15/01/2017
PROBSTAT (MUG2D3)
III. PROBABILITAS (PROBABILITY) 3.1 Probabilitas dan Statistika 3.2 Konsep Probabilitas
a. Pengertian: Eksperimen, Ruang Contoh, Titik Contoh, Event. b. Operasi dalam Himpunan - Komplemen - Irisan - Mutually Exclusive - Gabungan - Independent, and Dependent Event - Sifat Operasi Himpunan 3.3 Analisis Kombinatorika 3.4 3.4 Perumusan Nilai Probabilitas (Hitung Peluang)
1
3.1 Probabiltas dan Statistika Probabilitas
Probabilitas metode ilmiah yang dikembangkan untuk menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan ketidakpastian (uncertaint).
Statistika Statistika adalah metode ilmiah untuk mengumpulkan, mengorganisasi, meringkas, menganalisis dan menarik kesimpulan dari data.
1
15/01/2017
3.2 Konsep Probabilitas Terminologi
Probabilitas (Probability) : kemungkinan, peluang, kesempatan. Konsep
Probabilitas merupakan konsep umum yang didefinisikan sebagai kemungkinan (change) terjadinya suatu kejadian (event).
Teori probabilitas telah dikembangkan sebagai alat ilmiah berurusan dengan kemungkinan (change), yaitu alat untuk mengukur ketidakpastian (quantify uncertainty), baik untuk memastikan sesuatu kejadian di dalam kehidupan sehari-hari dan dalam berbagai bidang peneltian seperti hasil percobaan acak (randomized experiments) dan hasil sampel secara acak (random sampling ) dari suatu survey. Definisi Probabilitas
Probabilitas adalah derajat atau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasi percobaan statistik (biasanya dilambangkan dengan P).
Kehidupan Sehari-hari. Banyak kejadian di dalam kehidupan sehari-hari yang bersifat tidak pasti terlebih kejadian di masa mendatang yang sulit untuk dipastikan tetapi segera diputuskan walaupun tidak yakin tentang hasil.
̶ Apakah hari ini akan turun hujan? Memastikan apakah hari ini akan turun hujan untuk memutuskan membawa payung atau tidak. ̶ Apakah rencana bisnis akan berhasil? Memastikan apakah akan untung ketika akan memutuskan memulai suatu bisnis
̶ Apakah harga minyak mentah akan naik? Memastikan apakah harga minyak mentah akan naik ketika akan memutuskan membeli mobil yang memiliki konsumsi bahan bakar yang efisien, dsb.
2
15/01/2017
Hasil Percobaan dan Survey Sampling. Percobaan dengan menggunakan uang logam (coin), kartu ataupun dadu atau suvery sampling. ̶ Percobaan pelemparan uang logam tidak diketahui hasilnya dengan pasti apakah yang akan muncul muka gambar atau angka. ̶ Percobaan penarikan sebuah kartu remi (bridge) dari suatu box tidak diketahui dengan pasti apakah yang terambil gambar hati (hart), wajik (diamond), sekop (spade) atau keriting (club/clover).
̶ Percobaan pelemparan sebuah dadu tidak diketahui hasilnya dengan pasti apakah yang akan muncul muka muka dadu 1, 2, 3 4, 5 atau 6. ̶ Menghitung kemungkinan untuk memenangkan lotre. ̶ Menghitung kemungkinan suatu saham akan naik.
̶ Pengujian keandalan 2 buah produk untuk menentukan mana yang lebih berkualitas. ̶ Pengujian-pengujian hipotesis dalam berbagai bidang penelitian.
a. Pengertian: Eksperimen, Ruang Contoh, Titik Contoh, Event. Percobaan (Experiment) adalah kegiatan yang direncanakan dan suatu proses (trial) yang memberikan hasil (outcome) berupa data mentah. ○ Data mentah yang dicatat hasil dari suatu percobaan baik numerik maupun kategorik sering disebut sebagai pengamatan. Acak (Random)
Random adalah sesuatu yang terjadi berdasarkan kemungkinan (happen by change) atau benar-benar tidak diketahui (utterly unknow). Percobaan Acak (Random Experiment)
Suatu percobaan jika keluarannya (out comes) tidak dapat diprediksi terlebih dahulu. Atau:
Suatu percobaan yang memberikan hasil berbeda-beda, mesikipun beberapa kali diulang dengan cara yang sama.
3
15/01/2017
Ruang Sampel (Sample Space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika (S) dan setiap anggotanya disebut titik sampel.
Ada 2 macam ruang sampel, yaitu ruang sampel terhingga dan tidak terhingga.
G
A
Ruang sampel terhingga, setiap anggotanya dapat didaftar berurutan dipisahkan dengan koma diantara dua akolade {}.
S = {G, A}
Ruang Sampel tidak terhingga, yang dapat diterangkan melalui suatu pernyataan atau aturan. Misalnya kemungkinan hasil percobaan berupa himpunan kota di dunia yang berpenduduk satu juta, maka ruang sampelnya dinyatakan dengan:
S={x|x suatu kota yang berpenduduk melebihi satu juta}
dibaca: S merupakan kumpulan semua x, bila x menyatakan kota yang berpenduduk lebih dari satu juta.
4
15/01/2017
Diagram Pohon dapat digunakan untuk membantu menentukan kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Soal:
Jika sebuah keluarga memiliki 3 anak, tentukan ruang sampel untuk gender anak laki-laki (B) dan anak perempuan (G)?
Solusi: Terdapat 8 kemungkinan dengan 3 anak, sehingga ruang sampelnya: S = {BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG}
Tabel Kontingensi dapat digunakan untuk membantu menentukan kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Soal:
Jika 2 buah dadu dilantukan, tentukan ruang sampel yang mungkin? Solusi:
Terdapat 36 kemungkinan untuk 2 muka, yaitu: S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
5
15/01/2017
Kejadian (Event)
Suatu kejadian (event) adalah himpunan dari hasil yang muncul/terjadi suatu percobaan statistik (notasi A). Artinya bahwa suatu kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel (A ⊆ S) Soal:
Kejadian A adalah hasil lemparan sebuah dadu yang dapat dibagi tiga. Ada 2 macam kejadian, yaitu:
Solusi:
Hasilnya: A = { 3, 6 }.
Dimana kejadian A merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Kejadian sederhana yang hanya terdiri atas satu titik sampel
Kejadian majemuk yang dinyatakan sebagai gabungan beberapa kejadian sederhana.
Ruang sampel nol disebut sebagai himpunan kosong (φ) yaitu himpunan bagian dari ruang sampel yang tidak mengandung satupun anggota.
Contoh terhingga:
• Percobaan: Pelemparan tiga koin bersamaan dan mencatat banyaknya muka yang muncul sehingga diperoleh : Ruang sampel S = {0, 1, 2, 3}, maka: A = Kejadian tidak ada muka yang muncul: A = {0} B = Kejadian banyaknya muka yang muncul 2 atau kurang: B = {0, 1, 2} Contoh tidak terhingga:
• Percobaan: Pengamatan terhadap umur (dalam bulan) sebuah lampu. Ruang sampel: S = {t|t ≥ 0} E = Kejadian umur lampu melebihi 10 bulan: E = {t|t > 10} F = Kejadian umur lampu sebelum 36 bulan: F = {t|0 ≤ t < 36}
6
15/01/2017
3.2 Operasi Himpunan Operasi Dasar Himpunan
1. Komplemen (Complement) dinotasikan ( ‘)
2. Irisan (Intersection) dinotasikan (∩)
3. Gabungan (Union) dinotasikan (∪)
A’
(A∩B)
(A ∪ B)
Komplemen (Complement) Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk A yang dinyatakan dengan A’. Soal:
Pada lantunan sebuah dadu, A kejadian munculnya bilangan yang dapat dibagi tiga, tentukan anggota dari kejadian komplemen A? Solusi:
Ruang sampel S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A={3, 6}, maka komplemen A yaitu A’={1, 2, 4, 5}.
7
15/01/2017
Irisan (Intercept) Irisan kejadian A dan B yaitu kejadian yang anggotanya termasuk dalam A dan B. Definisi: A∩B = {x|x∈A dan x∈B}
berlaku A ∩ B = B ∩ A, di mana A ∩ B dimuat baik oleh himpunan A maupun himpunan B, yaitu : (A ∩ B) ⊂ A dan (A ∩ B) ⊂ B. Soal:
Pada lantunan sebuah dadu, A kejadian munculnya bilangan genap yang muncul dan B kejadian bilangan lebih besar dari 3. Tentukan irisan A dan B? Solusi: Ruang sampel S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2,4,6} dan B = {4,5,6}, maka : A ∩ B = {4,6}
Mutually Exclusive (Disjoint) Kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah apabila A dan B tidak memiliki anggota persekutuan. Definisi: A∩B = ∅ Soal:
Pada lantunan sebuah dadu, A kejadian munculnya bilangan genap yang muncul dan B kejadian bilangan ganjil. Tentukan irisan A dan B? Solusi: Ruang sampel S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2,6} dan B = {1,3,5}, maka : A ∩ B = ∅
8
15/01/2017
Gabungan (Union) Gabungan kejadian A dan B yaitu kejadian yang mengandung semua anggota yang termasuk A atau B atau keduanya.
Definisi: AUB = {x|x∈A atau x∈B atau x∈A dan x∈B} Berlaku A ∪ B = B ∪ A, di mana kedua himpunan A dan B selalu merupakan himpunan bagian dari A ∪ B, yaitu: A ⊂ ( A ∪ B ) dan B ⊂ ( A ∪ B ) . Soal:
Pada lantunan sebuah dadu, A kejadian munculnya bilangan genap yang muncul dan B kejadian bilangan ganjil kurang dari 5. Tentukan gabungan A dan B? Solusi: Ruang sampel S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6} dan B = {1, 3}, maka : A U B = {1, 2, 3, 4, 6}
Kejadian Saling Bebas (Independent Event)
Jika munculnya satu kejadian tidak berpengaruh ke kejadian yang lain. Contoh:
○ Lantunan dadu atau coin
○ Penarikan kelereng atau kartu bridge dengan pengembalian (with replacement - WR) Kejadian Saling Terpisah (Dependent Event)
Jika munculnya satu kejadian berpengaruh ke kejadian yang lain. Contoh:
○ Penarikan kelereng atau kartu bridge tanpa pengembalian (without replacement - WOR)
9
15/01/2017
Sifat Operasi Himpunan Sifat kumulatif
A ∩ B = B ∩ A dan A U B = B U A
Sifat asosiatif
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A U (B U C) = (A U B) U C
Sifat distributif
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Sifat komplemen (De Morgan) A ∩ A’ = ∅ A ∪ A’ = S (A’)’ = A
S’ = ∅
∅’ = S (A ∩ B)’ = A’ U B’ (A U B)’ = A’ ∩ B’
Sifat lainnya A∩∅=∅ A∪∅=A
3.3 Analisis Kombinatorika Analisis Kombinatorika (Menghitung Titik Sampel)
Menentukan probabiltas suatu kejadian dari suatu ruang sampel sederhana dapat dibantu dengan tabel atau diagram pohon. Untuk persoalan dengan kejadian yang beragam akan menjadi lebih sulit menentukan berapa keluaran semua kemungkinan kejadian tersebut, oleh karena itu untuk membantu hal tesebut membutuhkan teknik untuk menghitungnya (counting techniques) yang dikenal dengan analysis combinatorial. Ada tiga macam teknik:
a. Fundamental Counting Rule: Aturan Perkalilan dan Faktorial b. Permutation Rule: Permutasi
c. Combination Rule: Kombinasi
10
15/01/2017
a. Fundamental Counting Rule
Aturan Perkalian/Kaidah Penggandaan
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan bersama-sama dengan:
n1n2…nk cara.
Bilangan Faktorial
Bila n bilangan bulat posistif, maka bilangan faktorial ditulis dengan n!.
n! = n(n-1)(n-2) ... 3.2.1
untuk:
0! = 1 1! = 1
Soal:
Anda akan membeli sebuah kendaraan baru dengan kemungkinan pilihan memperhatikan jenis, bahan bakar dan warnanya sebagai berikut: Jenis : Fortuner, Pajero, Captiva BBM : disesel, bensin Warna : putih (W), red (R), hitam (B) dan hijau (G)
Tentukan ada berapa pilihan yang mungkin untuk menentukan sebuah mobil? Gunakan aturan perkalian dan bandingkan dengan membuat diagram pohon untuk menentukan hasilnya. Solusi: Artinya harus menentukan cara yang berbeda untuk memilih satu jenis mobil dengan satu pilihan BBM dan sebuah pilihan warna):
Aturan Perkalian
Ada 3 pilihan untuk jenis kendaraan (n1=3), 2 pilihan untuk BBM (n2=2) dan 3 pilihan untuk warna (n3=3). Maka jumlah cara yang mungkin untuk memilih satu jenis mobil, satu BBM dan satu warna adalah:
n1n2n3 = (3)(2)(4) = 24 cara atau pilihan
11
15/01/2017
Diagram Pohon Menggunakan diagram pohon dapat dijelaskan mengapa hasilnya 24.
Meliputi pilihan ke-1 (Fortuner, Diesel, putih), pilihan ke-2 (Fortuner, Diesel, merah) dst. hingga pilihan terakhir ke-24 (Captiva, Bensin, hijau).
Soal:
Suatu access code untuk alarm mobil terdiri atas 4 digit. Masing-masing digit dapat terdiri dari angka 0 sampai dengan 9. Ada berapa access code yang mungkin, jika:
a. Masing-masing digit hanya dapat digunakan satu kali dan tidak diulang? b. Masing-masing dapat diulang?
c. Masing-masing dapat diulang tetapi digit pertama bukan angka 0 dan 1
12
15/01/2017
b. Permutation Rule: Permutasi
Adalah susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan (n) yang berlainan dengan mengambil sekaligus baik sebagian dan seluruhnya anggota himpunan (r) dan memberi arti*) pada urutan masingmasing susunannya. *) Misalnya susunan 2 anggota A dan B, maka AB ≠ BA (memiliki arti yang berbeda).
Ada beberapa jenis permutasi: 1. Permutasi Sebagian
2. Permutasi Menyeluruh (Faktorial) 3. Permutasi Melingkar
4. Permutasi Data Berkelompok
13
15/01/2017
Ada beberapa jenis permutasi:
1. Permutasi Sebagian
Bila r < n, maka:
Artinya, suatu himpunan yang terdiri atas n anggota dan diambil sebagian sebanyak r
Soal: Berapa banyak jadwal kuliah Probastat yang dapat disusun bila terdapat 2 orang dosen yang bersedia diplot pada hari Senin sampai Kamis? Solusi: Banyaknya jadwal yang mungkin disusun:
n
Pr =
n! 4! 24 = = = 12 ( n − r )! (4 − 2)! 2
2. Permutasi Menyeluruh (Faktorial),
Bila r = n, maka:
nPr
= n!
Artinya, suatu himpunan yang terdiri atas n anggota dan diambil seluruhnya sebanyak r=n. Soal: Berapa banyak jadwal kuliah Probastat yang dapat disusun bila terdapat 3 orang dosen yang bersedia diplot pada hari Senin, Rabu dan Kamis?
Solusi: Anda 6 jadwal yang mungkin,yaitu srk, skr, rsk, rks, ksr dan krs. Ini merupakan hasil permutasi: nPr
= n! → 3P3 = 3!= (3)(2)(1) = 6
14
15/01/2017
3. Permutasi Melingkar
Adalah banyaknya permutasi n anggota yang berlainan yang disusun dalam suatu lingkaran. Susunannya:
Contoh:
Ada 3 orang yang akan duduk di kursi dengan meja berbentuk lingkaran. Berapakah jumlah komposisi yang mungkin? Solusi:
Komposisi yang mungkin: (3-1)! = 2
Contoh:
Ada 4 orang akan bermain bridge dengan duduk berhadap-hadapan. Berapakah susunan duduk yang mungkin? Solusi:
Komposisi yang mungkin: (4-1)! = 6
15
15/01/2017
4. Permutasi Data Berkelompok
Adalah banyaknya permutasi n anggota yang berbeda jenisnya, n1 berjenis 1, n2 berjenis 2, …, nk berjenis k dan n1 + n2 + … + nk. Susunannya:
Contoh:
Berapa banyak cara untuk menampung 7 orang petinju di 3 kamar hotel, bila 1 kamar bertempat tidur 3 dan 2 lainnya bertempat tidur 2? Solusi:
Banyaknya cara:
7 7! 3,2,2 = 3! 2! 2! = 210
c. Combination Rule: Kombinasi
Adalah susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan (n) dengan mengambil sekaligus seluruh atau sebagian anggota himpunan (r) dan tanpa memberi arti*) pada urutan masing-masing susunannya.
n n! Cr = r r! (n − r)! di mana : r ≤ n n
*) Misalnya susunan 2 anggota A dan B, maka AB = BA (memiliki arti yang sama).
Soal: Berapa banyak jadwal kuliah Probastat yang dapat disusun bila 1 orang dosen bersedia diplot selama 2 hari per minggu pada hari Senin sampai Kamis? Solusi: Banyaknya jadwal yang mungkin disusun: n Cr =
n! 4! 24 = = =6 r! (n − r)! 2! (4 − 2)! 4
16
15/01/2017
Soal: Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, carilah banyaknya panitia yang terdiri dari 3 orang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan? Solusi: Banyaknya cara memilih 2 orang kimiawan dari 4: Banyaknya cara memilih seorang fisikawan 3:
4
C2 =
4! =6 2! (4 − 2)!
4
C2 =
3! =3 1! (3 − 1)!
Banyaknya panitia yang teridiri dari 2 orang kimiawan dan 1 orang fisikawan: Aturan perkalian:
n1.n2 = (6)(3) = 18
Soal: Dari 500 chips dalam sebuah box 9 cacat. Apabila dilakukan random sampling sebanyak 3 buah dari box tanpa pengembalian, maka: a. Ada berapa sampel yang mungkin: b. Ada berapa sampel yang mungkin mengandung 3 chips yang cacat? Solusi: Banyaknya sample yang mungkin terpilih adalah: Banyaknya sampel yang mengandung 3 chips yang cacat:
500
9
C3 =
C3 =
500! = 20708500 3! (500 − 3)!
9! = 84 3! (9 − 3)!
17
15/01/2017
3.4 Perumusan Nilai Probabilitas Definisi Probabilitas
Probabilitas adalah derajat atau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasi percobaan statistik (biasanya dilambangkan dengan P). Nilai Probabilitas
Nilai probabilitas dapat dinyatakan sebagai pecahan, desimal atau dengan persentase yang menyatakan pengertian yang sama.
Ketika bertanya, “Berapa peluang munculnya gambar dalam lantunan sebuah koin?” Maka dapat dijawab dengan pernyataan “1/2”, “0.5” atau “50%”.
Probabilitas bagi ruang sampel terhingga, memberikan segugus bilangan nyata yang disebut pembobot atau peluang dengan nilai 0 sd. 1. Setiap titik sampel diberikan satu nilai peluang sehingga jumlah peluang untuk semua titik sampelnya = 1. Tingkat keyakinan bahwa suatu titik sampel tertentu kemungkinan besar akan terjadi, maka bobotnya mendekati 1. Tingkat keyakinan bahwa suatu titik sampel tertentu kemungkinan kecil akan terjadi, maka bobotnya mendekati 0. Tingkat keyakinan bahwa suatu titik sampel tertentu tidak mungkin terjadi, maka bobotnya sama dengan 0.
18
