PROBLÉMY MODELOVÁNÍ VLIVU SVISLÝCH NEROVNOSTÍ TRATI DO DYNAMIKY POHONU DVOJKOLÍ

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015

PROBLÉMY MODELOVÁNÍ VLIVU SVISLÝCH NEROVNOSTÍ TRATI DO DYNAMIKY POHONU DVOJKOLÍ Abstrakt. Článek se zabývá problematikou matematického modelování torzního kmitání a dílčích pohybů hnacích dvojkolí při jízdě po trati, opatřené svislými nerovnostmi kolejnic. V modelu hnacího dvojkolí jsou uvažovány křivkové profily jízdní plochy kol. Pohon dvojkolí je buzen jednak nerovnostmi koleje, ale též proměnlivým hnacím momentem trakčního motoru. Článek poukazuje na rozdíly v teoretické definici poměrných skluzů a skluzových sil modelu individuálního částečně odpruženého pohonu a modelu zcela odpruženého pohonu. Definuje pohybové rovnice a torzní dynamiku hnacího dvojkolí obou typů pohonu a výpočet dynamických kolových sil. Kľúčové slová: modely pohonu dvojkolí, torzní kmity, svislé nerovností, křivkový profil jízdní plochy kol, poměrné skluzy, proměnlivý hnací moment

THE PROBLEMS OF MODELING THE INFLUENCE OF VERTICAL INEQUALITIES OF TRACK IN TO DYNAMICS OF DRIVE WHEELSET Abstract. The article deals with mathematical modeling of torsional vibration and sub-movements of driving wheelset while driving on the railway with vertical inequalities. In the model of the driving wheelset are contemplated curved profiles of wheels tread. Drive wheelset is kinematic waking vertical inequalities of railway track, but also changeability of drive torque of the induction traction motor. The article points out the differences in the theoretical definition of relative slips and slip forces in model of individual, partially sprung drive of wheelset and in model fully spring loaded drive of wheelset. It defines equations of move and torsional dynamics of drive wheelset both type of drive and also it defines dynamics wheel forces. Keywords: a models of drive wheelset, torsional vibrations, the vertical inequalities of rails, curvilinear profile of tread wheels, the relative sliding, variable drive torque

Josef Kolář U 12 120 - Ústav automobilů, spalovacích motorů a kolejových vozidel, Fakulta strojní, ČVUT v Praze, Technická 4, 166 07 Praha 6 - Dejvice , tel.: (+420) 224 352 493,e-mail: [email protected], Úvod Individuální pohon s příčnou osou trakčního motoru je nejpočetnější používanou variantou pohonu dvojkolí u moderních kolejových vozidel a je nejčastěji řešen v těchto konstrukčních variantách: • zcela odpružený pohon s převodovkou - trakční motor vytváří s převodovkou (dvou-, tří- čtyřkolové) integrovaný pohonný blok, který je zakotven do rámu podvozku. Hnací moment je z duté výstupní hřídele převodovky přenášen na dvojkolí pomocí duté kloubové hřídele obepínající nápravu. Tato kloubová hřídel je na obou svých koncích opatřena pružnými spojkami (víceojničkové spojky nebo sférické zubové spojky). Z této duté kloubové hřídele je hnací moment přenášen na disk kola, kde dochází k jeho přerozdělení na pravé a levé kolo dvojkolí. U takto dynamicky výhodnějšího, ale konstrukčně složitějšího a dražšího pohonu, se nachází těžiště integrovaného zcela odpruženého pohonného bloku, tj. soustrojí trakční motor + převodovka, mimo podélnou osu podvozku, ale samotné hnací dvojkolí se při vlnivém pohybu natáčí kolem vlastního těžiště, které leží v ose rotace dvojkolí a tím dochází k rovnoměrnějšímu rozdělení

•

•

poměrných skluzů a skluzových sil, jak je doloženo v tomto příspěvku. přímý zcela odpružený pohon dvojkolí (CLW) nebo volně otočných kol, které jsou uloženy na portálové nápravě (dvojkolí IRW), představuje při použití synchronního motoru (PMSM) s dutou kotvou motoru, kterou prochází hnací hřídel opatřený dvojicí pružných spojek, konstrukčně nejjednodušší řešení pohonu. I u tohoto konstrukčního řešení opět dochází k rovnoměrnějšímu rozdělení poměrných skluzů a skluzových sil, neboť při vlnivém pohybu dvojkolí (klasické CLW nebo s volně otočnými koly IRW) se dvojkolí otáčí kolem těžiště, které leží v ose rotace dvojkolí. Takto koncipovaný pohon nachází uplatnění u nízkopodlažních tramvajových vozidel, např. Škoda 15T – For City. částečně odpružený pohon je konstrukčně tvořen zcela odpruženým asynchronním (AM) nebo synchronním (PMSM) trakčním motorem, ukotveným na rámu podvozku. Hnací moment motoru je přenášen přes pružnou kloubovou hřídel na pastorek nápravové převodovky (dvou-, tří- nebo čtyřkolové), která je výstupním ozubeným kolem uložena na dvojkolí a přes závěsku (svislou, šikmou či vodorovnou) je pružně ukotvena na rám podvozku. Soustrojí dvojkolí + 38

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015 nápravová převodovka nemá těžiště ve středové rovině dvojkolí, neboť převodovka je zpravidla na dvojkolí umístěna excentricky. Tuto skutečnost je nutné respektovat při definování poměrných skluzů a skluzových sil, působících na jednotlivých kolech dvojkolí. Pohon dvojkolí je v provozu buzen ze dvou dílčích zdrojů, prvním zdrojem buzení je zvlněný průběh hnacího momentu MM = f(t), způsobený použitím polovodičové pulzní modulace asynchronního či synchronního trakčního motoru. Druhým zdrojem jsou svislé nerovnosti pojížděných kolejnic hL = f(t, x), hP = f(t, x). Tato dílčí buzení (silové MM a kinematické hL, hP) výrazně ovlivňují výsledné adhezní vlastnosti a dynamiku pohonu dvojkolí, jsou zdrojem vibrací a hluku, mají výrazný vliv na jízdní komfort vozidla. 2. Definice poměrných skluzů a skluzových sil Zatímco u zcela odpruženého pohonu lze uvažovat, že těžiště hnacího dvojkolí leží v průsečíku osy rotace a osy geometrické symetrie dvojkolí, u částečně odpruženého pohonu tomu tak není a při definování poměrných skluzů, působících na jednotlivých kolech hnacího dvojkolí, je nutné počítat s tím, že těžiště hnacího dvojkolí neleží v průsečíku osy rotace nápravy a podélné osy soustrojí dvojkolí + nápravová převodovka, ale je posunuto za osu hnacího dvojkolí, viz obr. 1.

Obr. 1. Dílčí rychlosti a poloha těžiště soustrojí hnací dvojkolí + nápravová převodovka

V důsledku excentricity těžiště soustrojí dvojkolí + nápravová převodovka, dále jen soustrojí, je vzdálenost styčných kružnic pravého a levého kola od těžiště soustrojí rozdílná. Tyto rozdílné vzdálenosti se projeví v definici poměrných skluzů jednotlivých kol dvojkolí. Nachází-li se hnací dvojkolí v obecné poloze v koleji, lze skluzové poměry, působící na jednotlivých kolech dvojkolí, zobrazit obr. 1. Z něho je patrné, že pohybuje-li se při jízdě v oblouku základní vztažný souřadný systém, vztažený do průsečíku podélné osy koleje a roviny temene koleje, konstantní unášivou posuvnou rychlostí v [m/s], potom unášivá úhlová rychlost 0 kolem středu směrového oblouku je dána vztahem 0 =v/R0 [rad/s], kde R0 [m] je

poloměr projížděného směrového oblouku. Obvodová rychlost pohybu těžiště hnacího dvojkolí je dána vztahem v= 0.(R0+eHDvy) [m/s], kde eHDvy [m] je excentricita těžiště hnacího dvojkolí. Unášivé posuvné rychlosti odpovídá počáteční úhlová rychlost odvalování dvojkolí HDv = vHDv/rK(0) [rad/s], kde rK(0) [m] je poloměr kola při nulové příčné výchylce a při nulovém natočení dvojkolí kolem svislé osy, tj. pro yHDv = 0 mm a HDvz = 0 rad. Vedle unášivého rotačního pohybu, který definuje úhlová rychlostí 0, dochází při odvalování hnacího dvojkolí k příčnému vlnivému pohybu yHDv, který je charakterizován příčnou výchylkou yHDv [m] a úhlem vrtění HDvz [rad], tj. úhlem natočení hnacího dvojkolí kolem svislé osy z, která prochází těžištěm soustrojí. Velikost elementárních posuvů dotykových bodů na pravém dSP a levém kole dSL hnacího dvojkolí, vzniklých „vrtěním“ hnacího dvojkolí, lze definovat vztahem 2 d SP , SL  q P , L .d HDvz  s P2 , L  e HDvx .d HDvz

d SP , SL  ( s  e HDvy )

2

2  e HDvx

.d HDvz

(1)

kde qP,L je vzdálenost dotykového bodu pravého a levého kola od těžiště soustrojí hnacího dvojkolí. Výsledné příčné posuvy dotykových bodů dvojkolí s obecným křivkovým profilem jízdní plochy kol jsou dány nejen součtem příčného posunu hnacího dvojkolí yHDv a průmětem elementárních posuvů dS.sin(HDvz), ale souvisí i s úhlovým natočením kolem podélné osy HDvx [rad] a případným relativním posunem těžiště hnacího dvojkolí ve svislém směru zHDv [m]. Vlivem použití křivkových profilů dochází při vlnivém pohybu dvojkolí k rozdílné změně valících poloměrů rP = rK + P.yPK a rL = rK + L.yLK na pravém a levém kole dvojkolí, neboť P L. Dále dochází ke změně vzdálenosti dotykových bodů kol s kolejnicemi od středové osy koleje sL = s – eHDvy – yHDv a sP = s + eHDvy + yHDv. Tyto změny způsobí rozdílné rozložení poměrných skluzů a tedy rozdílnou velikost podélných skluzových sil TPx, TLx a tím nerovnoměrné rozdělení hnacího momentu na jednotlivých kolech dvojkolí. To způsobí i nerovnoměrnost v úhlové rychlosti valení dvojkolí Dv [rad/s] a při respektování torzní tuhosti nápravy kDv vznik torzních kmitů. Pružně vedená dvojkolí v důsledku kolísání úhlové rychlosti odvalování dvojkolí vykazují i relativní podélné posuvné kmity dvojkolí xHDv [m]. Úhlovou rychlost odvalování dvojkolí si vyjádříme vztahem  = (L + P)/2 = 0 + HDv = v/rK(0) + HDv. Za předpokladu, že úhel vrcení hnacího dvojkolí HDvz je v rozsahu  30, lze nahradit funkce sin HDvz = HDvz a cos HDvz = 1. Pro hnací dvojkolí s křivkovým profilem jízdní plochy kola, poháněné nápravovou převodovkou, viz obr.1, lze při zanedbání veličin 2. řádu velikost poměrných podélných skluzů (xL [-], xP [-]), příčných skluzů (xL [], xP [-]) a velikost spinu (sL [rad/m], sP [rad/m]), působících na levém a pravém kole dvojkolí, definovat vztahy:

39

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015

 xL, xP   yL, yP 

w Lx , Px v w Ly , Py



v L, P  v 0 L,0 P . cos  HDv z v  v 0 L,0 P . sin  HDv z

   L, P . v v  nL , nP  nL , nP  sL, sP    v v Po dosazení příslušných rychlostí obdržíme:  xL, xP 

TPx , Lx  c11 P , L . ( a P , L .bP , L ) . G . X P , L  C1 P , L . X P , L y LK , PK

TPy, Ly  c 22 P , L . ( a P , L .bP , L ) . G . yP , L (2)

 c 32 P , L . ( a P , L .bP , L ) 3 . G . SP , L

v

TPy, Ly  C 2 P , L . yP , L  C 3 P , L . SP , L M sP , L   c 32 P , L . ( a P , L .bP , L ) 3 . G . yP , L

  L, P 1  . LK , PK    . y  rK ( 0 ) R0  HDv v  

rK ( 0 )

 c 33 P , L . ( a P , L .bP , L ) 2 . G . SP , L M sP , L   C 3 P , L . yP , L  C 4 P , L . SP , L

2 ( s  e HDvy  y HDv ) 2  e HDvx x s  HDv  . HDvz  v v R0  L, P y LK , PK  s   yL, yP    1  . HDv z  .  L, P   kL, kP v  R0   1  LK , PK  cos  L, P cos  L, P . sin L, P   sL, sP       DvZ  rK ( 0 )  v  R0 v 

(5)

(3) kde L, P jsou okamžité poloměry oskulačních kružnic jízdního profilu levého a pravého kola a kL, kP jsou v dotykových bodech okamžité poloměry oskulačních kružnic hlav levé a pravé kolejnice. Pro dvojkolí, poháněné dutou kloubovou hřídelí obepínající nápravu, lze, při zanedbání veličin 2. řádu, velikost podélných (xL [-], xP [-]), příčných poměrných skluzů (xL [-], xP [-]) a spinu(sL [rad/m], sP [rad/m]), působících na levém a pravém kole dvojkolí, definovat vztahy:   L, P 1  x   . y  Dv  rK ( 0 ) R0  Dv 0 v    L, P  s     1  . Dv z  .  L, P   kL, kP  R0 

 xL, xP   yL, yP

 LK , PK

 1  LK , PK  sL, sP      rK ( 0 ) v 

s s  . Dvz  v R0 y Dv v

Obr. 2 Trakční charakteristika vozidla a skluzová charakteristika dvojkolí

V nelineární části skluzové charakteristiky, tj. v oblasti nižších rychlostí při přenosu maximální tažné síly při rozjezdu vozidla, lze použít vztahy:

(4)

TLx , Px

 cos  L, P cos  L, P . sin L, P    DvZ  R0 v 

Z porovnání linearizovaných vztahů (3) a (4) zjišťujeme, že rozdíly jsou pouze v definici podélných skluzů xL a xP . Vztahy (3) lze označit jako obecnější definici, neboť pro eHDvx = 0 a eHDvy = 0 korespondují se vztahy (4). Podélné skluzové síly TPx, TLx, příčné skluzové síly TPy a TLy a „vrtné“ spinové momenty MSP a MSL, působící na pravém a levém kole hnacího dvojkolí, lze, za předpokladu vzniku eliptických kontaktních ploch SL = .aL .bL, SP = .aP .bP , jejíž kontaktní poloosy jsou aL, bL a aP, bP , definovat s využitím Kalkerovy teorie (platí pro lineární část skluzové charakteristiky, tj. pro oblast jízdy vyššími rychlostmi) vztahy:

a1 L, P .  x L , P    1 b1 L, P .  y L , P   sign ( X L, P ). f j . N L, P . 1  e   

      (6)

TLy , Py

c1 L, P .  y L , P    1  d1 L , P .  X L , P   sign ( yL, P ). f . N L, P . 1  e   

     

kde součinitelé exponenciálních funkcí jsou definovány vztahy

a1 P , L 

c1 P , L 

c11P , L . (a P , L .bP , L ) . G f . N L, P c 22P , L . ( aP , L .bP , L ) . G f . N L, P

, b1 P , L  0,815.a1 P , L

, d1 P , L  0,815.c1 P , L

kde f je součinitel statického (Coulombova) tření a NL, NP jsou normálové síly, působící v kontaktu kol s kolejnicemi a jejich velikost je závislá na okamžité poloze dvojkolí v koleji. 40

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015 3. Modely individuálního pohonu dvojkolí V následující části článku si provedeme vzájemné porovnání modelu plně odpruženého individuálního pohonu dvojkolí a modelu částečně odpruženého individuálního pohonu dvojkolí, realizovaného jednostupňovou nápravovou převodovkou s pružnou šikmou závěskou. Pro zjednodušení řešení u obou modelů zanedbáme vliv torzní tuhosti ozubení. Problematiku modelování vlivu v úvodní části uvedených způsobů buzení zhodnotíme na modelu předního dvojkolí, které je pružně vedené v dvounápravovém podvozku. 3.1. Model plně odpruženého pohonu dvojkolí Budeme-li uvažovat, že hnací moment M2 a otáčky n2 mají na výstupu z převodovky konstantní průběh, potom moment MDKH a otáčky duté kloubové hřídele nDKH, obepínající nápravu, vykazují harmonické zvlnění, které vzniká v důsledku přenosu M2 a n2 přes první (vstupní) víceojničkovou spojku, umožňující vzájemné pootočení osy trakčního motoru a osy duté hřídele o prostorový úhel I. Toto zvlnění je ale u dynamicky vyvážené duté hřídele následně vykompenzováno použitím druhé (výstupní) víceojničkové spojky, která umožňuje vzájemné pootočení osy duté hřídele a osy nápravy o prostorový úhel II. Lze tedy konstatovat, že použitím dvojice pružných víceojničkových spojek na vstupu a výstupu z duté hřídele, je dosaženo její zapojení do Z tvaru, tj. při jejím dynamickém vyvážení pro úhly naklopení ojničkových kloubů platí II = - I a převod pohonu s dutou kloubovou hřídelí je kinematicky přesný, viz obr. 3.

M 2  T .r2  J 2 .2  ( M M  J M 1 .1 )r2 / r1  J 2 .2 . Po vyjádření kinematického převodu čelní převodovky ic = r2/r1 a kinematické podmínky 1 = iC .2 = iC .iDKH.PK, lze moment M2 definovat vztahem M 2  M M .iC  ( J M 1 .iC2  J 2 ).2 .

Z momentové rovnováhy duté kloubové hřídele lze vyjádřit velikost hnacího momentu dvojkolí

M Dv  M 2  J DH . DKH M Dv  M M .iC  ( J M 1 .iC2  J 2 ).PK  J DH . DKH .

Vyjádříme-li průběh zvlněného hnacího momentu motoru ve tvaru MM = M0 + MM. sin(B1.t) a budeme-li uvažovat, že při odvalování hnacího dvojkolí po reálné koleji, která je opatřena svislými hL = HL0.sin(B2.t +L ), hP = HP0.sin(B2.t ) a příčnými hLy a hPy nerovnostmi, nedochází ke ztrátě kontaktu jízdních ploch kol s hlavami kolejnic, tj. odlehčení kol hnacího dvojkolí splňuje podmínku Q < Q0, potom svislý pohyb dvojkolí zDv a jeho natočení kolem svislé osy Dvx je u pohonu dutou kloubovou hřídelí kinematicky závislé na příčném pohybu těžiště soustrojí hnacího dvojkolí yDv. Podélné kmitavé pohyby xDv, vrcení Dvz a torzní dynamiku plně odpruženého pohonu, viz obr. 3 a 4, lze při zanedbání vlivu ohybové tuhosti ozubení a torzní tuhosti kloubové duté hřídele pro jízdu v oblouku definovat soustavou pohybových rovnic:

m Dv . x Dv  TxL  TxP  (Q L  Q P ).oVal  B1Px  B1Lx   m Dv .a x m Dv . yDv  T yL . cos  L  T yP . cos  P  Q L .tg L  Q P .tg P  B1Py  B1Ly  O Dv  0 J Dvz .HDvz  M Gx  M SP . cos  P  M SL . cos  L  B1Lx .w1L  B1Px .w1 P  (TxP  Q P .oVal ).s P  (TxL  Q L .oVal ).s L  0 ( J PK  J 2  J M 1 .iC2 ).PK  J DH . DKH  M SP . sin  P  kDv .( LK   PK )  (TxP  Q P .oVal ).rKP  M M .iC J LK .LK  M SL . sin  L  kDv .( LK   PK )

 DKH  i DKH 

 2 . cos  I 1  sin2 ( 2 .t ). sin2  I

2  2   II 2 1 I . cos 2 DH  PK 2

i DKH  1 

 I 2  (  I 2 ) 2

. cos 2 DH .t  1

 (TxL  Q L .oVal ).rKL  0 (7) kde mDv vyjadřuje hmotnost poháněného dvojkolí, JDvz , JM1, J2, JDH, JPK, JLK vyjadřují momenty setrvačnosti dvojkolí, kotvy motoru s pastorkem, velkého ozubeného kola čelního soukolí převodovky, duté hřídele, pravé a levé části dvojkolí.

Obr. 3 Schéma zcela odpruženého pohonu dvojkolí

Z momentové rovnováhy pastorku lze vyjádřit sílu ozubení T  ( M M  J M 1 .1 ) / r1 . Z momentové rovnováhy velkého ozubeného kola lze vyjádřit moment M2 = f(MM) vztahem 41

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015 QL 

J Dvx .Dvx 2s  tg L .( rL  rP )

 m Dvz .s P    P   . L  2  2s  tg L .( rL  rP )      . y HDv m Dvy .rP    2s  tg .( r  r )  L L P   J Dvy     Dvz   .( LK   PK )   . 0  2  2s  tg L .( rL  rP )  O Dv1 .rP G Dv .s P   2s  tg L .( rL1  rP 1 ) 2s  tg L .( rL  rP ) 

Obr. 4 Silové účinky působící na hnací dvojkolí u zcela odpruženého pohonu dvojkolí

 

Konstanta kDv vyjadřuje torzní tuhost nápravy. QL , QP jsou dynamické kolové síly působící na levém a pravém kole hnacího dvojkolí a oVal je měrný odpor valení hnacího dvojkolí a sp, sL jsou vzdálenosti dotykových bodů od těžiště dvojkolí. B1Lx, B1Px , B1Ly, B1Py, B1L, B1P jsou podélné, příčné a svislé síly, působící na levé a pravé straně primárního vypružení dvojkolí. Jejich velikost lze definovat součinem tuhosti vypružení (kx, ky, kz) a relativní deformace vypružení v příslušném směru (x, y, z). ODV je odstředivá síla hnaného dvojkolí. TxL ,TxP, TyL ,TyP jsou podélné a příčné skluzové síly, které působí v dotykových plochách kol a kolejnic. MSL a MSP jsou vrtné „spinové“ momenty, které působí na levém a pravém kole hnacího dvojkolí. MGx, MGR a MGZ jsou gyroskopické momenty soustrojí hnacího dvojkolí. MM = f(t) vyjadřuje hnací moment trakčního motoru a jeho velikost je úměrná rychlosti vozidla v a požadovanému posuvnému zrychlení vozidla ax při dané rychlosti jízdy vozidla. Za předpokladu, že těžiště poháněného dvojkolí leží v ose symetrie dvojkolí, je jeho svislý pohyb, způsobený vlnivým pohybem dvojkolí yDv a jízdou po kolejnicích, opatřených svislými nerovnostmi hL a hP, definován vztahem z Dv 

( L   P ) h  hP . y Dv  L 2 2

(8)

Kde L = f(yDv) a P = f(yDv) jsou okamžité kuželovitosti levého a pravého kola v dotykových bodech kol s kolejnicemi. Okamžitou hodnotu kolové síly QL, působící na levém kole dvojkolí, lze vyjádřit z momentové rovnice poháněného dvojkolí k dotykovému bodu pravého kola. Definujeme-li vodící sílu na levém kole hnacího dvojkolí vztahem YL = TyL . cos L + QL . tg L, viz obr. 4, obdržíme

(9)

B1 L .( w1  s p ) B1 P .( w1  s P )  2s  tg L .( rL  rP ) 2s  tg L .( rL  rP ) ( B1 Ly  B1 Py ).rP 2s  tg L .( rL  rP )

 T yL .

cos  L .( rL  rP ) 2s  tg L .( rL  rP )

m Dvz . B2 1 sP . .hL  hP  2 2s  tg L .( rL  rP )

Okamžitá velikost kolové síly QP na pravém kole je dána vztahem: J Dvx QP   .Dvx 2s  tg L .( rL  rP )     L  P sP  m Dvz . 1  .  2 s  tg  .(  r   r ) 2  L L P    m Dvy .rP   2s  tg .( r  r ) L L P 

      . y Dv   

J Dvy     Dvz  .( LK   PK )   . 0  2  2s  tg L .( rL  rP )    O Dv .rP sP    G Dv . 1  2s  tg L .( rL  rP ) 2s  tg L .( rL  rP )     ( w1  s P )   B1 P .  1  2 s  tg  .(  r   r ) L L P   ( w1  s p )     B1 L .  1   2 s  tg  .(  r   r ) L L P   ( B1 Ly  B1 Py ).rP  cos  L .( rL  rP )     T yL . 2s  tg L .( rL  rP )  2s  tg L .( rL  rP )  

m Dvz . B2 2 2

  sP .hL  hP  . 1  2 s  tg  .(  r   r ) L L P  

(10) Dosazením kolových sil QL a QP, definovaných vztahy (9) a (10), do soustavy rovnic (7) získáme informaci, jak svislé nerovnosti kolejnic ovlivňují dynamiku pohybu a torzní soustavu poháněného dvojkolí. Druhým dílčím zdrojem informace o vlivu nerovností kolejnic hL a hP na dynamiku pohybu poháněného dvojkolí je okamžitá velikost skluzových sil TxL, TxP a TyL, TyP, které lze přenést v kontaktních plochách. Tyto dílčí skluzové síly jsou též ovlivněny okamžitou hodnotou 42

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015 normálových sil NL a NP, působících v dotykových plochách. Z uvedených pohybových rovnic (7) vyplývá, že vliv svislých nerovností hL a hP se u tohoto pohonu projevuje přes okamžité hodnoty kolových sil QL a QP, které ovlivňují kontaktní poměry v dotykových bodech kol a kolejnic, vratnou gravitační sílu hnacího dvojkolí FQ = QL. tgL - QP. tgP a odpor valení (QL+ QP).oval. Z rovnic (7) vyplývá, že proměnlivý zvlněný hnací moment trakčního motoru MM vyvolá i proměnlivý průběh hnacího momentu dvojkolí MDv, ale jeho následné rozdělení na jednotlivá kola dvojkolí je závislé na okamžitých hodnotách kolových QL a QP sil, které ovlivňují rozdělení podélných skluzových sil TxL, TxP na jednotlivých kolech. 2.1 Model částečně odpruženého pohonu dvojkolí Nedochází-li při odvalování hnacího dvojkolí (soustrojí dvojkolí + nápravová převodovka) po reálné koleji, která je opatřena svislými nerovnostmi hL, hP a příčnými hL1y, hP1y nerovnostmi, ke ztrátě kontaktu jízdních ploch kol s kolejnicemi, potom svislý pohyb těžiště soustrojí (dvojkolí + nápravová převodovka) zHDv a jeho natočení HDvx je kinematicky závislé na příčném pohybu těžiště soustrojí hnacího dvojkolí yHDv.

úhel pootočení pastorku čelního soukolí 1 součtem dvou dílčích úhlů 1M (od buzení motoru) a 1h (od buzení svislými nerovnostmi), potom pro výsledný úhel pootočení pastorku platí kinematická podmínka      r  1  ( 1 M   1h )  ( 2 M   2h ) 2 r1      (11)  1  (1  iC ). ( M   h )  ( 2 M   2h ).iC        2 M .iC    2h .iC   1m  1 M  1h  1h (1  iC ) (1  iC ) Dynamickou sílu S1, působící v šikmé závěsce, lze 2 .( 1m   1h ) . Z rovnice vyjádřit vztahem S1  k Z .n xz momentové rovnováhy skříně převodovky, tj. z rovnice kývání skříně převodovky, lze vyjádřit výslednou tečnou sílu v čelním ozubení

T  T12 

2 S1 .nxz  ( J Př  mPř . x Př ).(1m  1h )   T21 ( r1  r2 )

Po dosazení obdržíme: 2 * k Z .nxz .( 1m  1h )  J Př .(1m 1h ) T ( r1  r2 )

(12)

Obr. 5 Silové účinky působící na soustrojí hnací dvojkolí + nápravová převodovka, tj. u částečně odpruženého pohonu dvojkolí

U částečně odpruženého pohonu dvojkolí, řešeného s nápravovou převodovkou se šikmou pružnou závěskou, dochází, při působení proměnlivého momentu trakčního motoru MM = M0 + MM.sin(B1.t), ke kývání převodovky o úhel 1m . Odvalování hnacího dvojkolí po koleji, vykazující svislé nerovnosti kolejnic hL=HL0.sin(B2.t +L) a hP = HP0.sin(B2.t), vybudí další kývání převodovky o úhel 1h. Výsledný úhel kývání převodovky je dán vektorovým součtem 1 = 1m + 1h. Tato dílčí kývání nápravové převodovky způsobují planetový pohyb pastorku, tj. přídavné odvalování pastorku po velkém ozubeném kole a vznik dynamické tečné síly v čelním soukolí nápravové převodovky. Vyjádříme-li výsledný

Obr. 6 Silové účinky působící na závěsky u dvounápravového trakčního podvozku

Podélné posuvy soustrojí (dvojkolí + nápravová převodovka se šikmou závěskou) xHDv a jeho vrcení HDvz a torzní dynamiku, viz obr. 5, lze pro jízdu v oblouku definovat soustavou pohybových rovnic

43

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015 m HDvx . xHDv  TxL  TxP  (Q L  Q P ).oVal  B1*Px  B1*Lx  ( S1 x  SGx )   m HDvx .a x m HDvy . yHDv  T yL . cos  L  T yP . cos  P  FQ  B1 Py  B1 Ly  ( S1 y  S1Gy )  O HDv  0 J HDvz .HDvz  M Gx  M SP . cos  P  M SL . cos  L  B1*Lx .w1 L  B1*Px .w1 P  ( B1 Ly  B1 Py ).e HDvx  (TxP  Q P .oVal ).s P  (TxL  Q L .oVal ).s L  ( S1 y  SGy ).( n  e HDvy )  ( S1 x  SGx ).(e Př  e HDvx )  0 J R .R  k S 1 .( R   1m   1h )  M M ( t )  1 J 1 .(1m  1h )  J Př*.(1m  1h ). 1   iC    1  k S 1 .( R   1m   1h )  k Z .n 2 .( 1m   1h ). 1    0 iC   * J 2 .(2m  2h )  J Př .(1m  1h ).1  iC   kL .( 2m   2h   LK )  kP .( 2m   2h   PK )  k Z .n 2 .( 1m   1h ).1  iC   0 J PK .PK  M SP . sin 1 P  kP .( 2m   2h   PK )

 (T1 xP  Q P .oVal ).rKP  0 J LK .LK  M SL . sin 1 L  kL .( 2m   2h   LK )  (T1 xL  Q L .oVal ).rKL  0

(13) kde mHDvx, mHDvy vyjadřují hmotnost soustrojí hnacího dvojkolí, JR, J1, J2, JPK, JLK vyjadřují momenty setrvačnosti kotvy motoru, pastorku a velkého ozubeného kola čelního soukolí nápravové převodovky, pravé a levé * části dvojkolí. J Př  J Př  m př . x 2př vyjadřuje moment setrvačnosti skříně převodovky (bez velkého ozubeného kola) k ose nápravy. Konstanta kz vyjadřuje tuhost pružného závěsu nápravové převodovky. Konstanta ks vyjadřuje tuhost hřídelové spojky mezi trakčním motorem a pastorkem převodovky. Poměr r2/r1 = ic je kinematický převod čelní nápravové převodovky. QL , QP jsou dynamické kolové síly na levém a pravém kole hnacího dvojkolí a oVal je měrný odpor valení hnacího dvojkolí. B*1Lx, B*1Px , B1Ly , B1Py, B*1L, B*1P jsou výsledné podélné, příčné a svislé síly, působící na primární vypružení. Součet (S1+SGP) = S*1 vyjadřuje výslednou sílu, působící v šikmé závěsce nápravové převodovky, viz obr. 6. OHDV je odstředivá síla soustrojí hnacího dvojkolí. TxL, TxP ,TyL, TyP jsou podélné a příčné skluzové síly, působící v tečných rovinách kol s kolejnicemi. MSL a MSP jsou vrtné „spinové“ momenty, které působí na levém a pravém kole hnacího dvojkolí. MGx, MGR a MGZ jsou gyroskopické momenty soustrojí hnacího dvojkolí. MM(t) vyjadřuje velikost hnacího momentu trakčního motoru a jeho velikost je úměrná rychlosti jízdy vozidla v a požadovanému zrychlení ax při dané rychlosti v. Pohyb těžiště soustrojí hnacího dvojkolí ve svislém směru je definován vztahem

 (   P ) e HDvy  z HDv   L  ( L   P ) . y HDv 2 2s   h  hP e HDvy  L  ( hL  hP ) 2 2s

(14)

Velikost úhlu kývání převodovky 1h, způsobený vlnivým pohybem dvojkolí yHDV a jízdou podvozku po svislých nerovnostech kolejnic hL a hP, lze vyjádřit, viz z  z NSc 1 obr. 6, vztahem  1h  PSc 1 , který lze upravit do n tvaru:

 1h 

z Pp n



( e Př 1 x  e Ppx )

. Ppy 

( e Př 1 y  e Ppy )

n   L   P e Př 1 y .( L   P )  . y HDv     2s . n  2.n  e  h  h  e Př 1 y    P . 1  Př 1 y   L . 1  2.n  s  2 . n  s 

n

. Ppx

(15)

Po vyjádření druhé derivace zPp ( e Př 1 x  e Ppx ) ( e Př 1 y  e Ppy ) 1h   .Ppy  .Ppx n n n     P e Př 1 y .( L   P )  (16) . yHDv   L   2s . n  2.n  h  e Př 1 y  hP  e Př 1 y     L . 1  . 1  2.n  s  2 . n  s  Kolovou sílu QL, působící na levém kole hnacího dvojkolí, lze vyjádřit z momentové rovnice hnacího dvojkolí k dotykovému bodu pravého kola s kolejnicí. Vyjádříme-li vodící sílu na levém kole v souladu s obr.5 vztahem YL = TyL . cos L + QL . tg L , obdržíme

44

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015 QL 

O HDv .( rP  e HDvz )   sP    G HDv . 1   2s  tg L .( rL  rP )  2s  tg L .( rL  rP )   ( w1 P  s P )   B1*P .  1  2 s  tg  .(  r   r ) L L P  

J HDvx .HDvx 2s  tg L .( rL  rP )

 e HDvy    m HDvz .s P  . L P  ( L1   P 1 )    2s  tg L .( rL  rP )  2 2s  . y   HDv  m HDvy .( rP  e HDvz )    2 s  tg  .(  r   r ) L L P  

  ( w1 L  s P )   B1*L .  1  2 s  tg  .(  r   r ) L L P   ( B1 Ly  B1 Py ).rP   sP    S1*z . 1  2s  tg L .( rL  rP )  2s  tg L .( rL  rP ) 

J HDvy     HDvz  . LK . 0 2s  tg L .( rL  rP )  2  J HDvy   0   HDvz  . PK  . 2s  tg L .( rL  rP )  2  O HDv 1 .( rP  e HDvz ) G HDv .s P   2s  tg L .( rL  rP ) 2s  tg L .( rL1  rP 1 )





B1*P .( w1 P  s P ) B1*L .( w1 L  s P )  2s  tg L .( rL  rP ) 2s  tg L .( rL  rP )



( B1 Ly  B1 Py ).rP  2s  tg L .( rL  rP ) 2s  tg L .( rL  rP )

  



S1*z .s P

S1*y .( rP  n Z 1 ) 2s  tg L .( rL  rP ) m HDvz . B2 2 2 m HDvz . B2 2 2

 T1 yL .

cos  L .( rL  rP ) 2s  tg L .( rL  rP )

.

 e HDvy sP . 1  2s  tg L .( rL  rP )  s

 .hL  

.

 e HDvy sP . 1  2s  tg L .( rL  rP )  s

 .hP  

(17) Velikost kolové síly QP na pravém kole je dána vztahem QP  

J HDvx .HDvx 2s  tg L .( rL  rP )     sP  mHDvz . 1    2s  tg .( r  r )    L L P    . yHDv  mHDvy .( rP  eHDvz )    L  P eHDvy  . 2  2s (L  P )   2s  tg .( r  r )  L L P    J HDvy       . 0 HDvz . LK 2s  tg L .( rL  rP )  2        . 0 HDvz . PK 2s  tg L .( rL  rP )  2  J HDvy

S1*y .( rP  n Z )

 cos  L .( rL  rP )    T1 yL .  2s  tg L .( rL  rP )     e HDvy  sP .hL . 1  . 1   s   2s  tg L .( rL  rP )      e HDvy  sP .hP . 1  . 1   s   2s  tg L .( rL  rP )   (18)

2s  tg L .( rL  rP )



m HDvz . B2 2 2



m HDvz . B2 2 2

Dosazení výše uvedených vztahů pro  1h , 1h a QL , QP do soustavy rovnic (13) získáváme dílčí informaci o závislosti torzní soustavy na buzení od svislých nerovností kolejnic hL a hP. Svislé nerovnosti koleje ovlivňují okamžitou hodnotu kolových sil QL a QP a tím i FQ = QL. tgL - QP. tgP. Vratná síla dvojkolí FQ je ovlivněna nejen svislými nerovnostmi hL a hP, ale i příčnými nerovnostmi pojížděných kolejnic hLy a hPy, neboť příčné nerovnosti ovlivňují okamžitou hodnotu rozchodu koleje a tedy velikost příčné vůle dvojkolí v koleji, polohu dotykových bodů, tj. míru 2s a tím i úhly L, P. Pro stanovení kontaktních ploch je nutné definovat velikost normálových sil. Je-li dvojkolí bez pohybu, tj. ve statické poloze, je velikost „statické“ normálové síly N úměrná kolové síle Q, tj. na jednotlivých kolech dvojkolí ji lze vyjádřit vztahy

NL 

Q L .tg L QL  sin L cos  L (19)

NP 

Q P .tg P QP  sin P cos  P

Poněkud jiná situace nastává při odvalování dvojkolí, neboť na jízdní ploše kola působí v tečné rovině skluzová síla T a v normálové rovině v kontaktu kola s kolejnicí působí výsledná síla V. Velikost „ dynamické“ normálové síly N, působící v kontaktní ploše kola s kolejnicí, lze z obr. 4 a 5 vyjádřit vztahem:

N L  QL .

NP

cos  L cos( L   L )

cos  P  QP . cos( P   P )

(20)

45

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015 Třecí úhly P a L jsou úměrné velikosti příčných skluzových sil TyL a TyP, působících na pravém a levém kole dvojkolí, při určité hodnotě příčné výchylky dvojkolí yHDv. Vztahy (20) pro velikost normálových sil lze upravit

NL 

QL QL 1 1 .  . cos  L 1  tg L .tg L cos  L 1  tg L . f yL (21)

QP QP 1 1 NP  .  . cos  P 1  tg P .tg P cos  P 1  tg P . f yP Při znalosti příčných skluzových sil můžeme velikost normálových sil vyjádřit vztahy:

NL 

Q L  T yL . sin L cos  L





QL  T yL .tg L cos  L



QL NL   C 2 L . yL  C 3 L . SL .tg L cos  L NP  NP 

Q P  T yP . sin P cos  P





QP  T yP .tg P cos  P



QP  C 2 P . yP  C 3 P . SP .tg P cos  P

(22)

(23)

Závěry 1. Dílčí pohyby a torzní dynamiku individuálního pohonu dvojkolí definují nelineární diferenciální rovnice 2. řádu, viz soustava rovnic (7) pro plně odpružený pohon dvojkolí dutou kloubovou hřídelí, obepínající nápravu nebo soustava rovnic (13) pro částečně odpružený pohon. Tyto rovnice lze řešit pouze numerickými metodami, kdy z počátečních podmínek úlohy nejprve vypočítáme kolové síly QL, QP a normálové síly NL, NP. Z jejich znalosti a z počáteční polohy dvojkolí v koleji yHDv lze stanovit parametry kontaktní geometrie (rL, rP, L, P, L, P, kL, kP) = f(yHDv, HDv) a vypočítat poměrné skluzy, velikost skluzových sil TxL, TxP ,TyL, TyP a spinových momentů MSL, MSP. Po dosazení těchto hodnot do soustavy rovnic (7) nebo (13) můžeme vypočítat hodnoty příslušných zrychlení dílčích pohybů soustrojí. 2. Z uvedeného rozboru vyplývá, že částečně odpružený pohon dvojkolí s nápravovou převodovkou je oproti plně odpruženému pohonu dvojkolí výrazně citlivější na průběh svislých nerovností kolejnic hL, hP, neboť vedle změn kolových sil QL ,QP a jejich vlivu na rozdělení tečných skluzových sil dochází i ke kývání skříně převodovky, k satelitnímu pohybu pastorku po velkém ozubeném kole čelního soukolí a ke vzniku dynamické tečné síly v čelním ozubení převodovky. K této dynamické tečné síle je pro podrobnější vyšetření torzní dynamiky nutné superponovat dynamickou tečnou sílu, vznikající v čelním ozubení, vlivem zvlnění hnacího momentu trakčního motoru MM=f(t).

3. Z uvedeného rozboru dále vyplývá, že nedojde-li v důsledku dynamických silových účinků vozidla ke ztrátě kontaktu jízdní plochy kol s kolejnicemi, tj. QQ0, potom svislé nerovnosti představují čisté kinematické buzení soustavy, které definuje svislý pohyb těžiště dvojkolí zHDv a jeho natočení HDvx. Pohyb soustavy definují rovnice (7) nebo (13). 4. Jinou situaci z hlediska kinematického buzení hnacích dvojkolí představuje vliv příčných nerovností koleje hLy a hPy, zde je nutné rozlišovat dvě pohybové situace: a) nedojde-li vlivem působení příčných sil k vyčerpání vůle dvojkolí v koleji *, tj. dolehnutí okolku na bok kolejnice, jde sice o kinematické buzení, ale toto buzení můžeme označit jako „volné“ kinematické buzení, neboť příčné nerovnosti kolejnic ovlivňují pouze okamžitou hodnotu rozchodu koleje a tedy polohu dotykových bodů, tj. míru 2s a tím i úhly L, P, ale dvojkolí může vykonávat „volný“ vlnivý pohyb dvojkolí s amplitudou yHDv  *. b) dojde-li vlivem působení příčných sil k vyčerpání vůle dvojkolí v koleji *, tj. k dolehnutí okolku na bok kolejnice se současným vznikem řídicí síly P, jde o kinematické buzení v pravém smyslu slova, neboť hnacímu dvojkolí je na časově omezenou dobu vnuceno kopírovat trajektorii příčné nerovnosti kolejnice s případným šplháním kola po okolku. To ovlivňuje okamžitou hodnotu rozchodu koleje a tedy polohu dotykových bodů, tj. míru 2s a tím i úhly normál v dotykových bodech L, P. Dvojkolí však v tomto případě nevykonává „volný“ vlnivý pohyb dvojkolí s amplitudou yHDv *, trajektorie pohybu je komplikovanější. Kinematickým polem natáčivého pohybu dvojkolí kolem podélné osy xHDv v tomto případě již není podélná osa procházející těžištěm soustrojí hnací dvojkolí + nápravová převodovka, ale podélná osa procházející dotykovým bodem okolku a boku kolejnice. Tuto skutečnost je nutné respektovat v pohybových rovnicích hnacího dvojkolí. Poděkování Tento příspěvek reprezentuje dílčí výsledky teoretického výzkumu, který byl vytvořen za finanční podpory Technologické agentury ČR, projekt č. TE01020038 "Kompetenční centrum drážních vozidel".

46

Železničná doprava a logistika Railway Transport and Logistics 02/2015 Literatura Knihy a monografie: Kolář, J., Teoretické základy konstrukce kolejových vozidel, 1.vyd. Praha: ČVUT v Praze, FS, 2009. 276 s. ISBN 978-80-0104262-5.

Sborníky: Kolář, J., Dynamika individuálního pohonu dvojkolí s nápravovou převodovkou, In: Zborník prednášok II. - XX. Medzinárodná konferencia - Súčasné problémy v kolajových vozidlách. Žilina: Vedecko-technická spoločnosť pri Žilinskej univerzite, 2011, diel 2, s. 139-148. ISBN 978-80-89276-31-8. Výzkumné zprávy: Kolář, J., Rus, L: Modely individuálního pohonu dvojkolí, výzkumná zpráva ČVUT FS – U 12 120 Z15-02, 2015.

47