PROBLEMATIKA DYSKALKULIE NA ZÁKLADNÍ A STŘEDNÍ ŠKOLE

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky

PROBLEMATIKA DYSKALKULIE NA ZÁKLADNÍ A STŘEDNÍ ŠKOLE Diplomová práce Brno 2008

Vedoucí diplomové práce:

Vypracovala:

RNDr. Růžena Blažková, CSc.

Lenka Široká

2

Bibliografický záznam ŠIROKÁ, Lenka. Problematika dyskalkulie na základní a střední škole: diplomová práce. Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, 2008. 100 l., 72 l. příl. Vedoucí diplomové práce Růžena Blažková.

Anotace Diplomová práce se zabývá problematikou dyskalkulie na základní a střední škole. Celá práce je rozdělena do tří stěžejních částí: teoretické, výzkumné a praktické. Teoretickou část jsem zpracovala na základě prostudované literatury. Je zaměřena na obecnou charakteristiku specifických poruch učení a na základní definice a projevy dyskalkulie. Výzkumná část se zabývá rozdílem v oblasti dyskalkulie na základních a středních školách. Zkoumá množství žáků a studentů se specifickými poruchami učení, zvláště dyskalkuliků na těchto školách; informovanost pedagogů matematiky o specifické poruše počítání a v neposlední řadě zkoumá metody práce pedagogů matematiky s žáky či studenty s dyskalkulií. Praktická část obsahuje moje poznatky a zkušenosti, které jsem načerpala dlouholetou spoluprací se studentem s dyskalkulií. Zde se zabývám vývojem jeho matematických potíží v průběhu školní docházky a rozebírám chyby a problémy, které se u něj vyskytly v průběhu naší spolupráce na střední škole.

Klíčová slova Specifické poruchy učení, poruchy matematických schopností, vývojová dyskalkulie, principy reedukace, výzkum, vývoj matematických potíží, charakteristické chyby a obtíže.

Abstract The diploma thesis deals with problems concerning dyscalculia in elementary and grammar schools. It is divided into three main sections – theoretical, research, and practical. Theoretical section was elaborated on the basis of studied literature. Its aim is to focus on general characteristics of specific learning disorders, as well as on basic definitions and displays of dyscalculia. The research section analyzes differences in

3 dyscalculia in elementary and grammar schools. It examines the amount of pupils and students with specific learning disorders, especially dyscalculia in these particular types of school, as well as the informativeness of maths instructors concerning the specific counting disorder. Last, but not least, it examines the methodologyof school maths instructors with pupils and students suffering from dyscalculia. The practical section includes my personal knowledge and experience which was gained by my cooperation with a student suffering from dyscalculia. My interest here lies in the process of his mathematical difficulties in the course of his school attendance, and I analyze his errors and problems which occured during our cooperation in grammar school.

Keywords Specific learning disorders, disorders in mathematical capabilities, progressional dyscalculia, principles of re-education, research, development of mathematical disorders, typical errors and difficulties.

4

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracovala samostatně a použila jen prameny uvedené v seznamu literatury. Souhlasím, aby tato práce byla uložena na Masarykově univerzitě v Brně v knihovně Pedagogické fakulty a zpřístupněna ke studijním účelům. Lenka Široká

V Brně 20. dubna 2008

……………………………..

5

Poděkování

Upřímně děkuji paní RNDr. Růženě Blažkové, CSc. za odborné vedení, konzultace a pomoc při řešení problémů spojených s touto diplomovou prací. Dále bych chtěla poděkovat Ing. Jitce Široké a PhDr. Boženě Küfhaberové, Ph.D. za pomoc při realizaci výzkumu a mamince od Honzy za její ochotu se kterou mně poskytla velmi mnoho informací týkající se Honzovy dyskalkulie.

OBSAH

6

ÚVOD ............................................................................................................................... 8 1

SPECIFICKÉ PORUCHY UČENÍ ....................................................................... 9

1.1

Obecná charakteristika poruch učení ............................................................................... 9

1.2

Základní typy poruch učení ............................................................................................ 10

1.3

Projevy specifických poruch učení ................................................................................ 10

1.4

Vliv specifických poruch učení na úspěšnost v matematice a v jiných vyučovacích předmětech ..................................................................................................................... 13

1.5

Hodnocení a klasifikace žáků se specifickými poruchami učení ................................... 14

1.6

Individuální vzdělávací program.................................................................................... 15

2

DYSKALKULIE ................................................................................................... 18

2.1

Poruchy matematických schopností a jejich rozdělení ................................................. 18

2.2

Vývojová dyskalkulie a její definice .............................................................................. 20

2.3

Klasifikace dyskalkulie .................................................................................................. 21

2.4

Diagnostika dyskalkulie ................................................................................................. 24

2.5

Základní principy reedukace dyskalkulie....................................................................... 26

2.6

Kalkulátor jako kompenzační pomůcka ......................................................................... 28

3

VÝZKUMNÁ ČÁST ............................................................................................. 29

3.1

Základní škola ................................................................................................................ 30

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4

3.2

Střední škola ................................................................................................................... 49

3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4

3.3

4

Vyhodnocení první části dotazníku na ZŠ .............................................................................. 30 Závěr první části dotazníku na ZŠ .......................................................................................... 34 Vyhodnocení druhé části dotazníku na ZŠ.............................................................................. 35 Závěr druhé části dotazníku na ZŠ .......................................................................................... 47 Vyhodnocení první části dotazníku na SŠ .............................................................................. 49 Závěr první části dotazníku na SŠ........................................................................................... 53 Vyhodnocení druhé části dotazníku na SŠ .............................................................................. 53 Závěr druhé části dotazníku na SŠ .......................................................................................... 66

Porovnání závěrů na základních a středních školách ..................................................... 68

PROJEKT HONZA – PRAKTICKÁ ČÁST ...................................................... 70

4.1

Vývoj matematických potíží v průběhu školní docházky .............................................. 70

4.2

Rozbor tematických celků .............................................................................................. 75

4.2.1 Číselné obory .......................................................................................................................... 76 4.2.1.1 Číselné množiny ............................................................................................................ 76 4.2.1.2 Obor racionálních čísel.................................................................................................. 77 4.2.1.3 Druhá odmocnina reálného čísla ................................................................................... 79 4.2.1.4 Absolutní hodnota reálného čísla .................................................................................. 81 4.2.2 Elementární teorie čísel........................................................................................................... 82 4.2.2.1 Znaky dělitelnosti .......................................................................................................... 82 4.2.2.2 Prvočísla a čísla složená ................................................................................................ 83 4.2.2.3 Největší společný dělitel ............................................................................................... 83 4.2.2.4 Nejmenší společný násobek .......................................................................................... 84 4.2.3 Množiny .................................................................................................................................. 84

OBSAH

7

4.2.4 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem ........................................................................... 86 4.2.4.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem ............................................................................... 86 4.2.4.2 Mocniny s celým exponentem ....................................................................................... 88 4.2.5 Mnohočleny ............................................................................................................................ 89 4.2.5.1 Sčítání, násobení a dělení mnohočlenů ......................................................................... 89 4.2.5.2 Rozklad mnohočlenů ..................................................................................................... 90 4.2.6 Lomené výrazy ....................................................................................................................... 91

SEZNAM ZKRATEK .................................................................................................. 94 ZÁVĚR........................................................................................................................... 95 RESUMÉ ....................................................................................................................... 97 SUMMARY ................................................................................................................... 97 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY ......................................................................... 98 SEZNAM PŘÍLOH..................................................................................................... 100 PŘÍLOHY .................................................................................................................... 101

ÚVOD

8

Úvod Téma diplomové práce „Problematika dyskalkulie na základní a střední škole“ jsem si zvolila na základě spolupráce se studentem s dyskalkulií, během které jsem se začala více zajímat o specifickou poruchu počítání. S Honzou pracuji třetím rokem, ze začátku naší spolupráce jsem se zaměřila pouze na možnosti nápravy jeho matematických potíží, ale s nástupem na střední školu jsem se začala zabývat o tuto problematiku i z jiného pohledu. Překvapil mě totiž netolerantní přístup jeho pedagoga matematiky, který byl naprosto odlišný od učitele matematiky ze základní školy. To mě vedlo k myšlence uskutečnit výzkum, který bude zkoumat rozdíly v oblasti dyskalkulie na základních a středních školách. Problematika žáků a studentů s dyskalkulií je v současnosti stále častějším tématem, jeden z hlavních důvodů je jejich zvyšující se počet. Dyskalkulie zasahuje i do dalších přírodovědných předmětů, kde se matematiky užívá, což má vliv na úspěšnost zejména ve fyzice či chemii. Vzhledem k těmto skutečnostem je nezbytná dobrá informovanost nejen učitelů matematiky o této problematice. Nestačí pouze hluboké matematické znalosti, ale důležitá je taktéž vysoká odborná znalost pedagogiky, speciální pedagogiky a psychologie. Diplomová práce je zpracována ve třech částech: teoretické, výzkumné a praktické. V první části se na základě prostudované literatury věnuji problematice specifických poruch učení, zvláště dyskalkulie. Uvádím zde jednotlivé definice, zaměřuji se na základní otázky spojené s touto tematikou. Druhá část zahrnuje výzkum, který zkoumá rozdíly v oblasti dyskalkulie na základních a středních školách. Cílem výzkumu je zjistit četnost žáků se specifickými poruchami učení, zvláště dyskalkuliků na těchto školách, informovanost učitelů matematiky o této problematice a metody práce pedagogů matematiky s žáky/studenty s dyskalkulií. Ve třetí části uvádím mé zkušenosti se studentem dyskalkulikem, které jsem načerpala v průběhu naší spolupráce. Rozebírám v ní vývoj matematických potíží v průběhu školní docházky u tohoto studenta za posledních sedm let a problémy při přestupu ze základní na střední školu. Dále zde uvádím charakteristické chyby a problémy, které se u něj vyskytly v průběhu naší spolupráce na střední škole. V příloze je obsažen metodický rozbor dvou matematických celků. Dokládám zde práci, jak s Honzou v hodinách postupujeme.

1 SPECIFICKÉ PORUCHY UČENÍ

9

1 Specifické poruchy učení 1.1 Obecná charakteristika poruch učení Specifické poruchy učení existují pravděpodobně tak dlouho, jako je lidská vzdělanost zprostředkovaná symboly. Při současných zvyšujících se nárocích na vzdělání je však jejich výskyt stále nápadnější a závažnější. Specifické vývojové poruchy učení bývají definovány jako neschopnost naučit se číst, psát a počítat pomocí běžných výukových metod. V naší populaci a našich podmínkách se SPU vyskytují u 5,6 % školních dětí (jedná se o údaj ze statistické ročenky 1998/1999 a 1999/2000). Ministerstvo školství ČR předpokládá, že se jedná průměrně o 3–4 % dětí, které mají průměrnou inteligenci a přiměřené sociokulturní příležitosti. Pedagogové však uvádějí, že takových dětí může být až 20 %, protože ne všechny děti mají při své poruše stejné projevy a obtíže. V současné době se děti s touto problematikou také označují jako žáci se specifickými výukovými potřebami, což jejich problematiku vystihuje svým způsobem nejlépe, protože reedukace jejich poruch spočívá především v použití jiných výukových a pracovních metod. [8] [9] [10]

Specifické vývojové poruchy učení mají svá specifika jednak ve své etiologii, příčinách vzniku a jednak ve svých projevech. Tyto poruchy jsou vždy vrozené, mohou vznikat jednak určitým poškozením v období před narozením, při narození a časně po narození dítěte. Určitou roli zde hraje i dědičnost, případně kombinace dědičnosti a výše uvedených obtíží. Někdy je etiologie neznámá nebo nepříliš jasná. Uvádí se souvislost s lateralizací, s poruchou spolupráce mozkových hemisfér nebo i s neurohormonální činností mozku, případně s poruchami vývoje dítěte. Nejedná se tedy o problematiku získanou z vnějších příčin, kdy obdobné obtíže vznikají např. neurotizací dítěte, použitím nesprávných výukových metod, vlivem zdravotních problémů, zameškáním školní docházky, nižší sociokulturní úrovní nebo odlišným jazykovým prostředím rodiny dítěte. [8]

Specifikem je i to, že intelektové schopnosti dětí s těmito poruchami jsou průměrné až nadprůměrné. Jejich porucha tedy není způsobena sníženými intelektovými


10

schopnostmi, ale plyne z jiných příčin. U těchto dětí bývají porušeny funkce, které jsou potřebné pro učení se psaní, čtení a počítání. Jedná se o funkce percepční, kdy je porušeno především smyslové vnímání (zrakové, sluchové). Dále funkce kognitivní (poznávací), kdy je porušena např. schopnost koncentrace pozornosti, paměť, myšlení, řeč. Pak jsou to funkce motorické (pohybové), kdy je přítomna porucha jemné i hrubé motoriky ruky, ale i očních pohybů a mluvidel. Dále se na vzniku poruch spolupodílí i porucha motorické koordinace (soubory pohybů) a rytmiky. A nakonec i porucha senzomotorických funkcí, kdy se jedná o propojení poznávacích a motorických funkcí. Z těchto důvodů také nazýváme tyto poruchy poruchami funkčními. [8]

1.2 Základní typy poruch učení Mezi základní typy specifických vývojových poruch učení patří dyslexie porucha čtení, dysortografie - porucha pravopisu, dysgrafie – porucha psaní, grafického projevu a dyskalkulie – porucha počítání, matematických schopností. Obtíže ale může způsobit dítěti i dyspraxie – porucha schopnosti vykonávat manuální, složité úkony. Jde o děti neobratné, nešikovné. Často bývá příznakem syndromu LMD. Vyskytuje se i porucha výtvarných schopností – dyspinxie a hudebních schopností – dysmúzie. Vývojové poruchy učení se spíše než izolovaně vyskytují v kombinaci, a to nejen se zde vyjmenovanými typy poruch. Rovněž jednotlivé projevy se liší případ od případu a jejich škála je mnohem pestřejší než zde uvedený výčet. [8] [9]

1.3 Projevy specifických poruch učení V této kapitole se budeme zabývat dyslexií, dysgrafií a dysortografií z hlediska charakteristických chyb a obtíží, které se u žáků s těmito specifickými poruchami učení mohou vyskytovat. •

Dyslexie - specifická vývojová porucha čtení [8] [3]

Projevuje se obtížemi: -

ve čtení, kdy je porušeno čtení jako vlastní akt: je např. pomalé, namáhavé s menším výskytem chyb nebo naopak rychlé, překotné se zvýšenou chybovostí

1 SPECIFICKÉ PORUCHY UČENÍ -

11

v porozumění čtenému textu (dítě si nepamatuje či nepochopí obsah čteného textu, protože se příliš soustředí na výkon čtení jako takový)

Specifické chyby objevující se při čtení: -

záměny písmen tvarově podobných (např. b-d-p, a-o-e, l-k-h)

-

špatné čtení písmen na začátku, uprostřed nebo na konci slova

-

nerozlišování hlásek zvukově si blízkých

-

záměny jednoslabičných nebo krátkých slov

-

nedodržování správného pořadí písmen ve slabice, či slově; přesmykování slabik (např. lokomotiva – kolomotiva)

-

vynechávky písmen, slabik, slov, vět

-

přidávání písmen, slabik, slov i vět

-

vynechávky diakritických znamének nebo jejich nesprávné použití

-

domýšlení si koncovky slova dle jeho správně přečteného začátku

-

nedodržování délek samohlásek

-

neschopnost čtení s intonací

-

nesprávné čtení předložkových vazeb

-

dvojí čtení : žák čte nejprve slovo, slabiku či jeho část šeptem pro sebe, pak teprve vyslovuje nahlas

•

Dysgrafie - specifická porucha grafického projevu, zejména psaní [8] [3]


při psaní, kdy je psaní porušeno jako vlastní akt: tempo psaní je výrazně pomalé, psaní je neplynulé; v jiných případech je tempo psaní rychlé, ale výsledkem je opět snížena kvalita písma

-

při osvojování a zapamatování tvarů jednotlivých písmen

-

v gramatice, kdy se dítě soustředí pouze na správné zapsaní písmen a nedodržuje gramatické zásady

Specifické chyby a znaky objevující se při psaní: -

obecně nečitelné písmo, a to i přes dostatečný čas a pozornost věnovaný danému úkolu

-

tendence k směšování psacího a tiskacího písma, nepravidelná velikost, rozličnost tvarů, nerovnost linií

-

neudržení písma na řádku, směru psaní a správného sklonu

1 SPECIFICKÉ PORUCHY UČENÍ -

nedotahování písmen, nedodržování jejich správného tvaru

-

záměna tvarově podobných písmen ( např. m-n, o-a, r-z, l-k-h)

-

nepravidelné uspořádání na stránce vzhledem k řádkům a okrajům

-

nepravidelná hustota mezi slovy a písmeny

-

často atypický úchop psacího náčiní

-

zvláštní držení těla při psaní

-

diktování si polohlasem sledu písmen, bedlivé pozorování vlastní píšící ruky

•

Dysortografie - specifická vývojová porucha pravopisu [8] [3]

12


v gramatice, zejména při nutnosti psát diktát

-

chybí cit pro jazyk (snížená schopnost např. skloňovat a časovat příslušné druhy slov)

-

v pracovním tempu (pomalé; žák pak nestihne zdůvodnit svůj pravopis při psaní ani při kontrole napsaného)

-

při osvojování cizího jazyka i naukových předmětů (pokud si dítě musí zaznamenávat učivo formou diktování)

-

v produkci v psaném projevu a chybami v přepisu

Specifické chyby: -

obtížná výbavnost naučeného tvaru písmene v písemné podobě, snížená schopnost spojení psané a slyšené podoby hlásky

-

vynechávky písmen, slabik, slov i vět

-

přidávání písmen (zejména vkládání samohlásek do shluku souhlásek), slabik, slov i vět

-

neschopnost dodržovat pořadí písmen, slabik ve slově

-

záměny hlásek zvukově podobných, zvláště znělých a neznělých (např. sníh h/ch, dub b/p)

-

záměny slabik zvukově podobných (zejména di, ti, ni / dy, ty, ny); nesprávné rozlišení těchto slabik ovlivní i určování pravopisu podstatných a přídavných jmen podle vzorů

-

nedodržování hranic slov v písmu (psaní slov dohromady, někdy i celých vět)

-

spojování slov v jeden celek

-

chyby v artikulační neobratnosti


13

1.4 Vliv specifických poruch učení na úspěšnost v matematice a v jiných vyučovacích předmětech V předcházející

kapitole

byly

uvedeny projevy

dysgrafie,

dyslexie

a

dysortografie. Víme, že tyto poruchy se zásadně promítají do oblastí, kde žák potřebuje zaznamenávat a zjišťovat informace. Problémy v matematice a jiných vyučovacích předmětech mohou souviset se specifickými poruchami učení (např. dyslexií, dysgrafií,…), či sníženou inteligencí žáka. Proto si v této kapitole uvedeme jaký vliv mohou mít poruchy učení na úspěšnost v matematice a dalších předmětech ve škole.

Dyslexie Specifická porucha učení projevující se ve čtení a v reprodukci přečteného textu. Žáci nemají potíže jen při hodinách českého jazyka. Dyslexie negativně ovlivňuje práci ve všech předmětech, kde má žák text číst a získávat z něj informace. Již samostatné vnímání textu a orientace v něm jsou namáhavé a vyčerpávají. Kvůli pomalému čtení a obtížím v porozumění potřebuje žák s dyslexií více času pro práci s jakýmkoli textem. Ačkoliv je prováděna reedukace dyslexie, je třeba vést k získávání informací jinou cestou než čtením, a defekt tak kompenzovat. Žáci tedy mají problém téměř ve všech naukových předmětech, v matematice mají potíže například s porozuměním textu slovní úlohy a s porozuměním symbolickému zápisu.

Dysgrafie Specifická porucha učení projevující se ve psaní a v reprodukci napsaného textu. Dysgrafie negativně ovlivňuje práci v předmětech, kde má žák zapisovat text a čerpat z něho informace. Grafická úprava sešitu často žákovi znemožňuje učit se ze svého zápisu. Žák s dysgrafií je sice schopen zapsat si slovíčka v cizím jazyce nebo zápis v naukovém předmětu, většinou však text po sobě nepřečte pro nečitelnost, značný počet chyb nebo proto, že trpí současně dyslexií. Dysgrafie se projevuje i v matematice. Čísla jsou obtížně čitelná, nesprávně pod sebe psaná, rýsování je obtížně zvládnutelné. Tito žáci nejsou schopni zapsat zadání úlohy ani příklad k výpočtu. Úprava ovlivněná dysgrafií, obtížně čitelné písmo nesmějí být příčinou snižování známky v žádném předmětu. Dílčím řešením může být psaní tiskacím písmem nebo psaní na počítači.


14

Dysortografie Specifická porucha pravopisu, která se projevuje především v gramatice při psaní diktátu. Žákům s dysortografií chybí cit pro jazyk a to nejen pro český, ale i cizí. Tyto děti mají problémy v osvojování si cizího jazyka. Obtíže mohou nastat také u naukových předmětů, kdy si žák píše zápis do sešitu z diktovaného textu. Uvádí se také spojitost mezi dysortografií a dyskalkulií.

1.5 Hodnocení a klasifikace žáků se specifickými poruchami učení Hodnocení je nadřazený pojem pojmu klasifikace. Úkolem hodnocení je zjišťovat, posuzovat úroveň žáků v daném období. Hodnocení postihuje celou osobnost dítěte, je orientováno především na jeho kladné rysy. Je dlouhodobé. Jednou z forem a zároveň výsledkem hodnocení je klasifikace. Jinou formou hodnocení je pochvala, odměna, souhlas, vytyčení chyby, trest. Hodnocení a klasifikace plní funkci motivační, kontrolní, výchovnou, diagnostickou, regulační a další. [14]

Hodnocení a klasifikace hraje velmi důležitou roli u žáků se specifickými poruchami učení. V hodinách jsou žáci hodnoceni různými formami (ústně či písemně) s ohledem na jejich individuální schopnosti a dovednosti. Učitel má k dispozici poměrně širokou škálu možností, jak hodnotit. Při výběru způsobů hodnocení a klasifikace je důležité ke každému žáku přistupovat individuálně, neboť ačkoliv jsou příznaky a projevy specifických poruch učení zobecňovány, u každého žáka s touto diagnózou se mohou vyskytnout ještě další obtíže, které by měly být v hodnocení také respektovány. [1]

Mezi obecné zásady hodnocení a klasifikace patří [1]: •

Vhodným způsobem vysvětlit ostatním dětem rozdílný přístup k hodnocení žáků se specifickou poruchou učení.

•

Dát dítěti s touto poruchou zažít pocit úspěchu.

•

Chválit jej za snahu. Dítě často vynaloží veliké úsilí při zvládání školních úkolů, ale výsledný efekt je minimální.

1 SPECIFICKÉ PORUCHY UČENÍ •

15

Hodnocení a klasifikace by mělo vycházet ze znalosti příznaků specifických poruch učení.

•

Při hodnocení a klasifikaci je třeba zvýraznit motivační složku hodnocení.

•

Hodnotit pouze jevy, které žák zvládl.

•

Hodnotit nejen konečné výsledky, ale i jednotlivé kroky postupu.

•

Při hodnocení postupovat individuálně podle druhu a rozsahu poruchy, nelze srovnávat děti bez poruchy s dítětem s poruchou, nemůžeme porovnávat ani děti s poruchou mezi sebou.

•

Specifický přístup při klasifikaci žáků je třeba uplatňovat ve všech předmětech, do kterých se promítají příznaky poruch učení.

•

Výkony dítěte hodnotit spravedlivě.

•

Uplatňovat tolerantní přístup.

Správně volený způsob hodnocení a klasifikace u žáků se specifickou poruchou učení může významně ovlivnit nejen jeho další vývoj, ale i jeho pozdější volbu profesní orientace.

Hodnocení žáků se specifickými poruchami učení je zaneseno ve školském zákoně: „Při hodnocení žáků a studentů se speciálními vzdělávacími potřebami se přihlíží k povaze postižení nebo znevýhodnění.“ Dle § 16 školského zákona se jedná o žáky se speciálními vzdělávacími potřebami vyžadující zohlednění při vzdělávání.

1.6 Individuální vzdělávací program Vyučování a učení žáků se specifickými poruchami učení může probíhat v případě integrovaného žáka podle individuálního programu, který umožňuje postupovat individuálním tempem. Při vypracování individuálního vzdělávacího programu musíme vycházet z komplexní a kvalitní diagnózy, která je základním stavebním kamenem pro jeho tvorbu. Také je nutné zvážit, jaké učivo a do jaké míry je žák se specifickou poruchou učení schopen pravděpodobně zvládnout (s jistotou to však nelze říci nikdy).


16

Individuální vzdělávací program vypracovává třídní učitel ve spolupráci s poradenským zařízením (PPP, SPC, SVP), případně s výchovným poradcem, školním psychologem a zákonným zástupcem dítěte. Tento program vychází z učebních dokumentů školy, obsahuje všechny významné skutečnosti důležité pro úspěšnou integraci žáka. V závěru jsou poznačena jména poradenských pracovníků, se kterými škola spolupracuje při zajišťování speciálních vzdělávacích potřeb žáka. Součástí musí být i kontrola programu, v níž by se mělo stručně objevit zhodnocení a efektivita (co se podařilo splnit, co nikoliv, proč, v čem je nutné pokračovat, zda byl program příliš lehký či naopak náročný apod.). [8] [10] [1]

Individuální vzdělávací program by měl obsahovat [10]: •

Základní údaje o žákovi, tj. jméno, příjmení, datum narození, školu a ročník, který bude pomocí plánu absolvovat.

•

Závěr z vyšetření specializovaného pracoviště, pedagogicko-psychologické poradny, SPC apod. (diagnóza, projevy poruchy, zvolený typ reedukace, kdo bude reedukaci provádět, jak často bude dítě zváno na kontroly, s kým z odborných pracovníků je možno postup při reedukaci konzultovat).

•

Pedagogickou diagnózu učitele (jak se dítě projevuje ve školním prostředí s ohledem na svou poruchu, tzn. pohled učitele).

•

Určení doby platnosti individuálního programu.

•

Určení období, na které je individuální program stanoven.

•

Určení základních vzdělávacích cílů: čeho chceme u žáka během určeného období dosáhnout v rámci obecné výuky v běžné hodině (český jazyk, matematika, cizí jazyky atd., týká se všech předmětů, do nichž se porucha promítá).

•

Určení základních reedukačních cílů: čeho chceme u dítěte dosáhnout v rámci kompenzace SVPU.

•

Určení metod hodnocení, klasifikace a tolerance žáka.

•

Určení speciálních pomůcek, kterých bude dítě používat při reedukaci a v běžných hodinách.

•

Způsob podílení se rodičů na realizaci práce dle IVP.


17

V jednotlivých případech bereme ohled na projevy poruchy i deficity ve vývoji kognitivních funkcí, na úroveň rozumových schopností a rodinné zázemí dítěte. Porovnáváme dosavadní znalosti a požadavky pro postupný ročník, který navštěvuje. Je-li zřejmé, že učivo zcela přesahuje jeho možnosti, pouze s ním žáka seznámíme bez požadavků na aktivní osvojení. Pro všechny žáky se specifickými poruchami ale platí, že méně učiva znamená více procvičování a lepší automatizaci. [8]

2 DYSKALKULIE

18

2 Dyskalkulie 2.1 Poruchy matematických schopností a jejich rozdělení Obtíže s počítáním jsou podmiňovány mnoha různými vlivy a příčinami. Některé z nich, pokud působí negativně, můžeme i poměrně rychle odstranit, např. nedostatečná nebo nevhodná domácí příprava nebo forma výuky. Jiné jsou ovšem takové povahy, že je obtížné a pracné se s takovými překážkami v přirozeném rozvoji počítání vypořádat; jsou to např. dědičné vlivy, nápadnosti v raných vývojových stádiích, celkově nízké nadání nebo nízké nadání jen pro matematiku apod. Tyto skutečnosti jsou zohledněny už v pojmenování jednotlivých počtářských obtíží a souhrnně je označujeme jako poruchy a narušení matematických schopností. Rozdělení poruch vychází z neurologicky ustáleného členění poruch funkcí centrální nervové soustavy. Vyjadřuje velmi názorně skutečnost, že ne každé, i když třeba výrazné obtíže v matematice, jsou důsledkem vývojové dyskalkulie. [13] [11]

J. Novák uvádí tuto klasifikaci poruch matematických schopností [13] [11] : •

Kalkulastenie

Mírné narušení matematických schopností, které se ještě nepovažuje za vývojovou poruchu učení. Je podmíněno nedostatečnou nebo nesprávnou stimulací ze strany školy nebo rodinného prostředí. Všeobecné nadání má dítě zcela normální, schopnosti pro matematiku taktéž, avšak nejsou rozvinuty v potřebné matematické vědomosti a dovednosti.

Typy kalkulastenií: Kalkulastenie emocionální (sekundární) – selhávání v matematice, třeba i výrazné, je výsledkem nevhodných reakcí okolí na vlastní počtářské potíže např. spolužáků, rodičů eventuelně i pedagogů ve výuce matematiky. Všeobecné i matematické schopnosti jsou rozvinuty zcela přiměřeně. Kalulastenie sociální (sekundární neurotická) – matematické vědomosti a dovednosti jsou narušeny vlivem působení emocionálních (citových) či sociálních činitelů na dítě

2 DYSKALKULIE

19

např. nepodnětné rodinné zázemí, nebo nedostatečné či nevhodné přípravy. Všeobecné rozumové předpoklady jsou přiměřené. Kalkulostenie didaktogenní (pseudokalkulie) – problémy v matematice jsou důsledkem výukového stylu nebo didaktických forem výuky, které neodpovídají typu osobnosti dítěte nebo jeho stylu učení. Všeobecné rozumové předpoklady i matematické schopnosti jsou zcela přiměřené, rovněž sociokulturní zázemí je obvyklé. •

Hypokalkulie

Mírné narušení schopností pro matematiku u dítěte, které se jeví jako podprůměrné. Při tom ale všeobecné rozumové předpoklady průměrné nebo i nadprůměrné, rovněž rodinná stimulace, dobré pedagogické vedení i příprava na školní výuku jsou zcela přiměřené. •

Vývojová dyskalkulie

Je specifická vývojová porucha učení v matematice, která se projevuje výrazně narušenými dílčími předpoklady pro matematiku. Zahrnuje specifické postižení dovednosti počítat, které nelze vysvětlit mentální retardací, nevhodným způsobem vyučování, nepodnětným rodinným zázemím ani nevhodnou domácí přípravou. Porucha se týká ovládání základních početních výkonů, jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení, spíše než abstraktnějších matematických dovedností. •

Oligokalkulie

Vážné nedostatky v osvojování učiva matematiky jsou zapříčiněny sníženou úrovní rozumových schopností. Tento žák má i výrazně snížené předpoklady pro matematiku. Oligokalkulie je uváděna spíše pro úplnost pohledu na rozdělení poruch a narušení matematických schopností u dětí. •

Akalkulie

Představuje velmi výrazně narušenou a sníženou schopnost počítat a zvládat i nejjednodušší početní operace a chápat matematické pojmy a vztahy. Hovoříme o ní zpravidla tehdy, jde-li o ztrátu již před tím rozvinutých početních dovedností, často v důsledku mozkové léze.

2 DYSKALKULIE

20

2.2 Vývojová dyskalkulie a její definice Dyskalkulie je označována jako specifická porucha matematických schopností. Žák podává v matematice podstatně horší výkony, než by se dali vzhledem k jeho inteligenci předpokládat. Podle různých autorů je výskyt dyskalkulie uváděn též dosti různě – v závislosti na tom, jaká kritéria pro zatřídění takové poruchy v různých zemích akceptují: např. Poteet (1970) odhaduje 5,5 %, Košč dle výzkumů považuje za odůvodněné počítat s výskytem 6-6,4 % populace. Novák považuje výskyt vývojových dyskalkulií za reálný přibližně u 3 % dětské populace. [13] Ze zastoupení výskytu dyskalkulie je víc než patrné, že nelze přijmout názory, že tyto děti tvoří zanedbatelnou část populace, nebo dokonce že se s nimi někteří pedagogové ještě nesetkali.

V literatuře se setkáváme s různými definicemi dyskalkulie, já zde uvádím některé z nich:

Podle 10. revize Mezinárodní klasifikace nemocí „Duševní poruchy a poruchy chování“ patří dyskalkulie mezi „Specifické vývojové poruchy školních dovedností“ pod kód F81.2. •

Definice první:

„Tato porucha zahrnuje specifické postižení dovednosti počítat, kterou nelze vysvětlit mentální retardací ani nevhodným způsobem vyučování. Porucha se týká ovládání základních početních úkonů (sčítání, odčítání, násobení a dělení) spíše než abstraktnějších dovedností jako je algebra, trigonometrie, nebo diferenciální počet.“ [4, str.264]

Další definici dyskalkulie formuloval L. Košč v roce 1987. •

Definice druhá:

„Vývojová dyskalkulie je strukturální porucha matematických schopností, která má svůj původ v genově nebo perinatálními vlivy podmíněném narušení těch částí mozku, které jsou přímým anatomicko-fyziologickým substrátem věku přiměřeného dozrávání matematických funkcí, které však zároveň nemají za následek snížení všeobecných rozumových schopností.“ [4, str.264]

2 DYSKALKULIE

21

Na druhou definici navazuje J. Novák (2004) a podává rozšířenou definici dyskalkulie. •

Definice třetí:

„Vývojový dyskalkulie je specifická porucha počítání projevující se zřetelnými obtížemi v nabývání a užívání základních početních dovedností, při obvyklém sociokulturním zázemí dítěte a celkové úrovni všeobecných rozumových předpokladů na dolní hranici pásma průměru nebo výše a s příznačnou vnitřní strukturou, v jejímž rámci je výrazně snížena úroveň matematických schopností a narušena skladba za přítomnosti projevů dysfunkcí centrální nervové soustavy podmíněných vlivy dědičnými nebo vývojovými.“ [4, str.264]

2.3 Klasifikace dyskalkulie Vývojová dyskalkulie se vyznačuje poměrně pestrou škálou typických příznaků, podle kterých se také člení na jednotlivé typy. Následující přehled příznaků jednotlivých typů dyskalkulií postihuje především oblast pedagogickou, výukovou, v níž jsou důsledky projevů dyskalkulií, ale i ostatních poruch učení a narušení matematických schopností žáků nejzávažnější.

L. Košč zpracoval dělení dyskalkulií do několika typů [1] [13]: •

Praktognostická dyskalkulie

Těžiště problému je v narušené praktické manipulaci s předměty (praxie) a v poznávání (gnozie) tvarů, počtů apod. Jde o narušení a poruchy v matematické manipulaci s předměty nebo nakreslenými symboly (přidávání, ubírání množství, rozkládání, porovnávání počtu). Žák není schopen dospět k pochopení pojmu čísla ani ke správnému provádění číselných operací. V geometrii neumí seřadit různě dlouhé předměty podle velikosti, diferencovat geometrické tvary. Porucha prostorového faktoru matematických schopností způsobuje, že dítě selhává při rozmístění figur v prostoru, není schopné ukazovat na počítané předměty a správně je třídit. Projevy tohoto typu dyskalkulie zasahují ty matematické dovednosti, které předcházejí počítání s čísly.

2 DYSKALKULIE •

22

Verbální dyskalkulie

Tento typ dyskalkulie se projevuje problémy dítěte při označování množství a počtu předmětů, operačních znaků, matematických úkonů. Dítě nedokáže vyjmenovat řadu čísel např. od největšího k nejmenšímu, řadu sudých či lichých čísel (vynechávání čísel, vracení se, jejich opakování). Má potíže s osvojením matematického slovníku (slovním označením počtu předmětů). V praxi to např. znamená, že číslo 12 čte jako 21, má problémy s chápáním významu „o tři více“ nebo „třikrát více“. O verbální dyskalkulii mluvíme jen tehdy, pokud má dítě nápadné a přetrvávající těžkosti ve slovním označováním jevů v matematice, bez ohledu, zda to samé dokáže provést v písemné formě. •

Lexická dyskalkulie

Jde o sníženou schopnost číst matematické symboly, a to nejen číslice, ale i operační znaky a zejména matematické příklady. V nejtěžších případech není dítě schopné přečíst ani izolované číslice a operační znaky, při lehčí formě mu dělá potíže přečíst vícemístná čísla s nulami uprostřed nebo čísla napsaná svisle pod sebou. Žáci zaměňují tvarově podobné číslice, římské číslice. Příznačné jsou inverze, např. 36 čte jako 63, 9 jako 6 a opačně. Problematickou skupinou jsou zlomky a desetinná čísla. Příčiny nacházíme hlavně v oblasti zrakového vnímání, orientace v prostoru, zvláště pravolevé orientace. Poruchy matematické lexiky mají následky i v jiných oblastech matematiky. Nelze se tedy spokojit jen s výčtem projevů, je třeba rozpoznat hlubší příčiny a další souvislosti, které se od lexické dyskalkulie odvíjejí. •

Grafická dyskalkulie

Je charakterizována výrazně sníženou, narušenou schopností psát číslice, operační znaky, kreslit geometrické útvary apod. Žák má potíže při zápisu čísel formou diktátu, při přepisu z tabule či učebnice, při psaní vícemístných čísel, píše v opačném pořadí, zapomíná psát nuly. Objevuje se např. inverzní (obrácený) zápis číslic, např. 6 a 9, nebo inverze typu 71 a 17 apod. K dalším typickým příznakům patří psaní nepřiměřeně velkých neúhledných číslic, potíže při zapisování početních operací zejména do sloupců, např. u písemného násobení či dělení. V geometrii má problémy při rýsování jednoduchých útvarů a s překreslováním z tabule.

2 DYSKALKULIE •

23

Operační dyskalkulie

Projevuje se poruchou schopnosti provádět matematické operace, sčítat, odčítat, násobit, dělit, což se odráží zvláště při počítání delších řad čísel. K výčtu typických projevů patří nahrazování složitějších početních operací, např. násobení, jednoduššími, tedy sčítáním, dělení odčítáním. Problémy v počítaní velmi jednoduchých příkladů, zvýšená chybovost v provádění sčítání a odčítání v oboru do 20, v násobení a dělení. Žák se dopouští záměn jednotek a desítek při sčítání, u zlomků záměny čitatele a jmenovatele. Projevuje se i nedostatečným osvojením násobilky, kdy si žák pomáhá počítáním na prstech nebo sčítáním čísel. Žák má potíže s písemnými algoritmy, potíže mu činí počítání s přechodem přes desítku. Složitější počítání se vyznačuje pomalostí a vysokou chybovostí. Tyto obtíže bývají zřetelnější při pamětném počítání. Tento typ dyskalkulie patří k dosti častým formám počtářských obtíží. •

Ideognostická dyskalkulie

Tento typ dyskalkulie se projevuje poruchou především v chápání matematických pojmů a vztahů mezi nimi. Žák například umí přečíst a zapsat číslo 4, ale už si neuvědomuje to, že číslo 4 je totéž jako 3+1, 2 ⋅ 2 . Obvykle mají tito žáci potíže při odhalení i jednoduchého principu číselné řady. Selhávají při řešení matematických úloh, jakmile je pozměněn šablonovitý postup, protože neumí převést slovní zadání do systému čísel matematického zápisu.

Jednotlivé příznaky se zpravidla navzájem kombinují a prolínají a mnohdy velmi ztěžují rozvoj počtářských dovedností. Takto problémové děti mohou ztrácet zájem o matematiku, některé z ní mohou mít i strach. Tímto může být zatěžována psychická stránka žáka, která se projeví např. na jeho pozornosti, míře únavy a dítě tedy přestává mít možnost učit se efektivně. Mnohé takové děti jsou vlivem tlaku okolí, učitelů a rodičů za účelem zlepšení prospěchu neurotizovány, což směřuje k dalšímu poklesu výkonnosti ve škole.

Vývojová dyskalkulie se poměrně často kombinuje s vývojovou dysortografií (poruchou pravopisu), ale i s dyslexií (porucha čtení) či dysgrafií (porucha psaní).

2 DYSKALKULIE

24

2.4 Diagnostika dyskalkulie Diagnostika bývá definována jako systémově založený, teoreticky zdůvodněný poznávací proces, jehož základem je hledání rozdílů, nejčetněji porovnáváním určitého jevu s normou, která může být chápána nejrůznějším způsobem. Výsledkem diagnostického procesu je diagnóza, jejíž nezbytnou součástí je i prognóza. Zaměřená i na další vývoj a doporučení. V psychologické a pedagogické diagnostice bývají nejčastěji používány tyto metody: pozorování, rozhovor, dotazníkové, testové metody a rozbory výtvorů. Prognóza a úspěšnost doporučení je závislá od objemu a kvality vývojových trendů. Diagnostika specifických poruch učení je systémově založený poznávací proces, který se bezprostředně odvíjí od současné úrovně poznání problematiky. Může probíhat na různých úrovních, disponuje různými metodami, ale cíleně je směrován k odhalení problému dítěte, ke stanovení diagnózy, prognózy a optimálního nápravného postupu. Garantem diagnostiky SPU pro školství jsou pedagogicko-psychologické poradny, případně speciální pedagogická centra. Nezastupitelná role však patří učitelům, kteří bohužel své diagnostické možnosti mnohdy podceňují.

Diagnostika dyskalkulie může být rozdělena do několika rovin [8]: •

zjišťování pomocných diagnostických údajů

Zdravotní, sociální, školní anamnéza dítěte, zjišťovaná nejčastěji dotazníkem, rozhovorem s rodiči a učiteli. •

zjišťování úrovně intelektu

Diskrepance intelektového výkonu a výkonu ve školních aktivitách představuje základní diagnostické kritérium. •

zjišťování úrovně výkonů v počítání

Diagnostika matematických schopností nespočívá v uplatňování jednoho či dvou testů, nýbrž v aplikaci speciálně vypracovaného souborů testů a zkoušek, které nám pomohou posoudit širokou škálu podstatných dispozic.

2 DYSKALKULIE

25

U zjišťování úrovně matematických schopností se zaměřujeme na tyto oblasti a testy:

- schopnost klasifikace (třídění) - schopnost seriality - vytvoření pojmu čísla - základní matematická symbolika - základní matematické operace - Reyova figura - číselný trojúhelník - Kalkulia •

zjišťování úrovně funkcí, které výkony způsobují

Vnímání (zrakové, sluchové, vnímání času, prostoru, pravolevé orientace), lateralita, pozornost, motorika, rytmus atd. (nejčastěji vyhledávání dílčích deficitů výkonu) .

Tento diferencovaný diagnostický přístup je velmi důležitý pro diagnózu vývojových dyskalkulií, bez něj je velmi obtížné rozhodnout, zda se jedná o vývojovou poruchu učení, nebo o pseudodyskalkulii, respektive kalkulastenii. Takové rozhodnutí má zásadní význam pro vypracování cíleného, přísně individuálního a konkrétního obsahu pomoci dítěti, pro volbu odpovídajících metod a cvičení na reedukaci a kompenzaci obtíží v matematice. [12]

Diagnostika učitele při podezření na specifickou poruchu učení může vycházet ze stejných kritérií jako diagnostika poradenská, tzn. diskrepance mezi intelektovým výkonem a výkonem v počítání. Učitel většinou nemá k dispozici standardizované techniky, ale má výhodu dlouhodobého sledování dítěte v přirozených podmínkách, možnosti průběžného rozboru prací dítěte a neformálního vztahu s rodiči. Konečná diagnóza však přísluší odbornému pracovišti, které vyloučí záměnu s jinými možnými příčinami obtíží (vada zraku, sluchu, nižší rozumové schopnosti, změna zdravotního stavu dítěte apod.) a navrhne další postup.

2 DYSKALKULIE

26

2.5 Základní principy reedukace dyskalkulie Reedukace je označení takových speciálně pedagogických metod, které rozvíjejí nebo upravují porušené funkce a činnosti. Vztahují se též na odstraňování poruch čtení, psaní a počítání, jsou-li též podmíněny funkčními vadami analyzátorů. Principy, které jsou zde zmíněny, zahrnují rozvíjení předčíselných představ, výuku od konkrétního k abstraktnímu, poskytnutí dostatku možností a času pro procvičování, zobecňování pojmů a dovedností, které se žák naučil, práce se slabými a silnými stránkami žáka, budování základu pro matematické představy, poskytnutí vyváženého matematického programu a užití počítačů.

Základní principy reedukace dyskalkulie podle Chvalinové [7]: •

Budování základu čtení pro učení v matematice

Pokud chceme žáka v matematice naučit něco nového, musíme nejprve zjistit, zda již dosáhl znalostí potřebných ke vstřebání nové látky. Je to jakýsi základ, který je naprosto nezbytný a který umožňuje dítěti v matematice se dále rozvíjet. Úsilí věnované budování základu se učiteli vyplácí; později tyto znalosti pomáhají žákům v učení se a porozumění obtížnějšímu učivu. •

Postup od konkrétního k abstraktnímu

Žáci lépe porozumí učivu, pokud učitel bude postupovat od konkrétního učiva k abstraktnímu. Rozlišujeme několik úrovní názornosti, kterým náleží různorodé způsoby prezentace [13]. Konkrétně předmětová – předměty v určitém množství (počtu) Obrazově názorná – obrázky v určitém počtu Obrazově symbolická – tečky, čárky, kruhy,…v určitém počtu Verbálně symbolová – vyslovená čísla, příklady apod. Graficky symbolová (geometrické tvary) – číslice, příklady, operační znaky Abstraktní – algebraické výrazy apod.

2 DYSKALKULIE •

27

Procvičování a opakování

Žáci potřebují dostatek času pro zopakování a procvičení nově naučeného učiva k tomu, aby byli schopni používat tyto znalosti a dovednosti téměř automaticky. U každého žáka se dyskalkulie projevuje jiným způsobem a jeho potíže jsou individuální, je mnoho způsobů procvičování učiva a učitel by měl vybírat ty metody, které žákovy nejvíce vyhovují. Výběr metod záleží taktéž na věku žáka a typu učiva. •

Směřování žáků ke generalizaci

Žáci by se měli učit zobecňování v mnoha situacích. Cílem výuky zobecňování je to, aby žák získal schopnost rozpoznání početní operace a její následné aplikace do odlišné situace. •

Výuka matematického slovníku

Matematické pojmy a názvy jsou většinou pro žáka nové, a proto se je musí naučit. Např. dítě dobře ovládá početní operace, ale nezná přesné termíny, které se k operaci vztahují. •

Práce se slabými a silnými stránkami žáka

Před rozhodnutím, které metody a techniky v matematice použít, musí učitel znát slabé a silné stránky každého žáka. •

Upevňování matematických pojmů a dovedností

Při výuce matematiky by se měl učitel neustále snažit upevňovat matematické pojmy a dovednosti tak, aby se staly pro žáka kdykoli dosažitelné. •

Vyvážený matematický program

Matematické instrukce by měly být vyvážené a měly by obsahovat vhodnou kombinaci tří složek: pojmy, znalosti a dovednosti a řešení problémů. Tyto tři elementy jsou základní pro učení v matematice. •

Dostatek času

Učitel by neměl žáka stresovat příliš těsným časovým omezením jeho práce v matematice, neboť žáci s dyskalkulií většinou pracují pomalu a s obtížemi.

2 DYSKALKULIE

28

2.6 Kalkulátor jako kompenzační pomůcka Na začátku textu je třeba zmínit fakt, že používání kalkulačky „nedělá“ z dyskalkuliků žáky, u kterých je dyskalkulie odstraněna. Využívání kalkulátoru představuje jistou kompenzaci jeho obtíží. Používání kalkulátorů je opodstatněné u žáka s vývojovou dyskalkulií nebo hypokalkulií s převahou obtíží v numerické oblasti nebo v případech, kdy žák přiměřeně uplatňuje schopnost matematického úsudku, význam početních operací, algoritmů a spolehlivě pracuje s matematickou symbolikou. U takových žáků přináší používaní kalkulačky očekávaný efekt. Pokud však tyto podmínky nebudou respektovány, žák bude sice provádět číselné operace přesně, ale bude chybět přirozená logická kontrola správnosti výsledků. Kalkulačka se může stát i přítěží. Účelným prostředkem ke zmírnění určitých počtářských obtíží se může stát i proto, že často přispívá k potlačení obav z počítání, dodává pocity jistoty, vyšší výkonnosti, stává se i zdrojem motivace. [13]

Dříve než se žáci dostanou k výpočtům na kalkulátoru, je třeba, aby se seznámili s možnostmi používání kalkulátorů. Učitel by měl se žáky nacvičit uvádění kalkulátoru do chodu, zápis čísla a čtení z displeje. Od začátku by měli pracovat s kalkulačkou pod přímým a instruovaným vedením rodiče či pedagoga. Kompenzací jeho počtářských nedostatků se vytváří prostor, pro rozvíjení počtářských postupů a způsobů řešení, prostor pro rozvoj matematického myšlení. Práce s kalkulačkou také zapojuje do procesu počítání více smyslů, protože dbáme na to, aby dítě své konání komentovalo, vysvětlovalo, díky tomu se rozvíjí složka řečová a zrakem je kontrolována pozice čísel dávající určitý význam. Kalkulačka může sloužit jako prostředek následné kontroly správnosti řešení. Tato kontrola je velmi rychlá a snadná. [13]

Důležité je také správný výběr kalkulátoru, aby se nestalo, že místo kompenzační pomůcky se tento nástroj stane spíše přítěží pro žáka či studenta. Já jsem se osobně setkala se žákem, kterému špatný výběr kalkulátoru spíše ublížil než, aby zlepšil jeho počtářské dovednosti. Proto by rodiče těchto žáků měli dbát na výběr dobrého kalkulátoru a učitel by jim měl s výběrem pomoci, případně upozornit na nedostatky.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

29

3 Výzkumná část Problematika dyskalkulie je v současné době stále častějším tématem, hlavním důvodem je neustále se zvyšující počet žáků se specifickými poruchami učení. Ačkoliv stále významně převažují žáci se specifickou poruchou psaní a čtení, počet dětí s poruchou

matematických

schopností

je

taktéž

nezanedbatelný.

Problémy

v matematice, především v matematických činnostech mohou mít neblahý vliv i na ostatní přírodovědné předměty, kde se matematiky užívá. Ač žák chce, či nechce, matematika ho provází celým životem. Proto je velmi důležitá dobrá informovanost pedagogů matematiky o této problematice, jejich aktivní účast na reedukaci a hlavně porozumění těmto žákům. Třetím rokem doučuji dyskalkulika, který je nyní v prvním ročníku na střední škole. Na základní škole neměl s matematikou takové problémy, jako nyní. Určitě tomu velice pomohla jeho bývalá paní učitelka matematiky. Byla dobře informovaná o problematice dyskalkulie a neměla na žáka přehnané nároky. Sestavovala písemné práce s ohledem na jeho poruchu učení, i způsob známkování byl odlišný než u jiných žáků. Převrat nastal až po Honzově nástupu na střední školu. Paní učitelka matematiky nepřihlíží na jeho specifickou poruchu učení a nároky na něj má přehnané. Je překvapivé, že většina pedagogů matematiky na středních školách není dostatečně informována o SPU. Myslí si, že studenti s takovými poruchami nemají na těchto školách, co dělat. Avšak opak je pravdou. Já jsem například na gymnázium chodila do třídy s chlapcem, který je dyslektik a dysgrafik a teď studuje pátým rokem medicínu. Pedagogové mu vycházeli vstříc, například v angličtině místo písemného zkoušení byl zkoušen ústně. Učitelé by si měli tedy uvědomit, že v případě neochoty spolupracovat s těmito studenty, mohou žáky diskriminovat a nevědomky jim ublížit v budoucím životě. Vzhledem k těmto okolnostem se téma mého výzkumného šetření zabývá problematikou dyskalkulie na základních a středních školách. Výzkum byl prováděn anonymně pomocí dotazníků (dotazník uveden v příloze), který je rozdělen do dvou částí. První část, kterou vyplňovali výchovní poradci, se zabývá četností žáků se SPU na daných školách. Druhou část vyplňovali pedagogové matematiky. Tato část se zabývá informovaností o dané problematice a metodami práce s dyskalkuliky.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

30

Cílem výzkumu je zjistit: •

četnost žáků/studentů se specifickými poruchami učení, zvláště dyskalkuliků na základních a středních školách;

•

informovanost učitelů matematiky o této problematice;

•

metody práce pedagogů matematiky se žáky/studenty s dyskalkulií;

•

úpravu podmínek ve výuce matematiky pro tyto žáky/studenty;

•

učební látku, která je podle tázaných učitelů pro dyskalkuliky nejproblémovější, která jim naopak nedělá žádné problémy a kterou vzhledem k jejich poruše vysvětlují pouze orientačně;

•

míru spolupráce s rodiči těchto žáků/studentů.

3.1 Základní škola Dotazník byl vyplněn na jedenácti základních školách v Brně. Dvě z těchto škol jsou specializované na žáky se specifickými poruchami učení, což se projevilo na celkovém počtu žáků s těmito poruchami.

3.1.1 Vyhodnocení první části dotazníku na ZŠ Tuto část vyplňoval výchovný poradce na dané škole. Údaje, zde vyplněné, jsou pro první i druhý stupeň základní školy. Počet základních škol: 11 Počet žáků na základních školách: 4260 Počet žáků se specifickou poruchou učení : 965 Četnost žáků se SPU na dotazovaných školách

Počet žáků bez SPU Počet žáků se SPU

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

31

Relativní četnost žáků se specifickými poruchami učení vzhledem k celkovému počtu žáků na dotazovaných základních školách je 22,7 %. Počet žáků s diagnostikovanou dyskalkulií: 111 Četnost žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na dotazovaných školách

Počet žáků nemající diagnostikovanou dyskalkulii Počet žáků s diagnostikovanou dyskalkulií

Relativní četnost žáků s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků na dotazovaných základních školách je 2,6 %.

Četnost žáků s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků se SPU

Počet žáků se SPU bez diagnostikované dyskalkulie Počet žáků s diagnostikovanou dyskalkulií

Relativní četnost žáků s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků se SPU na dotazovaných základních školách je 11,5 %.

Počet žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na prvním stupni ZŠ: 33 Počet žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na druhém stupni ZŠ: 78

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

32

Žáci s diagnostikovanou dyskalkulií 1

Počet žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na prvním stupni ZŠ Počet žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na druhém stupni ZŠ

Relativní četnost žáků s diagnostikovanou dyskalkulií: •

na 1. stupni vzhledem k celkovému počtu těchto žáků na škole je 29,7 %;

•

na 2. stupni vzhledem k celkovému počtu těchto žáků na škole je 70,3 %.

Počet dívek s diagnostikovanou dyskalkulií na ZŠ: 64 Počet chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií na ZŠ: 47

Žáci s diagnostikovanou dyskalkulií 2

Počet dívek s diagnostikovanou dyskalkulií na ZŠ Počet chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií na ZŠ

Relativní četnost: •

dívek s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu těchto žáků na škole je 57,7 %;

•

chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu těchto žáků na škole je 42,7 %.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

33

Počet dyskalkuliků, kteří mají individuální vzdělávací plán: 11

Žáci s diagnostikavanou dyskalkulií 3

Počet dyskalkuliků, kteří nemají individuální vdělávací plán Počet dyskalkuliků, kteří mají individuální vdělávací plán

Relativní četnost žáků s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří mají individuální vzdělávací plán vzhledem k žákům s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří nemají individuální vzdělávací plán je 9,9 %.

Počet dívek s diagnostikovanou dyskalkulií, které mají individuální vzdělávací plán: 6 Počet chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří mají individuální vzdělávací plán: 5 Počet žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na prvním stupni, kteří mají individuální vzdělávací plán: 3 Počet žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na druhém stupni, kteří mají individuální vzdělávací plán: 8

Výchovní poradci uvádějí, že téměř u všech žáků s diagnostikovanou dyskalkulií se vyskytují i další poruchy učení. Převládají tyto specifické poruchy učení v následujícím pořadí od nejvíce se vyskytující po nejméně: dysortografie, dyslexie, dysgrafie. Dále výchovný poradce jedné základní školy uvádí i pomalé pracovní tempo.

Speciální třídy pro žáky se specifickými poruchami učení mají tři školy z celkového počtu dotázaných.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

34

1. škola - dvanáct tříd ve 3. - 9. ročníku; od 5. ročníku vždy dvě 2. škola - specializované třídy od 1. - 5. ročníku 3. škola - specializované třídy od 2. - 9. ročníku Jedna škola uvádí, že mají kroužky pro žáky se specifickými poruchami učení.

3.1.2 Závěr první části dotazníku na ZŠ Relativní četnost na dotazovaných základních školách: •

žáků se specifickými poruchami učení vzhledem k celkovému počtu žáků na škole je 22,7 %;

•

žáků s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků na škole je 2,6 %;

•

žáků s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků se SPU na škole je 11,5 %;

•

žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na 1. stupni vzhledem k celkovému počtu žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na škole je 29,7 %;

•

žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na 2. stupni vzhledem k celkovému počtu žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na škole je 70,3 %;

•

dívek s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na škole je 57,7 %;

•

chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na škole je 42,7 %;

•

žáků s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří mají individuální vzdělávací plán vzhledem k žákům s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří nemají individuální vzdělávací plán je 9,9 %.

Téměř u všech žáků s diagnostikovanou dyskalkulií se vyskytují i další poruchy učení. Speciální třídy pro žáky se specifickými poruchami učení mají tři školy z celkového počtu dotázaných škol.

Zastoupení dyskalkulie vzhledem k ostatním specifickým poruchám není zanedbatelná a tvoří 11,5 %. Také vidíme, že počet žáků s dyskalkulií je na druhém stupni daleko vyšší než na prvním. Toto zjištění je podle mého názoru spojeno s tím, že učitelé na prvním stupni teprve diagnostikují jednotlivé poruchy učení. Objevení takového žáka a

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

35

následné diagnostikování jeho neschopnosti v určitých vzdělávacích oblastech je pro pedagoga práce zdlouhavá a velmi náročná. Zajímavé také je, že podle tohoto dotazníku děvčata trpí touto specifickou poruchou učení častěji než chlapci.

3.1.3 Vyhodnocení druhé části dotazníku na ZŠ Tuto část vyplňovalo třicet učitelů matematiky na jedenácti různých základních školách v Brně. Odpovědi na otevřené otázky jsou doslovně opsané z vyplněných dotazníků. Pro zajímavost jsem v dotazníku uvedla i otázku ptající se na věk dotázaných učitelů. Věk dotázaných učitelů 14

Počet učitelů

12 10 8 6 4 2 0 20-30 let

31-40 let

41-50 let

51-60 let

61 a více let

Škála věků učitelů

Část první: Informovanost učitele o problematice dyskalkulie Otázka č. 1: Máte k dispozici dostatek informací o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy?

Ano (19) Ne (10) Nezodpovězeno (1)

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

36

Otevřené odpovědi: •

Ne, obecně je málo materiálů zabývajících se vývojovou dyskalkulií.

•

Ne, nápravy se většinou týkají žáků 1. stupně ZŠ, pro 2. stupeň ZŠ je velmi málo materiálů.

•

Uvítala bych více informací a pracovních sešitů (ne pouze Novák).

•

Informací mám dost, ale je nutné stále hledat nové. Rozhodně nevím vše.

•

Snažím se je pomalu získávat.

•

Ano, pokud něco nevím, poradím se se zkušenějšími kolegy.

•

Vycházím z doporučení PPP.

•

Informací o poruchách učení v matematice máme dostatek, ovšem o možnostech nápravy u dyslektiků na 2. stupni je velice málo (spíše čerpáme z poznatků a literatury pro 1. stupeň).

•

Souhrnně ano, ale pro 2. stupeň situace horší.

•

Pro 2. stupeň ne.

Otázka č. 2: Znáte knihu nebo metodickou příručku týkající se tohoto problému? Pokud ano, jakou?



Blažková R. – Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy; diplomová práce Jany Ullmannové (dostupné na internetu).

•

RNDr. Růžena Blažková : Dyskalkulický žák (názvem si nejsem jistá), ale je to jediná metodika, kterou k tomuto tématu znám.

•

Novák; Blažková.

•

O. Zelinková – reedukace; Koščova dyskalkulie; Blažková; Novák.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST •

37

Bartoňová: Kapitoly ze specifických poruch učení 1, 2; Blažková: Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy; Brázdová: Počítám už sám; Novák: Dyskalkulie; Pokorná: Cvičení pro děti s SPU…a další.

•

Novák – Dyskalkulie – pracovní listy.

•

Příručky předané na poradě, popř. při seminářích pořádaných Pedagogickou fakultou.

•

Dyskalkulie.

•

Michalová – Shody a rozdíly; Bednářová – Zrakové rozlišování; Rozvoj početních představ 1, 2, 3 – Michalová.

•

U sebe mám leták vydaný PPP města Brna.

•

Blažková; Matoušková; Vaňurová; Blažek – Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy.

•

Novák J. – Dyskalkulie, specifické poruchy počítání, metodika rozvíjení početních dovedností + pracovní listy.

•

Poruchy učení – Olga Zelinková; Specifické poruchy učení na 2.stupni ZŠ a na SŠ – Z. Michalová.

•

Z obecné literatury: Zelinková, O.: Poruchy učení, Portál 2003; Bartoňová, M.: Kapitoly ze spec.poruch učení 1, 2.

•

Poruchy učení: O. Zelinková; Teorie, diagnostika a náprava SPU: V. Pokorná.

•

Žádnou jsem nepotřebovala.

8 Počet učitelů

7 6 5 4 3 2 1

M á, at K. ou šk ov á, Va K. ňu ro vá U ,M llm an . no vá ,J .

. ,L

do v

šč

Br áz

Ko

řo vá

,J

.

,Z . dn á Be

M ic

ha l

ov á

á,

V.

M . á,

ko rn

rto Ba

Po

ňo v

á, O . ov

k, in k

N

ov á

Ze l

Bl

až k

ov

á,

R

J.

.

0

Autor knihy nebo metodické příručky

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

38

Otázka č. 3: Navštívil/a jste kurzy nebo semináře o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy? Jestli ano, jaké?



Zatím ještě ne, ale probíhají semináře RNDr. Blažkové – Dyskalkulický žák na 2. stupni ZŠ.

•

Ano, kurz o SPU obecně; „Dyskalkulický žák na 2. stupni“ – RNDr. Blažková; „Dyskalkulie – reedukace a diagnostika“ – Bednářová (Zachova).

•

PPP – paní Bednářová; Novák – seminář.

•

Ano, reedukace dyskalkulie.

•

Diagnostika dyskalkulie; Nový pohled na matematiku.

•

Ano, seminář vedený lektorkou PPP v Brně.

•

Další vzdělávání učitelů při PPP Zachova 1; Dyskalkulie – RNDr. Blažková Pedagogická fakulta; Kurz pro učitele pracující se žáky se SPU.

•

Ano, v Ostravě, název už nevím.

•

Ano, Dyskalkulie - metodika reedukace.

•

Ano – v poradně, konkrétně dyskalkulie (v Brně).

•

Seminář (o všech specifických poruchách) – dyskalkulii věnovány čtyři hodiny.

•

Během své praxe několikrát.

•

Ano – Poruchy učení v matematice.

•

Ano, semináře v PPP Kohoutova o dyskalkulii; semináře pana Nováka.

•

Ano na VŠ; má diplomová práce (Poruchy učení u žáka na 2. stupni ZŠ) – matematika (geometrie).

•

V rámci studia matematiky na PdF; v rámci studia speciální pedagogiky; Školení pro pedagogy naší školy - práce s dětmi s SPU.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

39

•

Ano – školení pro pedagogické pracovníky na škole – SPU.

•

Ano, školení SPU.

•

Ano, školení v naší škole SPU.

•

Ano – Dyskalkulie – metody a pomůcky.

•

Ano – seminář pana Nováka.

Část druhá: Práce s dyskalkulickým žákem

Otázka č. 4: Používáte speciální reedukační metody a pomůcky při práci s dětmi s dyskalkulií? Pokud ano, jaké a v jakém učivu?

Ano (20) Ne (10)


Ano – tabulky násobků, číselná osa, pomůcky na převody jednotek, vzorce u mocnin a obtížné algoritmy. Pomůcky se osvědčí, umí-li je žák používat a snaží se o lepší výkon.

•

Ano, děti mají pomůcky na převody jednotek, pro názor používáme různé skládanky z papíru (geometrie, zlomky), na stěně obraz s obtížnými algoritmy (početní operace se zlomky), mají k ruce vzorové příklady (na procenta), někteří i u testu. Osvědčily se mi u každého učiva pokud je žák snaživý a chce mít lepší známky. U některých žáků nepomůže sebelepší pomůcka.

•

Doučování, různé tabulky – na sčítání, násobení, dělení. Pomůcky: zápalky, víčka od PET lahví, papírové peníze, hry. Pomůcky se osvědčují vždy. Děti potřebují zapojit, co nejvíce smyslů.

•

Opora o názor, konkrétní pomůcky, číselná osa, používání tabulek, více času, méně příkladů.


40

Ano, používáme tabulky pro sčítání, násobení. Využíváme práci s kalkulačkou. Názorné modely. V jednoduchých úkolech pomáhají v samostatnosti žáka. Např. při písemném dělení víceciferným dělitelem žáka zdržují a ti pak zapomínají vlastní postup při počítání.

•

Velmi málo, nejsem v tomto oboru vzdělaná. Snad: sítě 10 × 10, 10 × 1, …pro lepší představu o číslech v řádu stovek, desítek, jednotek; pro odvození desetinného čísla; číselné osy.

•

Karta násobků, názorná číselná osa, karty s čísly.

•

Číselná osa, kartičky s čísly, karty, hry.

•

Nemám dyskalkulika, je asi potřeba spousta pomůcek, které usnadní přemýšlení.

•

Žáci s dyskalkulií mají k dispozici kalkulačku při složitějších výpočtech.

•

Pracovní listy, číselné tabulky (násobky, osa), domino, kalkulačky atd. Učivo – sčítání, odčítání – přechod přes desítku, násobilka, geometrie, desetinná čísla, zlomky. Vše se osvědčilo.

•

Nemám žáka s dyskalkulií, momentálně. V minulých letech byly využívány pomůcky – tabulky násobilky, číselné osy.

•

Ve škole mají reedukační cvičení. Při převodech jednotek – obrazové pomůcky, modely geometrických těles.

•

Činnostní učení – pomůcky vyrobené žáky. Desetinná čísla, zlomky, celá čísla, geometrické symboly, úhly.

•

Reedukační kroužek na škole, přehledné tabulky – např. vzorce, převody jednotek. Problémy: zlomky, celá čísla!

•

Kalkulačka již od 6. třídy. Početní operace činí obrovské potíže. Vždy provádím redukci v počtu zadaných příkladů.

•

Počítá jen jednodušší příklady s číselnou osou a kalkulačkou.

•

Jednodušší příklady, kalkulačka.

•

Metody ne. Individuální přístup, počítání s pomocí učitele, kalkulačka.

•

Metody ne (je to práce hlavně pro žáky 1. stupně). Pokud potřebuje, může používat tabulky násobků (výpočty s celými, desetinnými čísly).

•

Většina pomůcek je potřeba, aby se používala na 1. stupni ZŠ, na 2. stupni je už náprava skoro nemožná, mohou si malovat či modelovat (špejlemi, pastelkami) dané situace, potřebují názornost (např. čtverec, nejen pojem, ale oni si ho musí namalovat, popř. vystřihnout a osahat, jak opravdu vypadá).


41

PC – hlavně aritmetika; multimediální učebna (interaktivní tabule). Obecné metody (např. od konkrétnímu k abstraktnímu, práce se slabými a silnými stránkami žáka). Geometrie, zlomky, převody jednotek – demonstrační pomůcky, tvorba modelů. Snaha zapojit zrak, sluch i hmat. U individuálně integrovaných větší pozornost k práci žáka, hlavně při samostatné práci.

•

Postupně rozvíjet, nabalovat, rozšiřovat; strategie učení; od konkrétnímu k abstraktnímu; upevňování pojmů a dovedností. Využívám téměř všude. Programy na PC; interaktivní tabule; zábavná forma.

•

Individuální přístup. Demonstrace na konkrétních a názorných příkladech.

•

Rozvíjet, strategie učení. Od konkrétního k abstraktnímu. Upevňování dovedností.

•

Tabulky na násobení, kalkulátory.

•

Ano, kalkulačka (aritmetika).

Otázka č. 5: Která učební látka, podle vás, dělá dyskalkulikům největší a která naopak nejmenší problém?

Největší problém: Aritmetika: •

numerické počty: sčítání, odčítání, násobení, dělení (uvedlo 6 pedagogů);

•

přechod přes 10 (uvedli 2 pedagogové);

•

počítání s vícecifernými čísly (uvedli 2 pedagogové);

•

zlomky (uvedli 2 pedagogové);

•

převody jednotek (uvedli 2 pedagogové);

•

záporná čísla (uvedl 1 pedagog);

•

racionální čísla (uvedl 1 pedagog);

•

desetinná čísla (uvedl 1 pedagog);

•

přednost početních operací (uvedl 1 pedagog);

•

více početních výkonů – operací v jednom příkladu (uvedl 1 pedagog).

Algebra: •

slovní úlohy (uvedlo 10 pedagogů);

•

Pythagorova věta (uvedli 2 pedagogové);

•

vzorce (uvedl 1 pedagog);

•

dosazení za neznámou (uvedl 1 pedagog);


42

vždycky když se jedná o početní operace - a 6 ⋅ a 2 = a ? 6 x − 4 x = 36 − 9 (uvedl 1 pedagog);

•

abstraktní učivo (např. mnohočleny…) (uvedl 1 pedagog).

Geometrie: •

prostorová představivost, orientace (uvedli 3 pedagogové);

•

rýsování (uvedl 1 pedagog);

•

nízká úroveň nákresů (uvedl 1 pedagog).

Jiné odpovědi: •

Odhad výsledku, zhodnocení zda je výsledek reálný.

•

Odvíjí se podle typu diagnostikované dyskalkulie.

•

Mají problémy s většinou látek.

•

Abstraktní myšlení.

•

Neměla jsem možnost posoudit.

•

Jak komu.

•

Problém vyřeší logicky správně (např. Pythagorovu větu), početně nezvládnou.

•

Setkala jsem se pouze s jednou žákyní před mateřskou, řadu věcí si znovu ověřuji.

•

Nevím, myslím, že téměř vše.

•

Vyžadující logické myšlení.

•

Pokud s kombinací s dalšími SPU objevují se problémy při slovních úlohách.

Nejmenší problém: Aritmetika: •

jednoduché písemné sčítání (uvedli 2 pedagogové);

•

počítání do 10 (uvedl 1 pedagog);

•

mechanické počítání (uvedl 1 pedagog);

•

písemné odčítání (uvedl 1 pedagog);

•

počítání s přirozenými čísly (uvedl 1 pedagog);

•

násobilka (uvedl 1 pedagog);

•

převody jednotek (uvedl 1 pedagog).

Algebra: •

jeden jednoduchý algoritmus, nebo i složitější, ale jen jeden (uvedl 1 pedagog).

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

43


Mechanická paměť (pamětní příklady, postupy).

•

Individuální (záleží na typu dyskalkulie).

Otázka č. 6: Jakou učební látku těmto žákům vysvětlujete pouze orientačně?

Aritmetika: •

počítání s vysokými čísly (uvedl 1 pedagog);

•

více početních operací (uvedl 1 pedagog).

Algebra: •

obtížné, náročnější slovní úlohy (uvedlo 5 pedagogů);

•

lomené výrazy (uvedli 4 pedagogové);

•

goniometrické funkce (uvedli 2 pedagogové);

•

rovnice s neznámou ve jmenovateli (uvedli 2 pedagogové);

•

slovní úlohy o pohybu a práci (uvedli 2 pedagogové);

•

statistické výpočty (uvedl 1 pedagog);

•

finanční matematika (uvedl 1 pedagog).

Geometrie: •

jehlan, kužel (uvedl 1 pedagog);

•

kružnice opsané (vepsané) trojúhelníku (uvedl 1 pedagog);

•

poměry, povrchy a objemy těles (uvedl 1 pedagog).


Individuálně (asi žádné).

•

Nelze nic vysvětlovat orientačně, vše na sebe navazuje, pouze zjednodušovat.

•

Otázku názvů v matematice – viz. menšitel, menšenec, podíl…atd.

•

Vysvětluji jim všechno.

•

Řeší vždy jen jednodušší příklady.

•

Slyší stejný výklad jako ostatní žáci třídy, nároky na ně kladené jsou menší.

•

Časově náročné učivo (lomené výrazy, vzorce, …), zde chci, aby znali pouze základní učivo.

•

Snažím se jim vždy vysvětlit každou látku (mnohdy jsou šikovnější než žáci bez dyskalkulie).

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

44

Otázka č. 7: Mohou žáci s dyskalkulií používat na vaší škole kalkulačku? Pokud ano, mohou ji používat i během písemné práce či zkoušení?



Rozhodně ano, běžně ve vyučovací hodině i při písemné práci (pro jistotu žáka).

•

Ano, i při testech a písemných pracích.

•

Na nižším stupni ji nepoužívají – pracují s pomocnými tabulkami.

•

Ano mohou. Při vážném stupni dyskalkulie i při zkoušení, ale v malé míře.

•

Ano. Při písemné práci či zkoušení také, ale při náročnějších výpočtech.

•

Ano i při písemné práci či zkoušení.

•

Ano, vždy a za všech okolností.

•

Jsem radši, když využívají tabulky násobků a číselné osy.

•

Ano, u písemných prací – dle charakteru práce.

•

Při procvičování učiva ano, k písemce ne. Jsou voleny tak, že zvládají bez kalkulačky.

•

Ano, pokud se přímo neučí základní početní operace.

•

Ano, při procvičování. V testech výjimečně.

•

Ano, jen výjimečně, jinak ne.

•

Ano mohou, záleží na probírané látce.

•

Ano, u písemné práce závisí na obtížnosti.

•

Ano, ale záleží na probíraném učivu, mají-li pochopit např. princip sčítání desetinných čísel, počítají bez kalkulačky, pokud je to učivo, kde není princip základních výpočtů, mohou používat i při některých písemných pracích.

•

Ano, při zkoušení jen pokud nejde právě o numeriku.

•

Ano (v písemných pracích ne – volím lehké výpočty).


45

Ve vyšších ročnících lze, u menších raději tabulky s násobením.

Otázka č. 8: Sestavujete písemné práce pro tyto žáky s ohledem na jejich specifickou poruchu učení?

Ano (20) Občas (1) Ne (8) Nezodpovězeno (1)


Ano, méně příkladů, sestavené z příkladů z vyučovacích hodin, menší čísla.

•

Ano, zadávám méně příkladů a nepoužívám zbytečně velká čísla.

•

Ano, zejména v oblasti přehlednosti, porozumění i náročnosti.

•

Ne, někdy stanovím, co nemusí v testu vypracovat – zohledním časově.

•

Ano, nebo redukuji příklady.

•

Ne, hodnotím jinak.

•

Ano, méně příkladů či více času.

•

Ano, na PC často pracovní listy.

•

Součástí prací jsou vždy příklady, které mohou zvládnout a mají více času k vypracování.

Otázka č. 9: Hodnotíte tyto žáky s ohledem na jejich specifickou poruchu učení?


3 VÝZKUMNÁ ČÁST

46


„Nadhodnocení“ oproti žákům bez těchto poruch.

•

Ano, ale hlavně se upravují podmínky pro práci v matematice, více než vlastní hodnocení.

•

Při písemce mají menší počet příkladů.

•

Ano, s ohledem na jeho možnosti.

Otázka č. 10: Informujete rodiče, jak mají pracovat s těmito dětmi? Pokud ano, jak?



V naléhavém případě telefonicky, ale jinak na třídních schůzkách. Důležitá je domácí příprava žáka a dohled a pomoc rodiče, pokud si žák neví rady. Ideální by bylo projít doma znovu látku probranou ve škole, snažit se vypracovat DÚ.

•

Pokud rodiče přijdou na třídní schůzky. Kontrolovat, zda mají všechny pomůcky nachystané do školy, dohlédnout na domácí úkoly – pomoc pouze pokud dítě neví dál, i doma používat pomůcky ze školy.

•

Ano, učím rodiče pracovat s pomocnými tabulkami.

•

Ano, používání tabulek, přehledu učiva, názorné pomůcky, číselná osa.

•

S rodiči jsou dle jejich zájmu vedeny konzultace. Snaha směřuje k týmové práci. Zejména jsou objasňovány postupy při počítání a individuální formy přístupu.

•

Ano. Seznámím, jak bude žák hodnocen, co by měl zvládnout a co bude tolerováno, popř. nepožadováno.

•

Ano, matematické hry, hry s čísly, hry s penězi, sepětí čísly v životě.

•

Ano, ústně.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

47

•

Nezajímají se.

•

Ano, na hovorových hodinách, individuální pohovor – většinou to nemá význam.

•

Ano – osobní schůzka, ukázky práce, doporučení poradny.

•

Ne (rodiče, kteří zájem mají, tak spolupracují samí).

•

Ano. Sebevědomí je nutno budovat pravidelnou přípravou na vyučování. Optimistický výhled.

•

Ano, spolupracovali ochotně.

•

Pokud mají zájem o zlepšení a práci s dítětem, ano.

•

Hovorové hodiny, konzultační hodiny.

•

Konzultační a hovorové hodiny.

•

Jsou informováni z PPP, měli by s dítětem denně chvíli pracovat, představovat si dané početní situace, modelovat pomocí špejlí, pastelek, lepit, stříhat, mít trpělivost.

•

Ano, rozhovorem s rodiči.

•

Ano, jak mají pracovat s dítětem při domácí přípravě.

•

Větší péče při domácí přípravě; informovanost více ze strany PPP.

•

Ano (názornost, trpělivost, důslednost).

•

Ano, věnovat se dětem doma.

•

Upozorňuji na problémy a důvěřuji radám PPP.

•

Ano, nabízíme formu doučování s vyučujícím.

3.1.4 Závěr druhé části dotazníku na ZŠ Část první: Informovanost učitele o problematice dyskalkulie

•

63,3% z celkového počtu dotázaných učitelů matematiky uvedlo, že mají k dispozici dostatek informací o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy. Zmiňují se, že pro druhý stupeň je situace v tomto ohledu horší než na prvním. Často čerpají z materiálů pro první stupeň. Také by uvítali více pracovních listů.


48

50% z celkového počtu dotázaných učitelů matematiky uvedlo, že znají knihu nebo metodickou příručku týkající se tohoto problému. Sedm pedagogů uvedlo: Blažková, R.; šest: Novák, J.; čtyři: Zelinková, O. Dva uvedli: Bartoňová, M.; Pokorná, V.; Michalová, Z. Další autory uvedl pouze jeden učitel: Košč, L.; Brázdová, K.; Bednářová, J.; Matoušková, K.; Vaňurová, M.; Ullmannová, J.

•

66,7% z celkového počtu dotázaných učitelů matematiky uvedlo, že navštívili kurzy nebo semináře o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy.

Vidíme, že informovanost učitelů základních škol v daném tématu je v celku dobrá.


•

66,7% z celkového počtu dotázaných učitelů matematiky uvedlo, že používají speciální reedukační metody a pomůcky při práci s dětmi s dyskalkulií. Pedagogové zmiňovali nejčastěji tyto pomůcky: číselná osa; přehledné tabulky (např. vzorce, převody jednotek, vzorce u mocnin, obtížné algoritmy); tabulky na sčítání, násobení, dělení; pomůcky na převody jednotek (např. obrazové pomůcky, modely těles). Z metod zmiňovali nejčastěji přechod od jednoduššího ke složitějšímu; opora o názor (skládanky z papíru - geometrie, zlomky, zápalky, papírové peníze, karty, hry). Většina matematiků se snaží ve výuce s dyskalkuliky zapojit jejich zrak, sluch i hmat. Zajímavé je využití PC a multimediální tabule při výuce těchto žáků.

•

Největší problém podle dotázaných učitelů dělají těmto žákům slovní úlohy, numerické počty (sčítání, odčítání, násobení, dělení), prostorová představivost a orientace. Jako nejméně problémovou oblast uvádějí mechanické počítání a postupy.

•

Sedm z dotázaných učitelů vysvětluje žákům s dyskalkulií složité slovní úlohy pouze orientačně. Dále uvádějí, že studenti řeší pouze jednodušší příklady; u učiva, které je časově náročnější vybírají jen základní učivo.


49

90 % z celkového počtu dotázaných učitelů matematiky uvedlo, že žáci s dyskalkulií mohou, v jejich výuce, používat kalkulačku. Zmiňují, že na prvním stupni dyskalkulici nemohou používat kalkulačku, protože se zde učí základní početní operace, ale na druhém stupni její využití už tolerují. V testu při náročnějších výpočtech téměř u všech učitelů mohou požívat kalkulačku, nejedná-li se přímo o základní početní operace.

•

66,7 % z celkového počtu dotázaných učitelů matematiky uvedlo, že sestavuje písemné práce pro tyto žáky s ohledem na jejich specifickou poruchu učení. Nebo alespoň redukuje počet příkladů oproti ostatním žákům a dyskalkulici mají rovněž dostatek času na nerušené vypracování písemné práce.

•

93,3 % z celkového počtu dotázaných učitelů matematiky uvedlo, že hodnotí tyto žáky s ohledem na jejich specifickou poruchu učení. Z odpovědí vyplývá, že pedagogové buď sestavují písemné práce s ohledem na jejich SPU nebo tyto žáky hodnotí jiným způsobem.

•

86,7 % z celkového počtu dotázaných učitelů matematiky uvedlo, že informuje rodiče, jak mají pracovat s těmito dětmi. Nejčastěji na třídních schůzkách či hovorových hodinách. Radí jim, jak mají užívat speciální reedukační pomůcky, upozorňují na důležitost domácí přípravy, pomoci a kontroly těchto žáků ze stran rodičů.

Z výzkumu vyplývá, že učitelé základních škol se snaží upravovat podmínky pro žáky s diagnostikovanou dyskalkulií v rámci jejich kompetencí.

3.2 Střední škola Dotazník byl vyplněn na jedenácti středních školách v Brně. Převládaly integrované střední školy. Jsou zde uvedena i dvě gymnázia.

3.2.1 Vyhodnocení první části dotazníku na SŠ Tuto část vyplňoval výchovný poradce na dané střední škole.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

50

Počet středních škol: 11 Počet studentů na středních školách: 7470 Počet studentů se specifickou poruchou učení : 720 Četnost studentů se SPU na dotazovaných školách

Počet studentů bez SPU Počet studentů se SPU

Relativní četnost studentů se specifickými poruchami učení vzhledem k celkovému počtu studentů na škole je 9,6 %. Počet studentů s diagnostikovanou dyskalkulií: 90 Četnost studentů s diagnostikovanou dyskalkulií na dotazovaných školách

Počet studentů nemající diagnostikovanou dyskalkulii Počet studentů s diagnostikovanou dyskalkulií

Relativní četnost studentů s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu studentů na škole je 1,2 %.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

51

Četnost studentů s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu studentů se SPU Počet studentů se SPU bez diagnostikované dyskalkulie Počet studentů s diagnostikovanou dyskalkulií

Relativní četnost studentů s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu studentů se SPU na škole je 12,5 %.

Počet dívek s diagnostikovanou dyskalkulií na SŠ: 41 Počet chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií na SŠ: 49

Studenti s diagnostikovanou dyskalkulií 1

Počet dívek s diagnostikovanou dyskalkulií na SŠ Počet chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií na SŠ

Relativní četnost: •

dívek s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu těchto studentů na škole je 45,6 %;

•

chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu těchto studentů na škole je 54,4 %.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

52

Počet dyskalkuliků, kteří mají individuální vzdělávací plán: 11

Studenti s diagnostikovanou dyskalkulií 2

Počet dyskalkuliků, kteří nemají individuální vzdělávací plán Počet dyskalkuliků, kteří mají individuální vzdělávací plán

Relativní četnost studentů s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří mají individuální vzdělávací plán vzhledem k studentům s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří nemají individuální vzdělávací plán je 12,2 %.

Počet dívek s diagnostikovanou dyskalkulií, které mají individuální vzdělávací plán: 7 Počet chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří mají individuální vzdělávací plán: 3

Výchovní poradci uvádějí, že téměř u všech studentů s diagnostikovanou dyskalkulií se vyskytují i další poruchy učení. Převládají tyto specifické poruchy učení v následujícím pořadí od nejvíce se vyskytující po nejméně: dysortografie, dyslexie, dysgrafie. Vidíme, že zde je stejné pořadí jako u škol základních.

Speciální třídy pro studenty se specifickými poruchami učení nemá žádná z dotazovaných středních škol. Avšak jedna z nich je specializována celkově na žáky se speciálními potřebami, tedy i na žáky se specifickými poruchami učení.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

53

3.2.2 Závěr první části dotazníku na SŠ Relativní četnost na dotazovaných středních školách: •

studentů se specifickými poruchami učení vzhledem k celkovému počtu studentů na škole je 9,6 %;

•

studentů s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu studentů na škole je 1,2 %;

•

studentů s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu studentů se SPU na škole je 12,5 %;

•

dívek s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu studentů s diagnostikovanou dyskalkulií na škole je 45,6 %;

•

chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu studentů s diagnostikovanou dyskalkulií na škole je 54,4 %;

•

studentů s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří mají individuální vzdělávací plán vzhledem k studentům s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří nemají individuální vzdělávací plán je 12,2 %.

Téměř u všech žáků s diagnostikovanou dyskalkulií se vyskytují i další poruchy učení. Speciální třídy pro žáky se specifickými poruchami nemá žádná z dotazovaných středních škol.

Zastoupení dyskalkulie vzhledem k ostatním specifickým poruchám není zanedbatelná a tvoří 12,5 %. Zajímavé také je, že podle tohoto dotazníku chlapci trpí touto specifickou poruchou učení častěji než děvčata.

3.2.3 Vyhodnocení druhé části dotazníku na SŠ Tuto část vyplňovalo třicet čtyři pedagogů matematiky na jedenácti různých středních školách v Brně. Odpovědi na otevřené otázky jsou doslovně opsané z vyplněných dotazníků. Pro zajímavost jsem v dotazníku uvedla i otázku ptající se na věk dotázaných pedagogů.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

54 Věk dotázaných pedagogů

Počet pedagogů

12 10 8 6 4 2 0 20-30 let

31-40 let

41-50 let

51-60 let

61 a více let

Škála věků pedagogů

Část první: Informovanost pedagoga o problematice dyskalkulie Otázka č. 1: Máte k dispozici dostatek informací o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy?

Ano (24) Ne (10)


Ano - školní psycholog, speciální pedagog, učitelská knihovna.

•

Jelikož jsem psal na dané téma diplomovou práci a setkávám se s těmito dětmi každý den, tak určitě ano.

•

Ano - internet.

•

K dispozici na internetu, pokud potřebuji, najdu si.

•

Ne, nevyhledávám je.

•

Myslím, že ne, jen z internetu.

•

Ne – jen doporučení z PPP.

•

Ano – hlavně přes internet.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

55

•

Problém studuji.

•

Mám dostatek informací o poruchách učení. Poznatky jsem získal při studiu na PdF - MU a na školeních zaměřených na tuto problematiku.

Otázka č. 2: Znáte knihu nebo metodickou příručku týkající se tohoto problému? Pokud ano, jakou?

Ano (14) Ne (19) Nezodpovezeno (1)


Poruchy učení (Portál).

•

Ano – publikace RNDr. Blažkové.

•

Novák – Dyskalkulie; Blažková – má několik publikací; Kern – Psychologie; Pokorná – Poruchy učení.

•

Ano – Poruchy učení (Olga Zelinková).

•

Dyskalkulie a její reedukace (Kynkorová.)

•

Ne, informace čerpám z internetu.

•

Bartoňová, M.: Kapitoly ze specifických poruch učení 1, 2; Novák, J.: Dyskalkulie; Blažková, R.: Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy.

•

Měla jsem možnost prolistovat několik titulů, ale konkrétní název si nepamatuji.

•

Dyskalkulie, Simon Hendrik.

•

Ano, Poruchy učení – O. Zelinková.

•

Před lety jsem ukončil studium speciální pedagogiky – SVPU, dyskalkulie tam určitě byla.

•

Ne, jen obecné informace z různých speciálních pedagogických knih.

•

Materiál vydán okresní předmětovou komisí.


56

Dyskalkulie, autor: Simon Hendrik.

Počet pedagogů

4 3 2 1

ko rn á

,V .

J á, or ov nk

Po

. Ky

á, rto ňo v Ba

Ke rn ,B

M .

J. N

ov á

k,

S. rik , en d H

ov in k Ze l

Bl až k

ov

á,

R

á, O .

.

0

Autor knihy nebo metodické příručky

Otázka č. 3: Navštívil/a jste kurzy nebo semináře o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy? Jestli ano, jaké?

Ano (10) Ne (24)


Dyskalkulie na ZŠ a její eliminace u dětí.

•

Ano – RNDr. Blažková.

•

Dyskalkulie a její reedukace; Dyslexie a dysgrafie.

•

Studium Speciální pedagogiky na Pedagogické fakultě MU – v rámci předmětů Základy speciální pedagogiky – SPU. Specializace tři SPU.

•

Ano byla, pořádalo to Středisko služeb školám, ale pro střední školu to nemělo význam.

•

Neabsolvovala jsem žádné kurzy.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

57

•

Ano v PPP, ale pro střední školu nemělo smysl.

•

V 58. letech bylo podmínkou od vedení školy doplnit si speciální pedagogiku. Byly to školy „Základní, střední a mateřské školy pro zrakově postižené“ v Brně.

•

Ne, ale mám doma speciální pedagožku.

•

Měla jsem tři případy o průměrných IQ a vždy jsem spolupracovala úzce s psychologem.

•

Ano, název kurzu: Poruchy učení v předmětu matematika na ZŠ.

•

Seminář „ Specifické poruchy učení a chování v matematice“ v květnu 2006.

B) Práce s dyskalkulickým studentem Otázka č. 4: Používáte speciální reedukační metody a pomůcky při práci se studenty s dyskalkulií? Pokud ano, jaké a v jakém učivu?



V současné době neučím žádné dítě s touto poruchou. V minulosti jsem používal především osobně vyrobené a vytvořené pomůcky – pexeso, listy, tabulky… Umožňuji žákům používat kalkulačku, tabulky násobků apod. Míra úspěšnosti závisela spíše na osobnosti dítěte, ne na učivu.

•

V současné době nepracuji s dyskalkulikem.

•

Mám plno her v matematice, které jsou výborné pro dyskalkuliky (zlomky, desetinná čísla – dokonce i matice). Nejméně se osvědčily pomůcky v geometrii.


58

Znázorňování na číselné ose, grafické znázornění – rozbor situací řešených slovních úloh, grafické a barevné rozlišování, postupné osvojování podle stupně náročnosti.

•

Individuální přístup – vysvětlení látky na názorných jednoduchých příkladech, přísun učiva v malých krocích, použití prstů, názorných předmětů – kostky, peníze…

•

Snažím se používat individuální přístup, za celou praxi jsem měla čtyři dyskalkuliky (potvrzení), z toho tři učně.

•

Ne – reedukace na střední škole již prováděna není. V maturitních oborech střední školy technického typu se dyskalkulie nepředpokládá, její výskyt je závažným problémem pro absolvování studia.

•

Kalkulačky, při každém učivu, kde počítají s většími čísly než je číslo 10.

•

Modely těles, kalkulátory.

•

Používám v hodinách kalkulačky.

•

Nechávám je používat kalkulačky a dám jim více časové dotace. Ve stereometrii používáme prostorová tělesa.

•

Prostorová orientace – 3. ročník SOU - tělesa, 1. ročník SOU – souměrnosti.

•

Vzorce na kartičkách a vzorové příklady, které mohou používat při zkoušení a písemných pracích. Tabulky, kalkulačka, sítě těles, tělesa.

•

Ano, vyžaduje to individuální přístup a hlavně názorné pomůcky.

•

Ne, snažím se aplikovat zkušenosti.

•

Ne. Při písemných pracích kalkulačka a více času.

•

Nepoužívám, protože ve svých třídách nemám žádného žáka s nahlášenou dyskalkulií.

•

V tomto školním roce mám mezi svými žáky pouze dva s lehčí formou dyskalkulie.

•

Ne, s žádným skutečným dyskalkulikem jsem nepřišla do styku.

•

Zatím nemám takové studenty.

•

Ne – nebyla žádná nabídka.

•

Použití kalkulačky; delší čas na výpočty; při hodnocení důraz na postup, ne výsledek; možnost individuálních konzultací - týká se veškerého učiva.


59

Pokud dyskalkulik projeví sám zájem, zvolím individuálnější přístup. Je lépe, když tito žáci sedí vpředu, aby bylo možné sledovat jejich tempo, rozdělit úlohy na dílčí kroky, znovu vysvětlit na příkladu v době, kdy ostatní žáci mají samostatnou práci. Souběžně s numerickým výpočtem pracujeme s kalkulačkou.

•

Úlohy dělíme na dílčí kroky, odhadujeme výsledky, výpočty provádí žák na kalkulačce.

Otázka č. 5: Která učební látka, podle vás, dělá dyskalkulikům největší a která naopak nejmenší problém?

Největší problém: Aritmetika: •

numerické počítání (uvedli 3 pedagogové);

•

početní operace (uvedli 3 pedagogové);

•

mocniny (uvedli 2 pedagogové);

•

početní úkony se zlomky (uvedli 2 pedagogové);

•

početní úkony s většími čísly (uvedl 1 pedagog);

•

početní úkony s celými čísly (uvedl 1 pedagog).

Algebra: •

algebraické výrazy a jejich úprava (uvedlo 6 pedagogů);

•

slovní úlohy (uvedli 4 pedagogové);

•

numerické počítání v učivu algebry (uvedli 2 pedagogové);

•

vzorce (jejich úprava, dosazování do vzorců,…) (uvedli 2 pedagogové);

•

práce s proměnnými (uvedl 1 pedagog);

•

procenta (uvedl 1 pedagog);

•

rovnice a jejich řešení (uvedl 1 pedagog);

•

algebra jako celek (uvedl 1 pedagog).

Geometrie: •

prostorová představivost v geometrických úlohách (uvedli 3 pedagogové);

•

grafy funkcí (uvedli 2 pedagogové);

•

geometrie jako celek (uvedl 1 pedagog).

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

60


Záleží na míře a typu postižení – osobní zkušenost mám s nezvládnutou algebrou.

•

Vyčíslování, práce s abstraktními pojmy.

•

To jsem nezjistila, domnívám se, že určitě numerické počty.

•

Dle typu dyskalkulie - na SŠ technického typu dělá problémy prakticky každé učivo.

•

Nevím, nemám dostatek zkušeností k posouzení.

•

Téměř všechny oblasti matematiky.

•

Je to individuální, některá témata žáci zvládnou opožděně.

Nejmenší problém: Aritmetika: •

numerické výpočty (uvedl 1 pedagog).

Algebra: •

rovnice a jejich řešení (uvedli 3 pedagogové);

•

procenta (uvedl 1 pedagog);

•

slovní úlohy (uvedl 1 pedagog);

•

funkce (uvedl 1 pedagog).

Geometrie: •

geometrie jako celek (uvedlo 8 pedagogů);

•

rýsování (uvedli 2 pedagogové);

•

úlohy s prostorovou představivostí (uvedl 1 pedagog);

•

planimetrie (uvedl 1 pedagog).


Záleží o jaký typ dyskalkulie jde (geometrie, rovnice, funkce).

•

Nejlépe se zvládají výpočty s kalkulačkou.

•

Všechno jde, když se chce!

•

Učím pouze dva dyskalkuliky (diagnostikované). Dyskalkulici dokáží pracovat lépe než řada žáků bez diagnostikovaných poruch, vědí už ze ZŠ, jak se svým problémem vyrovnat, jejich výsledky se neliší od ostatních studentů, často jsou dokonce lepší.


61

Dílčí látky.

Otázka č. 6: Jakou učební látku těmto studentům vysvětlujete pouze orientačně?

•

binomická věta (uvedl 1 pedagog)

•

konstrukční úlohy (uvedl 1 pedagog)

•

množina všech bodů dané vlastnosti (uvedl 1 pedagog)

•

tělesa (uvedl 1 pedagog)

•

funkce (uvedl 1 pedagog)


Nemám zkušenost.

•

Učím je vše, nedávám jim obtížnější úlohy.

•

Žádnou – maturitu totiž také neskládají pouze orientačně, takže je potřeba, aby měli učivo opravdu zvládnutelné.

•

Téměř vše.

•

V rozsahu učňovského učiva se snažím dosáhnout toho, aby pochopili veškerou látku.

•

V učivu SOU není taková učební látka.

•

Vzhledem k dotaci dvě hodiny matematiky týdně jim vysvětluji stejné učivo, jako ostatním žákům.

•

Kromě základních pojmů vše.

•

Žák je součástí třídy (30 žáků), individuální práce ve třídě je sporadická. Soustavné jsou konzultace.

•

Žádnou, veškeré učivo probírané na SŠ je v souladu s TP, kde je stanovená dostatečná hodinová dotace.

•

Veškeré učivo ve stejném rozsahu jako ostatním.

•

Žáků s těžkopádným uvažováním v matematice přibývá, přispívají špatné základy ze ZŠ. Látku je třeba vysvětlovat především orientačně.

•

V poslední době téměř vše a nejenom dyskalkulikům.

k tomu

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

62

Otázka č. 7: Mohou studenti s dyskalkulií používat na vaší škole kalkulačku? Pokud ano, mohou ji používat i během písemné práce či zkoušení?

Ano (34) Ne (0)


Ano, mohou ji používat kdykoliv (i u písemek, i u maturitní zkoušky).

•

Ano, kdykoliv.

•

Ano i během zkoušení

•

Ano, stále.

•

Používají bez omezení.

•

Ano, mimo maturitní obory (i ty v některých pasážích – jako je planimetrie, stereometrie ANO).

•

Ano, bez kalkulačky tady nespočítá nikdo nic.

Zde téměř všichni pedagogové odpovídali, že žáci s dyskalkulií mohou používat kalkulátory stále a bez omezení.

Otázka č. 8: Sestavujete písemné práce pro tyto studenty s ohledem na jejich specifickou poruchu učení?


3 VÝZKUMNÁ ČÁST

63


Žádného nemám, pokud bych měla, dostal by dostatek času.

•

Ne, mají kalkulačku a délku doby na vypracování si určují podle svých potřeb.

•

Ano, snažím se.

•

Ano, dle témat a okolností.

•

Ne, pouze zohledňuji při opravě, při těžších písemkách řeší jen některé příklady.

•

Ne, ale poskytnu jim více času, případně dám méně příkladů.

•

Buď; anebo dám k dispozici kalkulačku.

•

Ne, dávám úlevy a více času.

•

Ano, pokud má dítě opravdu problém.

•

Někdy ano, dám jim menší číselné hodnoty.

•

Ne, ale vynechávají 1-2 příklady. Buď je označím já nebo v některých případech si je můžou určit sami. Jsou též časově zvýhodněni, při psaní krátkých písemek. Často však tuto možnost nevyužijí.

•

Ano, to jinak není možné.

•

Ne, ale při hodnocení dyskalkulii zohledňuji.

•

Omezení kvalit nebo kvantit.

•

Nemám studenty s dyskalkulií.

•

Ne, ale na vypracování písemné práce mají o třetinu delší čas.

•

Ne, práce sestavuji pro celou třídu tak, aby nebyly zbytečně numericky náročné, výsledky obou žáků s dyskalkulií bývají průměrné.

•

Ne, ve slabých třídách to není třeba.

Otázka č. 9: Hodnotíte tyto studenty s ohledem na jejich specifickou poruchu učení?


3 VÝZKUMNÁ ČÁST

64


Ano, snažím se.

•

Pokud udělají chybu numerickou, jinak postup správný, snažím se to zohlednit.

•

Ano, dám na doporučení z PPP.

•

Ano, mimo maturitní obory.

•

Nehodnotil bych.

Otázka č. 10: Informujete rodiče, jak mají pracovat s těmito studenty? Pokud ano, jak?



Neměla jsem příležitost.

•

Pokud je ze strany rodičů zájem. Vysvětluji jim, jak probírám látku já, aby nevnesli do hlav svých dětí zmatek.

•

Studenti mají individuální plán, ke kterému se vyjadřují i rodiče a formulují svou pomoc.

•

S rodiči si pravidelně povídám o studijních výsledcích a jak by mohli dětem pomoci (různé knihy, cvičení).

•

Ano, při návštěvách rodičů školy vysvětlím postup na konkrétním příkladu, tématu.

•

Ne – neprojevili zájem.

•

Ne – rodiče neprojevili zájem.

•

Ne, domnívám se, že po devíti letech školní docházky na ZŠ by tyto informace již dávno měli mít.

•

Ne, mají návod z PPP.

•

Ne: a) to mají být informování ze ZŠ;

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

65

b) neprojevili zájem. •

Někdy.

•

Za roky mé praxe rodiče všech těchto studentů byli poučeni a informováni z PPP a moji radu již nevyžadovali.

•

Poradím rodičům, kde mohou hledat (na internetu) informace a rady pro práci se svými dětmi.

•

Rodiče jsou informováni z PPP.

•

Ano – někteří rodiče jsou denně ve škole!

•

Ne (SŠ).

•

Podle zkušeností rodiče většinou nemohou v matematice pracovat se svými dětmi.

•

Rodiče s žáky nepracují.

•

Ano – osobní kontakt.

•

Ne, rodiče doposud neprojevili zájem.

•

Informoval bych.

•

Řeším individuální problémy. Hlavní slovo má psycholog.

•

Ne, protože rodiče jsou informováni z PSP.

•

Rodiče nekontaktuji, sami mne nevyhledali

•

Ne, neprojevili zájem.

Jeden z pedagogů mi na dotazník napsal vzkaz:

P.S. Skutečných studentů s touto poruchou je minimum. Nevím o SŠ, kde by se s těmito žáky speciálně pracovalo. Od psychologů jsem slyšel jen : 1) kalkulačka 2) více času 3) vysvětlit zadání 4) ve věku 16 let je už pozdě

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

66

3.2.4 Závěr druhé části dotazníku na SŠ Část první: Informovanost pedagoga o problematice dyskalkulie

•

70,6 % z celkového počtu dotázaných pedagogů matematiky uvedlo, že mají k dispozici dostatek informací o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy. Zmiňují se, že často čerpají z internetových stránek, které se zabývají touto problematikou.

•

41,2 % z celkového počtu dotázaných pedagogů matematiky uvedlo, že znají knihu nebo metodickou příručku týkající se tohoto problému. Většina si na konkrétní název, ani autora nevzpomněla. Udávali, že se s některým titulem určitě setkali. Tři pedagogové uvedli: Blažková,R.; Zelinková, O.; dva uvedli: Novák, J., Henrik, S.;

vždy jeden učitel uvedl: Bartoňová, M.; Kern, B.;

Kynkorová, J.; Pokorná, V. •

29,4 % z celkového počtu dotázaných pedagogů matematiky uvedlo, že navštívili kurzy nebo semináře o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy. Z tohoto počtu uvádějí pedagogové, že nejčastěji navštívili kurzy určené učitelům základních škol a pro ně to tedy nemělo značný význam, nebo, že se s tímto tématem setkali na kurzech při studiu.

Vidíme, že informovanost pedagogů středních škol v daném tématu je v celku dobrá . Avšak o trošku horší než u učitelů základních škol.


•

32,4 % z celkového počtu dotázaných pedagogů matematiky uvedlo, že používají speciální reedukační metody a pomůcky při práci se studenty s dyskalkulií. Pedagogové zmiňovali tyto pomůcky: číselná osa; kartičky (vzorce, vzorové příklady); tabulky (např.násobků); názorné předměty a pomůcky (kostky, peníze, modely těles, sítě těles); hry pro dyskalkuliky (zlomky, desetinná čísla, dokonce i matice); pexeso; grafické znázorňování a barevné rozlišení. Individuální přístup.


67

Největší problém podle dotázaných pedagogům dělají těmto studentům algebraické výrazy a jejich úprava, numerické počítání a početní operace. Jako nejméně problémovou oblast uvádějí oblast geometrie.

•

Větší část pedagogů uvádí, že pouze orientačně vysvětlují téměř vše učivo, anebo kvůli malé časové dotaci matematiky vysvětlují dyskalkulikům stejné učivo jako ostatním studentům. Jen málo učitelů uvedlo konkrétní učivo, které vysvětlují pouze orientačně. Zde uvedli binomickou větu, konstrukční úlohy, množinu všech bodů dané vlastnosti, tělesa a funkce.

•

100 % z celkového počtu dotázaných pedagogů matematiky uvedlo, že žáci s dyskalkulií mohou, v jejich výuce, používat kalkulačku. Téměř všichni pedagogové odpověděli, že žáci s dyskalkulií mohou používat kalkulátory stále a bez omezení.

•

35,3 % z celkového počtu dotázaných pedagogů matematiky uvedlo, že sestavují písemné práce pro tyto žáky s ohledem na jejich specifickou poruchu učení. Pedagogové, kteří nesestavují odlišné písemné práce pro dyskalkuliky dávají těmto studentům alespoň více času, či méně úkolů.

•

82,4 % z celkového počtu dotázaných pedagogů matematiky uvedlo, že hodnotí tyto žáky s ohledem na jejich specifickou poruchu učení.

•

26,5 % z celkového počtu dotázaných pedagogů matematiky uvedlo, že informuje rodiče, jak mají pracovat s těmito dětmi. Ostatní uvádějí, že rodiče vycházejí z doporučení PPP, tudíž nepotřebují jejich pomoc, anebo, že za devět let školní docházky by jim nepověděli už nic nového.

Z výzkumu vyplývá, že pedagogové středních škol se snaží upravovat podmínky pro studenty s diagnostikovanou dyskalkulií hlavně odlišným přístupem ve známkování a využitím kalkulačky, jako kompenzační výukové pomůcky.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

68

3.3 Porovnání závěrů na základních a středních školách 1) Četnost žáků/studentů se specifickými poruchami učení, zvláště dyskalkuliků na základních a středních školách:

Základní škola

Střední škola

22,7 %

9,6 %

2,6 %

1,2 %

11,5 %

12,5 %

29,7 %

---

70,3 %

---

57,7 %

45,6 %

42,7 %

54,4 %

9,9 %

12,2 %

Relativní četnost žáků/studentů se specifickými poruchami učení vzhledem k celkovému počtu žáků/studentů na dotazovaných školách. Relativní četnost žáků/studentů s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků/studentů na dotazovaných školách. Relativní četnost žáků/studentů s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků/studentů se SPU na dotazovaných školách. Relativní četnost žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na prvním stupni vzhledem k celkovému počtu žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na ZŠ. Relativní četnost žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na druhém stupni vzhledem k celkovému počtu žáků s diagnostikovanou dyskalkulií na ZŠ. Relativní četnost dívek s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků/studentů s diagnostikovanou dyskalkulií na dotazovaných školách. Relativní četnost chlapců s diagnostikovanou dyskalkulií vzhledem k celkovému počtu žáků/studentů s diagnostikovanou dyskalkulií na dotazovaných školách. Relativní četnost žáků/studentů s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří mají individuální vzdělávací plán vzhledem k žákům/studentům s diagnostikovanou dyskalkulií, kteří nemají individuální vzd. plán.

3 VÝZKUMNÁ ČÁST

69

2) Informovanost učitelů matematiky o této problematice:

Základní škola

Střední škola

63,3 %

70,6 %

50 %

41,2 %

66,7 %

29,4 %

Dostatek informací o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy. Znalost knihy nebo metodické příručky týkající se problému dyskalkulie. Zúčastnění se kurzu nebo semináře o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy.

3) Metody práce s dyskalkulickým žákem/studentem:

Základní škola

Střední škola

66,7 %

32,4 %

Využití speciálních reedukačních metod a pomůcek při práci s dyskalkuliky. Nejproblémovější učební látka u dyskalkuliků podle pedagogů matematiky. Nejméně problémová učební látka u dykalkuliků podle pedagogů matematiky.

Algebraické výrazy Slovní úlohy

a jejich úpravy

Jednoduché příklady (počítání, algoritmus)

Geometrie jako celek

Složité slovní úlohy

Téměř vše

90 %

100 %

66,7 %

35,3 %

93,3 %

82,4 %

86,7 %

26,5 %

Učivo, které je dyskalkulikům vysvětlováno pouze orientačně. Využití kalkulátorů v hodinách matematiky. Písemné práce sestavené s ohledem na jejich specifickou poruchu učení. Hodnocení těchto žáků/studentů s ohledem na jejich poruchu učení. Informovanost rodičů dyskalkuliků ze stran pedagogů matematiky.

4 PROJEKT HONZA – PRAKTICKÁ ČÁST

70

4 Projekt Honza – praktická část Praktická část v mé diplomové práci vychází ze spolupráce se žákem s vývojovou dyskalkulií. Honzu doučuji třetím rokem od sedmého ročníku na základní škole. Ve třetím ročníku u něj byla stanovena dyskalkulie, dysortografie a obtíže dyslektického charakteru. Projekt Honza je rozdělen do dvou částí. V první jsem shrnula vyšetření z pedagogicko-psychologické poradny, kterou navštívil v průběhu sedmi let pětkrát. Můžeme zde vidět vývoj matematických potíží u žáka s dyskalkulií od třetího ročníku základní školy po první ročník střední školy. V druhé části se zabývám rozborem tematických celků, které Honza probíral v prvním ročníku na střední škole. Zaměřuji se hlavně na charakteristické chyby a obtíže, které nastaly při doučování. V příloze přikládám podrobný rozbor dvou matematických celků, které jsou probírány většinou na začátku prvního ročníku střední školy. Zde je vidět, jak náročná může být reedukační činnost. Učitel musí reagovat na aktuální situaci, která vznikne; musí být kreativní a snažit se vžít do přemýšlení žáka či studenta s kterým pracuje, aby učení bylo co nejefektivnější.

4.1 Vývoj matematických potíží v průběhu školní docházky První vyšetření Honzy v pedagogicko-psychologické poradně bylo z důvodů potíží ve psaní, čtení a matematice na začátku třetího ročníku ZŠ. Z vyšetření pro matematiku plyne: „Při úkolech zaměřených na matematické schopnosti se zvyšuje neklid, poměrně rychle nastupuje únava. Těžce překonává obtíže s matematikou, hůře nese neúspěch. Při operaci s čísly počítá s pomocí prstů, kde má však z používání prstů navozenou obavu a představu, že by tak neměl počítat, čímž se zvyšuje napětí a úzkost. Z matematických schopností jsou nejvíce oslabeny vnímání prostorových vztahů, manipulace s prostorem, zapamatování si prostorových vztahů je nefunkční a operační schopnosti, kde s oporou a latencemi zvládá sčítání, hůře odčítání, násobení a dělení zvládá pouze ojediněle u příkladů, kde si mechanicky zapamatoval výsledek. Princip násobení a dělení je mu však nejasný. Hůře si vytváří matematické pojmy. Do potíží v matematice se promítá i oslabení optické diferenciace, kdy Honzík chybně čte číslice a matematická znaménka.“ Vzhledem k výše uvedeným obtížím bylo z pedagogicko-

psychologické

poradny

doporučeno

v matematice

postupovat

následovně:


71

„Doporučujeme počítat s oporou o názor, používat číselné osy, tabulky násobků apod. Není vhodné zadávat větší množství početních úkolů najednou, zadávat časové limity apod. Při počítání dávat častěji zpětnou vazbu, že Honzík zvolil správný postup, že počítá dobře. Potíže s prostorovou orientací se promítají i do geometrie, kde je rovněž nutno se opírat o názor a velice tolerantně hodnotit výsledky.“

Vzhledem k uvedeným obtížím nejen matematického zaměření Honzova maminka zajistila speciální pedagogickou péči pod vedením speciální pedagožky.

Na konci třetího ročníku ZŠ požádala maminka o kontrolní vyšetření SVPU. Z vyšetření plyne: „V matematice má oproti minulému vyšetření rozšířenu většinu vědomostí a dovedností. Tento pokrok nastal však díky mechanickému učení a opakování. Matematické schopnosti zůstávají i nadále oslabeny.“ V matematice je tedy

doporučeno postupovat následovně: „V matematice je zapotřebí ponechat dostatek času na osvojení nového i vypracování úkolu, nejsou vhodné časově limitované zkoušky (ztrácí objektivnost), používat názorné pomůcky. Při klasifikaci a hodnocení vycházet z toho, co zvládl vypracovat, postupovat po krocích, hodnotit pak jednotlivé kroky, nejen výsledek. Při plnění samostatných úkolů dát častěji zpětnou vazbu, zda zvolil správný postup, jednotlivými kroky napomoci ke správnému řešení. Aby mohlo docházet k rozvoji matematických schopností, Honzík nutně potřebuje počítat i navozovat novou látku s oporou o názor, názorné pomůcky, číselné osy, tabulky násobků apod. Je vhodné počítat příkladů podstatně méně, zapojit názornou představu, manipulaci.“

Ve čtvrtém ročníku byl Honza vzhledem k závažnosti obtíží přeřazen do dyslektické třídy na jinou ZŠ, kterou navštěvoval do šestého ročníku. Od sedmého ročníku začal opět navštěvovat svou kmenovou základní školu.

Na začátku sedmého ročníku proběhlo kontrolní vyšetření, z kterého plyne: „V oblasti matematických zkoušek zůstávají oslabeny percepční faktory (v oblasti předčíselných představ), vázne klasifikace, korespondence prvků. Zvládá verbalizaci vzestupných i sestupných číselných řad, není si jistý zápisy čísel do číselné osy (v řádu stovek a tisíců), nejistý je při porovnávání zlomků, při porovnávání čísel jsou patrné inverze. Oslabeny zůstávají nadále operační faktory, téměř při všech výpočtech nutná


72

opora o prsty (velmi hbitě a obratně využívá prstů pro znázornění). Užití tohoto názoru se objevuje i u početních operacích do deseti. Při počítání upřednostňuje nižší číselné operace před vyššími (počítá po jedné, místo násobení opakovaně sčítá apod.). Vzhledem

k potížím

v grafomotorice,

orientaci

v prostoru,

ztížené

orientaci

v prostorových vztazích je i problematické zapisování čísel do sloupců pod sebe, text je pak pro chlapce nepřehledný (zde zvážit i užití kostičkovaného papíru pro zápisy). Při řešení matematických příkladů pozorována změna v chování chlapce, výrazná nejistota, stále si potřebuje ověřovat, jestli pracuje dobře, s postupující zátěží je stále více potřebné chlapce motivovat v pokračování při řešení matematických příkladů.“

Z vyšetření pro matematiku plynou následující závěry a doporučení: „V matematice je zapotřebí ponechat vždy dostatek času na osvojení nového učiva i vypracování úkolu, nejsou vhodné časově limitované zkoušky (ztrácí objektivnost), je potřebné používat názorné pomůcky (číselnou osu, tabulky násobků apod.), korekční pomůcky (kalkulačku, tabulky apod.). Při klasifikaci a hodnocení vycházet z toho, co zvládl vypracovat, postupovat po částech, hodnotit i jednotlivé kroky, nejen výsledek. Při plnění samostatných úkolů dát častěji zpětnou vazbu, zda zvolil správný postup, jednotlivé kroky, napomoci ke správnému řešení. Soustředit se na osvojení učiva, při ověřování znalostí a vědomostí nezadávat nadstavbové, rozšiřující učivo, volit raději základní, méně složité varianty učiva. Vzhledem k výše uvedeným obtížím je potřebné poskytnout chlapci zpětnou vazbu, zda zvolil správný postup, pokud možno nenechávat setrvávat v chybných krocích a nejistotě, chybám pokud možno raději předcházet. Na osvojení nového učiva ponechat vždy dostatek času. Dostatek času ponechat na vypracování všech úkolů. Je nutno mít na zřeteli, že práce s názornými pomůckami je zdlouhavější. Úkoly raději zkracovat, zadávat méně příkladů tak, aby bylo v Honzových možnostech úkol dokončit ve stejné době jako ostatní děti. Vhodné je i oproti ostatním žákům pracovat s příklady, které budou obsahovat čísla řádově nižší. Počítání neomezovat časovými limity, nejsou vhodné tzv. pětiminutovky. Vždy pracovat s vizuální oporou, příklady mít napsány. Dyskalkulie bude mít nepříznivý dopad i do fyziky a chemie, zde volit též při operacích s čísly velmi tolerantní hodnocení, klást hlavně důraz na ústní projev, umožnit užití tabulek a kalkulačky.“

V půli sedmého ročníku jsem s Honzou začala pracovat. S jeho paní učitelkou matematiky, která byla i výchovnou poradkyní na dané škole, jsme byly v kontaktu a


73

domlouvaly se nad postupy a obsahem učiva, které by Honza měl zvládnout. Tato spolupráce Honzovi umožnila projít základní školu s dobrou známkou z matematiky.

Na konci devátého ročníku ZŠ podstoupil Honza opět kontrolní vyšetření v pedagogicko-psychologické poradně. Z vyšetření z matematických schopností plyne: „Ze specifických matematických schopností zůstávají oslabeny především operační faktory. Oslabeno je však i vnímání číselných řad, vázne zápis delších čísel, poziční hodnota číslice v čísle je nejistá. Vnímání prostorových vztahů je již na dobré úrovni, jejich zapamatování je však hluboce podprůměrné. Při základních číselných operacích přetrvává odpočítávání po jedné s pomocí prstů, přestože se Honza snaží prsty nepoužívat. Na počítání potřebuje delší dobu, latence se prodlužují u sériových číselných operací. Násobení a dělení obtížně aplikuje.“ Z uvedeného vyšetření

vyplývají závěry a doporučení: „V matematice doporučujeme soustředit se na osvojení základního učiva, při ověřování znalostí a vědomostí nezadávat nadstavbové, rozšiřující učivo, volit raději základní, méně složité varianty učiva. Ponechat vždy dostatek času na osvojení nového učiva i vypracování úkolu, nejsou vhodné časově limitované zkoušky. Při plnění samostatných úkolů dát častěji zpětnou vazbu, zda zvolil správný postup, jednotlivé kroky, napomoci ke správnému řešení. Používat názorné a korekční pomůcky – číselnou osu, tabulku převodů jednotek, tabulky násobků, kalkulačku, tabulky, přehledy učiva – mít zpracovány a používat přehledy jednotlivých postupů, operací. Tyto pomůcky včetně kalkulačky, přehledů učiva stále používat, tzn. jak při běžných hodinách, při osvojování nebo procvičování nové látky, tak i při kontrolní práci (ústním, písemném zkoušení). Zvládnutí látky ověřovat v menších celcích. U učiva většího rozsahu je vysoká pravděpodobnost selhání. Za dominantní pro klasifikaci mít zvládnutí menších celků. Při shrnování větších celků potřebuje pomoc dospělého v orientaci a navození algoritmů. Při klasifikaci a hodnocení vycházet z toho, co zvládl vypracovat, postupovat po částech, hodnotit i jednotlivé kroky, nejen výsledek. Poskytovat častěji pozitivně zaměřenou zpětnou vazbu.“

Na konci devátého ročníku Honza úspěšně zvládl přijímací řízení na střední školu. Rodina i on sám věděl, že bude mít i následující čtyři roky matematiku. Avšak Honza v ostatních předmětech dosahuje velmi dobrých až vynikajících výsledků a tak se rozhodl s matematikou „poprat“. Na začátku školního roku byla maminka Honzy ve


74

škole za paní výchovnou poradkyní a Honzovou učitelkou matematiky. Chtěla ji obeznámit s Honzovou dyskalkulií a doporučením pro matematiku z vyšetření v PPP. My jsme s Honzou pokračovali v doučování, které probíhá dvakrát týdně. Už ze začátku jsme pochopili, že dosáhnout dobrých či dostatečných výsledků v matematiky bude velký problém. Jeho paní učitelka asi zapomněla či nechtěla si připustit, že ve třídě má studenta s SPU. Dávala mu písemky se stejnými podmínkami a požadavky jako ostatním studentům. Písemku psali až po probrání velkého matematického celku, kde bývalo většinou 5 - 10 příkladů, které obsahovaly pro Honzu mnoho operací. Nebyla mu poskytnuta zpětná vazba ani dostatek času a tak Honzovi písemné práce končily špatnou známkou. V doučování však dosahuje velmi dobrých výsledků, za předpokladu, že mu je poskytnuta častěji zpětná vazba, popř. je upozorněn na možnou chybu. Zejména zpětná vazba a ujištění, že pracuje správně, mu významně pomáhá překonat obtíže a obavy plynoucí z matematiky. Základní učivo z tématických celků, které ve škole probírali, ovládal velmi dobře.

Z výše uvedených důvodů maminka Honzy iniciovala další kontrolní vyšetření v pedagogicko-psychologické poradně v polovině prvního ročníku. Z tohoto vyšetření plyne: „Ze specifických matematických schopností jsou oslabeny zejména operační faktory, matematický úsudek, zapamatování si prostorových vztahů. Základní číselné operace jsou podprůměrné, výrazně pomalé. Při počítání často volí odpočítávání po jedné. Selhává v sériových číselných operacích. Vázne aplikace číselných operací. Poziční hodnota číslice v čísle je nejistá. Vnímání prostorových vztahů je na poměrně dobré úrovni, zapamatování si prostorových vztahů je hluboce podprůměrné.“ Z

vyšetření plynou následující závěry a doporučení, kterých by se mělo užívat při výuce matematiky a bez kterých Honza není schopen učivo zvládnout. Tedy doporučení: „V oblasti specifických matematických schopností oproti minulému vyšetření nedošlo přes veškerou péči, kterou rodina zajistila, k pozitivním výkonům ve škole, dochází spíše ke stagnaci. Podkladem stagnace krom výše uváděné dyskalkulie je stres a současná školní situace. Vzhledem k závažnosti poruchy doporučujeme pokračovat v individuální integraci. Vzhledem k tomu, že se jedná o žáka se zdravotním postižením, se speciálními vzdělávacími potřebami, doporučujeme vypracovat individuální vzdělávací plán. Do individuálního vzdělávacího plánu doporučujeme zahrnout níže uvedené postupy v hodinách i rozsah učiva v matematice, popř. dalších předmětech. V matematice je


75

vhodné stanovit rozsah učiva, jehož zvládnutí bude dostatečné k postoupení do dalšího ročníku. Doporučujeme soustředit se na osvojení základního učiva, při ověřování znalostí a vědomostí nezadávat nadstavbové, rozšiřující učivo, volit raději základní, méně složité varianty učiva. Ponechat vždy dostatek času na osvojení nového učiva i vypracování úkolu, nejsou vhodné časově limitované zkoušky. Při plnění samostatných úkolů dát častěji zpětnou vazbu, zda zvolil správný postup, jednotlivé kroky, napomoci ke správnému řešení. Používat názorné a korekční pomůcky – tabulky převodů jednotek, kalkulačku, tabulky, přehledy učiva – mít zpracovány a používat přehledy jednotlivých postupů, operací. Tyto pomůcky včetně kalkulačky, přehledů učiva stále používat, tzn. jak při běžných hodinách při osvojování nebo procvičování nové látky, tak i při kontrolní práci (ústním, písemném zkoušení). Zvládnutí látky ověřovat v menších celcích. U učiva většího rozsahu je vysoká pravděpodobnost selhání. Za dominantní pro klasifikaci mít zvládnutí menších celků. Při shrnování větších celků potřebuje pomoc dospělého v orientaci a navození algoritmů. Při klasifikaci a hodnocení vycházet z toho, co zvládl vypracovat, postupovat po částech, hodnotit i jednotlivé kroky, nejen výsledek. Poskytovat častěji pozitivně zaměřenou zpětnou vazbu. Do klasifikace je vhodné zahrnout i zvýšenou snahu, ocenění domácí práce i práce z doučování.“

Ani po těchto závěrech z pedagogicko-psychologické poradny nebyl Honzovi poskytnut individuální vzdělávací plán či jiné formy a metody práce v matematice. Po situaci, která ve škole nastala jsou Honzovi rodiče nuceni Honzu přeložit na jinou střední školu. Doufám, že tam budou přihlížet na Honzovi schopnosti v matematice v rámci jeho kompetencí.

4.2 Rozbor tematických celků V této kapitole jsem rozebrala jednotlivá témata, které jsme s Honzou probrali na doučování za první ročník střední školy. Na začátku každého celku jsem uvedla, jaké typy příkladů Honza řešil. Podle obtíží, které měl s jejich výpočtem i po dostatečném procvičení jsem je roztřídila do dvou kategorií: problémové úlohy a neproblémové úlohy, ty jsem dále rozdělila do dvou částí: samostatná práce (po procvičení tyto příklady Honza spočítal úplně sám) a úlohy vypočtené s pomocí (i po dostatečném procvičení Honza potřeboval upozornit na chybu a pomoci s výpočtem). Kapitola se


76

také zabývá charakteristickými chybami. Shrnula jsem všechny chyby, kterých se dopustil při doučování tematických celků, které jsou zde uvedeny. Většina látky, která se tento rok probírala, navazuje na počtářské dovednosti ze základní školy. Na charakteristických chybách je patrno, na co by se měli pedagogové matematiky zaměřit při výuce studenta dyskalkulika nejen na středních školách, ale hlavně na základních. Zde se s tímto učivem žáci setkávají poprvé, proto potřebují učivo pořádně procvičit, zautomatizovat a zejména pochopit. Honza má obtíže hlavně v numerické oblasti matematiky proto chyby, které se zde vyskytují pramení především z těchto obtíží. Další chyby, které se často opakovaly, byly z nepozornosti, z nepochopení probírané látky, či chyby dyskalkulické (záměny, inverze). Honza má navíc dysortografické a dysgrafické potíže, které se často promítají do psaného textu. V příloze jsou důkladněji rozpracovány tematické celky: Číselné obory a Elementární teorie čísel. Uvedla jsem zde učivo, které jsme s Honzou probírali

v prvním pololetí na střední škole. V příloze je zanesena reedukační činnost. Snažila jsem se vysvětlit vše s postupem od konkrétního k abstraktnímu, od jednoduššího ke složitějšímu, reagovat na nepochopení učiva vhodným příkladem, aby si Honza danou situaci dokázal alespoň trochu představit. Je zde zahrnuta nejen moje vlastní práce, ale i práce Honzy, z které můžeme vidět s jakými problémy a obtížemi se tento student potýká.

4.2.1 Číselné obory 4.2.1.1 Číselné množiny Neproblémové příklady:

- samostatná práce •

Přiřaď čísla − (9) ;− 169 ;1, 36;1,62; 4 ; π ; 11; 2

10 2 ; (− 3) k patřičným číselným 2

oborům. (Příklad formulován matematicky chybně, ale vzhledem k tomu, že se s ním Honza ve škole setkal, museli jsme ho procvičit.)

Chyby: - chybné počítání s druhou mocninou

4 PROJEKT HONZA – PRAKTICKÁ ČÁST •

− (9) 2 = −81

•

(−5) 2 = −25

77

Problém: - vzájemný vztah mezi číselnými obory: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ; nepochopení pojmu podmnožina 4.2.1.2 Obor racionálních čísel Neproblémové příklady:

- samostatná práce 1 5 8 5 ; ; a zapiš ve tvaru desetinného čísla. 2 20 10 8

•

Zlomky

•

Porovnej racionální čísla:

11 13 ; . 16 14

•


5 23 11 ; ; . 6 30 12

- úlohy vypočtené s pomocí 180 78 36 25 135 ; ; ;− ;− zapiš zlomkem v základním tvaru. 240 90 90 100 180

•

Racionální čísla

•

Zapiš zlomky

•

1 3 1 3 2 1 Zapiš smíšená čísla 7 ;4 ;5 ;−4 ;6 ;−11 jako zlomky. 3 4 4 10 3 5

•

Zapiš desetinná čísla 0,2; 1,5; 0,64; 3,62; -2,6; 0,123 zlomkem v základním

25 7 23 25 81 9 ; ; ;− ; ;− jako smíšená čísla. 8 3 6 7 6 2

tvaru. 7 4 41 ;− ; . 12 7 72

•


•

7 8 2 5 Porovnej racionální čísla: − ;− ; ; . 6 9 5 6

•


5 2 9 ;0;− ; . 8 3 14

Chyby: - vyplývající z nepozornosti: mínus se ztrácí do rovnítka, nebo naopak připsání znaménka mínus k číslům, která byla kladná (tato chyba nastala, když jsme krátili či převáděli do jiného tvaru čísla racionální)


78

- krácení - plynoucí z nepozornosti a zbrklosti •

27 9 (27 : 3 = 9 ; 36 : 9 = 4) = 36 4

•

8 125 = (Záměna čitatele a jmenovatele – klasická dyskalkulická chyba.) 1000 1 - krácení pouze čitatele nebo pouze jmenovatele

•

81 9 = 36 36

- zápis racionálního čísla do jiného tvaru - chyby z nepozornosti a chybného zápisu

•

23 30 =4 5 5

•

6

2  6⋅3+ 2  =  3  2 

- chyby způsobené sčítáním •

6

2  6 ⋅ 3 + 2  28 = = 3  3  3

- porovnávání racionálních čísel - chyby z nepozornosti •

5 34 , …….5 . 98 14 98

14 . 34

490 > 478 5 34 < 14 98 - chyby z nedodržení postupu při porovnávání racionálních čísel ve tvaru zlomku •

23 11 , …….30 . 11 30 12

12 . 23

330 > 276 23 11 > 30 12 •

5 11 , …….5 . 11 6 12

6 . 12

55 < 72


79

5 11 < 6 12 4.2.1.3 Druhá odmocnina reálného čísla Neproblémové příklady:


Vypočítej:

•

Vypočítej:

•

Vypočítej:

121 . 4

9

.

144

3 ⋅ 75 .

- úlohy vypočtené s pomocí •

Vypočítej:

•

Vypočítej:

2 −3 5 +4 2 −4 5 −5 2 .

•

( 3 + 1) ; ( 3 + 4) ; ( 2 + 8 ) . Vypočítej: ( 2 − 3) ; ( 5 − 7 ) . Vypočítej: (4 + 2 )⋅ (4 − 2 ); ( 3 + 5 )⋅ ( 3 − 5 ); ( Vypočítej: 12 ⋅ (2 3 − 5 5 + 7 8 ) ; 5 ⋅ (2 5 + 45 ) .

•

Usměrni zlomky:

•

•

2

2

2

2

2

1 3

;

3 2 2

)(

9+2 7 ⋅

.

Problémové příklady: •

Usměrni zlomky:

5 +1 2 3 + 6 ; ; 2 6

1 9 −2

;

5 4− 5

;

3+ 2 2+ 3

Chyby: - chyby z nepozornosti •

10 ⋅ 1000 = 10 ⋅ 100

- chyby u výpočtu odmocnin racionálních čísel •

25 25 = = 16 16

5 4

- chybné sčítání odmocnin zapříčiněné přehlédnutím znaménka u odmocniny •

2 − 3 5 + 4 2 − 4 5 − 5 2 = 0 2 −1 5

)

9 −2 7 .


80

2 5 + 3 3 − 5 + 2 3 + 4 5 = 1 5 + 5 3 + 4 5 (nedokončený výsledek)

- chybná aplikace vzorců pro součiny •

(2 + 3 )

2

2

= 2 2 + 2 3 + 3 (Honza si řekl, že ve druhém členu je číslo dva už

obsaženo a tak mu připadal výpočet správný.) •

(5 + 2 )

2

= 52 + 5 2 + 2

2

(Honza zapomněl násobit dvěma druhý člen; toto

byla velmi častá chyba.) - chybný dopočet výsledku po aplikaci vzorce pro součin •

(

)

2

2

3 + 4 = 3 + 2 ⋅ 4 3 + 4 2 = 3 + 8 3 + 16 = 11 3 + 16 (Honza sečetl 3+8,

protože jsou tato čísla u sebe; tato chyba byla ze začátku častá.) - chyby z nepozornosti při či po aplikaci vzorce pro součin

•

(3 + 2 )⋅ (3 − 2 ) = 3 + 2 ( 7 − 2 )⋅ ( 7 + 2 ) = 2 − 2

•

(2 x

•

2

2

2

2

2

− 2) ⋅ (2 x 2 + 2) = (2 x 2 ) − 2 2 = 2 x 4 − 4 2

- násobení chybným zlomkem při jeho usměrnění • •

1

1

⋅

5+ 2 5− 2 1 9 −2

⋅

1+ 2 9+2

- chyby u usměrnění zlomku •

5 8

⋅

8 8

5⋅ 8

=

8⋅ 8

5⋅8

=

8

(Honza si sice jmenovatel vypočítal na kalkulačce,

ale pak ho zapsal špatně.) • • •

•

3+2 3 2

⋅ ⋅

3 3

=

3 −1

3+2 3 3⋅ 3 =

)

=

2 3 −1

) ( 3 − 1) ( 3 + 1)⋅ ( 3 − 1) 5 4+ 5 5 ⋅ ( 5 + 4) 5 5 + 5⋅4 ⋅ = = 4 − 5 4 + 5 (4 − 5 )⋅ (4 + 5 ) 5 −4 5 + 1 2 ( 5 + 1)⋅ 2 1 5 ⋅ 2 ⋅ = = 3 +1

3 −1

(

(

2 3 −1

3 +1 ⋅

2

2

2

2⋅ 2

2⋅ 2

2


81

Problém: - neumí aplikovat asociativnost násobení u příkladů (např. 3 ⋅ 2 ⋅ 2 , ze začátku sám neví, ale po procvičení už užívá)

( )

- obtíže s výpočtem druhé mocniny u složitějších čísel (např. 2 3

2

= 2 ⋅ 3 = 6 , zde

může použít kalkulačku, což se ukazuje jako nejlepší řešení) 4.2.1.4 Absolutní hodnota reálného čísla Neproblémové příklady:


Vypočítej: 7 − 12 .

•

Vypočítej: 8 + 5 .


Vypočítej: 7 − 4 − 11 .

•

Vypočítej: − 4 + 6 − 3 − − 2 .

•

Na číselné ose znázorni všechna reálná čísla, pro něž platí: x = 5 .

•

Na číselné ose znázorni všechna reálná čísla, pro něž platí: x − 3 = 1 .

•

Na číselné ose znázorni všechna reálná čísla, pro něž platí: x ≤ 3 .

•

Na číselné ose znázorni všechna reálná čísla, pro něž platí: x > 5 .


Na číselné ose znázorni všechna reálná čísla, pro něž platí: x + 3 ≥ 2 .

•

Na číselné ose znázorni všechna reálná čísla, pro něž platí: x − 1 < 4 .

Chyby: - chyby související s výpočtem absolutní hodnoty •

7 − 4 − 11 = 7 − 4 − 11

•

−9− 5+3 = 9+8

- chybné znázornění absolutní hodnoty na číselné ose, které bylo způsobeno nedbalým náčrtkem číselné osy •

x+2 =3


82

x = {− 4,1}

•

x−2 =3

x = {− 3,5}

- chyby související s vyjádřením nulového bodu •

x −1 = 2

x0 = 2

•

x+3 = 2

x0 + 3 = 2

Problém : - s geometrickým významem absolutní hodnoty, hlavně v znázorňování „šipek“ na číselné ose (např. x < 3 ; x > 3 - chybné znázornění na číselné ose) - chybí představa číselné osy

4.2.2 Elementární teorie čísel 4.2.2.1 Znaky dělitelnosti Neproblémové příklady:


Rozhodni, která z čísel 51; 43; 20; 67; 46 jsou dělitelná dvěma.

•

Rozhodni, která z čísel 81; 270; 321; 507; 921; jsou dělitelná třemi.

•

Rozhodni, která z čísel 3562; 7804; 8720; 9544 jsou dělitelná čtyřmi.

•

Rozhodni, která z čísel 670; 855; 3523; 9365 jsou dělitelná pěti.

•

Rozhodni, která z čísel 132; 382; 509; 542 jsou dělitelná šesti.

•

Rozhodni, která z čísel 324; 891; 1551; 3321 jsou dělitelná devíti.


83

Rozhodni, která z čísel 140; 432; 2050; 6756; 46000 jsou dělitelná deseti.


Rozhodni, zda je číslo 5620 dělitelné čísly 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a 10.


Rozhodni, která z čísel 4345; 4613; 6230 jsou dělitelná sedmi.

•

Rozhodni, která z čísel 1428; 1620; 3836 jsou dělitelná osmi.

Problém: - stanovení sudosti či lichosti čísla - jednoduché ciferné sčítání při stanovení dělitelnosti třemi nebo devíti (počítání na prstech) - písemné dělení při stanovení dělitelnosti sedmi a osmi (Honza může v hodinách používat kalkulačku a tak všechny numerické operace provádí s její pomocí, což se značně projevilo na tomto učivu, protože si už nepamatoval, jak se písemně dělí.) - určení násobků tří, čtyř a devíti (počítání na prstech) 4.2.2.2 Prvočísla a čísla složená Neproblémové příklady:


Rozhodni, které z čísel 13; 23; 25; 81; 21; 27 jsou prvočísla.

•

Zapiš prvočíselný rozklad čísel 48; 756; 1500; 2520; 5775.

Problém: - použití špatného znaku dělitelnosti při dělení u prvočíselného rozkladu - chyby pramenící z chybného zápisu do tabulkového zápisu prvočíselného rozkladu 4.2.2.3 Největší společný dělitel Neproblémové příklady:


Urči největšího společného dělitele čísel: 180 a 300.


Urči největšího společného dělitele čísel: 30; 42 a 66.


84

Chyby: - plynoucí z nepochopení postupu pro výpočet největšího společného dělitele •

Problém: - obtíže s pochopením postupu pro výpočet největšího společného dělitele 4.2.2.4 Nejmenší společný násobek Neproblémové příklady:


Najdi nejmenší společný násobek čísel: 88 a 160.


Najdi nejmenší společný násobek čísel: 12; 18 a 30.

Chyby: - při určování nejmenšího společného násobku tří čísel •

Problém: - velké problémy s pochopením postupu pro výpočet největšího společného násobku, hlavně ze tří čísel (toto učivo jsme počítali pouze pro ukázku a spíše jsme se zabývali výpočtem nejmenšího společného násobku dvou čísel)

4.2.3 Množiny Neproblémové příklady: - samostatná práce •

Na

číselné

ose

znázorni

a

jako

interval

zapiš

množiny:

{x ∈ R; x ≤ −2}; {x ∈ R; x > 3} . •

Na číselné ose znázorni a jako interval zapiš množinu: {x ∈ R;−2 < x ≤ 3} .

•

Urči sjednocení a průnik množin: A = {1,2,3,4}; B = {3,4,5,6} .


85


Výčtem prvků zapiš množiny:

A = {x ∈ N ; x < 4};

B = {x ∈ N ;2 < x ≤ 5} ;

C = {x ∈ Z ; x ≤ −3}; D = {x ∈ Z ;−3 ≤ x < 2}.

•

Urči, zda se množiny rovnají A = {− 3;−2;−1}; B = {x ∈ Z ; x ≤ −1}.

•

Zapiš všechny podmnožiny množiny M = {1;4;5}.

•

Urči sjednocení a průnik intervalů: (−2;0〉 , 〈−1;4) .

•

Urči sjednocení a průnik intervalů: (−4;−2〉, (−2;1) .

•

Urči sjednocení a průnik intervalů: (−∞;−1), 〈− 3; ∞) .

•

Urči sjednocení a průnik množin: A = {x ∈ R; x ≤ 5}; B = (−3;7) .

•

Urči sjednocení a průnik množin: A = {x ∈ R;−6 < x ≤ −2}; B = {x ∈ R; x ≥ −3} .

•

Urči sjednocení a průnik množin: A = {x ∈ R;−3 ≤ x ≤ 2}; B = 〈−5;0) .


Urči doplněk množiny A v množině všech reálných čísel: A = {x ∈ R; x ≥ 2}.

•

Urči doplněk množiny B = {4,5} v množině A = {1,2,3,4,5}.

•

Urči doplněk množiny B = {x ∈ Z ; x ≤ 0} v množině všech celách čísel.

•

Urči sjednocení a průnik množin: A = {x ∈ R;0 < x < 4}; B = {x ∈ R; x ≤ 3}.

•

Urči sjednocení a průnik množin: A = {x ∈ R; x ≥ 2}; B = 〈3;4) .

•

Urči sjednocení a průnik množin: A = {x ∈ N ; x > 2}; B = {x ∈ N ; x ≤ 7}.

•

Urči sjednocení a průnik množin: A = {x ∈ Z ; x > −3}; B = {x ∈ Z ; x > −5}.

Chyby: - pramenící ze špatného označení čísel na číselné ose •

- z důsledku nepochopení matematického zápisu, chybné znázornění na číselné ose •

−3≤ x < 2


•

86

x ∈ 〈3;+∞)

Problém: - nepochopení pojmu podmnožina (hlavně u příkladů typu: zapiš všechny podmnožiny množiny {3,4}) - častá chybovost související s nepochopením matematického zápisu (Honza se pletl při zápisu otevřeného a uzavřeného intervalu) - chybí představa číselné osy

4.2.4 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem 4.2.4.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem Neproblémové příklady:


Vypočítej: (a 3 ⋅ b 2 ) . 3

•

Vypočítej: (a 3 ⋅ b 6 ) ⋅ (a ⋅ b 2 ) .

•

Vypočítej: (a 2 ⋅ b 3 ) ⋅ (a 4 ⋅ b 2 ) .

•

x5 ⋅ y3 Vypočítej: 2 4 . x ⋅y

•

(2 ⋅ x ⋅ y ⋅ z ) Vypočítej: (2 ⋅ x ⋅ y ⋅ z )

2

2

3

2

3

3

3 2

.


Vypočítej:

x2 x4 : . a5 ⋅ b2 a 4 ⋅ b5

4 PROJEKT HONZA – PRAKTICKÁ ČÁST 2

3

•

 x2 ⋅ y Vypočítej:  3 2 x ⋅y

  x3 ⋅ y   ⋅   . 2    x⋅ y  2

•

 x ⋅ y2 Vypočítej:  3  a ⋅b

•

•

•

Vypočítej:

  x2 ⋅ y  :  2 4   a ⋅b

2 ⋅ x5 ⋅ y3

(2 ⋅ x ⋅ y ) (2 ⋅ 3 ) . Vypočítej: (2 ⋅ 3 )

2

2

5

2 2

3

3 3

 52 Vypočítej:  3 3

2

87

3

  .  3

 xy   . :   2 xy 

3

  33   :  2  .  3 

Chyby: - vyplývající z nejistoty, kterou poučku pro počítání má aplikovat

•

a2 ⋅ a3 = a6

•

(x )

•

a8 = a4 2 a

3 2

= x5

- vyplývající z nepozornosti a chybného umocnění 2

•

 xy  xy 2  2 3  = 2 3 x y x y 

•

 a 2b 3  a 2b 6  2  = ab 4  ab 

2

- chyby vyskytující se u krácení •

x2 y2 0 = 2 (Honza si řekl, že protože se nám vše v čitateli zkrátilo a nic tam 4 2 x y x nebude, tak napíšeme do čitatele číslo 0.)

•

212 2 2 = (Honza přeškrtl v čitateli mocninu dvanácti a napsal druhou mocninu, 2 210 ve jmenovateli škrknul pouze mocninu deseti, kvůli tomuto chybnému kroku, pak zapsal špatný výsledek.)


88

Problém: - především se zapamatováním základních pouček pro počítání s mocninami (zlepšení

po vypracování malého „taháčku“) - stále píše jen a 0 ; neuvědomuje si, že a 0 = 1

- chybné krácení mocnin; chyby z nepozornosti, či chybného dělení 4.2.4.2 Mocniny s celým exponentem Neproblémové příklady:


a 3 ⋅ b −2 Vypočítej: −1 3 . a ⋅b

•

6 Vypočítej:   . 5

−2


x −5 ⋅ y 2 x 3 ⋅ y −2 . Vypočítej: 3 − 4 ⋅ − 2 x ⋅y x ⋅y

•

 a 2 ⋅ b −3 Vypočítej:  3 − 2 c ⋅d

•

Vypočítej:

•

1 Vypočítej:   2

−3

  c 2 ⋅ d −4  ⋅  2 −3   a ⋅b

−2

  . 

2 ⋅ a 2 ⋅ b 3 ⋅ c −2 12 ⋅ a −3 ⋅ b −2 ⋅ d 2 : . 4 ⋅ a 2 ⋅ d −3 3 ⋅ a ⋅ b 3 ⋅ c −5 −3

−2

1 −  4

−2

1 −  . 5


Vypočítej: (2) + (3) .

•

2 5 Vypočítej:   −   3 2

•

 10 −2 ⋅ 25 2 Vypočítej:  −3  125 ⋅ 50

•

 15 −2 ⋅ 125 Vypočítej:  −1 2  625 ⋅ 50

−4

−2

−3

−2

  .    . 

+ (3) . −2


89

Problém: - se zapamatováním si postupu, jak máme pracovat s mocninami s celým exponentem, protože Honzovi dělá velké obtíže násobení celých čísel, postupovali jsme v počítání s mocninami s celým exponentem následujícím způsobem: •

 a 2 b −1   − 2   a 

−2

 a2a2 =  1  b

  

−2

 b1 =  2 2 a a

2

 b2 b2  = 4 4 = 8 a a a 

Po zautomatizování tohoto postupu, Honzovi nedělal problém výpočet i složitějších příkladů tohoto typu.

4.2.5 Mnohočleny 4.2.5.1 Sčítání, násobení a dělení mnohočlenů Neproblémové příklady:


Vypočítej: 3x 2 + 6 x + 5 x 2 + 8 x + 6 x 2 .

- úlohy vypočtené s pomocí • • •

Vypočítej: − (2 x + y 2 ) + (x + 3 y 2 ) − (2 x ) .

[

]

Vypočítej: 2 x + 3x 2 − − 3 x + x 2 + (x + 2 x 2 ) − (x 2 − 5 x ) . Vypočítej: 4 xy ⋅ (2 xy − 6 x 2 + 3) .

•

Vypočítej: (x 2 − 2) ⋅ (x 2 + 2) ; (2 x 2 − 2) ⋅ (2 x 2 + 2) ; (4 x 3 − x 4 ) ⋅ (4 x 3 + x 4 ) .

•

Vypočítej: (x 3 − 2) ; (x 5 − x 2 ) . 2

Problémové příklady:

2

[

]

•

Vypočítej: − a 2 ⋅ a 3 − (2a + 3a 2 ) − 5a − 3a 2 ⋅ (2a + 3) .

•

Vypočítej: (x + y ) − (2 x − y ) .

•

Vypočítej: (2a 2 + ab 3 ) .

2

2

3

Chyby: - pramenící ze špatného sčítání •

a + a2 = a3

•

2a + 3a 2 = 5a 3

•

2a + 2 a 2 = 2 a 3


90

- vyplývající z chybného matematického uvažování při odčítání •

4 xy − xy − 3 xy = 1xy

- chyby vzniklé z nepozornosti •

2 xy + 6 x 2 y − 5 xy + 2 x 2 y = 7 xy + 8 x 2 y

- chyby vzniklé odstraněním závorky •

(x + y ) − (2 x − 2 y ) = x + y − 2 x − 2 y

•

(4a

2

− 2a + 5) + 2a 2 − (3a 2 + 5a − 1) = 4a 2 − 2a + 5 + 2a 2 + 3a 2 − 5a + 1

(Honza

měl na paměti, že když je před závorkou mínus, tak se změní všechna znaménka po odstranění této závorky, avšak si řekl, že před 3a 2 je mínus a tak po odstranění napsal plus.) •

− (x 2 + x ) − (4 x + 5 x 2 ) + (x − 3 x 2 ) = − x 2 + x − 4 x − 5 x 2 + x − 3x 2

- chyby při násobení • •

2a (x − y 2 ) = 2ax − y 2

− x 2 ⋅ (2 x + x 3 − 1) = −2 x 3 + x 5 + 1x 2

- chyby při aplikaci vzorců pro druhou mocninu dvojčlenu •

(2 x + 1)2 = 2 x 2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ 1 + 12

•

(4 x + 5)2 = (4 x )2 + 2 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ 5 + 5 2 = 4 2 ⋅ x 2 + 8 x ⋅ 5 + 25 = 16 x 2 + 8 x + 30

4.2.5.2 Rozklad mnohočlenů Neproblémové příklady:


Rozlož v součin mnohočlen x 2 − 4 ; 25 x 2 − 9 ; 144a 2 − 169b 2 .

•

Rozlož v součin mnohočlen x + y + x 2 + xy .

•

Rozlož v součin mnohočlen a 2 + 2ab + ab + 2b 2 .


Rozlož v součin mnohočlen x 5 + x 3 − x 2 − 1 .

•

Rozlož v součin mnohočlen 5 ⋅ ( x + y ) − (a + 1) ⋅ ( x + y ) + (3a + 2 ) ⋅ ( x + y ) .

Chyby: •

x 2 − 4 = (x − 4) ⋅ (x + 4)


(

)(

x 4 − 16 = x 8 + 4 ⋅ x 8 − 4

91

)

a = 2 x 4 = x8 b = 16 = 4 •

x 6 − 25 =

( x + 5)⋅ ( x − 5) 3

3

a = x6 = x3 b = 25 = 5 Problém: - rozklad mnohočlenů bylo pro Honzu určitě nejvíce náročné učivo z celku

Mnohočlenů; pro jeho osvojení člověk musí umět použít mnoho pouček a pravidel; také musí umět abstraktně myslet

4.2.6 Lomené výrazy Neproblémové příklady: - samostatná práce 6a 3 b 3 c 4 . 9a 4 b 2 c 3

•

Zkrať lomený výraz:

•

Urči podmínku u zlomku

•

Vypočítej:

5 6 + . a a

•

Vypočítej:

1 1 + . a b

•

Vypočítej:

4 3 2 + + . a b ab

5 . a


Urči podmínku u zlomků:

•

Zkrať lomené výrazy:

•

Vypočítej:

1 3 + . 2a a

•

Vypočítej:

1 1 + . a2 a

3 − x 2x + 3 . ; x + 1 3x + 6

5a 2 − 5ab x 3 − 2 x 2 ; . (a − b ) x 4 y − 2 x 3 y


Vypočítej:

1 1 . + 2a 4ab

•

Vypočítej:

2a 3a + b + . b 2b

•

Vypočítej:

4a + b a + 3b + . 2a 3b

•

Vypočítej:

2p + q 1 1 . − − 2 p + pq p p + q

•

Vypočítej:

3y 5y 5 − + . 2 4 3

•

Vypočítej:

3x + 5 2 x + y − . 15 20

92

Problémové příklady: 1 x +1 . ; 2 x − x x −1

•

Urči podmínku u zlomků:

•

Zkrať lomené výrazy:

•

Vypočítej:

4 1 − . r−s s−r

•

Vypočítej:

2a − 1 2a 1 − − . 2a 2a − 1 2a − 4 a 2

•

Vypočítej:

a 3a 2ax + − 2 . a − x a + x a − x2

•

Vypočítej:

− 2y 2x 2x 2 − − 2 . x + y y − x x − y2

2

x − 1 4 x 2 − 9 2( x + y ) ; ; . x 2 − 1 2 x − 3 4 xy + 4 y 2 2

Chyby: - v chybném krácení lomených výrazů •

x2 y 0 = 3 1 5 2 x y x y

•

2x + 4 4 = 2x 1


93

2 ⋅ (x + y ) 2 ⋅ (x + y ) ⋅ (x + y ) 1 = = (Honza bezmyšlenkovitě přeškrtl všechny 2 4 y ⋅ (x + y ) 2y 4 xy + 4 y 2

•

dvojčleny x+y nacházející se v lomeném výrazu.) Problém: - velké problémy se stanovením společného jmenovatele při sčítání a odčítání lomených výrazů; toto učivo už pro Honzu znamená mnoho operací v kterých si není jist - celý celek lomených výrazů pro Honzu moc složitý; jednoduché příklady zvládá, ale u složitějších se ztrácí pokud mu není včas poskytnuta zpětná vazba

SEZNAM ZKRATEK

Seznam zkratek ČR – Česká republika DÚ – domácí úkol IVP – individuální vzdělávací program LMD – lehká mozková dysfunkce MŠMT – Ministerstvo školství mládeže a tělovýchovy MU – Masarykova univerzita PC – osobní počítač PdF – pedagogická fakulta PPP – pedagogicko-psychologická poradna PSP – psychologické a sociálně-psychologické poradny SOU – střední odborné učiliště SPC – speciálně-pedagogické centrum SPU – specifické poruchy učení SŠ – střední škola SVP – středisko výchovné péče SVPU – specifické vývojové poruchy učení TP – tématický plán VŠ – vysoká škola ZŠ – základní škola

94

ZÁVĚR

95

Závěr Na základě zpracování této diplomové práce a spolupráce s Honzou jsem se přesvědčila, že dyskalkulie je porucha vývojová a nelze ji rapidně ovlivnit či úplně odstranit. Správné reedukační postupy a metody mohou žákům či studentům pomoci překonat obtíže v matematice, ale ne je zcela kompenzovat. Na Honzově příkladě můžeme vidět, že i přes veškerou snahu rodičů zabezpečit Honzovi v průběhu jeho školní docházky co nejlepší péči a i přes Honzovo snažení, které byla patrno v hodinách doučování, se tuto poruchu nepodařilo zcela eliminovat. Těmto žákům či studentům můžeme pomoci kompenzovat jejich obtíže použitím speciálních reedukačních metod a pomůcek při vyučování, individuálním přístupem a vhodnou komunikací. Základem je výborná informovanost o dyskalkulii nejen u pedagogů matematiky na našich základních a středních školách. Z mého výzkumu jsem získala mnoho cenných informací, týkajících se odlišného nazírání na dyskalkulii. Zjistila jsem, že pedagogové matematiky ze střední školy se cítí být lépe informování než učitelé ze základní školy. Naproti tomu znají méně literatury a také jejich návštěvnost na přednáškách týkajících se této problematiky je mnohem menší než u učitelů na základní škole. Úprava podmínek v matematice je taktéž odlišná na těchto školách. Na základní se snaží učitelé o úpravu v rámci jejich kompetencí. Využívají reedukační metody a pomůcky, známkují a sestavují písemné práce s ohledem na specifickou poruchu žáků, snaží se informovat rodiče. Na střední škole se zaměřují převážně na odlišné známkování a využití kalkulačky jako kompenzační metody. Podle výzkumu je četnost žáků se specifickými poruchami učení na základních školách větší než na středních. Dyskalkulie má na těchto školách zastoupení 11,9 procenta vzhledem k ostatním poruchám učení. To opravdu není zanedbatelná část. V literatuře se uvádí spojitost mezi dyskalkulií a dysortografií. Skoro všichni dyskalkulici na dotázaných školách trpí i jinou specifickou poruchou a převládá dysortografie. Další poruchy učení u žáků dyskalkuliků nepříznivě ovlivňují snahu o lepší výsledky. Práce s Honzou mě naučila mnoho nového. Ocitla jsem se v nových situacích, na které jsem musela umět rychle reagovat. Snažila jsem se vcítit do jeho matematických potíží, do jeho nazírání na matematiku, abych mu dovedla učivo co nejlépe a nejefektivněji vysvětlit. Proto si zcela uvědomuji, že nejdůležitější u těchto žáků je

ZÁVĚR

96

individuální přístup, který nám umožňuje s žákem pracovat, reagovat na jeho verbální i neverbální prvky komunikace. Pro Honzu je v matematice velmi důležitý pocit, že postupuje správně. Zpětná vazba je v tomto případě nezbytná. Spolupráce s Honzou mě přesvědčila, že reedukace dyskalkulika je opravdu náročná práce, která mnohdy není odměněna. Zkušenost s tímto studentem pro mě byla cenným zdrojem nových poznatků, které mohu využít při práci se žáky či studenty, u kterých se vyskytují potíže v matematice. Také náhled na žáky se specifickými poruchami se mi značně změnil. Nyní si plně uvědomuji, jak je pro ně důležité zažít úspěch a mít k nim porozumění.

RESUMÉ/SUMMARY

97

Resumé Diplomová práce je zaměřena na specifickou poruchu počítání, dyskalkulii. Práce je rozdělena do tří částí: teoretické, výzkumné a praktické. Teoretická část vychází ze studia literatury, obsahuje obecnou charakteristiku specifických poruch učení a podrobněji popisuje problematiku dyskalkulie. Výzkumná část se zabývá rozdíly v oblasti dyskalkulie na základních a středních školách. Zkoumá četnost žáků/studentů se specifickými poruchami učení na daných školách a u pedagogů matematiky zjišťuje informovanost o daném tématu a metody práce se žáky/studenty s dyskalkulií. Praktická část vychází ze spolupráce se studentem s dyskalkulií.

Summary The diploma thesis is based on a specific counting disorder, dyscalculia. It is divided into three sections – theoretical, research, and practical. Theoretical section draws from the studied material, includes general characteristics of specific learning disorders and describes in detail the problem of dyscalculia. The research section deals with differences in dyscalculia in elementary and grammar schools. It analyzes the amount of pupils/students with specific learning disorders in these particular types of school, and tries to disclose the informativeness of maths instructors about the given subject, as well as the methodology of work with dyscalculia pupils/students. The practical section is based on cooperation with a student suffering from dyscalculia.

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY

98

Seznam použité literatury [1] BARTOŇOVÁ, M. Kapitoly ze specifických poruch učení I (Vymezení součastné problematiky). 1. vyd. Masarykova univerzita v Brně, 2004. 128 s. ISBN 80-210-3613-3 [2] BARTOŇOVÁ, M. Edukace žáků se speciálními vzdělávacími potřebami. 1. vyd. Brno: MSD, 2005. 267 s. ISBN 80-86633-38-1 [3] BARTOŇOVÁ, M. Kapitoly ze specifických poruch učení II (Reedukace specifických poruch učení). 1. vyd. Masarykova univerzita v Brně, 2005. 152 s. ISBN 80-210-3822-5 [4] BARTOŇOVÁ, M. Specifické poruchy učení v kontextu vzdělávacích oblastí RVP ZV. 1. vyd. Brno: Paido, 2007. 276 s. ISBN 978-80-7315-162-1 [5] BLAŽKOVÁ, R.; MATOUŠKOVÁ, K.; VAŇUROVÁ, M. Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy. 1. vyd. Brno: Paido, 2000. 94 s. ISBN 80-85931-89-1 [6] BUŠEK, I.; BOČEK, L.; CALDA, E. Matematika pro gymnazia. Základní poznatky z matematiky. 2. vyd. Praha: Prometheus, 1995. 165 s. ISBN 80-85849-34-8 [7] CHVALINOVÁ, E. Speciálně pedagogická intervence u žáků s dyskalkulií v mladším školním věku, Rigorózní práce. Brno: MU, 2002. [8]

JUCOVIČOVÁ, D.; ŽÁČKOVÁ, H.; SOVOVÁ, H. Specifické poruchy učení na 2. stupni základních škol (použitelné i pro střední školství). 1. vyd. Praha: D+H, 2001. 83 s. [9] KOCUROVÁ, M. Specifické poruchy učení a chování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, 2000. 96 s. ISBN 80-7082-705-X [10] MICHALOVÁ, Z. Specifické poruchy učení na druhém stupni ZŠ a na školách středních. 1. vyd. Havlíčkův Brod: TOBIÁŠ, 2001. 102 s. ISBN 80-7311-000-8 [11] NOVÁK, J. Nauč mě počítat (Metodika korekce vývojových dyskalkulií). 1. vyd. Litomyšl: AUGUSTA, 1994, 60 s. ISBN 80-901806-1-2 [12] NOVÁK, J. Dyskalkulie (Metodika rozvíjení početních dovedností se souborem pracovních listů). 1. vyd. Havlíčkův Brod: TOBIÁŠ, 1997. 111 s. ISBN 80-86048-03-9

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY

99

[13] NOVÁK, J. Dyskalkulie (Metodika rozvíjení početních dovedností). 3. vyd. Havlíčkův Brod: TOBIÁŠ, 2004. 125 s. ISBN 80-7311-029-6 [14] ZELINKOVÁ, O. Poruchy učení. 2. vyd. Praha: Portál, 1996. 196 s. ISBN 80-7178-096-0 [15] ZELINKOVÁ, O. Pedagogická diagnostika a individuální vzdělávací program. 1. vyd. Praha: Portál, 2001. 208 s. ISBN: 978-80-7367-326-0

SEZNAM PŘÍLOH

Seznam příloh Příloha č. 1: Tematický celek ČÍSELNÉ OBORY (text) Příloha č. 2: Tematický celek ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL (text) Příloha č. 3: Dotazník na základní školu (dotazník) Příloha č. 4: Dotazník na střední školu (dotazník)

100

PŘÍLOHY

101

Přílohy Příloha č. 1: Tematický celek ČÍSELNÉ OBORY 1.1 Číselné množiny Honzovi jsem vysvětlila číselné množiny následujícím způsobem:

N…množina všech přirozených čísel (obor přirozených čísel) N = {1,2,3,4,...}

- slouží k vyjádření počtu osob, zvířat, předmětů apod.

Z…množina všech celých čísel (obor celých čísel) Z = {...,−2,−1,0,1,2,...}

- umožňují vyjádřit změny těchto počtů a jejich porovnání (přírůstek, úbytek) apod.

Q…množina všech racionálních čísel ( obor celých čísel)

4 1   Q = − 5;− ;−0,25; ;3,6;5,12;6, 2;8 5 2  

Např.

1 1 - patří sem čísla ve tvaru zlomku… − ; ;… 4 2 Každý zlomek, který představuje racionální číslo, můžeme převést na číslo desetinné, dělíme-li čitatel jmenovatelem. Podíl může být : a) desetinné číslo s konečným počtem desetinných míst Např. −

1 = (−1) : 4 = −0,25 4

18 = 18 : 5 = 3,6 5 b) desetinné číslo s nekonečným počtem desetinných míst - periodické číslo s konečnou periodou

PŘÍLOHY Např.

102

507 = 507 : 99 = 5,12121212.... = 5,12 99 56 = 56 : 9 = 6,22222... = 6, 2 9 - používají se k vyjádření počtu dílů celku, počtu celků a jejich dílů, změn těchto počtů apod.

R…množina všech reálných čísel ( obor reálných čísel)

Např.

4   R = − 5;0,4; ; sin 60°, 2 ; π ;8 5  

- umožňují vyjádření výsledků měření délek, obsahů, objemů, fyzikálních stavů těles a jejich změn

Po vysvětlení jednotlivých oborů čísel jsme se vše důkladně zopakovali. Dále jsme si uvedli vzájemný vztah mezi těmito číselnými obory:

Uvedené číselné obory jsou vzájemném vztahu:

N ⊂Z ⊂Q⊂R

Tedy: N ⊂ Z, N ⊂ Q, N ⊂ R, Z ⊂ Q, Z ⊂ R, Q ⊂ R.

RR Q Z N

Pojem podmnožina Honza moc nechápal a dělal mu obtíže. Proto jsme si podmnožiny pro lepší názornost ukázali pomocí krabic.

PŘÍLOHY

103

N ⊂ Z (množina všech přirozených čísel je podmnožinou množiny všech celých čísel)

Z obrázku je vidět, že N je podmnožinou Z. Honzovi jsem vysvětlila, že krabice s přirozenými čísly obsahuje čísla {1,2,3,...}, krabice s celými čísly obsahuje čísla {...,−2,−1,0}, ale obsahuje i krabici s přirozenými čísly

{1,2,3,...}. Takže množina všech celých čísel vypadá takto:

Z = {...,−2,−1,0,1,2,...}

Stejným způsobem jsme si vysvětlili i další podmnožiny a nakonec jsme dostali následující obrázek:

PŘÍLOHY

104

Pomocí krabic Honza dobře porozuměl vzájemnému vztahu mezi číselnými obory ( N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ). Myslím si, že toto vysvětlení je pro člověka, který si nedokáže představit abstraktní pojmy nejlepší. Tedy alespoň mně se na Honzovi osvědčilo.

Vzhledem k učivu probíranému ve škole jsme si taktéž museli procvičit příklady následujícího typu. Tyto příklady mají sice z matematického hlediska chybné zadání, ale ve škole se nadále objevují. (Bylo by mnohem lepší formulovat odlišně zadání.)

Příklad : Přiřaď čísla

− (9) ;− 169 ;1, 36;1,62; 4 ; π ; 11; 2

10 2 ; (− 3) 2

k patřičným

číselným oborům:

Vidíme, že jediný problém v tomto příkladě bylo správně vypočítat: − (9) , protože je to velmi podobné typu (− 9) . 2

2

Honza má totiž v paměti, že záporné číslo umocněné na druhou je kladné, ale už ho nenapadne, že když je závorka jen u čísla jedná se o jiný typ příkladu. U dyskalkuliků je důležité, aby se naučili správně pracovat s druhou mocninou. Učitelé na základní škole by jim měli ukázat základní typy příkladů, které vypadají zdánlivě stejně, ale výsledek se liší.

1.2 Obor racionálních čísel Jak poznáme racionální čísla jsme si ukázali již v předešlém učivu. U tohoto tématu jsme se s Honzou zaměřili na zápis zlomku desetinným číslem, zápis desetinného čísla pomocí zlomku, základní tvar racionálního čísla, smíšený tvar

PŘÍLOHY

105

zlomku, nerovnost čísla a porovnávání racionálních čísel. I když většinu z tohoto učiva by si měl pamatovat již ze základní školy, museli jsme si některé věci pořádně procvičit a dokonce znovu naučit.

Základní tvar racionálního čísla

Ukázali jsme si, že jedno racionální číslo např. nekonečně

mnoha

způsoby

krácením

či

24 lze vyjádřit ve tvaru zlomku 36

rozšiřováním

daného

zlomku

:

100 30 14 4 2 − 8 − 18 ; ; ; ; ; ; … 150 45 21 6 3 − 12 − 27 Vidíme, že mezi všemi těmito vyjádřeními existuje jediné, které má tu vlastnost, že společným dělitelem čitatele i jmenovatele tohoto zlomku je jenom číslo jedna. O zlomku

2 tedy říkáme, že je vyjádřením daného racionálního čísla v základní tvaru. 3

Příklad: Racionální čísla

180 78 36 25 135 ; ; ;− ;− zapiš zlomkem v základním tvaru. 240 90 90 100 180

Těsně před tímto učivem jsme probrali znaky dělitelnosti, proto jsem Honzovi na začátku počítání zdůraznila, že tyto znaky budeme využívat i zde. Honza může používat kalkulačku a tak krácení pro něho nebyl až takový problém. Chyby, kterých se dopouštěl souvisely se špatným krácením zlomku. Krátil např. jen v čitateli a zapomněl na jmenovatele. Dále můžeme vidět, že se mu u záporných čísel ztrácí znaménko do rovnítka. To je problém, který se Honzovi stává často. Na konci

PŘÍLOHY

106

příkladu najednou dostane ze záporného čísla číslo kladné. Je to určitě způsobeno tím, že má dysgrafické obtíže a je levák, takže si často zakrývá text rukou a pak ho jen nepozorně opíše.

Smíšené číslo

Řekli jsme si, že smíšené číslo je zapsáno pomocí celého čísla a pravého 3 1 11 2 zlomku např. − 2 ;5 ;7 ;100 … 4 3 12 3

Zápis zlomku jako smíšeného čísla Ukázkový příklad: Zapiš zlomek

5 jako smíšené číslo 2

Uvedli jsme si dva způsoby, jak můžeme daný zlomek převádět. 1.způsob

Pro lepší názornost jsme si převádění zlomku na smíšené číslo ukázali pomocí „koláčů“. Každý jsme si rozdělili na dva stejné dílky (podle jmenovatele). Honza si vybarvil pět polovin. Z obrázku už lehce odpověděl, že zde máme dva celky a jednu polovinu, tedy 2

1 . 2

5 1 = 2 2 2

2.způsob 5 : 2 = 2 (zbytek 1) 1 5 1 =2 2 2 1 Pět děleno dvěma je dva a jedna polovina, tedy smíšené číslo má následující tvar: 2 . 2

PŘÍLOHY Příklad: Zapiš zlomky

107 25 7 23 25 81 9 ; ; ;− ; ;− jako smíšená čísla 8 3 6 7 6 2

Zde, jsme postupovali od názorů k abstrakci. Myslím, že se tento postup velmi osvědčil, protože Honza si mohl danou situaci představit na konkrétním příkladě. U větších čísel jsme použili kalkulačku. Honza toto učivo zvládl velmi dobře.

Zápis smíšeného čísla jako zlomku Ukázkový příklad: Zapiš smíšené číslo 3

1 jako zlomek 8

Uvedli jsme si dva způsoby, jak můžeme smíšené číslo převádět.

PŘÍLOHY

108

1.způsob

Zde jsme použili pro lepší názornost také „koláče“ . Každý jsme si rozdělili na osm stejných dílků (podle jmenovatele). Honza si vybarvil tři a jednu osminu „koláče“. Když jednotlivé dílky spočítal vyšlo mu, že je zde

25 . 8

1 25 3 = 8 8

2.způsob 1 3 ⋅ 8 1 24 1 25 3 = + = + = 8 8 8 8 8 8 Z obrázku je vidět, že každý celek se skládá z osmi dílků, tedy tři celky se skládají z dvaceti čtyř dílků.

1 3 1 3 2 1 Příklad : Zapiš smíšená čísla 7 ;4 ;5 ;−4 ;6 ;−11 jako zlomky 3 4 4 10 3 5

PŘÍLOHY

109

Honza se v čitateli spletl, protože dodržoval postup předcházejícího příkladu a bezmyšlenkovitě násobil místo čtyřmi sedmi. Na chybu v příkladě jsem upozornila a po Honzovi chtěla, aby si vybarvil „koláčky“ a sám došel ke konkrétní chybě.

Postup Honza po chvíli pochopil. Jak můžeme vidět, problém mu dělal výpočet čitatele z paměti i když jsi ho poctivě vypsal. Přetrvávající chyba, kterou můžeme vidět v zápise je mínus před číslem, které se nám opět ztrácelo. Anebo ho Honza zapsal tam, kde nemá být. Chyba, které jsem se zde nejvíce obávala byla přednost početních operací. Jak vidíme, tak Honzův zápis čísel (

) vede k tomu, aby napřed sčítal a pak až násobil. Tato

chyba nenastala a to díky převedení a vybarvení do „koláčků“.

Zápis zlomku desetinným číslem Příklad: Zlomky

1 5 8 2 ; ; a zapiš ve tvaru desetinného čísla. 3 11 10 9

PŘÍLOHY

110

Honza ve škole může používat kalkulačku, proto mu toto učivo nečinilo žádný problém. Jen jsme si museli ukázat, jak zapisujeme desetinná čísla s nekonečným periodickým rozvojem, tedy kdy a jak dáváme nad číslice vodorovnou čárku.

Zápis desetinného čísla ve tvaru zlomku

Nejprve jsem po Honzovi chtěla, aby mi daná desetinná čísla správně přečetl. Např. 0,23 … nula celá dvacet tři setin Dále četl Honza už sám: 0,1; 0,487; 5,2; 61,27; 4,21 Zprvu Honza četl opatrně, bál se, že udělá chybu. U posledních čísel si už byl jistý a chyby nedělal. Nyní jsme si ukázali příklady na zápis desetinného čísla ve tvaru zlomku: 0,9 =

9 10

0,09 =

9 100

0,009 =

9 1000

Po Honzovi jsem chtěla, aby číslo nejprve přečetl, tzn. 0,9 je nula celá devět desetin. Tedy devítku zapíšeme do čitatele a desítku do jmenovatele, tudíž dostaneme zápis desetinného čísla ve tvaru zlomku: 0,9 =

9 . 10

Další příklady řešil Honza již sám. Příklad: Daná desetinná čísla zapiš zlomkem v základním tvaru:

0,2; 1,5; 0,64; 3,62; -2,6; 0,123

PŘÍLOHY

111

Honza nejprve číslo nahlas přečetl, když se spletl naznačila jsem mu, že udělal někde chybu. Dané desetinné číslo pak zapsal správně. Honza si nepřečetl pozorně zadání a myslel, že to je už konečný výsledek. Poté jsem ho upozornila na zadání, zlomek má být v základním tvaru, musíme se tedy dívat, jestli čitatel a jmenovatel mají společného dělitele. Pokud mají i další společné dělitele, dělíme jím vždy čitatele a jmenovatele, až se dostaneme na základní tvar zlomku. Zde se objevovaly základní chyby. Honza, buď číslo špatně vydělil, anebo ho chtěl dále vydělit společným dělitelem, který neexistoval. V tomto případě byla největší pomůckou kalkulačka.

Nerovnost čísel. Porovnávání racionálních čísel

Z učebnice jsme si do sešitu napsali poučku : Racionální čísla zapsaná zlomky

p r ; v základním tvaru porovnáváme na základě q s

srovnání součinů p ⋅ s , q ⋅ r : p r < , právě když p ⋅ s < q ⋅ r , q s p r = , právě když p ⋅ s = q ⋅ r , q s p r > , právě když p ⋅ s > q ⋅ r . q s

Tato poučka, kterou si zapisovali i ve škole do sešitu, je pro Honzu velice abstraktní, proto jsme si ukázali její použití v praxi.

PŘÍLOHY

112

Ukázkový příklad: Porovnej racionální čísla

11 13 ; 16 14

Nejprve jsme si racionální čísla převedli na zlomky se stejným jmenovatelem : 11 ⋅ 14 11 ⋅ 14 154 = = 16 ⋅ 14 224 224 13 ⋅ 16 13 ⋅ 16 208 = = 14 ⋅ 16 224 224 Zlomky se stejným jmenovatelem porovnáváme tak, že porovnáme jejich čitatele : 154 208 11 13 , tedy < < 224 224 16 14 Abychom nemuseli příklad příště, takto rozepisovat, použijeme „křížové pravidlo“: 11 16

13 14

11 ⋅ 14 K16 ⋅ 13

154 < 208 …vidíme, že teď porovnáváme jen „čitatele“ 11 13 < 16 14 Honzovi jsem tedy názorně ukázala, proč číslice násobíme „do kříže“ a jak vznikla pravidla pro porovnávání racionálních čísel. Také jsem mu připomněla, že musíme dávat pozor na zapisování násobků. Kdybychom násobky napsaly opačně, výsledek by byl nesprávný. Šipky v „křížovém pravidlu“ mají dvojí význam, ukazují nám, která čísla spolu máme násobit a na jakou stranu máme součiny zapsát.

Následující příklady se snažil Honza vyřešit sám, jen s moji malou pomocí. Příklad: Porovnej daná racionální čísla:

a)

9 8 ; 13 11

PŘÍLOHY b)

24 23 ; 105 106

c)

7 4 41 ;− ; 12 7 72

d)

64 5 34 ; ; 180 14 98

113

PŘÍLOHY

114

Myslela jsem, že u tohoto příkladu bude mít Honza problém správně seřadit čísla od nejmenšího k největšímu, ale on mne příjemně překvapil. Vedl si totiž velmi dobře. Během okamžiku si v hlavě uspořádal čísla a napsal je do výsledku.

6 8 2 6 e) − ;− ; ; 7 9 5 7 Dávej pozor na záporná číslo, vzpomeň si na číselnou osu!

U porovnávání racionálních čísel jsem byla Honzovou logikou značně překvapena. Myslela jsem si, že když bude porovnávat více čísel, bude mu značně delší dobu trvat, než si uvědomí jejich pořadí. Ale on ho věděl za malou chvíli a bylo vždy bezchybné. Problém nastal až u posledního příkladu, ale díky číselné ose, na které jsme si zopakovali porovnávání záporných čísel, si Honza uvědomil správné pořadí.

Na zopakování celku o racionálních číslech jsme si uvedli následující příklad.

Příklad: Rozhodni, kolik různých racionálních čísel je zapsáno v tomto seznamu a

zapiš je zlomkem v základním tvaru: 1 84 81 252 1 162 2,25;3 ; ; ; ;3,5;2 ; 2 24 36 72 4 72

PŘÍLOHY

115

1.3 Druhá odmocnina reálného čísla Ze začátku této kapitoly jsme si zopakovali dosavadní znalosti o druhé odmocnině.

Honza si zapsal do sešitu: Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla a je takové nezáporné číslo x , pro

které platí x 2 = a . K jeho označení užíváme symbol

a.

Honza může během vyučování a písemných prací používat kalkulačku, proto jsme si zopakovali, kde může najít na kalkulačce druhou odmocninu a spočítali několik jednoduchých příkladů.

Dále jsme si pomocí kalkulačky ukázali, že druhou odmocninu můžeme počítat pouze z nezáporného reálného čísla a že druhá odmocnina z nezáporného čísla je vždy nezáporné číslo.

Uvedli jsme si užitečné vzorce pro počítání s druhými odmocninami.

PŘÍLOHY

116

Honza si zapsal do sešitu: Pro každé dvě nezáporná reálná čísla a, b platí : a ⋅ b = a ⋅ b , tedy

a ⋅ b = a ⋅b

Ukázali jsme si praktické využití tohoto vzorce. Ukázkový příklad:

12 ⋅ 3 = 12 ⋅ 3 = 36 = 6

Další příklady počítal Honza už sám. Příklad: Vypočítej:

a)

2 ⋅ 32

b)

75 ⋅ 3

c)

245 ⋅ 5

d) 10 ⋅ 1000

Honza ze začátku napsal pod druhou odmocninu pouze 10.100, tato chyba vznikla nepozorností. Upozornila jsem na špatný zápis, Honza si chybu opravil. Honza může používat kalkulačku a tak pro něj nebylo obtížné stanovit správný výsledek. Vidíme, že u tohoto typu příkladů používáme mechanický postup. Potřebujeme znát správné pravidlo pro počítání, proto jsme si ho zapsali na „taháček“, na který jsme připisovali i další pravidla.

PŘÍLOHY

117

Honza si zapsal do sešitu: Pro každé dvě nezáporná reálná čísla a, b platí : a = b

a b

, tedy

a b

=

a ; pro b ≠ 0 b

Ukázali jsme si praktické využití tohoto vzorce. Ukázkový příklad:

32 8

32 = 4=2 8

=

Další příklady počítal Honza už sám.

Příklad: Vypočítej:

a)

b)

242 2

48 12

Tento příklad jsme počítali po půl hodině znovu a Honza měl s jeho počítáním už problém.

c)

54 6

PŘÍLOHY

118 75

d)

3

Ukázkový příklad:

25 = 64

25 64

=

5 4

Další příklady počítal Honza už sám. Příklad: Vypočítej:

a)

25 16

U tohoto příkladu, měl Honza problém s tím, že i po odmocnění zapsal výsledek pod odmocninu. Bylo to způsobeno předcházejícím typem příkladů u kterého si Honza vybudoval návyk převádět zlomky, u kterých je odmocnina v čitateli a ve jmenovateli pod jednu odmocninu. Je tedy velmi důležité na tuto chybu studenty upozornit.

b)

121 4

c)

64 16

PŘÍLOHY

d)

119 121 100

Sčítání a odčítání druhé odmocniny Ukázkový příklad: 2 2 −3 2 +4 2 = 3 2

Honza sčítání moc nechápal, proto jsem zavedla substituci: 2 = x Tedy 2 x − 3 x + 4 x = 3 x , tento příklad už uměl spočítat a pochopil, že je to stejné jako u sčítání a odčítání mnohočlenů (toto učivo jsme totiž nedávno opakovali a tak si ho pamatoval). Upozornila jsem ho, že si musí dávat pozor, aby sčítal jen stejné mocniny. Jako u mnohočlenů sčítáme jen stejné proměnné či výrazy.

Další příklady si Honza zkusil už sám. Příklad: Vypočítej následující příklady:

a) 4 3 + 5 3 − 2 3

b)

5 −6 3 + 2 5 −3 3

Honzovi jsem příklad převedla na počítání s mnohočleny. Museli jsme si tedy názorně předvést, proč podtrháváme jen čísla se stejnou odmocninou. Problém nastal i u sčítání: 5 + 2 5 , zde jsem uvedla mojí oblíbenou pomůcku s jablíčky. Když máme jedno jablíčko ( 5 ) a dostaneme další dvě jablíčka ( 2 5 ) máme celkem tři jablíčka ( 3 5 ). Stejně můžeme tedy sčítat i násobky stejných odmocnin.

PŘÍLOHY c)

120 2 −3 5 +4 2 −4 5 −5 2

Další chyba, která převládala bylo špatné sčítání či odčítání. Honza si neuvědomil, že k číslu patří i předcházející znaménko (než jsem ho upozornila na chybu, tak do výsledku napsal číslo − 1 5 ). Proto jsme si čísla i s náležitým znaménkem barevně obtáhli. Barevné rozlišení je velmi názorné a vidíme, že krásně zvýrazní to, co máme sčítat, či odčítat. Bohužel Honza moc nechtěl používat této metody, protože si nechtěl přidělávat práci. Já jsem mu však vždy kladla na důraz, že sice počítání bude delší, ale za to jednodušší a ne s takovou chybovostí jako doposud. Také jsme si museli zopakovat, že jestliže násobíme nulou jakékoliv číslo, tak výsledek je vždy nula ( 0 ⋅ 2 = 0 ). d) 2 5 + 3 3 − 5 + 2 3 + 4 5

Zde se objevila chyba z nepozornosti. Honza si špatně podtrhal čísla, která může sčítat či odčítat a napřed odečetl pouze 2 5 − 5 , po zapsání si uvědomil, že je zde ještě další číslo se stejnou odmocninou a opravil se. e) 3 2 + 2 2 + 1 2 − 5 2

f) 3 5 + 4 2 − 1 5 + 2 2

Barevné znázornění čísel dyskalkulikům velice pomáhá při nápravě. Čísla jako by se najednou „vynořila“ a vidíme, že tímto se dají eliminovat značné chyby. Především si

PŘÍLOHY

121

studenti mnohem snadněji uvědomí, co s čím mají sčítat, popř. odčítat a zda je číslo kladné, či záporné.

Vzorce pro často užívané součiny 1) (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2

2) (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 2

3) (a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2

Zopakovali jsme si vzorce pro součiny a spočítali několik příkladů, kde byli odmocniny. Honza měl s těmito vzorci na základní škole problém, proto jsme si je oživili. 1) (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2


(

) ( 2) 2

2 +1 =

+ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 + (1) = 2 + 2 ⋅ 2 + 1 = 3 + 2 ⋅ 2

2

2

a= 2 b =1

Aby si Honza uvědomil, jak správně používat vzorec, tak jsme si čísla označili písmeny vyskytujícími se ve vzorci.

Další příklady si Honza zkusil spočítat sám. Příklad: Vypočítej následující příklady:

a)

(

)

3 +1

2

Pochopení principu užívání těchto vzorců Honza moc nechápal a tak jsme si pod příklad museli ze začátku psát vzorec, aby si uvědomil, co a jak dosadit.

b)

(

3+4

)

2

PŘÍLOHY

122

Zde je vidět chyba, která se při počítání objevovala celkem často a to špatné sčítání, či odčítání. Honza sečetl 3 + 8 3 , jako 11 3 . Tato chyba se stávala spíše z nepozornosti (viděl 3+8 a tak čísla sečetl, ale už si neuvědomil, že takto počítá špatně), nebo ze špatného zápisu, který nabádal takto počítat. Další chyba, která se vyskytovala, byla u druhého členu vzorce, tedy 2ab . Jak je možno vidět ze zápisu, Honza napřed napsal pouze 4 3 , až po upozornění tuto chybu opravil a člen vynásobil dvěma.

(

c) 3 + 2

)

2

Zde se zase objevila chyba, Honza sečetl 25 + 10 2 jako 35 . Vidíme, že tato chyba je opravdu závažná. K její odstranění může dopomoci např. barevné rozlišení, které budeme po dyskalkulikovi vyžadovat.

d)

(

2+ 8

)

2

Ukázali jsme si příklady, kde využíváme pravidla pro počítání s odmocninami. Tento příklad jsme vypočítali spolu a Honzu jsem upozornila na postup, který má používat při počítání příkladů tohoto typu.

(

e) 2 + 5

)

2

PŘÍLOHY

123

Zde můžeme vidět další velmi frekventovanou chybu, která se objevovala, když se u jednoho členu v závorce vyskytovalo číslo 2. Honza napsal jako druhý člen jen 2 5 , tento výsledek se mu zdál správný, protože číslo dvě je v zápisu už obsaženo. Museli jsme si tedy zdůraznit, že dvěma násobíme čísla a a b . Jelikož a = 2 a b = 5 , tak člen 2ab musí vypadat takto 2 ⋅ 2 ⋅ 5 .

(

f) 12 + 3

)

2

Ukázali jsme si i příklady, kde se v závorce vyskytovaly jen druhé odmocniny. Tyto typy jsme počítali společně a uplatňovali pravidla, která jsme se během počítání druhých odmocnin naučili.

g)

(

2 + 50

)

2

2) (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 2

Zde jsme si ukázkový příklad neukazovali, protože je tento typ příkladů podobný s minulým vzorcem.

Honza si následující příklady vypočítal sám. Příklad: Vypočítej následující příklady:

a)

(

)

2 −3

2

PŘÍLOHY

124

Protože je tento typ příkladu podobný z předcházejícím typem. Jen se liší znaménkem, tedy − 2ab , nevyskytovaly se zde až takové chyby, jako v minulém případě. Všechny nejistoty, které Honza měl jsme si vysvětlili a procvičili již s předcházejícím typem.

b)

(

9 −5

)

2

Jedna z dalších obtíží byl vypočet druhého členu, zde např. 2 ⋅ 9 ⋅ 5 . Honza si sám nevěděl rady a když jsem mu řekla ať člen upraví, nedokázal to. Určitě je to zapříčiněno zápisem v kterého Honza neviděl, že můžeme násobit čísla dva a pět. Proto jsme si ukázali, že je jedno v jakém pořadí čísla napíši. Tedy, že zápis 2 ⋅ 9 ⋅ 5 je úplně stejný jako 2 ⋅ 5 ⋅ 9 .

c)

(

5− 7

)

2

Honza chtěl ještě výsledek dál upravit, ale po chvíli zjistil, že toto je už konečný zápis.

(

d) 18 − 8

)

2

Po dostatečném procvičení Honza sám vypočítal příklady podobného typu, což mě velmi překvapilo. Avšak v další hodině doučování, už zase dělal základní chyby. Toto je

PŘÍLOHY

125

problém, který se vyskytuje velmi často. Honza by totiž potřeboval počítat každý den, aby postup, který už pochopil, zautomatizoval a nezapomněl. 3) (a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2

Tento vzorec jsme důkladně zopakovali, protože ho budeme potřebovat znát k usměrnění zlomku. Ukázkový příklad:

(1 + 2 )⋅ (1 − 2 ) = (1) − ( 2 )

2

2

= 1 − 2 = −1

a =1 b= 2

Aby si Honza uvědomil, jak správně používat vzorec, tak jsme si čísla označili písmeny vyskytujícími se ve vzorci.


a)

(

)(

3+ 5 ⋅

3− 5

)

V tomto typu příkladu byl největší problém s výpočtem druhé mocniny, po Honzovi jsme požadovala, aby člen, který zapisuje na druhou mocninu, dával do závorky. Ukázali jsme si výpočet na kalkulátoru, aby se počítání zjednodušilo.

(

)(

(

)(

b) 4 + 2 ⋅ 4 − 2

)

c) 2 + 3 3 ⋅ 2 − 3 3

)

Honza zde neuměl umocnit na druhou číslo 3 3 , proto jsme si mezi počítání podle vzorce zkusili pár příkladů tohoto typu. Honza může používat kalkulačku a tak jsme si

PŘÍLOHY

126

vysvětlili, jak toto číslo můžeme s její pomoci vypočítat. Hlavně jsem Honzovi

( )

zdůraznila, že když bude psát číslo do kalkulačky musí ho psát ve tvaru 3 3

2

. Honza

2

totiž do kalkulačky napřed napsal pouze 3 3 . A proto jsme si ukázali jaký je to rozdíl, když napíše číslo bez závorek: 2

3 3 = 3⋅3 = 9

(3 3 ) , 2

podle vzorce (a ⋅ b ) = a 2 ⋅ b 2 , který jsme brali nedávno, rozložíme na 2

2

3 2 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3 = 27

d)

(

)(

9+2 7 ⋅

9 −2 7

)

Honza se naučil správně počítat druhé mocniny na kalkulačce a tak pro něj už nebyl problém vypočítat podobné příklady.

Násobení mocninou; mocnin

Honzu doučuji už dlouho a vím, že když se učíme novou látku, kde se vyskytuje učivo, které by měl zvládat, musíme si ho alespoň trošku zopakovat, aby se mu pak nová látka učila lépe a snadněji ji pochopil. Protože jako nové učivo budeme brát usměrňováni zlomků, zopakovali jsme si roznásobení mocninou mocniny v závorce.


(

)

(

)

5 ⋅ 2 3 + 5 = 5 ⋅ 2 3 + 1 5 = 5 ⋅ 2 3 + 5 ⋅ 1 5 = 10 3 + 5 5 5 jsem při vysvětlování raději zapsala jako 1 5 , aby si Honza uvědomil, že má násobit pěti číslo jedna. Zdůraznila jsem, že má násobit všechny čísla v závorce číslem před závorkou. Kdyby číslo před závorkou bylo záporné, pak by se u roznásobených členů změnilo znaménko.

PŘÍLOHY

127


(

a) 4 ⋅ 3 2 + 6 3

)

(

b) 12 ⋅ 2 3 − 5 5 + 7 8

)


(

)

3 ⋅ 2 3 + 5 27 = 2 3 ⋅ 3 + 5 27 ⋅ 3 , podle vzorce a ⋅ b = a ⋅ b

upravíme,

2 3 ⋅ 3 + 5 27 ⋅ 3 = 2 9 + 5 81 = 2 ⋅ 3 + 5 ⋅ 9 = 6 + 45 = 51 Dáváme pozor na přednost početních operací.

Příklad: Vypočítej následující příklady:

(

a) 5 ⋅ 2 5 + 45

(

)

)

b) 6 + 12 ⋅ 3

Takové typy příkladů jsou pro Honzu už velmi složité, protože je zde mnoho různých operací, které si musí uvědomit. Ačkoli zná pravidla pro počítání s odmocninami a umí je u lehčích typů příkladů aplikovat, u tohoto typu je nedokáže patřičně využít. Zde je vidět, že s pomocí je vypočítá.

PŘÍLOHY

128

Usměrňování zlomků

Zlomky, které mají ve jmenovateli odmocninu je lépe upravit tak, aby zde odmocninu neměly. Takový postup se nazývá usměrňování zlomků. Úpravu, která vede k odstranění odmocnin ze jmenovatele nazýváme rozšíření zlomku.

1

Ukázkový příklad: Usměrni zlomek

1 3

⋅

3 3

=

1⋅ 3 3⋅ 3

=

3 3⋅3

=

3 9

=

3 3 3

Vysvětlili jsme si, že rozšíření zlomku je vlastně jen násobení číslem jedna. Honza si zkusil na kalkulačce, že

3 3

=

(

)

3 : 3 = 1 . Jakékoliv číslo můžeme násobit číslem

jedna a nezmění se. Proto, když rozšiřujeme zlomek, dáváme vždy stejné číslo jak do čitatele tak i do jmenovatele.

Další příklady si Honza zkusil spočítat sám. Příklad: Usměrni následující zlomky:

a)

2 5

S tímto typem příkladu se Honza setkal poprvé v životě a tak se musel nejprve naučit vynásobit zlomek správným zlomkem. Pro ostatní studenty to může být zcela jasné. Ale Honzovi dlouho trvá uvědomit si fakt, že vlastně násobí číslem jedna. Dobré pro něho je, že si může na kalkulačce vypočítat, zda opravdu násobí pouze číslem jedna. b)

c)

3 2 2

4 3 5

PŘÍLOHY

d)

129

3 27

Po dostatečném procvičování se Honzovi postup počítání zautomatizoval a on sám vypočítal tyto příklady.

e)

5 8

Jediná chyba, která se zde objevila, byla z nepozornosti. Honza na kalkulačce vypočítal 8 ⋅ 8 = 8 , ale do jmenovatele chtěl zapsat

8 . Zeptala jsem se ho tedy, co mu vyšlo

na kalkulačce. Řekl 8 a chybu si uvědomil.

Ukázkový příklad: Usměrni zlomek

3+2 3

⋅

3 3

=

(

)

3+2 ⋅ 3 3⋅ 3

=

3+2 3

3 ⋅ 3 + 2⋅ 3 3⋅3

=

3⋅3 + 2 3 9

=

9+2 3 9

=

3+ 2 3 3

Upozornila jsem Honzu, na závorku v čitateli. Musíme druhou odmocninou ze tří násobit celou závorku, aby výsledek byl správný. Že je důležité roznásobovat jsme si ukázali na tomto příkladu: Číslo 5+3 vynásob číslem 2

(5 + 3) ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 = 16 (5 + 3) ⋅ 2 = 5 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 = 10 + 6 = 16 5 + 3 ⋅ 2 = 5 + 6 = 11

PŘÍLOHY

130

Vidíme, že u prvních dvou dostaneme stejný výsledek, ale u posledního výpočtu jiný. Přitom z aritmetiky víme, že první výpočet je správný.Z toho si můžeme odvodit, že když chci násobit číslo

3 + 2 číslem 3 , musíme ho roznásobit.

Příklad: Usměrni následující zlomky:

a)

5 +1 2

S tímto typem příkladu měl Honza problémy. Ze začátku se musel naučit napsat závorku tzn.

(

)

5 + 1 , aby si uvědomil, že pak má člen roznásobit

2 . Jak zde můžeme

(

5 + 1 ⋅ 2 = 1⋅ 5 ⋅ 2 .

vidět i pak měl problém s roznásobením, protože vypočítal

)

Nevěděl si rady, jak má postupovat při roznásobování, i když jsme si tohle učivo před nedávnem opakovali.

b)

3+ 2 5

Při počítání jsem Honzovi musela pomáhat. Hlavně jsem kladla důraz na postupné rozepisování. Když se naučil a pochopil postup, který se musí dodržovat, počítal tyto typy příkladů sám a bezchybně.

PŘÍLOHY

c)

d)

131

4+ 5 3

2 3+ 6 6

Zde vidíme stále se opakující chybu. Honza zase zapsal

6 ⋅ 6 jako

6.

U dalšího typu příkladu na usměrňování zlomku budeme potřebovat znát vzorec:

(a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2 Ukázkový příklad: Usměrni zlomek

1

⋅

2− 3

2+ 3 2− 3

=

(

1⋅ 2 − 3

)

(2 + 3 )⋅ (2 − 3 )

=

1 2+ 3 2− 3

(2)

2

−

( 3)

2

=

2− 3 2− 3 = 4−3 1

Na již vypočítaných příkladech, kde jsme použili tento vzorec, jsme si ukázali, proč používáme právě tento. Tím, že odpadne prostřední člen nedostáváme žádnou odmocninu jen celá čísla a to je u usměrňování zlomků důležité.

Příklad: Usměrni následující zlomky:

a)

1 9 −2

PŘÍLOHY

132

Ze začátku se Honza musel naučit postup počítání. Jak zde můžeme vidět, měl problém i s dosazením zlomku, kterým budeme usměrňovat. Napřed

zapsal jen

1 9 −2

upozornila jsem ho, že musí být stejný čitatel i jmenovatel, abychom dostali číslo 1. Opravil se a pak už počítal téměř bezchybně.

b)

2 3+2

U tohoto příkladu napsal do čitatele 2 ⋅ 3 − 2 , upozornila jsem ho na zápis závorky. Další problém nastal při roznásobení, proto jsme si číslo dva zvýraznili barevně. c)

5 4− 5

Vidíme, že zde byl problém s roznásobením závorky. Sice jsme toto učivo opakovali nedávno, ale Honza v něm dělal pořád chyby. Dále vidíme, chybné roznásobení podle

PŘÍLOHY

133

(

)(

)

2

vzorce. Honza vypočítal 4 − 5 ⋅ 4 + 5 = 5 − 4 2 , nedochází mu, že zde záleží na pořadí.

d)

8 5−2

Tento příklad vypočítal téměř sám. Problém měl zase u roznásobení.

1.4 Absolutní hodnota reálného čísla Toto učivo jsme se učili v rámci učiva o množinách, takže Honza už uměl zapisovat intervaly, které jsme potřebovali k zápisu výsledků u nerovnic s absolutní hodnotou.

Do sešitu jsme si zapsali definici a vysvětlili na příkladech její užití.

Honza si zapsal do sešitu: Absolutní hodnotu čísla a zapisujeme a a definujeme takto: Je-li a > 0 , pak a = a ;

Příklad: 8 = 8

je-li a = 0 , pak a = 0 ;

Příklad: 0 = 0

je-li a < 0 , pak a = − a .

Příklad: − 8 = 8

Absolutní hodnota reálného čísla je vždy číslo kladné nebo nula.

Příklad: Vypočítej následující příklady:

a) 8 + 5

PŘÍLOHY

134

b) 1 − 3

c) − 5 − 7 − 2

d) 12 − 14 − − 20

e) 7 − 4 − 11

S tímto obtížnějším příkladem měl Honza už problém. Jak vidíme, tak po odstranění závorky nezměnil všechny znaménka, ale napsal pouze 7 − 4 − 11 . Řekli jsme si, že napřed vypočítáme „vnitřní“ absolutní hodnotu a pak až „vnější“. Honza příklad pochopil, ale u složitějšího typu nedokázal aplikovat to, co jsme si řekli. f) − 9 − 5 + 3

Tento příklad spočítal už sám a dobře. Jedinou chybu, kterou udělal, ale hned si ji opravil, byla − 17 = −17 . Tato chyba pramenila z nepozornosti. Honza zapomněl, že počítáme absolutní hodnotu a pouze odstranil „závorku“. g) − 4 + 6 − 3 − − 2

PŘÍLOHY

135

U následujících příkladů jsme si označili odlišně barevně „vnitřní“ a „vnější“ absolutní hodnoty. Jak je ze zápisu vidět díky barevnému rozlišení Honza snáz vypočítal příklady podobného typu. h) − 3 − 7 − − 5 − − 1

Vidíme, že tyto příklady jsou pro dyskalkulika obtížné. Pro Honzu by bylo mnohem lepší pořádně procvičit jednodušší příklady. Jde nám přeci hlavně o pochopení pojmu absolutní hodnoty, ne o početní operace a postupy.

Geometrický význam absolutní hodnoty

Tuto látku jsme si vysvětlili na konkrétním příkladě.

Rovnice s absolutní hodnotou Ukázkový příklad: Vypočítej rovnici s absolutní hodnotou: x =3

Určili jsme si nulový (počáteční) bod… x0 = 0 Absolutní hodnota reálného čísla je rovna vzdálenosti tohoto čísla na reálné ose od počátku ( x = 0 ). Hledáme tedy všechna čísla x , jejichž vzdálenost od počátku je rovna 3.

Obrazy čísel na číselné ose jsou od sebe vzdálena 1 cm, proto jsem řekla Honzovi, ať si vezme pravítko a najde vzdálenost 3 cm (vzdálenost je vždy jen kladné číslo!) na číselné ose od počátku. Ukázali jsme si tedy, že pravítko můžeme přiložit, jak napravo od nuly, tak i nalevo od nuly. Výsledkem jsou tedy čísla -3 a 3. Zapisujeme x = {− 3,3} Zkouška: − 3 = 3

PŘÍLOHY

136

3 =3

Příklad: Vypočítej rovnici s absolutní hodnotou:

a) x = 5

U tohoto příkladu měl Honza problém jen s užitím matematického zápisu. Chtěl napřed napsat výsledek takto: x = − 5,5 . Řekli jsme si tedy, že nám vyšly dva body, tudíž výsledek je množina dvou bodů a ta se zapisuje x = {− 5,5} . b) x = 4

Honza u tohoto příkladu využíval postup předcházejícího. Sice na číselné ose vyznačil vše správně, ale pak za výsledek napsal x = {− 5,5} . Upozornila jsem ho, že toto je jiný příklad, takže výsledek musí být odlišný. Honza si chybu uvědomil a výsledek opravil.

Ukázkový příklad: Vypočítej rovnici s absolutní hodnotou: x−3 = 2

Prvně si vypočítáme nulový bod… x0 − 3 = 0

x0 = +3

PŘÍLOHY

137

Hledáme tedy všechna čísla x , jejichž vzdálenost od čísla 3 je rovna 2.

Výsledek je: x = {1,5} Zkouška: 1 − 3 = − 2 = 2 5−3 = 2 = 2


a) x + 2 = 3

Tento typ příkladu, už dělal obtíže. Honza si jednak musel uvědomit, jak se vyjádří nulový bod. Což znamenalo správně vypočítat jednoduchou rovnici a to byl pro něho velký problém. Sice jsme toto učivo na ZŠ důkladně procvičili, ale Honza ho zřejmě celé zapomněl. Dále si můžeme všimnout, že si prvně vyjádřil na číselné ose špatné číslo. Tato chyba asi plyne z jeho dysgrafických obtíží, kvůli kterým má potíže s grafickou úpravou. U dyskalkuliků je proto důležité dbát na správný zápis a precizní nákresy, aby se vyvarovali chyb, kterých se ze zápisu mohou dopustit. b) x − 1 = 2

PŘÍLOHY

138

Honza si nulový bod vyjádřil správně, jak je možno vidět ze zápisu. Ale pak ho vypočítal jako x0 = 2 . Řekl si že, když x − 1 = 2 , tak i x0 = 2 . Chybu jsme si opravili. Dále můžeme pozorovat opět špatné označení na číselné ose, které si Honza po chvíli uvědomil a zapsal správně. c) x + 3 = 2

Opět můžeme vidět problémy s výpočtem nulového bodu. Honza ho tentokrát i špatně zapsal: x0 + 3 = 2 , chybu si uvědomil a opravil se. Výsledek nulového bodu, ale zapsal zase špatně: x0 = −2 . Měl na paměti, že musí změnit znaménko, když převádí na druhou stranu rovnice, ale už nepřevedl na druhou stranu rovnice 3, ale 2. S vyjádřením na číselné ose už obtíže neměl. d) x − 2 = 3

PŘÍLOHY

139

Nulový bod vyjádřil bezchybně. Ale, jak vidíme ze zápisu, na číselné ose si špatně vyznačil čísla (-3, -2, -1, 2, 3, 4, 5) a tudíž zapsal špatný výsledek. Na tomto příkladě je patrno, že Honzovi chybí představa číselné osy.

Nerovnice s absolutní hodnotou Ukázkový příklad: Vypočítej nerovnici s absolutní hodnotou: x <3

Určili jsme si nulový bod… x0 = 0 Hledáme tedy všechna čísla x , která jsou na reálné ose od počátku menší než 3.

Výsledek zapíšeme pomocí intervalu. Ještě jsem Honzovi zdůraznila, že si musí dávat pozor, zda je nerovnost ostrá či neostrá, kvůli zápisu intervalů. S tímto měl dříve problémy. Zopakovali jsme si, že když okrajové body do intervalu nepatří označujeme ho pomocí otevřeného intervalu, např. (2,3). Jestliže okrajové body do intervalu patří označujeme ho pomocí uzavřeného intervalu, např. 〈 2,3〉 . Výsledek je x ∈ (−3,3)

PŘÍLOHY

140

Příklad: Vypočítej nerovnici s absolutní hodnotou:

a) x ≤ 1

Honza si hned neuvědomil, že nulový bod je 0 a na ose nejdříve vyznačil číslo 1, protože si myslel, že z něho bude vycházet. Zopakovali jsme si tedy, jak nulový bod dostaneme. Po vyznačení bodů -1 a 1 na číselné ose jsem Honzovi připomněla, že hledáme ta čísla, která jsou ve vzdálenosti menší nebo rovnu jedné od nuly. Aby toto Honza lépe pochopil, použil pravítko. b) x < 2

Vidíme, že tento příklad zvládnul Honza už bez problému. c) x ≥ 1

PŘÍLOHY

141

S pomocí pravítka jsme si vyjasnili, kam budou směřovat šipky. Vzdálenost má být totiž větší nebo rovna jedné od čísla nula. Také jsem Honzovi zdůraznila, že pokud budou šipky směřovat „ven“ budeme nad ně zapisovat značky pro mínus a plus nekonečno, aby se nám následně lehce zapisoval výsledný interval. Chyba, kterou dělal Honza často u absolutní hodnoty bylo špatné označení intervalů. Nebyl si jist, kdy má zapisovat otevřený a kdy uzavřený interval. Proto jsme si napsali malý taháček, který mu měl pomoci při zapisování intervalu. d) x ≥ 4

e) x > 3

U předcházejících dvou příkladů vidíme, že díky taháčku Honza už nedělal chyby.

Ukázkový příklad: Vypočítej nerovnici s absolutní hodnotou: x+2 >3

Určili jsme si nulový bod… x0 + 2 = 0

x0 = −2

PŘÍLOHY

142

Hledáme tedy všechna čísla x , která jsou na číselné ose od obrazu čísla (-2) ve vzdálenosti větší než 3.

Výsledek: x ∈ (−∞,−5) ∪ (5,+∞)


a) x + 3 ≤ 1 Nulový bod si Honza s mojí pomocí vyjádřil správně, našel si ho na číselné ose a z něj zakreslil šipku jdoucí do mínus nekonečna. Řekla jsem mu, že nulový bod je bod z kterého vycházíme. Hledáme vzdálenost, která je menší nebo rovna jedné od čísla mínus tři. Honza si uvědomil, co má dělat a zaznačil absolutní hodnotu správně do číselné osy. Problém přišel s jeho zápisem. Za výsledek chtěl zapsat x ∈ {− 4,2}. Honza chápe chybně matematickou symboliku.

b) x − 6 < 2

PŘÍLOHY

143

Honza si už bez výpočtu dokázal vyjádřit nulový bod. Označil si též správně čísla 4 a 8. Avšak chybně vedl první šipku od bodu 4. Nechala jsem mu tedy přečíst zadání, aby si uvědomil chybu. Tato chyba se vyskytovala poměrně často, Honza si nepozorně přečetl zadání, zbrkle postupoval a pak chyboval. c) x + 2 ≤ 5

Honza si špatně označil čísla na číselné ose, po chvíli se opravil. Opět můžeme vidět, jaké měl problémy se zápisem intervalu, nebyl si jist, které označení má použít. Bylo to zapříčiněné určitě předcházejícím počítáním rovnic s absolutní hodnotou, kde výsledkem byla množina bodů, která se označovala x = {a, b} . Honzu pak mátlo dvojí označení a nebyl si jist, který zápis má použít.

PŘÍLOHY

144

Příloha č. 2: Tematický celek ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL V elementární teorii čísel se studují základní vlastnosti celých čísel. S ohledem na učebnici, kterou Honza ve škole používá jsme se v této části omezili jen na čísla přirozená a zabývali jsme se těmi vlastnostmi přirozených čísel, které souvisejí s jejich dělitelností. Snažili jsme se navázat na poznatky ze základní školy. Ze základní školy jsme v této kapitole zopakovali dělení přirozeného čísla číslem přirozeným; sudost a lichost čísla; nejmenší společný násobek a největší společný dělitel. Nově se Honza naučil znaky dělitelnosti; co je to prvočíslo a číslo složené a prvočíselný rozklad přirozeného čísla.

2.1 Znaky dělitelnosti Dělitelnost dvěma

Do sešitu jsem s pomocí Honzy napsala násobky dvou: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, … Ukázali jsme si, že tato čísla mají na místě jednotek některou z číslic 2, 4, 6, 8, nebo 0.

Honza si zapsal do sešitu: Přirozené číslo je dělitelné dvěma, jestliže má na místě jednotek některou z číslic 0, 2, 4, 6, 8, tzn. každé sudé číslo je dělitelné dvěma.

Do sešitu jsem napsala čísla: 531, 540 a zeptala se Honzy, které číslo je sudé a které liché. Honza odpověděl dobře. Tedy, že sudé číslo je číslo 540 a liché číslo 531. Honzovi jsem ještě jednou zdůraznila, že sudá čísla jsou čísla jejichž zápis končí některou z číslic 0, 2, 4, 6, 8 a lichá čísla jsou čísla jejichž zápis končí některou z číslic 1, 3, 5, 7, 9.

Příklad: Zapiš pět sudých čísel.

Vypsal tato:

PŘÍLOHY

145

Dělitelnost třemi

Do sešitu jsem s pomocí Honzy napsala násobky tří: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, … Ukázala jsem Honzovi, že když je ciferný součet čísel dělitelný třemi, tak je i číslo dělitelné třemi. Např. 15…1+5 = 6, 6 : 3 = 2, tzn. 6 je dělitelné třemi, takže i číslo je dělitelné třemi. 42…4+2 = 6, 6 : 3 = 2, tzn. 6 je dělitelné třemi, takže i číslo je dělitelné třemi.

Honza si zapsal do sešitu: Přirozené číslo je dělitelné třemi, právě když je jeho ciferný součet dělitelný třemi.

Honzovi dělá potíže malá násobilka. Nedokáže si představit řadu čísel a často se plete. Abych tyto obtíže zmírnila zhotovila jsem mu tabulku (obr. 1) s čísly od 1 – 100. S použitím tabulky lehce zjistil, zda je číslo násobkem tří. Tuto tabulku Honza využíval i k dalším násobkům.

Obr. 1

PŘÍLOHY

146

Příklad: Pomocí znaku dělitelnosti zjisti, zda jsou čísla 921, 81, 270, 321, 507, a 809

dělitelná třemi.

Ciferný součet si Honza provedl zpaměti a pak pomocí tabulky (obr. 1) zjistil, zda je dané číslo dělitelné třemi.

Dělitelnost čtyřmi

Ukázali jsme si, že číslo 100 je dělitelné 4 pomocí kalkulačky a násobky 4 jsme začali psát od čísla 100. Tedy 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, …

Dále jsme si ukázali, že i čísla 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, …jsou dělitelná čtyřmi. Tedy násobky 100 jsou dělitelné čtyřmi. Z toho vyplývá následující znak dělitelnosti.

Honza si zapsal do sešitu: Přirozené číslo je dělitelné čtyřmi, právě když jeho poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi.

Např. 524…24 : 4 = 6; 24 je dělitelné 4, tzn. číslo 524 je dělitelné 4 10132…32 : 4 = 8; 32 je dělitelné 4, tzn. číslo 10132 je dělitelné 4

Příklad: Pomocí znaku dělitelnosti zjisti, zda jsou čísla 9544, 7804, 3562, 8720

dělitelná čtyřmi.

PŘÍLOHY

147

Honza si nejprve označil poslední dvojčíslí a pak pomocí tabulky (obr. 1) zjistil, zda je toto dvojčíslí dělitelné čtyřmi.

Dělitelnost pěti

Do sešitu jsem s pomocí Honzy napsala násobky pěti: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, … Ukázali jsme si, že tato čísla mají na místě jednotek číslici 0 nebo 5.

Honza si zapsal do sešitu: Přirozené číslo je dělitelné pěti, jestliže má na místě jednotek číslici 0 nebo 5.

Příklad: Pomocí znaku dělitelnosti zjisti, zda jsou čísla 1025, 670, 3523, 9365 dělitelná

pěti.

Dělitelnost šesti

Do sešitu jsem s pomocí Honzy napsala násobky šesti: 6, 12, 15, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, … Ukázali jsme si, že tyto čísla jsou sudá a dělitelná třemi.

PŘÍLOHY

148

Honza si zapsal do sešitu: Přirozené číslo je dělitelné šesti, právě když je dělitelné dvěma a zároveň třemi. Tzn. číslo je sudé a jeho ciferný součet je dělitelný třemi.

Ukázali jsme si, že 6 = 2 .3, proto číslo dělitelné šesti musí být dělitelné dvěma a zároveň třemi.

Např. 270 – číslo končí 0, tzn. je dělitelné dvěmi - ciferný součet je 2+7 = 9 a 9 : 3 = 3 ; tzn. číslo je dělitelné třemi Tedy číslo 270 je dělitelné dvěmi a zároveň třemi, tzn. je dělitelné šesti.

Příklad: Pomocí znaku dělitelnosti zjisti, zda jsou čísla 132, 509, 830, 382 dělitelná

šesti.

Honza měl malý problém jen se součtem cifer, pomáhá si prsty a tak se občas plete. Upozornila jsem ho na využití tabulky (obr. 1) při sčítání.

Dělitelnost sedmi

Honzovi jsem řekla, že na dělitelnost sedmi existuje poučka, ale je velmi složitá. Je rychlejší číslo vydělit sedmi a tím zjistit, zda je sedmi dělitelné. Zopakovali jsme si dělení přirozeného čísla číslem přirozeným.

Např. 8764 : 7 = 1252 … Číslo 8764 je dělitelné 7. -(7) 17 -(14) 36 -(35) 14 -(14) 0

PŘÍLOHY

149

Příklad: Zjisti, zda jsou čísla 1620, 2520 a 3836 dělitelná sedmi.

S písemným dělením má Honza značné problémy. Bylo obtížné, aby si Honza sám vzpomněl na postup při dělení, protože už ho dávno nepoužívá. Všechny náročnější příklady počítá na kalkulačce. Taktéž se stanovením zbytku byl malý problém. Po dělení Honza odpověděl, že číslo 1620 není dělitelné sedmi, protože po dělení sedmi zůstane zbytek 3.

Odpověděl, že číslo 2520 je dělitelné sedmi.

Odpověděl, že číslo 3836 je dělitelné sedmi. I zde Honza využil tabulku (obr. 1) a to při odečítání čísel.

Po důkladném zopakování a procvičení se Honzovi tento postup zautomatizoval a nedělal už takové chyby.

PŘÍLOHY

150

Dělitelnost osmi

Ukázali jsme si, že číslo 8800 je dělitelné 8 pomocí kalkulačky a násobky 8 jsme začali psát od čísla 8800. Honza přitom používal kalkulačku a diktoval mi čísla. Tedy 8800, 8808, 8816, 8824, 8832, 8836, 8840, 8848, 8856, 8864, 8872, 8880, …

Dále jsme si ukázali, že i čísla 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, …jsou dělitelná osmi. Tedy násobky 1000 jsou dělitelné osmi. Z toho vyplývá následující znak dělitelnosti.

Honza si zapsal do sešitu: Přirozené číslo je dělitelné osmi, právě když jeho poslední trojčíslí je dělitelné osmi. Např. 8432…432 : 8 = 54; číslo 8432 je dělitelné 8 -(40) 32 -(32) 0 Příklad : Pomocí znaku dělitelnosti zjisti, zda jsou čísla 1620 a 2520 dělitelná osmi.

Odpověděl, že číslo 1620 není dělitelné osmi, protože po dělení osmi zbude zbytek 4.

Odpověděl, že číslo 2520 je dělitelné osmi.

V písemném dělení při určování dělitelnosti osmi neměl Honza velké problémy. Písemné dělení jsme dostatečně procvičili na dělitelnosti sedmi a tak se už v dělení osmi nepletl.

PŘÍLOHY

151

Dělitelnost devíti

Do sešitu jsem s pomocí Honzy napsala násobky devíti: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, … A ukázala Honzovi, že když je ciferný součet dělitelný devíti, tak je i číslo dělitelné devíti. Např. číslo 36…3+6 = 9, 9 : 9 = 1, tzn. 9 je dělitelné devíti, takže i číslo je dělitelné devíti. 126…1+2+6 = 9, 9 : 9 = 1, tzn. 9 je dělitelné devíti, takže i číslo je dělitelné devíti.

Honza si zapsal do sešitu: Přirozené číslo je dělitelné devíti, právě když jeho ciferný součet je dělitelný devíti.

Příklad: Pomocí znaku dělitelnosti zjisti, zda jsou čísla 5326, 1251, 324, 891, 3321

dělitelná devíti.

Honza cifry u čísel sečetl a pomocí tabulky (obr. 1) zjistil, zda je číslo dělitelné devíti, či nikoli.

Dělitelnost deseti

Do sešitu jsem s pomocí Honzy napsala násobky deseti: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, …

Honza si zapsal do sešitu: Přirozené číslo je dělitelné deseti, jestliže má na místě jednotek číslici 0.

Honzovi jsem říkala různá čísla a on mi odpovídal jestli jsou dělitelná deseti. Odpovídal správně.

PŘÍLOHY

152

Jednotlivé znaky dělitelnosti jsme si důkladně zopakovali a na papír vypsali malý taháček, který pak měl Honza u sebe.

Nakonec jsem Honzovi zadala příklad, který je shrnutím znaků dělitelnosti. Příklad : Pomocí znaků dělitelnosti zjisti, zda jsou čísla 6230 a 1428 dělitelná čísly 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Honza mi odpověděl, že číslo 6230 je dělitelné čísly 2, 5, 7 a 10.

PŘÍLOHY

153

Nejmenší problém Honzovi dělalo zjistit, zda je číslo dělitelné 5 a 10. K mému překvapení dělalo Honzovi největší obtíž stanovit, zda je číslo dělitelné 2. Pletla se mu čísla sudá a lichá. Možná je to tím, že problémem některých dětí je pamatovat si rozdíl dvou, jako: pravá – levá, sudá – lichá, …. Asi je lepší napřed je naučit dobře jen jeden znak a pak přidat další.

2.2 Prvočísla a čísla složená Vypsala jsem řadu čísel: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 13, 18, 21, 23, 37 Do sešitu si Honza zapisoval dělitele jednotlivých čísel: 1 je dělitelná 1. 2 je dělitelná 1 a 2. 4 je dělitelná 1, 2 a 4. 5 je dělitelná 1 a 5. 8 je dělitelná 1, 2, 4 a 8. 10 je dělitelná 1, 2, 5 a 10. 13 je dělitelná 1 a 13. 18 je dělitelná 1, 2, 3, 6, 9 a 18. 21 je dělitelná 1, 3, 7 a 21. 23 je dělitelná 1 a 23. 37 je dělitelná 1 a 37. U zapisování si procvičil znaky dělitelnosti.

Honza si zapsal do sešitu: Prvočísla jsou všechna přirozená čísla, která mají právě dva různé dělitele, číslo 1 a

samo sebe.

Příklad: Vypiš z úvodního příkladu prvočísla.

Honza hledal ta čísla, která jsou dělitelná číslem 1 a sama sebou. Napsal čísla 2, 5, 13, 23 a 37. Úkol Honza pochopil a zapsal správně.

PŘÍLOHY

154

Honza si zapsal do sešitu: Složená čísla jsou všechna přirozená čísla, která mají aspoň tři různé dělitele.

Příklad: Vypiš z úvodního příkladu čísla složená.

Honza hledal ta čísla, která mají tři a více dělitelů. Napsal čísla 4, 8, 10, 18 a 21. Úkol Honza pochopil a zapsal správně.

Zeptala jsem se Honzy jestli nám tam nějaké číslo nezůstalo. Nějaké, které jsme nezapsali do prvočísel ani do čísel složených. Odpověděl, že číslo 1.

Honza si zapsal do sešitu: Číslo 1 nepovažujeme ani za prvočíslo, ani za složené číslo.

Abychom si toto učivo řádně zopakovali, využila jsem tabulku s čísli od 1-100 (obr.1) a Honza si v této tabulce zakroužkoval prvočísla.

Příklad: Zakroužkuj v této tabulce všechna prvočísla.

Obr. 2

PŘÍLOHY

155

Označení prvočísel Honzovi trvalo dlouho. Často se pletl, protože nemohl najít dalšího dělitele. Když chtěl zakroužkovat číslo složené zastavila jsem ho a snažila jsem mu pomoci alespoň tím, že jsem ho upozornila na využití znaků dělitelnosti v tomto příkladě. Po chvíli zjistil, jak má postupovat a už nedělal tolik chyb. Tuto tabulku (Obr. 2) Honza dále využíval např. u rozkladu, kde je užitečné vědět, která z čísel jsou prvočísla.

Prvočíselný rozklad složeného čísla

Honzovi jsem ukázala na velmi jednoduchém příkladě příkladě: 6 - číslo složené, je dělitelné 1,2,3 a 6, - můžeme ho zapsat také jako 6 = 2 . 3, kde 2 a 3 jsou prvočísla, - 6 = 2 .3 nazýváme prvočíselný rozklad čísla složeného.

My budeme zapisovat prvočíselný rozklad následovně:

Tzn. 6 = 2 . 3 Honzovi jsem vysvětlila tento zápis.

Prvočíselný rozklad čísel můžeme provádět několika způsoby. Já jsem vybrala pro Honzu nejpřehlednější způsob, tabulkový zápis, kde zaznamenáváme prvočíselné dělitele v pravém sloupci a v rozkladu pokračujeme až v levém sloupci vyjde podíl jedna. Při vyhledávání dělitelů uplatňujeme znaky dělitelnosti.

Tabulkový zápis jsem mu ukázala ještě na následujícím příkladě:

Tzn. 48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 24 . 3 Upozornila jsem Honzu, že budeme prvočíselný součin psát od nejmenších číslic po největší a zapisovat součin stejných čísel pomocí mocnin.

PŘÍLOHY

156

Pro zopakováni, měl zapsat součiny následujících čísel pomocí mocnin: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26 3 . 3 . 3 . 3 = 34 Tento úkol splnil Honza správně.

Honzovi jsem zadala příklady, které se snažil sám spočítat. Při počítaní mohl používat kalkulačku, čímž si práci velice ulehčil. Využíval zde znaky dělitelnosti. Příklad: Zapiš prvočíselný rozklad čísel :

a) 850

b) 1500

c) 1800

PŘÍLOHY

157

d) 5775

Prvočíselný rozklad nedělal Honzovi žádný problém. Snažil se využívat znaků dělitelnosti a když si nebyl jist, zda je číslo ještě složené, použil tabulku s prvočísly (obr. 2). Tím se mu práce usnadnila. Občas udělal chybu z nepozornosti, když si do špatného řádku opsal číslo.

2.3 Největší společný dělitel Číslo, které je dělitelem několika daných čísel, se nazývá společný dělitel daných čísel. Největšího společného dělitele čísel a, b označujeme symbolem D(a, b). Podobný způsob zápisu užíváme i pro více čísel, např. D(a, b, c) apod.

a) největší společný dělitel dvou čísel Ukázkový příklad:

Najdi největšího společného dělitele čísel 16 a 76, tedy D(16, 76). Nejprve si vypočítáme prvočíselný rozklad těchto čísel.

…zda je číslo 19 prvočíslo či číslo složené se můžeme ujistit pomocí tabulky (obr. 2)

V obou prvočíselných rozkladech daných čísel se vyskytují prvočísla : 2 a 2 . To znamená, že největší společný dělitel čísel 16 a 76 je 2 . 2 = 4 (vidíme, že násobek 4 se vyskytuje, jak v zápisu čísla 16, tak v zápisu čísla 76).

PŘÍLOHY

158

Zapíšeme D(16, 76) = 2 . 2 = 4

Můžeme provést zkoušku : 16 : 4 = 4 76 : 4 = 19 …vidíme, že čísla 4 a 19 nemají žádného společného dělitele.

Tento ukázkový příklad jsem zapsala Honzovi do sešitu a zadala mu příklady, které si vypočítal sám.

Příklad: Vypočítej největšího společného dělitele čísel:

a) 36 a 48

Prvočíselný rozklad jsme si zapisovali bez mocnin, aby hledání největšího společného dělitele bylo jednodušší. Po Honzovi jsem také požadovala, aby psal součin prvočísel od nejmenšího k největšímu. Jak můžeme vidět největší problém mu dělal zápis součinu prvočísel pro největšího společného dělitele. Bylo pro něj obtížné pochopit, proč ze dvou čísel opíšeme pouze jedno. Aby toto snáze pochopil zapsala jsem mu do sešitu:

Vidíme, že číslo 12 je společným dělitelem čísla 36 a 48.

b) 36 a 120

PŘÍLOHY

159

Honza zapomněl na pořadí součinu v prvočíselném zápise a tak jej musel přepsat. Stanovení největšího společného dělitele už nebyl pro něj problém, protože dobře pochopil mé vysvětlení z předcházejícího příkladu.

c) 180 a 300

d) 70 a 210

PŘÍLOHY

160

Po dostatečném procvičení mu tento typ učiva nedělal žádné problémy a sám vypočítal i složitější příklady. Největším pomocníkem nám byla opět kalkulačka.

b) největší společný dělitel tří čísel Ukázkový příklad:

Najdi největšího společného dělitele čísel 30, 42 a 66, tedy D(30, 42, 66). Nejprve si vypočítáme prvočíselný rozklad těchto čísel.

Ve všech prvočíselných rozkladech daných čísel se vyskytují prvočísla : 2 a 3 .

PŘÍLOHY

161

To znamená, že největší společný dělitel čísel 30, 42 a 66 je 2 . 3 = 6 (vidíme, že násobek 6 se vyskytuje, jak v zápisu čísla 30, 42, tak v zápisu čísla 66).

Zapíšeme D (30, 42, 66) = 2 . 3 = 6

Můžeme provést zkoušku : 30 : 6 = 5 42 : 6 = 7 66 : 6 = 11 …vidíme, že čísla 5, 7 a 11 nemají žádného společného dělitele. Tento ukázkový příklad jsme spočítali spolu s Honzou do sešitu. Většinu postupu věděl sám, problém nastal, až při zjišťování dělitele. Tam jsme si řekli, že protože se ve všech prvočíselných rozkladech vyskytují čísla 2 a 3 , největší společný dělitel čísel bude 2 . 3, tj. 6.

Následující příklad si Honza spočítal sám.

Příklad: Vypočítej největší společný dělitel čísel 12, 30 a 72.

Největší společný dělitel tří čísel jsme s Honzou počítali jen pro zajímavost. Ve škole ho probírali a tak jsem ho seznámila s jeho počítáním. Jak je vidět, dělalo Honzovi

PŘÍLOHY

162

problém správné označení čísel, které budeme násobit. V této kapitole jsme se zaměřili hlavně na hledání největšího společného dělitele dvou čísel, vzhledem k Honzově dyskalkulii.

2.4 Nejmenší společný násobek Číslo, které je násobkem několika daných čísel, se nazývá společný násobek daných čísel. Nejmenší společný násobek čísel a, b označujeme symbolem n (a, b). Podobný způsob zápisu užíváme i pro více čísel, např. n (a, b, c) apod.

a) nejmenší společný násobek dvou čísel Ukázkový příklad:

Najdi nejmenší společný násobek čísel 24 a 50, tedy n (24, 50). Nejprve si vypočítáme prvočíselný rozklad těchto čísel.

24 = 2 . 2 . 2 . 3 50 = 2 . 5 . 5

Napřed jsme si zapsali nejmenší společný násobek a pak jsem Honzovi vysvětlila, proč se zapisují právě tato čísla.

n (24, 50) = 2 . 2 . 3 . 2 . 5 . 5 Číslo, které se vyskytuje v obou prvočíselných rozkladech opíšeme do součinu nejmenšího společného násobku jednou a ostatní čísla opíšeme všechny. Vysvětlení:

n (24, 50) = 2 . 2 . 3 . 2 . 5 . 5 = 24 . 5 . 5 = 24 . 25 24

n (24, 50) = 2 . 2 . 3 . 2 . 5 . 5 = 2 . 2 . 3 . 50 = 12 . 50 50 Vidíme, že v nejmenším společném násobku se číslo 24 vyskytuje 25krát a číslo 50 12krát.

PŘÍLOHY

163

Tento ukázkový příklad jsem zapsala Honzovi do sešitu. Při výpočtech prvočíselných rozkladů mi pomáhal.

Příklad: Vypočítej nejmenší společný násobek čísel:

a) n (90, 330)

b) n (88, 160)

PŘÍLOHY

164

Honzovi opět dělalo problém pochopit, jak jsme došli k výsledku i přes důkladné vysvětlení postupu na začátku tohoto učiva.

c) n (27, 56)

Poté, co bylo učivo důkladně procvičeno a zautomatizován postup, Honza počítal sám a téměř bezchybně.

b) nejmenší společný násobek tří čísel Ukázkový příklad:

Najdi nejmenší společný násobek čísel 12, 30 a 36, tedy n (12, 30, 36). Nejprve si vypočítáme prvočíselný rozklad těchto čísel.

30 = 2 . 3 . 5 12 = 2 . 2 . 3 36 = 2 . 2 . 3 . 3 Napřed jsme si zapsali nejmenší společný násobek a pak jsem Honzovi vysvětlila, proč se zapisují právě tato čísla.

n (12, 30, 36) = 2 . 2 . 3 . 3 . 5

PŘÍLOHY

165

Číslo, které se vyskytuje ve všech (2) či dvou (2 a 3) prvočíselných rozkladech opíšeme do součinu nejmenšího společného násobku jednou a ostatní čísla opíšeme všechny (3 a 5). Vysvětlení:

n (12, 30, 36) = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 12 . 3 . 5= 12 . 15 12

n (12, 30, 36) = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 30 . 2 . 3 = 30 . 6 30

n (12, 30, 36) = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 36 . 5 36 Vidíme, že v nejmenším společném násobku se číslo 12 vyskytuje 15krát, číslo 30 6krát a číslo 36 5krát. Tento ukázkový příklad jsem zapsala Honzovi do sešitu. Při výpočtech prvočíselných rozkladů mi pomáhal.

Následující příklad si Honza spočítal sám. Příklad: Vypočítej nejmenší společný násobek čísel 10, 25, 40

Největší společný násobek tří čísel jsme si opět ukázali spíše pro zajímavost. Je zde vidět, že Honza nebyl schopen pochopit princip počítání, protože u tohoto příkladu potřebujeme značné logické myšlení

PŘÍLOHY

166

Vidíme, že v celku Číselné obory a v celku Elementární teorie čísel Honza probral velké množství nového učiva a vypočítal nespočet příkladů. V každém příkladě nového typu se vyskytovaly nové chyby. Honza má též problém s krátkodobou pamětí, která nám stěžovala práci. Mnohdy se stalo, že ač jsme v předešlé hodině probrali učivo důkladně a Honza byl schopen už samostatné práce, příští hodinu mu toto učivo opět činilo problémy a museli jsme ho znovu zopakovat.

PŘÍLOHY

167

Příloha č. 3: Dotazník na základní školu Výchovný poradce Počet žáků na škole:__________________________________________________ Kolik žáků navštěvujících vaši školu má diagnostikovanou specifickou poruchu učení? ______________________________________________________________________ Kolik z tohoto počtu má diagnostikovanou dyskalkulii? ______________________________________________________________________ Dívek

Chlapců

1. stupeň 2. stupeň

Kolik dyskalkuliků má diagnostikovanou i další specifickou poruchu učení? Jaká SPU převládá? ______________________________________________________________________ Máte ve škole speciální třídy pro žáky se specifickými poruchami učení? Pokud ano, kolik a v jakých ročnících? ______________________________________________________________________ Mají někteří dyskalkulici na vaší škole individuální vzdělávací plán? ______________________________________________________________________ Dívek 1. stupeň 2. stupeň

Chlapců

PŘÍLOHY

168

Učitel/ka matematiky Věk: a) 20 – 30 let

b) 31 – 40 let

c) 41 – 50 let

d) 51 – 60 let

e) 61 a více let

A) Informovanost učitele o problematice dyskalkulie Máte k dispozici dostatek informací o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy? ______________________________________________________________________ Znáte knihu nebo metodickou příručku týkající se tohoto problému? Pokud ano, jakou? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Navštívil/a jste kurzy nebo semináře o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy? Jestli ano, jaké? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ B) Práce s dyskalkulickým žákem Používáte speciální reedukační metody a pomůcky při práci s dětmi s dyskalkulií? Pokud ano, jaké a v jakém učivu? V jakém učivu se vám tyto metody/pomůcky nejvíce a kde nejméně osvědčily? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Která učební látka, podle vás, dělá dyskalkulikům největší a která naopak nejmenší problém? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

PŘÍLOHY

169

______________________________________________________________________ Jakou učební látku těmto žákům vysvětlujete pouze orientačně? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Mohou žáci s dyskalkulií používat na vaší škole kalkulačku? Pokud ano, mohou ji používat i během písemné práce či zkoušení? ______________________________________________________________________ Sestavujete písemné práce pro tyto žáky s ohledem na jejich specifickou poruchu učení? ______________________________________________________________________ Hodnotíte tyto žáky s ohledem na jejich specifickou poruchu učení? ______________________________________________________________________ Informujete rodiče, jak mají pracovat s těmito dětmi? Pokud ano, jak? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

PŘÍLOHY

170

Příloha č. 4: Dotazník na střední školu Výchovný poradce Počet studentů na škole:__________________________________________________ Kolik studentů navštěvujících vaši školu má diagnostikovanou specifickou poruchu učení? ______________________________________________________________________ Kolik z tohoto počtu má diagnostikovanou dyskalkulii? ______________________________________________________________________ Dívek

Chlapců

Kolik dyskalkuliků má diagnostikovanou i další specifickou poruchu učení? Jaká SPU převládá? ______________________________________________________________________ Máte ve škole speciální třídy pro studenty se specifickými poruchami učení? Pokud ano, kolik a v jakých ročnících? ______________________________________________________________________ Mají někteří dyskalkulici na vaší škole individuální vzdělávací plán? ______________________________________________________________________

Dívek

Chlapců

PŘÍLOHY

171

Pedagog matematiky Věk: a) 20 – 30 let

b) 31 – 40 let

c) 41 – 50 let

d) 51 – 60 let

e) 61 a více let

A) Informovanost pedagoga o problematice dyskalkulie Máte k dispozici dostatek informací o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy? ______________________________________________________________________ Znáte knihu nebo metodickou příručku týkající se tohoto problému? Pokud ano, jakou? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Navštívil/a jste kurzy nebo semináře o poruchách učení v matematice a možnostech jejich nápravy? Jestli ano, jaké? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ B) Práce s dyskalkulikem Používáte speciální reedukační metody a pomůcky při práci se studenty s dyskalkulií? Pokud ano, jaké a v jakém učivu? V jakém učivu se vám tyto metody/pomůcky nejvíce a kde nejméně osvědčily? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Která učební látka, podle vás, dělá dyskalkulikům největší a která naopak nejmenší problém? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

PŘÍLOHY

172

______________________________________________________________________ Jakou učební látku těmto studentům vysvětlujete pouze orientačně? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Mohou studenti s dyskalkulií používat na vaší škole kalkulačku? Pokud ano, mohou ji používat i během písemné práce či zkoušení? ______________________________________________________________________ Sestavujete písemné práce pro tyto studenty s ohledem na jejich specifickou poruchu učení? ______________________________________________________________________ Hodnotíte tyto studenty s ohledem na jejich specifickou poruchu učení? ______________________________________________________________________ Informujete rodiče, jak mají pracovat s těmito studenty? Pokud ano, jak? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

PROBLEMATIKA DYSKALKULIE NA ZÁKLADNÍ A STŘEDNÍ ŠKOLE

Recommend Documents