Prospectieve sterftetafels met toepassing op marktconforme waarderingen

Faculteit Wetenschappen en Bio-ingenieurswetenschappen

Prospectieve sterftetafels met toepassing op marktconforme waarderingen Proefschrift ingediend met het oog op het behalen van de graad van Gediplomeerde in de Gespecialiseerde Studies van Actuariële Wetenschappen

Tom Boussu Promotor: Prof. Dr. P. Van Goethem

MEI 2009

DANKWOORD

ii

Dankwoord Hierbij wil ik graag de personen bedanken die me de voorbije jaren tijdens deze studies geholpen en gesteund hebben. Het was niet altijd evident om verdere studies en een job te combineren, maar ik kon rekenen op het geduld en de steun van vrienden en familie. Verder wil ik graag mijn collega’s van KBC Verzekeringen bedanken voor hun advies, daarbij in het bijzonder mijn mentor Elly Van Noten, die me met woord en daad heeft bijgestaan tijdens mijn eerste jaar op het actuariaat leven. Tenslotte bedank ik mijn promotor, Prof. Dr. Van Goethem, voor zijn advies bij de keuze van mijn thesisonderwerp, de begeleiding en de getoonde flexibiliteit.

Tom Boussu Molenbeek, 15 mei 2009

INHOUDSOPGAVE

iii

Inhoudsopgave Dankwoord

ii

Inhoudsopgave

ii

1 Inleiding

1

2 Beste schatting van de sterfte 2.1 Het niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 De trend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 De onzekerheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 6 10

3 Prospectieve sterftetafels 3.1 De methode van Lee-Carter . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Methode van de kleinste kwadraten . . . . . . . . 3.1.2 Parameters bepalen m.b.v. Matlab . . . . . . . . 3.1.3 Herschatten van de kappa’s . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Voorspellen van de kappa’s . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Levensverwachting . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Voordelen en nadelen van de Lee-Carter methode 3.2 Correctiefactoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Hoge leeftijden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

11 11 13 15 18 19 23 24 26 27

. . . . . . . .

29 29 31 32 34 35 36 37 38

4 Marktconform waarderen 4.1 Context . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Marktconform waarderen . . . . . . . 4.3 Marktwaarde van de bezittingen . . . 4.4 Marktwaarde van de verplichtingen . 4.5 Beste schatting van de verplichtingen 4.5.1 Assumpties . . . . . . . . . . 4.5.2 Opties en garanties . . . . . . 4.6 Risicomarge . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

INHOUDSOPGAVE 4.7

iv

Kapitaalkost-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Toepassing 5.1 Verzekering 5.2 Verzekering 5.3 Verzekering 5.4 Verzekering

met met met met

KO voor mannen . KO voor vrouwen KL voor mannen . KL voor vrouwen .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

40 42 43 46 48 50

6 Nawoord

52

Bibliografie

63

1

Hoofdstuk 1 Inleiding Het marktconform waarderen is van groot belang in de projecten Solvency II en IFRS 4 fase 2 die in de nabije toekomst dienen geimplementeerd te worden. Daarbij geeft deze waarderingsmethode de verzekeraars de mogelijkheid om inzicht te krijgen in de rendabiliteit van een verzekeringsportefeuille. Om de toekomstige kasstromen te kunnen inschatten heeft de verzekeraar onder meer een zo goed mogelijke schatting van de verwachte sterfte nodig. In het hoofdstuk 2 bespreken we verschillen aspecten van de schatting van de sterfte. In hoofdstuk 3 gaan we een beste schatting van de sterfte construeren. Om uiting te geven aan de stijgende levensverwachting maken we gebruik van de methode van Lee-Carter. De sterftekansen in deze prospectieve tafel liggen te hoog omdat we deze sterftekansen baseren op historische gegevens voor de gehele Belgische bevolking. De verwachte sterftekansen voor een verzekeringsportefeuille liggen lager dan voor de gehele bevolking. Vervolgens gaan we correctiefactoren bepalen om de sterftekansen in onze prospectieve sterftetafel te verlagen. Tenslotte dient er voor de hoge leeftijden een aparte benadering gevonden te worden, gezien er te weinig relevante historische data beschikbaar is om betrouwbare statistieken te maken. Alvorens een marktconforme waarde te berekenen m.b.v. de actuariële software tool Prophet geven we in hoofdstuk 4 in een notedop een beschrijving van marktconform waarderen. In hoofdstuk 5 hebben we gebruik gemaakt van een model voor een klassieke levenslange verzekering met een kapitaal bij overlijden. We hebben een marktconforme waarde berekend voor belastingen en zonder risicomarge zowel met een deterministische sterftetafel als met een prospectieve sterftetafel.

2

Hoofdstuk 2 Beste schatting van de sterfte De verzekeraar zal voor de berekening van de beste schatting van zijn verplichtingen gebruik maken van een aantal assumpties waaronder assumpties betreffende sterftekansen. Hiervoor is een ”zo goed mogelijke” inschatting nodig van de verwachte sterftekansen van de verzekeringsportefeuille, i.e. beste schatting van de sterfte. Aangezien de historische sterftekansen niet constant zijn moeten we rekening houden met een te verwachten trend in de levensverwachting. Hierna volgt een bespreking van de beste schatting van de sterfte voor een verzekeringsportefeuille. Een aantal ideeën hieromtrent zijn gebaseerd op de nota ”Measurement of liabilities for insurance constracts”, zie referentie [8]. We kunnen twee aspecten van de verwachte sterftekansen apart analyseren, namelijk het niveau of de hoogte van de huidige sterftekansen van de verzekerde personen en anderzijds de trend van de sterftekansen, namelijk in welke mate zullen deze sterftekansen wijzigen in de toekomst. De periode die hierbij van belang is en dus de periode over dewelke we de trend van de sterftekansen dienen te bepalen, loopt vanaf het moment dat de sterftekansen de laatste keer bepaald werden en zolang de polissen dekking verlenen.

Het is zeer onwaarschijnlijk dat de geschatte verwachte sterfte zich in de toekomst ook effectief zal voordoen. Op deze schatting moet rekening gehouden worden met onzekerheid en dit gebeurt door een risicomarge in rekening te nemen. We bespreken vervolgens het niveau, de trend en de onzekerheid.

2.1. HET NIVEAU

2.1

3

Het niveau

Er is een groot aanbod van sterftetafels, denk aan de ervaringstafels van de verzekeraar, de sterftetafels van Assuralia en de sterftetafels van het NIS. Deze tafels hebben belangrijke verschillen, maar bieden ook elk hun voordelen. Deze tafels maken duidelijk dat er een opvallend verschil is tussen de sterfte van de gehele Belgische bevolking en de sterfte van de verzekerde populatie. Dit is ondermeer te wijten aan antiselectie. Antiselectie Antiselectie is de benaming voor het verschijnsel dat personen de neiging hebben om risico’s waaruit zij geen of nauwelijks schade verwachten niet te verzekeren, terwijl zij voor risico’s waarbij ze de schadekans groot achten een verzekering willen afsluiten. Personen in goede gezondheid zullen minder vlug een overlijdensdekking onderschrijven en zieke mensen hebben wellicht weinig interesse in een lijfrente product. Een verzekeringsmaatschappij is echter niet bereid om alleen risico’s met een grote kans op schade te verzekeren, maar wil zijn portefeuille opbouwen op basis van het gemiddelde risico, met andere woorden een evenwichtige verhouding tussen risico’s met een grotere schadekans en risico’s met een kleine schadekans. Een verzekeraar wapent zich dan ook tegen antiselectie door aspirant-verzekeringnemers, die een risico met een meer dan gemiddelde schadekans willen verzekeren, een hogere premie of een beperking van voorwaarden aan te bieden, of eventueel zelfs een verzekering te weigeren. Het is voor de verzekeraar helaas niet altijd mogelijk om na te gaan of hij een goed of slecht risico gaat verzekeren. In het geval van een verzekering met een kapitaal bij overlijden kan gebruik gemaakt worden van een vragenlijst en een medisch onderzoek om de slechte risico’s te identificeren. In geval van verzekeringen met een kapitaal bij leven zullen hoofdzakelijk gezonde mensen of mensen die menen nog lang te leven zo’n verzekering onderschrijven. Hierbij kan het medisch onderzoek weinig soelaas bieden om ”slechte”risico’s te identificeren. De verzekeraar kan moeilijk gezonde mensen van zeer gezonde mensen onderscheiden. In de tarifering kan de verzekeraar hiermee rekening houden door een veiligheidsmarge in te bouwen. Concreet zal de verzekeraar met antiselectie rekening houden door een leeftijdscorrectie door te voeren. In geval van een verzekering bij leven zal men de verzekerde met 1 of 2 jaar verjongen. Uit een Nederlandse studie blijkt dat dit ook nodig is want de levensverwachting is het grootst is in de hogere socio-economische lagen van de bevolking en daar worden ook de verzekeringen met de grootste verzekerde bedragen afgesloten.

2.1. HET NIVEAU

4

Onderzoek heeft aangetoond dat het effect van antiselectie kan meespelen voor een periode van 5 tot 25 jaar. Hoelang dit effect op een verzekeringsportefeuille zal meespelen moet gevalideerd worden door sterftestudies op de verzekeringsportefeuille. Indien de portefeuille te weinig gegevens bevat om betrouwbare statistieken te maken, dan kan de validatie gebeuren op een gelijkaardige portefeuille met dezelfde onderschrijvingskenmerken. Zelfs indien geen antiselectie effect optreedt ligt de sterfte van een verzekeringsportefeuille lager dan van de gehele bevolking. Voor de laagste socio-economische lagen van de bevolking liggen de sterftekansen het hoogste, maar het is ook deze klasse die wellicht om financiële redenen weinig of geen verzekeringen afsluit. Ervaringstafels van de verzekeraar Om een zo goed mogelijke schatting voor de sterfte van een verzekeringsportefeuille op te stellen, lijkt het voor de hand te liggen om ervaringstafels voor deze portefeuille te gebruiken. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de historische overlijdensgegevens van de portefeuille om een sterftetafel op te stellen. Het probleem met ervaringstafels voor de verzekeraar is dat ze vaak gebaseerd zijn op te weinig gegevens om betrouwbaar te zijn. Mogelijks kunnen de overlijdens over een beperkt aantal jaren samengenomen worden om tot voldoende relevante gegevens te komen. Ervaringstafels kunnen gevalideerd worden door vergelijking met de sterfte van een vergelijkbare populatie, bijvoorbeeld de ervaringstafels van Assuralia voor de verzekeringssector. Verschillen in de sterfte tussen een verzekerde populatie en een populatie die gekozen werd als benchmark om de ervaringssterfte te bepalen, zouden verklaard moeten kunnen worden a.h.v. factoren zoals leeftijd, geslacht, gezondheid (al dan niet roker). Ervaringstafels van Assuralia Om een goed idee te krijgen van de sterfte voor een verzekeringsportefeuille zijn de ervaringstafels van Assuralia zinvol. (Zie referentie [1].) De ervaringstafels 2003-2007 zijn gebaseerd op de informatie van 39 ondernemingen die aan de studie meewerkten en zij vertegenwoordigen 98,6% van het incasso 2007 van de totale markt. Opdat de gegevens betrouwbaarder zouden zijn, werden alle door de ondernemingen ter beschikking gestelde gegevens voor de boekjaren 2003 tot en met 2007 gebruikt om de ervaringstafels op te stellen.

2.1. HET NIVEAU

5

Sterftetafels van het NIS Het aantal overlijdens in één portefeuille is meestal vrij klein, en zeker het aantal overlijdens per leeftijd om betrouwbare statistische gegevens af te leiden. Om voldoende gegevens te hebben zouden we kunnen terugvallen op de sterftetafels van het Nationaal Instituut voor de Statistiek (NIS) die ieder jaar statistieken met sterftecijfers en levensverwachtingen voor de gehele Belgische bevolking publiceren. Gezien de sterftekansen van een verzekerde portefeuille sterk lager liggen dan die van de gehele Belgische bevolking, kunnen deze niet dienen als beste schatting voor de sterfte van een portefeuille. We kunnen wel een correctie toepassen op de sterftekansen. Dit houdt in de sterftekansen (qx ) zelf aanpassen door deze te vermenigvuldigen met een factor. Dit laat toe om de sterftetafels van het NIS te gebruiken voor het bepalen van de trend (zie volgende paragraaf), maar nadien zullen we de sterftekansen aanpassen door te vermenigvuldigen met een correctiefactor. Differentiatie We kunnen ons afvragen in welke mate we moeten differentiëren in het bepalen van de sterfteassumpties, dus differentiatie naar risicoklasse of producttype. Differentiatie is niet nodig indien deze ook niet toegepast wordt in de tarifering of in de onderschrijvingsvoorwaarden. Het heeft bijvoorbeeld geen zin om te differentiëren naar geslacht indien de verzekeraar om wettelijke redenen (verbod van discriminatie op basis van geslacht) geen onderscheid mag maken in een tarief voor mannen en vrouwen. In dat geval zou het niet zinvol zijn om voor financiële rapportering wel gebruik te gaan maken van aparte sterftetafels voor mannen en vrouwen. Uit de studie van het planbureau, zie referentie [13], blijkt dat er een verschil is in levensverwachting tussen de verschillende gewesten. Verschillende tafels opstellen voor de gewesten is nochthans niet zinvol, want in de tarificatie van levensverzekeringen wordt hier geen rekening mee gehouden. In sommige landen (bv. Verenigde Staten, Verenigd Koningkrijk) worden sterftetafels ontwikkeld voor verschillende types van producten afhankelijk van de onderschrijvingsvoorwaarden en verschillende sterftetafels voor individuele en groepsverzekeringen. Dit lijkt aangewezen omdat verzekeringsproducten een verschillend doelpubliek hebben en een verschillend onderschrijvingsrisico wat voor een opmerkelijk verschil kan zorgen in de verwachte sterfte van een portefeuille. In België voorziet Assuralia tafels die differentiëren naar

2.2. DE TREND

6

individuele verzekeringen of groepsverzekeringen, man of vrouw en type dekking overlijden of leven.

2.2

De trend

Als we de sterftetafels van de gehele Belgische bevolking bekijken van de voorbije 50 jaar, merken we dat de levensverwachting is toegenomen (en daarmee de sterftekansen afnemen). Op figuur 2.1 zie we het aantal overlevenden op 1.000.000 mannen voor iedere leeftijd x en dit voor de jaren 1956, 1966, 1976, 1986, 1996 en 2006. Over de laatste 50 jaar gaat deze grafiek geleidelijk naar rechts, dus het aantal overlevenden van alle leeftijden neemt toe.

Figuur 2.1: aantal overlevenden op 1.000.000 geboorten (mannen)

De voorbije 50 jaar waren de sterftekansen niet constant en dit zal meer dan waarschijnlijk in de toekomst ook zo zijn. Hiermee moet rekening gehouden worden bij het bepalen van de beste schatting voor de sterfte. Op figuur 2.2 zien we dat de stijging in de levensverwachting de voorbije eeuw bij mannen en vrouwen ongeveer een gelijkaardig verloop had. (Deze grafiek hebben we bekomen van het NIS, zie referentie [12].) Voor de verzekerde populatie verwachten we dat de levensverwachtingen in de toekomst ook verder zullen toenemen. Een belangrijke vraag hierbij is hoe vlug zullen de sterftekansen verder afnemen en voor hoe lang nog. Dit komt neer op het schatten van een trend in de sterfte. De voorbije eeuw zijn er zowel positieve als negatieve factoren geweest die een effect hadden op de dalende trend in de sterftekansen. In hoofdzaak heeft de medische vooruitgang ervoor gezorgd dat de levensverwachting opmerkelijk is toegenomen. Om maar enkele mijlpalen

2.2. DE TREND

7

Figuur 2.2: evolutie van de levensverwachting bij de geboorte in België (1885-2004)

uit de geneeskunde te noemen: 1901 1911 1921 1945 1949 1955 1960 1970

: : : : : : : :

Röntgen diagnose ontdekking belang van vitaminen insuline penicilline anti-bioticum niertransplantatie pacemaker ’bypass’ operaties

De medische vooruitgang tesamen met de technologische ontwikkelingen hebben ervoor gezorgd dat de concrete leefomstandigheden enorm verbeterd zijn, denk maar aan riolering, de ijskast of centrale verwarming. Er zijn natuurlijk ook factoren geweest die een ongunstig effect hadden op de toenemende levensverwachting waaronder nieuwe ziekten zoals AIDS en SARS. De trends die wij waarnemen kunnen verschillen per leeftijdscategorie of zelfs verschillend zijn voor beide geslachten. Een nieuwe ziekte bijvoorbeeld kan een duidelijk effect hebben op baby’s, jonge kinderen en oudere mensen, terwijl het geen effect heeft op middelste leeftijdsgroep. De sterftekansen van een verzekerde populatie kunnen ook evolueren n.a.v. een wijziging in de onderschrijvingsmethode. Indien de vereiste testen bij onderschrijving uitgebreid

2.2. DE TREND

8

worden (bijvoorbeeld verplichte bloedtest), dan zal dit de sterftekansen positief beinvloeden. Anderzijds kan het zijn dat de vereiste testen beperkt worden omwille van de kost in vergelijking met de verwachte waarde die de polis opbrengt. Dit zal de trend in de sterftekansen van de verzekerde populatie negatief beinvloeden. Studie van sterftetafels leert ons dat de trend in de sterftekansen geen constante toename van de levensverwachting was en naar de toekomst toe wellicht ook niet constant zal zijn. Er is in het verleden in sommige landen zelfs een periode geweest met dalende levensverwachting voor mannen in de leeftijdscategorie van 45 tot 75 jaar, namelijk tussen 1955 en 1975. En de verklaring hiervoor lag in toenemende hartziekten, longkanker t.g.v. roken en verkeersongevallen. Dus we mogen misschien niet voorbarig zijn in de veronderstelling dat de levensverwachting verder zal blijven toenemen. We kunnen wel stellen dat het moeilijk en zelfs onmogelijk is om toekomstige sterfte te voorspellen. Verschillende methoden worden toegepast om verwachte sterfte te voorspellen. De meeste methodes zijn gebaseerd op een analyse van historisch gegevens. We kunnen de gebruikte methoden op de volgende manier klassificeren. Je kan trachten sterfte te voorspellen a.h.v. analyse van de mogelijke doodsoorzaken. Het probleem met deze werkwijze is dat we nog weinig afweten van nieuwe doodsoorzaken bv. nieuwe ziekten. Ook over het effect van mogelijke behandelingen en neveneffecten is vaak niet alles geweten. Door gebrek aan historische gegevens lopen we het risico verkeerde trends vast te stellen. Er kan getracht worden trends vast te stellen binnen 3 of 4 leeftijdsgroepen van de sterftetafel, maar dit vereist een gedetailleerde database aan historische informatie. Op basis van de structuur van de sterftetafel worden vervolgens trends bepaald, bv. kindersterfte neemt af met de leeftijd, een hogere sterfte bij jonge mannen o.w.v. verkeersongevallen, etc. Algemene modellen gaan op basis van historische gegevens trends extrapoleren naar de toekomst. Hierbij worden mogelijke nieuwe toekomstige evoluties genegeerd. Tenslotte kunnen trends in sterftetafels ook opgemaakt worden a.h.v. ideeën van experts hierrond. Het probleem hiermee is dat experts het niet altijd eens zijn en mogelijks verschillende conclusies bekomen.

In de praktijk wordt vaak een combinatie van bovenstaande methoden gebruikt. Je kan gebruik maken van een algemeen model om projecties te doen naar de toekomst, maar

2.2. DE TREND

9

hier ruimte laten voor verbetering a.h.v. bevindingen van experts omtrent de trends in verschillende leeftijdsgroepen. Er dient voorzichtig omgegaan te worden met bepaalde modellen zoals die van Makeham en Gompertz om trends te voorspellen en waarbij een gladgestreken grafiek wordt bekomen. Het gevaar hierbij is dat zulke modellen specifieke omstandigheden die enkel op bepaalde leeftijdsgroepen van toepassing zijn gaan spreiden over een groter segment of over de volledige tabel. Denk bijvoorbeeld aan de hogere sterftekansen t.g.v. verkeersongelukken voor mannen in de leeftijdsgroep 20 tot 25 jaar. Hiervoor zijn er alternatieve benaderingen mogelijk waarbij de structuur van de sterftetabel wordt bewaard. Henk van Broekhoven stelt een algoritme voor om sterftegrafieken glad te strijken door voor iedere leeftijd enkel de naburige leeftijden in beschouwing te nemen, zie referentie [3]. Indien er een trendfactor wordt toegepast, moet er bij stilgestaan worden voor welke periode deze factor geldig is. Indien er een stijging van de levensverwachting wordt toegepast, dan kan extrapolatie van deze trend over zeer lange periode leiden tot een overschatting van de levensverwachting. Intuitief verwachten we dat de stijging van de levensverwachting wellicht moet afnemen na een periode van tien of twintig jaar. De meeste actuarissen zijn het gewoon om rekening te houden met een verwachte trend in de sterfte in geval van het tariferen van een lijfrente. Als uitgangspunt hierbij willen ze conservatief zijn. Maar anderzijds zouden ze ongemakkelijk worden om dezelfde verwachting toe te passen in levensverzekeringen met een kapitaal bij overlijden, omdat hier een stijging in de levensverwachting een tegengesteld effect heeft. Conceptueel is er eigenlijk geen reden waarom de verwachte trend verschillend zou zijn voor deze twee types van dekking. De betrouwbaarheid van een trend die afgeleid wordt uit een model kan gevalideerd worden door vergelijking met andere gepubliceerde resultaten of vergelijking met resultaten van buurlanden waarmee we geen significante verschillen verwachten. De studie van het planbureau geeft een goede vergelijkingsbasis om na te gaan of de resultaten betrouwbaar zijn, zie referentie [13].

2.3. DE ONZEKERHEID

2.3

10

De onzekerheid

Door het bepalen van een zo goed mogelijke schatting van het niveau en de trend hebben we een beste schatting voor de verwachte sterfte, maar er is een onzekerheid dat deze verwachte sterfte zich ook effectief zal voordoen. Rond de verwachte sterfte bevindt zich een verdeling van mogelijke uitkomsten. Deze onzekerheid bestaat uit verschillende delen: de volatiliteit, de onzekerheid n.a.v. calamiteiten en onzekerheid op de parameters. De volatiliteit is de component die de normale fluctuaties voorstelt rond de beste schatting. Er is een onzekerheid dat de parameters die bepaald werden correct zijn. De onzekerheid n.a.v. calamiteiten is de component van onzekerheid die grote afwijkingen veroorzaakt met kleine kans door extreme gebeurtenissen zoals aardbevingen of een pandemie. Hierdoor wijzigen de sterftekansen niet, maar dit kan gezien worden als een schok die zich slechts één jaar voordoet. Na enkele jaren zullen de sterftekansen weer op het normale niveau komen. Dit risico is moeilijk te modelleren omdat er een zeer beperkt aantal observaties uit het verleden zijn. Er zijn wel scenario’s beschikbaar die een extreme schok beschrijven zoals de Spaanse griep, een beruchte griep pandemie uit de jaren 1918-1919. Deze wereldwijde epidemie eiste naar schatting 20 miljoen tot 100 miljoen doden, een aantal dat het totale dodental van de Eerste Wereldoorlog ruimschoots overtreft. Vooral voor de jonge leeftijden zorgde deze pandemie voor een verdubbeling van de sterfte op één jaar tijd en nadien kwam de sterfte weer op het normale niveau van voor de uitbraak van de pandemie.

11

Hoofdstuk 3 Prospectieve sterftetafels In dit hoofdstuk gaan we een beste schatting voor sterfte construeren. Om de trend te beschrijven doen we beroep op de methode van Lee-Carter. Hiervoor hebben we een historiek van sterftetafels nodig. In het vorige hoofdstuk hebben we reeds gemotiveerd dat de trend in ervaringstafels kan wijzigen door bijvoorbeeld een wijziging van de onderschrijvingsvoorwaarden. Daarom opteren we ervoor om de trend af te leiden van de sterftetafels van het NIS voor de gehele Belgische bevolking. Daarnaast zijn deze tafels op voldoende gegevens gebaseerd om betrouwbaar te zijn. (Eventueel met uitzondering van het gedrag met betrekking tot de hoge leeftijden.) Dit zal ons een prospectieve sterftetafel opleveren die reeds uiting geeft aan de stijgende levensverwachting. We werken het Lee-Carter model uit zoals beschreven in sommige papers, zie referentie [2], [7] en [11], waarbij gebruik gemaakt wordt van een singuliere waarden ontbinding en een ARIMA model. De sterfte van een verzekeringsportefeuille is niet hetzelfde als de sterfte van de gehele bevolking. In de tweede paragraaf gaan we correctiefactoren opstellen die kunnen toegepast worden op de prospectieve tafel van Lee-Carter om de sterfte tot op het gepast niveau te krijgen om te kunnen dienen als beste schatting.

3.1

De methode van Lee-Carter

De voorbije decennia zijn sterftetafels veelvuldig bestudeerd geweest. Er werden nieuwere en meer gesofisticeerde methoden ontwikkeld. Een mijlpaal in deze ontwikkeling was de publicatie van de Lee-Carter methode. Alhoewel deze methode van 1992 dateert, wordt deze methode nog veel toegepast. De sterkte van de methode is de eenvoud en robuustheid m.b.t. lineaire trends in leeftijdsafhankelijke sterftekansen. Vandaar dat onze keuze viel

3.1. DE METHODE VAN LEE-CARTER

12

op de Lee-Carter methode om projecties te doen. In de methode van Lee en Carter worden de sterftecijfers gesplitst in twee componenten: een leeftijdscomponent en een tijdscomponent. Deze methode beperkt zich er toe om de tendensen in de historische evolutie van de sterfte te projecteren naar de toekomst, zonder rekening te houden met mogelijke gebeurtenissen zoals de opkomst van nieuwe ziektes, ontwikkeling van betere medicijnen en andere gebeurtenissen die de levensduur kunnen be¨ınvloeden. Men voorspelt dus een evolutie voor de toekomst die enkel gebaseerd is op historische observaties. De methode is in essentie het volgende relationele model: ln(ˆ µx,t ) = αx + βx κt + εx,t

(3.1)

waarbij µ ˆx,t de waargenomen sterfte-intensiteit is op leeftijd x in het jaar t. De foutentermen εx,t ’s, met gemiddelde nul en variantie σε2 , stellen historische afwijkingen voor die niet vervat zitten in het model. We leggen de volgende voorwaarden op aan de parameters: X X κt = 0 βx = 1 en x

(3.2)

t

om ervoor te zorgen dat we een unieke oplossing bekomen. Veronderstel dat de foutentermen kunnen genegeerd worden (d.w.z. εx,t = 0 ∀x, t). Dan kunnen we sommeren over t, zodat we m.b.v. de opgelegde voorwaarden 3.2 het volgende resultaat bekomen voor αx P P P µx,t ) t ln(ˆ t αx + t βx κt = = αx (3.3) T T waarbij T het aantal opeenvolgende geobserveerde jaren is. De parameters van het Lee-Carter model kunnen als volgt ge¨ınterpreteerd worden. De parameters κt beschrijven de globale evolutie in de tijd. De waarden αx zijn gelijk aan het gemiddelde van ln(ˆ µx,t ) over de tijd t. Dus de parameters αx vertegenwoordigen een gemiddelde sterfte voor een bepaalde leeftijd x. De parameters βx beschrijven de afwijking van de sterfte-intensiteit µ ˆx,t ten opzichte van de parameter αx . Ze vertegenwoordigen de evolutie van de sterfte op elke leeftijd en geven een gewicht aan de tijdscomponent κt . Grote βx zorgen voor grotere


13

verschillen in de tijd. In principe is het mogelijk dat βx negatief is voor bepaalde leeftijden x, hetgeen impliceert dat de sterftekansen toenemen voor die leeftijden, terwijl ze afnemen voor de leeftijden met een positieve βx .

3.1.1

Methode van de kleinste kwadraten

De vergelijkingen 3.1 kunnen opgelost worden m.b.v. de methode van de kleinste kwadraP ten, d.w.z. we bepalen de parameters βx en κt zodat x,t (ln(ˆ µx,t ) − αx − βx κt )2 minimaal wordt. We doen dit m.b.v. een singuliere waarden ontbinding. Merk op dat regressie methoden niet kunnen toegepast worden op dit model, omdat de tijdsafhankelijke parameters κt niet kunnen geobserveerd worden. De parameters αx , βx en κt kunnen bepaald worden met behulp van het volgende stappenplan. 1. Eerst schatten we de sterfte-intensiteiten µx,t door µ ˆx,t . Dit kan door gebruik te maken van de hypothese dat we een constante sterfte-intensiteit hebben op een interval [t, t + 1] ∀t. Dus µx,t = µx ∀t ∈ [0, 1] met x ∈ N. Hieruit volgt dat −

px = e

R1 0

µx (s)ds

= e−µx en dus µx = −ln(1 − qx ).

2. Dan moeten we αx schatten door α ˆ x zodat α ˆ x voldoet aan de relatie α ˆx =

P

t

ln(ˆ µx,t ) . T

3. Bepaal de matrix Z = zxt waarbij zxt = ln(ˆ µx,t ) − α ˆx. 4. We bepalen de parameters κt en βx m.b.v. een singuliere waarden ontbinding. 5. We schatten κt opnieuw a.h.v. de geschatte parameters α ˆ x en βˆx zodat we voor een gegeven populatie het correcte aantal geobserveerde overlijdens bekomen. We zoeken P (2) (2) κ ˆ t zodat Dt = x exp(ˆ αx + βˆx κ ˆ t )Lxt , waarbij Dt het totaal aantal overlijdens is in het jaar t en Lxt is het aantal overlevenden van leeftijd x in het jaar t. Hierbij is de vierde stap de moeilijkste stap. Wanneer we de matrix Z = zxt hebben bepaald, dan moeten we de parameters κt en βx bepalen zodat het minimum van P µx,t ) − αx − βx κt )2 wordt bereikt. We doen dit met behulp van onderstaand prox,t (ln(ˆ positie. (Zie referentie [15].) Stelling 1 (Singuliere Waarden Ontbinding). Gegeven een reële m × n matrix Z van rang r, dan kan Z geschreven worden als een product van drie matrices


14

Z = U SV t waarbij U een m × m orthogonale matrix is, V een n × n orthogonale matrix en S een m × n pseudo diagonale matrix   µ1   µ2       ..  met µ1 ≥ µ2 ≥ ... ≥ µr > 0 S=   ..      µr  µ1 , µ2 , ..., µr zijn de singuliere waarden, alle andere elementen van S zijn 0. De kolommen u1 , u2 , ..., um van U zijn de linker singuliere vectoren en de kolommen v1 , v2 , ..., vn van V zijn de rechter singuliere vectoren. Het berekenen van een siguliere waarden ontbinding (SWO) van m × n matrix Z komt neer op het bepalen van de eigenwaarden en eigenvectoren van Z t Z en ZZ t . De eigenvectoren van Z t Z bepalen de kolommen van V , de eigenvectoren van ZZ t bepalen de kolommen van U . De singuliere waarden van Z zijn de vierkantswortels van de eigenwaarden van Z t Z of ZZ t . Definitie 1. Gegeven een m × n matrix Z van rang r. Dan noemt men Zk de beste rang k benadering van Z (voor k < r) als Zk een m × n matrix is van rang k of lager zodat kZ − Zk kF minimaal is. k.kF is de notatie voor de Fröbenius norm. De Fröbenius norm van een m × n matrix Z is P Pn 2 1/2 kZkF = ( m . i=1 j=1 |zij | ) Propositie 1. Stel dat Z een m × n-matrix is van rang r en U SV t de singuliere waarden ontbinding van Z. De kolommen van U noteren we ui , de kolommen van V noteren we vi en µ1 ≥ µ2 ≥ ... ≥ µp zijn de singuliere waarden van Z waarbij p = min(m, n). Dan is de Zk de beste rang k (met k < r) benadering van Z in Fröbenius norm gegeven door (zie referentie [10]) Zk =

Pk

i=1

µi ui vit = U diag(µ1 , ..., µk )V t

en kZ − Zk kF = µk + 1.


15

Uit bovenstaand propositie kunnen we besluiten dat de beste benadering van rang 1 van ˆˆ t Z in de Fröbenius norm is Z1 = µ1 u1 v1t = β~~κ waarbij u1 ˆ β~ = u¯1 X

(3.4)

ˆ = µ1 v1 u¯1 X ~κ

(3.5)

P ˆ Daarbij is β~ genormaliseerd zodat x βˆx = 1. En u1 is de eerste linker singuliere vector, v1 is de eerste rechter singuliere vector en µ1 is de grootste singuliere waarde. We noteren u¯1 het gemiddelde van u1 en X is het totaal aantal geobserveerde leeftijden van de sterftetafel.

3.1.2

Parameters bepalen m.b.v. Matlab

ˆ ˆ t zodat kZ − β~ˆ~κ ˆ t kF In de volgende Matlab code bepalen we de parameters βˆx of β~ en κ ˆ t of~κ minimaal is en Z werd gedefinieerd als Z = zxt = ln(ˆ µx,t ) − α ˆ x . Om de parameters te schatten maken we gebruik van de sterftetafels van het NIS van de voorbije 50 jaar (periode 1957-2006). % Definieer NIS sterftetafel (50x99 matrix) NIS = [ 0.040931270764120 0.027003584320829 0.026038933453282 0.028139225977845 0.002520343731986 0.002028955153546 0.002136394640996 ... ]; BETA=ones(99,1)/99; LLNIS=log(-log(1-NIS)); ALPHA=mean(LLNIS,2); % Definieer de matrix Z for i = 1:50 Z(:,i)=LLNIS(:,i)-ALPHA; end % Singuliere waarden ontbinding (SVD) om de beta’s en kappa’s te schatten [U,S,V]=svd(Z); BETA=U(:,1)/(mean(U(:,1))*99) KAPPA=V(:,1)*S(1,1)*(mean(U(:,1))*99)


16

We kunnen de geschatte parameters in een grafiek plotten. De berekende schattingen zijn terug te vinden in de bijlagen. De parameters αx stellen een gemiddelde sterfte voor over de tijd. Op de grafiek kunnen we zien dat het gemiddelde over de tijd van de logaritme van de sterfte-intensiteit hoger ligt voor mannen, dan voor vrouwen. In de sterftetafels van het NIS liggen de sterftekansen voor mannen ook hoger dan die voor vrouwen. Tevens is de bult rond 25 jaar meer uitgesproken voor mannen dan voor vrouwen. We kunnen zowel voor mannen als voor vrouwen vaststellen dat er boven de 30 jaar nagenoeg een lineaire trend is.

Figuur 3.1: alpha’s

De parameters βx zijn groter dan 0 voor quasi alle leeftijden x. (Behalve voor de leeftijdsgroep boven 97 jaar.) Dit betekent dat de sterftekansen dalen voor alle leeftijden. Desondanks zijn er wel grote verschillen tussen de leeftijden. Voor de kinderen hebben we hogere beta-waarden zowel voor mannen als voor vrouwen. Dus de kindersterfte neemt sneller af dan sterfte bij mannen en vrouwen boven 18 jaar. Voor mannen rond 25 jaar neemt de sterfte trager af dan voor mannen tussen 40 en 70 jaar. Voor volwassen mannen neemt de sterfte het snelste af rond 60 jaar (βx bereikt zijn maximum waarde op 63 jaar). De beta-waarden voor de vrouwen vertonen een dal rond 19 jaar. De sterfte neemt minder snel af voor deze leeftijden dan voor vrouwen rond 30 jaar. En de sterfte voor deze leeftijdsgroep neemt ook minder snel af dan voor de vrouwen tussen 65 en 80 jaar. De piek


17

voor de vrouwen bevindt zich rond 72 jaar. Dus er is toch een significant verschil tussen de beide geslachten. Een ander opvallend verschil tussen de geslachten doet zich voor rond 25 jaar. Rond deze leeftijd neemt de sterfte bij mannen opvallend minder snel af dan bij vrouwen. Dit verklaart ook waarom er een meer uitgesproken bult is voor de twintigers voor de mannen in de grafiek van de alpha’s. We kunnen leeftijdsgroepen vaststellen waarbij de daling van de sterfte groter of kleiner is bij mannen dan bij vrouwen. leeftijd 0-18: sterftekansen voor mannen nemen sneller af dan voor vrouwen; leeftijd 19-40: sterftekansen voor vrouwen nemen sneller af dan voor mannen; leeftijd 41-66: sterftekansen voor mannen nemen sneller af dan voor vrouwen; leeftijd 67-93: sterftekansen voor vrouwen nemen sneller af dan voor mannen;

Figuur 3.2: beta’s

Op de grafiek voor de kappa’s kunnen we nagenoeg een lineaire trend vaststellen, zowel voor de mannen als voor de vrouwen (zie figuur 3.3). Alhoewel het interval van de kappa’s voor vrouwen groter is dan voor mannen. Dus de sterfte voor vrouwen daalt meer over de tijd dan voor mannen.


18

Figuur 3.3: kappa’s

3.1.3

Herschatten van de kappa’s

We hebben in voorgaande paragraaf schattingen van de parameters αx , βx en κt gedaan, waarbij we gebruik gemaakt hebben van 50 jaar historische sterftekansen van het NIS. Deze eerste schattingen zijn gebeurd op basis van de logaritme van de sterftekansen en niet op basis van de sterftekansen zelf. Daardoor kunnen verschillen ontstaan tussen het verwacht aantal overlijdens op basis van onze geschatte parameters en het effectief aantal overlijdens uit de historische gegevens. Daarom gaan we de parameters κt opnieuw schatten a.h.v. de geschatte parameters α ˆ x en (2) ˆ βx . We zoeken κ ˆ t zodat Dt , i.e. het totaal aantal overlijdens in een jaar t overeenkomt P (2) met het verwacht aantal overlijdens αx + βˆx κ ˆ t )Lxt , daarbij is Lxt het aantal x exp(ˆ overlevenden van leeftijd x in jaar t. (2)

We bepalen κ ˆt

m.b.v. volgende iteratieve procedure (voor ieder jaar t).

1. We vergelijken het verwacht aantal overlijdens aantal overlijdens Dt .

P

x

exp(ˆ αx + βˆx κ ˆ t )Lxt met het totaal

2. Deze vergelijking geeft drie mogelijkheden. P (a) Ofwel x exp(ˆ αx + βˆx κ ˆ t )Lxt > Dt , dan moeten we het verwacht aantal overlijdens verkleinen door κ ˆ t te verkleinen indien κ ˆ t > 0 of door κ ˆ t te vergroten


19

indien κ ˆ t < 0. Dus κ ˆ t := κ ˆ t (1 − d) voor κ ˆ t > 0 en κ ˆ t := κ ˆ t (1 + d) voor κ ˆ t < 0 met d een klein getal. P (b) Indien x exp(ˆ αx + βˆx κ ˆ t )Lxt = Dt stop het itereren. P (c) Ofwel x exp(ˆ αx + βˆx κ ˆ t )Lxt < Dt , dan moeten we het verwacht aantal overlijdens vergroten door κ ˆ t te vergroten indien κ ˆ t > 0 of door κ ˆ t te verkleinen indien κ ˆ t < 0. Dus κ ˆ t := κ ˆ t (1 + d) voor κ ˆ t > 0 en κ ˆ t := κ ˆ t (1 − d) voor κ ˆ t < 0 met d een klein getal. 3. Ga terug naar stap 1. (2)

We bekomen zo herschatte parameters κ ˆ t die we gaan gebruiken om te projecteren in (2) volgende paragraaf. Praktisch hebben we de κ ˆ t bepaald a.h.v. de Goal Seek -functie in excel. Hierbij wordt bovenstaand algoritme toegepast. De volgende figuren geven de eerste en tweede schatting (herschatting) weer van de kappa’s voor mannen en vrouwen. (Zie figuur 3.4 en 3.5.) De herrekende waarden zijn terug te vinden in de bijlagen.

Figuur 3.4: geschatte en herschatte kappa’s voor mannen

3.1.4

Voorspellen van de kappa’s

We beschikken nu over de alpha’s en beta’s, en daarnaast de kappa’s voor het verleden. We konden deze kappa’s enkel bepalen voor een periode m.b.t. dewelke we over historische


20

Figuur 3.5: geschatte en herschatte kappa’s voor vrouwen

gegevens (sterftekansen) beschikken. Om een prospectieve sterftetafel op te stellen, dienen we over kappa’s te beschikken die de toekomstige trend beschrijven. Dit kan m.b.v. een ARIMA proces. Dit zijn wiskundige modellen gebruikt om voorspellingen te doen. ARIMA is een acroniem van AutoRegressive, Integrated, Moving Average. Voorspellingen doen m.b.v. een ARIMA proces is gebaseerd op het volgende idee: De voorspellingen zijn gebaseerd op lineaire functies van de beschikbare observaties. Het doel is om de meest simpele modellen te vinden die de geobserveerde gegevens adequaat beschrijven.

Ieder ARIMA proces bestaat uit drie delen: het auto-regressie gedeelte (AR), het ge¨ıntegreerd gedeelte (I) en het gedeelte m.b.t. het voortschrijdend gemiddelde (MA). Deze modellen worden genoteerd door ARIMA(p,d,q), waarbij de parameter p het AR-gedeelte beschrijft, de parameter d beschrijft het I-deel en de parameter q beschrijft het MA-gedeelte. We kunnen in SAS de kappas voorspellen m.b.v. een ”proc arima”. Hierbij wordt een ARIMA-model bepaald en voorspellingen gedaan. We hebben zo de toekomstige kappa’s bepaald voor mannen en vrouwen. Ter info hieronder de SAS-code waarmee we de kappa’s voor mannen hebben bepaald. We bekomen zowel voor mannen als voor vrouwen een ARIMA(1,1,1)-model.


21

libname bib "AABBPRD.SAS.ABB0041.U44076x" disp=old; data kappas; input year k; datalines; 1957 17.249 1958 13.502 1959 10.617 ... 2005 -58.926 2006 -64.627 ; run; proc arima data=kappas; identify clear var=k(1) nlag=10; estimate p=(1) q=(1) printall; forecast back=0 lead=190 out=bib.forecast; run; quit; Volgende grafieken geven de geschatte kappa’s voor mannen en vrouwen met daarbij hun boven- en ondergrens. (Zie figuren 3.6 en 3.7.) Met 95% kans zullen de echte κt ’s tussen deze grenzen liggen voor t > 2006. De grafieken tonen hoe de boven- en ondergrenzen toenemen met de tijd. Voor de berekende waarden van de kappa’s verwijzen we naar de bijlagen. Met behulp van de kappa’s voor de toekomstige jaren zijn we in staat om een prospectieve sterftetafel op te stellen a.h.v. formule 3.1 waarbij de foutentermen achterwege gelaten worden. Dan kunnen we de logaritme van de sterftekansen voor de toekomst weergeven op een grafiek. Zoals voorgesteld in het werk van Jaumain, zie referentie [9], biedt de logaritme een overzichtelijke manier om de sterfte weer te geven op één grafiek. We hebben dit gedaan voor een aantal jaren met telkens een interval van tien jaar, waarbij we starten in 2006. (Zie figuren 3.8 en 3.9.) Deze grafieken tonen een dalende trend in de sterfte voor alle leeftijden zowel bij mannen als bij vrouwen. Opvallend hierbij is dat de sterfte voor mannen rond 25 jaar zeer weinig daalt, terwijl er bij de vrouwen rond deze leeftijd een duidelijke evolutie is.


22

Figuur 3.6: geschatte kappa’s voor mannen met ondergrens en bovengrens

De verklaring hiervoor is te zoeken in de waarde van de beta’s. Voor mannen rond 25 jaar ligt deze waarde vrij laag en tevens een stuk lager dan voor de vrouwen. (Zie figuur 3.2.) Dit leidt ertoe dat de snelheid waarmee de sterftekansen dalen voor mannen lager is dan voor vrouwen rond deze leeftijd. Wat betreft de beta’s hebben we tevens opgemerkt dat de mannen een piek bereiken rond 63 jaar, waarbij dit bij de vrouwen iets later ligt, namelijk rond 72 jaar. Dit uit zich op grafieken in een duidelijke daling van de sterfte rond deze leeftijden. De constante trend in de daling van de sterfte over de tijd voor de verschillende leeftijden is te wijten aan een constante waarde voor beta. Is dit wel realistisch? Zoals grafiek 3.8 aangeeft, zal dit leiden tot zeer grote verschillen tussen de leeftijden. De kindersterfte neemt snel af, terwijl de sterfte bij mannen rond 25 jaar weinig afneemt. Deze trend verder zetten naar de toekomst is weinig realistisch. Dit verklaart de noodzaak aan een aangepaste formule voor het Lee-Carter model. Hierbij wordt rekening gehouden met meerdere beta’s en kappa’s. Ter info vermelden we de formule van het uitgebreide Lee-Carter model. ln(ˆ µx,t ) = αx +

r X

βxi κit + εx,t

i=1

waarbij µ ˆx,t de waargenomen sterfte-intensiteit is op leeftijd x in het jaar t.

(3.6)


23

Figuur 3.7: geschatte kappa’s voor vrouwen met ondergrens en bovengrens

3.1.5

Levensverwachting

Deterministische sterftetafel Voor het berekenen van de levensverwachting kunnen we gebruik maken van volgende formule voor de levensverwachting van een x-jarige ω−x P

LVx =

Lx+i

i=0

Lx

(3.7)

waarbij Lx is het aantal overlevenden op 1.000.000 geboorten en ω is het aantal geobserveerde leeftijden in de sterftetafel. Prospectieve sterftetafel In een prospectieve sterftetafel wijzigen de sterftekansen van jaar tot jaar. Beschouw een persoon van leeftijd x in het jaar t met een sterftekans qx,t . Het jaar nadien is hij niet enkel een jaar ouder, maar tevens schuiven we een jaar verder op de sterftetafel. Dit houdt in dat hij in het volgende jaar een sterftekans qx+1,t+1 heeft. Dus om de levensverwachting te


24

Figuur 3.8: logaritme voorstelling van sterfte voor mannen

bepalen moeten we de diagonaal van de sterftetafel lezen. ω−x P

LVx,t =

Lx+i,t+i

i=0

Lx,t

(3.8)

Merk op dat dit betekent dat we moeten beschikken over geschatte toekomstige sterftetafels, anders zouden we enkel in staat zijn om de levensverwachting te bepalen voor iemand die ω-jaar geleden geboren is. We kunnen tevens een bovengrens en ondergrens voor de levensverwachting bepalen indien we gebruiken maken van de bovengrens en ondergrens voor de geschatte κt ’s.

3.1.6

Voordelen en nadelen van de Lee-Carter methode

Voordelen Wat de onzekerheid betreft hebben Lee en Carter aangetoond dat de fout door schatting van de coëfficienten κt veel groter is dan schatting van de andere parameters αx ,


25

Figuur 3.9: logaritme voorstelling van sterfte voor vrouwen

βx en εx,t . Voorwaarde hierbij is dat de projectie over een lange periode moet gebeuren. Het probleem om de variantie te bepalen beperkt zich dan tot de variantie te bepalen van de schattingen κ ˆ t en te vermenigvuldigen met βˆx2 . Lee en Carter stellen een relatief eenvoudige formule voor om een prospectieve sterftetafel te maken. Hierbij worden de sterftetafels die van slechts één parameter afhankelijk zijn, namelijk de leeftijd, geprojecteerd zodat er ook afhankelijkheid is van de tijd. Er wordt tevens rekening gehouden met onzekerheid zonder grote complexiteit.

Nadelen Het model van Lee-Carter kan niet gefit worden door simpele regressie methodes omdat er geen observeerbare variabele aan de rechterzijde van de vergelijking staat. dln(m

)

x,t t We kunnen afleiden dat = bx ( dk ) en deze verhouding is constant over t dt dt voor verschillende leeftijden x. Dit betekent dat de methode geen rekening houdt met veranderingen in het leeftijdspatroon over t. Dit is in tegenstrijd met wat er in Zweden wordt vastgesteld. In Zweden wordt namelijk vastgesteld dat de sterftekansen op hoge leeftijden sneller afnemen dan voorheen het geval was.

3.2. CORRECTIEFACTOREN

26

De keuze van de historische periode waarop de projectie gebeurt lijkt vrij arbitrair. Sommige studies maken gebruik van 20 jaar historiek. Andere studies maken gebruik van 50 jaar historiek (bijvoorbeeld referentie [7] en [14]).

3.2

Correctiefactoren

Een prospectieve sterftetafel die gebaseerd is op de sterfte van de gehele Belgische bevolking gebruiken als beste schatting voor de sterfte zou fout zijn. Gezien de sterfte in een verzekeringsportefeuille lager ligt dan de gemiddelde sterfte van de bevolking moeten we nog een correctie doen om het niveau van de sterfte aan te passen. Indien een verzekeringsportefeuille te weinig gegevens bevat om betrouwbare ervaringstafels op te stellen, dan zijn de ervaringstafels van Assuralia een waardig alternatief. Hierbij dient wel opgemerkt te worden dat Assuralia verschillende tafels publiceert, waarbij onderscheid gemaakt wordt tussen individueel en groep, leven en overlijden en tenslotte mannen en vrouwen. Dit heeft voor gevolg dat verschillende sets van correctiefactoren moeten bepaald worden. Om correctiefactoren te bepalen gaan we als volgt te werk. (Gebaseerd op het idee van qx voor een bepaald referentiejaar, Reacfin, zie referentie [14].) We bepalen de ratio qxmarkt /ˆ markt de sterftekansen van Assuralia zijn en qˆx zijn de sterftekansen bepaald met waarbij qx de Lee-Carter methode. We modelleren dit als volgt: ln(qxmarkt /ˆ qx ) = f (x) + x

(3.9)

waarbij f (·) een continue functie van de leeftijd x en x is een foutterm die we veronderstellen N (0, σ 2 ) verdeeld te zijn. Zodra we de functie f (·) geschat hebben, dan zijn de correctiefactoren gelijk aan exp(fˆ(x)), deze moeten toegepast worden op qˆx opdat de sterftekansen het juiste niveau bekomen. Om de functie f (·) te schatten hebben we beroep gedaan op een veelterm benadering. Hiervoor zijn regressietools beschikbaar op het web. (Zie referentie [17].) Hierbij hebben we de correctiefactoren beperkt tot maximum 1, zodat de sterfte voor een verzekeringsportefeuille niet groter zal zijn dan de sterfte voor de gehele bevolking. We verwijzen naar de bijlagen voor de berekende correctiefactoren. Deze correctiefactoren toepassen op onze prospectieve sterftetafel levert vier nieuwe prospectieve sterftetafels (man/vrouw en overlijden/leven), die kunnen gebruikt worden als beste schatting voor de sterfte van een portefeuille en waarbij dus rekening gehouden wordt met de stijgende levensverwachting.

3.3. HOGE LEEFTIJDEN

3.3

27

Hoge leeftijden

In onze werkwijze hebben we een prospectieve sterftetafel opgesteld waarbij we geen sterftekansen hebben voor de hoge leeftijden boven 100 jaar om twee redenen. We hebben gebruik gemaakt van sterftetafels van 1957 t.e.m. 2006 van het NIS. De sterftetafels van het NIS vanaf het jaar 2000 bevatten sterftekansen tot 105 jaar. Voor de oudere sterftetafels liepen de sterftekansen slechts tot 100 jaar. Daarom hebben we in onze prospectieve tafel geen gegevens voor leeftijden boven 100 jaar. Indien er sterftekansen zouden bepaald worden op basis van beschikbare gegevens in de hogere leeftijdsklasse vanaf 100, dan zouden deze gegevens te weinig betrouwbaar zijn, gezien het gering aantal mensen dat ouder wordt dan 100.

De gemakkelijkste manier om de sterfte te modelleren voor de hoge leeftijden is door lineaire interpolatie. Veronderstel dat de hoogste leeftijd die een mens kan bereiken 130 jaar is, dus q130 = 1. Alhoewel de levensverwachting altijd is toegenomen is het toch aannemelijk om hierop een maximum te zetten. Indien we daarbij veronderstellen dat we tot 94 jaar betrouwbare gegevens hebben, dan kunnen we de sterfte vanaf 95 als volgt modelleren. 1 − q94t (x − 94) ∀x ∈ [95, 130] (3.10) 36 Ter info geven we nog een alternatieve benadering voorgesteld door Reacfin (zie referentie [14]) die wellicht meer aansluit bij de realiteit. Hierbij wordt er vanuit gegaan dat de helling van de raaklijn aan de logaritme van de sterftekansen daalt voor de hoge leeftijden. Dit kan verklaard worden door het feit dat de sterftekansen voor hoge leeftijden bepaald worden door slechts een selectief aantal gezonde individuen die deze leeftijden halen. Indien de sterftekansen gemodelleerd zijn volgens een log-kwadratisch regressie model, dan kunnen we de volgende benadering voorstellen voor de hoge leeftijden. qxt = q94t +

ln(ˆ qx ) = a + bx + cx2 + x

met x iid N or(0, σ 2 )

(3.11)

We gaan er vervolgens ook van uit dat de maximum te bereiken leeftijd 130 jaar is en dus q130 = 1. Daarnaast willen we dat de snelheid waarmee de sterftekansen toenemen op de 0 hogere leeftijden afnemen. Dit wordt opgelegd door q130 = 0. (Voor x = 130 is de raaklijn aan de curve horizontaal.) Deze twee beperkingen leiden tot de volgende relatie tussen a, b en c, waarbij de parameter c geschat moet worden. a + bx + cx2 = c(130 − x)2

(3.12)

3.3. HOGE LEEFTIJDEN

28

Dan behouden we de orginele qˆx waarden tot een bepaalde leeftijd, bijvoorbeeld 85 jaar. We vervolledigen de sterftetafel tot 130 jaar met de sterftekansen van het log-kwadratisch regressie model. (Zie figuur 3.10 van Reacfin [14]).

Figuur 3.10: vervolledigen van een sterftetafel voor de hogere leeftijden

29

Hoofdstuk 4 Marktconform waarderen 4.1

Context

Drie projecten die momenteel veel aandacht vragen zijn de Market Consistent Embedded Value (MCEV), Solvency II en IFRS 4 fase 2. Deze projecten zijn tevens met elkaar verbonden omdat een marktconforme waardering hierin essentieel is. Market Consistent Embedded Value De Market Consistent Embedded Value (MCEV) is de opvolger van de algemeen geaccepteerde Europese Embedded Value-principes. Deze principes zijn ontwikkeld door het CFO-Forum waarin de belangrijkste verzekeraars in Europa zijn vertegenwoordigd. De MCEV beoogt een Embedded Value berekening uitgaande van marktconforme methoden en parameters om zo veel mogelijk subjectieve inschattingen te voorkomen. De Embedded Value-waardering stelt verzekeraars, hun aandeelhouders, analisten en andere belanghebbenden beter in staat om de waarde van verzekeringsportefeuilles te begrijpen en te vergelijken. De MCEV bestaat enerzijds uit de marktwaarde van het vrije eigen vermogen (Net Worth) en anderzijds uit de huidige waarde van de verwachte toekomstige resultaten van de levensverzekeringsportefeuille zelf (value in force). Hierbij wordt gedetailleerd gekeken naar de verwachte (toekomstige) opbrengsten van de verzekeringsportefeuille en beleggingsportefeuille en de operationele en economische omstandigheden waaronder deze opbrengsten tot stand komen. Hierbij worden aannames gedaan voor specifieke beleggingsrendementen voor obligaties, aandelen en vastgoed, maar ook voor specifieke economische grootheden zoals de rentestand en inflatie. Deze aannames moeten consistent zijn met geobserveer-

4.1. CONTEXT

30

de prijzen in de markt voor (vergelijkbare) financiële instrumenten. Gevoeligheidsanalyses brengen het effect van schommelingen in de economische en operationele omgeving in beeld. De MCEV wordt niet alleen voor de bestaande portefeuille berekend, maar ook voor de nieuwe levensverzekeringen die in het rapporteringsjaar werden afgesloten. Deze waardering noemt New Business Contribution (NBC) of Value New Business (VNB). Dit biedt een indicatie voor de winstgevendheid van de nieuw afgesloten levensverzekeringen. De MCEV heeft dus niet alleen betrekking op premievolumes, maar geeft ook een goede indicatie van de (verwachte) winstgevendheid van de totale levenportefeuille in beheer. De MCEV-methodiek geeft zo een beeld van de prestaties op lange termijn. Bovendien geeft de ontwikkeling van de MCEV een goed inzicht in de diverse componenten die van invloed zijn op het jaarresultaat, inclusief beleggings- en economische omstandigheden. Solvency II Momenteel wordt door de Europese Commissie, in samenwerking met het Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors (CEIOPS), aan een vernieuwing van de solvabiliteitseisen gewerkt. Dit project loopt onder de naam Solvency II. Het Solvency II-project van de Europese Unie heeft als doel om via inzicht in risico’s te komen tot het benodigd kapitaal. Medio 2007 zijn de draft directieven verschenen. Zoals de naam doet vermoeden is deze draft nog niet volledig, maar ze geeft een aardig beeld van de gevolgen voor de verzekeraars. Net als Basel II kent Solvency II drie pilaren. Pillar 1 is gericht op de kwantitatieve kapitaaleisen: hier worden de verplichtingen gewaardeerd en de risico’s prudent gekwantificeerd. Pillar 2 omvat de beoordeling van het risicoprofiel van de verzekeraar door de toezichthouder. Daarbij kunnen risico’s worden meegenomen die niet in Pillar 1 zijn opgenomen. Pillar 3 is op de markt gericht. Hierin staat welke informatie verschaft moet worden, zowel aan de toezichthouder, als openbaar aan polishouders en aandeelhouders. De Europese Commissie beoogt dat de definitieve directieven vanaf 31 oktober 2012 van kracht zullen zijn. Tot die tijd is nog één Qualitative Impact Studies (QIS) gepland, namelijk QIS 5. De voorloper hiervan QIS 4 liep in 2008. Deze studies moeten leiden tot een finaal advies van CEIOPS aan de Europese Commissie dat zal plaatsvinden einde 2009. IFRS 4, fase 2 IFRS 4 is een afzonderlijke set van afspraken over verslaggeving specifiek voor verzekeraars. Onder IFRS 4, fase 2 moeten verzekeringsmaatschappijen hun verzekeringsverplichtingen

4.2. MARKTCONFORM WAARDEREN

31

waarderen tegen marktwaarde waarbij net als bij MCEV marktconforme uitgangspunten en aannames moeten worden gehanteerd.

4.2

Marktconform waarderen

Waarderingsmodellen zijn van groot belang om inzicht te krijgen in de rendabiliteit van verzekeringsportefeuilles. Er zijn verschillende manieren om de waarde van een portefeuille te evalueren. We kunnen bijvoorbeeld naar het boekhoudkundig resultaat gaan zien. Indien we in geval van langlopende verzekeringscontracten na één jaar reeds naar het boekhoudkundig resultaat zouden kijken dan is dit niet zo fraai omwille van hoge acquisitiekosten. Daarom is het in de waardering van langlopende verzekeringsproducten van belang om alle toekomstige kasstromen in beschouwing te nemen. De potentiële winst die wordt opgebouwd zit verspreid over de volledige levensduur van dit contract. In een met de markt consistente waardering wordt de huidige waarde van alle toekomstige kasstromen bepaald als de marktwaarde van een instrument dat in een liquide markt verhandelbaar is en dezelfde kasstromen genereert. Dus de waarde die een polis, een portefeuille of een maatschappij vandaag in de markt zou hebben en de prijs waaraan je deze vandaag zou kunnen verkopen. We gaan er vanuit dat er in de markt geen arbitragemogelijkheden zijn en dat twee instrumenten met eenzelfde profiel van kasstromen en met eenzelfde risico-profiel dezelfde prijs hebben. Een mogelijke definitie van een marktconforme waardering van een verzekeringsportefeuille is de volgende. Definitie: Een marktconforme waardering van een verzekeringsportefeuille is een waardering van de bezittingen en verplichtingen m.b.t. deze portefeuille op zo’n manier dat de waarde consistent is met de waarde die de kasstromen, verbonden aan deze bezittingen en verplichtingen, zouden hebben in een liquide markt. (Zie figuur 4.1.)

De marktconforme waarde van een portefeuille (of ook fair value of economische waarde genoemd) is gelijk aan marktconforme waarde = marktwaarde van de bezittingen - marktwaarde van de verplichtingen; waarvan we de verschillende termen bespreken in de volgende paragrafen.

4.3. MARKTWAARDE VAN DE BEZITTINGEN

32

Figuur 4.1: marktconforme waardering

Er zijn verschillende definities in omloop met kleine nuance verschillen die niet altijd duidelijk zijn: marktconforme waarde, exit value, appraisal value, etc. Toch hebben deze begrippen een gemeenschappelijke basis. Ze kijken naar de huidige waarde van de toekomstige winsten in een portefeuille. De techniek van marktconform waarderen heeft verzekeringsmaatschappijen nieuwe methoden verschaft om de rendabiliteit van verzekeringsproducten te meten. Met behulp van deze instrumenten kan een verzekeringsmaatschappij de relatieve rendabiliteit van producten op een marktconforme manier meten. Voor producten die weinig waarde creëren of zelfs waarde vernietigen, moeten bijsturingen gebeuren of zelfs overwogen worden om de portefeuille te verkopen. Dergelijke studies kunnen een maatschappij ertoe aanzetten hun productmix te gaan herbekijken. Deze technieken kunnen ook gebruikt worden vooraleer een nieuw product gelanceerd wordt om de potentiële rendabiliteit te testen.

4.3

Marktwaarde van de bezittingen

De marktwaarde van de bezittingen is per definitie de huidige waarde van de kasstromen waarover een verzekeringsmaatschappij beschikt om zijn verplichtingen te dekken. De bezittingen zijn bij aanvang van de portefeuille de betaalde koopsommen, recurrente premies en backservices (een supplementaire premiebetaling om de pensioenopbouw te verhogen)

4.3. MARKTWAARDE VAN DE BEZITTINGEN

33

die de verzekeringnemer betaalt. In geval van een koopsom zijn de bezittingen eenvoudigweg het bedrag van deze koopsom en moet er geen verdiscontering gebeuren. Voor recurrente premies moeten we de toekomstige premiebetalingen zo goed mogelijk te kunnen inschatten. Niet alle premiebetalingen van een portefeuille zullen blijven voortduren omdat hierop verval zit: verzekeringnemers die overlijden, verzekeringsnemers die stoppen met premiebetaling, contracten die einde termijn komen, contracten die worden stopgezet. Om de verwachte toekomstige premies zo goed mogelijk te kunnen inschatten, dienen deze parameters zo goed mogelijk ingeschat te worden. Dit gebeurt op basis van historische gegevens van de portefeuille. Dezelfde assumpties zijn dan ook van toepassing op de verplichtingen van de maatschappij die hier tegenover staan. Het spreekt voor zich dat de maatschappij geen verplichtingen meer heeft of slechts gereduceerde verplichtingen indien de verzekeringnemer stopt met de premiebetaling. Als we een model ontwikkelen om de marktwaarde van de bezittingen te bepalen, hebben we in principe de keuze tussen de nettopremie, de handelspremie of de brutopremie. Met welke premie gaan we dan aan de slag? Indien de commissie en beheersopslagen gemodelleerd zijn als verplichtingen van de verzekeraar, dan zijn de premies inclusief commissie en beheersopslagen. Aangezien de werkelijke betaalde commissie en beheerskosten lager of hoger kunnen liggen dan de kosten die werden aangerekend aan de klant, geeft dit aanleiding tot winsten of verliezen die bijdragen tot de economische waarde van de portefeuille. Vandaar dat het aangewezen is om deze kasstromen te modelleren. Wat de taks op de premies betreft zal de werkelijk betaalde taks niet hoger of lager liggen dan de taks die werd aangerekend. De taks geeft geen aanleiding tot winsten of verliezen. Dus we kunnen de brutopremies exclusief taks gebruiken als bezittingen en tevens de taks niet modelleren als verplichting van de verzekeraar. De verzekeraar zal deze toekomstige premies uiteraard niet in cash aanhouden. In tak 21 krijgt de klant een gewaarborgde intrestvoet en om aan deze garantie te kunnen voldoen worden de premies hoofdzakelijk in obligaties belegd. Zodra we de geschatte toekomstige premies kennen, zouden we de werkelijke beleggingsmix in beschouwing kunnen nemen en daarbij de rendementen die we verwachten te halen op de verschillende types van beleggingen. Op aandelen wordt doorgaans een hoger gemiddeld rendement verwacht, maar anderzijds is het risico op aandelen ook hoger. Dit zou impliceren dat we voor aandelen met een hogere verdisconteringsvoet moeten werken, want we moeten een marge bovenop de risicovrije rente nemen om het risico te dekken. Dit laat eigenlijk toe om op een andere manier te werk te gaan. We nemen niet de werkelijk beleggingsmix in beschouwing. We

4.4. MARKTWAARDE VAN DE VERPLICHTINGEN

34

nemen als gemiddelde opbrengst de risicovrije rente en ter compensatie verdisconteren we tevens aan de risicovrije rente. In deze methode werken we in een ”risicovrije wereld”. Uitgangspunt is om de waarde van de verzekeringsportefeuille te bepalen, exclusief waarde die bijkomend gecreëerd wordt in de beleggingsportefeuille. Het is niet altijd mogelijk om de werkelijke beleggingsmix te negeren. In feite is dit enkel mogelijk indien de economische waarde van een portefeuille wordt bepaald op begindatum, bijvoorbeeld om de economische waarde te bepalen van alle polissen die het afgelopen jaar zijn verkocht. Het is dus van belang welke de rapporteringsdatum is. Dit bepaalt namelijk de waarde van de bezittingen. Bij de start van een portefeuille worden de ontvangen netto premies integraal belegd, bv. 100 euro. De marktwaarde van de bezittingen is dan ook 100 euro ongeacht welke de beleggingsmix is. Indien we de Embedded Value van een portefeuille bepalen, dan zijn de reeds betaalde premies al belegd geweest en hebben een zeker rendement opgebracht. Dit rendement is afhankelijk van de beleggingsmix die gekozen werd. De waarde van de beleggingsmix kan bepaald worden op de financiële markt.

4.4

Marktwaarde van de verplichtingen

Het bepalen van een marktwaarde voor verzekeringsverplichtingen ligt moeilijker aangezien verzekeringscontracten niet op een financiële markt kunnen verhandeld worden, anders zouden we voor verzekeringscontracten gewoonweg de marktprijs kunnen gebruiken om ze te waarderen. Om dit euvel te verhelpen wordt er een portefeuille van marktactiva geconstrueerd die dezelfde kasstromen heeft. Deze portefeuille wordt de replicerende portefeuille genoemd. Voorbeeld: We willen een beste schatting bepalen van de volgende reeks jaarlijkse kasstromen: 2, 2, 2, 50, 2, 2, 102. Dan kunnen we een bond kopen met een coupen van 2% en een looptijd van 7 jaar. Daarnaast kopen we een zerocoupon bond met een looptijd van 4 jaar en een terugbetaling op eindvervaldag van 48 euro. Deze bonds vormen dan een replicerende portefeuille. Stel dat de kostprijs van beide bonds vandaag in een efficiente markt 145 euro zou zijn, dan is de beste schatting van de kasstromen 145 euro, namelijk de waarde van de replicerende portefeuille.

4.5. BESTE SCHATTING VAN DE VERPLICHTINGEN

35

Een model om de marktwaarde van de verplichtingen te bepalen bevat drie ”bouwstenen”. (Zie figuur 4.2.)

Figuur 4.2: marktwaarde van de verplichtingen

De marktwaarde van de replicerende portefeuille is de beste schatting van de verplichtingen van de verzekeringsmaatschappij. Dit is niet gelijk aan de marktwaarde van de verplichtingen en dit is te wijten aan inefficienties. De risicomarge of frictiekosten kunnen omschreven worden als extra kosten die de aandeelhouder heeft door te beleggen in een verzekeringsmaatschappij i.p.v. te beleggen in de replicerende portefeuille. Verschillende types van dergelijke frictiekosten zijn o.a. de kost van dubbele taxatie, agency kosten en de kost van financiële nood. Zoals op figuur 4.2 is de marktwaarde van de verplichtingen gelijk aan een beste schatting van de verplichtingen vermeerderd met de risicomarge.

4.5

Beste schatting van de verplichtingen

De beste schatting van de verplichtingen is de verwachte huidige waarde van de toekomstige kasstromen van de verplichtingen betreffende een verzekeringscontract, waarbij verdisconteerd wordt aan de risicovrije rentevoet. De omschrijving van de beste schatting volgens de technische specificaties van QIS4 luidt: TS.II.A.10. The best estimate is equal to the probability-weighted average of future cash-flows, taking account of the time value of money, using the relevant risk-free interest rate term structure. De toekomstige kasstromen van een verzekeringscontract kunnen zeer divers zijn en daarenboven staat de grootte of het tijdstip ervan niet altijd vast, bijvoorbeeld uit te keren commissie kosten


36

intrestgarantie winstdeelname ...

Indien alle toekomstige kasstromen zekerheid waren, dan zou het nog vrij eenvoudig zijn om de beste schatting te bepalen. We geven een eenvoudig voorbeeld van een contract met één uitkering in acht jaar. We veronderstellen daarenboven dat het contract tussentijds niet afgekocht wordt en loopt tot einddatum. Voorbeeld: Een spaarcontract met een intrestgarantie van 2,5% en zonder winstdeelname waarbij een koopsom gestort wordt van 100 euro en een looptijd van 8 jaar. De verplichting van de verzekeraar t.o.v. de klant is één toekomstige kasstroom in 8 jaar van 100 ∗ (1, 025)8 = 121, 84. De beste schatting van deze verplichting is 121, 84/(1 + risicovrije rente)8 . Het spreekt voor zich dat niet alle kasstromen van een verzekeringscontract vast liggen. De verzekeringsnemer wil bepaalde risico’s m.b.t. de frequentie, timing of impact van bepaalde gebeurtenissen overdragen naar de verzekeraar in ruil voor een vooraf gekende kostprijs. Het ligt net in de aard van een verzekeringscontract dat niet alle kasstromen vast liggen. Om de verplichtingen toch zo goed mogelijk te bepalen zullen heel wat assumpties moeten gedaan worden.

4.5.1

Assumpties

Het gebruik van assumpties om tot een beste schatting te komen voor de verplichtingen wordt in de technische specificaties van QIS4 omschreven als volgt. TS.II.A.11. The calculation of best estimate should be based upon current and credible information and realistic assumptions and be performed using adequate actuarial methods and statistical techniques. Betrouwbare bronnen die de verzekeraar ter beschikking heeft om assumpties in te vullen zijn o.a. historische portefeuille gegevens; marktdata;


37

boekhouding: winsten verliesrekening.

Vervalpercentages en uitgekeerde commissie zullen a.h.v. ervaringsdata bepaald worden. Voor vervalpercentages worden uiteraard dezelfde assumpties gebruikt als die van toepassing zijn op de bezittingen van de verzekeraar. Indien een maatschappij over te weinig gegevens beschikt om ervaringsdata te gebruiken zoals dit het geval kan zijn om sterftekansen te bepalen, dan kan gebruik gemaakt worden van marktgegevens. Om de kosten te bepalen zullen gegevens nodig zijn van de winst-en verliesrekening. De uitkeringen in levensverzekeringen zijn afhankelijk van sterftekansen. Voor langlopende contracten houdt dit in dat we assumpties doen betreffende de evolutie van de sterftekansen over een periode van zelfs meer dan 50 jaar. Gezien de toenemende levenswachting, houdt dit in dat we rekening moeten houden met een verwachte daling van de sterftekansen. Het bepalen van een verwachte schatting voor de sterfte bespreken we in het volgende hoofdstuk. In de technische specificaties van QIS wordt meegegeven dat er in de assumpties rekening gehouden moet worden met een te verwachten trend in de levensverwachting. TS.II.B.8. Cash-flow projections should reflect expected demographic, legal, medical, technological, social or economic developments. For example, a foreseeable trend in life expectancy should be taken into account.

4.5.2

Opties en garanties

Daarnaast zijn er vaak keuzemogelijkheden voor de klant en/of verzekeraar die een tevens een financieel effect hebben, zoals er zijn: de toekenning van winstdeelname door de verzekeraar staat niet vast; de verzekeraar die zich de optie voorbehoudt toekomstige intrestgaranties te bepalen; optie voor de klant om het contract af te kopen; optie voor de klant om te stoppen met premiebetaling; optie voor de klant om van fonds te switchen.

Het verwacht effect van deze opties en garanties moet ook in rekening gebracht worden bij het bepalen van de beste schatting aangezien zij een financieel effect hebben. In principe moeten al deze opties stochastisch gemodelleerd worden.

4.6. RISICOMARGE

38

Voorbeeld: We kunnen met een eenvoudig voorbeeld duidelijk maken waarom het van belang is de intrestgarantie stochastisch te modelleren. Veronderstel een eenvoudig spaarcontract met een garantie van 4% en een inleg van 100 euro. Als rendement krijgt de klant bijvoorbeeld maximum(4%, rendement beleggingen × 80%). Dus de klant kan eventueel meer dan 4% rendement bekomen onder de vorm van winstdeelname. De maatschappij geeft slechts 80% van het rendement van de beleggingen aan de klant, want een gedeelte van de opbrengst dient om kosten te dekken, maar anderzijds moet toch minstens de garantie van 4% gegeven worden. Veronderstel dat er twee mogelijke scenario’s zijn voor het rendement van de beleggingen: ofwel een rendement van 2% of met evenveel kans een rendement van 8%. Indien de waarde van het contract deterministisch bepaald zou worden, dan is de beste schatting voor het rendement van de beleggingen: 50%*2%+50%*8%=5%. Dus de verzekerde krijgt maximum(4%, 5%*80%)=4%. Het contract vertegenwoordigt voor de maatschappij een waarde van 1 euro. Indien we de waarde van het contract stochastisch zouden bepalen, dan kunnen volgende scenario’s zich voordoen. Scenario 1: de belegging heeft een rendement van 2%. De verzekerde ontvangt de garantie van 4%. Dus de maatschappij heeft 50% kans op een verlies van 2 euro. Scenario 2: de belegging heeft een rendement van 8%. De verzekerde ontvangt maximum(4%, 8%*80%)=6,4%. Voor de maatschappij heeft dit contract een waarde van 1,6 euro.

Rekening houdend met beide mogelijke scenario’s bekomen we voor de maatschappij een waarde voor het contract van 50%*(-2 euro)+50%*1,6 euro= -0,2 euro. Dit staat in contrast met de waarde van 1 euro zoals bekomen wordt op de deterministische manier. De verklaring ligt in het asymmetrische gedrag van de optie.

4.6

Risicomarge

Zoals in figuur 4.2 aangegeven is de marktwaarde van de verplichtingen gelijk aan de beste schatting verhoogd met een risicomarge. Indien er een liquide markt zou bestaan voor verzekeringscontracten, dan zou deze risicomarge niet gemodelleerd moeten worden. De risicomarge zou dan gelijk zijn aan het verschil tussen de te observeren marktprijs en de beste schatting.

4.6. RISICOMARGE

39

Vanuit het standpunt van de verzekeraar is de marktwaarde de prijs die de verzekeraar zou betalen om de verplichtingen over te dragen zoals in de technische specificaties van QIS4 opgenomen staat. TS.II.A.14. The risk margin is such as to ensure that the value of technical provisions is equivalent to the amount that (re)insurance undertakings would be expected to require to take over and meet the (re)insurance obligations. De risicomarge kan gezien worden als een compensatie om de risico’s te dragen die voortkomen uit de verplichtingen. Een maatschappij die een verzekeringsportefeuille overneemt neemt de verplichting op om toekomstige kasstromen te betalen die nog onzeker zijn. Het is de risicomarge die de onzekerheid omtrent de toekomstige kasstromen vergoedt. Om financiële risico’s te hedgen (of repliceren) bestaat er wel een liquide markt van financiële instrumenten. Dus voor deze risico’s is het mogelijk om een marktprijs te bepalen. In de risicomarge zijn enkel nog de risico’s gemodelleerd waarvoor geen markt bestaat, zoals voor verzekeringstechnische risico’s (sterfterisico, lang-levenrisico, invaliditeitsrisico). Deze risico’s worden de niet-hedgebare risico’s genoemd. Indien er in de toekomst een markt voor dergelijke risico’s zou ontwikkeld worden, dan is het mogelijk om de marktprijs te gebruiken. Niet alle financiële risico’s kunnen gehedged worden m.b.v. financiële instrumenten die beschikbaar zijn op een efficiente markt. Denk maar aan opties of garanties in verzekeringscontracten met een zeer lange looptijd. Instrumenten met zeer lange looptijden zijn mogelijks niet beschikbaar in voldoende kwantiteiten waardoor de markt voor deze instrumenten niet voldoende liquide is. Deze niet-hedgebare financiële risico’s worden wel opgenomen in de risicomarge. Er zijn verschillende manieren om de risicomarge te berekenen, waarvan de percentiel methode en de kapitaalkost-methode de meest gebruikte zijn. In de percentiel methode wordt de risicomarge berekend met betrekking tot een vooraf bepaald betrouwbaarheidsniveau. De risicomarge is een extra bedrag dat moet opgeteld worden met de beste schatting van de verplichtingen zodat de verwachte uitkomst gedurende een vooraf bepaalde tijdshorizon met de vooraf bepaalde betrouwbaarheid kleiner zal zijn dan deze som. Het betrouwbaarheidsniveau wordt ook de Value at Risk of VaR genoemd. Een Var van 99,5% houdt in dat 1 keer in 200 jaar de uitkomst groter is dan de beste schatting plus risicomarge en de werkelijke verplichtingen dus hoger zouden liggen.

4.7. KAPITAALKOST-METHODE

40

In kader van Solvency II moet de risicomarge berekend worden met de kapitaalkostmethode. TS.II.C.1 A cost-of-capital methodology should be used in the determination of the risk margin. Het uitgangspunt van de kapitaalkost-methode verschilt van de percentiel-benadering. In de percentiel-benadering kan aan de verplichtingen tegemoet gekomen worden met een vooraf bepaald betrouwbaarheidsniveau. In de kapitaalkost-methode daarentegen is het uitgangspunt voldoende kapitaal aan te leggen om in staat te zijn aan verplichtingen te voldoen tot afloop van de portefeuille.

4.7

Kapitaalkost-methode

Om deze methode toe te passen is het nodig om het vereist kapitaal en het kapitaalkostenpercentage te kennen op rapporteringsdatum en de afwikkeling van het vereist kapitaal, namelijk de projecties van het vereist kapitaal tot zolang er verplichtingen uit de portefeuille voortkomen. Aangezien het vereist kapitaal afhangt van de beste schatting van de verplichtingen, zijn voor ieder jaar de verwachte toekomstige verplichtingen nodig. Voor ieder jaar moeten de onderneming het vereist kapitaal bepalen dat nodig is om deze verplichtingen op te nemen. Het kapitaalkostenpercentage is het rendement bovenop de risicovrije rente dat de verzekeraar vereist zodat vooropgestelde rendementseisen gehaald worden. Er is momenteel nog geen algemeen aanvaarde methode om het kapitaalkostenpercentage te bepalen. In de Swiss Solvency Test wordt gebruik gemaakt van 6%. In presentaties van consultancy bedrijven vindt men vaak 4% terug als kapitaalkostenpercentage. De berekening van de risicomarge in kader van Embedded Value rapportering gebeurt in de volgende drie stappen (zie figuur 4.3): 1. Projecteer het vereist kapitaal voor niet-hedgebare risico’s zolang tot alle verplichtingen uit de portefeuille uitgedoofd zijn. 2. Vermenigvuldig het vereist kapitaal op ieder projectiejaar(t) met het kapitaalkostenpercentage om tot de risicomarge te komen op ieder projectiejaar(t). 3. Verdisconteer aan de risicovrije rente om tot de risicomarge te komen.

4.7. KAPITAALKOST-METHODE

Figuur 4.3: kapitaalkost-methode

41

42

Hoofdstuk 5 Toepassing Om het effect van een prospectieve tafel na te gaan, hebben we een marktconforme waarde berekend voor een polis vóo´r belasting en zonder risicomarge. We geven hier een intuitieve benadering zonder alle formules en berekeningen te geven, daarvoor doen we beroep op een software tool. In eerste plaats berekenen we een marktconforme waarde voor een klassieke levenslange verzekering met een beperkt kapitaal bij overlijden zoals een uitvaartverzekering maar eventuele voordelen in natura laten we hier buiten beschouwing. In de volgende tabellen staan de resultaten van de berekening met behulp van een model voor een klassieke levenslange verzekering in de actuariële software tool Prophet. Eerst werden de verschillende kasstromen geprojecteerd, nadien werden deze projecties naar Life DFA overgebracht om als input te dienen om m.b.v. 1000 scenario’s de kost voor de garanties stochastisch te berekenen. De economische en niet-economische parameters die hierbij gebruikt werden zijn deze die bepaald werden voor de Embedded Value rapportering over 2008. De software tool Prophet heeft een functie ”READ-YEAR-DEP-MORT-TABLE”ter beschikking om prospectieve tafels te lezen. Hierbij moet het eerste jaar en de leeftijd van de verzekerde meegegeven worden als argumenten, Prophet leest dan de diagonaal van de sterftetafel. (Zie figuur 6.8.) We hebben onderscheid gemaakt tussen verschillende leeftijden, tussen mannen en vrouwen en daarnaast is de enige parameter die we gewijzigd hebben de verwachte sterfte. De winst voor een verzekeringsmaatschappij kan ontstaan uit commissie, beheer, sterfte of beleggingsresultaten. In dit geval is de belangrijkste winst voor de verzekeraar de sterftewinst. De verschillen tussen de resultaten zijn ook te verklaren a.h.v. de gebruikte sterftetafels,

5.1. VERZEKERING MET KO VOOR MANNEN

43

aangezien de sterfte de enige parameter is die gewijzigd werd. De sterftewinst ontstaat door het verschil in de aangerekende premie op basis van de tarifaire sterftetafels (MK/FK) en de verwachte uitkeringen op basis van de gebruikte verwachte sterftetafels, die nauw aansluiten bij de ervaringssterfte van Assuralia. In de tarifaire sterftetafels zit sowieso een veiligheidsmarge ingebouwd zodat de verzekeraars hun verplichtingen kunnen voldoen. Op grafiek 5.1 zien we dat het verschil tussen beide tafels groter wordt naar mate de leeftijd stijgt.

Figuur 5.1: tarifaire sterfte versus verwachte sterfte

5.1

Verzekering met KO voor mannen

Resultaten met een deterministische sterftetafel De fair value van de premies stijgt naar mate de leeftijd stijgt, aangezien de sterftekansen stijgen en de bijhorende premie om een kapitaal bij overlijden te verzekeren zal stijgen. Uiteraard stijgt de fair value van de premies ook naar mate het verzekerd kapitaal stijgt. De kosten volgen dezelfde trend, aangezien de kosten grotendeels proportioneel zijn met de premie of het verzekerd kapitaal.


44

De marktconforme waarde bestaat vooral uit sterftewinst en stijgt naarmate de leeftijd van de verzekerde en het verzekerd kapitaal stijgen. Dit komt doordat de kloof tussen tarifaire sterfte en de beste schatting van de sterfte toeneemt naarmate de leeftijd toeneemt.

leeftijd

30 40 50 60 70 80 30 40 50 60 70 80 30 40 50 60 70 80

verzekerd fair value kapitaal toekomstige bij overlijden premies 3000 960 3000 1214 3000 1542 3000 1957 3000 2595 3000 3857 5000 1599 5000 2025 5000 2571 5000 3262 5000 4326 5000 6427 7000 2236 7000 2834 7000 3600 7000 4567 7000 6057 7000 8998

fair value garanties

fair value kosten

marktconforme waarde

276 428 665 1000 1324 1643 461 714 1109 1670 2203 2735 645 1001 1551 2337 3086 3829

622 666 724 793 876 1042 713 784 870 980 1125 1412 806 901 1020 1168 1374 1783

62 120 153 164 395 1173 425 526 592 611 997 2279 785 932 1029 1062 1597 3386


45

Resultaten met een prospectieve sterftetafel Indien we een marktconforme waarde voor belasting en zonder risicomarge zouden berekenen m.b.v. een prospectieve tafel als beste schatting, dan verwachten we een grotere economische waarde. Door de stijgende levensverwachting in beschouwing te nemen, zal de sterftewinst groter worden. De tarifaire sterftetafel (MK/FK) blijft onveranderd, maar in de beste schatting voor de sterfte dalen de toekomstige sterftekansen.

leeftijd

30 40 50 60 70 80 30 40 50 60 70 80 30 40 50 60 70 80



fair value kosten


240 358 561 914 1267 1606 399 597 937 1523 2112 2675 558 836 1312 2129 2961 3742

617 659 717 793 882 1046 708 777 863 981 1134 1423 801 894 1013 1172 1388 1800

103 196 268 262 470 1255 491 651 775 777 1124 2418 878 1105 1280 1294 1768 3580

5.2. VERZEKERING MET KO VOOR VROUWEN

5.2

46

Verzekering met KO voor vrouwen

Resultaten met een deterministische sterftetafel We vermelden voor de volledigheid ook de resultaten voor vrouwen. Aangezien de sterftekansen voor vrouwen lager liggen, zal de premie voor eenzelfde verzekerd kapitaal bij overlijden goedkoper zijn dan voor mannen. We bekomen hier een lagere marktconforme waarde.

leeftijd

30 40 50 60 70 80 30 40 50 60 70 80 30 40 50 60 70 80



fair value kosten


225 358 621 990 1350 1799 372 595 1036 1648 2250 3001 522 835 1452 2305 3152 4198

607 650 716 786 858 999 692 757 854 965 1097 1347 777 865 992 1144 1337 1692

47 112 100 86 291 816 399 515 507 490 816 1675 752 915 911 893 1339 2542

5.2. VERZEKERING MET KO VOOR VROUWEN

47

Resultaten met een prospectieve sterftetafel Hierbij zijn dezelfde verschillen vast te stellen tussen de deterministische tafel en de prospectieve tafel zoals hierboven voor mannen. Door de verwachte stijgende levensverwachting, stijgt de sterftewinst en daarbij ook de marktconforme waarde.

leeftijd

30 40 50 60 70 80 30 40 50 60 70 80 30 40 50 60 70 80



fair value kosten


207 305 520 915 1293 1763 342 510 867 1523 2159 2941 479 713 1214 2126 3023 4117

604 644 706 788 867 1011 689 751 844 966 1107 1365 774 859 981 1146 1350 1716

67 170 213 163 355 897 433 606 687 621 927 1811 797 1043 1163 1080 1496 2729

5.3. VERZEKERING MET KL VOOR MANNEN

5.3

48

Verzekering met KL voor mannen

Resultaten met een deterministische sterftetafel Voor de volledigheid hebben we tevens een berekening gedaan voor een verzekering met een kapitaal bij leven op 65 jaar (zonder tegenverzekering). De tarifering hangt af van de levenskansen en we zien hier een omgekeerde trend dan hierboven in het geval van een kapitaal bij overlijden, namelijk een lagere marktconforme waarde in het geval van de prospectieve sterftetafel.

leeftijd

30 35 40 45 50 55 30 35 40 45 50 55 30 35 40 45 50 55

verzekerd kapitaal bij leven 10000 10000 10000 10000 10000 10000 15000 15000 15000 15000 15000 15000 20000 20000 20000 20000 20000 20000

fair value toekomstige premies 2366 2825 3403 4140 5090 5817 3511 4203 5071 6186 7610 8711 4657 5583 6743 8227 10131 11602


fair value kosten

fair value winstdeelname


1749 2093 2533 3139 4030 4873 2624 3141 3801 4707 6046 7310 3498 4186 5066 6278 8058 9747

1210 1135 1069 1012 970 935 1283 1224 1176 1141 1131 1138 1351 1307 1277 1268 1294 1336

1196 1222 1221 1168 1008 571 1793 1833 1833 1752 1512 856 2391 2444 2443 2336 2016 1142

-1789 -1625 -1420 -1179 -918 -562 -2189 -1995 -1739 -1414 -1080 -593 -2583 -2354 -2043 -1654 -1237 -623

5.3. VERZEKERING MET KL VOOR MANNEN

49

Daarbij valt het op dat we een negatieve marktconforme waarde bekomen zonder rekening te houden met de risicomarge en belastingen. Merk op dat de belastingen hier een positief effect hebben op de marktconforme waarde. De negatieve marktconforme waarde is te wijten aan een intrestgarantie van 3,25% waarmee we hier gerekend hebben. Daarnaast lag de risicovrije rentecurve in 2008 vrij laag, waardoor de verdisconteerde bedragen hoger komen te liggen. Dit heeft betrekking op de fair value van de premies, maar tevens op de fair value van de garanties, kosten en winstdeelname. Dit toont alvast aan dat dergelijke waarderingsmethode zinvol is om de rendabiliteit van producten na te gaan. Er kan tevens opgemerkt worden dat de kost voor winstdeelname die in dit model is ingebouwd misschien niet realistisch is. Andere opties om de rendabiliteit te verhogen zijn trachten de kosten te verlagen of een lagere intrestgarantie geven. Resultaten met een prospectieve sterftetafel

leeftijd

30 35 40 45 50 55 30 35 40 45 50 55 30 35 40 45 50 55




fair value kosten



1796 2143 2584 3191 4078 4907 2696 3217 3878 4784 6117 7359 3595 4287 5170 6380 8155 9813

1211 1136 1070 1014 971 938 1284 1225 1177 1143 1136 1139 1353 1309 1278 1270 1295 1337

1233 1255 1249 1189 1021 575 1850 1883 1874 1784 1532 863 2467 2511 2499 2379 2043 1151

-1866 -1700 -1488 -1239 -968 -592 -2307 -2107 -1839 -1508 -1154 -635 -2740 -2506 -2183 -1776 -1332 -676

5.4. VERZEKERING MET KL VOOR VROUWEN

5.4

50

Verzekering met KL voor vrouwen

Resultaten met een deterministische sterftetafel We vermelden voor de volledigheid ook de resultaten voor vrouwen. Aangezien de levenskansen voor de vrouwen hoger liggen, zal de premie voor eenzelfde verzekerd kapitaal bij leven hoger zijn dan voor mannen. We bekomen een hogere marktconforme waarde.

leeftijd

30 35 40 45 50 55 30 35 40 45 50 55 30 35 40 45 50 55




fair value kosten



1829 2182 2632 3249 4155 4996 2740 3271 3948 4877 6231 7495 3652 4361 5261 6503 8310 9994

1220 1148 1081 1024 983 945 1297 1239 1192 1159 1152 1153 1370 1329 1298 1292 1319 1357

1246 1271 1268 1208 1039 585 1868 1906 1901 1813 1558 878 2491 2542 2535 2417 2078 1170

-1766 -1591 -1372 -1113 -852 -499 -2149 -1939 -1661 -1328 -977 -502 -2530 -2284 -1941 -1534 -1101 -502

5.4. VERZEKERING MET KL VOOR VROUWEN

51

Resultaten met een prospectieve sterftetafel Hierbij zijn dezelfde verschillen vast te stellen tussen de deterministische tafel en de prospectieve tafel die we voorstelden voor mannen. Door de stijgende levensverwachting, is de kans groter dat het kapitaal bij leven op 65 jaar moet uitgekeerd worden. In het geval van de prospectieve tafel schatten we een grotere kans op uitkering en dus lagere winsten voor de verzekeringsmaatschappij.

leeftijd

30 35 40 45 50 55 30 35 40 45 50 55 30 35 40 45 50 55




fair value kosten



1869 2219 2665 3278 4178 5009 2800 3328 3997 4919 6265 7514 3731 4436 5328 6558 8354 10018

1222 1150 1083 1025 983 946 1299 1241 1194 1162 1153 1153 1373 1331 1300 1293 1319 1357

1261 1283 1276 1215 1045 588 1891 1925 1914 1822 1567 882 2520 2566 2553 2430 2088 1176

-1815 -1636 -1407 -1143 -874 -512 -2221 -2003 -1714 -1371 -1010 -519 -2625 -2368 -2013 -1590 -1145 -524

52

Hoofdstuk 6 Nawoord We hebben in deze thesis twee veelbesproken onderwerpen willen combineren: marktconform waarderen en prospectieve sterftetafels. Enerzijds is het marktconform waarderen van groot belang in projecten zoals Solvency II en IFRS 4 fase 2. Anderzijds zijn prospectieve sterftetafels een noodzaak om een prudente tarifering van een lijfrente product te doen. Om tot een marktconforme waardering te komen worden de toekomstige winsten zo goed mogelijk ingeschat, daarbij is tevens een schatting van de sterfte nodig. Het verschil tussen de tarifaire sterfte en de geschatte sterfte is immers de bron voor de sterftewinst. Aangezien we aannemen dat de levensverwachting in de toekomst nog zal toenemen, zijn tevens prospectieve sterftetafels nodig als beste schatting van de verwachte sterfte. We hebben een prospectieve sterftetafel geconstrueerd op basis van de sterftetafels van het NIS van de voorbije 50 jaar. Hierbij hebben we gebruik gemaakt van de methode van LeeCarter. Voor de hoge leeftijden moet nog een aparte benadering gezocht worden omdat we voor deze leeftijden te weinig betrouwbare gegevens hebben. Deze sterftetafel houdt rekening met een stijging van de levensverwachting, maar het niveau van de sterfte hebben we nadien aangepast door het bepalen van correctiefactoren. We hebben m.b.v. Matlab en SAS deze prospectieve tafel geconstrueerd, maar hier zijn onder meer nog verbeteringen mogelijk. We hebben geen smoothing toegepast. Voor tarifaire tafels is dit sowieso een noodzaak. Daarnaast zijn er een aantal kritieken op het Lee-Carter model die voor verbetering vatbaar zijn. De marktconforme waarde die bepaald wordt voor een polis zal uiteraard afhangen van de gebruikte assumpties. We hebben dit aangetoond door een marktconforme waarde te berekenen met behulp van een deterministische en een prospectieve sterftetafel. Deze

53 berekeningen kunnen verbeterd worden, want we hebben ons hier beperkt tot een marktconforme waarde voor belastingen en zonder risicomarge. De gebruikte assumpties hebben een invloed op de risicomarge, want hierin zit o.a. een kost voor het verzekeringstechnisch risico, waaronder het lang-levenrisico en het sterfterisico. Het berekenen van een marktconforme waarde blijkt alleszins zinvol om de rendabiliteit van verzekeringsproducten te verifiëren en eventueel te achterhalen waar optimalisaties nodig zijn.

54

55

Figuur 6.1: geschatte alpha’s

56

Figuur 6.2: geschatte beta’s

57

Figuur 6.3: geschatte kappa’s

58

Figuur 6.4: herschatte kappa’s

59

Figuur 6.5: geschatte toekomstige kappa’s voor mannen met ondergrens en bovengrens

60

Figuur 6.6: geschatte toekomstige kappa’s voor vrouwen met ondergrens en bovengrens

61

Figuur 6.7: correctiefactoren man/vrouw bij overlijden/leven

62

Figuur 6.8: functie om prospectieve tafels te lezen in Prophet

BIBLIOGRAFIE

63

Bibliografie [1] Assuralia, beroepsvereniging van verzekeringsondernemingen. assuralia.be/.

http://www.

[2] Heather Booth. Lee-Carter mortality forecasting: a multi-country comparison of variants and extensions. Booth et al, 2006. [3] Henk van Broekhoven. Market Value of Liabilities Mortality Risk: A Practical Model. North American Actuarial Journal, 2002. [4] Groupe Consultatif Coordination Group. Report on Proxies. CEIOPS, 2008. [5] European Commission. QIS4 Technical Specifications. MARKT/2505/08, 2008. [6] Rob J. Hyndman. ARIMA processes. paper, mei 2001. [7] Steven Haberman en Maria Russolillo. Lee-Carter mortality forecasting: application to the italian population. Cass Business School, 2005. [8] IAA. Measurement of liabilities for insurance constracts: current estimate and risk margins. Re-exposure draft, 2008. [9] Christian Jaumain. Longévité: évolution et prospective. I6doc.com, 2008. [10] Richard Johnson en Dean Wichern. Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice Hall, 2007. [11] Ronald Lee. The Lee-Carter Method for Forcasting Mortality, with Various Extensions and Applications. North American Actuarial Journal, 2000. [12] Nationaal Instituut voor de Statistiek. http://www.statbel.fgov.be/. [13] Federaal Planbureau. Bevolkingsvooruitzichten 2007 - 2060. Plan.be, mei 2008.

BIBLIOGRAFIE

64

[14] UCL Spin-off Reacfin S.A. Reacfin’s life tables for Belgium. oktober 2008. [15] Joos Vandewalle en Ronald Cools. Lineaire algebra en analytische meetkunde. Garant, 1998. [16] Wikipedia, the free encyclopedia. http://en.wikipedia.org/. [17] Regression tools. http://www.xuru.org/.

Prospectieve sterftetafels met toepassing op marktconforme waarderingen

Recommend Documents