PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1. ALJABAR Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Oleh: Sigit Tri Guntoro
1.
Dua orang berselisih mengenai banyaknya pasangan bilangan bulat
yang memenuhi
. Orang pertama mengatakan tak hingga penyelesaian dan orang kedua mengatakan berhingga. Buktikan mana yang benar?. Penyelesaian: Soal di atas bentuknya menemukan sehingga dapat dilakukan metode trial and check, seperti pada umumnya. Tetapi karena yang diperlukan “semua pasangan berurutan” maka dengan trial saja tidak cukup. Oleh karena itu diperlukan cara lain yaitu mendaftar semua kemungkinan. Cara ini memerlukan kejelian, ketelitian dan analisis yang mendalam. Perhatikan dan cermati. Menentukan semua pasangan bilangan bulat
yang memenuhi
(1) Untuk x bulat negatif jelas tidak mungkin karena tidak menghasilkan y2 bulat Untuk x = 0 maka 1 + 2 x + 2 2 x +1 = y 2 ⇔ 1 + 2 0 + 21 = y 2 ⇔
. Jadi
atau
. Sehingga diperoleh (0,2) dan (0,-2) merupakan salah satu penyelesaiannya. Untuk bulat
maka 1 + 2 x + 2 2 x +1 = y 2 ⇔ 1 + 2 1 + 2 3 = y 2 ⇔
. Tidak ada bilangan
yang memenuhi.
Kita observasi untuk Misalkan pasangan bilangan bulat dan jelas Dengan demikian
memenuhi (1) maka (2)
dan
merupakan solusinya.
Dengan tidak mengurangi keumuman, ambil b yang positif. Karena (a,b) memenuhi (1) maka
1 + 2 a + 2 2 a+1 = b 2 ⇔ 2 a + 2 2 a +1 = b 2 − 1 ⇔ 2 a (1 + 2 a +1 ) = b 2 − 1 = (b − 1)(b + 1)
(3)
Dari hasil ini nampak bahwa (b − 1)(b + 1) genap karena kelipatan 2. Jelas bahwa dua-duanya baik (b − 1) maupun (b + 1) genap, khususnya salah satu faktor pasti habis dibagi 4 (ingat: 2 bilangan genap berurutan pasti salah satu merupakan kelipatan 4). Mengingat (1), (2) dan (3) maka Selanjutnya,
2a (1 + 2 a +1 ) = (b − 1)(b + 1) ⇔ 1 + 2 a +1 =
(b − 1)(b + 1) . 2a
Karena 1 + 2 a+1 ganjil maka (b − 1) dan (b + 1) dua-duanya tidak habis dibagi 2a. Disamping itu, untuk (b + 1) habis dibagi 4 maka
1 + 2a+1 =
(b − 1)(b + 1) (b − 1)(b + 1) A(b + 1) , untuk A ganjil. Berarti A tidak habis dibagi = = 2a 2.2 a−1. 2a−1
2a−1 . Akibatnya (b + 1) habis dibagi 2a−1 . Secara sama untuk (b − 1) habis dibagi 4 maka (b − 1) habis dibagi 2a−1 (i)
Kasus 1: (b − 1) habis dibagi 4 Maka (b − 1) = 2 a−1 m dan m ganjil karena (b − 1) tidak habis dibagi 2 a . Atau ditulis
b = 2 a −1 m + 1 Substitusi ke (1) diperoleh
1 + 2a + 22a+1 = (2 a−1 m + 1) 2 ⇔ 2 a + 2 2a+1 = ( 2 a −1 m + 1) 2 − 1 ⇔ 2 a (1 + 2 a +1 ) = 2 2 a −2 m 2 + 2 a m = 2 a.2 a −2 m 2 + 2 a m ⇔1 + 2
a +1
= 2 a −2 m 2 + m ⇔ 1 –m = 2 a−2 m 2 – 2
⇔ 1 – m = 2 a−2 m 2 – 2 a +1 = 2 a −2 ( m 2 − 8) Dari sini diperoleh
Kemudian disubstitusi ke (4) diperoleh
….. (4)
2 ( m 2 − 8)
⇔ . Mengingat
a+1
, dengan penyelesaian
bilangan ganjil positip maka diperoleh
.
= 2 a −212 – 2 a+1 ⇔ 2 a −2 = 2 a +1 . Tidak ada nilai untuk
yang memenuhi persamaan ini. Jadi
tidak belaku.
(ii) Kasus 2:
habis dibagi 4
Maka (b + 1) = 2 a −1 m dan m ganjil karena (b + 1) tidak habis dibagi 2 a . Atau ditulis
b = 2 a−1 m − 1 Substitusi ke (1) diperoleh
1 + 2 a + 22 a+1 = ( 2 a−1 m − 1) 2 ⇔ 2 a + 2 2 a +1 = ( 2 a −1 m − 1) 2 − 1 ⇔ 2 a (1 + 2 a +1 ) = 2 2 a −2 m 2 − 2 a m = 2 a.2 a −2 m 2 − 2 a m ⇔ 1 + 2a+1 = 2 a −2 m 2 − m ⇔ 1 +m = 2 a−2 m 2 – 2a +1 ⇔ 1 +m = 2 a−2 m 2 – 2
a +1
…. (5)
= 2 a −2 (m2 − 8) ≥ 2 (m 2 − 8)
Dari sini diperoleh
dengan penyelesaian . Mengingat m bilangan ganjil positip maka diperoleh
. Untuk
, jika disubstitusi ke (5) menghasilkan
m=1 tidak berlaku (sama seperti kasus 1). Untuk diperoleh
atau
yang tidak bulat. Berarti
maka dengan menggunakan (5)
. Selanjutnya dengan menggunakan (1) diperoleh
. Karena
juga merupakan penyelesaian maka didapatkan penyelesaian dan
.
Dengan demikian diperoleh kesimpulan bahwa solusi dari (1) adalah (0,2), (0,-2), (4,23) dan (4,-23). Jadi orang kedua yang benar. 2.
Suatu tim pemadam kebakaran sedang mengadakan latihan. Di area latihan ada gang sempit yang berada di antara Gedung 1 dan Gedung 2 seperti tampak pada gambar.
Gang tersebut tidak dapat digunakan untuk berpapasan, sehingga dibuat aturan masuk dari A keluar melaui B. Pada suatu saat, ketika ada 30 orang petugas berada di dalam gang, tiba-tiba terjadi kebakaran di sekeliling gedung. Mereka panik, sehingga tidak memperhatikan arah, banyak sekali terjadi tabrakan diantara petugas, yang penting dapat keluar menuju pintu A atau B untuk menyelamatkan diri sekaligus memadamkan api. Setiap terjadi tabrakan, mereka akan berbalik arah karena gang tidak bisa untuk berpapasan. Biasanya waktu yang diperlukan untuk melewati gang (dari A ke B atau sebaliknya) diperlukan 2 menit. Sementara itu waktu yang diperlukan untuk memadamkan api diperkirakan mengikuti rumus
menit, dengan
adalah waktu (dalam menit) yang digunakan untuk semua petugas keluar dari gang. Berapa lama api dapat dipadamkan? (asumsi: setiap petugas mempunyai kemampuan sama dalam segala hal) Penyelesaian: Untuk menyelesaikan masalah ini, sederhanakan dahulu permasalahannya. Misalkan seorang petugas masuk gang melalui A. Kemudian bertemu dengan petugas lain yang masuk melalui B di C dan mereka berbalik arah. Keduanya berkecepatan sama. Perhatikan ilustrasi di bawah. v
v
B
A
C B
A
C v
v
B
A
C
Perhatikan bahwa karena kecepatan kedua orang sama maka sebenarnya tidak ada perbedaan waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan balik arah.
Kembali pada masalah awal, karena waktu yang diperlukan untuk melewati gang 2 menit dan tidak ada perbedaan waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan balik arah maka waktu yang diperlukan untuk 30 petugas keluar dari gang adalah 2 menit. Jadi waktu yang diperlukan untuk memadamkan api adalah e2 menit.
