PROSIDING SEMINAR NASIONAL

______________________________________ Seminar Nasional Pendidikan Matematika Tema : Peningkatan Profesionalitas Pendidik Matematika dalam Menghadapi MEA 2015

PROSIDING SEMINAR NASIONAL TEMA:

PENINGKATAN PROFESIONALITAS PENDIDIK MATEMATIKA DALAM MENGHADAPI MEA 2015 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SYIAH KUALA

ISBN: 978-602-97671-7-8

ii


EDITOR Dra. Bintang Zaura, M.Pd. Juanda Kelana Putra, S.Pd., M.Sc

PENATA LETAK Dra. Suryawati, M.Pd. DESAIN COVER Juanda BJ, S.Pd. TEBAL BUKU 229 + x PENERBIT Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Darussalam – Banda Aceh Laman: http://matematika.fkip.unsyiah.ac.id/ © FKIP Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Syiah Kuala Cetakan Pertama ISBN: 978-602-97671-7-8

iii


LAPORAN KETUA PANITIA

Assalamu’alaikum Wr. Wb. Tiada ucapan yang lebih pantas disampaikan kecuali puji dan syukur kepada Allah S.W.T, karena hanya atas ridho-Nya kegiatan “Seminar Nasional Pendidikan” sesuai dengan waktu yang direncanakan. Seminar ini akan menjadi kegiatan rutin dimasa yang akan datang (setiap tahun) di FKIP Unsyiah. Seminar Nasional Pendidikan yang berlangsung di Auditoruim FKIP Unsyiah lantai 3 Darussalam Banda Aceh pada tanggal 16 Februari 2015, diselenggarakan atas kerjasama FKIP UNSYIAH. Tema Seminar Nasional Pendidikan adalah “Peningkatan Profesionalitas Pendidik Matematika dalam Menghadapi MEA 2015”. Dalam acara seminar tersebut panitia mengundang 3 orang keynote speaker yaitu; (1) Prof. dr. Ahmad Fauzan, M.Pd., M.Sc. dan (2) Dr. Rahmah Johar, M.Pd. (Pascasarjana Universitas Syiah Kuala - Indonesia) Pada kesempatan yang baik ini, kami sampaikan terimakasih yang sebesarbesarnya kepada Rektor Unsyiah, Dekan FKIP Unsyiah, para tamu undangan, para donatur, dan seluruh peserta seminar, atas segala partisipasi dan bantuannya. Rasa bangga dan terimakasih juga kami sampaikan kepada seluruh anggota panitia yang telah bekerja keras, bahu membahu untuk menyukseskan acara ini. Akhirnya kami mengucapkan selamat mengikuti seluruh rangkaian seminar, semoga bermanfaat.

Penanggung Jawab Seminar

Ketua Pelaksana

Ttd

Ttd

Dra. Suryawati, M.Pd.

Rifki

iv


SAMBUTAN KETUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SYIAH KUALA DARUSSALAM, BANDA ACEH

Assalamu’alaikum Wr. Wb. Yang paling utama marilah kita panjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT, karena atas berkat dan rahmat-Nya kita dapat bertemu di forum "Seminar Nasional Pendidikan" dalam kondisi sehat jiwa dan raga. Tema seminar ini adalah “Peningkatan Profesionalitas Pendidik Matematika dalam Menghadapi MEA 2015”. Tema tersebut sangatlah urgen dan up to date saat ini dalam rangka meningkatkan kualitas pendidikan, khususnya di Provinsi Aceh dan umumnya di Indonesia. Saya selaku Ketua Program Studi begitu gembiranya melihat antusias para panitia, dan para praktisi matematika, para alumni dan sarjanawan matematika dari berbagai instansi beserta partisipasi dari himpunan mahasiswa pendidikan matematika yang ikut ambil bagian dalam mensukseskan acara Seminar Nasional Pendidikan Matematika (Seminar Nasional). Penelitian dan pengembangan yang terkait dengan dunia pendidikan harus terus digalakkan dan dikomunikasikan kepada semua stakeholder. Karenanya, upaya mengundang keynotespeaker, baik dari tingkat internasional dan nasional pun kami tempuh untuk menyemarakkan Seminar Nasional ini. Pada kesempatan ini saya juga menyampaikan ucapan terimakasih kepada; Rektor Unsyiah yang telah memberikan arahan dan berkenan membuka seminar ini; Bapak Dekan FKIP Unsyiah, Bapak Prof. Dr. Ahmad, M.Pd., M.Sc, dan Ibu Dr. Rahmah Johar, M.Pd. sebagai keynotespeaker pada seminar ini. Saya mengucapkan terimakasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada penyelenggara dan seluruh panitia yang terlibat dalam merancang kegiatan tersebut, atas upaya kreatif yang cukup mendasar sehingga pelaksanaannya cukup mengesankan. Demikianlah sambutan saya, mudah-mudahan Seminar Nasional Pendidikan Matematika ini berjalan dengan baik dan lancar serta memberikan pemikiran-pemikaran segar bagi upaya peningkatan mutu pendidikan di Aceh. Wassalammu’alaikum Wr. Wb. Ketua Program Studi Matematika FKIP Unsyiah Ttd Dra. Suryawati, M. Pd.

v


DAFTAR ISI

HAL A. KATA PENGANTAR PEMAKALAH SESI STADIUM GENERAL PEMANFAATAN TEKNOLOGI DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENINGKATKAN PROFESIONALITAS GURU Dr. Rahmah Johar, M.Pd.

1

PEMAKALAH SESI PARALEL PENGGUNAAN ALAT PERAGA PADA PEMBELAJARAN PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL Linda Vitoria

14

PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA SISWA BERDASARKAN PENGALAMAN MENGAJAR GURU SMP NEGERI 15 BANDA ACEH Salasi R, Putri Lestari

24

ANALISIS KEMAMPUAN REPRESENTASI MATEMATIS SISWA KELAS IX SMPN 6 BANDA ACEH DALAM MENYELESAIKAN SOAL KONTES LITERASI MATEMATIKA (KLM) Ellianti, Rahmah Johar, Asmaul Husna

31

THE MATH BODY, UNTUK EFISIENSI DAN EFEKTIFITAS PEMBELAJARAN MATEMATIKA Asmudi

46

PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE PLANTET QUESTION PADA MATERI SEGI EMPAT DI KELAS VII SMP NEGERI 3 BANDA ACEH Tuti Zubaidah, Khairul Umam, Baniar Rideni Putri

vi

59


LEVEL PROBLEM POSING SISWA PADA MATERI BANGUN RUANG DI KELAS VIII SMP NEGERI 8 BANDA ACEH Bintang Zaura

65

HASIL BELAJAR SISWA MELALUI PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN INDEX CARD MATCH PADA MATERI STATISTIKA DI SMP NEGERI 17 BANDA ACEH Leviani, Musafir Kumar

73

PERAN TECHNOLOGY PEDAGOGICAL AND CONTENT KNOWLEDGE (TPACK) GURU MATEMATIKA SMA LABSCHOOL BANDA ACEH Ellianti, Mukhlis Hidayat, Maulana Saputra

81

PENGARUH KEGIATAN LESSON STUDY PADA PENINGKATAN KEMAMPUAN GURU DALAM MENGELOLA PEMBELAJARAN PENJUMLAHAN PECAHAN DI KELAS IV SDN LAMSAYEUN Monawati, Cut Khairunnisak

91

PENERAPAN MODEL DISCOVERY LEARNING UNTUK MENINGKATKAN HASIL BELAJAR DAN AKTIFITAS SISWA PADA MATERI LOGARITMA DI KELAS X-IPS2 MAN 3 BANDA ACEH TAHUN AJARAN 2014-2015. Mutia Fariha, Sri Ekayanti

101

ANALISIS KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL-SOAL PISA DI KELAS VIII SMP NEGERI 6 BANDA ACEH TAHUN AJARAN 2013-2014 Ellianti, Rahmah Johar, Nana Mulya

107

PENINGKATAN HASIL BELAJAR SISWA KELAS VII SMPN 19 PERCONTOHAN MELALUI IMPLEMENTASI MODEL PEMBELAJARAN PROBLEM BASED LEARNING DAN PENDEKATAN SAINTIFIK Bainuddin Yani, Sarah Shalsabilla Amalia

122

vii


IMPLEMENTASI PENDEKATAN ILMIAH BERBASIS MASALAH DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA Sumarno Ismail, Satra Hamzah

131

AL-KHAWARIZMI DAN PERSAMAAN KUADRAT Budiman, Suryawati, Herizal

141

PEMBELAJARAN QUANTUM DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA Yuhasriati

148

PENERAPAN PENDEKATAN SCIENTIFIC PADA MATERI LIMIT DI KELAS X SMAN 3 BANDA ACEH TAHUN AJARAN 2013/2014 Erni Maidiyah, Roza Yefissa

156

ANALISIS KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA KELAS IX SMP NEGERI 1 BANDA ACEH DALAM MENYELESAIKAN SOAL-SOAL PISA PADA KONTEN SPACE AND SHAPE Yusrina, Rahmah Johar

165

PENGGUNAAN PENDEKATAN INKUIRI TERBIMBING UNTUK MENINGKATKAN PEMAHAMAN MATEMATIS SISWA NEGERI 2 SIGLI Zuraida IM

178

PENERAPAN PENDEKATAN MATEMATIKA REALISTIK UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA KELAS XI-B1 SMK-PP NEGERI SAREE Yustina

190

KEMAMPUAN SISWA MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA MELALUI MODEL LEARNING CYCLE “5E” DI KELAS VIII SMP PLUS AL-‘ATHIYAH ACEH BESAR Suhartati

208

viii


KEMAMPUAN LITERASI MATEMATIKA PADA MATERI PERBANDINGAN DENGAN PENERAPAN MODEL KOOPERATIF TIPE THINK-PAIR-SHARE Suryawati, Bainuddin Yani, Lisa Ramadhani

214

PENDEKATAN METAKOGNITIF UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS KEMAMPUAN BERFIKIR KRITIS MAHASISWA PGSD PADA PEMBELAJARAN SOAL CERITA MATEMATIKA: PENGEMBANGAN MODEL PEMBELAJARAN Murni, Roslina

221

ix

Al-Khawarizmi dan Persamaan Kuadrat 1,2,3

Budiman1, Suryawati2, Herizal3 Prodi Pendidikan Matematika, FKIP-Universitas Syiah Kuala e-mail: [email protected]

Abstrak. Salah satu hal yang cukup mempengaruhi perkembangan ilmu matematika di abad pertengahan adalah disebabkan oleh penyebaran islam yang pesat. Banyak kontribusi matematikawan muslim untuk matematika selama masa keemasan (golden age) yaitu sekitar abad ketujuh hingga abad ketiga belas masehi. Satu dari beberapa matematikawan muslim yang cukup mempengaruhi dunia matematika adalah Abu Ja’far Muhammad Ibnu Musa Al-Khawarizmi. Matematikawan muslim yang lahir sekitar tahun 780 Masehi itu memberikan sumbangsih besar bagi dunia matematika. Kitabnya yang berjudul Hisab aljabr w’al-muqabala memuat dasar-dasar penting ilmu aljabar. Dari situlah istilah aljabar pertama kali digunakan. Salah satu topik yang dibahas dalam kitab itu adalah persamaan kuadrat. Makalah yang berjudul “Al-Khawarizmi dan Persamaan Kuadrat” ini bertujuan untuk menjelaskan konsep persamaan kuadrat yang pertama kali dicetuskan oleh AlKhawarizmi itu serta cara menyelesaikannya yang disertai dengan ilustrasi penyelesaian secara geometri. Dalam beberapa sumber disebutkan bahwa Al-Khawarizmi mengemukakan ada tiga tipe persamaan kuadrat yang melibatkan mal (kuadrat), jahdr (akar), serta dirham (bilangan/konstanta) yaitu kuadrat dan akar sama dengan bilangan ( + = ), Kuadrat dan bilangan sama dengan akar ( + = ) serta akar dan bilangan sama dengan kuadrat ( + = ). Al-Khawarizmi juga memberikan cara menyelesaikan ketiga tipe persamaan kuadrat tersebut, dimana setiap tipenya mempunyai cara yang berbeda-beda. Penyelesaian yang diberikan oleh Al-Khawarizmi itulah yang menjadi dasar pengembangan rumus ABC yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat hari ini. Namun, penyelesaian yang diberikan oleh Al-Khawarizmi tidak ada yang bernilai negatif. Sebagai ilustrasi dari setiap langkah penyelesaiannya, AlKhawarizmi memberikan gambaran secara geometris untuk setiap masalah yang dipecahkan. Tidak bisa dipungkiri bahwa persamaan kuadrat merupakan salah satu materi penting dalam matematika. Hal itu dapat dilihat dari seringnya persamaan kuadrat muncul saat menyelesaikan berbagai masalah matematika. Oleh karena itu, ketika melihat persamaan kuadrat dalam menyelesaikan soal-soal matematika sewajarnya pula harus diketahui bahwa ada seorang matematikawan muslim yang turut berperan dalam hal itu, dialah Al-Khawarizmi. Kata kunci: Al-Khawarizmi, kontribusi, aljabar, persamaan, kuadrat 1. Pendahuluan Latar belakang Salah satu hal yang cukup mempengaruhi perkembangan ilmu matematika di abad pertengahan adalah disebabkan oleh penyebaran islam yang sangat pesat. Banyak kontribusi matematikawan muslim untuk matematika selama masa keemasan (golden age) sekitar abad ke tujuh hingga abad ke tiga belas. Pelajar muslim saat itu tidak hanya fokus kepada agama, bisnis, dan pemerintahan melainkan juga pada ilmu lain seperti matematika dan sains. Mereka melakukan riset, mendalami serta memperluas teori-teori tentang sains yang telah ada sejak masa Yunani dan Romawi. Satu dari beberapa matematikawan muslim yang cukup mempengaruhi dunia matematika adalah Muhammad Ibnu Musa Al-Khawarizmi. Pemikirannya dalam bidang aljabar menempatkan dirinya sebagai sebutan “Bapak Aljabar”. Tetapi, Al-Khawarizmi sering terlupakan dalam kebanyakan sejarah matematika dunia dimana hanya berfokus pada matematikawan Yunani maupun Eropa saja. Meskipun

141

demikian, posisinya sebagai salah satu matematikawan terhebat tidak dapat disangkal. Al-Khawarizmi meletakkan dasar-dasar penting dalam bidang aljabar, salah satunya tentang persamaan kuadrat yang sampai hari ini masih digunakan. Dalam kitabnya, Al-khawarizmi mengemukakan beberapa tipe persamaan kuadrat serta cara menyelesaikannya termasuk ilustrasi secara geometris dalam menyelesaikan persamaan kuadrat untuk setiap tipenya. Namun, selama ini saat orang menyebutkan AlKhawarizmi, mereka tahu bahwa Al-Khawarizmi lah yang menciptakan konsep aljabar. Tapi masih banyak yang belum mengetahui bagaimana sebenarnya konsep aljabar (salah satu topiknya tentang persamaan kuadrat) yang pertama kali dicetuskan. Oleh karena itu, dalam makalah ini penulis ingin menjelaskan tentang konsep persamaan kuadrat yang telah dicetuskan oleh Al-Khawarizmi serta cara menyelesaikannya. Rumusan masalah Rumusan masalah dari makalah ini adalah bagaimana sebenarnya konsep persamaan kuadrat yang pertama kali dicetuskan oleh Al-Khawarizmi serta cara menyelesaikannya? Tujuan Adapun tujuan dari makalah ini adalah untuk menjelaskan konsep murni persamaan kuadrat yang pertama kali dicetuskan oleh Al-Khawarizmi serta cara menyelesaikannya yang disertai dengan ilustrasi secara geometri. Manfaat Dari makalah ini diharapkan dapat mengambil beberapa manfaat, yaitu untuk mengenalkan kepada pembaca tentang konsep persamaan kuadrat yang pertama kali dicetuskan oleh Al-Khawarizmi serta cara menyelesaikannya. Manfaat berikutnya adalah untuk memberikan informasi berupa pengetahuan baru kepada pembaca supaya mereka lebih termotivasi untuk terus mendalami matematika. 2. Pembahasan Biografi Al-Khawarizmi Abu Ja’far Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi lahir sekitar tahun 780 Masehi. Meskipun namanya mengindikasikan bahwa keluarganya berasal dari daerah Khwarizm dekat dengan laut Aral, namun banyak sejarawan meyakini bahwa Al-Khawarizmi lahir di Baghdad yang dikemudian hari menjadi Ibukota Irak (Steven, 2006:95). Al-Khawarizmi dan koleganya yang dikenal dengan Banu Musa merupakan pekerja di House of Wisdom (Baitul Hikmah) yaitu sebuah lembaga pendidikan yang meneliti ilmu-ilmu pengetahuan dan terjemahan yang didirikan oleh Khalifah Harun al-Rasyid (Ayah Khalifah Al Ma’mun) di Baghdad. Pekerjaan mereka adalah menerjemahkan manuskrip sains terdahulu. Mereka juga belajar dan menulis tentang aljabar, geometri, dan astronomi. Selama bekerja di bawah Khalifah Al Ma’mun, Alkhawarizmi mendedikasikan dua risalahnya kepada khalifah. Keduanya adalah risalah aljabar dan astronomi. Risalah aljabarnya yang berjudul Hisab al-jabr w’al-muqabala merupakan karya Al-Khawarizmi yang cukup terkenal dan monumental dibandingkan karyanya yang lain. Al-Daffa’ (1977:50) menyatakan bahwa kitab tersebut ditulis sekitar tahun 820 Masehi. Terjemahan dari kitab itu dalam bahasa latin menjadikannya terkenal di eropa. Dari kitab itulah asal mula kata aljabar pertama kali dan dalam sejarahnya, kitab itu menjadi rujukan penting dalam bidang aljabar. Tipe-Tipe Persamaan Kuadrat Menurut Al-Khawarizmi Salah satu topik yang dibahas dalam kitab al-jabr w’al-muqabala adalah tentang persamaan kuadrat. Pada awal-awal pembahasan, Al-Khawarizmi memperkenalkan tiga istilah yaitu mal, jahdr, dan dirham. Kata mal menunjukkan kepada kuadrat (square) yaitu jumlah keseluruhan dari akar yang dikalikan dengan dirinya sendiri, jahdr sebagai akar (root) yaitu pangkat terendah dari sesuatu yang tidak diketahui (unknown quantity), sedangkan dirham sebagai bilangan/konstanta (the number) yaitu sebarang bilangan yang diungkapkan dan tidak mengarah kepada akar atau kuadrat (Rosen, 1831:6).

142

Dengan menggunakan tiga istilah itu, Al-khawarizmi mengemukakan enam tipe persamaan dimana tiga diantaranya masuk kategori persamaan kuadrat lengkap. Ketiga tipe untuk persamaan kuadrat itu adalah kuadrat dan akar sama dengan bilangan, Kuadrat dan bilangan sama dengan akar serta akar dan bilangan sama dengan kuadrat (Rosen, 1831: 7). Perlu diperhatikan bahwa Al-Khawarizmi dalam kitabnya bekerja tidak menggunakan simbol melainkan menjelaskan segala sesuatunya (termasuk angka) dalam bentuk kata-kata. Menurut Steven (2006:97) dan beberapa sumber lainnya, ketiga bentuk persamaan kuadrat di atas, jika ditulis dalam bentuk simbol adalah sebagai berikut. 1. + = 2. + = 3. + = Solusi Alkhawarizmi dalam Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Al-khawarizmi dalam kitabnya yang masyhur itu telah memberikan cara menyelesaikan tiga persamaan kuadrat di atas dimana masing-masing bentuk memiliki caranya tersendiri. Di sini, Al-Khawarizmi tidak memberikan penyelesaian secara umum melainkan langsung menyelesaikan contoh. Cara yang diberikan pun tidak dalam bentuk simbol-simbol tetapi dinarasikan dengan kata-kata dan yang dicari hasilnya bukan saja nilai akarnya (x) namun juga nilai kuadratnya ( ). Berikut ketiga contoh persamaan kuadrat yang mengikuti bentuk di atas disertai dengan penyelesaiannya. Bentuk pertama adalah kuadrat dan akar sama dengan bilangan ( + = ). Untuk bentuk ini AlKhawarizmi memberikan beberapa contoh salah satunya adalah: Satu mal (kuadrat) dan sepuluh jahdr (akar) menghasilkan 39 dirham. Solusi yang diberikan adalah “bagi dua bilangan (koefisien) dari akar akan menghasilkan lima. Kemudian kalikan dengan dirinya sendiri hasilnya 25, lalu tambahkan 39 hasilnya 64. Akarkan bilangan itu menjadi delapan, selanjutnya kurangi dengan nilai setengah dari koefisien akar yaitu lima. Hasil akhirnya adalah tiga. Dengan demikian kuadratnya adalah 9 (Rosen, 1831: 7). Jika narasi dari penyelesaian itu dibuat dalam notasi matematika modern adalah sebagai berikut. Bentuk soal yang dimaksud adalah + 10 = 39, lalu solusinya adalah: =

10 10 + 39 − 2 2

= √64 − 5 = 8 − 5 = 3 sehingga = 9

Bentuk kedua kuadrat dan bilangan sama dengan akar ( + = ). Contoh yang diberikan adalah: Satu mal dan 21 dirham sama dengan sepuluh jahdr. Penyelesaiannya adalah “bagi dua bilangan dari jahdr yaitu sepuluh bagi dua sama dengan lima kemudian kalikan dengan dirinya sendiri hasilnya 25. Lalu kurangi dengan 21 dilanjutkan dengan mengakarkannya sehingga menghasilkan dua. Kemudian kurangi nilai setengah dari koefisien jahdr dengan dua, hasilnya tiga atau ditambahkan akan menghasilkan tujuh (Rosen, 1831:11). Dalam bentuk simbol matematika soal dan penyelesaiannya dapat ditulis sebagai berikut. Bentuk soalnya adalah + 21 = 10, kemudian penyelesaiannya adalah: =

10 10 ± − 21 2 2

= 5 ± √25 − 21

143

= 5±2

Persamaan di atas akan menghasilkan x=3 atau x=7, sehingga = 9 atau 49 Ada catatan yang diberikan yaitu jika dalam bentuk kedua ini,

< , kasus nya tidak terjadi. Jika

= , maka =

. Bentuk ketiga akar dan bilangan sama dengan kuadrat ( + = ). Contoh soal yang diberikan adalah: Tiga jahdr dan empat dirham sama dengan satu mal. Solusinya adalah “bagi dua koefsien jahdr, kalikan dengan dirinya sendiri hasilnya dua seperempat. Tambahkan dengan empat menghasilkan enam seperempat, lalu akarkan hasilnya dua setengah. Terakhir, tambahkan dengan nilai setengah dari koefisien jahdr hasilnya empat. (Rosen, 1831:18). Dalam bentuk simbol matematika, soal dan solusinya dapat ditulis sebagai berikut. Bentuk soalnya adalah 3 + 4 = atau = 3 + 4, solusinya adalah:

3 3 = + 4 + 2 2 = "2 + 4 + # $

= "6 + # $

%

%

=2 + = 4, sehingga = 16 #

%

Di akhir penjelasannya, Al-Khawarizmi mengatakan bahwa kapan saja jika berhadapan dengan koefisien dari mal (kuadrat) bukan satu, terlebih dahulu disederhanakan menjadi satu. Bentuk Umum Penyelesaian Persamaan Kuadrat Al-Khawarizmi dalam kitabnya tidak menyebutkan secara umum cara menyelesaikan berbagai tipe persamaan kuadrat yang diberikan melainkan Al-Khawarizmi hanya menjelaskan solusinya melalui contoh-contoh. Jika melihat penyelesaian di atas, kita dapat membuat suatu pola untuk penyelesaian soal dengan angka yang berbeda. Pola-pola tersebut adalah sebagai berikut. Bentuk pertama adalah + = . Jika penyelesaiannya dibuat secara umum, maka solusi untuk bentuk pertama ini adalah: b b = + − 2 2

Bentuk kedua adalah + = . Jika penyelesaiannya dibuat secara umum, maka solusi untuk bentuk ini adalah: =

± − 2 2

Bentuk ketiga adalah + = atau dapat ditulis = + . Jika penyelesaiannya dibuat secara umum, maka solusi untuk bentuk ini adalah:

144

= 2 2 Ilustrasi Geometri Penyelesaian Persamaan Kuadrat Ketiga tipe penyelesaian persamaan kuadrat yang telah dijelaskan sebelumnya terlihat bahwa membagi dua koefisien dari x (akar) adalah diperlukan ditambah satu hal lagi yang sedikit berbeda dengan penyelesaian persamaan kuadrat saat ini yaitu solusi yang diberikan Al-Khawarizmi tidak dalam bentuk bilangan negatif. Untuk menguatkan alasannya itu, Al-Khawarizmi menyajikan ilustrasi secara geometri untuk setiap penyelesaiannya. Bentuk pertama, 10 39

Gambar 1. Ilustrasi penyelesaian '( )*' +, Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa persegi menunjukkan '( , lalu dikonstruksikan empat persegi

panjang di setiap sisinya dengan luas masing-masing ', sehingga total luas adalah '( . ' ( ( '( )*'. Selanjutnya tambahkan empat persegi kecil di setiap sisi bangun. Karena '( )*' +,, maka luas total persegi besar adalah 39+25=64. Dengan demikian panjang sisinya adalah 8. Karena ( ( /, maka ' + dan '( ,. -

-

Bentuk kedua, 21 10

Gambar 2. Ilustrasi penyelesaian 21 10

Gambar pertama merupakan representasi untuk soal yaitu persegi ABDC sebagai dan HNBA representasi konstanta yang bernilai 21. Total keseluruhan luasnya adalah 10. Lalu bagi dua bangun

145

tersebut kemudian konstruksikan bangun HNTG menjadi sebuah persegi yaitu MNTK yang luasnya 25. Perhatikan bahwa bangun MHRL + HNTG = HNBA mempunyai luasn 21. Dengan demikian luas persegi LRGK adalah 25-21=4 dan diperoleh panjang sisinya 2. Dari situ nilai x dapat diperoleh yaitu x+2=5, x=3 dan = 9. Bentuk ketiga, 3 4

Gambar 3. Ilustrasi penyelesaian 3 4

Penjelasan dari gambar di atas adalah pertama buat sebuah persegi dengan panjang sisi x sehingga luasnya merepresentasikan bentuk . Lalu bagilah persegi itu menjadi 2 bagian masing-masing luasnya 3x dan 4. Dengan demikian bangun tersebut telah merepresentasikan bentuk soal yang akan dicari penyelesaiannya. Lalu sisi yang panjangnya 3 dibagi 2 dan dibuat sebuah persegi yang panjang sisinya 3/2 (KTGH). Buatlah bangun baru yaitu NLTK dimana LT=AH. Jika garis LN diteruskan hingga sisi atas (Titik M), maka akan terbentuk bangun baru yaitu BRNM yang luasnya sama dengan NLTK. Selanjutnya perhatikan persegi panjang BRHA yang luasnya 4 dan panjang RN=KH=3/2. Panjang RH adalah 3/2 + NK + 3/2 = 3 + NK, dimana NK=AH. Karena luas BRHA = 4 maka diperoleh panjang NK=AH= 1. Dengan demikian panjang sisi persegi utama (BDCA) adalah x = 3 + 1 = 4, sehingga 16. Dari tiga kasus di atas, Al-Khawarizmi mengkonstruksi sebuah representasi geometri dari masalah yang hendak diselesaikan kemudian memprosesnya dengan melengkapkan sebuah persegi (melengkapkan kuadrat), hal itu akan membawa kita kepada hasil yang dicari. Sebelumnya juga telah disebutkan bahwa jawaban dari alkhawarizmi tidak ada yang berbentuk bilangan negatif, hal ini sejalan dengan apa yang telah dijelaskan oleh Al-Khawarizmi melalui bangun-bangun yang dibuat dimana tidak mungkin ada sisi yang memiliki panjang berupa bilangan negatif. 3. Kesimpulan Ide pertama persamaan kuadrat dicetuskan oleh seorang matematikawan muslim yang bernama AlKhawarizmi. Al-Khawarizmi mengemukakan ada tiga tipe persamaan kuadrat yang melibatkan mal (kuadrat), jahdr (akar), serta dirham (bilangan/konstanta) yaitu kuadrat dan akar sama dengan bilangan ( ), Kuadrat dan bilangan sama dengan akar ( ) serta akar dan bilangan sama dengan kuadrat ( ). Setiap tipenya diberikan satu contoh kemudian diselesaikan, dimana penyelesaian itulah yang mengilhami munculnya rumus abc hari ini. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa Al-Khawarizmi merupakan salah satu matematikawan hebat yang ada dalam sejarah perkembangan matematika.

146

Daftar Pustaka Al-Daffa’, Ali Abdullah. (1977). The Muslim contribution to Mathematics, Atlantic Highlands: Humanities press. Baki, Adnan. (1992). Al-Khwarizmi’s contributions to the science of mathematics: Kitab Al-jabr wa’l muqabalah. Journal of Islamic Academy of Sciences, 5:3, Tahun 1992. 225-228 Boyer, Carl. (2011). A History of Mathematics, New Jersey: John Willey and Sons. Katz, Victor J. (2009). A History of Mathematics: An Introduction (3rd edition), New York: Addison Wesley (Pearson Education Inc). Krantz, Steven G. (2006). An Episodic History of Mathematics, St. .Louis Mohamed, Mohaini. (2000). Great Muslim Mathematicians, Malaysia: University Teknologi Malaysia. Oaks, Jeffrey. (2007). Medieval Arabic Algebra as an Artificial Language. Journal in Springer.com. Rosen, Frederic. (1831). The Algebra of Mohammed Ben Musa (Translation of Al-Jabr Wal Muqabala book), London: J.L.Cox.

147

PROSIDING SEMINAR NASIONAL

Recommend Documents