Aisyah Purnama Dewi
Berbasis Teori Variasi
MATEMATIKA WAJIB UNTUK SMA/MA Kelas X Semester 1
i
Nama
: .............................................
Kelas
: .............................................
Sekolah
: .............................................
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR Berbasis Teori Variasi Matematika Kelompok Wajib Kurikulum 2013 Untuk Siswa Kelas X SMA/MA Semester 1 Penulis Pembimbing Penilai
: Aisyah Purnama Dewi : Dr. R. Rosnawati : Dra. Endang Listyani, M.S Nur Hadi W, M.Eng
Ukuran
: 21×29,7 cm
LKS ini disusun dan dirancang oleh penulis Dengan menggunakan Microsoft Office Word 2013
ii
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan bahan ajar berjudul “Lembar Kegiatan Siswa (LKS) Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Berbasis Teori Variasi pada Matematika Kelompok Wajib Kurikulum 2013 Untuk Siswa Kelas X SMA/MA Semester 1” dengan baik. Shalawat beserta salam tak lupa senantiasa tercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW yang telah membawa kita dari kegelapan menuju cahaya. Bahan ajar berupa LKS dibuat untuk memfasilitasi pembelajaran siswa terutama pada pokok bahasan Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear agar siswa dapat mengembangkan diri secara aktif dan maksimal. Adapun LKS ini disusun berdasarkan teori variasi, dimana siswa akan belajar berbasis penemuan konsep matematika dengan mengamati variasi yang diberikan dan mencari pola yang ada. Sehingga siswa dapat menemukan titik-titik kritis dari suatu materi dengan cara berpikir yang telah biasa digunakan siswa dalam kehidupan sehari-hari (membandingkan, mencari pola, menghubungkan, dan menarik kesimpulan). Sebagaimana pepatah “Tak ada gading yang tak retak”, penulis menyadari bahwa bahan ajar ini belumlah sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharap kritik dan saran demi perbaikan tugas-tugas penulis selanjutnya secara pribadi maupun kebermanfaatan bagi guru sebagai praktisi pendidikan dan siswa sebagai pengguna. Semoga bahan ajar ini dapat bermanfaat dan dimanfaatkan dengan sebaik-baiknya.
Yogyakarta, Oktober 2015 Penulis,
Aisyah Purnama Dewi
iii
DAFTAR ISI Hal Halaman Judul ..................................................................................
i
Halaman Penulis .................................................................................
ii
Kata Pengantar
..............................................................................
iii
Daftar Isi
.............................................................................
iv
LKS 1: Mengenal Sistem Persamaan Linear (SPL) .....................
5-22
LKS 2: Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) .............
23-44
LKS 3: Mengenal & Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) ....................................... Daftar Pustaka .................................................................................
iv
45-61 62
LEMBAR KEGIATAN SISWA
MENGENAL SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) Tujuan Pembelajaran Setelah menggunakan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) 1 ini, kamu akan dapat: Menemukan Konsep SPLDV dan SPLTV Menemukan Konsep Solusi pada SPLDV dan SPLTV Menemukan Jenis SPLDV berdasarkan konstanta dan solusinya
Pengantar
Gambar 1 1 Sistem Komputer
Gambar 1 2 Ketua Kelas
Pada kehidupan sehari-hari, kita sudah terbiasa menggunakan istilah ‘sistem’. Kita menyebut kumpulan komponen yang terdiri dari perangkat keras (hardware), perangkat lunak (software), dan pengguna (brainware) sebagai sistem komputer. Selain itu, kita sudah terbiasa melihat bagan susunan kepengurusan kelas. Susunan tersebut ternyata juga mewakili suatu sistem yang disebut sistem kerja pengurus kelas. Sistem sendiri merupakan kumpulan komponen-komponen yang saling berkaitan untuk menjalankan fungsi tertentu. Lalu, apa yang dimaksud Sistem Persamaan Linear (SPL) dalam matematika? Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai hal tersebut, lakukanlah kegiatan pada LKS ini.
5
1. Menemukan Konsep SPLDV dan SPLTV
Aktivitas 1.1 MENEMUKAN KONSEP PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PLDV) Perhatikan dan lengkapi tabel 1, kemudian jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Tabel 1 Contoh dan Bukan Contoh PLDV
No 1
Contoh PLDV
Bukan Contoh PLDV
Sebuah bingkai foto memiliki keliling Sebuah bingkai foto memiliki luas 80 cm. 375 cm2. Misalkan panjang bingkai adalah x dan lebar bingkai adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika ...........................................................
2
Misalkan panjang bingkai adalah x dan lebar bingkai adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika ............................................................
Terdapat dua bilangan dimana lima Terdapat dua bilangan dimana lima kali bilangan pertama sama dengan kali bilangan pertama sama dengan dua kali bilangan kedua dikurang 10. kuadrat bilangan kedua dikurang 10. Misalkan bilangan pertama adalah x dan bilangan kedua adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika ................................................................
6
Misalkan bilangan pertama adalah x dan bilangan kedua adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika ................................................................
3
Sebuah atap rumah memiliki sisi Sebuah atap rumah memiliki sisi berbentuk segitiga sama kaki dengan berbentuk segitiga siku-siku dengan keliling 17 meter. keliling 17 meter.
Gambar 1 3 Atap Segitiga Sama Kaki
Gambar 1 4 Atap Segitiga Siku-siku
Misalkan ................................................. ................................................................ ................................................................ ..............................................................., maka hubungan ............ dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika .........................................
Misalkan ................................................ ................................................................ ................................................................ ..............................................................., maka hubungan ............ dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika .........................................
1. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh PLDV 1 pada tabel 1di atas?
2. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh PLDV 2 pada tabel 1di atas?
3. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh PLDV 3 pada tabel 1 di atas?
4. Jelaskan mengenai pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dengan bahasamu sendiri berdasarkan jawaban-jawabanmu pada nomor sebelumnya.
7
5. Nyatakan Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dalam bentuk umum berikut.
…………… = …
(persamaan)
dimana ..... : variabel ... : koefisien dari variabel ... ... : koefisien dari variabel ... ... : konstanta persamaan. MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PLDV) Perhatikan persoalan berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. “Ibu ingin membeli dua jenis buah untuk acara di rumah dengan total berat 5 kg. Buah yang ibu pilih adalah apel dan jeruk. Berapa kemungkinan berat masing-masing jenis buah yang bisa dibeli ibu?” 1. Misalkan berat apel adalah x dan berat jeruk adalah y, dapatkah kamu menentukan model matematika dari persoalan di atas?
2. Isilah tabel berikut dengan mengganti nilai variabel-variabel dari persamaan yang kamu temukan. Berat apel (...) Berat jeruk (...)
...
...
...
2
4
...
5
4
3,5
...
...
...
3. Nyatakan kemungkinan jawaban (solusi) dari berat apel dan berat jeruk sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi persamaan. {(… , … ); (… , … ); (… , … ); (… , … ); (… , … ); (… , … ); … }.
8
4. Gambarlah setiap pasangan variabel x dan y dari tabel berat apel dan jeruk sebagai sebuah titik pada bidang koordinat kartesius di bawah ini. Hubungkan titik-titik tersebut.
5. Berapa banyak kemungkinan jawaban (solusi) dari berat apel dan berat jeruk bila dilihat dari grafik yang kamu buat? Jelaskan.
6. Jelaskan mengenai solusi Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dengan katakatamu sendiri berdasarkan jawaban-jawabanmu pada nomor sebelumnya.
9
Aktivitas 1.2 MENEMUKAN KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) Perhatikan Tabel 2 dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Tabel 2 Contoh dan Bukan Contoh SPLDV
No 1
2
Contoh SPLDV
Bukan Contoh SPLDV
Andi dan Rahmat pergi ke pasar untuk menggantikan ibu mereka berbelanja. Andi membeli dua ikat bayam dan satu kotak tahu seharga Rp. 9.000,-, sedangkan Rahman membeli satu ikat bayam dan tiga kotak tahu seharga Rp. 17.000,-.
Andi dan Rahmat pergi ke pasar untuk menggantikan ibu mereka berbelanja. Andi membeli dua ikat bayam dan satu kotak tahu seharga Rp. 9.000,-, sedangkan Rahman membeli satu ikat bayam dan tiga buah tempe seharga Rp. 17.000,-.
Terdapat sebuah persegi panjang Terdapat sebuah persegi panjang dengan keliling 38 cm. Panjang dengan keliling 42 cm. Luas persegi persegi panjang sama dengan tiga kali panjang tersebut adalah 84 cm2. lebarnya ditambah 3. 1. Isilah tabel berikut dengan model matematika dari Tabel 2. Model Matematika Contoh SPLDV 1
...
Model Matematika Bukan Contoh SPLDV ...
2
...
...
2. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh 1 pada tabel di atas?
10
3. Apakah yang membedakan model matematika dari contoh dan bukan contoh 2 pada tabel di atas?
4. Jelaskan mengenai Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan katakatamu sendiri berdasarkan jawaban-jawabanmu pada nomor sebelumnya.
5. Nyatakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dalam bentuk umum berikut.
…………… = … …………… = …
(persamaan) (persamaan)
dimana ..... : variabel .....: koefisien dari variabel ... .....: koefisien dari variabel ... .....: konstanta persamaan.
Aktivitas 1.3
MENEMUKAN KONSEP SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) Perhatikan contoh persoalan sehari-hari mengenai Sistem Persamaan Linear berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. “Sebuah keluarga memiliki tiga orang anak, yakni anak pertama yang bernama Ara, anak kedua yang bernama Bara, dan anak terakhir yang bernama Dara. Jumlahan umur Ara, Bara, dan Dara adalah 20 tahun. Selisih umur Ara dan Dara sama dengan umur Bara, sedangkan jumlahan umur Ara dan Bara sama dengan empat kali umur Dara.” 1. Buatlah model matematika dari persoalan di atas. Nyatakan setiap persamaan dalam bentuk yang seragam.
11
2. Persoalan di atas merupakan contoh persoalan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Jelaskan pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan bahasamu sendiri.
3. Nyatakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dalam bentuk umum berikut.
…………………… = … …………………… = … …………………… = …
(persamaan 1) (persamaan 2) (persamaan 3)
dimana ..... : variabel .....: koefisien dari variabel ... .....: koefisien dari variabel ... .....: koefisien dari variabel ... .....: konstanta persamaan.
2. Menemukan Konsep Solusi pada SPLDV dan SPLTV Aktivitas 2.1 MENEMUKAN KONSEP SOLUSI PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL Perhatikan Tabel 3 dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Tabel 3 Solusi dan Bukan Solusi SPL
No 1
SPL
Bukan Solusi SPL
Solusi SPL
Andi dan Rahmat pergi ke pasar untuk menggantikan ibu mereka berbelanja. Andi membeli dua ikat bayam dan satu kotak tahu seharga Rp. 9.000,-, sedangkan Rahman membeli satu ikat bayam dan tiga kotak tahu seharga Rp. 17.000,-. Harga satu ikat bayam dan satu kotak tahu adalah .............dan ...........
Solusi dari SPLDV di samping bukanlah (2500, 3500). Harga satu ikat bayam bukanlah Rp. 2.500,dan harga satu kotak tahu bukanlah Rp. 3.500,-.
Solusi dari SPLDV tersebut adalah (2000, 5000). Harga satu ikat bayam adalah Rp. 2.000,dan harga satu kotak tahu adalah Rp. 5.000,-.
Solusi dari SPLDV di 12
2
Sebuah keluarga memiliki tiga orang anak, yakni anak pertama yang bernama Ara, anak kedua yang bernama Bara, dan anak terakhir yang bernama Dara. Jumlahan umur Ara, Bara, dan Dara adalah 20 tahun. Selisih umur Ara dan Dara sama dengan umur Bara, sedangkan jumlahan umur Ara dan Bara sama dengan empat kali umur Dara. Umur Ara, Bara, dan Dara berturut-turut adalah ..., ..., dan ... tahun.
samping bukanlah (1000, 7000). Harga satu ikat bayam bukanlah Rp. 1.000,dan harga satu kotak tahu bukanlah Rp. 7.000,-. Solusi dari SPLTV di samping bukanlah (10, 5, 3). Umur Ara, Bara, dan Dara berturut-turut bukanlah 10 tahun, 5 tahun, dan 3 tahun.
Solusi dari SPLTV di samping adalah (10, 6, 4). Umur Ara, Bara, dan Dara berturut-turut adalah 10 tahun, 6 tahun, dan 4 tahun.
Solusi dari SPLTV di samping bukanlah (12, 5, 3). Umur Ara, Bara, dan Dara berturut-turut bukanlah 12 tahun, 5 tahun, dan 3 tahun.
1. Mengapa pasangan berurutan (2500, 3500), (1000, 7000) bukanlah solusi dan (2000, 5000) ialah solusi dari SPL 1 pada tabel 3 di atas?
2. Jelaskan pengertian solusi SPLDV dengan melengkapi kalimat di bawah ini. Solusi SPLDV adalah .............................................................................. Solusi dari SPLDV dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan ...............yaitu (..., ...) atau juga dapat dinyatakan dengan himpunan penyelesaian, HP = {(..., ...)}. 3. Mengapa pasangan berurutan (10, 5, 3) dan (12, 5, 3) bukanlah solusi dari SPL 2 pada tabel 3 di atas?
4. Jelaskan pengertian solusi SPLTV dengan melengkapi kalimat di bawah ini.
13
Solusi SPLTV adalah .............................................................................. Solusi dari SPLDV dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan ...............yaitu (..., ..., ...) atau juga dapat dinyatakan dengan himpunan penyelesaian, HP = {(..., ..., ...)}. 5. Buatlah grafik dari SPLDV pada tabel di atas, lalu tentukan posisi (2500, 3500), (1000, 7000) dan (1000, 5000). (Buatlah grafik dengan mencari titik potong persamaan dengan sumbu x dan y)
6. Berdasarkan grafik SPLDV yang kamu buat, dimanakah letak solusi SPLDV dan bukan solusi SPLDV tersebut?
14
3. Menemukan Jenis SPLDV Berdasarkan Konstanta dan Solusinya
Aktivitas 3.1 MENEMUKAN JENIS SPLDV BERDASARKAN KONSTANTANYA Perhatikan Tabel 4 di bawah ini dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Tabel 4 SPLDV Homogen dan Non-Homogen
No
SPLDV Homogen
SPLDV Non-Homogen
1
7 +5 =0 −9 + = 0
7 + 5 = −3 −9 + = −11
2
6 + 12 = 0 2 +5 =0
6 + 12 = −6 2 +5 =0
3
=− =
=− +3 = +1
1. Berdasarkan tabel di atas, apakah SPLDV Homogen?
2. Tentukan bentuk umum SPLDV Homogen berdasarkan pengertian SPLDV yang kamu buat pada nomor sebelumnya.
…………… = … …………… = …
(persamaan 1) (persamaan 2)
dimana ..... : variabel .....: koefisien dari variabel ... .....: koefisien dari variabel ... 3. Berdasarkan tabel di atas, apakah SPLDV Non-Homogen?
15
4. Bentuk umum dari SPLDV Non-Homogen adalah
…………… = … …………… = …
(persamaan 1) (persamaan 2)
dimana ..... : variabel .....: koefisien dari variabel ... .....: koefisien dari variabel ... .....: konstanta persamaan.
Aktivitas 3.2 SOLUSI SPLDV HOMOGEN Perhatikan Tabel 5 berikut dan jawablah pertanyaan di bawah ini. Tabel 5 Solusi SPLDV Homogen
No
SPLDV Bersolusi Trivial
SPLDV Bersolusi Non-Trivial
1
6 + 12 = 0 2 +5 =0 Solusi SPLDV adalah (0, 0).
2
3 =− 4 − = Solusi SPLDV adalah (0, 0). 1 3 =− 2 4 3 =− 7 Solusi SPLDV adalah (0, 0).
6 + 12 = 0 3 +6 =0 Solusi SPLDV adalah (0, 0), (2, 1), (-1, 1/2 ), dsb. = −3 − =3 Solusi SPLDV adalah (0, 0), (1, -3), (-2, 6), dsb. 1 3 =− 2 4 2 =− 3 Solusi SPLDV adalah (0, 0), (3, -2), (-3, 2), dsb.
3
1. Berdasarkan tabel di atas, apakah yang dimaksud SPLDV Homogen bersolusi trivial?
2. Berdasarkan tabel di atas, apakah yang dimaksud SPLDV Homogen bersolusi nontrivial?
16
+ =0 dengan a1,a2,b1,b2 adalah koefisien dari + =0 variabel x,y, kapankah solusi SPLDV tersebut trivial?
3. Jika terdapat SPLDV
+ =0 dengan a1,a2,b1,b2 adalah koefisien dari + =0 variabel x,y, kapankah solusi SPLDV tersebut non-trivial?
4. Jika terdapat SPLDV
GRAFIK SPLDV HOMOGEN Perhatikan Tabel 5 pada bagian sebelumnnya. Buatlah grafik dua SPLDV bersolusi trivial dan dua SPLDV bersolusi non-trivial dari Tabel 5.(Petunjuk: buatlah grafik persamaan dengan menentukan dua titik dari masing-masing persamaan) No
Grafik SPLDV Bersolusi Trivial
Grafik SPLDV Bersolusi Non-Trivial
1
2
1. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Homogen akan memiliki solusi trivial? (Hubungkan dengan gradien)
17
2. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Homogen akan memiliki solusi non-trivial? (Hubungkan dengan gradien)
SOLUSI SPLDV NON-HOMOGEN Perhatikan tabel jenis SPLDV Homogen berikut dan isilah titik-titik di bawah ini. Tabel 6 Solusi SPLDV Non-Homogen
No 1 2 3
SPLDV Bersolusi Tunggal 2 + 3 = 11 −2 + 5 = 13
SPLDV Bersolusi Banyak 2 + 3 = 11 −4 − 6 = − 22
SPLDV Tidak Memiliki Solusi 2 + 3 = 11 −4 − 6 = −7
4 +5 = 9 5 +2 = 7
4 +5 =9 8 + 10 = 18
4 +5 =9 4 +5 =4
=2 +3 3 =6 +9
=2 +3 3 = 6 + 12
=2 +3 = −5 − 11
+ = dengan a1,a2,b1,b2 adalah koefisien dari + = variabel x,y dan c1,c2 adalah konstanta persamaan, kapankah solusi SPLDV tersebut tunggal?
1. Jika terdapat SPLDV
+ = dengan a1,a2,b1,b2 adalah koefisien dari + = variabel x,y dan c1,c2 adalah konstanta persamaan, kapankah SPLDV tersebut memiliki solusi banyak?
2. Jika terdapat SPLDV
+ = dengan a1,a2,b1,b2 adalah koefisien dari + = variabel x,y dan c1,c2 adalah konstanta persamaan, kapankah SPLDV tersebut tidak memiliki solusi?
3. Jika terdapat SPLDV
18
GRAFIK SPLDV NON-HOMOGEN Perhatikan Tabel 6 pada bagian sebelumnya. Buatlah grafik masing-masing satu SPLDV bersolusi tunggal, banyak, dan tidak memiliki solusi dari Tabel 6.(Petunjuk: buatlah grafik persamaan dengan menentukan dua titik potong pada sumbu x dan y dari masing-masing persamaan) 1
Grafik SPLDV Bersolusi Tunggal
2
Grafik SPLDV Bersolusi Banyak
3
Grafik SPLDV Tidak Memiliki Solusi
1. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi tunggal?
19
2. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Non-Homogen akan memiliki solusi banyak?
3. Berdasarkan grafik pada tabel di atas, kapankah sebuah SPLDV Non-Homogen tidak memiliki solusi?
Latihan Soal Selesaikan persoalan-persoalan berikut sesuai dengan petunjuk pada setiap nomor. 1. Identifikasi sistem persamaan berikut dengan membubuhi tanda (√) Sistem Persamaan Bukan SPLDV SPLTV Alasan SPL ... ... ... ... +0 =2 0 +
= −12 ...
...
...
...
−1 =2 +3 3 − = 11
...
...
...
...
2 − =0 + =0
...
...
...
...
2 −
=0
...
...
...
...
+
=0
1
+ +
1
=2 =4
2. Tentukan nilai a sehingga sistem persamaan berikut memiliki penyelesaian tak trivial. ( − 3) + = 0 . + ( − 3) = 0
20
3. Buatlah sebuah sistem persamaan linear yang memiliki banyak solusi jika salah satu persamaannya adalah = −5 + 4. Jelaskan.
4. Buatlah model matematika dari persamaan berikut dan tentukan jenis solusinya tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dahulu. “Seorang desainer ingin mencetak hasil desainnya dengan dua jenis kertas, kertas reguler dan mengkilat. Dia pergi ke percetakan dan menemukan dua jenis paket untuk mencetak pada kertas reguler dan mengkilat. Setiap paket menawarkan jumlah pencetakan yang berbeda untuk setiap jenis kertasnya. (Lihat tabel)” Harga Reguler Mengkilat 30 45 Rp. 465.000,10 15 Rp. 150.000,-
21
Rangkuman
Apa yang telah kamu pelajari? Isilah titik-titik di bawah ini untuk merangkum hal yang telah kamu pelajari melalui LKS ini. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8.
Sebuah persamaan dikatakan sebagai PLDV apabila ............................................ Secara umum, SPLDV adalah ............................................................................. Secara umum, SPLTV adalah .......................................................................... Solusi dari SPLDV adalah ............................................................................... Solusi dari SPLTV adalah ................................................................................. Jenis SPLDV berdasarkan konstanta persamaannya terbagi menjadi 2 jenis, yakni ............................................. SPLDV ............... adalah ................................ .................... sedangkan SPLDV .................. adalah ...................................... SPLDV ............... akan bersolusi trivial jika ....................................................... dan akan bersolusi non-trivial jika ..................................................... SPLDV .............. akan memiliki banyak solusi jika .............................................., akan memiliki solusi tunggal jika ..................................................., dan tidak memiliki solusi jika .......................................................
22
LEMBAR KEGIATAN SISWA
MENEMUKAN SOLUSI SPL DENGAN BERBAGAI METODE Tujuan Pembelajaran Setelah menggunakan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) 2 ini, kamu akan dapat: Menemukan Solusi dari SPLDV dan SPLTV dengan Eliminasi, Subtitusi, dan Determinan Menyajikan serta Menyelesaikan Permasalahan Sehari-hari tentang SPLDV dan SPLTV
Pengantar
Gambar 2 1 Dayung Sampan
Dengan mempelajari tentang Sistem Persamaan Linear (SPL) kita dapat menyelesaikan banyak permasalahan sehari-hari, salah satunya masalah tentang kecepatan dayung sampan. Pada LKS 1, kita sudah dapat menggunakan salah satu cara menyelesaikan SPLDV, yakni dengan menggambar grafik. Solusi SPLDV merupakan titik potong dari garis-garis pembentuk sistem persamaan linear. Namun demikian, metode ini tidaklah efektif untuk menyelesaikan SPLDV tertentu. Selain itu, kita juga akan kesulitan untuk membuat grafik SPLTV untuk menentukan titik potongnya. Hal inilah yang mendasari kita untuk mempelajari metode lain untuk menyelesaikan SPLDV maupun SPLTV melalui LKS ini.
23
2. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Eliminasi
Aktivitas 1.1 MENEMUKAN KONSEP ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. “Maya ingin membuat dua jenis souvenir dari limbah plastik untuk dijual pada pekan kewirausahaan, yakni tempat pensil dan tas laptop. Maya pernah bekerja selama tiga jam dan berhasil membuat dua tempat pensil dan satu tas laptop. Pada waktu yang lain, Maya juga pernah bekerja selama 4 ½ jam dan Gambar 2 2 Souvenir Limbah Plastik
berhasil membuat dua tempat pensil dan dua tas laptop.”
1. Bagaimana model matematika dari persoalan di atas?
2. Buatlah grafik dari persoalan di atas.
24
3. Dapatkah kamu menggunakan metode grafik untuk mengetahui waktu yang diperlukan untuk membuat tempat pensil maupun tas laptop dengan tepat? Jelaskan.
4. Aldi ingin membantu Maya untuk menentukan waktu pembuatan sebuah tas laptop. Dia mengatakan, “Jika dua tempat pensil beserta satu tas laptop membutuhkan 3 jam untuk dibuat dan dua tempat pensil beserta dua tas laptop membutuhkan 4 ½ jam untuk dibuat, maka waktu pembuatan sebuah tas laptop adalah 4 ½ dikurang 3, yakni 1 ½ jam.” Apakah jawaban Andi benar? Jelaskan.
5. Jika jawaban Aldi benar, cobalah kaitkan metode yang Aldi gunakan untuk menentukan waktu pembuatan sebuah tas laptop dengan operasi matematika untuk menemukan sebuah metode baru dalam menyelesaikan SPLDV, lalu carilah waktu yang dibutuhkan Maya untuk membuat tempat pensil.
6. Cek kebenaran solusi yang kamu temukan.
7. Metode yang kamu temukan di atas disebut dengan metode eliminasi. Jelaskan pengertian metode eliminasi dengan kata-katamu sendiri berdasarkan jawabanmu pada nomor-nomor sebelumnya.
25
Aktivitas 1.2 MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN A)
SISTEM
Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. “Selama perlombaan dayung sampan, seorang peserta mendayung sampan sejauh 1,2 kilometer melawan arus selama 3 jam dan 1,2 kilometer mengikuti arus selama 2 jam. (Lihat ilustrasi di bawah ini). Jika kecepatan arus dianggap konstan, tentukan kecepatan rata-rata sampan ketika di air dan kecepatan arus air. Petunjuk: jarak tempuh (d) sama dengan kecepatan (r) dikali waktu tempuh (t), = × .”
Gambar 2 3 Dayung Sampan
1. Gunakan persamaan berikut untuk membuat model matematika dari persoalan di atas dengan memisalkan x sebagai kecepatan rata-rata sampan dan y sebagai kecepatan arus air. Saat Melawan Arus : Kecepatan rata-rata sampan − melawan arus
Kecepatan arus
=
Kecepatan kayak saat
Saat Mengikuti Arus Kecepatan rata-rata sampan mengikuti arus
Kecepatan arus
=
Kecepatan kayak saat
+
2. Selesaikan model dari persoalan di atas dengan dua cara pada kolom berikut. (jika memungkinkan) 26
Mengeliminasi x terlebih dahulu
Mengeliminasi y terlebih dahulu
Kita bisa mengeliminasi x terlebih dahulu dengan operasi ..................., sedangkan kita bisa mengeliminasi y terlebih dahulu dengan operasi ..................... 3. Perhatikan persamaan-persamaan berikut dan tentukan jenis operasi yang digunakan untuk mengeliminasi salah satu variabel secara langsung. 3 +7 = 9 a. 4 −7 = 5 3 −5 = 9 b. 4 −5 = 2 −4 + 2 = −7 c. 4 − 6 = 11 5 − 4 = 12 d. 5 − =7
4. Berdasarkan jawaban pada nomor-nomor sebelumnya, sebutkan operasi yang bisa kita gunakan pada metode eliminasi.
5. Apa yang harus kita perhatikan untuk memilih operasi dalam mengeliminasi suatu variabel?
27
MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN B)
SISTEM
Perhatikan SPLDV berikut, lalu jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.. 5 +6 =3 3 − 2 = 13 1. Selesaikan SPLDV di atas dengan mengeliminasi variabel y terlebih dahulu. Gunakan operasi penjumlahan atau pengurangan untuk melakukannya.
2. Operasi apa yang kamu gunakan untuk menyelesaikan SPLDV di atas?
3. Dapatkah kamu memandang operasi yang kamu gunakan sebelumnya sebagai operasi lain yang lebih sederhana?
4. Selesaikan kembali SPLDV dengan operasi yang baru saja kamu temukan.
28
MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN C) Perhatikan SPLDV berikut dan tentukan solusinya dengan eliminasi.
SISTEM
3 + 4 = −6 2 − 3 = 13 (Petunjuk: gunakan operasi perkalian terlebih dahulu untuk mengeliminasi salah satu variabel)
Aktivitas 1.3 MENGGUNAKAN ELIMINASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)
SISTEM
Perhatikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLDV) berikut dan selesaikanlah dengan mengikuti langkah-langkah di bawah ini. +3 + =0 2 − + =5 3 − 3 + 2 = 10 Langkah pertama
() ( ) ( )
: Eliminasi variabel z terlebih dahulu dari SPLTV
Eliminasi z dengan mengoperasikan persamaan (i) dan (ii). Beri nama persamaan baru yang terbentuk dari operasi persamaan (i) dan (ii) dengan persamaan (iv).
Eliminasi z dengan mengoperasikan persamaan (ii) dan (iii). Beri nama persamaan baru yang terbentuk dari operasi persamaan (ii) dan (iii) dengan persamaan (v).
29
Langkah ke-2 nilai x
: Eliminasi variabel y dari SPLDV (iv) dan (v) untuk menemukan
Langkah ke-3 diketahui
: Temukan nilai dari y dan z menggunakan nilai x yang telah
4. Menyelesaikan SPLDV dan SPLTV dengan Subtitusi Aktivitas 2.1 MENEMUKAN KONSEP SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Persoalan SPLDV 1 Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan kedua-duanya dikurangi 5, maka pecahan itu akan sama dengan . Persoalan SPLDV 2 Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan kedua-duanya dikurangi 5, maka pecahan itu akan sama dengan . Jika pembilang dan penyebut kedua-duanya ditambah 1, maka pecahan itu akan sama dengan . 1. Tentukan nilai penyebut dari pecahan pada persoalan SPLDV 1 saat diketahui pembilangnya bernilai 2.
2. Buatlah model matematika dan tentukan nilai pecahan pada SPLDV 2 menggunakan metode yang sama dengan metode yang kamu terapkan saat
30
menyelesaikan SPLDV 1. (Petunjuk: buatlah model matematika pada SPLDV 2 serupa dengan model matematika SPLDV 1)
3. Metode yang kamu temukan di atas disebut dengan metode subtitusi. Jelaskan pengertian metode subtitusi dengan kata-katamu sendiri berdasarkan jawabanmu pada nomor-nomor sebelumnya.
Aktivitas 2.2 MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)
SISTEM
(BAGIAN A) Perhatikan persoalan SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. “Dua kali umur Damar ditambah umur Mayang adalah 27, sedangkan empat kali umur Damar dikurang lima kali umur Mayang adalah 5. Misalkan x adalah umur Damar dan y adalah umur Mayang, tentukan umur keduanya.” 1. Bagaimana model matematika dari persoalan di atas?
2. Selesaikan model matematika dari persoalan di atas dengan dua cara (jika memungkinkan) pada kolom berikut.
31
Mensubtitusikan variabel yang mengandung x dahulu
Mensubtitusikan variabel yang mengandung y dahulu
3. Perhatikan persamaan-persamaan berikut dan tentukan variabel yang efektif disubtitusikan terlebih dahulu. 3 + 4 = 10 4 −8 =6 a. c. 2 −4 =5 −5 + 4 = 3 +2 =6 b.
+3 =5
3 − 11 = 14 12 + 3 = 9
d.
32
4. Secara umum, apa yang harus kita perhatikan untuk memilih variabel yang disubtitusikan terlebih dahulu?
MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) (BAGIAN B)
SISTEM
Selesaikanlah SPLDV berikut dengan metode subtitusi. 3 − 11 = 14 7 + 5 = −12
Aktivitas 2.3 MENGGUNAKAN SUBTITUSI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)
SISTEM
Perhatikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLDV) berikut dan selesaikanlah dengan mengikuti langkah-langkah di bawah ini. +3 + =0 2 − + =5 3 − 3 + 2 = 10 Langkah pertama lainnya
() ( ) ( )
: Subtitusikan nilai z dari persamaan (i) ke persamaan
Subtitusikan nilai z dari persamaan (i) ke persamaan (ii) dan namai SPLDV yang baru terbentuk dengan persamaan (iv).
33
Subtitusikan nilai z dari persamaan (i) ke persamaan (iii) dan namai SPLDV yang baru terbentuk dengan persamaan (v).
Langkah ke-2 : Selesaikan SPLDV dari persamaan (iv) dan (v) untuk menemukan nilai x dan y dengan subtitusi
Langkah ke-3
: Temukan nilai dari z dengan nilai x dan y yang telah diketahui
34
Latihan Soal Selesaikanlah persoalan-persoalan berikut. 1.
Selesaikan sistem persamaan di bawah ini. −4 =2 a. 6 +2 =4 + =2 −3 b. +2 =2 −6 c. 2( − ) + 3 − 2 =
2.
−3 =3
−
=2 +3
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong garis 3 + 2 − 7 = 0 dan 5 − − 3 = 0 serta tegak lurus dengan garis + 3 − 6 = 0.
35
3.
Jika tiga garis lurus: + 2 + 3 = 0; sebuah titik yang sama, tentukan nilai a.
+
+ 1 = 0; 2 + 3 + 4 = 0 melalui
4.
Tentukan solusi dari (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan berikut dan tentukan nilai dari ( + ): . = = 2 2 5 3 + 5 − 2 = 23
36
5. Menyelesaikan SPLDV dan Determinan (Aturan Cramer)
SPLTV
dengan
Aktivitas 3.1 MENEMUKAN KONSEP DENGAN SPLDV
DETERMINAN
MATRIKS
2x2
DIKAITKAN
Pada bab sebelumnya, kamu telah mempelajari tentang matriks dan determinan matriks. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut. = Perhatikan matriks di atas dan Tabel 1. Temukan konsep determinan yang dikaitkan dengan SPLDV melalui menjawab pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Tabel 7 Determinan dan SPLDV
SPLDV 4 − 5 = 10 3 + 7 = 14
2 −3 =7 −4 + 6 = 10
+
= −2 −3 − 3 = 6
1. Jika
2. Jika
SPLDV + = + =
SPLDV + umum +
Determinan (D)
Determinan X (Dx)
4 −5 3 7 = 28 + 15 = 43
10 −5 14 7 = 70 + 70 = 140
2 −3 −4 6 = 12 − 12 = 0
7 −3 10 6 = 42 + 30=72
=
=
=
=
1 1 −3 −3 = −3 + 3 = 0
−2 1 6 −3 = 6−6=0
=
pada
tabel
Determinan Y (Dy)
=
tersebut
dinyatakan
dalam
4 10 3 14 = 56 − 30 = 43
=
2 7 −4 10 = 20 + 28 =48
=
1 −2 −3 6 = 6−6=0
=
bentuk
umum
, tentukan D.
pada tabel = , tentukan =
tersebut .
37
dinyatakan
dalam
bentuk
3. Jika
SPLDV + = + =
pada
tabel
, tentukan
MENGAITKAN SOLUSI DETERMINAN MATRIKS
tersebut
dinyatakan
dalam
bentuk
umum
.
DARI
BENTUK
UMUM
SPLDV
DENGAN
Perhatikan bentuk umum dari SPLDV berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. SPLDV bentuk umum + +
= =
,
dengan a1,a2,b1,b2 adalah koefisien variabel x,y dan c1,c2 adalah konstanta persamaan. 1. Selesaikan SPLDV di atas menggunakan metode eliminasi atau subtitusi pada kolom di bawah ini.
2. Nyatakan solusi dari SPLDV di atas dalam bentuk untuk matriks untuk menemukan sebuah aturan dalam mencari solusi SPLDV yang disebut aturan Cramer.
38
Aktivitas 3.2 MENEMUKAN KONSEP DENGAN SPLTV
DETERMINAN
MATRIKS
3x3
DIKAITKAN
Pada bab sebelumnya, kamu telah mempelajari tentang matriks dan determinan matriks. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut. = Perhatikan matriks di atas dan Tabel 2. Temukan konsep determinan yang dikaitkan dengan SPLTV melalui menjawab pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Tabel 8 SPLTV dan Determinan
+ − − + + −
SPLTV
= =− =
+ + −
−
=− = =
Determinan (D)
1 2 −1 = 2 −3 6 1 4 −3
2 3 −1 = 0 4 3 1 −3 0
Determinan x (Dx)
5 2 −1 = −6 −3 6 9 4 −3
−3 3 −1 = 7 4 3 10 −3 0
Determinan y (Dy)
1 5 −1 = 2 −6 6 1 9 −3
2 −3 −1 = 0 7 3 1 10 0
Determinan z (Dz)
1 2 5 = 2 −3 −6 1 4 −9
2 3 −3 = 0 4 7 1 −3 10
1. Jika
SPLTV + + umum +
pada tabel tersebut + = + = , tentukan D. + =
39
dinyatakan
dalam
bentuk
2. Jika
SPLDV + + + + + +
SPLDV + + umum +
pada tabel tersebut = = , tentukan . =
dinyatakan
dalam
bentuk
umum
3. Jika
pada tabel tersebut + = + = , tentukan . + =
dinyatakan
dalam
bentuk
4. Jika
pada tabel tersebut + = + = , tentukan . + =
dinyatakan
dalam
bentuk
SPLDV + + umum +
MENGAITKAN SOLUSI DETERMINAN MATRIKS
DARI
BENTUK
UMUM
SPLTV
DENGAN
Perhatikan bentuk umum dari SPLTV berikut dan isilah titik-titik di bawah ini. Bentuk umum SPLTV + + + dengan , , , , , , adalah konstanta persamaan. 1. Nilai
z
(
,
dari
,
+ + +
= = =
,
adalah koefisien variabel x,y,z dan SPLTV
di
atas
) ( (
)
) (
)
bentuk matriks.
40
,
, adalah
. Nyatakan nilai z dalam
2. Prediksi nilai variabel x dan y berdasarkan aturan yang kamu temukan pada nomor 1.
Latihan Soal Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan determinan. 1.
2.
3.
3 +4 =7 5 − 7 = 39
+
=2
−
=1
+ + = −6 −2 + =3 −2 + + = 9
41
Buatlah model matematika dari persoalan berikut dan selesaikan menggunakan metode yang telah kamu pelajari, baik menggunakan subtitusi, eliminasi, ataupun determinan (aturan Cramer). 1.
Angga anak Pak Purwoko memiliki setumpuk kartu. Keseluruhan kartu dapat dipilah menjadi dua bagian menurut bentuknya. Satu jenis berbentuk persegi yang di dalamnya terdapat gambar seekor kerbau dan empat ekor burung. Satu jenis lagi berbentuk segitiga yang di dalamnya terdapat gambar seekor kerbau dan dua ekor burung. Lihat gambar berikut.
Gambar 2 4 Kartu Persegi dan Segitiga
Berapa banyak kartu persegi dan segitiga yang harus diambil dari tumpukan kartu agar jumlah gambar kerbau 33 dan jumlah gambar burung 100.
2.
Sebuah perahu yang bergerak searah arus sungai dapat menempuh jarak 46 km dalam 2 jam. Jika perahu tersebut bergerak berlawanan dengan arah arus sungai dapat menempuh jarak 51 km dalam 3 jam. Berapa kecepatan perahu dan kecepatan aliran air sungai?
42
3.
Setiap simbol pada gambar di bawah ini mewakili sebuah bilangan. Jumlah bilangan pada setiap baris terdapat di kolom kanan dan jumlah bilangan setiap kolom terdapat di baris bawah. Tentukan bilangan pengganti simbol-simbol.
Gambar 2 5 Simbol yang Mewakili Bilangan
43
Rangkuman
Apa yang telah kamu pelajari? Isilah titik-titik di bawah ini untuk merangkum hal yang telah kamu pelajari melalui LKS ini. 1. 2. 3.
Metode eliminasi dalam menyelesaikan SPL adalah .............................................. ................................................................................................................................. Metode subtitusi dalam menyelesaikan SPL adalah .............................................. ................................................................................................................................. Metode determinan (aturan Cramer) dalam menyelesaikan SPL adalah ............................................................................................................................... ................................................................................................................................., dengan aturan sebagai berikut. … … … … … … … … … = … … … = = … dan = … … … … … … … untuk mencari solusi SPLDV. Sedangkan aturan untuk mencari solusi SPLTV adalah … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … = … … … … … … = , = … … … … … … = , = … … … … … … = . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
44
LEMBAR KEGIATAN SISWA
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Tujuan Pembelajaran Setelah menggunakan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) 3 ini, kamu akan dapat: Menemukan Konsep SPtLDV Menentukan Daerah Penyelesaian SPtLDV Menyajikan dan Menyelesaikan Persoalan Sehari-hari tentang SPtLDV
Pengantar
Gambar 3 1 Perumahan
Dengan mempelajari tentang Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) kita dapat menyelesaikan banyak permasalahan sehari-hari. Permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan mempelajari topik ini adalah menyangkut permasalahan sistem linear dengan syarat-syarat tertentu. Salah satunya adalah masalah tentang pembangunan perumahan dengan keterbatasan lahan dan sumber daya. Untuk mengetahui hal ini lebih lanjut, lakukanlah kegiatan pada LKS ini.
45
1. Menemukan Konsep SPtLDV Aktivitas 1.1 MENEMUKAN KONSEP PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV) Perhatikan dan lengkapi tabel 1, kemudian jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Tabel 9 Contoh dan Bukan Contoh PtLDV
No 1
Contoh PtLDV
Contoh PLDV
Keliling bingkai lukisan berbentuk Keliling bingkai lukisan berbentuk persegi panjang bukanlah 80 cm. persegi panjang adalah 80 cm.
Gambar 3 2 Lukisan 1
Misalkan panjang bingkai adalah x dan lebar bingkai adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika ........................................................... 2
Gambar 3 3 Lukisan 2
Misalkan panjang bingkai adalah x dan lebar bingkai adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika ........................................................... Lama perjalanan udara dari kota A Lama perjalanan udara dari kota A ke kota B ditambah perjalanan darat ke kota B ditambah perjalanan darat menuju kota C adalah paling lama 5 menuju kota C adalah 5 jam jam perjalanan. perjalanan. Misalkan lama perjalanan udara dari A ke B adalah x dan lama perjalanan darat dari B ke C adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika ...........................................................
46
Misalkan lama perjalanan udara dari A ke B adalah x dan lama perjalanan darat dari B ke C adalah y, maka hubungan x dan y dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika ...........................................................
3
Paman harus mengeluarkan uang minimal Rp. 1.600.000,- setiap bulannya untuk dua kali penyuntikan sapi dan satu kali penyuntikan kambing di peternakannya agar terhindar dari penyakit menular.
Paman harus mengeluarkan uang sebesar Rp. 1.600.000,- setiap bulannya untuk dua kali penyuntikan sapi dan satu kali penyuntikan kambing di peternakannya agar terhindar dari penyakit menular.
Misalkan ................................................................ ................................................................ .............................................................., maka hubungan ............ dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika .........................................
Misalkan ................................................................ ................................................................ .............................................................., maka hubungan ............ dari kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai model matematika .........................................
1. Secara umum berdasarkan pengamatan pada contoh dan bukan contoh PtLDV pada tabel 1, apakah yang membedakan PLDV dan PtLDV?
2. Jelaskan mengenai pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV) adalah .................................................................................................................. dengan kemungkinan tanda yang dimiliki antara lain ..., ..., ..., dan ... MENEMUKAN SOLUSI (PENYELESAIAN) PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV) Perhatikan persoalan berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. “Rita membawa apel dan pir untuk acara di sekolah dengan total berat keduanya kurang dari 12 kg. Berapakah kemungkinan berat buah yang Rita bawa untuk masing-masing jenisnya?” 1. Misalkan berat apel adalah x dan berat pir adalah y, buatlah model matematika dari persoalan di atas.
2. Isilah tabel berikut dengan mengganti pertidaksamaan yang kamu temukan. 1 Berat Apel (...) ... ... 10 ... ... Berat Pir (...)
47
nilai ... ...
variabel-variabel ... ...
dari ... ...
3. Nyatakan kemungkinan jawaban (solusi) dari berat apel dan berat pir sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi model matematika yang kamu buat. {(… , … ); (… , … ); (… , … ); (… , … ); (… , … ); (… , … ); … }. 4. Gambarlah setiap pasangan variabel x,y dari tabel berat buah sebagai sebuah titik pada bidang koordinat kartesius di bawah ini. Selain itu, gambarlah garis dari sebuah persamaan yang diperoleh dengan mengubah pertidaksamaan yang kamu temukan sebelumnya menjadi persamaan.
5. Buatlah kesimpulan mengenai PtLDV berdasarkan grafik yang kamu buat. Letak solusi (penyelesaian) dari pertidaksamaan ditinjau dari letak garis adalah .................................................................................................... Solusi (penyelesaian) dari pertidaksamaan di atas berupa ....................................................................................................................... (Arsirlah daerah bukan penyelesaian sehingga daerah penyelesaian merupakan daerah bersih) 6. Apakah titik-titik pada garis termasuk solusi (penyelesaian) PtLDV? Jelaskan.
48
Aktivitas 1.2 MENEMUKAN KONSEP SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) Perhatikan tabel 1.2 mengenai Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini. Tabel 10 SPtLDV dan SPLDV
SPtLDV − +
SPLDV
≥0 ≥4
− +
=0 =4
+ 2 ≤ 10 2 + <6
+ 2 = 10 + =6
≤ 10 >6
= 10 =6
<1 − ≥6
=1 − =6
1. Apakah perbedaan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dilihat dari model matematikanya?
2. Buatlah kesimpulan tentang Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) menggunakan kata-katamu sendiri.
6. Menentukan Daerah Penyelesaian SPtLDV Aktivitas 2.1 MENENTUKAN DAERAH PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) I Perhatikan Persoalan Sehari-hari mengenai Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) berikut dan jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 49
“Seorang arsitek ingin membangun perumahan dengan dua tipe rumah, yakni tipe rumah modern minimalis dan tipe rumah tradisional jawa pada sebidang tanah dengan luas 10.000 m2. Untuk membangun rumah modern minimalis dibutuhkan tanah seluas 80 m2 dan untuk membangun rumah tradisional jawa dibutuhkan tanah seluas 100 m2. Arsitek tersebut berencana untuk membuat paling banyak 120 unit.
Gambar 3 4 Rumah Modern Minimalis
Gambar 3 5 Rumah Tradisional Jawa
Bantulah arsitek menentukan banyaknya rumah bertipe modern minimalis dan rumah bertipe tradisional jawa yang dapat dibuat, serta gambarlah daerah penyelesaiannya.” 1. Bagaimanakah model matematika dari persoalan di atas?
2. Gambarlah grafik berdasarkan model matematika yang telah kamu temukan sesuai dengan keterangan pada tabel di bawah ini. (Arsirlah daerah bukan penyelesaian) Grafik Pertidaksamaan 1 Grafik Pertidaksamaan 3
Grafik Pertidaksamaan 2
Grafik Pertidaksamaan 4
50
Grafik SPtLDV
3. Berdasarkan grafik SPtLDV dari persoalan di atas, Nyatakan kemungkinan banyaknya rumah bertipe modern minimalis dan rumah bertipe tradisional jawa yang dapat dibuat sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi model matematika yang kamu buat. {(… , … ); (… , … ); (… , … ); (… , … ); (… , … ); (… , … ); … }. 3. Buatlah kesimpulan mengenai SPtLDV berdasarkan grafik yang kamu buat. Kemungkinan jawaban yang bisa ditemukan terletak ..................................... yang dibatasi ...........................................................................................................
pada oleh
4. Secara umum, tentukan langkah-langkah yang bisa digunakan untuk menentukan daerah penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV).
MENENTUKAN DAERAH PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) II Tentukan setiap daerah penyelesaian dari SPtLDV pada nomor 1 di bawah ini dan jawablah pertanyaan pada nomor lainnya berdasarkan pengamatan pada nomor 1. 1. Gambarlah daerah penyelesaian dari setiap sistem pertidaksamaan di bawah ini. + <2 a. 3 − = −6
51
b.
+ <2 3 − < −6
c.
+ ≤2 3 − ≤ −6
d.
+ ≤2 3 − ≥ −6
52
e.
+ ≥2 3 − ≤ −6
f.
+ ≥2 3 − ≥ −6
2. Berdasarkan daerah penyelesaiannya, apakah perbedaan no.1a dan 1b?
53
3. Berdasarkan daerah penyelesaiannya, apakah perbedaan no.1b dan 1c?
4. Berdasarkan daerah penyelesaiannya, apakah perbedaan no.1c dan 1d?
5. Berdasarkan daerah penyelesaiannya, apakah perbedaan no.1d dan 1e?
6. Berdasarkan daerah penyelesaiannya, apakah perbedaan no.1e dan 1f?
Aktivitas 2.2 MENENTUKAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) DARI LUKISAN DAERAH PENYELESAIANNYA Perhatikan grafik berikut dan tentukan SPtLDV dari grafik tersebut dengan menjawab pertanyaan pada setiap nomor di bawah ini.
1. Daerah bersih pada grafik di atas dibatasi oleh 4 garis, yaitu garis a, garis b, garis c, dan garis d. a. Bagaimanakah persamaan dari garis a yang melalui titik A dan B? (Petunjuk: ingat rumus menentukan persamaan garis melalui dua titik)
Daerah bersih berada di ........ garis a. Tanda pertidaksamaannya adalah ...., sehingga pertidaksamaan yang terbentuk adalah ............................... 54
b. Bagaimanakah persamaan dari garis b yang melalui titik B dan C?
Daerah bersih berada di ........ garis b. Tanda pertidaksamaannya adalah ...., sehingga pertidaksamaan yang terbentuk adalah ............................... c. Bagaimanakah persamaan dari garis c yang melalui titik C dan D?
Daerah bersih berada di ........ garis c. Tanda pertidaksamaannya adalah ...., sehingga pertidaksamaan yang terbentuk adalah ............................... d. Bagaimanakah persamaan dari garis d yang melalui D dan A?
Daerah bersih berada di ........ garis d. Tanda pertidaksamaannya adalah ...., sehingga pertidaksamaan yang terbentuk adalah ............................... 2. Bagaimana Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) yang membentuk daerah bersih pada grafik di atas?
3. Secara umum, bagaimanakah langkah-langkah yang bisa digunakan untuk menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dari daerah penyelesaiannya?
55
Latihan Soal Selesaikan persoalan-persoalan berikut sesuai dengan petunjuk pada setiap nomor. 1. Lukislah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut. a. 0 ≤ ≤ 5, 1 ≤ ≤ 6, ≤ 2 + 4
b.
c.
≤ 10, 3 + 2 ≥ 9, − 2 ≤ 6, +
−
≤0
56
≤5
d. ( + )( −
+ 2) ≥ 0
57
2. Buatlah sistem pertidaksamaan yang daerah penyelesaiannya berbentuk persegi panjang jika diketahui titik sudut persegi panjang adalah (-3, 0), (-3, 2), (-6, 0), dan (-6, 2).
3. Misalkan kamu pergi ke sebuah pemancingan yang memiliki dua jenis ikan untuk dipancing, yaitu ikan nila dan gurameh. Pemancingan tersebut memiliki peraturan tertentu untuk setiap pengunjungnya, dimana kamu tidak boleh menangkap lebih dari 15 ikan nila per harinya, tidak boleh menangkap lebih dari 10 ikan gurameh per harinya, dan tidak boleh menangkap lebih dari 15 ikan per harinya. a. Buatlah model matematika dari persoalan di atas dan lukislah daerah penyelesaiannya.
58
b. Gunakan grafik untuk mengetahui apakah kamu boleh menangkap 11 ikan nila dan 9 ikan gurameh dalam sehari. Jelaskan.
4. Sebuah percetakan foto memiliki fasilitas self-service dimana pengunjung dapat memilih jenis pencetakan dan mencetak fotonya sendiri melalui komputer yang disediakan. Setiap jenis pencetakan dihargai Rp.8.000,- setiap lembarnya. Jumlah gambar yang bisa dicetak pada setiap jenis pencetakan dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
Gambar 3 6 Jenis Cetakan A
Gambar 3 7 Jenis Cetakan B
a. Kamu ingin mencetak minimal 16 foto dengan sembarang ukuran dan berharap tidak menghabiskan lebih dari Rp. 48.000,- untuk biaya pencetakan. Tulis dan lukislah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang terbentuk dari situasi ini.
59
b. Dapatkah kamu memperoleh 12 foto dari pencetakan jenis A dan 6 foto dari pencetakan jenis B dengan situasi yang sama? Jelaskan.
60
Rangkuman
Apa yang telah kamu pelajari? Isilah titik-titik di bawah ini untuk merangkum hal yang telah kamu pelajari melalui LKS ini. 1. 2. 3.
4.
Perbedaan PLDV dan PtLDV terletak pada ..................................... Kemungkinan tanda yang dimiliki PtLDV yaitu ........................................ Secara umum, SPtLDV adalah ................................. yang saling ................................ Secara umum, langkah-langkah yang bisa digunakan untuk menentukan daerah penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel adalah.......................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ............................................................................................................................... Secara umum, langkah-langkah yang bisa digunakan untuk menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dari daerah penyelesaiannya adalah.......................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ................................................................................................................................
61
DAFTAR PUSTAKA Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. (2013). Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. Larson, Ron dkk. Algebra 1. (2011). Texas: Holt McDougal, a division of Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Liang, Su. (2013). Middle-grades Mathematics Classrooms Instruction in China: A Case Study. Mathematics Teaching-Research Journal Online, vol. 6, No. 4, 62-81. Lo, Mun Ling. (2012). Variation Theory and The Improvement of Teaching and Learning. Goteborg : Acta Universitatis Gothoburgensis. Marton, F., & Booth, S. (1997). Learning and Awareness. Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates Publishers. Marton, Ference dan Ming Fai Pang. (2006). On Some Necessary Conditions of Learning, The Journal of Learning Sciences, 15(2), 193-220. Marton, Ference. (1981). Phenomenography: Describing Conceptions of the World Around Us, Instructional Science 10 (1981) 177-200. Mason, John. (2011). Explicit and Implicit Pedagogy: variation theory as a case study. Prosiding, the British Society for Research into Learning Mathematics 31(3) November 2011. Oxford: University of Oxford and Open University Mok, Ida Ah Chee. (2006). Shedding Light on the East Asian Learner Paradox: Reconstructing Student-centredness in a Shanghai Classroom, Asia Pacific journal of Education, vol.26, No. 2, November 2006, 131-142. Pang, Ming Fai. (2008). Using the Learning Study Grounded on the Variation Theory to Improve Students’ Mathematical Understanding. Hong Kong : Creative Common Sukino. (2013). Matematika untuk SMA/MA Kelas X Semester 1.Jakarta: Erlangga.
62
