ISSN :9 772407 749004
Prosiding
PROSIDING SEMINAR NASIONAL Yogyakarta, 27 Desember 2014 Tema : Revitalisasi Pendidikan Matematika Menuju AFTA 2015
Editor : Dr. Suparman, M.Si., DEA. Sugiyarto, P.hD. Dr. Tutut Herawan, M.Si.
Bidang Ilmu : Pendidikan Matematika dan Matematika
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014
i
ISSN :9 772407 749004
Prosiding
Pemodelan Bayesian SUR Spasial Autoregressive pada Kasus Heteroskedastisitas ..............................................................................................
1124
Deteksi Abnormality melalui BIRADS untuk Memprediksi Posisi dan Potensi Keganasan Kanker pada Kasus Kanker Payudara (Ca mammae) di Jawa Timur dengan Pendekatan Multinomial Normit Analysis ...................
1137
Penerapan Logika Fuzzy Mamdani untuk Diagnosa Penyakit Hipertiroid ......
1146
JARINGAN SYARAF RADIAL BASIS FUNCTION (RBF) UNTUK KLASIFIKASI PENYAKIT KARIES GIGI ......................................................
1158
Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar MaxPlus ......................................................................................................................
1167
MODIFIKASI DISTRIBUSI PERJALANAN COMMUTER LINE JABODETABEK DENGAN MODEL GRAVITASI VOORHEES ..................
1175
Pengaruh Tingkat Kemiringan Tanah dan Pola Tanam Graf Tangga Segitiga Terhadap Sirkulasi Udara Pada Perkebunan Kopi .............................
1181
PERUBAHAN NILAI TUKARIMPOR DAN HARGA KONSUMEN DI KAMBOJA DAN INDONESIA: BUKTI DARI VEKTOR AUTOREGRESI (VAR) ......................................................................................
1187
KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING ......................
1199
Metode Numerik Pada Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode Beda Hingga .........................................................................................................
1208
Solusi Numerik Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode Sapuan Ganda ..................................................................................................................
1214
Mengkonstruksi Algoritma Bentuk Numerik Pada Sistem Persamaan Linear ..................................................................................................................
1222
Pemodelan GSTARX Dengan Intervensi Pulse dan Step Untuk Peramalan Wisatawan Mancanegara ................................................................
1230
Nilai Strong Rainbow Connection pada Graf Khusus dan Hasil Operasinya ..........................................................................................................
1242
PENGEMBANGAN TOTAL SELIMUT SUPER PADA GRAF SHACKLETRIANGULAR BOOK ....................................................................
1249
BILANGAN KROMATIK PADA PENGOPERASIAN GRAF LINTASAN DENGAN GRAF LINGKARAN ...................................................
1257
PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-SISI ANTIMAGIC PADA GABUNGAN SALING LEPAS GRAF DAUN mLgn .......................................
1263
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014
xiv
Prosiding
ISSN: 9 772407 749004
KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING Saman Abdurrahman Program Studi Matematika FMIPA Unlam Jl. A. Yani KM 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan,
[email protected] ABSTRAK Dalam tulisan ini dibahas konsep ideal maksimal fuzzy near-ring, yang meliputi hubungan antara ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring. Kata kunci: Near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy, ideal prima fuzzy.
ABSTRACT In the paper discuss concept fuzzy maximal ideal of near-ring, which includes the relationship between fuzzy maximal ideal of near-ring and fuzzy prime fuzzy ideal of nearring. Keywords: Fuzzy near-ring, fuzzy maximum ideal, fuzzy prime ideal
diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun
PENDAHULUAN Near-ring yang dikontruksi oleh Pilz (1983), Clay (1992) dan Kandasamy
1965. Abou-Zaid
melakukan
struktur
near-ring,
(2002), merupakan salah satu perluasan
fuzzyfikasi
dari ring, dimana beberapa aksioma yang
sehingga melahirkan definisi near-ring
ada pada ring tidak harus diberlakukan
fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy
pada near-ring. Operasi pertama pada
near-ring, dan ideal prima fuzzy near-
near-ring sebarang tidak harus abelian,
ring. Jun dan Ozturk (2001) melakukan
terhadap
membentuk
penelitian pada ideal maksimal fuzzy
semigrup, dan terhadap operasi pertama
gamma near-ring, Young dan Hee (2002)
dan kedua, cukup dipenuhi salah satu
melakukan penelitian pada ideal prima
sifat distributif kiri atau kanan.
fuzzy near-ring, dan Satyanarayana dan
operasi
Seiring
kedua
dengan
perkembangan
zaman, penelitian pada near-ring tidak
pada
(1991)
Kuncham (2005) melakukan penelitian pada ideal prima fuzzy gamma near-ring.
hanya berkisar pada strukturnya tetapi
Mengingat penelitian sebelumnya
mulai memadukan dengan teori lain,
sudah membicarakan ideal prima fuzzy
diantaranya dengan himpunan fuzzy yang
dan ideal maksimal fuzzy pada near-ring, maka pada tulisan ini akan diteliti sifat
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1199
Prosiding
ISSN: 9 772407 749004
dari ideal maksimal fuzzy, yang meliputi
hubungan antara ideal maksimal fuzzy
hubungan dengan ideal prima fuzzy pada
near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring
near-ring.
Langkah menggunakan
terakhir, lemma-lemma
teorema-teorema
Metode Penelitian Penelitian
ini
dengan dan
yang saling terkait,
dilakukan
maka diperoleh hubungan antara ideal
berdasarkan studi literatur berupa buku-
maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima
buku dan jurnal-jurnal ilmiah, khususnya
fuzzy near-ring, yang hasilnya dituangkan
yang berkaitan dengan near-ring, near-
dalam bentuk teorema.
ring fuzzy, ideal fuzzy near-ring, ideal malsimal fuzzy near-ring dan ideal prima
HASIL DAN PEMBAHASAN
fuzzy near-ring.
Definisi 1. (Pilz 1983) Himpunan
Pada
tahap
awal
dipelajari
konsep-konsep dasar tentang near-ring, subnear-ring,
ideal
near-ring,
ideal
kosong dengan dua operasi biner + dan disebut near ring, jika memenuhi: 1. ( , +) adalah grup (tidak harus grup
maksimal near-ring dan ideal prima near-ring. Konsep-konsep dasar ini yang
tidak
abelian), 2. ( , .) adalah semigrup,
nantinya akan banyak membantu untuk memahami konstruksi near-ring fuzzy,
3. untuk setiap x,y,z
berlaku salah
satu sifat distributif kanan atau kiri
subnear-ring fuzzy, ideal near-ring fuzzy,
(i). distributif kanan :
ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring. Setelah
memahami
konstruksi
(ii). distributif kiri :
near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy
Selanjutnya yang dimaksud near-
near-ring dan ideal prima fuzzy near-
ring adalah near-ring kiri, kecuali ada
ring, dibuktikan beberapa lemma dan teorema yang terkait sehingga diperoleh “hubungan antara ideal di himpunan klasik dan himpunan fuzzynya”. Selanjutnya ditentukan asumsiasumsi sehingga terbentuk sifat baru, yang
mendukung
pada
pembahasan
keterangan lebih lanjut, dan xy dapat juga ditulis xy. Definisi 2. (Clay 1992) Diberikan nearring
. Subgrup H dari
subnear-ring dari H
disebut
(ditulis dengan
), jika memenuhi HH H.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1200
Prosiding
ISSN: 9 772407 749004
Pada near-ring, grupnya tidak
Lemma 7. (Mordeson, 2005) Jika
harus abelian terhadap operasi +, maka
, (X), maka
dalam mendefinisikan ideal di near-ring
1. maka a a untuk setiap
subgrupnya harus merupakan subrup normal.
a[0,1] 2. a b maka b a untuk setiap
Definisi
3.
(Satyanarayana
2013)
a,b[0,1]
Diberikan ( , +, .) adalah near-ring. Subgrup normal dari
dari
disebut ideal
untuk setiap a[0,1]
, jika
1. RI
Definisi 8. (Abou-Zaid, 1991) Diberikan
I
2. (r + i)s – rsI untuk setiap r,sR dan
dan
near-ring
. Subset fuzzy
disebut subnear-ring fuzzy di
iI. Subgrup
normal
I
dari
,
memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri dari
3. jika dan hanya jika a a
, dan memenuhi kondisi (2) disebut
untuk setiap 1.
berlaku:
min{
2.
jika
min{
, ,
}, dan
}.
ideal kanan dari .
Selanjutnya, disebut ideal fuzzy di
Definisi 4. (Mordeson, 2005) Diberikan
jika adalah subnear-ring fuzzy di
X adalah himpunan tidak kosong. Suatu
dan untuk setiap
3.
,
pemetaan disebut subset fuzzy di X jika
. Selanjutnya himpunan
4.
berlaku:
, dan
semua subset fuzzy di X dinotasikan dengan (X).
5.
.
Definisi 5. (Mordeson, 2005) Jika
Suatu disebut ideal kiri fuzzy di
, (X), maka untuk setiap xX:
jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan
1. jika dan hanya jika (x) (x),
(4), sedangkan disebut ideal kanan fuzzy di
2. jika dan hanya jika (x) (x), Definisi 6. (Mordeson, 2005) Diberikan (X) dan t[0,1]. Level subset dari dinotasikan dengan t yang didefinisikan dengan,
(3) dan (5). Definisi
9.
(Williams.
P,
2008)
Diberikan ideal fuzzy di near-ring
.
Ideal fuzzy disebut normal, jika ada
t {xR | (x) t}.
jika memenuhi kondisi (1), (2),
sedemikian hingga
Selanjutnya
himpunan
semua
1. ideal
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1201
Prosiding
ISSN: 9 772407 749004
normal fuzzy dari N(
dinotasikan dengan
dari ideal normal fuzzy di near-ring
).
Lemma
10.
(Abdurrahman,
, maka
subnear-ring fuzzy di , dan
2012)
. Jika adalah
Diberikan near-ring
Setelah diberikan beberapa sifat
untuk setiap
berikut
diberikan
sifat
dari
karakteristik dari suatu ideal di
fungsi .
Lemma 15. Diberikan near-ring A dan B ideal di
,
. Jika
, maka A B jika dan
hanya jika A B.
.
Bukti: Teorema 11. Diberikan near-ring Jika adalah ideal fuzzy di ideal di
|
.
, maka adalah
.
( ) Misalkan A dan B adalah fungsi karakteristik dari ideal A dan B di dengan A B. Akan dibuktikan A B, yaitu A
B
untuk setiap R.
Teorema 12. Diberikan dan adalah ideal fuzzy di near-ring
, maka
. Jika dan .
N( ) dan , maka
Lemma 14. Diberikan near-ring
dan
. .
A
A 3. jika
A.
dan A fungsi
karakteristik dari A. Mengingat A adalah ideal di
, maka
A sehingga
1 dan menurut [Abdurrahman
2012, Teorema 4.1.9], A adalah ideal fuzzy di
yang mengakibatkan A ideal
normal fuzzy di . Selanjutnya,
{ R | A
A
| A
1}
{
{ R | A } A. ■
}
, dan
, maka
A
Misalkan A ideal di
1,
0 1 B
Bukti:
A
B
2. jika A dan B, maka
. Jika
, maka A ideal normal fuzzy
A ideal di di
dari tiga kondisi berikut: 1. jika A, maka B sehingga
Teorema 13. Diberikan near-ring Jika ,
Untuk membuktikan A B, akan dilihat
B
0
Berdasarkan (1), (2), dan (3) maka
A
B
untuk setiap .
( ) Misalkan A dan B adalah ideal di dan A B. Akan dibuktikan A B. Diambil sebarang A, maka A Mengingat A B dan B 1 A sehingga B
B
1.
[0,1], maka ,
untuk setiap
1 yang mengakibatkan
B, dengan kata lain A B. ■ Lemma 16. Diberikan near-ring adalah ideal fuzzy di
. Jika
dan
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1202
Prosiding
ISSN: 9 772407 749004
yang didefinisikan dengan, 1
+
, maka
untuk setiap
dan .
ideal normal fuzzy di
1
1 dan (x)
, maka (x)
mengakibatkan . Jadi,
Bukti:
ideal normal fuzzy di
Misalkan ideal fuzzy di
dimana
Mengingat
dan
+ 1
. Mengingat
untuk setiap
+ yang
adalah
dan . ■
Lemma 17. Diberikan ideal fuzzy di near-ring
. Jika
, maka
0 untuk suatu
0.
ideal fuzzy di
dan definisi , maka
Lemma 18. Ideal fuzzy di near-ring
untuk setiap
, berlaku:
adalah normal jika dan hanya jika
1)
+1
min{
,
min{
+1
2)
,
+1
,
,
min{
+1
, maka ( ) . Akibat 20. Jika ideal normal fuzzy di
}.
near-ring
+1
min{
Akibat 19. Jika adalah ideal fuzzy di
}+1
} min{
.
Definisi
}+1 ,
+1
, maka ( ) . 21.
(Williams.
Diberikan near-ring
P,
2008)
. Ideal fuzzy di
disebut maksimal, jika memenuhi
}
kondisi: min{
,
}.
(1) tidak konstan,
2)
(2) adalah elemen maksimal di
3)
+1 +1
( .
.
pada setiap
5) 6)
,
maka
1.
[0,1] dan
≤
. Jika 2
untuk adalah ideal
dan ( ) yang
didefinisikan dengan,
.
+1
didefinisikan,
maksimal di
+1 +1
adalah
near-ring, dengan operasi pergandaan
4)
), ).
Contoh 22. Diberikan
+1
+1
N(
(x) 1, 1,
untuk setiap z , maka ideal maksimal fuzzy di
untuk setiap .
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1203
Prosiding
ISSN: 9 772407 749004
Setelah diberikan definisi ideal maksimal fuzzy di near-ring
, berikut
diberikan sifat dari elemen maksimal di N(
Lemma 23. Jika
N(
}
N(
min{(x), (y)},
) dengan
elemen maksimal yang tidak konstan di (
min{
). b)
), ), maka nilai keanggotaan dari
adalah 0 dan 1.
Bukti:
min{
Misalkan
N(
) dengan elemen
maksimal yang tidak konstan di (
N(
),
}
min{(x), (y)}, c)
). Akan dibuktikan nilai keanggotaan
,
dari adalah 0 dan 1. Mengingat
N(
Misalkan Klaim
), maka
d)
.
0.
Andaikan
, maka 0
dengan (x)
, untuk setiap
. Akan ditunjukkan well-defined.
dengan
Akibatnya
N(
menurut
) sehingga
Lemma
. . 16,
1.
+1
untuk setiap
.
sehingga +
,
Berdasarkan analisa di atas, maka
Mengingat adalah pemetaan, maka
Jadi, adalah ideal fuzzy di
1.
Didefinisikan subset fuzzy
e)
untuk suatu .
Misalkan
+
+1
+1
Jadi
, dengan kata lain well-
dan
1
Akibatnya
Selanjutnya, akan dibuktikan adalah
Jadi, tidak konstan dan .
ideal fuzzy di
Mengingat , maka bukan elemen
Diambil sebarang a)
, maka
maksimal di (
N(
),
.
defined.
.
.
). Ini kontradiksi
dengan elemen maksimal di (
N(
),
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1204
Prosiding ),
ISSN: 9 772407 749004
sehingga
pengandaian
seharusnya
salah,
untuk suatu .
R
(3) Misalkan karakteristik
adalah
dari
.
fungsi Dari
(2)
Jadi, nilai keanggotaan dari adalah 0
diperoleh, adalah normal, maka
dan 1. ■
menurut Lemma 18 dan Definisi 21,
Selanjutnya diberikan beberapa sifat dari ideal maksimal fuzzy di near-ring , yang berhubungan dengan fungsi karakteristik dan
.
dan elemen maksimal di (
N(
),
), sehingga menurut (1)
nilai keanggotaan dari adalah 0 dan 1. Di lain pihak,
Teorema 24. Jika adalah ideal
{x
|
maksimal fuzzy di near-ring , maka
{x
|
1}.
(1) nilai kenggotaan adalah 0 dan 1,
}
Berdasarkan analisa di atas, maka
(2) adalah normal, (x)
(3) R , (4)
adalah maksimal di .
Jadi, adalah fungsi karakteristik
Bukti:
yang mengakibatkan R .
dari
(1) Mengingat adalah ideal maksimal fuzzy di
maka menurut Definisi
111, tidak konstan. Karena tidak konstan dan untuk setiap
+1
, maka
tidak
(4) Menurut Teorema 11, di
adalah ideal
. Misalkan A adalah ideal fuzzy di dan A adalah fungsi karakteristik
dari A sedemikian hingga
A.
Akibatnya menurut Lemma 14, (3)
konstan, sehingga menurut Definisi
dan Lemma 15, maka A
111 dan Lemma 113,
R A, R dan R
A.
Mengingat ,A
A
adalah
elemen maksimal tidak konstan di (
N(
), ) dan nilai keanggotaan dari
adalah 0 dan 1.
suatu a , sehingga menurut Lemma
) dan
), R
N(
dan adalah elemen maksimal di (
(2) Dari (1), diambil (a) 0 untuk
N(
N(
), ), maka A atau A
, dimana untuk setiap
, (x) 1 . Selanjutnya, jika
17, (a) 0. Di lain pihak, 0 (a) (a) + 1
1
Jadi, adalah normal.
0+1
A, maka
yang
mengakibatkan
A atau jika
A , maka
1.
yang
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1205
Prosiding
ISSN: 9 772407 749004
mengakibatkan A
Mengingat ideal maksimal fuzzy di
, sehingg
adalah ideal maksimal dari . ■
maka menurut Teorema 26, R dan
Berikutnya diberikan sifat dari ideal maksimal
di
near-ring
,
yang
berhubungan dengan ideal maksimal fuzzy dari
.
adalah ideal maksimal di
adalah ideal prima di
Teorema 25. Diberikan M ideal dari ( )
dan
yang
didefinisikan dengan,
, sehingga
menurut [Pilz. G, 1983, Lemma 71],
Selanjutnya, jika
near-ring
,
dan
R
atau
.
adalah ideal prima di
,
maka
[Abdurrahman 2011, Akibat 4.14], adalah ideal prima fuzzy di
(x)
dan
untuk setiap . Jika M maksimal dari
menurut
Lemma 15,
atau jika
, maka menurut
. ■
, maka ideal maksimal fuzzy dari . Berikut diberikan sifat dari ideal maksimal
di
near-ring
berhubungan
,
dengan
fungsi
sifat
yang
dapat
dijadikan
sebuah
kesimpulan dari tulisan ini adalah sebagai
Akibat 26. Ideal M adalah maksimal di jika dan hanya jika fungsi
karakteriatik
Beberapa hasil penting atau sifat-
yang
karakteristinya.
near-ring
Kesimpulan
dari
M
adalah
ideal
berikut: 1) Jika adalah ideal maksimal fuzzy di near-ring
, maka nilai kenggotaan
dari adalah 0 dan 1, adalah
maksimal fuzzy di . Setelah diberikan definisi dan sifat ideal maksimal fuzzy di near-ring
,
normal, R
dan
adalah
maksimal di .
selanjutnya
diberikan
sifat
yang
2) Ideal M adalah maksimal di near-ring
menunjukkan
hubungan
antara
ideal
jika dan hanya jika M adalah ideal
maksimal fuzzy dan ideal prima fuzzy dari ,
yang
merupakan
akhir
dari
pembahasan tulisan ini. Lemma 27. Diberikan near-ring
maksimal fuzzy di
3) Jika adalah ideal maksimal fuzzy di near-ring
. Jika
adalah ideal maksimal fuzzy di
.
prima fuzzy di
, maka adalah ideal atau
.
,
maka adalah ideal prima fuzzy di
PUSTAKA
atau
Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N,
Bukti:
.
2013, Ideals prima fuzzy near-
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1206
Prosiding
ISSN: 9 772407 749004
ring, Jurnal Matematika Murni
Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2013,
dan Terapan Epsilon, vol. 07, no.
Near-ring,
01, hal 21 – 32.
Graph Theory, Taylor and Francis
Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N, 2012,
Ideals
fuzzy
near-ring,
Fuzzy
Ideals,
and
Group, LLC. Williams. P, 2008, Fuzzy ideals in near-
Jurnal Matematika Murni dan
subtraction
Terapan Epsilon, vol. 6, no. 2, hal
International
13 – 19.
Computational and Mathematical
Abou-Zaid. S, 1991, On fuzzy subnear-
semigroups, journal
of
Sciences, vol. 2, no. 1, pp. 39-46.
rings and ideals, Fuzzy Sets and Systems, vol. 44, pp. 139-146. Clay. J.R, 1992, Nearrings, geneses and applications, Oxford, New York. Jun. Y.B, Sapanci. M. and
zt rk. M.A,
1998, Fuzzy ideal in gamma nearring, Tr. J. of Math, vol. 22, no. __, pp. 449-459. Kandasamy. W.B.V, 2002, Smarandache near-rings, American Research Press Rehoboth. Mordeson,
J.N,
Bhutani.
K.R.
and
Rosenfeld. A, 2005, Fuzzy group theory, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. Pilz. G, 1983, Near-ring, the theory and applications
2nd
ed.,
North-
Holland Mathematict Studies, vol. 23, North-Holland, Amsterdam. Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2005, Fuzzy prime ideal of gamma nearring,
Soochow
Journal
of
Mathematics, vol. 31, no. 1, pp. 121-129.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014 1207
