1
PENGAMBILAN KEPUTUSAN DALAM KONDISI KETIDAKPASTIAN UNTUK MENENTUKAN BIDANG YANG AKAN DIKEMBANGKAN DENGAN MENGGUNAKAN ANALISIS BAYES Ayu Pertiwi1, Susiswo2, Trianingsih Eni Lestari3 Universitas Negeri Malang E-mail:
[email protected] Abstrak Pengambilan keputusan terletak dalam perumusan berbagai alternatif tindakan sesuai dengan pemilihan alternatif yang tepat. Teorema Bayes digunakan pada proses pengambilan keputusan yang tidak terlepas dari teori peluang. Teorema Bayes dikenal sebagai rumus dasar untuk peluang bersyarat yang tidak bebas. Salah satu syarat agar teorema bayes bisa digunakan untuk pengambilan keputusan adalah peluang prior diketahui dan posterior dihitung. Pengambilan keputusan ini diterapkan pada usaha bidang berdagangan pakaian yaitu Pertiwi’s Fashion. Dengan menggunakan teorema Bayes pengembangan produk pada pertiwi’s fashion adalah produk aksesoris dengan nilai harapan maksimum sebesar 11,09. Kata kunci: pengambilan keputusan, teorema Bayes, pertiwi’s fashion. Abstrac Decision-making lies in the formulation of various alternative actions in accordance with the selection of an appropriate alternative. Bayes Theorem is used in the decision-making process that is inseparable from opportunity theory. Bayes theorem is known as the basic formula for the conditional probability is not free. One of the conditions that Bayes theorem can be used for decision-making is known prior and posterior odds calculated. Decision making is applied to the field of business, namely clothing berdagangan Earth's Fashion. By using Bayes theorem on product development motherland's fashion accessories is a product with a maximum expected value of 11.09. Keywords: decision making, Bayes theorem, pertiwi’s fashion.
Mengambil atau membuat keputusan adalah kondisi dalam pilihan, biasanya dalam membuat keputusan akan banyak berbagai alternatif tetapi pembuat keputusan harus memilih salah satu alternatif dari sekian banyak alternatif karena dalam membuat atau mengambil keputusan itu berkaitan dengan menentukan keputusan mana, dari sekelompok alternatif yang mungkin dan yang optimal untuk suatu kondisi tertentu. Dalam proses membuat keputusan salah satu komponen yang penting adalah mengumpulkan banyak informasi. Penerapan pengambilan keputusan ini bisa melalui bidang usaha atau yang lainnya. Bidang usaha tersebut misalnya usaha butik seperti pada pertiwi’s fashion ini. Pertiwi’s Fashion adalah usaha yang bergerak dalam bidang fashion. Barang yang diproduksi oleh pertiwi’s fashion adalah pakaian wanita, kerudung, dan aksesoris. 1. 2. 3.
Ayu Pertiwi adalah mahasiswa jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang Susiswo adalah dosen jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang Trianingsih Eni Lestari dosen jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang
2
Rencananya usaha ini akan dikembangkan dengan menaikkan jumlah produksi, tetapi kendala yang dihadapi dalam usaha ini adalah keterbatasan modal. Pertiwi’s Fashion hanya bisa mengembangkan atau menaikkan jumlah produksi pada salah satu jenis produknya. Dari penjelasan di atas perlu dilakukan pengambilan keputusan manajemen untuk memilih bidang yang akan dikembangkan. Pengambilan keputusan harus memperhatikan fakta-fakta dari sekitar yang ada untuk menentukan tindakan alternatif. Dalam hal ini aplikasi teori keputusan statistik akan diperlukan. Salah satu cara untuk menentukan keputusan secara statstik adalah dengan menggunakan teorema Bayes, karena teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas mengenai sebab-sebab terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang dapat diperoleh sebagai hasil observasi, yaitu dalam rangka pemecahan masalah dalam pengambilan keputusan yang mengandung ketidakpastian. Pada data penjualan ini mengikuti sebaran normal. Data yang mengikuti sebaran tergantung pada dua parameter yaitu rata-rata dan simpangan baku. Misal sampel acak berukuran n, dengan dan , maka
Misal
dan sampel acak berukuran n maka dan
(1)
(2)
Dengan: s = Simpangan baku = Nilai data ke-i = Rata-rata n = Banyaknya data Menurut Levin dkk, 2002 (dalam Hazhiah dkk, 2012) Syarat-syarat Teorema Bayes bisa digunakan untuk menentukan pengambilan keputusan, yaitu: 1. Berada pada kondisi ketidakpastian (adanya alternatif tindakan) 2. Peluang prior diketahui dan peluang posterior dapat ditentukan 3. Peluangnya mempunyai nilai antara nol dan satu Prior merupakan bentuk distribusi frequency yang merupakan representasi objektif pada suatu parameter yang lebih rasional untuk dipercayai, atau prior merupakan suatu representasi subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah parameter menurut penilaiannya sendiri. Untuk mendapatkan keputusan dengan teorema bayes dalam menentukan nilai peluang posterior, dengan fungsi untuk sebaran normal:
Berdasarkan hukum bayes diperoleh besarnya peluang posterior ke-j sebagai berikut:
3
Dengan adalah peluang prior dan x adalah nilai rata-rata sampel dari seluruh populasi. Proses pengambilan keputusan dengan menggunakan kriteria harga harapan sering disebut sebagai prosedur keputusan Bayes. Prosedur keputusan bayes yang diterapkan dalam pertiwi’s fashion bertujuan untuk mengetahui hasil harga harapan dan peluang posterior setelah diiterasi untuk setiap produk pertiwi’s fashion dan hasil keputusan untuk merencanakan pengembangan bidang pada salah satu produk pertiwi’s fashion dari penelitian yang dilakukan. METODE Pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian kuantitatif. Peneliti mengumpulkan data dengan cara terjun langsung ke lapangan dengan menjual produk pertiwi’s fashion. Penelitian ini dilakukan dengan mengambil data keuntungan dari penjualan produk pertiwi’s fashion setiap minggunya. Data tersebut akan dianalisa dengan menggunakan teorema bayes. Dari proses itulah peneliti bisa mengetahui keputusan mana yang akan diambil. Adapun populasi dalam penelitian ini adalah data penjualan yang diperoleh dari penjualan produk pertiwi’s fashion diantaranya bros, kerudung, dan baju. Sampel adalah bagian kecil dari suatu populasi. Pengambilan sampel penelitian ini diambil dari data penjualan produk pertiwi’s fashion selama tiga bulan. Peneliti hanya bisa menggunakan data hanya selama tiga bulan karena tempat studi kasus skripsi ini berdiri bulan september tahun 2012. Analisis data pada penelitian ini adalah melakukan identifikasi dimana peneliti mengumpulkan data primer tentang data penjualan aksesoris, kerudung, dan baju. Selanjutnya melakukan uji distribusi pada data penjualan, menghitung rata-rata, dan menghitung simpangan baku pada setiap alternatif. Kemudian Menentukan nilai distribusi prior dan nilai tingkat penjualan pada kondisi atau keadaan yang mungkin terjadi. Setelah itu menentukan peluang prior, peluang posterior, dan menghitung harga atau nilai harapan dengan Teorema Bayes dari data yang ada. pilihan alternatif yang diambil untuk nilai harapan yang maksimum. HASIL DAN PEMBAHASAN Data berikut adalah nilai jual produk pertiwi’s fashion selama tiga bulan seperti pada Tabel 1.
4
Tabel.1 Nilai jual produk Jenis Produk Minggu Ke September Oktober Aksesoris 1 36.000 174.500 2 55.000 122.000 3 255.000 55.000 4 22.000 73.000 Kerudung 1 40.000 2 35.000 40.000 3 25.000 25.000 4 Pakaian 1 75.000 87.000 2 95.000 75.000 3 50.000 55.000 4 30.000 60.000
November 94.000 30.000 33.000 62.500 20.000 15.000 35.000 100.000 100.000 45.000 -
Dalam melakukan analisis keputusan dengan menggunakan teorema Bayes, sebaiknya data harus berdistribusi normal. Untuk itu data di atas akan diuji distribusi apakah data tersebut berdistribusi normal atau tidak berdistribusi normal. uji normalitas Normal
99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
65129 49724 31 1,811 <0,005
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
-50000
0
50000 100000 150000 data penjualan
200000
250000
Gambar.1 Plot Uji Kenormalan Data
Pada grafik di atas diperoleh p-value < 0,05 sehingga data tidak berdistribusi normal. Oleh karena itu data tersebut akan ditransformasi BoxCox. Berikut adalah hasil transformasi data: Setelah diperoleh hasil tranformasi Box-Cox, dapat dilihat pada grafik transformasi Box-Cox berikut : Box-Cox Plot of data penjualan Lower CL
Upper CL Lambda
1000000
(using 95,0% confidence)
800000
Estimate
-0,18
Lower CL Upper CL
-0,67 0,29
StDev
Rounded Value
600000
400000
200000 Limit
0 -5
-4
-3
-2 -1 Lambda
0
1
2
Gambar 2 Transformasi Box-Cox
0,00
5
Interval kepercayaan 95% meliputi semua nilai lambda yang memiliki standar deviasi kurang dari atau sama dengan garis horizontal. Oleh karena itu, setiap nilai lambda yang memiliki standar deviasi dekat dengan garis putus-putus juga nilai yang mungkin digunakan untuk transformasi. Dalam transformasi ini, korespondensinya ke selang 0,07sampai 0,29, dari data yang ditransformasi telah didapatkan rata-rata 9,36 dan simpangan baku 3,81. Langkah selanjutnya adalah menguji kenormalan data yang telah ditransformasi. Berikut adalah Gambar 3 hasil uji normalitas setelah data ditransformasi. Probability Plot of transformasi Normal
99
Mean StDev N AD P-Value
95 90
10,87 0,6504 31 0,168 0,929
Percent
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
9,0
9,5
10,0
10,5 11,0 transformasi
11,5
12,0
12,5
Gambar 3 Uji Normalitas setelah Ditransformasi Box-Cox. Pada Gambar 3 terlihat bahwa nilai p-value 0,929, hal ini menunjukkan bahwa data yang telah ditransformasi berdistribusi normal karena nilai p-value lebih dari 0,05. Setelah data berdistribusi normal, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai tingkat penjualan. 1. Tingkat penjualan produk pada saat terjadi penurunan dari nilai ratarata yang ditargetkan (kondisi memburuk), diasumsikan sebagai ratarata – simpangan baku = 9,36 – 3,81=5,55. 2. Tingkat penjualan produk pada saat terjadi pada nilai rata-rata stabil diasumsikan rata-rata penjualan produk adalah 9,36. 3. Tingkat penjualan produk pada saat terjadi peningkatan dari nilai rataraa yang ditargetkan (kondisi membaik), diasumsikan sebagai rata-rata + simpangan baku = 9,36 + 5,55=13,16. perhitungan untuk alternatif tindakan pada ketiga produk analog dengan perhitungan seperti yang di atas. Berikut perhitungan untuk produk aksesoris: 1. Rata-rata penjualan produk Aksesoris = 11,08 2. Simpangan baku = 0,74 3. Menentukan nilai tingkat penjualan produk pada kondisi yang mungkin terjadi, hanya untuk produk aksesoris. a. Tingkat penjualan produk aksesoris saat terjadi (kondisi memburuk), diasumsikan sebagai rata-rata – simpangan baku = 11,08 – 0,74 = 10,34 b. Tingkat penjualan produk aksesoris pada saat stabil diasumsikan sebagai rata-rata penjualan produk aksesoris adalah 11,08 .
6
c. Tingkat penjualan produk aksesoris saat terjadi peningkatan (kondisi membaik), diasumsikan sebagai rata-rata + simpangan baku = 11,08 + 0,74 = 10,34. Perhitungan untuk produk akseoris ini juga diterapkan pada perhitungan pakaian dan kerudung. Dari hasil nilai tingkat penjualan semua produk dan dari Tabel 1 bisa diasumsikan peluang prior untuk masing-masing kondisi adalah sebagai berikut: 1. Tingkat penjualan produk dengan nilai dibawah 0 sampai 5,50 artinya terjadi penurunan penjualan produk (menurun) sebesar 14% 2. Tingkat penjualan produk dengan nilai dibawah 15.405 sampai 114.852,60 artinya tingkat penjualan produk berada pada rata-rata terget (stabil) atau sebesar 86%. 3. Tingkat penjualan produk dengan nilai dibawah 114.852,60 sampai 255.000 artinya terjadi peningkatan penjualan produk (membaik) sebesar 0% Setelah diperoleh peluang dan nilai tingkat penjualan pada masingmasing produk, maka langkah selanjutnya adalah mencari harga harapan, cara perhitungan harga harapan adalah sebagai berikut: 1.
Harga Harapan untuk Produk Aksesoris
2.
Harga Harapan untuk Produk Kerudung
3.
Harga Harapan untuk Produk Pakaian
Alternatif Aksesoris Kerudung Pakaian
Tabel 2 Payoff untuk Kriteria Harga Harapan Menurun Stabil Meningkat Harga Harapan (HH) 5,50 9,36 13,36 10,34 11,08 10,34 10,98 1,78 6,82 1,78 6,12 6,95 10,17 13,40 9,72 0,14 0,86 0,00
Dari Tabel 2 di atas diperoleh nilai harga harapan dan peluang serta nilai pada saat keadaan meningkat, stabil, dan menurun. Dengan menggunakan teoema Bayes, Harga harapan yang optimal dapat dilakukan dengan mencari posterior secara iterasi sampai diperoleh nilai peluang posterior. Pilihan alternatif yang diambil adalah nilai harga harapan maksimum. Berikut adalah perhitungan iterasi I sampai dengan iterasi VI. Iterasi I Besarnya peluang posterior aksesoris adalah
7
Besarnya peluang posterior kerudung adalah Besarnya peluang posterior pakaian adalah Setelah peluang posterior diperoleh, maka data pada Tabel 2 dibentuk menjadi Tabel 3 dan dicari harga harapan untuk masing-masing alternatif tindakan. Tabel 3 Hasil Analisis iterasi I dengan Teorema Bayes Menurun Stabil Meningkat Harga Harapan (HH) 5,50 9,36 13,36 10,34 11,08 10,34 10,98 Aksesoris 1,78 6,82 1,78 6,12 Kerudung 6,95 10,17 13,40 9,72 Pakaian 0,08 0,91 0,00 Alternatif
Dari Tabel 3 diperoleh batas saat kondisi menurun untuk semua produk sebesar 5,50 , nilai saat kondisi stabil sebesar 9,36 dan nilai batas saat kondisi meningkat sebesar 13,36. Sedangakan untuk produk Aksesoris diperoleh batas saat kondisi menurun sebesar 10,34. Nilai saat kondisi stabil sebesar 11,08 dan nilai batas saat kondisi meningkat sebesar 10,98. Produk Kerudung diperoleh batas saat kondisi menurun sebesar 1,78. Nilai saat kondisi stabil sebesar 11,08 dan nilai batas saat kondisi meningkat sebesar 10,34. Produk Pakaian diperoleh batas saat kondisi menurun sebesar 6,95. Nilai saat kondisi stabil sebesar 10,17 dan nilai batas saat kondisi meningkat sebesar 9,72. Dari Tabel 2 juga diperoleh peluang posterior untuk masing-masing kondisi dan harga harapan pada masing-masing produk. Pada saat kondisi menurun diperoleh peluang sebesar 0,14. Sedangkan untuk kondisi stabil peluang posteriornya adalah 0,86, dan untuk kondisi meningkat diperoleh peluang posteriornya sebesar 0,00. Harga harapan untuk produk aksesoris, kerudung, dan Pakaian berturut-turut adalah 10,98 , 6,12 , dan 9,72. Iterasi II Karena belum mendekati satu, maka akan dilakukan iterasi lagi. Pada iterasi II dilakukan perhitungan yang sama dengan cara pada iterasi I. Hasil perhitungan pada iterasi II disajikan pada Tabel 4. Tabel 4 Hasil iterasi II Analisis dengan Teorema Bayes Alternatif Menurun Stabil Meningkat Harga Harapan (HH) 5,50 9,36 13,36 10,34 11,08 10,34 11,36 Aksesoris 1,78 6,82 1,78 6,57 Kerudung 6,95 10,17 13,40 10,01 Pakaian 0,05 0,95 0,00
Iterasi III Tabel 5 Hasil iterasi III Analisis dengan Teorema Bayes Alternatif Menurun Stabil Meningkat Harga Harapan (HH) 5,50 9,36 13,36 10,34 11,08 10,34 11,06 Aksesoris 1,78 6,82 1,78 6,67 Kerudung 6,95 10,17 13,40 10,07 Pakaian 0,03 0,95 0,00
Iterasi IV Tabel 6 Hasil iterasi IV Analisis dengan Teorema Bayes
8
Alternatif Aksesoris Kerudung Pakaian
Menurun 5,50 10,34 1,78 6,95 0,03
Stabil 9,36 11,08 6,82 10,17 0,97
Meningkat 13,36 10,34 1,78 13,40 0,00
Harga Harapan (HH) 11,06 6,67 10,07
Iterasi V Tabel 7 Hasil iterasi V Analisis dengan Teorema Bayes Menurun Stabil Meningkat Harga Harapan (HH) 5,50 9,36 13,36 10,34 11,08 10,34 11,07 Aksesoris 1,78 6,82 1,78 6,72 Kerudung 6,95 10,17 13,40 10,26 Pakaian 0,02 0,98 0,00 Alternatif
Iterasi VI Tabel 8 Hasil iterasi VI Analisis dengan Teorema Bayes Menurun Stabil Meningkat Harga Harapan (HH) 5,50 9,36 13,36 10,34 11,08 10,34 11,09 Aksesoris 1,78 6,82 1,78 6,77 Kerudung 6,95 10,17 13,40 10,26 Pakaian 0,01 0,99 0,00 Alternatif
Dengan menggunakan teorema Bayes, penulis bisa menentukan peluang posterior dari masing-masing alternatif. Nilai harga harapan yang optimal dilakukan dengan mencari posterior secara iterasi sampai iterasi VI. Untuk produk aksesoris diperoleh harga harapan 11,09. Untuk produk kerudung diperoleh harga harapan 6,77. Untuk pakaian diperoleh harga harapan Rp. 10,26. Pilihan alternatif yang diambil untuk nilai HH maksimum yaitu Rp. 11,09. Perhitungan yang dilakukan secara iterasi berhenti karena salah satu nilai peluang posterior sudah mendekati satu yaitu 0,99 . Keputusan yang diperoleh berdasarkan teorema Bayes dalam merencanakan pengembangan produk Pertiwi’s Fashion dengan tiga produk adalah mengembangkan produk aksesoris. Berdasarkan pembahasan mengenai penentuan produk yang akan dikembangkan dengan menggunakan analisis Bayes dengan enam kali iterasi maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Diperoleh peluang posterior dan harga harapan untuk masing-masing produk. Untuk produk aksesoris diperoleh harga harapan 11,09 ini berarti bahwa nilai moneter yang diperkirakan dari keputusan aksesoris adalah 11,09 . Untuk produk kerudung diperoleh harga harapan 6,77, ini berarti bahwa nilai harapan yang diperkirakan dari keputusan kerudung adalah 6,77. Untuk pakaian diperoleh harga harapan 10,26 ini berarti bahwa nilai harapan yang diperkirakan dari keputusan pakaian adalah 10,26. 2. Keputusan yang diperoleh berdasarkan teorema Bayes dalam merencanakan pengembangan produk Pertiwi’s Fashion dengan tiga produk adalah mengembangkan produk aksesoris dengan harapan
9
maksimum sebesar 11,09 dengan besarnya peluang posterior kedua adalah 0,99 jika peluang posterior tersebut mendekati satu. Dalam penulisan skripsi tentang teori keputusan, penulis hanya melakukan analisis bayes. Bagi pembaca yang berminat tentang teori keputusan khususnya tentang teori keputusan dengan menggunakan analisis bayes, penulis menyarankan untuk membahas mengenai teori keputusan dengan menggunakan analisis bayes dengan menggunakan distribusi lain dengan aplikasi di berbagai bidang dan membahas teori keputusan dengan Kriteria Hurwicz . DAFTAR RUJUKAN Berger O James. 1989.Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis.Penerbit Spinger-Verlag. New York. Frances Bacon. Alat untuk Analisis Keputusan. (Online). http://translate.google.co.id/translate?hl=id&langpair=en|id&u=http:// home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640a/partix.htm, di akses tanggal 20 Maret 2012. Gelman Andrew, Carlin B John, Stren S Hal, Rubin B Donald. 1995.Bayesian Data Analysis.St Edmundbury Press.Britain. Indria Tsani Hazhiah, Sugito, Rita Rahmawati. Estimasi Parameter Distribusi Weibull Dua Parameter Menggunakan Metode Bayes. (Online). http://ejournal-s1.undip.ac.id/index.php/gaussian, diakses tanggal 12 Maret 2013. Lind A Dauglas, Marchal G William, Wathen A Samuel. 2008. Statistical Techniques inn Bussines and Economic.Penerbit Salemba Empat.Jakarta. Montgomery C Dauglas.Pengendalian Kualitas Statistik.Penerbit Gadjah Mada University Press. Yogyakarta. Nani Sujhaniati Br Purba. Peranan Teorema Bayes Dalam Pengambilan Keputusan. (Online). http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/17756/4/Chapter%20I .pdf , diakses 11 Maret 2013.
'I
A*ikel
ole,h
Ayu Fertiwi hi pda terygal 21 Mei 2013
Telah diporiksa
Po,mbhbing
I
d
Drs. Srgiswq IU.Si. NrP 196t$328 199001
1
00t
Fe,mffiineil
91
'
TrtroirySEnil@L S.' NIP 19$i0l0l 200501 2 001
Iv{Msma
@
Ayn Fertirni
!{fiil i*H}3lzd.iytf&
M.Si.
