3.1 Základy teorie pravděpodobnosti
Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
Kvantitativní metody B
Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi. Podmíněná a úplná pravděpodobnost, Bayesova věta. Rozhodovací stromy.
Kvantitativní metody B
2
Náhodný pokus a náhodný jev náhodný pokus postup, jehož provedení za stejných podmínek vede k různým, předem neurčitelným výsledkům příklad: hod kostkou
náhodný jev jev, který při náhodném pokusu může, ale nemusí nastat příklad: na kostce padne sudé číslo
Kvantitativní metody B
3
Náhodný jev a pravděpodobnost pravděpodobnost jevu míra četnosti výskytu jevu v řadě opakovaných pokusů základní (klasická) definice: počet příznivých výsledků pokusu počet možných výsledků pokusu
pravděpodobnost, že na kostce padne sudé číslo
3 p = = 0,5 = 50% 6 Kvantitativní metody B
4
Pravděpodobnosti některých jevů elementární jev E splnění daného jevu odpovídá jediný výsledek příklad: na kostce padne 3
jistý jev Ω jev nastane vždy, při jakémkoliv výsledku
příklad: na kostce padne číslo menší než 10
nemožný jev ∅ jev nenastane nikdy, při žádném možném výsledku příklad: na kostce padne 7
opačné jevy A a A jevy se doplňují, nastane-li jeden, nenastane druhý, a naopak příklad: na kostce padne sudé číslo, na kostce padne liché číslo Kvantitativní metody B
5
Empirická pravděpodobnost empirická pravděpodobnost pravděpodobnost zjištěná z opakovaného provádění pokusu čím více pokusů provádíme, tím více se podíl výskytu daného jevu blíží jeho pravděpodobnosti počet příznivých výsledků celkový počet pokusů na kostce ze 100 pokusů padlo sudé číslo 56x pravděpodobnost, že na kostce padne sudé číslo
p≈ Kvantitativní metody B
56 = 0,56 = 56% 100 6
Operace s jevy sjednocení jevů – nastane jev A nebo jev B
platí pro neslučitelné jevy A a B – nemohou nastat současně
průnik jevů – nastane jev A a současně jev B
platí pro nezávislé jevy A a B - jejich výsledky se neovlivňují
Kvantitativní metody B
7
Příklad Ze 130 studentů si 52 zapsalo jako volitelnou Aplikovanou statistiku, 28 Časové řady, 12 studentů oba předměty. Lze zápis těchto předmětů považovat za nezávislé jevy?
52 p ( A) = = 0, 40 130 12 p( A ∩ B) = = 0, 09 130
28 p( B) = = 0, 22 130 p ( A) ⋅ p ( B ) = 0, 40 ⋅ 0, 22 = 0, 09
Ano, jevy lze považovat za nezávislé. Kvantitativní metody B
8
Sjednocení a průnik dvou jevů pro libovolné dva jevy A, B platí:
A∩B
A
Kvantitativní metody B
B
9
Příklad Jedničku z matematiky má 15% studentů, jedničku ze statistiky 22% studentů, jedničku z obou předmětů 8% studentů. Kolik studentů má jedničku aspoň z jednoho předmětu?
P ( A ∪ B ) = 0,15 + 0, 22 − 0, 08 = 0, 29 = 29% Jedničku alespoň z jednoho předmětu má 29% studentů.
Kvantitativní metody B
10
Podmíněná pravděpodobnost pokud pravděpodobnost jevu A závisí na výsledku jevu B, jsou oba jevy závislé
P( A B)
podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky, že jev B nastal
P( A B )
podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky, že jev B nenastal A∩B
Bayesův vzorec
A
Kvantitativní metody B
∅
B
11
Příklad Jedničku z matematiky má 15% studentů, jedničku ze statistiky 22% studentů, jedničku z obou předmětů 8% studentů. Jaká je pravděpodobnost, že student dostane jedničku ze statistiky, víme-li, že má jedničku z matematiky?
P( A B) =
P( A ∩ B) 0, 08 = = 0,53 P( B) 0,15
Pravděpodobnost, že student dostane jedničku ze statistiky, má-li jedničku z matematiky, je 53%.
Kvantitativní metody B
12
Úplná pravděpodobnost úplná pravděpodobnost jevu A pravděpodobnost jevu A bez ohledu na jev B, tj. výsledek jevu B neznáme nebo neuvažujeme
P( A Ç B)
Kvantitativní metody B
P( A Ç B )
13
Příklad U konkursu na místo obchodního zástupce firmy má vysokoškolák 60% šanci na přijetí, středoškolák 20%. Mezi zájemci o místo je 40% vysokoškoláků a 60% středoškoláků. Jakou šanci má náhodně vybraný zájemce, pokud neznáme jeho vzdělání?
P ( A) = P ( A VŠ ) ⋅ P(VŠ ) + P ( A SŠ ) ⋅ P ( SŠ ) P ( A) = 0, 6 ⋅ 0, 4 + 0, 2 ⋅ 0, 6 = 0,36 Náhodně vybraný zájemce má 36% šanci na přijetí. Kvantitativní metody B
14
Příklad (pokračování) Uchazeč o místo byl přijat. S jakou pravděpodobností měl vysokoškolské vzdělání? P(VŠ ∩ A) P( A VŠ ) ⋅ P(VŠ ) 0, 6 ⋅ 0, 4 P(VŠ A) = = = = 0, 67 = 67% P( A) P( A) 0,36
Uchazeč o místo byl odmítnut. S jakou pravděpodobností byl středoškolák? P( SŠ ∩ A) P( A SŠ ) ⋅ P( SŠ ) 0,8 ⋅ 0, 6 P( SŠ A) = = = = 0, 75 = 75% P ( A) P ( A) 0, 64 Kvantitativní metody B
15
Rozhodovací strom 0, 0,20 0,60
0,40
0,60 . 0,20 = 0,12
SŠ
0,36 0,800 0,
N
0,60 . 0,80 = 0,48
0,60
A
0,40 . 0,60 = 0,2 4
VŠ
0,64 0,40
Kvantitativní metody B
A
N
0,40 . 0,40 = 0,16 16
Rozhodovací strom - obrácený 0, 0,33 0,36
0, 60
0,75
VŠ
0,36 . 0, 67 = 0,24
SŠ
0,64 . 0, 75 = 0,48
N
0,40 0,25
Kvantitativní metody B
0,36 . 0,33 = 0,12
A 0,67 0,
0,64
SŠ A
VŠ
0,64 . 0, 25 = 0,16 17
Co se naučíte příště 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Náhodná veličina, zákon rozdělení pravděpodobnosti. Diskrétní náhodná veličina. Pravděpodobnostní funkce. Spojitá náhodná veličina. Funkce hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce. Charakteristiky náhodné veličiny – střední hodnota a rozptyl. Kvantitativní metody B
18
