různých rozměrů, ztrácejí tyto pojmy svůj jasně definovaný smysl. Ačkoliv pojem „ohybový moment“ je v oblasti 3D modelování těžko definovatelný, lze jej jistou technikou z výsledků vypočíst. Rovněž úhel natočení profilu lze vyčíst byť nepřímo. Stanovení úhlu natočení profilu nosníku a ohybového momentu, působícího na profil, jsou vstupními údaji pro stanovení tzv. ohybové tuhosti nosníku E•J, kde E je modul pružnosti v tahu, J je kvadratický moment setrvačnosti profilu. U nelineárních úloh oba tyto parametry pokládáme za proměnné. Proměnný modul pružnosti E nahrazuje model materiálové nelinearity - plasticity. Proměnný moment setrvačnosti J odráží změnu profilu při zatěžování. Na základě výsledků numerických experimentů byl pro různé hodnoty zatěžování stanoven přímo součin E•J jako funkce zatížení ohybovým momentem a normálovou silou.
Poděkování Projekt byl realizován za finanční podpory ze státních prostředků prostřednictvím Grantové agentury České republiky. Registrační číslo projektu je 105/08/1562.
LITERATURA: [1]
Kolář V., Kratochvíl J., Leitner F., Ženíšek A. : Výpočet plošných a prostorových konstrukcí metodou konečných prvků. SNTL, Praha, 1979. [2] Crisfield M. A. : Non-linear finite element analysis of solids and structures. John Wiley & Sons Ltd, Baffins Lane, Chichester, 1997. [3] Janas, P., Spolehlivost ocelových výztuží dlouhých důlních děl při rázovém zatížení, závěrečná zpráva projektu GA ČR 105/01/0458, FAST VŠB TU Ostrava, leden 2007.-1. ANSYS konference 2010 Frymburk 6. - 8. října 2010 5
