SMA Kelas X semester 1

Lembar Kerja Siswa (LKS)

Matematika SMK/SMA Kelas X semester 1

sesuai dengan kurikulum 2013

(

)

(

)

DISUSUN OLEH

MGMP MATEMATIKA SMK KOTA SUKABUMI EDITOR

Drs. Nuzwan Sudariana,M.M. Abdul Rohman,S.Pd

NAMA

: ………………………………………………

Kelas

:…………………………………………………

Sekolah

: ………………………………………………

PEMERINTAH KOTA SUKABUMI PEMERINTAH KOTA S DINAS P & 2014 K KOTA SUKABUMI 2O14

TIM PENYUSUN Lembar Kerja Siswa Matematika SMK Kota Sukabumi 2014

NO

NAMA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Nuzwan Sudariana Abdul Rohman Yulia Rohilah Robertson Irma Hermawati M.Darusalam Rebiman Rian Irianti Robiansyah Helly Fujiawati Pipih Nurhidayanti Yesi Febriani Dian Romdiani Een Rohendah Taufik Susanto Marwan Irwanto Lilis Patonah Sri Mulyani Fajar Budiyanto Derry Nugraha Rizal Suhendra E. Kardiman Ajeng Quartina N Reni Rustiani Tresna Novianti Ayi Suryana Sofyan Ali

Editor 1. Nuzwan Sudariana 2. Abdul Rohman

UNIT KERJA SMKN 2 SMKN 4 SMK PGRI 1 SMK BPK Penabur SMK Kesehatan Tunas Madani SMK Syamsul Ulum SMK Penguji SMK Gema Istiqomah SMK Terpadu Ibaadurrahman SMKN 3 SMKN 2 SMK PGRI 1 SMK PASIM SMKN 2 SMK IT Madani SMK Persada SMK Ulul Albab SMKTP Padjadjaran SMKP Bina Teknik SMKP An-Naba SMK Taman Siswa SMK PGRI 2 SMKN 1 SMKN 1 SMK Siliwangi SMKN 4 SMKN 3

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat, taufiq dan hidayah serta karunia-Nya sehingga Lembar Kerja Siswa (LKS) Matematika SMK kota Sukabumi tahun 2014

dapat

diselesaikan dengan baik. LKS ini hadir sebagai buku pendamping dari buku pegangan siswa kurikulum 2013 yang diterbitkan oleh Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia untuk membantu siswa dalam memahami materi yang dianggap sulit. Seiring dengan penerapan Kurikulum 2013 pada kelas X dan IX pada tahun 2014/2015 untuk seluruh Indonesia, LKS ini sangat setrategis membantu dalam proses pembelajaran di kelas baik bagi siswa maupun bagi guru Kami mengucapkan terima kasih dan memberikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada semua pihak, khususnya kepada Pemerintah Daerah dan Dinas Pendidikan dan Kebudayaan kota Sukabumi c.q bagian Dikmen yang memfasilitasi

segala sesuatunya sehingga LKS ini dapat kami selesaikan. Semoga Allah

membalas segala kebaikan tersebut dengan balasan yang lebih baik, amin Tiada gading yang tak retak, kami menyadari LKS ini masih jauh dari sempurna, oleh karenanya saran,dan kritik yang bersifat membangun sangat kami harapkan

Sukabumi,

Mei 2014

penyusun

i

LKS Matematika SMK Kota Sukabumi 2014

DAFTAR ISI Halaman Kata Pengantar ………...………………………………………………………...…………………………………i Daftar Isi …………………………………………………………………………………………..………………ii Kompetensi Inti/Kompetenti Dasar

………………...………………………………………………………iv

LKS 1 Eksponen dan Logaritma 1. Kompetensi Inti……………………………………………..............,………………………………. 1 2. Kompetensi Dasar……………………………………………… ……….…………………………. 1 3. Materi Pembelajaran …………………………………… ….……………………………………..... 1 4. Petunjuk Belajar …………………………………………………………………………………….. 1 5. Kompetensi yang ingin dicapai ……………………………………………………………………... 2 6. Indikator …………………………………………………………………………………………….. 2 7. Bilangan Eksponen………………………………………………………………………………….. 2 8. Bentuk Akar ………………………………………………………………………………………… 7 9. Logaritma ………………………………………………………………………………………….. 10 LKS 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak 1. Kompetensi Inti……………………………………………..............,……………………………. 19 2. Kompetensi Dasar……………………………………………… ……….………………………. 19 3. Materi Pembelajaran .……………………………………… ….………………………………… 19 4. Petunjuk Belajar ………………………………………………………………………………….. 20 5. Kompetensi yang ingin dicapai …………………………………………………………………… 20 6. Indikator …………………………………………………………………………………………… 20 7. Persamaan Linear..………………………………………………………………………………… 20 8. Persamaan Linear dengan Nilai Mutlak …………………………………………………………… 25 9. Pertidaksamaan Linear …………………………………………………………………………….. 27 10. Pertidaksamaan Linear dengan Nilai Mutlak ……………………………………………………… 28 LKS 3 Sistem Persamaaan dan Pertidaksamaan Linear 1. Kompetensi Inti……………………………………………..............,……………………………. 33 2. Kompetensi Dasar……………………………………………… ……….………………………. 33 3. Materi Pembelajaran ……………………………………… ….………………….……………… 33 4. Petunjuk Belajar ………………………………………………………………………………….. 33 5. Kompetensi yang ingin dicapai …………………………………………………………………… 33 6. Indikator …………………………………………………………………………………………… 33 7. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel …………...……………………………………………… 33 ii


8. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ...………………………………………………………… 39 9. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel …………………..………………………………….. 43 LKS 4 M A T R I K S 1. Kompetensi Inti……………………………………………..............,……………………………. 50 2. Kompetensi Dasar……………………………………………… ……….………………………. 50 3. Materi Pembelajaran ……………………………………… ….………………….……………… 50 4. Petunjuk Belajar ………………………………………………………………………………….. 50 5. Indikator …………………………………………………………………………………………… 51 6. Definisi Matriks.....………………………………………………………………………………… 51 7. Operasi Matriks………………………. …………………………………………………………… 53 8. Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2………………………………………………………….. 57 9. Menyelesaikan Sistem PersamaanLinear Dua Peubah dengan Invers Matriks…….……………… 62 LKS 5 Relasi dan fungsi 1. Kompetensi Inti……………………………………………..............,……………………………. 70 2. Kompetensi Dasar……………………………………………… ……….………………………. 70 3. Materi Pembelajaran .………………… …………………… ….………………………………… 70 4. Petunjuk Belajar ………………………………………………………………………………….. 70 5. Kompetensi yang ingin dicapai …………………………………………………………………… 70 6. Indikator …………………………………………………………………………………………… 71 7. Pengertian Relasi……………...…………………………………………………………………… 71 8. Menyatakan Relasi Himpunan dengan Diagram Panah …………………………………………… 73 9. Menyatakan Relasi Himpunan dengan Diagram Cartesius ………………………………………... 74 10. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dengan Pasangan Berurutan ………………………………… 75 11. Macam-macam Fungsi …………………………………………………………………………….. 78 LKS 6 Barisan dan Deret 1. Kompetensi Inti……………………………………………..............,……………………………. 85 2. Kompetensi Dasar……………………………………………… ……….………………………. 85 3. Indikator…………... .………………… …………………… ….………………………………… 85 4. Petunjuk Belajar ………………………………………………………………………………….. 85 5. Pola Barisan dan Deret ……… …………………………………………………………………… 86 6. Barisan dan Deret Aritmetika ...…………………………………………………………………… 87 7. Barisan dan Deret Geometri….…………………………………………………………………… 92 8. Deret Geometri Tak Hingga………………………… …………………………………………… 98 DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………………………..…….. 102 LAMPIRAN-LAMPIRAN

iii


KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR KELAS X SEMESTER 1 KOMPETENSI INTI

KOMPETENSI DASAR

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggungjawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.

3. Memahami ,menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

3.1 Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya.. 3.2 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta menerapkannya dalam pemecahan masalah nyata. 3.3 Mendeskripsikan konsep sistem persamaan linier dua dan tiga variable serta pertidaksamaan linier dua variabel dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya dalam pemecahan masalah matematika. 3.4Mendeskripsikan konsep matriks sebagai representasi numerik dalam kaitannyadengan konteks nyata. 3.5Mendeskripsikan operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. 3.6 Mendeskripsikan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil suatu relasi antara dua himpunan yang disajikan dalam berbagai bentuk (grafik, himpunan pasangan terurut, atau ekspresi simbolik) 3.7 Mengidentifikasi relasi yang disajikan dalam berbagai bentuk yang merupakan fungsi. 3.8 Memprediksi pola barisan dan deret aritmatika dan geometri atau barisan lainnya melalui pengamatan dan memberikan alasannya.

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di

4.1 Menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifatsifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya. 4.2 Menerapkan konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan linier dalam memecahkan masalah nyata.

iv


KOMPETENSI INTI

KOMPETENSI DASAR

sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

4.3 Membuat model matematika berupa persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabelyang melibatkan nilai mutlak dari situasi nyatadan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya. 4.4 Menggunakan SPLDV, SPLTV dan sistem pertidaksamaan linear duavariabel (SPtLDV) untuk menyajikan masalah kontekstual dan menjelaskan makna tiap besaran secara lisan maupun tulisan. 4.5 Membuat model matematika berupa SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya. 4.6 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkitan dengan matriks. 4.7 Menerapkan daerah asal, dan daerah hasil fungsi dalam menyelesaikan masalah. 4.8 Menyajikan hasilmenemukan pola barisan dan deret dan penerapannya dalam penyelesaian masalah sederhana

v


[Type text]

LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Judul Mata Pelajaran Kelas/Semester Waktu Jenjang

: : : : :

Eksponen dan Logaritma Matematika X/1 12 x 45’ ( 6 pertemuan ) SMK

1. Kompetensi Inti K1

: Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.

K2

: Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi,gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. : Memahami pengetahuan ( faktual, konseptual, dan procedural ) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. : Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret ( menggunakan, mengurai,merangkai, memodifikasi, dan membuat ) dan ranah abstrak ( menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori

K3 K4

2. Kompetensi Dasar

a. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah b. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. c. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan d. Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya. e. Menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat- sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya

3. Materi Pembelajaran Eksponen dan Logaritma

4. Petunjuk Belajar a. b. c. d.

Bacalah LKS Anda dengan cermat Kejakan setiap langkah sesuai dengan petunjuk Jika menemukan kesulitan dalam menyelesaikan tugas berkonsultasilah dengan guru. Membaca ekspresi dan hasil operasi aljabar dari eksponen dan logaritma minimal dari 3 sumber belajar (buku atau artikel cetak atau elektronik), e. Membuat pertanyaan mengenai pengertian dan aturan dari hasil operasi aljabar eksponen dan logaritma. f. Menentukan unsu-unsur yang terdapat pada pengertian dan hasil operasi aljabar eksponen dan logaritma. g. Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada pengertian dan hasil operasi aljabar eksponen dan logaritma, kemudian menghubungkan unsur-unsur yang sudah dikategorikan sehingga dapat dibuat kesimpulan mengenai pengertian dan aturan dari eksponen dan logaritma.

1

Lembar Kerja Siswa-LKS SMK 2014

[Type text]

h. Menyampaikan pengertian, aturan eksponen dan logaritma dan penerapannya dalam penyelesaian masalah sederhana yang terkait dengan eksponen dan logaritma dengan lisan, dan tulisan.

5. Kompetensi yang ingin dicapai a. Siswa dapat memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya b. Siswa dapat menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.

6. Indikator a. b. c. d.

Siswa terlibat aktif dalam proses pembelajaran Bekerjasama dalam kegiatan kerja kelompok. Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda hasilnya . Menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan eksponen dan logaritma.

7. Bilangan Eksponen 1) Pengertian Bilangan berpangkat ( Eksponen ) Bentuk adalah bilangan berpangkat, dimana eksponen. dibaca pangkat . didefinisikan sebagai berikut :

disebut bilangan pokok, dan

disebut

Sebanyak

Contoh

2) Sifat-sifat Eksponen Perkalian Eksponen Uraikan dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan sederhanakan : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( Dari penyelesaian soal di atas, dapat terlihat :

)

KESIMPULAN :

Pembagian Eksponen Uraikan dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan sederhanakan :

2


[Type text]

Dari penyelesaian soal di atas, dapat terlihat : ; KESIMPULAN :

Perpangkatan Eksponen Uraikan dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan sederhanakan : ( ) ( ) ( ) Dari penyelesaian soal di atas, dapat terlihat : ( (

) ) (

)

KESIMPULAN : (

)

Perpangkatan dari Perkalian Dua atau Lebih Bilangan Uraikan dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan sederhanakan : ( (

) )

( (

) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( Dari penyelesaian soal di atas, dapat terlihat :

) )

( (

)

(

)

)

(

) )

(

)

( ) ( ) ( ) KESIMPULAN : (

)

Perpangkatan Bilangan Pecahan Uraikan dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan sederhanakan ( )

3


[Type text]

( ) Dari penyelesaian soal di atas, dapat terlihat ( ) ( ) KESIMPULAN :

Bilangan Berpangkat Nol Uraikan dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan sederhanakan : , dari sifat pembagian eksponen, maka , dari sifat pembagian eksponen, maka Dari penyelesaian soal di atas, dapat terlihat : KESIMPULAN : Bilangan Berpangkat Negatif Uraikan dengan menulis faktor-faktor setiap bilangan dan sederhanakan ,

,

,

,

Dari penyelesaian soal di atas, dapat terlihat :

KESIMPULAN : ( ) Bilangan Berpangkat Pecahan √

maka : Artinya, bila bilangan Jika

kita kalikan sebanyak 3 faktor, maka menghasilkan

.

dikalikan sebanyak b faktor :

Sebanyak Kesimpulan,

faktor

diartikan sebagai akar pangkat ke-b dari

. √

4


[Type text]

Latihan1.1 soal uraian 1. Sederhanakan operasi bilangan pangkat berikut a. 25 x 29 x 2 12 b. 2. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat sederhanakan bentuk berikut a. (

b.

) (

)

c. 3. Hitunglah operasi bilangan berpangkat berikut a. b.

; Untuk x= 2 dan y = 3 (

)

(

)

( ) ; untuk p = 4 dan q= 6

4. Tentukan nilai x yang memenuhi a. b. ( ) 5. Tentukan nilai dari

-

Tugas kelompok Perhatikan bilangan satuan dari perpangkatan bilangan 7 berikut: Perpangkatan tujuh Nilai Bilangan satuan 1 7 7 7 2 7 49 9 3 7 343 3 74 2401 1 5 7 16807 7 6 7 117649 9 7 7 823543 3 8 7 5764801 1 Cermati sifat satuan pada tabel di atas, Saat periode keberapa bilangan satuan berulang? Dengan menggunakan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat, misalkan kamu disuruh menghitung 764. Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapat nilai akhirnya, coba tuliskan prosedur perkaliannya,dan tentukan nilai satuan dari bilangan pangkat tersebut

5


[Type text]

Penilaian Eksponen : Penilaian Kognitif No. 1. 2. 3. 4.

Aspek Yang Dinilai Menyebutkan sifat-sifat eksponen Dapat menyelesaikan permasalahan menggunakan sifat-sifat eksponen Menerapkan sifat-sifat eksponen pada permasalahan yang otentik Kelengkapan dalam pengisian jawaban

Kriteria skor: Setiap jawaban benar, lengkap Jawaban setengah benar Jawaban salah tidak menjawab

= = = =

Skor

20 10 1 0

Untuk penilaian psikomotor, guru mempersiapkan soal-soal untuk dikerjakan baik tugas kelompok maupun mandiri. Penilaian psikomotor No. 1. 2. 3. 4.

Aspek yang Dinilai Usaha ambil bagian dalam pembelajaran Usaha ambil bagian dalam menyelesaikan tugas kelompok. Penyelesaian tugas soal secara mandiri. Bekerjasama dalam kelompok Jumlah Kriteria skor: 4 = Sangat baik 3 = Baik 2 = Kurang Baik 1 = Tidak Baik

1

Skor 2 3 4

Penilaian afektif No

Pernyataan

Sl

1

Siswa mengikuti pelajaran matematika.

2

Siswa tidak mengikuti pelajaran matematika.

3

Siswa merasap elajaran matematika bermanfaat.

4

Siswa berusaha menyerahkan tugas tepat waktu.

5

Siswa berusaha memahami pelajaran matematika.

6

Siswa bertanya pada guru jik ada soal atau materi yang tidak jelas.

7

Siswa selalu mengerjakan soal-soal latihan dirumah.

8 9

Siswa selalu mendiskusikan materi bagaimana cara menyelesaikan

Skala Sr Jr Tp

soal yang berhubungan dengan eksponen. Jumlah

6


[Type text]

8. Bentuk Akar Definisi Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. √

disebut bentuk akar jika dan hanya jika hasil √

adalah bilangan irrasional. Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (√ ) dinamakan bentuk akar, tetapi tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irrasional.

Contoh 1. √ √

adalah bentuk akar adalah bukan bentuk akar

Menyederhanakan bentuk akar berarti merubah bentuk akar sehingga bilangan didalam tanda akar tidak lagi memiliki faktor bilangan berpangkat yang pangkatnya merupakan kelipatan pangkat akar. Untuk a dan b bilangan positif berlaku

√

Operasi Aljabar Bentuk Akar Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Untuk a,b himpunan bilanga real dan c √ + √

=√

x √

himpunan bilangan rasional bukan negatif berlaku :

√ =(a+b)√ √ =(a b)√

Contoh Sederhanakan bentuk bilangan berikut √

= ( …..+ …..) √

√

+

= ……√ √

√

= (…

….) √

= …..√

….√

= …..√ Operasi Perkalian Untuk a,b

himpunan bilanga rasional bukan negatif berlaku √

√ =√

Contoh Sederhanakan bentuk bilangan berikut √

√

=√ =√ = ….√

7


[Type text]

.C. Operasi Pembagian himpunan bilanga rasional bukan negative, b ≠ 0, berlaku

Untuk a,b

√ √

=√

Contoh √ √

= ……

=√

=√

Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar artinya mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut Merasionalkan bentuk √

=

√

√

.

√

√

=

Merasionalkan √

√ √

=

√

√

=

√

=

√

Merasionalkan √

√

√

√

(

√ )

√ √

√

√

√

=

(√

√ )

Contoh 1. Rasionalkan penyebut pecahan bilangan berikut dan sederhanakanlah a.

√

b. c.

√ √

√

Solusi √ √

√ √

√

√

√

√ (

√

= =

√

√ √

√ )

√ √

√

√

√

√

=

(√

√ )

=

(

==

√ ) (√

=

√ )

(

√ )

=2(√

= 5 (2 √ ) √

)

Tugas 1. Diskusikan dengan teman sebangkumu ! a. 3 6 – 2 5 – 6 + 7 5 b. 5 2 ( 2 + 3 )

8


[Type text]

2. Rasionalkan bentuk pecahan akar berikut ! a.

b.

3 2 5 √

√

c.

2 3 5

Pekerjaan Rumah 1. Sederhanakan ! 1. 3 45 + 4 20 – 5 125 2. 5 63 – 4 20 – 2 175 + 5 125

128 + 5 50 4. 2 512 – 243 + 4 32 + 5 27 3.

2. Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan pecahan di bawah ini ! a)

12 3

d)

b)

7 3 7

e)

C ).

√

√

F)

9 2 3

4 3 5 2 √

Penilaian Bentuk Akar : Penilaian Kognitif No. Aspek Yang Dinilai Skor 1. Menyebutkan bentuk akar dan bukan bentuk akar 2. Menyederhanakan bentuk akar 3. Mengoperasikan bentuk akar 4. Dapat merasionalkan penyebut bentuk akar 5. Kelengkapan dalam pengisian jawaban Kriteria skor: Setiap jawaban benar, lengkap = 20 Jawaban setengah benar = 10 Jawaban salah = 1 tidak menjawab = 0 Untuk penilaian psikomotor, guru mempersiapkan soal-soal untuk dikerjakan baik tugas kelompok maupun mandiri.

9


[Type text]

Penilaian psikomotor No.

Aspek yang Dinilai

1 2

1

Skor 2

3

4

Usaha ambil bagian dalam pembelajaran Usaha ambil bagian dalam menyelesaikan tugas kelompok. Penyelesaian tugas soal secara mandiri. Bekerjasama dalam kelompok Jumlah

3 4 Kriteria skor: 4 = Selalu

3 = serin g

2 = Kadang-kadang

1 = Tidak pernah

Penilaian afektif No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pernyataan

1

2

Skala 3 4

Siswa mengikuti pelajaran matematika. Siswa tidak mengikuti pelajaran matematika. Siswa merasap elajaran matematika bermanfaat. Siswa berusaha menyerahkan tugas tepat waktu. Siswa berusaha memahami pelajaran matematika. Siswa bertanya pada guru jik ada soal atau materi yang tidak jelas. Siswa selalu mengerjakan soal-soal latihan di rumah. Siswa selalu mendiskusikan materi bagaimana cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan bentuk akar. Jumlah Kriteria skor: 4 = Selalu 3 = serin g 2 = Kadang-kadang 1 = Tidak pernah

9. Logaritma Sebelumnya kita telah memahami bentuk perpangkatan.Bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dapat ditentukan.

Contoh a. 23 = 8 b. c.

=(

) =3 dan seterusnya

KEGIATAN 1 1. 2. 3. 4.

Dari lidi yang telah di siapkan, bagi lah menjadi 2 bagian sama panjang. Jumlah potongan lidi sekarang sebanyak : … Dari lidi yang telah dibagi tadi, masing-masing lidi dibagi lagi menjadi 2 bagian sama panjang. Ulangi langkah 2 dan 3 sampai mendapatkan 32 buah lidi sama panjang.

10


[Type text]

5. Isilah tabel pengamatan berikut ! Pembagian ke

Lidi dibagi menjadi

Jumlah lidi sekarang

1

2

2

2

…

…

3

…

…

4

…

…

5

…

…

Pertanyaan : 1. Pada percobaan berapa didapat sebanyak 32 potongan lidi? 2. Periksalah berapa kalikah kita harus melakukan pemotongan lidi agar mendapat 128 potongan lidi sama panjang? Sekarang jika persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat sudah diketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu dapat ditemukan.

Contoh , mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16, maka pangkat itu sama dengan 4. , mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3, maka pangkat itu sama dengan , mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya 1000, maka pangkat itu sama dengan 3. Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma (log) sebagai berikut :

ditulis

dan nilai dari

ditulis

dan nilai dari

ditulis

dan nilai dari Jelaslah bahwa,

Logaritma adalah ………………………………………………………… yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. Maka dapat didefinisikan bahwa :

jika dan hanya jika

Ket : a = Bilangan pokok atau baris logaritma b = Numerus yaitu bilangan yang dicari logaritmanya c = Hasil logaritma

11


[Type text]

Hubungan matematika ini menunjukkan bahwa bilangan dalam bentuk pangkat dapat diubah ke bentuk logaritma dan sebaliknya. Sebagai definisi logaritma tersebut, maka dapat ditunjukkan berlakunya sifatsifat pokok logaritma sebagai berikut : Contoh : Contoh : Contoh :

LOGARITMA Yuk kita belajar supaya pintar Marilah menghafal rumus logaritma Logaritma B dengan bilangan pokok A sama dengan C Apakah kamu tahu apa artinya B sama dengan A pangkat C Logaritma seratus dengan bilangan pokok Sepuluh sama dengan dua Apakah kamu tahu apa artinya Seratus sama dengan sepuluh pangkat dua Ayo berlatih jangan menyerah Berlatihlah wahai kawanku

Lirik lagu : aku yang dulu bukanlah yang sekarang

KEGIATAN 2 Bakteri Escherichia coli atau E. coli adalah bakteri penyebab penyakit diare yang berkembang biak dengan cara membelah diri. Bakteri E. coli membelah setiap 12,5 menit. Pertanyaan : 1. Berapa banyak bakteri setelah 50 menit? 2. Berapa banyak bakteri setelah 80 menit? 3. Berapa waktu yang diperlukan untuk mencapai jumlah 16? 4. Berapa waktu yang diperlukan untuk mencapai jumlah 100?

Latihan

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Buktikan oleh anda bahwa Selesaikan dengan bentuk logaritma : a. b. c. 102 = 100 dst.

12

!


[Type text]

PEKERJAAN RUMAH : Tuliskan dalam bentuk logaritma pada bilangan berpangkat dan sebaliknya. 1. 3 5 = 234 2

2. 4

= 16

4. 72 = 49 5. 51/2 = 5 3

= 5

 log 16

= 2

 5 log

= -2

7 log …

= …

4

3. 5-2 =

6.

3 log 234

 5 log …

log 81

= 4

= ….

 3 4 = 81

7.

2

log 16

= 4  2 … = 16

8.

3

log 27

= 3 3 …

= ….

 …3 = …

9. log 1000

= 3

10. 5 log

= -1  … -1 = .....

Catatan 1. 30

=1

5.

5

log = -3

2. 2

=8

6.

2

log 6 = x

3.

=4

7. 2 log

4.

=

8.

3

= -2

log 3 =

SIFAT – SIFAT LOGARITMA Setelah kita memahami definisi logaritma dan cara menentukan logaritma suatu bilangan, sekarang kita akan mengkaji sifat-sifat yang berlaku pada logaritma yaitu :

SIFAT 1 : Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan. ( ) Maka : Contoh Sederhanakan logaritma di bawah ini : 5

log + 5log 50 = 5log ( =

3

log

) = 5log 25 = 2 =

+ log 27 = …………………………………………………………………………… 3

SIFAT 2 : Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing bilangan. Maka:

13


[Type text]

Contoh Sederhanakan logaritma di bawah ini : 7 log 217 – 7log 31= 7log 7 = 1 1. Lengkapilah titik-titik di bawah ini : a.

=

=

b. log 26 – log 71 = log( 3

3

)= ………………

3

SIFAT 3 : Logaritma bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu. Maka : Contoh Sederhanakan logaritma di bawah ini : 5 log 25 = 5log 52 = 2 . 5log 5 = 2.1 =2 d. 2. log 25 – 2. log 5 = =

(

)

=

(

)

=

SIFAT 4 : Mengubah bilangan pokok logaritma Maka :

Contoh 1. Sederhanakan logaritma di bawah ini ! a.

8

b.

8

log 4

=

log 2

=

=

=

=

=

= =

= =

2. Jika,2log 3 = a nyatakan logaritma-logaritma di bawah ini dalam a : a.

8

log 3 = =

b.

14

3

log 2 =

= = =


[Type text]

SIFAT 5 : Perluasan dari sifat terdahulu

Contoh Sederhanakan logaritma di bawah ini : a. 3log 7. 7 log 81 = 3log 81 = 3log 34 = 4 3log 3 = 4.1 =4 b.

8

log 9

= =

c.

8

log 27

2

log 3

2

log 3

= =

= 1. 2 log 3 = 2 log 3

SIFAT 6 : =

Contoh Sederhanakan logaritma di bawah ini :

= = = = == SIFAT 7 : √

15


[Type text]

Contoh Sederhanakan logaritma di bawah ini : 2

log √

=

2

log 23 = = =1.1=1

SIFAT 8 : Perluasan dari definisi logarithm

Contoh Sederhanakan logaritma di bawah ini :

= 5

KEGIATAN 4

No 1 2 3 4 5

PASANGKAN SOAL DAN JAWABAN DI BAWAH INI ! Soal Jawaban 7

log 49 log 8 + 2 log 4 3 log 81 3 log 81 – 3 log 27 64 log 4 2

1 2 4 5

TUGAS KELOMPOK Sederhanakanlah soal berikut ini 1. log 8 = ……………. 2

2. 7 log 7 + 7 log 49 = ……… 3. log 5 + log 2 = …………. 4. 5 log 625 – 5 log 5 = ……………… 5. log 100 – log 10 = ………………….

16


[Type text]

TUGAS INDIVIDU Selesaikan soal-soal berikut ini 1. Sebutkan sifat – sifat logaritma 2.

2

log 16 = ……….

3. 2log 4 + 2log 2 = ……………… 4. log 2 + log 5 = ……………….. 5. log 25 – log 32 = ………………….. 6.

5

log 20 + 5 log 15 – 5 log 12 = ……..

7.

5

log = ……………….

8.

7

log . 5log 49 = ………..

9. 8l0g 32 = ………… 10. 81 log 27 = ……….

PEKERJAAN RUMAH sederhaka soal-soal berikut ini 1. 2. 3. 4. 5.

=………………… log 27 =………………….. x log 5. 5 log y . y log x = …………….. 4 log 8 = ………….. 9 log 27 = ………… 3

Penilaian Logaritma : Penilaian Kognitif No. Aspek Yang Dinilai 1. Menyebutkan sifat-sifat logaritma 2. Penyelesaian tugas individu 3. Penyelesaian tugas kelompok 4. Penyelesaian soal secara mandiri 5. Kelengkapan dalam pengisian jawaban Kriteriaskor: Setiapjawabanbenar, lengkap Jawabansetengahbenar Jawabansalah

Skor

= 20 = 10 = 0

Untukpenilaianpsikomotor, guru mempersiapkan soal-soal untuk dikerjakan baik tugas kelompok maupun mandiri.

17


[Type text]

Penilaianpsikomotor No Aspek yang Dinilai . 1. Usaha ambil bagian dalam pembelajaran 2. Usaha ambil bagian dalam menyelesaikan tugas kelompok. 3. Penyelesaian tugas soal secara mandiri. 4. Bekerjasama dalam kelompok Jumlah Kriteriaskor: 4 = Sangat baik 3 = Baik 2 = Kurang Baik 1 = Tidak Baik

Skor 2 3

1

4

Penilaianafektif Peryataan 1 2 3 4 5 6 7 8

1

Skala 2 3 4

Siswa mengikuti pelajaran matematika. Siswa merasa pelajaran matematika bermanfaat. Siswa berusaha menyerahkan tugas tepat waktu. Siswa berusaha memahami pelajaran matematika. Siswa bertanya pada guru bila ada soal atau materi yang tidak jelas. Siswa selalu mengerjaka nsoal-soal latihan di rumah. Siswa selalu mendiskusikan materi bagaimana cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan logaritma. Jumlah

18


[Type text]


: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak : Matematika :X/1 : 12 x 45’ (6 pertemuan) : SMK

1. Kompetensi Inti

K1


K2


K3 K4

2. Kompetensi Dasar Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berprilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika 2.3 Menunjukkan sikap bertanggungjawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan 3.2 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta menerapkannya dalam pemecahan masalah nyata 4.2 Menerapkan konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan linear dalam memecahkan masalah nyata 4.3 Membuat model matematika berupa persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel yang melibatkan nilai mutlak dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya.

3. Materi Pembelajaran a. Persamaan linear b. Persamaan linear dengan nilai mutlak c. Pertidaksamaan linear d. Pertidaksamaan linear dengan nilai mutlak

19


[Type text]

4. Petunjuk Belajar a. Bacalah LKS dengan cermat b. Kerjakan setiap langkah sesuai dengan petunjuk c. Jika menemukan kesulitan dalam menyelesaikan tugas berkonsultasilah dengan guru d. Tentukanlah penyelesaian dari masalah-masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear e. Pahamilah konsep nilai mutlak dengan baik f. Tentukanlah penyelesaian dari masalah nyata yang terkait dengan persamaan dan pertidaksamaan linear pada nilai mutlak

5. Kompetensi yang ingin dicapai a. Siswa dapat menentukan penyelesaian dari persamaan linear b. Siswa dapat menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linear c. Siswa dapat menjelaskan konsep nilai mutlak d. Siswa dapat menentukan penyelesaian dari persamaan linear dengan nilai mutlak e. Siswa dapat menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dengan nilai mutlak

6. Indikator a. Terlibat aktif dalam proses pembelajaran b. Bekerjasama dalam kegiatan kelompok c. Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda d. Menentukan penyelesaian dari persamaan linear e. Menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linear f. Menjelaskan konsep nilai mutlak g. Menentukan penyelesaian dari persamaan linear dengan nilai mutlak h. Menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dengan nilai mutlak i. Terampil menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan masalah-masalah persamaan dan pertidaksamaan linear j. Terampil menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan masalah-masalah nilai mutlak pada persamaan linear k. Terampil menerapkan konsep/prinsip dan strategi pemecahan masalah yang relevan yang berkaitan dengan masalah-masalah nilai mutlak pada pertidaksamaan linear 7. Persamaan Linear Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang didefinisikan ax + b = 0 dengan , dimana: x : variabel a : koefisien dari x b : konstanta Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang didefinisikan tidak keduanya nol, dimana: x,y : variabel a : koefisien dari x ; b : koefisien dari y ;

20

dengan

c : konstanta persamaan


[Type text]

Misalkan a, b dan c bilangan real dan a, b keduanya tidak nol, maka himpunan penyelesaian persamaan linear adalah himpunan semua pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan linear tersebut

Contoh 1. Tentukan nilai x dari persamaan linear di bawah ini: b. 6 x  12 

a. 5(3 – x) = 3(x + 13)

7x  4 2x  7  2 5

Penyelesaian: 5(3 – x) = 3(x + 13) 15 – 5x = 3x + 39 –5x – 3x = 39 – 15 – 8x = 24 x = –3 b.

6 x  12 

7x  4 2x  7  2 5 10(6 x  12 ) 5(7 x  4) 2( 2 x  7)   10 10 10

60 x  120  35x  20  4 x  14 60 x  35x  4 x  120  20  14 21 x = 126 x=6 2. Andi dalam tiga hari berturut-turut membelanjakan uangnya untuk membeli keperluan sekolah. Pada hari minggu dia menghabiskan ½ dari uang yang dimilikinya. Pada hari senin, dia membelanjakan uangnya Rp4.000,00 lebih sedikit dari uang yang dia belanjakan hari minggu. Sementara uang yang dibelanjakan pada hari selasa hanya 1/3 dari belanjaan hari senin. Sekarang dia masih memiliki uang sisa belanjaan sebanyak Rp1.000,00. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas? Tentukan besarnya uang Andi sebelum dibelanjakan? Penyelesaian: Misal banyak uang Andi = x Belanja hari minggu = ½ x Belanja hari senin = ½ x – 4000 Belanja hari selasa = 1/3 (½ x – 4000) Uang Andi = jumlah uang yang dibelanjakan + sisa uang ( )

(

)

(

)

6x = 3x + 3x – 24.000 + x – 8.000 + 6.000 6x = 7x – 26.000 7x – 6x = 26.000 x = 26.000. Besar uang Andi sebelum dibelanjakan adalah Rp26.000,00 Diberikan persamaan linear , untuk setiap . Gambarlah grafiknya! Penyelesaian:

21


[Type text]

Pertama-tama kita tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan tabel berikut. Tabel pasangan titik (x,y) untuk grafik X

0

12

13

y

–3

0

(x, y)

(0, -3)

(12, 0)

(13, )

dan kita buat pada

16

.…

1

….

(16, 1)

….

. … … .

. … … .

…

…

Dari tabel diatas dapat dinyatakan bahwa pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan adalah tak hingga banyaknya, yaitu: )(

HP = {(

)(

grafiknya:

) (

)

}

Y

(12. 0) 12

0

X

-3 (0, -3)

Latihan 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan linear berikut ( ) a. .

3x  2 2 2 x  5   4 3 4

b.

2. Jika nilai x = a memenuhi persamaan

(

)

(

)

, maka tentukanlah nilai a?

3. Rian mempunyai sejumlah uang. Sebanyak bagian dari uang tersebut digunakan untuk membeli sepatu. Kemudian, bagian dari sisanya digunakan untuk membeli keperluan sekolah. Setelah membelanjakan uangnya, Rian masih memiliki uang sebesar Rp 18.000,00. Berapakah Harga sepatu yang dibeli Rian? 4. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian untuk setiap persamaan linear berikut ini! a. b. 5. Luas suatu daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Berapa banyak mobil kecil dan mobil besar yang mungkin dapat parkir dilahan tersebut?

Persamaan Linear Dengan Nilai Mutlak Nilai mutlak dari setiap bilangan real x adalah nilai positif dari bilangan real x tersebut. Nilai mutlak dari sebarang bilangan x bilangan real, yang dinotasikan dengan | |, didefinisikan sebagai berikut: | |

22

{ Lembar Kerja Siswa-LKS SMK 2014

[Type text]

Contoh 1. Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang dan akhirnya 1 langkah ke belakang. Permasalahan: Dapatkah kamu membuat sketsa lompatan anak tersebut? Tentukanlah berapa langkah yang dijalani anak tersebut? Penyelesaian: Misalkan x = 0 adalah posisi diam si anak. Lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif, dan lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya. Banyak langkah selalu dinyatakan dengan bilangan bulat positif walaupun arahnya kearah sumbu x negatif. Sehingga banyak langkah anak tersebut adalah: | | | | | | | | | | 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 9 langkah 2. Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan berikut: a. | | | b. | | | c. Penyelesaian: a. | | 2x = 4 atau –2x = 4 x=

atau

x=

x = 2 atau x = -2 Uji x = 2 dan x = -2 ke dalam soal: | Untuk x = 2 diperoleh | (benar) | | | | Untuk x = -2 diperoleh ( ) Jadi, himpunan penyelesaiannya {2,-2} b. |

(benar)

| x – 3 = 5 atau – (x – 3) = 5 x = 5 + 3 atau x – 3 = –5 x=8 atau x = –5 + 3 = –2

23


[Type text]

Uji nilai x = 8 dan x = –2 ke dalam soal: | Untuk x = 8 diperoleh | (benar) | | | Untuk x = –2 diperoleh | Jadi, himpunan penyelesaiannya {-2, 8} c.

|

(benar)

| |

|

|

|

atau

(

) 5 – y = –2 –y =–2–5 – y = –7 y =7

Uji nilai y = 3 dan y = 7 ke dalam soal: | | Untuk y = 3 diperoleh (benar) | | Untuk y = 7 diperoleh (benar) Jadi, himpunan penyelesaiannya {3, 7}

Latihan 1. Tentukan hasil operasi dari nilai mutlak berikut: a. | | | | |— b. | | | | | c. | cm dan lebar 8 cm. Jika luas persegi 2. Suatu persegi panjang mempunyai ukuran panjang | 2 panjang tersebut 136 cm , tentukan nilai x yang memenuhi? 3. Suhu air laut di Samudra Hindia dapat naik atau turun tergantung pada faktor cuaca. Jika suhu normal air laut di Samudra Hindia adalah p 0C dan perubahan suhu pada cuaca tidak normal adalah q0C. Tunjukkanlah sketsa penurunan minimum dan peningkatan maksimum suhu air laut tersebut? 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:

x 1  4 | | |

| | | |+|

| |=5

5. Gambarlah grafik fungsi nilai mutlak dari f(x) = | Penyelesaian: X -4 -3 2 y = f(x) =

|? 0

2

x2

……

……

……

……

……

(x,y)

……

……

……

……

……

24

4 … … … …


[Type text]

Grafik fungsi f(x) = x  2

y 654321-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

-5

9. Pertidaksamaan Linear Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal dengan menggunakan lambang . Contohnya: batas nilai matematika seorang siswa agar dikatakan tuntas belajarnya jika memperoleh nilai 75. Pada prinsipnya pemecahan masalah pertidaksamaan linear hampir sama dengan penyelesaian pada persamaan linear.

Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( Penyelesaian: ( )

Jadi, HP = * |

)

?

+

2. Ayah Budi lebih muda dibanding pamannya tetapi lebih tua dari ibunya. Sementara umur bibinya hanya satu tahun lebih tua dari umur ibunya tetapi satu tahun lebih muda dari umur ayahnya. Budi berencana mengurutkan umur antara ayah, ibu, paman, dan bibinya berdasarkan umur mereka yang lebih tua. Dapatkah kamu membantu Budi dalam mengatasi permasalahan tersebut?

25


[Type text]

Penyelesaian: Pertama-tama dibuat pemisalan sebagai berikut: Umur Ayah =A Umur Ibu = I Umur Paman = P Umur Bibi = B Dari penjelasan permasalahan di atas, diperoleh informasi sebagai berikut. Ayah lebih muda dibanding Paman A
I atau I < A Umur Bibi hanya satu tahun lebih tua dari umur Ibu B + I = I atau B > I Umur Bibi satu tahun lebih muda dari Ayah B – I = A atau B < A Dengan mengamati pola di atas, yaitu A < P, I < A, I < B, dan B < A. Urutan umur mereka mulai dari tertua ke termuda adalah P > A > B > I. Sehingga kesimpulan adalah Paman lebih tua dibanding Ayah, Ayah lebih tua dibanding Bibi, dan Bibi lebih tua dibanding Ibu. 3. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ≤ 4? Penyelesaian: X Y (x, y)

0

4

2

0 (0, 2)

(4, 0)

Untuk (0, 0 ) maka 0 + 2(0) ≤ 4 jadi (0,0) termasuk daerah penyelesaian Y

2

0

26

4

X


[Type text]

Latihan 1, Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear berikut: ) ( ) a. (

b.

(

)

c.

(

)

(

) (

)

2. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: a. b. c. – d. 3. Diketahui penyelesaian pertidaksamaan ( ) ( ) adalah . Tentukanlah nilai n yang memenuhi pertidaksamaan tersebut 4. Sebuah perusahaan mempertimbangkan akan membeli atau menyewa truk. Harga beli sebuah truk 320 juta rupiah, sedangkan harga sewa truk 6 juta rupiah/bulan selama tahun pertama, selanjutnya 4 juta rupiah/bulan pada tahun-tahun berikutnya. Setelah berapa lamakah harga sewa truk melebihi harga belinya? 5. Pak Anto, Pak Yusuf, dan Pak Doni gemar memancing. Mereka selalu memancing ikan di sungai setiap Sabtu. Suatu hari, setelah mereka selesai memancing, mereka menghitung banyak ikan yang mereka dapatkan masing-masing. Banyak ikan yang ditangkap Pak Anto ternyata lebih banyak dari ikan yang ditangkap Pak Yusuf. Walaupun banyak ikan yang ditangkap Pak Anto dikali dua, juga masih lebih sedikit dibanding dengan tangkapan Pak Yusuf dan Pak Doni. Berdasarkan cerita di atas, dapatkah kamu menentukan urutan mereka berdasarkan banyak ikan yang mereka tangkap? Pertidaksamaan Linear Dengan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat tanda mutlak. Pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat berikut, untuk | | | |

atau

Contoh 1. Tentukanlah nilai x yang memenuhi dari pertidaksamaan: |2x – 3| ≤ 5? Penyelesaian : –5 ≤ 2x – 3 ≤ 5 –5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3 –2 ≤ 2x ≤ 8 Semua dibagi 2: Jadi, nilai x yang memenuhi |2x – 3| ≤ 5 adalah –1 ≤ x ≤ 4

27


[Type text]

2. Tentukanlah nilai x yang memenuhi dari pertidaksamaan |3x + 7| > 2? Penyelesaian : 3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2 3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7 Jadi, nilai x yang memenuhi |3x + 7| > 2 adalah x < –3 atau x > –5/3 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: |2x – 5| < |x + 4|? Penyelesaian: Kedua ruas dikuadratkan (2x – 5)2 < (x + 4)2 (2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0 (2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 (I NG AT ! A 2 – B 2 = ( A + B ).( A – B )) (3x – 1).(x – 9) < 0 Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0 x = 1/3 atau x = 9 Buat garis bilangan :

Jadi, himpunan penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4} 4. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: |4x – 3| ≥ | x + 1|? Penyelesaian: Kedua ruas dikuadratkan (4x – 3)2 ≥ (x + 1)2 (4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0 (4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0 (5x – 2).(3x – 4) ≥ 0 Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0 x = 2/5 atau x = 4/3 S Y ARAT : x+1≥0 x ≥ –1 Garis bilangan:

5. Jadi, himpunan penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3} Tentukanlah nilai x yang memenuhi dari pertidaksamaan: |x – 2|2 – |x – 2| < 2 ? Penyelesaian : Misalkan: |x – 2| = y y2 – y < 2 y2 – y – 2 < 0 (y – 2).(y + 1) < 0

28


[Type text]

Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0 y = 2 atau y = –1 Garis bilangan:

Artinya: –1 < y < 2 –1 < |x – 2| < 2 Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku |x – 2| < 2 Sehingga: –2 < x – 2 < 2 –2 + 2 < x < 2 + 2 0<x<4 5. Pada mobil-mobil baru, angka kilometer per liternya tergantung pada bagaimana mobil itu digunakan, apakah sering digunakan untuk perjalanan jarak jauh ataukah hanya untuk perjalanan jarak dekat (dalam kota). Untuk suatu merek mobil tertentu, angka kilometer per liternya berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari 12 km/L. Berapakah jangkauan dari angka km/L dari mobil tersebut?

Penyelesaian: Diketahui angka km/L dari suatu mobil berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari 12 km/L.

Misalkan m adalah angka km/L dari mobil tersebut. Maka, selisih m dan 12 tidak boleh lebih dari 2,8, atau dapat dituliskan ke dalam |m – 12| ≤ 2,8.

Sehingga jangkauan dari angka km/L mobil tersebut adalah dari angka 9,2 km/L sampai 14,8 km

29


[Type text]

Latihan 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: a. |x – 3|< 4 b. |3x + 4|> 6 c. 1 ≤ | 6x – 5| ≤ 7 d. |7y – 12| – 3 > 6 e. |2 – 2|x + 1|| > 4 f. |–10| – |–2| > | x – 4 | | | | g. | 2. Ketinggian normal permukaan air sungai mengalir adalah 120 cm. Ketinggian permukaan air sungai mengalir dapat berubah-ubah pada musim kemarau atau musim penghujan. Jika penyimpangan ketinggian permukaan air sungai tersebut kurang dari 11 cm, tentukanlah interval ketinggian sungai mengalir tersebut? |km. Jika jarak rumah Dita lebih dari 6 km dan 3. Jarak rumah Dita dan sekolah | kurang dari 3 km, tentukan nilai x yang memenuhi?

Uji Kompetensi 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan linear berikut: ) ( ) a. ( b. 2. Salah satu sudut sebuah segitiga ukurannya lima kali sudut pertama. Sedangkan sudut ketiga besarnya 20 kurang dari sudut pertama. Berapakah besar masing-masing sudut segitiga tersebut? 3. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian untuk setiap persamaan linear berikut ini! a. b. 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut: | a. | | | | b. | 5. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut: ) ( ) a. ( b.

(

)

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: a. |x – 3|< 2 b. |6x – 13| > 5 c. 3|5 – 2x| – 2 19 d. 13 – 4 |7x – 40| < 5 e. -6 |3m – 128| < – 210

30


[Type text]

7. A 20

B 50

Sebuah perusahaan sudah mendirikan minimarket A di kilometer ke-20 pada suatu jalan dan minimarket B di kilometer ke-50 pada jalan yang sama.Perusahaan tersebut ingin mendirikan sebuah minimarket lagi dijalan tersebut. Jika perusahaan menginginkan minimarket yang baru jaraknya dari minimarket B lebih dari 20 km, pada kilometer berapakah minimarket yang baru mungkin didirikan? 8. Pintu air Manggarai merupakan bagian dari sistem pengendalian banjir di Jakarta. Fungsi pintu air ini mengalihkan air sungai Ciliwung ke bagian luar Jakarta. Ketinggian air di pintu air Manggarai dipertahankan 750 cm. Jika karena pengaruh cuaca membuat ketinggian air menyimpang lebih dari 80 cm, tentukan interval perubahan ketinggian air di pintu air Manggarai tersebut?

Penilaian Penilaian Kognitif No Aspek yang dinilai 1

Menentukan persamaan linear

2 3

Menentukan pertidaksamaan linear Menentukan himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak

4

Jumlah Penilaian Psikomotor No

Aspek yang dinilai

Nomor Soal 1 2 3 5 4

Skor

6 7 8

20 10 10 100

15 10 15 10 10

1

Skor 2 3

4

1

Ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dari persmaan linear 2 Ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 3 Ketepatan dalam memahami konsep nilai mutlak 4 Ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak 5 Ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak Kriteria Skor: 4 = cepat dan tepat 3 = kurang cepat tapi tepat 2 = cepat tapi kurang tepat 1 = Tidak paham

31


[Type text]

Penilaian Afektif No

Pernyataan

1 2 3 4 5 6 7 8

Siswa mengikuti pelajaran matematika Siswa tidak mengikuti pelajaran matematika Siswa merasa pelajaran matematika sangat bermanfaat Siswa berusaha menyerahkan tugas tepat waktu Siswa berusaha memahami pelajaran matemaika Siswa menanyakan kepada guru bila ada yang tidak jelas Siswa selalu mengerjakan soal-soal latihan dirumah Siswa selalu mendiskusikan materi bagaimana menyelesaikan masalah persamaan nilai mutlak Siswa berusaha memiliki buku Siswa berusaha mencari referensi di perpustakaan

9 10

SL : Selalu = 4

32

Skala S S L R

SR : Sering = 3

JR : Jarang = 2

J R

TP : Tidak Pernah = 1


T P

[Type text]

LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Judul Mata Pelajaran Kelas/Semester Waktu Jenjang Kompetensi Inti Kompetensi Inti

: : : : :

Sistem Persamaaan dan Pertidaksamaan Linear Matematika X/1 12 x 45 menit ( 6 pertemuan ) SMK

K1


K2


K3 K4

2. Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran sistem persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa mampu : a. Menghayati rasa percaya diri, motivasi internal dan sikap peduli lingkungan melalui kegiatan kemanusiaan dan bisnis dalam kehidupan sehari-hari b. Memahami konsep sistem persamaan linear dua dan tiga variabel serta pertidaksamaan linear dua variabel dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya dalam penyelesaian masalah matematika c. Menggunakan SPLDV, SPLTV, dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) untuk menyajikan masalah kontekstual dan menjelaskan makna tiap besaran secara lisan maupun tulisan. d. Membuat model matematika berupa SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya e. Membuat model matematika berupa persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel dari situasi nyata dan matematika serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya

3. Materi Pembelajaran Sistem Persamaaan dan Pertidaksamaan Linear

4. Petunjuk Belajar a. b. c. d.

33

Bacalah LKS Anda dengan cermat Kejakan setiap langkah sesuai dengan petunjuk Jika menemukan kesulitan dalam menyelesaikan tugas berkonsultasilah dengan guru. Jawablah pertanyaan-pertanyaan yang ada di LKS ini.


[Type text]

5. Kompetensi yang ingin dicapai a. Siswa dapat mengetahui tentang Sistem Persamaaan dan Pertidaksamaan Linear b. Siswa dapat menentukan model SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV dalam berbagai bentuk. c. Siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian dari permasalahan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear baik SPLDV, SPLTV maupun SPtLDV Ind 6. Indikator

ikator a. Siswa terlibat aktif dalam proses pembelajaran b. Bekerjasama dalam kegiatan kerja kelompok. c. Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda hasilnya .

7. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Ciri-ciri sistem persamaan linear dua variabel. – Merupakan sistem persamaan linear . – Memuat persamaan dengan dua variabel. Sistem persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear yang saling terkait, dengan koefisien-koefisien persamaan adalah bilangan real. Sistem persamaan linear dua variabel merupakan sistem persaman linear . Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel x dan y adalah a1 x + b1 y = c1 ………………………….(persamaan 1) a2 x + b2 y = c2 ………………………….(persamaan 2) dengan a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 bilangan real, a1 dan b1 tidak keduanya 0; a2 dan b2 tidak keduanya 0 x, y : variabel a1 , a2 : koefisien fariabel x b1 , b2 : koefisien fariabel y c1 , c2 : konstanta persamaan penyelesaian sistem pesamaan linier dua variabel

a. Metoda Grafik X + Y = 2.............................................( persamaan 1 ) 4X + 2Y = 7.............................................( persamaan 2 ) Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk persamaan 1 X+Y = 2 X

0

2

Y

2

0

Diperoleh titik-titik potong kurva X+Y = 2 terhadap sumbu koordinat yaitu titik ( 0,2) dan (2,0)

34


[Type text]

Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk persamaan 2 4X+2Y = 7 X 0 Y

0

Diperoleh titik-titik potong kurva 4X+2Y = 7 terhadap sumbu koordinat yaitu titik

(0, ) dan ( ,0)

Menarik garis lurus dari titik (0,2) ketitik (2,0) dan dari titik (0, ) dan( ,0) Y (0, )

(0,2) (

(

(2,0)

Berdasarkan gambar grafik X+Y = 2 dan 4X+2Y = 7 kedua garis lurus tersebut berpotongan pada sebuah titik yaitu titik (

. Sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan linier X+Y = 2

dan 4X+2Y = 7 adalah (

b. Metoda Eliminasi Contoh Latihan Tentukan penyelesaian dari SPL berikut: 2x – y = 3 3x + 2y = 22 Dengan metode eliminasi Jawab: Dari soal diketahui bahwa, tidak ada variabel yang memiliki koefisien sama maka Anda harus menyatakan koefisien dari variabel yang akan dieliminasi Misalkan, variabel y yang akan dieliminasi terlebih dahulu diperoleh: 2x – y = 3 x 2 4x – 2y = 6 3x + 2y = 22 x 1 3x + 2y = 22 + 7x = 28

35


[Type text]

x

=

x =4 Selanjutnya dengan cara yang sama eliminasi x, diperoleh: 2x – y = 3 x 3 6x – 3y = 9 3x + 2y = 22 x 2 6x + 4y = 44 -7y = -35 y = y =5 Jadi, penyelesaian SPL di atas adalah {(4, 5)}

c. Metoda Substitusi Tentukan penyelesaian dari SPL berikut: x + 3y = 11 ....... (1) 2x – 5y = -11 .... (2) Jawab: x + 3y = 11 Substitusikan x = 11 – 3y ke persamaan (2) sehingga diperoleh 2 (11 – 3y) – 5y = -4 22 – 6y – 5y = -4 – 11y = -11 -11y = -11 – 22 -11y = -33 y =

=3

Substitusi y = 3 ke persamaan x = 11 – 3y sehingga diperoleh: x = 11 – 3.3 = 11 – 9 = 2 Jadi, penyelesaian SPL {(2, 5)}

d. Metoda Substitusi dan Eliminasi Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut: 2x + 3y = -14 3x – 4y = 30 Jawab: Eliminasi nilai x untuk mendapatkan nilai y 2x + 3y = -14 x 3 6x + 9y = -42 3x - 4y = 30 x 2 6x -16y = 60 17y = -102 y = y = -6 Substitusikan y = -6 ke dalam persamaan 2x + 3y = -14, sehingga diperoleh: 2x + 3y = -14 2x + 3(-6) = -14

36


[Type text]

2x – 18 = -14 2x = 4 x=2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -6)}

Latihan Soal 1. Sebuah pulpen harganya 4 kali harga sebuah pensil. Apabila 1 pulpen dan 3 pensil maka ia harus membayar Rp. 4.900,00 berapa yang harus di kembalikan toko tersebut kepada marlina jika ia membeli 2 pulpen dan 8 pensil dengan menggunakan selembar uang kertas dua puluh ribuan. Berdasarkan cerita diatas buatlah model matematika jika banyak pulpen dilambangkan x dan banyak pensil dilambangkan y kalimat matematikanya adalah……………………………………………………………………. Jawab:

2. Buat grafik dengan terlebih dahulu mengisi table berikut X 0 …. Y

….

0

3. Sebuah gedung bioskop jumlah penontonnya 250 orang. Setiap orang yang menonton di kelas I, karcisnya Rp. 25.000,00 dan penonton kelas II per orang membayar Rp. 15.000,00. Jika uang yang terkumpul dari penjualan karcis Rp. 4.500.000,00, Buatlah model matematikanya dan berapakah banyaknya penonton di setiap kelas?

37


[Type text]

Jawab:

4. Jumlah dua bilangan bulat adalah 55 dan selisih dari kedua bilangan tersebut adalah 25. Tentukan kedua bilangan tersebut.

JAWAB:

5. Lima meja dan delapan kursi berhargga 115 dolar sedangkan tiga meja dan lima kursi berharga 70 dolar. Buatlah model matematikanya dan Tentukan harga satu meja dan harga satu kursi. JAWAB:

6. Ibu Rita membelanjakan uangnya sebesar Rp 26.000,00di toko untuk membeli 3 kg gula dan 2 kg tepung terigu. Ibu siska membelanjakan Rp 32.000,00 untuk membeli 4 kg gula dan tepung terigu. Ibu siska membelanjakan Rp 32.000,00 untuk membeli 4 kg gula dan 2 kg tepung terigu. Jika ibu retno membeli 1 kg gula dan 2 kg . Jika ibu retno membeli 1 kg gula dan 2 kg tepung terigu di toko yang sama, makatepung terigu di toko yang sama, maka ibu retno harus membayar sebesar .............. dan buatlah model matematika dari soal tersebut! JAWAB:

8. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 38


[Type text]

Pengertian Ciri-Ciri SPLTV : Merupakan Sistem Persamaan Linear Memuat Tiga Persamaan Linear dengan tiga variabel Berdasarkan ciri-ciri SPLTV di atas, maka pengertian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu sistem persamaan yang hanya memiliki tiga variabel dan masing-masing variabelnya berpangkat satu. Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

dengan,

Metode-metode yang digunakan dalam mencari Himpunan Penyelesaian SPLTV adalah dengan eliminasi, substitusi, campuran eliminasi dan substitusi serta metode determinan. Contoh Soal dan Penyelesaiannya Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan metode campuran eliminasi dan substitusi ! (1) (2) (3) Langkah-langkah penyelesaian: Pilih dua persamaan, kemudian eliminasi x, y, atau z. Misalkan kita akan mengeliminasi y, kemudian pilih persamaan (1) dengan persamaan (2) dan persamaan (2) dengan persamaan (3). Persamaan (1) dan Persamaan (2) | | 7

(4)

Persamaan (2) dan Persamaan (3)

39


[Type text]

+ (5) Eliminasi x atau z pada persamaan (4) dan persamaan (5). Misalkan kita akan megeliminasi x. 7 -5z = -20→ z = 4 Substitusi z = 4 ke dalam persamaan (4) atau persamaan (5). Misalkan kita akan mensubtitusi ke dalam persamaan (4) maka, 7 Substitusi z = 4 dan x = 2 ke dalam persamaan (1), persamaan (2) atau persamaan (3). Misalkan kita akan mensubtitusi ke dalam persamaan (1) maka,

Jadi, x = 2, y = 3, dan z = 4

Metode determinan Untuk manyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan menggunakan metode determinan sama seperti dua variabel yaitu : X=

,Y=

dan Z =

atau

Z=

X=

y=

Z=

Bedanya hanya cara menentukan nilai determinannya. Untuk menentukan nilai determinan matriks 3 x 3 yaitu dengan diagram sarrus, caranya : Salin kolom ke-1 dan kolom ke-2, lalu tempatkan dikolom ke-4 dan ke-5 Jumlahkan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal ke bawah, lalu kurangkan dengan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal keatas.

Misalkan A =

40


[Type text]

Dengan aturan sarus, determinan A adalah sebagai berikut : = = aei + bfg + cdh – ceg –afh – bdi = (aei + bfg +cdh) – (ceg + afh + bdi ) Contoh Soal dan Penyelesaiannya dengan Metode Determinan Tentukan determinan dari matriks berikut A=

Jawab =

= 5.-2 .3 + 2.4.1 + (-1) .(-3).0 – (-1).(-2).1 – 5.4.0 – 2.(-3).3 = -30 + 8 + 0 – 2 – 0 + 18 = -6 Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut : 3x – 2y + z = -5 x + 5y – 2z = 29 4x + y + 5z = 8 Jawab : Dengan metode determinan

X=

= =2

Y=

= =5

Z=

= =1

Jadi penyelesaiannya adalah x = 2, y = 5, dan z = -1

41


[Type text]

Latihan Soal 1. Wandi bersama dengan kakak dan ayahnya sedang memanen jagung di ladang mereka. Pekerjaan memanen jagung itu dapat diselesaikan mereka dalam waktu 4 jam. Jika Wandi bersama ayahnya bekerja bersama-sama ,mereka dapat menyelesaikan pekerjaan itu dalam waktu 6 jam. Jika kakak dengan ayah menyelesaikan pekerjaan itu, maka akan selesai dalam waktu 8 jam. Berapa waktu yang diperlukan Wandi ,kakak dan ayah untuk menyelesaikan panenan tersebut, jika mereka bekerja sendiri-sendiri ? Jawab: ………………………………………………………………………………

2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut: (i) (ii) (iii) Jawab : Eliminasi persamaan (i) dan (ii) x ... | x ... |---------------------(iv) Eliminasi persamaan (ii) dan (iii) x ... | x ... |---------------------(v) Substitusi nilai x ke persamaan (iv)

Y = ..... Substitusi nilai x dan y ke salah satu persamaan. Himpunan Penyelesaian {x,y,z}={... , .... , ....}

3. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x + 2y – 3z = 8 4x – y + 2z = 0 3x + 3y – 4z = 13

Jawab : =

42

= ….


[Type text]

=

= ….

=

= ….

=

= ….

X=

=…

Y=

=…

Z=

=…

Jadi Himpunan Penyelesaian (HP) =

(…., …., ….)

b.

Jawaban : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………

9. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pengertian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan masing-masing variabelnya berpangkat satu. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Langkah-langkah menggambar grafik pertidaksamaan linier : Ubah Pertidaksamaan menjadi persamaan Gambar grafiknya dengan menentukan titik potong terhadap sumbu y,x →0 dan titik potong terhadap sumbu x, y→0 Tentukan titik uji diluar garis tersebut missal (0,0)

43


[Type text]

Arsir daerah Himpunan penyelesaian

Contoh Soal dan Penyelesaiannya Tentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut:

Jawab:

8

X Y

0 2

6 0

2

4 X Y

0 8

6

4 0

Latihan Soal 1. Sukabumi terkenal dengan kota Mocci untuk membuat kue tersebut bahan yang dibutuhkan adalah tepung dan gula. Siswa siswi jurusan pemasaran ditugaskan untuk membuat kue tersebut dan dibagi kedalam beberapa kelompok. Dalam praktek pembuatan kue tersebut setiap kelompok berbagi tugas dengan anggotanya. Pica dan Xeni kebagian membeli 3 Kg Tepung dan 1 Kg Gula. Uang yang dibawa tidak lebih dari Rp. 30.000,00 Berdasarkan cerita diatas buatlah model matematika jika banyak tepung dilambangkan x dan bayak gula dilambangkan y kalimat matematikanya adalah…………………………………… a. Ubah kedalam bentuk persamaan dari dari permasalahan di atas menjadi………………………………………………………………. b. Buat grafik dengan terlebih dahulu mengisi table berikut X

0

….

Y

….

0

Gambar titik potongnya dengan diagram kartesius

44


[Type text]

JAWAB

Jawaban:

2. Masalah 2 : Menjelang gelar seni di SMK setiap kelas ditugaskan untuk memproduksi dan memasarkan produk kue diantaranya kue A dan kue B. Bahan untuk membuat kue di tanggung oleh siswa. Kelas Akuntansi belanja ke pasar gudang dengan membeli 3 kg tepung dan 2 kg mentega mereka membawa uang tidak lebih dari Rp. 60.000,00. Kelas pemasaran belanja ke pasar Pelita membeli 3 kg tepung dan 4 kg mentega mereka membawa uang tidak lebih dari Rp.96.000,00 Berdasarkan cerita pembuatan kue A dan kue B selesaikan soal berikut a. Jika banyak tepung dilambangkan dengan x dan banyak mentega dilambangkan y maka kalimat matematika untuk kelas Akuntansi…………………………dan kalimat matematika untuk kelas pemasaran…………………………. b. Lengkapi tabel berikut ini ……………. 0 ……..

X Y c.

……. 0

X Y

…………… 0 ………

…… 0

gambar grafik himpunan penyelesaian berdasarkan hasil jawaban no. b

3. Suatu jenis makanan ternak membutuhkan 5kg daging & 3kg tepung. Makanan ternak jenis lain membutuhkan 6kg daging & 8kg tepung, jika tersedia daging 60kg & tepung 48kg. Sedangkan bahan yang lain cukup tersedia maka. Gambarlah daerah penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear 4. Tentukan Sistem pertidaksamaan untuk daerah yang diarsir pada gambar :

5

3

3

45

7


[Type text]

Tugas proyek Dengan teman 1 kelompok carilah di internet / buku Sistem Pertidaksamaan Linear masalah sehari-hari yang berhubungan dengan Sistem Pertidaksamaan Linear kemudian formulasikan masalah tersebut menjadi model Matematika lalu selesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear, Persentasikan hasilnya di depan kelas !

Tugas Mandiri Berilah Tanda Silang (x) Pada huruf a, b, c, d, atau e pada jawaban yang paling benar! 1. Nilai x dan y dari sistem persamaan linear 3x + 2y = 8 dan 2x – 4y = 0 adalah … x=2;y=1 d. x = -2 ; y = -1 x=2;y=2 e. x = -4 ; y = 10 x=3;y= 2. Harga 2 buah buku dan 3 pensil Rp.16.500,00. Jika harga sebuah buku Rp.2.000,00 lebih mahal dari harga sebuah pensil, maka harga sebuah buku dan 2 pensil adalah ... Rp.8.000,00 d. Rp.10.000,00 Rp.9.000,00 e. Rp.12.000,00 Rp.9.500,00 Penyelesaian sistem persamaan linier 2 x  5 y  21 dan 3x  2 y  3 adalah x dan y. Nilai dari

4 x  6 y adalah …. a. – 6 d. 3 b. – 5 e. 6 c. 2 3. Sepuluh tahun yang lalu umur Neni dua kali umur Bimbim. Lima tahun dari sekarang umur Neni menjadi satu setengah kali umur Bimbim. Umur Neni sekarang adalah …. a. 20 tahun d. 35 tahun b. 25 tahun e. 40 tahun c. 30 tahun 4. Nilai 2x –y + 3z dari sistem persamaan linear

a. 29 b. 51 c. 40

d. 45 e. 7

5. Diketahui harga 2 Kg mangga, 2 Kg Jeruk dan 1 Kg Anggur adalah Rp. 70.000. Harga 1 Kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 Kg anggur adalah Rp. 90.000. Harga 2 Kg mangga, 2 Kg jeruk dan 3 Kg anggur adalah Rp. 130.000. Maka harga 1 Kg jeruk adalah … a. Rp.5.000 d. Rp.30.000

46


[Type text]

b. Rp.10.000 e. Rp.40.000 c. Rp.20.000 6. Suatu pesawat mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg. Bila x dan y berturut-turut menyatakan banyaknya penumpang kelas utama dan ekonomi, maka model matematika dari persoalan di atas adalah . . . . a. x + y ≤ 48 ; 3x + y ≥ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 b. x + y ≤ 48 ; x + 3y ≤ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 c. x + y ≤ 48 ; 3x + y ≤ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 d. x + y ≥ 48 ; x + 3y ≥ 72; x ≥ 0 ; y ≥ 0 e. x + y ≥ 48 ; x + 3y > 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 7. Daerah penyelesaian grafik di bawah ini merupakan pertidaksamaan linear dari ... y 3

a. b. c. d. e.

2x + 3y  6 ; 3x + y  3 ; x  0 ; y  0 2x + 3y > 6 ; 3x + y > 3 ; x  0 ; y  0 3x + 2y  6 ; x + 3y  3 ; x  0 ; y  0 3x + 2y < 6 ; x + 3y  3 ; x  0 ; y  0 2x + 3y  6 ; 3x + y  3 ; x  0 ; y  0

x

2 1

3

8. Nilai maksimum dari z = x + 3y yang memenuhi daerah himpunan penyelesaian berikut adalah ... y (3,5)

05

3

(1,3)

(2,2)

2

x 1

2

a. b. c. d. e.

6 10 14 18 22

3

9. Nilai maksimum dari fungsi obyektif f(x) = 3x + 2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + 0 2y 10 , x + y 7; x 0, y 0 dan x, y, bilangan real adalah …. a. 17 b. 18 c. 19

47

d. 20 e. 21


[Type text]

Penilaian Penilaian Kognitif No Aspek Yang Dinilai 1 Membuat Model matematika dari soal penerapan SPLDV, SPLTV dan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 2 Menentukan himpunan penyelesaian untuk SPLDV dengan metode grafik, eliminasi, substitusi dan campuran 3 Menentukan himpunan penyelesaian untuk SPLTV dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi dan metode determinan 4 Manentukan himpunan penyelesaian dengan metode Campuran 5 Membuat Model matematika dari soal penerapan SPtLDV dan menentukan himpunan penyelesaiannya Kriteria Skor: Setiap jawaban benar, lengkap Jawaban Salah

= 20 = 1

Jawaban setengah benar tidak dijawab

Penilaian Psikomotor Aspek Yang Dinilai No Kecepatan dan ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dengan metode grafik, eliminasi, substitusi, dan campuran dalam permasalahn SPLDV Kecepatan dan ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan metode substitusi eliminasi dan determinan dalam permasalahn SPLTV Kecepatan dan ketepatan dalam menentukan model matematika dan himpunan penyelesaian dari permasalahn SPtLDV Kriteria Skor: 4 = Cepat dan Tepat 2 = Cepat Tapi Kurang Tepat

48

Skor

= 10 = 0

Skor

3 = Kurang Cepat tapi tepat 1 = Tidak Faham


[Type text]

Penilaian Afektif No

Skor SL Sr Jr Tp

Aspek Yang Dinilai Siswa mengikuti materi Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Siswa merasa materi Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear sangat bermanfaat Siswa terlibat aktif dalam proses pembelajaran Siswa bekerjasama dalam kegiatan kerja kelompok Membuat Model Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Siswa selalu mendiskusikan materi, bagaimana menyelesaikan masalah Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Siswa toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda hasil Siswa mengerjakan latihan soal mengenai Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dalam menentukan himpunan penyelesaiannya Siswa menyusun dan membuat rangkuman dari tugas-tugas yng ada Siswa berusaha mencari referensi dari buku dan berusaha mencari di perpustakaan dan di internet

Sl Sr Jr Tp

49

= = = =

Selalu =4 Sering =3 jarang =2 Tidak pernah = 1


[Type text]


: Matriks : Matematika :X/1 : 12 x 45’ (6 pertemuan) : SMK



K2


K3 K4

2. Kompetensi Dasar

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan. 3.4 Memahami konsep matriks sebagai representasi numeric dalam kaitannya dengan konteks nyata. 3.5 Memahami operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. 3.6 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkitan dengan matriks.

3. Materi Pembelajaran a. b. c. d. e. f. g.

Definisi Matriks Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Operaasi Perkalian Matriks Operasi Determinan (2x2) dan (3x3) Menyelesaikan Persamaan Linear Dua Variable dengan determinan Invers matriks Pemakaian matriks untuk penyelesaian SPLDV

4. Kompetensi Yang Ingin Dicapai a. Siswa dapat mengetahui difinisi dan bentuk-bentuk matriks b. Siswa dapat menyelesaikan operasi Matriks c. siswa dapat menyelesaikan persamaan dalam bentuk matriks

50


[Type text]

5. Indikator a. b. c. d. e. f. g. h.

Siswa terlibat aktif dalam proses pembelajaran Matriks Siswa dapat bekerjasama dalam kegiatan kerja kelompok Siswa dapat menjelaskan definisi matriks Siswa dapat Mengoperasikan Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Siswa dapat Mengoperasikan Perkalian Matriks Siswa dapat Mengoperasikan Determinan Siswa dapat Mengoperasikan Invers Matriks Siswa dapat Menyelesaikan persamaan Dalam Bentuk Matriks

MATRIKS

6. DEFINISI MATRIKS 6.1. Pengertian Matriks Berbagai cara orang menjelaskan suatu data diantaranya adalah sebagai berikut : Dibawah ini adalah tabel daftar belanja ATK siswa di koperasi sekolah Nama

Pensill

Penghapus

Penggaris

Ani

1

2

1

Nina

2

2

0

Bayu

1

1

1

Andi

2

0

1

Jika Keterangan diatas diubah dalam bentuk barisan kolom menjadi :

1 2 1 2

51

2 1 2 0 1 1 0 1

Keterangan disamping disebut “ matriks” dengan ukuran 1 ordo : 4 x 3 , yaitu terdiri dari dari 4 baris dan 3 kolom


[Type text]

1.2. Jenis Matriks a. Transpose Matriks Transpose Matriks adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengubah atau menukarkan susunan kolom suatu matriks menjadi baris dan sebaliknya, baris menjadi kolom. Transpose matriks A dinotasikan dengan AT .

Contoh A=

2

1

3

0

AT =

2

3

1

0

Latihan : Diketahui : Hasil pertandingan Grup 1 Liga Indonesia 2014

Tim Persib Persija Sriwijaya FC Arema Persik Persipura

Main

Menang

Kalah

Seri

5 5 6 5 6

4 3 3 2 2

0 2 2 3 3

1 0 1 0 1

Data bulanan di koperasi SMK Sukabumi Diterjen

Pasta gigi

Sabun cuci

Nani

1

2

1

Nina

1

1

1

Widi

1

2

0

Teti

1

2

1

Nama

Tentukanlah : Ubahlah kedalam bentuk matriks dari kedua data tabel diatas Tentukanlah Ordo dari masing-masing matriks diatas. Buatlah matriks Transpos diatas. Apa yang dimaksud dengan matriks. Sebutkan Jenis-jenis matriks yang kalian ketahui

52


[Type text]

7. OPERASI MATRIKS

7.1 OPERASI HITUNG PADA MATRIKS Penjumlahan dan Pengurangan Matriks “Penjumlahan dan Pengurangan Matriks dapat dilakukan jika kedua Matriks tersebut mempunyai ordo yang sama”. Penjumlahan dan pengurangan dua matriks dilakukan dengan cara menjumlah atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak atau bersesuaian.

Contoh 2 0 Diketahui A =

Tentukan Jawab :

B=

3 1

2

A -B=

4

0 +

3

1

2

0

3

2

5

-2

b. A – B

: a. A + B

A+B=

4

-

1

2

5

-2

4

2

5

=

=

-2

2+4 3+5

0+2 1+(-2)

2-4

0-2

3-5

=

6

2

8

-1

-2 -2 =

1-(-2)

2

3

Dari contoh diatas maka dapat disimpulkkan :

Jika A =

a

b

c

d

e g

B=

..

Maka : A + B =

..

+

...

..

...

..

.. ..

=

.. ..

.. ..

A–B=

f h

+

..

..

=

..+..

..+..

..+..

..+..

.. -.. ..-.. ..-.. ..-..

.. ..

Uji Pemahamanmu dengan berlatih !

Diketahui A =

53

2

0

3

1

,

B=

2

0

3

1

, C=

2

0

3

1


[Type text]

Tentukan : A+B= A+C= A–B= B–C= (A + B) + C =

f. g. h. i. j.

A + (B + C) = (A+ B) – C = BT + A = CT – A = AT + (B – C) =

Diskusikanlah bersama Temanmu.

2a-1 Diketahui A =

62

3 -4

b+3 3a + c

B=

-5 12

C=

2a-5

0

b+4

43

Jika A + B = C Tentukanlah Nilai a, b , c 2a + 3c + 4c = Jika A + C = B Tentukanlah Nilai a, b dan c 2a + 4b + (3a+b) – (2a+ 3c) =

7.2 Perkalian Skalar dengan Matriks Misalkan k suatu skalar ( bilangan real ) dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen matriks A dengan skalar k.

a Jika k = bilangan real dan A =

b

c

d

a , maka kA = k

c

b d

=

ak

bk

ck

dk

Contoh 5 -2 Diketahui R =

4 10

, S=

6 -2 -1

8

, T=

10

-20

5

-10

0

-40

, U=

-1

8

4

18

-7

2

Tentukanlah : 2R B.

T

Jawab : 2R = 2

54

5

-2

4

10

=

10 -4 8 20


[Type text]

b.

T =

10

-20

-10

0

=

5

-40

5

-10

-5

0

-20

Tentukanlah hasil perkalian matriks di bawah ini ! Jika diketahui matriks

A = -2

0 3 -2

4 -3 0

, B= 1

dan C =

-2 5 6

Tentukan : A+B B–C C–A+B

2 1 Diketahui A =

-1 1 dan B =

0 -1

Maka nilai dari A – 2B = …..

0 2

Hitunglah Operasi matriks di bawah ini

2 1 5

0 -1

4 -2

2 1 −

1 -2

1

-2

6

+ 4

-4 Diketahui

0 -1

P=

-1 0

2

-12

4

6

10 -3 9

−5

, Q=

8

-4 -2 3 6

16

3

7

2

4

-9

-5

5

8

dan R =

0

0

-2

11

4

0

3

-6

1

Tentukan : A + 2B + 4C ( A + 2B ) + ( A – 5C ) Tentukan a, b dan c jika diketahui P =

R=

2 -1 -3

55

c. ( A - 2B )T + 3C

2

3

-1

0

, Q=

a+2

b+1

c

-4

Sehingga berlaku P – 2 Q = R

8


[Type text]

7.3 Perkalian Matriks dengan Matriks Dua matriks dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks pertama (matriks sebelah kiri) sama dengan banyak banyak baris matriks kedua(matriks sebelah kanan), dan matriks baru hasil perkalian mempunyai ordo banyaknya baris matriks pertama dikali banyaknya kolom matriks kedua. Elemen dari matriks hasil perkalian diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali antara elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B, dan dinotasikan A x B.

a Jika A =

c

e

b , B=

d

f

g

maka A x B =

h

a.e + b.g

a.f + b.h

c.e + d.g

c.f + d.h

Contoh Tentukan hasil perkalian matriks : 1

2 dan

3

4

5

6

7

8

8 b.

2

-4

7

5

6

3

-1

dan

10

jawab :

1 a.

3

b.

5

2

7

4

6

1.5 + 2.7 =

8

2

-4

7

8

5

6

3

-1

3.5 + 4.7

=

10

1.6 + 2.8

5 + 14 =

3.6 + 4.8

2.8 + (-4).(-1) + 7.10

15 + 28 18 + 32

=

5.8 + 6.(-1) + 3.10 3.5 + 4.7

Latihan

6 + 16

16 + 4 + 70 40 – 6 + 30

19 22 =

43 50

90 =

64 n

3.6 + 4.8

Tentukan matriks hasil matriks di bawah ini :

Diketahui P =

2 0 1

,Q=

5

4 7 ,R=

-3

3

5

, S=

1

0

0

1

, T=

8

-5 -3

2 U=

2 -1

-9 1

PU UP

56

c. R T d. S Q

e. T R


[Type text]

8. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2 X 2 Matriks Ordo 2x2 Determinan Matriks Ordo 2 x 2 Determinan Matriks berordo 2x2 Determinan dari suatu matriks A dilambangkan sebagai det A atau lAl. Misalkan A adalah suatu matriks persegi berordo 2 :

a b A =

Maka determinan dari matrik A adalah

c d

= (ad – bc)

Det A =

Contoh

A=

2

1

3

4

maka det A = ( (2x4) – (1x3) ) =(8–3)= 5

Uji Pemahamanmu dengan berlatih

2 Diketahui A =

1

2 3

B=

5

2

-3 1

C=

-2

1

-3

3

Tentukanlah : a. Det A = ((..x..) – (..x..)) = b. Det B = c. Det C = d. A + B│= e. = f. g. h. i. j.

│B + C│ x A= │2B│= │BC│ = │AB│x C = │A│ x │B│ x │A + C│ =

Invers Matriks 2 x 2 Jika A-1 adalah merupakan invers matriks persegi maka : A . A-1 = A-1 A = 1

57


[Type text]

Latihan 1. Selidikilah pasangan matriks manakah dibawah ini yang saling invers ;

a.

b.

c.

-1

2

-3

5

3

2

4

3

1

1

1

dan

5 -2 3

dan

1

dan

3 1

e.

dan

1 3

3

2 -4 -1 3

1 2

3 -2 -4

3 4

d.

3 -1 -1

3

2 -1 dan

2

-1

1

2. Dari soal no.1 tentukanlah determinannya. 3. Dari soal no.1 pasangan matriks manakah yang tidak saling invers. 4. Carilah pasangan matriks dibawah ini, agar keduanya bisa saling invers.

A=

3 4 1

2

3 3 B=

1

2

5. Tuliskanlah Rumus invers matriks persegi ordo 2 x 2, beserta pembuktiannya. Matriks Ordo 3x3 Determinan Matriks Ordo 3x3 ( Metode Sarrus )

a b c Misalkan A =

d e f

. dengan aturan Sarrus, determinan A

g h i

Adalah sebagai berikut.

│A│ =

a

b

c

a

b

d

e

f

d

e

i

g

h

+

+

+

g -

-

-

h

= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi = ( aei + bfg + cdh ) – ( ceg + afh + bdi )

58


[Type text]

Contoh Tentukan determinan dari matriks berikut :

5

A=

2 -1

-3 -2 4 1

0 3

Jawab : |A| =

5 2 -1

5 2

-3 -2 4

-3 -2

1 0 3

1 2

= 5 . (-2) . 3 + 2 . 4 . 1 + (-1) . (-3). 0 – (-1) . (-2) . 1 – 5 . 4 . 0 – 2 . (-3) . 3 = -30 + 8 + 0 – 2 – 0 + 18 = -6

Tugas Jawablah pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan jawaban yang tepat !

1. Matriks A =

2

3

1

2

2. Tentukan invers dari

3. Jika diketahui P =

, maka nilai dari ( AT )-1 adalah …

2

-1

1

0

0

1

-1

2

2 -3

,Q=

-1 2

2

3

1

2

tentukan : a. P-1 Q-1

b. Q-1 P-1

c. (P.Q)-1

1 0 1 4. Tentukan invers dari matriks

2 3 7 4 1 6

Latihan 1. Selidikilah apakah pasangan matriks dibawah ini yang saling invers

-1 2 a.

59

-3 5

dan

5 -2 3

1

3 d.

1

2 -4

4 2

dan

-1

3


[Type text]

b.

c.

3

2

4

3

1

1

1

2

3 -2

dan

-4

e.

3

3

3

1 2

2 -3

dan

-1

2

2 -1 dan

-1

1

2. Dari soal nomor 1. Tentukanlah determinan dari masing-masing matriks tersebut 3. Dari soal nomor 1 pasangan matriks manakah yang tidak saling invers 4. Carilah pasangan matriks dibawah ini sehingga keduanya bisa saling invers

A=

3

4

1

2

dan B =

3

4

1

2

5. Tentukan invers dari

2 3

1 3

b.

4

6

1

2

c.

2

1

7

4

Diskusikanlah bersama temamu

1. Diketahui matriks A =

x 1 5 -2x

dan B =

x 8

x x

A = Carilah semua nilai x yang memenuhi

2. Carilah nilai x yang memenuhi persamaan berikut : a.

b.

3. Tentukanlah nilai k :

60


[Type text]

SOAL EVALUASI 2 1. Diketahui persamaan x

5

B. 3

=

-6

-2 A. 2

-7

-1 + y

Nilai z = ….

-21 2z - 1

5

C. 0

D. 6

E. 30

Alasan : …………………………………………………………………………………………

2. Jika A =

2

5

1

3

dan B =

5

4

1

1

, maka determinan (A.B)1 = ….

a. 2 B. 1 C. 1 D. 2 E. 3 Alasan: ………………………………………………………………………………………….

5+x x

3. Diketahui A =

x

sama,

9 -x

dan B =

7

3x

Jika determinan A dan determinan B

4

maka harga x yang memenuhi adalah ….. a.

B. –3 atau 4

3 atau 4

C. 3 atau –4

D. –4 atau 5

E. 3 atau –5

Alasan: ……………………………………………………………………………………………

4. Diketahui matriks A =

x

1

-1

y

,B=

3

2

1

0

1

dan C =

0

. Nilai x + y yang

-1 -2

memenuhi persamaan AB  2 AB = C adalah a.

0

B. 2

C. 6

D. 8

E. 10

Alasan : ………………………………………………………………………………………….

T

5. A adalah transpose dari A. Jika

C=

, B=

-

4

2

2

8

dan A = C1, maka determinan dari matriks AT. B adalah … a.

196

B. 188

C. 188

D. 196

E. 212

Alasan : …………………………………………………………………………………………..

61


[Type text]

MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH DENGAN INVERS MATRIKS

Langkah-langkah yang perlu diperhatikan untuk menyelesaikan system persamaan linear dua variable dengan menggunakan matriks adalah sebagai berikut : Tulislah sistem persamaan kedalam bentuk matriks, Nyatakan bentuk tersebut kedalam perkalian matriks sehingga membentuk persamaan matriks Selesaikanlah persamaan matriks berikut. ax + by = p cx + dy = q persamaan tersebut dapat di ubah menjadi bentuk matriks sebagai berikut :

a1

b1

x

a2

b2

y

p =

q

a1 Maka diperoleh :

a2

p

x

b1 b2

A

y

=

q

X

B

X = A-1 . B

x

Jadi

=

y Ingat : A.X = B X = A-1 . B

a1

b1

a2

b2

-1

p q 2. X.A = B X = B-1 . A

Contoh Tentukan x dan y yang memenuhi persamaan linear berikut ! 2x + 3y = -16 x - 4y = 13 Jawab : Dibuat dalam bentuk matriks menjadi :

-2 3 1 -4

=

x

-16

y

13

a2 b2 62


[Type text]

-4 -3

A-1 =

.

1 -2

=

-4 -3

.

-1 -2

AP = B → P = A-1 . B

x

=

.

y

=

.

- 4 -3

-16

-1 -2

13

64 – 39 16 – 29

25 =

-10

5 =

-2

Jadi, nilai x = 5 dan y = -2.

Soal Latihan 1. Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi system persamaan linear berikut : a. -2x + y = 1 b. x – 3y = 14 7x – 2y = -26

5y – x = -20

3x + 5y = 4 2. Diketahui system persamaan x - 3y = 6 Nilai 2x + 3y adalah ….

3. Carilah x dan y dari persamaan berikut ini

2 1

x

3 2

-y

=

3

x–4

1 5

-y + 5

-4

2 -1

=

39 -4

SOAL EVALUASI 1. Ordo dari matriks A = ( 3 -5 2 ) adalah … ( 3x2 ) b. ( 2x3 ) c. ( 1x3 )

d. ( 3x1 )

e. ( 3x3 )

Alasan : …… ……………………………………………………………………………………………

63


[Type text]

-4

4. Tentukanlah ordo matriks M =

3 -2

1 5 0 ( 3x2 )

b. ( 3x3 )

c. ( 2x2 )

d. ( 2x3 )

e. ( 3x1 )

Alasan : ( ……………………………………………………………………………………………….

2 3 -1 5.

Diketahui matriks A =

Nilai a22 + a41 + a32 = …….

4 3 -4 1 -8 5 2 -4 6

a. -5 b. -2 c. -1 d. 3 e. 13 Alasan : ….. ………………………………………………………………………………………….

2 -3 6 4. Diketahui matriks P =

Nilai a12 – a31 dari transpos P adalah …..

5 0 -2 1 -4 4

a. -4

b. -2

c. -1

d. 1

e. 11

Alasan : …………………………………………………………………………………………. …..

5. Matriks

P=

a. 3

a

3

2b

c

1 10

dan Q =

3

b. 5

Jika P = QT , maka nilai b adalah …..

5 c. 10

d. 12

e. 15

Alasan : .……………………………………………………………………………………………..

6.

x+y -4

3

1

x + 2y

-4

a. -2 dan 4

3

=

, maka nilai x dan y adalah …..

4

b. 3 dan 1

c. -2 dan 3

d. -2 dan 1

e. 4 dan -1

Alasan : ……………………………………………………………………………………………..

7.

Jika P =

3 2 5

,Q=

4 -2 1

-2 1 1

, maka -2P – Q sama dengan…..

0 3 4 -4 -8

a.

-4 -5 -3 8 1 6

b.

-4 -5 -3 -8

1 2

c.

-4 -5 -3 -8

1 2

d.

-8 -3 -1 -8

e.

7 2

-5 1 -6 -3

Alasan : .……………………………………………………………………………………………..

64


[Type text]

2 -1

Hasil dari A2 – 2A untuk A=

8.

3

a.

-3

0

-3

b.

0 -3

adalah …..

0

0

-3

c.

0 -3

0

-3

d.

0 -3

0

-3

e.

0 -3

0

0 -3

Alasan : …………………………………………………………………………………………. …..

1 -1 9.

diketahui A =

a.

2

3

0

2

2

,B=

2

b.

4

0

12

0

1

1

4

-2

c.

Nilai dari (A + B)2 adalah …..

2

0

0

2

4

3

12

8

d.

e.

0

0 12

Alasan : ..……………………………………………………………………………………………..

10.

x A=

-2

2

1 2 , B=

y

3

0

4 dan C =

-4

7 -4

Nilai x + y yang memenuhi persamaan AB = C adalah …. a. 1 b. -1 c. 3 d. 4

e. -5

Alasan : ……………………………………………………………………………………………….

(3x – 1)

(x + 2) = 0 adalah ……

11. Jumlah akar-akar persamaan 2 a. 1

b. 3

c. -1

(x + 2) d.

e.

Alasan : ……………………………………………………………………………………………… 12. Matriks B = a, -4

-2x

8

3

3

b. -5

adalah matriks singular, nilai x = …… c. -6

d. -7

e. -8

Alasan : ………………………………………………………………………………………………

65

4


[Type text]

13. Nilai z dari Kesamaan matriks

2x -6

a. -4

b. -3

x + 4y

=

0

c. 2

-6

5

y + 2z

0

d. 3

0

adalah ……

e. 4

Alasan : …..………………………………………………………………………………………….

14.

X=

-6

a.

4

1

5

2

7

2

4

2

2

6

b.

-19 6

. Matriks X = …..

-2

c.

19 -6

6

2

6

d.

2

e.

19 -6

-19 6

6

2

-19 -6

Alasan : .……………………………………………………………………………………………..

15. Determinan matriks

a. -14

-6

-2

4

1

b. -6

adalah …..

c. 2

d. 8

e. 14

Alasan : ( …………………………………………………………………………………………. )

5 1 0 16. Jika A =

2 -4 3 -1

a. 33

, maka

= ….

0 -2 b. 37

c. 41

d. 49

e. 53

Alasan : ( ………………………………………………………………………………………….

17. Invers matriks A =

1

-4

-3

-2

adalah ….

-1 -3 a. -

b.

4 2

-2 -4 3 1

-1 -3 c.

d. -

4 2

e. -

-1 -3 4 2

-1 -3 4 2

Alasan : ……………………………………………………………………………………………..

66


[Type text]

18. Jika diketahui A =

a.

2

0

0

2

3

4

2

3

b.

3

-4

-2

3

,B=

-9

0

0

1

Nilai dari A-1. B-1 adalah …..

1

0

0

1

c.

d.

1

0

0

-1

e.

1

-6

0

1

Alasan : …………………………………………………………………………………………….. 19. X =

a.

8

10

-2

5

4

1

1

, matriks X = ……

-1

b.

1

1

c.

-2

d.

2

1

-1

1

1

e.

Alasan : ……………………………………………………………………………………………..

Diketahui matriks A =

a a+d b

,B=

a-1

0

-c

d

c

transpos dari B, maka nilai c = ……. a. 33 b. 37 c. 41

, C = A + BT = C dengan BT adalah

d. 49

e. 53

Alasan : …………………………………………………………………………………………….. Isilah titik-titik dibawah ini dengan jawaban yang tepat !

1 1. Jika A =

2

3

2

-4

-1

-3

,B=

4

2. Diketahui matriks A = -2

-8

10

2

, B=

, maka A + B = …..

-2

3

10

6

,C=

1

5

2

7

.

Jika 2A + C = 4B + 2B, tentukan D !

3. Diketahui matriks L =

3

-4

2

1

-3 -2 ,M=

-1 5

dan N =

5

4

-2 -1

Tentukan 2 LT – M + 3N = ….

67


[Type text]

4.

x

y

3

-2

1

4

2

4

14 -4

=

-2 -5 5. Diketahui A =

6.

Jika

A=

7. Jika A =

dan B =

5 12 7

2

3

5

6

1 -2

3

2 1

8. Invers dari matrik P =

tentukan nilai x . y !

15 14

1 -2

. Tentukanlah (2B – 3A)T ……

-1 3 , maka determinan ( A + A ) = …..

1

-3

-4

2

-1

1

-6 -2

, Tentukan |A| !

adalah …..

4 1 9. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi system persamaan linier berikut : -2x + y = 1 7x -2y = -26 10. Jika nilai x dan y yang memenuhi persamaan 2x + y = 0 -4x -3y = 2 Maka tentukan nilai 2x + 3y ! Penilaian Penilaian Kognitif No 1 2 3 4 5 6

Aspek yang dinilai Definisi Matriks Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Operaasi Perkalian Matriks Operasi Determinan Invers matriks Menyelesaikan persamaan Dalam Bentuk Matriks Jumlah

Skor 1 s/d 20 = 60

1 s/d 5

= 40

100

Jawaban benar, alasan benar skor : 3 Jawaban salah, alasan benar skor : 2 Jawaban benar, alasan salah skor : 1 Jawaban salah, alasan salah skor : 0 Setiap jawaban essay benar, bernilai 8

68


[Type text]

Penilaian Psikomotor Skor No

Aspek yang dinilai 1

1. 2. 3.

2

3

4

Kecepatan dan Ketepatan dalam mendeskripsikan matriks Kecepatan dan Ketepatan dalam mengoperasikan Matriks Kecepatan dan Ketepatan dalam menyelesaikan permasalahan dalam bentuk matriks Jumlah

Kriteria skor : 4 = Cepat danTepat 3 = Kurang Cepat tapi tepat 2 = Cepat kurang Tepat 1 = Tidak Cepat tidak tepat Penilaian afektif No 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pernyatan

Sl

Skala Sr Jr

Tp

Siswa mengikuti Materi matriks Siswa merasa materi matriks bermanfaat Siswa berusaha mengerjakan tugas materi matriks Siswa berusaha menyerahkan tugas materi matriks dengan tepat waktu Siswa bertanya pada guru bila ada yang tidak mengerti Siswa selalu mengerjakan latiahan – latihan / tugas materi matriks Siswa selalu mendiskusikan materi matriks Siswa berusaha memiliki buku dan referensi lainnya di perpustakaan Siswa berusaha memiliki buku dan referensi lainnya di internet Jumlah

Sl = Selalu = 4 Sr = sering = 3

69

Jr = Jarang = 2 Tp = Tidak pernah = 1


[Type text]


: : : : :

Relasi dan fungsi Matematika X/1 8 x 45 menit ( 3 pertemuan ) SMK



K2


K3 K4

2. Kompetensi Dasar a. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. b. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. c. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujurdan perilakupeduliingkungan. d. Memahami daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil suatu relasi antara dua himpunan yang disajikan dalam berbagai bentuk (grafik, himpunan pasangan terurut, atau ekspresi simbolik) e. Mengidentifikasi relasi yang disajikan dalam berbagai bentuk yang merupakan fungsi.

3. Materi Belajar Relasi dan fungsi

4. Petunjuk Belajar a. Bacalah LKS Anda dengan cermat b. Kejakan setiap langkah sesuai dengan petunjuk c. Jika menemukan kesulitan dalam menyelesaikan tugas berkonsultasilah dengan guru. d. Jawablah pertanyaan-pertanyaan yang ada di LKS ini

5. Kompetensi yang ingin dicapai a. Siswa dapat tahu tentang pengertian Relasi dan fungsi b. Siswa dapat memahami daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil suatu relasi antara dua himpunan yang disajikan dalam berbagai bentuk.

70


[Type text]

c. Siswa dapat membuat hubungan relasi dengan diagram panah, Koordinat Cartesius, Himpunan pasangan berurutan.

6. Indikator a. Siswa terlibat aktif dalam proses pembelajaran b. Bekerjasama dalam kegiatan kerja kelompok. c. Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda hasilnya .

Relasi dan Fungsi

7. Pengertian Relasi 1. Relasi A. PENGERTIAN RELASI

1. 2. 3. 4.

Untuk memehami konsep relasi, perhatikan contoh berikut.diketahui dua buah himpunan,himpunan A yang beranggotakan nama-nama anak, yaitu Fajar, Yusuf, Sri Mulyani, Deri. Dan himpunan B beranggotakan jenis-jenis Olah raga, yaitu Sepak bola, Badminton ,Renang dan Tenis Meja.kedua himpunan tersebut apabila ditulis dalam bentuk himpunan, diperoleh: A = { Fajar, Yusuf, Sri Mulyani, Deri } B = { Sepak bola, Badminton ,Renang, Tenis Meja } Keempat anak tersebut diberi pertanyaan tentang kegemaran Olah raga yang mereka sukai dan diperoleh hasil sebagai berikut. Fajar suka olah raga Sepak bola. Yusuf suka olah raga Sepak bola dan badminton. Sri suka olah raga Renang. Deri suka olah raga renang dan tenis meja. Hasil tersebut dapat ditulis dalam bentuk diagram sebagai berikut.

 Fajar  Yusuf  Sri  Deri

71

 Sepak Bola  Badmin ton  Renang  Tenis Meja


[Type text]

Himpunan A dan himpunan B dalam diagram diatas mengunakan relasi yang dinyatakan dengan diagram Panah. Digram panah diatas menyatakan bahwa himpunan A berelasi “ Kegemaran olahraga “ dengan himpunan B.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pasangan atau korespondensi anggota A dengan anggota B. Daerah himpunan A disebut domain ( daerah asal). Daerah himpunan B disebut kodomain ( daerah kawan ). Isilah titik-titik agar pernyataan pernyataan dibawah ini menjadi benar! Contoh :

1. 2. 3. 4.

1. 2. 3. 4.

Gula Garam Cabai Paria

Jakarta Bandung Semarang Surabaya

72

DKIJakarta JawaBarat Jawa Tengah Jawa Timur

........................... Manis ........................... Asin ........................... Pedas ........................... Pahit

1. 2. 3. 4.

3 1 5 12

Ibu kota Ibu kota Ibu kota Ibu kota

Becak Mobil Sepeda Bajay

................................. Tiga ................................. Empat ................................. Dua ................................. Tiga

....................................... 9 ....................................... 3 ....................................... 15 ...................................... 36


[Type text]

Perhatikan contoh diatas “ Ibu Kota “adalah Relasi antara himpunan bilangan bilangan disisi kiri dan kanan.sekarang apa yang kalian isikan pada nomor 1-4 ? 1. ................................................................................................................. 2. ................................................................................................................. 3. ................................................................................................................. 4. ................................................................................................................. Dari contoh contoh relasi diatas , diskusikan dengan teman sekelompokmu untuk membahas pengertian relasi.

RELASI adalah : ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ..........................................................................................................………..…… ……………………………………………………………………………………………………………………… …………................................................................................................................ ........... B. MENYATAKAN RELASI HIMPUNAN DENGAN DIAGRAM PANAH Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah: a. Membuat dua lingkaran atau ellips b. Untuk meletakkan anggota himpunan A dananggota himpunan B x = A diletakkan pada Lingkaran A dan y = B diletakkan pada lingkaran B c. x dan y dihubungkan dengan anak panah d. Arah anak panah menunjukkan arah relasi e. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi Relasi dapat dinyatakan dengan diagram panah yaitu:

Jakarta

 DKI Jakarta

Bandung

 Jawa Barat

Surabaya

 Jawa Timur  Jawa Tengah

Semarang

73


[Type text]

Latihan Soal 1 1.

Diketahui ada 5 anak yang gemar bermain olah raga yaitu a. Andy gemar bermain volly b. Budi gemar bermain basket c. Candra gemar bermain volley dan tenis d. Dono gemar bermain catur e. Endro gemar bermain basket Sekarang nyatakan soal diatas dengan diagram panah Jawab : .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................

C. MENYATAKAN RELASI DUA HIMPUNAN DENGAN KOORDINAT CARSTESIUS

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan koordinat cartesius a. Pada diagram cartesius di perlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus. b. x=A diletakkan pada sumbu mendatar c. y=B diletakkan pada sumbu tegak d. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)

Relasi pada contoh diatas dapat dinyatakan dengan diagram Cartesius yaitu

Bandung Surabaya Semarang Jakarta DKI Jakarta

74

Jawa timur Jawa Barat

Jawa tengah


[Type text]

Latihan Soal 2

1.

Diketahui dua himpunan bilangan A = {4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan A ke himpunan B adalah "lebih dari", gambarkan diagram Cartesiusnya Jawab ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... D. MENYATAKAN RELASI DUA HIMPUNAN DENGAN PASANGAN BERURUTAN Relasi pada contoh diatas dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan yaitu: R = { ( Jakarta,DKI Jakarta), ( Bandung, Jawa Barat), (Semarang, Jawa Tengah), (Surabaya, Jawa Timur)}

Latihan Soal 3 Sekarang nyatakan soal dibawah ini dengan Himpunan Pasangan berurutan. 1. Diketahui dua himpunan bilangan P = {0, 2, 4, 6, 8} dan Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan P ke himpunan Q adalah "dua kali dari", tentukan himpunan pasangan berurutan untuk relasi tersebut ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... 1.

FUNGSI ATAU PEMETAAN Untuk memahami pengertian fungsi, perhatikan gambar berikut.

1.

1.

A

4

2.

2.

B

5

3.

3.

C

6

A

B

T

7 P

(i)

75

( ii )


[Type text]

Pada gambar ( i ) dapat dilihat bahwa setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri demikian disebut dengan fungsi atau pemetaan. Pada gambar ( ii ) dapat dilihat bahwa sebuah anggota himpunan T berpasangan dengan dua anggota himpunan P. Dalam hal demikian relasi pada gambar ( ii ) bukan merupakan Fungsi. Dari uraian contoh gambar diatas , diskusikan dengan teman sekelompokmu untuk membahas pengertian Fungsi atau pemetaan. FUNGSI / PEMETAAN adalah : .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ...........................................................................

Contoh Soal 1. Diketahui fungsi ( )

dengan

*

+

Tentukan hasil: a. Daerah asal b. Daerah hasil c. Grafikny Penyelesaian : a. Daerah asal A = { 0, 1 , 2, 3,4} b. ( ) f(0) = 2.0 +5 = 5 f(1) = 2.1 + 5 = 7 f(2) = 2.2 + 5 = 9 f(3) = 2.3 + 5 = 11 f(4) = 2.4 + 5 = 13 daerah hasil adalah = { 5, 7, 9, 11, 13}

76


[Type text]

c. Grafik F (X) 13 11 9 7 5

0

1

2

3

4

2. Diketahui fungsi f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan a. f (1), b. f (2), c. bayangan (–2) oleh f, d. nilai f untuk x = –5, e. nilai x untuk f (x) = 8, f. nilai a jika f (a) = 14. Jawab : Diketahui f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Dengan demikian rumus fungsinya f (x) = 2x –2. a. f (1) = 2 (1) – 2 = 0 b. f (2) = 2 (2) – 2 = 2 c. Bayangan (–2) oleh f sama dengan f (–2). Jadi, f (–2) = 2 (–2) – 2 = –6 d. Nilai f untuk x = –5 adalah f (–5) = 2 (–5) – 2 = –12 e. Nilai x untuk f (x) = 8 adalah 2x – 2 = 8 2x = 8 + 2 2x = 10 x=5 f. Nilai a jika f (a) = 14 adalah 2a – 2 = 14 2a = 14 + 2 2a = 16 a=8

77


[Type text]

Latihan Soal a. Diketahui fungsi * b.

dengan +

Tentukan hasil: a. Daerah asal b. Daerah hasil c. Grafiknya ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. MACAM-MACAM FUNGSI Dalam matematika terdapat bermacam-macam fungsi, dua diantaranya sebagai berikut A. Fungsi konstan Fungsi konstan dapat dirumuskan ( ) untuk setiap ( ). ( c=konstanta, D(f) = domain ) Contoh :

F (x)= 2, berapapun nilai x maka nilai fungsinya tetap 2.

Y 2

x

78


[Type text]

B. Fungsi Identitas Fungsi identitas memetakan setiap ( ) ke dirinya sendiri dan dirumuskan ( ) Contoh : f(X) = x, maka f(2) = 2, f(5) = 5, f(-2) = -2

5

2 -2

2

5

-2

C. SIFAT-SIFAT FUNGSI Berikut Ini Merupakan Sifat Fungsi Untuk memahami sifat fungsi perhatikan gambar berikut 1. Fungsi onto

f

1 2.

a. . b. . c. . d.

Fungsi Injektif 2

f

3 1

a. .

2

b. .

(B)

c. .

3

d.

4 (A)

79

(A)

(B)


[Type text]

3.

Fungsi surjektif

4. Fungsi Bijektif

f 1 2

a. .

3 4

1

a. .

2

b. .

3

c. d. e.

b. .

c. .

(A) (A)

(B)

(B)

Dari gambar diatas , diskusikan dengan teman sekelompokmu untuk membahas.

1. Apa yang disebut fungsi onto

:

................................................................................................................................... 2. Apa yang disebut fungsi injektif

:

..................................................................................................................................... 3. Apa yang disebut fungsi surjektif : .................................................................................................................................... 4. Apa yang disebut fungsi bijektif

:

...........................................................................................................................................

12. TugasdanLangkahKerja a. Diberikan suatu permasalahan sebagai berikut: Dalam rangka memperingati HUT RI ke – 67 di Kota Sukabumi, SMk Plus Bina Teknik akan mengirimkan siswanya untuk mengikuti pertandingan antar SMk untuk pertandingan sepak bola, bola voli, bulutangkis, tenismeja, dan catur. terdapat 6 orang siswa (Banu, Wahyu, Sukmara, Kurniawan, Azhar, dan Faisal). Pasangkanlah siswa dengan pertandingan yang akan diikuti dengan ketentuan sebagai berikut. 1) Banu ikut pertandingan sepak bola dan bola voli, wahyu ikut pertandingan bulutangkis, sukmara ikut pertandingan catur, kurniawan ikut pertandingan bola voli, azhar ikut pertandingan tenis meja dan faisal ikut pertandingan tenis meja.

80


[Type text]

2) Kurniawan ikut pertandingan bola voli, sukmara ikut pertandingan catur, wahyu ikut pertandinganbulutangkis, azhar dan faisal ikut pertandingan bola voli. 3) Banu dan sukmara ikut pertandingan sepak bola, wahyu ikut pertandingan bulutangkis, kurniawan ikut pertandingan bola voli, azhar dan faisal ikut pertandingan tenismeja. 4) Kurniawan ikut pertandingan catur, wahyu, banu dan faisal ikut pertandingan sepak bola. 5) Keenam siswa ikut pertandingan sepak bola. 6) Faisal akan mengikuti seluruh pertandingan. b. Diberikan suatu permasalahan seperti yang telah disajikan diatas, kemudian tentukan: - Relasi yang mungkin, - Domain, - Kodomain, - Range - Diagram Panah - HimpunanPasanganBerurutan - Diagram Kartesius

13. Penilaian : a. PenilaianKognitif No Aspek Yang Dinilai 1 Ketepatan Menganalisa 2 Ketepatan Menjawab 3 Sistematika Jawaban 4 Sharing Pendapat dalam Kelompok Ketepatan Menghubungkan butir soal dengan butir soal 5 lain

Skor

Kriteria Skor : Jawaban tepat dan lengkap = 25 Jawaban yang kurang tepat dan lengkap = 15 Jawaban kosong =0 b. Penilaian Psikomotor Untuk penilai psikomotor, guru memperhatikan setiap aktivitas siswa dalam memecahkan masalah baik secara individu maupun kelompok. Skor No Aspek Yang Dinilai 1 2 3 4 1 Kecepatan menjawab 2 Kerapihan kerja 3 Keterampilan menggunakan alat tulis (pulpen, pencil, dan penggaris) 4 Keterampilan berbicara saat berdiskusi Jumlah Kriteriaskor : 4 = Sangat rapi / sangat cepat / sangat tepat 3 = rapi / cepat / tepat 2 = kurang rapi / kurang cepat / kurang tepat

81


[Type text]

1= tidak rapi / tidak cepat / tidak tepat c. PenilaianAfektif N Aspek Yang Dinilai o 1 Mengeluarkan pendapat dalam kelompok 2 Menerima pendapat orang lain dalam kelompok 3 Teliti dan Pantang menyerah dalam memecahkan permasalahan 4 Mampu bekerjasama dengan orang lain dalam kelompok Jumlah Kriteriaskor: 4 = Selalu 3 = Sering 2 = Jarang 1 = Tidak Pernah

Skor 1 2

3

4

A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat ! 1. Diketahui sebuah himpunan pasangan berurutan = {(Jakarta, Indonesia), (Kuala Lumpur, Malaysia), (Roma, Italia), (Madrid, Spanyol), (Bangkok, Thailand)}. relasi yang mungkin dari pernyataan diatas adalah … a. Lebih luas dari b. Kota dari c. Ibu kota dari 2. Perhatikan Diagram Panah dibawah ini ! A B 1 0 4

1

9

2

16

3

d. Tempat wisata dari e. Negara dari

4 5

3. Relasi yang mungkindari pernyataan adalah … a. Akar pangkat dari d. Hasil pangkat dua dari b. Hasil pangkat tiga dari e. Hasil kali dari c. Pangkat akar dari 4. Dari soal No. 2, domain dan kodomain berturut – turut adalah … a. { 1, 4, 9, 16 } dan { 1, 2, 3, 4 } b. { 1, 2, 3, 4 } dan { 1, 4, 9, 16 }

82


[Type text]

c. { 1, 4, 9, 16 } dan { 0, 1, 2, 3, 5,} d. { 0, 1, 2, 3, 4, 5,} dan { 1, 4, 9, 16 } e. { 1, 9, 16 } dan { 0, 4, 9, 16 } 5. Dari soal No. 2, daerah hasil atau range adalah … a. { 1, 4, 9, 16 } b. { 1, 4, 9, 16, 25 } c. { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } d. { 1, 2, 3, 4 } e. { 0, 4, 9, 16 } 6. Manakah diantara himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan fungsi ? a. { (1,2) , (2,3) , (3,4) , (2,5) , ( 4,6) } b. { (1,2) , (2,4) , (3,4) , (4,5) , ( 5,6) } c. { (1,2) , (2,3) , (3,3) , (4,4) , (2,4) } d. { (1,2) , (2,2) , (1,4) , (2,6) , ( 4,6) } e. { (1,2) , (2,1) , (5,4) , (5,5) , ( 6,4) }

83


[Type text]

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat !

1. Relasi A ke B adalah akar dari. himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } dan B = { 1, 3, 4, 7, 9, 14, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49 }. tentukan : a. Domain b. Kodomain c. Range d. Diagram Panah e. Himpunan Pasangan Berurutan f. Diagram Kartesius 2. Sekumpulan anak yang terdiri atas 5 orang yaitu (margono, marsius, maradoona, marisa, martohap) berturut – turut berusia 6, 7, 9, 10, dan 11 tahun. Pasangkanlah usia masing – masing anak pada bilangan prima kurang dari 15. tentukan : a. Apakah semua anak dapat dipasangkan b. Domain c. Kodomain d. Range e. Diagram Panah f. Himpunan Pasangan Berurutan g. Diagram Kartesius 3. Diketahuif(x) = 2x - 10, tentukan : a. f (2) b. f(-5) c. f (8) d. bayangan dari 12 e. bayangan dari 29 4. Diketahui fungsif :x → f(x) dengan rumus fungsi f(x) = px – q. jika f(1) = -3 dan f(4) = 3. Tentukanlah nilai p dan q, kemudian tuliskanlah rumus fungsinya !

84

LKS Matematika MGMK SMK Kota Sukabumi 2014

[Type text]


JJJ

: Barisan dan Deret : Matematika :X/1 : 6 x 45’ (3 pertemuan) : SMA/SMK



K2


K3 K4

2. Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu: 1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, ber-tanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari; 2. Memprediksi pola barisan dan deret aritmetika dan geometri atau barisan lainnya melalui pengamatan dan memberikan alasannya; Menyajikan hasil menemukan pola barisan dan deret dan penerapannya dalam penyelesaian masalah sederhana.

3. Indikator Siswa dapat : a. b. c. d. e. f. g. h.

Mengidentifikasi pola bilangan dan pola geometris Menemukan unsur-unsur pada pola bilangan Mengidentifikasi jenis-jenis barisan bilangan Menentukan barisan aritmetika Menentukan barisan geometri Siswa dapat mengidentifikasi jenis-jenis deret bilangan Siswa dapat menentukan deret aritmetika Siswa dapat menentukan deret geometri

4. Petunjuk Belajar a. Bacalah LKS dengan cermat b. Kerjakan setiap langkah sesuai ketentuan c. Jika menemukan kesulitan dalam menyelesaikan LKS berkonsultasilah dengan guru. 85


[Type text]

5. Pola Barisan dan Deret Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek Pola bilangan yaitususunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu.

Contoh 1. Gambar di bawah ini menunjukkan pola suatu barisan yang disusun dari batang korek api.

(1) (2) (3) Banyak korek api pada pola berikutnya adalah... Jawab Pola (1) = 7 korek api Pola (2) = 11 korek api Pola (3) = 15 korek api, pola selanjutnya

= (15+4), (19+4), (23+4), ... = 19 , 23 , 27 , ...

2. Rumus suku ke-n dari barisan 1, 6, 15, 28,... adalah... Jawab n (2n – 1)

Latihan 1. Perhatikan gambar bola-bola dibawah ini! … … … 3 5 7 a. Apakah gambar di atas membentuk suatu pola? Disebut apakah pola seperti di atas ? b. Buatlah 3 gambar berikutnya dengan cara mengikuti pola di atas! Jawab: ………………………………………………………………………………………… 2. Perhatikan kotak-kotak dibawah ini !

1 4 9 …. …. …. a. Apakah gambar di atas membentuk suatu pola? Disebut apakah pola seperti di atas ? b. Buatlah 3 gambar berikutnya dengan cara mengikuti pola di atas!

86


[Type text]

Jawab: ………………………………………………………………………………………………

3. Perhatikan gambar bola-bola di bawah ini !

3

6

…

…

…

Apakah gambar diatas membentuk suatu pola? Disebut apakah pola seperti di atas? Buatlah 3 gambar berikutnya dengan cara mengikuti pola di atas! Jawab: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………… 4. Sediakan satu lembar kertas, kemudian lipatlah sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas ? Jawab: …………………………………………………………………………………………

6. Barisan dan Deret Aritmetika A. BARISAN ARITMATIKA Suatu barisan U 1 ,U 2 , U 3,.......,U n  1,U n disebut barisan Aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan " b ". Jadi b = U 2  U 1  U 3  U 2  U n  U n  1 Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah : a, a + b , a + 2b, ........,a + ( n – 1 ) b Apabila semua suku – suku barisan aritmatika dijumlahkan, maka akan berbentuk deret aritmatika. Sehingga bentuk umum deret aritmatika adalah : a + ( a + b ) + ( a + 2b ) + ......, { a + ( n – 1 )b } Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyak suku, dan b menyatakan beda maka : 1. Suku ke-n barisan aritmatika ( U n ) dirumuskan sebagai :

U n  a  ( n  1)b 2. Jumlah n suku pertama deret aritmatika ( S n ) dirumuskan sebagai :

n n S n  ( a  U n ) atau S n  ( 2a  ( n 1)b ) 2 2

87


[Type text]

3. Untuk n ganjil maka suku tengah barisan aritmatika ( U t ) dirumuskan sebagai :

1 U t  ( a U n ) 2

Contoh 1. Tunjukan bahwa barisan berikut ini adalah barisan aritmatika ! 8, 4, 0,.... log 2, log4, log8,....

x 2  2 x, 2 x 2  3x, 3x 2  4 x,.... Jawab: Kita harus menentukan beda dari masing – masing barisan diatas a. U 2 U 1  4  8   4

U 3 U 2  0  4   4 Karena U 2  U 1  U 3  U 2   4 maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika. 4 b. U 2  U 1 = log 4 – log 2 = log   = log 2 2 8 U 3  U 2 = log 8 – log 4 = log   = log 2 4 Karena U 2  U 1   U 3  U 2  log 2 maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika. 2 2 2 c. U 2  U 1 = ( 2x - 3x ) – (x - 2x ) = x - x

U 3  U 2 = ( 3x 2 - 4x ) – ( 2x 2 - 3x ) = x 2 - x 2 Karena U 2  U 1   U 3  U 2  x - x, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

2.

Tentukan suku pertama, beda dan rumus suku ke n dari barisan aritmatika 3, 8, 13, ..... Jawab a = 3, b = 8 – 3 = 5 sehingga : Un = a + ( n – 1 ) b =3+(n–1)5 = 3 + 5n – 5 = 5n – 2

3.

Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15,..... a. tentukan suku ke – 10 dan rumus suku ke – n barisan tersebut ! b. suku keberapakah yang nilainya sama dengan 83 ? Jawab Diketahui ; a = 3, b = 7 – 3 = 4 n = 10

U n  a  ( n 1) b U 10 = 3 + ( 10 – 1 ) 4 = 3 + 36 = 39 Dan rumus suku ke n barisan tersebut adalah 83, maka berlaku Un = a + ( n – 1 ) b =3+(n–1)4 = 3 + 4n – 4 = 4n – 1 88


[Type text]

Misalkan suku ke n barisan tersebut adalah 83, maka berlaku

U n = 83 4n – 1 = 83 4n = 84 n = 21, Jadi 83 dalam barisan tersebut merupakan suku ke 21. Pada suatu barisan aritmatika diketahui bahwaa suku ke-3 adalah 8 dan suku ke-9 adalah 26. Tentukan : Suku pertama dan beda barisan tersebut! Rumus suku ke-n barisan tersebut Jawab a. U3 = 8  a + 2b = 8 U9 = 26 

a  8b  26  6b   18

b=3 Untuk b = 3 maka berdasarkan (1) diperoleh a = 2 Jadi suku pertama dan beda barisan a = 2 dan b = 3. b. Berdasarkan hasil diatas diperoleh : Un = a + ( n – 1 ) b =2+(n–1)3 = 2 + 3n – 3 = 3n – 1 Jadi rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 3n – 1 B. DERET ARITMATIKA Jika U1, U2, U3,………..Un adalah barisa aritmatika, maka jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah : Sn =

n n ( a + u n ) atau Sn = ( 2a + ( n -1)b ) 2 2

Dengan : Un adalah suku ke-n a adalah suku pertama b adalah beda dan berlaku hubungan : Un = Sn – Sn – 1

Contoh Diketahui barisan aritmatika 3,7,11,15….. tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan tersebut tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan tersebut Jawab: Dari barisan tersebut diperoleh a = 3 dan b = 7-3 = 4 Rumus jumlah n suku pertama adalah Sn =

n ( 2a + ( n – 1 ) b ) 2

89


[Type text]

n ( 6 + ( n-1 ) 4 ) 2 n Sn = ( 6 + 4n – 4 ) 2 n Sn = ( 4n + 2 ) = 2n2 + n 2 Sn =

Jumlah 20 suku pertama adalah Sn = 2n2 + n S20 = 2.202 + 20 = 800 + 20 = 820 Hitunglah nilai dari : 3 + 5 + 7 +…..+ 155 Jawab: Barisan aritmatika yang bersesuaian dengan barisan 3 + 5 + 7 +…..+ 155 mempunyai suku pertama a = 3, beda b = 5-3 = 2, dan siku ke-n Un = 155, maka banyaknya suku dapat dicari dengan cara : Un = 155 a + ( n – 1 )b = 155 3 + ( n – 1 )2 = 155 3 + 2n – 2 = 155 2n + 1 = 155 2n = 154 n = 77 sehingga

n ( a + Un ) 2 77 Sn = ( 3 + 155 ) 2 Sn =

= 77.( 79 ) = 6083 Jadi 3 + 5 + 7 +…..+155 = 6083 Tentukan jumlah semua bilangan asli kurang dari 500 yang habis dibagi 3 Jawab Bilangan yang kurang dari 500 yang habis dibagi 3 membentuk barisan aritmatika 3, 6, 9…..498. Sehingga dari barisan tersebut diketahui a = 3, b = 6-3 = 3, Un = 498, maka : Un = 498 a + ( n-1 )b = 498 3 + ( n-1 )3 = 498 3 + 3n-3 = 498 3n = 498 n = 166 Dengan demikian jumlah semua bilangan dalam barisan aritmatika diatas adalah 41583. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah S n = 2n2 + 3n Tentukan suku ke-5 dari barisan aritmatoka tersebut! Tentukan rumus siku ke-n dari barisan aritmatika tersebut 90


[Type text]

Jawab: Suku ke-5 dari barisan aritmatika adalah Un = S5 – S4 = [ 2(5)2 + 3(5) ] – [ 2(4)2 + 3(4) ] = 65 – 44 = 21 Jadi suku ke-5 barisan tersebut adalah U5 = 21 Untuk mencari rumus suku ke-n barisan tersebut pertama cari dulu rumus S n – 1 yaitu Sn – 1 = 2 ( n-1 ) + 3( n-1 ) = 2( n2 – 2n + 1 ) 3n – 3 = 2n2 – n – 1 Sehingga Un = Sn – Sn-1 = 2n2 + 3n – (2n2 – n – 1) = 4n + 1

Latihan

Perhatikan tumpukan apel di samping ini. Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak buah dalam satu tumpukan? Penyelesaian: Suku ke-1 =U1 = … Suku ke-2 = U2 = … + … Suku ke-3 = U3 = …+…+… Suku ke-4 = U4 = …+…+…+… Suku ke-5 = U5 = …+…+…+…+… Jika diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku pertama adalah a, selisih antara dua suku yang berurutan adalah b, maka tentukan rumus untuk suku ke-n atau Un Penyelesaian: Suku ke-1 = U1 = a Suku ke-2 = U2 = a + b Suku ke-3 = U3 = …+…+… = …+… Suku ke-4 = U4 = …+…+… = …+ …

 Suku ke-I = Ui = …+…

 Suku ke –n = Un = …+… Selidikilah manakah dari barisan berikut ini yang merupakan barisan aritmatika a. 6, -6, -18

b.

3 3 , ,3 4 2

Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 91


[Type text]

4. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n dari tiap barisan aritmatika berikut ini ! a. 1, 4, 7, 10…. b. 9, 7, 5, 3…. Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 5. Tentukan nilai suku yang ditanyakan ( dalam kurung ) dari barisan aritmatika berikut ini ! a. 3, 8, 13…….( U21 ) b. 2, -11, -24,……( U15 ) Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 6. Ditentukan bilangan asli yang kurang dari 250. Tentukan banyaknya bilangan asli tersebut yang habis dibagi 3 ! Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 7. Untuk tiap barisan aritmatika berikut ini, tentukan nilai m dan n a. 16, m, 27, n….. b. 22, m , n, 37….

Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 8. Diketahui barisan aritmatika 3,8,13……,283. Tentukan suku tengah barisan tersebut dan merupa kan suku keberapa ? Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 9. Diantara bilangan 21 dan 117 disisipkan 11 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan beda dan suku ke10 dari barisan tersebut. Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 10. Hitunglah tiap jumlah berikut ini ! a. 2 + 4 + 6 +……+ 50

b. 150 + 145 + 140 +….+ 5

Jawab: ………………………………………………………………………………………………

7. Barisan dan Deret Geometri A. BARISAN GEOMETRI Barisan geometri adalah suatu barisan dimana perbandingan setiap dua suku yang berurutan selalu tetap. Perbandingan yang tetap tersebut disebut sebagai pembanding atau rasio dan disimbolkan dengan r Pada barisan geometri U1, U2, U3,…,Un berlaku r =

92

U U2 U3    n U1 U 2 U n 1 LKS Matematika MGMK SMK Kota Sukabumi 2014

[Type text]

Contoh Selidikilah apakah barisan berikut ini merupakan barisan geometri? 3, 6, 9,… 2p, 6p2, 18p3,… Jawab: a.

U2 6  2 U1 3 U2 9 3   U1 6 2 Karena

b.

U2 U3  , maka barisan tersebut bukan merupakan barisan geometri. U1 U 2

U2 6 p2  3p U1 2 p U 2 18 p 3  3p U1 6 p 2 U U Karena 2  3 , maka barisan tersebut merupakan barisan geometri. U1 U 2

Rumus umum suku ke-n barisan geometri yang mempunyai suku pertama a dan rasio r adalah Un = a rn-1 Diketahui barisan geometri 256, -128, 64,….. Tentukan rasio dan rumus suku ke-n barisan tersebut Suku keberapa yang nilainya sama dengan -2 Jawab Barisan geometri 256, -128, 64,….mempunyai suku pertama a = 256 dan rasio r=

 128 1   , sehingga rumus suku ke-n barisan tersebut adalah 256 2

Un = a rn-1 Un = 256 x ( 

1 n-1 ) 2

Jadi barisan geometri tersebut mempunyai rasio r =  Un = 256 x ( 

1 n-1 ) 2

Dari rumus Un = 256 x ( 

93

1 dan suku ke-n, 2

1 n-1 ) dan Un = -2, maka 2


[Type text]

-2 = 256 x ( 

1 n-1 ) 2

2 1 = (  )n-1 256 2 1 1  = (  )n-1 128 2 1 1 (  )7 = (  )n-1 2 2 

n-1 = 7 n=8 Sehingga -2 adalah suku ke-8 Suku ke-5 suatu barisan geometri adalah 12 dan suku ke-10 adalah 384. Tentukan suku ke-7 barisan tersebut ! Jawab: U5 = 12  ar4 = 12 ……(1) U10 = 384  ar9 = 384 ……(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

ar 9 384  ar 4 12 r5 = 32 r =2 Dari persamaan (1) diperoleh r = 2, maka : 16a = 12 a=

3 4

Sehingga U7 = ar6

3 6 x2 4 3 = x 64 4 =

= 48 Jadi suku ke-7 barisan tersebut adalah 48

Latihan 1.

Tentukan rasio, dan suku ke-8 dari barisan geometri : 4, 8, 16, 32,... Jawab : ....................................................................................................................................

2.

Diketahui barisan geometri Un = 12 dan Un+3 = 96. Tentukan nilai dari Un+1 Jawab : ........................................................................................................................................

3.

Hitung jumlah dari deret geometri : 1 + 4 + 16 + ... + 1024 94


[Type text]

Jawab : .......................................................................................................................................... 4.

Diketahui deret , suku ke-5 = 15 dan suku ke-7 = 135. Tentukan rasionya Jawab : .............................................................................................................................................

5.

Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian. Bagian yang terpendek panjangnya 6 cm dan bagian yang terpanjang panjangnya 192 seperti halnya deret geometri. Tentukan panjang tali sebelum dipotong-potong. Jawab : ......................................................................................................................................

6.

Selidiklah apakah barisan berikut ini merupakan barisan geometri 4, 6, 9, …

3 3 9 , , , 4 2 4 Jawab: …………………………………………………………………………………… 7. Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari tiap barisan geometri berikut a. 5, 10, 20

b. 2, -4, 8,….

c. 2, 2 3 , 6,….

d.

1 1 1 , , ,...... 2 6 18

Jawab: ……………………………………………………………………………………… 8. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 3 dan suku ke-4 sama dengan 6 2 .Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut. Jawab: …………………………………………………………………………………………… 9. Diketahui barisan geometri

2 ,  2, 2 2 ,......

Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut Suku keberapa yang nilainya sama dengan 256 ? Jawab: …………………………………………………………………………………………… 95


[Type text]

10. Pada suatu barisan geometri diketahui jumlah suku ke-2 dan suku ke-3 adalah 6 dan jumlah suku ke3 dan ke-4 adalah 24. Tentukan rasio barisan tersebut ! Jawab: ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………… DERET GEOMETRI Jika U1, U2, U3,……Un adalah barisan geometri, maka jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah :

Sn 

a ( r n 1) , r  1, dengan a adalah suku pertama dan r adalah rasio. r 1

Hubungan Un dan Sn adalah Un = Sn – Sn-1

Contoh Diketahui barisan geometri 1,2,4,8,….. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan tersebut Tentukan jumlah 10 suku pertama barisan tersebut Jawab Dari barisan geometri 1,2,4,8,….diperoleh a = 1 dan r = 2 Rumus jumlah n suku pertama adalah

Sn 

a ( r n 1) r 1

Sn =

1( 2 n 1) 2 1

= 2n – 1 Jumlah 10 suku pertama adalah Sn = 2n -1 S10 = 210 – 1 S10 = 1023 Tentukan nilai n yang memenuhi 1+3+9+……+3n-1 = 364 Jawab Barisan geometri yang bersesuaian dengan penjumlahan tersebut mempunyai n suku dengan suku pertama a = 1 dan r = 3. Sehingga Sn = 364

a ( r n 1) Sn = r 1 1( 3n 1) 364 = 3 1 96


[Type text]

364 =

3 n 1 2

728 = 3n – 1 729 = 3n 36 = 3 n n =6 Jadi nilai n yang memenuhi adalah n = 6

Latihan Tentukan jumlah 7 suku pertama dari tiap barisan geometri dibawah ini 2, 4, 8,….. c. 2, -6, 18, -54,….. b. 2,

4 8 , ,...... 3 9

d. 1, 

3 9 , ,..... 4 16

Jawab: …………………………………………………………………………………………………… 2. Diketahui barisan geometri dengan rumus suku ke-n adalah Un = 2 x 2n-1 dengan n bilangan asli a. Tentukan suku pertama dan rasio barisan tersebut ! b. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan tersebut Jawab: ……………………………………………………………………………………………………… 3. Suatu barisan geometri mempunyai suku pertama 2 rasio -3. Jika jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah Sn = 1094, maka tentukan nilai n! Jawab: …………………………………………………………………………………………………… Diketahui barisan geometri Un = 12 dan Un+3 = 96. Tentukan nilai dari Un+1! Jawab: …………………………………………………………………………………………………… Hitung jumlah dari deret geometri : 1 + 4 + 16 + ... + 1024 Jawab : .......................................................................................................................................... 4. Diketahui deret , suku ke-5 = 15 dan suku ke-7 = 135. Tentukan rasionya Jawab : ............................................................................................................................................. 5. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian. Bagian yang terpendek panjangnya 6 cm dan bagian yang terpanjang panjangnya 192 seperti halnya deret geometri. Tentukan panjang tali sebelum dipotongpotong. Jawab : ...................................................................................................................................... 97


[Type text]

8. DERET GEOMETRI TAK HINGGA 1. Jika | r | < 1, maka a + ar 2 +…..= Sn = Sα =

a disebut deret geometri tak hingga kovergen 1 r

atau memiliki limit jumlah 2. Jika | r |  1, tidak mempunyai limit jumlah dan disebut sebagai deret geometri tak hingga diveregen

Contoh 1. Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga berikut a. 4 + 2 + 1 +

1 ,….. 2

b. 2 -

1 2 2   ,.... 3 9 27

Jawab a. Dari deret 4 + 2 + 1 +

1 1 ,...., diperoleh a = 4 dan r = sehingga | r | < 1.Jadi 2 2

a 4  8 1 1 r 1 2 1 2 2 1 ,....diperoleh a = 2 dan r =  sehingga | r | < 1. Jadi b. Dari deret 2 -   3 9 27 3 a 2 3 Sα =   1 1 r 2 1 3 Latihan Sα =

Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut 1.

1

2 4   ..... 10 100

Jawab: ……………………………………………………………… 2.

1

1 2

3.



1  ..... 2

Jawab: …………………………………………………………………………………………… Sebuah bola dijatuhkan kelantai dari ketinggian 2 m. Setiap kali setelah menentukan bola tersebut mencapai ketinggian

3 dari ketinggian sebelumnya. Hitunglah panjang lintasan yang 4

dilalui bola tersebut sampai berhenti. Jawab: …………………………………………………………………………………………

98


[Type text]

Tugas Mandiri A.Berilah Tanda Silang(X) Pada huruf a,b,c,d atau e pada jawaban yang paling benar! 1. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah…. a. 840 B.660 C.640 D.630 E.3 2.

Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah… buah. a. 60 B.65 C.70 D.75 E.80

3. Seorang anak menabung di suatu bnk dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan nak tersenut selama dua tahun adalah …. Rp.1.315.000,00 C.Rp.1.320.000,00 E. Rp.2.640.000,00 Rp. 2.040.000,00 D.Rp. 2.580.000,00 4. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah …. 3.250 B.2.650 C.1.625 D.1.325 E.1.225 5. Suku ke – n suatu deret aritmetika Un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah …. Sn = n/2 ( 3n – 7 ) C.Sn = n/2 ( 3n – 5 ) E.Sn = n/2 ( 3n – 2 ) Sn = n/2 ( 3n – 4 ) D.Sn = n/2 ( 3n – 3 ) 6. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = n/2 ( 5n – 19 ). Beda deret tersebut adalah …. –5 B.– 3 C.– 2 D.3 E.5 7. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …. 49 B.50 C.60 D.95 E.98 8. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n2 + 5/2n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …. 11/2 B.–2 C.2 D.5/2 E.11/2 9. Dari deret aritmetika diketahui suuku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah …. 17 B.19 C. 21 D. 23 E. 25 10. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ? 99


[Type text]

Rp. 20.000.000,00 Rp. 33.750.000,00

C. Rp. 25.312.500,0000 D. Rp. 35.000.000,00

E. Rp. 45.000.000,00

B.Kerjakan dengan benar soal-soal di bawah ini! 1. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memnatul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah Jawab: …………………………………………………………………………………………………… 2. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm. Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 3. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian4/5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m. Jawab: ……………………………………………………………………………………………………… 4. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …. jawab: ………………………………………………………………………………………………………

Penilaian Aspek Penilaian Kognitif No Aspek yang dinilai 1. Penggunaan konsep yang sesuai 2. Langkah-langkah penyelesaian yang sistematis

100

Skor


[Type text]

Aspek Penilaian Afektif No 1 2 .3 4 5 .6 7 .8 9

Pernyataan

Sl

Skala Sr Jr Tp

Siswa mengikuti pelajaran matematika Siswa merasa pelajaran matematika bermanfaat Siswa berusaha menyerahkan tugas tepat waktu Siswa berusaha memahami pelajaran matematika Siswa bertanya pada guru bila ada yang tidak mengerti atau jelas Siswa selalu mengerjakan soal-soal latihan di rumah Siswa selalu mendiskusikan materi bagaimana cara mencari rumus suku ke-n dari barisan dan deret Siswa berusaha memiliki buku Siswa berusaha mencari referensi di perpustakaan Jumlah

kriteria skor: Sl (selalu) Sr (sering) Jr (jarang) Tp (tidak pernah)

= 4 = 3 = 2 =1

Aspek Penilaian Psikomotor Pernyataan 1. 2. 3.

1

2

Skor 3

4

Kecepatan menyelesaikan permasalahan Kecermatan menyelesaikan permasalahan Sistematika penyelesaian masalah Jumlah

Kriteria skor: 4 = Sangat cepat/ sangat cermat/ sangat sistematis 3 = Cepat/ cermat/ sistematis 2 = Kurang cepat/ kurang cermat/ kurang sistematis 1 = lambat/ tidak cermat/ tidak sistematis

101


[Type text]

DAFTAR PUSTAKA

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia, 2013, Matematika SMA/MA Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Abdurahman , Maman. 2004. Kurikulum2004,Bandung:Amico

Memahami

Matematika

SMK

untuk

Tingkat

1

kelas X,

Berdasarkan

Kasmina, Toali, 2013, Matematika untuk SMK/MAK Kelas X (Kurikulum 2013),Jakarta: Erlangga Tim Presiden Eduka,2014, Mega Bank Soal Matematika dan Fisika SMA Kelas 1,2 dan 3, Jakarta: CMedia(AG) Sanjoyo, Bandung Arry, 2008, Matematika Bisnis dan Manajemen SMK jilid 1, Jakarta: Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan, Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen Pendidikan Nasional To’ali, 2008, Matematika X Sekolah Menengah Kejuruan Kelompok Penjualan dan Akuntansi, Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

102


SMA Kelas X semester 1

Recommend Documents