MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II

MODUL MATEMATIKA

KELAS X SEMESTER II

MAYA KURNIAWATI SMA NEGERI 1 SUMBER

TRIGONOMETRI Standar Kompetensi : Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :



Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.



Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.



Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, dan penafsirannya.

BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu anda juga mempelajari trigonometri, dan bentuk-bentuk

identitas

persamaan trigonometri.

B. Prasyarat Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah

anda harus sudah mempelajari

bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga.

C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut. 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut, 2. Menggunakan perbandingan trigonometri, 3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, 4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub, 5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus, 6. Menentukan luas segitiga, 7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,

BAB II PEMBELAJARAN

A. PENGUKURAN SUDUT DENGAN UKURAN DERAJAT DAN RADIAN A.1 Definisi Sudut Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis yang berpotongan atau perputaran suatu titik tertentu ke titik tertentu lainnya terhadap pusat perputaran. B

A O Ruas garis OA diputar terhadap titik pusat O ke garis OB. Sehingga diperoleh sudut AOB ditulis AOB . OA disebut sisi awal dan Ob disebut sisi terminal. B A.2 Sudut Positif dan Sudut Negatif 1. Jika OA diputar berlawanan arah jarum jam maka akan terbentuk sudut A positif O B 2. Jika OA diputar searah jarumjam maka akan terbentu sudut negatif O A.3 Ukuran Sudut 1. Ukuran derajat 1 putaran = 360 1 = 60

A ⟺1 =

putaran

⟺ 1 =

1 = 60 ⟺ 1 = = 2. Ukuran radian 1 rad = 180 1 putaran penuh = 2 rad 1 rad = ≈ 57,3 ≈ 57 18

Contoh: Ubahlah ukuran sudut berikut ke dalam ukuran derajat atau radian! 4 a. 30 f. 3 2 b. 90 g. 5 5 c. −45 h. 6 d.

100

e.

−390

i.



3 3 j.  4

B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku 1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga A

 r y B



x

 C

Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan x Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan y Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan r Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan r2 = x2 + y2 2. Besar sudut pada segitiga Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah       180 0 3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga depan y a. sin  = = miring r samping x b. cos    miring r depan y c. tan    samping x samping x d. cotg    depan y miring r e. sec    samping x miring r f. csc    depan y Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus : 1 Cotg   tan  1 Sec   cos  1 Csc   sin  Contoh : Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 3, b = 4. a. Tentukan panjang sisi c b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut  B c

A

3

 4

Jawab : c  a 2  b 2  3 2  4 2  25  5 a 3  c 5 b 4 cos    c 5 a 3 tan    b 4

sin  

C

A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa (00, 300, 450, 600, 900) 300 450

2

2

3

1 600

450

1

1

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

Sin

00 0

Cos

1

Tan

0

Csc Sec

t.t 1

Cotg

t.t

300 1 2 1 3 2 1 3 3 2 2 3 3 3

450

600

900

Contoh :   180 0 Tentukan nilai dari : 1. Sin 00 + Csc 450 = 0 + 2  2   2 1 sec  cot g 3 3 3 6 3 3 3   2. =1  3 3 tan 3 A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran 1. Kuadran I (0 < < 90) Y Titik A(x,y) dikuadran I Absis positif A (x,y) Ordinat positif r y  Sin     positif y r   x  X x Cos     positif r  y  Tan     positif x  2. Kuadran II (90 < < 180) Titik A(-x,y) dikuadran II Absis negatif Ordinat positif

Y A(-x,y) y

r -x

X

y    positif r  x  Cos     negatif r  y  Tan     negatif x  3. Kuadran III (180 < < 270) Titik A(-x,-y) dikuadran III Absis negatif Ordinat negatif y  Sin     negatif r  x  Cos     negatif r  y  Tan     positif x  4. Kuadran IV (270 < < 360) Titik A(x,-y) dikuadran IV Absis positif Ordinat negatif y  Sin     negatif r  x  Cos     positif r  y  Tan     negatif x  Sin  

Y -x -y

X

r

A (-x,-y)

Y x r

X -y A (x,-y)

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan lain yang ditulis dalam tabel berikut. I II III Sin + + Cos + Tan + + Csc + + Sec + Cotg + +

Kuadran II Sin & Csc +

Kuadran III Tan & Cotg +

trigonometri dikuadran yang IV + + -

Kuadran I Semua +

Kuadran IV Cos & Csc +

Contoh : Diketahui Sin  =

3 ,  dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai Sec  , Csc  , Cotg  5

3 , y = 3, r = 5, x = 5 2  3 2  25  9  16  4 5 Karena dikuadran II, nilai x = -4 5 5 4 Sehingga : Sec  = , Csc   , Cotg   4 3 3 Jawab : Sin  

TUGAS I 1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut  pada tiap gambar berikut : a. b. 5

2 5

12

2

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui. a. Cos p = 0,8 b. Cotg p = 2 3. Tentukan nilai dari : a. Sin 600 cotg 600 + sec 450 cos 450 b. Tan 300 + cos 300 c. 2 sin 600 cos 450 4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600, seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

600 Tinggi Dani

Tinggi pohon 10 m

A.4 Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Berelasi a. Sudut-sudut Berelasi di kuadran I 1. Relasi dengan = 90 − Misal titik P (a, b) dan OP = r serta ∠ = dicerminkan terhadap garis diperoleh: Y  Bayangan: ( , ) ( , )  ∠ = 90 −  = = a Sin (90   )   Cos  r b Cos (90   )   Sin  r a Tan (90   )   Cot  b r Csc (90   )   Sec  a r Sec (90   )   Csc  b a Cot (90   )   Tan  b

=

maka

=

( , ) X

2. Relasi dengan = 360 + Misal titik P (a, b) dan OP = r serta ∠ sejauh 360 maka diperoleh:  Bayangan: ( , )  ∠ = 360 +  = = 0 Sin (360   )  Sin 

=

diputar berlawanan arah jarum jam

Y

Cos (360 0   )  Cos 

( , )= ′

Tan (360 0   )  Tan  Csc (360 0   )  Csc 

X

0

Sec (360   )  Sec  Cot (360 0   )  Cot 

b. Sudut-sudut Berelasi di kuadran II 1. Relasi Relasi dengan = 90 + Misal titik P (a, b) dan OP = r serta ∠ sejauh 90 maka diperoleh:  Bayangan: (− , )  ∠ = 90 +  = = Sin (90   )  Cos  Cos (90   )  Sin 

=

diputar berlawanan arah jarum jam Y

(− , ) ( , )

Tan (90   )  Cot  Csc (90   )  Sec 

X

Sec (90   )  Csc  Cot (90   )  Tan  Sin (90   )  Cos  Cos (90   )   Sin  Tan ( 90   )   Cotg 

Sin (180   )  Sin 

atau

Cos (180   )   Cos  Tan (180   )  Tan 

c. Rumus di kuadran III Sin ( 270   )   Cos  Sin (180   )   Sin  atau Cos (180   )   Cos  Cos ( 270   )   Sin  Tan ( 270   )  Cotg  Tan (180   )  Tan  d. Rumus di kuadran IV Sin ( 270   )   Cos  Sin (360   )   Sin  atau Cos ( 270   )  Sin  Cos (360   )  Cos  Tan ( 270   )   Cotg  Tan (360   )  Tan  e Rumus sudut negatif Sin (  )   Sin  Cos (  )  Cos  Tan (  )  Tan  f.Rumus sudut lebih dari 3600 Sin ( k .360   )  Sin  Cos ( k . 360   )  Cos  Tan ( k . 360   )  Tan 

Contoh : Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya : a. Sin 1200 = Sin (900 + 300) = Sin 300 1 3 = 2 Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600) = Sin 600 1 3 = 2 b.Cos 2250 = Cos (2700 – 450) = -Sin 450 1 2 = 2 Atau Cos 2250 = Cos (1800 + 450) = -Cos 450 1 2 = 2 c. Sin 7500 = Sin (2.3600 + 300) = Sin 300 1 = 2 0 d.Sin (-225 ) = - Sin 2250 = - Sin(1800 + 450) = - (-sin 450) 1 2 = 2 TUGAS II 1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya : a. Cos 3300 b. Tan (-1200) c. Sin 4500 2. Tentukan nilai dari : a. Sin 3000 + Cos 5450 b. Cos 3900 + Sec 5700 c. Cotg 7500 + Tan (-600) 3. Sederhanakan cos(270  p ) a. Sin(360  p) cos(90  p) b. Sin(180  p)

cos120 0.Tan2250.Co sec 240 0 Cos 210 0.Sec300 0 4. Buktikan bahwa Sin(270  p).Sin(180  p) a. 1 Cos(90  p ).Cos(180  p) Cos(180  p).Sec(360  p ) b.  1 Cotg (180  p).Cotg (90  p) c.

C. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1. Sin x = Sin p X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2  X2 = (180 – p) + k.360 x2 = (  - p) + k.2  2. Cos x = Cos p X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2  X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2  3. Tan x = Tan p X1 = p + k.180 atau x1 = p + k.  Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian : a. Sin x = Sin 200 ; 0  x  360 0 x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20 k=1 x2 = 20 + 360 = 380 (tidak memenuhi) X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160 Jadi HP = {20, 160} b. 2 Cos x = 3 ; 0  x  360 0 Cos x = 1 3 2 Cos x = Cos 30 X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30 X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak memenuhi) K=1 x2 = 330 HP = {30, 330} TUGAS III 1. Selesaikan persamaan berikut untuk 0  x  360 0 a. Cos x = Cos 50 b. Sin x – ½ = 0 c. 3 tan 2x + 3 = 0 d. 2 cos x.sin x = sin x 2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0  x  2 a. 2 sin x = - 2 b. 2 tan 3x + 2 = 0 c. 2 cos ½ x = 1 D. IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar : 1. Sin2x + Cos2x = 1 Sin2x = 1 – Cos2x Cos2x = 1 – Sin2x 2. 1 + tan2x = sec2x 1 = sec2x – tan2x Tan2x = sec2x – 1 3. 1 + cotg2x = cosec2x 1 = cosec2x – cotg2x Cotg2x = cosec2x – 1 Contoh : 1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1 Jawab : 5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4 = 5 sec2x – 5 + 4 = 5 sec2x – 1 (terbukti)

2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3 Jawab : 3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x) =3.1 = 3 (terbukti) E. RUMUS SINUS DAN COSINUS 1. Aturan Sinus Perhatikan segitiga ABC berikut. C a

b

A

B

c

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:

a b c   SinA SinB SinC Contoh : 1. Pada segitiga ABC, b = 1, B  30 0 , C  53,10 . Hitunglah c. Jawab : b c bSinC   c SinB SinC SinB 12Sin53,1 = Sin30 12.0,8 = 0,5 9,6 = 0,5 = 19,2 2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. B  68,2 . Hitunglah C

b c  SinB SinC



Sin C =

C

cSinB 46Sin68,2  b 65 46x0,928 = 65 42,710 = 65 = 0,657 = 41,1

2. Aturan Cosinus Perhatikan segitiga ABC berikut ini : C







A

B

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku : a2 = b2 + c2 – 2bc cos  b2 = a2 + c2 – 2ac cos  c2 = a2 + b2 – 2ab cos  Contoh : 1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A = 600. Hitung panjang BC Jawab : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 52 + 82 – 2.5.8. cos 60 = 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40 = 49 a = 7 cm F. LUAS SEGITIGA 1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui C a

b A

D c

B

L = ½ b.c. sin A L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

L

a 2 . sin B. sin C 2 sin A

L

b 2 . sin A. sin C 2 sin B

L

c 2 . sin A. sin B 2 sin C

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

L  s.( s  a).(s  b).(s  c)

s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c) Contoh : 1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450 Jawab : L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450 = 20. ½ 2 = 10 2 2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, A  65, B  60 . Tentukan luasnya. Jawab : C  180  65  60  55 c 2 . sin A. sin B L 2 sin C

5 2. sin 65. sin 60 2 sin 55 25.0,425.0,87 L 0,82 L  11,27 L

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Jawab : s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6 L  s.( s  a).(s  b).(s  c)

L  6.(6  3).(6  4).(6  5) L  6.3.2.1 L  36  6 cm2 TUGAS IV 1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm, P  46 0 2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B 3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400 dan kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000 dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 5 jam. 4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O. 5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm, BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

BAB III PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega. Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga. MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.